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★ 2重根号 / おばかさん
こんばんは
少し過去の数学のおさらいをするつもりで、高校の頃の教科書を引っ張り出して読んでいたのですが、どうも式の変形がわからず頭を悩ましております

問：
半径2の円に内接する正12角形の1辺の長さは、図のように考えて(右側に一辺が2の正三角形が内接している円と正12角形の図形が記されている)
√{ 1＋(2−√3)^2} ＝ √( 8−4√3)
と求められる

という一文があるのですが、わたしではどう頭をひねっていても√{ 1＋(2-√3)^2}が、√( 8-4√3)へ変形されず
√( 14−4√3)しか頭に浮かんでこないのです
どうかお力をお貸し願えませんでしょうか
No.7418 - 2009/08/12(Wed) 00:10:47
☆ Re: 2重根号 / ast
(√3)^2 を根号が付いているのを忘れて 9 にしてるんじゃないですかね.
No.7419 - 2009/08/12(Wed) 00:42:18
☆ Re: 2重根号 / おばかさん
どうも失礼致しました･･･
相当初歩的なミスをしてしまいました。ご指摘された通りです
どうもありがとうございました
No.7420 - 2009/08/12(Wed) 01:04:20
★ 正方形に内接する正三角形 / √
また　よろしくお願い致します。

ヨッシーさん　印刷の件、有り難うございました。

トップの画面の「新着の御質問」で、李さんの質問を自分で解いてみました。

【問題】
一辺が１の正方形に、
図のように内接する正三角形の一辺の長さを求める。

【自分で解いてみました】
１＾２＋（１−ｘ）＾２＝（√２ｘ）＾２
ｘ＾２＋２ｘ−２＝０
このｘを求めて√２倍した数が、
正三角形の一辺の長さ。
と考えました。

でも、私には、このｘが解けません。

取り合えず、
?@考え方だけは合ってますでしょうか？

?A私は
黄色の三角形は「二等辺三角形」
黄緑色の２つの三角形は「合同」
と最初から決め付けて解いてしまっているのですが良いのでしょうか？

?B図の状態の正三角形が、
正方形の中に描くことができる最大の面積の正三角形になると考えて良いでしょうか？

よろしくお願い致します。

　
No.7410 - 2009/08/11(Tue) 15:31:56
☆ Re: 正方形に内接する正三角形 / ヨッシー
ｘ＾２＋２ｘ−２＝０
は、解の公式を使って、
　ｘ＝−１±√３
と出ますが、解の公式を知らないなら、
　ｘ＾２＋２ｘ−２＝０
　ｘ＾２＋２ｘ＋１＝３
　(ｘ＋１)^2＝３
　ｘ＋１＝±√3
　ｘ＝−１±√3
と解けます。ｘ＞０より
　ｘ＝−１＋√３
となり、一辺はその√２倍で、√６−√２ となります。

?A，?Bとも、問題ないですね。

トップページの李さん１　の部分をクリックすると、
別の解法が載っています。
No.7414 - 2009/08/11(Tue) 22:18:22
☆ Re: 正方形に内接する正三角形 / √
ヨッシーさん

有り難うございました。
解の公式、後で勉強しておきます。
No.7421 - 2009/08/12(Wed) 01:54:17
☆ Re: 正方形に内接する正三角形 / √
【解の公式】柴犬のカイ君を見て、やる気になりました。
　　　　　　　　ｕ’ｏ’ｕ

ａＸ＾２　＋　ｂＸ　＋　ｃ　＝　０

ａＸ＾２　＋　ｂＸ　　　　　＝　−ｃ

両辺に【４ａ】を掛ける。
【４ａ】（ａＸ＾２　＋　ｂＸ）　＝　−ｃ　ｘ　【４ａ】
　４（ａＸ）＾２　＋　４ａｂＸ　＝　−４ａｃ

両辺に【ｂ＾２】を足す。
４（ａＸ）＾２　＋　４ａｂＸ　＋　【ｂ＾２】　＝　−４ａｃ　＋　【ｂ＾２】

（２ａＸ　＋　ｂ）＾２　＝　ｂ＾２　−　４ａｃ
　２ａＸ　＋　ｂ　　　＝　±　√（ｂ＾２　−　４ａｃ）
　２ａＸ　　　　　　　　＝　−ｂ　±　√（ｂ＾２　−　４ａｃ）

Ｘ　＝【−ｂ　±　√（ｂ＾２　−　４ａｃ）】　／　（２ａ）

「解の公式」は中学で教わったのですね。
勉強になりました。有り難うございました。
No.7429 - 2009/08/12(Wed) 18:56:03
☆ Re: 正方形に内接する正三角形 / ヨッシー
解の公式は、ゆとり以降は中３ではやらないようです。

解の公式その他の二次方程式の解法については、
私のページの「二次方程式の基礎」もあわせてご覧ください。

上のように、自分で導くのも、大変大事です。
No.7452 - 2009/08/14(Fri) 10:14:50
☆ Re: 正方形に内接する正三角形 / √
あっ　ヨッシーさん
ご丁寧に有り難うございます。

後で、ゆっくり「二次方程式の基礎」拝見させて頂きます。

ホント、暑い日が続きますが、ご自愛ください。
No.7459 - 2009/08/14(Fri) 20:07:18
★ 分からなくなりました / 数学が苦手な者
とても初歩的なことかもしれませんが質問させてください。
A：行列

A≠Eの両辺にAを掛ける行為はNG（反例；例えばA=o)で、A^-1を掛ける行為がOKな理由を教えてください。行列の計算法則に、「両辺にAは掛けてはならないが、A^-1は掛けてよい」のようなものが実はあったりするんでしょうか。
No.7395 - 2009/08/10(Mon) 23:12:07
☆ Re: 分からなくなりました / angel
正確には、「両辺にＡをかけるのがNG、両辺にＡ^(-1)をかけるのがOK」ではありません。
「両辺に正則行列をかけるのはOK、正則行列かどうかが不明な行列をかけるのはNG」です。

で、Ａ^(-1) は、既にＡが正則行列であるという条件をクリアしているのが前提であり、Ａ^(-1)自体が正則なため、OKなのです。

行列でなくスカラであっても、
・x≠b の両辺を a ( a≠0 が暗黙の前提 ) で割って x/a≠b/a … OK
・x≠b の両辺に a ( a≠0 かどうか不明 ) をかけて ax≠ab … NG
・x≠b の両辺に a ( a≠0 ) をかけて ax≠ab … OK
というのがありますから、似たような話ですね。
No.7398 - 2009/08/10(Mon) 23:26:03
☆ Re: 分からなくなりました / angel
一応、証明を書くなら、

・Ａが正則の場合
　Ｘ=Ｙ ⇒ ＡＸ=ＡＹ
　ＡＸ=ＡＹ ⇒ Ａ^(-1)・ＡＸ=Ａ^(-1)・ＡＹ ⇒ ＥＸ=ＥＹ ⇒ Ｘ=Ｙ
　のため、Ｘ=Ｙ⇔ＡＸ=ＡＹ
　ゆえに、Ｘ≠Ｙ⇔ＡＸ≠ＡＹ

・Ａが正則かどうか不明な場合
　Ｘ=Ｙ ⇒ ＡＸ=ＡＹ
　しかし、ＡＸ=ＡＹ⇒Ｘ=Ｙは成立しない ( 反例：Ａ=Ｏ等 )
　最初の条件の対偶 ＡＸ≠ＡＹ⇒Ｘ≠Ｙは成立するが、その逆Ｘ≠Ｙ⇒ＡＸ≠ＡＹは成立しない

…スカラの掛け算の話と同じですね。
No.7400 - 2009/08/10(Mon) 23:39:11
☆ Re: 分からなくなりました / 数学が苦手な者
正則行列という言葉の意味が分かりません。０行列のことでしょうか。
No.7404 - 2009/08/11(Tue) 01:02:29
☆ 訂正です。 / 数学が苦手な者
正則行列という言葉の意味が分かりません 。０行列ではない行列のことでしょうか。

No.7405 - 2009/08/11(Tue) 01:04:56
☆ Re: 分からなくなりました / ヨッシー
０行列も正則でない行列の1つですが、
正則でないとは、「逆行列を持たない」という意味です。
スカラでは、０だけですが、行列では０行列だけではありません。
No.7407 - 2009/08/11(Tue) 01:08:25
★ 二次関数 / 桜　高3
こんばんは。
いつもありがとうございます。

y=x^2+2(a-6)x+3^2-6a

が原点を通るときa=2である。
このとき正の実数kに対して0≦x≦kにおける二次関数の最大値をM,最小値をmとる。
0＜k≦(1)のときM=(2)
(3)＜kのとき　M=k^2-(4)k

の問題の(1)〜(4)が分かりませんでした。
最大値を求める場合、軸＞範囲の真ん中　軸=範囲の真ん中
軸＜範囲の真ん中

とやるのかと思ったら間違っていました。
なんでこれは違うのでしょうか？

ありがとうございます☆
よろしくお願いいたします
No.7385 - 2009/08/10(Mon) 19:51:54
☆ Re: 二次関数 / rtz
>y=x^2+2(a-6)x+3^2-6a
>が原点を通るときa=2である。

？
No.7387 - 2009/08/10(Mon) 20:15:28
☆ Re: 二次関数 / 桜　高3
ご返信ありがとうございます。
申し訳ございません。
y=x^2+2(a-6)x+3a^2-6a
でした。aが抜けておりました・・。
No.7389 - 2009/08/10(Mon) 21:11:51
☆ Re: 二次関数 / rtz
a＝0を除外する文面が見当たりませんが、
事前の問題で除外済みですか？

本題ですが、その場合分けで問題ないですよ。
k＝8で最大値y＝0が2箇所になり、k＞8でx＝kで最大値となります。

解答は違うのですか？
どうなっているのでしょうか。
No.7390 - 2009/08/10(Mon) 21:22:10
☆ Re: 二次関数 / 桜　高3
ありがとうございます(^^)

>事前の問題で除外済みですか？
はいo

私はずっと最大値を求める場合軸を移動することしか学んでいないらしく、なんで0＜k≦8になるのか分かりませんでした*。
No.7391 - 2009/08/10(Mon) 21:44:39
☆ Re: 二次関数 / rtz
これは解決済みでいいんですよね？
No.7413 - 2009/08/11(Tue) 20:39:52
★ 三角関数 / aki
こんにちは。
続けて失礼します。
前も同じ問題をきいたのですが、今度は(1)で、
http://v.upup.be/?FXoAzP5XfQ

私は全体的に2θに直した部分もあり答えを出してしまったのですが、いまf(θ)でありf(2θ)ではないので2θを答えにいれずθのみで統一したのでしょうか。

宜しくお願いします。
No.7383 - 2009/08/10(Mon) 19:01:36
☆ Re: 三角関数 / aki
すみませんがどなたかお願いできませんか？

No.7477 - 2009/08/15(Sat) 19:16:45
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
>θのみで統一したのでしょうか。
は、どれを見てそう言っていますか？
No.7480 - 2009/08/15(Sat) 21:14:12
☆ Re: 三角関数 / angel
何と何を比較した結果、どういう疑問を抱いているのか、が読み取れないので、コメントできないんですよね…。
No.7482 - 2009/08/15(Sat) 21:19:45
☆ Re: 三角関数 / aki
ごめんなさい(>_<)
これから具体的に質問するようにします。
具体的に
私は
f(θ)=cos2θ/cosθ＋a^3sinθ＋{1/2sin2θ(sinθ−a^3cosθ)}/(cosθ＋a^3sinθ)^2
と変形したのですが、これではまだ変形の余地ありで、スッキリしていないから△くらいになってしまうのでしょうか？
No.7493 - 2009/08/16(Sun) 17:28:08
☆ Re: 三角関数 / angel
それを最終的な答えとしてしまうと、減点になりそうですね。
sin2θやcos2θをバラしてまとめれば、より簡単な形になりますからね。

最終形は f'(θ)=( (cosθ)^3-a^3・(sinθ)^3 )/(cosθ+a^3・sinθ)^2 あたりでしょうか。

翻って、sinθcosθを 1/2・sin(2θ) に変形して考えるのは別に悪いことではないと思いますが、再度倍角をバラす手間を考えると、今回はお得感がないですね。まあ、結果論ですが。
※とはいえ、違うルートで計算してみて、それでも結果が一致する、ということを見る確認の意味では、十分役に立ちます。
No.7521 - 2009/08/18(Tue) 00:56:34
★ 平均値の定理 / aki
こんにちは。
質問お願いします(>_<)

http://x.upup.be/?I7b3DH9CNu
の問題ですが、まずさっぱり自分ではなにをやるのか考えつかなくて、平均値の定理を使うということがヒントにより分かったのですが、どうして平均値の定理を使うと目をつけられるのでしょうか？

さらにその平均値を使う範囲がわからないのと、{f(P)−f(Q)}/{P−Q}の形とも程遠いような気がして、どうにも手を付けられません。
どうか易しく教えていただけないでしょうか？
宜しくお願いします。
No.7381 - 2009/08/10(Mon) 18:47:11
☆ Re: 平均値の定理 / aki
追加ですが
6747の返信をしましたので、どなたかまたご回答いただけますと助かります。
さかのぼるのでお手数おかけしますが宜しくお願いします。
No.7382 - 2009/08/10(Mon) 18:48:19
☆ Re: 平均値の定理 / aki
またまた関係ないのですが6771の再質問を書き込みましたので、どなたかよろしければお願いします(>_<)
No.7394 - 2009/08/10(Mon) 22:56:31
☆ Re: 平均値の定理 / angel
とりあえず問題を整理しましょう。
ありがちなのが、
　g(t)=(1-t)f(a)+tf(b)-f((1-t)a+tb)　　(要するに、不等式の右辺-左辺)
とおき、0≦t≦1 において g(t)≧0 を証明する、という問題に置き換えることです。

で、今回は、計算すれば
　g(0)=0
　g(1)=0
　g'(0)＞0
　g'(1)＜0
　g''(t)＜0
が分かりますから、g'(t)の変化が正→0→負 ( 単調減少 )、g(t)の変化が 0→極大→0 ということで g(t)≧0 ( 等号成立は t=0,1 ) となります。
なお、平均値の定理は g'(0)＞0 および g'(1)＜0 で使えます。
f''(x)＞0 については、g''(t)＜0 でも使いますが、「f'(x)が単調増加」という意味合いでも使います。
※g''(t)＜0 については、g'(t)が単調減少という意味合いで使っています。

計算してみてください。
No.7401 - 2009/08/10(Mon) 23:53:41
☆ Re: 平均値の定理 / angel
一応、6747,6771にも返信しました。
…ただ、生物の方は専門外のため、誤った事を言っている可能性があります。是非クロスチェックをしてください。

なお、何日かここを見られなくなるため、更に質問を頂いても私は直ぐには回答できませんが、ご容赦ください。
No.7409 - 2009/08/11(Tue) 02:23:12
☆ Re: 平均値の定理 / aki
私も数日見ることができなかったので申し訳ありませんでした。

右辺−左辺でおくところまではわかりました。
微分の計算ですが、
g'(t)=−f(a)＋f(b)−f(−a＋b)
であってますでしょうか？

それから、このあとg'(t)が0≦t≦1において、どう正負をとるかはどう判断すればいいのでしょうか？
No.7470 - 2009/08/15(Sat) 15:08:24
☆ Re: 平均値の定理 / angel
＞ 微分の計算ですが、
＞ g'(t)=−f(a)＋f(b)−f(−a＋b)
＞ であってますでしょうか？

いいえ。
最後の項が違います。( そんな簡単な形にはなりません )
合成関数の微分ですから、-( (1-t)a+tb )'・f'((1-t)a+tb) という計算になります。

＞ それから、このあとg'(t)が0≦t≦1において、どう正負をとるかはどう判断すればいいのでしょうか？

g''(t) を求めてから、
＞ 　g'(0)＞0
＞ 　g'(1)＜0
＞ 　g''(t)＜0
＞ が分かりますから、g'(t)の変化が正→0→負 ( 単調減少 )…(後略)…

を確認してください。

＞ なお、平均値の定理は g'(0)＞0 および g'(1)＜0 で使えます。
＞ f''(x)＞0 については、g''(t)＜0 でも使いますが、「f'(x)が単調増加」という意味合いでも使います。
＞ ※g''(t)＜0 については、g'(t)が単調減少という意味合いで使っています。

についても注意してください。
No.7481 - 2009/08/15(Sat) 21:16:42
★ 高校レベル / りょう
200〜300の間に8の倍数はいくつあるか答えなさい。

と、いう問題が分かりません。教えてください。


No.7365 - 2009/08/10(Mon) 13:46:29
☆ Re: 高校レベル / 七
1〜300の間に8の倍数はいくつあるか
ならわかりますか？
No.7366 - 2009/08/10(Mon) 14:00:52
☆ Re: 高校レベル / りょう
すいません、7339の人とは別人です。

紛らわしくて、すいませんでした。
No.7368 - 2009/08/10(Mon) 15:20:12
☆ Re: 高校レベル / りょう
七さん

37コですか？？
No.7369 - 2009/08/10(Mon) 15:24:16
☆ Re: 高校レベル / らすかる
では
1〜199の間に8の倍数はいくつあるか
もわかりますね？
引けば終わりです。
No.7370 - 2009/08/10(Mon) 15:38:45
☆ Re: 高校レベル / DANDY　U
> すいません、7339の人とは別人です。
了解いたしました。（無用な書き込みだったので削除しておきました）
No.7371 - 2009/08/10(Mon) 16:15:40
★ 直線上の点、平面上の点 / ちさと
３点 A(2,8),B(-3,-2),C(7,3)について
線分AB,BC,CAを2:3に内分する点を,
それぞれD,E,Fとする。
次の点の座標を求めよ。

(1)D,E,F

(2)△ABCの重心

(3)△DEFの重心

問1から参考書をみて解いてみましたが
分かりませんでした；；

ちなみに答えは
(1)D(0,4),E(1,0),F(5,5)

(2)(2,3) (3)(2,3) です。

宜しくお願いします！！
No.7363 - 2009/08/10(Mon) 10:33:47
☆ Re: 直線上の点、平面上の点 / ヨッシー
こちらをご覧ください。

参考書より、教科書を見るべきです。
No.7364 - 2009/08/10(Mon) 11:04:39
★ (No Subject) / guruto
極限値lim(x→∞)x∫{x-(1/x)〜x+(1/x)}(1+1/t)^tdtを求めよ、という問題で、

模範解答）関数（1+1/t)^tの原始関数をF(t)とおく。すると求める極限値は
limx{F(x+(1/x))-F(x-(1/x))}
=lim2×F(x+(1/x))-F(x-(1/x))/{(x+(1/x))-(x-(1/x))}と書ける。今、十分大きなxについて関数F(t)は区間[x-1/x,x+1/x]で連続、区間(x-1/x,x+1/x)で微分可能である。よって平均値の定理より〜となってます。

ここで、どうしても解決しておきたいことがあるのですが、
「十分大きなxについて関数F(t)は区間[x-1/x,x+1/x]で連続、区間(x-1/x,x+1/x)で微分可能である」の部分が何故言えるのか、どうか教えてください。
No.7361 - 2009/08/10(Mon) 04:52:04
☆ Re: 平均値の定理 / guruto
件名を付け忘れてました。
よろしくおねがいします。
No.7386 - 2009/08/10(Mon) 20:05:57
☆ Re: / のぼりん
こんばんは。
原始関数の定義は、微分して元の関数になる関数でした。
従って、原始関数は定義域全体で微分可能で、特に連続であることは、定義から明らかですね。
No.7399 - 2009/08/10(Mon) 23:36:28
★ 数列 / 中山
n(n＋1)Ａ(n+1)=(n-1)An
の解き方を教えてください

No.7355 - 2009/08/10(Mon) 00:41:40
☆ Re: 数列 / 中山
> n(n＋1)Ａ(n+1)=(n-1)An
> の解き方を教えてください
>

すいません
n(n+1)a_n+1=(n-1)a_nです。
No.7356 - 2009/08/10(Mon) 00:46:34
☆ Re: 数列 / angel
n=1 で考えると
1・2・a_2 = 0・a_1
ですから、a_1 に関わらず a_2 = 0 ですね。
すると、2・3・a_3 = 1・a_2 = 0 で、a_3 も 0 ですね。
以下同様に計算すると a_n = 0 ( n≧2 ) ということになります。
…問題、本当にあっていますか? ( 漸化式の n の条件がまだあるとか… )
No.7358 - 2009/08/10(Mon) 00:54:10
☆ Re: 数列 / 中山
すいません
n(n+1)a_n+1=(n-1)a_n (n≧2)でした。

よろしくお願いします。
No.7359 - 2009/08/10(Mon) 01:15:44
☆ Re: 数列 / ヨッシー
だとすると、
a_1, a_2 が与えられていないと、数列のどの項も
求めることが出来ません。

今の状態では、
　a_n＝2a_2(n-2)!/{(n-1)!n!}＝2a_2/{(n-1)n!}
としか言えません。
No.7362 - 2009/08/10(Mon) 05:34:13
★ (No Subject) / 数学好きの数学下手
　友人に出された問題で数日間考えたのですが、わからない問題があります。

【問題】
　数列
　　a_0=0 、a_n=1
　　a_k=(k/n)×{a_(k+1)} + {(n-k)/n}×{a_(k+1)}
　を定める。
　　(nは3以上の自然数。kは1からn-1までの自然数)
　　このとき、a_1、a_2をnを用いて表しなさい。

　a_(k-1)を考え階差をとろうと考えたり、うまい具合に調整して等比数列に帰着できないものかと考えましたが、先が続きません。アドバイスを戴けないものでしょうか。
　ちなみに、答えはa_1＝1/(2^n)、a_2=n/(2^n)になるみたいなのですが。
No.7351 - 2009/08/10(Mon) 00:12:37
☆ Re: / 数学好きの数学下手
すいません、上の数列は
　a_k=(k/n)×{a_(k+1)} + {(n-k)/n}×{a_(k-1)}
です。間違えました。
No.7353 - 2009/08/10(Mon) 00:13:46
☆ Re: / angel
階差数列を考える、で問題ないと思います。
ただし、結果的に等比数列は絡みませんが。

階差数列 b_k=a_(k+1)-a_k ( 0≦k≦n-1 ) とする時、ある数列 c_k を用いて b_(k+1) = b_k・c_k と表すことができることに着目します。
そうすると、b_k = b_0・c_0・c_1・…・c_(k-1) というところから、b_k の一般項がほぼ分かります。
後は、b_0+b_1+…+b_(n-1)=a_n-a_0=1 を利用すればおしまい、という具合でしょう。

ちなみに、答えは a_1=1/2^(n-1), a_2=n/2^(n-1) になると思います。
No.7354 - 2009/08/10(Mon) 00:40:26
☆ Re: / 数学好きの数学下手
　その手があったか！！
　b_0+b_1+…+b_(n-1)=a_n-a_0=1に持ち込むことは意識していたのですが、積で表すとは…恐れ入ります。

　自分のような実力不足の者にとって、他人から教えられたものであっても、こういう問題で新しい発見があるとついつい嬉しくなってしまいます。
　今日はご丁寧にどうも有難うございました。それでは、失礼致します。

　
No.7357 - 2009/08/10(Mon) 00:48:39
★ 図形と方程式 / 小次郎
放物線y=4/3x^2上に異なる２点A,Bをとる、2点A,Bのx座標をそれぞれa,bとするとき,直線ABの方程式をa,bを用いて表せ。

解答は
y=4/3(a+b)x-4/3ab
となっているのですがなぜこのような解答になるのでしょうか？
No.7348 - 2009/08/09(Sun) 22:48:04
☆ Re: 図形と方程式 / angel
「なぜ」と言われると、「計算したらそうなった」としかお答えできないのですが…。
どこが分からないのでしょうか。
・ご覧になった解答に、途中の計算等説明は一切ないのでしょうか?
・自分ではどこまで考えてみたのでしょうか?

一応、おおまかな解き方としては、
・A,Bの座標を元にABの傾きを求める→計算すると、4/3・(a+b) となる
・傾きが出ることで、直線ABの方程式を y=4/3・(a+b)+c と置く事が出来るので、A もしくは B の座標を代入して c を求める
→ 計算すると c=-4/3・ab となる
という感じです。
No.7349 - 2009/08/09(Sun) 23:09:21
★ 数列 / mina
こんにちは質問おねがいします。
Ｓn−Ｓn-1＝−ａn＋2n＋ａn-1−2(n-1)＝ａn
これを解くにはどういう途中式になりますか？

数学が得意でないのではしらないで途中式を教えていただけるととてもうれしいです。

よろしくおねがいします。
No.7340 - 2009/08/09(Sun) 17:10:02
☆ Re: 数列 / angel
えーと、話としては、

　S[n]-S[n-1] = -a[n] + 2n + a[n-1] - 2(n-1)　…(1)
　という方程式が出てきて、
　「S[n] は、a[1]からa[n] までの和」という定義があるため、
　S[n]-S[n-1]=a[n] …(2)
　という関係になる。そのため、
　-a[n] + 2n + a[n-1] - 2(n-1) = a[n]　…(3)

　この漸化式を解いて、a[n]の一般項を求める

ということでよろしいでしょうか。

(3)の式を整理すると、
2a[n] = a[n-1] + 2　…(4)
となります。

ここから両辺に -4 を足すと
2a[n]-4 = a[n-1]-2
2(a[n]-2) = a[n-1]-2
a[n]-2 = 1/2・(a[n-1]-2)　…(5)

という形になりますから、a[n]-2 という数列が公比 1/2 の等比数列であることが分かります。

なぜ -4 という数が出てきたか?
それは適当に探して、丁度都合が良かったのが -4 だからです。
例えば +4 を (4) の両辺に足した場合だと
2a[n]+4=a[n-1]+6 つまり 2(a[n]+2)=a[n-1]+6 となって +2 と +6 が揃ってないからNGです。色々な数を試してみて、-4 の場合だと、(5) のように -2 と -2 で揃うので良いのです。
No.7342 - 2009/08/09(Sun) 17:49:43
☆ Re: 数列 / mina
詳しくありがとうございました＼(*^O^*)／
とても分かるようになりました。
No.7343 - 2009/08/09(Sun) 18:49:30
★ 教えてください / りょう
点A(0,8)点C(5,0)がある。△ABCの面積が10の時、次の問いに答えなさい。　原点を０とする。
(1)直線ACの方程式を求めなさい。
(2)点Bのx座標を求めなさい。
(3)3点０,A,Cを通る円の中心の座標を求めなさい。
(4)点(-1,4)を通る直線y=mx+nが △ABCの周辺上の点(頂点を含む)を通るようなmの値の範囲を求めなさい。( ≦m≦ )

図が示されていますが、作図の方法がわかりませんでしたので書けませんでした。
点Bはx軸上で　原点と点Cの間にあります。

数学が超苦手です。なるべく詳しく教えて頂けたら助かります。
よろしくお願いします。
No.7339 - 2009/08/09(Sun) 15:27:02
☆ Re: 教えてください / 都
回答以前に一つお尋ねしたいのですが、(1)から分からないのですか？
No.7346 - 2009/08/09(Sun) 21:02:43
☆ 都さん　ありがとうございます / りょう
中1で、塾の宿題に出ました。
一応 自分で解いたのですが・・
(1)y=-8/5(x)+8 (2)5/2 (3)(5/2,4)　・・となりました。合っているでしょうか？
(4)が、解りません。
よろしくお願いします。
No.7373 - 2009/08/10(Mon) 17:14:33
☆ Re: 教えてください / ヨッシー
図のように、(-1,4) を通るいろんな直線を描いたとき、
黒の直線が、
>△ABCの周辺上の点(頂点を含む)を通る
直線です。
そのときの傾きは、最小でいくつ、最大でいくつでしょうか？

No.7375 - 2009/08/10(Mon) 17:55:47
☆ ヨッシーさん ありがとうございます。 / りょう
△ABCの周辺上を (3)の円周上と勘違いしていました。
図を書いて頂いたので、すぐに間違いに気づく事ができました。
ありがとうございます。
答えは、(-8/3≦m≦4)となりました。合っていますか？
No.7412 - 2009/08/11(Tue) 17:12:07
★ 誘導無し / 数学が苦手な者
e<a<bのとき（１＋a^2)^bと(1+b^2)^aの大小関係を調べよ。ただしeは自然対数の底。

で微分しやすいように両方ともにlogをつけて、ｙ＝blog(1+a^2)-alog(1+b^2)として文字を固定したり色々やりましたが結局わかりませんでした。誰か教えてください。微分の計算の仕方は分かっているので、そこは微分して〜になるのような形でかまいません。
No.7337 - 2009/08/09(Sun) 13:37:35
☆ Re: 誘導無し / rtz
大小関係の証明には差をとるのが一般的ですが、
今回のような場合は一関数の増減として捉えると解きやすいです。

両者、底eで対数をとればb*log(1+a2)とa*log(1+b2)
さらにabで割って(1/a)log(1+a2)と(1/b)log(1+b2)
この間大小関係は変わりませんから、
f(x)＝(1/x)log(1+x2)として、f(a)とf(b)の大小を比べればいいことになります。

要は問題文の形を見て、
ここまで持ってこれるかどうかがポイントですね。
No.7338 - 2009/08/09(Sun) 13:59:09
☆ Re: 誘導無し / 数学が苦手な者
f(x)＝(1/x)log(1+x^2)を2回まで微分してみましたがf'(x)
＝０,f''(x)=0をみたすｘの値が出ませんでした。グラフが描けないのですがどうしたらいいのでしょうか。ちなみに、f'(x)＝{2x^2-(1+x^2)log(1+x^2)}(1+x^2)x^2でした。
No.7344 - 2009/08/09(Sun) 20:47:31
☆ 訂正です / 数学が苦手な者
f'(x)＝{2x^2-(1+x^2)log(1+x^2)}/(1+x^2)x^2でした。
No.7345 - 2009/08/09(Sun) 20:49:33
☆ Re: 誘導無し / rtz
t＝x2＋1(＞1)として、
2x2−(1+x2)log(1+x2)＝2(t-1)−tlogt
g(t)＝2(t-1)−tlogtとおけば、g'(t)＝0⇔1−logt＝0⇔t＝e
よってg(t)はt＝eで最大値e−2をとり、t＞eで単調減少

x＝eのとき、t＝e2＋1＞e2
g(e2)＝-2＜0より、x＞eの範囲でg(t)＜0⇔f'(x)＜0
No.7347 - 2009/08/09(Sun) 22:22:01
☆ Re: 誘導無し / 数学が苦手な者
解決しました。ありがとうございました。
No.7360 - 2009/08/10(Mon) 03:01:29
★ 積分 / aki
こんばんは。
簡単なことですが質問お願いします(>_<)

∫x/(√(x＋1)＋1)dx ですが

√(x＋1)=t とおいてとくと
http://r.upup.be/?Al5RWomXdN
となるのですが答えは−x−1のところがただの−xだそうです。−1がありません。

なぜなのかさっぱりわからないので、どなたか教えて下さい。
お願いします。
No.7331 - 2009/08/08(Sat) 20:53:37
☆ Re: 積分 / ヨッシー
-1 は、積分定数に吸収されるからでしょう。
No.7332 - 2009/08/08(Sat) 21:13:37
☆ Re: 積分 / aki
なるほどそうですか…
本当にありがとうございます(>_<)
No.7374 - 2009/08/10(Mon) 17:37:07
★ 立体図形 / ハオ
よく立体図形の問題に於いて対称性より何何。という風な解答をよくみます。
ここで疑問なのですが、図形が対称性だと何が分かるのでしょうか？
又、対称性を学習出来る様な参考書があったら教えてください。
No.7325 - 2009/08/08(Sat) 20:02:30
☆ Re: 立体図形 / らすかる
＞図形が対称性だと何が分かるのでしょうか？
「図形が対称性」はおかしいです。
「図形が対称」や「図形が対称性を持つ」などのように使います。
図形が対称だと、それに対して得られるものも対称になりますので、
いちいち対称の部分について同じことを示す必要はないということです。

＞又、対称性を学習出来る様な参考書があったら教えてください。
対称性は特に大きく項目にするようなものではありませんので、
「対称性を学習するためのもの」はおそらくないと思います。
どんな図形が何に対して対称であるかをいろいろ考えてみれば
理解が深まると思います。
No.7336 - 2009/08/09(Sun) 11:38:16
☆ Re: 立体図形 / ハオ
回答感謝いたします。
これからも日々精進を続けいきたいと思います。
No.7426 - 2009/08/12(Wed) 15:04:19
★ グラフ / aki
こんばんは。
続けて失礼します(>_<)
お願いします。

http://r.upup.be/?8AFwzGeBjy
の(1)はできました。
(2)ですが、まずg'(x)を計算してその後どうすればいいかわからなくなってしまいました。
ヒントで(1)の式を分離するとあったので
http://q.upup.be/?hvBOWZx5yL
までできましたが、この分離したことで何ができるのか、何がやりたいのかがわからなくて止まってしまいました。
さっぱりわからないので、易しく教えて下さると有り難いです。
宜しくお願いします。
No.7316 - 2009/08/07(Fri) 23:23:17
☆ Re: グラフ / KINO
g ' (x) の符号変化を調べ，y=g(x) のグラフの概形を知るのが目的です。まさにそのために導関数を求めたのではないですか・・？？？
3b/2-f(x) が常に負ならば g(x) は単調に減少します。
3b/2 が f(x) の最小値より大きければ，g(x) は減少から増加に転じ，また減少するといった変化があります。
No.7322 - 2009/08/08(Sat) 10:38:28
☆ Re: グラフ / aki
確かにそうなのですが…

解答が
http://y.upup.be/?OELNPzaTMD
このようになっていて、なぜこの式変形から簡単にグラフの形が特定できたのかがわかりません。
すみませんが易しく教えて下さると有り難いです。
宜しくお願いします。
No.7326 - 2009/08/08(Sat) 20:13:27
☆ Re: グラフ / ヨッシー
グラフは、y=3b/2(ｘ軸に平行)と、y=f(x) を別々に書いています。
(1) の増減表というのは、x=4a で極小になると言うこと。
ｘ→a+0 で ∞ は、ｘ＝ａが漸近線であること
ｘ→∞　で ∞ は、ｘの大きい方向には、漸近線のようなものはなく
ずっと増えると言うこと
を表しています。

以上のことから、3b/2 が、f(x) の極小値よりも大きければ
KINO さんの書かれたような g(x) の増減になると言うことです。
No.7333 - 2009/08/08(Sat) 21:34:34
☆ Re: グラフ / angel
微分を勉強していれば、「増減を調べてグラフの概形を描く」という問題は経験があると思います。
ただ、今回は、a,bの条件次第で、g'(x) の推移が変わるため、y=g(x) のグラフの形が確定しません。
であれば、自分でパターンを分析して、それぞれでグラフの概形を調べてしまうのです。
パターンとしては、g'(x) の値が正か負か0かのレベルで考えればよいので、今回は3パターンです。
a,bに関わらず分かることは、lim[x→a+0]g(x)=+∞ と、lim[x→+∞]g(x)=0 ですね。添付の図の増減表では網掛けしています。
※lim[x→a+0]g'(x) と、lim[x→+∞]g'(x) も分かるのですが、使わないので表中では×にしています。
※増減表で a+0 や +∞ とあるのは、(片側)極限を表しています。

ということで、添付の図をご参照ください。
※なお、グラフの凹凸についてはどうなるか分かりません。図中のグラフはあくまで増減に絞って描いているので、凹凸が正しくない可能性もあることに注意してください。
※パターン3で、極大値がプラスになることは確定していますが、極小値の正負は分かりません。ただ、どちらであっても今回の問題を解く上では影響がないため、詳しく調査はしていません。
No.7335 - 2009/08/09(Sun) 00:28:33
☆ Re: グラフ / aki
わかりました、g'(x)の増減を考えるために3パターン考えられる
と考えればよかったのですね。
そこまでは分かったのですが、
angelさんの図の右にある二次曲線はどっから形が考えられたのでしょうか。
また、g'(x)≦0とまとめて2パターンにしてもよいのでしょうか？微分係数が瞬間的に0というのが増減表にできるのがわからないので…

また、ヨッシーさんのようにf(x)とy=3b/2の関係を図にして続きを考えて、
y=3b/2≦f(x)の最小値
のときは、常に単調減少のためg(x)<0の曲線を描き三点で交わることはない

y=3b/2>f(x)のときは二点交わるためにg(x)の増減を書くと極大値極小値が存在し、三点交わる直接がある

という答えでは○もらえますでしょうか？

宜しくお願いします(>_<)
No.7376 - 2009/08/10(Mon) 17:58:39
☆ Re: グラフ / angel
先にお断りを。
少し厳しいコメントになりますが、私が上に載せた図、というのは解答に載せるべきものではなく、頭の中で描いておく ( もしくは計算用紙にメモしておく ) いわば「前提知識」です。
※KINOさんや、ヨッシーさんのコメントも、akiさんがご覧になった模範解答も、この図が分かっているという前提で書かれているものです。改めて読み返してみると、そのことが分かると思います。

…という前置きを基に。

＞ 図の右にある二次曲線はどっから形が考えられたのでしょうか。

これは、増減表を素直にグラフに反映したものです。なお、二次曲線ではありません。
今回の問題では解答に描く必要がありません ( むしろ描いてはいけません ) が、グラフの描画を求められる問題は必ずありますから、できるようになっておく必要があります。不安があるなら、そういった問題を練習することをお勧めします。
※上のコメントで注釈を入れている通り、グラフの凹凸や、極小値の具体的な大きさについては情報がありませんので、完全なグラフは描けません ( なので解答に描いてはいけません ) が、概形をイメージするには十分なはずです。

＞ また、g'(x)≦0とまとめて2パターンにしてもよいのでしょうか？

今回の問題ではOKです。( 前のコメントはあくまで「前提」部分であって、直接解答に書くものではないため… )
ただし、一般的な話として、「一瞬だけ微分係数が0」という状況は理解しておくべきです。
微分係数の正負が切り替わる場合は、極小値 ( いわばグラフの谷底 )、極大値 ( いわばグラフの山頂 ) が現れますが、一瞬だけ0になる場合は停留値となります。
ちょうど、y=x^3 の原点部分のように、階段の踊り場のようなグラフ形状となります。
※あー、でも「停留値」という言葉そのものは習わないかも。
No.7392 - 2009/08/10(Mon) 22:43:55
☆ Re: グラフ / angel
＞ …(前略)…という答えでは○もらえますでしょうか？

ニュアンス的にはほぼOKなのですが。
一つには、なるべくツッコミ所の少ない表現にするよう心掛けること ( 抽象的な表現を避けること、また、グラフ上の位置関係だけでなく、関数や微分係数の具体的な条件にふれること ) と、もう一つは、極大・極小が出てくる時の説明を端折るのがちょっと不安、というところがあります。

＞ 常に単調減少のためg(x)<0の曲線を描き三点で交わることはない
これであれば、
・g(x)はx＞aの範囲で(常に)単調減少のため、曲線y=g(x)とx軸に平行な直線のx＞aの領域での交点は高々(多くとも)1個であり、題意を満たさない

といった感じ。
「曲線を描き」という表現が曖昧すぎるのでカットして別の言い回しに替えるのと、「3点で交わることはない」という単なる否定ではなく、「〜であり(のため)、題意を満たさない」という具体的な表現にするのがポイント ( 「題意」って便利な言葉です )

＞ 二点交わるためにg(x)の増減を書くと極大値極小値が存在し、三点交わる直接がある

これはせめて、
・g'(x)がx＞aの範囲で、xの増加につれ負→正→負と変化するため、g(x)には極大値と極小値がそれぞれ1個ずつ存在し、曲線y=g(x)とx＞aの領域で3点で交わる、x軸に平行な直線が存在する

でしょうね。g'(x)の正負と、極大値・極小値の個数に触れないと説得力が薄いです。
で、時間がなければこの表現でいきますが、「何で3点で交わる直線があるの?」というツッコミを受ける可能性はあるので、やや不安ではあります。
安全確実をめざすなら、私が載せた図のパターン3の増減表(除く、グラフ)を書いて、
　y＞(g(x)の極小値) かつ y＞0 かつ y＜(g(x)の極大値) の領域にあり、x軸に平行な直線は、曲線y=g(x)と3点で交わる。
　よって、3点で交わるx軸に平行な直線が存在するため、題意を満たす
のようにするかな、というところです。
※とはいえ、具体的に書きすぎてミスしたらかえって損なので、割とその時の気分次第です。
No.7396 - 2009/08/10(Mon) 23:18:57
☆ Re: グラフ / aki
ありがとうございます。
それは解答の記述ではないのですね、納得しました。

どうもありがとうございました。
No.7472 - 2009/08/15(Sat) 15:51:35
★ 共通解 / aki
こんばんは。
質問がありますお願いします。

x^2−3x−a＋2=0
と
x^2＋ax−2a−1=0がただ一つ共通解を持つ時定数aの値を求めよ

これでまず共通解をαとおき連立した2式のひきざんをし、α(a＋3)=a＋3
となりました。
あとはa＋3=0のとき、≠0のときを場合分けしてやる

という方法でやりましたが、あってますでしょうか？

一応答えはあいました。

宜しくお願いします！
No.7315 - 2009/08/07(Fri) 23:14:52
☆ Re: 共通解 / ヨッシー
最後に、求めたａを元の式に代入して、間違いなく１つだけが
共通であることを確認しましょう。
No.7317 - 2009/08/07(Fri) 23:42:53
☆ Re: 共通解 / aki
わかりました。
他の共通解を求めるような問題では、最後値を代入して確かめるけとをしていた記憶がないのですが、こういう場合はたいてい確かめをしないと減点されるのでしょうか？
No.7327 - 2009/08/08(Sat) 20:16:23
☆ Re: 共通解 / angel
勿論ケースバイケースではあるのですが、不安であれば確かめをした方が吉です。( 無駄な計算をしても、間違っていなければ減点にはならない )

今回は、「共通解がただ一つ」と問題で言われています。
ところが、共通解をαと置いて進めていった計算で、直接的に分かることは、「共通解があるとしたらどうなるか」だけです。

なので、共通解がある時の条件をはじき出した後で、更に「ただ一つかどうか」を調べて説明しないと不十分な解答になるわけです。
逆に、そういうしがらみがなければ、特に確かめを書く必要はありません。
※ただ、解答に書かなくても、こっそりメモ用紙で確かめをしておけば、ミスがないかどうかの確認にはなりますから、プラスです。( とはいえ、時間・スピードとのご相談 )
No.7350 - 2009/08/09(Sun) 23:21:11
☆ Re: 共通解 / aki
成る程です。
よくわかりました、これからは気をつけていきます。
ありがとうございました！
No.7377 - 2009/08/10(Mon) 18:11:45
★ 数え方のコツ / MANAMI
失礼致します。姪っ子(小4)に算数を教えているんですが、以下の4つの問題ですが、どうやって教えても納得してくれません。何かうまく教えてあげる方法がありましたらぜひ紹介していただけないでしょうか。お願いします。

(1)○から数えて△番目の数は？
小さい数の場合に具体的に数えてしまうので、大きい数(たとえば1005から数えて455番目の数)になると途端に分からなくなってしまいます。しかもたとえば10から数えて5番目の数を15と言ってしまいます。○+△-1の公式を教えても使ってくれません。
(2)(1)とは逆の、○の△前の数、というような後ろから数えると何番目(たとえば887の67前の数)みたいな問題になるともう全くわかってくれません。
(3)「0,1,2,3,…,2007と数を時計回りに並べます(0の右隣は1、左隣は2007)。576番の位置から1785番の位置まで、数は何個あるか。また67から894番目の数はなにか。」という問題にいたっては小さい数での考え方を大きい数にそのままあてはめるだけと教えてもどうしても理解してくれないです。
(4)「一本のまっすぐなリボンがあります。このリボンを42等分するためには何回きればよいか。」という問題と「左端に0、右端に2007と書かれた定規がある。0と1、1と2、…2006と2007というように数と数の間は全部でいくつあるか。また634から1988までにはいくつあるか。」という問題も、植木算の公式を教えたんですが、小さい数なら納得してくれるのに大きい数になると途端に分からなくなってしまいます。

さんすうで大事なのは公式の暗記だと思いますが、その暗記から全く逃げてしまっている感じです。将来が心配です。
No.7307 - 2009/08/07(Fri) 18:20:19
☆ Re: 数え方のコツ / ヨッシー
>さんすうで大事なのは公式の暗記
ではありません。

この問題で大事なのは
自分のやり方で解いてみること
自分で規則を見つけること
です。

>10から数えて5番目の数
程度なら、ちゃんと指を折りながら、
10,11,12,13,14
と答えさせましょう。
そのうち、「指が２本折れてるのに１１だぁ？」と
気づくでしょう。
やがて、
１番目→１０
２番目→１１
３番目→１２
という関係から「９に何番目を足すんだ」と
気づくでしょう。
もちろん、自然とは気付けない子もいますから、導いて
あげないといけません。

大きい数や、応用はその先にあります。

公式は覚えるものではなく、自分で作るものです。
No.7308 - 2009/08/07(Fri) 18:46:35
☆ Re: 数え方のコツ / angel
公式を徹底させることで算数/数学の実力が上がるなら、苦労はいらないですよ。
何より、算数/数学ほど「暗記」が役に立たない教科もないでしょう。苦労して暗記したことなど、忘れるだけなのです。
※「分数の計算…忘れてしまってできない」などというセリフが大人になって平気で出てくるようになるわけで

小さい数が対象ならできるけれど、大きい数になると考えられない、というのはよくある話ですね。リアリティが無くなり、イメージが持てなくなるのでと思います。
※中学以降でも、数字が文字に代わって混乱する…とか、類似の話でしょうね。

大事なのはリアリティを持たせることだと私は思っています。そのためには現実問題として、その子を巻き込むこと。「算数の問題」と思っている内は、解けても解けなくても割りとどうでも良いので、ゲームでもお遣いでもなんでも良いから真剣に考えざるを得ない状況に追い込むことでしょうね。
※いいじゃないですか、一度数百位の数を自力で数えても。
一番重要なのは、結局のところモチベーションです。

まあ、私なら「人に教える（やる気を出させる）」には向いていないので、プロに任せることを検討しますけど…。
No.7319 - 2009/08/08(Sat) 02:11:16
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