井上です。文系大学1年ですが、どうしても分からない数学の問題が2つあります。
是非お願いします。
１．
２つの正の整数m,nに対して最大公約数をg,最小公倍数をℓとし、
log3（底）ℓ-log3（底）g=2+3log3（底）2
log2（底）ℓ+log2（底）g=7+4log2（底）3
が成立する場合、m,nの値を求めよ（ただしg<m<n<ℓ）
２．
x,y,zを正の実数、i,j,kを正の整数とし、
x^i=y^j=z^k=xyz, 1<=i<=j<=k
が成立する場合、この条件を満たすi,j,kをすべて求めよ
という問題です。
指数関数や対数関数を学校習ったので、
それを使うべきなのかもしれませんが、
結局やり方がわからず、一つずつあてははめて、苦労しています。
|
No.4675 - 2009/01/18(Sun) 23:14:42
| ☆ Re: 初めまして / にょろ | | | とりあえず1
log_{3}l-log_{3}g=log_{3}(l/g)
2+3log_{3}2=2log_{3}3+3log_{3}2
=log_{3}9+log_{3}8=log_{3}72
これよりlog_{3}(l/g)=log_{3}72が得られます。
l/g=72
二つめの式も同様に
mlog_{p}n=log_{p}n^mです。
あとは連立方程式
２はなんか僕の問題の理解がおかしいのかな?
全てのx,y,zについて成立するんですか?
|
No.4676 - 2009/01/19(Mon) 00:08:38 |
| ☆ Re: 初めまして / 井上明 | | | にょろさんへ
夜分遅くの質問にもかかわらず、
本当にありがとうございます。
１．に関して、早速アドバイスを参考に、やってみます。ありがとうございます。
２．はすべてのx,y,zについて成立させる必要はなく、任意の
正の実数を当てはめ、xのi乗などを作っていいということです。その状態で、条件を満たすi,j,kを求める問題です。
お手数をお掛けしますm(_ _)m
|
No.4685 - 2009/01/19(Mon) 11:56:58 |
| ☆ Re: 初めまして / にょろ | | | そうするとですね
x=y=z=1の時全ての自然数(i,j,k)で成り立っちゃうんですけど^^;
一応
z^k=xyz
等を辺々掛けて
x^iy^jz^k=x^3y^3z^3が出てきますが…
これがz,y,zの恒等式ならば
i=j=k=3と出ます。
これは任意の正数x,y,zについて成り立ちます。
|
No.4695 - 2009/01/19(Mon) 13:53:44 |
| ☆ Re: 初めまして / 井上明 | | | にょろさん
遅くなってすみません
自分も分からなくなってしまいました(><)
にょろさんのアドバイスのおかげでとき方が分かりましたが、
でも、確かに出題形式を見ると、x,y,zもi,j,kも正の実数、正の整数、としかないです。（ちなみに問題の下にヒント：「式の対数を考える」と書いてありました。）
この場合って、
任意のx,y,zを当てはめた場合、x=y=z=1や、x=8,y=4,z=2,i=2,j=3,k=6 etc... と
すべてのx,y,zが成り立つ場合、
これらを場合分けするというのは、どうなんでしょうか？
答えとして妥当なのでしょうか？
|
No.4708 - 2009/01/20(Tue) 00:56:09 |
| ☆ Re: 初めまして / にょろ | | | 普通x,y,z,wは変数で使います。
〜を求めよや定数〜、〜の条件は?
とない限り指定された範囲内で自由に動けると思います。
といっても問題作ったことはないので詳しいことは分かりません。ごめんなさい
|
No.4715 - 2009/01/20(Tue) 14:55:12 |
| ☆ Re: 初めまして / 井上明 | | | いえいえ、本当に何度もありがとうございます。
何度もお手数をお掛けして、本当に申し訳ありませんが、
今日、
問題の意図を聞いたところ、
どんな正の実数x,y,zでも
x^i=y^j=z^k=xyz, 1<=i<=j<=k
が成り立つ様な条件を満たす、
正の整数i,j,kを求めるのだそうです。
本当に何度もすみませんm(_ _)m
|
No.4721 - 2009/01/20(Tue) 23:44:51 |
|
