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★ (No Subject) / 高３
Σ（k=1〜n)k^mの求め方を教えてください。帰納法、二項定理を使うようなのですが、分かりません。どなたか教えてください。
No.7079 - 2009/08/01(Sat) 19:14:33
☆ Re: / angel
m の具体的な指定はないのでしょうか? まさか任意の m についてですか?

そうすると、
　1^1+2^1+3^1+…+n^1=1/2・n(n+1)
　1^2+2^2+3^2+…+n^2=1/6・n(n+1)(2n+1)
　1^3+2^3+3^3+…+n^3=1/4・n^2・(n+1)^2
　…
を全部もとめるような話になってしまうのですが、そういう問題なのでしょうか?
No.7093 - 2009/08/02(Sun) 00:50:59
★ 面積 / aki
こんばんは。
すみませんが教えて下さい。
y=x^2/3
直線x=8 及びx軸によって囲まれる部分の面積が関数y=ax^3(a>0)のグラフで2等分されるとき定数aの値を求めよ

まずy=ax^3が(8､2)を通る時を考えるとa=1/256 になりました。
このとき
∫[0→8]x^2/256 dx=4なので全体の面積12の半分より少ないため、曲線二つの交点は8どうしてでしょうか。
簡単なことをお聞きして本当に申し訳ありませんがお願いします。
No.7078 - 2009/08/01(Sat) 18:26:09
☆ Re: 面積 / angel
なんか、色々計算が合いません。
「y=x^2/3」というのは、y=x^(2/3) のことですよね。
そうすると添付した図のような話になっていると思うのですが…。

問題と計算結果を確かめてみて下さい。
No.7098 - 2009/08/02(Sun) 01:59:53
☆ Re: 面積 / aki
すみませんy=x^(1/3)でした(>_<)
y=3√xのことです。
申し訳ありません！
お願いします(>_<)
No.7103 - 2009/08/02(Sun) 13:30:08
☆ Re: 面積 / angel
ああ、y=x^(1/3) ですね。
確かに、そうすると他の計算結果は全てあっていますね。

…そうすると、先に挙げた図と大して変わらないのですが、添付の図のような状況になっていますから、確かめてみて下さい。

※ちゃんと、こういうグラフを描いて考えていますよね? ( 図をこちらに見せる必要はありませんが )
No.7119 - 2009/08/02(Sun) 22:29:20
☆ Re: 面積 / aki
そうですね、なんだか色々勘違いをしていたようです。
パニックにならないよう頑張ります。
簡単なことを聞いてごめんなさいありがとうございました(>_<)
No.7139 - 2009/08/03(Mon) 13:31:26
★ 合同式 / 桂
１９ｘ−６ｙ＝１の整数解を合同式で求めたいのですが。いきなりｘ≡１（mod6)となるのが分かりません。なぜそうなるのか教えてください。
No.7066 - 2009/08/01(Sat) 15:27:40
☆ Re: 合同式 / angel
19x-6y=1
⇒ 19x-6y≡1 (mod 6)
⇔ 1・x - 0・y ≡ 1(mod 6)　　(∵19≡1 (mod 6), 6≡0 (mod 6))
⇔ x≡1 (mod 6)

ということで、x≡1 (mod 6) が必要条件であることが分かります。
No.7068 - 2009/08/01(Sat) 15:42:31
☆ Re: 合同式 / 桂
必要条件ということは
ｘ≡１よりｘ＝６ｋ＋１（ｋは整数）
と答えを書くのはまだ早いということですか？
また、十分性を確認する方法はあるのですか？
No.7665 - 2009/08/29(Sat) 00:13:53
★ 二次関数 / 小次郎
関数 f(x)=(x^2-4x)^2-10(x^2-4x)+20について

(1)t=x^2-4xとおくとき、tのとりうる値の範囲は？

(2)f(x)の最小値はMでありそのxの値はGである。MとGを答えよ。

解答解法の記載をよろしくお願いします。
No.7061 - 2009/08/01(Sat) 13:21:34
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー
(1)
ｔ＝(x-2)^2-4 より t≧-4　等号は x=2 のとき。

(2)
　f(x)＝t^2-10t+20
と書けるので、ｔについての2次関数の、 t≧-4 における
最小値を求める問題となります。
　f(x)＝(t-5)^2-5
より、ｔ＝５ のときに、最小値 -5 をとります。(M=5)
ｔ＝５ となるのは、
　x^2-4x=5
より
　(x-5)(x+1)=0
　x=-1 または x=5　(G=-1 または G=5)
No.7070 - 2009/08/01(Sat) 16:58:43
☆ Re: 二次関数 / 小次郎
理解できました！！
ありがとうございます。
No.7105 - 2009/08/02(Sun) 15:18:32
★ 体積 / aki
こんばんは。
すみませんが質問お願いします。

y=x^2−ax(a>0)とx軸で囲まれた図形をx軸の周りに一回転してできる立体の体積をV1
y軸の周りに一回転してできる立体の体積をV2とする。
V1=V2となるように定数aを求めよ

このy軸回転の方がどう考えるかわかりません。
簡単なことを聞いて申し訳ありませんが教えて下さい。
No.7058 - 2009/07/31(Fri) 22:00:37
☆ Re: 体積 / angel
回転させたイメージを描くことです。

y軸を軸として、軸に垂直な切断面を考えることになります。
図のように、y=t で切った場合、半径βの円から半径αの円を取り除いた形が切断面となります。
なお、α,βは、y=t, y=x^2-ax の xの解 ( 早い話、二次方程式 x^2-ax-t=0 の解 ) であり、α＜βであることに注意してください。
※敢えてα(t), β(t) とは書きませんが、α,βはtの関数です

後は、β-α=√( (β-α)^2 )=√( (α+β)^2-4αβ ) であることに注意すれば、切断面の面積を α,βの対称式で表すことができ、そこから t の式として表せます。
※二次方程式を直接解いて値を求めても良いです。

最後に、定積分 ∫[tの範囲] (切断面の面積)dt を計算すれば答えになります。
No.7067 - 2009/08/01(Sat) 15:38:01
☆ Re: 体積 / aki
やっとできました！
切断面を考えるんですね。ありがとうございました。
No.7071 - 2009/08/01(Sat) 17:03:55
★ 不等式 / aki
こんにちは。
質問お願いします。

K>0のとき
∫[K〜K＋1]1/xdx <1/K
を示せ
これを考える際、まず普通に右辺ひく左辺をf(x)とおいて考えようと思いましたが、うまくいきそうもありませんでした。
答えをみたら区分求積的な考え方?をするみたいです。
1/x≦1/K にインテグラルをつけて示すそうです。このとき等号がついているのに、x=Kのときのみ等号成立なので解答では等号をとれるそうなのですが、これがわかりませんでした。
どなたか教えて下さい。
No.7049 - 2009/07/31(Fri) 15:40:10
☆ Re: 不等式 / 七
ｘはK〜K＋1なので
つねにｘ＝ｋ とはいえないからだと思いますが…
No.7054 - 2009/07/31(Fri) 17:28:56
☆ Re: 不等式 / aki
あ、そうですね…
ありがとうございます…

また、右辺ひく左辺をf(x)と置く方法ではできないのでしょうか？
No.7056 - 2009/07/31(Fri) 17:52:51
☆ Re: 不等式 / X
xは左辺の定積分に隠れているので変数にはできません。
kを変数と見て
f(k)=∫[k→k+1]dx/x-1/k (A)
と置いてf(k)<0を証明する、という方針であればできます。

(A)より
f'(k)={1/(k+1)-1/k}+1/k^2
={k^2-k(k+1)+(k+1)}{(k+1)k^2}
=1/{(k+1)k^2}
∴k>0よりf'(k)>0ゆえ
f(k)は単調増加 (B)
更に
f(k)=log(1+1/k)-1/k
∴lim[k→∞]f(k)=0 (C)
(B)(C)よりk>0のときf(k)<0
No.7057 - 2009/07/31(Fri) 20:34:15
☆ Re: 不等式 / aki
(A)は
f(K)=1/K＋log|K/K＋1|
でしょうか？
それでやると
f'(K)=−1/K^2(K＋1)
で単調減少になってしまったのですが(>_<)
すみませんまた教えて下さい(>_<)
No.7059 - 2009/07/31(Fri) 22:08:33
☆ Re: 不等式 / angel
単調減少であっています。
f'(k)＜0 かつ lim[k→+∞] f(k)=0 のため f(k)＞0 です。

つまり、kの増加につれ、どんどん f(k) の値が減っていっても、0 までは到達しない、ということで f(k) が常に 0 よりも大きくなっている事を説明しているわけです。

※参考として、g(t)=f(1/t) と置けば、lim[t→+0] g(t)=0 かつ g'(t)＞0 (単調増加) ということで、前にあった質問と同じパターンに持ち込めます。
No.7065 - 2009/08/01(Sat) 14:57:32
☆ Re: 不等式 / aki
わかりました、ありがとうございます。
ただ極限だけわからなかったのですがlogK/(K＋1)の極限が0にならなくて、log{1＋−1/(K＋1)}と考えるとlog0に近付くので−∞になってしまいます。

教えて下さい(>_<)
No.7072 - 2009/08/01(Sat) 17:18:33
☆ Re: 不等式 / angel
lim[k→+0] log(k/(k+1)) ではないですよ。
lim[k→+∞] log(k/(k+1)) ですよ。
XさんのNo.7057や、私のNo.7065の説明を再度読み返してください。( No.7065の「※参考として…」の部分は取り敢えず置いておいてください )

そうそう、忘れていました。
Xさんは、f(k)=(元の不等式の左辺)-(元の不等式の右辺) でやっていますから、f(k)は単調増加、f(k)＜0 という話になっていますが、
akiさんは丁度逆でやっていますから、f(k)は単調減少、f(k)＞0 という話になっています。
どちらでやっても良いですが、そこの所を読み替えてください。
No.7095 - 2009/08/02(Sun) 01:00:22
☆ Re: 不等式 / aki
わかりましたできました…
ありがとうございます。

ちなみに単調減少でやった場合はlim[x→0]f(x)は一応示さなくてよいのでしょうか？
単調減少がちゃんとずっと続くかが気になったのですが…
ちなみにやってみると∞＋−∞になるでしょうか？答えがうまく求められませんでした…

すみませんがそこだけお願いします…
No.7106 - 2009/08/02(Sun) 15:18:42
☆ Re: 不等式 / X
y=f(x)のグラフをイメージしてみて下さい。
f(x)が単調減少で、かつ
lim[x→∞]f(x)=0
の場合、x>0においてy=f(x)のグラフはx軸の上側にあります。
このとき
lim[x→0]f(x) (A)
は正になります(負だと矛盾します)が、その値が
f(x)の符号に影響することはありません。
ということで(A)の計算は必要ありません。
No.7124 - 2009/08/02(Sun) 23:36:02
☆ Re: 不等式 / aki
わかりました、xさんありがとうございました。
No.7146 - 2009/08/03(Mon) 15:08:03
★ お願いします。 / 悠

初めまして。自分なりに解いたのですが、答えが合いません・・・教えてください。

点Oは原点、曲線lは関数y=ax^2（a>0）を表している。点P、Qはともに曲線ｌ上にあり、x座標の値をそれぞれp,qとする。ただし、p,qはともに正の数であり、p<qとする。
　
q=p+2とする。xがpからqまで増加するときの変化の割合が5aであるとき、pの値を求めなさい。


このとき、((a(p+2)^2)-(ap^2))/((p+2）-p)=5aという式に当てはめるのではないのでしょうか？

ちなみに、答えはp=3/2です。

よろしくお願いします。

（中3）
　
No.7048 - 2009/07/31(Fri) 14:44:01
☆ Re: お願いします。 / 七
> このとき、((a(p+2)^2)-(ap^2))/((p+2）-p)=5aという式に当てはめるのではないのでしょうか？

そうです。答えはp=3/2です。
No.7055 - 2009/07/31(Fri) 17:38:10
☆ Re: お願いします。 / 悠
ありがとうございました。

単純なケアレスミスでした；；
No.7060 - 2009/08/01(Sat) 07:27:30
★ 何度もすみません / rokku
xの二次方程式ｘ＾２−２ax＋ａ＾２−２a−１＝０が解をもつとき、その解のとりうる値の範囲を求めよ

何度もすみません
教えてください、お願いします
No.7036 - 2009/07/30(Thu) 21:11:27
☆ Re: 何度もすみません / X
問題の２次方程式を(A)とします。

まず(A)の解の判別式をDとすると(A)は実数解を持つので
D/4=a^2-(a^2-2a-1)≧0
∴a≦1/2 (B)
よって求めるxに対する条件は(A)をaの方程式をしてみたときに
(B)の範囲に少なくとも一つ解を持つ条件ということになります。
そこで
f(a)=x^2-2ax+a^2-2a-1
つまり
f(a)=a^2-2(x+1)a+x^2-1
と置いて、横軸にa、縦軸にf(a)を取ったグラフを描いて
その条件を求めてみましょう。
No.7037 - 2009/07/30(Thu) 21:29:53
☆ Re: 何度もすみません / rokku
Xさん、虚数解はどうなるのでしょうか？
No.7039 - 2009/07/30(Thu) 21:32:48
☆ Re: 何度もすみません / X
問題文中に
その解のとりうる値の範囲を求めよ
とあることから、問題の二次方程式は実数解を持つということになります。
(複素数に大小関係は定義されていません)
No.7041 - 2009/07/30(Thu) 21:35:28
☆ Re: 何度もすみません / rokku
そうなんですか！ありがとうございました
No.7042 - 2009/07/30(Thu) 21:37:36
★ また質問があります / rokku
3点Ｏ（０、０）、Ａ（１、０）、Ｂ（０、１）、Ｃ（１、１）に対して、点Ｐ（α、β）が次の図形の周と内部を動くとき点Ｑ（α＋β、αβ）の動く範囲をそれぞれ図示せよ。
（１）三角形ＯＡＢ（２）四角形ＯＡＣＢ
教えて下さい、お願いします
(高校 2 年)
No.7033 - 2009/07/30(Thu) 19:29:35
☆ Re: また質問があります / ヨッシー
線分ＯＡ上の点の座標は、(t,0) (0≦t≦1) と書けるので、Ｑの座標は、(t,0)
線分ＯＢ上の点の座標は、(0,t) (0≦t≦1) と書けるので、Ｑの座標は、(t,0)
線分ＡＢ上の点の座標は、(t,1-t) (0≦t≦1) と書けるので、Ｑの座標は、(1,t-t^2)

さらに、
線分ＡＣ上の点の座標は、(1,t) (0≦t≦1) と書けるので、Ｑの座標は、(t+1,t)
線分ＢＣ上の点の座標は、(t,1) (0≦t≦1) と書けるので、Ｑの座標は、(t+1,t)

以上より、点Ｐが
線分ＯＡ上を動くとき、点Ｑは線分ＯＡ上を動く。
線分ＯＢ上を動くとき、点Ｑは線分ＯＡ上を動く。
線分ＡＢ上を動くとき、点Ｑは線分ＡＤ上を動く。ただし、Ｄ(1,1/4)
線分ＡＣ上を動くとき、点Ｑは線分ＡＥ上を動く。ただし、Ｅ(2,1)
線分ＢＣ上を動くとき、点Ｑは線分ＡＥ上を動く。ただし、Ｅ(2,1)


No.7034 - 2009/07/30(Thu) 20:25:31
☆ Re: また質問があります / rokku
すみません。点Eというのは自分で置くのでしょうか？
No.7035 - 2009/07/30(Thu) 20:42:51
☆ Re: また質問があります / ヨッシー
点Ｄもおきますよ。
別に、ＤとかＥは設定しなくても良いのですが、
点Ａと点(1,1/4) を結んだ線分上を動く。よりは、
線分ＡＤ上を動く。とした方が、表現がそろうので、
そうしただけです。
No.7038 - 2009/07/30(Thu) 21:31:17
☆ Re: また質問があります / rokku
ありがとうございました
No.7040 - 2009/07/30(Thu) 21:33:27
☆ Re: また質問があります / angel
横から失礼します。
「次の図形の周と **内部** を動くとき」とありますから、答は直線/曲線ではなく、直線/曲線で囲まれた領域になると思うのですが…?
No.7045 - 2009/07/31(Fri) 00:14:44
☆ Re: また質問があります / ヨッシー
あ、そうですね。
では、やり直し(^^;

(1)△ＯＡＢの周および内部の点の座標は、
　(s,t) (0≦s, 0≦t, s+t≦1)
と書けるので、Ｑの座標は
　(s+t, st)
　x=s+t, y=st と置くと、相加相乗平均より
　√st≦(s+t)/2
　√ｙ≦x/2
　y≦x^2/4

図の添付が１個しか出来ないので、(2) は↓次。
No.7046 - 2009/07/31(Fri) 08:31:46
☆ Re: また質問があります / ヨッシー
(2)
四角形ＯＡＣＢの内部の点の座標は、
　(s,t) (0≦s≦1, 0≦t≦1)
と書けるので、Ｑの座標(s+t, st)は、
ｙ座標の最大値は、同じく　y≦x^2/4 ですが、
最小値は、0≦x≦1 では、ｙ＝０
1≦x≦2 では、上記の ｙ＝ｘ−１となります。
No.7047 - 2009/07/31(Fri) 09:07:49
★ (No Subject) / 夕暮れ
コサインθ＝（１＋√５）/4からθ＝π/5を求めるのに３辺を１＋ｘと１と１＋ｘとした二等辺三角形を使うみたいなのですが、この方法がなぜθ＝π/5のときだけできるのかがわかりません。どうか教えてください。
No.7029 - 2009/07/30(Thu) 06:35:30
☆ Re: / ヨッシー
等辺をはさむ角が、36°のとき、他の角は、72°＝36°の2倍
になるので、図のように、72°の２等分線を書くと、
△ＡＢＣと△ＢＣＤが相似な二等辺三角形になり、
ＢＣ＝１、ＤＣ＝ｘ とすると
ＢＣ＝ＢＤ＝ＡＤ＝１　より、ＡＢ＝ＡＣ＝１＋ｘ
となります。
こういう図が描けるのは、３つの角の比が
　１：２：２＝36°：72°：72°
のときだけです。

それにしても、cosθ＝(1+√5)/4 から、いきなりこの図を描くのは、
無理でしょう。
まるで、最初から答えを知っているかのようです。

少し考察が必要ですね。
No.7031 - 2009/07/30(Thu) 08:24:10
☆ Re: / ヨッシー
これも、いささか答えを知ってからの解答ですが、
cosθ＝(1+√5)/4 に対して、
cos2θ＝2cos^2θ−１＝(√5-1)/4
cos3θ＝4cos^3θ−3cosθ＝(1-√5)/4
ここまでで
　１＞cosθ＞cos2θ＞０＞cos3θ
　cos2θ＝-cos3θ
の関係があることがわかります。
θを　0≦θ≦π/2 の範囲の角とすると、図のように
2θと3θがπ/2 をはさんで対称な位置にあります。
よって、(2θ+3θ)/2＝π/2 となり、
　θ＝π/5
となります。
No.7032 - 2009/07/30(Thu) 13:26:07
★ (No Subject) / 夕暮れ
平面状にｙ＝１/xを考える。あ、ｂ、ｃ、ｄをｄ＜ｃ＜０＜ｂ＜aを満たす数とし曲線上の四点Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓをそれぞれｘ座標がa,b,c,dであるような点としたとき４角形ＰＱＳＲが長方形になっているとする。
１）ｂ、ｃ、ｄをaを用いて表せ。

について。４角形ＰＱＳＲが長方形である⇔ベクトルＰＱ＝ベクトルＲＳ、かつベクトルＰＱ垂直ベクトルＰＲと回答にはあるのですが、それだけで長方形といえるのでしょうか。

ちなみに私はベクトルＰＱ垂直ベクトルＰＲ、べくとるＰＲ垂直ベクトルＲＳ、ベクトルＲＳ垂直ベクトルＳＱ、ベクトルＳＱ垂直ベクトルＰＱとしましたがうまくいきませんでした。
No.7028 - 2009/07/30(Thu) 05:08:26
☆ Re: / rtz
＞それだけで長方形といえるのでしょうか
言えます。

↑PQ＝↑RS⇔PQ//RS かつ PQ＝RS
つまりこの時点で□PQSRが平行四辺形であることが分かりますので、
あとはどこかの垂直条件を付加すれば長方形になりますね。


＞垂直4つ
↑PQ⊥↑PR
⇔(b-a)(c-a)＋{(1/b)-(1/a)}{(1/c)-(1/a)}＝0
⇔a2bc＝-1
同様にb2ad＝c2da＝d2bc＝-1

(abcd)4
＝(a2bc)(b2ad)(c2da)(d2bc)
＝1
⇔abcd＝1(a,b＞0、c,d＜0)

ここから出せますよ。
No.7030 - 2009/07/30(Thu) 06:52:30
★ 不等 / aki
こんばんは。
質問お願いしたいです。
0≦x≦1/3のとき
1＋x^2≦1/(1−x^2)≦1＋9x^2/8
が成り立つことを示せ
これがさっぱり何から考え始め、手を付ければいいかわかりませんでした、本当に悲しくなります。

なにをどう考え始めればいいのか教えて下さい。
No.7020 - 2009/07/29(Wed) 23:43:56
☆ Re: 不等 / angel
いや、まあ、やり方は色々です。
形として、「f(x)≦g(x)≦h(x) を示せ」といわれているので、
「f(x)≦g(x)を示す」「g(x)≦h(x)を示す」という2種類の問題が同時に出たのと同じことです。

最近微分の問題をやっているようなので、微分を使って増減を調べても良いです。
また、1/(1-x^2) に着目すると、分母が正なので、分母を払って ( 全体に (1-x^2) をかけて ) しまえば、形がわかり易くなりますね。
※更に、x^2 ばかり出てくるので、y=x^2 とでも置いて y のみの形に置き換えれば…

色々試す内に方針が定まる、というのも良くある話なので、まずは計算してみる事です。
※何も計算を試さずに解法が見える人は、そうなかなかいないので…
No.7022 - 2009/07/29(Wed) 23:57:38
☆ Re: 不等 / aki
そうですね、わかりました！
なんだか難しいことを考えてしまっていましたが、普通に二つの式を作って考えるのもできるんですよね。
パニクってしまいます。
ありがとうございました(>_<)
No.7050 - 2009/07/31(Fri) 15:51:04
★ 中二です。 / かたまん
△ABDと△ACEはともに正三角形である。角Xの大きさを求めよ。


分からないんで説明付きで教えてください。
お願いします。
No.7014 - 2009/07/29(Wed) 22:55:32
☆ Re: 中二です。 / ヨッシー

△ＡＥＢと△ＡＣＤは合同です。
これが、何度回転すればお互いに重なるかを考えれば、
その角が求める角度です。
No.7018 - 2009/07/29(Wed) 23:39:27
☆ Re: 中二です。 / angel
正三角形があるおかげで、至る所に同じ長さ、同じ角度(60°)が現れるので、合同な図形ができているものです。それを見つけるのが第一歩。
今回は、△ADC≡△ABE ちょうど△ADCを??°回転させると△ABEに移る、つまりDCとBEは??°の角をなしているので、x=??°と分かります。( これはヨッシーさんの説明と同じです )

この説明が気持ち悪ければ、DCとBEの交点をXとでも置いて、□ADXEに着目してください。△ADC≡△ABEを利用すれば、内角の和の計算から、∠DXE を求めることができます。
そこから、x=180°-∠DXE でも良いです。
No.7019 - 2009/07/29(Wed) 23:42:49
★ 軌跡 / rokku
放物線y＝ａｘ＾２（ａ≠０）上を点Ｐ、Ｑが
∠ＰＯＱ＝９０°を満たしながら動くとき、線分ＰＱの中点Ｒはどのような曲線を描くか、その軌跡を求めよ。ただし、Ｏは原点とする。
　　
この問題を教えて下さい。おねがいします。
No.7011 - 2009/07/29(Wed) 20:06:33
☆ Re: 軌跡 / rokku
高２です
No.7012 - 2009/07/29(Wed) 21:04:15
☆ Re: 軌跡 / ヨッシー
Ｐの座標を(ｔ，ａｔ2) とすると、ＯＰの傾きは
ａｔ であるので、それと直交するＯＱの傾きは -1/at
よって、直線ＯＱの式 ｙ＝−ｘ/ａｔ を　ｙ＝ａｘ2
に代入して、
　ａｘ2＋ｘ/ａｔ＝０
　ｘ(ａｘ＋１/ａｔ)＝０
よって、Ｑの座標は(-1/ａ2ｔ，1/ａ3ｔ2)
ＰＱの中点Ｒの座標は、
　((ｔ−1/ａ2ｔ)/2，(ａｔ2＋1/ａ3ｔ2)/2)
　＝((ａ2ｔ2−1)/２ａ2ｔ，(ａ4ｔ4＋1)/２ａ3ｔ2)
ｘ＝(ａ2ｔ2−1)/２ａ2ｔ
ｙ＝(ａ4ｔ4＋1)/２ａ3ｔ2
として、ｔを消去して、ｙ＝２ａｘ2＋1/a
となります。
No.7016 - 2009/07/29(Wed) 23:28:55
☆ 別解 / angel
P(α,aα^2), Q(β,aβ^2) ( α≠β、α≠0、β≠0 ) というように置くと、P,Qの扱いが対等になることで、結果α,βの対称式を使ったわかり易い計算もできます。

OP,OQの傾きはそれぞれ aα, aβ のため、OP⊥OQ から (aα)(aβ)=-1
すなわち、αβ=-1/a^2
PQの中点Rを(t,s)と置くと、t=(α+β)/2, s=(aα^2+aβ^2)/2
これより、
　α+β=2t
　s=a/2・(α^2+β^2)=a/2・( (α+β)^2-2αβ ) = 2at^2+1/a
この時点で、軌跡が y=2ax^2+1/a であることが分かります。

最後に、t の範囲ですが、α,βがuの2次方程式 u^2-2tu-1/a^2=0 の解となることから考えます。
この方程式は、t の値に関わらず、必ず正・負の実数解を持ちますから、裏を返せば t は任意の実数値を取りえます。
ということで、めでたく、軌跡は y=2ax^2+1/a の全体であることが分かりました。
No.7044 - 2009/07/30(Thu) 23:40:03
★ 高校三年の問題です！教えてください！ / monta
問題：周囲が一定の扇形の面積を最大にするには、中心角をいくらにすればよいか求めよ。
答えは、２πとわかっているのですが、詳しい解答がわかりません。
教えてください。
できれば、わかりやすく解説してくれるとありがたいです。
よろしくお願いします。
No.7007 - 2009/07/29(Wed) 14:07:35
☆ Re: 高校三年の問題です！教えてください！ / ヨッシー
周囲の長さをＬとします。
半径をｒ(０＜ｒ＜Ｌ/(２＋２π)) として、面積Ｓを計算すると、
弧の長さは、Ｌ−２ｒ なので
　Ｓ＝(1/2)ｒ(Ｌ−２ｒ)
　　＝−ｒ^2＋(L/2)ｒ
　　＝−(ｒ−L/4)^2＋L^2/16
Ｓの最大値は、ｒ＝L/4 のとき L^2/16。
このとき、弧の長さは、
　Ｌ−2L/4＝Ｌ／２
中心角は、Ｌ／２÷ｒ＝２

中心角２πだと、全円ということになります。
このとき、半径にあたる部分の長さは０と考えると、
半径は　Ｌ/２π　面積は、π(Ｌ/２π)^2＝Ｌ^2/４π＞L^2/16
で、確かにこちらのほうが面積は大きいですが、こういう
趣旨の問題なのでしょうか？
No.7008 - 2009/07/29(Wed) 14:33:08
☆ Re: 高校三年の問題です！教えてください！ / monta
わかりやすい解説ありがとうございました。
No.7009 - 2009/07/29(Wed) 14:56:21
☆ Re: 高校三年の問題です！教えてください！ / ヨッシー
あれ？
結局、答えは、２なのか２πなのかどっちでしょう？
No.7010 - 2009/07/29(Wed) 15:51:44
★ (No Subject) / kinburiy
ねじれの位置にある２直線間の最短距離はそれらの両方に直行する線分で与えられる。という事実があるのですが、これは丸暗記するしかないのでしょうか。何か納得行く説明があれば教えてほしいです。
No.7002 - 2009/07/28(Tue) 22:11:29
☆ Re: / らすかる
一方の直線を含み他方の直線に平行な平面と、
もう一方の直線を含み他方の直線に平行な平面を考えてみてください。
最短距離はこの平面の間隔つまり平面に直交する線分ですから、
直線にも直交することになりますね。
No.7003 - 2009/07/28(Tue) 22:17:54
☆ Re: / kinburiy
納得しました！ありがとうございます！
No.7004 - 2009/07/29(Wed) 06:41:22
★ 各位の和 / kalva
自然数nの各位の和をS(n)で表すことにする。この時,連続する2つの自然数のうち,少なくとも一方はある自然数nによりn+S(n)の形で書けることを示せ。


よろしくお願いします。
No.6996 - 2009/07/28(Tue) 18:53:28
☆ Re: 各位の和 / ヨッシー
f(n)＝n+S(n) と置きます。
n → n+1 で繰上りがないときは、
　f(n+1)−f(n)＝２
m桁上に繰り上がるとき（たとえば、9→10 や 29→30 は1桁上、99→100 や 399→400 は2桁上）は、
　f(n+1)−f(n)＝−(9m-2)
つまりf(n) で与えられる数列は、増えるときは２ずつ増え、
10回に１回、大きく減ります。
一方、ｎ→∞ のとき f(n)→∞ なので、与えられた自然数ａ、ａ＋１を、
増えながら通過するところが必ずあり、増え幅は２なので、
ａかａ＋１ のどちらか一方にf(n) が一致します。
No.7005 - 2009/07/29(Wed) 08:39:12
☆ Re: 各位の和 / kalva
理解できました！ありがとうございます。
No.7006 - 2009/07/29(Wed) 10:07:41
★ 命題 / 桜　高3
こんにちは。
いつもありがとうございます。
よろしくお願いいたします。

実数aについて条件p,q,r,sを次のように定める。
p:aは整数
q:a^2は整数である
r:2aは整数である
s:aは無理数である。

「rの否定⇒s]はなぜ偽なのでしょうか。

よろしくお願いいたします
ありがとうございます。
No.6994 - 2009/07/28(Tue) 17:22:35
☆ Re: 命題 / 七
>「rの否定⇒s]
は普通の言葉で言うとどういう意味なのか
分かっていますか？
No.6995 - 2009/07/28(Tue) 17:36:26
☆ Re: 命題 / 桜　高3
七さんありがとうございます(^^)

普通の言葉で言うと
rでなかったらsになる。
ですか？☆
No.6997 - 2009/07/28(Tue) 19:04:02
☆ Re: 命題 / 桜　高3
rでなかったらsである。
ってことは、2aが整数でないときaが分数のときもあるからaは無理数と決め付けられないからですか？
No.6998 - 2009/07/28(Tue) 19:08:27
☆ Re: 命題 / らすかる
そうです。
No.6999 - 2009/07/28(Tue) 19:52:31
☆ Re: 命題 / 桜　高3
感謝しております☆
おかげさまで解決できました！！＾＾
No.7000 - 2009/07/28(Tue) 21:07:36
★ 点対称 / aki
こんにちは。
今日も宜しくお願いします。
C:y=x^3−3ax＋b
について
(1)変曲点Pを求めよ
(2)Cが点Pについて点対称であることを示せ
ただし一般に平面における図形Cが点Pについて点対称であるとは、点QがC上にあるときQとPについて対称な点RもC上にあることをいう

この(2)ですが、私はy'より極値を求め
Q(a､a^3−3a^2＋b)
R(−a､−a^3＋3a^2＋b)
とおき
ここでQ Rの中点を求めると(0 b)=P

よって点対称

としました

この解答はどうでしょうか？
宜しくお願いします。
No.6987 - 2009/07/28(Tue) 11:02:43
☆ Re: 点対称 / 豆
QはC上の任意の点である必要があるので
x座標がaという定点のみ成立してもだめですね。
No.6990 - 2009/07/28(Tue) 12:01:09
☆ Re: 点対称 / ロボット
ただし一般に平面における図形Cが点Pについて点対称であるとは、点QがC上にあるときQとPについて対称な点RもC上にあることをいう

よく読むこと。
君の方針でやりたいなら、この文章のいう点対称と同値であることを証明しなければならない。
No.6991 - 2009/07/28(Tue) 12:13:51
☆ Re: 点対称 / angel
特定の点の組を持ってきて点対称であることを説明しても、曲線C全体が点対称であることには繋がらないのです。
仮に、無数の組み合わせに対して点対称を示したとしても、まだ不十分です。つまり「C上の点Xと点Yの中点がPになる」という方法は不適切です。

どうすれば良いかというと、
「C上の任意の点Xに対して、XのPに関する対称点Yは、常にCに含まれる」
を説明する必要があります。
No.7017 - 2009/07/29(Wed) 23:30:13
☆ Re: 点対称 / aki
まずQをx=aという定点で定めてしまうとダメということでしょうか？
任意の点はどう表現すればいいのでしょうか？
私はa自体が任意の点という認識でいたのですが、このように書くと定点のように受け取られてしまうんですね…

どう証明していいかわからないので教えて下さい…
No.7021 - 2009/07/29(Wed) 23:55:46
☆ Re: 点対称 / angel
確かに、a も任意の値、x も任意の値と似通っているように見えますが、決定的に違いがあります。
それは、ある曲線Cを考える時には、a の値は固定されている、ということです。
逆に、x の値は動き続けています。x が様々に変化する時の (x,y) の集合体が曲線Cを形作るわけですから。

もし a が変わったとしても、またちょっと違う形の曲線Cができるだけで、そこでもやはり a は固定されています。
なので、a は単なる定数と考えて良いです。

であれば、「任意の点」をどう表すか。
それは動き続ける x に焦点をあてれば良い、となります。
まあ、x をそのまま使うと紛らわしいので、
　C上の任意の点は、実数 t を用いて (t, t^3-3at+b) と表せる
とか何とか書けば良いわけです。
No.7027 - 2009/07/30(Thu) 00:31:48
☆ Re: 点対称 / aki
つまりaは曲線Cの式に入っているし、極値をとる値でもあるから、定点とみなされるということでしょうか？
そうすると、結局aを使って極値であることを使う証明の方法はできなくなり、私の解答が不可になるということでしょうか？


No.7052 - 2009/07/31(Fri) 16:14:21
☆ Re: 点対称 / angel
いいえ。

まず原則として、変数であるのはx,y、それ以外は定数ということです。なので a,b は定数ですし、(a, a^3-3a^2+b) という点は、a,bのみで構成されているため、定点です。
曲線Cの極になっているかどうかには無関係に、です。

akiさんの解答では、添付した図の左側のように、曲線C上の2点のみをとって対称性を調べているだけであり、曲線C全体をカバーしていないため、NGなのです。

勿論、a,bの値を変えることによって、(a,a^3-3a+b),(-a,-a^3+3a+b)という点も様々に変化します。
しかしながら、これらの点は、a,bの値を変えることによって形の変化する、異なるグラフに属する点なのです。
つまり、あるCにとっては、結局2点分しか調べていないことになるのです。

図の右側のように、a,bを固定したC上で、無数の点について調べるように考えなくてはなりません。
No.7062 - 2009/08/01(Sat) 13:29:51
☆ Re: 点対称 / aki
わかりました、つまり結局曲線上の二点しか調べていないからだめなんですね。
とすると全体を調べるにはどうしたらいいのでしょうか…(>_<)
さっぱりわかりません…
No.7077 - 2009/08/01(Sat) 18:17:39
☆ Re: 点対称 / angel
No.7017とNo.7027を再度読み返してみて下さい。
No.7085 - 2009/08/01(Sat) 23:25:02
☆ Re: 点対称 / aki
わかりました、ご迷惑おかけして申し訳ありませんでした。
No.7109 - 2009/08/02(Sun) 15:38:26
★ (No Subject) / かな
連日申し訳ありません;
質問お願いします。

　
次のような配り方はそれぞれ何通りあるか。
(1)同じ種類の6冊のノートを3人に配る配り方。ただし、1冊も配られない人がいてもよいものとする。
(2)同じ種類の6冊のノートを3人に少なくとも1冊配る配り方。
　
　
　
　
よろしくお願いします;
No.6981 - 2009/07/27(Mon) 22:45:37
☆ Re: / angel
今回は、ノート同士に区別がなくて、配られる人に区別がある ( 人なので… ) 状態ですから、重複組み合わせになります。

・商品A,B,Cの3種類をあわせて6個購入する
・A,B,Cの3人に、ノートをあわせて6冊配る
・3変数の方程式 x+y+z=6 ( ただしx,y,zは非負整数 ) の解の個数を数える
　※合計6の数を、x,y,zの3種類に分配する、という考え方

これらの問題は、全て重複組み合わせ 3H6=(3+6-1)C6 で計算できます。

(2) 「皆に少なくとも1冊配る」ということは、配った後で皆から1冊ずつ奪い取ることができて、その状態は、
「3冊のノートを3人に配った状態 ( 1冊も持ってない人がいても良い )」ということになります。
であれば、(1)と数値が違うだけ ( 6→3 ) の、同じ問題になります。
No.6985 - 2009/07/28(Tue) 00:29:08
☆ Re: (No Subject) / かな
ありがとうございます!!
助かりました;
No.6993 - 2009/07/28(Tue) 17:18:41
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