２つ質問があります。
?@ 実数全体の集合を全体集合Uとし，A，B，CをUの部分集合とする。
「あるA，Bについて，A∩B⊃A∪B」の真偽を求めよ。
答えは真なのですが，「あるA，Bについて」というキーワードはどれか１つでも包含関係が成り立てば，真という解釈でいいんですか？
また，対偶を用いて求めようとした場合は「すべてのA，BについてA∪B⊃A∩B」で正解でしょうか？
?A 0≦α≦π/2に対して，g(Θ)=sin^2Θ+sin^2(Θ+α)+sin^2(Θ-α)とする。
g(Θ)はΘの値に関係なく一定の値をとるときの角度を求めよ。
解説には g(0)=g(π/2)でなければならない。
とでてくるのですが，この条件はどのようにして求められるのでしょうか？
アドバイスよろしくお願いします。
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No.80205 - 2022/01/05(Wed) 10:35:07
| ☆ Re: 数A集合と数?U三角関数 / IT | | | > ?@ 実数全体の集合を全体集合Uとし，A，B，CをUの部分集合とする。
> 「あるA，Bについて，A∩B⊃A∪B」の真偽を求めよ。
>
> 答えは真なのですが，「あるA，Bについて」というキーワードはどれか１つでも包含関係が成り立てば，真という解釈でいいんですか？
そういうことですね。
>
> また，対偶を用いて求めようとした場合は「すべてのA，BについてA∪B⊃A∩B」で正解でしょうか？
意味不明です。（言葉をおぎなったとしても不正解だと思います）
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No.80210 - 2022/01/05(Wed) 19:09:29 |
| ☆ Re: 数A集合と数II三角関数 / ast | | | > この条件はどのようにして求められるのでしょうか？
「求め」ると言っている時点でそもそも
> g(Θ)はΘの値に関係なく一定の値をとる
という条件の意味が正しく取れていない可能性もきちんと疑うべきであるように思います.
# 少なくとも解説も「でなければならない」と書いているように, 必要条件を一つ加えただけであって
# そういう意味でも「求め」てはいない場面だと思われます.
"g(θ)がθの値によらず一定" であるという条件は "θ_1,θ_2 をどのように選ぼうと必ず g(θ_1)=g(θ_2) になっている" という意味なので, θ_1=0, θ_2=π/2 のように解答者の都合の良い θ_1, θ_2 を恣意的に決めたとしても必ずそれが必要条件として考慮されなければならない ("すべてについて成り立つ" ならば好きに選んだ "どの有限個についても成り立っている" ことが必要) という話になります. 好きに選んでよいというところに意味があって, 求めるようなものではないというのはそういう意味です.
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No.80216 - 2022/01/05(Wed) 22:27:02 |
| ☆ Re: 数A集合と数?U三角関数 / リトル | | | ITさん
↑だと真になるので，元の命題も真だ！！って解けるのかなと思い質問しましたが言葉足らずでした。ごめんなさい。
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No.80217 - 2022/01/05(Wed) 23:38:09 |
| ☆ Re: 数A集合と数?U三角関数 / リトル | | | astさん
解説の１行目に当たり前のように書いていたので，何かしら性質があるのかと思いました。
丁寧な説明ありがとうございました。
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No.80218 - 2022/01/05(Wed) 23:41:12 |
| ☆ Re: 数A集合と数?U三角関数 / IT | | | > ↑だと真になるので，元の命題も真だ！！って解けるのかなと思い質問しましたが言葉足らずでした。
「↑だと真になる」とは、どういう意味ですか意味不明です。
考えたことを、言葉を補って、きちんと書いてみてください。
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No.80219 - 2022/01/06(Thu) 00:09:58 |
| ☆ Re: 数A集合と数?U三角関数 / リトル | | | 「あるA，Bについて，A∩B⊃A∪B」の真偽と「あるA，BについてA∪BならばA∩B」の真偽は同じ。ですよね。
「あるA，BについてA∪BならばA∩B」の真偽を調べるために，対偶である「すべてのA，BについてA∩BならばA∪B」の真偽を調べると，この対偶の命題は真だとわかるので，元の命題も真だと思いました。
この問題の真偽を調べるために対偶の考え方を使って調べることは可能なのかを問いたかったです。
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No.80237 - 2022/01/06(Thu) 22:54:05 |
| ☆ Re: 数A集合と数?U三角関数 / IT | | | 言っておられることは分りました。（正しいということではないです）
いくつか間違いがあると思いますが、誤解を与えずに、うまく指摘・説明出来そうにありません。どなたかお願いします。
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No.80238 - 2022/01/06(Thu) 23:25:28 |
| ☆ Re: 数A集合と数?U三角関数 / 黄桃 | | | もう見てないかもしれない上に、ハードルを上がっていますが、誰もフォローしないようなので、書いてみます。
とりあえず次の３つはおさえておきましょう。
条件とその真理集合の違いを確認しましょう。
条件を扱う時は、「何に関する条件であるか」「その全体集合は何か」を意識しましょう。
命題（ある…や、すべての…も含む）について、否定や「AならばB」の形の逆、裏、対偶を復習しましょう。
以下、くわしく説明してみますが、分からなくても気にしないでください。
まず、命題、条件、真理集合について確認します。
「2は素数である」のように、これだけで真偽がきまるものを命題といいました。
これに対し、xを自然数とするとき「xは素数である」という形のものは、xが何か決めないと真偽が決まりません。
こういうものをxについての条件、といいP(x)や場合によっては単にPなどと書きます。
そして、{x|P(x)は真} という集合をP(x)の真理集合、といいました。
条件や真理集合を考えるときは全体集合は何か、を常に考えないといけません（上では自然数全体としました）。
最後に、条件と真理集合の関係について確認します。
xとして考える全体集合をUを決めておきます。すると、P(x)というxに関する条件とUの部分集合P={x|xはP(x)を満たす}とを対応させれば、
P∩Q ={x|xはP(x)かつQ(x)を満たす}, P∪Q={x|xはP(x)またはQ(x)を満たす} であり、
P⊂Q が成立することと 「すべてのxについて、P(x)ならばQ(x)」が真になることは同じ
などがいえました。
なお、Uのどんな部分集合Pについても、Pを真理集合とする条件P(x)があります：条件P(x)を「xはPの元である」とすればOKです。
高校数学では「すべてのxについて、P(x)ならばQ(x)」のことを単に「PならばQ」と書きますが、この時、P,Qは条件であって集合ではありません。
A,Bを集合としてみているのか、条件としてみているのか、どちらなのか（全体集合は何なのか）、きちんと意識してください。
以上を踏まえて、
>「あるA，Bについて，A∩B⊃A∪B」の真偽と「あるA，BについてA∪BならばA∩B」の真偽は同じ。
というのは、後の「」内が意味不明です。
まず、A∩B⊃A∪BはUの部分集合A,Bについての条件（A,Bを決めると、A∩B、A∪Bが決まり、A∩B⊃A∪Bの真偽が決まる）です。A,Bを決めない限りA∩B⊃A∪Bであるかどうかはわからない、ということがポイントです。
A,Bの全体集合は「実数の部分集合全体の集合」です。分かりにくければ、A,Bの例としては {0},{0,3,-5},{整数全体},{無理数全体}などなど、具体例で考えてください。
「あるA，Bについて，A∩B⊃A∪B」というのは、「こうしたありとあらゆるA,Bの組み合わせのうち少なくとも１つA∩B⊃A∪Bを満たすものがある」ということです。
つまり、A∩B⊃A∪Bをみたすような実数の部分集合A,Bが見つかれば真で、絶対に見つからないといえれば偽です。
＃一見偽に思えますが、A=B の場合にA∩B⊃A∪Bを満たします。
＃不等号>と違って、「⊃」は両辺が等しい場合を含みます。
後半の「あるA，BについてA∪BならばA∩B」については、A,Bの全体集合は何か、よく考えてください。「ならば」を使っている以上条件であるはずですが、A∪BやA∩BはA,Bが集合であって条件ではないことを意味しています。
したがって、これは意味不明な文です。A,Bを集合（真理集合でもいい）として考えるのであれば「あるA，Bについて，A∩B⊃A∪B」であり、実数に関する条件（を全体集合）として考えるなら、上記の対応を使って
「あるA(x)，B(x)について、(A(x)またはB(x)) ならば (A(x)かつB(x))」
です。
＃混乱するかもしれませんが、「(A(x)またはB(x)) ならば (A(x)かつB(x))」は、『「実数に関する条件A(x),B(x)」に関する条件』であり、
＃（実数に関する条件A(x),B(x)を決めると真偽が定まるもの；A(x)の例としてはxは整数とか、x^2>3とか、です。）
＃「あるA(x)，B(x)について、(A(x)またはB(x)) ならば (A(x)かつB(x))」はA(x)やB(x)の全体集合を、実数に関する条件全体、とする命題です。
＃（ありとあらゆる実数に関する条件の組み合わせA(x),B(x)を考えると、少なくとも１つ「(A(x)またはB(x)) ならば (A(x)かつB(x)」をみたすものがある、という命題）
最後に、P,Qが命題や条件である時、PならばQ の対偶は Qでない、ならば、Pでない、です。PならばQ とその対偶の真偽は一致しますから、
「すべての」とか、「ある」があっても、PならばQ の部分を対偶に置き換えても真偽は変わりません。
なので、「あるA(x)，B(x)について、(A(x)またはB(x)) ならば (A(x)かつB(x))」を真偽が変わらないように対偶を使って置き換えれば
「あるA(x)，B(x)について、 (A(x)かつB(x)、 でない）ならば、(A(x)またはB(x)、でない)」となります。
ド・モルガンの法則を使ってもう少し書き直せば、「あるA(x)，B(x)について、 (A(x)でないか、または、B(x)でない）ならば、(A(x)でもB(x)でもない)」です。
これを対応する真理集合の言葉で書けば、A,BはUの部分集合として、
「あるA,Bについて、(Aの補集合)∪(Bの補集合)⊂(Aの補集合)∩(Bの補集合)」
です。
以上から、
>「あるA，BについてA∪BならばA∩B」の真偽を調べるために，対偶である「すべてのA，BについてA∩BならばA∪B」
の部分は（A,Bを実数に関する条件の場合に書き換えても）完全に誤りですが、
>対偶の考え方を使って調べることは可能
かどうかといえば、可能です。ただ、A,Bという集合の代わりにAの補集合、Bの補集合を考えるだけなので、本質的な違いはなく、ただ遠回りなだけだと思います。x+2=3 を解くのに、一旦、x+5=6 としてから、x=6-5=1 とするようなものです。
ついでにいえば「あるxについてP(x)」の否定は「すべてのxについて P(x)でない」ですが、 PならばQ の否定は Pかつ(Qでない) であって、QならばP ではありませんので、
「あるxについて P(x)ならばQ(x)」の否定は「すべてのxについて P(x)かつ(Q(x)でない)」であって、「すべてのxについて Q(x)ならばP(x)」ではありません。
＃対偶証明法と背理法とならばのついた文の否定と「逆は必ずしも真ならず」がごっちゃになっているようです。
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No.80257 - 2022/01/08(Sat) 16:33:35 |
| ☆ Re: 数A集合と数?U三角関数 / リトル | | | 黄桃さん，最後まで丁寧にありがとうございました。
あるA，Bについて包含関係が成り立つA=Bというひとつの結果を導くことが大変だと思い，対偶を使ってみようって思ったことは遠回りだったのですね。自分で混乱して首を絞めてしまいました。
ITさん，三角関数を教えていただいたastさんもありがとうございました。
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No.80273 - 2022/01/10(Mon) 10:02:46 |
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