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★ 接点の個数 / りん
p、qを互いに素である自然数とする。
媒介変数表示で表された曲線C:x=sinpθ、y=sinqθと直線x=1との接点の個数を求めよ。
という問題なのですが、p、qに適当に値を入れて図を書いて考えるとp、qのどちらかが偶数だとp個になり、p、qが両方奇数だとp個よりも少なくなりました。

p、qが両方とも奇数の場合の一般解があれば求め方を教えてください。
No.79579 - 2021/11/25(Thu) 13:45:14
☆ Re: 接点の個数 / らすかる
両方とも奇数の場合は(p-1)/2個になりそうですね。
（端点を「接点」に含めるなら(p+1)/2個）
No.79581 - 2021/11/25(Thu) 17:25:13
☆ Re: 接点の個数 / りん
どうやって求めたのでしょうか？
No.79582 - 2021/11/25(Thu) 19:05:07
☆ Re: 接点の個数 / らすかる
> p、qに適当に値を入れて図を書いて考えるとp、qのどちらかが偶数だとp個になり

これと同じ方法です。
No.79596 - 2021/11/26(Fri) 00:26:42
☆ Re: 接点の個数 / りん
なぜそうなるのか高校数学の範囲で示すことは出来ますでしょうか？
No.79601 - 2021/11/26(Fri) 07:23:52
☆ Re: 接点の個数 / らすかる
sinpθ=1となるθは(4n+1)π/(2p)なので
接点は(1,sin{(4n+1)qπ/(2p)})
f(n)=(4n+1)qπ/(2p)とすると
f(n+p)-f(n)=2qπなのでsin(f(n+p))=sin(f(n))
よって
sin(f(0)),sin(f(1)),sin(f(2)),…,sin(f(p-1))で
異なる値を調べれば十分。
sin(f(m))=sin(f(n))となるのは
f(m)-f(n)=2kπまたはf(m)+f(n)=(2k+1)πのとき（和積公式で示せます）。

f(m)-f(n)=2kπのとき (4m+1)qπ/(2p)-(4n+1)qπ/(2p)=2kπ
整理して m-n=kp/q
pとqは互いに素なので右辺が整数になるためにはkがqの倍数である必要があり、
このとき右辺はpの倍数になるので、
0≦m＜n≦p-1でf(m)-f(n)=2kπとなることはない。

f(m)+f(n)=(2k+1)πのとき (4m+1)qπ/(2p)+(4n+1)qπ/(2p)=(2k+1)π
整理して 2(m+n)+1=(2k+1)p/q
pとqは互いに素なので右辺が整数になるためには2k+1がqの倍数である必要がある。

qが偶数ならば2k+1はqの倍数になり得ず、右辺が整数になることはないので
0≦m＜n≦p-1でf(m)+f(n)=(2k+1)πとなることはない。
従ってsin(f(0)),sin(f(1)),sin(f(2)),…,sin(f(p-1))は
すべて異なる値になるので、接点はp個となる。

pが偶数ならば2k+1がqの倍数のとき右辺が偶数になるが
左辺は奇数なので式が成り立たない。よって上と同じく接点はp個になる。

pとqが奇数で2k+1がqの倍数のとき
2(m+n)+1≡0 (mod p) すなわち 2m+2n≡-1 (mod p)
任意のmに対してnは唯一に決まる
（∵2m+2kをpで割った余りはk=0〜p-1に対してすべて異なる）
が、m=nとなる解も一つだけある。
従ってsin(f(0)),sin(f(1)),sin(f(2)),…,sin(f(p-1))のp個のうち
p-1個は2個ずつ同じ値が存在し、残りの1個は同じ値が存在しない。
よって接点は(p+1)/2個となる。

# 最後のあたりはもう少しうまくまとめられるかも知れません。
No.79616 - 2021/11/26(Fri) 20:41:22
☆ Re: 接点の個数 / IT
p、qが互いに素な奇数の場合
少し端折ってますし、らすかるさんが回答済みで、同じようなところもありますが、参考までに載せてみます。

曲線C:x=sinpθ、y=sinqθ　は0≦θ＜2πで　すべて覆われる。

x=sinpθ＝1 となるのは　θ=(2kπ+π/2)/p（kは整数で0≦k≦p-1）のp 個.

これらのp個所でのy=sinqθの値の個数を調べる　
α=(2aπ+π/2)/p,β=(2bπ+π/2)/p,(a,bは整数で0≦a＜b≦p-1) について
sinqα=sinqβとなるのは
qβ＝qα+2nπ…(1) またはqα+qβ＝(2n+1)π…(2) ,nは正の整数

(1)のとき、　(b-a)(q/p)=n,これはp,qが互いに素と0≦a＜b≦p-1からあり得ない。
(2)のとき、 (q/p)(2a+2b+1)=2n+1
　p,qが互いに素より2a+2b+1＝p,3p
　あるaについて2a+2b+1＝p,2a+2b'+1＝3pとすると
　b'-b=p となり、0≦b,b'≦p-1からあり得ない。
　2a+2b+1＝pのとき　b=(p-2a-1)/2
　2a+2b+1＝3pのとき　b=(p-2a-1)/2

　(p-1)/4 が整数のときは,2((p-1)/4)+2((p-1)/4)+1=pとなり、この(p-1)/4 を除き、
(3p-1)/4 が整数のときは,2((3p-1)/4)+2((3p-1)/4)+1=3pとなり、この(3p-1)/4を除き
それ以外の0からp-1までのp-1個の整数は
　 (q/p)(2a+2b+1)=2n+1、0≦a＜b≦p-1となる(p-1)個のペア(a,b)に分割できる。

したがって、x=sinpθ＝1 となるp個のθでのy=sinqθの値の個数は(p-1)/2 + 1＝(p+1)/2
個。　　
No.79617 - 2021/11/26(Fri) 21:33:47
☆ Re: 接点の個数 / りん
らすかるさん、ITさんありがとうございました。
らすかるさんの内容は全て理解できたのですが、
ITさんの
＞2a+2b+1＝pのとき　b=(p-2a-1)/2
＞2a+2b+1＝3pのとき　b=(p-2a-1)/2
の後半部分だけちょっと分かりませんでした。

丁寧にご説明いただきありがとうございました。
No.79619 - 2021/11/26(Fri) 22:18:38
☆ Re: 接点の個数 / IT
＞2a+2b+1＝3pのとき　b=(p-2a-1)/2
b=(3p-2a-1)/2 でした。

2a+2b+1＝pのとき　b=(p-2a-1)/2
　0≦a＜b≦p-1…(A)なので0≦a＜(p-2a-1)/2
　∴0≦a＜(p-1)/4 このとき(p-1)/4＜b≦(p-1)/2が対応。
　すなわち(p-1)/4を軸に左右対称にa,b がペアとなり、2a+2b+1＝pとなる。

2a+2b+1＝3pのとき　b=(3p-2a-1)/2
(A) より a＜(3p-2a-1)/2 ≦p-1
　∴(p+1)/2≦a＜(3p-1)/4,このとき(3p-1)/4＜b≦p-1　が対応。
すなわち(3p-1)/4を軸に左右対称にa,b がペアとなり、2a+2b+1＝３pとなる。

(p-1)/4が整数のときは、(p-1)/4はペアなし
(3p-1)/4が整数のときは(3p-1)/4はペアなし
となる。ということです。

　
No.79621 - 2021/11/26(Fri) 23:40:41
☆ Re: 接点の個数 / りん
ありがとうございます。
完全に理解出来ました。
自分でも図を書いて対称性を確認する事が出来ました。
No.79622 - 2021/11/26(Fri) 23:54:27
★ 定積分の中に微分が / 萬田二郎
定積分の計算で∫∂/∂x〜〜〜dxというような形の式があるのですが、この場合
∂/∂xがあるので先に〜〜〜の部分をxで微分してからxで定積分するということでしょうか
詳しい方ぜひ教えていただきたいです。
No.79573 - 2021/11/25(Thu) 00:25:44
☆ Re: 定積分の中に微分が / ヨッシー
そうです。

それに対して
　∂/∂x∫・・・dx
というのも考えられるので、これと比較すると、
計算順の違いがわかると思います。
No.79578 - 2021/11/25(Thu) 09:39:11
★ 三角形の数 / √
また教えてください。

正五角形の中に、全ての対角線を書くと、
星型ができますが、
この中にできる三角形の数は、
３５個で合っていますでしょうか？


実際に全てを数えたのではなく

１つの辺から対角に向かって２本の対角線（実線）を引き
三角形を作ります。
他の対角線は「点線」で引いておきます。

すると「実線」で囲まれた１つの三角形の中に
７個の三角形がてきます。
（この時、点線の部分も含む）

７個ｘ５辺分＝３５個と考えました。


【追記】
もし、この考え方が正しいとしたら、
ｎ角形だったら、三角形を造れる数は
必ず、ｎの倍数になっているはず
と考えてよろしいでしょうか？
No.79569 - 2021/11/24(Wed) 23:07:33
☆ Re: 三角形の数 / らすかる
その数え方だと隣の辺から三角形を作って数えたときに
1つ同じ三角形を重複して数えますよね？
No.79575 - 2021/11/25(Thu) 01:53:30
☆ Re: 三角形の数 / √
らすかるさん
有難うございます。

本当だ〜。
重複してしまいますね。
No.79576 - 2021/11/25(Thu) 02:07:25
★ (No Subject) / cavy
問題の添付を忘れました。
No.79568 - 2021/11/24(Wed) 20:26:33
☆ Re: / ヨッシー

こんな感じです。
No.79570 - 2021/11/25(Thu) 00:16:01
☆ Re: / 関数電卓
ヨッシーさんよりやや遅れましたが，ご参考まで。図が大きすぎてご免なさい。
No.79572 - 2021/11/25(Thu) 00:24:12
☆ Re: / cavy
ありがとうございました‼︎
No.79635 - 2021/11/27(Sat) 14:18:22
★ 中学幾何 / cavy
この問題の⑵のイの答えを図解する事ができません。よろしくお願い致します。
No.79567 - 2021/11/24(Wed) 20:25:18
★ 4次関数 / 📐
f(x)=x^2-2ax^3+bx²+x(a,bは実数の定数でa＞0) とする.
曲線C:y=f(x)と直線l:y=pxが原点Oおよび他の1点で接しているとき,次の問に答えよ.
(1) pの値を求め, bをaを用いて表せ.
(2) Cとlで囲まれる部分の面積Sをaを用いて表せ.
(3)lと平行なCの接線をmとし,Cとmで囲まれる部分の面積をTとする.(2)のSとTの比S:Tを求めよ.

解説よろしくお願いします。
No.79565 - 2021/11/24(Wed) 19:30:11
☆ 4次関数 / 📐
★ 4次関数 NEW / 📐
f(x)=x^4-2ax^3+bx²+xが正しいです。よろしくお願いします。
No.79566 - 2021/11/24(Wed) 19:31:34
☆ Re: 4次関数 / X
(1)
前半)
条件から
f'(x)=4x^3-6ax^2+2bx+1
∴p=f(0)=1
後半)
前半の過程から、lの原点以外のCとの接点のx座標に対し
x^4-2ax^2+bx^2+x=x (A)
4x^3-6ax^2+2bx+1=1 (B)
x≠0に注意して、(A)(B)をx,bについての
連立方程式として解きます。

(A)より
(x^2-2ax+b)x^2=0
x≠0より
x^2-2ax+b=0 (A)'
一方、(B)とx≠0より
2x^2-3ax+b=0 (B)'
(B)'-(A)'より
x^2-ax=0
∴x≠0よりx=a
これを(A)'に代入して
b=a^2

(2)
(1)の結果からlの原点以外のCの接点の
x座標はa
一方、(1)の結果から
f(x)-px=x^4-2ax^3+(a^2)x^2+x-x
={(x-a)x}^2≧0
∴lはCの下側にあるので
S=∫[0→a]{f(x)-px}dx
=∫[0→a]{x^4-2ax^3+(a^2)x^2}dx
=[(1/5)x^5-(1/2)ax^4+(1/3)(a^2)x^3][0→a]
=(1/30)a^5

(3)
(1)の過程から、mとCとの接点のx座標について
4x^3-6ax^2+(2a^2)x+1=1
これより
x(2x^2-3ax+a^2)=0
x(2x-a)(x-a)=0
∴(2)の過程から
x=a/2
∴mの方程式は
y=(x-a/2)+f(a/2)
整理をして
y=x+(1/16)a^4
∴Cとmとの交点のx座標について
x^4-2ax^3+(a^2)x^2+x=x+(1/16)a^4
これより
x^4-2ax^3+(a^2)x^2-(1/16)a^4=0
{x^2-ax-(1/4)a^2}(x-a/2)^2=0 (B)
∴x=a/2,(1+√2)a/2,(1-√2)a/2
∴T=∫[(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]{{x+(1/16)a^4}-f(x)}dx
=-∫[(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]{x^2-ax-(1/4)a^2}{(x-a/2)^2}dx
ここからですが部分積分を2回使います。
T=[-(1/3){x^2-ax-(1/4)a^2}{(x-a/2)^3][(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]
+(1/3)∫[(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]{(2x-a){(x-a/2)^3}dx
=(1/3)∫[(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]{(2x-a){(x-a/2)^3}dx
=(1/12)[(2x-a){(x-a/2)^4][(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]
-(1/12)∫[(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]{(x-a/2)^4}dx
=(1/12)(a^5)/√2-(1/60)[(x-a/2)^5][(1-√2)a/2→(1+√2)a/2]
=(1/12)(a^5)/√2-(1/30)(a/√2)^5
=(1/12)(1/√2)a^5-(1/30)(1/4)(1/√2)a^5
=(9/10)(1/12)(1/√2)a^5
=(3/40)(1/√2)a^5
∴S:T=1/30:(3/40)(1/√2)=4√2:9
No.79574 - 2021/11/25(Thu) 00:49:31
☆ Re: 4次関数 / X
(3)の別解(の方針)

(B)までは同じです。ここから
x^2-ax-(1/4)a^2=0 (C),x=a/2
ここで(C)の解をα、β(α＜β)とすると
解と係数の関係から
α+β=a (D)
αβ=-(1/4)a^2 (E)
∴β-α=√{(α+β)^2-4αβ]
=a√2 (F)
よって
T=∫[α→β]{f(x)-{x+(1/16)a^4}}dx
=∫[α→β]{x^4-2ax^3+(a^2)x^2-(1/16)a^4}dx
=(1/5)(β^5-α^5)-(1/4)a(β^4-α^4)
+(1/3)(a^2)(β^3-α^3)-(1/16)(a^4)(β-α)
=(1/5)(β^4-α^4)(β+α)-(1/5)(β^3-α^3)αβ-(1/4)a(β^2-α^2)(α^2+β^2)
+(1/3)(a^2)(β-α)(α^2+αβ+β^2)-(1/16)(a^4)(β-α)
=…
((D)(E)(F)が代入できるように変形します。)
No.79577 - 2021/11/25(Thu) 05:55:26
★ n進法について / アカギ
n進法の基本的なことは理解したのですが、時計が60進法だというのがよくわかりません。14進法では、0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,Dの14文字で数を表すのであれば、時計はそのもじにあたふものがないし、10進法と変わりないのでは無いですか？よく分からないので教えていただけると嬉しいです
No.79560 - 2021/11/24(Wed) 17:59:43
☆ Re: n進法について / ヨッシー
ｎ進法は右の桁から順に
　１、ｎ、ｎ^2、ｎ^3
を表すものですね。
時計の場合、秒を１桁目、分を２桁目、時間を３桁目とすると、１秒を１としたとき、
　分は６０
　時間は６０^2
なので、この部分が６０進法と言えます。
６０^3 以降はありません。

もし、60個の数字と記号があれば、１桁で書けますが、
ないし、あったとしても余計ややこしくなるので、十進法で
５９までは記述しています。
No.79563 - 2021/11/24(Wed) 19:03:56
★ (No Subject) / nのために
直線上の点Pを通る垂線を作図しなさい。ただし、コンパスは１回だけしか使用してはいけないものとする。

中三までの知識を使えばできるようですが、私には全くわかりませんでした。
よろしくお願いします。
No.79558 - 2021/11/24(Wed) 17:22:34
☆ Re: / ヨッシー

直線外の点Ｏを中心、点Ｐを通る円を描く。
もう一方の交点をＱとし、直線ＯＱと円の交点をＲとすると、
ＲＰが求める垂線。
No.79559 - 2021/11/24(Wed) 17:47:30
☆ Re: / nのために
>
> 直線外の点Ｏを中心、点Ｐを通る円を描く。
> もう一方の交点をＱとし、直線ＯＱと円の交点をＲとすると、
> ＲＰが求める垂線。

なぜこうなるのか教えていただけませんか？
No.79561 - 2021/11/24(Wed) 18:39:01
☆ Re: / nのために
すみません
わかりました😆
No.79562 - 2021/11/24(Wed) 18:41:24
☆ Re: / ヨッシー
はい。
ターレスの定理です。
No.79564 - 2021/11/24(Wed) 19:05:32
★ 前回の質問の件です / kumo
2021.6.30
No.76292

求める必要なクリアランスの式は
(5600/√65+W/2)/√3-{2(L+4900√65)/√3}(2800/√65+200-200√3)/(L+4900√65)
=(5600/√65+W/2)/√3-(2/√3)(2800/√65+200-200√3)
=(W-800+800√3)/(2√3)
=(W-800)(√3)/6+400 (D)

Wが800未満の場合はマイナスになりますが、その場合はどうすれば良いでしょうか？
今回、H=3000　W=600と150での物を流そうと思っています。
床からのクリアランスは実際に吊らないと確認できないので、反対にレールから吊り掛け品の底部までの長さが事前に分かれば、幅をいくら以内にすれば通過できるかの算出方法があればと思います。
よろしくお願いします。
No.79557 - 2021/11/24(Wed) 10:20:33
★ シーソー / √
教えてください。

同じ体重の大人■■（２人）
同じ体重の子供●●（２人）　います。

シーソーの両端に

■●・・・・・●■
　　　　▲

上記のように乗った場合は▲の位置で
釣り合うと思いますが

■●・・・・・■●

このように乗った場合は中点で釣り合わないと
思います。

大人が子供を、負んぶ　又は　抱っこして中心から
同じ距離の位置に乗れば釣り合とおもいますが、
乗る順番が決められている場合は、
▲を、どの位置にすれば良いか教えてください。

例えば、大人６０Ｋｇ　子供３０Ｋｇ　等
例を挙げて教えて頂けると嬉しいです。
No.79547 - 2021/11/23(Tue) 20:57:51
☆ Re: シーソー / らすかる
左右でそれぞれ「▲までの距離×重さ」の合計を求め、一致すれば釣り合います。
No.79548 - 2021/11/23(Tue) 22:13:41
☆ Re: シーソー / √
らすかるさん、有難うございます。

■は■同士
●は●同士　で別々に計算して
その合計が一致するような点を見つければ
良いということですか？
No.79549 - 2021/11/23(Tue) 22:38:43
☆ Re: シーソー / √
　■●　■▲
・・・・・・・
　　　△



　　　　■
　▲■　●　●
・・・・・・・
　　　△



上記の２つが成り立つ時、


　▲▲　　この右側を■と●で表すと？　
・・・・・・・または、■のみ・●のみ
　　　△　　　　　　　　　　　で表しても良い。


これが大元の問題です。
No.79550 - 2021/11/23(Tue) 23:14:53
☆ Re: シーソー / ヨッシー
人の乗る位置がどのように与えられているかはわかりませんが、
図において
支点より左の　Ａ・ａ＋Ｂ・ｂ　と
支点より右の　Ａ・ｄ＋Ｂ・ｃ　とが
等しくなる位置でシーソーは釣り合います。

No.79551 - 2021/11/24(Wed) 00:02:04
☆ Re: シーソー / √
ヨッシーさん、有難うございます。

> 支点より左の　Ａ・ａ＋Ｂ・ｂ　と
> 支点より右の　Ａ・ｄ＋Ｂ・ｃ　とが
> 等しくなる位置でシーソーは釣り合います。

「・」は「掛け算」という意味でしょうか？
No.79552 - 2021/11/24(Wed) 00:27:53
☆ Re: シーソー / √
ヨッシーさん、有難うございました。
どう考えても「・」は「掛け算」の意味ですね。

教えて頂いた公式、覚えておきます。、
No.79553 - 2021/11/24(Wed) 00:54:14
☆ Re: シーソー / らすかる
2番目の図から
2▲+■=■+●+3●
2▲=4●
▲=2●
1番目の図から
2■+●=■+2▲
2■+●=■+4●
■=3●
問題の左辺は
2▲+▲=3▲=6●=2■
となりますので、
・▲▲△・■・
とすれば釣り合います。
No.79555 - 2021/11/24(Wed) 01:09:57
☆ Re: シーソー / √
らすかるさん　有難うございました。

ヨッシーさんから教えて頂いた公式を
使って、やっと解けました。

この問題、このしくみ「公式」を知ってないと
解けなかったなぁ〜。
No.79556 - 2021/11/24(Wed) 02:02:31
★ (No Subject) / 内接
円に内接する四角形ABCDがAB=5,AD=1,角BDC=30°,cos角DAB=-3/5を満たすときCDの長さを求めよ

読みにくくてすみません。解説よろしくお願いします。
No.79540 - 2021/11/23(Tue) 12:25:08
☆ Re: / ヨッシー
手順だけ。
１．△ＡＢＤにおける余弦定理よりＢＤを求める
２．sin∠ＤＡＢを求め、正弦定理から円の半径を求める
３．円の中心をＯとし、∠ＢＯＣを求め、ＢＣを求める
４．△ＢＣＤにおける余弦定理よりＣＤを求める
No.79546 - 2021/11/23(Tue) 16:20:33
★ (No Subject) / 点
θが−πからπ/2まで変化するとき点A(2sinθ,cosθ)がちょうど2回通る点の集合を求めよ

解き方を教えて下さい
No.79539 - 2021/11/23(Tue) 11:53:50
☆ Re: / IT
θが−πからπ/2まで変化するとき、点B(cosθ, sinθ）は、どんな曲線上をどこからどこへどう動くか分かりますか？

問題の写し間違いはないですか？（それだと、面白さのない問題のように思うので）
No.79542 - 2021/11/23(Tue) 13:21:51
☆ Re: / 点
すいません。(2sinθ,cos2θ)でした。点Bは「半径1の円上の点(-1,0)から点(0,1)まで反時計回りに270°動く」でしょうか。
No.79543 - 2021/11/23(Tue) 14:16:02
☆ Re: / IT
点Bはそれでいいと思いますが、点A(2sinθ,cos2θ)ならあまり関係ないですね。

倍角公式を使って、点Aのｙ座標をsinθだけの式で表して、
θが−πからπ/2まで変化するときのsinθの変化を考えればいいと思います。
No.79545 - 2021/11/23(Tue) 15:07:40
★ 面積 / 数学
座標平面上の放物線 P:y=x^2の焦点をF,準線をlととする.Fを通る傾きkの直線mとPの2つの交点をQ,Rとするとき,次の問に答えよ.
(1)線分QRの長さをRで表せ.
(2)Pとmで囲まれる部分の面積Sをkで表せ.
(3)Q,Rからlへ垂線QQ',RR'を下ろし,台形QQ'R'R の面積をTとする. (2)のSとTの比S:Tを求めよ.

どのように解いたらいいですか？方針、解法を教えてください。
No.79538 - 2021/11/23(Tue) 11:40:45
☆ Re: 面積 / ヨッシー
(1) は kで表せ でしょうね。
Ｆ(0, 1/4) なので、ｍの式は
　ｙ＝kx＋1/4
これと ｙ＝ｘ^2 を連立させて
　ｘ^2−kx−1/4＝0
Ｑ，Ｒのｘ座標の差を d とすると、ｙ座標の差は k・d なので、
　ＱＲ＝d√(1＋k^2)
ここで
　ｘ^2−kx−1/4＝0
の解をα、β（α＜β）とすると、ｄ＝β−α であり
　(β−α)^2＝(α＋β)^2−４αβ
に、解と係数の関係を使えば、求められます。

(2)
　ｘ^2−kx−1/4＝0
をｘ＝αからβまで積分したものが、求める面積の−１倍なので、
公式
　∫[α〜β](ｘ^2−kx−1/4)dx
　＝∫[α〜β](ｘ−α)(ｘ−β)dx
　＝(α−β)^3/６
面積は (β−α)^3/６ であり、β−α は(1) で求めています。

(3)
ｌはｙ＝−1/4 なので、
　Ｑ：(α, kα＋1/4)、Ｒ：(β, kβ＋1/4)　（α＜β）
とおくと、
　Ｑ’：(α, −1/4)、Ｒ’：(β, −1/4)
であるので、
　Ｔ＝(β−α)(ｋα＋ｋβ＋１)/2
となります。
　
No.79541 - 2021/11/23(Tue) 12:26:14
☆ Re: 面積 / 数学
問題間違えて書き込んでしまい、すみませんでした。ご丁寧にありがとうございました。
No.79544 - 2021/11/23(Tue) 14:39:12
★ (No Subject) / 数学苦手
このような問題の場合、下りの速さもすれ違った時間も分からないのにどのようにすれば良いのでしょうか？
No.79534 - 2021/11/22(Mon) 19:23:36
☆ Re: / 数学苦手
人で考えるしかないのでしょうか。
No.79535 - 2021/11/22(Mon) 20:04:49
☆ Re: / ヨッシー
確かに迷いますが、下りも上りと同じ速さと考えるべきでしょう。
「上り、下りの電車はいつも同じ速さで」これだけでは弱いですが、
「等しい間隔をとって」で、上りと下りの前後の間隔が等しい＝速度が等しいと
言っているように読めます。

上りと下りの速度が等しい根拠を問題文に求めると、この辺りかなと
言うだけでそれも確実ではないかもしれません。

一番大事なのは、「そうしないと問題として成り立たない」と言うことです。
No.79537 - 2021/11/22(Mon) 23:24:59
☆ Re: / 数学苦手
成り立つかどうか…ですか。
No.79610 - 2021/11/26(Fri) 15:26:09
★ (No Subject) / アップルパイ
正十二面体は各面が合同な正五角形でできている正十二面体である。正十二面体の頂点の数は？

どう考えたらいいのでしょうか？
No.79524 - 2021/11/22(Mon) 15:44:45
☆ Re: / X
正12面体のある1つの面と辺を共有する面は
全部で5つあります。
この合計6面(このグループをAとします)を
残りの6面(このグループをBとします)から
切り離して考えると、Aの頂点のうち
Bと共有しない頂点の数は、
最初に注目した面の頂点の数である
5個
Bと共有する頂点の数は
10/2+5=10[個]
ここでA,Bは合同ですので、求める頂点の個数は
5・2+10=20[個]
となります。
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
No.79528 - 2021/11/22(Mon) 16:48:02
☆ Re: / ヨッシー
最初、１２個の正五角形があるとすると、そこに存在する頂点は
　12×5＝60（個）
これを組み立てると、頂点の部分に、３つの正五角形が集まります。
つまり、３つの頂点が１つになるので、
　60÷3＝20（個）
となります。
No.79529 - 2021/11/22(Mon) 17:13:40
☆ Re: / アップルパイ
これを組み立てると、頂点の部分に、３つの正五角形が集まります→これなんで3つってわかるの？
No.79530 - 2021/11/22(Mon) 17:25:46
☆ Re: / ヨッシー

図を見たら一目瞭然ですが、
　正五角形の１つの内角は108°
　立体を作るには、１つの角に最低３つは必要
　４つ持ってくると、合計 432°で、360度を超える
以上から３つしかあり得ません。

ちなみに、正三角形は３個、４個、５個が可能です。

これは５個の場合。
No.79531 - 2021/11/22(Mon) 17:32:05
★ 解析接続が良くわかりません / C3PO
この解答は理解できるのですが、

f0(z)はΣ((-1)^n/(2n+1)!) z^(2n+1) (Re(z)≧0)
とかけ、
f1(z)はΣ((-1)^n/(2n+1)!) z^(2n+1)は収束半径∞で、全複素平面上で正則かつRe(z)≧0においてf0(z)と一致しているので、f1(z)がf0(z)の解析接続になっている

という解答ではダメですか？ こっちのほうがシンプル(？)な気がするのですが
No.79523 - 2021/11/22(Mon) 14:37:25
☆ Re: 解析接続が良くわかりません / ast
> ダメですか？
別にそれでいいと思います.
# ただ, 文章作成者の意図が「そもそも "函数等式を用いた解析接続" の説明のための例題」だった, という可能性はわりとありそうだけど.
No.79533 - 2021/11/22(Mon) 18:11:22
★ 三角関数 / アカギ
xy平面において,曲線cos(πx)=sin(πx²)(0≦x≦2,0≦y≦2)で囲まれた領域の面積を求めよ.

お願いします
No.79516 - 2021/11/22(Mon) 10:11:22
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
式にｙが出てきませんが。
No.79518 - 2021/11/22(Mon) 10:41:46
☆ Re: 三角関数 / アカギ
左辺cos(πy)です！
No.79519 - 2021/11/22(Mon) 10:52:12
☆ Re: 三角関数 / 関数電卓
例えば 0≦πx^2≦π/2 のときは
　cos(πy)＝cos(π/2−πx^2)
となるから
　y＝1/2−x^2
他の場合も地道に場合分けをすれば（符号が変わるだけ)，虚仮威しの形に惑わされることなく，難しくはないでしょう。
……とは書いたものの「囲まれた」はどこを指すのだろう？？
No.79521 - 2021/11/22(Mon) 13:27:28
☆ Re: 三角関数 / らすかる
0≦x≦2かつ0≦y≦2の範囲内で「囲まれた領域」は
以下の4曲線で囲まれた一箇所しかないのでは？
y=x^2-1/2 （√6/2≦x≦√10/2）
y=-x^2+5/2 （√6/2≦x≦√10/2）
y=x^2-5/2 （√10/2≦x≦√14/2）
y=-x^2+9/2 （√10/2≦x≦√14/2）
No.79522 - 2021/11/22(Mon) 14:33:00
☆ Re: 三角関数 / ast
これとこれは一致してるという認識でOK?
No.79525 - 2021/11/22(Mon) 16:12:50
☆ Re: 三角関数 / アカギ
領域を求める過程も教えて欲しいです
No.79527 - 2021/11/22(Mon) 16:37:11
☆ Re: 三角関数 / ast
> 領域を求める過程
条件を書き換えずに問題の設定どおりにやるなら, 例えば以下のようなかんじで曲線を追跡できると思います:

s=sin(πx^2) (0≤x≤2) の増減は, x=0のときの0から単調に増加してπx^2=π/2のとき1, その後単調に減少してπx^2=3π/2のとき-1, その後単調増大でπx^2=5π/2のときふたたび1で, 単調減少してπx^2=7π/2のとき-1, 単調増大でx=2のとき0.

一方, -1≤s≤1 となる s に対して cos(θ)=s (θ=πy) は s=-1 のとき θ=π (y=1) がただ一つの解となることを除けば cos(θ)=s の解の一つを θ_1 (0≤θ_1≤π) と置けばもう一つの解 θ_2=2π-θ_1 を持つ (かつ問題の条件の範囲で他には解は無い) から, 曲線 cos(πy)=sin(πx^2)(0≤x≤2,0≤y≤2) は cos(θ_1)=s と cos(θ_2)=s の二本の曲線からなり, 両者は s=-1 となる πx^2=3π/2 と πx^2=7π/2 で接する以外には交点を持たない (ついでに言うと s=1 となるときに最も離れる) から, 求める領域は πx^2=3π/2 と πx^2=7π/2 の間.
# 面積は, その範囲で |θ_2/π - θ_1/π| = (2π-2θ_1)/π を積分すればいい.

（上は多分不正確ですが, まあ余興のようなものなので, 細かく間違い探しをするつもりもないです, 悪しからず.
まあこういう雑な説明よりは見たほうが早いとは思うが……）
No.79532 - 2021/11/22(Mon) 17:33:50
☆ Re: 三角関数 / らすかる
> これとこれは一致してるという認識でOK?

√(3/2)≦x≦√(7/2)の範囲ではarccos(sin(πx^2))=|πx^2-5π/2|なので
∫[√(3/2)〜√(7/2)](2π-2arccos(sin(πx^2)))/π dx
=∫[√(3/2)〜√(7/2)](2π-2|πx^2-5π/2|)/π dx
=∫[√(3/2)〜√(7/2)]2-|2x^2-5|dx
=∫[√(3/2)〜√(5/2)]2-|2x^2-5|dx + ∫[√(5/2)〜√(7/2)]2-|2x^2-5|dx
=∫[√(3/2)〜√(5/2)]2+(2x^2-5)dx + ∫[√(5/2)〜√(7/2)]2-(2x^2-5)dx
=∫[√(3/2)〜√(5/2)]2x^2-3dx + ∫[√(5/2)〜√(7/2)]-2x^2+7dx
=∫[√(3/2)〜√(5/2)](x^2-1/2)-(-x^2+5/2)dx + ∫[√(5/2)〜√(7/2)]-(x^2-5/2)+(-x^2+9/2)dx
となり一致しますね。
No.79536 - 2021/11/22(Mon) 20:47:18
★ 方程式 / 北斎
7時と8時の間で、時計の両針が一直線となる時刻を求めよ.
と言う問題で方程式を立てる時、長針が12時の位置からx分進んだとしたら短針が7時の位置からx/12分進むのがよくわかりません。
No.79515 - 2021/11/22(Mon) 09:58:46
☆ Re: 方程式 / ヨッシー
ｘ分進むというのが、とっつきにくいかもしれませんね。

長針は、60分で360°進みますから、１分間に６°進みます。
これを、１分進むと呼ぶことにします。
　（１分進む＝６°進む）

短針は、60分で30°進みますから、1分間に 0.5°進みます。
これを、長針の進む角度 6°と比べると 1/12 倍になっています。つまり、
　0.5°進む＝1/12分進む
であり、長針がｘ分＝6x°進む間に短針は
　0.5x°＝x/12分
進みます。

比で言うと、
　長針が60分進む　：　短針が5分進む（例えば、7の位置から8の位置まで）
　長針が1分進む　：　短針が 1/12分進む
　長針がｘ分進む　：　短針が x/12分進む
となります。
No.79517 - 2021/11/22(Mon) 10:40:44
☆ Re: 方程式 / 北斎
ありがとうございます！
No.79823 - 2021/12/06(Mon) 17:31:44
★ (No Subject) / 数学科の女
度々の質問失礼します。
四角で囲った部分はどのようにして導くことができるのでしょうか。
No.79510 - 2021/11/21(Sun) 22:45:07
☆ Re: / ast
個別のスレッドにコメントしてもよかったのですが, いいタイミングだと思うので一連のやり取りに対してここで総括的にコメントすることにします.
# z の共軛複素数は面倒くさいので以下 z~ と書きます.

そもそも (2行目の式を導くまでの) 文脈は, 複素一変数 z の函数 f=f(z) を z=x+iy を通じて実二変数 x,y の函数 f=f(x,y) とみなすとき, ∂/∂x,∂/∂y に対して新たな作用素 ∂/∂z,∂/∂z~ (ウィルティンガーの微分) を適当な方法で定義するならば, f=f(x,y)=f(z,z~) に対する二つの意味での全微分 df(x,y) = (∂f(x,y)/∂x)dx+(∂f(x,y)/∂y)dy と df(z,z~) = (∂f(z,z~)/∂z)dz+(∂f(z,z~)/∂z~)dz~ が一致する (前者の意味での全微分 df(z) は形の上では z,z~ を変数と看做して後者で計算してよい) という話だと思われる (そういう意味でおそらく質問者が抜粋すべき箇所を見誤っている) ので, かなり最初のやり取り (X さんの No.79443 など) あたりからいろいろと齟齬があるのではないかと疑っています (例えば, X さんは f=f(z(t),z~(t)) に対して df/dt を計算すればよいとしか仰ってない (それ自体は形式的には間違ってない) が, 本来計算すべきは f=f(x(t),y(t)) に対する df/dt (を ∂/∂z,∂/∂z~ で表したもの) だとわかっていないと誤った理解に陥ると思います).
# 仮に文脈がそうなら, 2行目に疑問が無いのに, 5行目や8,9行目には疑問を持つというのは変です.
## なんとなれば, dz:=dx+idy などの代わりに dz(t)/dt:=dx(t)/dt+idy(t)/dt などを用いて
## 既に書かれているであろう2行目の導出と同様の過程をなぞれば5行目になるはず.
## 今回も, (∂/∂w や ∂/∂w~ の意味は適当に定めたうえで) 8,9行目の式は同様に導出できるでしょう.

資料によってはわりと黙って様々な記号の濫用をしてたりすることもある (このコメントでも f の変数を色々変えているが記号の濫用で f と書いている) ので, そのへんで詰まっているのかとも考えました (今回の画像への書き込みを見てもそこは分かってなさそうではある) が, ITさんの No.79508 に対する応答をみてそういう段階ではなさそうとも感じました.
# 「f(z(t)) が t に関して微分可能で (実際微分した式) が得られる」という文章を見て
# 左辺の f(t) に疑問を持たないとか右辺の引数 (z(t)) が何かわからないというのは
# 一体どういう資料の読み方をしてるのかというレベルなので.
## (にもかかわらず
## > 傍線部をdf/dt=(∂f/∂z)z'(t)+(∂f/∂z_)z_'(t)と導くことができた
## というのはさらに輪を掛けて意味不明ですし).
No.79511 - 2021/11/22(Mon) 02:06:58
☆ Re: / IT
どう回答しようかと考えていたら、ast さんが詳しく回答しておられますね。

誤植や略記、方言があるテキスト（けっこうあり得る）を理解するのは力が必要ですね。

数学科なら、きちんと理解せず適当に進むわけにもいかないでしょうから、

誤植のほとんどないであろう定評のある複素関数の入門書を参考にしながら、先生のテキストを読み込むことをお勧めします。
（テキストによって記法が微妙に異なっているので注意が必要ですが）

例えば、サイエンス社　「複素関数概説」今吉洋一　は、スッキリして分かり易いと思います。
No.79514 - 2021/11/22(Mon) 07:13:00
☆ Re: / ast
どうせこっちはもう見ないのだろうが, あっちの様子じゃやっぱり記号の濫用に気を付けるどころの話じゃないの確定っぽいから, 解答を書くだけ無駄なんだろうな.

∂f(z(w),z~(w))/∂w := (∂f(z(u,v))/∂u-i*∂f(z(u,v))/∂v)/2
= ( ∂f(z,z~)/∂z*∂z(u,v)/∂u+∂f(z,z~)/∂z~*∂z~(u,v)/∂u
　-i*(∂f(z,z~)/∂z*∂z(u,v)/∂v)/2+∂f(z,z~)/∂z~*∂z~(u,v)/∂v) )/2
= ∂f(z,z~)/∂z*(∂z(u,v)/∂u-i*∂z(u,v)/∂v)/2 + ∂f(z,z~)/∂z~*(∂z~(u,v)/∂u-i*∂z~(u,v)/∂v)/2
= ∂f(z,z~)/∂z*∂z(w,w~)/∂w+∂f(z,z~)/∂z~*∂z~(w,w~)/∂w
No.79667 - 2021/11/29(Mon) 04:52:05
★ 全微分についてです / 数学科の女
傍線部をdf/dt=(∂f/∂z)z'(t)+(∂f/∂z_)z_'(t)と導くことができたのですが、(z(t))の部分はどこにかかるのでしょうか？どこから出てきたのですか？教えていただきたいです。
No.79507 - 2021/11/21(Sun) 18:54:15
☆ Re: 全微分についてです / IT
(z(t))は、∂f/∂z　などに掛かると思います。
例えば、(∂f/∂z)z(t0)は、z=z(t0)における∂f/∂zの値

なお、左辺は、df(z(t))/dt　の誤植では？
No.79508 - 2021/11/21(Sun) 19:17:29
☆ Re: 全微分についてです / 数学科の女
> (z(t))は、∂f/∂z　などに掛かると思います。
> 例えば、(∂f/∂z)z(t0)は、z=z(t0)における∂f/∂zの値
>
> なお、左辺は、df(z(t))/dt　の誤植では？

詳しくありがとうございます♪すっきりしました！
No.79509 - 2021/11/21(Sun) 20:18:46
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