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★ (No Subject) / はな
速度と加速度の範囲なんですが、
60mの高さから、初速度20m/sでボールを真上に投げたときのt秒後の高さymとすると
y=60+20t-5t^2(0≦t≦6)

とあるのですが、この5t^2はどこから来た数字なのでしょうか？
あとtの範囲はなぜ0以上6以下なのかが分かりません。

どなかたご指導よろしくお願いします。
No.5992 - 2009/05/27(Wed) 22:57:49
☆ Re: / ヨッシー
・・・t秒後の高さymとすると
　y=60+20t-5t^2(0≦t≦6)
と表せる、という結果を言っているのであって、
この式自体を疑っては、この先進みません。

0以上6以下というのは、
投げた瞬間を０秒として、マイナスは考えないので、０以上
６秒たつとｙ＝０となり、地面につくので６以下です。
No.5993 - 2009/05/27(Wed) 23:11:06
☆ 横から失礼 / BossF
一応「5」の意味は　g/2 (g:重力加速度)の近似値でしょう
ですが、式が与えられているときはヨッシーさんがおっしゃるように式自体を疑ってはいけません
No.5998 - 2009/05/27(Wed) 23:29:17
☆ Re: / ハオ
同じ年代、つまり物理を今習っている者として少し説明させてください。これは僕自身の為でもあり云わば僕の自己満足の様なものでもあるので無視していただいても一向にかまいません。

はなさんの仰っている問題は等加速度直線運動についての「物理」に関する問題ではないですか？
変位(x)=V0（初速度）×t+1/2×a×t^2を知っていますか。
その事を知っていれば何の問題もないのでは？
皆さんの回答を読んでいると数学の問題に於いての話の様に聞こえます。これは、与式に関する話ではなく導出の話ではないでしょうか。違っていたらすいません（以下は自己満的意義しかなくなってしまいます。）

まず、t秒後の高さについてですので地面を原点として考えます。一般的に物体が初めに動く方向を正とおくので地上への方向を+地下への方向を−と置きます。
変位というのはある点からの位置の変化ですので原点を置く事から始めます。
地面からの変位（地面からボールを投げたとする）
x=20t−1/2×a（加速度）×t^2
ここで加速度は重力加速度であり地下への力なので符号は−です故x=20t-5t^2(察するに重力加速度は10m/s^2とすると記してあるのでは？）
ところで問題は地上60mからボールを投げているので
原点より+60mの位置からという事になります故
x=60+20t-5t^2(0≦t≦6)
一般的には重力加速度の絡む問題での変位はyを用いるので
y=60+20t-5t^2(0≦t≦6)となります。
No.6014 - 2009/05/28(Thu) 22:39:56
★ 定積分 / 秋
関数f(x)はx＜0のとき0、0≦ｘ≦1のときｘ、ｘ＞1のとき1の値をとるとする。
このとき
　x
∫　 f(t)dtを次の4つの場合に求めよ
　x-1

(1)x≦0
(2)0＜x≦1
(3)1＜x≦2
(4)2＜x

∫の区間のところ分かりにくくてすみません
x-1以上x以下です
解説がないので、解き方が分かりません
どなたか宜しくお願いします
No.5991 - 2009/05/27(Wed) 21:40:35
☆ Re: 定積分 / ヨッシー
(1)ｘ≦０ということは、積分区間は
　　−１≦ｔ≦０　とか　−３≦ｔ≦−２　とかですね。
　この場合、全積分区間において、f(t)＝０ なので、
　積分値は０です。
(2)この場合、積分区間は、
　-0.9≦ｔ≦0.1 とか 0≦ｔ≦1 のように、積分区間に０を含みます。
　よって、
　∫x-10０dt＋∫0xｔdt
　＝[ｔ2/2]0x＝ｘ2/2
という具合に、やっていきます。
　
No.5994 - 2009/05/27(Wed) 23:18:36
☆ Re: 定積分 / BossF
graghを描けば一目瞭然

(1)　0
(2)　等辺が x の直角二等辺だから　x^2/2
(3) 上底=x-1,下底=1,高さ=1-(x-1)=2-x の台形と 1ｘ(x-1) の長方形の和だから　　x(2-x)/2+x-1
(4)　等辺が 1 の直角二等辺と　1ｘ(x-1) の長方形の和だから　x-1/2

暗算ですので違ってたら勘弁（＾＾；；

あら、かぶってる、せっかくだから追加
面積を求めるのは積分にこだわらず円とか三角形などは知ってる公式を使いましょう
No.5995 - 2009/05/27(Wed) 23:20:26
★ 常用対数 / うさぎ
※( )に底を入れます

(問)log(10)2＝0,3010、log(10)3＝0,4771　とする。
　　2^n＜3^20＜2^(n+1)を満たす自然数nを求めよ。

一応解いてみましたが、すっきりしません。
ちなみに答えは、n＝31です。
答えしか載っておらず、解説がないので理解できません。
どなたか教えて下さい！
お願いします！！

ちなみにヒントがあって、
『3^20＝2^x を満たすxの値を調べる』
とありますが
意味が分かりません……
No.5988 - 2009/05/27(Wed) 20:37:26
☆ Re: 常用対数 / X
問題の不等式の各辺の常用対数を取って
nlog[10]2＜20log[10]3＜(n+1)log[10]2
∴n＜20(log[10]3)/log[10]2＜n+1
∴n＜20(log[10]3)/log[10]2
かつ20(log[10]3)/log[10]2＜n+1
∴20(log[10]3)/log[10]2-1＜n＜20(log[10]3)/log[10]2 (A)
後は(A)の左辺、右辺の近似値を計算します。
No.5989 - 2009/05/27(Wed) 20:45:47
☆ Re: 常用対数 / うさぎ
ありがとうございます！
自分でまとめてみます

でも
ヒントの部分が
分かりません……
馬鹿ですみません……
No.5990 - 2009/05/27(Wed) 21:36:20
☆ Re: 常用対数 / ヨッシー
たとえば、「3^20＝2^x を満たすx」が、ｘ＝3.14 だと、
整数ｎに対して
　2^n＜3^20＜2^(n+1)
は、
　2^3＜3^20＜2^4
に対応するので、n=3 となります。

この場合、ｘの概数(小数以下1桁まで)でよく、それがわかれば、
整数ｎに何が入るかはわかります。
No.5996 - 2009/05/27(Wed) 23:22:40
★ 数|+A / 梔子
順列の問題なのですが、
1から7までの7個の数字を1列に並べるとき、奇数どうしが隣り合わない並べ方は(Ａ)通り。偶数どうしが隣り合わない並べ方は(Ｂ)通りである。
と、いう問題でカッコＡ・Ｂを求める問題なのですが、解いてみてもいまいちどっちがどっちなのかが分かりません。


分かりづらい説明で申し訳ないのですが、どなたか宜しくお願いします。
No.5985 - 2009/05/27(Wed) 19:01:45
☆ Re: 数|+A / ヨッシー
奇数が隣り合わないのは
　奇偶奇偶奇偶奇
の場合なので、
　４！×３！＝１４４(通り)
偶数が隣り合わないのは
　奇偶奇偶奇偶奇
　奇奇偶奇偶奇偶
　奇偶奇奇偶奇偶
　奇偶奇偶奇奇偶
　偶奇奇偶奇偶奇
　偶奇偶奇奇偶奇
　偶奇偶奇偶奇奇
　偶奇奇奇偶奇偶
　偶奇奇偶奇奇偶
　偶奇偶奇奇奇偶
の１０通りあるので、
　１０×１４４＝１４４０(通り)
No.5986 - 2009/05/27(Wed) 19:25:09
☆ Re: 数|+A / ヨッシー
上の１０通りは、
　□偶奇□偶奇□偶□
の４つの□に、２つの”奇”を、重複を許して入れる
重複組み合わせとしても、求められます。
No.5997 - 2009/05/27(Wed) 23:24:33
☆ Re: 数|+A / らすかる
先に隣り合っても良い「奇」を並べ（奇奇奇奇）、
間と端計５箇所（□奇□奇□奇□奇□）中３ヶ所に
「偶」を入れる、と考えてもいいですね。
No.6008 - 2009/05/28(Thu) 01:20:19
★ 軌跡 / aki
連続投稿申し訳ありません(>_<)
宜しくお願いします!
http://p.upup.be/?grqg5makel
の問題の(1)なのですが、aを求める際、a=0の場合を場合分けしなかったのですが、それでは不完全な回答ということで減点になるでしょうか？一応aが0ではない場合の回答は0である時も満たすことが確認できたのですが…
どなたかご指導宜しくお願い致します。
No.5984 - 2009/05/27(Wed) 17:39:09
☆ Re: 軌跡 / ヨッシー
ＯＰ の傾きは -a であるので、
ＯＱの傾きは 1/a と書ける。ただしa≠0。
のような書き出しだと、ａ＝０ を別途言わないと、
10%〜50%程度の減点となるでしょう。

ＯＰ＝(-1,a) の大きさは√(1+a2)
ＯＰに垂直な方向ベクトルは　(a,1) なので、
ＯＱは、(a,1) に平行で、大きさが 1/√(1+a2) の
ベクトルであるので、
　ＯＱ＝(a,1)/(1+a2)
と書ける。よって、点Ｑの座標は
　(a/(1+a2),1/(1+a2))
このような書き方なら、ａ＝０ を特別扱いする必要はありません。
No.6012 - 2009/05/28(Thu) 13:17:27
☆ Re: 軌跡 / aki
成る程です!
とてもわかりやすく説明してくださりありがとうございました！
これからいかしていきます！
No.6020 - 2009/05/29(Fri) 01:41:27
★ 円と放物線 / aki
こんにちは！
ご質問宜しくお願いします(>_<)
http://n.upup.be/?n1yiHlHqRI
の問題の(2)で、回答にはrを求めた後rを再び代入し、共有点を求めて三つあることを確認しているようなのですが、確認しないと完璧な回答にはならず点数がひかれてしまうのでしょうか？
またどういう時にこのような確認作業を行うのでしょうか？

また(3)は(1)〜(2)の流れで解けますが、もし(3)がそのまま問題として出された場合どう解けば良いのでしょうか？
どうか宜しくお願いします(>_<)
No.5980 - 2009/05/27(Wed) 13:48:12
☆ Re: 円と放物線 / 七
(2)
回答がどういう手順なのか知りませんが
図形全体はy軸について対称ですから
円が放物線の頂点を通るときではないかと考えるのが常識だと思います。
ただこの方法で求めたとき他に交点が2つあることを確かめる必要があります。
(3)
2点で接するだけの場合と3点を共有する場合を確認すればよいでしょう。
No.5982 - 2009/05/27(Wed) 15:30:20
☆ Re: 円と放物線 / aki
(2)確かに他の2点が共有点を持つかどうかは分からないので確認が必要ですね！ありがとうございます!

(3)接する時というのは2式を連立してD=0で求めれば良いのでしょうか？
No.6001 - 2009/05/28(Thu) 00:42:48
☆ Re: 円と放物線 / ヨッシー
(3)
どう連立させるかが問題ですが、ｘを消去するのが、簡単でしょう。
その上で、Ｄ＝０ です。
　√５＜ｒ＜３
になります。

下のような図をまず思い描いて、どの辺で共有点の数が変わるかを
考えればいいでしょう。

No.6009 - 2009/05/28(Thu) 06:06:34
☆ Re: 円と放物線 / aki
わかりました！
わかりやすく説明してくださりありがとうございました！
No.6021 - 2009/05/29(Fri) 01:48:56
★ 微分方程式 / mm
次の微分方程式を解きなさい。
(1)(x+y)+(x-y)dy/dx=0
(2)(x-y)dy/dx=2y
(3)dy/dx=(y/x)+sin(y/x)
(4)(dy/dy)cosx+ysinx=1

(1)〜(3)はy=ux,u+xdu/dx=dy/dxを使って答える問題で、
(4)はdy/dx+P(x)y=Q(x)の線形微分方程式で、
　　一般解y=e^(-∫P(x)dx)(∫e^(∫e^(P(x)dx)Q(x)+C) (C:任意定数)を用いて答える問題です。

解き方をお願いします！
No.5972 - 2009/05/27(Wed) 01:49:45
☆ Re: 微分方程式 / 雀
ヒントがあるので、それらを使ってu,xだけの式にします。
実際計算はしていませんが、そうすると簡単な微分方程式になると思います。

(4)については、一般解が書いてあるので代入すればいいのではないでしょうか。
No.5974 - 2009/05/27(Wed) 02:07:45
★ 三角関数 / 高一
３sinθ＋４cosθ＝５のときtanθの値を求めよ。

よろしくお願いします。
No.5968 - 2009/05/26(Tue) 23:20:00
☆ Re: 三角関数 / BossF
もっと簡単な方法があると思いますが、ぱっと浮かんだやつを

cosα＝4/5　sinα=3/5 0＜α＜90°なる αが存在し

３sinθ＋４cosθ＝５ より　sin(θ+α)=1 だから

θ+α＝90+360ｎ　∴θ＝90-α+360ｎ 　　 i.e. sinθ=cosα cosθ=sinα

あとは簡単（＾＾；；
No.5971 - 2009/05/26(Tue) 23:59:04
☆ Re: 三角関数 / roro
横から失礼します。

参考です。

★cosθ≠0
3tanθ＋4＝5(1/cosθ)
{3tanθ＋4}^2＝25(1/cosθ)^2
★公式【(1/cosθ)^2＝(tanθ)^2＋1
{3tanθ＋4}^2＝25{(tanθ)^2＋1}
0＝16(tanθ)^2−24(tanθ)＋9
0＝{4(tanθ)−3}^2
tanθ＝3/4
No.5975 - 2009/05/27(Wed) 02:15:52
☆ Re: 三角関数　第二案 / BossF
roroさんの、素直でいいですな　なぜひねくれたのしか思いつかないのかな、私

t=tan(θ/2) とおけば　cosθ=(1-t^2)/(1+t^2) sinθ=2t/(1+t^2)　←公式です
これを与式に代入し分母を払えば　　3(2t)+4(1-t^2)=5(1+t^2)
これを解いて　t=1/3

あとは倍角公式
No.5977 - 2009/05/27(Wed) 03:52:51
☆ Re: 三角関数 / らすかる
別解
3sinθ+4cosθ=5
(3/5)sinθ+(4/5)cosθ=1
-2(3/5)sinθ-2(4/5)cosθ=-2
1-2(3/5)sinθ-2(4/5)cosθ+1=0
(sinθ)^2+(cosθ)^2-2(3/5)sinθ-2(4/5)cosθ+(3/5)^2+(4/5)^2=0
(sinθ-3/5)^2+(cosθ-4/5)^2=0
よって sinθ=3/5, cosθ=4/5 なので tanθ=3/4
No.5978 - 2009/05/27(Wed) 05:49:02
☆ Re: 三角関数 / 高一
ありがとうございます。
とってもよくわかりました。
No.5987 - 2009/05/27(Wed) 20:28:35
★ 三角関数 / 高３
y=sin2θ+2(sinθ+cosθ)の最小値を求めよ。また、その時のθの値を求めよ。

よろしくお願いします。
No.5966 - 2009/05/26(Tue) 22:18:22
☆ Re: 三角関数 / BossF
y'=2cos2θ+2cosθ-2sinθ=2(cosθ-sinθ)(sinθ+cosθ+1)

これから増減を調べれば？
No.5970 - 2009/05/26(Tue) 23:48:09
☆ Re: 三角関数 / X
別解)
sinθ+cosθ=x (A)
と置くと三角関数の合成により
x=(√2)sin(θ+π/4)
∴-√2≦x≦√2 (B)
又
x^2=(sinθ+cosθ)^2=(sinθ)^2+(cosθ)^2+2sinθcosθ
=1+sin2θ
∴sin2θ=x^2-1 (A)'
(A)(A)'を問題の関数に代入すると
y=x^2-1+2x (C)
(B)の範囲で(C)の最小値を求めます。
No.5979 - 2009/05/27(Wed) 11:21:55
★ (No Subject) / あ
高校数学について のmiyagawa先生はどうされたのでしょうか？
元数学教師の方です。
No.5962 - 2009/05/26(Tue) 21:08:09
☆ Re: / Kurdt
http://www1.bbiq.jp/k_miyaga/

今もこちらで元気に活動されていますよ。
ホームページのアドレスが変わったようですね。
No.5965 - 2009/05/26(Tue) 22:00:04
★ 極限 / ak
こんばんは！
教えていただきたいことがあります、宜しくお願い致します！

http://t.upup.be/?3p7yB9UE73
の問題の(3)なのですが、
x^n{f(x)−1/2x^2}を整理して
=http://z.upup.be/?YnCx3owfBc
となったのですが、分母は2に収束することがわかるので、分子が収束すればよい。
まで分かったのですが、そこから分子をどうすればよいかわかりません。
式変形の仕方が良くないでしょうか？宜しくお願い致します(>_<)
No.5956 - 2009/05/26(Tue) 19:03:56
☆ Re: 極限 / 雀
画像が両方とも同じで、どのような問題なのかが分かりません。
分母分子をx^2で割っていますが、分子の計算が間違っています。
No.5961 - 2009/05/26(Tue) 20:30:53
☆ Re: 極限 / ak
すみません全体の問題は
http://u.upup.be/?QhD3ItWgVc
です。
分子の計算直しました！ありがとうございます。ただ直しても分子の収束条件はわかりません…宜しくお願いします…(>_<)
http://w.upup.be/?Wyc5kzxJ2Z
No.5964 - 2009/05/26(Tue) 21:30:00
☆ Re: 極限 / 雀
f(x)を有理化して、1/(2x^2)と通分すると
分母が2x^2(√(x^2+1)+x)
分子がx-√(x^2+1)
でx^nを掛けると
分母xの3次式
分子xの1+n次式
1+n≦3になれば収束します。
n=2とn<2の場合で極限値を求めてください。
No.5969 - 2009/05/26(Tue) 23:27:22
☆ Re: 極限 / aki
有理化してまとめた式まではわかりました。
それにx^nをかけると、結果分子にだけx^nがかかるので分母は2次式 分子はn＋1次式になりませんでしょうか？
またそれから先が全く分からないので、申し訳ありませんがどなたか解答例を示していただけないでしょうか？全体が全く見えないので…(>_<)
宜しくお願い致します(>_<)
No.6000 - 2009/05/28(Thu) 00:36:21
☆ Re: 極限 / aki
どなたかお願い致します(>_<)
No.6023 - 2009/05/29(Fri) 18:03:34
☆ Re: 極限 / angel
ちょっと、話がどこまで進んでいるか良く分からないので、一通り書きます。
で、予め断って置きますが、ものすごく都合よく進んでいるように見えるかも知れませんが、先に答えがわかっている状態で説明を書いている（整形した形で書いている）からであることに注意してください。

先に、塊をそのまま書くとごちゃごちゃするので、まとめてしまいます。

　A=√(x^2+1)-x
　B=√(x^2+1)+x
　C=B/x=√(1+1/x^2)+1

Aはf(x)の分子の部分ですね。B,Cは極限を求める時に、Aから導出する形です。特に、lim[x→+∞] C = 2 となります。
ここから、

　f(x)=A/x
　B-2x=A
　A=1/B ( AB=1 )
　B=xC

です。では、目的の式を変形します。

　x^n・( f(x)-1/(2x^2) )
　= x^n・( A/x - 1/(2x^2) )
　= x^(n-2)・( xA - 1/2 )
　= x^(n-2)・( x/B - 1/2 )
　= x^(n-2)・(2x-B)/(2B)
　= -x^(n-2)・(B-2x)/(2B)
　= -x^(n-2)・A/(2B)
　= -x^(n-2)/(2B^2)
　= -x^(n-2)/(2x^2・C^2)
　= -x^(n-4)/(2C^2)

ここまでくれば、n=4 の時 答え -1/8、n≦3 の時 答え 0 と分かります。
No.6030 - 2009/05/29(Fri) 22:50:25
☆ Re: 極限 / aki
ごめんなさいせっかく書いてくださったのですが、そもそも最初の式変形、有理化の辺りからどこまでやったらいいのかや、どう整理すればよいのかが分からないので、そこからpointなどをどうか教えて下さい…(>_<)

No.6036 - 2009/05/30(Sat) 16:18:15
☆ Re: 極限 / aki
ごめんなさい途中までわかりました、取り敢えず雀さんのやり方でやっていましたが、そうするとnが2の等号、以下の場合わけになりますが、答えは4での場合わけになるようです。せっかくこのやり方でやってみたのでこのやり方だとなぜ答えが合わないのかをどなたか教えて下さい。
angelさんの方法は今やってみています。
No.6038 - 2009/05/30(Sat) 16:36:22
☆ Re: 極限 / aki
angelさんの方法は式変形が最初から思い浮かばないようなものでちょっと難しいです(>_<)
どなたか高校生向けの解法を教えて下さい(>_<)
No.6039 - 2009/05/30(Sat) 16:42:02
☆ Re: 極限 / angel
申し訳ないのですが、この問題の解き方って、多分こんなもの位です。（勿論書き方は様々でしょうが）
ちょっと計算が面倒くさいのは確かなのですが。時間をかけて噛み砕いてみてください。

後、補足しますと、
1. 雀さんの解説
　雀さんの解説では、n=2 が分岐点になっていますが、これは誤りです。どこが問題かといえば、x-√(x^2+1) という「0に収束する形」を残したまま結論へ進んでいるからです。

2. 整式や分数、根号を含む形のx→∞の極限を求める時のセオリー
　ものすごく大雑把に言うと、「ax^nの形に近づける」というのがセオリーだと思います。
　例えば f(x) は x→+∞ で 0 に収束するわけですが、では、同じ 0 に収束する ax^n のどれに似ているかを考えた場合に、a/x ( =ax^(-1) ) に近いのか、a/x^2 ( =ax^(-2) ) に近いのか、a/x^3 ( =ax^(-3) ) に近いのか、というのはそのままでは分かりません。
　ここで、f(x)=A/x=1/(xB)=1/(x^2・C) と変形してあげれば、x→+∞ で C→1/2 ですから、f(x) に最も近い ax^n の形は 1/(2x^2) ( 1/2・x^(-2) ) だな、ということが分かります。
　更に(3)を考えると、x^n・( f(x)-1/(2x^2) )≒x^n・( 1/(2x^2)-1/(2x^2) )≒x^n・0 という形になるので、もっと詳しい計算が必要になりそうなことも分かります。
　※今回の計算から振り返ると、f(x)-1/(2x^2)≒-1/(8x^4) と言えます。

3. 式変形
　2. で説明した「ax^nの形に近づける」ためにどうすれば良いかと言えば、
　(1) ∞ に発散する部分を見つけ、a・x^n の形にする
　(2) 0 に収束する部分を見つけ、a/x^n の形にする
　(3) 0 に収束する部分が上手く変形できない場合は、有理化など別の手段を考える
　ということになります。
　A=√(x^2+1)-x の形であれば、

　A=x・√(1+1/x^2)-x
　　　…最初の項を「x^n×(非0に収束する形)」に書き換える
　= x・( √(1+1/x^2)-1 )
　　　…各項の中で最大の次数に合わせてまとめる
　= x・( √(1+1/x^2)-1 )( √(1+1/x^2)+1 )/( √(1+1/x^2)+1 )
　　　…1-1 の形があるので、有理化で解消を試みる
　= x・1/x^2・1/(√(1+1/x^2)+1)
　　　…途中経過
　= 1/x・1/(√(1+1/x^2)+1)　( = 1/xC )
　　　…最終形、1/x×(1/2に収束する形) になっている

　という計算になります。
　ただ、この通りにやっていると回り道になることもあり、どういう計算がベストかは時に依ります。そこは慣れて来れば、自分の力でアレンジしていく所です。
No.6047 - 2009/05/30(Sat) 18:36:41
☆ Re: 極限 / 雀
akiさんすみません。
angelさんありがとうございます。

自分の間違ってました。
通分したあとの式の分母分子に(x+√(x^2+1)を掛けなればなりませんでした。
No.6057 - 2009/05/30(Sat) 22:34:33
☆ Re: 極限 / ak
ごめんなさい難しくて分からないです…
まず∞のところはax^nの形に するのはどうしてですか？
そして0のところも同様にわかりません

また、思い付いたことなのですが、limx^nが∞だから{}の部分が0に収束しないといけない
という方法はとれないのでしょうか？

No.6088 - 2009/06/01(Mon) 21:44:57
☆ Re: 極限 / angel
えっと、なんでかっていうのは、
　1. ∞-∞の形
　2. ∞×0の形 ( ∞/∞ や 0/0 の形も同様 )
がどうなるかを見極めるためです。

単純な例で行くと
　例1-1. lim[x→+∞] x^3-x^2
　例2-1. lim[x→+∞] (x^2+1)/x
これらは、両方とも+∞に発散する形です。なぜかを直感的に言うと、例1-1なら、x^3の方がx^2より強いから、例1-2なら、分子の方が分母より強いから結果的に+∞が残る、となるわけですが、これは時々によって違うわけです。

　例1-2. lim[x→+∞] √(x^2+1)-x = 0
　例1-3. lim[x→+∞] √(x^2+2x+2)-x = 1
　例1-4. lim[x→+∞] √(x^4+1)-x = +∞

例1-2,1-3 は、同程度の∞同士の引き算なので、有限の値に収束しそうなのですが、そこは詳細に計算する必要があります。
例1-4は、√のついた項の方が強いので、+∞が残る結果になります。
ここらへんを判断する時に、ax^n の形で考えているわけです。

例1-2 なら、√(x^2+1)=x・√(1+1/x^2)≒x、例1-3なら、√(x^2+2x+2)=x・√(1+2/x+2/x^2)≒x なので同程度、
例1-4 なら、√(x^4+1)=x^2・√(1+1/x^4)≒x^2 なので x より強いということです。

更に進めると、
例1-2の場合、
　√(x^2+1)-x = x( √(1+1/x^2) - 1 )
という ∞×0 の形になるので、有理化等で対応する必要があることが分かります。分母・分子に √(1+1/x^2)+1 をかけると、
　√(x^2+1)-x = x( √(1+1/x^2) - 1 ) = 1/x・1/(√(1+1/x^2)+1) → 0 ( ≒ 1/(2x) )
となります。これは今回の問題で出てくる形ですね。

例1-3の場合、同じように ∞×0 の形になるので、やはり有理化等で対応する必要があるわけです。同様に変形すると、
　√(x^2+2x+2)-x
　= x( √(1+2/x+2/x^2) - 1 )
　= x( (1+2/x+2/x^2) - 1 )/(√(1+2/x+2/x^2) + 1)
　= (2+2/x)/(√(1+2/x+2/x^2)+1) → 1
となります。
なお、有理化することが最初から分かっているなら、
　√(x^2+2x+2)-x
　= ( (x^2+2x+2)-x^2 )/( √(x^2+2x+2)+x )
　= (2x+2)/( √(x^2+2x+2)+x )
　= (2+2/x)/( √(1+2/x+2/x^2)+1 )
という順番でやっても良いわけですが、頭の中では既に「同程度の∞の引き算」という判断をやっているものなのです。

ということで、収束・発散の状況を見極めるために、どの程度の強さの∞なのか(もしくは 0 … 1/∞ の形なのか)を、ax^n の形で計るものと考えて下さい。
No.6094 - 2009/06/02(Tue) 01:33:45
☆ Re: 極限 / angel
> limx^nが∞だから{}の部分が0に収束しないといけないという方法はとれないのでしょうか？

とれないです。
というよりも、それだけでは先に進めないです。

No.6047でも書きましたが、0 や ∞ でも様々あるわけです。
それがどの程度のものなのかを把握しないといけないのです。

今回の問題は、最終的には
　lim[x→+∞] x^n・(-1/(8x^4)) が収束する整数nおよび、極限値を求めよ
という問題とほぼ同じになります。
ここで、x^n は、nが正であれば+∞に発散する部分ですし、(-1/(8x^4)) は 0 に収束する部分です。
なので、∞×0 の形になるのですが、n によって状況が変わります。

n>4 の時、例えば n=5 であれば、
　x^5・(-1/(8x^4)) = -x/8 → -∞
ということで発散しますし、

n=4 の時ならば、
　x^4・(-1/(8x^4)) = -1/8 → -1/8
ということで、非0に収束しますし、

n<4 の時、例えば n=3 であれば、
　x^3・(-1/(8x^4)) = -1/(8x) → 0
ということで、0 に収束します

ここから遡って考えると、今回の問題で x^n・(何か) という形が与えられた時、(何か) の部分が -1/(8x^4) とほぼ等しいことを掴めないと解けなかった、ということになります。
なので極限を考える時は、ax^n の形にするのがセオリーだと言ったのです。
No.6100 - 2009/06/02(Tue) 13:17:07
☆ Re: 極限 / aki
少し分かってきました。ご丁寧に本当にありがとうございます助かります！
今まで不定形を解消するために取り敢えず高い次数のもので割るか有理化という考えでしたので、そこまで深く検討したことがなかったです…
式変形の仕方が難しいと思うのですが、例えば先にf(x)を有理化し、その後1/2x^2と通分というやり方でもできるのでしょうか？ それでやると分母は2に収束の形になりますが分子は−√(x^2＋1)/x^2となり行き詰まりました。
それとも先に有理化はせず割ったりx^nの形を考える方がいいとのことなのでしょうか?
No.6132 - 2009/06/03(Wed) 18:26:17
☆ Re: 極限 / angel
各項を全て ax^n の形に考えるのは、頭の中だけでも良いです。
少なくとも解答でそこまで書く必要はありません。書くのが大変になる場合もありますから。要は、「どの程度の ∞ もしくは 0 なのか」を自分で把握できれば良いのです。
把握できてさえいれば、計算の順番は好きにして良いですし、x^n 部分をくくり出すのも、好きなタイミングで良いです。
ただ、混乱した時は丁寧に ax^n の形で書いてみると良いでしょう。

※最初私が解いた時も、
　x^n・( A/x - 1/(2x^2) )
　= x^n・( AB/xB - 1/(2x^2) )　　…有理化
　= x^n・( 1/xB - 1/(2x^2) )　…()の中は 同程度の∞同士の引き算で、結果∞×0の形になる
　= x^n・(2x-B)/(2x^2・B)　　…通分して分数の引き算
　= x^n・(-A)/(2x^2・B)
　= -x^n・AB/(2x^2・B^2)　　…もう一度有理化
　= -x^n/(2x^2・B^2)
　= -x^n/(2x^4・C^2)　　…B=xCとしてxをくくりだす
　= -x^(n-4)/(2C^2)
　という変形でやっています。A,B,Cは書き易さのために、後からまとめただけなので、実際の計算は、√等が一杯出て来ている状態でやっています。

> 予め断って置きますが、ものすごく都合よく進んでいるように見えるかも知れませんが、先に答えがわかっている状態で説明を書いている（整形した形で書いている）からであることに注意してください。

と書いたのはそういうことです。色々試行錯誤して計算した内容を、後から書き/見易くまとめているのです。(模範)解答っていうのはそういうものです。
No.6144 - 2009/06/04(Thu) 01:27:13
★ 領域と最大 最小 / 高二の父
教えていただきたいのは、添付ファイルの問題です。
答は、(x^2+2x-y-3)(x^2+4x+y+3)≧0　とありますが
解き方がわかりません。

解法を教えてください。お願いします。
No.5955 - 2009/05/26(Tue) 18:26:55
☆ Re: 領域と最大 最小 / ヨッシー
添付がありませんが、おそらく、図の領域を表す
不等式を作れ、見たいな問題でしょうか？
No.5959 - 2009/05/26(Tue) 19:22:40
☆ Re: 領域と最大 最小 / 高二の父
> 教えていただきたいのは、添付ファイルの問題です。
> 答は、(x^2+2x-y-3)(x^2+4x+y+3)≧0　とありますが
> 解き方がわかりません。
>
> 解法を教えてください。お願いします。

慌てていて、添付ファイルを忘れました。
申し訳ありませんあらためてお願いします。
No.5960 - 2009/05/26(Tue) 19:55:41
☆ Re: 領域と最大 最小 / ヨッシー
あ、グラフを描き損ねました。
下に凸のグラフは
　y=x^2+2x-3
上に凸のグラフは
　y=-x^2-4x-3
です。

両方に挟まれた領域は、
　y≧x^2+2x-3 かつ y≦-x^2-4x-3
移項すると、
　x^2+2x-y-3≦０ かつ x^2+4x+y+3≦０
左と右に分かれた部分の領域は、
　y≦x^2+2x-3 かつ y≧-x^2-4x-3
移項して
　x^2+2x-y-3≧０ かつ x^2+4x+y+3≧０
以上より
　x^2+2x-y-3≦０ かつ x^2+4x+y+3≦０
または
　x^2+2x-y-3≧０ かつ x^2+4x+y+3≧０
でもいいのですが、両者が同符号(0も含む)←→掛けて正(0も含む)
なので、１つにまとめて、
　(x^2+2x-y-3)(x^2+4x+y+3)≧0　
となります。
No.5967 - 2009/05/26(Tue) 22:39:04
★ 切り取られる弦の長さ / 高二の父
中心が直線ｘ−ｙ＋１＝０上にある半径５の円が、ｘ軸から長さ６の線分を切り取る時、この円の方程式を求めよ。

本日２問目ですが、よろしくお願いします。
No.5954 - 2009/05/26(Tue) 18:12:45
☆ Re: 切り取られる弦の長さ / ヨッシー
図のような位置関係になります。
図の、？のところがわかれば、それが、中心のｙ座標になります。
No.5957 - 2009/05/26(Tue) 19:15:46
★ 図形と方程式 / 高二の父
解答を教えてください。
問題、異なる３直線x+y=1,3x+4y=1,ax+by=1が１点で交わる時、３点(1,1),(3,4),(a,b)は同一直線上にあることを証明せよ。ヒントには、px1+qy1=r,px2+qy2=rなら、点(x1,y1),(x2,y2)は直線px+qy=r上にある。と書いてありますが、わかりません。
よろしくお願いします。
No.5952 - 2009/05/26(Tue) 16:17:11
☆ Re: 図形と方程式 / X
問題の３直線の交点の座標を(p,q)とすると
p+q=1 (A)
3p+4q=1 (B)
ap+bq=1 (C)
(A)(B)(C)をそれぞれ
p・1+q・1=1
p・3+q・4=1
p・a+q・b=1
と見ると何か見えませんか？(ヒントをよく見ましょう。)
No.5953 - 2009/05/26(Tue) 16:58:29
☆ Re: 図形と方程式 / 高二の父
> 問題の３直線の交点の座標を(p,q)とすると
> p+q=1 (A)
> 3p+4q=1 (B)
> ap+bq=1 (C)
> (A)(B)(C)をそれぞれ
> p・1+q・1=1
> p・3+q・4=1
> p・a+q・b=1
> と見ると何か見えませんか？(ヒントをよく見ましょう。)
ヒントのヒントをいただき、よーく見たのですが、
何も見えてきません。
引続き教えてください。（ペコリ）
No.6013 - 2009/05/28(Thu) 20:33:13
☆ Re: 図形と方程式 / ハオ
僕がお役に立てるとは到底思いませんが僕なりの解答を明示したいと思います。
3直線の交点を(p,q)とおくと3直線は当たり前ながら(p,q)を通るので次の3本の式が得られます。
p+q=1
3p+4q=1
ap+bq=1
↓見やすくすると
p・1+q・1=1---?@
p・3+q・4=1---?A
p・a+q・b=1---?B
?@?A?Bはp×x+q×y=1という方程式に其々
(x,y)=(1,1) (3,4) (a,b)を代入したものだと見えませんか？
故に
px+qy=1---?Cという方程式上に(1,1) (3,4) (a,b)がある。
模試などでは?Cの式はp≠0 q≠0故?Cは直線を表す方程式である。という事を記載しないと△になるのではないでしょうか？
No.6015 - 2009/05/28(Thu) 23:05:28
★ １％は大きいか、小さいか / √
１％について考えてみました。

もし
「あなたが希望の大学に合格できる確率は１％です」
とか
「手術しても助かる確率は１％です」
と言われたら、絶望的ですよね。

でも
「この飛行機の落ちる確率は１％です」
と言われたら、
１００回飛ぶうち１回落ちるので、
そんな飛行機、恐くて乗れないですよね。

当たり前のことなのですが、
１％は、大きいか、小さいか、こんなに感覚の違うものなのですね。

すみません。ただの感想を書かせて頂きました。
No.5948 - 2009/05/25(Mon) 18:51:06
☆ Re: １％は大きいか、小さいか / DANDY　U
ある学校で
１％の人が季節性のインフルエンザにかかっている。
１％の人が新型インフルエンザにかかっている。
では　？
No.5949 - 2009/05/25(Mon) 21:15:33
☆ Re: １％は大きいか、小さいか / √
ＤＡＮＤＹ　Ｕさん
こんな感想にまでコメントくださいまして有り難うございます。


> ある学校で
> １％の人が季節性のインフルエンザにかかっている。
> １％の人が新型インフルエンザにかかっている。
> では　？

私の母校は生徒数、約１０００人ですが、
新型インフルエンザに、１％の１０人も感染していると、
この１％は、かなり「大きい」と思います。

言い方を変えて
「９９％が感染していない」と言われると、
一瞬ほっとしますが結局は同じなんですよね。


季節性インフルエンザの場合の１％は、決して小さくはない・・・といった感じでしょうか。。。
No.5951 - 2009/05/25(Mon) 23:53:29
☆ Re: １％は大きいか、小さいか / BossF
私を含めて一般人は比率ではなく絶対量で感覚的に認識するのでは？
100円の1％引き→無視
預金金利の1％引き上げ→重視

これらは、上の例も含めて具体的数値に換算してるからでしょう

比率の大小を皮膚感覚で認識する人を何人か知ってますが、一種の化け物ですね、彼ら（＾＾；；
No.5976 - 2009/05/27(Wed) 03:38:55
☆ Re: １％は大きいか、小さいか / √
ＢｏｓｓＦさん　コメント有り難うございます。

世の中で
％に換算しない方が実態をつかみ易いことってありますね。
No.5981 - 2009/05/27(Wed) 15:02:38
★ 確率分布の問題です?ｫ / 高校3年
二個のさいころを同時に投げるとき、次の各問いに答えよ。

（1）出る目の最大値がｋ以下である確率。

（2）出る目の最大値がｋである確率。

（3）出る目の最大値をＸとして、Ｘの平均と標準偏差を求めよ。

分からないので教えてください?ｬ
No.5944 - 2009/05/24(Sun) 22:38:17
☆ Re: 確率分布の問題です?ｫ / BossF
（1）例えば4以下しか出ない確率は4/6ですね

→(k/6)^2

（2）出る目の最大値がｋである確率⇔出る目の最大値がｋ以下である確率-出る目の最大値がｋ以下である確率
だから

(k/6)^2-{(k-1)/6}^2=(2k-1)/(6^2)

ここまでくれば、あとは簡単でしょう(＾o＾)
No.5947 - 2009/05/25(Mon) 05:42:14
★ (No Subject) / 銀
高等学校の数?Tの範囲の質問です
よろしくお願いします

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
x^3+x^3=(x+y)^3-3xy(x+y)

このように対称式を基本対称式(xy,x+y)だけの形（言葉変？）にするとき、

x^4+y^4,x^5+x^5,x^6+x^6　・・・

ではどうなるのでしょうか？
No.5942 - 2009/05/24(Sun) 19:41:30
☆ Re: / ヨッシー
(x+y)4
(x+y)5
(x+y)6
などを、展開して、余計なものを、やはり、基本対象式の和積で
表しつつ引きます。

たとえば、
　(x+y)4＝x4+y4+4x3y+4xy3+6x2y2
　＝x4+y4+4xy{(x+y)^2-2xy}+6(xy)2
なので
　x4+y4＝(x+y)4−4xy{(x+y)^2-2xy}−6(xy)2
という具合です。
No.5943 - 2009/05/24(Sun) 20:08:28
☆ Re: / らすかる
(x^3+y^3)(x+y)=x^4+y^4+xy(x^2+y^2) から
x^4+y^4=(x^3+y^3)(x+y)-xy(x^2+y^2)

(x^4+y^4)(x+y)=x^5+y^5+xy(x^3+y^3) から
x^5+y^5=(x^4+y^4)(x+y)-xy(x^3+y^3)

(x^5+y^5)(x+y)=x^6+y^6+xy(x^4+y^4) から
x^6+y^6=(x^5+y^5)(x+y)-xy(x^4+y^4)

のようにして計算することもできますね。
No.5946 - 2009/05/25(Mon) 02:39:16
★ 軌跡 / aki
こんにちは！
質問お願い致します！
http://s.upup.be/?SsaBrWLMUV
から
http://x.upup.be/?fCeFVN7Tys
への式変形が情けない事に理解できません…
どう考えればよいのか教えて下さい(>_<)
No.5940 - 2009/05/24(Sun) 18:13:38
☆ Re: 軌跡 / 雀
最初の画像の前に何か条件式がありませんか？
最初の画像をみると
x^2-(1-2y)(x^2+y^2)≧0　　　
x/(1-2y)>0

から
y(x^2+y^2-(y/2))≧0
x>0
になっていますが、いきなりx>0にならないと思います。
No.5941 - 2009/05/24(Sun) 18:28:50
☆ Re: 軌跡 / BossF
x^2-(1-2y)(x^2+y^2)=x^2-(x^2+y^2)+2y(x^2+y^2)
=-y^2+2y(x^2+y^2)
=2y(x^2+y^2-(y/2))≧0
からy(x^2+y^2-(y/2))≧0　はいいですよね

http://x.upup.be/?fCeFVN7Tysの方に”1-2y＜0のとき…”という記述が見えるのでおそらくここで1-2yの符号による場合分けが行われているのでは？
1-2y＞0ならx/(1-2y)>0 よりx＞0　ですよね
No.5950 - 2009/05/25(Mon) 22:27:57
☆ Re: 軌跡 / aki
そうですね、場合わけの範囲の考慮や条件を忘れていました…ありがとうございます(>_<)

あとこの問題は元々
http://p.upup.be/?ggyKPuV5uM
なのですが、
http://t.upup.be/?OMVg4b2abu
http://s.upup.be/?frowHZk5IB
の部分で、1−2y>0のときはなぜf(0)=0の時も入って1−2y<0のときは入らないのでしょうか？
前者の方はx^2は0より大きいですし、yが例え0でも全体として0になることはないと思うので=0の時は含まないように思えてしまいます。同じ理由で後者は0が入らないとわかるのですが…(>_<)
どうか宜しくお願い致します(>_<)
No.5963 - 2009/05/26(Tue) 21:15:53
☆ Re: 軌跡 / 雀
両方ともx^2+y^2>0
でいいかと思います。問題文にx>0とあるので
x^2+y^2=0になることはないですね。
No.5973 - 2009/05/27(Wed) 01:52:26
☆ Re: 軌跡 / aki
そうですか良かったです！とても悩んでしまいました(^^;)
とても助かりましたありがとうございました!
No.6004 - 2009/05/28(Thu) 00:55:06
★ (No Subject) / むささび３年
確率の問題です。

１と書かれたカードが3枚、２と書かれたカードが３枚、３と書かれたカードが１枚、計７枚のカードがあるとき、6枚のカードを選んで一列に並べて何通りの6ケタの整数が作れるか。

という問題です。
これは一つ一つ書いていくしかないのですか？
No.5937 - 2009/05/24(Sun) 00:42:15
☆ Re: / 雀
確率の問題ではないですよね。

６枚並べるのでどれか１枚使わない。
その使わない１枚のカードが[1]の数字のカードか[2]の数字カードか[3]の数字のカードかで場合分けてして考えてはどうでしょう。
No.5939 - 2009/05/24(Sun) 02:40:26
★ (No Subject) / あきら
関数の増減の範囲について質問させて頂きます。
凹凸などはまだなので3段の増減表の場合なのですが、2段目のy'の所に記入する符号はどうやって+か-を調べればいいのでしょうか？

画像がなくて下手な質問で分かりづらいかと思うのですが、宜しくお願いします。
No.5936 - 2009/05/24(Sun) 00:40:01
☆ Re: / にょろ
その間の数を適当にy'に入れてみる
(-1〜1までなら0いれるとか)

あとはyみてその範囲で連続で下がっているなら-あがっているなら+

若しくはやりやすいところだけ調べて+と-を交互に入れる（高校レベルだとこれで大体あたる）

一番目がやっぱり安全です
No.5938 - 2009/05/24(Sun) 01:08:43
☆ Re: (No Subject) / あきら

増減表埋まりました!
本当にありがとうございました!
時間が足りない時は２つめの方法で挑みたいと思います!

No.5945 - 2009/05/24(Sun) 23:29:14
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