ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ＊Sana＊

数学Aからです。

【1】1から8までの8個の数字から3個の数字を取り出したとき、その和が12になる場合は何通りあるか。

【2】男子10人、女子12人の中から男女それぞれ1人ずつの委員を選ぶ。このときの選び方の数を求めよ。

【3】大小2個のサイコロを同時に投げるとき、目の出方は何通りあるか、また両方とも偶数の目が出る場合の数を求めよ。

中学の復習でもあるのですが、忘れてしまったので；教えて頂けると助かります。宜しく御願いします。

No.2184 - 2008/08/21(Thu) 00:52:06

☆ (No Subject) / ヨッシー

【1】(8,3,1)(7,4,1)(7,3,2)(6,5,1)(6,4,2)(5,4,3)
の６通りです。
【2】10×12＝120(通り)
たとえば、男A,B の2人、女a,b,c の3人とすると、
　Aa,Ab,Ac　Ba,Bb,Bc
の６通りです。
【3】
6×6＝36(通り)
両方偶数は、
3×3＝9(通り)

No.2190 - 2008/08/21(Thu) 12:27:08

☆ Re: / ＊Sana＊

有難う御座いました!

No.2205 - 2008/08/21(Thu) 21:51:56

★ 対数の平行移動についてです。 / ティアラ★

A:y=log1/2(2x＋6) B:y=log1/2x
AのグラフはBのグラフをどのように移動したものか。
という問題です。
途中の計算式でわからなくなるのです。
忙しいと思いますがなるべく早く返事いただけると嬉しいです。
お願いします。

No.2181 - 2008/08/21(Thu) 00:23:35

☆ Re: 対数の平行移動についてです。 / ヨッシー

Ａはｙ＝(log1)/{2(2x+6)} のようにも見えます。

とりあえず、1/2 が底だと仮定して解いてみます。
Ａ：ｙ＝log_1/2(2x+6)＝log_1/22(x+3)
　＝log_1/22＋log_1/2(x+3)
　＝－１＋log_1/2(x+3)
よって、ＡはＢのグラフをｘ軸方向に－３、ｙ軸方向に－１
平行移動したもの、となります。

No.2182 - 2008/08/21(Thu) 00:42:39

☆ Re: 対数の平行移動についてです。 / ティアラ★

すみません。
1/2は底です...
でもよく分かりました！！超納得です。
ありがとうございました！

No.2185 - 2008/08/21(Thu) 11:01:41

☆ もう１つお願いします！ / ティアラ★

指数不等式です...
累乗の入力の仕方が分からず非常に見にくいのですが。

次の不等式を解け。
４(x)-２(x)-12≧０
という問題です。xは二つとも指数で、４のx乗マイナス２のx乗...という感じです。本当に分かりにくくてすみません。

No.2186 - 2008/08/21(Thu) 11:28:55

☆ Re: 対数の平行移動についてです。 / rtz

べき乗の記号は" ^ " が一般的です。
(キーボード右上の方、"へ"や"～"と同じキー)

4^x＝(2^x)²
さらに2^x＝t(＞0)とすると…。

No.2188 - 2008/08/21(Thu) 11:54:10

☆ (No Subject) / ティアラ★

??^??ですねッ！ありがとうございます。

問題ですが...
4のx乗は(2のx乗)^としても、
(2^)x乗としても同じなのでしょうか？

No.2189 - 2008/08/21(Thu) 12:11:47

☆ Re: 対数の平行移動についてです。 / ヨッシー

「＾」は、「２乗」の意味ではなく「乗」の意味しか持っていません。
ｘの２乗は、ｘ^2。ｘの３乗は、ｘ^3 です。

で、問題は
　４^x－２^x－12≧０
ですね？上の記事の
>4のx乗は(2のx乗)^としても、
>(2^)x乗としても同じなのでしょうか？
は、
＞４^xは(２^x)^2 としても、
＞(２^2)^xとしても同じなのでしょうか？
の意味だとすると、同じかと言えば同じですが、
(２^2)^x では、その先進めませんね。
　４^x－２^x－12≧０
の、－２^x と、いかにして合わせるかが、変形の目標に
なりますので、４^x＝(２^x)^2 としないと、意味がありません。

No.2191 - 2008/08/21(Thu) 12:37:16

☆ (No Subject) / ティアラ★

いろいろとすみません...
でも分かりましたッ！

ありがとうございましたー★

No.2192 - 2008/08/21(Thu) 12:52:04

★ (No Subject) / ゆこ

こんばんは。はじめまして、ゆこといいます。
2次関数の問題で分からないところがあります。

2次関数ｆ(x)=x^2-2(a+1)x+a^2+2a+3(aは定数)

(1)y=f(x)のグラフがx軸の正の部分、負の部分とそれぞれ1点で交わるとき、aの値の範囲はアイ＜a＜ウ

(2)不等式x^2-x-2≦0を満たす全てのxについてf(x)≦0となるとき、aの値の範囲はエオ＜a＜カ　　　

まず、f(x)の頂点（a+1,-4)を求めました。

(2)は、
軸の方程式a+1≧0とa+1＜0で場合わけをしました。
x軸の正の部分、負の部分とそれぞれ1点で交わるという条件
、が分かりませんでした。

(3)はx^2-x-2≦0を解いて、-1≦x≦2になりました。
条件より、f(-1)≦0、f(2)≦0、f(0)＜0を解いたんですが、このときに軸の方程式の場合分けは、しなくてもいいんでしょうか？

No.2176 - 2008/08/20(Wed) 20:05:44

☆ Re: / rtz

(1)
この手の問題では、
・判別式・軸の位置・特定のxにおけるf(x)の値
の3つがポイントになります。

が、今回の場合、
グラフを想像してもらえれば分かるかと思いますが、
x軸の正負で1点ずつ交わる場合、軸の位置は特定できません。
よって判別式と、x＝0におけるf(x)の値(f(0)＜0)です。
しかし、y＝f(x)は2次関数であり、下に凸ですので、
f(0)＜0さえ満たせば判別式は必ず正です。
よってf(0)＜0を考えればよいでしょう。

(2)
f(0)＜0を考えられた理由はなぜですか？

No.2178 - 2008/08/20(Wed) 22:09:10

☆ Re: / ゆこ

　丁寧な説明をありがとうございます。

(1)は分かりました。
(2)は、f(0)＜0を満たすと、x軸より下にグラフができると思ったからです。この条件は必要ないのでしょうか？

No.2180 - 2008/08/20(Wed) 23:48:37

☆ Re: / rtz

必要ありません。
f(x)が2次関数で、2次の係数が正ですから下に凸なのは明らかです。
よってx＝-1とx＝2で0以下であれば、-1≦x≦2で0以下になります。

f(-1)≦0、f(2)≦0でaの範囲を出した後、
f(0)＜0のaの範囲も出してみてください。
答えに影響しないかと思います。

No.2187 - 2008/08/21(Thu) 11:51:05

★ (No Subject) / ゆくいく

ありがとうございます。
あと分かんないところがいくつか・・・・。

１　負の割り算のやり方

　12 ÷(-4)＝－3
　　32 ÷(-8)＝
　　(-54)÷(-6)＝
　　(-56)÷ 7 ＝

なんとなく
一問目は12÷ －４=－3　みたいなかんじすけど

その後の下の問題を解説してもらいたいと思います。

No.2172 - 2008/08/20(Wed) 16:50:03

☆ (No Subject) / ヨッシー

一応、マイナスを含んだ掛け算は理解した前提です。
　32 ÷(-8)
-8 に何を掛けたら、32 になるだろうかと考えます。
2,3,4 などのプラスの数を掛けると、-16,-24,-32 で、いずれもマイナスになるので、
「プラスの数を掛けていてもダメだ」
と気付きます。次に、-8 に、-1,-2,-3,-4, などを掛けて、
32 になるものを探します。

下にも書きましたが、答えは見えないだけで、書かれていますよ。

No.2174 - 2008/08/20(Wed) 17:02:43

☆ Re: / ゆくいく

ありがとうございます。
答えの事しってますから大丈夫です。（書くの面倒・・・

No.2193 - 2008/08/21(Thu) 15:16:04

★ (No Subject) / shiyo

問1：aは定数とする。
f（θ）= a（√３sinθ-cosθ）-（√3sin2θ＋cos2θ）＋a＋1
について次の問いに答えよ。ただし、0°≦θ≦180°とする。
?@　方程式f（θ）= 0が相異なる3つの実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。（解答：-1＜a≦0）

問2：t=sinθ＋cosθとおく。sinθcosθをtを用いて表せ。
（　解答：（t²-1）／2　　）

問3：0≦θ≦πのとき、t=sinθ＋cosθのとりうる値の範囲を求　　めよ。（解答：-1≦t≦√2）

問4：0≦θ≦πのとき、
　　θの方程式 2sinθcosθ-2（sinθ＋cosθ）-k=0の解の個数　　を定数kが次の3つの値の場合について調べよ。
　　　k=1 、k=1-2√2 、k=-1.9
　　（解答：k=1のとき、1個。 k=1=2√2のとき、2個。　　　　　k=-1.9のとき、3個。）

宜しくお願い致します。

No.2165 - 2008/08/20(Wed) 14:58:01

☆ (No Subject) / ヨッシー

問1
合成の公式より
f(θ)=a(√3sinθ-cosθ)-(√3sin2θ＋cos2θ)+a+1
　=a{2sin(θ-Π/6)+1}-{2sin(2θ+Π/6)-1}
より、y=2sin(θ-Π/6)+1 と y=2sin(2θ+Π/6)-1 のグラフを描くと以下のようになります。

このうち、y=2sin(θ-Π/6)+1 の方のグラフをａ倍して、
y=2sin(2θ+Π/6)-1 のグラフと３点で交わるようにａを調整すると、
　-1＜a≦0
が得られます。

問2
２乗して
　ｔ²＝sin²θ＋2sinθcosθ＋cos²θ＝１＋2sinθcosθ
より、

問3
合成公式より
　ｔ＝√2sin(θ+π/4)
最大は、θ＝π/4 のとき√2
最小は　θ＝π のとき－１

問4
微分使って良いですか？

No.2168 - 2008/08/20(Wed) 16:17:49

☆ Re: / shiyo

すいません。まだ微分習っていません。。

No.2171 - 2008/08/20(Wed) 16:46:54

☆ Re: / 7bitm　

たいていの問題は、それまでの問題が
ヒントになるので利用します。

問2より、方程式を変形させて、
k=(t^2-1)-2t
=t^2-2t-1
=(t-1)^2-2

問3より、
【-1≦t≦√2】
t=√2, -1≦t<1 のとき解は１つ
1≦t<√2 のとき解は２つ

kを代入して
k=1 のとき、 t=1-√3 …解は１つ
k=1-2√2 のとき、 t=√2,2-√2 …解は２つ
k=-1.9のとき、 t=1±√10/10 …解は３つ

No.2175 - 2008/08/20(Wed) 19:47:21

☆ Re: / shiyo

ヨッシーさん　7bitmさん　有り難うございます！！

No.2203 - 2008/08/21(Thu) 20:52:46

★ へ・ヘルペスミー / L

Σn=１から無限log２底（ｎ＋１/ｎ）
これって
lim無限log２底（ｎ＋１/ｎ）＝０
で収束
して
lim無限log２底（n+１）＝無限
になってこれって和が発散？？

てかんじでわかりません

No.2159 - 2008/08/20(Wed) 13:26:05

☆ Re: (無題) / ヨッシー

どれが問題で、どれが解説で、どれが自分の解答？？

てかんじでわかりません

問題をまず正しく書いてください。

No.2160 - 2008/08/20(Wed) 13:36:08

☆ Re: へ・ヘルペスミー / L

すみません（笑）
問題が
Σn=１から無限log２底（ｎ＋１/ｎ）
なんですが

liman＝lim無限log２底（ｎ＋１/ｎ）＝０
で収束かぁ・・とおもったら

limＳｎ＝lim無限log２底（n+１）＝無限
になってあれ？これって収束してなくね？？・・
というわけなんですが

No.2161 - 2008/08/20(Wed) 13:50:23

☆ Re: へ・ヘルペスミー / L

すいませんあと
こういいうときって
log底２
っていうんですかね；；；；；；

No.2162 - 2008/08/20(Wed) 13:53:23

☆ Re: へ・ヘルペスミー / ヨッシー

どちらでも通じればいいです。

普通は、log(2)(n+1/n) と書いたりします。
タグを使うなら、log＜sub＞2＜/sub＞と書くと、log₂ と表示されます。（＜＞は実際は半角）

それよりも、n+1/n は、(n+1)/n のことでしょうか？
n+1/n だと、普通 n+(1/n) の意味になり、これだと
無限に行ってしまいます。

No.2163 - 2008/08/20(Wed) 13:58:16

☆ Re: へ・ヘルペスミー / ヨッシー

で、問題ですが、
　Σ_n=1～∞log₂((n+1)/n)
で、

　(与式)＝log₂(2/1)＋log₂(3/2)＋・・・＋log₂((k+1)/k)＋log₂((k+2)/(k+1))＋・・・
　＝log₂{(2/1)(3/2)(4/3)・・・((k+1)/k)((k+2)/(k+1))・・・}
　＝lim_n→∞log₂(n+1)→∞
なので、収束しないぞ、と言いたいわけですね？

その通り収束しません。
単一の項が０に収束しても、和は収束するとは限りません。
例　Σ_n=1～∞(1/n)

No.2164 - 2008/08/20(Wed) 14:14:42

☆ Re: へ・ヘルペスミー / L

なるほど・・・・☆
まじでわかりました☆☆
まじでありがとううございますｍｍｍｍｍｍｍｍｍｍ

No.2166 - 2008/08/20(Wed) 15:14:48

★ 高３です。 / あずさ

はじめまして。教えていただきたい問題があります。

aを正の整数、b,cを整数とし、
f(x)=ax^2+bx+2ab+10、g(x)=x+2、h(x)=2x^3-x^2+cx+2とする。
(1)f(x)がg(x)で割り切れるとき、a,bは(a-あ)(b+い)+う=0を満たす。
したがって、a=え、b=お,またはa=か、b=き、である。

(2)h(x)=(x+1)f(x)+8x+4がすべてのxについて成り立つとき、
a=く、b=け、c=こ、である。

平仮名のあ～こが解答となります。たいへん見にくい文章で申し訳ありません。
よろしくお願いします

No.2147 - 2008/08/19(Tue) 21:08:14

☆ Re: 高３です。 / rtz

どこが分からないのか具体的に書いていただけますか？
(1)はともかく(2)が全く分からないというのはないと思いますが…。

No.2150 - 2008/08/19(Tue) 22:26:57

☆ Re: 高３です。 / あずさ

説明不足で申し訳ありません。

(1)はほぼお手上げ状態でした。すみません；；

(2)はとりあえず式どおりに数字を代入して計算しました。(この方法でいいのか分かりませんが；)
ｘで整理すると(2-a)x^3+(-1-b)x^2+(cx-2ab-18)x-2=0となったのですが、違う気がしてなりません。
それにここから先がわからなくなりました。

No.2151 - 2008/08/19(Tue) 22:44:39

☆ Re: 高３です。 / rtz

(1)
何も出てこないというなら
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/jyouyo/jyouyo.htm
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/insteiri/insteiri.htm
を復習された方がいいでしょう。
因数定理は本問において重要なポイントではありますが、
詰まるべきはここではなく、その先です。

方針としては
因数定理からa,bの関係式を出す
→問題文の形に直す(あ,い,うの部分)
→(a－あ),(b＋い)が整数であることから(a－あ),(b＋い)の候補を絞る
になります。

(2)
＞数字を代入して
代入などされていないようですが…。
＞(2-a)x^3+(-1-b)x^2+(cx-2ab-18)x-2=0
残念ながら違います。
もう一度確認してください。

方針としては
h(x)－{(x+1)f(x)＋8x＋4}＝0が全てのxで成り立つので、
xのべき乗の係数が全て0であることから、
a,b,cに関する連立方程式を解く、となります。

失礼ながら、書かれた内容から察するに、
かなり実力的に不足しているようです。
休みの終わりにも近い時点で言うことではないかもしれませんが、
分からない部分はきちんと復習しなおされた方がいいと思います。

No.2154 - 2008/08/20(Wed) 01:01:53

☆ Re: 高３です。 / にょろ

補足です。

(2-a)x^3+(-1-b)x^2+(cx-2ab-18)x-2=0
は
任意のxで成立するa,b,cが存在するはずがありません。
なぜならx=0を代入すれば見ての通りです。

No.2156 - 2008/08/20(Wed) 02:09:40

☆ Re: 高３です。 / あずさ

一日頑張ってみました＞＜

(1)を因数定理でやってみたところ、a=8b=-3,a=2b=-9という解答になったのですがあっているでしょうか？

紹介してくださったサイト、わかりやすかったです。ありがとうございます。

(２)ですが、代入して左辺と右辺で係数比較する、ということですよね。そこを理解していませんでした；；
整理して、
2x^3-x^2+cx+2=ax^3+(a+b)x^2+(2ab+b+18)x+2ab+14となり、
係数比較して、a=2,b=-3,c=3となりました。

大丈夫でしょうか？

No.2167 - 2008/08/20(Wed) 16:10:12

☆ Re: 高３です。 / rtz

はい、問題ありません。

No.2177 - 2008/08/20(Wed) 21:53:49

☆ Re: 高３です。 / あずさ

ありがとうございました！
復習して頑張ってみようと思います。

No.2201 - 2008/08/21(Thu) 17:54:20

★ (No Subject) / ＊Sana＊

初めまして。高1です。分からない問題があるので教えて頂けないでしょうか?

【1】２次関数y=-x^2+2ax（0≦x≦2）について。

?@最大値M(a)を求めよ。

?Ay=M(a)のグラフを書け。

【2】２次関数y=x^2-3x-1について　(a＞0とする)

?@0≦x≦aにおける最大値が3であるとき、定数aの値を求めよ。

――――――――――――――――――――――――
【1】の?@は自分で解いてみたのですが、

　　　a＜0のとき最大値Mは0(x=0)
(答)　0≦a≦2のとき最大値Mはa^2(x=a)
　　　a＞2のとき最大値Mは4a-4(x=2)

でしょうか?(汗)

【1】の?Aはグラフの書き方が分かりません><；

宜しくお願い致します。

No.2144 - 2008/08/19(Tue) 20:03:40

☆ (No Subject) / ヨッシー

(1)
前半は合っています。

y=M(a)のグラフは、横軸がａ、縦軸がｙのグラフです。
　ｙ＝０のグラフ　・・・（ａ軸上のグラフ）
　ｙ＝ａ^2 のグラフ　・・・（下に凸のグラフ）
　ｙ＝４ａ－４　・・・（直線）
を、ａの範囲関係なく、まず書いてみましょう。
その後で、３つのグラフがなめらかにつながるように
ａの範囲によって、グラフを選びます。

(2)
y=x^2-3x-1＝(x-1.5)^2-3.25
より、ｙの値は　　　　　※グラフを描いてくださいね
ｘ＝０でｙ＝－１
x=1.5 で最小になり　y=-3.25
ｘ＝３で再び　ｙ＝－１　となり、
あとは増えるのみです。
そのどこかにｙ＝３となるｘの値があります。それがａです。

No.2145 - 2008/08/19(Tue) 20:15:02

☆ Re: / ＊Sana＊

お返事が遅くなり申し訳ありません。

凄く分かりやすい説明有難う御座いました^^

助かりました。

No.2183 - 2008/08/21(Thu) 00:45:09

★ 証明 / 桜　高校2

たびたびすみません。
よろしくお願いいたします。

△ABCにおいて、次の等式が成り立つことを証明せよ。
asinA-bsinB=c(sinAcosB-cosAsinB)

まったく検討がつかずわかりませんでした。。

教えてください
よろしくお願いいたします。

No.2138 - 2008/08/19(Tue) 16:12:14

☆ Re: 証明 / 明智小五郎

△ABCの外接円の半径をRとします。

正弦定理より、
sinA=a/(2R), sinB=b/(2R)

また、余弦定理より、
cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca),
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
となります。

これらを使えば道は開けることでしょう。

No.2140 - 2008/08/19(Tue) 17:26:53

☆ Re: 証明 / 明智小五郎

桜　高校2さん、
その後、いかがですか・・・？

No.2146 - 2008/08/19(Tue) 20:19:58

☆ Re: 証明 / 桜　高校2

明智小五郎さんっ、お返事遅れてしまいすみません。
おかげさまで解けました☆
ありがとうございます。

また、何かありましたらよろしくおねがいいたします。

No.2148 - 2008/08/19(Tue) 21:39:51

★ 角 / 桜　高校2

こんにちは。
よろしくお願いいたします。

a=9,b=8,c=4 である三角形ABCのA,B,Cについて、
0°＜C＜30°、60°＜B＜90°＜A＜120°であることを示せ。

という問題がまったくわかりませんでした(>_<)
いったいこれはどのようにするのでしょうか。

教えてください
よろしくお願いいたします。

No.2137 - 2008/08/19(Tue) 16:01:17

☆ Re: 角 / 七

余弦定理を用いてcosA，cosB，cosCの値を求めて
1＞cosC＞√(3)/2，1/2＞cosB＞0＞cosA＞－1/2
がいえれば

0°＜C＜30°、60°＜B＜90°＜A＜120°であることを示せます。

No.2139 - 2008/08/19(Tue) 17:24:37

☆ Re: 角 / 桜　高校2

七さん、ありがとうございます☆
おかげさまでできました！

類似の問題で

△ABCにおいてBC＞CA＞ABである。
ｃosAsinC,cosBsinBおそびcosCsinA野中で最大のものをＭ、最小のものをmとする。
M,mを求めよ。

という問題が解けませんでした><
教えてください。
たびたびすみませんよろしくお願いいたします。

No.2142 - 2008/08/19(Tue) 18:28:58

☆ Re: 角 / 七

> △ABCにおいてBC＞CA＞ABである。
のとき A＞B＞C なので(これだけではありませんが)
cosA＜cosB＜cosC で 0＜cosB＜cosC
sinA＞sinB＞sinC＞0 がいえます。

No.2143 - 2008/08/19(Tue) 18:56:36

☆ Re: 角 / 桜　高校2

ありがとうございます。

A＞B＞Cまでどうやって求めたらよいでしょうか。

たびたびすみません。

No.2149 - 2008/08/19(Tue) 21:49:09

☆ Re: 角 / 七

> △ABCにおいてBC＞CA＞AB のとき A＞B＞C
は数Aでやっているはずです。

No.2173 - 2008/08/20(Wed) 16:50:33

★ 教えてください / amiamibunbun

?@ｘの２次方程式x２乗-2ax＋3a＝０の２つの解（重解を含む）が両方とも１より大きくなるとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。

?Aｍを定数とし、ｆ（ｘ）＝ｘ２乗＋ｍ＋３、ｇ（ｘ）＝ーｍｘとする。ｘは０以上で、常に、ｆ（ｘ）はｇ（ｘ）より大きい、となるためのｍの値の範囲を求めよ。

この２問お願いします。

No.2129 - 2008/08/18(Mon) 16:22:16

☆ Re: 教えてください / にょろ

とりあえず
x２乗はやめませふ
x^2が普通の表記
(1)
f(x)=x^2-2ax+3a
まず
判別式/4>=0
次に
f(x)は下に凸だから
f(1)>0
さらに軸がx=1より大きくなくてはならない

下の画像の赤い点の部分がポイント

(2)
f(x)>g(x)
f(x)-g(x)>0
x^2+mx+m+3>0
～

No.2132 - 2008/08/18(Mon) 20:43:58

☆ Re: 教えてください / amiamibunbun

返信ありがとうございます！

No.2135 - 2008/08/19(Tue) 07:53:20

★ 三角関数 / shiyo

aは定数とする。
f（θ）= a（√３sinθ-cosθ）-（√3sin2θ＋cos2θ）＋a＋1
について次の問いに答えよ。ただし、0°≦θ≦180°とする。
?@関数 y=√3sinθ－cosθのグラフの概形を書きなさい。
?At=√3sinθ-cosθとおくとき、f（θ）は次のように表されることを示しなさい。
　f（θ）＝t²＋at＋a－1

宜しくお願い致します。

No.2127 - 2008/08/18(Mon) 12:46:28

☆ Re: 三角関数 / にょろ

y=√3sinθ－cosθ=2(sin(x-π/6))
∵三角関数の合成より

t^2=3sin^2θ-2√3sinθcosθ+cos^2θ

√3sin2θ+cos2θ=2√3sinθcosθ+cos^2θ-sinθ
=-t^2+2

∴f（θ）= a(√3sinθ-cosθ)-(√3sin2θ＋cos2θ)+a+1
=at-(-t^2+2)+a+1
=t^2+at+a-1

でどうでしょ？
あと、全角と半角混ぜないでください
コピペするとき辛い

No.2133 - 2008/08/18(Mon) 20:59:49

☆ Re: 三角関数 / shiyo

にょろさん　有り難うございます！！

No.2134 - 2008/08/18(Mon) 22:20:30

★ 微分方程式の応用 / 白梅

高校３年生の問題です。宜しくお願い致します。

（問題）ある曲線上の任意の点Pにおける接線が、
　　　　X軸,Y軸と交わる点をそれぞれQ、Ｒとする時、
　　　　Pがつねに線分QＲの中点であるような
　　　　曲線を求めよ。

（解答）求める曲線ｙ＝f(x)上の任意の点をP（x,y）
　　　　とするとPにおける接線の方程式は、
　　　　Ｙ－ｙ＝(dy/dx)(Ｘ－x)
　　　　よって点Ｒのy座標はＸ＝０として、
　　　　Ｙ＝y－x*(dy/dx)
　　　　「Pが線分QＲの中点であるから
　　　　２ｙ＝ｙ－x*(dy/dx)」これより、
　　　　x*(dy/dx)＝－ｙとなり、xy≠０のとき、
　　　　（１／ｙ）*（dy/dx）＝－１／ｘとなるから、
　　　　∫（１／ｙ）*（dy/dx）*dx＝－∫（１／ｘ）dx
　　　　よってlog｜y｜＝－log｜x｜＋Ｃ（１）
　　　　ゆえにｙ＝±{ｅ^(Ｃ（１）)／ｘ}
　　　　ここで±ｅ^(Ｃ（１）)＝Ｃとおくと、
　　　　ｙ＝Ｃ／ｘ（Ｃ≠０）
　　　　したがって求める曲線は　
　　　　双曲線群ｘｙ＝Ｃ　（Ｃは０以外の任意の定数）

私が疑問に思うのは解答の鍵括弧の所です。
中点Pを求める際にそのような計算をすれば
カギ括弧の中の式が得られるのかが分かりません。
その前までに出てきた式を変形してみたのですが
なかなか上手くいかず、
その式を立てる事が出来ません。

宜しくお願い致します。

No.2113 - 2008/08/17(Sun) 21:50:11

☆ Re: 微分方程式の応用 / to

ｙ軸上の点Ｒのｙ座標　y－x*(dy/dx)
ｘ軸上の点Ｑのｙ座標　0
ＲＱの中点Ｐのｙ座標　Y
　以上から、Y＝[{y－x*(dy/dx)}＋{0}]/2
　両辺２倍、2Ｙ＝－x*(dy/dx)

【参考】
(a，b)，(c，d)の中点
　{(a＋c)/2，(b＋d)/2}

No.2115 - 2008/08/18(Mon) 00:01:16

☆ ありがとうございました＾＾ / 白梅

to様、深夜遅くにも関わらず、
分かりやすい回答ありがとうございました＾＾

なるほど、中点座標を出すには
線分の端の点を１／２すれば簡単に
出せるのですね。接線の方程式を無理に
難しく考えてしまって、基本的な事を忘れていました。
やっと理解できました＾＾

ありがとうございました＾＾

No.2120 - 2008/08/18(Mon) 09:13:28

★ 図形 / 中1

「２つの三角形（△ABC △DEF）において　２組の辺（AB＝DE、AC＝DF）がそれぞれ等しく、その１組の等しい辺の対角（その辺に向かい合う角　∠B＝∠E）が等しいとき、この２つの三角形は合同（△ABC≡△DEF）であるか、または、他の１組の等しい辺の対角が補角（∠C+∠F＝2∠R）をなす」
この事柄を図を用いて証明せよ　との問題

No.2109 - 2008/08/17(Sun) 19:39:40

☆ 図形 / 中1

すみません。質問文の途中で間違って投稿してしまいました。
　答えは必ずしも合同になるとは限らないという結論になるようですが、よくわからいのでよろしくお願いします。

No.2110 - 2008/08/17(Sun) 19:55:35

☆ Re: 図形 / Ｂｏｂ

三角形の合同条件と照らし合わせましょう

No.2112 - 2008/08/17(Sun) 21:43:43

☆ Re: 図形 / 中1

> 三角形の合同条件と照らし合わせましょう

Bob さま

基本的な三角形の合同条件（三辺相等、二辺挟角、二角挟辺）はもちろんわかっているんです。

基本的な合同条件を踏まえた上での宿題です。

ネットで調べてみたところ　あまり有名ではない定理で
『二辺と1対角』というのがあるみたいです。
　上の問題の条件の場合、
・△ABC≡△DEF　　　か
・∠C＋∠F＝2∠R　
のどちらかが成り立つという定理があるようです。
この定理は習っていませんが、三角形の基本的な合同条件や習ったことを踏まえて証明してしてみなさいということだと思うのです。

No.2114 - 2008/08/17(Sun) 22:04:25

☆ Re: 図形 / rtz

調べればすぐ出てきそうな気はしますが…。

図の通り2辺1非狭角の場合、
△DEF、△DEF'の2つの可能性があるということです。

今回は結論まで書いてあるのですから、
その結論に合うような図を描けば解くことができますね。

No.2119 - 2008/08/18(Mon) 04:44:53

☆ Re: 図形 / 中1

> 調べればすぐ出てきそうな気はしますが…。
>
> 図の通り2辺1非狭角の場合、
> △DEF、△DEF'の2つの可能性があるということです。
>
> 今回は結論まで書いてあるのですから、
> その結論に合うような図を描けば解くことができますね。

なるほど。。
「他の１組の等しい辺の対角が補角（∠C+∠F＝2∠R）をなす」
という部分をどう図で示して証明したらよいのかがよくわからなかったのですが、
rtzさんの図をみてよくわかりました。
すっきりしました。
本当にありがとうございました。

No.2124 - 2008/08/18(Mon) 11:48:26

★ 平面図形(三角形) / ポテチ

中学２年生(中高一貫進学校なので３年の範囲かもしれません)の夏休みの宿題です。
△ABCの底辺BCの中点をDとする。辺AB,ACをそれぞれ斜辺とする直角二等辺三角形ABG,ACHを△ABCの外側にそれぞれ作る。このとき、DG=DH,角GDH=90°になることを証明せよ。
よろしくお願いします。

No.2108 - 2008/08/17(Sun) 18:03:26

☆ Re: 平面図形(三角形) / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

宿題とあらばヒントにとどめましょう。

ＡＢ,ＡＣの中点をそれぞれＩ,Ｊとし、ＩとＧ,ＤおよびＪとＨ,Ｄを結びます。
中点連結定理などをつかって　△ＩＧＤと△ＪＤＨを比較すると・・・・

∠ＧＤＨ＝∠ＧＤＩ＋∠ＩＤＪ＋∠ＪＤＨ＝∠ＤＨＪ＋∠ＤＪＣ＋∠ＪＤＨ＝・・・

・・・という方向で考えていけば何とかなるかもね・・・

No.2116 - 2008/08/18(Mon) 01:00:06

☆ Re: 平面図形(三角形) / ポテチ

ＤＡＮＤＹ　Ｕさま！！

ありがとうございました。
こんなところに合同があったなんて！目からうろこでした。
シンプルすぎてどう手を付けたらいいかわからなかったのですが、「中点連結定理！」脱帽です。

これで夏が終われます。ありがとうございました。

No.2123 - 2008/08/18(Mon) 10:28:30

★ 変数分離形微分方程式 / 白梅

高校３年生の問題です。宜しくお願いします。

（問題）微分方程式dy/dx＝－２ｙを解け。
　
（解答）dy/dx＝－２yにおいて、ｙ≠０とすると、
　　　　(1/y)*(dy/dx)＝－２　両辺をＸで積分すると、
　　　∫(1/y)*(dy/dx)*dx＝∫（－２）dx
　　　∫(1/y)dy＝∫（－２）dx
　　　log｜y｜＝－２x＋Ｃ（１）（Ｃ（１）は定数）
　　　よってｙ＝±ｅ^(－２x＋Ｃ（１））
　　　ここでＣ＝±ｅ^(Ｃ（１））とすると、
　　　「ｙ＝Ｃｅ^(－２x) (Ｃ≠０)
　　　また関数ｙ＝０は微分方程式を満たしており、
　　　これはＣ＝０のとき表される。」
　　　したがって、求める一般解は
　　　ｙ＝Ｃｅ^(－２x) （Ｃは任意定数）

私が疑問に思うのは解答の鍵括弧の所です。
カギ括弧前半部分でＣは０でないと定義しているのに
後半部分でＣ＝０のとき、ｙ＝０を満たすと言うのは
矛盾しているのではないでしょうか？
Ｃが０で定義できないのなら、ｙ＝０も
成り立つ事も出来なくて、答えも
「Ｃは０を除く任意の定数」と
するべきではないでしょうか？

宜しくお願い致します。

追伸：豆様、七様、前回回答して下さった
　　　質問に対して返信が遅くなりました。
　　　申し訳ございません。そして、豆様、
　　　もしこの質問を見て下さっているならば
　　　前回の質問に返信しているので見ていただけないで　　　　
　　　しょうか？ぜひ豆様の意見が聞きたいと思います。

No.2103 - 2008/08/17(Sun) 13:55:49

☆ Re: 変数分離形微分方程式 / rtz

これはどちらかというと文章の切れ目の問題に近いでしょう。

y≠0で議論を進めているのですから、
y＝C*e^-2xとしたなら、当然C≠0は付記すべき事項です。

その上で(「また」の前後で議論が変わります)、
除外したy＝0は微分方程式を満たしているので、これも加える必要があり、
y＝C*e^-2xにおいてC＝0とすればy＝0となり、まとめて表記できることから、
y＝C*e^-2x (Cは任意の定数)としているわけです。

別にy＝C*e^-2x (C≠0) または y＝0でも間違いではありません。
でもまとめられるならまとめた方がいいよね、ということです。

No.2104 - 2008/08/17(Sun) 14:14:23

☆ ありがとうございました＾＾ / 白梅

rtz様、素早くて大変分かりやすい
回答をありがとうございました＾＾

確かにrtz様が仰る通り、解答部分をどこで
場合分けしているのかが理解できていませんでした。
ｙ≠０⇔Ｃ≠０が１つの場合、
ｙ＝０⇔Ｃ＝０を１つの場合と考えれば、
なるほど、全体的に条件を満たすのは
Ｃが任意の定数ですね。rtz様の説明は
とても分かりやすいです。やっと納得できました＾＾

今、またこの問題を解き直しましたが、
ｙ≠０とした後、(1/y)*dy＝－２dxと考えて、
∫（1/y)*dy＝∫（－２）*dxを導いてもよいことが
分かったので、追加してここに書いておきます。

ありがとうございました。＾＾

No.2106 - 2008/08/17(Sun) 15:19:36

☆ Re: 変数分離形微分方程式 / 豆

白梅殿
以前の問題に関するコメントを入れました。

No.2122 - 2008/08/18(Mon) 09:49:33

☆ ありがとうございました＾＾ / 白梅

豆様、回答ありがとうございました。

ようやく納得できました＾＾
追伸という小さい告示だったにも関わらず、
見つけて回答して下さってありがとうございました＾＾

今後また機会がありましたら、
宜しくお願い致します。＾＾

No.2126 - 2008/08/18(Mon) 12:16:30

★ ２次関数 / 爆弾三朗　（高１）

２次関数
Y=-2x^2+8x-4 の定義域をc<=x<=c+1　とし、この定義域における２次関数の最大値をM、最小値mとする。

M+ｍのとりうる値を考えるとき、M+ｍの最大値と、そのときのcの値をもとめよ。

よろしくお願いいたします。

No.2102 - 2008/08/17(Sun) 13:50:22

☆ Re: ２次関数 / rtz

この分野の問題に慣れていらっしゃらないのでしたら、
普通にM、mをcの値で場合分けして出し、
M＋mをcで表して、最大値を求めた方がいいでしょう。

ある程度慣れているなら、
Mはx＝c＋(1/2)が軸の位置のとき、
mはx＝cおよびx＝c＋1の値が等しいとき、
要は区間の中央が軸と一致するときM＋mが最大になることは分かりますので、
あとはここで最大になることを言えばよいでしょう。

No.2105 - 2008/08/17(Sun) 15:16:44

☆ Re: ２次関数 / 爆弾三朗　（高１）

わかりました。

ご指導ありがとうございました。

No.2130 - 2008/08/18(Mon) 19:07:05

★ (No Subject) / 7bitm　

・△ABC≡△DEF　
・∠AGD＝60°
このとき図において、
AE,BF,CDの中点同士を結ぶと
正三角形になることの証明。

自力で解くと補助線が凄まじくなってしまって。
簡単な解き方は無いでしょうか。お願いします。

No.2092 - 2008/08/17(Sun) 03:26:40

☆ Re: / にゃんこ先生といいます

複素数を使うとよいのでは?
A=0,B=b,C=cとする。
△ABCをAを中心に-60度回転(-ωをかける)し、平行移動(pをたす)したのが△DEFだから、
D=p,E=-ωb+p,F=-ωc+p

AE,BF,CDの中点はそれぞれ、
(-ωb+p)/2,(b-ωc+p)/2,(c+p)/2

ところで、点α,β,γが正の向きに正三角形をなすとき、
α+ωβ+ω^2γ=0
だから、それらはこの式を満たすので正三角形

No.2093 - 2008/08/17(Sun) 07:57:05

☆ Re: / にょろ

↑複素数は高校の範囲になっていないので使えそうにありません。
（何ではずした文科省中途半端な行列は残したくせに）

なので座標を使ったらどうでしょう?
a(0,0),b(1,0),c(1/2,1/√3)
d(c,d)～

で、それの中点を求める
というのは？

No.2096 - 2008/08/17(Sun) 08:41:22

☆ Re: / 7bitm　

図形的に考えなくても良いんですね！

複素数の方は感覚的にしかわからないのでちょっと。

座標の方は60°をどう使うかがわかりません。
それと、　c(1/2,1/√3)　というのもいまいち…

No.2101 - 2008/08/17(Sun) 12:09:06

☆ Re: / にょろ

あ、思いっきり間違えました
a(0,0),b(2,0),c(1,√3)
でした。

少し急いでいたので…
正三角形はすべて合同なので一辺の長さが2の時だけ考えればよいことになります。
d(c,d),e(e,f)
とするとfはどう表せますか?

ただタブン複雑になりますよ^^;

No.2107 - 2008/08/17(Sun) 17:08:44

☆ Re: / 7bitm　

度々すみません。
a,b,cを結ぶと正三角形になるのは解ったのですが、
その「a,b,c」は何を指すのでしょうか。

３つの中点ならばd,eは何を指すのでしょうか。
△ABCの頂点ならば△ABCは正三角形とは限らないので
おかしくなってしまい…。

というわけでfが表せないのです…

No.2111 - 2008/08/17(Sun) 21:02:34

☆ Re: / にょろ

あ、問題読み間違えました

それはもう力一杯
というわけでこの方法でやると
変数が大量に出てくるのでお勧めしません。
A(0,0)B(1,0)←ここまでは決めて問題ない
C(a,b)

D(c,d)
E(e,f)
ただし
DE=1
F(g,h)
ただし
AC=DF
AB=DF
という座標には表せます。
が、これを計算で持って行くとなると
大変だと思います。

あとは、行列もありますが…

No.2117 - 2008/08/18(Mon) 02:33:11

☆ Re: / 7bitm　

やっぱりそう簡単にはいかないですね。
座標は角度が入ると辛いです。

一応図に30本ぐらい線を引けば図形的に証明できるには
できます(もっと簡単にできるかも、ですが)

にょろさん、にゃんこ先生といいますさん、
ありがとうございました。

No.2118 - 2008/08/18(Mon) 04:35:08

☆ (No Subject) / ヨッシー

ごりごり計算するには違いありませんが、

図のように、△ＡＢＣと△ＤＥＦは、ある点を中心に60°回転した関係にあります。
（ある点とは、ＡＤ，ＢＥそれぞれの垂直二等分線の交点です）
この中心を原点として D(a,b),E(c,d),F(e,f) とおくと、
A((a-√3b)/2,(√3a+b)/2),B((c-√3d)/2,(√3c+d)/2),C((e-√3f)/2,(√3e+f)/2) となり、
AE,BF,CDの中点の座標を出して、中点間の距離の２乗を計算すると、いずれも
　a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+√3(ad+cf+eb-af-cb-ed)-(ac+ce+ea+bd+df+fb)
になります。

それはさておき、この問題は、図のように

１つの頂点を共有する３つの正三角形の問題に帰着するのですが、
こういうの、どなたかご存じないですか？

おまけ

No.2136 - 2008/08/19(Tue) 14:16:09

☆ Re: / 7bitm　

「１つの頂点を共有する３つの正三角形の問題」
ならしっていますよ。

この問題自体が、
一年前に実習生として来ていた大学生から出された
その問題をアレンジして作ったものですから。

自分の解き方は、その問題の形にしてから解いていく、
というものですし。

No.2153 - 2008/08/20(Wed) 00:32:56