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★ 数学?U / ミポ
次の２変数関数の原点における連続性を調べよ。
（１）
ｆ（ｘ、ｙ）＝xy／√（x＾２＋y＾２）のとき（x、y）≠（０．０）、０のとき（x、y）＝（０．０）

読みにくいかも知れませんが答え方が全く分からないので詳しい解説お願いします。
No.4558 - 2009/01/13(Tue) 09:35:32
☆ Re: 数学?U / BossF
　(x,y)≠(0.0)のとき f(x,y)=xy/√(x^2+y^2)
　 (x,y)＝(0.0)のとき f(x,y)=0 (が正しいと信じて)

lim[(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)=0 なら連続です


No.4579 - 2009/01/14(Wed) 09:39:43
★ (No Subject) / L
f(z)が正則ならば、｜f(z)｜は極大値を持たないことを示せ。

という問題の解き方がわかりません。よろしくお願いします。
No.4553 - 2009/01/13(Tue) 00:37:47
☆ Re: / サボテン
Cauchyの積分公式より、
Cをz周りの半径rの円として、
f(z)=1/(2πi)∫_C f(ξ)/(ξ-z)dξ・・・?@

M≡|f(z)|を極大値とする。
C上で∃ξ、|f(ξ)|
M=|f(z)|>M
これは矛盾。
よってf(z)は極大値を持つなら定数関数しかありえない。
No.4566 - 2009/01/13(Tue) 19:30:44
★ 平面図形 / タラちゃん(小４）
図がかけないので、わかりづらいと思いますが、教えてください。
(問題)半径4cmの円4つをそれぞれの円周が1点で交わるように重ねたところ四角形ABCDが正方形になりました。
かげをつけた部分の面積を求めなさい。

図は、正方形の中に4つの円がそれぞれ重なっています。（花びら型の部分が4つできています）その花びら型の部分二つ分のところにそって直線が辺ABから辺DCまで平行に2本引いてあります。（横に細長い長方形の中に花びら型が二つある）その細長い長方形の部分がかげのついた部分です。

わかりづらくてすみません。
どうしてもわからないので、お願いします。
No.4549 - 2009/01/12(Mon) 22:10:23
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー

図を描いてみましたが、この先どうするか？
あるいは、全然ちがうのか？
教えてください。
No.4550 - 2009/01/12(Mon) 23:42:00
☆ Re: 平面図形 / タラちゃん(小４）
すみません。全然ちがいます。
正方形の中に、
4つの円(半径4cm）
○○
○○が、少しずつ重なって（花びら型４まいができる程度）正方形に接して４つ全てがおさまっています。
そして、真ん中の花びら2つ(横長の花びら）の上部と下部に接するように平行な直線が２本引いてあります。（正方形のたての辺AB,DCに垂直な線です）その平行な２本の線と、正方形のたての線が接して横に細長い長方形ができ、その部分がかげの部分です。
細長い長方形のなかに花びら型が入っています。

（正方形の真ん中に横線が2本引いてあり、その幅の中に花びら型２つがおさまっている状態です。
その、横に細長い長方形の部分の面積を求める問題です。）

本当に、わかりづらくてごめんなさい。
No.4552 - 2009/01/13(Tue) 00:22:50
☆ Re: 平面図形 / hari
このような図ですか？
影の部分はEFGH？


No.4555 - 2009/01/13(Tue) 01:50:50
☆ Re: 平面図形 / タラちゃん(小４）
はい、そのとおりです。
よろしくお願いします。
No.4557 - 2009/01/13(Tue) 07:10:44
☆ Re: 平面図形 / らすかる
(かげの部分の面積)
＝{(緑色)＋(水色)}×2
＝{(緑色)＋(黄色)}×2
＝(赤色)×2
＝(8cm×8cmの正方形の面積)÷2
No.4559 - 2009/01/13(Tue) 10:27:37
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
らすかるさんの方がわかりやすいですが、
一応のせておきます。

影の部分を図のようにＬ字形の図形に直します。
これは、１辺８ｃｍの正方形から、少し小さい正方形を引いたものです。

一方、外側の正方形の１辺は、
　4cm＋4cm＋(1辺4cmの正方形の対角線)
なので、右上の小さい正方形は、1辺4cmの正方形の２倍の面積になります。
よって、求める面積は
　８×８−４×４×２＝３２(cm2)
となります。
No.4560 - 2009/01/13(Tue) 11:40:20
☆ Re: 平面図形 / タラちゃん(小４）
ヨッシー先生、hari先生、らすかる先生
私のわかりづらい説明を読み取ってくださって、また、ていねいに教えてくださってありがとうございました。

よくわかりました。
No.4562 - 2009/01/13(Tue) 17:22:38
★ 重責分の問題教えてください。 / ゆうすけ
Dを（）内の不等式で表される領域とするとき、次の2重積分の値を求めよ。（領域Dも図示せよ。）

∫∫[ ,D]sin(2x+y)dxdy (0≦x≦π/2, x≦y≦2x)


途中までしか分かりませんでした。
∫∫[ ,D]sin(2x+y)dxdy
=∫[π/2,0]{∫[2x,x]sin(2x+y)dy}dx
=∫[π/2,0]{-cos ・・・
すみませんが宜しくお願いします。
No.4548 - 2009/01/12(Mon) 22:02:16
☆ Re: 重責分の問題教えてください。 / BossF
∫[2x,x]sin(2x+y)dy=[-cos(2x+y)][2x,x]
=cos3x-cos4x

∴∫[π/2,0]{∫[2x,x]sin(2x+y)dy}dx
=∫[π/2,0](cos3x-cos4x)dx
=[(sin3x)/3-(sin4x)/4][π/2,0]
=-1/6

あってるかなぁ(^^;;
No.4580 - 2009/01/14(Wed) 09:50:18
☆ Re: 重責分の問題教えてください。 / ゆうすけ
ありがとうございました。
No.4611 - 2009/01/15(Thu) 21:59:57
★ 高校1年の図形問題 / 数学助けて
高校1年の数学の問題です。

問題；BC=3,CA=4,cosB=-1/4(マイナス4分の1)
　　　である△ABCがある。

(1)sinBの値を求めよ。

(2)辺ABの長さを求めよ。また、△ABCの面積を求めよ。

(3)△ABCの外接円の周上にBと異なる点Dを、BC=CDとなるようにとり、
　ACとBDの交点をEとする。このとき、CEの長さを求めよ。また、
　△CDEの面積を求めよ。

…です。
全く解らないので、教えてください!!
No.4538 - 2009/01/12(Mon) 15:04:24
☆ Re: 高校1年の図形問題 / ヨッシー
cosθ＝-1/4 となるような角は、以下のような角です。


これを使って、△ＡＢＣの図を描くと、このようになります。


(1) sin2θ＋cos2θ＝１ を使うと、
　sinＢ＝√15/4
(2) 余弦定理　CA2＝AB2＋BC2−2AB・BCcosＢ　を使うと、
　AB＝2
また、公式 △ＡＢＣ＝(1/2)AB・BC・sinＢ　を使うと、
　△ＡＢＣ＝3√15/4

とりあえず、ここまで。
No.4546 - 2009/01/12(Mon) 19:09:31
☆ Re: 高校1年の図形問題 / 数学助けて
なるほど！
ありがとうございます！
わかりやすいです！！

問題は3番ですね…
No.4547 - 2009/01/12(Mon) 19:57:15
☆ Re: 高校1年の図形問題 / ヨッシー

外接円の半径Ｒとすると、sin∠ＡＢＣ＝√15/4 より、
　２Ｒ＝ＡＣ/sin∠ＡＢＣ＝16/√15
△ＢＣＤにおける正弦定理より
　sin∠ＥＢＣ＝ＤＣ/２Ｒ＝3√15/16
よって、
　cos∠ＥＢＣ＝11/16
また、∠ＥＢＣ＝∠ＢＤＣ　から
　ＢＤ＝２ＤＣcos∠ＢＤＣ＝33/8

一方、△ＡＢＣにおける余弦定理より
　cos∠ＡＣＢ＝7/8
　sin∠ＡＣＢ＝√15/8
図のようにｘ、ｙを取ると、
△ＢＣＥにおける正弦定理より、
　x/sin∠ＥＢＣ＝y/sin∠ＥＣＢ
よって、
　ｙ＝(2/3)x

方べきの定理　ＡＥ・ＥＣ＝ＢＥ・ＥＤ　より
　x(4-x)＝y(33/8−y)
これに、　ｙ＝(2/3)x を代入して解くと、ｘ＞０ より
　ｘ＝9/4　また　ｙ＝3/2
△ＣＤＥ＝(1/2)ＤＣ・ＤＥsin∠ＥＤＣ
　＝189√15/256
No.4551 - 2009/01/13(Tue) 00:10:13
☆ Re: 高校1年の図形問題 / 数学助けて
ありがとうございます！

図が付いていてい
すごくわかりやすかったです
No.4556 - 2009/01/13(Tue) 04:56:06
★ 微分係数 / さき(高２)
解き方から分かりません；

問...関数f(x)=2x^2-3 について x=2 における微分係数を定義にしたがって答えよ。


あと『関数f(x)=-x^2+2x について f'(3) の微分係数を求めよ。』
という問題は、先の問題と同じ解答法でいいのでしょうか？

解答お願いします。
No.4527 - 2009/01/12(Mon) 11:57:59
☆ Re: 微分係数 / ヨッシー
定義にしたがってとあるので、定義に当てはめます。
f(x) の x=a における微分係数は、
　limdx→0{f(a+dx)−f(a)}/dx
なので、
　limdx→0[{2(a+dx)^2-3}−(2a^2-3)]/dx
　＝・・・

後半は、文章が少し変ですが、定義式をいちいち書かなくても、
公式通りで良いのでしょう。
微分係数 f'(3) を求めよ。の方が良いし、f'(3) を求めよ。
で十分です。
No.4529 - 2009/01/12(Mon) 12:07:56
☆ Re: 微分係数 / さき(高２)
解けました!!
いつも丁寧にありがとうございます。
No.4533 - 2009/01/12(Mon) 13:18:26
☆ Re: 微分係数 / さき(高２)
再び質問です!

3次関数 f(x)=ax^3+bx^2-6 がある。
f'(1)=7,f(-2)=4 となるように定数a,bの値を定めよ。

という問題の解き方が分かりません。。
解答よろしくお願いします。
No.4539 - 2009/01/12(Mon) 15:21:35
☆ Re: 微分係数 / にょろ
何処まで分かったのか書かないと…

f'(x)=3ax^2+2bx
f'(1)=3a(1)^2+2b(1)=7
f(-2)=a(-2)^3+b(-2)^2-6=4
後は中学一年生の問題です。
No.4542 - 2009/01/12(Mon) 17:31:20
☆ Re: 微分係数 / さき(高２)
連立で解くんだろうなぐらいしか
分かりませんでした；
ありがとうございました!
No.4544 - 2009/01/12(Mon) 17:54:07
★ 数Ａ / 高1
★四角形が円に内接する条件
(1)１組の対角の和が180度である
(2)１つの外角が、それと隣り合う内角の和に等しい

上の定理の(2)の場合を、(1)の場合を用いて証明せよ。


★右の図において、AR,BP,CP,DRはそれぞれ角の二等分線である。このとき、4点P,Q,R,Sは同一円周上にあることを証明せよ。

2問立て続けですみません。解答の指針を教えてください。よろしくお願いします。
No.4525 - 2009/01/12(Mon) 11:52:34
☆ Re: 数Ａ / ヨッシー
★(2) は成り立ちません。

図において、●＝○＋△ にはなりませんよね？

★△ＡＤＲと△ＢＣＰの内角の和を足したものを考えます。
　それから、∠ＡＲＤと∠ＢＰＣの和がいくつになるかを
　計算します。
No.4528 - 2009/01/12(Mon) 12:02:36
☆ Re: 数Ａ / 高1
＞１つの外角が、それと隣り合う内角の和に等しい

申し訳ありません。
「１つの外角が、それと隣り合う内角の対角に等しい」ですね。
No.4535 - 2009/01/12(Mon) 13:23:59
☆ Re: 数Ａ / ヨッシー
向かい合う２つの角を∠Ａ、∠Ｃとし、∠Ｃの外角をθとします。
(1) ∠Ａ＋∠Ｃ＝180°
(2) θ＝∠Ａ
∠Ｃ＋θ＝180°　（θは∠Ｃの外角）は自明なので、
(1)と(2)は同値となり、(1)が四角形が円に内接する条件
であるならば、(2)も四角形が円に内接する条件となります。
No.4536 - 2009/01/12(Mon) 13:40:34
☆ Re: 数Ａ / 高１
ありがとうございます。
No.4537 - 2009/01/12(Mon) 14:50:11
★ (No Subject) / yuzuki
質問をお願いします。

9^2x-k･9^x-k＝0が0＜x＜1/2においてただ1つの解をもつときの正の整数kを求めよ。

判別式をつかうと思うのですが･･･解まで出ませんでした。
よろしくおねがいします。
No.4524 - 2009/01/12(Mon) 11:39:40
☆ Re: / ヨッシー
X=9^x とおくと、この問題は
　X^2-kX-k＝0が1＜X＜3においてただ1つの解をもつときの正の整数kを求めよ。
と書き換えられます。
　f(X)＝X^2-kX-k
とおくと、f(1) と f(3) が異符号になるのが必要十分条件です。
No.4526 - 2009/01/12(Mon) 11:54:08
☆ Re: / DANDY　U
[補足]
f(X)＝X^2-kX-k　が 1＜X＜3 の区間において X軸と接するとただ１つの解をもつので、
そのようなことにならないことを確認しておきましょう。
No.4530 - 2009/01/12(Mon) 12:21:08
☆ Re: / yuzuki
ありがとうございます！
No.4531 - 2009/01/12(Mon) 12:28:45
★ (No Subject) / あき
前回の質問まだわからなくて考え中ですすみません…
質問お願いします(>_<)
http://q.upup.be/?kT0oRmsVSx
の問題で(3)の
http://q.upup.be/?zJpDZBQK04
のかこってる部分がわからないのですがどう考えればこういう極限の答えが出るか教えていただけませんでしょうか？
No.4518 - 2009/01/11(Sun) 23:16:30
☆ Re: / ヨッシー
g(x) は、何ですか？
No.4520 - 2009/01/11(Sun) 23:55:39
☆ Re: (No Subject) / あき
すみません!!!
g(t)=t/(logt＋1)

です。
No.4532 - 2009/01/12(Mon) 13:04:01
☆ Re: / ヨッシー
logｔ に t=1/e を代入すると、log(1/e)＝−１ ですから、
logｔ＋１ は０になります。
g(x)＝t/(logｔ＋１) において、ｔ→1/e に近づけるとき、
分子は、正のある値(０でも、無限でもないという意味です)に
近付きます。
分母は
1)ｔが1/e より小さい値から1/e に近付くと、
logｔ＋１ は、０より少し小さい状態で０に近付くので、
g(x) は、−∞に飛びます。
2)ｔが1/e より大きい値から1/e に近付くと、
logｔ＋１ は、０より少し大きい状態で０に近付くので、
g(x) は、＋∞に飛びます。

limx→0(1/x) が、ｘ→−０ と ｘ→＋０ とで、
−∞ に飛んだり、＋∞に飛んだりするのと同じです。
No.4534 - 2009/01/12(Mon) 13:19:59
☆ Re: (No Subject) / あき
そうですね!!
段々思い出してきましたありがとうございます(^^)
No.4727 - 2009/01/21(Wed) 11:14:13
★ 平面幾何 / kzkaki
AB=5,BC=CA,CA=3である。△ABCにおいて∠Aの二等分線と辺BC の交点をDとし、辺BCの中点をEとする。また、△ADEの外接円と辺ABの交点をFとする。このとき、線分BD,BFの長さを求めよ。


線分BDの長さはわかるのですが、線分BFについてわからないことがあります。

方べきの定理をそのまま運用するのではなく、相似から求めていけ、と担当の教師からも言われているので、
△BAE∽△BEFから、BE:BF=BA:BEとして求めていったら答えが9/5となりました。
そこで質問なのですが、どこが間違っているのでしょうか？

答えは 9/4 で、BF:BE=BE:BDを用いるようです。
No.4516 - 2009/01/11(Sun) 22:47:37
☆ Re: 平面幾何 / ヨッシー
図のようになると思いますが、
とても、ＢＦが 9/5＝1.8 や 9/4=2.25 になるように見えませんが。

No.4519 - 2009/01/11(Sun) 23:49:03
☆ Re: 平面幾何 / kzkaki
ご回答、ありがとうございます。
答えは 9/4 で間違いはありません。
問題のほうもミスタイプはありませんでした。
No.4521 - 2009/01/12(Mon) 02:37:34
☆ Re: 平面幾何 / kzkaki
まことに申し訳ありません。
もう一度、数値のみでなく確かめたところ、「BC=6,CA=3」にするところを「BC=CA,CA=3」としてしまいました。
No.4522 - 2009/01/12(Mon) 03:04:29
☆ Re: 平面幾何 / ヨッシー

△BAE∽△BEF
としたのが誤りです。
図のように、△BEF と相似なのは△BAD です。
No.4523 - 2009/01/12(Mon) 06:31:38
☆ Re: 平面幾何 / kzkaki
なぜ、∠BDA=∠BFE,∠EFB=∠ADB なのかわかりません。

接弦定理を用いて∠FEB=∠DABではないのでしょうか？
No.4541 - 2009/01/12(Mon) 16:06:14
☆ Re: 平面幾何 / ヨッシー
ＢＣは接線ではないので、接弦定理は使えません。

ここで使うのは、円に内接する四角形の向かい合った角の
和は180°という性質です。
No.4545 - 2009/01/12(Mon) 18:09:40
☆ Re: 平面幾何 / kzkaki
接線ではないのですか…
すみません、勘違いしていました。
お手数をおかけしました。
No.4554 - 2009/01/13(Tue) 01:21:45
★ ガウスの発散定理の問題です / 大1
空間の領域Ｇを楕円体(x^2/a^2)+(y^2/b^2)+(z^2/c^2)<=1 とし、その境界をSとする。(a、b、c>0)

?@ベクトル場ａ=ｒ=xｉ+yｊ+zｋ (ａｒｉｊｋはベクトル)の面積分∬ａ・dＳの値を求めよ。ここで、Sの単位放線ベクトルは外向きとする。

?A楕円体Ｇの体積を求めよ。


この問題がいくら考えてもわかりません… 誰かわかる方教えて下さいm(_ _)m
No.4514 - 2009/01/11(Sun) 11:45:12
☆ Re: ガウスの発散定理の問題です / サボテン
問題の意図に反する回答かもしれませんが、?Aから計算した方が楽です。
x/a=X,y/b=Y,z/c=Zと変数変換すると、半径1の球になります。
よって、∫dV=4πabc/3
?@は、ガウスの定理を使うと、
∬ａ・dＳ=∫diva dV=3∫dV=4πabc
です。
No.4515 - 2009/01/11(Sun) 18:08:16
☆ Re: ガウスの発散定理の問題です / 大1
回答ありがとうございます。できたら∫dV=4πabc/3のところ詳しく教えて下さい。
No.4517 - 2009/01/11(Sun) 22:50:55
☆ Re: ガウスの発散定理の問題です / サボテン
Gをx/a=X,y/b=Y,z/c=Zと変数変換すると、半径1の球になります。これをFとすると、
∫_G dV=∫_G dxdydz=abc∫_F dXdYdZ=abc∫_F dV
∫_F dVは半径1の球の体積なので、4π/3です。
No.4540 - 2009/01/12(Mon) 15:33:07
☆ Re: ガウスの発散定理の問題です / 大1
ありがとうございます。
No.4569 - 2009/01/13(Tue) 23:49:04
★ 微分方程式を解く(その2) / 高3
度々の質問、申し訳ありません…

【問】　微分方程式　(x2＋y2)dy／dx ＝ xy　を解け。
【答】　y2 ＝ Cex2／y2

dy／dx ＝ xy／(x2＋y2) ＝ 1／(x/y＋y/x)　…(*)
u ＝ y/xとおいて、　y' ＝ u'x＋u
これを(*)に代入して、　u'x＋u ＝ 1／{(1/u)＋u}
{(1＋u2)／u3}u' ＝ −1／x
∫{(1＋u2)／u3}du ＝ −∫(1／x)dx
−(1／2u2)＋log|u| ＝ −log|x|＋C
log|x|＋log|u| ＝ log e1/(2u2)＋log eC
x・u ＝ ±eC・e1/(2u2)
y ＝ Cex2/2y2

と、ここまでやってみたのですが、どうしても【答】にたどりつけません。
(手順の中でミスをしているのかもしれませんが…)
宜しくお願い致します。
No.4511 - 2009/01/10(Sat) 15:25:59
☆ Re: 微分方程式を解く(その2) / 雀
y=Ce^(x^2/2y^2)
の両辺を二乗すると
y^2=(C^2)e^(x^2/y^2)

でC^2は定数なのでC^2=Dと置けば
y^2=De^(x^2/y^2)
No.4512 - 2009/01/10(Sat) 18:19:18
☆ Re: 微分方程式を解く(その2) / 高3
有難うございました！
No.4513 - 2009/01/10(Sat) 18:30:34
★ 微分方程式を解く / 高3
【問】微分方程式　dy/dx ＝ (6x−2y＋1)/(3x−y＋2)　を解け。
【答】3log|3x−y＋5|−4x＋y＋C＝0

　u＝3x−y＋2　とおき、u'＝3−y'　⇔　y'＝3−u'
　代入して　3−u'＝(2u−3)／u　⇔　u'＝(u＋3)／u
　∫{u／(u＋3)}du＝∫dx
とまではやってみたのですが、これ以降が分かりません。
どのようにして解けばよいのでしょうか？
No.4508 - 2009/01/10(Sat) 00:23:16
☆ Re: 微分方程式を解く / cametan
う〜〜ん。どの本使ってるんでしょうか?

＞【答】3log|3x−y＋5|−4x＋y＋C＝0

これも答え間違ってる、と思うんですけど。
答えは

【答】3log|3x−y＋5|−2x＋y＋C＝0

になると思いますよ。
念のために、

＞【答】3log|3x−y＋5|−4x＋y＋C＝0

をxで微分して確かめてみてください。多分

＞dy/dx ＝ (6x−2y＋1)/(3x−y＋2)

は得られないと思います。違う式になっちゃう。
ちょっと解答に誤植多すぎますね。

＞∫{u／(u＋3)}du＝∫dx
＞とまではやってみたのですが、これ以降が分かりません。

殆ど解けてますよ。8割方終わってます。
左辺を部分分数分解して

∫{1 − 3／(u＋3)}du＝∫dx

に持ち込んでみてください。これで積分可能になるんでこれで一仕事終了です。
No.4509 - 2009/01/10(Sat) 02:02:08
☆ Re: 微分方程式を解く / 高3
解けました！　やはり答えはミスプリだったようで、
　3log|3x−y＋5|−2x＋y＋C＝0
となりました。

毎回親切なアドバイス、本当に感謝しています！
No.4510 - 2009/01/10(Sat) 14:58:09
★ (No Subject) / あき
こんにちは！宜しくお願いします！
http://t.upup.be/?vDXcyGUujT
の問題で斜交座標を使って
http://u.upup.be/?AuBrattiBm
のように図示してみて斜線の部分のうち二直線に囲まれた面積が答えかと思ってあとは直線の交点を出して面積の公式にあてはめたのですが、答えは合いませんでした、このやり方だとどこが間違いでしょうか？教えて下さい(>_<)
No.4490 - 2009/01/08(Thu) 09:17:59
☆ Re: / 豆
OP=sa+tb=(2s+t)[(2s(a/2)+tb)/(2s+t)]
と変形できるので、Pはa/2とbで出来る三角形の内部
No.4492 - 2009/01/08(Thu) 11:06:37
☆ Re: / ヨッシー
図です。

No.4493 - 2009/01/08(Thu) 11:13:52
☆ Re: (No Subject) / あき
図ありがとうございます(>_<)
すみませんがなぜ私の考え方で合わないのかが分からないので教えていただけませんでしょうか？
No.4496 - 2009/01/08(Thu) 14:22:58
☆ Re: / ヨッシー
一言で言えば、Ｐの動く範囲を表していないからです。
例えば、ｓ＝０，ｔ＝１ のときの (2, 1) は、どこですか？
ｓ＝１／２，ｔ＝０ のときの(1/2, 1) は？

もし、斜行座標を使うなら、斜線部分が、
(0,1)→(1,2)
(1,0)→(2,1)
の変換をしたあとに、どういう図形になるかを
調べないといけません。
それは、まさに、上の図になります。
ａがｘ軸、ｂがｙ軸になります。

No.4498 - 2009/01/08(Thu) 17:20:25
☆ Re: (No Subject) / あき
なるほどですやっとわかりました、でも変換の仕方がわからないです…
点の移り変わりしか分からず斜線部分の移り変わりはどうなるかどう考えればいいか分かりません。どうかお願いします
No.4728 - 2009/01/21(Wed) 11:23:54
☆ Re: / ヨッシー
もし、ｓａ＋ｔｂ において、
ａ＝(1,0)、ｂ＝(0,1) なら、
直行座標で、そのまま、ｓ≧０、ｔ≧０、２ｓ＋ｔ≦１
の領域を描けば良いです。

ところが、この問題では、
ａ＝(1,2)、ｂ＝(2,1) なので、
ａ方向の(1,2)(2,4)(3,6) が、斜行座標での
(1,0)(2,0)(3,0) になり、ｂ方向の(2,1)(4,2)(6,3)
が、斜行座標での(0,1)(0,2)(0,3) になります。

それを踏まえて、ｔ＝１−２ｓ　・・・(0,1) と (1/2,0) を
通る直線を斜行座標上で引くと、

のように、水平な直線になります。
No.4731 - 2009/01/21(Wed) 12:18:47
☆ Re: (No Subject) / あき
なるほどです途中までわかりました
ただa方向の〜が斜交座標で〜の点になる
までは理解できたんですがそれを踏まえてどう考えたらいいかが全然わかりません…
頭が固くてごめんなさい(>_<)詳しく教えていただけると有り難いです…
No.4809 - 2009/01/24(Sat) 12:45:12
★ 微分方程式 / 高3
連続の質問申し訳ありませんが、宜しくお願いします。

【問】　方程式　y2＝Ax　から、定数Aを消去して微分方程式をつくれ。
【答】　y＝2xy’
No.4485 - 2009/01/07(Wed) 21:39:31
☆ Re: 微分方程式 / cametan
今の高校生って微分方程式やってるのかしら?

単純に言うと、

y^2＝Axを微分→2*y*y'＝A

として、

y^2＝Axと2*y*y'＝A

を連立させてAを消去すれば良い、です。
微分する、って作業を除けば、他は中学校の数学ですよね。
No.4487 - 2009/01/08(Thu) 00:41:11
☆ Re: 微分方程式 / 高3
有難うございます！
y2はy・yと考えて微分するということですね。
No.4500 - 2009/01/08(Thu) 21:26:06
☆ Re: 微分方程式 / cametan
＞y2はy・yと考えて微分するということですね。

いやいや。
う〜〜ん…今の高校生って合成関数の微分、ってやってないのかしら?
例えば、uがyの関数で、yがxの関数の場合、uをxで微分すると、

du/dx＝du/dy*dy/dx

って公式があるんですよ。
今の場合、u＝y^2で、yもxの関数なのです。
従って、上の公式に当てはめると、

d(y^2)/dx＝d(y^2)/dy*dy/dx

です。
d(y^2)/dyは「yの2乗をyで微分しろ」って事なんで、ここは答えは2yになりますね。
一方、dy/dxはそのままです。従って、

d(y^2)/dx＝2y*dy/dx

ですよね。dy/dx＝y'って表記すれば、

d(y^2)/dx＝2y*y'

となります。それだけ、ですね。
従って、「y・yと考えて微分する」って事ではないです。
No.4502 - 2009/01/08(Thu) 21:45:42
☆ Re: 微分方程式 / 高3
意味が分かりました！ありがとうございます。
No.4507 - 2009/01/10(Sat) 00:06:53
★ 微分方程式 / 高3
【問】原点Oと点A(2,1)を通る曲線y=f(x)がある。
　　　O以外の曲線上の点P(x,y)について、その点における接線の傾きが
　　　常に直線OPの傾きの2倍であるとき、この曲線の方程式を求めよ。
【答】y=2x2

宜しくお願いします。
No.4484 - 2009/01/07(Wed) 21:34:52
☆ Re: 微分方程式 / cametan
＞【答】y=2x^2

これって答え間違ってるんじゃないかしら?
点Aって曲線f(x)上にのってるわけですよね?この解だと点Aってこれに乗りませんよ。
No.4488 - 2009/01/08(Thu) 00:51:04
☆ Re: 微分方程式 / ヨッシー
点Ａが(1,2) の間違いか、答えが ｙ＝(1/2)x^2 の間違いかでしょうね。

接線の傾きはｙ’＝dy/dx
ＯＰの傾きは y/x と表せます。

あとは、微分方程式を立てて解くだけです。
No.4495 - 2009/01/08(Thu) 11:50:58
☆ Re: 微分方程式 / 高3
問題・解答ともに忠実に写したのですが……
　点A(1,2) ならば、　y＝2x2
　点A(2,1) ならば、　y＝(1/2)x2
ということでしょうか？
No.4499 - 2009/01/08(Thu) 21:25:20
☆ Re: 微分方程式 / cametan
＞問題・解答ともに忠実に写したのですが……

んじゃあ、明らかに解答が間違っていますね。
ただし、その部分は微分方程式と何の関係もない部分です。
単に点A(1, 2)がy=2x^2上に無い、って事ですよ。これは別に微分方程式は関係無いでしょ?

後はヨッシーさんが仰る通り、です。
つまり、

＞原点Oと点A(2,1)を通る曲線y=f(x)がある。

つまり、何か知らんがy=f(x)があるわけです。

＞O以外の曲線上の点P(x,y)について、その点における接線の傾きが

これでO以外の任意の点Pに於ける接戦の傾きをy'とします。

＞常に直線OPの傾きの2倍であるとき、

これは中学校の数学の範囲ですね。
直線OPの傾き、Δy/Δxは「傾き」の定義により、

Δy/Δx＝y/x

です。これは直線OP上の二点の条件、片方は原点0、もう一方は原点O以外の任意の点Pの座標からすぐ分かるでしょう。
一方、点Pに於ける接線はy'としたので、「直線OPの傾きの2倍」と言う条件を考慮すると、

y'＝2y/x

にしかなりませんよね。しかもこれは既に「微分方程式」になっています。
後は変数分離法にでも持ち込んで「煮るなり焼くなり」お好きなように(笑)。
No.4501 - 2009/01/08(Thu) 21:37:04
☆ Re: 微分方程式 / cametan
おっと。タイポだ。

＞単に点A(1, 2)がy=2x^2上に無い

元々の問題では点A(2, 1)でしたね。失礼しました。「点A(2, 1)がy=2x^2上に無い」です。
No.4503 - 2009/01/09(Fri) 18:04:36
☆ Re: 微分方程式 / 高3
詳しい解説のおかげで問題が解けました！
ヨッシーさん、cametanさん有難うございます。
No.4506 - 2009/01/10(Sat) 00:06:15
★ 三次方程式 / wam
プリントです。本来の問題は
Q=5z^2-8xy+2yz-4zxの符号（正定値、負定値、不定符号のどれか）を固有値を求めることによって判定せよ。また主小行列式の符号を調べることによって判定せよ。
お願いします。
No.4479 - 2009/01/07(Wed) 14:45:19
★ 数?U微分法 / 高野　高3文系です
【問題】曲線y=ax^3-ax(a≠0)上に異なる2点P、Qがあり、Pにおける接線とQにおける接線がともに直線PQと直交している。
このようなP、Qが存在するためのaの範囲を求めなさい。

P、Qのx座標をp、qとおいて、計算を進めていったら、
a^2(3p^4-4p^2+1)+1=0,p≠0
という式が出てきました。ここから何をすればいいのかわからなくなったので解説を見たら、「a^2(3p^4-4p^2+1)+1=0,p≠0を満たす実数pが存在するためのaの範囲を求めればいい」と書いてあって、以下ではp^2=tとおいてtの二次方程式を考えていました。
わからないのは括弧で囲ったところです。「実数pが存在するためのaの範囲を求めればいい」というところですが、ここがいったいどういう考え方なのか、他に何も書いていないのでさっぱりわからないです。
ここのところを易しめに教えていただけないでしょうか。お願いします。
No.4478 - 2009/01/07(Wed) 14:21:06
☆ Re: 数?U微分法 / ヨッシー
ａがいくつだったら、条件に合うｐが存在しますか？
という問題ですね？
で、条件を満たすための、ａとｐの式が出来ました。

ｐが存在するには、ａはいくつになればいいでしょう？
　ｐの４次式→実は ｔ＝ｐ^2 の２次式
　→ｔが、正の解を持てばよい
という理屈です。
No.4483 - 2009/01/07(Wed) 18:07:32
☆ Re: 数?U微分法 / 高野　高3文系です
回答ありがとうございました。とてもわかりやすかったです。
No.4494 - 2009/01/08(Thu) 11:35:54
★ 三次方程式 / wam
x^3-5x^2-21x+64=0
お願いします。
No.4471 - 2009/01/07(Wed) 01:26:48
☆ Re: 三次方程式 / ヨッシー
これを解くのですか？

どういう状況で出てきた問題でしょう？
問題集ですか？
No.4472 - 2009/01/07(Wed) 06:29:36
★ 楕円とｺｰｼｰｼｭﾜﾙﾂ不等式 / こう３
図の前出の不等式について等号が成立するとき〜の部分で

どうして１組だけ解を持ち接線であるとなるのですか？
式変形しても導き出せないのですが..
No.4468 - 2009/01/06(Tue) 22:06:30
☆ Re: 楕円とｺｰｼｰｼｭﾜﾙﾂ不等式 / ヨッシー

元の問題がわからない上に、
前出の不等式とは何か？
ｓ，ｔ，ｕ，ｖとは何か？
などがわからないと、解答の意図が読み取れません。
No.4475 - 2009/01/07(Wed) 11:06:30
☆ Re: 楕円とｺｰｼｰｼｭﾜﾙﾂ不等式 / こう３
前出の不等式は
その上の２つの
(a^2s^2＋b^2t^2)〜
(a^2t^2＋b^2s^2)〜
の不等式ことだと思います。

楕円(x^2/a^2 ＋y^2/b^2=1)の直行する２接線の交点の軌跡（準円）を求める問題です。
No.4476 - 2009/01/07(Wed) 13:15:01
☆ Re: 楕円とｺｰｼｰｼｭﾜﾙﾂ不等式 / angel
これは…、解説が不親切な気もしますね。
少なくとも、このまま解答を書いたら(足りない部分を補うにしても)、減点を喰らいそうです。

ちょっと別の角度から見てみましょう。
p≠0 もしくは q≠0 の時、x^2/a^2+y^2/b^2=1 を満たす x,y に対して、px+qy の最大値・最小値を求めよ、という問題を考えます。
1つのアプローチとしては、グラフを利用する方法。
つまり、楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 に対し、直線 px+qy=k が接する時が k の最大値もしくは最小値、とする方法です。

もう1つのアプローチとしては、コーシー・シュワルツの不等式（ (c^2+d^2)(e^2+f^2)≧(ce+df)^2 ( 等号成立は cf=de )）を利用する方法。
c=ap, d=bq, e=x/a, f=y/b を適用して
(a^2p^2+b^2q^2)(x^2/a^2+y^2/b^2)≧(px+by)^2
ここからダイレクトに、等号成立、つまり (px+by)^2=a^2p^2+b^2q^2 の時が、px+qy 最大もしくは最小と分かります。

この2つの事象を組み合わせれば、k^2=a^2p^2+b^2q^2 の時に限り、直線 px+qy=k は、楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 に接する、ということが分かります。
No.4504 - 2009/01/09(Fri) 21:55:18
☆ Re: 楕円とｺｰｼｰｼｭﾜﾙﾂ不等式 / angel
上で書いたことを元に解いてみますと、

直線 px+qy=k ( p≠0 もしくは q≠0 ) が楕円に接する時、k^2=a^2p^2+b^2q^2
任意の直交する2直線は sx+ty=u, tx-sy=v ( s≠0 もしくは t≠0 ) と表せる。
であれば、直交する楕円の2接線は、
　sx+ty=u ( u^2=a^2s^2+b^2t^2 )
　tx-sy=v ( v^2=a^2t^2+b^2s^2 )
と表せる。
この交点を(α,β)と置けば、
　sα+tβ=u, tα-sβ=v
のため、両辺平方して足し合わせれば
　(s^2+t^2)(α^2+β^2)=u^2+v^2
これより、α^2+β^2=a^2+b^2 これは、交点(α,β)が、円 x^2+y^2=a^2+b^2 に存在することを示す。

ということで、円になることが分かります。
ただし、解としてはここまでで半分ですが。十分条件をどうやって示すかは、この方針だとちょっと分かりません…。

No.4505 - 2009/01/09(Fri) 22:06:01
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