実数ｘ，ｙに対してＸ=(ｘ -ｙ) を満たす正方行列
(ｙ ｘ)
またＥ=(１０)の単位行列とする。
(０１)
(１)Ｘ^2＝Ｅを満たす?I，ｙの組を全て求めよ。
(２)Ｘ^8＝Ｅを満たすときｘ^2＋ｙ^2＝１である事を示せ。
という問題が分かりません。答えと解説をおねがいします。。
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No.6726 - 2009/07/13(Mon) 21:02:53
| ☆ Re: / KINO | | | (1) X^2 を計算してみましたか？
X^2 は
(x^2-y^2 -2xy)
( 2xy x^2-y^2)
なので（自分でちゃんと確かめてください！），
これが E に等しいということは，
x^2-y^2=1 かつ xy=0 ということです。
xy=0 ということは，x か y は 0 ということですが，
x=y=0 だと x^2-y^2=1 が成り立たないので，
x=0 か y=0 のいずれかのみが成り立つということになります。
まず x=0 のときはどうかというと，-y^2=1 で，y は実数なのでこれを満たす y はありません。
次に y=0 のときはどうかを考えることになりますが，それは jannk さんにお任せしましょう。
(2) X^8 を計算するのは大変そうなので，(1) とは異なる観点から攻めてみます。
r=√(x^2+y^2) とおくと，
(x/r)^2+(y/r)^2=1
なので，x/r=cosθ，y/r=sinθを満たす実数θがあります。
そこで，行列 R(θ) を
(cosθ -sinθ)
(sinθ cosθ)
とおくと，
X=rR(θ)
と表せます。
三角関数の加法定理を用いると，
R(θ)^n は
(cos(nθ) -sin(nθ))
(sin(nθ) cos(nθ))
になることが数学的帰納法で示せます。
したがって，
X^8=r^8 R(8θ)
となり，これが E に等しいとき，r≠0 であり，
sin8θ=0 かつ r^8cos8θ=1 なので，
r^8>0 より cos8θ>0.
したがって cos8θ=1 であることがわかります。
そして r=√(x^2+y^2)>0 なので r=1 であり，
最終的に x^2+y^2=r^2=1 であることが示せます。
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No.6731 - 2009/07/13(Mon) 22:31:01 |
| ☆ Re: / angel | | | (2) もっと楽に行くなら、行列式の性質
det(ＡＢ)=det(Ａ)・det(Ｂ)
を利用します。…これ習ってますよね?
※det(Ｘ) は、行列Ｘの行列式を表します。( 「行列式」を表す英語 determinant の略 )
そうすると、Ｘ^8=Ｘ・Ｘ^7 ですから、
det(Ｘ^8) = det(Ｘ)・det(Ｘ^7)
同様に
det(Ｘ^7) = det(Ｘ)・det(Ｘ^6)
…
となりますので、まとめると
det(Ｘ^8) = det(Ｘ)^8
後は、det(Ｘ)=x^2+y^2≧0、det(Ｘ^8)=det(Ｅ)=1 であることをあわせると、x^2+y^2=1 が示せます。
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No.6734 - 2009/07/13(Mon) 23:12:44 |
| ☆ Re: / KINO | | | angelさんの解法の方がすっきりしていますね。
僕は1次変換の観点から説明しましたが，出題者の意図はおそらく angel さんの解法の方でしょう。
ただ，行列式の高校での扱いがよくわからないので僕は行列式を持ち出すのをためらいました。
レベルの高い進学校や予備校では教えているみたいですが，指導要領にはなんとも書いてありませんし・・・。
# これは独り言です。
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No.6739 - 2009/07/14(Tue) 02:27:38 |
| ☆ Re: / jannk | | | 自分でやって見たんですが、(１)からＸ＾2＝ＥでＸ^8＝ＥだからＸ^2＝Ｘ^8になってではいけませんか！？？
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No.6754 - 2009/07/14(Tue) 20:14:34 |
| ☆ Re: / jannk | | | どうしてr=√(x^2+y^2) とおけるんですか！？
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No.6758 - 2009/07/14(Tue) 21:48:14 |
| ☆ Re: / angel | | | > (１)からＸ＾2＝ＥでＸ^8＝ＥだからＸ^2＝Ｘ^8になってではいけませんか！？？
いけません。
(2)は(1)とは状況が違いますから。( 問題文中にも、(1)の条件を満たす時〜というようなことは書いていない )
なお、Ｘ^8=Ｅを解くと、
(x,y)=(±1,0), (0, ±1), (±1/√2, ±1/√2) (複号任意)
の8通りですが、このときＸ^2は、
Ｙ=(0 -1)
(1 0)
と置く時、Ｘ^2=±Ｅ、±Ｙ のいずれかとなります。
なので、Ｘ^2=Ｅとは限りません。
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No.6759 - 2009/07/14(Tue) 22:11:45 |
| ☆ Re: / angel | | | > どうしてr=√(x^2+y^2) とおけるんですか！？
そういう考え方をすると、形が綺麗になることがあるのです。
「おける」というより、「おいてみた」の方があっていると思います。
図形的に考えるなら、xy平面上の点P(x,y) に関して、
r=OP
θ=( x軸の正の部分を、点Pに到達するまで、反時計周りに回転させた時の角度 )
とすると、
x=rcosθ、y=rsinθ
という関係ができ、このr,θを使って問題を進めていくことができます。
これは、(平面での)極座標です。
KINOさんも説明されていますが、このr,θを使うと、
Ｘ^8=(r^8・cos8θ -r^8・sin8θ)
(r^8・sin8θ r^8・cos8θ)
と綺麗な形で計算できるので、丁度良いのです。
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No.6765 - 2009/07/14(Tue) 22:34:37 |
| ☆ Re: / jannk | | | (２)なんですけど、、
?]^8＝Ｅより(?]^2)^4＝Ｅで(１)よりｘ＝±１，ｙ＝０だから４乗してｘ＝１，ｙ＝０となりｘ^2＋ｙ^2＝１に代入して１＝１でなりたつ。となりました。。いかがでしょうか？
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No.6795 - 2009/07/15(Wed) 22:25:34 |
| ☆ Re: / KINO | | | > ?]^8＝Ｅより(?]^2)^4＝Ｅで(１)より
(1) をどう使ったのでしょうか？よくわかりません。
どうしても (1) を使いたければ，次のような流れになると思います。
X の形から，X^n は
(x[n] -y[n])
(y[n] x[n])
の形であることが示せます。
これと (1) の結果を組み合わせると，(X^4)^2=E なので
x[4]=±1，y[4]=0 であることは言えます。
X^4=(X^2)^2 なので
x[4]=x[2]^2-y[2]^2，y[4]=2x[2]y[2] となり，
(x[2],y[2])=(±1,0)，(0,±1).
x[2]=x^2-y^2，y[2]=2xy なので
x[2]^2+y[2]^2=(x^2-y^2)^2+4x^2y^2=(x^2+y^2)^2=1.
x^2+y^2≧0 なので x^2+y^2=1 となります。
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No.6806 - 2009/07/16(Thu) 20:17:43 |
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