ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ゆんな

すいません。もう１つお願いします！
新高一です。

たすき掛けってありますよね？
あれってひたすら合うものを見つけるしかないんですか？
コツとかあったら教えてください！

No.5563 - 2009/04/06(Mon) 01:42:55

☆ Re: / らすかる

たすき掛けではないですが…
たとえば 12x^2+17x+6 の場合 12×6=72 なので
まず足して17、掛けて72になるものを考えます。
それを満たすのは8と9ですから、17を8と9に分解します。
12x^2+17x+6=12x^2+8x+9x+6
そして前2項と後ろ2項をそれぞれ因数分解すると
12x^2+8x+9x+6=4x(3x+2)+3(3x+2)=(4x+3)(3x+2)
のように3x+2という共通因数が見つかり、全体が因数分解できます。

No.5564 - 2009/04/06(Mon) 05:23:04

☆ Re: / ヨッシー

蛇足ながら、らすかるさんの 12x^2+17x+6 は、
　12x^2+17x+6＝12(x^2＋17x/12＋6/12)
　　＝12(x^2＋17x/12＋72/12^2)
とおけるので、a+b=17, ab=72 となるa,b に対して
　12x^2+17x+6＝12(x^2＋(a+b)x/12＋ab/12^2)
　　12{x^2＋(a/12+b/12)x＋(a/12)(b/12)}
　　＝12(x+a/12)(x+b/12)
と書けますね。
後は、先頭の12を適当に2つの(　)に振り分けてやれば、
完成です。

さらに蛇足ながら、たすき掛けを、因数分解するための
道具と見なして、因数分解さえ出来ればいいと言うのであれば、
　12x^2+17x+6＝0
を、解の公式で解いて、
　x={-17±√(17^2－4・12・6)}/24＝-2/3, -3/4
より、
　12x^2+17x+6＝12(x+2/3)(x+3/4)＝(3x+2)(4x+3)
となります。

No.5565 - 2009/04/06(Mon) 10:30:18

★ 教えてください。 / ゆんな

新高一です。
数学の

（x+y+z)(x-y-z) を置き換えたり、分配法則でそのまま求める以外に式を変形して展開しやすくする方法を教えてください。　

答えは：　　x2-y2-2yz xとyの後ろの２は２乗です。

No.5560 - 2009/04/06(Mon) 01:06:57

☆ Re: 教えてください。 / BossF

まず、xのn乗は普通webでは"x^2"のように表記するようです

さて
与式={x+(y+z)}{x-(y+z)}
=x^2-(y+z)^2
=x^2-y^-z^2-2yz

置き換えとは、上のような塊（→(y+z))を別な文字で便宜的に表すわけですから、これは本質的には置き換えと同じですが、いかがでしょうか？

No.5561 - 2009/04/06(Mon) 01:32:14

★ (No Subject) / ゆう

2つの2次方程式x^2-3x+m-1=0、x^2+(m-2)x-2=0が共通な実数解をただ1つもつとき、mの値とその共通解を求めよ。

よろしくお願いします。

No.5558 - 2009/04/05(Sun) 22:09:41

☆ Re: / X

x^2-3x+m-1=0 (A)
x^2+(m-2)x-2=0 (B)
とします。
(A)(B)をx,mの連立方程式と見て解くことを考えてみましょう。
(B)-(A)より
(m+1)x-m-1=0
(m+1)(x-1)=0
∴m=-1又はx=1
(i)m=-1のとき
(A)(B)は共に
x^2-3x-2=0
これの解の判別式をDとすると
D=9-4・(-2)=17>0
∴(A)(B)の共通解が２つとなり不適
(ii)x=1のとき
(A)よりm=3
このとき(A)は
x^2-3x+2=0
これよりx=2,1
一方(B)は
x^2+x-2=0
これよりx=-2,1
∴共通解は一つですので題意を満足します。

以上から
m=3,共通解はx=1
となります。

No.5559 - 2009/04/05(Sun) 23:48:12

★ 数列の極限 / Kay(新高２女子)

数列の極限の予習をしています。用語とか概念がまだよく分からないので、なるべく詳しく解説してください。よろしくお願いします。

１．数列と級数の関係は簡潔に捉えるとどういう関係です　
　　か。
　　　無限数列の第ｎ項までの和を部分和と言い、部分和の
　　和を無限級数の和と言うのですか。

２．級数というのは、数列の和と考えていいですか。もし、
　　よければ、無限級数の第ｎ項までの和を部分和というの
　　に対して、無限級数そのものは（そんな用語はないかも
　　しれませんが）、「無限和」と考えていいですか。

３．教科書には、
　　無限等比級数　a+ar+ar^2+・・・+a*r^(n-1)+・・・?@
　　について
　　　a≠0のとき
　　　　|r|＜1 ならば　収束し、その和は a/(1-r)である。
　　とありますが、これは、「無限等比級数?@はa/(1-r)に収
　　束する」と表現しても同じことを表していることになり
　　ますか。

　に収束する

No.5556 - 2009/04/05(Sun) 20:24:39

☆ Re: 数列の極限 / BossF

１．無限数列の第ｎ項までの和を部分和と言い/ここまではOK、

部分和の和を無限級数の和と言うのですか。

→部分和の極限を級数といいます

２．３．その通りです

No.5562 - 2009/04/06(Mon) 01:41:13

☆ Re: 数列の極限 / Kay(新高２女子)

BossFさんへ
ありがとうございました。部分和の極限を級数というのですね。
また、一般に級数と言えば、無限級数を指すのですね。

No.5594 - 2009/04/11(Sat) 16:59:29

★ (No Subject) / スヌーピー

　新高３です。
　微積分の問題でわからないところがあります。
　解説お願いします。

　aが1≦aの範囲を動く時
S(a)=∫[a～a+1]｜-2x^2+4x｜dxとおく。
　S(a)が(1≦a≦2)と(2≦a)の場合を求めよ。

　よろしくお願いします。
　

No.5549 - 2009/04/04(Sat) 00:40:59

☆ Re: / 雀

ヒントです。
f(x)=｜-2x^2+4x｜
のグラフを描いてみると分かりやすいです。
f(x)=2x^2-4x x≦0
f(x)=-2x^2+4x 0≦x≦2
f(x)=2x^2-4x 2≦x

1≦a≦2のとき
2≦a+1≦3なので
x=2を境にf(x)が変わってきます。

S(a)=∫[a～a+1]｜-2x^2+4x｜dx
=∫[a～2](-2x^2+4x)dx+∫[2～a+1](2x^2-4x)dx

分かり難かったらすみません。

No.5550 - 2009/04/04(Sat) 01:17:14

☆ Re: / スヌーピー

　解説ありがとうございます。
　
　∫[a～2](-2x^2+4x)dx+∫[2～a+1](2x^2-4x)dx
　=4/3a^3-2a^2-2a+4(1≦a≦2)

という風になったのですが、
　(2≦a)の場合がよくわかりません。
　解説お願いします。

No.5551 - 2009/04/04(Sat) 11:19:56

☆ Re: / 雀

2≦aのときは
∫[a～a+1](2x^2-4x)dx
となります。

No.5552 - 2009/04/04(Sat) 13:44:34

☆ Re: / スヌーピー

　解説ありがとうございます。
　わかりやすかったです。
　おかげさまで納得できますした。
　ありがとうございました。

No.5553 - 2009/04/05(Sun) 00:06:32

☆ Re: / スヌーピー

　すいません。
　納得したつもりだったのですが、自力で解こうとしたら
　わからないところができてしまいました。
　よろしければ解説お願いします。　
　
　始めのf(x)=｜-2x^2+4x｜のグラフを
　描くところなのですが
　f(x)=2x^2-4x x≦0
　f(x)=-2x^2+4x 0≦x≦2
　f(x)=2x^2-4x 2≦x
　という範囲になるのがよくわかりません。
　なぜ第３第４象限はなくなるのでしょうか。

　解説お願いします。

No.5554 - 2009/04/05(Sun) 01:14:47

☆ Re: / 雀

絶対値が付いているからですね。
|a|＝a (a≧0)
|a|＝-a (a≦0)

例えば
f(x)=|x-3|は

x-3≧0 の場合
f(x)=x-3

x-3≦0 の場合
f(x)=-(x-3)

となります。

f(x)=｜-2x^2+4x｜
も同様に
-2x^2+4x≧0のとき
つまり　0≦x≦2のとき
f(x)=-2x^2+4x

-2x^2+4x≦0のとき
つまり
x≦0 2≦xのとき
f(x)=-(-2x^2+4x)

となります。

第３第４象限にないのは絶対値がついてるのでf(x)＜０になることはありません。

No.5555 - 2009/04/05(Sun) 01:38:49

☆ Re: / スヌーピー

　解説ありがとうございます。
　細かく丁寧に解説していただき理解することが
　できました。
　ありがとうございました。

No.5557 - 2009/04/05(Sun) 21:17:36

★ 二次方程式 / アンパンマン

中学二年生です。よろしくお願いします。
（x-3)(x-5)=8
答えは、1,7になりますが、解き方を教えてください。

No.5545 - 2009/04/03(Fri) 12:41:38

☆ Re: 二次方程式 / ヨッシー

中２だと、予習になるのか、進んだ中学なのかわかりませんが、
まずは、こちらをご覧下さい。
その上で、いくつかの方法で解くと、

(解法1)
　(x-3)(x-5)=(x-5+2)(x-5)=8
なので、x-5 と、それより２大きい数とを掛けて、
８になっているので、それらは、
　２と４　または　－４と－２
です。よって、x-5＝2 または x-5＝-4　より、x=7 または x=1

(解法2)
　(x-3)(x-5)=8
展開して移項すると、
　x^2-8x+7＝０
因数分解して
　(x-1)(x-7)＝０
よって、x-1=0 または x-7=0　よって、x=1 または x=7

(解法2)
　(x-3)(x-5)=8
展開して移項すると、
　x^2-8x+7＝０
が
　(ｘ－ｍ)^2＋ｎ＝０
の形になるように考えると、ｍ＝４のとき、
　(x-4)^2＝x^2-8x+16
なので、
　x^2-8x+7＝x^2-8x+16-9＝(x-4)^2-9＝０
よって、
　(x-4)^2＝9
　x-4＝3 または x-4＝-3
よって、　x=7 または x=1

No.5546 - 2009/04/03(Fri) 14:08:08

☆ Re: 二次方程式 / アンパンマン

ありがとうございました

No.5547 - 2009/04/03(Fri) 14:14:24

★ (No Subject) / ゆう

nを整数とし、S=(n-1)^3+n^3+(n+1)^3とする。
(1)Sが偶数であればnは偶数であることを示せ。(2)Sが偶数であればSは36で割り切れることを示せ。

よろしくお願いします。

No.5535 - 2009/04/02(Thu) 10:10:28

☆ Re: / ヨッシー

(1)
ｎが奇数だと仮定すると、から始まる背理法で証明します。
(2)
ｎは偶数なので、n=2m(mは整数)とおくと
　S=(2m-1)^3+(2m)^3+(2m+1)^3
展開して．．．
このあと、ｍによって、場合分けします。

No.5537 - 2009/04/02(Thu) 10:43:17

☆ Re: (No Subject) / ゆう

分かりました!
ありがとうございました!

No.5542 - 2009/04/02(Thu) 23:18:10

★ (No Subject) / TDJ

２人の人が1つのサイコロを1回ずつふり、大きい目を出した方を勝ちとすることにした。ただし、このサイコロは必ずしも正しいものではなく、Kの目が出る確率はP（K)である。
（K＝1，2，3，4，5，6）このときP≧１／６であることを示せ。また、P＝１／６ならばP(k)＝1／６である（K＝1，2，3，4，5，6）ことを示せ。
よろしくお願いします。

No.5530 - 2009/04/02(Thu) 01:19:25

☆ Re: / ？？

何を「Ｐ」とおいたのでしょう？

No.5531 - 2009/04/02(Thu) 02:28:42

☆ Re: / TDJ

さいころの目（1，2，3，4，5，6、）がでる確率を直接Pとおくのだと思います。

No.5532 - 2009/04/02(Thu) 08:06:42

☆ Re: / ヨッシー

P1,P2,P3,P4,P5,P6 のうち、最大のものを P とおくように思います。

私は、実際の問題文を見ていないので、あくまで「思います」
のレベルですが。

No.5533 - 2009/04/02(Thu) 08:44:41

☆ Re: / TDJ

問題文の文脈からたぶん最大の確率がPだと思います。
ご迷惑おかけしました

No.5534 - 2009/04/02(Thu) 09:42:35

☆ Re: / TDJ

すいません、（１）でひきわけになる確率Pをもとめよ。
とあるので、Pはひきわけになる確率です。

No.5536 - 2009/04/02(Thu) 10:33:06

☆ Re: / DANDY　U

引き分けは同じ目を出したときだから
Ｐ＝P(1)^2＋P(2)^2＋P(3)^2＋・・+P(6)^2　です。
いま、P(k)＝1/6＋a(k) (1≦k≦6)とおくと、a(1)+a(2)+a(3)+・・・+a(6)＝0　だから

Ｐ＝{1/6＋a(1)}^2＋{1/6＋a(2)}^2＋・・・＋{1/6＋a(6)}^2
＝6*(1/6)^2＋2*(1/6)*{a(1)+a(2)+・・・+a(6)}+{a(1)^2＋a(2)^2+a(3)^2+・・・+a(6)^2｝
＝1/6＋{a(1)^2＋a(2)^2+a(3)^2+・・・+a(6)^2}≧1/6

等号が成り立つのは、{a(1)^2＋a(2)^2+a(3)^2+・・・+a(6)^2＝0　のときだから
a(k)＝0　（1≦k≦6) すなわち　P(k)＝1/6　(1≦k≦6)のときですね。
　

No.5539 - 2009/04/02(Thu) 16:58:22

☆ Re: / 魑魅魍魎

別解です。
P(1)+P(2)+･･･+P(6)=1

P=P(1)^2＋P(2)^2＋P(3)^2＋・・+P(6)^2

コーシー・シュワルツの不等式から
(1^2+1^2+･･･1^2)(P(1)^2+P(2)^2+･･･+P(6)^2)≧
(P(1)+P(2)+･･･+P(6))^2
6P≧1
P≧1/6

等号が成り立つのは
1:1:･･･:1=P(1):P(2):･･･:P(6)
よりP(1)=P(2)=･･･=P(6)

No.5540 - 2009/04/02(Thu) 20:09:54

★ (No Subject) / ゆう

何回も続けて質問してしまってすいません。

不等式x^2+2ax+1≦0…?@2x^2+7x-4≦0…?Aについて不等式?@の解が常に存在するとする。このとき、不等式?@の解を満たすxがすべて不等式?Aを満たすようなaの値の範囲を求めよ。

よろしくお願いします!

No.5521 - 2009/03/31(Tue) 10:03:50

☆ Re: / rtz

f(x)＝x²＋2ax＋1とする。

題意
⇔f(x)＝0の判別式≧0 かつ第2式の小さい方の解(以下α)≦第1式の小さい方の解≦第1式の大きい方の解≦第2式の大きい方の解(以下β)
⇔f(x)＝0の判別式≧0 かつ f(α)≧0 かつ f(β)≧0

グラフを描いて考えましょう。
あとは第2式を解くことから始めます。

No.5522 - 2009/03/31(Tue) 13:12:25

☆ Re: / DANDY　U

横から失礼します。
rtzさん
> ⇔f(x)＝0の判別式≧0 かつ f(α)≧0 かつ f(β)≧0
の部分ですが
f(x)＝0 の軸 x＝－a において「α≦－a≦β　であること」の条件も必要では？

No.5523 - 2009/03/31(Tue) 15:13:12

☆ Re: / rtz

＞DANDY　U さん
あ、本当ですね。
横にはみ出てる場合が除外できていませんね。
失礼しました。

ゆうさん、DANDY　U さんの条件も加味してください。

No.5524 - 2009/03/31(Tue) 17:57:27

☆ Re: / 高1

横槍すいません。僕の発言は無視していただいても一向に構いませんが気になったので一応僕の回答を書かせてもらいます。幾何的ではなく代数的に解くのはどうでしょうか？
?Aについて求めるxの範囲は-4≦x≦1/2 題意より?@の解をα,β(α≦β）とおくと数直線を書くと分かると思うのですが、
α≧-4かつβ≦1/2が得られる。ここで?@の解を解の公式を用いてx=-a±√a^2 - 1となるのでα=-a-√a^2 - 1
β=-a+√a^2 - 1とおける。先程のα,βに関する不等式より
-a-√a^2 - 1≧-4⇔-√a^2-1≧-4+a
左辺は√の中身に関係なく負か0なので、それ以下の右辺も当然負か0 よって、両辺を２乗してa^-1≦16-8a+a^2
整理して、a≦17/8--?B
解βについても同様にしてa≧-5/4--?C
?B?Cの共通範囲をとって-5/4≦x≦17/8
とするのはどうでしょうか？ご指摘お願いします。

No.5525 - 2009/03/31(Tue) 20:33:36

☆ Re: / 高1

↑下から２行目
-5/4≦x≦17/8→-5/4≦a≦17/8　へ訂正お願いします。

No.5526 - 2009/03/31(Tue) 20:34:55

☆ Re: / rtz

＞高1さん
間違った私が指摘するのも失礼かと思いますが…。

√(a²－1)のa²－1≧0が抜けているのでは。
また、解βについての方はa＋(1/2)≧0が考慮されていません。

No.5527 - 2009/03/31(Tue) 21:04:48

☆ Re: / 高1

rtzさん　私の浅はかな考えに態々コメントして頂いて恐縮です。すっきりしました、有難う御座います。

No.5528 - 2009/03/31(Tue) 21:35:26

☆ Re: (No Subject) / ゆう

ありがとうございました!
よく分かりました!

No.5529 - 2009/04/01(Wed) 00:03:33

★ (No Subject) / ゆう

a.bを実数の定数とし、3次方程式x^3+ax^2+bx-(a+b+7)=0の1つの解が2+iであるとする。ただしiは虚数単位である。このとき、の値を求めよ。また3次方程式の実数解を求めよ。

よろしくお願いします!

No.5514 - 2009/03/31(Tue) 00:14:29

☆ Re: / X

前半)
問題の３次方程式にx=2+iを代入して左辺を展開、整理し
複素数の相等の定義を使ってa,bについての連立方程式を立てます。

後半)
前半の結果から問題の３次方程式が定まりますので
適当な整数を代入して解を探します。

No.5518 - 2009/03/31(Tue) 00:32:22

☆ Re: / ヨッシー

実数係数の3次方程式は、少なくとも１つの実数解を持つので、
x^3+ax^2+bx-(a+b+7)=0 の実数解をｘ＝α とすると
　x^3+ax^2+bx-(a+b+7)＝(ｘ－α)(ｘ^2＋ｍｘ＋ｎ)
のように因数分解でき、ｘ^2＋ｍｘ＋ｎ＝０の解が
　ｘ＝２±ｉ
ということになります。
解と係数の関係より
　－ｍ＝(２＋ｉ)＋(２－ｉ)　→　ｍ＝－４
　ｎ＝(２＋ｉ)(２－ｉ)＝５
より、
　x^3+ax^2+bx-(a+b+7)＝(ｘ－α)(ｘ^2－４ｘ＋５)
と書けます。展開して
　(右辺)＝ｘ^3－(４＋α)ｘ^2＋(５＋４α)ｘ－５α
左辺と係数比較して
　ａ＝－４－α
　ｂ＝５＋４α
　ａ＋ｂ＋７＝５α
これを解いて、
　α＝４，ａ＝－８，ｂ＝２１

No.5519 - 2009/03/31(Tue) 00:34:06

☆ Re: (No Subject) / ゆう

xさん、ヨッシーさん、ありがとうございました!!

よく分かりました!
またよろしくお願いします。

No.5520 - 2009/03/31(Tue) 09:53:41

★ 質問数が多くてすみません。。。。。 / むささび３年

(1)sinθ＋cosθ＝23/17であるときsinθの値を二通り表せ。

(2)円に内接する四角形ABCDがありAB=3,BC=5,CD=6,DA=5のとき。

1,sin∠BAD

2,四角形ABCDの面積

(3)男５人、女７人の中から男女ペアを３組選ぶ選び方は。

この問題に関しては答えがわからないです・・・・・
解答、解説をお願いします！！

No.5512 - 2009/03/31(Tue) 00:00:56

☆ Re: 質問数が多くてすみません。。。。。 / X

(1)
条件式を(A)とします。
(A)の両辺を２乗して左辺を展開し
(sinθ)^2＋(cosθ)^2=1
を使うと
1+2sinθcosθ=(23/17)^2
∴sinθcosθ=120/289 (B)
(A)(B)から解と係数の関係によりsinθ,cosθの値は
tの２次方程式
t^2-23t/17+120/289=0 (C)
の二つの解になります。
(C)より
289t^2-391t+120=0
(17t-15)(17t-8)=0
∴t=15/17,8/17
よって求める値は15/17,8/17となります。

No.5515 - 2009/03/31(Tue) 00:17:24

☆ Re: 質問数が多くてすみません。。。。。 / ヨッシー

(1)
合成公式より
　sinθ＋cosθ＝√2sin(θ＋π/4)＝23/17
　sin(θ＋π/4)＝23/17√2
これより
　cos(θ＋π/4)＝±7/17√2
加法定理より
　sinθ＝sin{(θ＋π/4)－π/4}
　　＝sin(θ＋π/4)cos(π/4)－cos(θ＋π/4)sin(π/4)
より求まります。

(2)
∠ＢＡＤ＝θ とすると ∠ＢＣＤ＝π－θ
△ＡＢＤにおける余弦定理より
　ＢＤ^2＝ＡＢ^2＋ＡＤ^2－２ＡＢ・ＡＤcosθ
　　＝３４－３０cosθ
△ＣＢＤにおける余弦定理より
　ＢＤ^2＝ＣＢ^2＋ＣＤ^2－２ＣＢ・ＣＤcos(π－θ)
　　＝６１＋６０cosθ
両者を結んで
　３４－３０cosθ＝６１＋６０cosθ
　cosθ＝－3/10
よって、
　sinθ＝√91/10

　△ＡＢＤ＝(1/2)ＡＢ・ＡＤsinθ
　△ＣＢＤ＝(1/2)ＣＢ・ＣＤsinθ
合計すれば四角形ＡＢＣＤになります。

(3)
男を３人選ぶのは　5Ｃ3＝10(通り)
その３人を並べて、女を１人ずつあてがうのは
　7Ｐ3＝210(通り)
以上より
　10×210＝2100(通り)

No.5516 - 2009/03/31(Tue) 00:24:38

☆ Re: 質問数が多くてすみません。。。。。 / むささび３年

ありがとうございます！！

No.5541 - 2009/04/02(Thu) 23:15:45

★ (No Subject) / ゆう

(1)実数p、qを係数とする2次方程式x^2+px+q=0は2つの異なる実数解α,βをもつ。このときα+1、β+1が2次方程式x^2-3p^2x-2pq=0の解となるように、p,qの値を定めよ。

いつもすいません…
全くできなくて…
よろしくお願いします。

No.5505 - 2009/03/30(Mon) 00:27:09

☆ Re: / hari

「解法１」
2次方程式x^2+px+q=0は2つの異なる実数解α,βを持つので解と係数の関係から
α + β = -p, αβ = q

α+1、β+1が2次方程式x^2-3p^2x-2pq=0の解となるということなので
α + β + 2 = 3p^2, (α + 1)(β + 1) = -2pq

以上から
3p^2 + p - 2 = 0, 2pq - p + q + 1 = 0・・・（☆）
なので (p, q) = (-1, 2), (2/3, -1/7)

「解法２」
x^2+px+q=0は実数解α,βを持ち、x^2-3p^2x-2pq=0の解はα+1、β+1がであるということは
y = x^2-3p^2x-2pqはy = x^2 + px + qをx軸方向へ+1平行移動したグラフということになります。

つまり(x - 1)^2 + p(x - 1) + q = 0とx^2-3p^2x-2pq=0は恒等的に等しいということなので
係数比較より（☆）が導けます。

No.5506 - 2009/03/30(Mon) 01:24:55

☆ Re: (No Subject) / ゆう

なるほど!
分かりました!
ありがとうございました!

No.5513 - 2009/03/31(Tue) 00:09:24

★ 初めてです。宜しくお願いします。 / はる

入学先の高校からの宿題の一つなのですが宜しくお願いします。
X＾2-3X-5＝0の二つの解をa.bとする時次の値をもとめよ。
（１）a^2-3a
（２）(a^2-3a)(b^2-3b+1)

考え方がわかりません。

No.5499 - 2009/03/29(Sun) 18:06:30

☆ Re: 初めてです。宜しくお願いします。 / X

これはa,bの値を直接求める必要はありません。
a,bは２次方程式
x^2-3x-5=0
の解ですので
a^2-3a-5=0 (A)
b^2-3b-5=0 (B)
(A)(B)は
a^2-3a=5 (A)'
b^2-3b=5 (B)'
と変形できますので…。

No.5503 - 2009/03/30(Mon) 00:17:47

☆ Re: 初めてです。宜しくお願いします。 / はる

ありがとうございました。難しく考えすぎていました。解き方のコツって色んな問題をたくさんやれば身についていくものなのでしょうか・・・。頑張ります。

No.5511 - 2009/03/30(Mon) 17:49:30

★ 初めてです。宜しくお願いします。 / はるか

No.5498 - 2009/03/29(Sun) 18:06:02

☆ Re: 初めてです。宜しくお願いします。 / NISSK

x = a, b は x^2 - 3x - 5 = 0 の解なのでそれぞれ
　　a^2 - 3a - 5 = 0　… (ア)
　　b^2 - 3b - 5 = 0　… (イ)
を満たします．
(1) の a^2 - 3a は (ア)と似ていませんか？

No.5500 - 2009/03/29(Sun) 19:48:40

☆ Re: 初めてです。宜しくお願いします。 / はる

ありがとうございました。難しく考えすぎていました。もっと頭を柔軟にしなくてはダメですね。

No.5510 - 2009/03/30(Mon) 17:45:36

★ (No Subject) / TDJ

自然数n=1,2,3...に対して、（2-√3）のn乗という形の数を
考える。これらの数はいずれも、それぞれ適当な自然数ｍが
存在して√m-√m-1という表示をもつことを示せ。
これは数学的帰納法を用いて証明するのでしょうか？
解き方を教えてください。

No.5496 - 2009/03/29(Sun) 15:31:49

☆ Re: / のぼりん

こんばんは。

ａ、ｂを任意の正数とします。
　　　｛√（ａ＋１）－√ａ｝｛√（ｂ＋１）－√ｂ｝
　　　　＝〔√｛（ａ＋１）（ｂ＋１）｝＋√（ａｂ）〕－〔√｛（ａ＋１）ｂ｝＋√｛ａ（ｂ＋１）｝〕
です。
　　　〔√｛（ａ＋１）（ｂ＋１）｝＋√（ａｂ）〕^２＝２ａｂ＋ａ＋ｂ＋１＋２√｛ａｂ（ａ＋１）（ｂ＋１）｝
　　　〔√｛（ａ＋１）ｂ｝＋√｛ａ（ｂ＋１）｝〕^２＝２ａｂ＋ａ＋ｂ＋２√｛ａｂ（ａ＋１）（ｂ＋１）｝
だから、
　　　ｃ＝２ａｂ＋ａ＋ｂ＋２√｛ａｂ（ａ＋１）（ｂ＋１）｝
とおけば（ｃは整数とは限りません）、
　　　｛√（ａ＋１）－√ａ｝｛√（ｂ＋１）－√ｂ｝＝√（ｃ＋１）－√ｃ
です。

さて、ｎを正整数とするとき、｛√（３＋１）－√３｝^ｎを展開した正の項は整数で、負の項は √３の整数倍です。従って、上の計算でｃに当たる項は必ず整数だから、題意が成り立ちます。

No.5502 - 2009/03/29(Sun) 23:58:50

★ はじめまして。 / むささび３年

質問です！！
ｘｙ－２ｘ＋ｙ＝０を満たす整数ｘ、ｙの組み合わせを４つ答えよ。
という問題の解法がわかりません・・・・。
やさしい方解答お願いします。

解法のヒントとしてｘｙ－２ｘ＋ｙ＝０
　　　　　　　（ｘ＋１）（ｙ－２）＋２＝０
　　　　　　　（ｘ＋１）（ｙ－２）＝－２「積が一定」

と書いてあるのですが、自分にはまったく理解できません・・・

No.5493 - 2009/03/29(Sun) 02:59:49

☆ Re: はじめまして。 / hari

ab = -2
になるような整数(a, b)の組は何がありますか？ということです。

さらにa = x + 1, b = y - 2なのですから(x, y)が求まりますね。

No.5494 - 2009/03/29(Sun) 03:53:53

☆ Re: はじめまして。 / むささび３年

ありがとうございます！！

No.5497 - 2009/03/29(Sun) 15:44:42

★ (No Subject) / ゆう

2次関数y=ax^2+bx+cのグラフをCとする。Cをx軸方向へ3、y軸方向へ5だけ平行移動したグラフをC'とする。C'を表す2次関数がy=ax^2+(2a+2)x-3a+1であるとき、

(1)b.cをaで表せ。
(2)C'とx軸の2交点の間の長さが√19であるとき、aの値を求めよ。

よろしくお願いします!

No.5491 - 2009/03/28(Sat) 23:03:15

☆ Re: (No Subject) / hari

(1)
y = f(x)をx方向にp、y方向にq平行移動したグラフは
y - q = f(x - p)となります。

上記のことからC'は
y '= ax^2 + (-6a + b)x + 9a - 3b + c + 5
となります。
与えられたC'の式のxの係数と定数項を比較して
b = 8a + 2, c = 12a + 2
（または逆にC'をx方向に-3、y方向に-5移動させてCと係数比較でもいいです）

(2)
C'のx軸との交点のx座標をα、βとおくと
|α - β|^2 = (α + β)^2 - 4αβ
で、|α - β|=√19と解と係数の関係から
a = 2/3, -2となります。

No.5495 - 2009/03/29(Sun) 13:38:33

☆ Re: (No Subject) / ゆう

分かりました!
ご丁寧にありがとうございました!

No.5504 - 2009/03/30(Mon) 00:19:20

★ 数学には関係ありませんが / Jez-z

数学の質問ではないのですが、この1年この掲示板にはお世話になりました。（無事に志望校に合格できました）

特に、ヨッシーさん、rtzさん、らすかるさんには度々の質問にも丁寧に答えてもらい、数学の勉強がとても有意義なものでした。

受験が終わり、これからは自分の進路という??答"の唯一に決まらない問いに自ら問うていく所存にございます。

No.5487 - 2009/03/28(Sat) 20:25:11

☆ Re: 数学には関係ありませんが / rtz

おめでとうございます。
これからも是非頑張っていってください。

No.5488 - 2009/03/28(Sat) 21:14:16

☆ Re: 数学には関係ありませんが / らすかる

おめでとうございます。
今後のご健闘をお祈り致します。

No.5489 - 2009/03/28(Sat) 22:17:08

☆ Re: 数学には関係ありませんが / ヨッシー

合格おめでとうございます。
Jez-z さんの質問は、自分の考えを示しつつ、
また、最後まで問い質すものが多く、回答する側も
気が引き締まる思いがしたものです。

これからも、頑張ってください。

No.5492 - 2009/03/29(Sun) 01:51:22

★ (No Subject) / ちょくｔｙくめい

http://www.uja.jp/modules/weblog/details.php?正四面体の中心角

これの
Hは四面体の重心だから，
3：1
になるってのがわかりません
おねがしますｍｍ

No.5484 - 2009/03/28(Sat) 06:43:33

☆ Re: / ヨッシー

まず、ページはこちらですね。
で、本文中の
＞Gは△BCD の重心だから，
は誤りで、Hは△BCD の重心だから，が正しいです。
従って、
＞Hは四面体の重心だから，
も誤りで、Gは四面体の重心だから，です。

図において、Ｋは、△ＡＢＣの重心であり、
　ＡＫ：ＫＭ＝２：１
これと、ＭＨ：ＨＤ＝１：２および、メネラウスの定理より
　(ＡＫ/ＫＭ)(ＭＤ/ＤＨ)(ＨＧ/ＧＡ)＝１
　(2/1)(3/2)(HG/GA)＝１
　ＨＧ／ＧＡ＝１／３
となります。

また、ＧＨは、△ＢＣＤに垂直で、
四面体ＧＢＣＤの体積は、△ＢＣＤ×ＧＨ÷３です。
四面体ＡＢＣＤの体積は、△ＢＣＤ×ＡＨ÷３です。
四面体ＧＢＣＤを４つ合わせると、四面体ＡＢＣＤになるので、
　ＡＨ＝ＧＨ×４
となります。

No.5486 - 2009/03/28(Sat) 08:36:09