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★ 積分 / aki
こんにちは。
今日も悪いのですが質問お願いします。

(1＋tanx)cosx=Acos(B−x)がxについての恒等式になるよう定数A B を定めよ

わたしは左辺をcosx＋sinx
右辺を加法定理よりcosx(AcosB)＋sinx(AsinB)
と変形し恒等式より
AcosB=1
AsinB=1
となり、とくと
(A､B)=(√2､π/4)(−√2､5π/4)
となりました。
これはどこが間違いでしょうか？
答えはA=√2
B=π/4＋2nπだそうです。

宜しくお願いします。
No.6968 - 2009/07/27(Mon) 19:15:25
☆ Re: 積分 / angel
大筋で問題はないと思います。
ただし、sin,cosは周期関数なので、値の範囲の指定に応じて、とりうる値を全て列挙する必要があります。
具体的には B に関して全く条件が指定されていなければ、B=π/4 ではなく、B=π/4+2nπ のようにします。( B=5π/4 の場合も同じく )

A=-√2 のパターンも、他に制限がなければ解に含めるべきなので、akiさんの考えで良いと思いますが…
何か、Aの値の範囲で、条件が他にあるということはないでしょうか?
No.6979 - 2009/07/27(Mon) 22:18:57
☆ Re: 積分 / aki
特にないと思います。
問題文もこれだけなので…
三角関数については了解しました。 でも(π/4)＋2nπだとπ/4の次は9π/4で5π/4が入らないような気がするのですが…(>_<)
またAが−√2のときは5π/4の周期でA=√2のときと別なのかなとも思ったのですが…

宜しくお願いします。
No.6988 - 2009/07/28(Tue) 11:33:29
☆ Re: 積分 / angel
＞ でも(π/4)＋2nπだとπ/4の次は9π/4で5π/4が入らないような気がするのですが…(>_<)

そうです。入りませんよ。
B=5π/4 は、A=-√2 の時ですから。
A=√2 の時の B=π/4+2nπ に、B=5π/4 は含まれません。

つまり、(A,B)=(√2, π/4+2nπ), (-√2, 5π/4+2nπ) ( nは整数 ) という2種類の系統の解になります。
※無理やり1種類にまとめれば、(A,B)=( √2・(-1)^n, π/4+nπ ) ともできますけど…
No.7015 - 2009/07/29(Wed) 23:21:55
☆ Re: 積分 / aki
わかりました！
ではA=−√2の場合がないのは解答が間違えているのでしょうかね…

ありがとうございます。
No.7024 - 2009/07/30(Thu) 00:06:33
☆ Re: 積分 / aki
ごめんなさいこの問題の全体は
http://z.upup.be/?SFWeFSlWxK
なのですが、この(3)を
http://p.upup.be/?01xXsAfmQd
ここまでときました。ここまであってるかわからないのですが、ここからどう処理すればいいかわからなかったので教えて下さい(>_<)
No.7025 - 2009/07/30(Thu) 00:21:58
☆ Re: 積分 / angel
まず、(3)では 2nπ は不要です。
log(1+tanx)=log(√2・cos(π/4-x)/cosx) で良いです。
(1)のような問題は、通常、「〜の条件を満たすA,Bの組を全て挙げろ」と解釈するので、n を持ち出す必要があったのですが、(3)では (1) の結果を用いて、問題を解き易いように変形しているだけです。
なので、代表例として (A,B)=(√2, π/4) を使えば良いのです。
※(A,B)=(-√2,5π/4)も候補なのですが、すなおには行かないので、採用しません。

で、途中の計算ですが、1行目から2行目で折角のπ/4が消えていますよ。変形は正しく行いましょう。
また、log(√2・cos(〜)/cos(…))=log(√2・cos(〜))-log(cos(…)) は突っ込み不足です。
log(√2・cos(〜)/cos(…))=log√2 + log(cos(〜)) - log(cos(…))
まで突っ込みましょう。

そうすると、(2)が生きてきます。
通常、∫log(cos(〜))dx の形なんて計算できませんが、今回は 2種類、形の違うものが出ているので、相CENSORED消えてくれることが期待できます。
No.7043 - 2009/07/30(Thu) 23:14:21
☆ Re: 積分 / aki
まず−√2が採用されないのは素直にいかないからというのはどういうことなんでしょうか？

また、π/4が消えているとは
∫log√2cos(π/4−x)dx−∫logcosxdx
ということでしょうか？
加法定理をそして使って見ましたが全くうまくいきません。今度はlogsinが残ってしまいました。
No.7053 - 2009/07/31(Fri) 16:25:59
☆ Re: 積分 / angel
＞ まず−√2が採用されないのは素直にいかないからというのはどういうことなんでしょうか？

採用して計算してみたら、その先巧く解けなかった、ということです。実際に計算してみてください。( 巧く行くかどうかは、基本的に、やってみないと分からない )
※解く事はできるのですが、(A,B)=(√2,π/4) と同じ形に直すはめになるので、敢えて採用する意味がないのです。

＞ また、π/4が消えているとは
＞ ∫log√2cos(π/4−x)dx−∫logcosxdx
＞ ということでしょうか？

そうです。
…ひょっとしてcosの加法定理を使って、小分けに計算しようとしましたか? それは今回巧く行きませんよ。( (2)の結果が活かせない )

∫[0,π/4] log(√2・cos(π/4-x)/cosx)dx
= ∫[0,π/4] ( log√2 + log(cos(π/4-x)) - log(cosx) )dx
= ∫[0,π/4] log√2・dx + ∫[0,π/4] log(cos(π/4-x))dx - ∫[0,π/4] log(cosx)dx
= ∫[0,π/4] log√2・dx = 1/8・πlog2

と、ダイレクトに計算します。
最後の行で項が2個消えているところで、(2)の結果を利用しています。
No.7069 - 2009/08/01(Sat) 16:00:02
☆ Re: 積分 / aki
わかりましたできました！
ありがとうございます。
(2)を使って誘導にのらなければ意味がないですよね…
ばかでした…
ありがとうございます。
No.7083 - 2009/08/01(Sat) 22:11:14
★ 数学?T / エヴァ
次の関数の最大値、最小値を求めよ。

f(x)=1／２∫（０→x^2）sin（√ｔ＋π／４）dt
(0≦x≦t)


解き方がわかりません。
たぶんｘ＝０のとき最小値は０をとるはずです。
ですが最大値はどのようになるのでしょうか。
お願いします。
No.6963 - 2009/07/27(Mon) 01:03:15
☆ Re: 数学?T / angel
これ…数I?

ともあれ、最大値を求める必要がありますから、この定積分は真面目に計算する必要があります。
u=√t つまり t=u^2 とでも置いて、置換積分するのが良いでしょう。
そうすると、∫u・sin(u+π/4)du という形が出てきますので今度は部分積分が使えます。

ところで、x の範囲は 0≦x≦π でしょうか?
f(0)が最小値になりそうに見えますが、きちんと比較する必要があります。( 0≦x≦π であれば f(0)とf(π) の比較 )
No.6967 - 2009/07/27(Mon) 12:48:15
★ 積分 / みほ
また解説お願いします。
∫１／｛（x＋１）＾２（x＾２＋１）｝dx
=1／2{∫1／(x＋1)dx＋∫1／(x＋1)^2dx−∫x／(x^2＋１)dx}
=1／2{log|x＋１|＋（−１）*1／（x＋１）−1／2∫2x／（x^2＋1）dx}
=1／2{log|x＋１|−１／（x＋１）−1／2log（x^2＋１）＋C

読みにくくてすみません。
式の１段目から２段目に変化させることができません。
特に
（−１）*1／（x＋１）−1／2∫2x／（x^2＋1）dx
がどのようにしてこうなったのか理解できません。
至急詳しい解説お願いします。
No.6951 - 2009/07/26(Sun) 22:28:58
☆ Re: 積分 / rtz
1/{(x+1)2(x^2+1)}
＝{a/(x+1)}＋{b/(x+1)2}＋{(cx+d)/(x^2+1)}
を満たすような実数a,b,c,dを求めます。
No.6959 - 2009/07/27(Mon) 00:16:45
☆ Re: 積分 / angel
とりあえず、「至急」「詳しく」と言われても、それに応える義務は皆にはないことに注意。( 仕事でやっている訳ではないので… )
虚しい要求である以上に、周りに悪印象を与えるだけに終わるかも知れません。ちょっと考え直した方が良いと思います。

後、おそらく模範解答例を上から順に見て、「なぜそんな計算をしているのか分からない」と悩んでいるかと思いますが、そりゃ分からないのも当然です。見方を間違えています。
模範解答は基本、下から上の順で見るものです。丁度、迷路をゴールから逆順に辿って正しい道を確認するようなもの。
※勿論、慣れれば上から順に読みますが、それでも無意識の内に、「下を見て、その内容を踏まえた上で上を見る」という事をやっているのです。

例えば、∫x/(x^2+1)・dx → 1/2・∫2x/(x^2+1)・dx の変形ですが、これは元々 2x/(x^2+1) の形を作るのが目的なのです。
そうすると、x/(x^2+1) はその半分なので 1/2・2x/(x^2+1) と変形になっただけのこと。1/2 に深い意味があるのではなく、2x/(x^2+1) という形が重要なのです。

ではなぜ、2x/(x^2+1) という形を作ったかといえば、
　∫2x/(x^2+1)・dx = log(x^2+1) + C
と、積分ができる形だから。裏を返せば、( log(x^2+1) )' = 2x/x^2+1 ( 合成関数の微分 ( log|f(x)| )' = f'(x)/f(x) ) だから、ですね。これも下から順に見れば分かることです。
No.6960 - 2009/07/27(Mon) 00:39:55
☆ Re: 積分 / angel
後は、
　∫(x+a)^n・dx = 1/(n+1)・(x+a)^(n+1) + C　( 但し n≠-1 )
ですね。
これは、( (x+a)^(n+1) )' = (n+1)・(x+a)^n の裏返しです。
この問題では、a=1, n=-2 のケースにあたります。
つまり、∫1/(x+1)^2・dx = ∫(x+1)^(-2)・dx = 1/(-2+1)・(x+1)^(-2+1) + C = -1/(x+1) + C
No.6961 - 2009/07/27(Mon) 00:46:32
☆ 積分 / みほ
ありがとうございます。
No.6962 - 2009/07/27(Mon) 00:58:57
★ 積分をもう一つおねがいします / タナカさん
次の等式を満たす関数f(x)を求めよ。

f(x)=3(x^2)＋2(インテグラル0から2)xf(t)dt
-(インテグラル0から1)f(t)dt

かなり分かりにくくなりました；；
お願いします。
No.6945 - 2009/07/26(Sun) 21:08:57
☆ Re: 積分をもう一つおねがいします / ヨッシー
ｔで積分した部分は、ｘにとっては定数なので、
　f(x)＝3x^2＋2ax＋b
と書けます。
　２∫0〜2ｘf(t)dt
　　＝２ｘ[t^3＋at^2＋bt]0〜2
　　＝２ｘ(8＋4a＋2b)
　−∫0〜1f(t)dt
　　＝−[t^3＋at^2＋bt]0〜1
　　＝−１−ａ−ｂ
係数比較して、
　8＋4a＋2b＝a
　-1−a−b＝b
これを解いて、(以下略)
No.6946 - 2009/07/26(Sun) 21:28:41
☆ Re: 積分をもう一つおねがいします / タナカさん
aとbは
どこから出てきたのでしょうか？？
No.6952 - 2009/07/26(Sun) 22:30:59
☆ Re: 積分をもう一つおねがいします / ヨッシー
傾きが２で、点(1,1)を通る直線の式を求めよ。
といったときに、
　ｙ＝２ｘ＋ａ
とおきませんか？このａと同じです。

強いて言えば、
　ａ＝∫0〜2f(t)dt
　ｂ＝−∫0〜1f(t)dt
です。
No.6965 - 2009/07/27(Mon) 08:27:36
★ 高２の積分 / タナカさん
次の曲線または直線によって囲まれた部分の面積を求めよ。
y=x^3-5(x^2)＋6x,y=2x

どうしても答えがマイナスになってしまいます；
解答お願いします。
No.6944 - 2009/07/26(Sun) 21:04:05
☆ Re: 高２の積分 / ヨッシー
ｘが0から1 で 直線の方が下、
ｘが1から4 で 直線の方が上
ですよ。
No.6947 - 2009/07/26(Sun) 21:46:53
★ 数列です / K
Σをどう使えばいいか分かりません

3＋(3＋3^2)＋(3＋3^2＋3^3)＋…＋(3＋3^2＋3^3＋…＋3^n)

末項をどうかするのでしょうか？？
助けて下さい！！
お願いします
No.6943 - 2009/07/26(Sun) 21:00:49
☆ Re: 数列です / ヨッシー
第1項：3
第2項：3+32
第3項：3+32+33
のように考えると、第ｎ項は
3+32+32＋・・・＋3n
＝(3n+1−３)/２

(与式)＝Σk=1〜n(3k+1−３)/２
で解けます。
No.6948 - 2009/07/26(Sun) 21:50:46
★ (No Subject) / かな
度々失礼します;
　
　
6人を２班に分ける方法は何通りあるか。ただし、どの班にも必ず1人はいる。
　
　
　
これ、No.6928の続きの問題なのですが、(2)とどう違うのでしょうか;
よろしくお願いします。
No.6941 - 2009/07/26(Sun) 16:38:03
☆ Re: / ヨッシー
班に名前が付いているかどうかです。
６人を１，２，３，４，５，６ として、
前問(2) では、
　Ａ：１，２　Ｂ：３，４，５，６
　Ａ：３，４，５，６　Ｂ：１，２
は区別しますが、この問題では区別しません。

では、２で割ればいいかというと、そうでもないんですね。
No.6949 - 2009/07/26(Sun) 21:54:03
☆ Re: (No Subject) / かな
返信ありがうございます！
班の区別をしないと、同じになる場合も出てくるんですね…
もうちょっとがんばってみます;
ありがとうございました！
No.6957 - 2009/07/27(Mon) 00:08:16
☆ Re: / らすかる
２で割れば良いのでは？
No.6958 - 2009/07/27(Mon) 00:16:11
☆ Re: / ヨッシー
あ、２で割れば良いですね。
失礼しました。
No.6964 - 2009/07/27(Mon) 06:50:02
★ 線形代数 / ＨＥＹ
Ｅ＝１　０
　　１　０
Ｂ＝１　１　　
　　１　１
の行列の時、

｛(a-b)E + bB｝^n　を２項定理を用いて解きたいのですが、どのように進めていけばよいのかわかりません。

答えは、
[{(a+b)^n　+　(a-b)^n}/2　　{(a+b)^n　-　(a-b)^n{/2]
[{(a+b)^n　-　(a-b)^n}/2　　{(a+b)^n　+　(a-b)^n}/2]
となるのですが、、、

ちなみにB^2=2Bです。
No.6939 - 2009/07/26(Sun) 15:59:52
☆ Re: 線形代数 / angel
Ｅは単位行列で良いでしょうか。その前提でいきます。

とりあえず2項定理としては、
　(x+y)^n
　= x^n+nx^(n-1)・y+n(n-1)/2・x^(n-2)・y^2 + … + y^n
　= Σ[k=0,n] nCk・x^(n-k)・y^k
ですね。

今、ＥとＢは積に関して可換なので、普通の数の積と同じように計算できて、
{(a-b)Ｅ+bＢ}^n
= (a-b)^n・Ｅ^n + n・(a-b)^(n-1)・Ｅ^(n-1)・bＢ + n(n-1)/2・(a-b)^(n-2)・Ｅ^(n-2)・b^2・Ｂ^2 + … + b^n・Ｂ^n
= (a-b)^n・Ｅ^n + Σ[k=1,n] nCk・(a-b)^(n-k)・b^k・Ｅ^(n-k)・Ｂ^k

ここまでは、通常の2項定理です。ただし、k=0 の場合だけ特別扱いで、Σから抜いています。後は、Ｂ^2=2Ｂ より Ｂ^k=2^(k-1)・Ｂ を用いれば、

(続き)
= (a-b)^n・Ｅ+Σ[k=1,n] nCk・(a-b)^(n-k)・b^k・2^(k-1)・Ｂ
= (a-b)^n・Ｅ + 1/2・Σ[k=1,n] nCk・(a-b)^(n-k)・b^k・2^k ・Ｂ
= (a-b)^n・Ｅ + 1/2・( Σ[k=1,n] nCk・(a-b)^(n-k)・(2b)^k )・Ｂ

後は、このΣの中を、k=0 が抜けていることに注意して2項定理を逆に適用すれば

(続き)
= (a-b)^n・Ｅ + 1/2・( ((a-b)+2b)^n - (a-b)^n )・Ｂ

となります。
No.6956 - 2009/07/27(Mon) 00:05:57
★ (No Subject) / ゆう
(1)関数y＝3^x+3^-xの最小値を求めよ。

(2)関数y＝9^x-3^x+2の-1≦x≦2における最小値を求めよ。

よろしくお願いします。
No.6932 - 2009/07/26(Sun) 12:14:34
☆ Re: / 七
（1）相加・相乗平均の関係を用いればいいですね。
（2）3＾ｘ＝ｔとおくと
ｙ＝ｔ＾2-ｔ+2、　1/3≦ｔ≦9
No.6935 - 2009/07/26(Sun) 13:31:16
☆ Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!

ありがとうございました!
No.6942 - 2009/07/26(Sun) 18:36:31
★ 不等 / aki
こんにちは。
もう一つごめんなさい。
aは正の定数
a^x≧xが任意の正の実数xに対して成立つようなaの範囲を求めよ
ですが 対数を両辺とったあとx/logx≧logaと変形するとやはりできないのでしょうか？
変形の仕方もpointなのだと思いますが…
宜しくお願いします…
No.6930 - 2009/07/26(Sun) 12:06:34
☆ Re: 不等 / angel
＞ 対数を両辺とったあとx/logx≧logaと変形するとやはりできないのでしょうか？

いえ、その方法もありです。というよりも、結構楽な方法で良いのではないでしょうか。
ただし、正しくは loga≧(logx)/x です。
※ x＞0 という前提のため、「対数を両辺とる」も「xで両辺を割る」もそのまま行えるのがポイント。また、log(a^x)=x・loga という変形を行っていますが、これも a＞0 という前提があるためできること。解答を書くときは、必ず「x＞0のため」「a＞0のため」と断り書きを入れましょう。

別の方法としては、f(x)=a^x-x と置いて ( f(x)の最小値 )≧0 を調べる、というのも素直ですが、計算はちょっと面倒かもしれません。
No.6955 - 2009/07/26(Sun) 23:49:43
☆ Re: 不等 / aki
わかりました、どうもありがとうございました！
No.6969 - 2009/07/27(Mon) 19:21:32
★ 接線 / aki
こんにちは。
質問お願いしたいです。宜しくお願いします。
http://w.upup.be/?DaDoiQxnQT
の(2)ですが、
接点のx座標をtとおき、さらに(0､b)を通るので
e^(−t)t^2=b …☆
まで出しました。
このあとそのままy=bとy=e^(−t)t^2
の共有点の個数が答えとしようと思ったのですが、間違えてますか？
ヒントによるとこの☆がでた時点で接線の本数が接点の個数に等しいことが示されている
らしいのですが、これが理解できません。
さらに接点の本数と個数が一致するかどうかの判断はどうすればいいのかいつもわかりません。入試問題では一致しないものはあまりでないのか、今までおざなりになっていたのですが…(>_<)
教えて下さい。
No.6929 - 2009/07/26(Sun) 11:39:57
☆ Re: 接線 / angel
＞ このあとそのままy=bとy=e^(−t)t^2
＞ の共有点の個数が答えとしようと思ったのですが、間違えてますか？

問題ないと思います。

＞ ヒントによるとこの☆がでた時点で接線の本数が接点の個数に等しいことが示されているらしいのですが、これが理解できません。
＞ さらに接点の本数と個数が一致するかどうかの判断はどうすればいいのかいつもわかりません。

実を言うと、現役の時そんなこと気にした事はありませんでした。
※多分、解答にそこまで書かせることは想定していないと思う…
ただ、経験的には、4次関数 ( またはそれ以上 ) や、三角関数等の、波が沢山ある関数だけ気にするようにしていました。

今改めて考えると、一応説明はできそうですが。

　関数 y=f(x) のグラフに関して、x=αおよびx=βにおける接線が一致するような、α,β ( α＜β ) が存在する

という問題をちょっと調べてみましょうか。
これを言い換えると、

　f'(α)=f'(β)=(f(β)-f(α))/(β-α) となる α,β ( α＜β ) が存在する

なわけですが、一方、平均値の定理として、

　(f(β)-f(α))/(β-α)=f'(γ), α＜γ＜β を満たすγが存在する

という話がありますので、もしα,βが存在するならば、

　f'(α)=f'(β)=f'(γ)

となります。ということは、少なくとも3箇所でf'(x)の値 ( 微分係数 ) が一致している必要があります。
※あくまで「必要」であって、「十分」であるかどうかは分かりません。

しかしながら、今回の f'(x) は、グラフが＼／のような形をしていますので、3箇所でf'(x)の値が一致するようなことはありません。( どんな場合でも f'(x)=(定数) は3つ以上の解を持たない )

なので、y=f(x)の異なる点における接線が一致することはない、すなわち、接点の数と接線の本数は一致する、と言えます。
No.6954 - 2009/07/26(Sun) 23:17:47
☆ Re: 接線 / aki
平均値の定理でそういうことがわかるんですね、すごいです。
言われてみれば四次関数はよく出そうな気がするので気をつけます。
どうもありがとうございまさた！
No.6972 - 2009/07/27(Mon) 19:44:51
★ (No Subject) / かな
質問お願いします。
　
　
6人の人がいる。次のように分ける方法はそれぞれ何通りあるか。
(1)A、Bの2部屋に分ける(空室があってもよい)
(2)A、Bの2班に分ける(どの班にも1人はいる)
　
　
場合の数とか順列とか、とにかく苦手で・・・
よろしくお願いします。
No.6928 - 2009/07/26(Sun) 11:07:28
☆ Re: / 七
（1）6人とも選び方はA,B2通りずつあるから
2・2・2・2・2・2＝2＾6＝64　とおり
（2）6人とも選び方はA,B2通りずつあるから
2・2・2・2・2・2＝2＾6＝64　とおり
ただし6人全員がAまたはB班に入る2通りを除いて
64-2＝62　とおり
No.6937 - 2009/07/26(Sun) 14:01:13
☆ Re: (No Subject) / かな
わかりました！

ありがとうございます(*^^*)
No.6940 - 2009/07/26(Sun) 16:19:27
★ 場合分けが必要な最大.最小 / 花崎

またまた失礼いたします。
二次関数の範囲なのですが、
0≦x≦a (a＞0) における二次関数 y=-x^2+4x-1 について最大値と最小値を求めよという問題で、
まず平方完成して y=-(x-2)^2+3 となり次に(?T)0＜a＜2 (?U)a≧2 と分類して図をかくと
0＜a＜2 のとき x=aのとき最大値 -a^2+4a-1
a≧2 のとき x=2のとき最大値3
までは解くことができました。
しかし最小値は (?T)0＜a＜4 (?U)a≧4 と分類して解くそうなのです。
なぜ最大値のときと同じ分類ではいけないのでしょうか？
また何故このような分類になるのでしょうか？

どなたかご指導宜しくお願いします。
No.6927 - 2009/07/26(Sun) 10:58:20
☆ Re: 場合分けが必要な最大.最小 / 七
なぜ最大値のとき
0＜a＜2、a≧2 と分けるのですか？
No.6936 - 2009/07/26(Sun) 13:53:53
☆ Re: 場合分けが必要な最大.最小 / ヨッシー
七さんの回答は、
>なぜ最大値のとき
>0＜a＜2、a≧2 と分けるのか、考えましたか？
ということですね。

上の記事で、
>分類して図をかくと
とあります。図とはグラフのことだとすると、順序が逆です。
まずグラフを描いて、そこに０≦ｘ≦ａ の範囲を当てはめてみて、
最小値、最大値の出方によって、ａを場合分けするのです。
たぶん、そういうグラフの描き方が出来ていないのだと思います。
No.6966 - 2009/07/27(Mon) 08:46:12
★ (No Subject) / tsuyu
負でない整数の組X0,X1,X2,X3が
Xn+1＝{（Xn）の３乗}＋１（ｎ＝０．１．２）を満たすとき以下のことを示せ。
１）0≦ｎ≦２に対しXnXn+1は２で割り切れる。
２）X1を９で割った余りは０．１．２のいずれかである。
の２）について

なぜX0を３で割った余りによって分類するのか、その根拠が知りたいです。この３という数字がどこから来たのか知りたいです。
No.6924 - 2009/07/26(Sun) 08:57:50
☆ Re: / rtz
(3k+t)3＝9(3k3+3k2t+kt2)＋t3
であるからです。

(a+b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
の"3"があるため、aは3の倍数で十分なのです。

平方数を4で割った余りを考えるときに、
偶数奇数のみでよかったのと同じ理屈です。
No.6925 - 2009/07/26(Sun) 10:02:39
☆ Re: / tsuyu
(a+b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
の"3"があるため、aは3の倍数で十分なのです。

平方数を4で割った余りを考えるときに、
偶数奇数のみでよかったのと同じ理屈です。
→よく分かりません。できれば詳しく教えてほしいです。よろしくお願いします。
No.6933 - 2009/07/26(Sun) 13:04:17
★ (No Subject) / tsuyu
文章問題の途中に出てきたｘｙ＝ｙｚ＝ｚｘ＝０の解がx＝y＝０またはｙ＝ｚ＝０またはｚ＝ｘ＝０となるというのが分かりません。ちなみにｘ、ｙ、ｚ≧０でした。
No.6923 - 2009/07/26(Sun) 08:46:16
☆ Re: / rtz
まずは単純に
x≠0なら〜
x＝0なら〜
で考えてみては。
No.6926 - 2009/07/26(Sun) 10:04:58
★ 積分 / みほ
定積分を用いて次の極限値を求めよ。

（１）lim（ｎ→∞）１／（ｎ＾２）｛√（ｎ＾２−１）＋√（ｎ＾２−２＾２）＋・・・・・＋√（ｎ＾２−（ｎ−１）＾２）｝

答えはπ／４になります。
プロセスが全くわかりません。
詳しい解説至急おねがいします。
読みにくくてすみません・・・・・・。
No.6921 - 2009/07/26(Sun) 06:16:55
☆ Re: 積分 / 豆
与式=lim[n→∞](1/n)Σ[k=1→n-1]√(1-(k/n)^2)
=∫[x=0→1]√(1-x^2)dx
=π/4　(単位円の1/4の面積)
No.6922 - 2009/07/26(Sun) 07:58:48
☆ Re: 積分 / みほ
解説ありがとうございます！！！
できました。
No.6950 - 2009/07/26(Sun) 22:16:17
★ 線積分について・・・ / mitsuya
ベクトルの線積分の問題で、ノートが不十分だったためにわからない部分がありました。お願いします。
問題は、
スカラー場f(x,y)=-3x+6y,曲線C:x=t^2,y=t(0≦t≦2)のとき、
∫c fd

を求めよ。(p=x+y) *<>で括弧したものはベクトルで太字で表記されています。
というものだったのですが、
解答には
∫(-3t^2+6t)*2tdt=∫(-6t^3+12t^2)dt=8 (tの範囲0〜2は省略)
とありました。
この式だと、∫f(x,y)dx→∫f(t)dtの場合のみで答えている
ように見えるのですが、これで会っているのでしょうか？
また、これが空間ベクトル場f[x,y]=f[-3x,6y],曲線Cx=t^2,y=t(0≦t≦2)の場合だとどうなるのでしょうか？？
わかりにくくてすいません。。

No.6916 - 2009/07/25(Sat) 23:58:52
☆ Re: 線積分について・・・ / mitsuya
<>で囲った部分が消えてしまいました。
4行目:∫c fdp
5行目:p=xi+yj
p,i,jはベクトルです。
No.6917 - 2009/07/26(Sun) 00:00:51
★ 三角関数 / aki
こんばんは。
質問お願いします。

f(x)=2e^πxsin(πx)の区間−1
f'(x)=0は計算すると√2sin(πx＋π/4)=0を考えればよいようで、この解はx=−1/4 3/4となりました。
それで、このあとの増減が問題だったのですが、−1こんなところでつまずいて申し訳ありませんが、教えて下さい(>_<)
No.6913 - 2009/07/25(Sat) 18:59:26
☆ Re: 三角関数 / aki
間違えて途中消えてしまいました…
−1sinのグラフでちょっと平行移動したものであるだけなので形は変わらないので 正になると思ってしまいました。

形の認識を間違えているのでしょうか？
お願いします。
No.6914 - 2009/07/25(Sat) 19:02:13
☆ Re: 三角関数 / angel
sinx は奇関数 ( sin(-x)=-sinx ) ですから、原点に関して点対称です。
実際、原点付近で x座標が0以下の辺りでは ＼／ ( 0以下 )
原点付近で x座標が0以上の辺りでは ／＼ ( 0以上 ) の形です。

なので、sin(π(x+1/4)) の場合、-1＜x＜-1/4 では値は負です。
No.6919 - 2009/07/26(Sun) 01:25:01
☆ Re: 三角関数 / aki
そのとおりですね(>_<)
前ばかり見て後ろの点対称の部分は考えていなかったのが原因です…
ありがとうございました!
No.6931 - 2009/07/26(Sun) 12:13:48
★ 増減 / aki
すみませんがもう1題お願いします…
http://t.upup.be/?vbW5lOHXs3
についてですが正方形の右下の点に注目して、その点と、Y=logxの正方形と交わる点との距離をf(t)としf(t)=log(1＋r)t−(1−r)tとおきました。
ここからrによる場合わけで考える際、まず0t=1/1−rで極大をとることがわかりました。この極大値が≧0であるのが条件になるらしいのですが、それが理解できません。
極小値≧0ならわかるのですが…



また簡単なことをお聞きしますが、
y=log(1＋r)tのtによる微分は1/(1＋r)t ではないのはなぜでしょうか？
y=log2xの微分は1/2xのような気がしたのですが…

どうかお願いします…
No.6902 - 2009/07/25(Sat) 14:47:34
☆ Re: 増減 / angel
問題そのものについては、読めなかったのでノーコメントです。
log の微分に関しては、

f(x)=log(ax) (a≠0) とする時、
・f'(x)=a・(1/ax)=1/x　( 合成関数の微分 (f(ax))'=a・f'(ax) )
また、a>0 であれば
・f(x)=log(ax)=logx+loga → f'(x)=1/x ( loga は定数のため影響なし )
でも示せます。
No.6906 - 2009/07/25(Sat) 15:57:13
☆ Re: 増減 / aki
問題は
正の実数r t に対し 点(t､t)を中心とし一辺が2trの正方形をSとする
ただしSの各辺はx軸またはy軸に平行
このとき正方形Sと曲線y=logxが共有点をもつようなtか存在するためのrの条件を求めよ

です

再三ご迷惑おかけしごめんなさい。
No.6909 - 2009/07/25(Sat) 16:36:29
☆ Re: 増減 / angel
この問題で調べたいことは、

・正方形の右下の頂点が、y=logx のグラフに関して、原点の逆側( 要するに右下 ) にくることがあるような r の条件
　※解答では左右上下の表現は使えませんので念のため

となっていることに注目。
そのような条件を満たす r ならば、
　log((1+r)t)-(1-r)t≧0
となる t が存在していることになりますし、逆に満たさない r ならば、不等式を満たす t が存在しないことになります。

ということで、改めて
　tの不等式 f(t)=log((1+r)t)-(1-r)t≧0 が解を持つ
という問題として見直すと、f(t)のグラフは r＜1 であれば ／＼ のような形を描きますから、極大値=最大値が0以上、という条件になります。
※最大値が0未満の場合、全ての t で f(t)＜0 なので、f(t)≧0 は解を持たない
No.6918 - 2009/07/26(Sun) 01:17:40
☆ Re: 増減 / aki
まず右下という表現は使えないということですが、正方形の右下の点というのも使ってはいけないのでしょうか？また、その点が原点と逆側にくるような…という表現がいまいちぴんときません。どういうことか教えて下さい(>_<)

わかりました、私は全てのtで成立つことを考えてしまっていたようです。満たすtがとにかく一つでも存在するには極大値が少なくとも≧0でなければ一つも満たすtが存在しなくなるのですね。

微分のはなし
わかりました、ではlog2xの微分も元々1/xが答えでしたでしょうか？
No.6934 - 2009/07/26(Sun) 13:11:07
☆ Re: 増減 / angel
しまった。正方形の頂点で「右下」を使っていましたね。
正解としては、
・グラフを描いて、その図中で頂点に名前を付けて、その付けた名前を使う
・「x座標が大きく、かつy座標が小さい方の頂点」といった表現にする
・座標 ((1+r)t,(1-r)t) のみで説明する
のどれかですね。
解説の時であれば、分かり易い方が良いので、上下左右をつい使ってしまうのですが、解答を書くときには「まぎれがない」「曖昧でない」といった所が重要ですから。ひょっとしたら、「右下」とかでも減点されないかもしれませんがね。

「原点と逆側にくる」という表現については、添付の図を見て下さい。こういう状態になるような r,t を調べているわけなので、この時、件の頂点と原点は、曲線 y=logx に関して逆(反対)、ということです。
※敢えて文章で表現しなくとも、「頂点が、領域 y≦logx に存在する」で良いのですがね。

＞ ではlog2xの微分も元々1/xが答えでしたでしょうか？
そうです。(log2x)' = 1/x です。
No.6953 - 2009/07/26(Sun) 22:32:32
☆ Re: 増減 / aki
なるほどよくわかりました！
わざわざ図までつけてくださり感謝です。ありがとうございました！
No.6973 - 2009/07/27(Mon) 19:51:47
☆ Re: 増減 / aki
なるほどよくわかりました！
わざわざ図までつけてくださり感謝です。ありがとうございました！
No.6974 - 2009/07/27(Mon) 19:51:49
★ (No Subject) / ゆう
等式sinA＝sinBcosCが成り立っているとき、△ABCはどのような三角形か。

よろしくお願いします!
No.6901 - 2009/07/25(Sat) 14:47:05
☆ Re: / rtz
左辺AをB,Cで表し、加法定理で展開して以下略。
No.6903 - 2009/07/25(Sat) 15:01:24
☆ Re: / angel
以下にあげた性質を使った色々な方法があるので、必ず自分で試行錯誤して解きましょう。

※以下、A,B,C,X,Y,Z は角度、a,b,c,x,y,z は辺の長さを表します。

・三角形の性質
　A+B+C=180° ( 半分にすれば、A/2+B/2+C/2=90°)
　x=y ⇔ X=Y … 三角形は二等辺三角形
　　特に a=b=c ⇔ A=B=C=60° … 三角形は正三角形
　x^2+y^2=z^2 ⇔ Z=90°… 三角形は直角三角形
　　更に x=y なら、X=Y=45°… 三角形は直角二等辺三角形

・三角比の性質
　sin(180°-X)=sinX, cos(180°-X)=-cosX
　sin(90°-X)=cosX, cos(90°-X)=sinX
　sinX ＞ 0, -1＜cosX＜1, sinX=1 ⇔ cosX=0 ⇔ X=90°( 0＜X＜180°のため )
　sinX=sinY ⇔ X=Y または X+Y=180°, cosX=cosY ⇔ X=Y ( 0＜X,Y＜180°のため )
　
・加法定理
　sin(X+Y)=sinXcosY+cosXsinY, sin(X-Y)=sinXcosY-cosXsinY
　cos(X+Y)=cosXcosY-sinXsinY, cos(X-Y)=cosXcosY+sinXsinY

・加法定理の応用(積和・和積)
　2sinXcosY=sin(X+Y)+sin(X-Y)
　2cosXcosY=cos(X+Y)+cos(X-Y), 2sinXsinY=cos(X-Y)-cos(X+Y)
　sin2X+sin2Y=sin((X+Y)+(X-Y))+sin((X+Y)-(X-Y)=2sin(X+Y)cos(X-Y)
　sin2X-sin2Y=…=2cos(X+Y)sin(X-Y)
　cos2X+cos2Y=cos((X+Y)+(X-Y))=2cos(X+Y)cos(X-Y)
　cos2X-cos2Y=…=-2sin(X+Y)sin(X-Y)

・正弦定理
　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r　( r は外接円の半径 )
　⇔ a=2r・sinA, b=2r・sinB, c=2r・sinC
　⇔ sinA=a/(2r), sinB=b/(2r), sinC=c/(2r)

・余弦定理
　a^2+b^2-c^2-2ab・cosC=b^2+c^2-a^2-2bc・cosA=c^2+a^2-b^2-2ca・cosB=0
　⇔ cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc), cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca), cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
No.6904 - 2009/07/25(Sat) 15:25:13
☆ Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!詳しく書いていただきありがとうございました。
No.6911 - 2009/07/25(Sat) 17:37:11
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