ちょっと微積でつまずき中です。宜しくお願いします。
曲線の長さを求めよ。
(1) y=(x^2)/4-(logx)/2 (0≦x≦1)
(2) y=log(x+√(x^2-1)) (2≦x≦3)
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No.4334 - 2008/12/27(Sat) 11:32:53
| ☆ Re: 積分の応用（曲線の長さ） / angel | | | 曲線の長さは L=∫[a,b] √(1+y'^2) dx というのは良いでしょうか?
(1) の場合は、y'=x/2-1/(2x) なので、√(1+y'^2)=x/2+1/(2x) となります。この形は、y' の途中の符号を反転しただけなので、∫√(1+y'^2)dx = x^2/4+(logx)/2 となりますね。
ただ、0≦x≦1 だと長さが発散してしまいますね。
(2) の場合は微分計算を地道にやりましょう。
f(x)=x+√(x^2-1) とおけば、
f'(x)=1+2x・1/2・(x^2-1)^(-1/2)
=1+x/√(x^2-1)
=(x+√(x^2-1))/√(x^2-1)
=f(x)/√(x^2-1)
そのため、y'=log(f(x))=f'(x)/f(x)=1/√(x^2-1)
√(1+y'^2)=x/√(x^2-1) なので、素直に積分できる形です。
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No.4337 - 2008/12/27(Sat) 16:37:39 |
| ☆ Re: 積分の応用（曲線の長さ） / ゆうすけ | | | 基本的なところがいまいち出来ないで悩んでいます。
∫[3,2](x/√(x^2-1)dx の解法を教えてください。
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No.4346 - 2008/12/28(Sun) 11:41:57 |
| ☆ Re: 積分の応用（曲線の長さ） / ゆうすけ | | | x^2-1=t と置換すると 2x=dt/dx xdx=dt/2
∫[3,2]x/√(x^2-1)dx=∫[3,2](1/2)*(1/√t)dt
=1/2*∫[3,2]t^(-1/2)dt
=1/2*∫[3,2]2*{t^(-1/2+1)}'dt=[t^1/2][3,2]
=[(x^2-1)^1/2][3,2]
=√8-√3=2√2-√3
この解き方であってますか？かなり自信がありません。
宜しくお願いします。
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No.4347 - 2008/12/28(Sun) 13:56:54 |
| ☆ Re: 積分の応用（曲線の長さ） / angel | | | その置換積分でほぼ考えと結果はあっているのですが、t で置換したなら、色々 t で揃えるべきでしょう。
置換積分を使わないなら、
g(x)=x^2-1 とおくと、g'(x)=2x
∫[3,2] x/√(x^2-1) dx
= ∫[3,2] 1/2・g'(x)・g(x)^(-1/2) dx
= [ g(x)^(1/2) ][3,2]
= [ (x^2-1)^(1/2) ][3,2]
= 2√2-√3
丁度、( g(x)^n )' = ng'(x)・g(x)^(n-1) の裏返しで、
∫(m+1)g'(x)・g(x)^m dx = g(x)^(m+1)+C
という積分結果を利用しています。
置換積分でいくなら、
∫[3,2] x/√(x^2-1) dx = ∫[8,3] 1/(2√t) dt
= [ √t ][8,3]
= 2√2-√3
ですね。積分区間が x 基準の [3,2] ではなく、t 基準の [8,3] に変わっていることに注意してください。
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No.4349 - 2008/12/28(Sun) 18:59:50 |
| ☆ Re: 積分の応用（曲線の長さ） / ゆうすけ | | | No.4356 - 2008/12/29(Mon) 00:00:38 |
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