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★ 連投すいません。 / ハオ
数?TAの範囲です。
２次不等式x^2-(2a+3)x+a^2+3a<0 ---?@
　　　　　x^2+3x-4a^2+6a<0 ---?A
?@?Aを同時に満たす整数xが存在しないのはaがどんな範囲にあるときか。
という問題です。?@?Aを解いた後、手がつけられません。
No.6708 - 2009/07/12(Sun) 19:13:23
☆ Re: 連投すいません。 / angel
これは丁寧に場合分けをする必要がありそうです。
いきなり整数のことを考えると訳がわからなくなるので、段階的に行きましょう。
　i) 2つの不等式を同時に満たす実数解xがあるのはどんな場合か
　ii) 2つの不等式を同時に満たす整数解xがあるのはどんな場合か
　iii) 2つの不等式を同時に満たす整数解xがないのはどんな場合か

ii)→iii)は、単に条件を反転させるだけですから良いとして。
まずは i) を場合分けして考えます。
添付した図では、(1)〜(7)の7通りに分けています。
※(4)はa=3/4ですが、明らかに解がないため、省略しています。
図中、2つの不等式を同時に満たすxの範囲は、赤線で引いた部分です。

最後に、i)→ii)の部分ですが、i)で場合分けした(1),(2),(6),(7)それぞれ個別に考えます。
特に(6)の場合は、更に a＞4 か a≦4 かで更に場合分けするのが良いです。
a≦4 の場合、( もし整数解を持つとすれば ) 整数解の値が特定できますから、そこからaの条件を絞りこむことができます。
No.6717 - 2009/07/12(Sun) 22:25:21
☆ Re: 連投すいません。 / angel
そうそう、場合分けがなぜこうなったか、ですが、a,a+3,2a-3,-2aそれぞれをグラフ化してみるのが良いでしょう。
非常に大雑把ですが、添付の図のようなかんじになります。
No.6721 - 2009/07/12(Sun) 23:44:00
★ 数学ではないのですが… / aki
生物なのですが、お聞きしても宜しいでしょうか？
http://t.upup.be/?7PZ3OiG8Lp

の(3)ですが、なぜ答えがaになるのかわかりません。
そもそもaが変異したらオルニチンもシトルリンもアルギニンも生成されないように思います。
生物学的な知識ではなく、数学的思考で考えられる問題だと思ったので、教えていただけたら助かります。
宜しくお願いします。
No.6701 - 2009/07/12(Sun) 16:45:36
☆ Re: 数学ではないのですが… / angel
カビのアルギニン合成経路が
　前駆物質-(酵素a)→オルニチン-(酵素b)→シトルリン-(酵素c)→アルギニン
となっていて、株Aはアルギニンを加えないと生育できない、という情報がある状態では、まだ色々な候補が考えられます。
「アルギニンが生成できるか、与えられる環境でないと生育できない」ことは確定しますが、オルニチン・シトルリンがどうなのかは判断できないのです。( 単なる中間物質で、アルギニンさえあれば、生成できなくても良いかも知れない )

その上で、「オルチニンを与えれば生育できた」という情報を加えて考えると、オルチニンからアルギニンを生成できることが分かりますから、酵素b,cは有効であると判断できます。

最終的に、消去法により、使えなくなった酵素はaと分かります。同時に、このカビにとっては、アルギニンさえあれば、オルニチンもシトルリンも必要ないことも分かります。
No.6710 - 2009/07/12(Sun) 21:33:45
☆ Re: 数学ではないのですが… / aki
なるほどですよくわかりました！ありがとうございました！
No.6723 - 2009/07/13(Mon) 20:25:26
★ 受験数学について / ハオ
この掲示板の趣旨から逸れている内容と見なされた場合は無視して頂いて構いませんが、出来る限り答えてもらいたいと思います。
僕は今高2でチャート式で学習しているのですが、演習問題AやBには誘導形式の問題が多く見られます。誘導式ならば容易く答えられる様な問題でもいきなり(1)(2)を見ずに(3)を解き始めると手をつける事が出来ません。
やはり、目標としては誘導なしで解ける方がいいのでしょうか？それとも、誘導問題は誘導問題として解く方がよいのでしょうか？
ご教授願います。
No.6698 - 2009/07/12(Sun) 12:26:50
☆ Re: 受験数学について / ヨッシー
同じような問題でも、誘導なしで出す大学もあれば、
誘導付きで出す大学もあるでしょう。
また、(1)(2)(3) とあるからといって、誘導型であるとも
限りません。

ただ、概して、レベルの高い大学ほど、誘導を付ける(付けないと
解けない)問題が多いように思えますし、(1)(2) を誘導として、
しっかり(3)で使えるということも、数学の能力を見る指標の
１つであるので、誘導なしでいきなり解くのばかりが良いとも
一概には言えないと思います。

チャートは、色んなレベルに分かれているとは言え、一般的な
テキストですので、各大学の傾向も、見ておいた方が良いと思います。
No.6699 - 2009/07/12(Sun) 12:57:43
★ (No Subject) / 小春
ベクトルの問題なんですけど答えが分かりません。。
問題。大きさがそれぞれ５，３，１の平面上のベクトルａ↑，ｂ↑，ｃ↑に対してｚ↑＝ａ↑＋ｂ↑＋ｃ↑とおく。
(１)ａ↑、ｂ↑、ｃ↑を動かすとき｜ｚ↑｜(絶対値)の最大値と最小値を求めよ。
(２)ａ↑を固定して、ａ↑・ｚ↑＝２０を満たすようにｂ↑、ｃ↑を動かすとき｜ｚ↑｜の最大値と最小値を求めよ。
というもんだいです。色々試しましたが全くだめでした。。
答えと解説をお願いします。。
No.6680 - 2009/07/11(Sat) 13:52:23
☆ Re: / ハオ
自分の為という事が主な書き込む理由なので、無視されても構いません。
(1)|a→|-|b→|≦|a→+b→|≦|a→|+|b→|という公式を駆使します。最小値について
|a→|-|b→|-|c→|≦|a→+b→|-|c→|≦|a→+b→+c→|
より最小値 1
最大値についても同様にして
|a→+b→+c→|≦|a→|+|b→|+|c→|より最大値 9

(2)-|b→||c→|≦b→・c→≦|b→||c→|---?@という不等式を使います。
a→・z→=20と出ているので z→-a→=b→+c→
の両辺2乗をすると、|z→|^2 -2a→・b→+|a→|^2=
|b→|^2+2b→・c→+|c→|^2 整理して
|z→|^2=2b→・c→＋25
?@を用いて
-|b→||c→|≦b→・c→≦|b→||c→|,|z|>0より
|z→|の最大値√31 最小値√19

本当に良い復習になりました。因みにこの問題の出典は一橋大ではないですか？
No.6681 - 2009/07/11(Sat) 15:38:02
☆ Re: / ヨッシー
図で理解するとこんな感じです。

ｚが最大になるのは、ａ、ｂ、ｃを
めいっぱいつなげたとき。
ｚが最小になるのは、出来るだけ原点近くに戻したとき。

ａ・ｚ＝20 で、|ａ|＝５ なので、
ａとｚのなす角をθとすると
　|ｚ|cosθ＝４
となり、ｚの終点は、図の点線上に来ます。
ａ とできるだけ離そうとしたときが最大、出来るだけ
近づけようとしたときが最小になります。
離すときは、ｂとｃ をつないで長さ４を作ります。
　√(４2−１2＋４2)＝√31
近づけるときは、ｂとｃを逆向きにつないで長さ２を作り
　√(２2−１2＋４2)＝√19
です。
No.6682 - 2009/07/11(Sat) 17:20:08
☆ Re: / jannk
> 自分の為という事が主な書き込む理由なので、無視されても構いません。
> (1)|a→|-|b→|≦|a→+b→|≦|a→|+|b→|という公式を駆使します。最小値について
> |a→|-|b→|-|c→|≦|a→+b→|-|c→|≦|a→+b→+c→|
> より最小値 1
> 最大値についても同様にして
> |a→+b→+c→|≦|a→|+|b→|+|c→|より最大値 9
>
> (2)-|b→||c→|≦b→・c→≦|b→||c→|---?@という不等式を使います。
> a→・z→=20と出ているので z→-a→=b→+c→
> の両辺2乗をすると、|z→|^2 -2a→・b→+|a→|^2=
> |b→|^2+2b→・c→+|c→|^2 整理して
> |z→|^2=2b→・c→＋25
> ?@を用いて
> -|b→||c→|≦b→・c→≦|b→||c→|,|z|>0より
> |z→|の最大値√31 最小値√19
>
> 本当に良い復習になりました。因みにこの問題の出典は一橋大ではないですか？

すみませんが大学まではわからないんですけど、(１)の一番最初の公式って高校で習いますか！？
No.6684 - 2009/07/11(Sat) 20:26:13
☆ Re: / ハオ
すいません、公式ではなくて不等式でしたね。訂正いたします。この不等式はコーシーシュワルツの不等式同様、チャート式には記載されていますよ（証明問題として）。
僕も、実際解いてみました。
一緒に受験頑張りましょう！
No.6685 - 2009/07/11(Sat) 20:49:22
☆ Re: / jannk
> すいません、公式ではなくて不等式でしたね。訂正いたします。この不等式はコーシーシュワルツの不等式同様、チャート式には記載されていますよ（証明問題として）。
> 僕も、実際解いてみました。
> 一緒に受験頑張りましょう！
黄色チャートにのってました！！
どうして、ａ↑、ｂ↑、ｃ↑を動かすときにその不等式を使うんですか！？
No.6687 - 2009/07/11(Sat) 22:15:21
☆ Re: / ハオ
どうしてと言われても困りますが・・・強いて言うならば
|z→|=|a→+b→+c→|を考えた場合、
頭にその不等式が閃いたからです。
最大値、最小値を求める問題は不等式を用いて解く場合が多いので。
No.6697 - 2009/07/12(Sun) 09:53:47
★ (No Subject) / jannk
数列の問題なんですけど…色々試したんですがわかりません＞＜！問題は
数列｛Ｘn｝をX1＝１、X2＝２、Xn+2=２/Xn+1＋Xn　(ｎ＝１、２、３．．．．．．)で定めるＸnの一般項を求めよ。という問題です。
三項間、分数、置き換えのパターンをそれぞれ試したのですが全然進まないので、ぜひお力をお借りしたいです。。
一般項がどうしてそうなるのか答えと解説をお願いします！！
No.6669 - 2009/07/11(Sat) 00:32:34
☆ Re: / rtz
Xn+2＝(2/Xn+1)＋Xn
Xn+2＝2/(Xn+1+Xn)

どちら。
No.6670 - 2009/07/11(Sat) 02:14:24
☆ Re: / jannk
> Xn+2＝(2/Xn+1)＋Xn
のほうです。
No.6672 - 2009/07/11(Sat) 10:36:02
☆ Re: / angel
答えは、
　nが奇数の時 X[n]= 2^(n-1)・((n-1)/2)!^2/(n-1)!
　nが偶数の時 X[n]= (n-1)!/( 2^(n-3)・(n/2-1)!^2 )
です。

解き方としては、
1. X[n+2]X[n+1] = X[n+1]X[n] + 2 に気付く
　数列 X[n+1]X[n] が、公差 2 の等差数列と分かります

2. 対数を取って階差数列にする
　X[n+1]X[n]=a[n] の形になるので、Y[n]=(-1)^(n-1)・log(X[n]) とすれば、
　Y[n+1]-Y[n]=(-1)^n・log(a[n]) というように、階差数列ができあがります。

3. 偶数・奇数で場合分けして考える
　nが奇数であれば、
　　log(2・1)+log(2・2)+…+log(2(n-1))
　　　=log(2^(n-1)・(n-1)!)
　　log(2・2)+log(2・4)+…+log(2(n-1))
　　　= log(2^2・1)+log(2^2・2)+…+log(2^2・(n-1)/2)
　　　= log(2^(n-1)・((n-1)/2)!)
　　という形が
　nが偶数であれば、
　　log(2・1)+log(2・2)+…+log(2(n-1)) ※奇数の場合と一緒
　　log(2・2)+log(2・4)+…+log(2(n-2))
　　　= log(2^2・1)+log(2^2・2)+…+log(2^2・(n/2-1))
　　　= log(2^(n-2)・(n/2-1)!)
　という形が出てきます。
　それぞれなんとかまとめましょう。
No.6673 - 2009/07/11(Sat) 12:33:39
☆ Re: / らすかる
X[n+2]=2/X[n+1]+X[n]
X[n+1]X[n+2]=X[n]X[n+1]+2
X[1]X[2]=2 なので X[n]X[n+1]=2n
X[n+1]=2n/X[n]
X[n+2]=2(n+1)/X[n+1]={(n+1)/n}X[n]

X[1]=1
X[3]=(2/1)
X[5]=(4/3)(2/1)=(4*2)/(3*1)=4!!/3!!
X[7]=(6/5)(4/3)(2/1)=(6*4*2)/(5*3*1)=6!!/5!!
・・・
よってnが奇数のとき X[n]=(n-1)!!/(n-2)!!

X[2]=2
X[4]=2(3/2)
X[6]=2(5/4)(3/2)=2(5*3)/(4*2)=2*5!!/4!!
X[8]=2(7/6)(5/4)(3/2)=2(7*5*3)/(6*4*2)=2*7!!/6!!
・・・
よってnが偶数のとき X[n]=2(n-1)!!/(n-2)!!

偶奇まとめて X[n]={((-1)^n+3)(n-1)!!}/{2(n-2)!!}
No.6674 - 2009/07/11(Sat) 12:49:41
☆ Re: / jannk
そこの設問にｙn＝Xn+1Xn
があるのでXnの一般項まｄｗｄよりもエンジェルさんの解き方１まででいいんでしょうか。。
No.6676 - 2009/07/11(Sat) 12:59:43
☆ Re: / jannk
そこの設問にｙn＝Xn+1Xn
があるのでXnの一般項までよりもエンジェルさんの解き方１まででいいんでしょうか。。
No.6677 - 2009/07/11(Sat) 13:00:15
☆ Re: / angel
二重階乗で来ましたか…。表現がすっきりして良いですよね。
No.6678 - 2009/07/11(Sat) 13:03:55
☆ Re: / らすかる
＞そこの設問にｙn＝Xn+1Xnがあるので
上には書かれていませんね。
設問にあるのなら、省略せずにすべて書いてください。

＞Xnの一般項までよりもエンジェルさんの解き方１まででいいんでしょうか。。
「Xnの一般項を求めよ」という問題ならば、Xnの一般項を求めないとダメです。
No.6679 - 2009/07/11(Sat) 13:15:46
☆ Re: / jannk
すみません。設問は
(１)数列｛Ｘn｝をX1＝１、X2＝２、Xn+2=２/Xn+1＋Xn　(ｎ＝１、２、３．．．．．．)で定めるＸnの一般項を求めよ。という問題です。
(２)Yn＝Xn+1XnとおいたときYnの一般項を求めよ。
(３)自然数ｎに対して，Xn+2＝(ｎ＋１／ｎ)Xnが成り立つことを示せ。
(４)自然数ｋに対して，X2k+1＝４^K(ｋ！)／(２ｋ)！が成り立つ事を示せ。
です。。全部どうしたらいいかわかりません。解説と答えをそれぞれお願いします。。
No.6683 - 2009/07/11(Sat) 20:23:49
☆ Re: / らすかる
設問はその順番なのですか？
(1)の答えを出すために(2)(3)(4)を使うように思えるのですが。

(1)(2)(3)は私の回答の中に含まれています。
(4)は「nが奇数のときX[n]=(n-1)!!/(n-2)!!」から
X[2k+1]=(2k)!!/(2k-1)!!
=(2k)!!/{(2k)!/(2k)!!}
={(2k)!!}^2/(2k)!
=4^k(k!)^2/(2k)!
となりますので、2乗が抜けていると思います。
No.6686 - 2009/07/11(Sat) 21:39:17
☆ Re: / jannk
> 設問はその順番なのですか？
> (1)の答えを出すために(2)(3)(4)を使うように思えるのですが。
>
> (1)(2)(3)は私の回答の中に含まれています。
> (4)は「nが奇数のときX[n]=(n-1)!!/(n-2)!!」から
> X[2k+1]=(2k)!!/(2k-1)!!
> =(2k)!!/{(2k)!/(2k)!!}
> ={(2k)!!}^2/(2k)!
> =4^k(k!)^2/(2k)!
> となりますので、2乗が抜けていると思います。

すみませんでした！！２乗が抜けてました
あと(１)(２)(３)の答えがそれぞれどこに入っているかおしえてください！！
No.6688 - 2009/07/11(Sat) 22:18:56
☆ Re: / らすかる
式を見ればわかると思うんですが…
(1)の答えは最後の行、(2)の答えは1行目〜3行目、(3)の答えは1行目〜5行目です。
No.6689 - 2009/07/11(Sat) 22:25:07
☆ Re: / jannk
> 式を見ればわかると思うんですが…
> (1)の答えは最後の行、(2)の答えは1行目〜3行目、(3)の答えは1行目〜5行目です。

ありがとうございます。わかりました。
もうひとつ質問したいのですが新しいのを立てていいですか！？
No.6690 - 2009/07/11(Sat) 22:43:35
☆ Re: / jannk
> 式を見ればわかると思うんですが…
> (1)の答えは最後の行、(2)の答えは1行目〜3行目、(3)の答えは1行目〜5行目です。

どうしてｎを奇数と偶数で分けないといけないんですか！？
(４)が?]2k+1だからですか！？？
No.6691 - 2009/07/11(Sat) 23:12:54
☆ Re: / jannk
何度もすみません。。
(４)のＸ5＝(４／３)(２／１)＝(４・２)／(３・１)まではわかるんですがそのあとの４!!／３!!になんでなるのかわかりません。。
No.6692 - 2009/07/11(Sat) 23:38:08
☆ Re: / らすかる
＞どうしてｎを奇数と偶数で分けないといけないんですか！？

「分けないといけない」なんてことはありません。
分けずに解ければ、それでも結構です。
私は、分けた方がはるかに簡単なように思えたので分けました。

＞そのあとの４!!／３!!になんでなるのか

「!!」（二重階乗）は１つ飛ばしの階乗で、
例えば 10!!=10・8・6・4・2 です。
二重階乗を使わずに、例えば
(6・4・2)/(5・3・1)
=(6・4・2)/{6!/(6・4・2)}
=(6・4・2)^2/6!
={2^3(3・2・1)}^2/6!
=4^3(3・2・1)^2/6!
のようにすることもできます。
No.6694 - 2009/07/12(Sun) 00:44:51
☆ Re: / jannk
すごくわかりやすい説明ありがとうございました。。


また質問させていたただきます。どうぞその節はまたお願いします。
No.6700 - 2009/07/12(Sun) 14:08:02
☆ Re: / jannk
> 設問はその順番なのですか？
> (1)の答えを出すために(2)(3)(4)を使うように思えるのですが。
>
> (1)(2)(3)は私の回答の中に含まれています。
> (4)は「nが奇数のときX[n]=(n-1)!!/(n-2)!!」から
X[2k+1]=(2k)!!/(2k-1)!!から
=(2k)!!/{(2k)!/(2k)!!}までの行きかたと

={(2k)!!}^2/(2k)!から
=4^k(k!)^2/(2k)!までの行きかたが分かりません。。
No.6716 - 2009/07/12(Sun) 22:25:20
☆ Re: / らすかる
上に 5・3・1=6!/(6・4・2) という例を示したように、
(n-1)!!=n!/n!! ですから、
(2k-1)!!=(2k)!/(2k)!! となります。

また、上に 6・4・2=2^3(3・2・1) という例を示したように、
(2n)!!=2^n・n! ですから、
{(2k)!!}^2=(2^k・k!)^2=(2^k)^2・(k!)^2=4^k・(k!)^2 となります。
No.6719 - 2009/07/12(Sun) 23:06:54
☆ Re: / jannk
(３)(４)を数学的帰納法で証明してほしいです。。
No.6724 - 2009/07/13(Mon) 20:52:32
☆ Re: / らすかる
(3)
X[n+2]=2/X[n+1]+X[n]
X[n+1]X[n+2]=X[n]X[n+1]+2
X[1]X[2]=2 なので X[n]X[n+1]=2n
∴X[n]=2n/X[n+1]

X[3]=2/X[2]+X[1]=2だから
X[n+2]={(n+1)/n}X[n]はn=1のとき成り立つ。
n=kのときに成り立つとすると
X[k+2]={(k+1)/k}X[k]
2(k+2)/X[k+3]={(k+1)/k}・2k/X[k+1]
整理して X[k+3]={(k+2)/(k+1)}X[k+1]
よってn=k+1のときも成り立つので、
X[n+2]={(n+1)/n}X[n]は任意のnに対して成り立つ。

# X[n]X[n+1]=2nまで出ていれば直接
# X[n+2]=2(n+1)/X[n+1]={(n+1)/n}X[n] と出ますので
# 数学的帰納法を使うほどのものではないと思いますが…

(4)
X[3]=2だから
X[2k+1]=4^k(k!)^2/(2k)!はk=1のとき成り立つ。
k=tのときに成り立つとすると
X[2t+1]=4^t(t!)^2/(2t)!
{(2t+1)/(2t+2)}X[2t+3]=4^t(t!)^2/(2t)!
整理して X[2(t+1)+1]=4^(t+1){(t+1)!}^2/{2(t+1)}!
よってk=t+1のときも成り立つので、
X[2k+1]=4^k(k!)^2/(2k)!は任意のkに対して成り立つ。

# 「整理して」の部分の途中計算は自分でやってみてください。
No.6728 - 2009/07/13(Mon) 21:39:08
☆ Re: / jannk
> (3)
> X[n+2]=2/X[n+1]+X[n]
> X[n+1]X[n+2]=X[n]X[n+1]+2
> X[1]X[2]=2 なので X[n]X[n+1]=2n
> ∴X[n]=2n/X[n+1]
>
> X[3]=2/X[2]+X[1]=2だから
> X[n+2]={(n+1)/n}X[n]はn=1のとき成り立つ。
> n=kのときに成り立つとすると
> X[k+2]={(k+1)/k}X[k]
> 2(k+2)/X[k+3]={(k+1)/k}・2k/X[k+1]
> 整理して X[k+3]={(k+2)/(k+1)}X[k+1]
> よってn=k+1のときも成り立つので、
> X[n+2]={(n+1)/n}X[n]は任意のnに対して成り立つ。
>
> # X[n]X[n+1]=2nまで出ていれば直接
> # X[n+2]=2(n+1)/X[n+1]={(n+1)/n}X[n] と出ますので
> # 数学的帰納法を使うほどのものではないと思いますが…
>
> (4)
> X[3]=2だから
> X[2k+1]=4^k(k!)^2/(2k)!はk=1のとき成り立つ。
> k=tのときに成り立つとすると
> X[2t+1]=4^t(t!)^2/(2t)!
> {(2t+1)/(2t+2)}X[2t+3]=4^t(t!)^2/(2t)!
> 整理して X[2(t+1)+1]=4^(t+1){(t+1)!}^2/{2(t+1)}!
> よってk=t+1のときも成り立つので、
> X[2k+1]=4^k(k!)^2/(2k)!は任意のkに対して成り立つ。
>
> # 「整理して」の部分の途中計算は自分でやってみてください。

はい！わからなくなったらまた聞きます。
No.6729 - 2009/07/13(Mon) 22:10:25
☆ Re: / jannk
(３)はわかりましたが(４)の整理してがわかりません…
あとどこからＫ＝ｔ＋１になるんですか！？
No.6730 - 2009/07/13(Mon) 22:26:26
☆ Re: / らすかる
＞(４)の整理して
{(2t+1)/(2t+2)}X[2t+3]=4^t(t!)^2/(2t)!
X[2t+3]={(2t+2)/(2t+1)}4^t(t!)^2/(2t)!
X[2t+3]={2(t+1)/(2t+1)}4^t(t!)^2/(2t)!
X[2t+3]=2・4^t(t+1)!t!/(2t+1)!
X[2t+3]=2(2t+2)・4^t(t+1)!t!/{(2t+2)(2t+1)!}
X[2t+3]=4(t+1)・4^t(t+1)!t!/{(2t+2)(2t+1)!}
X[2(t+1)+1]=4^(t+1){(t+1)!}^2/{2(t+1)}!

＞どこからＫ＝ｔ＋１
X[2k+1]=4^k(k!)^2/(2k)! のkにt+1を代入すると
X[2(t+1)+1]=4^(t+1){(t+1)!}^2/{2(t+1)}!です。
No.6732 - 2009/07/13(Mon) 22:48:11
☆ Re: / jannk

X[2t+1]=4^t(t!)^2/(2t)!から
{(2t+1)/(2t+2)}X[2t+3]=4^t(t!)^2/(2t)!
にどうしてなるんですか！？
No.6733 - 2009/07/13(Mon) 22:58:33
☆ Re: / らすかる
(3)の X[n+2]={(n+1)/n}X[n] のnに2t+1を代入すれば
X[2t+3]={(2t+2)/(2t+1)}X[2t+1] ですから
X[2t+1]={(2t+1)/(2t+2)}X[2t+3] となります。
No.6738 - 2009/07/14(Tue) 02:01:25
☆ Re: / jannk
> (3)の X[n+2]={(n+1)/n}X[n] のnに2t+1を代入すれば
> X[2t+3]={(2t+2)/(2t+1)}X[2t+1] ですから
> X[2t+1]={(2t+1)/(2t+2)}X[2t+3] となります。

どうして代入するんですか！？
No.6755 - 2009/07/14(Tue) 20:20:03
☆ Re: / らすかる
どうして？
「何故」という意味ですか？
X[2t+1]= の式を変形して
X[2t+3]= の式を作り、数学的帰納法による解答にするためです。
No.6770 - 2009/07/14(Tue) 23:52:37
☆ Re: / jannk
> (3)の X[n+2]={(n+1)/n}X[n] のnに2t+1を代入すれば
> X[2t+3]={(2t+2)/(2t+1)}X[2t+1] ですから
> X[2t+1]={(2t+1)/(2t+2)}X[2t+3] となります。

どうして(３)のにも代入できるんですか！？？
(４)の帰納法の解答中にできますか！？
No.6796 - 2009/07/15(Wed) 23:09:14
☆ Re: / らすかる
(3)を証明した後なら、当然代入できますよ。
前問の結果を使うのは普通のことですよね。
No.6797 - 2009/07/16(Thu) 00:21:14
☆ Re: / jannk
> (3)を証明した後なら、当然代入できますよ。
> 前問の結果を使うのは普通のことですよね。

はい。全問は使います。。あとは計算ですね？？
No.6798 - 2009/07/16(Thu) 07:15:34
☆ Re: / らすかる
そうですね。
No.6800 - 2009/07/16(Thu) 10:34:35
★ (No Subject) / 祐巳　高
関数f(x)をf(x)=3x^2/(2x^2+1)とする。
0＜α＜1とし、数列{a_n}を
a_1=α、a_(n+1)=f(a_n) (n=1,2,…)
とする。αの値に応じて、lim[n→∞]a_nを求めよ。

どうやって解くのか全然思いつかないです。解き方を教えてください。お願いします。
No.6661 - 2009/07/10(Fri) 23:08:13
☆ Re: / ヨッシー

図のように、y=f(x) のグラフとその逆関数のグラフを描きます。

ここでは、説明上 f(x) の逆関数をg(x) とします。
ｘ座標がa1 であるf(x)上の点のｙ座標がa2 になります。
今度は、ｙ座標がa2 であるg(x)上の点のｘ座標が a3 になります。
これを、ずっと繰り返すと、図に書いたような位置では、
(0,0) に近づいていきます。

一方、(0,0)(1,1)以外でｙ＝f(x) と y=g(x) が交わる点Ａより
a1 が大きいところから始めると(1,1) に近づいていきます。
Ａ点のｘ座標から始めると、その値のままです。
No.6666 - 2009/07/10(Fri) 23:45:21
☆ Re: / 祐巳　高3
解答を教えてくださってありがとうございます。でもよくわからないことがあるのでもう少し質問させてください。

急に逆関数g(x)を持ち出されていますが、どうして逆関数を考えていらっしゃるのかがわからないです。逆関数はx軸とy軸をひっくり返してできる関数で間違いないですよね？

グラフと解答は、a_nはどんどん小さくなっていく数列なので、最終的には0になる、といった感じのように読めるのですが、ここがどうもすっきりしないです。
No.6693 - 2009/07/11(Sat) 23:46:37
☆ Re: / ヨッシー

図のように、ｘ座標 a1 である点のｙ座標を a2 とし、
a2 をｘ座標に取り直して、それに対応する a3 を取り、
a3 をｘ座標に取り直して、それに対応する a4 を取る。
というふうにしていけば、逆関数を考える必要はありません。
「ｘ座標に取り直して」を省くために、ｙ軸上にa2 が取れたら、
それをそのまま a3に移すために逆関数を使っています。
また、ｙ＝ｘ の直線を使って、右の図のようにする方法もあります。
No.6695 - 2009/07/12(Sun) 02:25:59
☆ Re: / 祐巳　高3
よくわかりました。ありがとうございました。
No.6696 - 2009/07/12(Sun) 06:54:04
★ ベクトル / 涼流
初めまして。高校2年生の者です。
ベクトルの問題で自分で答案を書いてみたのですが、
答えが凄く半端な数になりましたので、添削をお願い致します。
※a↑をaベクトルとします。以後、冗長なので省略させて頂きます--

【問題】
AD // BC, BC = 2ADなる台形ABCDがある。
辺CDの中点をM, 線分ACと線分BMの交点をEとする。
AB↑=b↑, AD↑=d↑とするとき、次の問に答えよ。

(1) AC, AMをそれぞれ、b, dを用いて表せ。
AC = AB + BC = b + 2d
AM = (AC + AD)/2 = (b + 2d + d)/2 = (1/2)b + (3/2)d

(2) |AC|:|AE| = 1:s, |BE|:|EM| = t:(1-t)とするとき、実数s, tを求めよ。
AE = (1 - t)b + tAM = (1 - t/2)b + (3t/2)d
|AC|:|AE| = 1:sより、AE = sAC = sb + 2sd

b, dは1次独立だから、
s = 1 - t/2, 2s = 3t/2
これを解いて、s = 3/5, t = 4/5

<ここまでは恐らくあつていると思います。>

(3) |AD| = 1, cos∠BAD = -√2/3とし、△ABEの重心をGとする。|AG|=2/3のとき、|b|の値を求めよ。
(2)より、AE = (3/5)b + (6/5)dだから、
BEの中点をLとすると、AL = 3AG = (b + AE)/2
⇔ 15g = 4b + 3d ⇔ 225|g|^2 = 16|b|^2 + 24b・d + 9|d|^2
⇔ 100 = 16|b|^2 + 24b・d + 9 ⇔ 16|b|^2 = 91- 24b・d …… ?@

ここで、b・d = |b||d|cos∠BAD = -(√2/3)|b|より、
?@ ⇔ 16|b|^2 = 91 +8√2|b|
⇔ 16|b|^2 - 8√2|b| - 91 = 0
|b| = (√2 + √62)/4 (∵|b| > 0)

因みに、(電卓で)計算したところ、(√2 + √62)/4 ≒ 2.32です。
どうか宜しくお願いします!
No.6659 - 2009/07/10(Fri) 22:56:54
☆ Re: ベクトル / ヨッシー
>BEの中点をLとすると、AL = 3AG = (b + AE)/2
この辺が怪しいですね。それ以降の変形は確かめていませんが、
少なくとも、
ＡＬ＝３ＡＧ ではなく
ＡＬ＝３ＡＧ/２です。
No.6662 - 2009/07/10(Fri) 23:15:30
☆ Re: ベクトル / angel
|b|=√2 が正しそうですね。
ストレートに、↑AG=1/3・(↑AA+↑AB+↑AE) で良いのではないでしょうか。
No.6664 - 2009/07/10(Fri) 23:16:49
☆ Re: ベクトル / 涼流
本当に有り難う御座います!
非常に初歩的なことの理解が浅かったようです。
もう一度重心の正面をしてきます--

aベクトルは、↑aと表すのが一般的だったのですか^^; 失礼しました。

AG = (1/3)・(AA + AB + AE)
⇔ 3AG = AB + AE = (8/5)b + (6/5)d
⇔ 15AG = 8b + 6d
は確かにストレートでいいですね!
遠回しに中点でやるよりも簡潔で美しいです^^
色々な補足、有り難う御座いました。

最終的に|↑b| = 4√2/4 = √2となって解決致しました。

今後もお世話になるかも知れませんが、どうか宜しくお願い致します!
No.6665 - 2009/07/10(Fri) 23:44:00
☆ Re: ベクトル / angel
> aベクトルは、↑aと表すのが一般的だったのですか^^; 失礼しました。

や、一般的かどうかは知らないですよ?
ただ私はそう書く癖がついているもので… ( 私は「見て分かれば良い」でやっているので結構アバウトです )

まあ、なんにせよ、解決したようで何よりです。
No.6671 - 2009/07/11(Sat) 06:25:10
★ 分数関数 / aki
新しい問題すみません。
どうかお願いします。
http://y.upup.be/?IBJix3Bn8Q
はxとx−3、そして残り、と二つにわけて通分した後、x−1とx−2で通分した方は、2を引けば他の項と通分できる
と考え、分母分子から−2してみる
のは間違いでしょうか？
答えは合わなかったので間違いなのだとは思いますが…
教えて下さい、
No.6648 - 2009/07/10(Fri) 13:04:44
☆ Re: 分数関数 / moto
おっしゃっていることが
●「xとx−3、そして残り、と二つにわけて通分した後、」
・・・ここまではわかります。

「xとx−3、そして残り、と二つにわけて通分すると、以下のようになるはずです。

{1/x}＋{1/(x−3)}＋{1/(x−1)}＋{1/(x−2)}＝0
{(x−3)/x(x−3)}＋{x/x(x−3)}＋{(x−2)/(x−1)(x−2)}＋{(x＋1)/(x−1)(x−2)}＝0

●「x−1とx−2で通分した方は、2を引けば他の項と通分できると考え、分母分子から−2してみる」
・・・どのようなことをしたのか書いて頂かないとわかりません。

●「のは間違いでしょうか」
・・・具体的な数を用いて試してみると間違いかどうかわかる場合があります。
例：x＝8　とすると
(1/8)＋(1/7)＋(1/6)＋(1/5)
＝(1/8)＋(1/5)＋(1/7)＋(1/6)
＝(5/40)＋(8/40)＋(6/42)＋(7/42)
「2を引けば他の項と通分できると考え、分母分子から−2してみる」　
・・・どのようなことをされたのでしょうか？
No.6650 - 2009/07/10(Fri) 14:53:39
☆ Re: 分数関数 / aki
説明不足で大変申し訳ありません。
具体的には2x−3/(x−1)(x−2)から分母分子−2してみて
2x−5/x^2−3x
としてみたということです。自分としては新たな試みなんですが(^^;)
下の●でいうと分母42の項を4/40とかにしてみたということです
No.6653 - 2009/07/10(Fri) 15:47:02
☆ Re: 分数関数 / KINO
> 具体的には2x−3/(x−1)(x−2)から分母分子−2してみて

つまり，2/3=(2-2)/(3-2)=0/1=0 のような計算をしたというわけですか。

そんな計算は成立しませんよ。
No.6654 - 2009/07/10(Fri) 16:44:20
☆ Re: 分数関数 / aki
そうですよね。
ありがとうございました
No.6702 - 2009/07/12(Sun) 16:46:49
★ 中学数学 / kazu
a=bならばa二乗=b二乗=abである。
だから、a二乗-ab=a二乗-b二乗
a(a-b)=(a-b)(a+b)
両辺を(a-b)でわると
a=a+b
どこをどう間違えたのか述べよ。

さっぱりわかりません。。。
No.6645 - 2009/07/10(Fri) 11:09:49
☆ Re: 中学数学 / ヨッシー
具体的な数字で考えてみるとわかると思いますよ。

５＝５ ならば ５^2＝５^2＝５・５ である。
だから ５^2−５・５＝５^2−５^2
　５(５−５)＝(５−５)(５＋５)
両辺を (５−５)でわると
　５＝５＋５

どこで狂いましたか？
No.6646 - 2009/07/10(Fri) 11:13:50
☆ Re: 中学数学 / kazu
あっ！a-bでわるということは0でわるということですか！？
No.6647 - 2009/07/10(Fri) 12:11:59
☆ Re: 中学数学 / ヨッシー
そゆことです。
No.6667 - 2009/07/11(Sat) 00:04:22
★ なぞです / tomo
正の整数ｎで（ｎの3乗）＋1が３で割り切れるものをすべて求めよという問題で答えはｎ＝3k−1（ｋ；自然数）です。ここでnを3で割ったあまりで分けて考える理由がわかりません。nを二で割ったあまりでわけてうまくいかなかったから結果的にそうなったということなのでしょうか。
No.6637 - 2009/07/09(Thu) 23:30:15
☆ Re: なぞです / angel
(nに関する式が)3で割り切れる(3で割った余りが0)、という条件が提示されていますから、それに合わせて、nの分類も3で割った余りに沿ってやるのです。

3に限らず、何かしら自然数で割った余りで分類をする、という考えがありまして。
mで割る場合だと、余りは 0〜m-1 の m通りありますから、整数全体が m個のグループに分割できます。
そうした場合、任意の整数 a,b に対して、

　(aと同じグループに属する数)＋(bと同じグループに属する数) は、a+b と同じグループに属する
　(aと同じグループに属する数)×(bと同じグループに属する数) は、ab と同じグループに属する

といった綺麗な性質を持つので、色々使い易いのです。
興味があれば、合同式やmoduloといったキーワードで調べると良いでしょう。
No.6639 - 2009/07/09(Thu) 23:55:30
☆ Re: なぞです / tomo
任意の整数 a,b に対して、
(aと同じグループに属する数)＋(bと同じグループに属する数) は、a+b と同じグループに属する
　(aと同じグループに属する数)×(bと同じグループに属する数)は、ab と同じグループに属する
というのがよく分かりませんでした。
一般に、ｎに関する式がaで割り切れるときはｎの分類もaで割った余りに沿ってやる、と考えてよいのでしょうか。
よろしくお願いします。
No.6649 - 2009/07/10(Fri) 13:46:48
☆ Re: なぞです / angel
すいません。上の回答に関して、「3に限らず…」以降は余談であり、元の問題と直接関係はないのですが、問題中にある n を使用したため紛らわしくなりました。
被らないよう、m に修正しました。

> 一般に、ｎに関する式がaで割り切れるときはｎの分類もaで割った余りに沿ってやる、と考えてよいのでしょうか。

そうです。

余談ついでに、「同じグループに属する」を表す数式で書いてみましょうか。
「x と a は m で割った余りが等しい ( mで割った余りにより分類したグループで考えると、x と a は同じグループに属する )」は、
　x≡a (mod m)
と書きます。“(mod m)”は明らかであれば省略することもあります。
特に x≡0 (mod m) は、x が m で割り切れることを表します。

この表現で書き直すと、上で書いた性質は
　x≡a (mod m) かつ y≡b (mod m) ⇒ x+y≡a+b (mod m)
　x≡a (mod m) かつ y≡b (mod m) ⇒ xy≡ab (mod m)
となります。

更にこの表現を用いて今回の問題を解くと、
　n≡0 (mod 3) の場合、n^3+1≡0^3+1≡1 (mod 3) であり題意を満たさない
　n≡1 (mod 3) の場合、n^3+1≡1^3+1≡2 (mod 3) であり題意を満たさない
　n≡2 (mod 3) の場合、n^3+1≡2^3+1≡9≡0 ( mod 3 ) であり題意を満たす
任意の n は上記3通りのいずれかに分類されるため、題意を満たす n は、n≡2 ( mod 3 ) かつ n>0 であるものとなる。
※自然数 k を用いて表すと n=3k-1

となります。
…この解答は学校では使えませんが、考え方を知っておくのはよいかもしれません。
重ねて言いますが、これは余談ですので、深く悩む必要はありません。
No.6656 - 2009/07/10(Fri) 18:18:00
☆ Re: なぞです / tomo
[一般に、ｎに関する式がaで割り切れるときはｎの分類もaで割った余りに沿ってやる]は理屈云々より定理として覚えておきべきもののようですね。どうもありがとうございました。
No.6663 - 2009/07/10(Fri) 23:15:37
★ 円 / aki
続けて失礼します。
http://p.upup.be/?UIT6ZjBqC6の問題を、私は
弦の比は辺の比より、TBをxと置いた時に、3角形ATBに三平方を使い、
4x^2＋x^2=4a^2
でx=2a/√5となりましたが答えはx=aだそうです。
この考え方のどこが間違えてるかわかりません。どうか教えて下さい(>_<)
No.6614 - 2009/07/09(Thu) 15:29:13
☆ Re: 円 / ヨッシー
問題に書いてあるＡＴ，ＢＴは、弦ではなく弧です。
No.6622 - 2009/07/09(Thu) 16:50:53
☆ Re: 円 / aki
分かりにくい説明で失礼しました。
弧の比は弦の比なので、弦の方を文字で置いてみました。ということです。
宜しくお願いします。
また大分前の記事になりますが6211のヨッシーさんの回答についての質問を書き込みましたので誠に申し訳ありませんが教えていただけないでしょうか。
ご迷惑をおかけして申し訳ありません。
No.6628 - 2009/07/09(Thu) 17:25:39
☆ Re: 円 / ヨッシー
ですから、問題に書いてある
　ＡＴ：ＢＴ＝２：１
は、線分の長さの比ではなく、弧の長さの比です。
線分ＢＴ をｘとおいても、線分ＡＴは２ｘではありません。

結論から言うと、ＢＴ＝ｘ とおくと、ＡＴ＝√3ｘ　なので、
　３ｘ^2＋ｘ^2＝４ａ^2
より　ｘ＝ａ となります。
No.6632 - 2009/07/09(Thu) 21:30:12
☆ Re: 円 / angel
図中に 30°とか 60°とか正しい角度が書き込んであるように見えますが…? それを元に考えれば良いです。( 線分AT:線分BT=√3:1 というのはそこから分かる )

この角度がどこから来たかと言えば、
　弧AT:弧BT=∠AOT:∠BOT=∠ABT:∠BAT
ですね。
弧長の比と、中心角の比と円周角の比が一致する、ということで。
※円周角=中心角÷2 のため、円周角の比も一致

なお、△BOTが正三角形となること、OT⊥PTを利用すれば、△ABT≡△POTが言えます。これが一番早そうな気がします。
No.6638 - 2009/07/09(Thu) 23:38:03
☆ Re: 円 / ヨッシー
あぁ、書いてますね。
そして、弧ＡＴのところにマル２と書いてあるのを、
わざわざ消して、弦ＡＴの方に書き換えてありますね。
もう一度、弧の方に戻してみましょう。
No.6642 - 2009/07/10(Fri) 04:19:58
☆ Re: 円 / aki
角度でやるのが正しいやり方だと聞いたので、そちらでやってみた場合はできました!
弧の比=弦の比
だと思いこんでいたのですが、もしや
二つの弧の長さが等しいときその二つの弦の長さも等しい
だけで、比として弧と弦が同比になるわけではないということでしょうか？
No.6651 - 2009/07/10(Fri) 15:24:42
☆ Re: 円 / angel
> 比として弧と弦が同比になるわけではないということでしょうか？

そうです。
1例として、半径 r の円を基に考えてみましょう。
・中心角180°の扇形 ( つまり半円 ) の場合
　弦長 2r ( 直径 )、弧長 πr
・中心角60°の扇形の場合
　弦長 r ( 正三角形ができる )、弧長 1/3・πr

ということで、弦が半分になって、弧は1/3なので比は同じになりませんね。
No.6655 - 2009/07/10(Fri) 17:55:36
☆ Re: 円 / aki
本当によくわかりました！
いつも図形の問題を変に間違えてしまうのはこの勘違いを勝手に使っていたせいかもしれません。
どうもありがとうございました!!
No.6703 - 2009/07/12(Sun) 16:59:04
★ 図形 / aki
こんにちは。
苦手な図形に取組んでいます。
http://v.upup.be/?D9PkjQiueL
の問題ですが、まずこういう問題でどこから手をつけたらいいのかがさっぱりわからず色々やってみるもうまくいかずで困ってしまいます。
どうか着目点や着手すべきことを教えて下さい…
No.6611 - 2009/07/09(Thu) 13:13:12
☆ Re: 図形 / aki
添付を間違えてしまいました
http://q.upup.be/?1MHWmZPSWX
こちらです
どうかお願いします
No.6612 - 2009/07/09(Thu) 13:18:05
☆ Re: 図形 / ヨッシー
四角形ＢＥＤＣが、ＢＥ//ＣＤの台形となり、
円に接することから、等脚台形になります。

60度の角と、∠Ｂの二等分角、∠Ｃの二等分角を
円にありったけ描くと、見つかります。
∠Ｂの二等分角＋∠Ｃの二等分角がいくつになるかも、必要でしょう。
No.6613 - 2009/07/09(Thu) 13:55:45
☆ Re: 図形 / aki
ごめんなさい。
さっぱりわかりません。
平行であるのはなぜわかるのですか？図からは判断できないですし…
等脚台形というのは上底と下底だけが等しい物をいうのですか？
No.6615 - 2009/07/09(Thu) 15:44:17
☆ Re: 図形 / ヨッシー
このように、３つの角度と等しいものをありったけ描くんです。
この図と、上に書いた内容とで判断できますよ。
No.6621 - 2009/07/09(Thu) 16:46:02
☆ Re: 図形 / aki
成る程です。
これからやってみます貴重なadviceありがとうございます。
また、等脚台形についてですが、円に接するから長方形ではないのでしょうか???
No.6652 - 2009/07/10(Fri) 15:42:12
☆ Re: 図形 / angel
横から失礼しますが、実は「等脚台形」であることを言わなくても解く事はできますね。( 下記 3 )

1. □BCDEの全ての角を調査して等脚台形であることを示す ( ∠B=∠E かつ ∠C=∠D )
2. □BCDEがBE//CDの台形であることを示す ( ∠B+∠C=180°) ⇒ 円に内接する台形であることから、自動的に等脚台形 ( 含む長方形/正方形 … 今回正方形はないけれど ) と分かる
3. BC, DEそれぞれの円周角が同じであることを示す ( ∠A=∠DBE や、∠A=∠DCE )

のいずれかでいけます。

なお 2. についてですが、まず円に内接する四角形の性質として、対角の和が180°というのがあります。
つまり、□BCDEでは∠B+∠D=180°
これに、BE//CDの条件、例えば∠B+∠C=180°を組み合わせれば ∠C=∠D が言えますから、結局 1 と同じになるわけです。
No.6658 - 2009/07/10(Fri) 22:49:17
☆ Re: 図形 / ヨッシー
上の図は、かなり正確です。

それでも長方形にみえるなら仕方ありませんが、
円に内接する四角形の条件って、何でしたっけ？
No.6668 - 2009/07/11(Sat) 00:07:14
☆ Re: 図形 / aki
対角の和が180でしょうか？
わかりました、どうもありがとうございました。
No.6704 - 2009/07/12(Sun) 17:22:26
★ (No Subject) / klo
a,b,c,dを実数とし、ad-bc>0とする

H+{z:複素数|Im(z)>0}
H+が整数ならzを用いて、az+b/cz+d∈H+となることを示せ




という問題があって、Im(z)>0なら,Im(az+b/cz+d)>0を示せばいいらしいんですけどさっぱりです；


よくわからないので、よければ教えてください＞＜
No.6609 - 2009/07/09(Thu) 08:18:01
☆ Re: / X
>>H+が整数なら
とありますがタイプミスではありませんか？。
No.6610 - 2009/07/09(Thu) 08:31:42
☆ Re: / klo
H+∋整数全体でした；
No.6631 - 2009/07/09(Thu) 21:06:36
☆ Re: / X
訂正文が意味不明です。問題文をちゃんと理解していますか？。
整数全体
と
H+
はいずれも集合ですので∋による関連付けはできません。
No.6644 - 2009/07/10(Fri) 08:48:30
☆ Re: / klo
> a,b,c,dを実数とし、ad-bc>0とする
>
> H+{z:複素数|Im(z)>0}であり、zを用いた式、az+b/cz+dは、
az+b/cz+d∈H+となることを示せ
>
>
問題文を理解したところ、このような問題のようです；；；
No.6657 - 2009/07/10(Fri) 19:22:09
☆ Re: / angel
ひたすら計算ではないかと。
複素数 z の複素共役を z~ とすると、Im(z)=(z-z~)/(2i) というのが基本です。
例えば、z=2+i であれば、z~=2-i ですから、Im(z)=((2+i)-(2-i))/(2i)=1 と計算できます。

和差積商の複素共役に関しては、(z1+z2)~=z1~+z2~、(z1-z2)~=z1~-z2~、(z1・z2)~=z1~・z2~、(z1/z2)~=z1~/z2~ と、早い話が全部複素共役にして計算しましょう、となりますので、それで
Im(az+b/cz+d)=( (az+b)/(cz+d) - (az~+b)/(cz~+d) )/(2i)
を計算すれば良いですね。( a,b,c,dは実数なので、複素共役にしても変わらない )

注意すべき点としては、z・z~ = |z|^2 …非負実数となること。
p,qが実数であれば、(pz+q)(pz~+q)=|pz+q|^2 と、同じ話になります。
No.6660 - 2009/07/10(Fri) 22:59:49
☆ Re: / klo
なんとなくですが把握できた気がします！
あるがとうございます＞＜
No.6675 - 2009/07/11(Sat) 12:54:22
★ 重複順列 / 隆一
１０個の整数０、１、２、……９の中から４個の数字を選びa,b,c,dとして1000a＋100b＋10c＋dという４桁の数字を作るとき以下の問いに答えなさい。
（１）（２）は省略
（３）a≧b≧c≧dとなる場合の数を求めなさい。

（３）ですが、解説には「重複順列を用いて10Ｈ4より13C4として、すべて０の場合を除く」と書いてあったのですが、なぜこのように書けるのかがわかりません。
わかりやすいように解説いただけないでしょうか？
No.6604 - 2009/07/08(Wed) 20:56:20
☆ Re: 重複順列 / ヨッシー
重複組み合わせですね。

１０個の数字がいっぱいあって、ここから４つを選ぶ選び方です。
９本の仕切り｜｜｜｜｜｜｜｜｜　と
４個の○ の並べ方です。
１３個のものから、４個を選んで、○にするのと同じで、
　13Ｃ4
と一致します。

０｜１｜２｜３｜４｜５｜６｜７｜８｜９
の位置に来た○の数だけその数を選んだと考えます。
たとえば、○○｜｜｜○｜｜○｜｜｜｜
だと、００３５　を選んだのと同じです。
ひとつ選び方が決まると、a≧b≧c≧d となるのは、
一通りに決まるので、結局 13Ｃ4 と数字を選んで、
a≧b≧c≧d の順に並べるのとは、同じ場合の数になります。
ただし、解説にあるように、００００ の場合は除かないといけません。
それ以外は、必ず千の位が１以上になって、４桁の数になります。
No.6606 - 2009/07/08(Wed) 21:33:29
☆ Re: 重複順列 / 隆一
ヨッシーさん

図まで添えていただきありがとうございます＾＾
非常にわかりやすい説明で、すっきりしました。
本当にありがとうございました。
No.6607 - 2009/07/08(Wed) 22:45:23
★ 中線 / aki
こんばんは！
またまたお邪魔します。
とても困り果てているのですが、
http://v.upup.be/?D9PkjQiueL
はまず場合わけをしないといけないのでしょうか？するとどう場合わけすればいいのでしょうか？
また、その先も見えてきません。図形の証明が極めて苦手なようです。
どうか私にも分かるようにご説明いただけないでしょうか？
宜しくお願いします…
No.6587 - 2009/07/07(Tue) 18:21:04
☆ Re: 中線 / DANDY　U
遅れてでも No.6443 ,No.6469 ,No.6487 ,No.6493 ,No.6566 の質問に対する回答
およびコメントに対する返事をしてから、新たな質問をするべきでしょう。

何らかの回答をしても分かったかどうか等の何の反応もないなかで、同じ質問者
が次々新たな質問をされているのをみて、回答をした人はどう思うかを考えたこ
とがあります　？
（rtzさんが No.6571 でやんわり指摘されておられますよね）
No.6592 - 2009/07/07(Tue) 21:25:26
☆ Re: 中線 / aki
申し訳ありません。
まだわからないのでもう少し考えてから質問しようと思っておりました。
次々と問題を出されるので私自身もパニックになっておりました。
以後気をつけます。

No.6616 - 2009/07/09(Thu) 15:47:16
☆ Re: 中線 / ヨッシー
で、この問題ですが、(1) はいわゆる｢中線定理｣そのままなので
省略して、(2) は、この図形で、中線定理が使えるところが
６つあります。
（６つの式が出来るということです。もちろん、補助線を引かないと
出来ない三角形もあります）
６つと言っても、４つと２つに分かれます。
４つを全部足したものに、残りの２つを適用すると、
与えられた式が出来ます。
No.6626 - 2009/07/09(Thu) 17:07:08
☆ Re: 中線 / DANDY　U
この質問と関係ないのですが
No.6469 の質問に対する回答が理解できなかったようですので、解説をしておきました。
のぞいてみてください。
No.6635 - 2009/07/09(Thu) 22:40:29
☆ Re: 中線 / aki
ごめんなさい。全く分かりません。(2)はまず全体の概要すらわかりません。
模範解答もないので…
模範解答もいただけると助かります。
すみませんがお願いします。

わざわざ書き込みの報告ありがとうございました。とても助かります!
No.6705 - 2009/07/12(Sun) 17:36:12
☆ Re: 中線 / ヨッシー
中線定理は、私のページに証明があるので、ご覧ください。

(2) ですが、中線定理が使えそうなところ(中線が引かれているところ)
は、１つも見つかりませんか？
No.6712 - 2009/07/12(Sun) 21:51:05
★ (No Subject) / man 高３
0<a<1のとき、方程式a^x=log_{a}(x)（底がa、真数がx）が異なる3つの実数解を
持つaの値の範囲は
0<a<e^(-e)となることを示せ。

という問題なのですが、

f(x)=（左辺）-（右辺）として、y=f(x)の増減やグラフから解こうとしています
。

「0<a<e^(-e)⇔f(x)は極大値・極小値をそれぞれ1つずつ持つ。」
までは分かったのですが、そこからy=f(x)とx軸が異なる3つの共有点を持つこと
が言えません。

よろしくお願いします。

また、他にもっと良い解法がありましたら教えてください。
No.6586 - 2009/07/07(Tue) 17:55:48
☆ Re: / angel
y=a^x と、y=log{a}x とは、逆関数の関係にありますから、グラフを描くと、直線 y=x を軸として線対称になります。
なおかつ、直線 y=x と y=a^x ( もしくは y=log{a}x ) は、必ず1つの交点を持ちます。
この点を (t,t) と置くと、t=a^t=log{a}t ということになります。

今の問題の状況では、y=a^x と y=log{a}x が3交点を持つ、つまり、(t,t) と何かしらの点 (p,q), (q,p) の3点で交わるということになります。

manさんのようにf(x)=a^x-log{a}x で攻めるなら、上で挙げた t を用いて、f(t)=0 を起点にすると良いと思います。
f(t)=0, f'(t)＜0, f(1)＞0 から、t＜x＜1 の区間でも f(x)=0 が解を持つ、というストーリーが素直でしょう。
※もちろん f'' の値も絡めて、山・谷が何個もできないことまで説明しないといけませんが、そこは極値を調べたのであれば問題ないでしょう。

※後半の不等号の向きが一部間違えていたので訂正しました。申し訳ありません。
No.6594 - 2009/07/07(Tue) 21:49:55
☆ Re: / man 高３
ありがとうございます。
勉強になります。

f'(t)<0の部分ですが、
t=a^t⇔a=t^(1/t)のもとで、
f'(t)=a^t*log(a)-1/(t*log(a))=…={(log(t))^2-1}/log(t)
となり、a<1⇒t<1⇒log(t)<0より、
結局、「f'(t)<0⇔t<(1/e)」となるかと思います。

この後ですが、関数g(x)=x^(1/x)がx<1において単調増加であることと、
a=t^(1/t)及びa<e^(-e)⇔a<(1/e)^e
からt<(1/e)が言える。
という論理で正しいのでしょうか。

また、f'(t)<0の証明に関して、上の方法は少々複雑に思えてしまうのですが、
もっとスマートな方法はあるのでしょうか。

度々すみませんが、お願いします。
No.6599 - 2009/07/08(Wed) 00:07:12
☆ Re: / angel
おお、t=a^t から a=t^(1/t) と持っていくのですね。
実はその変形では考えていなかったのですが、形もすっきりしますし、良いと思います。
後は g(x)=x^(1/x) の単調性で説明して問題ないでしょう。
※y=x と y=a^x の位置関係 ( a^x＜x ⇔ t＜x ) に着目して、
　　a＜e^(-e)
　　⇒ a^(1/e)＜(e^(-e))^(1/e)=1/e
　　⇒ t＜1/e
　も良いかもしれません。

私の考えた計算だと、0＜a＜e^(-e) という前提なしでやろうとしていますので、もうちょっと面倒です。manさんの方法でも十分スマートだと思いますよ。
No.6600 - 2009/07/08(Wed) 14:07:16
☆ Re: / man 高3
なるほど。
angelさんのように、y=xとy=a^xの位置関係に着目すればすんなり解決できるのですね。
すごく見習いたい解法です。

これで完全にこの問題に関して納得できました。
いろいろとアドバイスをしていただき、ありがとうございました。
No.6608 - 2009/07/08(Wed) 23:28:59
★ 物理 / 水樹

こんにちは。
物理の単振動のところで質問なんですが、
x[m]=0.40sin5πTで与えられる単振動の振幅、角振動数、周期、振動数は求まったのですが、t=1/15[s]のときの速さとTt=1/30[s]のときの加速度の大きさの出し方が分かりません。
公式は
v=Aωcosωt
a=-Aω^2sinωt
で合っていると思うのですが代入してもsinとcosの値がいまいち理解できません。
どなたか宜しくお願いします。
No.6583 - 2009/07/07(Tue) 17:02:04
☆ Re: 物理 / angel
数IIあたりで、弧度法 ( radian を単位とした角度 ) は習っていませんか?
π[rad]=180°ですから、π/3[rad]=60°、π/6[rad]=30°となります。
三角比の値で言えば、
cos(π/3)=cos60°=1/2、sin(π/6)=sin30°=1/2
ですね。

弧度法を使えば、半径 r、中心角θの円弧の長さ L は、
　L=rθ
と表せますから、非常にすっきりします。
※中心角θ°の場合だと、L=2πrθ/360 ですから…

なお、中心角 1[rad]の扇形は、正三角形に近い形になることから、1[rad]≒60°であることも分かります。( 正確には、1[rad]=(180/π)°=57.29578…°
No.6597 - 2009/07/07(Tue) 22:54:18
★ メネラウス / aki
こんにちは！
いつもありがとうございます
質問お願いします
http://v.upup.be/?IoNeULnDK0
でAQ:QEを求める際、4:1 とできないのはなぜでしょうか？
ACとCEの辺の比じゃなければ使えないということでしょうか？
No.6582 - 2009/07/07(Tue) 16:58:38
☆ Re: メネラウス / ヨッシー
(AQ/QE)(EC/CB)(BD/DA)=1 なので
(AQ/QE)(1/4)(1/3)=1 より AQ:QE＝12:1
です。
No.6584 - 2009/07/07(Tue) 17:04:00
☆ Re: メネラウス / aki
2辺に関する比ではないのでごちゃまぜにしてはいけないのですね？ありがとうございます…
No.6588 - 2009/07/07(Tue) 18:23:13
★ (No Subject) / shiyo
xy平面上の3本の直線　?@：x-y+2=0, ?A：x+y-14=0,?B：7x-y-10=0で囲まれる三角形に内接する円の方程式を求めよ。

解答　（x-4)^2+(y-8)^2=2　となります。

この問題の途中が解りません。絶対値の箇所で迷っています。
No.6581 - 2009/07/07(Tue) 14:48:45
☆ Re: / ヨッシー
３交点を求めると、
(1)(2) より Ａ：(6,8)
(2)(3) より Ｂ：(3,11)
(3)(1) より Ｃ：(2,4)
ＡＢ＝3√2、ＢＣ＝5√2、ＣＡ＝4√2
ＢＣをAB:BC＝3:4に内分する点(18/7, 8) と点Ａを結んだ
　ｙ＝８
と、ＣＡをBC:AB＝5:3 に内分する点(9/2, 13/2) とＢを結んだ
　ｙ＝−３ｘ＋２０
は、それぞれ、∠Ａ，∠Ｂの二等分線なので、その交点Ｏ：(4,8)
が、内接円の中心であり、半径は、（ＡＢの1/3 で √2 でもいいですが）
△ＡＢＣは直角三角形であり、その面積は、3√2×4√2÷2＝12
一方、内接円の半径をｒとすると、△ＡＯＢ，△ＢＯＣ，△ＣＯＡ
の面積は、(3√2)r/2，(5√2)r/2，(4√2)r/2 で、合計(6√2)ｒ
よって、１２＝(6√2)ｒ よりｒ＝√2

以上より、求める円の式は、上のようになります。　
No.6585 - 2009/07/07(Tue) 17:30:10
☆ Re: / shiyo
ヨッシーさん有り難うございます。

その解き方がありましたね。
理解できました！！
No.6589 - 2009/07/07(Tue) 18:54:49
☆ Re: / angel
蛇足ながら…
直線と点の距離の公式は、絶対値のついた形になっていますが、予め点の存在する領域が分かっていれば、絶対値なしの形になります。
そのため、内接円の半径を r、内接円の中心を(p,q)と置くと、

　r = -(p-q+2)/√2 = -(p+q-14)/√2 = (7p-q-10)/√50

という方程式がたちます。
どちらの領域にあるかは、原点と比較すると楽に判別することができます。
なお、絶対値のままで方程式 ( r=|p-q+2|/√2=|p+q-14|/√2=|7p-q-10|/√50 ) をたてると、(p,q,r) の組み合わせが4通りできます。
内心・内接円に対応する解以外は、3つの傍心・傍接円に対応するものです。
No.6593 - 2009/07/07(Tue) 21:31:07
☆ Re: / shiyo
angelさん有り難うございます。
画像付きで非常に解りやすかったです！！
No.6596 - 2009/07/07(Tue) 22:52:27
★ (No Subject) / Ω
5次方程式x^5-5x^3+10x=6…?@x^5-5x^3+10x=4√2…?Aは,いずれも正の異なる2実数をもつ。このとき,この2実数をα,β(α<β)とおくとき,β/αが最大となるのは?@,?Aのいずれか。

この問題が分かりません。よろしくお願いします。
No.6578 - 2009/07/06(Mon) 23:07:19
☆ Re: / 都
締め切り過ぎたら教えてあげますね :-p
No.6580 - 2009/07/07(Tue) 05:45:15
☆ Re: / あ
４√２だよ。
No.6601 - 2009/07/08(Wed) 14:22:06
☆ Re: / Ω
>>あ　さん
何でそうなるのでしょうか？自分もf(x)=x^5-5x^3+10x=0のグラフを描いて見ましたが,どうもそれぞれ残りの解の値が求められませんでした。直接値を出すという解法では解けないのでしょうか？
No.6602 - 2009/07/08(Wed) 18:17:30
☆ Re: / 名無し
大学への数学の学力コンテストの問題なので、コメントは差し控えます。
No.6629 - 2009/07/09(Thu) 18:51:51
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