ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 三角関数のｎ倍角の公式 / Allegro

初めまして。Allegroと申します。

以前お邪魔したかどうか忘れてしまいましたが、
書きたいことがあって、お邪魔させていだきます。
私は社会人で、会社員です。
年齢は不惑を過ぎたところです。

//-----------------------------------------------
前半は質問ではなく、

三角関数の、倍角の公式、３倍角の公式、４倍角の公式...
の一般化を発見したのでその紹介です。

//-----------------------------------------------

sin(nθ)、cos(nθ)、tan(nθ)を一般式として求めるには、
複素数の範囲で考えると見通しがよくなります。

※以下、Q^Rは、QのR乗のこととします。
iは虚数単位とします。

ド・モアブルの公式
(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)...[01]

に対して、θに-θをあてはめて、

(cos(-θ)+isin(-θ))^n=cos(n・(-θ))+isin(n・(-θ))
=cos(-nθ)+isin(-nθ)...[02]

cos(-θ)=cosθ,cos(-nθ)=cos(nθ),
sin(-θ)=-sinθ,sin(-nθ)=-sin(nθ)だから、
[02]にあてはめると、

(cosθ-isinθ)^n=cos(nθ)-isin(nθ)...[03]

([01]+[03])/2で、
{(cosθ+isinθ)^n+(cosθ+isinθ)^n}/2=cos(nθ)

([01]-[03])/2で、
{(cosθ+isinθ)^n-(cosθ-isinθ)^n}/2=isin(nθ)

整理して、

cos(nθ)={(cosθ+isinθ)^n+(cosθ+isinθ)^n}/2...[A]
sin(nθ)=-i{(cosθ+isinθ)^n-(cosθ-isinθ)^n}/2...[B]

tanについては、※cosθ≠0のとき

tan(nθ)=sin(nθ)/cos(nθ)
=-i{(cosθ+isinθ)^n-(cosθ-isinθ)^n}
/{(cosθ+isinθ)^n+(cosθ+isinθ)^n}
=-i[{cosθ(1+itanθ)}^n-{cosθ(1-itanθ)}^n]
/[{cosθ(1+itanθ)}^n+{cosθ(1-itanθ)}^n]
=-i{(cosθ)^n(1+itanθ)^n-(cosθ)^n(1-itanθ)^n}
/{(cosθ)^n(1+itanθ)^n+(cosθ)^n(1-itanθ)^n}
=-i{(1+itanθ)^n-(1-itanθ)^n}
/{(1+itanθ)^n+(1-itanθ)^n}

整理して、

tan(nθ)
=-i{(1+itanθ)^n-(1-itanθ)^n}
/{(1+itanθ)^n+(1-itanθ)^n}...[C]

これで、sin,cos,tanの

倍角、３倍角、４倍角、５倍角、
６倍角、７倍角、８倍角、９倍角、10倍角...

の公式がいっぺんにそれぞれ、各１種類の公式で
求められました。

非常にすっきりしたのではないでしょうか？

//--------------------------------------------------
ここからは質問になります。
半角の公式(1/2角の公式）の一般の場合、1/n角の公式
(1/3角、1/4角、1/5角...)の表示方法（一般解法）を
ご存じないですか？
これはどこでも見かけたことがないのですが、
未解決問題なのでしょうか？

//--------------------------------------------------
以上長くなりましたが、よろしくお願いします。

No.5677 - 2009/04/25(Sat) 06:09:40

☆ Re: 三角関数のｎ倍角の公式 / 七

cos(nθ)={(cosθ+isinθ)^n+(cosθ+isinθ)^n}/2...[A]
sin(nθ)=-i{(cosθ+isinθ)^n-(cosθ-isinθ)^n}/2...[B]
tan(nθ)=-i{(1+itanθ)^n-(1-itanθ)^n}/{(1+itanθ)^n+(1-itanθ)^n}...[C]
式の形としては確かにすっきりしているかも知れませんが実用的ではありません。
θ＝π/6 などでは必要ありませんし，
例えばcosθ＝1/3，sinθ＝2√2/3のとき
cos2θ，sin2θ程度ならそれほど面倒ではありませんが，
3θ，4θの三角比を求める計算は非常に面倒だと思います。
それでもかまわないのであれば
[01]，[02]を逆に使えば1/n角の公式は簡単に作れるはずです。

No.5679 - 2009/04/25(Sat) 09:23:30

☆ Re: 三角関数のｎ倍角の公式 / angel

複素数を用いた形式は、確かにすっきりしていると思います。
ただ、実用上は cos,sin の多項式に直すことになりそうですが。
例えば cos なら、

cos(nθ)
=1/2・( (cosθ+isinθ)^n+(cosθ-isinθ)^n )
=1/2・?納0≦k≦n] nCk・(cosθ)^(n-k)・( (isinθ)^k+(-isinθ)^k )
=?納0≦k≦n, kは偶数] nCk・(cosθ)^(n-k)・(-1)^(k/2)・(sinθ)^k
=?納0≦j≦n/2] nC2j・(cosθ)^(n-2j)・(-1)^j・(sinθ)^2j
=?納0≦j≦n/2] nC2j・((cosθ)^2-1)^j・(cosθ)^(n-2j)

のように。

No.5680 - 2009/04/25(Sat) 11:59:14

☆ Re: 三角関数のｎ倍角の公式 / angel

1/n倍角ですが、cosθ, sinθ の多項式・n乗根の組合せで表せるような公式はないと思います。

例えば、cosの3倍角 cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ に対して、
cosの1/3倍角は、4(cos(θ/3))^3 - 3cos(θ/3) - cosθ = 0 という3次方程式の解を求める操作になります。
3次方程式ならともかく、次数が上がれば一般的に解けるとは思えません。

もちろん、cos(θ/n)=1/2・( (cosθ+isinθ)^(1/n)+(cosθ-isinθ)^(1/n) ) という変形はできますが、これを公式と言うかどうかは…。

No.5681 - 2009/04/25(Sat) 12:11:59

☆ Re: 三角関数のｎ倍角の公式 / Allegro

> 1/n倍角ですが、cosθ, sinθ の多項式・n乗根の組合せで表せるような公式はないと思います。
>
> 例えば、cosの3倍角 cos3θ=4(cosθ)^3-3cosθ に対して、
> cosの1/3倍角は、4(cos(θ/3))^3 - 3cos(θ/3) - cosθ = 0 という3次方程式の解を求める操作になります。
> 3次方程式ならともかく、次数が上がれば一般的に解けるとは思えません。
>
> もちろん、cos(θ/n)=1/2・( (cosθ+isinθ)^(1/n)+(cosθ-isinθ)^(1/n) ) という変形はできますが、これを公式と言うかどうかは…。

皆さん、コメントありがとうございます。
1/n角の公式は、やはりまだ見つかっていないのでしょうね。
とりあえず、n倍角の公式が書けたことで、ヨシとしたいと思います。
n倍角の公式は、angelさんご指摘のとおり、
一般に利用するには、展開して整理してから、使うことになりそうですね。

ありがとうございます。

No.5712 - 2009/04/27(Mon) 18:46:10

★ (No Subject) / 桜　高校3年生

こんにちは。
いつもありがとうございますo
よろしくお願いいたします。

三角形ABCにおいて、3sinA=4sinB=6sinCが成り立つという。
このとき、sinB,cosCの値を求めよ。

という問題がわかりませんでした。

各辺を12で割り
sinA/4=sinB/3=sinC/2
これと
a/sinA=b/sinB=c/sinCによってなぜ
a/4=b/3=c/2になるのかわかりませんでした。

教えてください。
よろしくおねがいいたしますo

No.5673 - 2009/04/24(Fri) 17:57:58

☆ Re: / 都

敢えて式などを持ち出して説明するとすれば、
a/sinA=b/sinB=c/sinC=kとでも置けば
sinA=a/k,sinB=b/k,sinC=c/kで、
sinA/4=sinB/3=sinC/2に代入すれば
a/4k=b/3k=c/2kとなって以下略。

要は簡単な式変形です。

No.5674 - 2009/04/24(Fri) 22:34:35

☆ Re: / 桜　高校3年生

ありがとうございます☆

数学が苦手であとちょっとわかりませんでした;

各辺を12で割り
sinA/4=sinB/3=sinC/2
と
a/sinA=b/sinB=c/sinC
はなんの関係があるのでしょうか。
a/4=b/3=c/2
にできなくてなかなｋ。。

すみませんです

No.5675 - 2009/04/24(Fri) 23:04:55

☆ Re: / 桜　高校3年生

じっくり考えたら解決できました。
本当にありがとうございます。
丁寧な解説ありがとうございます。

No.5676 - 2009/04/24(Fri) 23:44:24

★ お願いします?ｫ / 高校１年

実数a，bがa>0，a≠1，b=a^2を満たすとする。このとき，不等式loga(x＋a)

No.5667 - 2009/04/22(Wed) 18:37:36

☆ Re: お願いします?ｫ / rtz

投稿前に書いた内容を確認してください。
さらに、対数はもし底がe以外なら[]で囲うなど明示してください。

No.5668 - 2009/04/22(Wed) 20:02:51

☆ Re: お願いします?ｫ / Kurdt

＞質問者さんへ
ネット掲示板で半角の不等号を使うとタグと認識されて、
思ったとおりの表示にならないことがあります。
全角の＜と＞を使うようにしましょう。

質問者さんが意図していた質問文を書いておきます。

実数a，bがa＞0，a≠1，b=a^2を満たすとする。このとき，不等式loga(x＋a)＜logb(x＋b)を満たすxの値の範囲をaを用いて表せ。

No.5669 - 2009/04/22(Wed) 21:05:31

☆ Re: お願いします?ｫ / BossF

底の変換を行いすべて常用対数にします

loga(x＋a)=log(x＋a)/log a

logb(x＋b)=log(x＋b)/log b=log(x＋b)/2log a

これより
0＜a＜１なら　(x+a)＞(x+b)^(1/2)
1＜a なら　(x+a)＜(x+b)^(1/2)

以下略（＾＾；；）

No.5670 - 2009/04/23(Thu) 00:26:04

★ 三角関数 / 高３

座標平面上の３点A(1,0)、B(cosΘ,sinΘ)、C(cos2Θ,sin2Θ)についてΘが0ﾟ≦Θ≦180ﾟの範囲を動くとき、d=AC+BCの最大値と最小値を求めよ。

(1)AC^2=●+2cos2Θ
=●cos^2Θ
(2)BC^2=●-2cosΘ
=●sin^2Θ/2

だから(3)d=●|cosΘ|+●sinΘ/2

(4)t=sinΘ/2とおく。
0ﾟ≦Θ≦90ﾟのとき0≦t≦√●/●であり、d=-●t^2+●t+2である。
(5)90ﾟ≦Θ≦180ﾟのとき√●/●≦t≦1でありd=●t^2+●t-2である。

今日先生に聞きに行ったところ、こんなものも解けないのか！と怒られてしまいました…
比較的簡単な問題なのでしょうか？
●に入る数字を教えて戴けるとありがたいです。お願いします。

No.5661 - 2009/04/20(Mon) 20:21:45

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

A(1,0)，C(2,1) のときの　AC^2 は求められますか？
(1) だけでも
２点間の距離の公式
公式：sin^2ｘ＋cos^2ｘ＝１
倍角の公式
を知らないと解けません。
どこまで理解されているかによって、答え方も変わってきます。
で、まずは　↑　の問題から。

No.5666 - 2009/04/21(Tue) 12:46:37

★ (No Subject) / shiyo

すいません。弟の問題なのですが、あめが60個、チョコレートが36個あります。1袋にそれぞれ同じ数ずつ入れて、どちらもあまりがでないようにします。
問?@：ふくろの数をできるだけ多くするとき、何ふくろできますか？　
→最大公約数が12なので　袋の数は合計8ふくろでいいのでしょうか？

問?A：?@のとき、1ふくろに入れるあめ、チョコレートはそれぞれ何個ですか？
→それぞれ12個ずつ？　合っていますか？

以上です。　

No.5656 - 2009/04/20(Mon) 17:48:53

☆ Re: / ヨッシー

たとえば、あめ12個とチョコ8個なら、4個の袋を用意して、
1つの袋に、あめ3個とチョコ2個を入れます。

No.5657 - 2009/04/20(Mon) 17:56:17

☆ Re: / shiyo

ヨッシーさん、有り難うございます。
ということは問?@は12袋でき、１袋にはあめ、5個、チョコレート3個になりますか？

No.5658 - 2009/04/20(Mon) 18:18:48

☆ Re: / ヨッシー

そうですね。
>それぞれ同じ数ずつ
の解釈が難しいかもしれませんね。

No.5665 - 2009/04/21(Tue) 12:42:35

★ 大学２年　　数学?T / みほ

1.次の集合を外延的記法を用いて表せ。
（１）A=[x∈z｜-4<x≦5]
（２）B=[x∈ｃ｜x^2＋1=0]
2.集合x,A,Bを次のように定める。
X=｛ｎ∈N|ｎ≦10｝
A={2n|ｎ∈x}
B={3n|ｎ∈x}
C={n|nは奇数}
このとき次の集合を外延的記法を用いて表せ。
（１）A∩B
（２）A∪B
（３）B∩C

数学が苦手で自分の解答に自信がありません。
解答・解説お願いします。

No.5655 - 2009/04/19(Sun) 18:30:51

☆ Re: 大学２年　　数学?T / BossF

外延的記法＝具体的に列挙です

1(1)A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} (2)B={-i,i}

という具合です　
（Z;整数　C;は複素数 N;自然数の集合を表します）

2 A={2,4,6,8,…,20} B={3,6,9,…,30} C={1,3,5,…9}

後は自分で考えてみて(＾＾；；

No.5663 - 2009/04/21(Tue) 02:11:38

☆ Re: 大学２年　　数学?T / みほ

返信遅くなってすみません・・・・。
解答ありがとうございます。
外延的記法についてよくわからなかったのでとても役に立ちました。

ありがとうございました。

No.5706 - 2009/04/27(Mon) 10:04:34

★ 関数の極限 / Kay(新高２女子)

関数の極限の計算について質問します。
（ア）途中の四則計算は、数列や微積分の計算などと同じよ
　　　うに、数学的に正しければ、いくつかの求め方があっ
　　　てもよいですか。
（イ）計算の途中経過はどこまで詳しく書けばいいのです
　　　か。
（ウ）模範解答では文字を置換しているのですが、置換しな
　　　くてもいいですか。

具体的には、
(1) lim, x→-∞, (x^3-2x+3)
=lim, x→-∞, x^3*{1-2/x^2+3/x^3}・・・?@
　　=-∞*{1-2/∞+3/(-∞)}・・・?A
　　=-∞*(1-0+0)・・・?B
=-∞Kay・・・?C
で、模範解答は?@の後すぐに?Cとなっているのですが、?Aや?Bを入れては間違いですか。

(2)lim, x→-∞, {√(x^2+1) + x }について

【模範解答】
√(x^2+1) + x ={(x^2+1)-x^2}/{√(x^2+1) - x}
=1/{√(x^2+1) - x}
よって、x=-t とおくと
x→-∞のとき　t→∞であるから
lim, x→-∞, {√(x^2+1) + x }
=lim, t→∞, 1/{√(t^2+1) + t}
=lim, t→∞, (1/t)/{√(1+1/t^2) +1}
=0

【私の答案】
lim, x→-∞, {√(x^2+1) + x }
=lim, x→-∞, (x^2+1-x^2)/{√(x^2+1)-x}
=lim, x→-∞, 1/{√(x^2+1)-x}
=1/{√(∞+1)-(-∞)}
=1/(∞+∞)
=1/∞
=0

細かくてすみませんが、よろしくお願いします。

No.5650 - 2009/04/19(Sun) 12:51:37

☆ Re: 関数の極限 / angel

とりあえず、∞は実際の数ではないため、極限計算の途中経過に出してはいけないです。気持ちは良く分かるのですが。

置換については…、今回のようなケースであれば特になくても良いでしょう。

No.5662 - 2009/04/20(Mon) 23:18:26

☆ Re: 関数の極限　補足 / BossF

（ア）途中の四則計算は、数列や微積分の計算などと同じよ
　　　うに、数学的に正しければ、いくつかの求め方があっ
　　　てもよいですか。
→当然いくつあっても不思議ではありません

（イ）計算の途中経過はどこまで詳しく書けばいいのです
　　　か。

これは難しい問題を含んでいるのですが…それはおいといて

単純に極限を考えると
　∞-∞　∞/∞　0/0　などになってしまう形を不定形といい

それが[ぱっと見て]　∞+∞　や　定数/∞　などの極限が分かる形まで変形すればよいことになってます

ところが、[ぱっと見て]がどれくらいかは、当然人によって異なるわけで、模試などの採点をしてたときに悩んだものでしたが…（＾＾；；

No.5664 - 2009/04/21(Tue) 02:27:35

★ 相加・相乗平均 / 高2

　
　Ｌ=(ａ+2/ｂ)(ｂ+3/ａ)
　という問題のついて、
　?@Ｌの最小値
　?AＬが最小値をとるときa・bが満たす条件
　をもとめたいのですが、解けません。

　私は、?@は
　ａ+2/ｂ≧2√ａ・2/ｂ
　ｂ＋3/ａ≧2√ｂ・3/ａ

　Ｌ≧4√ａ・2/ｂ・ｂ・3/ａ
　イコールＬは、4√6
　であると考え、
　?Aは
　a＝2/ｂ・ｂ＝3/a
だと考え解きました。
　この考えは間違っているのでしょうか？？
　そもそもこの問題は、相加・相乗平均の問題なのでしょう　か？
　答えと、解き方の両方が分からないので、
　両方詳しく教えていただけると助かります！！
　よろしくお願いいたします。

No.5642 - 2009/04/19(Sun) 09:07:18

☆ Re: 相加・相乗平均 / 七

a，bがともに正，またはともに負という条件があれば
相加・相乗平均の問題として解けます。
その前提で
ａ+2/ｂ≧2√ａ・2/ｂ
ｂ＋3/ａ≧2√ｂ・3/ａ
はともに相加・相乗平均の式ですが
この2つの式の等号成立条件が異なりますので同時には使えません。

Lを展開した式に相加・相乗平均を用いましょう。

No.5644 - 2009/04/19(Sun) 09:26:23

☆ Re: 相加・相乗平均 / 高2

　展開してといて見ます！！
　ありがとうございました。
　

No.5660 - 2009/04/20(Mon) 19:09:56

★ 最大最小 / ロン

今、数学を復習しているのですがいろいろこんがらがってしまいました。
回答お願いします。

問題
第一象限にある定点P(a.b)を通る直線がｘ、ｙ軸と交わる点をA,Bとするとき次のものの最小値を求めよ。

(1)△AOBの面積
(2)線分ABの長さ

というものです。(1)は普通に微分して求められたのですが、二番をやると計算がごちゃごちゃになってしまいました。

No.5634 - 2009/04/18(Sat) 01:09:30

☆ Re: 最大最小 / 七

ABが最小になるのはAB^2＝OA^2＋OB^2 が最小になるときです。
(1)の結果を利用して
相加･相乗平均が使えそうな気がします。

No.5635 - 2009/04/18(Sat) 06:39:35

☆ Re: 最大最小 / DANDY　U

定点P(a.b)を通る直線が「ｘ軸の正の部分で」ｘ軸と交わり、「ｙ軸の正の部分で」ｙ軸と交わると書かれていないので
(1)(2)とも最小値は存在しない (Ａ,Ｂ,Ｏが一致してもよいとするのなら 0 )

No.5639 - 2009/04/18(Sat) 20:57:47

☆ Re: 最大最小 / cloud

正の部分で交わるという前提で考えてみます。

（１）直線の傾きを－ｋとすると、ＯＡ＝ａ＋ｂ/ｋ，ＯＢ＝ｂ＋ｋａより
△ＡＯＢ＝(１/２)ＯＡ・ＯＢ＝(１/２)（２ａｂ＋ｋａ＾２＋ｂ＾２/ｋ）
となるので、相加・相乗平均の公式を使えば答えが出ます。

（２）∠ＢＡＯ＝θとおくと、ＰＡsinθ＝ｂ，ＰＢcosθ＝ａより
ＡＢ＝ＰＡ＋ＰＢ＝ｂ/sinθ＋ａ/cosθ
これをθで微分すると｛－ｂ（cosθ）＾３＋ａ（sinθ）＾３｝/（sinθ・cosθ）＾２
となるので
（tanθ）＾３＝ｂ/ａ
となる時に極値をとります。あとは計算により求められると思います。
（２）に関してはもっといい解法がありそうな気もしますが、とりあえずはこの方法でも解けそうです。

No.5641 - 2009/04/19(Sun) 05:21:24

★ (No Subject) / ゆき

高校の微積分を４０年ぶりに復習しています。

lim[h->0] ( (f(x+h) -f(x) ) / h)
から
(x^0)'=0
(x^1)'=1
(x^2)'=x
(x^3)'=2x
を確認してから数学的帰納法により
　(x^n)'=nx^(n-1)
が成立することは証明・理解できました。
＃値域は　n:自然数　という限定ですよね、この段階では。

次の段階として
　(x^(n/m))' = (n/m)x^(n/m-1)
を証明して値域を有理数に広げることができるのですが、

１、合成関数の微分 ((x^n)^(1/m))' としての証明では
　　(x^(1/m))' =(1/m)x^(1/m -1)
を当然のように使います。
２、http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~yamane/bekijo.pdf
　　で紹介されているものは「等比数列の和の公式」という
　　私にとってはなじみのない公式が出てきます。

そこで質問なのですが

(x^(1/m))' =(1/m)x^(1/m -1)

という式の証明は高校課程ではどのように実現
できるのでしょうか？

No.5630 - 2009/04/17(Fri) 10:31:31

☆ Re: / 七

数3の教科書では
y＝x^(1/m)
y^m＝x として両辺をxについて微分することにより
求めていたと思います。

No.5631 - 2009/04/17(Fri) 16:06:18

☆ Re: / ゆき

ありがとうございます。

>y^m＝x として両辺をxについて微分

「逆関数の微分」ですね。

y=f(x) x=g(y) のとき
y'=1/(g'(f(x))

思い出しました。
ありがとうございました。

No.5638 - 2009/04/18(Sat) 12:38:28

★ 数学?TA / むささび３年

質問です。
三角形ABCにおいてAB＝７、BC＝８、CA＝９のとき

(1)面積を求めよ。

(2)内接円の半径を求めよ。

１辺の長さが３の正四面体ABCDにおいて

(1)Aから三角形BCDに下ろした垂線の長さを求めよ。

(2)体積をもとめよ。

No.5623 - 2009/04/15(Wed) 20:59:59

☆ Re: 数学?TA / DANDY　U

(1) へロンの公式↓　を使うのが手っ取り早いです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

[別解] 余弦定理より cosＡを求める → sinＡを計算する→ △ABC＝(1/2)*AB*AC*sinＡ　が求まります。

(2) 内接円の中心をＯ,半径をｒとすると
△ABC＝△ABO+△BCO+△CAO＝(1/2)*AB*r＋(1/2)*BC*r＋(1/2)*CA*r＝12ｒ
これと(1)の結果からｒが求まります。

[後半] 底面BCDの重心をＧ、BGの延長とCDとの交点をＥとして
(1) BEを計算する → BG＝(2/3)*BE を計算する → △ABGにおいて三平方の定理を用いる。
この手順で求まるでしょう。

(2)△BCDを計算すれば(1)の結果から容易に求まります。

No.5624 - 2009/04/16(Thu) 09:53:13

★ お願いします?ｫ / 高校1年

x,y,zをx(1/x)＋(1/y)＋(1/z)=1/2を満たすx,y,zの組(x,y,z)の中で、xが最大となる組をすべて求めよ。

No.5614 - 2009/04/14(Tue) 17:59:11

☆ Re: お願いします?ｫ / 雀

x(1/x)＋(1/y)＋(1/z)=1/2
ではなくて、
(1/x)＋(1/y)＋(1/z)=1/2
ですよね？

あと、x、y、zの条件はないですか？

No.5615 - 2009/04/14(Tue) 18:46:12

☆ Re: お願いします?ｫ / 高校1年

はいそうでした?ｫ

あとx

No.5616 - 2009/04/14(Tue) 19:15:04

☆ Re: お願いします?ｫ / 高校1年

ｘ＜ｙ＜ｚです?ｫ

No.5617 - 2009/04/14(Tue) 20:35:06

☆ Re: お願いします?ｫ / X

＞＞xが最大となる組をすべて求めよ。
ですので
＞＞ｘ＜ｙ＜ｚです?ｫ
が
x＞y＞z
のタイプミス
又x,y,zは自然数であると見て回答します。

1/x+1/y+1/z=1/2 (A)
z＜y＜x (B)
とします。
x,y,zは自然数ですので(B)より
1/z>1/y>1/x>0
∴(A)から
1/2=1/x+1/y+1/z<1/z+1/z+1/x=3/z
∴z<6 (C)
一方(A)から
1/x+1/y=1/2-1/z>0
∴2<z (D)
(C)(D)より
z=3,4,5
後はそれぞれのzの値について場合分けして
(A)から(B)を満たすx,yを求めます。
(i)z=3のとき
(A)より
1/x+1/y=1/6
これより
6(x+y)=xy
(x-6)(y-6)=36 (A)'
ここで(B)より
x-6＞y-6＞z-6＞-3
∴(A)'から
(x-6,y-6)=(36,1),(12,3)
∴(x,y)=(42,7),(18,9)
(ii)z=4のとき
…
(iii)z=5のとき
…

No.5618 - 2009/04/14(Tue) 22:03:44

☆ Re: お願いします?ｫ / BossF

「xが最大となる組をすべて求め」られるのだから、x,y,zを整数と勝手に決めてときます(違ってたらすみません)

x の最大値を求めるので
0＜x＜y＜zとします

0＜x＜y＜z だから　1/x>1/y>1/z

∴(1/x)＋(1/y)＋(1/z)=1/2<3/x
∴ x≦5

x=5 のとき　(1/y)＋(1/z)=3/10
　　　　　　　⇔10y+10z=3yz
⇔(3y-10)(3z-10)=100
ここで 5<y<z より　5<3y-10<3z-10に注意すれば解なし

x=4 のとき　(1/y)＋(1/z)=1/4
　　　　　　　⇔4y+4z=yz
⇔(y-4)(z-4)=16
ここで 4<y<z より　0<y-4<z-4に注意すれば
(y-4,z-4)=(1,16),(2,8)
すなわち　(y,z)=(5,20)(6,12)

よって　(x,y,z)=(4,5,20),(4,6,12)

あら、うえとかぶってる、（＾＾；；
いずれにせよ、問題文は正確にね！！

No.5619 - 2009/04/14(Tue) 22:19:55

☆ Re: お願いします?ｫ / X

問題文を読むと
＞＞ｘ＜ｙ＜ｚです?ｫ
でも意味は通りますね。
ごめんなさい、私の早とちりでした。

No.5620 - 2009/04/14(Tue) 23:06:22