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★ ヒントください / Jez-z
正の４整数a(1),a(2),a(3),a(4)はこの順で等比数列をなす。いま、公比をr(>1),ただしrは整数ではないものとする。このとき、a(4)の取り得る値を求めよ。また、最小値を求めそのときのa(1)の値を求めよ。

a(1)の値は最小の正の整数1が答としてよいのでしょうか…
それと、a(4)の取り得る値の範囲（およびその最小値）を求めるために注目すべき点（＝ヒント）を教えてもらえないでしょうか？よろしくお願いします。
No.2956 - 2008/09/30(Tue) 21:31:23
☆ Re: ヒントください / rtz
a1＝1なら公比rが整数になるので不可です。

公比rはa2/a1ですから有理数です。
よって、r＝n/m (m,nは互いに素な自然数、n＞m、m≠1)とすれば、
a4＝(n3/m3)・a1から、a1はm3の倍数です。
No.2958 - 2008/09/30(Tue) 21:57:14
☆ Re: / Jez-z
rtzさんの方針で以下のような展開を考えてみましたが、どうでしょうか・・・？

a(1)=m^3　×　k （kは正の整数）
とおく。また、(n/m)^3=r^3より
a(4)=r^3*m^3*k　（>1）
・・・・しかし、これでは評価できませんよね!?
やはり目の付けどころが違っているということですよね。もう一度考えてみます。このレスに目を通されたら返信お願いします。
No.2959 - 2008/09/30(Tue) 22:32:41
☆ Re: ヒントください / rtz
a1＝k*m3とすれば、r＝n/mから
a2＝k*nm2、a3＝k*n2m、a4＝k*n3です。

また、m≠1よりm≧2、n＞mから、n≧3(n≠1,2)です。
よって幾つか記述の仕方はあると思いますが、
a4は27以上の立方数の、正の倍数です。
No.2960 - 2008/09/30(Tue) 22:48:43
★ 数学Ａからです。 / とも
赤い玉３個、黄色い玉２個、青い玉１個が入った袋から３個の玉を同時に取り出す。この３個の中に同じ色の玉が入っている確率を求めよ。

答えは7/10です。

解き方が分からないので教えて頂けますか？宜しくお願いします。
No.2953 - 2008/09/30(Tue) 20:26:48
☆ Re: 数学Ａからです。 / DANDY　U
すべての玉を{赤1,赤2,赤3,黄1,黄2,青}と区別すると
３個の玉の取り出し方は全部で　6Ｃ3（通り）

そのうちすべての色を取り出す場合は{赤1,黄1,青}{赤3,黄2,青}など　 3×2×1＝6（通り）
よって、３個とも違う色である確率＝6/(6Ｃ3)＝3/10

したがって、(３個の中に同じ色の玉が入っている確率)＝１−(３個とも違う色である確率)＝１−3/10　　　
となります。
No.2954 - 2008/09/30(Tue) 21:17:44
★ 高校３年です。 / 未魅
二次関数のグラフと二次方程式についてです。
・ｍ、ｎを自然数とし、二次関数ｙ＝x^-2mx-nのグラフをCとする。
(１)グラフとのCの頂点が放物線ｙ＝-x^+3x-5上にあるとき、
ｍ＝□、ｎ＝□である。
　このとき、グラフCはｘ軸から長さ□√□の線分を切り取る。
(２)グラフCがｘ軸から長さ４の線分を切り取るとき、
ｍ＝□、ｎ＝□である。


□が解答欄です。
ちなみに答えは上から１、２、２√３、１、３です。

私の力ではｍ＝１、ｎ＝２が分かれば
２+√３-(２-√３)＝２√３
より答をだすことができますが、ｍ・ｎのだしかた、(２)が分かりません。
よろしくお願いします。
No.2945 - 2008/09/29(Mon) 21:00:04
☆ Re: 高校３年です。 / 魑魅魍魎
二次関数ｙ＝x^-2mx-n
の頂点は
(m,-m^2-n)
これがｙ＝-x^+3x-5上にあるので
-m^2-n=-m^2+3m+5
3m+n=5
3m=(5-n)
mは自然数から5-nは3以上なので
5-n≧3
2≧n
よってn=1,2
n=1のときm=4/3
n=2のときm=1

これらから
m=1,n=2
No.2947 - 2008/09/29(Mon) 21:21:12
☆ Re: 高校３年です。 / 魑魅魍魎
(2)ヒントです。
x^-2mx-n=0の解をα,β(α<β)とすると
β-α=4 ･･････(1)

解と係数の関係より
α+β=2m ･････(2)
αβ=n ･･････(3)

(1)を二乗すると
(β-α)^2=16
{(β+α)^2-4αβ}=16
(2)(3)を代入すると････
No.2948 - 2008/09/29(Mon) 21:26:08
☆ Re: 高校３年です。 / 未魅
丁寧な解説ありがとうございました。
ヒントをもとにとくことができました。

あと一つ気になったのが
＞これがｙ＝-x^+3x-5上にあるので
＞-m^2-n=-m^2+3m+5

の-５から+５になっているのですが、おそらく間違いかなと思います。
教えていただいた身分ですみません;;
No.2976 - 2008/10/01(Wed) 22:36:36
☆ Re: 高校３年です。 / 魑魅魍魎
すみませんでした。未魅さんの仰るとおりです。
-m^2-n=-m^2+3m+5　×
-m^2-n=-m^2+3m-5 ○
です。
No.2977 - 2008/10/01(Wed) 23:24:34
★ 三角関数 / 小菊
【0≦α≦π/2、0≦β≦π/2
cosα=1/7、cosβ=11/14の時α＋βを求めよ。】
という問題が分かりませんでした。
分かる方はご教授お願いします。
No.2942 - 2008/09/29(Mon) 19:09:44
☆ Re: 三角関数 / rtz
α,βの範囲に注意して、sinαとsinβを出します。
あとはcos(α＋β)を加法定理で展開して値を求め、
α＋βを出しましょう。

ちなみにsin(α＋β)でも構いませんが、
0≦α＋β≦πから候補が2つになってしまうので、
cosの方がよいでしょう。
No.2943 - 2008/09/29(Mon) 19:13:32
☆ Re: 三角関数 / 小菊
こんなに早く返信してもらえるとは思っていませんでした。
ありがとうございます。
No.2944 - 2008/09/29(Mon) 19:31:15
★ 必要十分条件の証明 / 惇
はじめまして。答えは分かっているのですがなぜなのかを教えてくれませんでしょうか？

a≧0，b≧0，a+b≦1を満たす任意のa、bに対し，
「E=Aa+Bb+C≧0(A、B、Cは定数)」となるための必要十分条件は「A+C≧0,B+C≧0,C≧0」らしいのですが、なぜでしょうか？
前者を命題Ｐ，後者を命題Ｑとしたとき，「ＰならばＱ」と「ＱならばＰ」が真であればよいのは分かるのですが、どのように証明するのでしょうか？
No.2938 - 2008/09/28(Sun) 21:53:09
☆ Re: 必要十分条件の証明 / だるまにおん
P⇒Q：
a=1, b=0とすると
A+C≧0
a=0, b=1とすると
B+C≧0
a=b=0とすると
C≧0
∴A+C≧0, B+C≧0, C≧0

Q⇒P：
E=Aa+Bb+C
=(A+C)a+(B+C)b+C(1-a-b)
≧0
No.2939 - 2008/09/28(Sun) 23:00:57
☆ Re: 必要十分条件の証明 / 惇
Ｑ⇒Ｐはよく分かりました。ありがとうございます。

P⇒Qの証明で
a=1, b=0とすると
a=0, b=1とすると
a=b=0とすると

とありますが、これ以外の任意のa,bで成り立つことを言う必要はないのですか？
No.2940 - 2008/09/29(Mon) 06:06:16
☆ Re: 必要十分条件の証明 / だるまにおん
ありません。
No.2941 - 2008/09/29(Mon) 06:43:23
☆ Re: 必要十分条件の証明 / 惇
すいません、なぜなのでしょうか？
必要条件しか満たしていない気がするのですが・・・（見当違いですか？）
よろしくお願いします。
No.2946 - 2008/09/29(Mon) 21:11:38
☆ Re: 必要十分条件の証明 / DANDY　U
>（見当違いですか？）
・・・見当違いですね。

a≧0，b≧0，a+b≦1を満たす任意のa、bに対し，「E=Aa+Bb+C≧0(A、B、Cは定数)」
がいえるとするのだから

a≧0，b≧0，a+b≦1 を満たすどのような a,b を代入しても、導かれた式は成り立つのです。
No.2950 - 2008/09/29(Mon) 21:49:52
★ ベクトルの空間 / Jez-z
空間に∠AOB=∠BOC=∠COA=90°である四面体OABCと1点Pをとり、↑OA=↑a,↑OB=↑b,↑OC=↑c,↑OP=↑pとおく。
さらに、三角形ABCを含む平面αに平行で点Oを通るような平面をβとし、点Pが平面β上を動くとき
↑AP・↑BP+↑BP・↑CP+↑CP+↑APが最小となる点をP'とする。↑OP'を↑a,↑b,↑cを用いて表せ。
No.2934 - 2008/09/28(Sun) 19:13:02
★ 高３です！ / しほ
教えてください(>_<)

ルート（３−X）ｄXの積分は
−２/３ルート（３−X）三乗
になるんですが、どうしてそうなるんでしょうか？途中式を教えてください(>_<)

わかりにくい書き方ですみません(T_T)
No.2933 - 2008/09/28(Sun) 19:00:24
☆ Re: 高３です！ / 魑魅魍魎
∫√(3-x)dx

3-x=Aとおくと
-dx=dA

∫-√AdA
=(-2/3)A^(3/2)
=(-2/3)(3-x)^(3/2)
No.2935 - 2008/09/28(Sun) 19:14:29
☆ Re: 高３です！ / ヨッシー
√(3-x)＝(3-x)1/2
です。
√x＝x1/2 だったら、積分して、
　(2/3)ｘ3/2＝(2/3)√ｘ3
ですね？よく似た形なので、
　(2/3)(3-x)3/2＝(2/3)√(3-x)3
かと予想がつきますが、これを微分すると、
　3-x を微分した -1 が付いてしまうので、これを打ち消すために、
　-(2/3)(3-x)3/2＝-(2/3)√(3-x)3
とします。

式で説明すると、u=3-x とおくと、du/dx＝-1 より、dx＝-du なので、
置換積分により、
　∫(3-x)1/2dx＝∫u1/2(-du)
　　＝-(2/3)u3/2＋Ｃ
　　＝-(2/3)(3-x)3/2＋Ｃ
となります。
No.2936 - 2008/09/28(Sun) 19:19:02
☆ ありがとうございました！ / しほ
ありがとうございました(≧∀≦)

とてもわかりやすい説明で感激です！
No.2937 - 2008/09/28(Sun) 19:48:37
★ 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）
お久しぶりです！　
月曜日に数学のテストがあるので、勉強していたら分からない問題が出てきてしまいました（汗


問題：a<0とする。　関数y=x^2-2ax-a(0≦x≦2)の最小値が-11であるように、定数aの値を求めよ。

y=x^2-2ax-aを平方完成して-(x+a)^2+a^2+3aという式にして、頂点(-a,a^2+3a)を出しました。
それから、xの変域の値を代入して、
x=0　→　y=3a
x=1 →　2a+2 　と出しました。

ここまでは解けたのですが、aの値の出し方がイマイチ分かりません。
グラフは、下に凸...でいいですよね？

お願いしますm(_　_)m
No.2919 - 2008/09/27(Sat) 22:13:31
☆ Re: 2次関数の最大と最小 / 魑魅魍魎
y=x^2-2ax-a
の平方完成が間違っています。

グラフは下に凸です。
グラフを描いてみるとどこで最小値かがわかると思います。
No.2920 - 2008/09/27(Sat) 22:39:50
☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）
あ、すいません・・・！
私が間違ってました。
式は、y=-x^2-2ax-aです。マイナス書き忘れていました＾＾；

すいませんでした。
No.2922 - 2008/09/27(Sat) 22:48:43
☆ Re: 2次関数の最大と最小 / rtz
それでも平方完成間違っていますよ。
元の式のxに−aを代入しても頂点のy座標と一致しません。
まずここを計算しなおしてください。

2次の係数が負なので上に凸です。

a＜0より軸(あるいは頂点のx座標)−a＞0ですから、
軸の位置で最小値が変わってきます。
軸の位置と、最小値をとるxの関係を、グラフを描いて考えてみてください。
No.2923 - 2008/09/27(Sat) 23:02:14
☆ Re: 2次関数の最大と最小 / 魑魅魍魎
問題文は正しいですか？
No.2924 - 2008/09/27(Sat) 23:58:20
☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）
本当にすいません。　間違えてました。

問題書き直します！

問題：a<0とする。関数y=-x^2-2ax-a(0≦x≦1)の最小値が-11であるように、定数aの値を定めよ。

です。
No.2925 - 2008/09/28(Sun) 08:49:33
☆ Re: 2次関数の最大と最小 / ヨッシー
y=-x^2-2ax-a を平方完成して
y=-(x+a)2+a2-a
これより、頂点は (-a, a2-a) となります。
頂点のｘ座標はｘ＞０ の位置にあり、0≦x≦1 においては、
０＜-a≦1/2 のとき、ｘ＝１ で最小
1/2≦-a のとき ｘ＝０ で最小になります。

-1/2≦a＜0 のとき、
　y=-x^2-2ax-a　にｘ＝１ を代入して
　y=-1-3a＝-11
より　a=10/3 となり不適
a≦-1/2 のとき
　y=-x^2-2ax-a　にｘ＝０ を代入して
　y=-a=-11
より a=11 となり不適

よって、題意を満たす a は存在しない
で、やっぱり問題がおかしいと言わざるを得ません。
No.2926 - 2008/09/28(Sun) 09:47:43
☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）
本当にすいません。　問題の式は、y=-x^2+2ax+3aでした。
私、問題書き間違え過ぎですよね・・。　本当に迷惑かけてしまってごめんなさい。
No.2927 - 2008/09/28(Sun) 12:19:10
☆ Re: 2次関数の最大と最小 / ヨッシー
で、
>(0≦x≦1)の最小値が-11であるように・・・
は、正しいとすると、頂点(a, a2+3a) は、
ｘ座標が負なので、0≦x≦1 における最小値は、ｘ＝１ で
発生します。
　y=-x^2+2ax+3a にｘ＝１ を代入して、
(以下 No.2926 参照のこと)
No.2928 - 2008/09/28(Sun) 12:57:02
☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）
ありがとうございます！

x=1を代入して
y=5a-1で、

x=0を代入して
y=3a

最小値はx=1だから、y=5a-1に最小値の-11を代入して
-11=5a-1
a=-2

aの値は-2。　でOKですか？
No.2929 - 2008/09/28(Sun) 13:50:51
☆ Re: 2次関数の最大と最小 / ヨッシー
結果はＯＫですが、
最小値は、ｘ＝１ のときと分かっているので、
ｘ＝０ を代入する必要はありません。
No.2931 - 2008/09/28(Sun) 14:30:02
☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）

あ、そうですよね＾＾；

本当にありがとうございます！

スッキリしました。　また質問させてもらうこともあるかと思いますが、よろしくお願いします。
No.2932 - 2008/09/28(Sun) 14:37:16
★ 定積分 / 雪
∫(0⇒√6/4)dx/√1-2x^2の値はいくらかってどうやって解くんですか?
教えて下さい
No.2915 - 2008/09/27(Sat) 18:50:14
☆ Re: 定積分 / 魑魅魍魎
(√2)x=sinθ
で置換積分してみて下さい。
No.2921 - 2008/09/27(Sat) 22:47:16
★ (No Subject) / ラディン.ms
BC=a,CA=b,AB=cである鋭角三角形ABCの内部に
∠BOC=∠COA=∠AOB=120°となる点Oをとったところ，
OA=α,OB=β,OC=γとなった。
いま，正三角形PQRがあり，その内部にXP=a,XQ=b,XR=cとなる点Xをとることができるという。
このとき△PQRの面積をα,β,γで表せ。


よろしくお願いします。
No.2913 - 2008/09/27(Sat) 15:35:55
☆ Re: / ヨッシー

図のように変形すると、１辺がα＋β＋γ の正三角形が出来ます。
よって、△ＰＱＲの面積は（√3/4)(α＋β＋γ)2
と書けます。
No.2916 - 2008/09/27(Sat) 19:20:20
☆ Re: / ラディン.ms
ありがとうございます！

そんな解法，全く思いつきませんでした。
凄いですね。
No.2918 - 2008/09/27(Sat) 19:51:04
★ (No Subject) / yasu
Ｎを正整数とする
（２＾Ｎ）+１は１５で割り切れないことを示せ

という問題なのですが、合同式を使わずに解く方法は無いのでしょうか？？

もう一つ質問があって
１２冊の異なる本を四冊ずつ三人の子供わけるのは何通りか？
これは12c4*8c4に3!をかけて子供の配り方を考えるのかなと思ったのですがかけないようです。
ものすごく基本的なこととは思いますがわからないのでなぜかけないのか教えてください。

宜しくお願い致します！
No.2906 - 2008/09/27(Sat) 03:09:45
☆ Re: / らすかる
N=1のとき2^N+1を15で割った余りは3
N=2のとき2^N+1を15で割った余りは5
N=3のとき2^N+1を15で割った余りは9
N=4のとき2^N+1を15で割った余りは2
N≧5のとき 2^N+1=2^(N-4)*16+1=15・2^(N-4)+{2^(N-4)+1} なので
2^N-1を15で割った余りは2^(N-4)+1を15で割った余りと同じ
よって任意のNに対して2^N+1は15で割り切れない。

1人目の子供に与える4冊の決め方が12C4通り
2人目の子供に与える4冊の決め方が8C4通り
これで分け方は決まりますから、12C4×8C4通りです。
No.2907 - 2008/09/27(Sat) 04:26:21
☆ Re: / yasu
ご解答が早くて感動しましたありがとうございます。
N=1のとき2^N+1を15で割った余りは3
というのはなぜでしょうか？＞＜

そもそも割れないような気がするのですが・・・
No.2951 - 2008/09/30(Tue) 13:04:49
☆ Re: / ヨッシー
３÷15＝０ あまり３
です。
No.2952 - 2008/09/30(Tue) 13:19:16
☆ Re: / yasu
そうですねご丁寧にすみません＞＜
ありがとうございまいした！
No.2979 - 2008/10/02(Thu) 02:14:51
★ 数A / 匿名
わからない問題があったので教えて頂きたいです。

(1)平面上に8本の直線があり、そのいずれの3本も1点で
　交わることはない。この8本のうち2本だけが平行である
　ときそれら8本の直線によってできる三角形は何個あるか。

(2)男子5人と女子4人がいる。この9人が次のように3人ずつA,B,Cの部屋に入る方法は何通りあるか。
・各室に女子が少なくとも1人入る。
・女子が2人ずつ2室に分かれて入る。

宜しくお願いします!
No.2896 - 2008/09/26(Fri) 22:50:04
☆ Re: 数A / ヨッシー
(1)
こちらの問題で、直線２本で交点１つが、
直線３本で三角形１つ、になるだけですので、同じように解けます。
No.2901 - 2008/09/27(Sat) 01:51:22
☆ Re: 数A / DANDY　U
(1) ２つ下のスレッドでのヨッシーさんの回答の考え方２と同じように考えます。

互いに平行でない３本の直線があるとき１つの三角形ができるので、８本とも平行でないときは 8Ｃ3（個）の三角形ができます。
２本が平行のときは、２本の平行線とほかの直線(6本)で本来できるはずの６つの三角形が出来ないのでそのぶん引かなければなりません。従って、答えは 8Ｃ3−6＝50（個）となります。

(2)[１つ目] 女子の別れ方は２人,１人,１人です。
いまＡが(女2,男1)、Ｂ,Ｃが(男2,女1)とすると
女子の分かれ方は 4！/2!(通り)、男子の分かれ方は 5！/(2!*2!) 通りだから 　(4！/2!)×5！/(2!*2!) 通り

女子２人の部屋は３通り考えられるので、答えは(4！/2!)×5！/(2!*2!)×３　通りで求まります。

[２つ目] 女子がＡとＢに２人ずつ分かれたとすると
Ａ,Ｂは(女2,男1)、Ｃは(男3)となり、
女子の分かれ方は 4！/(2!*2!)(通り)、男子の分かれ方は 5！/3! (通り)だから 　{4！/(2!*2!)}×(5！/3!)（通り）

女子のいない部屋は３通り考えられるので、答えは{4！/(2!*2!)}×(5！/3!)×３ (通り)で求まります。
No.2903 - 2008/09/27(Sat) 02:31:13
☆ Re: 数A / 匿名
説明して頂きありがとうございます!
(2)は理解することができたのですが、
(1)のDANDY　Uさんの説明の｢２本が平行のときは、２本の平行線とほかの直線(6本)で本来できるはずの６つの三角形が出来ない｣という意味がよくわかりませんでした。

お手数お掛けしますが説明宜しくお願いします( ‥`)
No.2910 - 2008/09/27(Sat) 13:57:33
☆ Re: 数A / ヨッシー
ＡとＢが平行でその他に、Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈの直線があるとします。
これらから３本を選べば、三角形ができるので、
　8Ｃ3＝56(個)
ですが、ＡとＢが平行なので、この２本を含む
ＡＢＣ，ＡＢＤ，ＡＢＥ，ＡＢＦ，ＡＢＧ，ＡＢＨ
の６通りの選び方では、三角形にならないのです。
その説明が、
>２本の平行線とほかの直線(6本)で本来できるはずの６つの三角形
です。
No.2911 - 2008/09/27(Sat) 14:51:11
☆ Re: 数A / 匿名
ヨッシーさん
詳しい説明ありがとうございます!
よくわかりました★
あとで解きなおしてみます!
本当にありがとうございました(^ω^)
No.2930 - 2008/09/28(Sun) 14:23:33
★ 方程式 / たこ
質問です
xの方程式(i+1)^2+(m+i)x+mi+1=0が実数解をもつように、実数mの値を定めよ(i^2=-1)ってどうやって解くんですか??
教えて下さい
No.2895 - 2008/09/26(Fri) 22:13:25
☆ Re: 方程式 / ヨッシー
ｘの一次方程式ですから、そのように解いて、
　(i+1)^2+(m+i)x+mi+1=0
　(m+i)x=-(i+1)^2-(mi+1)
　(m+i)x=-2i-mi-1=-(2+m)i-1
　x=-{(2+m)i+1}/(m+i)
　　=-{(2+m)i+1}(m-i)/(m^2+1)
分子のi の係数が0 になるようにすると、
　m(2+m)-1=0
　m^2+2m-1=0
　m=-1±√2
No.2898 - 2008/09/26(Fri) 23:03:33
☆ Re: 方程式 / rtz
(i＋1)2＋(m＋i)x＋mi＋1＝0
⇔(mx＋1)＋(x＋m＋2)i＝0
⇔mx＋1＝x＋m＋2＝0 (∵(mx＋1),(x＋m＋2)ともに実数)
⇔x＋m＝−2,mx＝−1
よってm,xはt2＋2t−1＝0の解なので、m＝−1±√2

でも一応解けます。
No.2899 - 2008/09/27(Sat) 00:02:07
☆ Re: 方程式 / たこ
わかりました
どうもありがとうございます
No.2900 - 2008/09/27(Sat) 00:44:06
★ 組み合わせ / 桜　高校2
こんばんは。
いつもお世話になっております
よろしくお願いいたします。

平面上に、4本だけがお互いに平行で、どの3本も同じ点で交わらない10本の直線の交点の個数は（　　）である。

という問題がわかりませんでした。
どのように考えたらよいのでしょうか。
よろしくお願いいたします
No.2892 - 2008/09/26(Fri) 19:11:47
☆ Re: 組み合わせ / ヨッシー
普通は、ｎ本ある直線（どの２本も平行でない）から、
２本を選べば、１つの交点が存在するので、交点の数は
　nＣ2＝n(n-1)/2
です。

考え方１
まず、平行な４本以外の６本が描かれているとします。
このとき交点の数は、
　6Ｃ2＝15(個)
ここにもう１本直線Ａを、どの６本とも平行でないように引くと、
直線Ａと新たに出来る交点は６個です。
さらに、直線Ａに平行な直線Ｂを引きます。
このとき、新たに出来る交点はやはり６個です。
以下、直線Ｃ、直線Ｄを直線Ａに平行に引くと、
新たに出来る交点は、６個、６個です。
結局、合計１５＋６×４＝３９(個) の交点が出来ます。

考え方２
もし、どの２本も平行でない１０本の直線があったら、
交点の数は、
　10Ｃ2＝45(個)
４本の直線が平行なので、本来なら、この４本で出来るはずの
　4Ｃ2＝6(個)
の交点が出来ないので、
　45−6＝39(個)
の交点だけになります。
No.2894 - 2008/09/26(Fri) 19:49:08
☆ Re: 組み合わせ / 桜　高校2
ありがとうございました＾＾
参考になりました！！
No.2917 - 2008/09/27(Sat) 19:48:36
★ 事象の独立と試行の独立の違い / daigo(大学１年)
?@独立試行である試行Ａ，Ｂに対してその結果に起こる事象をそれぞれＡ’，Ｂ’とすると，この事象Ａ´，Ｂ´は互いに独立（つまり事象の独立）になりますよね？
?Aこのとき，Ａ’がおこる確率をＰ（Ａ’），Ｂ’が起こる確率をＰ（Ｂ’）としたとき，Ａ’とＢ’がともに起こる確率はＰ（Ａ’）Ｐ（Ｂ’）です。これはつまり
Ｐ（Ａ’∧Ｂ’）ですよね？
?B結局、独立試行とは、試行がお互いに影響しあわないことであって，事象の独立とは、結果同士が無関係なんですよね？言葉を分けるメリットがイマイチよく分からないのですが。つまり、独立試行で事象が独立にならないことはあるのですか？もしくは、事象が独立で、試行が独立にならないことはあるのですか？

?@、?A、?Bをよろしくお願いします。
No.2887 - 2008/09/25(Thu) 22:35:07
☆ Re: 事象の独立と試行の独立の違い / daigo(大学１年)
条件付確率が関係するのかな？
どなたかお教えいただけませんか？
No.2914 - 2008/09/27(Sat) 16:51:12
★ 数学Ａ / *Sana*
?@xは実数とする。次の命題が真であるような定数aの値の範囲を求めよ。

|x-3|≦2⇒x＜a


?A次の等式を満たす有理数p,qの値を求めよ。

(1)(√2-1)p+q√2=2+√2

(2)p/√2-1+q/√2=1



いつもお世話になっています。
また分からない問題が出てきたので宜しくお願いします。
No.2886 - 2008/09/25(Thu) 22:16:57
☆ Re: 数学Ａ / にょろ
x-3≧0
⇒|x-3|≦2
⇔0≦x-3≦2
3≦x≦5

x-3≦0
⇒|x-3|≦2
⇔0≦-x+3≦2
⇔-3≦-x≦-1
1≦x≦3

暗算自信ないので確認してください

(1)(√2-1)p+q√2=2+√2
p,qは有理数より
(√2-1)p+q√2
=-p+(q+p)√2
=2+√2
有理数*無理数=無理数だから…

(2)は通分して分母払って以下同様です
No.2889 - 2008/09/26(Fri) 02:28:31
☆ Re: 数学Ａ / hari
|x-3|≦2⇒x＜a
はx＜aの示す集合の中に|x-3|≦2が含まれていればいいので
1≦x≦5がx＜aに含まれるにはa＞5であればいいですね。
No.2890 - 2008/09/26(Fri) 05:17:13
★ 組み合わせ / のり
次のような場合何通りあるか教えてください。
白玉５個、赤玉３個、黒玉２個がある。
１）１０個の玉を６人に分ける方法（１個ももらわない人がいても良い）
２）１０個の玉を２組に分ける方法
No.2885 - 2008/09/25(Thu) 22:12:25
☆ Re: 組み合わせ / ヨッシー
1)
詳しくは重複組み合わせをご覧ください。
白について、分け方は
　5Ｈ6＝10Ｃ5＝252(通り)
赤については
　3Ｈ6＝8Ｃ3＝56(通り)
黒については
　2Ｈ6＝7Ｃ2＝21(通り)
それぞれ、独立なので、
　252×56×21＝296352(通り)

２）１）で２人だとして考えると、
　６×４×３＝７２(通り)
このうち、たとえば、
　白白白白白黒　　赤赤赤黒　という分け方と
　赤赤赤黒　　白白白白白黒　という分け方は同じです。
このような組が２つずつあるので、
　７２÷２＝３６(通り)
です。

これが、白玉６個、赤玉２個、黒玉２個 だと、
　白白白白白白黒　　赤赤黒　　に対して
　赤赤黒　　白白白白白白黒　　が存在しますが、
　白白白赤黒　　白白白赤黒　　に対しては、ペアが存在しませんので、
こういう場合は、単純に２で割るわけにはいきません。
No.2891 - 2008/09/26(Fri) 18:33:42
☆ Re: 組み合わせ / のり
1)は重複組み合わせですとそれぞれ白は6Ｈ5,赤は6Ｈ3、黒は6Ｈ2ということですね。６種類の箱に白を５個入れる方法と考えれば理解できます。Ｈの左右を逆に考えていました。
2)はご説明の２組あるというところがわからなかったです。
ありがとうございました。
No.2897 - 2008/09/26(Fri) 22:59:08
☆ Re: 組み合わせ / のり
さて寝ながら考えたのですが、２）の場合、片方に全ての玉が入った場合は２組とは言えないのかなと思いました。そうすると更に２を引く必要があり、全部で３４通りとなるのですが如何でしょうか。
No.2908 - 2008/09/27(Sat) 09:09:41
☆ Re: 組み合わせ / ヨッシー
そうですね。ただし、引くのは１で十分です。
２）で、最初に計算した７２通りの中には、
　白白白白白赤赤赤黒黒　　なし
　なし　　白白白白白赤赤赤黒黒
の２通りが含まれていて、２で割って、３６にした時点で
どちらか１つに減っていますので、引くのは１です。
　３６−１＝３５
または
　(７２−２)÷２＝３５
です。
No.2909 - 2008/09/27(Sat) 11:38:19
☆ Re: 組み合わせ / のり
確かにその通りですね。
ありがとうございました。
No.2912 - 2008/09/27(Sat) 15:18:53
★ ゆ / 積分
数列 1,11,111,1111,....の第n項ａnは1をn個並べてできるnけたの整数である。
?@ａnをnの式で表せ。
?A?農[k=1,n]a(k)をnの式で表せ。

という問題の解き方を教えて下さい。
No.2870 - 2008/09/25(Thu) 08:51:39
☆ Re: ゆ / 魑魅魍魎
?@ヒントです。
a[2]=10a[1]+1
a[3]=10a[2]+1
a[4]=10a[3]+1
･
･
･
a[n]=10a[n-1]+1
No.2871 - 2008/09/25(Thu) 10:20:12
☆ Re: ゆ / ゆ
それは一般項ａnということですか？
No.2872 - 2008/09/25(Thu) 10:57:13
☆ Re: ゆ / 魑魅魍魎
一般項といえば一般項です。
あとはa[n]をnで表すので
a[n]=10a[n-1]+1
を
a[n]+(1/9)=10{a[n-1]+(1/9)}
と変形し、a[n]+(1/9)=b[n]と置けば
b[n]=10b[n-1]
この等比数列を解けばOKです。
No.2873 - 2008/09/25(Thu) 11:20:24
☆ Re: ゆ / らすかる
別の方法
階差をとると10,100,1000,…,10^kですから
　a[n]=1+Σ[k=1〜n-1]10^k
となり、等比数列の和の公式で一般項が求まります。
No.2874 - 2008/09/25(Thu) 12:30:16
☆ Re: ゆ / ゆ
b[n]=10b[n-1]
↑
10bのbはなんのbですか？
[n-1]は[n-1]乗ということでしょうか？
?@の答えはａn=1/9*10^(n-1)になっていたんですがなぜ1/9が出るのかわからないんですが..

らすかるさんの階差でやった場合は一般項はわかったのですがその和を求めるというのは等比数列の和の公式に?狽?入れていいんですか？
No.2875 - 2008/09/25(Thu) 13:27:30
☆ Re: ゆ / ゆ
すいません、
?@の答えはａn=1/9*(10^n-１)でした。
No.2876 - 2008/09/25(Thu) 13:39:52
☆ Re: ゆ / 魑魅魍魎
b[n]=10b[n-1]
[n]はn乗ではなくてn番目という意味です。


ゆさんはanとしていましたが私はa[n]としました。
No.2877 - 2008/09/25(Thu) 14:21:34
☆ Re: ゆ / 魑魅魍魎
b[n]=10×b[n-1]を
ゆさんの書き方で書くと
bn=10×bn-1
No.2878 - 2008/09/25(Thu) 14:28:24
☆ Re: ゆ / ゆ
あ、すみませんm(__)m
?@はわかりました！
?Aは?農[k=1,n]a(k)を?農[k=1,n]1/9(10^n-1)とおくんですよね？
No.2879 - 2008/09/25(Thu) 14:31:16
☆ Re: ゆ / 魑魅魍魎
?農[k=1,n]1/9(10^k-1)
={(1/9)?農[k=1,n]10^k}-{?農[k=1,n](1/9)}
を計算すればOKです。
No.2880 - 2008/09/25(Thu) 14:40:21
☆ Re: ゆ / ゆ
やっとわかりました(;O;)
最後まで教えてくれて本当にありがとうございました!
No.2881 - 2008/09/25(Thu) 14:59:54
★ 高１ / 咲
　１つの箱の中に1から10までの数が書かれたカードが４枚ずつ計４０枚入っています。この箱からk枚（3≦k≦12）のカードを同時に取り出す。このうちの３枚のカードが同じ数で残りはこれとは違う互いに異なる数となる確立をp（k）とする。
（1）p(k)を求めよ。
（2）４≦k≦12のとき、f(k)=P(k-1)/p(k)を求めよ。
（3）p(k)を最大にするkの値を求めよ。
　問題数が多くて申し訳ないのですが、どなたか教えて下さい。お願いします。
No.2865 - 2008/09/25(Thu) 00:22:35
☆ Re: 高１ / X
(1)
カードをk枚取り出す方法は全部で
40Ck[通り]
一方、p[k]に対する事象の場合の数ですが
3枚同じ数字のカードを引いた残りが9種類のカードが
各3枚づつになることに注目します。
仮に9種類のカードが各1枚づつ残る場合を考えると
これから異なるk-3枚を引く方法は
9C(k-3)[通り]
ですので9種類のカードが各3枚づつある場合に
異なるk-3枚を引く方法は
{3^(k-3)}{9C(k-3)}[通り]
よってp[k]に対する事象の場合の数は
10・{3^(k-3)}{9C(k-3)}[通り]
ですので
p[k]=10・{3^(k-3)}{9C(k-3)}/(40Ck)
となります。

(2)
(1)の結果を
f(k)=p[k-1]/p[k]
に代入し、40Ckなどの組み合わせの式を階乗を使った
具体的な式で表し整理してみましょう。

(3)
(2)のf(k)について
f(k)<1のときp[k-1]<p[k]ですのでp[k]はkに関し増加
f(k)>1のときp[k-1]>p[k]ですのでp[k]はkに関し減少
となります。
従ってまず
f(k)<1
なるkの不等式を解いてp[k]が単調増加するときのkの値の範囲を求めましょう。
No.2884 - 2008/09/25(Thu) 21:53:54
☆ Re: 高１ / 咲
Ｘさん解説ありがとうございましたm(__)mお陰で問題解けました?~
No.2888 - 2008/09/26(Fri) 01:39:34
★ 大学受験の問題 / 廃人

(１) y=e^x の x=t における接線の方程式を求めよ

(２)aを0でない実数とする。2つの曲線 y=e^x および y=ax^2の両方に接する直線の本数をもとめよ


一応解いて見たんですが

(１)f(x)=e^xとすると
f'(x)=e^x
x=tを代入すると
f'(t)=e^t
よって求める接線は
y-e^t=e^t(x-t)
y=e^t(x-t＋1)…(答)

(２)
(１)より
e^t(x-t＋1)=ax^2が重解をもつので判別式をDとおくと
D=e^2t+4a(-t＋1)e^t

ここからがわかりません。どなたかよろしくお願いします
No.2864 - 2008/09/24(Wed) 21:11:34
☆ Re: 大学受験の問題 / 与一
D=e^2t+4a(-t＋1)e^t=0
e^t=4a(t-1)

よって、y=e^xとy=4a(x-1)の共有点の数が接線の数だと分かる。

y=4a(x-1)は(1,0)を通る直線であることを考慮すれば、

２線が接するとき、
0=e^t(1-t+1)
よって、t=2

e^2/4≦aのとき、共有点2個
a＜0のとき、共有点1個
それ以外のとき、共有点0個
No.2866 - 2008/09/25(Thu) 01:41:18
☆ Re: 大学受験の問題 / 廃人
返信遅れてすいません。
なぜy=e^xとy=4a(x-1)が共有点の数が接線の数になるのかわからないです。
No.2964 - 2008/09/30(Tue) 23:32:43
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