ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / ラディン.ms

aは定数で0＜a＜1とする。
放物線y=x²と2直線y=ax,x=1で囲まれる図形（赤で塗った部分）の面積Sを最小にするaの値を求めよ。

a=√2/2だと思うのですが，この問題を微積分を使わずに解く方法はあるのでしょうか。
もしあるなら，教えてください。
よろしくお願いします。

No.2794 - 2008/09/20(Sat) 18:01:15

☆ Re: / らすかる

テストで○を貰えなくてもよい解法なら…

aを0から1まで微小量ずつ変化させると、底辺がx=1上にあり
頂点が原点である細長い三角形がたくさんできます。
面積Sが最小となるのは、この三角形の面積が二等分される位置
ですので、(交点のx座標)=a=√(1/2)=√2/2となります。

# それよりaが大きくなると、三角形のy=x^2より左側が
# 三角形の面積の1/2より大きいので赤い部分の増加分が減少分より
# 多くなることで面積は増え、aが小さくなると三角形のy=x^2より
# 右側が三角形の面積の1/2より大きいので、同様に赤い部分の
# 増加分が減少分より多くなって面積が増えます。

No.2803 - 2008/09/21(Sun) 05:51:14

☆ Re: / ラディン.ms

ありがとうございます。

No.2806 - 2008/09/21(Sun) 11:50:37

★ ベクトル / 桜　高校2

こんにちは。
よろしくお願いいたします。

平面上の定点A(a→)と任意の点P(p→)に対し、次のベクトル方程式で表される円の中心の位置ベクトルと半径を求めよ

(1)|p→-2a→|=1
(2)|2p→+a→|=4

この円のベクトル方程式がまったくわからず、困って
います(>_<)
これはいったいどうやればよいのでしょうか。
Q1,(1)はそのままでいいらしいですが、(2)は手を加えないと
いけないらしいです。この違いはなんでしょうか。

Q2,何を基準に式を変形すればよいのでしょうか。
Q3,求め方がわかりません

教えてください
すみませんよろしくお願いいたします。

No.2790 - 2008/09/20(Sat) 17:11:32

☆ Re: ベクトル / rtz

円ですから、中心からの距離が一定です。
つまり、中心をBとでもすれば、
|↑BP|＝r⇔|↑OP－↑OB|＝r⇔|↑p－↑b|＝r
の形になっていれば円ですね(rは半径)。

中心の位置ベクトルは↑bを、半径はrを求めればいいわけですから、
式全体を何倍かして、先ほどの形になるようにすればよいでしょう。
(2)は|↑t|＝|－↑t|を利用しましょう。

No.2792 - 2008/09/20(Sat) 17:56:26

☆ Re: ベクトル / 桜　高校2

ありがとうございます。^^

中心の位置ベクトルが↑bになるのはなぜでしょうか。
円の位置ベクトルはOのことでしょうか。

(2)が全然わかりませんでした・・・

すみまｓんよろいくおねがいいたします

No.2795 - 2008/09/20(Sat) 18:42:54

☆ Re: ベクトル / rtz

Oは位置ベクトルの始点です。

↑bは↑OBと同じです。
別に↑OBのままでもいいですが、表記をあわせただけです。

＞(2)は|↑t|＝|－↑t|を利用しましょう。
と書いたとおり|2↑p＋↑a|＝4⇔|－2↑p－↑a|＝4です。

No.2796 - 2008/09/20(Sat) 19:19:19

☆ Re: ベクトル / 桜　高校2

ありがとうございますo
(2)は位置ベクトル-a→　半径2でよいでしょうか

数学が苦手なものですみません。

No.2797 - 2008/09/20(Sat) 21:45:37

☆ Re: ベクトル / rtz

ちょっと違いますね。
|2↑p＋↑a|＝4⇔|2↑p－(-↑a)|＝4
の方が分かりやすいでしょうか。

これを|↑p－↑b|＝rとするには式全体を2で割ればいいですね。

No.2798 - 2008/09/20(Sat) 22:07:25

☆ Re: ベクトル / hari

横から失礼します。

太字はベクトルです。
|p - b| = r・・・(A)というのはPとBの間の距離がrで一定ということを示す式です。（線分BP = r）
|(円周上の点)－(中心)| = (半径)
図を見てイメージをわかせてください。

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2・・・(B)
という式もP(a, b)からB(x, y)への距離がrということを表す式です。
（ピタゴラスの定理を使えば導けます。）

実際、p = (x, y), b = (a, b)として式(A)に代入すると式(B)が導けます。

PS.二個下の問題の別解をあげときました。

No.2799 - 2008/09/21(Sun) 01:04:44

☆ Re: ベクトル / 桜　高校2

お返事遅れてしまってすみません。

rtzさん、hariさん
どうもありがとうございました。
感謝しております。

もっとがんばろうとおもいました。

No.2810 - 2008/09/21(Sun) 14:53:54

★ ベクトル / 桜　高校2

こんばんは
よろしくお願いいたします。

2直線のなす角θをそれぞれ求めよ。
０°＜θ≦90°

x-y-1=0 (√3+1)x+(√3-1)y-1=0

という問題がわかりませんでした。
２つのグラフはかけました。
n→（法線ベクトル）の書き方がわかりません。
どこから始まってどこで終わるのでしょうか。

教えてください
y炉しくお願いいたします

No.2779 - 2008/09/19(Fri) 17:59:52

☆ Re: ベクトル / hari

法線ベクトルは関係あるのでしょうか・・・？

x - y - 1 = 0とx軸のなす角をα
(√3 + 1)x + (√3 - 1)y - 1 = 0とx軸のなす角をβ
とおくと
tanα = 1, tanβ = -(2 + √3)
で、タンジェントの加法定理で
tan(β-α) = (tanβ - tanα)/(1 + tanαtanβ) = √3

∴β - α = 60°

※式の区切りにはコンマをおいたほうがいいですよ、

No.2782 - 2008/09/19(Fri) 21:40:28

☆ Re: ベクトル / 桜　高校2

ありがとうございました

No.2789 - 2008/09/20(Sat) 17:06:09

☆ Re: ベクトル / hari

内積を使うのかな？

x - y - 1 = 0の法線ベクトルは(1, -1)
(√3 + 1)x + (√3 - 1)y - 1 = 0の法線ベクトルは(√3 +　1, √3 - 1)

※ax + by + c = 0の法線ベクトル(の一つ)は(a, b)

内積の関係から
cosθ = a・b/|a||b|
から
cosθ = 1/2
ゆえにθ = 60°

No.2800 - 2008/09/21(Sun) 02:43:44

★ 不定積分 / のり

次の不定積分どうなるでしょうか
但しｘは定数と考えてください。
∫（y^2―2y+1―x^2）/(y^2―2y+1+x^2)^2dy
宜しくお願いいたします。

No.2778 - 2008/09/19(Fri) 13:34:02

☆ Re: 不定積分 / hari

{(y - 1)^2 - x^2}/{(y - 1)^2 + x^2}
= 1 - 2x^2/{(y - 1)^2 + x^2}
= 1 - 2/{((y - 1)/x)^2 + 1}

なので
y - 2xtan^-1((y - 1)/x) + 積分定数
となります。

No.2783 - 2008/09/19(Fri) 21:47:53

☆ Re: 不定積分 / のり

なるほどきれいに積分できますね。
ありがとうございました。

No.2785 - 2008/09/19(Fri) 22:39:35

☆ Re: 不定積分 / 豆

分母の2乗はいいのかしら？

No.2787 - 2008/09/20(Sat) 06:53:42

☆ Re: 不定積分 / のり

そういえば抜けていますね。
入れた場合どうなりますか。
第１項の答えがｘtan＾-1｛(y - 1)/x｝ですね。
第２項はｙ―1=xtanθとおいて計算すると
(y―1)/ {x^2+(y―1)^2}―（1/x）tan^－1｛(yー1/x｝
となりましたが・・・あっていますか。

No.2788 - 2008/09/20(Sat) 09:54:58

☆ Re: 不定積分 / hari

すいません。^2を見逃してしまいました。
でしたら、
(1 - y)/{(y - 1)^2 + x^2} + 積分定数
となります。

No.2804 - 2008/09/21(Sun) 08:21:29

☆ Re: 不定積分 / のり

最初にy-1=xtanθと置けばいいのですね。
結果、「hari」さんの答えになりました。
遠回りをしましたが、おかげで計算力がつきました。
ありがとうございました。

No.2805 - 2008/09/21(Sun) 09:48:56

★ 対数 / 礼花　高２

お久しぶりです。よろしくお願いします！

Log₁₀2=0.3010, log₁₀3=0.4771とする。次の数は、小数第何位に初めて０でない数字が現れるか。
1.(1/2)¹⁰⁰
2.{1/(√2)²⁵}
3.(3)√(0.06)¹⁰

分かりにくくてすみません。この３問がどうやって解いたらいいか分かりません。よろしくお願い致します。

No.2763 - 2008/09/18(Thu) 18:56:51

☆ Re: 対数 / ヨッシー

log₁₀１＝０
log₁₀0.1＝－１
log₁₀0.01＝－２
ですから、ある数の常用対数(底が10の対数)をとって、
　０未満-1以上　・・・　小数第１位に初めて０以外の数
　-1未満-2以上　・・・　小数第２位　　〃
　-2未満-3以上　・・・　小数第３位　　〃
のように判断できます。

(以下 log は常用対数です)
1．log(1/2)¹⁰⁰＝log2^-100＝-100log2
2. log{1/√2²⁵}＝log2^-25/2
3．log(3)√0.06¹⁰＝log0.06^10/3
　　＝10/3log(2・3/100)＝10/3(log2＋log3－log100)
というふうに変形して、最後は、
　log2=0.3010, log3=0.4771
より、近似値を出します。

No.2766 - 2008/09/18(Thu) 19:49:09

☆ Re: 対数 / 礼花　高２

ヨッシーさん、ありがとうございます。

近似値までは出せたのですが、そこから先の解き方が全く分かりません。もう少し詳しく教えて頂けませんか？よろしくお願いします！

No.2767 - 2008/09/18(Thu) 21:34:23

☆ Re: 対数 / ヨッシー

たとえば、log をとった近似値が、-1.35 だったら、
　-1未満-2以上　・・・　小数第２位に初めて０以外の数
に該当しますので、答えは、小数第２位です。
同様に、近似値が、-1230.24 だったら、
　-1230未満-1231以上　・・・　小数第1231位に初めて０以外の数
に該当しますので、答えは、小数第1231位です。

No.2769 - 2008/09/18(Thu) 22:12:05

☆ Re: 対数 / にょろ

例えば
1234は4桁の数字です。
1000＜1234＜10000です。
log₁₀をとってみると

log₁₀1000=4＜log₁₀1234＜log₁₀10000=5

なので、1234は10⁴以上10⁵未満
つまり4桁と分かります。

No.2772 - 2008/09/18(Thu) 23:34:25

☆ Re: 対数 / 礼花　高２

理解できました♪
物分かりが悪くて、申し訳ありませんでした；
ヨッシーさん・にょろさん、分かりやすく解説してくださってありがとうございました。

No.2808 - 2008/09/21(Sun) 14:28:30

★ 数列 / 白梅

お久しぶりです。宜しくお願い致します。

（問題）ｎを自然数とする。
　　　　座標平面上の２ｎ＋２個の点からなる集合
Ｌ＝{（x,y）|x,y　は整数、０≦x≦n ,　０≦y≦１}
のうち３点を頂点とする三角形を全て考える。
　　　これらの三角形の面積の総和を求めよ。

答えは（１／６）*ｎ*（ｎ＋１）^2*（ｎ＋２）
なのですが、解法が分かりません。
どこかの１点を固定して考えたのですが、
回答と答えが合致しません。
どのように考えれば良いのでしょうか。

宜しくお願い致します。

No.2761 - 2008/09/18(Thu) 17:46:04

☆ Re: 数列 / ヨッシー

ｘ軸（ｙ＝０）上と、ｙ＝１上にｎ＋１この点が並んだ形です。
ｘ軸上から２点とｙ＝１上から１点選びます。
高さは必ず１であり、底辺はｘ軸上で選ぶ２点の間隔になります。
点(0,0) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
　1,2,3・・・n のｎ通り出来ます。
点(0,1) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
　1,2,3・・・n-1 の n-1通り出来ます。
以下、
点(0,n-1) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
　1 の 1通り出来ます。
これらの和(底辺の和)をもとめると、
　(1+2+3+…+n)＋(1+2+3+…+n-1)＋・・・・＋(1+2)＋(1)
＝Σ_k=1～nk(k+1)/2＝Σ_k=1～n(k²+k)/2
＝n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4＝n(n+1)(n+2)/6

１つの底辺について、ｙ＝１上の点はｎ＋１個あるので、
同じ底辺から、三角形がｎ＋１個出来ます(面積は同じ)
よって、
　n(n+1)(n+2)/6×(n+1)×１÷２
これが、ｘ軸上に２点を取ったときの三角形の面積の和です。
ｙ＝１上に２点、ｘ軸上に１点を取ったときも、同じだけの三角形ができるので、
三角形の面積の和は
　n(n+1)(n+2)/6×(n+1)×１÷２×２＝n(n+1)²(n+2)/6

No.2762 - 2008/09/18(Thu) 18:10:40

☆ 素晴らしい！＾＾ / 白梅

ヨッシ－様、非常に素早く、
大変分かりやすい解説をして下さって
ありがとうございます！＾＾

予備校で何回も個別に質問して
先生に説明してもらいましたが、
ヨッシー様の説明はそれをはるかに上回る
大変分かりやすい解説です。
１度目を通しただけですぐに理解することが
出来ました。ヨッシー様は本当に説明が上手ですね。
ヨッシー様は素晴らしい人です＾＾
ありがとうございました。

補足ですが１カ所ヨッシー様の説明の中で
条件にあわない表現があったのですが、
解答として試験の時に書く時にはその点を
修正して書きますので、その点お伝えしておきます。

ありがとうございました＾＾

No.2764 - 2008/09/18(Thu) 19:09:59

☆ Re: 数列 / ヨッシー

あぁ、点(0,0) はともかく、
点(0,1)、点(0,n-1) が、ｘ、ｙ逆ですね。

最初しばらく、ｙ軸と直線ｘ＝１と思っていたので。

それと、それより上というのも、それより右の誤りですね。
ｘ軸が右に向かって大きくなる、よく見かける座標軸での話ですけど。

No.2765 - 2008/09/18(Thu) 19:36:33

☆ ありがとうございます。 / 白梅

ヨッシー様、わざわざレスを付けて下さって
ありがとうございます。

お忙しい中わざわざ回答して頂けるだけで
私はとても嬉しいです。
なので諸処の箇所については特に
気にせずにこれからも機会があれば
どうぞ宜しくお願い致します。

No.2768 - 2008/09/18(Thu) 21:42:25

★ 「×」と「÷」の優先順位 / √

よろしく、お願い致します。
小学生レベルの初歩的な質問で申し訳ありません。

?@
○×△÷□　の場合は、
「×」「÷」どちらを先に計算しても答えは同じになりますが、

?A
○÷△×□　の場合は、
「÷」を先に計算するか、「×」を先に計算するかで答えが
異なってしまいます。
この場合は、当然、「左から順番に」「左側優先」ですよね。

では、
?@、?Aを考えると
「×」と「÷」の混合計算において、
「×」よりも、「÷」を優先して計算すれば間違いは無いと考えてよろしいでしょうか？

全ての優先順位を書くと、下記の順位でよろしいでしょうか？
（　），÷　，×

No.2752 - 2008/09/18(Thu) 01:27:00

☆ Re: 「×」と「÷」の優先順位 / にょろ

いいえ
計算順位は(),×÷です。
○×△÷□を分数で表すと
（○×△）/□です。

○÷△×□は
（○×□）/△
です。
が、
△×□を先にやると
○/（△×□）
で誤りになります。

優先順位は
(),×÷,＋－の順です。
更に同順位の場合→の順に計算します。

No.2753 - 2008/09/18(Thu) 01:38:54

☆ Re: 「×」と「÷」の優先順位 / にょろ

というより
割り算とかけ算は「同じ物」なので優先順位って…

No.2754 - 2008/09/18(Thu) 01:40:07

☆ Re: 「×」と「÷」の優先順位 / らすかる

＞「×」と「÷」の混合計算において、
＞「×」よりも、「÷」を優先して計算すれば
＞間違いは無いと考えてよろしいでしょうか？

はい。通常の計算では問題ありません。
ただし、一般的な定義では「÷」と「×」が同順位です。

No.2756 - 2008/09/18(Thu) 03:26:33

☆ Re: 「×」と「÷」の優先順位 / √

らすかるさん　有り難うございます。

> はい。通常の計算では問題ありません。
> ただし、一般的な定義では「÷」と「×」が同順位です。

「÷」と「×」の混合計算では、
『必ず、左側から順番に計算していく（左側優先）』
又は、
『「÷」を優先する』
を守っていれば大丈夫ということですね。　
らすかるさん　意図を分かってくださり有り難うございました。

にょろさん　有り難うございます。
にょろさんの、おっしゃりたい事の意味は理解できました。

No.2758 - 2008/09/18(Thu) 09:43:09

☆ Re: 「×」と「÷」の優先順位 / ヨッシー

＋と－でも同じことが言えます。
５＋４－３　を　５＋（４－３）　と書いても答えは変わりません。
（　）を付けても良いということは、優先させても良いということです。

５－４＋３　と　５－（４＋３）　はダメです。
引き算より足し算を優先させてはいけません。

５－４－３　と　５－（４－３）　もダメです。
原則左から、を守らないといけません。

おなじことを、×と÷に当てはめれば、分かると思います。

ただし、「原則左から」さえ守れば、÷を優先するは気にしなくても
良いので、あまり、取りざたされていません。しかし、
　３７×２４÷４
を左からやるのではなく、２４÷４を先にするようなことは、
実際には行われています。

No.2759 - 2008/09/18(Thu) 09:55:26

☆ Re: 「×」と「÷」の優先順位 / √

ヨッシーさん　有り難うございます。

> ただし、「原則左から」さえ守れば、÷を優先するは気にしなくても
> 良いので、あまり、取りざたされていません。

そうですね。
昔、「×」と「÷」は同順位と習ったはずなのに、
順番を変えると答が異なる場合があるので、ふと疑問に思ってしまいました。
有り難うございました。

No.2760 - 2008/09/18(Thu) 10:54:43

★ 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子　社会人（簿記受験中）

初めまして。

なぜか全く展開式が浮かばず解答が理解出来ません。
どうか宜しくお願い致します。

（5000x　×　0.45　＋　8,295,000）×0.04÷0.6

解答は　150x-553,000

になるようなのですが、150xがどうして出るのか分かりません・・・。

初心者のような質問で大変申し訳ありませんが
教えて下さい。
宜しくお願いいたします。

No.2747 - 2008/09/17(Wed) 22:01:00

☆ Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / ヨッシー

5000x×0.45×0.04÷0.6＝150x
です。

No.2748 - 2008/09/17(Wed) 22:16:04

☆ Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / √

余計な事ですが・・・

> 解答は　150x-553,000
　　　　　　　　　↑
　　　　　　　　　＋では？

簿記は楽しいですよね。
頑張ってください。

No.2751 - 2008/09/18(Thu) 00:28:47

☆ Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子　社会人（簿記受験中）

回答ありがとうございました。
本当に初歩的な質問ですみません。
もう一度良いでしょうか？

>5000x×0.45×0.04÷0.6＝150x　になるのは
分かったのですが、8,295,000　にも同じ　×0.04÷0.6
をかけてわって、553,000が出ますよね？

括弧内の数字を計算してから、×0.04÷0.6
だと思っていたのですが、どうして二つの数字に
同じ、×0.04÷0.6　をかけわりするのでしょうか？
本当に無知ですみません。

>√さん
すみません。＋でした。
数学得意ではないまま（出来ないまま）一級に
突入してしまい工業簿記の方程式で苦しんでます。
（楽しいんですけれど）
ありがとうございました。

No.2755 - 2008/09/18(Thu) 02:32:56

☆ Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / ヨッシー

たとえば、
　（ｘ＋４）×３
を考えます。３を掛けるのは３回足すことですから、
　（ｘ＋４）×３＝（ｘ＋４）＋（ｘ＋４）＋（ｘ＋４）
　　＝ｘ＋ｘ＋ｘ＋４＋４＝４
　　＝ｘ×３＋４×３
のように、ｘにも４にも３が掛けられます。

一般に
　（ａ＋ｂ）ｃ＝ａｃ＋ｂｃ
となり、これを分配法則といいます。

No.2757 - 2008/09/18(Thu) 05:51:32

☆ Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子　社会人（簿記受験中）

回答ありがとうございました。

・・・いわゆる自乗（実際は×　0.04÷0.6）のような扱いなのでしょうか？
他の括弧内の計算

?@例えば
x-x×（1-0.2）2（←自乗と呼んでください）=9,000
の式だと
x-0.64x=9,000
0.36x=9,000
x=25,000
ですよね。

?Aもう一つの例えばだと
a=0.2b+0.1c+117,000
b=0.1a+0.1c+144,000
c=108,000

代入して
a=0.2b+0.1×108,000/10,800+117,000
b=0.1a+0.1×108,000/10,800+144,000

で、
a=0.2b+10,800+117,000
a=0.2b+127,800

b=0.1a+10,800+144,000
b=0.1a+154,800

あわせると
a=0.2(0.1a+154,800)+127,800
a=0.02a+30,960+127,800
0.98a=158,760
a=162,000
b=171,000

になると思うのですが、この式との意味の違いが（分配配列を使用する時）が分かりません・・・。

例えば（3-1）2　
だったとしたら、2の自乗で答えは4なんですよね？
一番はじめに質問した

（5000x　×　0.45　＋　8,295,000）×0.04÷0.6

この×0.04÷0.6の部分が自乗と同じ意味に当たるんでしょうか？
もし仮にこの部分に括弧がついていたとしたら
意味は違うんでしょうか？

（5000x　×　0.45　＋　8,295,000）×（0.04÷0.6）
（2250x＋8,295,000）×0.07（四捨五入だとしたら）
これだと括弧が外れるから
=1575x+580,650
となるのでしょうか？

xも値を求めるから、それぞれの数字に（5000x×0.04÷0.6）？
これがxがないとしたら
（5000×1（仮に1として）×0.45　+8,295,000)×0.04÷0.6
8,297,250×0.04÷0.6
＝553,150？

総数に対して　×0.04÷0.6は総数に対して加わる（かけわり）が行われるから、
5000x×0.45　と　8,295,000両方にかけるということなのでしょうか？

今まで代入法とかxを求める計算で、この分配法則を使用したことがなかったので
（だから今まで躓かず解いてこられたと思うのですが・・・）
なぜ今回のこのような式だけ、両方の値にかけるのか・・・、
なんだかピンと来ず、考えれば考えるほど深みにはまって行っております・・・。

このような幼稚な質問で何度も本当に申し訳ありませんが
どうかご教授ください。お願いいたします。

私には難しい事も解けない問題も沢山ありますが
やればやるほど数学って面白くなってきますね。

No.2771 - 2008/09/18(Thu) 23:24:14

☆ Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / ヨッシー

質問されたのは
（３＋４）×２
の×２は、３だけでなく４にまで掛けるのはなぜ？
ということだったと思います。それはまさに、

> 総数に対して　×0.04÷0.6は総数に対して加わる（かけわり）が行われるから、
> 5000x×0.45　と　8,295,000両方にかけるということなのでしょうか？
ということです。

（３＋４）×２　が　３×２＋４
では、片手落ちですよね？

No.2773 - 2008/09/18(Thu) 23:41:59

☆ Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子　社会人（簿記受験中）

回答ありがとうございました。
質問の意図が悪くて申し訳ありません。

先日質問した内容は、同じような括弧式なのに、
分配法則を使用する時としない時があるのか？
と言うことがいまいち分からず
括弧の前にかける数字がある時や、
自乗等の数字が括弧についている時との
違いが理解出来なかったので
違う配列の時はと言う意味で質問してしたつもりでおり、
代入式の解答を聞きたい、等と言う意図では
ありませんでした。
（5000x　×　0.45　＋　8,295,000）×0.04÷0.6
だと5000x　×　0.45　を計算した段階で
括弧が外れると思っていたんです。

誤解をさせるような質問で申し訳ありませんでした。

No.2780 - 2008/09/19(Fri) 18:56:47

★ 順列 / 桜　高校2

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

1から5までの番号のついた箱がある。
それぞれの箱に赤、白、青の球のうち、どれか一個入れて、どの色の球も必ずどれかの箱に入るようにする仕方は何通りか。

という問題がわかりませんでした
私は
3^5-3をしたのですがだめでした。
答えは150です。

とき方を教えてください
よろしくお願いいたします。

No.2737 - 2008/09/16(Tue) 18:39:30

☆ Re: 順列 / 七

> 3^5-3をしたのですがだめでした。
3^5 とそれから引く3 の意味が分かっていれば
それだけではだめだと分かるはずです。

さらに (2^5－2)×3 を引けばいいですね。

No.2738 - 2008/09/16(Tue) 19:14:46

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございます。

(2^5－2)×3 は何のために引くのでしょうか。

たびたびすみません。
よろしくお願いいたします。

No.2739 - 2008/09/16(Tue) 21:14:28

☆ Re: 順列 / rtz

では初めの式でなぜ3を引いたのですか？
それ以外に除外しなければいけないような場合はありませんか？

No.2740 - 2008/09/16(Tue) 21:20:39

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございます。

3を引いたのは、、
赤が３つ、白３つ、青３つだぶるかもしれないので
引きました。

すみません。。
とても数学が苦手で皆様にお手数おかけしてすみません。

No.2741 - 2008/09/16(Tue) 21:26:22

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

m(__)m
２つだけだぶるときでしょうか。？？

その場合
どうやって式を考えたらよいのでしょうか。

No.2742 - 2008/09/16(Tue) 21:34:39

☆ Re: 順列 / rtz

＞赤が３つ、白３つ、青３つだぶるかもしれないので
1～5の箱全てに赤だけ、白だけ、青だけという意味でなら正しいです。

＞２つだけだぶる
そういうことです。
「1赤、2赤、3赤、4白、5白」などはダメですよね。

では、1色しか使わないのは3通りで既に引いていますので、
2色しか使わないものを考えるわけですが、
例として赤と白だけの場合を考えてみましょう。
赤と白だけの場合、何通りでしょう？
"2色"使うので1色だけの場合は引かないといけないので注意してください。

今考えたのは赤と白だけでした。
では2色のみの、色の選び方は何通りでしょう？

これらが分かれば、七さんの書かれた内容も納得行くかと思います。

No.2743 - 2008/09/16(Tue) 22:25:04

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

申し訳ないですぅ。。

わからなくて頭がパンクしました。。
ごめんなさい。
ヒントをください

No.2745 - 2008/09/17(Wed) 19:17:42

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ひらめきました！！
本当にお手数おかけしましてすみませんでした。

みなさん、ありがとうございました。
感謝しております(^^)

No.2746 - 2008/09/17(Wed) 19:21:17

★ (No Subject) / 数Ｂ

3x+2y≦2008を満たす整数の組x,yを求めよ。
何もうかびませんでした。
答えは
x=2kのとき(1005-3k)個、x=2k+1のとき(1003-3k)個ある。
(x=0,1,2,…669)(k=0,1,2,…334)
よって1/2*335*(2008+4)=337010

となっているんですが2k、2k+1でわけているとこからもうわかりません。よろしくお願いします。

No.2734 - 2008/09/15(Mon) 22:19:41

☆ Re: / ヨッシー

問題は正確に！
3x+2y≦2008を満たす０以上の整数の組x,yの数を求めよ。

たとえば、
ｘ＝１だと
　2y≦2005
なので、ｙ＝0,1,2,3・・・1002 の1003個です。
ｘ＝２だと
　2y≦2002
なので、ｙ＝0,1,2,3・・・1001 の1002個です。
ｘ＝３だと
　2y≦1999
なので、ｙ＝0,1,2,3・・・999 の1000個です。
ｘ＝４だと
　2y≦1996
なので、ｙ＝0,1,2,3・・・998 の 999個です。
ｘが奇数か偶数によって、2y≦(奇数)　か　2y≦(偶数) の
違いがあるので、ｙの最大値が
　(2008-3x)÷2　（ｘが偶数の場合）
　(2008-3x-1)÷2　（ｘが奇数の場合）
のように、変わるのです。
ｙの最大値をｋで表すと、
x=2k のとき　(2008-3x)÷2＝(2008-6k)÷2＝1004-3k
x=2k+1 のとき　(2008-3x-1)÷2＝(2004-6k)÷2＝1002-3k
ｙの個数は０も含むのでそれぞれ１ずつ多くて
x=2k のとき　1005-3k
x=2k+1 のとき　1003-3k

一方、ｘは最大669まで取れますが、これは k=334 のときの
x=2k+1 までなので、
k=0 のとき x=2k=0,x=2k+1=1
k=1 のとき x=2k=2,x=2k+1=3
　・・・
k=334 のとき x=2k=668,x=2k+1=669
までの、1005-3k と 1003-3k を足せばいいことになります。

具体的に言うと、ｙの個数は
k=0 のとき 1005個と 1003個
k=1 のとき 1002個と 1000個
　・・・
k=334 のとき 3個と 1個
これだけの合計を出します。これを、
k=0 のとき 2008個
k=1 のとき 2002個
　・・・
k=334 のとき 4個
と、前に足しておくと、
　2008+2002+・・・+4
という、項数335個の等差数列の和になります。
後は公式通りで　1/2*335*(2008+4)=337010　となります。

No.2735 - 2008/09/15(Mon) 22:45:56

☆ Re: / らすかる

模範解答とは無関係な別解

x=2p-s, y=3q-t（p,s,q,tは自然数、s≦2,t≦3）とおくと
(s,t)=(1,1) のとき 3(2p-1)+2(3q-1)≦2008 → 6(p+q)≦2013 → p+q≦335 → 335C2通り
(s,t)=(1,2) のとき 3(2p-1)+2(3q-2)≦2008 → 6(p+q)≦2015 → p+q≦335 → 335C2通り
(s,t)=(1,3) のとき 3(2p-1)+2(3q-3)≦2008 → 6(p+q)≦2017 → p+q≦336 → 336C2通り
(s,t)=(2,1) のとき 3(2p-2)+2(3q-1)≦2008 → 6(p+q)≦2016 → p+q≦336 → 336C2通り
(s,t)=(2,2) のとき 3(2p-2)+2(3q-2)≦2008 → 6(p+q)≦2018 → p+q≦336 → 336C2通り
(s,t)=(2,3) のとき 3(2p-2)+2(3q-3)≦2008 → 6(p+q)≦2020 → p+q≦336 → 336C2通り
よって全部で 335C2×2+336C2×4 = 337010通り

No.2736 - 2008/09/16(Tue) 01:44:10

★ 数学Ａ / 優

【1】p,r,o,b,l,e,mの7つの文字を使って順列を作る。このとき、次のようなものは何通りあるか。

(1)両端に子音がくるもの(A.2400通り)
(2)少なくとも一方の端に子音がくるもの(A.4800通り)

【2】黒玉7個と白玉3個を一列に並べるとき、白玉が隣り合わないような並べ方は何通りあるか。(A.56通り)

宜しくお願いします。

No.2722 - 2008/09/15(Mon) 12:25:48

☆ Re: 数学Ａ / ヨッシー

【1】
(1)子音はo,e 以外の５つです。
　左端の文字の選び方は５通り、
　右端の文字の選び方は、左端の文字以外の４通り
　間の５文字の並び方は　５！＝120(通り)
　以上より、　５×４×１２０＝2400(通り)
(2)
　両端とも母音の場合を数えます。
　左端がo、右端がeの場合、
　　間の５文字の並び方は　５！＝120(通り)
　左端がe、右端がoの場合も、同様に120通り
　合わせて240通り。
　すべての並び方は　７！＝5040(通り)
　求める場合の数は、
　　5040－240＝4800(通り)

【2】
　○●○●○　をあらかじめ並べておき残りの●５個を、
　３つの○の、両端と間の４ヶ所のいずれかに入れる
　方法なので、重複組み合わせとなり、
　₄Ｈ₅＝₈Ｃ₅＝56(通り)

No.2723 - 2008/09/15(Mon) 12:41:09

☆ Re: 数学Ａ / らすかる

【2】別解
黒玉7個を並べ、間または端計8箇所中3箇所に白玉を入れればよいので、8C3=56通り

No.2724 - 2008/09/15(Mon) 13:04:57

★ 円と半径 / Jez-z

半径1の円Cと半径1の円C(1)が外接しており、さらに、2つの円はともに直線lに接している。
n=2,3,4…に対してC(n+1)をC(n)とCの両方に外接し、かつ、
直線lにも接しているように作ることにする。
ただし、（Ｃ(n)の半径＞Ｃ(n+1)の半径）である。
このときC(n)の半径を求めよ。

（方針）
C(n)の半径をr(n)とする。
実験してみたところ、C(2)は三平方の定理を用いて
r(2)=1/4と求めることができました。
しかし、r(3)を求めようとしたところ、三角形の横（l軸に平行）の長さだけが分からず敢え無く挫折。
そこで、発想を変えて漸化式を作り一般項r(n）を求めればうまくいくのではないかと考えました。
しかし、この方針でも自身の計算力・数学力がついてこれず行き詰ってしまいました。

ご指導お願いします。

No.2707 - 2008/09/14(Sun) 17:56:31

☆ Re: 円と半径 / rtz

Cを(0,1)中心、C₁を(2,1)中心、直線lをy＝0としてしまいましょう。

そうするとC₂については、
r₂＝1/4からC₂の中心は(1,1/4)です。

続いてC₃については、
√{(1＋r₃)²－(1－r₃)²}＋√{((1/4)＋r₃)²－((1/4)－r₃)²}＝1
⇔2(√r₃)＋(√r₃)＝1
⇔r₃＝1/9
よってC₃の中心は(2/3,1/9)

これと同様に考えて、
C_nの中心は(2√r_n,r_n)であるから、
C_n+1について、
√{(1＋r_n+1)²－(1－r_n+1)²}＋√{(r_n＋r_n+1)²－(r_n－r_n+1)²}＝2√r_n
⇔2(√r_n+1)＋2√(r_nr_n+1)＝2√r_n
⇔{(√r_n+1)－1}{(√r_n)＋1}＝－1
⇔(1－√r_n+1)(1＋√r_n)＝1
あとはn＝1,2,3から√r_nを推測してそれが正しいことを言えばよいでしょう。

今回のポイントは、
・C_nの中心座標をr_nで表せるか
・r_n、r_n+1間の漸化式が作れるか
の2点です。

No.2709 - 2008/09/14(Sun) 19:52:55

☆ Re: 円と半径 / ヨッシー

rtz の座標設定を使わせてもらうと、
ｙ＝－１を考えると、円Ｃとｘ軸に接する円の中心は、
点(0,1) と直線ｙ＝－１からの距離が等しいので、
放物線　ｙ＝ｘ²／４上にあります。
よって、中心の座標は（ｘ、ｘ²／４）と表すことが出来ます。

これを使って、隣り合うＣ_n、Ｃ_n+1 の関係を
作ることが出来ます。

No.2710 - 2008/09/14(Sun) 20:03:53

☆ Re: 円と半径 / Jez-z

ヨッシーさん、それって「焦点」の考え方ですか？
「焦点」って数?Vの範囲ですよね…（実際の試験では使ってもよいものなのでしょうか…）

となるとrtzさんの方針を参考にさせてもらうことになるのですが、
>>「√rnを推測してそれが正しいことを言えばよい」
数学的帰納法を使えばよいですよね。ちょっと自分でやってみます。

No.2715 - 2008/09/14(Sun) 22:11:58

☆ Re: 円と半径 / ヨッシー

実際に使って良いかは、何の試験かによります。

漸化式を出してから解くまでは、同じような解き方になるでしょうから、
良いと思う方で解けばいいと思います。

No.2716 - 2008/09/14(Sun) 22:37:23

☆ Re: 円と半径 / Jez-z

rtzさん、やっぱり「漸化式」をつくることが理解できていませんでした。少しヒントをくれませんか？

それと、実際の問題は円の位置関係として
緑色の円が1＜ｘ＜2の位置にあり以下
紫色の円が外接…していくというような設定がなされていました（はじめに書いていなくてすいません）どうしても言葉では説明しづらかったので・・・

No.2720 - 2008/09/14(Sun) 23:57:44

☆ Re: 円と半径 / rtz

えぇと、具体的にどの部分でしょうか。

漸化式の作成自体は添付図を参照してください。
C_nの中心が(2√r_n,r_n)になるのは、
添付図のC_n+1のx座標を考えてもらえば分かりますが、
C_nのx座標も√{(1＋r_n)²－(1－r_n)²}になり、
これを計算すれば2√r_nになるためです。
y座標は半径と同じです。

右の方に円を作っていくというのは解答の作り方の問題で、
それはどっちでもいいので、
解答作成者は好きなように、解答を読む側は上手く処理してとしか言えません。

No.2721 - 2008/09/15(Mon) 01:07:41

☆ Re: 円と半径 / Jez-z

rtzさんわかりました＾＾ありがとうございます。

No.2744 - 2008/09/16(Tue) 23:52:19

★ 順列 / 桜　高校2

こんにちは。
よろしくお願いいたします。

男子4人、女子3人がいる。
女子のうち2人だけが並びあうように7人が一列に並びは何通りか。

という問題がわかりません。
教えてください。

No.2705 - 2008/09/14(Sun) 12:02:17

☆ Re: 順列 / 七

1) 女子3人が隣り合う並び方，
2) 女子が隣り合わない並び方
なら分かりますか？

No.2706 - 2008/09/14(Sun) 12:23:56

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございます。

(1)はわかりました＾＾

「2人」だけというのがひっかかってわかりません。
3人ならわかるのですが・・・

No.2711 - 2008/09/14(Sun) 20:17:27

☆ Re: 順列 / 七

7人の並び方すべてから
1)，2)を引けば求められると思います。

No.2712 - 2008/09/14(Sun) 20:35:06

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございます。
たびたびすみません。

隣り合わない並び方が
よくわからなかったのですが、4!*3!でいいのでしょうか。

No.2713 - 2008/09/14(Sun) 21:14:14

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

全体-144でよいでしょうか。

すみませんです。。
もうわからなくて混乱です><

No.2714 - 2008/09/14(Sun) 21:31:43

☆ Re: 順列 / ヨッシー

全体-144 はあり得ません。
　1) 女子3人が隣り合う並び方
だけで720通りありますから。

　2) 女子が隣り合わない並び方
は、男女の並び順が
　男男女男女男女
　男女男男女男女
　男女男女男男女
　男女男女男女男
　女男男男女男女
　女男男女男男女
　女男男女男女男
　女男女男男男女
　女男女男男女男
　女男女男女男男
の10通りあり、それぞれについて4!×3!＝144(通り)あります。
以上より、
　全体－720－1440
となります。

No.2718 - 2008/09/14(Sun) 23:03:18

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございました^^
おかげで解けました☆

No.2726 - 2008/09/15(Mon) 16:47:34