ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 高校入試の問題です / rino

(3)の解き方がいまいちよくわかりません。どこに補助線を引いて面積を求めればよいでしょうか？教えてください。

２つの関数ｙ＝ａｘ＾2…?@、ｙ＝ｂｘ＾2…?Aのグラフがある。ｘ座標が４である?@、?A上の点を、それぞれＡ、Ｂとする。ＡとＣのｙ座標、ＢとＤのｙ座標がそれぞれ等しくなるように点Ｃ、点Ｄを定める。Ａのｙ座標が８であるとき、次の問いに答えなさい。

(1)　ａの値を求めなさい。また、ＡＢ＝４となるときのｂの値を求めなさい。
　　　　これはａ＝1/2、ｂ＝1/4だと思います。
(2)　(1)において、線分ＥＦがｙ軸と並行になるように、?@上に点Ｅ、?A上に点Ｆをとる。ＡＢ：ＥＦ＝４：１のとき、Ｅのｘ座標を求めなさい。ただし、Ｅ、Ｆのｘ座標は正とする。
　　　　これは２だと思います。
(3)　△ＯＡＤの面積が、四角形ＡＣＤＢの面積の1/2になるようにｂの値を定めなさい。
　　　　

No.6427 - 2009/06/24(Wed) 22:30:25

☆ Re: 高校入試の問題です / ヨッシー

問題に書いていませんが、点Ｃは点Ａとは違う点、点Ｄは
点Ｂとは違う点とします。

(1)ａ≧ｂとは限らないので、
　ａ＝1/2，ｂ＝1/4 またはｂ＝3/4 でしょう。
(2) は、ｘ＝２で良いですね。
(3) は、(1) を継承しているのかどうかわかりませんが、
　ｂ＝ａ/３　または　ｂ＝３ａになります。
　(1) を継承して、ａ＝1/2 なら、ｂ＝1/6 または 3/2 です。

△ＯＡＤを等積変形して、長方形ＡＣＤＢに図のように
納まれば、面積は1/2 となります。
ＡＢの長さと、△ＯＡＤがｙ軸を切る長さが等しいことから、
ｂの条件を求めます。

No.6438 - 2009/06/25(Thu) 00:15:01

☆ Re: 高校入試の問題です / rino

あまり見慣れない等積変形なので、気づきませんでした。別の三角形ばかりに目をとられてしまっていましたが、これならわかりやすいですね。いつもわかりやすい図をつけていただき、ありがとうございます。

No.6460 - 2009/06/25(Thu) 23:54:45

★ ベクトルについての質問です / なち

なちです。
この問題は、明日黒板に書かなければならないのですが、さっぱりわかりません。
よろしくお願いします。。。

原点Oを中心とする半径２の円周上に３点A,B,Cがあり、ベクトル→OA,→OB,→OCは
４→OA－５→OB＋３→OC＝→０　を満たすものとする。
次の問いに答えよ。
（１）内積→OA・→OB,→OB・→OC,→OC・→OAの値を求めよ

（２）角ABCの大きさを求めよ

自分では、
→OA・→OB＝16/5,→OB・→OC＝12/5,→OC・→OA＝０
と答えを出したのですが、どうも違うらしく、（２）が
おかしな値になってしまいます。
→はベクトルです。
パソコン初心者で読みにくくて申し訳ないですが、
回答よろしくお願いします。

No.6420 - 2009/06/23(Tue) 22:42:09

☆ Re: ベクトルについての質問です / rtz

(a＋b)²＝a²＋2ab＋b²です。

内積の計算の途中で2倍してないからおかしくなっています。

No.6421 - 2009/06/23(Tue) 23:27:38

☆ Re: ベクトルについての質問です / ヨッシー

４ＯＡ－５ＯＢ＋３ＯＣ＝０
変形して
　５ＯＢ＝４ＯＡ＋３ＯＣ
において、４ＯＡ、５ＯＢ、３ＯＣは、大きさが
８，１０，６のベクトルなので、図のような形が考えられます。
（いわゆる３：４：５の直角三角形です）

これより、cos∠ＡＯＢ＝4/5，cos∠ＢＯＣ＝3/5，cos∠ＡＯＣ＝０がわかり、
　ＯＡ・ＯＢ＝２・２・(4/5)＝16/5
　ＯＢ・ＯＣ＝２・２・(3/5)＝12/5
　ＯＣ・ＯＡ＝０
合ってますね。

ついでに別の方法。
４ＯＡ－５ＯＢ＋３ＯＣ＝０
に、ＯＡを内積で掛けて
４|ＯＡ|²－５ＯＢ・ＯＡ＋３ＯＣ・ＯＡ＝０
ＯＢ、ＯＣについても同様にやって
４ＯＡ・ＯＢ－５|ＯＢ|²＋３ＯＢ・ＯＣ＝０
４ＯＣ・ＯＡ－５ＯＢ・ＯＣ＋３|ＯＣ|²＝０
これらを解いて、・・・(以下略)

さて、(2)ですが
∠ＡＯＣ＝90°なので、∠ＡＢＣは
　∠ＡＢＣ＝(360°－90°)÷２＝135°
です。(円周角の性質より)

内積でゴリゴリやるなら、
　|ＢＡ|²＝(ＯＡ－ＯＢ)・(ＯＡ－ＯＢ)
　＝|ＯＡ|²＋|ＯＢ|^2－２ＯＡ・ＯＢ
　＝４＋４－32/5＝8/5
　|ＢＣ|²＝(ＯＣ－ＯＢ)・(ＯＣ－ＯＢ)
　＝|ＯＢ|²＋|ＯＣ|^2－２ＯＢ・ＯＣ
　＝４＋４－24/5＝16/5
より、
　ＢＡ・ＢＣ＝|ＢＡ||ＢＣ|cos∠ＡＢＣ
　　＝(2√2/√5)・(4/√5)cos∠ＡＢＣ＝(8√2/5)cos∠ＡＢＣ
一方、
　ＢＡ・ＢＣ＝(ＯＡ－ＯＢ)・(ＯＣ－ＯＢ)
　　＝ＯＣ・ＯＡ＋|ＯＢ|²－ＯＢ・ＯＣ－ＯＡ・ＯＢ
　　＝０＋４－12/5－16/5＝-8/5
両者比較して、
　cos∠ＡＢＣ＝-√2/2
よって、∠ＡＢＣ＝135°
となります。

No.6422 - 2009/06/23(Tue) 23:30:09

☆ Re: ベクトルについての質問です / なち

ありがとうございました。
こんなに早く回答してもらえるとは・・・感激です！

（１）については合っていたんですね。よかったです。。

また質問することがあると思いますが、
よろしくお願いします！！！

No.6423 - 2009/06/23(Tue) 23:39:05

★ 極限 / aki

こんばんは！
またすみません
http://z.upup.be/?seHr21fniu
の対数のとりかたなのですが、底を2でとったらだめなのでしょうか？
うまくいかなかったのですが…
宜しくお願い致します…

No.6415 - 2009/06/23(Tue) 21:15:18

☆ Re: 極限 / ヨッシー

底は何でも良いはずですが。
　ｂ_n＝log_mａ_n
（ｍは１でない正数）
とおいて、ａ_n+1＝２√ａ_n
の対数をとると、
　ｂ_n+1＝log_m２＋(1/2)ｂ_n
　(ｂ_n+1－２log_m２)＝(1/2)(ｂ_n－２log_m２)
　ｂ₁＝log_mａ₁
より、
　ｂ_n－log_m４＝(ａ₁－log_m４)(1/2)^n-1
よって、ｎ→∞で
　ｂ_n－log_m４→０
より、
　ｂ_n＝log_mａ_n→log_m４
より　ａ_n→４

また、対数を使わなくてもｎ→∞のとき
　Ｘ＝2√(2√(2√(2√(2√(・・・2√ａ₁)・・・)))))
とおくと、
　Ｘ＝2√Ｘ
であるので、Ｘ＞０より両辺√Ｘで割って
　√Ｘ＝２
　Ｘ＝４
となります。

No.6417 - 2009/06/23(Tue) 21:58:58

☆ Re: 極限 / aki

そんなときかたもあるのですね！
私は底2の対数をとり
http://v.upup.be/?BvfO0Xjnn0
としたのですがここからa1が分からないから身動きができなくなってしまいました。
この方法だとここからどうすればいいか教えていただけませんか？m(_ _)m

No.6425 - 2009/06/24(Wed) 19:37:23

☆ Re: 極限 / ヨッシー

上の解説(前半)で、ｍの代わりに２を入れてみるだけです。

No.6431 - 2009/06/24(Wed) 23:13:14

☆ Re: 極限 / aki

できました！
ヨッシーさんどうもありがとうございました。

No.6445 - 2009/06/25(Thu) 15:08:46

★ 数列 / aki

こんばんは！
宜しくお願い致します！
http://p.upup.be/?ZH1KeDW8t2
の(2)についてですが、数学的帰納法で証明していくとn=K＋1 ねとき=が入らない不等号で成立するのですが、この場合も成立としていいのでしょうか？解答では成立としてあるのですが…
とても気になってます。
宜しくお願い致します。

No.6413 - 2009/06/23(Tue) 18:04:57

☆ Re: 数列 / ヨッシー

Ａ≦Ｂ　かつ　Ｃ＜Ｄ　ならば　Ａ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｄ
さらに、
Ｍ＜Ｎ　ならば　Ｍ≦Ｎ
であるので、＜が言えれば、≦も成り立ちます。

２＜３　２≦３　２≦２
いずれも正しい式です。

No.6414 - 2009/06/23(Tue) 18:46:39

☆ Re: 数列 / aki

2≦3が正しい式というのがうまく理解できないというか、ピンと来ません。
詳しく説明してくださいませんか？
(>_<)

No.6424 - 2009/06/24(Wed) 19:20:49

☆ Re: 数列 / KINO

等号つきの不等号の意味（もしくは定義）をきちんとおさえましょう。

「A＜B」または「A＝B」のいずれかが成り立つことを，A≦B という不等式で表します。

ですから，「2＝3」の方は成り立ちませんが，「2＜3」は成り立つので，「2≦3」という不等式が成り立つわけです。

ヨッシーさんが挙げられた例のうち，３つ目の「2≦2」は，
「2＜2」は成り立ちませんが，「2＝2」が成り立っているので，正しい式ということです。

No.6433 - 2009/06/24(Wed) 23:34:15

☆ Re: 数列 / aki

すごくよくわかりました!不等号の意味が分かっていなかったんですね、恐ろしいです。
どうもありがとうございました。

No.6625 - 2009/07/09(Thu) 17:01:40

★ 数列 / aki

こんばんは！
いつもお世話になっております。
質問お願い致します。
http://x.upup.be/?fNQyf8fwNX
の問題なのですが、階さを使うよりも楽な方法があるということで、それは
この漸化式ではan＋αn＋βがこうひ2の等比数列になる
と考える方法らしいのですが、それがよくわかりません、
どうしてそのように考えられるか1から教えていただけないでしょうか？
宜しくお願い致します！

No.6406 - 2009/06/22(Mon) 19:40:41

☆ Re: 数列 / ヨッシー

階差を使うやり方の方が、すぐに思い浮かびませんが、
　ａ_n+1＝２ａ_n－３ｎ
が、
　ａ_n+1＋ｓ(n+1)＋ｔ＝２(ａ_n＋ｓｎ＋ｔ)
と置けないかと考えるわけです。移項して整理すると、
　a_n+1＝２ａ_n＋ｓｎ－ｓ＋ｔ
より、ｓ＝－３，ｔ＝－３
よって、ｂ_n＝ａ_n－３ｎ－３
とおくと、
　ａ_n+1＝２ａ_n－３ｎ
は、
　ｂ_n+1＝２ｂ_n
と書けます。ｂ₁＝ａ₁－３－３＝－５。

右辺はｎの式、左辺は右辺のｎをｎ＋１に変えた式
にするのがポイントです。

たとえば、ａ_n+1＝３ａ_n＋２ⁿ なら、
　ａ_n＋ｍ・２ⁿ⁺¹＝３(ａ_n＋ｍ・２ⁿ)
として、展開して整理すると、
　ａ_n+1＝３ａ_n＋ｍ・２ⁿ
より、ｍ＝１となり、ｂ_n＝ａ_n＋２ⁿ
とすると、
　ｂ_n+1＝３ｂ_n
となります。

No.6407 - 2009/06/22(Mon) 22:03:42

☆ Re: 数列 / 雀

a[n+1]=2a[n]-3n ------------(1)
を
a[n+1]+α(n+1)+β=2{a[n]+αn+β} -----------(2)
の形にすることで
a[n]+αn+β＝b[n]とおけば
b[n+1]=2b[n]
公比2の数列にすることができます。

(2)式は
a[n+1]=2a[n]+αn+β-α
(1)式と係数比較すると
α=-3
β-α=0　→ β=-3
よって(2)式は
a[n+1]-3(n+1)-3=2{a[n]-3n-3} -----------(3)
とできます。

No.6408 - 2009/06/22(Mon) 22:12:21

☆ Re: 数列 / 雀

かぶってしまってすみませんでした。

No.6409 - 2009/06/22(Mon) 22:14:22

☆ Re: 数列 / aki

成る程よくわかりました！
どうもありがとうございます(>_<)

No.6437 - 2009/06/25(Thu) 00:03:59

★ (No Subject) / ばく

高校微積分です。
一応 y=f(x) について　x^n,sin(x),log(x),e^x あたり
を終了したつもりです。

面積関数F(x)の増分(F(x+h)-F(x))からF'(x)=f(x)を求める

という項目を見てふと曲座標ではどうなる？と思い同様の
手法でやってみました。

r=f(θ)
の面積関数をF(θ)とすると結局
F'(θ)=((f(θ))^2)/2
となり、xy平面での関数でいうとすでに1回積分された形になります。

おおもとは曲座標における扇形の面積が
　s=((r^2)θ)/2
であるからだと思いますが、逆に考えると
　高校での微積分は基本的にはXY平面のみが対象であり
　それ以外の座標系についてはまったく別の微積分が
　存在するのではないか？
と思いつきました。

また、XY平面においては「傾き」というのは大切な概念で
あるが曲座標においての「傾き」は存在するのか？という
疑問もわいてきました。

現段階で以上のことについて理解できる程度の説明がある
ならばお願いしたいです。

もし「そのうちそんな学習項目が出てくるから待ってろ！」
というのであればそのときまで待つことにします。

No.6404 - 2009/06/22(Mon) 10:07:38

☆ Re: / ヨッシー

高校の範囲では、極座標の微積分は出てこないと思います。

上で指摘されているように、面積ということで言えば、
直交座標では、基本は長方形であるのに対し、極座標では、
扇形であるので、（直交座標タイプの）面積を求めるには、
公式が、若干違ってきます。
その意味では、「別の微積分が存在」と言ってもいいと思います。

「傾き」というか「変化率」というか、いわゆる
１階微分ですよね？
これは、dr/dθ の定義により決めることが出来ます。
ただし、感覚的に「傾き」というべきものかは疑問です。

ただ、練習問題としてのそれらは別として、大抵
直交座標で扱えるものは、極座標では扱いづらく、
その逆も然りで、利用される分野は、割と明確に分かれるようです。
極座標は、その形からわかるように、原点周りの
ぐるっとした感じのモデルに適しているようです。
円上の運動とか、引力とか、電磁気力とか、原子の動きなどです。

とりあえず、思いつくままに書いてみました。

詳しくは、「極座標　微分　積分」などで検索すれば
色々出て来ると思います。

No.6405 - 2009/06/22(Mon) 16:29:09

☆ Re: / ばく

ありがとうございました。
やはり、まだ難しすぎますね。
微積分がわかったと少し思い込んでましたが、実は教科書の部分のみだったんですね。

>これは、dr/dθ の定義により決めることが出来ます。
>ただし、感覚的に「傾き」というべきものかは疑問です。

「傾き」はXY平面での理解を簡単にするための概念で
微分の本質ではない、ということのようです。

もう少し待ってみます。

ありがとうございました。

No.6411 - 2009/06/22(Mon) 23:59:44

★ ２項定理 / @

h=a-1>0とおくとき２項定理を用いて
a^n≧(n k+1)h^(k+1) ただしn≧k+1
(n k+1)はnCk+1でn+1このものからkことりだす組み合わせ数です

よろしくお願いします。

No.6394 - 2009/06/21(Sun) 20:22:09

☆ Re: ２項定理 / @

そもそもnCkはわかるのですnCk+1で混乱してます

No.6395 - 2009/06/21(Sun) 20:32:13

☆ Re: ２項定理 / angel

…この形って、問題として単独で出てきているのでしょうか?
何かの導入のため、あえて“k+1”という形にしているように思えますが…

nCk の形で分かるのであれば、j=k+1 と置き換えてあげれば解決すると思います。おそらく k≧0 でしょうから、n≧k+1 とあわせると、1≦j≦n が j の範囲であり、
(与不等式) ⇔ a^n≧nCj・h^j
となります。

直感的に言えば、
　a^n=(1+h)^n=1+nC1・h^1+…+nCj・h^j+…+nCn・h^n≧nCj・h^j
ということでしょう

No.6398 - 2009/06/21(Sun) 21:59:03

☆ Re: ２項定理 / @

自然数ｋ、１よりも大きい実数aに対して
上の不等式を証明して
limn→∞n^k/a^nを示せという問題です。
よくわからないですが..

No.6400 - 2009/06/21(Sun) 23:09:06

☆ Re: ２項定理 / @

limn→∞n^k/a^n=0を示せでした。。

No.6401 - 2009/06/21(Sun) 23:11:57

☆ Re: ２項定理 / KINO

なんで k じゃなくて k+1 なのか，そこが鍵です。

a^n=(1+h)^n≧nC(k+1)h^(k+1)＞0
なので，1/a^n≦h^{-(k+1)}/nC(k+1)．
よって n^k/a^n≦h^{-(k+1)}n^k/nC(k+1)

nC(k+1) は具体的に書こうとすればわかるように，n の k+1 次式ですから，n→∞の極限において n^k/nC(k+1) がどうなるかはわかりますよね。

No.6402 - 2009/06/21(Sun) 23:32:11

★ 相談です?ｫ / 高３

センター形式のマーク模試などで、(2)まではすぐに解けるのですが、(3)などの、大問の最後の問題がなかなか解けません?ｬそうこうしている内にいつも時間が足りずに終わってしまい、得点が伸びません?ｫどのような勉強をすれば高得点をとることができるでしょうか？?ｫ良い勉強方などがあったらぜひ教えてください！

No.6380 - 2009/06/20(Sat) 22:48:44

☆ 月並みですが。 / KINO

とにかく，全ての科目についていえることですが，時間を意識することが非常に大切です。
限られた時間の中でなるべく多く問題を解くには，手間のかかる問題に時間を割きすぎてはいけません。

1. 時間を計って過去問を解く。そうすると慣れます。
2. 問題を解き始める前に，全ての問題に目を通して計算量をざっと見積もる（これは面倒かもしれないとか，これは簡単そうだなとか，大まかなあたりを付ける）。
3. 解きやすそうだと感じた順に手をつける。
4. 数Bの数列などは，真面目に考えなくても空欄を埋められることがしばしばある。マーク式だからこそ通用するそうした裏技を真剣に考え，自分で開発する。

裏技は「自分で開発する」ということが非常に大事です。
実用的な裏技を開発するには，ひとつの問題をいろいろな視点から捉えるという多角的な視座と，数学の各分野に関する確かな知識・技量が必要となるからです。

他人が開発した裏技を覚えようとしても理屈がわからないと覚えられないでしょうし，どういうときに使えるかの判断も自分ではできないので，結局役に立たないと思います。

理科や社会の暗記項目を，他人が作った語呂合わせ（名作は学んでもいいと思いますが）で覚えるのではなく，自分で語呂合わせを考案した方がはるかに強く記憶に残るのと同じです。

No.6385 - 2009/06/21(Sun) 02:47:56

★ (No Subject) / 桜　高3

いつもありがとうございます。
質問があります、よろしくお願いいたします。

実数係数の二次方程式x^2-2ax+3a=0が２以上の異なる２つの実数解をもつ定数aの範囲を求めよ。

答えはf(2)=4-a≧0 軸a≧2 D/4＞0
で3＞a≧4です。

私が疑問に思ったのは範囲に軸a=2が入ると１つの解は２以上になりますが、もう１つは２以下になってしまうので疑問に思って質問しました。f(2)=4-a=0も同様です。
なぜそうなるのでしょうか?

ありがとうございます。
よろしくお願いいたします.

No.6378 - 2009/06/20(Sat) 20:12:41

☆ Re: / angel

こういう疑問でしょうか?

1. 模範解答では、軸の条件を a≧2 としているが、その内 a=2 の場合、「2以上の異なる2実数解」に反するため不適切で、正しくは a＞2 とするべきではないか

2. f(2)≧0 という条件も同様に f(2)=0 となる場合、「2以上の異なる2実数解」に反するため不適であり、f(2)＞0 とすべきではないか

…ということにして回答します。

1. に関しては確かにそうなのですが、最終的なaの範囲からは a=2 は除かれていますし、解答として問題はありません。
※f(2)≧0 かつ D＞0 (⇔軸における f の値が負) の時点で、x=2 が軸になることはありえないため、自動的に a≠2

あくまで、条件を複合させて筋が通っていれば、個々の条件の厳密さは良いのです。
思うに、類題との共通的な解き方として、「軸の位置≧境界値」と考えるようにしているのではないでしょうか。
とはいえ、桜さんのように、厳密に条件を突き詰めていく姿勢の方が良いとは思います。

2. に関しては、f(2)=0 は条件に入れなければなりません。
f(2)=0 を満たす形は、今回 f(x)=(x-2)(x-6) ( 軸:x=4 ) ですが、これは「2以上の異なる2実数解」に適合します。

「以上」や「以下」が条件に絡むと、境界の扱いがややこしくなるので、具体例を挙げてしっかり確認するのが良いと思います。

No.6379 - 2009/06/20(Sat) 21:56:12

☆ Re: / 桜　高3

どうもありがとうございました！＾＾
詳しい回答感謝しております☆

No.6383 - 2009/06/20(Sat) 23:16:02

★ 極限 / 大学生

a1=1 a(n+1)=√(a(n)+1)で与えられる数列は有界で単調減少であることを示し極限を求めよ。

お願いします

No.6367 - 2009/06/20(Sat) 09:00:43

☆ Re: 極限 / angel

1. 有界、2. 単調増加、3. 極限の順番で解を構成しましょう。
しかしながら、鍵は 3. の部分にありますので、先に考えます。

0. 前提
　初項および漸化式より、明らかに各a[n]は正、という所だけ、先に押さえておきます。（ただし、解答上は 1. に集約できるでしょう）

3. 極限
　a[n] は単調増加かつ有界のため、極限を持ちます。それをαと置き、漸化式を利用してαの方程式を立てます。
　a[n]の各項が正なので、α≧0 となることに注意します。
　漸化式の両辺の極限を考えると、
　　lim a[n+1] = α、lim √(a[n]+1) = √(α+1)
　となりますから、α=√(α+1) となります。

この時点で、a[n]の値の推移を考えてみると、
a[n] は単調増加しつつも、漸化式のおかげでαの壁を突破できず、次第にαに近づいていき、αに収束するのだろうと推測できます。なので、1,2 を以下のように考えます。

1. 有界
　β=√(β+1) ( ただし、β>0 ) を満たすβに対し、0＜a[n]＜β
　※結局β=αなのですが、取り合えず別の文字で扱います

　これを帰納法で証明します。
　なので、証明の肝は、0＜a[n]＜β⇒0＜a[n+1]=√(a[n]+1)＜β です。
　β^2=β+1 を満たしますから、
　β^2 - ( √(a[n]+1) )^2 = ( β+1 ) - ( a[n]+1 ) = β-a[n]
　となることに着目します。

2. 単調増加
　1. で示した 0＜a[n]＜β を元に、a[n]＜a[n+1] を示します。
　今度は帰納法は必要ありません。
　ａ=a[n] と置けば、√(ａ+1)＞ａと同じことですから、2次不等式の問題としてそのまま解けます。

No.6368 - 2009/06/20(Sat) 12:02:55

★ (No Subject) / hashi

はじめて利用させていただきます高３です。
最大値、最小値の問題が分かりません。
(１)ｘ、ｙの関数Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ－６ｙ＋２ｎ

No.6352 - 2009/06/19(Fri) 00:17:47

☆ Re: / hashi

はじめて利用させていただきます高３です。
最大値、最小値の問題が分かりません。
(１)ｘ、ｙの関数Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ－６ｙ＋２の最小値を求めよ。またそのときのｘ、ｙの値を示せ。
(２)ｘ、ｙの関数Ｑ＝ｘ^2－６ｘｙ＋１０ｙ^2－２ｘ＋２ｙ＋２の最小値をもとめよ。またそのときのｘ、ｙの値を示せ。
です。お願いします。

No.6353 - 2009/06/19(Fri) 00:23:27

☆ Re: / KINO

平方完成を応用するのが標準的でしょうね。

(1) P=(x^2+4x)+(3y^2-6y)+2 と見て，() の中身をそれぞれ x，y について平方完成してみましょう。

(2) これも考え方の根底は (1) と同じです。
x，y のどちらを主役にするかで計算の手間が変わりますが，
Q を x の式と見て
Q=x^2-2(3y+1)x+10y^2+2y+2
をまず x について平方完成し，その結果出てくる x に関する定数項（y の多項式）を y について平方完成してみましょう。

No.6355 - 2009/06/19(Fri) 01:14:54

☆ Re: / hashi

> 平方完成を応用するのが標準的でしょうね。
>
> (1) P=(x^2+4x)+(3y^2-6y)+2 と見て，() の中身をそれぞれ x，y について平方完成してみましょう。
>
平方完成したらどう最小値になりますか！？？
()のなかを０にするようなｘ、ｙの値ですか！？

No.6362 - 2009/06/19(Fri) 23:39:15

☆ Re: / ヨッシー

> ()のなかを０にするようなｘ、ｙの値ですか！？
そうですね。

No.6364 - 2009/06/19(Fri) 23:58:08

☆ Re: / hashi

> > ()のなかを０にするようなｘ、ｙの値ですか！？
> そうですね。

(３)の平方完成ってどうやりますか！？
(１)はｘ＝-２、ｙ＝１で最小値-５になりました。ですがどうしてこれらが最小値なんですか？

No.6366 - 2009/06/20(Sat) 07:12:02

☆ Re: / ヨッシー

Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ－６ｙ＋２
　＝(ｘ＋２)^2＋３(ｙ－１)^2－５
ですが、(ｘ＋２)^2 と３(ｙ－１)^2 の部分は、２乗になっているので、
ｘ、ｙが実数である限り、０以上の数となり、負の数にはなりません。
つまり、これらがともに０になるときが、最小となります。

(3) は (2) のことだと思いますが、
Ｑ＝ｘ^2－６ｘｙ＋１０ｙ^2－２ｘ＋２ｙ＋２
　＝ｘ^2－２(３ｙ＋１)ｘ＋１０ｙ^2＋２ｙ＋２
　＝(ｘ－３ｙ－１)²－(３ｙ＋１)²＋１０ｙ^2＋２ｙ＋２
　＝(ｘ－３ｙ－１)²＋ｙ^2－４ｙ＋１
　＝(ｘ－３ｙ－１)²＋(ｙ－２)^2－３
となります。両方の(　　)^2 が０になるようにします。

No.6369 - 2009/06/20(Sat) 12:42:57

☆ Re: / 大河

> Ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2＋４ｘ－６ｙ＋２
> 　＝(ｘ＋２)^2＋３(ｙ－１)^2－５
> ですが、(ｘ＋２)^2 と３(ｙ－１)^2 の部分は、２乗になっているので、
> ｘ、ｙが実数である限り、０以上の数となり、負の数にはなりません。
> つまり、これらがともに０になるときが、最小となります。

>
> (3) は (2) のことだと思いますが、
> Ｑ＝ｘ^2－６ｘｙ＋１０ｙ^2－２ｘ＋２ｙ＋２
> 　＝ｘ^2－２(３ｙ＋１)ｘ＋１０ｙ^2＋２ｙ＋２
> 　＝(ｘ－３ｙ－１)2－(３ｙ＋１)2＋１０ｙ^2＋２ｙ＋２
> 　＝(ｘ－３ｙ－１)2＋ｙ^2－４ｙ＋１
> 　＝(ｘ－３ｙ－１)2＋(ｙ－２)^2－３
> となります。両方の(　　)^2 が０になるようにします。

というこはｙ＝２、ｘ＝７で最小値－３ですか？？

No.6371 - 2009/06/20(Sat) 13:50:33

☆ Re: / ヨッシー

そうです。

ためしに、それ以外のｘ、ｙを、完全平方の式に代入してみれば、
全部－３より大きくなる事実と、その理由がわかると思います。

No.6372 - 2009/06/20(Sat) 14:31:43

★ (No Subject) / 大河

はじめまして！高３の大河です。。
解説お願いします。
周りの長さが１である正ｎ角形(ｎ＝３，４，５，……)に内接する円の半径をｒn、外接する円の半径をＲnとする。

(１)ｒnとＲnを求めよ。

この(１)が分かれば他の残りの設問も分かりそうなのでお願いします。。。

No.6351 - 2009/06/19(Fri) 00:12:44

☆ Re: / KINO

(1) 正n角形の一辺の長さは 1/n です。
内接円が正n角形と接するのは各辺の中点で，内接円の半径は各辺に垂直です。
このことを利用すれば，正n角形の隣り合う2頂点をA，B，辺ABの中点をM，内接円の中心をOとおくと，三角形 OMA は角 OMA が直角で，MA=1/(2n)，OM=rn の直角三角形になります。
ちなみに，O は正n角形の外接円の中心でもありますから，線分OAの長さはRnに等しいことにも注意しましょう。

No.6354 - 2009/06/19(Fri) 01:03:02

☆ Re: / 大河

図はどんなになりますか！？
答案をかくとどうなりますか！？

No.6363 - 2009/06/19(Fri) 23:41:21

☆ Re: / angel

こんな感じで。

No.6365 - 2009/06/20(Sat) 06:10:43

☆ Re: / 大河

> こんな感じで。

そうするとＲｎとｒｎはどうなりますか！？

No.6370 - 2009/06/20(Sat) 13:48:13

☆ Re: / ヨッシー

ん？

図の△ＡＢＣ（∠Ｂ＝90°）において、∠Ａ＝θ，ＢＣ＝ａ
がわかっているとき、ＡＢ，ＡＣをθとａで表せ、
というのと同じですよ？

No.6373 - 2009/06/20(Sat) 15:08:21

☆ Re: / 大河

> ん？
>
> 図の△ＡＢＣ（∠Ｂ＝90°）において、∠Ａ＝θ，ＢＣ＝ａ
> がわかっているとき、ＡＢ，ＡＣをθとａで表せ、
> というのと同じですよ？

それはＲｎもｒｎも同じですか！？

No.6374 - 2009/06/20(Sat) 15:16:27

☆ Re: / 大河

> ん？
>
> 図の△ＡＢＣ（∠Ｂ＝90°）において、∠Ａ＝θ，ＢＣ＝ａ
> がわかっているとき、ＡＢ，ＡＣをθとａで表せ、
> というのと同じですよ？
ごめんなさい。。そこらへんの知識か疎くてわかりません。。詳しく解説おねがいします。。

No.6375 - 2009/06/20(Sat) 15:48:00

☆ Re: / ヨッシー

たとえば、
　ＡＣ＝ａ/sinθ
です。

No.6376 - 2009/06/20(Sat) 17:35:47

☆ Re: / 大河

> たとえば、
> 　ＡＣ＝ａ/sinθ
> です。

ということは、ＯＡ＝１/２ｎ／ｓｉｎπ/ｎですか！？
ＯＢはどうなりますか！？

No.6381 - 2009/06/20(Sat) 23:08:39

☆ Re: / 大河

> > たとえば、
> > 　ＡＣ＝ａ/sinθ
> > です。
>
ということは、ＯＡ＝１/２ｎ／ｓｉｎ{π/ｎ}ですか！？
ＯＢはどうなりますか！？

No.6382 - 2009/06/20(Sat) 23:09:37

☆ Re: / KINO

僕の名付けた点の名称を使うなら，
OM=r_n，OA=OB=R_n で，
OM=OAcos(角AMO)，AM=OAsin(角AMO) という関係があります。

数学Iの「三角比」の単元を復習する必要があると思います。

直角三角形において，斜辺の長さと正弦，余弦を用いて残りの２辺の長さを表す方法を確認して下さい。

No.6384 - 2009/06/21(Sun) 02:33:10

☆ Re: / 大河

> 僕の名付けた点の名称を使うなら，
> OM=rn，OA=OB=Rn で，
> OM=OAcos(角AMO)，AM=OAsin(角AMO) という関係があります。
>
> 数学Iの「三角比」の単元を復習する必要があると思います。

角度なんですけど、たぶんπ(ｎ-２)／２ｎだと思うんですけどちがいますか？？同じことですか？
ｒｎ＝１/２ｎtanπ(ｎ-２)／２ｎになったんですけど。。
>
> 直角三角形において，斜辺の長さと正弦，余弦を用いて残りの２辺の長さを表す方法を確認して下さい。

No.6399 - 2009/06/21(Sun) 22:26:06

☆ Re: / KINO

angel さんが図に示されたとおり，角AMO=π/n のはずです。

実際には angel さんは度数で 180°/n と書かれていますが，それは数Iの範囲か数IIの範囲か不明なため安全策をとられたのでしょう。
そして 180°/n は π/n と同じ角を表すことをは大河さんも理解されているようですし。

＞角度なんですけど、たぶんπ(ｎ-２)／２ｎだと思うんですけどちがいますか？？

どう考えてその結論に至ったのか，考え方を書いてみて下さい。

＞同じことですか？

何と何が「同じこと」なのか，質問の意図がよくわかりませんでした。
角の大きさが π(n-2)/2n だろうが π/n だろうが同じことかというのであれば，両者が異なることは明白ですし・・・。

No.6403 - 2009/06/21(Sun) 23:39:28

☆ Re: / 大河

> > 僕の名付けた点の名称を使うなら，
> > OM=rn，OA=OB=Rn で，
> > OM=OAcos(角AMO)，AM=OAsin(角AMO) という関係があります。
> >
> > 数学Iの「三角比」の単元を復習する必要があると思います。
>
> 角度なんですけど、たぶんπ(ｎ-２)／２ｎだと思うんですけどちがいますか？？同じことですか？
> ｒｎ＝１/２ｎtanπ(ｎ-２)／２ｎになったんですけど。。
> >
> > 直角三角形において，斜辺の長さと正弦，余弦を用いて残りの２辺の長さを表す方法を確認して下さい。

tanを加法定理でsinの式に直したいんですけどどうしたらいいですか！？

No.6410 - 2009/06/22(Mon) 22:16:23

☆ Re: / KINO

質問の意図が不明です。どんな式を期待されているのでしょうか？

tanθ=sinθ/cosθ の分子分母に sinθをかけて，分母に出てくる sinθcosθ を (sin(2θ))/2 に書き換えた
tanθ=2sin^2(θ)/sin(2θ) とか，こんなものを期待されているのでしょうか？

そしてそのような変形がなぜ必要なのか，理由も教えて下さい。

No.6412 - 2009/06/23(Tue) 01:26:12

★ 高校入試の問題です / rino

どうやって考えていいのかよくわかりません。教えてください。お願いします。
白と黒のマス目が交互に並んだ右のような表があります。それぞれのマス目には、次の規則により決められた数が１つずつ書かれています。
規則：第ｍ行第ｎ列のマス目には、第１行から第ｍ行までの間にあり、さらに第１列から第ｎ列までの間にある、黒のマス目の個数を書く。

(1)　この表の第９列第10列のマス目に書かれている数を答えなさい。
　　　　無理やり書いて数えれば45になると思います。
　　　　ただ、考え方がよくわかりません。

(2)　ｍ、ｎがともに正の奇数であるとき、この表の第ｍ行第ｎ列のマス目に書かれている数をｍ、ｎの式で表しなさい。

(3)　この表には、数”82”が書かれたマス目は全部で何個ありますか。

No.6347 - 2009/06/18(Thu) 21:52:04

☆ Re: 高校入試の問題です / ヨッシー

まず、全体的な規則をつかんでおきます。
第ｍ行において、
ｍが奇数のとき、ｋ＝(m-1)/2 となるｋに対して、
　マスの数字は
　k, (左の数)+(k+1), (左の数)+k, (左の数)+(k+1), (左の数)+k,・・・
　のようになります。
ｍが偶数のとき、k=m/2 となるｋに対して
　マスの数字は　k,2k,3k・・・　となります。

(1)9行10列か、9列10行かわかりませんが、答えは同じなので、
せっかくですから、両方のマスの数字を求めてみます。
9行10列
奇数行なので、ｋ＝(9-1)/2＝4 に対して、マスの数は、
　4, 4+5=9, 9+4=13, 13+5=18・・・
のようになりますが、結局は、
　4+5+4+5+4+5+4+5+4+5＝(4+5)×5＝45
10行9列
偶数行なので、k=10/2＝5 に対して、9列目は、
　5×9＝45

(2)
ｍ行ｎ列で、ｍ、ｎともに奇数なので、
　ｋ＝(m-1)/2　に対して、
ｎ－１列目（偶数)までは、
　｛ｋ＋（ｋ＋１）｝が (n-1)/2 回足されて、あと１回ｋが足されて、
ｎ列目の数になります。つまり、
　{ｋ＋（ｋ＋１）}×(n-1)/2 ＋ｋ
　＝(2k+1)(n-1)/2 ＋ｋ
　＝m(n-1)/2 ＋ (m-1)/2＝(mn-1)/2

(3)
ｍ行ｎ列で、ｍが偶数とすると、
　k=m/2
に対して、ｎ列目は、ｋｎ＝mn/2　となります。
これは、ｎが偶数の場合も同じです。

以上より、あるマスが、82 になるのは、
　(mn-1)/2＝82 または mn/2＝82
となる場合です。
(mn-1)/2＝82 のとき
　mn＝165＝3×5×11
より、165 の約数の個数は、2×2×2＝8 (個) より
(m,n) の組み合わせは 8通りあります。
mn/2＝82 のとき
　mn＝164＝2×2×41
より、164 の約数の個数は、3×2＝6 (個) より
(m,n) の組み合わせは 6通りあります。

約数の個数および、全ての約数を求める方法については、こちらをご覧ください。

No.6359 - 2009/06/19(Fri) 09:06:18

☆ Re: 高校入試の問題です / rino

丁寧な説明ありがとうございます。難しい問題のような気はしますが、１つずつ手順をたどっていったら、意味はわかりました。もう一度ゆっくり考えてみようと思います。ありがとうございました。

No.6361 - 2009/06/19(Fri) 23:06:04

★ 線形代数で・・・ / 子牙（大学１年生）

はじめまして

n次正則行列Aとその逆行列A＾（－１）の成分がすべて整数のとき、Aの各列について、その列に含まれる整数たちは互いに素であることを示せ。

上記のような課題を出されたのですが、どのように示せばいいのかわかりません。一応ヒントとして、Ａのk列について条件が成立しないときIn＝A＾（－１）・Aの（k,k）成分がどうなるか考えてみよう、というのがあるのですが使い方がわかりません。
よろしくお願いします。

No.6340 - 2009/06/17(Wed) 21:21:40

☆ Re: 線形代数で・・・ / angel

いや、もう、ヒントの通り一点突破で…
n行正方行列の掛け算として、
　Ａ・Ｂ=Ｃ
というのは、要素要素で見ると、
　Σ[k=1,n] Ａ[i,k]・Ｂ[k,j] = Ｃ[i,j]
という計算になっています。Ａの第i行ベクトルと、Ｂの第j列ベクトルの積(内積)が、Ｃのi行j列要素、ということです。
Ａの第i行ベクトルをａ、Ｂの第j列ベクトルをｂ、Ｃのi行j列要素を c とするなら、
　ａ[1]ｂ[1]+ａ[2]ｂ[2]+…+ａ[n]ｂ[n]=c
と書けます。

さて、ベクトルａ,ｂの各要素が整数で、かつ列ベクトルｂの各要素が整数 p の倍数（つまり p を公約数に持つ）だったら…?
左辺は p の倍数の足し合わせなので、やはり p の倍数であり、c も p の倍数、裏を返せば p は c の約数になります。

これを今回の問題にあてはめると…（Ａ=Ｂ、Ｃ=Ｉ、j=j=k）
ということで考えてみてください。
なお、「互いに素」というのは、「公約数が1」と同じことですよ。

No.6342 - 2009/06/17(Wed) 23:54:52

☆ Re: 線形代数で・・・ / 子牙（大学１年生）

なるほど。
なんか変な勘違いをしていたようで、よくわからないことを考えてました。
回答ありがとうございます。

No.6343 - 2009/06/18(Thu) 00:15:38

☆ Re: 線形代数で・・・ / ヨッシー

変な勘違いとは、「互いに素」と「どの２つも互いに素」の
取り違えでしょうか？

No.6346 - 2009/06/18(Thu) 09:25:42