○次の曲線で囲まれた図形を図示し、その面積を求めよ。 (1)y=x(x-2)(x-3), x軸 (2)y=sinx, y=cos2x (0≦x≦π), x=0, x=π (3)y=((2x)/(1+x^2)), y=x
○次の曲線で囲まれた図形をx軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ。 (1)y=(1/(x+1)), x軸, y軸, 直線x=2 (2)y=sinx (0≦x≦π), x軸 (3)y=logx, 直線x=e, x軸 (4)放物線y=x^2, y=√x (5)放物線y^2=4x, 直線x=1
多くてすいません… よろしくお願いします。
|
No.2687 - 2008/09/13(Sat) 21:37:43
| ☆ Re: 高2 / にょろ | | | x=0,2,3で±が変わります そこに注意して積分 (2)交点を求めれば大丈夫です。 sinとcosの関係に気を付ければ交点はすぐ求まります。 (3)y=((2x)/(1+x^2))=(1+x^2)'/(1+x^2) です。
とりあえずここまで
|
No.2688 - 2008/09/13(Sat) 22:30:00 |
| ☆ Re: 高2 / にょろ | | | (1) y=(1/(x+1))=(x+1)'/(x+1) (2) 面積はTHE 2 は公式として知ってて欲しいな〜 (3)y=logx, 直線x=eはy=1でまじわります。
(4),(5) 大きい方の回転体の体積-小さい方の回転体の体積です。 あとで少し補足するかもしれません。
|
No.2690 - 2008/09/13(Sat) 22:35:51 |
| ☆ Re: 高2 / にょろ | | | 下の画像のように回転軸に対して線対称な図形を考えます。
対称軸はy=Rとします。 上のグラフは R+f(x) 下のグラフは R-f(x) とできます。 ここで[a,b]の区間でのx軸中心の回転体の体積を考えます。 まずこの図形の面積をSとするとS=∫_[a,b](2f(x))dx
すると π∫_[a,b]((R+f(x))^2-(R-f(x))^2)dx =π∫_[a,b](4f(x)R) =2π∫_[a,b](2f(x))dx*R =2πSR
となります。 実は回転体の面積Vは V=2πSR(Rは「重心」までの距離) と表せます。 (高校範囲では上の範囲が限界だと思います)
これをパップスギュルダンの定理といいます。 上の問題のy=sinxがy軸中心回転なら使えたんですけどねぇ…
![]() |
No.2692 - 2008/09/13(Sat) 22:59:12 |
| ☆ Re: 高2 / NnA | | | 解説ありがとうございます。
でも、最初の問題の (2)y=sinx, y=cos2x (0≦x≦π), x=0, x=π の解き方がどうしてもわかりません。 よろしければ、詳しい解説をお願いします。
|
No.2694 - 2008/09/13(Sat) 23:47:10 |
| ☆ Re: 高2 / NnA | | | すいません。 (3)y=((2x)/(1+x^2)), y=x (1)y=(1/(x+1)), x軸, y軸, 直線x=2 (3)y=logx, 直線x=e, x軸 (4)放物線y=x^2, y=√x (5)放物線y^2=4x, 直線x=1 もわからないです。 詳しい解説をお願いします。
|
No.2695 - 2008/09/13(Sat) 23:53:43 |
| ☆ Re: 高2 / にょろ | | | まず(2)から 交点の座標は sinx=cos2x=sin((π/2)-2x) x=π/2-2x x=π/6が交点です。 それまでは cos2x-sinx そこからπ/2までは sinx-cos2x の積分になります。 その後範囲がコレの二倍なので二倍してください。
![]() |
No.2696 - 2008/09/14(Sun) 00:10:39 |
| ☆ Re: 高2 / にょろ | | | 次図形はこんな感じ点は気にしないでください というわけで求める面積は ∫_[0,1](1+x^2)'/(1+x^2)-xdx =[log(1+x^2)-x^2/2]_[0,1] =〜 です。
|
No.2697 - 2008/09/14(Sun) 00:33:11 |
| ☆ Re: 高2 / にょろ | | | 画像入れ忘れましたorz
![]() |
No.2698 - 2008/09/14(Sun) 00:39:15 |
|