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★ 極限 / 白梅

高校３年生の数学?V　極限の問題です。 宜しくお願いします。 （問題）次の極限を求めよ。 lim(n→無限大） （ｎ＋１）^2＋（ｎ＋２）^2＋‥‥（２ｎ）^2 ／１^2＋２^2＋‥‥ｎ^2 （解答）「分子＝Σ（K＝１から２ｎ）K^2− Σ（K＝１からｎ）K^2」 と考えて、 （与式）＝｛１^2＋２^2＋‥‥（２ｎ）^2｝− （１^2＋２^2＋‥‥ｎ^2）／１^2＋２^2＋‥‥ｎ^2 ＝１／６•２ｎ（2ｎ＋１）（４ｎ＋１）− １／６ｎ（ｎ＋１）（2ｎ＋１） ／１／６ｎ（ｎ＋１）（2ｎ＋１） 分母•分子をｎ^2で割るとｎ→無限大のとき 与式＝７　 私が疑問に思う１つ目は解答の考え方カギ括弧の所です。 前回この掲示板で質問した際、 第ｎ項までの部分和 Sｎ を使って 第ｎ項をａｎ＝Sｎ− S（ｎ−１） と表す事を 再確認したのですが、今回はｎの範囲が2ｎとｎであり １項差ではないのに、なぜこの様な考えが出来るのか 解説を読み返しても分かりませんでした。 さらに、この問題を解く際に私は分子を Σ（K＝１からｎ）（ｎ＋K）^2と置き、 Σ（K＝１からｎ）（ｎ^2＋２ｎK＋K^2）＝ １／６ｎ（ｎ＋１）（2ｎ＋１）＋ ２•１／２ｎ（ｎ＋１）ｎ＋ｎ^3と置いて計算しました。 すると答えは何度やっても１／７になってしまいました。 自分のやり方ではなぜ答えと違うのか分かりません。 No.1322 - 2008/06/27(Fri) 22:47:56 ☆ Re: 極限 / 魑魅魍魎 後半の質問ですが、 分子の計算 ?納k=1〜n](n+k)^2 =?納k=1〜n]n^2+2nk+k^2 =n^3+{2n^2(n+1)/2}+{n(n+1)(2n+1)/6} ={7n^3/3}+････　　n^3の項だけを計算しました。 分母の計算 ?納k=1〜n]k^2 ={n(n+1)(2n+1)/6} ={n^3/3}+･･･　　n^3の項だけを計算しました。 分母分子をn^3で割ってlim(n→無限大）をとると 分母分子にあるn^3以外の項(n^2やnや定数)はゼロとなり {7/3}/{1/3} =7 No.1324 - 2008/06/28(Sat) 01:54:29 ☆ Re: 極限 / 魑魅魍魎 前半の質問ですが、 ａｎ＝Sｎ− S（ｎ−１） は使ってないです。 (n+1)^2+(n+2)^2+･･･････+(2n)^2　 --------------(1) (1)式を {1^2+2^2+3^2+･･････+n^2+(n+1)^2+･･･････+(2n)^2} -{1^2+2^2+3^2+･･････+n^2} としただけです。 No.1325 - 2008/06/28(Sat) 02:11:33 ☆ 半分理解できました / 白梅 魑魅魍魎様、分かりやすい回答を 深夜にも関わらずして下さり本当に感謝しています。 ありがとうございました＾＾ もう一度慎重に計算をした所、 魑魅魍魎様の回答と同じ分数を導く事が出来、 回答を得る事が出来ました＾＾ 今だ疑問に思う事があります。 魑魅魍魎が仰る通り、 (n+1)^2+(n+2)^2+･････+(2n)^2　 ---(1)と置き、 {1^2+2^2+3^2+････+n^2+(n+1)^2+･･･････+(2n)^2} -{1^2+2^2+3^2+･･････+n^2}と言う式は（１）と 等号が成立するのは理解できたのですが、 問題の解答には（与式の分子）＝ ｛｛１^2＋２^2＋‥‥（２ｎ）^2｝− （１^2＋２^2＋‥‥ｎ^2）｝と書いてあり、 魑魅魍魎様が示された式変換後の式のうち、 1^2+2^2+3^2+･･････+n^2が余計に引かれた式が 使われてしまっている所が、どうも腑に落ちません。 魑魅魍魎様が示した式をそのまま使っているのなら、 まだ理解できたのですが、その理由がよくわかりません。 No.1326 - 2008/06/28(Sat) 12:35:29 ☆ Re: 極限 / rtz 余計に引かれていることは無いと思いますが…。 {1^2+2^2+3^2+････+n^2+(n+1)^2+･･･････+(2n)^2}と ｛１^2＋２^2＋‥‥（２ｎ）^2｝は同じです。 No.1327 - 2008/06/28(Sat) 12:57:42 ☆ 勘違いをしていました / 白梅 {1^2+2^2+3^2+････+n^2+(n+1)^2+･･･････+(2n)^2}のうちの n^2+(n+1)^2の所で勝手に（n^2）と（(n+1)^2）と いった風に分解をして考えていました。 大きな視点で捉えると、魑魅魍魎さんの示された 考え方が出来るのですね。 rtz様、ありがとうございました＾＾ No.1328 - 2008/06/28(Sat) 20:06:06

★ 線型代数　次元の証明 / さく 　大学１回
有限次元ベクトルVとその部分空間Wについて dimW<dimVが成り立つ。 特にdimW=dimVならW=Vである。 この証明のしかたがわかりません。お願いします。 No.1321 - 2008/06/27(Fri) 04:45:04

★ 数?U：等式の証明 / めい　高２
x/(b-c)=y/(c-a)=z/(a-b)のとき、 等式ax+by+cz=0が成り立つことを証明せよ。 問題の解説をお願いします。 No.1319 - 2008/06/27(Fri) 00:28:07 ☆ Re: 数?U：等式の証明 / 魑魅魍魎 x/(b-c)=y/(c-a)=z/(a-b)＝k とおいて x=k(b-c) y=k(c-a) z=k(a-b) が得られるので、これらを ax+by+cz に代入すると････ No.1320 - 2008/06/27(Fri) 01:40:25 ☆ Re: 数?U：等式の証明 / めい　高２ ありがとうございます。 No.1329 - 2008/06/28(Sat) 20:59:58

★ 宜しくお願いします / ひろ
sinα＋cosα=tとするとき、sin^3α＋cos^3αをtを使って表すとどうなるか。 すみませんが、宜しくお願いします。 No.1313 - 2008/06/26(Thu) 23:11:47 ☆ Re: 宜しくお願いします / ヨッシー sinαとcosαの対称式ですので、 　sinαcosα を求めておけば楽です。 　ｔ2＝(sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝１＋2sinαcosα より、 　sinαcosα＝(ｔ2−１)/2 あとは、 　sin3α＋cos3α＝(sinα＋cosα)3−３sinαcosα(sinα＋cosα) より．．． No.1315 - 2008/06/26(Thu) 23:42:13

★ 確率 / 佐波

確率の問題です。 [問]Ａ、Ｂの2人がいて、Ａの袋には白球3個、黒球2個が、 Ｂの袋には白球3個、黒球3個が入っている。 次の規則で、勝敗が決まるゲームをする。 Ａ、Ｂが自分の袋からそれぞれ同時に2個の球を取り出し、相手の袋に入れる。すなわち、2個ずつ球を交換する。この交換の後、袋の中の白球の多い方を勝ちとする。ただし、白球が同数のときは引き分けとする。 （1）このゲームの後、Ａの袋の中の球が白球のみになる確率を求めよ。 （2）このゲームでＡが勝つ確率を求めよ。 という問題です。根本的な考え方が分かりません。相手の袋に入れるという条件をどのように考えればいいのでしょうか？ （１）はＡが黒球2こをＢへ、Ｂが白球2個をＡへ渡せばよいということは分かるのですが、どのような計算式を立てたらよいか分かりません。 No.1309 - 2008/06/26(Thu) 21:29:47 ☆ Re: 確率 / rtz (1) 球の移動自体はお分かりのようなので、では (1-i)Aが袋の中から黒を2個取り出す確率はいくらか？ (1-ii)Bが袋の中から白を2個取り出す確率はいくらか？ の2つは分かるのでしょうか。 これが分かっているなら、(1)はこれら2つの積です。 もし分からないのでしたら、 少し易しめの問題を復習された方がいいかと思います。 No.1310 - 2008/06/26(Thu) 22:23:27

★ 数学III　微分 / ta

数学III　微分の質問です。 y=2log√{(1-x^2)/x}　を微分すると　y'={x^2+1}／{x(x^2-1)}　になるようですが、解法が分かりません。 どのような手順でこの解答に導かれるのか、教えて下さい。 ※それとは関係ありませんが、グラフを書く際に微分をしますが、 　その際式が複雑になってしまうことがあります。【ex. x^3−3x^2−3x＋9】 　そのような場合は、どのようにして因数分解すればいいのでしょうか。 　（適当な式(x−3など)で割ってみるetc…） 　微分は出来ても、因数分解ができず、増減表・グラフまで持ち込めない！ということがよくあります。 　宜しくお願い致します。 No.1296 - 2008/06/25(Wed) 21:10:13 ☆ Re: 数学III　微分 / hari y = 2log√{(1 - x^2)/x} = log{(1 - x^2)/x} = log(1 - x^2) - logx y' = -2x/(1 - x^2) - 1/x = (x^2 + 1)/x(x^2 - 1) となります。 因数分解には因数定理が有効かと思います。 No.1304 - 2008/06/25(Wed) 23:40:54 ☆ Re: 数学III　微分 / ta 1/2で2を消す、ということだったんですね。有難うございます! 因数定理ですか、、アドバイスに感謝です！ No.1305 - 2008/06/26(Thu) 00:09:49

★ HINTください / Jez-z

四面体OABCがあり、OA=3,OB=4,OC=2,OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OAを満たしている。この四面体内にあって底面の１つが面OABにある直円柱の体積の最大値を求めよ。 ※すべての辺を表しましたが、次の一手が思いつきません。 そこで、なにかヒントを私にください。 回答待ってます。 No.1293 - 2008/06/25(Wed) 20:33:34 ☆ Re: HINTください / ヨッシー ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ方向にｘ軸、ｙ軸、ｚ軸をとります。 底面ＯＡＢに円をおいて、直円柱を作ったとき、 円が、ｘ軸、ｙ軸に触れていないものは、ｘ軸、ｙ軸に触れるように 移動させると、もっと高さを伸ばせるので、ｘ軸、ｙ軸両方に 接する円を考えます。 円の半径ｒの最大値は、△ＯＡＢの内接円のｒ＝１です。 このとき、辺ＡＢの方向からこの立体を見ると、右の図のように △ＯＡＢのＡＢを底辺としたときの高さ2.4と、ＯＣ＝２とからなる 直角三角形と、円柱の側面が長方形となったものが見えます。 No.1295 - 2008/06/25(Wed) 21:03:22 ☆ 疑問 / Jez-z ヨッシーさんありがとうございます。 上には書きませんでしたが、実ははじめ、自分も 三角形OABの内接円が最大の体積の直円柱の底面だろうと思ってその方針で行こうとしたのですが、よくよく考えてみると、平面ABCが底面OABに対して「垂直」ではなく「斜め」に交わっているので、必ずしもヨッシーさんのいう「ｘ軸、ｙ軸両方に接する円」のとき、円柱の高さも最大になるといってよいのかという疑問が生まれました。 つまり、高さと円の半径の２つを変数として設定してやらる必要があるのではないかと思いました。 これについてお願いします。 No.1299 - 2008/06/25(Wed) 21:37:42 ☆ 疑問?A / Jez-z ヨッシーさんが示してくれた方針で、 △ＯＡＢのＡＢを底辺としたときの高さ2.4 というのはOから辺ABに下ろした垂線の長さのことですか？ ちなみに、よろしかったらその計算式も教えてもらえませんか？｛直角三角形の相似が３つできる（3:4:5)のでそれらを使って求めるんですよね？｝ あと、「右の図」で分からないところが1点ありまして… 上で言及した垂線の足をＤとするなら、線分ODと内接円との間には隙間ができるので「2r」とはならない気がするのですが・・・「右の図」がzx平面で切った図形なら納得はいくのですが・・・ただしその場合は「2.4」→「3」（＝ＯＡ）ですが。 No.1301 - 2008/06/25(Wed) 22:26:41 ☆ Re: HINTください / ヨッシー 上のは、ダメですね。 方法は良いですが、確かに、ｚ軸には接しません。 やり直します。 No.1303 - 2008/06/25(Wed) 23:21:00 ☆ Re: HINTください / らすかる x軸とy軸の両方に接していない場合、接する方向に動かせば △ABCから離れ、高さが伸ばせますので最大ではありません。 最大体積の直円柱の上面は△ABCに接しますが、そのときの 上面で四面体を切ると、辺の長さの比が3：4：5である 直角三角形に上面が内接している状態となります。 直角三角形の内接円と斜辺の接点は、斜辺を2：3（短辺側が2） に内分した点ですから、結局直円柱と△ABCの接点は ABを2：3に内分した点をDとするとCD上にあります。 従って高さだけ決まれば最大体積が決まり、 高さをhとすると底面の半径は(2-h)/2ですから 体積はπh(2-h)^2/4となります。 これの最大値を調べればいいですね。 No.1308 - 2008/06/26(Thu) 06:52:22 ☆ Re: HINTください / Jez-z らすかるさん1点質問です。 >>直角三角形の内接円と斜辺の接点は、斜辺を2：3（短辺側が2）に内分した点 とありますが、これの求め方を具体的に教えていただけませんか？ No.1314 - 2008/06/26(Thu) 23:41:44 ☆ Re: HINTください / ヨッシー 上は、辺が３，４，５の直角三角形に内接する円の、各接点と 三角形の頂点までの距離の図です。 これで、斜辺の接点が、２：３ の位置にあることが分かるでしょう。 No.1316 - 2008/06/26(Thu) 23:46:32 ☆ Re: HINTください / Jez-z ヨッシーさん、ありがとうございます。 No.1318 - 2008/06/27(Fri) 00:09:22

★ (No Subject) / 積分

∫3x+2/x(x+1)^2dxを計算せよ。という問題で (1)で(与式)=a/x+b/x+1+c/(x+1)^2と変形されるんですが、 係数比較しても答えがあいません。 なぜa/x+b/(x+1)^2ではないのでしょうか？ お願いします。 No.1289 - 2008/06/25(Wed) 17:49:22 ☆ Re: / 積分 すみません。 ∫(3x+2)/x(x+1)^2dxです。 No.1290 - 2008/06/25(Wed) 17:51:31 ☆ (No Subject) / ヨッシー a/x+b/x+1+c/(x+1)^2 を計算すると、分母をx(x+1)^2 としたとき 分母は (a+b)x^2+(2a+b+c)x+a となるはずです。 これを、3x+2 と係数比較して、 　a+b=0, 2a+b+c=3, a=2 から、a=2,b=-2,c=1 を得ます。 a/x+b/(x+1)^2 だと、分子が 　ax^2+(2a+b)x+a＝3x+2 で、文字が２つ、式が3つなので、特殊な場合を除いて、 解は求まりません。逆に、a/x+b/(x+1)^2 の形になるようであれば、 a/x+b/x+1+c/(x+1)^2 から求めていって、b=0 になるだけですので、 最初は、a/x+b/x+1+c/(x+1)^2 です。 No.1294 - 2008/06/25(Wed) 20:45:52 ☆ Re: / 積分 わかりました！ありがとうございます。 積分して、 与式=∫2/x-2/x+1+1/(x+1)^2dx 　　=2log|x|-2log|x+1|-1/x+1+Ｃ =logx^2/(x+1)^2-1/x+1+Ｃ でいいんでしょうか？ No.1302 - 2008/06/25(Wed) 22:39:15 ☆ (No Subject) / ヨッシー logx^2/(x+1)^2-1/(x+1)+Ｃ の方が、より正確ですが、紙の上では分かっておられると思うので、 良いでしょう。 No.1317 - 2008/06/26(Thu) 23:47:41

★ 三角関数 / りゅう

図のように、x,y,l1,l2, θ1,θ2ととります。 (1)l1,l2,θ1,θ2が与えられたとき x,yはどうなるか？ (2)x,y,l1,l2が与えられたとき　θ1,θ2はどうなるか？ と、いう問題が分かりません。教えてください宜しくお願いします。 No.1284 - 2008/06/25(Wed) 10:04:04 ☆ Re: 三角関数 / ヨッシー 太字はベクトルです。 (1) 図のように、点Ａ、点Ｐとすると、 　ＯＡ＝(l1cosθ1、l1sinθ1) 　ＡＰ＝(l2cos(θ1＋θ2)、l2sin(θ1＋θ2)) であるので、 　ＯＰ＝ＯＡ＋ＡＰ＝(l1cosθ1＋l2cos(θ1＋θ2)、l1sinθ1＋l2sin(θ1＋θ2)) よって、 　ｘ＝l1cosθ1＋l2cos(θ1＋θ2) 　ｙ＝l1sinθ1＋l2sin(θ1＋θ2) (2) は逆三角関数を使いますが、良いですか？ No.1287 - 2008/06/25(Wed) 17:34:05 ☆ Re: 三角関数 / りゅう よっしーさんありがとうございます。 大丈夫です〜！！ 逆三角関数使ってよいので、教えてください！！！ No.1288 - 2008/06/25(Wed) 17:43:58 ☆ Re: 三角関数 / ヨッシー l3＝√(x^2+y^2) とおき、∠ＰＯＡ＝θ3 とおくと、 　cosθ3＝(l12＋l32−l22)/２・l1・l3 より、 　θ3＝acos{(l12＋l32−l22)/２・l1・l3} また、線分ＯＰとｘ軸のなす角θ4は、 　tanθ4＝y/x より、 　θ4＝atan(y/x) で表せます。よって、 　θ1＝θ4−θ3＝atan(y/x)−acos{(l12＋x2+y2−l22)/２・l1・√(x^2+y^2)} 一方、∠ＰＡＯ について、 　cos∠ＰＡＯ＝(l12＋l22−l32)/２・l1・l2 より、 　∠ＰＡＯ＝acos{(l12＋l22−l32)/２・l1・l2} θ2はその補角なので、 　θ2＝π−θ4＝π−acos{(l12＋l22−x2−y2)/２・l1・l2} No.1306 - 2008/06/26(Thu) 00:17:46 ☆ Re: 三角関数 / りゅう よっしーさんありがとうございました。 逆三角関数を使うとは、おもってもみませんでした＾＾； よく分かりました！！ No.1307 - 2008/06/26(Thu) 00:26:01

★ 確率 / √

よろしくお願い致します。 箱の中に［○●●］合計３個の、玉が入っています。 （○は当たり　・　●はハズレ） 誰が引いても、○が出る確率は「１／３」ですよね？ ここで、 ３人が順番に、１つづつ、引いていきます。 １番目の人が、引いたら●でした。 すると ２番目の人が、○を引く確率が 「１／３」から「１／２」に上がった。と考えるのは間違いですよね？？？ 私は次のように考えました。 １番目の人が、○を引く確率は「１／３」 ２番目の人が、○を引くには、１番目の人が、●を引かなければならないので、 【計算は】 「２／３」ｘ「１／２」＝「１／３」 ３番目の人が、○を引くには、１番目、２番目の人が共に●を引かなければならないので、 【計算は】 「２／３」ｘ「１／２」ｘ「１／１」＝「１／３」 だから、 ○を引く確率は、誰もが平等に「１／３」なので、 たとえ、 １番目の人が、●を引いたからといって、 ２番目の人は、喜ぶのは間違い。 この考え方で、合ってますでしょうか？ No.1276 - 2008/06/24(Tue) 23:48:02 ☆ Re: 確率 / らすかる ＞１番目の人が、引いたら●でした。 ＞すると ＞２番目の人が、○を引く確率が ＞「１／３」から「１／２」に上がった。と考えるのは間違いですよね？？？ 間違いではありません。 「１番目の人が引いて●だった」という結果が出た後なら、１／２に上がります。 よって ＞だから、 ＞○を引く確率は、誰もが平等に「１／３」なので、 これは合っていますが、 ＞たとえ、 ＞１番目の人が、●を引いたからといって、 ＞２番目の人は、喜ぶのは間違い。 ＞ ＞この考え方で、合ってますでしょうか？ これは合っていません。 No.1277 - 2008/06/24(Tue) 23:51:07 ☆ Re: 確率 / √ らすかるさん　 早速のお返事有り難うございます。 > 「１番目の人が引いて●だった」という結果が出た後なら、１／２に上がります。 すると、 前の人の「結果を見てから引く」のと「結果を見ないで引く」のでは、確率が変わってしまうということですか？ 「引く順番」が関係してくると、３人が平等で無くなってしまうようにも思えるのですが。 でも現実では、 １番目の人が●を引いたら、 ２番目・３番目の人は喜ぶというのも事実ですが。 もう少し考えてみます。 取り急ぎ、有り難うございました。 No.1278 - 2008/06/25(Wed) 00:19:40 ☆ Re: 確率 / らすかる ＞すると、 ＞前の人の「結果を見てから引く」のと「結果を見ないで引く」のでは、 ＞確率が変わってしまうということですか？ そうです。確率は、条件が変われば変わって当然です。 例えば「前の人が○を引いたのがわかっていても、後の人が残念に思うのは間違い」 ということはないですよね。 前の人が○を引いたのがわかっていたら、後の人は○は引けませんから残念に決まってます。 No.1280 - 2008/06/25(Wed) 00:37:44 ☆ Re: 確率 / √ らすかるさん 昨日からお世話になっております。 有り難うございます。 この問題は、映画「ラスベガスをぶっつぶせ」を見て思いついたのですが、 少し言い方を変えてみます。 では、 【３人（全員）が引き終わった後という条件で】 ?@「せーの」で３人同時に手を開く。 ?A１人づつ、順番に手を開いていく。 この場合は、?@も?Aも、３人は平等に、○の確率は「１／３」ですよね？ すると、 【今度は、まだ１番目の人しか引いてない時】 １番目の人が玉を引いて、その結果を２番目の人に「見せる」か「見せない」で、２番目の人の確率が変ってしまうのは変な気もするのですが。 たとえば、 １番目の人が、●だったという結果を、 ２番目の人に 「見せた」時は、○を引く確率は「１／２」 では、 「見せなかった」時は、○を引く確率は「１／３」 ということになってしまうのでしょうか？ 本当は、上記の【３人全員が引き終わった後の条件】と結果的には同じでなくては　おかしいような気もするのですが。 私の表現の仕方がうまくないのですが、 私は、もともと、どこの部分を勘違いしているのでしょうか？？？ No.1285 - 2008/06/25(Wed) 12:51:28 ☆ Re: 確率 / rtz ＞【３人（全員）が引き終わった後という条件で】 ＞この場合は、(1)も(2)も、３人は平等に、 ＞○の確率は「１／３」ですよね？ (1)は正しいですが、(2)はどの時点で言ってるかどうかで違いが出るでしょう。 全員が開く前なら1/3ですが。 ＞上記の【３人全員が引き終わった後の条件】と ＞結果的には同じでなくては　 ＞おかしいような気もするのですが。 与えられた情報によって、考えられる確率は変わります。 極端な話、100人でくじ引き(当たり1つだけ)をして、 みんなが引いてまだ見ていない段階では当たりの確率は全員等しく1/100ですが、 みんなが引いて99人が見てはずれなら、残る1人が当たりの確率は1です。 No.1286 - 2008/06/25(Wed) 16:32:58 ☆ Re: 確率 / ToDa@修正しまくり。 ちょうど私も、同じような質問を高校生から受けました。 >私は、もともと、どこの部分を勘違いしているのでしょうか？？？ 現実の事象と確率空間を混同しているところにあるのでは。 以下の主張に反論はできますか？ 「玉を引いてまだその色を見ていない時点でも、手の中の玉の色は●なら●、○なら○とその時点で既に決まっていて、もう一方の色である可能性は皆無なのだから、そもそも誰の引いた玉がどの色であるかなどという確率を論じることが不合理だ」 No.1292 - 2008/06/25(Wed) 20:03:12 ☆ Re: 確率 / らすかる ＞たとえば、 ＞１番目の人が、●だったという結果を、 ＞２番目の人に ＞「見せた」時は、○を引く確率は「１／２」 ＞では、 ＞「見せなかった」時は、○を引く確率は「１／３」 ＞ということになってしまうのでしょうか？ 「１番目の人が●を引いた」という結果を知っている人にとっては １番目の確率が０、２番目と３番目の○の確率が１／２ずつ … (1) 「１番目の人が●を引いた」という結果を知らない人にとっては １番目、２番目、３番目の○の確率が１／３ずつ … (2) です。 「見せた」「見せない」というよりは、「知っているかどうか」です。 つまり、結果を誰にも見せない場合でも 　１番目の人にとっては (1) 　他の人にとっては (2) となります。 No.1297 - 2008/06/25(Wed) 21:12:23 ☆ Re: 確率 / らすかる 補足 １番目の人が●を引いたということを公表したとしますよね。 その場合、「１番目の人の○の確率は0」というのはよろしいでしょうか？ これでもし２番目と３番目の人の確率が1/3ずつだとしたら、 確率の合計が2/3になってしまっておかしいですね。 No.1298 - 2008/06/25(Wed) 21:17:56 ☆ Re: 確率 / √ お返事遅くなりました。 ★ｒｔｚさん 有り難うございます。 ｒｔｚさんの書かれた内容自体は理解できました。 ★ＴｏＤａ＠修正しまくり。さん 有り難うございます。 > 現実の事象と確率空間を混同しているところにあるのでは。 『数学的確率』は、どんな場合でも変化なく「１／３」 ただ、前に引いた人の結果を知ってしまった時に、心の中で ラッキー　ｏｒ　アンラッキー　と思うだけ。だと考えたのですが。 > 以下の主張に反論はできますか？ > > 「玉を引いてまだその色を見ていない時点でも、手の中の玉の色は●なら●、○なら○とその時点で既に決まっていて、もう一方の色である可能性は皆無なのだから、そもそも誰の引いた玉がどの色であるかなどという確率を論じることが不合理だ」 反論はできません。ごもっとも。 自分が玉を引いた時点で自分の結果が決まる。 「１／２」に上がっただの「１／３」のままだの、 論じること自体、不合理だということですね。 内容自体は理解できました。 ★らすかるさん 昨日から有り難うございます。 らすかるさんの、おっしゃりたいことも理解できました。 皆様の、それぞれのご回答は、それなりに納得しました。 自分の中では、少し、あやふやなのですが、あやふやのままでもいいかなと思います。 有り難うございました。 No.1300 - 2008/06/25(Wed) 22:24:51

★ (No Subject) / m　高校２
数学Ｂの数列で 第ｎ項がｎ^２−３ｎで表される数列の階差数列はどのような数列か。 答え：初項０、公差２の等差数列 という問いなのですが、どのように解いていけばよいのか分かりません。教えてください宜しくお願いします。 No.1275 - 2008/06/24(Tue) 23:38:17 ☆ (No Subject) / らすかる 第n+1項と第n項の差をとれば {(n+1)^2-3(n+1)}-(n^2-3n) =2n-2 ですから、初項0、公差2の等差数列ですね。 No.1281 - 2008/06/25(Wed) 00:41:07 ☆ Re: / m　高校２ なるほど！分かりました！ ありがとうございます！！ No.1291 - 2008/06/25(Wed) 19:31:55

★ もう１題あるのですが / ひろ

0＜a＜1のとき、loga(x-a)≧2loga3(x-a)を満たすxの範囲を求めよ。 すみません。皆様、宜しくお願いします。 No.1273 - 2008/06/24(Tue) 22:59:21 ☆ Re: もう１題あるのですが / とん 真数条件 　　ｘ＞ａ・・・・・・?@ loga(x-a)≧2loga3(x-a)より loga(x-a)≧loga｛3(x-a)｝＾２ 0＜a＜1 より ｘ−ａ≦｛3(x-a)｝＾２ ｘ−ａ≦９ｘ＾２−１８ａｘ＋９ａ＾２ ９ｘ＾２−（１８ａ＋１）ｘ＋９ａ＾２＋ａ≧０ たすきがけで （ｘ−ａ）（９ｘ−９ａ−１）≧０ 　ｘ≦ａ，（９ａ＋１）／９　≦ｘ　・・・・・?A ?@と?Aの共通範囲を求めればいいのでは？ No.1283 - 2008/06/25(Wed) 04:35:32 ☆ Re: もう１題あるのですが / ひろ ありがとうございます！ 感謝です！！ No.1311 - 2008/06/26(Thu) 23:06:06

★ 中学生でもわかるように / ひろ

教えていただけますでしょうか？ 2・3＋3・5＋4・7＋・・・・＋(n+1)(2n+1)の和 宜しくお願いします。 No.1272 - 2008/06/24(Tue) 22:53:03 ☆ Re: 中学生でもわかるように / らすかる 中学生でわかるかどうかはわかりませんが… (n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1 をうまく差で表します。 (n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1 から (2/3){(n+1)^3-n^3}=2n^2+2n+2/3 (2n^2+3n+1)-(2n^2+2n+2/3)=n+1/3 (n+1)^2-n^2=2n+1 から (1/2){(n+1)^2-n^2}=n+1/2 (n+1/3)-(n+1/2)=-1/6 (n+1)-n=1 から (-1/6){(n+1)-n}=-1/6 (-1/6)-(-1/6)=0 よって (n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1 =(2n^2+2n+2/3)+(n+1/2)+(-1/6) =(2/3){(n+1)^3-n^3}+(1/2){(n+1)^2-n^2}+(-1/6){(n+1)-n} ={(2/3)(n+1)^3+(1/2)(n+1)^2-(1/6)(n+1)}-{(2/3)n^3+(1/2)n^2-(1/6)n} つまり n=1 → 2・3={(2/3)2^3+(1/2)2^2-(1/6)2}-{(2/3)1^3+(1/2)1^2-(1/6)1} n=2 → 3・5={(2/3)3^3+(1/2)3^2-(1/6)3}-{(2/3)2^3+(1/2)2^2-(1/6)2} のように表せるので 2・3+3・5+4・7+…+(n+1)(2n+1) ={(2/3)2^3+(1/2)2^2-(1/6)2}-{(2/3)1^3+(1/2)1^2-(1/6)1} +{(2/3)3^3+(1/2)3^2-(1/6)3}-{(2/3)2^3+(1/2)2^2-(1/6)2} +{(2/3)4^3+(1/2)4^2-(1/6)4}-{(2/3)3^3+(1/2)3^2-(1/6)3} +・・・ +{(2/3)(n+1)^3+(1/2)(n+1)^2-(1/6)(n+1)}-{(2/3)n^3+(1/2)n^2-(1/6)n} ={(2/3)(n+1)^3+(1/2)(n+1)^2-(1/6)(n+1)}-{(2/3)1^3+(1/2)1^2-(1/6)1} ={4(n+1)^3+3(n+1)^2-(n+1)}/6-(4+3-1)/6 =(4n^3+15n^2+17n+6)/6-1 =n(4n^2+15n+17)/6 No.1279 - 2008/06/25(Wed) 00:33:57 ☆ Re: 中学生でもわかるように / らすかる 技巧的な方法としては 2・3+3・5+4・7+…+(n+1)(2n+1) =2・1+3・1+4・1+…+(n+1)・1 +2・1+3・2+4・3+…+(n+1)・n +2・1+3・2+4・3+…+(n+1)・n と分けて 2・1+3・1+4・1+…+(n+1)・1 =2+3+4+…+(n+1) =n{2+(n+1)}/2=n(n+3)/2 2・1+3・2+4・3+…+(n+1)・n =(1/3){1・2・3+2・3・3+3・4・3+…+n・(n+1)・3} =(1/3){1・2・(3-0)+2・3・(4-1)+3・4・(5-2)+…+n・(n+1)・{(n+2)-(n-1)}} =(1/3){(1・2・3-0・1・2)+(2・3・4-1・2・3)+(3・4・5-2・3・4)+… 　　　　+{n・(n+1)・(n+2)-(n-1)・n・(n+1)}} =(1/3){n・(n+1)・(n+2)} =n(n+1)(n+2)/3 よって 2・3+3・5+4・7+…+(n+1)(2n+1) =n(n+3)/2+2{n(n+1)(n+2)/3} =n(4n^2+15n+17)/6 No.1282 - 2008/06/25(Wed) 01:39:19 ☆ Re: 中学生でもわかるように / ひろ 大変参考になりました。 ありがとうございました。 No.1312 - 2008/06/26(Thu) 23:06:45

★ 項の係数 / ゆっち　（高１）
(χ−２ｙ＋ｚ^２）^７におけるχ^２ｙ^３ｚ^４ を　教えてください 答えはー１６８０です No.1271 - 2008/06/24(Tue) 20:56:26 ☆ Re: 項の係数 / 魑魅魍魎 ヒントです。 (a+b+c)^n の一般項は {n!/(p!q!r!)}(a^p)(b^q)(c^r) 今回の場合 (χ−２ｙ＋ｚ^２）^７ なので {7!/(p!q!r!)}(x^p)((-2y)^q)((z^2)^r) χ^２ｙ^３ｚ^４ から p=2 q=3 r=2 No.1274 - 2008/06/24(Tue) 23:16:08

★ 極限 / りょう

たびたびすいません・・・。 lim[n→∞](1+1/(n+1))^n lim[n→∞](1-1/(n^2))^n lim[x→0](1+x+x^2)^1/x lim[x→0]x^2*sin(1/x)/sinx という問題が分かりません。教えてください。 No.1264 - 2008/06/24(Tue) 16:23:28 ☆ Re: 極限 / りょう すいません。訂正です 最初の問題の１+１/n+１ではなく、１-１/n+１です。 No.1265 - 2008/06/24(Tue) 16:40:21 ☆ Re: 極限 / 豆 無理やり作りたい形に持っていく 1番　(1-1/(n+1))^n=((n/(n+1))^(-n))^(-1)=((1+1/n)^n)^(-1) 2,3番も類似形 4番　=(x/sinx)・x・sin(1/x) 3つの積ですが、各々はどうなりますか？ No.1267 - 2008/06/24(Tue) 16:48:42 ☆ Re: 極限 / りょう 1と3は出来ました。 2は全く分かりません。 4はx/sinx*sin(1/x)/(1/x)となるのは分かるんですが、最後はsin(1/x)/(1/x)は０になるのでしょうか？？ No.1268 - 2008/06/24(Tue) 17:14:19 ☆ Re: 極限 / 豆 ただ、意味もなく変形しても何にもなりません。 (x/sinx)・x・sin(1/x)としているのを、 何が目的でsin(1/x)/(1/x)などと意味のない変形を？？？ x/sinx→1　　x→0　　|sin(1/x)|≦1です (x/sinxはもちろん意味があります) (1-1/(n^2))^n=((n^2-1)/n^2)^n n^2-1=m^2と置きましょう　 =(m^2/(m^2+1))^((-m^2)・(-n/m^2))　　(1番でもこうやっています) =((1+1/m^2)^(m^2))^(-n/m^2) No.1269 - 2008/06/24(Tue) 17:46:23 ☆ Re: 極限 / りょう なるほど！！！ 豆さんありがとうございました！！ No.1270 - 2008/06/24(Tue) 18:45:16

★ 微分・積分 / りょう
方程式:e^x-3x=0は0と1の間、また1と2の間に解をもつことを示せ。 と、いう問題が分かりません。教えてください。 No.1260 - 2008/06/24(Tue) 14:41:38 ☆ Re: 微分・積分 / 魑魅魍魎 y=e^x-3xのグラフを描いてみると分かると思います。 No.1262 - 2008/06/24(Tue) 15:37:35 ☆ Re: 微分・積分 / りょう 中間値の定理も使ってできそうです。ありがとうございました！！ No.1263 - 2008/06/24(Tue) 16:08:39

★ 微分の問題 / ケンタ
y＝(1＋1/x)^xの微分はどうなりますか？ 自分でやったらy'＝(1＋1/x)^2{log(1＋1/x)＋x^2/(x＋1)}となったんですが、不安です。 No.1259 - 2008/06/24(Tue) 14:27:37 ☆ Re: 微分の問題 / 魑魅魍魎 y´＝(1＋1/x)^２{log(1＋1/x)＋x^2/(x＋1)} 　　　　　　　↑ここが2ではなくx ですね。 No.1261 - 2008/06/24(Tue) 15:32:42

★ 複素数と方程式 / いさみ

３次式　f(x)=x^3+px+q=0 が複素数 a+i　を解に持つという。ただし、p,q,aは実数で i=√-1とする。 　f(x)=0 の a+i 以外の解を a で表せ。 です。よろしくお願い致します。 No.1253 - 2008/06/22(Sun) 22:57:44 ☆ Re: 複素数と方程式 / ヨッシー ３次関数のグラフを思い浮かべてもらうと分かりますが、 ｘ^3 の係数が正の場合、 のように、マイナスの方から上がってきて、くねくねと曲がって、 プラスの方に去っていきます。 ですから、実数解を少なくとも１つ持ちます。それをｘ＝αとすると、 　f(x)＝(ｘ−α)(ｘ^2＋ｂｘ＋ｃ)　（ｂ、ｃは実数) と因数分解されます。f(x)＝０ の解の１つが虚数になるなら、 それは、ｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０ の解であるので、それが 　ｘ＝ａ＋ｉ であるなら、他方は　ｘ＝ａ−ｉ　です。 よって、解と係数の関係より 　ｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝ｘ^2−２ａｘ＋(ａ^2＋１) これに、(ｘ−α)を掛けて、 　(ｘ−α){ｘ^2−２ａｘ＋(ａ^2＋１)}＝ｘ^3−(２ａ＋α)ｘ^2＋(ａ^2＋１＋２ａα)ｘ−α(ａ^2＋１) ここで、f(x) のｘ^2 の項がないことに注目して、 　２ａ＋α＝０ よって、 　α＝−２ａ よって、他の解は、ａ−ｉ　と　−２ａ No.1254 - 2008/06/22(Sun) 23:07:37 ☆ Re: 複素数と方程式 / いさみ どうもありがとうございました。 本当にわかりやすい解答を有り難うございます。 No.1256 - 2008/06/22(Sun) 23:49:55

★ 二次方程式 / 桜　高校2

こんばんは。 よろしくお願いいたします。 二次方程式x^2+2mx+m+2=0が異なる2つの負の解を持つとき、定数mの範囲を求めよ・ という問題がわかりません。 解説を交えて教えてくださると嬉しいです。 お願いいたします。 No.1249 - 2008/06/22(Sun) 19:16:46 ☆ Re: 二次方程式 / ヨッシー ２つの解をα、βとすると、解と係数の関係より 　α＋β＝-2m 　αβ＝m+2 α＜0、β＜0 α≠β　であることと、 α＋β＜０　かつ　αβ＜０αβ＞０　かつ　Ｄ＞０　であることは 同値であるので・・・(以下略) らすかるさん、ご指摘ありがとうございます。 No.1250 - 2008/06/22(Sun) 19:19:52 ☆ Re: 二次方程式 / らすかる αβ＜０ でなく αβ＞０ ですね。 No.1251 - 2008/06/22(Sun) 22:36:21 ☆ Re: 二次方程式 / らすかる 別解 f(x)=x^2+2mx+m+2=(x+m)^2-(m-2)(m+1) のグラフで 頂点が第３象限にありf(x)＞0であればよいので m＞0 かつ (m-2)(m+1)＞0 かつ m+2＞0 No.1252 - 2008/06/22(Sun) 22:49:32

★ 3次方程式 / 礼花　高２

xの3次式P(x)=x^3-(k+3)x^2+(3k+1)x-3(kは実数)がある。 (1)P(3)の値を求めよ。また、P(x)を因数分解せよ。 (2)3次方程式P(x)=0の値がすべて実数になるようなkの値の範囲を求めよ。また、P(x)=0の3つの解をα,β,γとするとき、α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2をkを用いて表せ。 (3)3次方程式P(x)=0の3つの解α,β,γがすべて正の数であるとき、α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2の最小値を求めよ。また、そのときのkの値を求めよ。 続けての投稿、失礼します。 この問題で(1)は解けたのですが、(2)からがどうしても解けません。2問もすみませんが、教えてください。よろしくお願いします。 No.1246 - 2008/06/22(Sun) 18:59:24 ☆ Re: 3次方程式 / ヨッシー (1) P(3)＝０ なので、P(x) は(x-3) で割り切れて、 　P(x)＝(x-3)(x^2-kx+1) と因数分解出来ます。 (2) (1) より、x^2-kx+1=0 の解が実数であればよいので、 　Ｄ＝k^2−４≧０ より、ｋ≦−２、ｋ≧２ 解の１つはｘ＝３ であり、これをαとし、 他の２つは x^2-kx+1=0 であり、それらをβ、γとします。 解と係数の関係より 　β＋γ＝ｋ、βγ＝１ 　β^2＋γ^2＝(β＋γ)^2−2βγ＝ｋ^2−２ よって、 　α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2＝α^2(β^2＋γ^2)＋(βγ)^2 　　＝３^2(ｋ^2−２)＋１ 　　＝９ｋ^2−１７ (3)αはすでに正なので、β、γの両方が正であればよい。 x^2-kx+1=0 の 解と係数の関係より 　β＋γ＝ｋ＞０　かつ　βγ＝１＞０　かつ　Ｄ＝k^2−4≧0 よって、ｋ≧２ であり、このとき、 　α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2＝９ｋ^2−１７ の最小値は９・２2−１７＝１９ No.1255 - 2008/06/22(Sun) 23:19:59 ☆ Re: 3次方程式 / rtz (2)後半は、 α^2β^2＋β^2γ^2＋γ^2α^2 ＝(αβ＋βγ＋γα)^2−2αβγ(α＋β＋γ) ＝(3k＋1)^2−2・3・(k＋3) ＝9k^2−17 でもいいかと思います。 No.1257 - 2008/06/23(Mon) 01:19:48

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