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★ 自分の解答 / Jez-z
どこが間違っているのかわからないので、教えてください。
まず、問題を書きます。
1〜9までの自然数が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。この中から1枚ずつ計n回取り出す。このとき、取り出したn枚のカードに書かれているカードの和が3の倍数である確率を求めよ。

（解答）
題意より自然数を３で割ったあまりに注目して３つに分類する。つまり、
A={3,6,9} B={2,5,8} C={1,4,7}
このとき、Aから１枚、Bから1枚、Cから１枚取り出す確率はいずれも3/9=1/3である。
また、n回後の試行後、カードに書かれている数の和が3の倍数、３で割って１余る数、３で割って２余る確率をそれぞれ
a(n),B(n),C(n)とする。（ a(n)+B(n)+C(n)=1 )
ここで、n+1回後にカードに書かれている数の和が3の倍数となるには、
(1)n回目で３の倍数、n+1回目にAから1枚取り出す
(2)n回目で3で割って1余る数、n+1回目にBから1枚取り出す。
(3)n回目で3で割って2余る数、n+1回目にCから1枚取り出す。

よって
a(n+1)=1/3{a(n)+b(n)+c(n)}
=1/3{a(n)+1-a(n)}
=1/3

となり、漸化式を立てるのに失敗してしまいました。
どなたかご教授ください
No.1233 - 2008/06/22(Sun) 16:22:36
☆ Re: 自分の解答 / ヨッシー
カードを１回１回元に戻すと解釈して良いでしょうか？

であれば、何回目でも確率は1/3 なので、
　a(n+1)＝1/3(一定)
となっても、不思議ではありません。
No.1235 - 2008/06/22(Sun) 17:04:08
☆ Re: 自分の解答 / Jez-z
だとしたら、問題として成り立ちませんよね？
元に戻さないと解釈すべきですか？

・・・これは、口頭でメモったものなのでもしかしたらそこを間違えたのかも知れません。
少なくとも、ヨッシーさんなら「元に戻さない」ととりますか？
No.1236 - 2008/06/22(Sun) 17:28:37
☆ Re: 自分の解答 / ヨッシー
普通は、戻すか戻さないか問題に指定されているので、
それに従います。

そうでない場合は、両方解いてみて、それらしい方と
解釈するしかありませんが、この問題はどうでしょう？
No.1240 - 2008/06/22(Sun) 18:09:06
☆ Re: 自分の解答 / Jez-z
自分の聞き間違いだと仮定して次のような問題を想定しても
「1〜nが書かれたカードがある。（元に戻すものとする）」
これでは、剰余類が使えず、問題が挫折してしまいますよね？
No.1244 - 2008/06/22(Sun) 18:49:51
☆ Re: 自分の解答 / ヨッシー
その場合は、ｎが９回以下に限られるので、ｎの数式にならなくとも
個別に答えを出せば良い話ですね。
　ｎ＝１　のとき　1/3
　ｎ＝２　のとき　1/3
のように。
No.1245 - 2008/06/22(Sun) 18:52:11
☆ Re: 自分の解答 / Jez-z
たぶん、出題者はnの数式になるように作りたかったのだと想像しますが、つまり、a(n+1)＝定数×a(n)
の形にもちこみたかったと考えられるのですが、この問題の設定では、どこをどう変えようとも「nの数式」
にすることは不可能でしょうか…？

（数学らしくない質問の連発ですいません）
No.1247 - 2008/06/22(Sun) 19:06:51
☆ Re: 自分の解答 / ヨッシー
ｎの数式にしようと思えば出来ます。
ｎはたかだか１から９の９個の数なので、１０次式をたてれば、
作れないことはありません。

それに、どれほどの意味があるかは別です。
No.1258 - 2008/06/23(Mon) 18:45:32
★ (No Subject) / 匿名　高1
いつもお世話になっています。

添付した画像の通りなのですが、
y=f(x)のグラフをy=αに関して対称移動すると
なぜ(x,y)が(x,2α-y)になるのでしょうか？
2α-yがよくわからないので教えて下さい。
No.1231 - 2008/06/22(Sun) 15:39:27
☆ Re: / 七
A(x，y) の y＝a に対して対称な点の座標を
A'(x，z) とすると
線分AA'の中点はy＝a上にあり，(x，a)です。
したがって
(y＋z)/2＝2
z＝2a−y
No.1232 - 2008/06/22(Sun) 15:52:39
★ 微分 / ai
y=x^3/x^3-1の極値、凹凸、変曲点を調べグラフをかけ。

この問題の場合、yだけでなくy'も調べなくてはいけない理由を教えてください。
No.1230 - 2008/06/22(Sun) 13:19:02
☆ Re: 微分 / ヨッシー
y' どころか y" も調べないといけません。

y' は、関数の増減は分かりますが、凹凸は分かりません。
たとえば、
　ｙ＝ｘ^2
のグラフのｘ＞０ の部分と、
　ｙ＝−ｘ^2
のグラフの ｘ＜０ の部分とでは、両方単調増加ですが、
前者は下に凸、後者は上に凸で、凹凸が違います。
これは、ｙ”を調べないと分かりません。
No.1234 - 2008/06/22(Sun) 16:51:13
★ (No Subject) / zambatra
以下の問題が分からないので分かる方がいれば教えてください

ある円が台形ＡＢＣＤに内接している。いま、K,L,M,Nを対角線AC,BDと円との交点とする（ただし、KはAとLの間、MはBとNの間にあるものとする）。AK･LC=16、BM・ND=9/4であるとき、円の半径を求めよ.
No.1227 - 2008/06/21(Sat) 22:08:27
★ ベクトルその２ / Kay（高１女子）
何度もすみません。ベクトル２題目です。
よろしくお願いします。
No.1215 - 2008/06/21(Sat) 13:07:15
☆ Re: ベクトルその２ / 七
とりあえず
○2の式は間違っています。
ベクトルを省略すると

OP＝m･3OA＋n･2OB

です
OP' にも見えるのですが
OP'であるのならばP'の説明が必要です。
No.1218 - 2008/06/21(Sat) 14:11:08
☆ Re: ベクトルその２ / 七
面積についてはあっていますから省略します。
No.1221 - 2008/06/21(Sat) 17:14:03
★ ベクトル / Kay（高１女子）
ファイルを添付できなかったのでもう一度投稿します。
No.1214 - 2008/06/21(Sat) 13:01:55
☆ Re: ベクトル / 七
A，Bの位置関係がKayさんの図と逆になっていますが
α≧0，β≧0の条件がありませんから
Pの存在範囲は図の青斜線部だと思います。
No.1222 - 2008/06/21(Sat) 17:45:52
☆ Re: ベクトル / Kay
七さんへ
御礼遅くなりすみません。ありがとうございました。
No.1419 - 2008/07/05(Sat) 06:19:00
★ ベクトルその１ / Kay（高１女子）
次の２題よろしくお願いします。

一応自力で解答し、答えも合っているのですが、模範解答と
途中経過が異なり、これでいいのかがよく分かりません。

客観的に第三者の目から見てどこがどうおかしいか、足りないかなどアドバイスをお願いします。
No.1213 - 2008/06/21(Sat) 12:57:54
★ 四面体 / pon
正四面体ABCDの側面の三角形ABCの内部及び周上の動点Pから面ABDに垂線PQを下ろし、Qから面BCDに垂線QRを下ろすとき、三角形PQRの面積を最大にする点Pの位置を求めよ。

ベクトルを使おうとしたんですけど、いまいちよく分かりませんでした・・・どなたか、よろしくお願いします！！
No.1204 - 2008/06/21(Sat) 00:02:20
☆ Re: 四面体 / ヨッシー

正四面体の１辺を６とすると、１つの正三角形の高さは3√3となります。
この正四面体を、ＢＤが重なって見える方向から見て、
図の左のような三角形を考えると、底辺3√3 に対して、高さは
2√6 になります。

今、図の方向は、△ＰＱＲの面積が、そのまま現れる方向です。
各ＰＱＲは一定なので、ＰＱ×ＱＲが最大になるところを見つけます。
今、右図において、ＢＱ：ＱＡ＝（１−ｓ）：ｓ とします。
このとき、
　ＱＲ＝(1-s)2√6
　ＱＰ＝(3s/2)2√6
となり、これらの積は、
　36s(1-s)
となり、ｓ＝1/2 のときに最大になります。

このとき、ＡＰ：ＰＣ＝(1/2)：(1/6)＝3:1　より、
ＡＣを３：１に内分する点になります。
No.1207 - 2008/06/21(Sat) 00:35:35
☆ Re: 四面体 / pon
ありがとうございます！！！
でもＱＰの出し方がよく分からないんですが・・・
どうすればよいのでしょうか？
No.1209 - 2008/06/21(Sat) 02:26:30
☆ Re: 四面体 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
横から失礼します。
ヨッシーさんの上の左の図において、ＣからＡＢ(D)への垂線の足をＨとします。

すると ＡＨ＝2√3　またＡＱ＝3√3×ｓ＝3√3ｓ
∴ ＡＨ：ＡＱ＝2√3：3√3ｓ＝2：3ｓ
△ＣＡＨ∽△ＰＡＱだから
ＰＱ＝ＣＨ×(ＡＱ/ＡＨ)＝2√6×(3ｓ/2)

と導かれますね。
No.1210 - 2008/06/21(Sat) 10:51:52
☆ Re: 四面体 / pon
理解できました。ありがとうございました！！
No.1223 - 2008/06/21(Sat) 18:23:47
★ (No Subject) / 匿名　高1
2次関数の問題でわからないものがありました。

(1)放物線y=x^2-2x-3を原点に関して対称移動したのち、
　x軸方向に平行移動したもので、点(-1,0)を通る放物線の
　方程式を求めなさい。

　原点に対して対称移動した放物線の方程式は
　あっているかわかりませんがy=-x^2-2x+3と出ました。
　これを求めたあとはどうすればいいのでしょうか？


(2)放物線y=x^2を平行移動して、2点(1,1),(2,3)を
　通るようにした放物線の方程式を求めなさい。

　これは解き方が全くわかりません。


2問よろしくお願いします。
No.1203 - 2008/06/20(Fri) 23:43:24
☆ Re: (No Subject) / hari
対称移動まではＯＫです。

y = - (x + 1)^2 + 4
と変形してから
y = - (x + a)^2 + 4
軸をaとおいてx軸方向の平行移動を考えます。
(-1, 0)を通るようにaを定めればＯＫです。


(2)
y = x^2 + bx + cにその2点を代入すればb, cが求まります。
No.1206 - 2008/06/21(Sat) 00:28:54
☆ Re: / 匿名　高1
お返事ありがとうございます。
解き方がよくわかりました！
あとは自分で何回も解いてみようと思います。
本当にありがとうございました★
No.1228 - 2008/06/21(Sat) 22:39:47
★ 無限級数の証明 / 白梅
こんばんは。前回は大変お世話になりました。
また質問させて下さい。

高校３年生の問題です。

無限級数Σ（n＝１から無限大）ａnが収束するならば、
lim（n→無限大）ａn＝０である。
この定理の逆は成立しない事を証明せよ。

解答としては　Σ（n＝１から無限大）ａn＝βとすると、
「ａn＝Σ（K＝１からn）ａKーΣ（K＝１からn−１まで）ａK→βーβ＝０（n＝無限大）」
とありました。

定理の逆が成り立たないような
反例を具体的に考える事が出来ず、
上記のカギ括弧の内容がよく分かりません。
もし、他の方法で証明できるのなら、
教えていただけませんでしょうか？

よろしくお願いします。
No.1200 - 2008/06/20(Fri) 23:14:58
☆ Re: 無限級数の証明 / らすかる
有名な反例は a[n]=1/n
No.1201 - 2008/06/20(Fri) 23:20:50
☆ 考え直してみます / 白梅
深夜にも関わらず、素早い回答本当にありがとうございます。
ａn＝１／n、盲点でした。
自分なりにもう１度試行錯誤して考え直してみます。
ありがとうございます＾＾
No.1205 - 2008/06/21(Sat) 00:08:07
☆ Re: 無限級数の証明 / 0
鉤括弧内
> a_n = Σ_[k=1,...,n]a_k - Σ_[k=1,...,n-1]a_k → β - β = 0 (as n → ∞）
は問題の前半として書かれている定理
> 無限級数 Σ_[n=1,...]a_n が収束するならば lim_[n→∞]a_n = 0 である
の証明文なので、問題の後半（定理の逆における反例）を考えても
> 上記のカギ括弧の内容がよく分かりません
の解決には繋がらないと思うのだけども。

第 n-項までの部分和 S_n を使って第 n-項を a_n = S_n - S_[n-1] と表すのはよくやるテクニックで、「級数の収束」というのが S_n → β, S_[n-1] → β であることを必要とするので、それで当該の定理が証明できるという仕組み。
No.1211 - 2008/06/21(Sat) 12:22:43
☆ なるほど / 白梅
数列の基本をもう一度振り返ると確かに０様の
仰る通りです。ようやく問題の内容が理解できました＾＾

らすかる様、０様、本当にありがとうございました＾＾
No.1220 - 2008/06/21(Sat) 16:08:53
★ (No Subject) / ＴＯ

平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、対角線ＢＤを３：４に内分する点をＥとし、点Ｆは辺ＣＤの延長上にあり、ＣＤ＝３ＤＦを満たし、直線ＡＥと直線ＣＤの交点をＧとする。
ﾍﾞｸﾄﾙＡＢ＝ﾍﾞｸﾄﾙｂ、
ﾍﾞｸﾄﾙＡＤ＝ﾍﾞｸﾄﾙｄとおく。
ﾍﾞｸﾄﾙＡＧをﾍﾞｸﾄﾙｂ、ﾍﾞｸﾄﾙｄを用いて表せ。


この前の問題でﾍﾞｸﾄﾙＡＥ、ﾍﾞｸﾄﾙＡＦは求めたんですが…。よろしくお願いしますっ！
No.1199 - 2008/06/20(Fri) 23:03:47
☆ (No Subject) / ヨッシー

点Ｆは、この問題には関係ないので、省きます。
ＡＢ：ＤＧ＝ＢＥ：ＥＤ＝３：４
より、ＤＧ＝(4/3)ＡＢ
よって、
　ＡＧ＝ＡＤ＋ＤＧ＝ｄ＋(4/3)ｂ
No.1202 - 2008/06/20(Fri) 23:34:50
☆ Re: (No Subject) / ＴＯ
ありがとうございましたm(_ _)m
No.1208 - 2008/06/21(Sat) 02:09:50
★ (No Subject) / １年　ＫＴ
平面上のある点Ｐ(x,y)をｘ軸について対称な点に移し、さらに３０度回転させたところ、もとの点に一致した。このときのｘとｙはどのような関係か。
自分では、ｘ軸に対称な点は(x,-y)それを３０度回転した座標は(√3/2x+1/2y,1/2x-√3/2y)　まで解きました。

高校の範囲ではないかもしれませんがよろしくお願いします。
No.1196 - 2008/06/20(Fri) 20:30:29
☆ Re: / 七
x＝√3/2x+1/2y,またはy＝1/2x-√3/2y
を簡単にすればいいですね。

念のため tan15°＝2−√3 です。
No.1197 - 2008/06/20(Fri) 21:16:06
☆ Re: / ＫＴ
連日方程式を作ればよかったんですね
ありがとうございます
No.1212 - 2008/06/21(Sat) 12:34:49
☆ Re: / 七
連立ではありませんよ。
どちらの式も
y＝(2−√3)x
になります。
No.1217 - 2008/06/21(Sat) 14:00:49
☆ Re: / ＫＴ
それからtan15ﾟを使うんですよね

度々ありがとうございます
No.1224 - 2008/06/21(Sat) 19:32:26
☆ Re: / 七
使うわけではありません。
y＝(2−√3)x=xtan15°
だから
あってるなと思うだけです。
No.1225 - 2008/06/21(Sat) 20:40:33
☆ Re: / ＫＴ
おかげさまで課題が終わりそうです
どうも本当にありがとうございました
No.1226 - 2008/06/21(Sat) 20:51:25
★ 円の方程式 / 礼花　高２
いつもお世話になります。
点(1,-3)に関して、円x^2+y^2=1と対称な円の方程式を求めよ。

この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。
No.1191 - 2008/06/19(Thu) 23:37:21
☆ Re: 円の方程式 / にょろ
少し解説しやすいように回りくどい方法でいきます。
まず点(1,-3)（以下P）を原点に持って行きます。
つまり、X=x-1,Y=y+3という座標系を作ります。
これで、点PはXY座標の原点にきました。
（x,yに代入してみてください）

x=X+1,y=Y-3なので
円は(X+1)²+(Y-3)²=1になります。
つまり中心は(-1,3)にきます。
これを、原点に対称移動させて

中心(1,-3)半径1の円が求める円です。
つまり、(X-1)²+(Y+3)²=1
これにX=x-1,Y=y+3を代入すれば終了です。

一応二つの円を…
No.1193 - 2008/06/20(Fri) 00:00:45
☆ Re: 円の方程式 / hari
(解法1)
半径は1とわかっているから、あとは中心を求めればいい。
今回は単に基準点を二倍した(2, -6)が中心となります。

(解法2)
x2 + y2 = 1上の点を(X, Y)、対称な円上の点を(x, y)とします。
基準点は中点だから(X, Y)と(x, y)の中点は(1, -3)です。
(X + x)/2 = 1, (Y + y)/2 = -3
をX2 + Y2 = 1に代入してX, Yを消去すれば求まります。
No.1195 - 2008/06/20(Fri) 00:26:23
☆ Re: 円の方程式 / 礼花　高２
お二方の詳しい解説のおかげさまで、理解できました♪
にょろ様、hari様、詳しく解説してくださって本当に本当にありがとうございました。
No.1238 - 2008/06/22(Sun) 18:03:08
★ (No Subject) / テスト間近の高一……
高一の数?Tの不等式の問題です。

?@3≦x≦a
を満たす整数xが3個あるような定数aの値の範囲をもとめよ。
答え　5≦a＜6

?A家から1000?b離れた駅までいくのに,はじめ分速60?bで歩き,途中から分速80?bに速度を増した。出発してから15分以内に駅に着くためには,分速80?bで歩く道のりを何?b以上にすればよいか。

答え　400?b以上

?B花子の父の年齢は現在49歳で,花子の年齢の3倍を上まわる。しかし,1年後には花子の年齢の3倍が父の年齢を上まわるという。花子は現在何歳であるか。

答え　16歳
No.1189 - 2008/06/19(Thu) 23:35:03
☆ Re: / テスト間近の高一……
わからないので教えて下さい。
よろしくお願いします＾＾
No.1190 - 2008/06/19(Thu) 23:35:57
☆ Re: / にょろ
(1)

整数xは3,4,5より
5≦a＜6

(2)
分速60?bで歩く時間をxとおくと
60(m/min)x(min)+80(m/min)y(min)=1000(m)
x+y<15(min)
で出てくるxの範囲
()内は単位（minは分）

（３）

花子の年齢をxとすると


3x<49

3(x+1)>50
(∵一年たてば花子も父親も年齢が一つあがるから)

を解く
これぐらいは自分で
No.1192 - 2008/06/19(Thu) 23:51:35
☆ (No Subject) / ヨッシー
(1)答えの通りです。
整数ｘとしては３，４，５ の３つがこの範囲に含まれる状態に
すればいいことになります。
ｘ≦ａ なので、ａが５より少しでも小さいと、ｘ＝５ が含まれません。
ａ＝５ だと、ｘ＝５ が含まれます。
また、６まで行ってしまうと、ｘ＝６ まで含まれるので、
ａは６よりわずかでも小さい必要があります。

(2)
８０ｍ/分でｘｍ歩き、６０ｍ/分で1000−ｘｍ歩いたとすると、
かかる時間について、
　ｘ/８０＋(1000−ｘ)/６０≦１５
となればいいので、これを解いて　ｘ≧400

(3)
現在の花子の年齢をｘ歳とすると、条件より
　３ｘ＜４９
　３（ｘ＋１）＞５０
これを同時に満たす整数ｘは、１６。
No.1194 - 2008/06/20(Fri) 00:02:46
☆ Re: / テスト間近の高一……
有難う御座いました＾＾
No.1229 - 2008/06/21(Sat) 22:50:59
★ (No Subject) / 空
aは定数でa>0とする。
曲線y=ax(1-x)とx軸で囲まれる部分の面積が
曲線y=x^2で2等分されるとき、
定数aの値を求めよ。


曲線y=ax(1-x)とx軸の､
交点x=0,1
面積a/6
と求めたのですが
その後が分かりません。
よろしくお願いします。
No.1177 - 2008/06/18(Wed) 21:14:28
☆ (No Subject) / ヨッシー
y=ax(1-x) と y=x^2 とで囲まれた部分の面積は、
ｙ＝ax(1-x)-x^2 とｘ軸とで囲まれた部分の面積と等しいです。
　ｙ＝-(a+1)x^2＋ax
より、交点のｘ座標は
　ｘ＝０、a/(a+1)
これとｘ軸とで囲まれた部分の面積は、こちらの公式より
　Ｓ＝(a+1){a/(a+1)}^3/6
これがa/12 になるので、
　a^3/{6(a+1)^2}＝a/12
これを解いて、
　ａ＝１±√2
ａ＞０ より　ａ＝１＋√2
No.1182 - 2008/06/18(Wed) 23:47:14
☆ Re: / 空
分かりました！
ありがとうございます。
No.1188 - 2008/06/19(Thu) 18:39:04
★ 微分 / 高３
f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6axの0≦x≦1における最大値最小値およびxの値を求めよ。

f'(x)=0のときx=1,a

でとまってしまいました。お願いします
No.1174 - 2008/06/18(Wed) 18:29:26
☆ Re: 微分 / ヨッシー
まず、ｘ＝１とｘ＝ａ で極値を持ちます。

ａの１との大小関係によって、上のような場合があります。
(1)ａ≧１のとき
　f(0)が最小、f(1) が最大
(2)０＜ａ＜１のとき
　f(a) が最大、f(0)とf(1) の大きくない方が最小。
(3)ａ≧１のとき
　f(1)が最小、f(0) が最大
となります。
No.1175 - 2008/06/18(Wed) 20:22:06
☆ Re: 微分 / ヨッシー
ａ＝１ のときは、極値とはなりませんが、単調増加なので、
(1)と同様、f(0)が最小、f(1) が最大　です。
No.1176 - 2008/06/18(Wed) 20:23:24
★ 不等式の問題です / いさみ
次の不等式の証明をせよ。またその等式の成り立つのはどのようなときか。
?@　lal-lbl≦la+bl

lal＜１、lbl＜１、lcl＜１のとき、次の不等式を証明せよ。
?@ ab+1>a+b
?A abc+1>a+bc
?B abc+2>a+b+c

です。宜しくお願いいたします。
No.1172 - 2008/06/18(Wed) 15:33:03
☆ Re: 不等式の問題です / ヨッシー
下の方から、
(1)ab+1＞a+b において、
(左辺)−(右辺)＝ab-a-b+1＝(1-a)(1-b)
であり、1-a＞0、1-b＞0 より、
　(左辺)−(右辺)＞０
となり、ab+1＞a+b が成り立ちます。
(2)　|bc|＜1 と(1) の結果より
　a(bc)+1＞a＋bc
(3)
(1) より、bc+1＞b+c も成り立つので、これを、
(2) の結果 abc+1＞a+bc　の両辺に１を足した
　abc+2＞a+bc+1
に適用すると
　abc+2＞a+bc+1＞a+b+c
No.1173 - 2008/06/18(Wed) 16:54:32
☆ Re: 不等式の問題です / いさみ
稚拙な質問で恐縮ですが…
lbl＜１、lcl＜１からlbcl＜1となるのは何故ですか?
絶対値が１以下である二つの数字を掛けて１以上になる事もあると思うのですが。1/2×2/3みたいに。
No.1180 - 2008/06/18(Wed) 22:10:49
☆ Re: 不等式の問題です / ヨッシー
絶対値が１未満である二つの数字を掛けて１以上になる事はありません。
1/2×2/3が1/3であるように。
No.1181 - 2008/06/18(Wed) 23:02:28
☆ Re: 不等式の問題です / いさみ
確かにその通りです。すみません、足し算してました。
申し訳ないです、本当に。
No.1185 - 2008/06/19(Thu) 07:50:33
☆ Re: 不等式の問題です / 七
一つ目
|x＋y|≧0，|x|＋|y|≧0
(|x|＋|y|)^2−|x＋y|^2
＝2(|xy|−xy)≧0
よって
|x＋y|≦|x|＋|y|(等号は|xy|＝xyのとき成り立つ)
x＝a＋b，y＝−b を代入して
|a|≦|a＋b|＋|−b|
|a|≦|a＋b|＋|b|
|a|−|b|≦|a＋b|
等号は|−b(a＋b)|＝−b(a＋b)
|b(a＋b)|＝−b(a＋b) のとき成り立つ。
No.1186 - 2008/06/19(Thu) 10:45:43
☆ Re: 不等式の問題です / 七
等号の成立条件は
b(a＋b)≦0

あるいはもっと詳しく

b＝0
または
a＋b＝0
または
b＞0，a＋b＜0
または
b＜0，a＋b＞0

とした方がいいかもしれません。
No.1187 - 2008/06/19(Thu) 11:18:27
★ ヒント　・　解答の方向 / Jez-z
箱の中に、13枚の白いカードと2枚の赤いカードが入っている。A,B,Cの3人がこの順番で箱から１枚ずつカードを取り出す。ただし、取り出したカードは箱の中に戻さないとする。2枚目の赤いカードを取り出した者を勝ちとするとき、Aの勝つ確率を求めよ。

（自分の方針）・・・ここでは計算は省略します。

Aが勝つパターンは以下の４通り
（1）４回目で決着がつく
（2）７回目で決着がつく
（3）10回目で決着がつく
（4）13回目で決着がつく。

はじめの２つの場合の計算はまだマシなのですが、後半２つの場合は計算がやたら煩雑になり、一度頭を冷やして考え直そうか（根性で行くのをやめて）と考えてみましたがほかによさそうな方法が見当たりません。

ご指導の程、よろしくお願いします。
No.1164 - 2008/06/17(Tue) 22:44:22
☆ Re: ヒント　・　解答の方向 / らすかる
4回目で決着 → 3回目までで赤が1枚で4回目が赤 → (13C2×2C1)/15C3・(1/12)
7回目で決着 → 6回目までで赤が1枚で7回目が赤 → (13C5×2C1)/15C6・(1/9)
10回目で決着 → 9回目までで赤が1枚で10回目が赤 → (13C8×2C1)/15C9・(1/6)
13回目で決着 → 12回目までで赤が1枚で13回目が赤 → (13C11×2C1)/15C12・(1/3)
地道に計算して合計すると 2/7

と計算できますね。
No.1166 - 2008/06/17(Tue) 23:38:35
☆ Re: ヒント　・　解答の方向 / Jez-z
C（コンビネーション）ってこの問題で使えますか？自分は「ただし、取り出したカードは箱の中に戻さないとする。」という条件から
例えば4回目で決着の場合

（2/15）×（13/14）×（12/13）×（1/12)

のように計算してしまったのですが・・・　（以下の場合同様）これって間違っていますか？もしくは、間違ってはいないけど、すごく遠回りな計算の仕方ってやつですか？（←表現未熟ですいません；）

回答よろしくお願いします。
No.1169 - 2008/06/17(Tue) 23:59:27
☆ Re: ヒント　・　解答の方向 / らすかる
間違っていませんよ。
そのように計算しても、同じ答えになります。
具体的に書いてみるとわかりますが、例えば13回目で決着の場合
「1個目の赤が1回目」「1個目の赤が2回目」… のどれでも
分子の順番が変わるだけで同じ答えになります。
また項数が非常に多くなっても、分母と分子に同じものがあって
ごっそり消えますので、地道に計算しても（書くのは大変ですが）
出来ますね。

上のCを使う式は、例えば7回目で決着の場合、
「6個同時に取り出してその中に赤が1個だけ含まれ、かつ
あと一つ取り出したものが赤」と考えています。
6個を1個ずつ取り出してもまとめて取り出しても、赤が1個含まれる
確率は同じですね。
No.1170 - 2008/06/18(Wed) 04:44:33
☆ Re: ヒント　・　解答の方向 / Jez-z
らすかるさんの言っていること、8割がた理解できました。ただ次の箇所で質問があります。

>>「例えば13回目で決着の場合「1個目の赤が1回目」「1個目の赤が2回目」… のどれでも分子の順番が変わるだけで同じ答えになります。


確かに、上のどの場合でも「分子の順番」が変わるだけで確率としては同じになりました。このあとの作業なのですが、
13回目で決着の場合「1個目の赤が1回目」「1個目の赤が2回目」… 「1個目の赤が12回目」までの確率を足してやればいいんですよね？（これらは同時におこらない、つまり排反であるから）
一応、自分の思考があっているか確認したいので、面倒なのは重々承知の上で敢えてお願い申し上げますが、13回目で決着の場合の計算式を教えていただけませんか？


それともう1点、（これは基本的です）
>>6個を1個ずつ取り出してもまとめて取り出しても、赤が1個含まれる確率は同じ

というのは、組み合わせの定義から言えますか？ただここでは確率なのでどう証明すればよいのか考えてしまいました？（これって考えすぎですかね？）よく、場合の数と確率は似て非なるものなので、やや疑心暗鬼的なものの見方で考えてしまっているみたいです。（つまり、確率は「すべて異なるものとみなす」ところに焦点があるので、場合の数の単元で学んだ組み合わせの定義を確率のときも同様に単純に考えてよいのかと悩みました。）

※長文（稚拙な文で本当申し訳ないです）ですいません
。回答お願いします。
No.1183 - 2008/06/19(Thu) 00:30:10
☆ Re: ヒント　・　解答の方向 / らすかる
＞13回目で決着の場合の計算式

1回目が赤で13回目で決着
(2/15)×(13/14)×(12/13)×(11/12)×(10/11)×(9/10)×(8/9)×(7/8)
×(6/7)×(5/6)×(4/5)×(3/4)×(1/3)
=(13・12・11・…・3・2)/(15・14・13・…・4・3)
=2/(15・14)
=1/105

2回目が赤で13回目で決着
(13/15)×(2/14)×(12/13)×(11/12)×(10/11)×(9/10)×(8/9)×(7/8)
×(6/7)×(5/6)×(4/5)×(3/4)×(1/3)
=(13・12・11・…・3・2)/(15・14・13・…・4・3)
=1/105

3回目が赤で13回目で決着
(13/15)×(12/14)×(2/13)×(11/12)×(10/11)×(9/10)×(8/9)×(7/8)
×(6/7)×(5/6)×(4/5)×(3/4)×(1/3)
=(13・12・11・…・3・2)/(15・14・13・…・4・3)
=1/105

以下略。全部で12個あるので、13回目で決着する確率は全部で (1/105)×12=4/35


＞>>6個を1個ずつ取り出してもまとめて取り出しても、赤が1個含まれる確率は同じ
＞というのは、組み合わせの定義から言えますか？

組合せの定義というよりは、あたりまえのことです。
つまりどちらの操作も、「15個から取り出す6個をランダム選ぶ」ことと変わりません。


＞これって考えすぎですかね？

考えすぎです。このように考え方を置き換えると簡単になる問題は多いので、
慣れた方が良いと思います。
No.1184 - 2008/06/19(Thu) 00:56:14
★ 集合・論理 / kai
a,bを実数とするとき、演算※をa※b=a+b-abと定義する。このとき、※の可換性、結合性は成り立つか。

なるべく詳しい解答よろしくお願いします。
No.1163 - 2008/06/17(Tue) 22:05:21
☆ Re: 集合・論理 / rtz
a※bとb※a
a※(b※c)と(a※b)※c
比較してやればよいのでは。
No.1168 - 2008/06/17(Tue) 23:47:12
★ 数 / みなみ
４点Ａ（−２，２）、Ｂ（２，４）、Ｃ（０，−２）、Ｄ（４,０）
を頂点とする四角形は平行四辺形であることを示せ。

わからないので解答おねがいします！！
No.1162 - 2008/06/17(Tue) 21:56:21
☆ Re: 数 / rtz
学年が分からないので適切かどうか分かりませんが…。

平行四辺形の性質を思い出しましょう。
「隣り合わない辺同士が平行」
「隣り合わない辺同士の長さが等しい」など。

今回なら「AB//CDとAC//BD」「AB＝CDとAC＝BD」などが言えればいいでしょう。
No.1165 - 2008/06/17(Tue) 23:38:16
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