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2次方程式 / ゆう 高1
2X^2−2KX−K+2=0
が、2(X−K/2)^2=0と変形できるのか教えてください!!
お願いします!

No.824 - 2008/05/25(Sun) 21:55:23

Re: 2次方程式 / ヨッシー
2(X−K/2)^2=2X^2-2KX+K^2/2
であるので、そのようには、変形出来ません。

2X^2−2KX−K+2=2(X−K/2)^2−K^2/2−K+2
のようには、変形出来ます。

No.826 - 2008/05/25(Sun) 22:02:17

Re: 2次方程式 / 高1 ゆう
ありがとうございます。分かったのですが、その式を使って解く問題がまだ分からなくて...

次の2次方程式が重解をもつような定数Kの値とその重解を求めなさい。2X^2−2KX−K+2=0

です。よろしくお願いします。

No.828 - 2008/05/25(Sun) 22:44:53

Re: 2次方程式 / にょろ
まず重解を持つということはどういう事か分かりますか?
判別式=0です。
が…今回はヨッシーさんの
「2X^2−2KX−K+2=2(X−K/2)^2−K^2/2−K+2」
を使います。
理由はa(x-b)^2=0という変形が出来る方程式そしてその時のみ
重解を持ちます。

というわけで、Kの条件は
-k^2/2-K+2=0

k^2+2k-4=0

の解が求めるkです。

つまりK=-1±√5です。
この時の答えはK/2です。(代入はしましょう)
理由はわかりますね?

横槍すいませんでした

No.830 - 2008/05/25(Sun) 23:18:33

Re: 2次方程式 / にょろ
読み返してみたら少し日本語変でした
でも、大意はつかめますよね?
ごめんなさい

No.831 - 2008/05/25(Sun) 23:32:26

Re: 2次方程式 / ゆう
ありがとうございます。Kの値は分かったのですが、その後、なぜK/2に代入すると答えがでるのかが分からないので教えてください!
No.832 - 2008/05/25(Sun) 23:53:20

Re: 2次方程式 / ヨッシー
2(X−K/2)^2=0
に注目!!
この方程式の解は?

No.833 - 2008/05/25(Sun) 23:57:06
(No Subject) / 礼花 高2
こんばんは。いつもお世話になります!

1.x=1+√2のとき、次の問いに答えよ。
(1)x^2-2x-1=0となることを示せ。
(2)(1)を用いて、x^3-3x^2-3x+5の値を求めよ。

(1)はx=1√2から x-1=√2 となり、(x-1)^2=2  よってx^2-2x-1=0が成り立つ、というふうに解けたのですが、(2)がどうしても分かりません。ご解説をよろしくお願いします。

No.823 - 2008/05/25(Sun) 21:39:45

(No Subject) / ヨッシー
x^3-3x^2-3x+5=x(x^2-2x-1)-x^2-2x+5
=x(x^2-2x-1)-(x^2-2x-1)-4x+4
となり、x^2-2x-1=0 より、-4x+4 だけ残り
 -4x+4=-4(1+√2)+4=-4√2

No.825 - 2008/05/25(Sun) 21:59:19

Re: / 礼花 高2
ヨッシーさま、早々のご回答、ありがとうございます。
よく分かりました!丁寧に解説して下さって、すごく助かりました。本当にありがとうございました。

No.829 - 2008/05/25(Sun) 22:45:56
二次不等式 / 桜 高校2
いつもお世話になっております。
よろしくお願いいたします。

放物線y=x^2-ax+a-1がx軸から切り取る線分の長さが6であるときの定数aを求める問題で質問があります。

私は解の公式で
x=-1,a-1を出しましたがまずここができませんでした。

教えてください。

No.820 - 2008/05/25(Sun) 20:53:59

Re: 二次不等式 / ヨッシー
まず、x^2-ax+a-1=0 の解は、x=1,a-1 です。
この2解の差が、6だというのですから、
 1−(a−1)=6 または (a−1)−1=6
これらを解いて、
 a=−4 または a=8

No.821 - 2008/05/25(Sun) 21:27:38

Re: 二次不等式 / 桜 高校2
ありがとうございました!!
おかげさまでできました(^^)v

No.827 - 2008/05/25(Sun) 22:13:49
(No Subject) / 匿名 高1
またお世話になります。

aを定数とするとき、次のxについての方程式を解け。
(1)x^2-6ax+9a^2=4
(2)ax^2-(a^2+1)x+a=0

私はどちらも場合わけをせずに答えを出しましたが
(2)だけa≠0のとき、a=0のときと場合わけされていました。
なぜ(2)だけ場合わけをしなければいけないのでしょうか?

説明のほうよろしくお願いします。

No.817 - 2008/05/25(Sun) 13:54:43

Re: / 七
a=0
のときは2次方程式ではありませんから
判別式を使えなくなります。

No.818 - 2008/05/25(Sun) 14:50:58

Re: / 七
余り適切ではありませんでしたね。
ax^2-(a^2+1)x+a=0

a=0のとき
−x=0 より x=0

a≠0 のとき
(x−a)(ax−1)=0
x=a,1/a

No.819 - 2008/05/25(Sun) 14:56:09

Re: / 匿名 高1
説明ありがとうございます。
とてもよくわかりました!
本当にありがとうございました★

No.836 - 2008/05/26(Mon) 20:36:14
三角関数 / 真由音
こんにちは。

0<a<πを満たす。θが0以上π以下の範囲で
f(θ)=sin(θ-a)-sinθを考える。

(1)方程式f(θ)=0の解は、aを用いてθ=π/[ア]+a/2と表される。更に、この方程式の解が、sin(θ-a)=1/2を満たすならば、a=[イ]π/[ウ]である。


(2)aを(1)で求めた値とするとき、関数f(θ)は、

θ=πのとき 最大値 √[エ]/[オ]

θ=π/[カ]のとき 最小値−√[キ]をとる。


という問題です。f(θ)の式の変形が分かりません。教えてください。

No.815 - 2008/05/25(Sun) 11:45:25

Re: 三角関数 / ヨッシー

(1)
0≦θ≦π の範囲で、sinθとsin(θ−a) が等しくなるのは
図のような場合なので、このとき、
 θ+(θ−a)=π
の関係があります。これを解いて、
 θ=π/2+a/2
このとき、θ−a=π/2−a/2 となり、
 sin(θ−a)=sin(π/2−a/2)=1/2
0<a<π より、0<π/2−a/2<π/2 なので、
 π/2−a/2=π/6
これより、a=2π/3

(2)
加法定理より
 sin(θ−2π/3)=sinθcos(2π/3)−cosθsin(2π/3)
  =-(1/2)sinθ−(√3/2)cosθ
よって、
 f(θ)=sin(θ−2π/3)−sinθ=-(3/2)sinθ−(√3/2)cosθ
  =-√3{(√3/2)sinθ+(1/2)cosθ}
合成の公式より
 f(θ)=-√3sin(θ+π/6)
0≦θ≦π の範囲では、
 -1/2≦sin(θ+π/6)≦1
より、
θ=π のとき、sin(θ+π/6)=-1/2 で、f(θ) の最大値 √3/2
θ=π/3 のとき、sin(θ+π/6)=1 で、f(θ) の最小値 -√3

No.816 - 2008/05/25(Sun) 12:15:23
指数関数 / 指数関数
a,bは実数でa>0である。このとき
f(x)=(logX)^2-2a(logX)+b(1/2≦X≦2)
で定義された関数を
最大値1、最小値1をとるときa,bの値を求めよ。
底は2です.

No.812 - 2008/05/24(Sat) 23:01:39

Re: 指数関数 / 指数関数
最小値−1でした。

よろしくお願いします

No.813 - 2008/05/24(Sat) 23:10:59

Re: 指数関数 / ヨッシー
y=log2x とおくと、1/2≦x≦2 のとき
-1≦y≦1 ですから、
 g(y)=y2-2ay+b
の -1≦y≦1 での最大最小を考えます。
 g(y)=y2-2ay+b=(y-a)2-a2+b
より、
a<-1 のとき、g(-1)が最小、g(1)が最大なので、
 g(-1)=2a+b+1=-1
 g(1)=-2a+b+1=1
これを解いて、a=-1/2, b=-1 これはa<-1 でないので不適
-1≦a<0 のとき、g(a)が最小、g(1) が最大なので、
 g(a)=-a<SUP>2+b=-1
 g(1)=-2a+b+1=1
これを解いて、
 a=1±√2, b=2±2√2(複号同順)
-1≦a<0 を満たすのは、a=1−√2, b=2−2√2
0≦a<1 のとき、g(a)が最小、g(-1) が最大なので、
 g(a)=-a2+b=-1
 g(-1)=2a+b+1=1
これを解いて、a=-1±√2, b=2干2√2(複号同順)
0≦a<1 を満たすのは、a=-1+√2, b=2−2√2
1≦a のとき、g(1)が最小、g(-1)が最大なので、
 g(1)=-2a+b+1=-1
 g(-1)=2a+b+1=1
これを解いて、a=1/2, b=-1 これは、1≦a でないので不適

以上より、a=1−√2, b=2−2√2 または a=-1+√2, b=2−2√2

No.814 - 2008/05/25(Sun) 00:03:57
分数関数 / 学生
分数関数y=(ax+b)/(cx+d)のグラフは、点(0,-3)および(3/5,0)を通り、直線x=1を漸近線とする。

(1)a,b,c,dの値を求めよ。ただし、a>0, ad-bc=2とする。

(2)他の漸近線をy=kとするとき、kの値を求めよ。

(3)この関数の逆関数を求めよ。


この問題がわかりません。
よろしくお願いします。

No.805 - 2008/05/23(Fri) 14:10:07

Re: 分数関数 / ヨッシー
(1)
x=1 が漸近線になるということは、
 y=(ax+b)/(cx+d)
の分母が、x=1 で0になるということなので、
 c+d=0 ・・・(i)
あとは、(0,-3), (3/5,0) を代入して、
 -3=b/d ・・・(ii)
 0=(3a/5+b)/(3c/5+d) ・・・(iii)
これと、 ad-bc=2 ・・・(iv)
の4式を連立させて解くと、a>0 より
 a=5, b=-3, c=-1, d=1

(2)この式は、
 y=(5x-3)/(-x+1)=-5+2/(-x+1)
より、|x|が無限に大きくなると、2/(-x+1) は0に近づき、y=-5 に近づく。
 答え k=−5

(3)
 y=-5+2/(-x+1)
xとyを入れ替えて、
 x+5=2/(-y+1)
 −y+1=2/(x+5)
 y=1−2/(x+5)
 y=(x+3)/(x+5) ・・・答

No.806 - 2008/05/23(Fri) 15:03:33
広義積分が収束する条件は? / yuuka
[Q]For what real values a,b and c does the improper integral:
∫[-∞..∞]e^-(ax^2+bx+c)dx conveges?
For those values that the integral converges,find a formula for the value of the integral in terms of a,b and c.(Hint:∫[-∞..∞]e^-x^2dx=√π)

「a,b,cの実数値が何の時,広義積分∫[-∞..∞]e^-(ax^2+bx+c)dxが収束するか?
この積分が収束する値をa,b,cの式で表せ(ヒント:∫[-∞..∞]e^-x^2dx=√π)」

という問題がさっぱりわかりません。
どのようにして求めればいいのでしょうか?

∀x∈R,ax^2+bx+c≧x^2の時,曲線y=ax^2+bx+cは曲線y=x^2より下に来るので少なくとも
ax^2+bx+c≧x^2なら積分は収束すると思ったのですがこれだけでは不十分ですよね。。。

No.798 - 2008/05/22(Thu) 05:46:45

Re: 広義積分が収束する条件は? / 豆
1.a≠0のとき
ax^2+bx+c=a(x+b/(2a))-(b^2-4ac)/(4a)より
与式=e^((b^2-4ac)/(4a))∫[-∞→∞]e^(- a(x+b/(2a))^2)dx
   = e^((b^2-4ac)/(4a)) ∫[-∞→∞]e^(- ax^2)dx
   =正定数・∫[-∞→∞]e^(- ax^2)dx
a<0のとき発散
a>0のとき 例題より収束
2.a=0のとき 明らかに発散

No.801 - 2008/05/22(Thu) 13:01:52

Re: 広義積分が収束する条件は? / yuuka
有難うございます。大変参考になっております。

> a>0のとき 例題より収束

∫[-∞..+∞]e^-x^2dxが収束
なら
x^2の正定数倍ax^2の場合でも
∫[-∞..+∞]e^-(ax^2)dxが収束とはどうして言えるのでしょうか?

No.809 - 2008/05/24(Sat) 00:41:53

Re: 広義積分が収束する条件は? / yuuka
> x^2の正定数倍ax^2の場合でも
> ∫[-∞..+∞]e^-(ax^2)dxが収束とはどうして言えるのでしょうか?


u:=√axと置けばdu=√adxなので
∫[-∞..+∞]e^-(ax^2)dx=∫[-∞..+∞]1/√ae^-u^2du
=1/√a∫[-∞..+∞]e^-u^2du=1/√a√π∈R

で収束しますね。
どうもお騒がせ致しました。

No.811 - 2008/05/24(Sat) 05:41:44
ベクトル / ぼたん
三角形OABとその内部の点Cに対し、次の関係式が成り立っている。

↑OC=2/7↑OA+4/7↑OB

(1)直線OCと辺ABの交点をD、直線ACと辺OBの交点をEとすると、
OC:CD=1:ア/イ OE:EB==1:ウ/エ である。

アイウエの答えを教えてください。

出来れば、詳しい解答でお願いします。

No.796 - 2008/05/21(Wed) 20:11:22

Re: ベクトル / ヨッシー
(1)
ABを4:2に内分する点をPとします。
(2:1 と書かずにあえてこう書きます)
このとき、
 OP=(2/6)OA+(4/6)OB
であるので、
 OC=(6/7)OP
となり、点Pが点Dに相当します。
よって、OC:CD=6:1=1:1/6

メネラウスの定理より、
 (OE/EB)(BA/AD)(DC/CO)=1
 (OE/EB)(3/2)(1/6)=1
よって、
 OE:EB=4:1=1:1/4

No.799 - 2008/05/22(Thu) 08:49:18
確率 / サイコロ
さいころをn回ふったときでた目が

(1)2種類だけの確立
(2)3種類だけの確立
をもとめよ

お願いしまs

No.793 - 2008/05/21(Wed) 17:00:16

Re: 確率 / DANDY U
全ての出方の数は、6^n(通り)
(1) 例えば {1,2}だけが出る出方は、2^n(通り)
このなかには1だけまたは2だけの場合が1通りずつ含まれ
ているから、2種類だけの場合の数は2^n−2(通り)
{1,2}のような選び方は、6C2 通りあるから
2種類だけの確率・・・6C2*(2^n−2)/6^n=15(2^n−2)/6^n

(2) 例えば {1,2,3}だけが出る出方は、3^n(通り)
このうち
(イ)1種類だけのもの・・3C1=3(通り)
(ロ)2種類だけのもの・・3C2*(2^n−2) (通り)
よって、{1,2,3}の3種類が全て出る出方は
   3^n−3−3C2*(2^n−2)=3^n−3*2^n+3

1〜6から3つ選ぶ選び方は 6C3(通り)あるので
3種類だけの確率=6C3*(3^n−3*2^n+3)/6^n
=10{3^(n-1)−2^n+1}/6^(n-1)
となりました。

No.802 - 2008/05/22(Thu) 13:43:13

Re: 確率 / サイコロ
ありがとうございます。
最後にもう1つ。
どの2つの目を足し合わせても7にならない確率
をお願いします

No.804 - 2008/05/22(Thu) 22:30:10

Re: 確率 / DANDY U
(n-1)回目まで「どの2つの目を足し合わせても7にならない」場合で
(イ)1種類だけのとき (ロ)2種類だけのとき (ハ)3種類あるとき・・・に分けて考えてみます。

(イ)1種類だけのとき
例えば(n-1)回目まで{1}だけになるのは1通り。このときn回目が6以外なら
条件を満たします。
よってこのときの場合の数は 6C1*1*5=30(通り)

(ロ)2種類だけのとき
{1,2}のような足して7にならない組み合わせは(6C2−3)通りあります。
例えば(n-1)回目まで{1,2}だけになるのは{2^(n-1)-2}通り。このときn回目が
1,2,3,4の4通りなら条件を満たします。
よってこのときの場合の数は
 (6C2−3)*{2^(n-1)−2}*4=24*2^n−96(通り)

(ハ)3種類あるとき
{1,2,3}のように、3つのものは{1,6}{2,5}{3,4}から1つずつ取り出したもの
だから、このような組み合わせは 2^3=8(通り)
例えば(n-1)回目まで{1,2,3}だけになるのは{3^(n-1)−3*2^(n-1)+3}通り(全問参照)
このときn回目も1,2,3の3通りなら条件を満たします。
よってこのときの場合の数は
 8*{3^(n-1)−3*2^(n-1)+3}*3=8*3^n−36*2^n+72(通り)

全ての場合の数は、30+(24*2^n−96)+(8*3^n−36*2^n+72)
         =8*3^n−12*2^n+6(通り)
よって、確率は (8*3^n−12*2^n+6)/6^n となりました。
(もっと楽な方法があるかもしれませんが・・)

No.808 - 2008/05/23(Fri) 19:54:33

Re: 確率 / らすかる
あまり変わりませんが…
2つの目を足して7になるのは(1,6)(2,5)(3,4)の組だけですから
「1か6のどちらか一方」「2か5のどちらか一方」「3か4のどちらか一方」
で構成されていればOKです。
目が1種類となるのは 6通り
目が2種類となるのは 3C2*2^2*(2^n-2)通り
目が3種類となるのは 2^3*(3^n-3*2^n+3)通り
なので、求める確率は
{6+3C2*2^2*(2^n-2)+2^3*(3^n-3*2^n+3)}/6^n
=(8*3^n-12*2^n+6)/6^n となります。

No.810 - 2008/05/24(Sat) 04:27:02
感動!三次方程式一般解 / おジン
はじめまして。67歳です。若いときから三次方程式にも、二次方程式にような一般解があると聞いていました。最近貴兄ののホームページを拝見、驚きました。間違いの難路を克服して、数式を展開、例題にやっと答にたどり着きました。本当に人間の知恵は、すばらしいですね。

それからこの解法はカルダノさんが発見したのですか。いえ、複素数なんか使っておられるので、あのころにもすでにあったのですか。できれば、面白い数学史などもし迂回してください。感動ありがとうございました。

No.783 - 2008/05/21(Wed) 03:28:55

Re: 感動!三次方程式一般解 / ヨッシー
Wikipedia によると、
「三次方程式の解を示す際に世界ではじめて虚数の概念を導入したのはカルダーノである。」
となっています。
解法発見については、一波乱あったようです。
Wikipedia はこちら

No.791 - 2008/05/21(Wed) 13:01:35

Re: 感動!三次方程式一般解 / DANDY U
http://www.kyouiku.tsukuba.ac.jp/~miya/HomePage/cardano.html
 ↑
このようなサイトを見つけました。

No.803 - 2008/05/22(Thu) 14:57:47
中学入試問題? / ひょうたんマニア
こんにちは、はじめまして。

早速ですが、この間某巨大掲示板に出ていた問題について算数で解いてみたのですが、
正解との間に若干の差が出てしまいました。
これは、無理数の四則演算を何回かすれば生じる誤差の範囲でしょうか?
それとも、どこか明らかに間違っているでしょうか?
問題は、以下のURLにちょうど載っていたので、リンクをはらせていただきます(ごめんなさい).

http://www.page.sannet.ne.jp/ikenoue/type2/area/area.html

算数で解いた場合:約14.25㎠
      正解:約14.63㎠

それと、管理人様、すみませんが、パスワードの設定をし忘れたので削除が出来なくなった下の記事を削除お願いします.

No.782 - 2008/05/21(Wed) 02:49:32

Re: 中学入試問題? / らすかる
算数では解けませんので多分解き方が間違っているものと思いますが、
どのように解いたのですか?

No.784 - 2008/05/21(Wed) 04:56:26

Re: 中学入試問題? / ひょうたんマニア
文章では、ではうまく説明できにくいのですが、上のリンク先の図でいえば、半径5?aの円の方を、正方形の対角線に沿って右斜め下45°向きにずらしていくと、ちょうど左上の円と扇形が接するとき、右斜め下部分の円と正方形がきっちり一致します.つまり、そのとき、右下部分に正方形からはみ出たかまぼこの断面状の図形が2つできる事になります.その2つの図形の面積の和はリンク先の図の赤色部分(三日月部分)の面積と等しいので、

(5×5×π÷4-5×5÷2)×2=25(π/2-1)≒14.25㎠

として解いたのですが…。

No.787 - 2008/05/21(Wed) 08:52:50

Re: 中学入試問題? / らすかる
>その2つの図形の面積の和はリンク先の図の赤色部分(三日月部分)の面積と等しいので

これが誤りです。等しくありません。

No.789 - 2008/05/21(Wed) 09:39:33

Re: 中学入試問題? / ひょうたんマニア
なるほど。
つまらないミス(思い込み)でした.

No.790 - 2008/05/21(Wed) 11:00:29
2次方程式 / 礼花 高2
こんばんは。

次の条件を満たすような、定数mの値を求めよ。また、2つの解を求めよ。
(3)2次方程式x^2-2mx+m^2+2m+3=0の2つの解の差が2である。
この問題を、
2つの解をα、α+2とすると、解と係数の関係よりα+(α+2)=2m…☆、α(α+2)=m^2+2m+3…★と式を立て、
☆より2α=2m-2、★よりα^2+2α=m^2+2m+3、
…と、ここまではできたのですが、どうしてもここから先が分かりません。よろしくお願いします。

No.778 - 2008/05/21(Wed) 00:34:11

Re: 2次方程式 / 成瀬
そこまで出来ているのでしたらもう一歩です。
☆より、α = m - 1 ですのでこれを★に代入して
  (m - 1)2 + 2m - 2 = m2 + 2m + 3
  ⇔ m = - 2
を得ます。
なので、これより、αが得られますね。

No.779 - 2008/05/21(Wed) 00:46:08

Re: 2次方程式 / 礼花 高2
返信遅くなってしまって、申し訳ありませんでした。

代入するんですね…!
成瀬さま、とても分かり易く解説してくださって、ありがとうございました。

No.822 - 2008/05/25(Sun) 21:32:13
無理数の証明 / アゲ
√5+√7は無理数であることを示せ。ただし、√5,√7は無理数であることをもちいてよい。

よくわかりません…
お願いします!

No.773 - 2008/05/20(Tue) 22:52:34

Re: 無理数の証明 / ヨッシー
√5+√7=m (m は有理数) とおくと、
 √5=m−√7
二乗して
 5=m^2+7−2m・√7
 2m・√7=m^2+2
m=0ではあり得ないので、両辺2mで割って、
 √7=(m^2+2)/2m
左辺は無理数、右辺は有理数となり矛盾します。

※有理数同士の四則演算は有理数になることを、既知のこととしています。
(ただし、0で割ることを除く)

No.777 - 2008/05/20(Tue) 23:43:20

Re: 無理数の証明 / らすかる
別解
√5+√7=m(mは正の有理数)とおいて両辺に√5-√7を掛けて整理すると
√5-√7=-2/m となるが、この2式を足して両辺を2で割ると
√5=m/2-1/m=(有理数) となり、√5が無理数であることと矛盾。

No.785 - 2008/05/21(Wed) 07:04:56
因数分解 / テスト間近の高一……
たびたびすみません。
数学?Tの因数分解です。
x^2-(y+z)^2

とても不明です。
詳しく解説よろしくお願いします^^

No.769 - 2008/05/20(Tue) 21:42:15

Re: 因数分解 / X
因数分解の公式
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
を使いましょう。

No.770 - 2008/05/20(Tue) 21:58:27

Re: 因数分解 / ヨッシー
A=y+z とおくと
 x^2-(y+z)^2=x^2−A^2
すると、2乗−2乗 の公式が使えます。

No.771 - 2008/05/20(Tue) 21:59:29

Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
返答有難う御座います^^

答えは
(x-y+z)^2ですか?

No.772 - 2008/05/20(Tue) 22:18:47

Re: 因数分解 / ヨッシー
因数分解の答え合わせは簡単です。
展開して、元の式になればいいのです。
が、
(x-y+z)^2=x^2+y^2+z^2-2yz+2zx-2yx
一方、
x^2-(y+z)^2=x^2-y^2-z^2-2yz
で、違うことが分かります。

A=y+z とおくと
 x^2-(y+z)^2=x^2−A^2
 =(x-A)(x+A)
のA を y+z に戻すと?

No.775 - 2008/05/20(Tue) 23:31:38

Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
めちゃくちゃわかりました^^
これでテストのりきれそうです^^
有難う御座います^^

No.800 - 2008/05/22(Thu) 12:17:50
こんばんは / 真由音
 こんばんは。センター形式の問題です。

aを実数の定数とする。2次方程式x^2+2(a-1)x-2(a-1)=0が虚数解をもつようなaの値の範囲は
    −1<a<1

であり、このとき、この方程式の解の3乗がいずれも実数になるようなaの値は

     a=[エ]/[オ]である。


という問題なんですが、虚数解もつaの値の範囲は、判別式を使って求めることができました。

次の方程式の解の3乗がいずれも実数になるようなaの値の解き方が分かりません。

教えてください。お願いします。

No.765 - 2008/05/20(Tue) 19:23:45

Re: こんばんは / X
x^2+2(a-1)x-2(a-1)=0 (A)
とします。
題意から(A)の解について
x^3=A^3 (B)
なる実数Aが存在しなければなりません。
(B)より
(x-A)(x^2+Ax+A^2)=0
ここでxは実数ではありませんのでx≠A
∴x^2+Ax+A^2=0 (C)

さて、係数が実数である二次方程式の解の1つが複素数zの場合、
その二次方程式はzの共役複素数も解に持たなければなりません。
従って(A)の解の1つが(C)の解である場合、他の(A)の解も
(C)の解となりますので、(A)(C)は等価でなければなりません。
このことから係数比較により、a,Aについての連立方程式を立てましょう。

No.767 - 2008/05/20(Tue) 21:30:00

Re: こんばんは / 真由音
どうして、題意から(A)の解について
x^3=A^3 (B)
なる実数Aが存在しなければならないんでしょうか?


No.776 - 2008/05/20(Tue) 23:36:52

Re: こんばんは / X
問題の二次方程式の解をxとするとx^3が実数ですので
x^3=u
(uはある実数)
と表すことができます。
ここで
u=A^3
(Aは実数)と置き換えると
x^3=A^3
となります。

No.788 - 2008/05/21(Wed) 08:57:25

Re: こんばんは / ToDa
とりあえずこういう解き方も。六次方程式は見かけだけです。

元の二次方程式の2解をp,qとすると、解と係数の関係より
p+q = pq = -2(a-1) (=tとおく)

さて、p^3,q^3がともに実数である条件を求める。
二次方程式(x-p^3)(x-q^3) = 0の2解がともに実数であればよいから、
判別式:
(p^3 + q^3)^2 - 4(pq)^3
={(p+q)(p^2 - pq + q^2)}^2 - 4(pq)^3
=[(p+q){(p+q)^2 - 3pq}]^2 - 4(pq)^3
={t(t^2 - 3t)}^2 - 4t^3
=t^3(t-1)^2(t-4)≧0

∴t≦0 or t=1 or t≧4
このうち-1<a<1をみたすものは…

No.794 - 2008/05/21(Wed) 17:05:04

Re: こんばんは / 真由音
 こんばんは。

X先生、細かいところまで教えていただき、ありがとうございました!

ToDa先生、別解を教えていただき、ありがとうございました!参考にさせていただきます。

No.795 - 2008/05/21(Wed) 19:47:36
対数関数 / 数学苦手
a,bを正の整数とする。a^2が7桁、ab^3が20桁の数とするときa,bはそれぞれ何桁の数となるか
No.757 - 2008/05/20(Tue) 18:08:47

Re: 対数関数 / 数学苦手
教えてください。よろしくお願いします。
No.758 - 2008/05/20(Tue) 18:09:52

Re: 対数関数 / DANDY U
a^2が7桁だから、10^6≦a^2<10^7
対数をとると(底10) 6≦2loga<7
∴ 3≦loga<7/2・・・(1) となり 10^3≦a<10^3.5
よって aは4桁の数

ab^3が20桁だから、10^19≦ab^3<10^20
対数をとって、19≦loga+3logb<20
(1)より −7/2<−loga≦−3 だから各辺足して
  31/2<3logb<17
∴31/6<logb<17/3 となり 
10^5<10^(31/6)<b<10^(17/3)<10^6
したがって、bは6桁の数となります。

No.763 - 2008/05/20(Tue) 19:15:12

Re: 対数関数 / ヨッシー
aがm桁とすると
 0<10m-1≦a<10m
より
 102m-2≦a2<102m
2 が7桁より
 106≦a2<107
これらを比較すると、m=4

bがn桁とすると
 0<10n-1≦b<10n
より
 103n-3≦b3<103n
これに、
 103≦a<104
を掛けて、
 103n≦ab3<103n+4
これと
 1019≦ab3<1020
を比較して、
 n=6
答え、aは4桁、bは6桁

No.764 - 2008/05/20(Tue) 19:15:32

Re: 対数関数 / 数学苦手
解法を2つもありがとうございます。よく分かりました。
No.786 - 2008/05/21(Wed) 07:14:47
(No Subject) / 小6
すいません。もうひとつ、「f(x)=x^x」を微分するとどうなるんですか?
No.756 - 2008/05/20(Tue) 18:07:17

Re: / 魑魅魍魎
f(x)=x^x
logf(x)=xlogx
これをxで微分してみてください。

No.760 - 2008/05/20(Tue) 18:46:01
(No Subject) / 小6
正17角形の作図が何故出来るか教えてください。
No.752 - 2008/05/20(Tue) 17:52:12

Re: / 我疑う故に存在する我
正5角形が「何故」作図可能かは分かりますか?
正15角形、正16角形についてはどうですか?

No.768 - 2008/05/20(Tue) 21:37:28

Re: / 小6
遅れてすいません。
それならわかります。

No.792 - 2008/05/21(Wed) 14:50:37

Re: / 我疑う故に存在する我
どう答えていいか良く分かりませんが、
正5角形の場合、本に書いてある作図法が
ちゃんと正5角形の作図法になっている事を証明しなくてはなりません。

正17角形の場合も同様です。

むしろ正9角形が作図できないことの方の証明が問題です。
正17角形と合わせて、ガロア理論・群論と言った
高等数学が根拠になっています。

No.797 - 2008/05/21(Wed) 21:46:50
因数分解 / テスト間近の高一……
数?Tの因数分解です。

x^3+3x^2-x-3
答え(x+3)(x+1)(x-1)

教えて下さい。

No.747 - 2008/05/20(Tue) 17:33:31

Re: 因数分解 / ヨッシー
まず、因数定理で f(x)=x^3+3x^2-x-3 に、
何を代入したらf(x)=0 になるかを探します。
たとえば、f(1)=0 が見つかったら、
x^3+3x^2-x-3 は (x-1) で割りきれますので、割ってみて、
 x^3+3x^2-x-3=(x-1)(x^2+4x+3)
とし、次に、(x^2+4x+3) を因数分解します。

No.749 - 2008/05/20(Tue) 17:40:04

Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
わかりました^^有難う御座います。

2(x+y)^2-(x+y)-3 答え(x+y+1)(2x+2y-3)

も教えて下さい。

No.754 - 2008/05/20(Tue) 17:55:46

Re: 因数分解 / 魑魅魍魎
x+y=A
とおくと
2A^2-A-3
となり、これを因数分解してみてください

No.755 - 2008/05/20(Tue) 18:01:09

Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
2A^2-A-3がわかりません……
No.759 - 2008/05/20(Tue) 18:17:37

Re: 因数分解 / 魑魅魍魎
2A^2-A-3
=(2A-3)(A+1)
なので
A=x+yを代入すると・・・

No.761 - 2008/05/20(Tue) 19:01:26

Re: 因数分解 / テスト間近の高一……
わかりました^^
有難う御座いました^^

No.766 - 2008/05/20(Tue) 21:29:39
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