ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 加方定理 / 高1

原点を通り、直線x－√3＝0とπ/4の角をなす直線の方程式を求めよ。

答え　(√3＋2)x－y＝0,(√3－2)x－y＝0

いろいろ考えてるんですが、解き方がまったくわかりません。教えてください。

No.5315 - 2009/02/23(Mon) 22:55:45

☆ Re: 加方定理 / ヨッシー

x－√3y＝0 の誤りでしょう。

普通は、この直線上の点(√3, 1) を、π/4 または -π/4 回転
させると、どの点に写るかを考えれば楽ですが、タイトル通り
加法定理でやってみます。

この直線は、ｘ軸と π/6 をなします。
これを、±π/4 するとｘ軸と-π/12 と 5π/12 をなす２つの直線が
考えられます。

加法定理により
　sin(-π/12)＝sin(π/6－π/4)＝・・・
　cos(-π/12)＝cos(π/6－π/4)＝・・・
よって、ｘ軸と-π/12 をなす直線の傾きは
　tan(-π/12)＝・・・
なので、y＝(√3－2)x
同様に、
　sin(5π/12)＝sin(π/6＋π/4)＝・・・
　cos(5π/12)＝cos(π/6＋π/4)＝・・・
よって、ｘ軸と-π/12 をなす直線の傾きは
　tan(5π/12)＝・・・
なので、y＝(√3＋2)x

のようにします。

No.5316 - 2009/02/24(Tue) 00:16:57

★ 中学の問題 / ひろ

A、B、C、D、Eの5人がテストを受け、5人の平均点は75点。A、B、Cの3人の平均点は80点。C、D、Eの3人の平均点は71点のとき、Ｃの点数は何点ですか。

A＋B＋C＋D＋E＝375
A＋B＋C＝240
C＋D＋E＝213

このような感じで解くのでしようか。

No.5313 - 2009/02/23(Mon) 21:16:04

☆ Re: 中学の問題 / NISSK

そうですね．
その三式から C を求めればよいと思います．

No.5314 - 2009/02/23(Mon) 22:09:20

☆ Re: 中学の問題 / ひろ

ありがとうございます。
78点ですね。

No.5324 - 2009/02/24(Tue) 20:54:23

★ (No Subject) / β　高校２

今晩は
平均値の定理で、

ａ＞０のとき、１／ａ＋１＜log(ａ＋１)／ａ＜１を証明せよ。

という証明のしかたがよく分かりません。
ｆ(ｘ)＝logｘにした後で、定理をどのように使えばいいんでしょうか。
よろしくお願いします

No.5311 - 2009/02/23(Mon) 18:48:14

☆ Re: / X

平均値の定理から
{f(a+1)-f(1)}/a=f'(t) (A)
1<t<a+1 (B)
なるtが存在することが分かります。
(A)を具体的に計算して、その結果を用いて(B)から
tを消去してみましょう。

No.5317 - 2009/02/24(Tue) 02:26:22

★ 整数 / あき

こんにちは。
質問お願いします。

http://r.upup.be/?jQVqmHhEKM
の(2)ですが、背理方でとくのにa b Cの全てが3の倍数と仮定したとき素数じゃないことを示せばよいのでしょうか？
なにをどのように示せばいいのかがさっぱりわからなくて困ってしまっています(>_<)

どなたかお助け下さい(>_<)

No.5309 - 2009/02/23(Mon) 14:58:25

☆ Re: 整数 / ヨッシー

a,b,c のすべて３ではない素数と仮定したときに
ｐが素数にならないことを示します。
素数なので、３でないと言った瞬間に、３の倍数でないことは
織り込み済みです。

No.5310 - 2009/02/23(Mon) 16:29:38

☆ Re: 整数 / あき

わかりましたありがとうございます(>_<)

No.5320 - 2009/02/24(Tue) 17:03:43

★ 数列の問題 / 高1の父

初めて質問します。よろしくお願いします。
Ｑ１．数列1,2,1,3,2,1,4,3,2,1,5,4,3,2,1･･･において
　（１）ｍ回目のｎは第何項に現れるか
　（２）第２００項を求めよ
Ｑ２．初項から第ｎ項までの和がｎ＾２＋２ｎで表される数列{Ａｎ}について
（１）一般項を求めよ
（２）Ａ２＾２＋Ａ４＾２＋・・・＋Ａ２ｎ＾２を求めよ
以上２問です。
よろしくお願いします。
（解法を求められ悩んでいます）

No.5306 - 2009/02/23(Mon) 11:48:10

☆ Re: 数列の問題 / ヨッシー

Q1
これは
　{1},{2,1},{3,2,1},{4,3,2,1}・・・
と区切るとわかりやすいでしょう。
左から順に、第１群{1}、第２群{2,1}、第３群{3,2,1}・・・
と呼ぶことにします。
(1)
ｎが最初に現れるのは、第ｎ群の第１項です。
ｎがｍ回目に現れるのは、第ｎ＋ｍ－１群の、第ｍ項です。
第ｎ＋ｍ－１群の１つ前(第ｎ＋ｍ－２群)の最後の項は、
最初から数えて、
　１＋２＋・・・(ｎ＋ｍ－２)＝(ｎ＋ｍ－２)(ｎ＋ｍ－１)／２
項目です。そこからさらにｍ項進んだのが、ｍ回目のｎなので、
　(ｎ＋ｍ－２)(ｎ＋ｍ－１)／２＋ｍ(項)
となります。
(2)
　１＋２＋・・・＋１９＝１９０
であり、第20群の第10項が全体の200項目です。
よって、１１

Q2
(1)Ｓ_n＝ｎ²＋２ｎとおくと、
　Ａ₁＝Ｓ₁
　Ａ_n＝Ｓ_n－Ｓ_n-1
が成り立ちます。ただし、ｎ≧２。
これより、ｎ≧２のとき、
　Ａ_n＝Ｓ_n－Ｓ_n-1
　　＝ｎ²＋２ｎ－(ｎ－１)²－２（ｎ－１)
　　＝２ｎ－１＋２＝２ｎ＋１
これは、ｎ＝１についても成り立つので、
　Ａ_n＝２ｎ＋１
Ｂ_n＝Ａ_2n＝４ｎ＋１とおきます。
　Ａ₂²＋Ａ₄²＋・・・＋Ａ_2n²＝Ｂ₁²＋Ｂ₂²＋・・・＋Ｂ_n²
　　＝Σ(４ｎ＋１)²＝Σ(１６ｎ²＋８ｎ＋１)
　　＝８ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)／３＋４ｎ(ｎ＋１)＋ｎ

必要に応じて、式変形をして、より簡単な形にしてください。

No.5307 - 2009/02/23(Mon) 12:10:48

☆ Re: 数列の問題 / 高1の父

早速解法をいただきありがとうございました。

No.5308 - 2009/02/23(Mon) 13:41:22

★ 化学?Tについてです / 高1

テスト勉強で不明な所があったので質問させてもらいます。
ボルタ電池,鉛蓄電池,マンガン乾電池,ダニエル電池の内放電した時に極板の質量が増加するものはどれか。という問題で答えは鉛蓄電池の両極、ダニエル電池の正極とあったのですが、ボルタ電池も正極に水素が付着する為質量が増加するのではないでしょうか？水素が正極に付着することで起電力が低下すると習ったのですが・・・。
又、Zn Cu Fe などは価数が２ですがこの様な元素の価数はどの様に判断するのでしょうか？覚えるしかないのですか？教えてください。

No.5304 - 2009/02/22(Sun) 19:44:33

☆ Re: 化学?Tについてです / rtz

＞水素が正極に付着する
これは水素が気体になったものの溶液から出ていないだけです。
正極自体の質量増加とは関係がありません。
荷物を持って体重計に乗って、「体重が増えた」とは言いませんね。

＞価数
これは相手によって変わることもありますし、同じ相手ですら変わることもあります。
例えばFeは酸素と結合するだけでもFeO、Fe₃O₄、Fe₂O₃があります。
(Fe₃O₄は2価1つと3価2つ)
ZnやCuも同様です。
初めは覚えてしまったほうがよいと思います。

No.5305 - 2009/02/22(Sun) 20:22:21

★ わかりません。。 / ジョセフ

x+y=3，xy=1の時、次の式の値を求めよ。
?@xの2乗+yの2乗

　どうやってとけばいいのか分からず困っています。中１です。
　
　教えてください。

No.5301 - 2009/02/22(Sun) 13:12:46

☆ Re: わかりません。。 / rtz

x＋yを2乗してみましょう。
あとは何を引けばx²＋y²になるでしょうか。

それから、
＞xの2乗+yの2乗
は「x^2＋y^2」と表記すれば通じますので、これでお願いします。
また、丸囲み文字は一部環境で正常に表示されませんので(1)、[1]などと表記してください。

No.5302 - 2009/02/22(Sun) 16:34:31

☆ Re: わかりません。。 / ジョセフ

わかりました。ありがとうございます。

　表記の仕方もこれから気をつけるようにします。
　
　

No.5303 - 2009/02/22(Sun) 18:31:15

★ 回転 / あき

お願いします(>_<)

http://u.upup.be/?BWe8S4I4s2
の問題で
http://w.upup.be/?ChVGqzsA0V
の考え方をするようなのですがZ=tで切った時斜線の円の半径は1－tらしいのですがただのtだと思えます…
難しいです(>_<)
どなたか教えていただけないでしょうか？

No.5297 - 2009/02/21(Sat) 22:45:50

☆ Re: 回転 / rtz

URLの順序が逆です。

分からないならPを(0,0,1)においてみてください。

そもそも半径がtなら
z＝0で半径が0、z＝1で半径が1となっておかしいです。

No.5299 - 2009/02/21(Sat) 23:35:28

☆ Re: 回転 / あき

わかりましたありがとうございます(>_<)

No.5322 - 2009/02/24(Tue) 17:52:54

★ 体積 / あき

こんばんは！
http://o.upup.be/?ccyBm6JmwR
の考え方がわからなくて取り敢えず自分では
http://x.upup.be/?FsZ9MKJmUi
のように考えてみて三角形をx=tで切ってつくるとして、高さをどう表現すればいいかがわかりませんでした…
どなたかお助け下さい…

No.5296 - 2009/02/21(Sat) 22:15:33

☆ Re: 体積 / rtz

45°ですから高さは底辺と同じです。

No.5298 - 2009/02/21(Sat) 23:29:30

☆ Re: 体積 / き

わかりましたありがとうございます(^^)

No.5323 - 2009/02/24(Tue) 17:57:07

★ (No Subject) / かな

数?Uの問題で聞きたい問題があります。
解説よろしくお願いします。
　
☆曲線や直線によって囲まれた部分の面積Ｓを求めよ。
1）y=-2x^2+4x+6,x軸（放物線とx軸とで囲まれた部分の面積)

2）y=-x^2+9(0≦x≦4),x軸,y軸,x=4
(放物線とx軸、及び２直線とで囲まれた部分の面積の和）

3）y=2x^2-8,x軸,x=-3,x=3
　　(放物線とx軸、及び２直線とで囲まれた部分の面積の和)
　　
３問も聞いてしまってすいません。
何からとけばいいのか分からなくて困っています。

No.5294 - 2009/02/21(Sat) 21:15:58

☆ Re: / かな

高校二年の問題です。
いれるの忘れてました。

No.5295 - 2009/02/21(Sat) 21:38:01

☆ Re: / にょろ

(1)だけいってみます。
そんな難しくはないので
y=-2x^2+4x+6とx軸の交点は
y=-2x^2+4x+6
=-2(x^2-2x-3)
=-2(x-3)(x+1)
なので
x=3,-1で交わります
なので答えを求める式は
∫_[-1,3]-2(x-3)(x+1)
=64/3
(計算間違えてたらごめんなさい)

No.5300 - 2009/02/22(Sun) 01:38:42

★ 中学の問題 / ひろ

面積が60ｃｍ^(2)の平行四辺形ABCDがあります。辺BC,CD上にそれぞれE,Fをとったところ、三角形ABEは10ｃｍ^(2)、三角形ECFの面積は14ｃｍ^(2)になりました。
(1)BEとECの長さを最も簡単な整数の比で答えなさい。
(2)三角形AEFの面積は何ｃｍ^(2)ですか。

詳しく教えて頂ければ幸いです。

No.5287 - 2009/02/20(Fri) 00:10:57

☆ Re: 中学の問題 / X

(1)
△ABC,△ABEの面積をS,Tとすると
S=60[cm^2]×1/2=30[cm^2]
T=10[cm^2]
△ABC,△ABEは辺BC,BEを底辺と見たとき高さが等しくなりますので
BC:BE=S:T=3:1
よって
BE:EC=BE:(BC-BE)=1:2
となります。

(2)
△ACEの面積をUとすると(1)の結果から
U=(EC/BC)S=(2/3)S=20[cm^2]
ここでCからADに下ろした垂線の足をH,FからCHに下ろした
垂線の足をIとし、△ECFの面積をWとすると
CEを△ACE,△CEFの底辺と見ることにより
CH:CI=U:W=10:7
よってAD//FIにより
CD:CF=CH:CI=10:7
ですので
CF:FD=CF:(CD-CF)=7:3
よって△AFDの面積は
…
となりますので平行四辺形ABCDから周囲の三角形を
削ることを考えて、求める面積は…。

No.5290 - 2009/02/20(Fri) 17:01:43

☆ Re: 中学の問題 / ひろ

詳しく教えて頂ありがとうございました。

No.5293 - 2009/02/21(Sat) 13:22:10

★ 中学の問題 / ひろ

?@229をある数で割ると5あまり、また、259を同じ数で割ると3余る。このような数をすべて答えなさい。

?A姉は300歩で、弟は400歩でそれぞれ行けの周りの道を1周します。また姉が9歩進むのにかかる時間と弟が10歩進むのにかかる時間は同じです。姉と弟の速さを最も簡単な比で答えよ。

式の立て方など詳しく教えて頂ければ幸いです。

No.5286 - 2009/02/20(Fri) 00:02:37

☆ Re: 中学の問題 / にょろ

とりあえず(1)←丸囲み文字はやめましょう
ある数をxとします。
229=n*x+5
259=m*x+3
(n,mは商です)
224=nx
224=2*2*2*2*7-(A)

256=mx
256=2*2*2*2*2*2*2*2-(B)
ここでn,mは整数なのでxはA,Bの共通の部分のうちいくつかを含んでいると考えられます。
これより
xは1,2,4,8,16
となりますが余りが5とあるので1,2,4は除外され8,16が答えになります。

No.5288 - 2009/02/20(Fri) 06:04:06

☆ Re: 中学の問題 / にょろ

まず一歩当たりの歩く距離の比は
姉:弟=4:3
なのでそれぞれ
4x(m),3x(m)とできます。
単位時間に（姉が9歩進むのにかかる時間）
歩く歩数は9:10(1/s)より
9y(1/s),10y(1/s)とできます。
なのでそれぞれ掛けて
36xy(m/s):30xy(m/s)
～

No.5289 - 2009/02/20(Fri) 06:21:57

☆ Re: 中学の問題 / ひろ

ありがとうございました。
勉強してみます。

No.5292 - 2009/02/21(Sat) 13:21:15

★ (No Subject) / ｆだｓ

∫０～１｝ｘｆ（ｘ）ｄｘ＝∫０～１｝ｘ＾２ｆ（ｘ）ｄｘ

ｆ（ｘ）＝ｘ＾２aｘ+b＝０は相違なる実数解をもちそのうちすくなくともひとつは０と１の間にあることをしめせ

実数解をもたないとした場合のときかたでおしえたくださいｍｍ

No.5284 - 2009/02/19(Thu) 22:30:44

☆ Re: (No Subject) / ハリー

質問がキチンと書けていないと、なにが問題なのか（何につまづいているか）が理解できません。

f(x)は正しいですか？

No.5291 - 2009/02/21(Sat) 05:31:57

★ 見てもらえますか？ / Jez-z

箱の中に1,2,3の数が記入されたカードが１枚ずつある。この中から１枚とって記録したのち元に戻す。これを１回の試行とする。n（ｎ≧2）回の試行ののち、取り出したカードの最大値と最小値の差をＸとする。

Ｘ＝２のときの確率を求めよ。

（考え）
「n回の試行とも1または3のカードを取り出し、かつ少なくとも１枚は１と３のカードを取り出す確率」と同値なので、
n回の試行で1または3の出る確率は(2/3)^n
これからn回とも1またはn回とも3の確率(1/3)^nを引けばよいので、(2/3)^n-(1/3)^n-(1/3)^n
としましたが、これは題意の確率とは異なるのでしょうか？異なるのだとしたら、自分の求めた確率は日本語でいうとどのように表現されるのでしょう？イマイチ、題意の確率との差異が認識できない状態ですので、アドバイスをいただけたらと思います。

よろしくお願いします。

No.5276 - 2009/02/19(Thu) 00:12:46

☆ Re: 見てもらえますか？ / ToDa

その求め方で求めた確率は、日本語でいうと、まさに「n回の試行とも1または3のカードを取り出し、かつ少なくとも1枚は1と3のカードを取り出す確率」だと思います。

＃いや、ふざけているわけではなく。

たとえば6回の試行で1,3,3,3,2,1と引いた場合もX=2になりますがその可能性を排除しちゃってます。

No.5278 - 2009/02/19(Thu) 00:45:10

☆ Re: 見てもらえますか？ / らすかる

題意を言いかえると、
「n回の試行で、少なくとも1枚ずつは1と3のカードを取り出す確率」です。
「n回の試行とも1または3のカードを取り出し」という条件はありません。

No.5280 - 2009/02/19(Thu) 01:07:56

★ 空間ベクトル / 優

こんばんは。連続投稿してしまい、申し訳ありません。

1.↑a=(1,2,3),↑b=(0,2,5),↑c=(1,3,1)のとき、次のベクトル↑pを↑p=s↑a+t↑b+u↑c(s,t,uは実数)の形に表せ。
(1)↑p=(0,3,12)

2.↑a=(0,1,2),↑b=(2,4,6)とする。↑x=↑a+t↑b(tは実数)について、[↑x]の最小値を求めよ。また、そのときの↑xを成分で表せ。
※[]は絶対値記号です。

2問もすみません…。
どう頑張っても解けないので、どなたか解説をよろしくお願い致します。

No.5274 - 2009/02/18(Wed) 23:37:41

☆ Re: 空間ベクトル / 優

今1番は解けたので、2番だけ教えて下さい!!
よろしくお願いします。

No.5275 - 2009/02/18(Wed) 23:52:18

☆ Re: 空間ベクトル / rtz

大きさ(絶対値)に関しては2乗すれば何とかなることが多いです。

|↑x|²＝|↑a＋t↑b|²
＝|↑a|²＋2t↑a・↑b＋t²|↑b|²
＝…
あとは各要素を計算すれば、
tに関する2次式の最小値を求める問題に帰着します。

ちなみに、
絶対値| |はキーボードの右上の方、\＋Shiftで出ます。

No.5281 - 2009/02/19(Thu) 01:48:53

☆ Re: 空間ベクトル / 優

教えてくださってありがとうございました。
何とかその後自力で解けました☆
本当にありがとうございました！

No.5285 - 2009/02/19(Thu) 22:47:22

★ 極限 / あき

こんばんは！
宜しくお願いします(>_<)
http://u.upup.be/?nAKULOvsOX
の(3)ですがどう手をつけていいかが全くわかりません(>_<)どう考えれば酔いのか考え方を教えていただけないでしょうか？

No.5271 - 2009/02/18(Wed) 22:56:48

☆ Re: 極限 / angel

小問のある問題ですから、(2)あたりが重要なヒントになっている、と考えましょう。

x[n+1]=f(x[n]) と数列を定めているのと、
(2)の |f(x)-f(a)|≧√5/2・|x-a|
更に、f(a)=a
これらを組み合わせると、|x[n+1]-a|≧√5/2・|x[n]-a|

今、y[n]=x[n]-a という数列を考えてみると、|y[n+1]|≧√5/2・|y[n]| ということなので、y[1]≠0 であれば、y[n] は発散することになります。( lim |y[n]|=+∞ )
y[n] が発散するのであれば、一緒に x[n] も発散することになりますから、全ての x[n] が 1/2以上1以下に収まるという条件に矛盾するわけです。つまり、y[1]=0 である必要があります。

No.5273 - 2009/02/18(Wed) 23:29:50

★ 空間ベクトル / 優

こんばんは。よろしくお願いします!!

1辺の長さが6の立方体ABCD-EFGHについて、次の内積を求めよ。
(ｱ)↑AC・↑FB
(ｲ)↑AE・↑GD

先ほどからずっと考えているのですが、どうしても解けません。
すみませんが、どなたか教えて下さい。よろしくお願いいたします。

No.5269 - 2009/02/18(Wed) 22:36:28

☆ Re: 空間ベクトル / ヨッシー

ｂ＝ＡＢ
ｄ＝ＡＤ
ｅ＝ＡＥ
だけで表せるように変形します。
ｂ・ｂ＝ｄ・ｄ＝ｅ・ｅ＝０
ｂ・ｄ＝ｄ・ｅ＝ｅ・ｂ＝３６
です。

(ア)
ＡＣ＝ｂ＋ｄ
ＦＢ＝－ｅ
より、
ＡＣ・ＦＢ＝－ｂ・ｅ－ｄ・ｅ＝０

(イ)
ＧＤ＝－ｂ－ｅ　より
ＡＥ・ＧＤ＝－ｂ・ｅ－ｅ・ｅ＝－３６

No.5270 - 2009/02/18(Wed) 22:45:24

☆ Re: 空間ベクトル / 優

まずb・e・dだけで表せるように変形するんですね…!!
分かりやすく教えて下さって、本当にありがとうございました。

No.5272 - 2009/02/18(Wed) 23:26:59