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★ 微分積分 / ぱぴこ
答えとできれば解説もお願いします
No.80770 - 2022/02/06(Sun) 19:30:14
★ 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
おはようございます。

宜しくお願い致します。

以下問題と質問
No.80763 - 2022/02/06(Sun) 09:28:59
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
以下、K・Aさんのようにa[n]、b[n]と置いたとします。

この問題の場合は、a[n],b[n]の形状から
十分大きなnに対し
a[n]b[n]＞c[n]
(但しlim[n→∞]c[n]=∞は既知)
となるようなc[n]が用意できるということ
が分かるからです。
c[n]としては
c[n]=a[n]{(-3/4)^1+1}=(1/4)a[n]
とすればよく
a[n]b[n]＞(1/4)a[n] (A)

ここでn→∞のとき
(1/4)a[n]→∞
∴(A)より
a[n]b[n]→∞
No.80766 - 2022/02/06(Sun) 10:50:18
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
今帰ってきました

返信が遅くなり申し訳ありません。

これから、頂いた回答を理解してみます

X様
No.80768 - 2022/02/06(Sun) 13:09:57
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
今日は、
考え疲れちゃいました

明日、ご返信致します。

申し訳ございません。
No.80769 - 2022/02/06(Sun) 19:01:23
☆ Re: 無限等比数列の極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
返信が遅くなり申し訳ございません。

疲れてずっと眠っていました

早速ですが

以下のように考えてみました

ご教授よろしくお願いいたします。
No.80824 - 2022/02/09(Wed) 09:12:57
☆ Re: 無限等比数列の極限 / X
それで問題ありません。
No.80835 - 2022/02/09(Wed) 19:00:34
★ (No Subject) / ラコステ
数直線上に動点Pが最初原点上にあるとする。k=1,2,…に対してサイコロを振って、n回目に１２が出るとPは正の方向に1/2 ^k、３4が出ると負の方向に1/2 ^k、５６が出ると動かない。n回目のPの位置をPnとするとき、
（1）Pn＞0 (2)Pn＞1/2 (3)mをn未満の正の整数として1/2 ^m<Pn
それぞれの確率を求めよ.

(1)は1/3 (2)は1/9でいいですか？間違ってたら最初から教えていただきたいです
No.80760 - 2022/02/05(Sat) 23:42:07
☆ Re: / ヨッシー
>(1)は1/3 (2)は1/9でいいですか？
いいです。
No.80761 - 2022/02/05(Sat) 23:53:32
★ 3^a+4^b+5^c=6^d / りん
a,b,c,d:自然数
3^a+4^b+5^c=6^d
を満たす自然数(a,b,c,d)の組は？
(a,b,c,d)=(3,1,1,2),(3,3,3,3)は見つかったのですが
これ以外にあるのでしょうか？
一般解はあるのでしょうか？
No.80755 - 2022/02/05(Sat) 02:13:05
☆ Re: 3^a+4^b+5^c=6^d / らすかる
全く答えにはなっていませんが、
とりあえずa,b,c,d≦6000の範囲では他にありませんでした。
また、a,b,c,dが非負整数の場合は(0,1,0,1)もあります。
No.80764 - 2022/02/06(Sun) 09:58:06
☆ Re: 3^a+4^b+5^c=6^d / りん
調べていただきありがとうございました。
No.80772 - 2022/02/06(Sun) 20:01:57
★ 不等式 / りん
a,b：0≦a<bを満たす定数

f(x)=(2d-a-b)x+d^2-abのとき
（１）x≧1で常にf(x)≧0となるようなdの値をa,bを用いて表せ。
（２）x≧1で常にf(x)≦0となるようなdの値をa,bを用いて表せ。

xの前の係数が負と正で分けそうな気がしますが
わからないです。教えて下さい。
No.80750 - 2022/02/04(Fri) 20:25:24
☆ Re: 不等式 / IT
(1)f(1)≧0　かつ　(2d-a-b)≧0 をdについて解けばいいのでは？
(2) も、ほとんど同様
No.80751 - 2022/02/04(Fri) 20:56:42
☆ Re: 不等式 / りん
やっぱりそうですよね。
違うと言われたので不安になっていました。
ありがとうございました。
No.80752 - 2022/02/04(Fri) 22:07:53
☆ Re: 不等式 / IT
違うと言った人に、もう少し詳しく教えてもらえばいいのでは？
No.80753 - 2022/02/04(Fri) 22:34:48
☆ Re: 不等式 / りん
分かりました
No.80754 - 2022/02/05(Sat) 02:11:57
★ (No Subject) / ななし
有限差分法で差分方程式が出てきたのはいいのですが、この後どうすれば解けるのかわかりません。
どなたか教えてください。
No.80747 - 2022/02/04(Fri) 19:21:01
☆ Re: / ななし
追加のやつです
No.80748 - 2022/02/04(Fri) 19:21:43
☆ Re: / ななし
さらに行列表現
No.80749 - 2022/02/04(Fri) 19:40:43
★ (No Subject) / さん
どなたかお願い致します。
ちなみに答えは最小:5-√19
最大:5+√19
です。
No.80742 - 2022/02/04(Fri) 14:50:47
☆ Re: / ヨッシー

平面ｚ＝１ での断面を考えると、図のように、ＣはＳの内部にあります。
よって、Ｃ上で原点から一番遠い点が、Ｓ上の点から一番近く、また一番遠くなります。
Ｃ上の点(3,3,1)（図の●）を通る直線がＳと交わる点は
　(±15/√19,±15/√19,±5/√19) (複号同順)
ですので、
　(−15/√19,−15/√19,−5/√19)　から　(3,3,1) までの距離　5＋√19　が最大値
　(15/√19,15/√19,5/√19)　から　(3,3,1) までの距離　5−√19　が最小値
となります。
No.80743 - 2022/02/04(Fri) 15:22:00
★ (No Subject) / Hayay
1辺の長さが４cmの正四面体ABCDにおいて辺AB,AC,AD,BC,BD,CDの中点をそれぞれE、F、G、H、I、Jとする。この時、次の問に答えなさい。

（１）E、F、G、H、Iを頂点とする正八面体を、三点AHJを通る平面で切る時、頂点Fを含む方の体積を求めなさい。（因みに切り口の面積は3√11/4cm^2で、この問題自体の答えは√２/2cm^3です。）

どなたか分かる方、解説お願い致します。
No.80739 - 2022/02/03(Thu) 23:45:36
☆ Re: / らすかる
EFの中点をK、FGの中点をLとすれば、
体積を求める立体は四角錐F-HJLKです。
△FKLは正三角形なのでFK=KL=LF=1
△CHJも正三角形なのでCH=HJ=JC=2
またKH=LJ=(1/2)AH=√3
よって底面は上底1、下底2、残りの2辺√3の等脚台形となり、
高さは√{(√3)^2-(1/2)^2}=√(3-1/4)=√11/2と求まりますので
面積は(1+2)×(√11/2)÷2=3√11/4です。
Fから底面までの距離を考えるには、HJの中点をMとして△ACMを考えます。
CM=(√3/2)CH=√3で正四面体ABCDの高さは4√6/3なので
△ACMの面積は√3×4√6/3÷2=2√2です。
CM=√11なのでCから直線AMに下した垂線の長さは2√2×2÷√11=4√22/11です。
FはACの中点なので、Fから直線AMに下した垂線の長さは2√22/11となります。
従って求める立体の体積は
(3√11/4)×(2√22/11)×(1/3)=√2/2
となります。
# 単位は省略しました。
No.80741 - 2022/02/04(Fri) 00:41:20
★ 長さ指定の多角形の対角線の数の求め方 / ふぶ
問題) 1辺の長さが5cmの正六角形の対角線の中で、長さが10cmの対角線は何本ありますか

この問題は一回図形と対角線を書いて、長さが当てはまる対角線を数える形で求めるのでしょうか。

多角形の対角線の数の求め方の公式は使用しませんよね？

この問題の解き方を教えてください。
No.80733 - 2022/02/03(Thu) 13:29:29
☆ Re: 長さ指定の多角形の対角線の数の求め方 / ヨッシー
図形を描いて数える、で十分でしょう。
確認のため、
　対角線の数：6×(6−3)÷2＝9（本）
上の図で、△を作る３つの対角線、▽を作る３つの対角線
直径をなす３つの対角線で、合計が確かに９本になる、
という確認に使うならＯＫです。
No.80734 - 2022/02/03(Thu) 14:13:44
☆ Re: 長さ指定の多角形の対角線の数の求め方 / けんけんぱ
実際に図を書く/書かないは別にして、その対角線は直径になるのでその数を数えることになります。
>多角形の対角線の数の求め方の公式は使用しませんよね？
それでもいいでしょうが、いちにいさん、これで終わりますけど。
No.80736 - 2022/02/03(Thu) 14:16:46
★ (No Subject) / ふぶ
2枚目の写真です。
No.80732 - 2022/02/03(Thu) 13:18:48
★ (No Subject) / ふぶ
写真です。
No.80731 - 2022/02/03(Thu) 13:17:53
★ 向きの違いについて / ふぶ
小学4〜5年です。
写真の右が解答です。
角度や長さは合ってますが、向きが模範解答と違う場合、不正解になりますでしょうか。
No.80730 - 2022/02/03(Thu) 13:08:48
☆ Re: 向きの違いについて / ヨッシー
そもそもどういう問題ですか？

関連記事は、「返信」ボタンを押して書き込んで下さい。
No.80735 - 2022/02/03(Thu) 14:15:31
☆ Re: 向きの違いについて / ふぶ
以下、問題です。
1)次の四角形をかきなさい。
対角線の長さが4cmの正方形

2)半径3cmで、中心角120°のおうぎ形があります。このおうぎ形に、きちんとはまるひし形をかきなさい。
No.80744 - 2022/02/04(Fri) 17:29:02
☆ Re: 向きの違いについて / ヨッシー
向きがどうのこうのより、この解答はまずいですね。
小４は微妙ですが、小５ならアウトでしょう。
No.80745 - 2022/02/04(Fri) 18:27:01
☆ Re: 向きの違いについて / ヨッシー
図に (2) とありますが、1) の答え(のつもり)ですよね？
No.80746 - 2022/02/04(Fri) 18:28:48
☆ Re: 向きの違いについて / ふぶ
> 向きがどうのこうのより、この解答はまずいですね。
解答がまずい理由を教えてください。
> 小４は微妙ですが、小５ならアウトでしょう。
1)の答えのつもりです。
No.80756 - 2022/02/05(Sat) 15:09:49
☆ Re: 向きの違いについて / ふぶ
なお、正方形内の対角線は本来なら消す
ということは分かります。
No.80757 - 2022/02/05(Sat) 15:30:18
☆ Re: 向きの違いについて / IT
横から失礼します。

正方形であることを確実に示すために十分な条件と、対角線の長さが４ｃｍであることが明記してないですね。
（例えば、２つの対角線の長さが４ｃｍで互いの中点で直交することを図示する。）

模範解答も不十分かなと思います。
No.80758 - 2022/02/05(Sat) 16:12:21
☆ Re: 向きの違いについて / ヨッシー

ＩＴさんが書いてくださっていますが、
こういう図形を正方形と思い込んでると思われても
仕方ないからです。
No.80759 - 2022/02/05(Sat) 18:08:17
☆ Re: 向きの違いについて / ふぶ
>
> ＩＴさんが書いてくださっていますが、
> こういう図形を正方形と思い込んでると思われても
> 仕方ないからです。

アドバイスを参考に書き直してみました。
解答として、いかがでしょうか。
なお、写真の撮り方により歪んで見えるかも知れませんが、ノート上は直線且つ直交に書けてます。
No.80786 - 2022/02/07(Mon) 21:01:20
☆ Re: 向きの違いについて / ヨッシー
小学4〜5年の解答としては、申し分ありません。

元々、「向きが・・・」というご質問でしたが、
このような図でも一向に構いません。

No.80794 - 2022/02/08(Tue) 08:55:45
★ 中学1年　おうぎ形の公式 / 58
夜遅くに失礼します。
中学1年です。

テスト勉強のワークをしていてふと思ったんですが、なんで中心角の角度をかけると(a/360)で求められるのでしょうか？
お母さんに聞いても良くわからないと言われてしまったので教えてください。
No.80719 - 2022/02/03(Thu) 00:03:07
☆ Re: 中学1年　おうぎ形の公式 / 58
扇形の面積についてです。
No.80720 - 2022/02/03(Thu) 00:03:35
☆ Re: 中学1年　おうぎ形の公式 / ヨッシー
半径ｒ、中心角ａ°の扇形の面積が
　(半径ｒの円の面積)×(a/360)
で求められる理由でしょうか？

半径ｒ中心角１°の扇形の面積は、半径ｒの円の面積の
1/360 倍であることはわかりますか？
円は中心角360°の扇形と考えると、中心角１°なら 1/360 倍です。
中心角が 2°なら、円の 2/360 倍
中心角が 3°なら、円の 3/360 倍
　・・・
中心角が a°なら、円の a/360 倍　です。

ちなみに、半円は中心角 180°なので、円の 180/360 倍。つまり 1/2 倍。
四分円は中心角90°なので、円の 90/360＝1/4 (倍) です。
No.80723 - 2022/02/03(Thu) 00:48:17
☆ Re: 中学1年　おうぎ形の公式 / 58
1/360倍なのには気付いてませんでした。勉強になりました!ありがとうございます
No.80738 - 2022/02/03(Thu) 23:29:55
★ これでもあってる？ / あ
高１です
No.80708 - 2022/02/02(Wed) 19:25:58
☆ Re: これでもあってる？ / ヨッシー
「これでも」ということは、別の解法があるんですかね？
また、証命でなく証明ですね。

さて、本問ですが、方針は良いが、まどろっこしいですね。

式の対称性より
　ａ≧ｂ≧ｃ≧ｄ　・・・(i)
としても一般性を失わない。
から始めて、ａが一番大きい場合のみ言えば十分です。

(i)より
　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ≦ａ＋ａ＋ａ＋ａ＝４ａ
ｂ≧２、ｃ≧２、ｄ≧２ より
　ａｂｃｄ≧ａ×２×２×２＝８ａ
ａ＞０ より　４ａ＜８ａ　よって、
　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ≦４ａ＜８ａ≦ａｂｃｄ
と言った具合です。

※対象性とは、どの２つの文字を入れ替えても、同じ式になるということです。
ａが一番大きい状況を故意に作っても問題ないということです。
No.80709 - 2022/02/02(Wed) 20:09:46
☆ Re: これでもあってる？ / あ
返信ありがとうございます！！
アドバイスもしていただきありがとうございます！！
No.80711 - 2022/02/02(Wed) 20:51:13
★ 有限差分　常微分方程式 / ななし
常微分方程式を有限差分を用いて解く方法を何か例題(解析の条件を与え)を用いて教えてください。
2つくらいあると助かります
No.80705 - 2022/02/02(Wed) 16:47:37
☆ Re: 有限差分　常微分方程式 / 関数電卓
お尋ねへの回答は，掲示板に簡単に書けるようなものではありません。
「微分方程式の数値解法」等のキーワードで検索すると，沢山ヒットしますよ。
例えば こちら など。
No.80710 - 2022/02/02(Wed) 20:33:59
☆ Re: 有限差分　常微分方程式 / ななし
有限差分法はオイラー法やホイン法のことを指しているのですか？ルンゲクッタの一部と認識していたのですが
No.80715 - 2022/02/02(Wed) 21:36:00
☆ Re: 有限差分　常微分方程式 / 関数電卓
オイラー法，ホイン法であれ，ルンゲクッタ法であれ，それぞれに一長一短があると私は思っていますが…
No.80716 - 2022/02/02(Wed) 22:28:47
★ 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
何分数学?Vを勉強し始めて３日ですから

基礎から教えて下さい

以下問題と質問です
No.80667 - 2022/02/02(Wed) 10:57:42
☆ Re: 数学?V　極限 / IT
一番最初の変形（「極限値の性質から・・・」）は、どういう理屈ですか？

テキストの「数列の極限値の性質」を確認して書き込んでください。
No.80668 - 2022/02/02(Wed) 11:28:38
☆ Re: 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
おはようございます！

朝からありがとうございます


以下です　
No.80669 - 2022/02/02(Wed) 11:38:33
☆ Re: 数学?V　極限 / IT
lim[n→∞](a[n]/b[n])=lim[n→∞]a[n]/lim[n→∞]b[n]
は、a[n]とb[n]がともに収束する場合と書いてないですか？

例えば a[n]=2n,b[n]=n だと、おかしいですよね。

＃極限を考えるときは、特にていねいな考察が必要です。
（高校数学の範囲では、限界があり一部直観によるところがありますが）
No.80670 - 2022/02/02(Wed) 11:48:31
☆ Re: 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご指摘ありがとうございます。

盲点でした

これから気を付けます

引き続きよろしくお願いいたします。
No.80671 - 2022/02/02(Wed) 11:51:37
☆ Re: 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
宜しくお願い致します。

＞先ずは「anが-1/2以外の値に収束している」ということを仮定してもダメでしょうか
No.80672 - 2022/02/02(Wed) 12:26:21
☆ Re: 数学?V　極限 / IT
そう仮定した場合
最初の変形はどういう理屈ですか？
２つ目の変形はどういう理屈ですか？　
定数部分が変わってますがなぜですか？

（例題）なので、模範解答はあって、それは理解できてるのでしょうか？
No.80673 - 2022/02/02(Wed) 12:41:47
☆ Re: 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご親切におバカな私に時間を割いて頂き

ありがとうございます。

まず誤植がありました
３行目　
6a(n)+5→6a(n)+3

でした



＞(B) は、なぜ言えますか

これも　anが-1/2以外の値に収束している

と仮定して進めました

よろしくお願いいたします
No.80674 - 2022/02/02(Wed) 13:04:52
☆ Re: 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
、模範解答からは学ぶものがなく、ご質問しました。
No.80675 - 2022/02/02(Wed) 13:13:08
☆ Re: 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
IT先生を独り占めですね。

申し訳ございません
No.80676 - 2022/02/02(Wed) 13:15:07
☆ Re: 数学?V　極限 / IT
> まず誤植がありました
> ３行目　
> 6a(n)+5→6a(n)+3
> これも　anが-1/2以外の値に収束している
> と仮定して進めました
なら、正しいと思います。
No.80677 - 2022/02/02(Wed) 13:21:32
☆ Re: 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
また


＞収束する数列の極限値はただひとつしかないことを証明

は高校数学では暗黙の了解としてよいですか

実際に、このa(n)の極限値を求めると2/5と求まりますので、仮定を正論できますから

何卒宜しくお願い致します。
No.80678 - 2022/02/02(Wed) 13:25:24
☆ Re: 数学?V　極限 / キャルちゃんprpr
横からですが、この問題はまず{a_n}が収束することを示す必要がありますね。
No.80679 - 2022/02/02(Wed) 14:18:39
☆ Re: 数学?V　極限 / IT
> ＞収束する数列の極限値はただひとつしかないことを証明
>
> は高校数学では暗黙の了解としてよいですか
OKです。

>
> 実際に、このa(n)の極限値を求めると2/5と求まりますので、仮定を正論できますから

このa(n) の極限値があるかどうかは、不明なのでは？
No.80680 - 2022/02/02(Wed) 14:23:06
☆ Re: 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
ご回答ありがとうございます。

＞
横からですが、この問題はまず{a_n}が収束することを示す必要がありますね。

その通りですよね

私もそれでつまずいています

＞
このa(n) の極限値があるかどうかは、不明なのでは？

どうしたものか手が出ません
No.80681 - 2022/02/02(Wed) 14:30:35
☆ Re: 数学?V　極限 / IT
(a[n]+5)/(2a[n]+1)=(1/2)+9/(4a[n]+2) などとa[n] を一つにすればどうですか？
No.80682 - 2022/02/02(Wed) 14:35:55
☆ Re: 数学?V　極限 / IT
> 模範解答からは学ぶものがなく、ご質問しました。
模範解答は、どうやっていますか？
初学で独学+ネットで質問なら、しっかりした分かり易いテキストを使うことをお勧めします。
No.80683 - 2022/02/02(Wed) 14:40:39
☆ Re: 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
以下

テキストの解説

但し　こんな解き方をするなら、私は数学辞めます
No.80684 - 2022/02/02(Wed) 14:52:32
☆ Re: 数学?V　極限 / 編入受験生
> また
>
>
> ＞収束する数列の極限値はただひとつしかないことを証明
>
> は高校数学では暗黙の了解としてよいですか
>
> 実際に、このa(n)の極限値を求めると2/5と求まりますので、仮定を正論できますから
>
> 何卒宜しくお願い致します。

収束する数列の極限値はひとつしかないというのは、
暗黙の了解ではなく収束の定義です。
ある有限なただ１つの値に定まるとき、収束すると言います。例えば、lim_{n→∞}cos(nπ)は-1と1を交互に取るので、有限の値だとしてもひとつに定まらないので収束するとは言いません(振動する).

この問題は、a_nが収束するという条件が与えられてないです。たしかに、この手の問題の答えはほぼ１００％有限の値に収束するでしょう。しかし、それは導出の手がかりとなるだけであって、実際の論証でいきなり収束を仮定すると減点されます。

この問題では収束は仮定しなくても、収束することを示せます。以下、解答例（収束することの証明部分だけ）。

(a_n + 5)/(2a_n+1)を部分数分解すると,
(a_n + 5)/(2a_n+1) = {(a_n+1/2)+9/2}/2(a_n+1/2) = 1/2 + 9/2(a_n+1)
ここで、n→∞のとき,1/2 + 9/2(a_n+1)は3に収束するのだから,2(a_n+1)は有限な値に収束するしかありえない.
なぜなら,nが無限に近づくにつれて2(a_n+1)が+-∞に近づくなら,9/2(a_n+1)は0に近づいて行くので,lim_{n→∞}{1/2 + 9/2(a_n+1)}は1/2となるので,矛盾.
また,nが無限に近づくにつれて,2(a_n+1)がある有限な複数の値を取る(振動)としたら,lim_{n→∞}{1/2 + 9/2(a_n+1)}は複数の有限な値を取るから,矛盾.
∴n→∞のとき,2(a_n+1)は収束する.
同様な議論で,2(a_n+1)は収束する⇔a_nは収束することがいえる.

高校数学の範囲ではこのレベルの論証で十分です。
No.80685 - 2022/02/02(Wed) 14:53:48
☆ Re: 数学?V　極限 / キャルちゃんprpr
> 以下
>
> テキストの解説
>
> 但し　こんな解き方をするなら、私は数学辞めます

数学的に飛躍なくちゃんとした模範解答だと思いますが…
No.80686 - 2022/02/02(Wed) 14:58:06
☆ Re: 数学?V　極限 / IT
編入受験生さん＞
>収束する数列の極限値はひとつしかないというのは、
>暗黙の了解ではなく収束の定義です。

定義によります。私もそのとおりだと思いましたが、昔使ったテキスト「微分積分学（笠原こう司）サイエンス社」では、証明してあります。

極限値の一意性は「解析入門（田島一郎）岩波全書」でも章末問題にしてあります。

(命題)　実数列{a[n]}n=1,2,...の極限値は存在するとすれば唯一つである。
(証明概要){a[n]}n=1,2,..に対しa,b（a≠b)が共に極限値だったとする。
　ε=|b-a|/3 とると、|a[n]-a｜＜εかつ|a[n]-b｜＜εとなることはないので、矛盾。
No.80687 - 2022/02/02(Wed) 15:15:32
☆ Re: 数学?V　極限 / IT
＞但し　こんな解き方をするなら、私は数学辞めます

数学は、いろいろな解き方がありますので柔軟に考えてください。

私は、思い付きませんでしたし、
一見テクニカルとも思えますが
収束することや極限値が分かっており取り扱い易い(a[n]+5)/(2a[n]+1)を数列b[n]とおくことは、そんなに不自然ではないと思います。
No.80688 - 2022/02/02(Wed) 15:20:09
☆ Re: 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ

編入受験生さん＞

ご回答ありがとうございます。

これで行きます

どうせ数学をやるならカッコよくが前提ですから

ありがとうございました
No.80689 - 2022/02/02(Wed) 15:20:30
☆ Re: 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
IT先生お時間をおとらせしました

今日もありがとうございます

最後まだ分からないところがあります。

以下です

お時間が許す様ならお願いします。
No.80690 - 2022/02/02(Wed) 15:26:41
☆ Re: 数学?V　極限 / キャルちゃんprpr
> >収束する数列の極限値はひとつしかないというのは、
> >暗黙の了解ではなく収束の定義です。
>
> 定義によります。私もそのとおりだと思いましたが、昔使

定義によるんですか？
どう定義しようと、定義から論理的に導かれる命題だと思いますが。
No.80691 - 2022/02/02(Wed) 15:31:21
☆ Re: 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
今回の質問で、多くの知識をえました
No.80692 - 2022/02/02(Wed) 15:31:50
☆ Re: 数学?V　極限 / IT
できるだけ、ていねいにやると
lim((6a[n]+3)-(a[n]+5)))
=lim(6a[n]+3)-lim(a[n]+5)
=0

∴lim(5a[n]-2)=0
∴lim(5a[n]-2+2)=2
∴lim(5a[n])=2
∴lima[n]=2/5

n→∞は省略しました。
No.80693 - 2022/02/02(Wed) 15:41:24
☆ Re: 数学?V　極限 / キャルちゃんprpr
> 今回の質問で、多くの知識をえました
IT氏の挙げた田島解析入門を読めばこれ以上得られると思いますよ^^
No.80694 - 2022/02/02(Wed) 15:43:47
☆ Re: 数学?V　極限 / キャルちゃんprpr
> できるだけ、ていねいにやると
> lim((6a[n]+3)+(-1)(a[n]+5)))
> =lim(6a[n]+3)+lim((-1)(a[n]+5))
> =lim(6a[n]+3)+(-1)lim(a[n]+5)
> =0

Bだけからだとこの変形はBの両辺がともに極限を持つときでないと許されないです。
a[n]の収束はすでに示された前提ですか
No.80695 - 2022/02/02(Wed) 15:50:19
☆ Re: 数学?V　極限 / IT
キャルちゃんprpr＞
>定義によるんですか？
>どう定義しようと、定義から論理的に導かれる命題だと思いますが。

すべての定義の仕方を知っているわけではないので、そのように書きました。
（定義に一意性を書いてあることもあるかなと思ったわけですが、そんなことはないでしょうね。）
No.80696 - 2022/02/02(Wed) 15:51:58
☆ Re: 数学?V　極限 / IT
> > =lim(6a[n]+3)+(-1)lim(a[n]+5)
> > =0
>
> Bだけからだとこの変形はBの両辺がともに極限を持つときでないと許されないです。
> a[n]の収束はすでに示された前提ですか

もちろんそうです。

キャルちゃんprprさんが、ご指摘のことは、間違いないよう再確認してください。

私の計算は、あくまでもa[n] が収束することを前提にしてますので、元の問題では、有効に適用できないと思います。
No.80697 - 2022/02/02(Wed) 15:54:34
☆ Re: 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
線形性があるんだすね

IT先生に感謝です　　

一題から多くを学ぶ、これが基本姿勢です

ありがとうございました
No.80698 - 2022/02/02(Wed) 15:55:53
☆ Re: 数学?V　極限 / キャルちゃんprpr
> もちろんそうです。
そうだったんですね、失礼しました。


>（定義に一意性を書いてあることもあるかなと思ったわけですが、そんなことはないでしょうね。）

そうですね^^
No.80699 - 2022/02/02(Wed) 16:04:25
☆ Re: 数学?V　極限 / キャルちゃんprpr
> 線形性があるんだすね
>
> IT先生に感謝です　　
>
> 一題から多くを学ぶ、これが基本姿勢です
>
> ありがとうございました

普通に田島解析入門あたりを読んでその演習問題解いてた方がよほど多くを学べますよ。
多く学びたいということならそっちの方を強くお勧めします。
No.80700 - 2022/02/02(Wed) 16:06:48
☆ Re: 数学?V　極限 / IT
久しぶりに「田島解析入門」を見ましたが、分かり易く丁寧で厳密性も保っており、読みやすいと思います。

（他にもやることがあるでしょうけど、時間がたっぷりあるなら）
数３の解析分野（極限・微分・積分）をしっかりやるならお勧めです。
　
No.80701 - 2022/02/02(Wed) 16:19:22
☆ Re: 数学?V　極限 / 編入受験生
高校数学の範囲では、
nが→∞に近づくとき、a_nがある有限な一つの値αに近づいていくならば、n→∞のときのa_nの極限はαに収束するという.
そもそも、収束のところで、ただ一つの値に定まることの証明とかそんな議論は高校数学の範囲（教科書）では一ミリもでてきませんが。
大学数学のような厳密さを高校数学に求めることがそもそもナンセンスだし、わざわざ収束値は一つしかないなんてことを証明する必要はない。大学での定義と高校での定義は違うなんて例はいくらでもあります。そもそも、高校ではデルタイプシロン論法など使わないように。
そこを考慮すべきだと思います。
No.80702 - 2022/02/02(Wed) 16:28:24
☆ Re: 数学?V　極限 / 編入受験生
イプシロンデルタ論法の間違い
No.80703 - 2022/02/02(Wed) 16:29:59
☆ Re: 数学?V　極限 / 編入受験生
高校数学の問題を解く・理解するために、大学数学の書籍を勧めるということが如何に愚かであるか、知ったほうがいいよ。
何のために問題を解けるようになりたいのかということをちゃんと理解するべき。大学数学理解できるから、高校数学もわかるようになるなどと思うのは、甘い考え方だと思う。
大学数学の厳密な極限を理解して、高校数学をやればきっとその不厳密さに混乱するだろうから。
No.80704 - 2022/02/02(Wed) 16:34:24
☆ Re: 数学?V　極限 / 桜蔭学園中等部２年　K・A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　校訓： 勤勉 ・温雅 ・聡明であれ責任を重んじ、礼儀を厚くし、よき社会人であれ
まだまだ数学初心者だけど

この問題の解き方の良し悪しくらいは分かる

私は先細りする考え方は嫌い

今回は本当に質問して良かった

回答者様

ありがとうございました
No.80707 - 2022/02/02(Wed) 17:34:52
☆ Re: 数学?V　極限 / キャルちゃんprpr
> 高校数学の問題を解く・理解するために、大学数学の書籍を勧めるということが如何に愚かであるか、知ったほうがいいよ。
> 何のために問題を解けるようになりたいのかということをちゃんと理解するべき。大学数学理解できるから、高校数学もわかるようになるなどと思うのは、甘い考え方だと思う。
> 大学数学の厳密な極限を理解して、高校数学をやればきっとその不厳密さに混乱するだろうから。

田島解析入門は高度な数学専門書というわけでもなく初学者でも分かりやすく書かれていて、仮に中高生が読んだとしても何故か高校数学が分からなくなるような代物じゃないんだけどなあ。愚かなんだなぁへー^^;
質問者さんが大学入試を突破したいだけってなら、別に気にせず入試問題集とかで練習してもらって。
No.80724 - 2022/02/03(Thu) 01:16:26
☆ Re: 数学?V　極限 / ast
そもそも質問者(kitano)はほぼ確実に中高生じゃないしなあ
No.80909 - 2022/02/14(Mon) 09:50:29
★ (No Subject) / ここ
空間図形の問題です。

2r X 2r の正四角形を平面に描き、端の4点を中心にそれぞれ半径rの球を描きます。この4つの球は接点で固定されており、剛体です。この立体物に対して、半径Rの剛体の球を衝突・接触させた時に接触可能な領域の表面積はどのように計算できるのでしょうか？

4つの球のうちまずは2つを取り出して考えてみました。2つの球の接着部分に沿って1つの球を360℃沿わせて描いた接点の軌跡は、4つの球になると、4個の球の中心に落ち込んだところで、終点になるはずです。そして、感覚的には、この落ち込みでは、各4球との4点が接点となり、ここが折り返し地点で残りの3方向(90℃、180℃、270℃)にも延長できると感じています。具体的な計算方法がないと数学的には正しくないと感じています。こういう立体図形の問題にどう対処するのがいいのでしょうか？
No.80662 - 2022/02/02(Wed) 06:11:31
☆ Re: / 関数電卓
下図１のように，x 軸上に中心をもち原点で接する半径１の２球に対し，半径１の第３の円（赤）は図１の着色部分（−1/2≦x≦1/2 の部分）と接することが出来ません。
お尋ねのような４球固定の場合には，図２の着色部分の４倍が求める面積になります。
図２で，半径１の球の表面の y≧1/2 の部分（黄＋橙）及び z≧1/2 の部分（ピンク＋橙）の面積は，それぞれ単独には容易に求まるのですが，共通部分（橙）の面積が簡単には求まらないようです。
No.80713 - 2022/02/02(Wed) 21:09:38
☆ Re: / 関数電卓
上図の橙色部分の面積 S は↓の式で求まるようですが，恥ずかしながら私にはこの積分が出来ません。解析的に求まるのかどうかも分かりません。
No.80714 - 2022/02/02(Wed) 21:14:25
☆ Re: / ここ
> 上図の橙色部分の面積 S は↓の式で求まるようですが，恥ずかしながら私にはこの積分が出来ません。解析的に求まるのかどうかも分かりません。

御助言ありがとうございます。確認ですが、ピンクと橙色は90度で直行するという解釈でよろしいですよね？この感覚的な解釈を自分もしていたのですが、4球になった時に、4球の落ち込みに球がハマった時ら辺の、位置関係がどうも、感覚的な気がするのですが、数学的に正しいのでしょうか。

また、問題自体がrとRだったのですが、どうやって普遍化したらいいのでしょうか。頭がヒートして、こんがらがってます。
No.80717 - 2022/02/02(Wed) 22:41:13
☆ Re: / 関数電卓
> ピンクと橙色は90度で直行するという解釈でよろしいですよね？
はい，結構です。
> 4球になった時に、4球の落ち込みに球がハマった時ら辺の、位置関係がどうも、感覚的な気がするのですが、数学的に正しいのでしょうか。
下図３と↑の図２を併せてご覧になれば，納得されることでしょう。
> また、問題自体がrとRだったのですが、どうやって普遍化したらいいのでしょうか。
r と r の場合に難航しているのですから，普遍化は 絶望的 でしょう。
問題の出典は何ですか？
No.80721 - 2022/02/03(Thu) 00:07:27
☆ Re: / ここ
> 大学の数学基礎の過去問です。

rとrのシンプルな計算式は理解できたのですが、上記の数式はどうやって導き出したのでしょうか。

> 絶望的

そうですか。何故この問題が存在するのか謎ですね。。。
No.80722 - 2022/02/03(Thu) 00:12:09
☆ Re: / らすかる
> 上図の橙色部分の面積 S

Sの値はarctan(√2/5)になるようですが、
これは橙色部分の面積の1/2ではありませんか？
No.80725 - 2022/02/03(Thu) 05:54:53
☆ Re: / らすかる
一般の場合は
(黄+橙)=(ピンク+橙)=2πRr^2/(R+r)
橙色部分は
R≦(√2-1)r のとき 0 (2領域が重ならない)
R＞(√2-1)r のとき
4r^2・{arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r))-r/(R+r)*arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/r)}
となりますので、
着色部分の面積は
R≦(√2-1)r のとき 4πRr^2/(R+r)
R＞(√2-1)r のとき
4r^2・{πR/(R+r)-arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r))+r/(R+r)*arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/r)}
非着色部分の面積は
R≦(√2-1)r のとき 4πr^2-4πRr^2/(R+r)=4πr^3/(R+r)
R＞(√2-1)r のとき
4πr^2-4r^2・{πR/(R+r)-arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r))+r/(R+r)*arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/r)}
=4r^2・{arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r))+r/(R+r)*(π-arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/r))}
従って求める面積はその4倍で
R≦(√2-1)r のとき 16πr^3/(R+r)
R＞(√2-1)r のとき
16r^2・{arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r))+r/(R+r)*(π-arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/r))}
となると思います。

また、最後の式
16r^2・{arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r))+r/(R+r)*(π-arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/r))}
はarctanをarccosに変えると少し短くなって
16r^2・{arccos((R+r)/√(2R(R+2r)))+r/(R+r)*arccos(-r/√(R(R+2r)))}
となります。
No.80727 - 2022/02/03(Thu) 07:09:47
☆ Re: / 関数電卓
> Sの値はarctan(√2/5)になる
確かにその通りですね。こちら，及び こちら。
> 橙色部分の面積の1/2ではありませんか？
その通りです。θ：π/4〜π/2 で積分しているので。失礼しました。
計算，も少し粘ってみます。有り難うございました。
No.80728 - 2022/02/03(Thu) 08:54:48
☆ Re: / らすかる
WolframAlphaで厳密解が出ないときでも
不定積分は出してくれることが多いので、
不定積分に自分で積分範囲を代入して計算すれば
厳密解が出せます。

# そのような場合、一般に積分結果が長くなり、代入手計算は面倒ではありますが、
# 実際に上記の積分も不定積分は出してくれます。
No.80729 - 2022/02/03(Thu) 09:52:38
☆ Re: / ここ
みなさん、ありがとうございます。

空間図形に弱すぎて、初歩の初歩で躓いています。。。
＞
?@(黄+橙)=(ピンク+橙)=2πRr^2/(R+r)
?A橙色部分はR＞(√2-1)r のとき
4r^2・{arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r))-r/(R+r)*arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/r)}

これはどうやって、導いたのですか？
No.80737 - 2022/02/03(Thu) 16:29:57
☆ Re: / らすかる
説明に関数電卓さんの図を使用します。
No.80713の図1は3円の半径が1ですが、
これを下2つの黒い円の半径をr、上の赤い円の半径をRとします。
右の黒い円の中心をA、赤い円の中心をB、線分ABと赤い円の交点
（すなわち2円の接点）をCとし、Cからx軸に垂線CHを下します。
AB=R+r、OA=r、AC=rであり△OAB∽△HACからAB：OA=AC：AHなので
AH=OA・AC/AB=r^2/(R+r)とわかります。
よってOH=OA-AH=r-r^2/(R+r)=Rr/(R+r)です。
（No.80713の例ではR=r=1なのでOH=1/2となります。）
球面の面積は円柱面に投影すれば求めるのが簡単になります。
図1の円Aを球と考えて黄色の部分の表面積を考える場合、
これをx軸を中心として半径rの円柱面に投影すれば
高さがRr/(R+r)、半径がrの円柱面になりますので、
面積は2πr・Rr/(R+r)=2πRr^2/(R+r)と求まります。
よって(黄+橙)=(ピンク+橙)=2πRr^2/(R+r)です。

No.80721の図3の赤線は円の中心からの距離が1/2なので
交わって橙色の部分が出来ていますが、この距離が1/√2以上のとき
赤縦線と赤横線は（円内では）交わらず、橙色の部分がありません。
円の半径がrの場合は「r/√2以上」です。
「中心からの距離がr/√2以上」を式で表すと
AH≧r/√2 すなわち r^2/(R+r)≧r/√2 であり、これを整理すると
R≦(√2-1)rとなります。よってR≦(√2-1)rのときは橙色の部分がなく、
着色部分の面積は2・2πRr^2/(R+r)=4πRr^2/(R+r)となります。
R＞(√2-1)rの場合は橙色の部分がありますので、
4πRr^2/(R+r)からこの面積を引かなければなりません。
橙色の面積の考え方はNo.80713の図2で説明します。
ただし図2では球の半径が1ですが、rとします。
具体的に式で表してみると、
球は x^2+y^2+z^2=r^2
「黄+橙」の周である赤い円は球の式でy=AH=r^2/(R+r)とすればよいので
x^2+z^2=(R+2r)Rr^2/(R+r)^2, y=r^2/(R+r) となります。
同様に「ピンク+橙」の周の赤い円は
x^2+y^2=(R+2r)Rr^2/(R+r)^2, z=r^2/(R+r) です。
この2式から、橙色部分のx方向の範囲は
|x|≦r√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r)
と求められます。
よって橙色部分を円柱面y^2+z^2=r^2に投影して
平面x=tで切った時の投影後の図の弧長を求め、
-r√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r) から r√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r) まで
tで積分すれば面積が求まります。
対称性から、平面y=zと平面x=0で4分割してその一つ分の面積を求めて
4倍します。
x=t と x^2+y^2=(R+2r)Rr^2/(R+r)^2, z=r^2/(R+r) の交点のうち
橙色部分の縁である点の座標は
(t,√{(R+2r)Rr^2/(R+r)^2-t^2},r^2/(R+r))
と求められ、この点からx軸に下した垂線とxy平面とのなす角度は
arctan({r^2/(R+r)}/{√{(R+2r)Rr^2/(R+r)^2-t^2}})
=arctan(r^2/√{(R+2r)Rr^2-t^2(R+r)^2})
と求められますので、弧長は
{π/4-arctan(r^2/√{(R+2r)Rr^2-t^2(R+r)^2})}・r
とわかります。
従って橙色部分の面積は
4∫[0〜r√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r)]{π/4-arctan(r^2/√{(R+2r)Rr^2-t^2(R+r)^2})}r dt
=4r∫[0〜r√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r)]π/4-arctan(r^2/√{(R+2r)Rr^2-t^2(R+r)^2}) dt
です。
積分にはWolframAlphaを使用しました。
上記のままだと複雑すぎてよくわからなくなりますので
a=r^2
b=(R+2r)Rr^2
c=(R+r)^2
d=r√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r)
とおいて
4r∫[0〜d]π/4-arctan(a/√(b-ct^2)) dt
を計算します。
しかしこの定積分値は得られませんでしたので、
不定積分を求めて値を代入します。
不定積分は
∫π/4-arctan(a/√(b-ct^2)) dt
={(√(a^2+b))arctan(at√(c/(a^2+b))/√(b-ct^2))-aarctan(t√c/√(b-ct^2))}/√c
-tarctan(a/√(b-ct^2))+tπ/4+C
となり、このtに0を代入すると積分定数を除いて0ですから、
tにdを代入して4r倍したものが橙色部分の面積となります（積分定数は削除）。
つまり橙色部分の面積は
4r・{{(√(a^2+b))arctan(ad√(c/(a^2+b))/√(b-cd^2))-aarctan(d√c/√(b-cd^2))}/√c-darctan(a/√(b-cd^2))+dπ/4}
です。
この式でa,b,c,dをRとrの式に戻して整理すると
4r^2・{arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r))-r/(R+r)*arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/r)}
が得られます。
これが一つの球の着色部分の面積ですから、球の表面積(4πr^2)からこれを引いて4倍したものがR＞(√2-1)rの場合の答えになります。
No.80740 - 2022/02/04(Fri) 00:22:08
☆ Re: / ここ
> らすかるさん

数学偏差値105をたたき出したこともあるのですが、ここまで難しいとは思いませんでした。正直、手も足もでません。

教えていただいたスキームで概ね理解できたつもりなのですが、最も簡単なr=R=10mmのケースで計算すると、3Dの解析ソフトでシミュレーションしてみた値と合致しません。。。

どちらが間違っているのかわからないのですが、橙色部分を計算すると、あまりにも値が小さい気がしたのですが、どこか計算ミス等ありますでしょうか。。。自分では見つけられません。
No.80762 - 2022/02/06(Sun) 09:03:06
☆ Re: / らすかる
r=R=10mmを
4r^2・{arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r))-r/(R+r)*arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/r)}
に代入すると、橙色部分の面積は55.12855984…という値になると思います。
以下、説明を簡単にするためNo.80713の図2で(1,0,0)を北極、(-1,0,0)を南極、
球面とx=0の共通部分を赤道とします。
橙色の部分は、r=Rのとき最大幅（赤道上で占める経度）が30°となりますよね。
もし橙色部分が同図でx軸方向に長く、球面上で平面z=(√3)yと
平面z=(1/√3)yに挟まれたy＞0(z＞0)の部分全体とすると
球の表面積のちょうど1/12になりますが、そのときの面積は
4πr^2/12=104.71975511…になります。
橙色部分の端点の緯度は北緯/南緯45°ですから、（球面上での）長さは
上記の長い図形のちょうど半分です。よって面積も半分に近い値になることが
予想されますが、実際55.12855984…は半分に近い値なので正しそうですね。
No.80765 - 2022/02/06(Sun) 10:19:17
☆ Re: / ここ
今理由がわかりました。
4r^2・{arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/(R+r))-r/(R+r)*arctan(√(R^2+2Rr-r^2)/r)}
をWolframalphaに入れたのですが、・が積として、認識されないため、誤解しました。
完全に、シミュレーションと一致します。ただただ素晴らしいの一言です。
これで回りのみんなにも、回答の共有できそうです。この難問たるや、、、数学オリンピックみたいな感じですかね。。受けたことありませんが。
No.80767 - 2022/02/06(Sun) 11:00:12
★ 立体図形　高校〜大学数学 / ここ
空間図形の問題です。

2r X 2r の正四角形を平面に描き、端の4点を中心にそれぞれ半径rの球を描きます。この4つの球は接点で固定されており、剛体です。この立体物に対して、半径Rの剛体の球を衝突・接触させた時に接触可能な領域の表面積はどのように計算できるのでしょうか？

4つの球のうちまずは2つを取り出して考えてみました。2つの球の接着部分に沿って1つの球を360℃沿わせて描いた接点の軌跡は、4つの球になると、4個の球の中心に落ち込んだところで、終点になるはずです。そして、感覚的には、この落ち込みでは、各4球との4点が接点となり、ここが折り返し地点で残りの3方向(90℃、180℃、270℃)にも延長できると感じています。具体的な計算方法がないと数学的には正しくないと感じています。こういう立体図形の問題にどう対処するのがいいのでしょうか？
No.80661 - 2022/02/02(Wed) 05:35:42
★ 高校数学2　図形と方程式 / ひろし
点（ｘ、ｙ）が直線 x-2y+1=0　上を動くとき、点 ( x+|y|, |x|+y )の軌跡を求めよ

解説を確認しましたところ、

a) x<=-1 のとき y=-x
b) -1<x<=1/2 のとき y=-1/3*x+2/3
c) 1/2<x のとき y=x

と記載されていました。
私のx-2y+1=0のグラフを使った計算では、
a) x<=-1 のとき y=-x
b) -1<x<=0 のとき y=-1/3*x+2/3
c) 0<x のとき y=x
となったのですが、何処が間違えているか分かりません。
教えて下さい。
No.80655 - 2022/02/01(Tue) 23:29:05
☆ Re: 高校数学2　図形と方程式 / ヨッシー
どこがというのは分かりませんが、
b) と c) がｘ＝０ で繋がらないので、
ダメはダメでしょう。
No.80659 - 2022/02/02(Wed) 01:04:30
☆ Re: 高校数学2　図形と方程式 / X
横から失礼します。

直線 x-2y+1=0 (A)
上の点のx座標と
点(x+|y|,|x|+y)
におけるx座標x+|y|を混同していることが原因です。
最終的な解答のa)b)c)におけるxの値の範囲は
点(x+|y|,|x|+y)
のx座標であるx+|y|の値の範囲であって
(A)上の点のx座標の値の範囲ではありません。

(A)より
y=(1/2)(x+1)
ですので
a)x≦-1のとき
x+|y|=x-y=x-(1/2)(x+1)
=(1/2)(x-1)≦-1
とこれはxとx+|y|の値の範囲が
一致しているのですが
b)-1≦x≦0のとき
x+|y|=x-y=x+(1/2)(x+1)
=(3/2)x+1/2
∴-1≦x+|y|≦1/2
c)0≦xのとき
b)と同様にして
1/2≦x+|y|
No.80663 - 2022/02/02(Wed) 06:27:41
☆ Re: 高校数学2　図形と方程式 / ひろし
ありがとうございました。
理解出来ました。
また、何かありましたら宜しくお願い致します。
No.80665 - 2022/02/02(Wed) 08:35:26
★ 確率 / ラコステ
A,Bを含む2ⁿ個のチームが抽選で2チームずつに分かれて対戦し、勝ち残ったチームにも同様のことを繰り返し、1チームになるまで繰り返す。各対戦でどちらのチームが勝つ確率も1/2であるとするときAとBが何回目かに対戦し、かつAが最後に勝ち残る確率を求めよ.

分かりません、お願いします
No.80654 - 2022/02/01(Tue) 22:45:34
☆ Re: 確率 / ヨッシー
チームが２^n 個のときの条件を満たす確率をｐ[n] とします。
　ｐ[1]＝1/2
ｐ[k] が分かっているとき、ｐ[k+1] を考えます。
２^(k+1) チームのトーナメントは、２^k チームのトーナメントが
２つ繋がったものです。
２^(k+1)個の席にＡとＢを入れる方法は
　２^(k+1)×{２^(k+1)−1}＝２^(2k+2)−２^(k+1)　通り
このうち、ＡとＢが同じブロックになる(２^k のトーナメントに含まれる)
場合の数は
　２^(k+1)×(２^k−1)＝２^(2k+1)−２^(k+1)　通り
違うブロックになる確率は
　２^(k+1)×２^k＝２^(2k+1)　通り
前者の場合
　Ａが途中でＢに勝って決勝に行く確率は　ｐ[n]
　さらに決勝で勝つ確率が　ｐ[n]×1/2
後者の場合
　Ａが決勝に上がる確率は　1/２^k
　Ｂが決勝に上がる確率は　1/２^k
　その上で、Ａが勝つ確率は　1/２^k×1/２^k×1/2＝1/２^(2k+1)
よって、
　ｐ[k+1]＝ｐ[k]/2＋1/２^(2k+1)
という漸化式が出来ます。
これを解いて
　ｐ[n]＝1/2^(n-1)−1/2^(2n-1)
No.80658 - 2022/02/02(Wed) 01:00:41
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