正三角形の頂点を反時計回りにＯ，Ａ，Ｂとし、「コインを投げて表が出れば反時計回りに次の頂点に移動し、裏が出れば移動せずその頂点に留まる」という試行を考える。頂点Ｏを出発し、n回の試行の後、頂点Ｏ，Ａ，Ｂにいる確立をそれぞれp(n),q(n),r(n)と表す。ただし、p(0)=1,q(0)=r(0)=0とする。
(1)p(n+3)={3-p(n)}/8 (n=0,1,2,････)であることを示せ。
(2)lim n→∞,p(n)=lim n→∞,q(n)=lim n→∞,r(n)=1/3であることを示せ。
全く分かりません。
わかる方、よろしければ教えて下さい。お願いします。
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No.5206 - 2009/02/15(Sun) 12:08:01
| ☆ Re: 確率 / ヨッシー  | | | (1)
ｎ回目にＯにいるとき、n+1 回目には50%ずつの確率で、
点Ｏと点Ａにいます。
ｎ回目にＡにいるとき、n+1 回目には50%ずつの確率で、
点Ａと点Ｂにいます。
ｎ回目にＢにいるとき、n+1 回目には50%ずつの確率で、
点Ｂと点Ｏにいます。
以上より
p(n+1)＝{r(n)＋p(n)}/2
q(n+1)＝{p(n)＋q(n)}/2
r(n+1)＝{q(n)＋r(n)}/2
という漸化式が出来ます。
これを利用すると
p(n+3)＝{r(n+2)＋p(n+2)}/2
＝{q(n+1)＋r(n+1)＋r(n+1)＋p(r+1)}/4
＝{q(n+1)＋2r(n+1)＋p(r+1)}/4
＝{3q(n)＋3r(n)＋2p(n)}/8
p(n)＋q(n)＋r(n)＝１ より
p(n+3)＝{3−p(n)}/8
(2)
A(n)＝p(3n)
B(n)＝p(3n+1)
C(n)＝p(3n+2) とおきます。(n=0,1,2,････)
(1) の結果より
A(n+1)＝{3−A(n)}/8, A(0)＝1
B(n+1)＝{3−B(n)}/8, B(0)＝1/2
C(n+1)＝{3−C(n)}/8, C(0)＝1/4
と書けます。
A(n+1)-1/3＝(-1/8){A(n)−1/3}
より
A(n)−1/3＝(2/3)(-1/8)^n
A(n)＝(2/3)(-1/8)^n＋1/3
同様に
B(n)＝(1/6)(-1/8)^n＋1/3
C(n)＝(-1/12)(-1/8)^n＋1/3
となり、ｎ→∞ のとき A(n), B(n), C(n)ともに、1/3 に収束するので
limn→∞p(n)=1/3
同様に
D(n)＝q(3n)
E(n)＝q(3n+1)
F(n)＝q(3n+2) とおくと
D(n+1)＝{3−D(n)}/8, D(0)＝0
E(n+1)＝{3−E(n)}/8, E(0)＝1/2
F(n+1)＝{3−F(n)}/8, F(0)＝1/2
G(n)＝r(3n)
H(n)＝r(3n+1)
I(n)＝r(3n+2) とおくと
G(n+1)＝{3−G(n)}/8, G(0)＝0
H(n+1)＝{3−H(n)}/8, H(0)＝0
I(n+1)＝{3−I(n)}/8, I(0)＝1/4
より、それぞれ
D(n)＝G(n)＝H(n)＝(-1/3)(-1/8)^n＋1/3
E(n)＝F(n)＝B(n)
I(n)＝C(n)
となり、いずれも 1/3 に収束します。以上より、
limn→∞q(n)=1/3
limn→∞r(n)=1/3
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No.5209 - 2009/02/15(Sun) 12:49:21 |
| ☆ Re: 確立 / mon | | | なるほど
まずn+1回目の確立をn回目の確立で表すのですね。
大変よく分かりました。
丁寧な解答、解説ありがとうございました。
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No.5220 - 2009/02/15(Sun) 21:38:12 |
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