ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 関数の極限 / Kay(新高２女子)

関数の極限の計算について質問します。
（ア）途中の四則計算は、数列や微積分の計算などと同じよ
　　　うに、数学的に正しければ、いくつかの求め方があっ
　　　てもよいですか。
（イ）計算の途中経過はどこまで詳しく書けばいいのです
　　　か。
（ウ）模範解答では文字を置換しているのですが、置換しな
　　　くてもいいですか。

具体的には、
(1) lim, x→-∞, (x^3-2x+3)
=lim, x→-∞, x^3*{1-2/x^2+3/x^3}・・・?@
　　=-∞*{1-2/∞+3/(-∞)}・・・?A
　　=-∞*(1-0+0)・・・?B
=-∞Kay・・・?C
で、模範解答は?@の後すぐに?Cとなっているのですが、?Aや?Bを入れては間違いですか。

(2)lim, x→-∞, {√(x^2+1) + x }について

【模範解答】
√(x^2+1) + x ={(x^2+1)-x^2}/{√(x^2+1) - x}
=1/{√(x^2+1) - x}
よって、x=-t とおくと
x→-∞のとき　t→∞であるから
lim, x→-∞, {√(x^2+1) + x }
=lim, t→∞, 1/{√(t^2+1) + t}
=lim, t→∞, (1/t)/{√(1+1/t^2) +1}
=0

【私の答案】
lim, x→-∞, {√(x^2+1) + x }
=lim, x→-∞, (x^2+1-x^2)/{√(x^2+1)-x}
=lim, x→-∞, 1/{√(x^2+1)-x}
=1/{√(∞+1)-(-∞)}
=1/(∞+∞)
=1/∞
=0

細かくてすみませんが、よろしくお願いします。

No.5650 - 2009/04/19(Sun) 12:51:37

☆ Re: 関数の極限 / angel

とりあえず、∞は実際の数ではないため、極限計算の途中経過に出してはいけないです。気持ちは良く分かるのですが。

置換については…、今回のようなケースであれば特になくても良いでしょう。

No.5662 - 2009/04/20(Mon) 23:18:26

☆ Re: 関数の極限　補足 / BossF

（ア）途中の四則計算は、数列や微積分の計算などと同じよ
　　　うに、数学的に正しければ、いくつかの求め方があっ
　　　てもよいですか。
→当然いくつあっても不思議ではありません

（イ）計算の途中経過はどこまで詳しく書けばいいのです
　　　か。

これは難しい問題を含んでいるのですが…それはおいといて

単純に極限を考えると
　∞-∞　∞/∞　0/0　などになってしまう形を不定形といい

それが[ぱっと見て]　∞+∞　や　定数/∞　などの極限が分かる形まで変形すればよいことになってます

ところが、[ぱっと見て]がどれくらいかは、当然人によって異なるわけで、模試などの採点をしてたときに悩んだものでしたが…（＾＾；；

No.5664 - 2009/04/21(Tue) 02:27:35

★ (No Subject) / 高校一年

　
　?@Ａ3乗-Ａ2乗Ｂ+ＡＢ2乗/Ａ3乗+Ｂ3乗
　の答えはＡ/Ａ+Ｂであっていますか？

　?A（3X-4/X2乗-3X+2）-（3X+2/X2乗-4）
　の答えは3/（X+2）（X+1）であっていますか？

　?B（X-1+2/X+2)/(X+1-2/X+2)の答えは
　（X+1）/（X+3)で合っていますか？
　
　答えが分からないので教えて下さい。
　もし間違っている場合は解答、解説もお願いします！！

No.5643 - 2009/04/19(Sun) 09:17:37

☆ Re: / 七

図のようなことでしたらあっています。

No.5645 - 2009/04/19(Sun) 09:46:46

☆ Re: / らすかる

?Aは合っていないと思います。

No.5646 - 2009/04/19(Sun) 12:13:29

☆ Re: / 七

うっかりしていました。
3/(x＋2)()x－1)
ですね。

No.5648 - 2009/04/19(Sun) 12:30:34

☆ Re: / 七

またもや。お分かりとは思いますが
3/(x＋2)(x－1)

No.5649 - 2009/04/19(Sun) 12:41:19

☆ Re: / 高校一年

回答ありがとうございました！！

No.5659 - 2009/04/20(Mon) 19:08:56

★ 相加・相乗平均 / 高2

　
　Ｌ=(ａ+2/ｂ)(ｂ+3/ａ)
　という問題のついて、
　?@Ｌの最小値
　?AＬが最小値をとるときa・bが満たす条件
　をもとめたいのですが、解けません。

　私は、?@は
　ａ+2/ｂ≧2√ａ・2/ｂ
　ｂ＋3/ａ≧2√ｂ・3/ａ

　Ｌ≧4√ａ・2/ｂ・ｂ・3/ａ
　イコールＬは、4√6
　であると考え、
　?Aは
　a＝2/ｂ・ｂ＝3/a
だと考え解きました。
　この考えは間違っているのでしょうか？？
　そもそもこの問題は、相加・相乗平均の問題なのでしょう　か？
　答えと、解き方の両方が分からないので、
　両方詳しく教えていただけると助かります！！
　よろしくお願いいたします。

No.5642 - 2009/04/19(Sun) 09:07:18

☆ Re: 相加・相乗平均 / 七

a，bがともに正，またはともに負という条件があれば
相加・相乗平均の問題として解けます。
その前提で
ａ+2/ｂ≧2√ａ・2/ｂ
ｂ＋3/ａ≧2√ｂ・3/ａ
はともに相加・相乗平均の式ですが
この2つの式の等号成立条件が異なりますので同時には使えません。

Lを展開した式に相加・相乗平均を用いましょう。

No.5644 - 2009/04/19(Sun) 09:26:23

☆ Re: 相加・相乗平均 / 高2

　展開してといて見ます！！
　ありがとうございました。
　

No.5660 - 2009/04/20(Mon) 19:09:56

★ 漸化式（高３） / kei

絶対値記号のついている漸化式の問題でつまづいてしまいました。

a[1]=2008,a[n+1]=|a[n]-n|(n=1,2…)で定まる数列{a[n]}がある。a[n]=20となるnを求めよ。またa[2008]を求めよ。

よろしくお願い致します。

No.5636 - 2009/04/18(Sat) 08:11:55

☆ Re: 漸化式（高３） / 七

分からなくなったら
具体的に，n＝1，2，3，…の場合を考えてみましょう。
nが小さいときはa[n+1]=a[n]-n と考えてかまいませんから
まず，これについて一般項を考えてみては？

No.5637 - 2009/04/18(Sat) 09:30:37

★ 最大最小 / ロン

今、数学を復習しているのですがいろいろこんがらがってしまいました。
回答お願いします。

問題
第一象限にある定点P(a.b)を通る直線がｘ、ｙ軸と交わる点をA,Bとするとき次のものの最小値を求めよ。

(1)△AOBの面積
(2)線分ABの長さ

というものです。(1)は普通に微分して求められたのですが、二番をやると計算がごちゃごちゃになってしまいました。

No.5634 - 2009/04/18(Sat) 01:09:30

☆ Re: 最大最小 / 七

ABが最小になるのはAB^2＝OA^2＋OB^2 が最小になるときです。
(1)の結果を利用して
相加･相乗平均が使えそうな気がします。

No.5635 - 2009/04/18(Sat) 06:39:35

☆ Re: 最大最小 / DANDY　U

定点P(a.b)を通る直線が「ｘ軸の正の部分で」ｘ軸と交わり、「ｙ軸の正の部分で」ｙ軸と交わると書かれていないので
(1)(2)とも最小値は存在しない (Ａ,Ｂ,Ｏが一致してもよいとするのなら 0 )

No.5639 - 2009/04/18(Sat) 20:57:47

☆ Re: 最大最小 / cloud

正の部分で交わるという前提で考えてみます。

（１）直線の傾きを－ｋとすると、ＯＡ＝ａ＋ｂ/ｋ，ＯＢ＝ｂ＋ｋａより
△ＡＯＢ＝(１/２)ＯＡ・ＯＢ＝(１/２)（２ａｂ＋ｋａ＾２＋ｂ＾２/ｋ）
となるので、相加・相乗平均の公式を使えば答えが出ます。

（２）∠ＢＡＯ＝θとおくと、ＰＡsinθ＝ｂ，ＰＢcosθ＝ａより
ＡＢ＝ＰＡ＋ＰＢ＝ｂ/sinθ＋ａ/cosθ
これをθで微分すると｛－ｂ（cosθ）＾３＋ａ（sinθ）＾３｝/（sinθ・cosθ）＾２
となるので
（tanθ）＾３＝ｂ/ａ
となる時に極値をとります。あとは計算により求められると思います。
（２）に関してはもっといい解法がありそうな気もしますが、とりあえずはこの方法でも解けそうです。

No.5641 - 2009/04/19(Sun) 05:21:24

★ (No Subject) / ゆき

高校の微積分を４０年ぶりに復習しています。

lim[h->0] ( (f(x+h) -f(x) ) / h)
から
(x^0)'=0
(x^1)'=1
(x^2)'=x
(x^3)'=2x
を確認してから数学的帰納法により
　(x^n)'=nx^(n-1)
が成立することは証明・理解できました。
＃値域は　n:自然数　という限定ですよね、この段階では。

次の段階として
　(x^(n/m))' = (n/m)x^(n/m-1)
を証明して値域を有理数に広げることができるのですが、

１、合成関数の微分 ((x^n)^(1/m))' としての証明では
　　(x^(1/m))' =(1/m)x^(1/m -1)
を当然のように使います。
２、http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~yamane/bekijo.pdf
　　で紹介されているものは「等比数列の和の公式」という
　　私にとってはなじみのない公式が出てきます。

そこで質問なのですが

(x^(1/m))' =(1/m)x^(1/m -1)

という式の証明は高校課程ではどのように実現
できるのでしょうか？

No.5630 - 2009/04/17(Fri) 10:31:31

☆ Re: / 七

数3の教科書では
y＝x^(1/m)
y^m＝x として両辺をxについて微分することにより
求めていたと思います。

No.5631 - 2009/04/17(Fri) 16:06:18

☆ Re: / ゆき

ありがとうございます。

>y^m＝x として両辺をxについて微分

「逆関数の微分」ですね。

y=f(x) x=g(y) のとき
y'=1/(g'(f(x))

思い出しました。
ありがとうございました。

No.5638 - 2009/04/18(Sat) 12:38:28

★ 小６　倍数 / 網島

１００より小さい整数の中で６で割ると３あまり、７で割ると４あまるもっとも大きい数を求めよ。

解答を見たら、「求める数より３大きい数は６と７の公倍数になる。」と書いてあり、答えは８４－３＝８１となっていましたが、どうしてそうなるのかがわかりません。わかりやすく教えてください。

No.5628 - 2009/04/16(Thu) 23:47:46

☆ Re: 小６　倍数 / らすかる

6で割ると3余る数に3を足すと6の倍数になります。
7で割ると4余る数に3を足すと7の倍数になります。
よって6で割ると3余り7で割ると4余る数に3を足すと
6の倍数であり、しかも7の倍数である数になりますね。

No.5629 - 2009/04/17(Fri) 03:42:24

★ 復習で分からない所が… / 高３

円(x-4)^2+y^2=4…?@
直線y=mx(mは定数)…?Aが相異なる２点Ｐ、Ｑで交わっている。

(1)定数mの値のとり得る範囲は、|m|＜√〇/〇

(2)Ｐ、Ｑの中点をＭとし、Ｍの座標を(Ｘ,Ｙ)とすると
Ｘ=〇/m^〇+〇
Ｙ=〇m/m^〇+〇

〇にあてはまる数字を定めよ、というものです。
よろしくお願いします！

No.5626 - 2009/04/16(Thu) 20:18:57

☆ Re: 復習で分からない所が… / ろっきぃたん

(1)
（円の中心と直線?Aの距離）＜（円の半径）

(2)　
?Aを?@に代入すると、P,Qのx座標を求める方程式・・・?Bができます。

P,Qのx座標をp、qとおくと、y座標はmp、mq。
P,Qの中点は（p＋q/2 , mp+mq/2)

なのでp+qが分かれば中点の座標が求まります。

p+qは方程式?Bで解と係数の関係を用いれば求まります。

No.5627 - 2009/04/16(Thu) 22:07:53

★ 数学?TA / むささび３年

質問です。
三角形ABCにおいてAB＝７、BC＝８、CA＝９のとき

(1)面積を求めよ。

(2)内接円の半径を求めよ。

１辺の長さが３の正四面体ABCDにおいて

(1)Aから三角形BCDに下ろした垂線の長さを求めよ。

(2)体積をもとめよ。

No.5623 - 2009/04/15(Wed) 20:59:59

☆ Re: 数学?TA / DANDY　U

(1) へロンの公式↓　を使うのが手っ取り早いです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

[別解] 余弦定理より cosＡを求める → sinＡを計算する→ △ABC＝(1/2)*AB*AC*sinＡ　が求まります。

(2) 内接円の中心をＯ,半径をｒとすると
△ABC＝△ABO+△BCO+△CAO＝(1/2)*AB*r＋(1/2)*BC*r＋(1/2)*CA*r＝12ｒ
これと(1)の結果からｒが求まります。

[後半] 底面BCDの重心をＧ、BGの延長とCDとの交点をＥとして
(1) BEを計算する → BG＝(2/3)*BE を計算する → △ABGにおいて三平方の定理を用いる。
この手順で求まるでしょう。

(2)△BCDを計算すれば(1)の結果から容易に求まります。

No.5624 - 2009/04/16(Thu) 09:53:13

★ 高2・三角関数 / 匿名

π≦θ≦5π/4、sinθ-cosθ=1/2のとき、
sinθ+cosθの値を求めよ。

π≦θ≦5π/4より
sinθ≦0、cosθ＜0と解答にはありますが、
なぜ不等号の判断ができるのでしょうか?

宜しくお願いします。

No.5621 - 2009/04/15(Wed) 17:35:29

☆ Re: 高2・三角関数 / rtz

ここまで学習されているなら、
sinやcosが0～2πの間でどういう値を取るかは既習だと思いますが。

0～πでsinθ≧0、π～2πでsinθ≦0
0～π/2,(3/2)π～2πでcosθ≧0、(1/2)π～(3/2)πでcosθ≦0
をご存じないですか？

No.5622 - 2009/04/15(Wed) 18:43:51

☆ Re: 高2・三角関数 / 匿名

返信が遅くなりました。

それは既に習っていた部分でした!
弧度法にまだ慣れていなかったので
質問してしまいました…

ご説明ありがとう
ございました!

No.5651 - 2009/04/19(Sun) 17:07:52

★ お願いします?ｫ / 高校1年

x,y,zをx(1/x)＋(1/y)＋(1/z)=1/2を満たすx,y,zの組(x,y,z)の中で、xが最大となる組をすべて求めよ。

No.5614 - 2009/04/14(Tue) 17:59:11

☆ Re: お願いします?ｫ / 雀

x(1/x)＋(1/y)＋(1/z)=1/2
ではなくて、
(1/x)＋(1/y)＋(1/z)=1/2
ですよね？

あと、x、y、zの条件はないですか？

No.5615 - 2009/04/14(Tue) 18:46:12

☆ Re: お願いします?ｫ / 高校1年

はいそうでした?ｫ

あとx

No.5616 - 2009/04/14(Tue) 19:15:04

☆ Re: お願いします?ｫ / 高校1年

ｘ＜ｙ＜ｚです?ｫ

No.5617 - 2009/04/14(Tue) 20:35:06

☆ Re: お願いします?ｫ / X

＞＞xが最大となる組をすべて求めよ。
ですので
＞＞ｘ＜ｙ＜ｚです?ｫ
が
x＞y＞z
のタイプミス
又x,y,zは自然数であると見て回答します。

1/x+1/y+1/z=1/2 (A)
z＜y＜x (B)
とします。
x,y,zは自然数ですので(B)より
1/z>1/y>1/x>0
∴(A)から
1/2=1/x+1/y+1/z<1/z+1/z+1/x=3/z
∴z<6 (C)
一方(A)から
1/x+1/y=1/2-1/z>0
∴2<z (D)
(C)(D)より
z=3,4,5
後はそれぞれのzの値について場合分けして
(A)から(B)を満たすx,yを求めます。
(i)z=3のとき
(A)より
1/x+1/y=1/6
これより
6(x+y)=xy
(x-6)(y-6)=36 (A)'
ここで(B)より
x-6＞y-6＞z-6＞-3
∴(A)'から
(x-6,y-6)=(36,1),(12,3)
∴(x,y)=(42,7),(18,9)
(ii)z=4のとき
…
(iii)z=5のとき
…

No.5618 - 2009/04/14(Tue) 22:03:44

☆ Re: お願いします?ｫ / BossF

「xが最大となる組をすべて求め」られるのだから、x,y,zを整数と勝手に決めてときます(違ってたらすみません)

x の最大値を求めるので
0＜x＜y＜zとします

0＜x＜y＜z だから　1/x>1/y>1/z

∴(1/x)＋(1/y)＋(1/z)=1/2<3/x
∴ x≦5

x=5 のとき　(1/y)＋(1/z)=3/10
　　　　　　　⇔10y+10z=3yz
⇔(3y-10)(3z-10)=100
ここで 5<y<z より　5<3y-10<3z-10に注意すれば解なし

x=4 のとき　(1/y)＋(1/z)=1/4
　　　　　　　⇔4y+4z=yz
⇔(y-4)(z-4)=16
ここで 4<y<z より　0<y-4<z-4に注意すれば
(y-4,z-4)=(1,16),(2,8)
すなわち　(y,z)=(5,20)(6,12)

よって　(x,y,z)=(4,5,20),(4,6,12)

あら、うえとかぶってる、（＾＾；；
いずれにせよ、問題文は正確にね！！

No.5619 - 2009/04/14(Tue) 22:19:55

☆ Re: お願いします?ｫ / X

問題文を読むと
＞＞ｘ＜ｙ＜ｚです?ｫ
でも意味は通りますね。
ごめんなさい、私の早とちりでした。

No.5620 - 2009/04/14(Tue) 23:06:22

★ ｙの値について / とん（社会人）

ｙ＝log x のグラフについてお願いします。
このグラフのｘの値が無限になったとき、ｙの
値はどのようになるのでしょうか（ｙは無限かそれともある数か）？
また、上記の答えになるのは何故ですか？
よろしくお願いします

No.5610 - 2009/04/13(Mon) 19:25:44

☆ Re: ｙの値について / rtz

最大となるような実数y₀が存在するならば、
x₀＝e^y₀であるような正数x₀が存在する。

ところで、x₁＝e*x₀(＞0)とすると、
y₁＝log(x₁)であるような実数y₁＝1＋y₀＞y₀が存在する(矛盾)。

No.5611 - 2009/04/14(Tue) 00:19:46

☆ Re: ｙの値について / cloud

はじめまして、cloudです。

関数には定義域があり、ｙ＝logｘの場合は０＜ｘ＜∞、すなわちｘが正の実数になる範囲で定義されています。その意味ではｘが無限の時ｙは「定義されていない」というのが答えになります。
ただし極限という考え方があり、ｘが限りなく大きくなっていった時（すなわち無限に近づく時）ｙがどうなるかを考えることはできます。この場合、ｘが大きくなるにつれてｙもどんどん大きくなっていくので、極限値は∞（無限大）ということになります。
考え方としてはだいたいそんなところだと思います。

No.5612 - 2009/04/14(Tue) 05:51:09

☆ ありがとうございます / とん

rtzさん cloudさん詳しく教えていただきありがとうございます。
xが限りなく大きくなったときyも限りなく大きくなるということですね。

No.5613 - 2009/04/14(Tue) 08:40:41

★ ここの使い方について / 犬

聞きたい事があるのですが、学校の予習をする際にあたってそろそろ理解が出来ない部分がでてくるかもしれません。その場合についてもここで質問して宜しいのでしょうか？土曜日あたりに一括して聞きたく思うのであまり迷惑にはならないとは思っています。

No.5609 - 2009/04/13(Mon) 18:21:08

☆ Re: ここの使い方について / ヨッシー

かまいませんよ。
学年は何ですか？（以前の記事にあるかもしれませんが）

No.5625 - 2009/04/16(Thu) 10:36:56

☆ Re: ここの使い方について / 犬

新高２です、他の皆様もよろしくお願いします。

No.5632 - 2009/04/17(Fri) 19:49:31

☆ Re: ここの使い方について / 犬

ヨッシーさん有難う御座います。
新高２です、他の皆様もよろしくお願いします。

No.5633 - 2009/04/17(Fri) 19:50:05

★ 関数の極限 / Kay(新高２女子)

［問］
lim x→1+0, {x/(x-1)}　の極限を求めよ。

［私の答案］
lim x→1+0, x/(x-1)
=lim x→1+0, (x-1+1)/(x-1)
=lim x→1+0, 1+{1/(x-1)} と変形すると、
これは、f(x)=1/xを、ｘ軸方向に１、ｙ軸方向に１だけ平行移動
したグラフとなるので、

（ここにグラフを描いて）

x=1の右側で、xが１に近づくにつれて、f(x)は無限に大きくなるので
lim x→1+0, x/(x-1) = ∞

と考えました。

［模範解答］では、
関数 f(x)=x/(x-1)　は,1<x のとき 0<f(x)
lim x→1+0, x = 1, lim x→1+0, x-1 =0 であるから、
lim x→1+0, x/(x-1) = ∞
となっています。
たしかに、そのとおりなのですが、やはり［模範解答］のようで
ないとダメですか。

よろしくお願いします。

No.5597 - 2009/04/11(Sat) 18:38:10

☆ Re: 関数の極限 / rtz

特に問題はないと思いますが、
t＝x-1として、
lim[x→1+0] x/(x-1)
＝lim[t→+0] 1＋(1/t)
＝1＋lim[t→+0] (1/t)
＝∞
とすれば移動操作は要りませんね。

No.5601 - 2009/04/11(Sat) 20:00:06

☆ Re: 関数の極限 / Kay(新高２女子)

ありがとうございました！

No.5647 - 2009/04/19(Sun) 12:21:05

★ 無限等比級数 / Kay(新高２女子)

［問］
座標平面状で、点Pが原点Oから出発して、ｘ軸の正の方向に１だけ進み、次にｙ軸の正の向きに　1/2　だけ進み、次にｘ軸の正の方向に 1/(2^2)だけ進み、次にｙ軸の正の方向に 1/(2^3)だけ進む。以下このような運動を限りなく続けるとき、点Pが近づいていく点の座標を求めよ。

［私の答案］
ｘ座標は、
1/(2^0)+1/(2^2)+1/(2^4)+1/(2^6)+･･･+1*{(1/4)^(n-1)}+･･･
という無限等比級数で、等比 r=1/4 で、|r|<1 より収束し、
その和は、1/{1-(1/4)}=1/(3/4)=4/3

ｙ座標は、
1/2+1/(2^3)+1/(2^5)+･････+(1/2)*{(1/4)^(n-1)}+････
という無限等比級数で、等比 r=1/4 で、|r|<1より収束し、
その和は、(1/2)/{1-(1/4)}=(1/2)/(3/4)=4/6=2/3

としました。
無限等比級数であることと、等比の絶対値が１より小さいことを
示し、後は、a1/1-r を用いました。

しかし模範解答は、Σ記号を用いた以下のようなものでした。

［模範解答］
x=1+1/(2^2)+1/(2^4)+･････+Σ n→∞, 1/{2^(2n-2)}+･･･
=1/{1-(1/4)}=1/(3/4)=4/3
y=1/2+1/(2^3)+1/(2^5)+･････+Σ n→∞, 1/{2^(2n-1)}+････
=(1/2)/{1-(1/4)}=2/3

質問は、特にｙ軸の座標について、確かに一般項を
1/{2^(2n-1)}　と表すことはできますが、これが、無限等比級数であることを示さずに、a1/1-r　を用いているところに違和感
があります。
また、Σ n→∞, 1/{2^(2n-1)}を変形して
Σ n→∞, (1/2)*{(1/4)^(n-1)}と示せば、これは等比が１未満の無限等比級数だと一目でわかり、a1/1-r　を使えると思うの
ですが、変形しないで、1/{2^(2n-1)}のままなのは、少し乱暴だと思うのですが、私が慣れていないだけですか。

それではよろしくお願いします。

（特にｙ座標

No.5596 - 2009/04/11(Sat) 18:10:44

☆ Re: 無限等比級数 / rtz

そこまで厳密でなくても、
公比が(1/2)²になるのは分かりますから、このままでもいいと思いますよ。
(ただ、?狽ﾌ位置が変な気はしますが)

それを言いだすと、
部分和を出して極限を取ったほうが云々といった話になりますので。

No.5600 - 2009/04/11(Sat) 19:54:03

★ 三角関数の極限について / Kay(新高２女子)

次の問題で、模範解答を読んで、それ自体は理解できたのです
が、なぜ絶対値を用いるのかが分かりません。よろしくお願いし
ます。

［問］
lim x→0，xsin(1/x)・・・?@　の極限を求めよ。

［模範解答］
0≦|sin(1/x)|≦1　より
0≦|xsin(1/x)|=|x|*|sin(1/x)|≦|x|
lim x→0, |x|=0 より、
lim x→0, |xsin(1/x)|=0・・・?A
?Aより
lim x→0，xsin(1/x)=0・・・?B

［質問］
１．単純に　lim x→0, xsin(1/x)
=(lim x→0, x) * {lim x→0, sin(1/x)}
=∞ * 0
=0
とは出来ませんか。
数列の極限の計算では、
lim x→∞, an*bn
=(lim x→∞, an) * (lim x→∞, bn) が可能でした
　　が、関数の極限には当てはめることができませんか。

２．そもそも何故絶対値を用いるのかが分からないでいます。
　　それに伴い、?Aから?Bへ絶対値をはずすだけで解答が導ける
　　のも分かりません。

新しい分野を独学で予習しているので、よろしくお願いします。

No.5595 - 2009/04/11(Sat) 17:25:13

☆ Re: 三角関数の極限について / rtz

lim[x→0]sin(1/x)≠0ですのでできません。
振動しますので0になりません。

-1≦sin(1/x)≦1でもいいですが、
結局同じ方針の上、2回それを繰り返すことになります。
-x～xで挟める以上、0になるのが見えますので、
絶対値を付けた方が楽でしょう。

No.5599 - 2009/04/11(Sat) 19:39:51

★ (No Subject) / スヌーピー

　
数列の問題です。高３です。　
　
　数列anのはじめのn項の和をSnとする。
　Sn=3n-7-an(n=1,2,3・・・)が成り立つとき
　anを求めよ。

階差数列を使うと思ったのですが
　勘違いみたいでよくわかりません。
　解説よろしくお願いします。

No.5592 - 2009/04/11(Sat) 12:04:04

☆ Re: / angel

はい。ご想像の通り階差数列が鍵です。
数式で表すなら、a[n+1]=S[n+1]-S[n] を利用する、となります。
後は初項の決定に必要な、S[1]=a[1] も。

元の等式から
　S[n] = 3n - 7 - a[n]
　S[n+1] = 3(n+1) - 7 - a[n+1]
　S[1] = 3・1 - 7 - a[1]
が導かれるため、上記を利用して
　a[n+1] = S[n+1]-S[n] = 3 + a[n] - a[n+1]
　a[1] = -4 - a[1]
という、2項間漸化式の問題に落ち着きます。

No.5593 - 2009/04/11(Sat) 13:02:31

☆ Re: / スヌーピー

　解説ありがとうございます。
　
　S[1]=a[1]ということから
　a[1]=-2を出してみて
　a[n+1] = S[n+1]-S[n] = 3 + a[n] - a[n+1]
という式は理解できました。　
　
　すいませんがこの先どのようにして良いのか
　わかりません。
　自分の考えの間違いを含め解説お願いします。
　

No.5604 - 2009/04/11(Sat) 23:12:13

☆ Re: / angel

遅くなって申し訳ないですが、その先です。

a[n+1] = 3 + a[n] - a[n+1]
整理すると、
2a[n+1] = a[n] + 3
（もしくは a[n+1] = 1/2・a[n] + 3/2）

という、隣接2項間漸化式の問題になります。
一般に、a[n+1] = r・a[n] であれば、公比 r の等比数列として計算できます。が、今回は +α がありますので、ちょっとだけ手間が増えます。

両辺から 6 を引いて
2a[n+1] - 6 = a[n] - 3
2(a[n+1]-3) = (a[n]-3)
(a[n+1]-3) = 1/2・(a[n]-3)
これより、b[n]=a[n]-3 なる数列 b[n] を考えると、b[n+1]=1/2・b[n] という漸化式になるため、b[n] は等比数列です。

-6 をどうやって思いつくか…? そこはテキトーです。（答案に求める過程を書く必要はないし）

しかし、一般に a[n+1] = r・a[n] + α の形 ( r≠1 ) の場合、上のような変形を行うために、次のような計算ができます。

　方程式 x = r・x + α を解く
　　　※a[n+1] および a[n] を x に置き換えたもの
　　⇒ 解をβとする。( β=α/(1-r)、α=(1-r)β )
　漸化式の両辺からβを引く
　　a[n+1]-β = r・a[n]+α-β
　これを変形すれば、a[n+1]-β=r(a[n]-β)
　　∵r・a[n]+α-β=r・a[n]+(1-r)β-β=r・a[n]-rβ

No.5640 - 2009/04/19(Sun) 01:16:42

★ 期待値　よろしくお願いします / key

勝つとそのまま続けられるゲームがあります。今このゲームを9回再挑戦できるとして、合計何ゲーム期待できるか求めなさい。ただしゲームに勝つ確率は常に８０％であるとする。

よろしくお願いします。　m(..)m

No.5586 - 2009/04/10(Fri) 14:28:00

☆ Re: 期待値　よろしくお願いします / DANDY　U

先ず１回負けるまでに出来る試合数の期待値Ａを求めます。
１ゲームで終わる確率＝1/5
2ゲーム目に進む確率＝4/5 ,2ゲームで終わる確率＝(4/5)*(1/5) ・・・
ｎゲーム目に進む確率＝(4/5)^(n-1) ,nゲームで終わる確率＝(4/5)^(n-1)*(1/5)
よって、Ａ＝1*(1/5)＋2*(4/5)*(1/5)＋3*(4/5)^2*(1/5)＋・・　　
すると
5Ａ＝1＋2*(4/5)＋3*(4/5)^2＋4*(4/5)^3＋・・・　　　(イ)
5Ａ*(4/5)＝(4/5)＋2*(4/5)^2＋3*(4/5)^3＋・・・　　(ロ)
(イ)-(ロ)より　Ａ＝1＋(4/5)＋(4/5)^2＋(4/5)^3＋・・・
　　　　　　　＝1/(1－4/5)＝5
9回再挑戦できるということは、10回負けるまでということですよね？　
そうだとすると　Ａ*10＝5×10＝50（試合）ということになります。

No.5590 - 2009/04/10(Fri) 23:16:21

☆ Re: 期待値　よろしくお願いします / key

回答ありがとうございます！
とてもよくわかりました＾＾

No.5591 - 2009/04/11(Sat) 00:26:13