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対数関数 / 礼花 高2
こんばんは。いつもお世話になります。

1.曲線y=x^2-3(-1≦x≦2)と、3直線y=-2x,x=-1,x=2で囲まれた2つの部分の面積の和Sを求めよ。

2.放物線y=x^2-4x+3と、この放物線上の点(4,3),(0,3)における接線で囲まれた図形の面積を求めよ。

2問も、しかも丸投げで申し訳ありません。学校を休んでいる間に授業が随分進んでしまったようで、正直2問ともよく分かりません。本当にすみませんが、解説をよろしくお願いします!

No.3673 - 2008/11/05(Wed) 21:57:49

Re: 対数関数 / ヨッシー
1.

図の2つの部分の面積ですね。
黄色の方は、
 ∫-1〜1{-2−(x2−3)}dx=4/3
水色の方は
 ∫1〜2{(x2−3)−(-2)}=4/3
S=8/3

2.
y’=2x−4 より、点(4,3)、点(0,3)における接線の傾きは
それぞれ、4,−4で、その式はそれぞれ
 y=4x−13、y=−4x+3
よって、求める面積は、図の部分です。

左半分と右半分に分けますが、対称性より、左だけ求めて2倍します。
 ∫0〜2{(x^2-4x+3)−(-4x+3)}dx=∫0〜2x2dx=[x3/3]0〜2=8/3
よって、求める面積は、16/3

No.3676 - 2008/11/05(Wed) 23:53:24

Re: 対数関数 / ヨッシー
2.の方は、こちらの3番により、
 (4-0)3/12=16/3
と求められますが、公式だけ覚えるのは、要注意です。

No.3677 - 2008/11/05(Wed) 23:56:01

Re: 対数関数 / 礼花 高2
お返事が遅くなってしまい、本当に申し訳ありませんでした;
ヨッシーさんのおかげで何とか理解することができ、この単元のテストでも高得点をゲットすることができました!
本当にありがとうございました。

No.4187 - 2008/12/09(Tue) 19:56:44
(No Subject) / 巧
x+2y+2≧a…?@
y+2z+1≧a…?A
z+2x-3≧a…?B
x+y+z=8…?C

(1)?@〜?Cの式を満たすaの値の最も大きい値を求めよ。
(2)(1)で求めたaに対して、その時のx,y,zの値を求めよ。

(1)はa=8となったのですが、自信ありません。
(2)は全く分かりません。

答えはどれも一桁になるみたいです。
よろしくお願いします。

No.3664 - 2008/11/05(Wed) 19:20:55

Re: / rtz
あっている、あっていないは別にして、
恐らく第1式〜第3式まで足して24≧3a⇔a≦8から考えたのだと思いますが、
それならまずは
x+2y+2=8、y+2z+1=8、z+2x−3=8
を満たすようなx,y,zがあるかどうか考えましょう。
(なかったからと言って「a=8となる可能性を否定できる」わけではありませんが、あったら「a=8となることがある」ことは言えます。)


というかこの問題(2)の答えが出ない限り、
(1)の答えが正しいことを立証できないわけで、
(1)(2)で配点があるならちょっと違和感を覚えますね…。

No.3665 - 2008/11/05(Wed) 20:01:14

Re: (No Subject) / 巧
(1)(2)という感じにはなってませんでした。

解き方教えて頂けませんか?

No.3667 - 2008/11/05(Wed) 20:39:46

Re: / rtz
既に書きましたが…。
No.3668 - 2008/11/05(Wed) 20:48:12

Re: (No Subject) / 巧
3つの連立方程式解いたのですが、分数になってしまいます。
解答欄は一桁になってるので…。

No.3671 - 2008/11/05(Wed) 21:08:08

Re: (No Subject) / 巧
すいません。
計算ミスでした…

No.3672 - 2008/11/05(Wed) 21:12:04
次数 / あき
いつもありがとうございます!またお願いします(^^)
http://s.upup.be/?j6owfJG5Sw
の問題で次数を定めるまでがわからなくて答えでは
http://p.upup.be/?kXaaoIuU86
このように書いていたのですがどうも理解出来ませんでした!
まず−がはいる時は次数を単純に定められないということなのでしょうか???
教えて下さいp(^^)q

No.3662 - 2008/11/05(Wed) 18:31:51

Re: 次数 / あき
画像が逆になっていました、 取り直しました、問題です
http://k.upup.be/?vLSXyTT4b4
お願いします…

No.3669 - 2008/11/05(Wed) 20:48:54

Re: 次数 / ヨッシー
答えの方も、かなりピンぼけで見えなかったのですが、
こちらの場合は、
(n+1次式)+(n次式) であるので、(n次式)の方がどんな式であっても、
(n+1次式)の方の、n+1次の項が消えることはありません。

ところが今回の場合、
(n次式A)+(n次式B) だと、
n次式A と n次式Bのxn の係数によっては、
n の項が消えてしまうことがあります。
ということを言っています。
「−が入る時」ではなく、「同じ次数の式を足すとき」です。

No.3670 - 2008/11/05(Wed) 20:53:55

Re: 次数 / あき
なるほどです!
今までそんな細かいことは考えておりませんでした…
勉強になります。
答えの方撮り直しました、
http://i.upup.be/?FBcZ1qjq5v
です、
先程の話は理解できたのですがいざ答えはじゃあどうすればいいのかというのがわからなかったので教えて下さい宜しくお願いします!

No.3678 - 2008/11/06(Thu) 02:04:24

Re: 次数 / ヨッシー
とはいうものの、f(x) が何次式か、1次,2次,3次,4次と
調べていく際には、上のようなことを、気にする場面はありません。
(知識としては、心に留めておいてください)

さて、何次式かは、上に書いたように、また、解答にあるように、
1次、2次・・・と吟味していくと、2次であることがわかります。
その先は、f(x)=ax^2+bx+c (a≠0) とおくところから始まります。

No.3680 - 2008/11/06(Thu) 09:45:19

Re: 次数 / あき
そうなんですか!じゃ普通に1/3x^3があるから二次式と考えられる。というような感じでいいのでしょうか?
No.3681 - 2008/11/06(Thu) 11:42:34

Re: 次数 / あき
解決できました、ありがとうございました
No.3697 - 2008/11/07(Fri) 03:13:33
周期 / みかん
小5です。

1周が30cmの円があります。その円周上を点アから出発し、時計回りに毎秒3?pの速さで動く光があります。
この光は、動き始めと同時につき始め、A秒間ついて、B秒間消えるというようにくり返して、1時間で停止します。また、点ア、点イ、点ウ、点エは、円周を4等分した点です。

光がついたままで、点イを通過した回数が300回とする。AとBは整数で、和が12のときAはいくつですか。考えられるすべての数を答えなさい。

よろしくお願いいたします。

No.3658 - 2008/11/05(Wed) 17:15:49

Re: 周期 / ヨッシー
光は、10秒で1周するので、1時間=3600秒で 360周します。
一方、60秒で 6周したところで、点く、消えるの繰り返しが
ちょうど5回繰り返されて、スタート地点に戻ります。
これが、60回繰り返されると、1時間分になります。

よって、問題を、同じ条件で、60秒(6周)までの間に、光が点いたままで、
イを5回通過したと考えます。

さて、文には書いていませんが、ア→イに進む方向が時計回りとします。
イを通過する時刻は、出発してから、
 2.5, 12.5, 22.5, 32.5, 42.5, 52.5 (秒)
の6回です。12秒周期の最初から何秒かで言うと、(たとえば、
点いて、消えて、次に点くのが12秒なので、12.5秒は、そこから
数えると、0.5秒になります。同様に、24秒、36秒、48秒から
何秒かを考えます)
 2.5, 0.5, 10.5, 8.5, 6.5, 4.5
となり、一番遅い 10.5秒の時には消えていて、その前の
8.5 秒の時には点いていたことになります。
(以下略)です。

 

No.3660 - 2008/11/05(Wed) 17:40:08

Re: 周期 / みかん
ありがとうございました。
私には、まだ難しくて自力では解けそうにない問題です。
よく考えて、やってみます。

No.3661 - 2008/11/05(Wed) 17:56:42

Re: 周期 / みかん
質問なのですが、
12秒周期の最初から何秒…そこから数えると、0.5秒になります…
の考え方が、難しくてわかりません。
AとBの秒数は、整数にしなければならないのですが、どう考えたらいいでしょうか?

No.3663 - 2008/11/05(Wed) 18:51:13

Re: 周期 / ヨッシー

図で描くのが難しいですが、たとえば、上のように、
0秒から12秒まで、A秒間ついて、B秒間消えます。
12秒から24秒までも、A秒間ついて、B秒間消えます。
24秒から36秒まで、36秒から48秒までも同じです。

たとえば、1秒後についていたとすると、12秒から1秒過ぎた
13秒もついているはずです。同じように、24秒から1秒過ぎた
25秒もついているはずです。(図の赤い線)
0秒から、12秒から、24秒から、36秒から それぞれ同じ
パターンが始まるので、このようになります。

同じように、2秒、14秒、26秒、38秒、50秒・・・の状態
(ついているか消えているか)は同じです。
また、0.5秒、12.5秒、24.5秒、36.5秒・・・も、状態は同じです。

そこで、点イを通る
 2.5, 12.5, 22.5, 32.5, 42.5, 52.5 (秒)
が、0秒から12秒の、どの時刻とおなじ状態かを調べます。
結果からいうと、12,24,36,48 などを引くのですが、
 2.5秒は 0秒から12秒 に入っているのでそのまま。
 12.5秒は 12.5-12=0.5秒と同じ状態。
 22.5秒は 22.5-12=10.5秒と同じ状態。
 32.5秒は 32.5-24=8.5秒と同じ状態。
 42.5秒は 42.5-36=6.5秒と同じ状態。
 52.5秒は 52.5-48=4.5秒と同じ状態。です。
これらを、小さい順に並べると、
 0.5, 2.5, 4.5, 6.5, 8.5, 10.5
で、これら6つの時刻は、点イを通る、1回目から6回目の
どれか1つずつと同じ状態です。
そして、このうち5つはついていて1つは消えています。
この12秒間で、最初はついていて、あるところから12秒までは
消えているので、1つ消えているとすれば、10.5秒の時で、
8.5秒の時はついていたのです。
A,Bは、整数ですが、もしAが8だとすると、8.5秒の時は
消えているはずです。
また、Aが11だとすると、10.5秒の時も、まだついています。
このように考えると、Aに当てはまる整数は・・・(以下略)

No.3666 - 2008/11/05(Wed) 20:37:51
場合の数 / ゆ
500円硬貨が5枚,100円硬貨が4枚,10円硬貨が2枚ある.
これらの一部または全部を使って支払うことができる金額は何通りあるか.

という問題の解き方を教えてください!

No.3650 - 2008/11/05(Wed) 10:43:23

Re: 場合の数 / ヨッシー
できる金額の1の位は必ず0ですね?
10の位は、0,1,2 です。
あとは、100の位以上でどういう金額が作れるかです。
100は、100円1枚で作れますね。
200,300,400も作れます。
500は、500円を使えば作れます。
このように調べると、100以上の位で、何通りの
金額ができるでしょうか?
その場合の数×3 が答えです。

No.3651 - 2008/11/05(Wed) 11:36:38
(No Subject) / しょう
放物線y=2x-x^2とx軸とで囲まれた図形を直線y=kxで分割する。このとき、y≧kxの部分とy≦kxの部分との面積の比が1:2になるような定数kの値を求めよ。
解き方がわかりません…すいませんが解答をお願いします。

No.3645 - 2008/11/05(Wed) 08:32:26

Re: / ヨッシー

図の、黄色と水色の面積比が1;2 になるということです。
まず、全体の面積は、
 ∫0〜2(2x-x^2)dx=4/3
次に、黄色の面積ですが
 2x-x^2=kx の解は、k<2 において x=0,x=2-k ですが、
 α=2-k とおくと、求める面積は、
 α3/6=(2-k)3/6
これが、4/3 の1/3 になるので、
 (2-k)3/6=4/9
 (2-k)3=8/3
 k=2−2/3√3

いずれも、こちらの公式を使っています。

No.3646 - 2008/11/05(Wed) 08:52:03
(No Subject) / ルイ
こんばんわ。よろしくお願いします<(_ _)>

∫1/cos(2x) dx がどうしても解けません。

tanπ/2=tなど試してみましたができませんでした。

宜しくお願いします(*- -)(*_ _)

No.3643 - 2008/11/05(Wed) 00:35:40

Re: / ToDa
1/cos2x = (cos2x)/(1-sin^2(2x))
という感じで変形してみてはいかがでしょうか。

No.3644 - 2008/11/05(Wed) 03:35:21

Re: / 豆
手間ですが、定石のtanx=tという置き換えでも出来ますね。
No.3647 - 2008/11/05(Wed) 09:17:55

Re: / ルイ
解くことができました。
ありがとうございました<(_ _)>

No.3659 - 2008/11/05(Wed) 17:23:21
(No Subject) / ちえみ 
こんにちわ。ヨロシクお願いします。

逆関数の微分法を用いて、次の関数を微分せよ(導関数y´を求めよ)
1)y=arctanhx

次の関数の第n次導関数をもとめよ
1)y=sinx
2)y=1/x+1

問題数が多いてすみません。宜しくお願いします。

No.3639 - 2008/11/04(Tue) 20:50:11

Re: / 豆
y=arctanhx
x=tanhy=(e^y-e^(-y))/(e^y+e^(-y))
yで微分
dx/dy=((e^y+e^(-y))^2-(e^y-e^(-y))^2)/ (e^y+e^(-y))^2
   =1-(tanhy)^2=1-x^2
∴dy/dx=1/(1-x^2)

yのn階微分をy[n]とする
(1)y=sinx
 y[1]=cosx=sin(x+π/2)
∴y[n]=sin(x+nπ/2)
(2)y=1/(x+1)でしょうね
 y=(x+1)^(-1)なので、
 y[n]=(-1)^2・n!(x+1)^(-n-1)=(-1)^n・n!/(x+1)^(n+1)

No.3648 - 2008/11/05(Wed) 09:27:48

Re: / ヨッシー
前半は、とりあえず、こちら

後半
1)y’=cosx
 y”=-sinx
 y(3)=-cosx
 y(4)=sinx=y
より、mを自然数とすると
 n=4m のとき y(n)=sinx
 n=4m-3 のとき y(n)=cosx
 n=4m-2 のとき y(n)=-sinx
 n=4m-1 のとき y(n)=-cosx

2)y=1/(x+1) だとします。
 y=(x+1)-1
 y’=-(x+1)-2
 y”=2(x+1)-3
 y(3)=-6(x+1)-4
以上より
 y(n)=(-1)n(n!)(x+1)-(n+1)
と書けます。

No.3649 - 2008/11/05(Wed) 09:35:12

Re: / ちえみ 
ありがとうございました。自分でもう一度解いてみます。
No.3675 - 2008/11/05(Wed) 23:17:10
積分 / あき
すみませんがまたお聞きしたいことがあります(>_<)
http://m.upup.be/?VHsEHWspHy
のしたの問題で私は
http://m.upup.be/?buuiFMdiT4
このようにといて一通りしかでてこなかったんですが、この考え方はどこが悪いでしょうか?困ってます(>_<)お願いします!

No.3638 - 2008/11/04(Tue) 20:04:03

Re: 積分 / rtz
1−a≦1ですね。
つまりグラフの軸より右側の部分が通過する箇所が間違っています。

No.3640 - 2008/11/04(Tue) 20:56:00

Re: 積分 / あき
どういうことでしょうか?
すみませんがもう少し詳しく教えて下さい(>_<)

No.3642 - 2008/11/05(Wed) 00:32:29

Re: 積分 / あき
すみません軸は−a+1−(−a−1)よりx=1でした!
でもそうすると−a−1<0より
一通りの積分だけですみますよね?
それをといてもやはり答えが合いません、どこが悪いでしょうか?
すごく困っていますどなたかお助け下さい(>_<)

No.3652 - 2008/11/05(Wed) 14:01:57

Re: 積分 / ヨッシー
軸について言うなら、2解の中点なので、
{(-a+1)+(-a-1)}/2=-a です。

No.3653 - 2008/11/05(Wed) 14:14:47

Re: 積分 / ヨッシー

図は、a=0〜1 の間で、グラフを動かしたものです。
a>1 については、自分で想像してください。
aの値によって、積分の方法が変わるのがわかりますか?

No.3654 - 2008/11/05(Wed) 14:53:12

Re: 積分 / あき
そうですね間違いまくっていてごめんなさい(>_<)
0が−a+1より右にあるか左にあるかですね?
多分できたと
思います…
ありがとうございましたいつも感謝しています。

No.3655 - 2008/11/05(Wed) 15:11:56
確率 / 桜 高校2
こんばんは
よろしくおねがいいたします(^^)

3,4,5,6,7から3つの異なる数を取り出し、取り出した順にa,b,c,とする。
a,b,cを係数とする二次方程式ax^2+bx+c=0
が実数解をもつ確率をもとめよ

という問題がわかりませんでした
教えてください
よろしくお願いいたします

No.3635 - 2008/11/04(Tue) 18:26:14

Re: 確率 / ヨッシー
判別式 b^2−4ac ≧0 に照らし合わせて、数えるしかないでしょう。
ac は、最低でも、3×4=12 なので、4ac≧48 です。
よって、b は、7 しかあり得ません。
(中略)
全部の取り出し方は、7×6×5=210 です。
よって、求める確率は、1/105 です。

No.3637 - 2008/11/04(Tue) 19:40:56

Re: 確率 / 桜 高校2
ありがとうございました^^
さんこうになりました

No.3641 - 2008/11/04(Tue) 21:01:51
関数の問題 / みわ
初めましてよく自分で解き方がわかりません。
解答の方教えて下さい。よろしくお願いします。

関数log(1-x)に対してmaclausin展開を求めよ
 y=x3-3x
(xの三乗)

No.3631 - 2008/11/04(Tue) 17:44:22

Re: 関数の問題 / ヨッシー
マクローリン展開は、微分が出来れば、
公式通りです。

下の、y=x3−3x は、何ですか?

No.3633 - 2008/11/04(Tue) 17:57:43
積分 / あき
またごめんなさい(>_<)
http://t.upup.be/?7OZLxNSKxr
の問題で
http://l.upup.be/?nhP1CSOCpd
のようにといたのですが答えが合いませんでした…
計算間違いをしそうな考え方が悪いでしょうか?(>_<)
すみませんがご指摘いただきたいです(>_<)

No.3630 - 2008/11/04(Tue) 17:38:36

Re: 積分 / ヨッシー
まずは、カッコを外すところで、計算間違いがあります。
x^2 の項はもうひとつあります。

最後は、「これがp、q、rの恒等式になるので・・・」です。

No.3632 - 2008/11/04(Tue) 17:55:30

Re: 積分 / あき
お早いご回答本当にありがとうございます(>_<)
考え方は悪いですか?ストレートにとく以外になにかいいほうほうあるのでしょうか??

No.3634 - 2008/11/04(Tue) 18:03:59

Re: 積分 / あき
自分で分けてやってちょっとだけ工夫したら前よりは楽にとけました!お騒がせしました(^_^;)いつもありがとうございます!
No.3636 - 2008/11/04(Tue) 18:27:33
積分 / あき
こんにちは(^ ^)/
また宜しくお願いします!
http://j.upup.be/?YxNjSVhdkv
の問題で、私は
http://t.upup.be/?akbaoZ87Av
こんなかんじでといたのですが何回やっても答えが合わないので考え方が間違ってるのかと思ったのですが、ご指摘いただきたいです!

No.3624 - 2008/11/04(Tue) 11:21:24

Re: 積分 / ヨッシー
一番最後のところ。
「傾きが9」ですよ。

No.3626 - 2008/11/04(Tue) 11:50:22

Re: 積分 / あき
本当でした(>_<)
ありがとうございます!ただ直してやっても合いませんでした…いずれにしろF(−3)=0よりa=bがわかっているのでa=b=0になってしまうんです…(>_<)

No.3627 - 2008/11/04(Tue) 14:49:34

Re: 積分 / ヨッシー
a=b は良いですね。
で、F'(-3)=9a/2−3b=9 です。
a=b=0 じゃダメですよね?

No.3628 - 2008/11/04(Tue) 15:10:16

Re: 積分 / あき
そうですねそこを0にしてました(>_<)申し訳ないです(>_<)
ありがとうございました(>_<)

No.3629 - 2008/11/04(Tue) 17:31:57
自然数を求める計算 / ギンザエフ
756*X=Y^2をみたす最小の自然数X,Yを求めなさい

解き方を教えてくださいお願いします。

No.3618 - 2008/11/03(Mon) 23:34:30

Re: 自然数を求める計算 / ヨッシー
たとえば、12*X=Y^2 だとします。
12 に何を掛けたら、ある整数の2乗になるか、ということですが、
当然、12を掛ければ、 122 になりますが、最小ということになると
もう少し考えないといけません。
 12=2×2×3
で、これに何かを掛けて、
 (ある整数)×(同じ整数)
という形にしたいわけです。2が二つあることに注目して
 12X=(2×3)×(2×X)
という振り分けが出来たとすると、Xに入るのは?

同様に、756=2×2×3×3×3×7 なので、
 756X=(・・・)×(・・・)
に振り分けると・・・

No.3619 - 2008/11/03(Mon) 23:42:44

Re: 自然数を求める計算 / ギンザエフ
お返事ありがとうございます。
すみませんが、自分には理解できなかったので数字の得意な友達に聞いてみます。

No.3625 - 2008/11/04(Tue) 11:42:20
確率 / くろねこ
赤玉3個、青玉2個、黄玉1個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を確かめてから袋に戻す。このような試行を最大で3回まで繰り返す。ただし、赤玉を取り出したときは以後の試行を行わない。

黄玉が少なくとも1回取り出される確率は?


やり方を教えてくれたら嬉しいです
お願いします

No.3614 - 2008/11/03(Mon) 19:05:35

Re: 確率 / ヨッシー
 黄××
 青黄×
 青青黄
この3つが黄玉が少なくとも1回出る場合です。
×の部分は何でもいいです(確率1として計算します)
もちろん、黄××の、真ん中が赤でも構いません。

さて、確率を計算しますが、
 黄×× ・・・ 1/3
 青黄× ・・・ 1/9
 青青黄 ・・・ 1/27
より、13/27 です。ちなみに、黄玉の出ない場合は、
 赤×× ・・・実際は×の部分は試行はしませんが、確率は1と見なせます。
 青赤×
 青青青
 青青赤
で、1/3+1/9+1/27+1/27=14/27 となり、合計1になります。

No.3615 - 2008/11/03(Mon) 19:18:39

Re: 確率 / くろねこ
わかりました。
いつもたすかります。
ありがとうございました。

No.3616 - 2008/11/03(Mon) 20:11:27
数検2級の問題です / Kay(高1女子)
 次の問題ですが、2つの解法を考えました。まず、点と直線の距離を使うと、すぐに答えが出るのです。しかし、2番目の考え方では、違う答えになってしまうのです。
 どこがどう違うのか、教えてください。よろしくお願いします。

問 円 x^2+y^2=5・・・?@と直線 y=x+a・・・?A が接する
 とき、定数aの値を求めなさい。

2番目の考え方で、
  ?@、?Aは共有点を持つので、?Aを?@に代入すると、
  x^2+(x+a)^2=5 これを変形して、
x^2+x^2+2ax+a^2-5=0
2*x^2+2ax+a^2-5=0・・・?B
  ?Aが?@に接するときの?Aのy切片がaなので、このとき
  x=0 を?Bに代入、
  a^2=5
  ∴a=±√5

  

No.3611 - 2008/11/03(Mon) 15:39:20

Re: 数検2級の問題です / rtz
下4行の意味が不明です。

接しようが接しまいがy=x+5のy切片はaですし、
x=0を代入する意味も分かりません。(x=0では接しません)

通常は、
「接するので重解を持ち、判別式が云々」と解くはずです。

No.3612 - 2008/11/03(Mon) 15:53:34
(No Subject) / 川崎
関数f(x)=∫(0⇒1)|t^2-x^2|dtの0≦x≦2における最大値および最小値を求めよ。が解けません
どなたか教えて下さい。

No.3605 - 2008/11/03(Mon) 08:01:29

Re: / ヨッシー
積分区間が 0≦t≦1 なので、tはこの範囲の値に限定して良いです。
一方、xの値によって、|t2−x2| の絶対値の外し方が変わってきます。

まず、1<x≦2 では、常にt<x なので、
 |t2−x2|=x2−t2
です。
一方、0≦x≦1 のときは、
 0≦t≦x では、 |t2−x2|=x2−t2
 x<t≦1 では、  |t2−x2|=t2−x2
となります。

No.3606 - 2008/11/03(Mon) 08:39:18
(No Subject) / かなみ
いつもお世話になります。
宜しくお願いします。

2次方程式 x^2+x+1=0の解がα,βのとき、nを自然数として
S(n)=α^n+β^n
とおく。これについて、次の問いに答えよ。
(1)S(3)の値を求めよ。
(2)S(3n-1)+S(3n+1)/S(3n)の値を求めよ。
(3)S(n)の値を求めよ。

No.3603 - 2008/11/02(Sun) 23:54:01

Re: (No Subject) / hari
α^3 = β^3 = 1を満たすことに注意すれば

(1)は瞬殺
(2)はα^(3k) = β^(3k) = 1なのでS(3n-1)+S(3n+1)、S(3n)がわかります。
(3)S(n)はn = 3kで2、
解と係数の関係からS(3k-1)、S(3k+1)を求められます。

No.3604 - 2008/11/03(Mon) 01:12:42

Re: (No Subject) / かなみ
(3)のS(n)の値は
n=3k
n=3k-1
n=3k+1
のときで答えを出せばいいのですか?

No.3607 - 2008/11/03(Mon) 09:40:36

Re: / ヨッシー
この問題で、どこまでを求めているかですが、
(2) の結果は、実は、3n 以外でも成り立つので、
 {S(n-1)+S(n+1)}/S(n)=一定
となります。両辺に S(n) を掛けると、
こちらの、隣接3項漸化式になります。

No.3608 - 2008/11/03(Mon) 11:21:19

Re: / hari
そうですね。
(3)はn=3k, n=3k-1, n=3k+1で場合わけが必要です。

複素数を習っていたらわかりやすいんですけどねえ。

答え
(1)S(3) = 2
(2)(S(3n-1)+S(3n+1))/S(3n) = - 1
(3)S(3k) = 2, S(3k-1) = S(3k+1) = - 1

No.3621 - 2008/11/04(Tue) 00:36:33
数3の積分法の応用 / ryu
xy平面上の楕円板E:x^2/a^2+y^2/b^2≦1かつz=0(a>0,b>0)上に動点Pをとり、
線分L:z=2かつy=0かつ|x|≦a上に動点Qをとるとき、線分PQが通過してできる立体をHとする。
Hの体積Vを求めなさい。

こういう問題ではx軸に垂直な断面での面積を求めるように教わったので、x=hとすると、切り口は二等辺三角形なので、面積は2b√(a^2-h^2)/aとなるから、これを-aからaまで積分してπabという答えが出てきたんですが、πab(a+b)と答えに非常に近い感じで間違えてました。でもどうして自分の答えのa+b倍になるのかがさっぱりです。おしいともうのですが、どこを間違えているんでしょうか。教えてください。お願いします。


ちなみに、空間座標で線分を表すためにはz=2かつy=0かつ|x|≦aみたいにx、y、zのそれぞれひとつずつ条件が必要と聞きました。でもz=2かつ|x|≦aだけでもいいようなきがします。もしy=0がないとどういった図形になるんでしょうか??

No.3595 - 2008/11/01(Sat) 21:52:58

Re: 数3の積分法の応用 / 大々
おじゃまします。数3から離れて10年以上経つのでちょっとだけ不安ですが、書き込みます。

πab(a+b)は間違いなのではないでしょうか。

たとえば、a=2,b=2 のとき、16π となりますが、求める図形は底面が4×4の正方形で高さが2の直方体に収まるはずなので、体積は32以下になるはずです。

私の計算でも πab となりました。

線分については、y=0 がないと、yの値がいくつでもよくなるので、y方向に永遠にのびた細い帯になります。

No.3599 - 2008/11/02(Sun) 11:38:59

Re: 数3の積分法の応用 / ryu
レスありがとうです。
正解は2πab/3に訂正だそうです。それにしても2/3ずれてしまっています。大々さんはどうやって解きましたか?私と同じでしょうか?

No.3617 - 2008/11/03(Mon) 23:26:10

Re: 数3の積分法の応用 / ヨッシー
yz平面以外では、断面は三角形になりません。
たとえば、楕円板Eが、半径2の円とすると、
円上の点(0,2,0) と、線分の端(2,0,2) の中点は(1,1,1)です。
一方、平面x=1 において、円上の点(1, √3, 0)と、
線分上の点(1,0,2) の中点は(1,√3/2, 1)です。
同じx座標、z座標なのに、後者の方がy座標が小さいので、
断面は、三角形よりもっとふくらんだ形になります。

No.3620 - 2008/11/04(Tue) 00:16:55

Re: 数3の積分法の応用 / 大々
そうですね、切り口は三角形にはなりませんね。

z軸に垂直な平面で切ると、楕円+長方形になって計算できます。

2πab/3だと楕円錐の体積なので違うでしょう。ちなみに私の計算では2(π+2)ab/3になりました。こんどこそ。。

No.3622 - 2008/11/04(Tue) 02:40:41

Re: 数3の積分法の応用 / ヨッシー

大々さんの方法、(z軸方向の積分)でも出来ますし、
図のように、半楕円錐2つ(E−BDA、F−BDC)と、
四面体BDEFの合計と考えると、
半楕円錐2つで、楕円錐の体積と同じ、(2/3)πabとなり、
四面体BDEFは、菱形柱ABCD−EGFHから、4つの三角錐
(ABDE,CBDF,EFGB,EFHD)を引いたもので、
菱形柱ABCD−EGFHの1/3倍の 4ab/3 となり、
大々さんの答えと同じになります。

No.3623 - 2008/11/04(Tue) 05:46:24

Re: 数3の積分法の応用 / ryu
To 大々様 & ヨッシー様

返事が遅れてしまい大変失礼しました。解説ありがとうございました。ヨっシー様の解き方がようやく納得できました。断面を考えなくても解けるなんてすごいです。

もう見ていただけないかと思いますが、最後にひとつだけ質問です。

大々様はz軸に垂直な平面とおっしゃっていますが、x軸に垂直な平面以外の断面で考えるなんて、そんな事をしてもいいんですか?学校ではいつもx軸に垂直な平面での断面を考えるように言われたのですが?z軸に垂直な平面のばあいどういう計算になるのか教えていただけないでしょうか?
 

No.3687 - 2008/11/06(Thu) 22:55:14

Re: 数3の積分法の応用 / ヨッシー
z軸(高さ)方向において、z座標h(0≦h≦2)において、
断面は、底面の楕円の (2-h)/2 倍の楕円と、
縦 b(2-h)、横 2a−a(2-h)=ah の長方形を合わせた形です。


その面積は、πab(2-h)2/4+ab(2h-h2)
これを、h=0からh=2まで積分して、
 ab∫0〜2{π(h2-4h+4)/4+(2h-h2)}dh
 =ab{π(8/3-8+8)/4+(4-8/3)}
 =2πab/3+4ab/3

No.3690 - 2008/11/06(Thu) 23:19:03

Re: 数3の積分法の応用 / 大々
この問題の場合、図形を縦に(xy平面に垂直)切ったときの切り口の形がどんな形になるのか想像しにくいです。

ところがz軸に垂直な平面で切ると(例えばz=1で切ると)ヨッシーさんの図の記号をお借りして、

Eと楕円ABCDでできる楕円錘をz=1で切ると長半径、短半径がa/2,b/2の楕円になります。

Fと楕円ABCDでできる楕円錘をz=1で切っても同じ形の楕円になります。

楕円錘の頂点をEとFの間で動かしたとき、切り口は常に長半径、短半径がa/2,b/2で、x軸方向に移動します。

なので切り口を合わせると、ちょうどリムジンのように先端と後ろが楕円で、その間を長方形がつないでいる形になります。

No.3700 - 2008/11/07(Fri) 11:07:05

Re: 数3の積分法の応用 / ryu
To 大々様 & ヨッシー様

まさか回答していただけるとは思いませんでした。どうもありがとうございます。

>z軸(高さ)方向において、z座標h(0≦h≦2)において、
断面は、底面の楕円の (2-h)/2 倍の楕円と、
縦 b(2-h)、横 2a−a(2-h)=ah の長方形を合わせた形です。

どうしてそういう図形になるのかがどうしてもわからないです。お二人はどうやってこういう図形を想像されているのですか?なにかイメージのヒントはないでしょうか?

No.3707 - 2008/11/08(Sat) 00:45:09

Re: 数3の積分法の応用 / ヨッシー
手がかりは No.3623 の立体です。
楕円からの線は、点Eや点Fに集中しますので、
その部分は、錐(=断面が相似な半楕円)になり、
△EFB、△EFDは、平面なので、切り口は直線になります。

AE,CFは、底面に垂直なので、断面では、半楕円の
一番外の位置は、変わりません。

No.3716 - 2008/11/08(Sat) 17:02:06
(No Subject) / 倉橋 春花
わたしは、算数が、苦手です。特に、説明が、苦手です。
。教えてくださどうしたら、得意に、なれますかい。
4年  倉橋 春花より

No.3591 - 2008/11/01(Sat) 19:32:14

Re: / 倉橋 春花
わたしは、算数が、苦手です。特に、説明が、苦手です。
教えて下さい。どうしたら、得意に、なれますか。
4年  倉橋 春花より

No.3592 - 2008/11/01(Sat) 19:41:36

Re: / ヨッシー
本をたくさん読むことです。
 算数力=計算力 だけではなく、
 算数力=国語力(文章の意味がわかること)です。
作文でも、日記でも良いので、文章を書くことも役に立ちます。
それも、人に見せるつもりで(本当に見てもらえれば、なおよろしい)。

がんばってください。

No.3609 - 2008/11/03(Mon) 14:12:53

Re: / にょろ
算数というか理科も含めるのですが
なんでだろう?と思うことだと思います。

花火は何であんなに綺麗な色なんだろう?
夕日が赤いのは何故?
なんで植物は光合成するの?

それを調べてみることです

算数で言えば
どうして三角形の面積は底辺×高さ÷2なのか

そうすれば好きになれると思います。
好きになれば得意になれます。
人に説明できるくらい得意になれば(上の三角形一つだけでも良いです)
自信がついてもっと好きになれます。


嫌いで得意でも面白くないですしね

No.3613 - 2008/11/03(Mon) 16:01:00
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