ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / さやか

a0=1,c0=0,a1=0,c1=0
an+2+cn+2=an+cn,an+2-cn+2=(2p-1)^2(an-cn)
と変形したのですが、場合わけがわかりません。
続きを教えて下さい。

No.4231 - 2008/12/14(Sun) 17:21:46

☆ Re: / angel

1つ置きの項の漸化式になっているところが問題でしょうか?

例えば、
p[n+1]=rp[n], p[0]=a であれば、
　p[n]：a, ar, ar^2, ar^3, …
という等比数列ですが、
q[n+2]=rq[n], q[0]=a, q[1]=b であれば、
　a, ar, ar^2, ar^3, …
　b, br, br^2, br^3, …
という2つの独立した、同じ規則性を持った数列のミックスになります。
つまり、
　q[n]：a, b, ar, br, ar^2, br^2, …

この数列の一般項を書くなら、偶数項、奇数項に分けて
　q[2n] = ar^n ( n≧0 ), q[2n+1] = br^n ( n≧0 )
とするか、
　q[n] = ar^(n/2) ( n≧0, nは偶数 ), q[n] = br^((n-1)/2) ( n≧1, nは奇数 )
のような書き方になるでしょう。
場合わけしない書き方もありますけどね。

今回、p[n]=a[n]+c[n], q[n]=a[n]-c[n] とおけば、p[n], q[n] の漸化式がちょうどこの形ですね。
※p[n]は全項0なので、単独ならば場合わけする必要はないのですが、q[n]に合わせて場合わけの形で書いておくと良いでしょう。

No.4237 - 2008/12/14(Sun) 20:46:57

☆ Re: / angel

余談：
高校範囲を超えますが、
　p[n+2] - (α+β)p[n+1] + αβp[n] = 0
の形の数列（ただしα≠β）は、
　p[n] = A・α^n + B・β^n
の形で書けることを知っていると答え合わせし易いです。

もし、q[n+2] = r^2・q[n] であれば、α=r, β=-r のケースに相当します。（α,βはtの二次方程式 t^2=r^2 の2解）
これを知っていれば、nが奇数・偶数で分ける必要はないのですが…

No.4238 - 2008/12/14(Sun) 20:57:25

★ 確率漸化式 / さやか

はじめまして。高3です。
座標平面上の4点A（0,1）B（0,0）C（1,0）D（1,1）を頂点とする座標を考え、この正方形の頂点を点Qが1秒ごとに1つの頂点から隣の頂点に移動しているとする。さらに、点Qはｘ軸と平行な方向の移動について確立ｐ、ｙ軸と平行な方向な移動について確立1-ｐで移動しているものとする。最初に点Qが頂点Aにいたとするとき、ｎ秒後に頂点A、Cに居る確立をそれぞれan,cnとする。an,cnを求めよ。

という問題がわかりません。解説お願いします。

No.4229 - 2008/12/14(Sun) 10:33:16

☆ Re: 確率漸化式 / rtz

a_n+2、c_n+2をa_n、c_nで表す
(a_n+2はAを出た後2秒後にAに戻ってくる確率とCを出た後2秒後にAに来る確率を考える、c_n+2も同様)
→a_n+2＋c_n+2、a_n+2－c_n+2をa_n、c_nで表す
→a₀、c₀、a₁、c₁からa_n＋c_n、a_n－c_nをnの偶奇で場合分けして求める
→a_n、c_nを求める

No.4230 - 2008/12/14(Sun) 12:56:43

★ お願いします?ｫ / ヨシノリ

aを正の定数とするとき、方程式(Ｘ2/3乗＋Ｙ2/3乗=a2/3乗)で表される曲線上の、任意の点Pにおける接線が、Ｘ軸とＹ軸で切り取られる部分の長さは一定であることを示せ。

解答を教えてください?ｫ

No.4211 - 2008/12/11(Thu) 19:21:11

☆ Re: お願いします� / にょろ

この図形はアステロイドである
∴アステロイドの性質より明らか…
じゃ駄目だと思うので

dy/dxを求める（y含みでもOK）
接線の方程式を出す。
（ここでx=acos^3θのときyがどうなるかを考える）

x=0からy=0までの距離を求める

また、対称性を考えればx>=0,y>=0を考えればいいです

No.4215 - 2008/12/12(Fri) 01:01:45

☆ Re: お願いします?ｫ / ヨッシー

点（Ｘ，Ｙ）における、dy/dx の値をＹ’とすると、
接線の式は　ｙ＝Ｙ’(ｘ－Ｘ)＋Ｙ
　ｘ^(2/3)＋ｙ^(2/3)＝ａ^(2/3)
ｘで微分して
　(2/3)ｘ^(-1/3)＋(2/3)ｙ^(-1/3)ｙ’＝０
　ｙ’＝－ｘ^(-1/3)/ｙ^(-1/3)
よって、
　Ｙ’＝－Ｘ^(-1/3)/Ｙ^(-1/3)
接線の式は
　ｙ＝－Ｘ^(-1/3)/Ｙ^(-1/3)(ｘ－Ｘ)＋Ｙ
ｙ切片はｘ＝０として
　ｙ＝Ｘ^(2/3)/Ｙ^(-1/3)＋Ｙ
　　＝{Ｘ^(2/3)＋Ｙ^(2/3)}/Ｙ^(-1/3)
　　＝{Ｘ^(2/3)＋Ｙ^(2/3)}Ｙ^(1/3)
ｘ切片はｙ＝０として
　０＝－Ｘ^(-1/3)/Ｙ^(-1/3)(ｘ－Ｘ)＋Ｙ
　ｘ－Ｘ＝Ｙ^(2/3)/Ｘ^(-1/3)
　ｘ＝Ｙ^(2/3)/Ｘ^(-1/3)＋Ｘ
　　＝{Ｘ^(2/3)＋Ｙ^(2/3)}/Ｘ^(-1/3)
　　＝{Ｘ^(2/3)＋Ｙ^(2/3)}Ｘ^(1/3)
求める部分の長さＬは
　Ｌ^2＝{Ｘ^(2/3)＋Ｙ^(2/3)}^2{Ｙ^(2/3)＋Ｘ^(2/3)}
　＝{Ｘ^(2/3)＋Ｙ^(2/3)}^3＝ａ^2　(一定)

No.4217 - 2008/12/12(Fri) 06:13:24

☆ Re: お願いします?ｫ / ヨッシー

結果からわかることは、この図形(アステロイド)は、

上の図で、動いている長さａの線分の包絡線であり、また、

図のように、
　x^2/m^2＋y^2/n^2＝a^2　ただし、m+n=1
の楕円群と接します。

No.4220 - 2008/12/12(Fri) 12:47:19

☆ Re: お願いします?ｫ / ヨシノリ

本当にありがとうございます。とても分かりやすかったです。

No.4221 - 2008/12/12(Fri) 17:13:22

★ 微分法 / 高校生

半径aの円に内接する
AB=ACの二等辺三角形ABCがある。円の中心をOとすると、∠OAB=θ、
∠BOC=4θである。
この三角形の周の長さが最大になるのは三角形ABCが正三角形になるときであることを、証明せよ。

No.4209 - 2008/12/11(Thu) 18:34:49

☆ Re: 微分法 / ヨッシー

さらに言うと、
　∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝π/2－2θ です。
ＡＢ＝ＡＣ＝2a・cos∠ＯＡＢ＝2a・cosθ
ＢＣ＝2a・cos∠ＯＢＣ＝2a・sin2θ
よって、△ＡＢＣの周の長さf(θ)は
　f(θ)＝4a・cosθ＋2a・sin2θ
θで微分して、
　f'(θ)＝-4a・sinθ＋4a・cos2θ
　　＝4a(1-2sin²θ－sinθ)
f'(θ)＝0 となるのは、
　2sin²θ＋sinθ－１＝０
より、
　(2sinθ－1)(sinθ＋1)＝０
　sinθ＝1/2, -1
０＜θ＜π/2 より、θ＝π/6
（中略）
よって、等辺を挟む角が、∠ＢＡＣ＝π/3 の二等辺三角形なので、
正三角形のときに、f(θ) は、最大になります。

No.4210 - 2008/12/11(Thu) 18:55:29

☆ ありがとうございます?ｫ / 高校生

できれば∠OBCの求め方を詳しく解説してくれないでしょうか？

No.4212 - 2008/12/11(Thu) 19:27:50

☆ Re: 微分法 / ヨッシー

図で、●１個がθです。

△ＯＢＭ　（ＭはＢＣの中点)　において、
∠ＯＢＣ＝π－π/2－２θ
としても良いし、△ＯＢＣで、
　∠ＢＯＣ＋∠ＯＢＣ＋∠ＯＣＢ＝π
と、∠ＢＯＣ＝４θ、∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢから
　４θ＋２∠ＯＢＣ＝π
２で割って、
　２θ＋∠ＯＢＣ＝π/2
としても良いでしょう。

No.4213 - 2008/12/11(Thu) 21:59:46

☆ ありがとうございました。 / 高校生

おかげでよく分かりました?ｫ

ついでに聞きたいんですが、来年は大学受験なのですが、数学の偏差値がなかなかあがりません。ある程度まではあがるのですが、高い偏差値は思うようにとれません。どのような勉強から取りかかればよいのでしょうか？

No.4214 - 2008/12/12(Fri) 00:51:16

☆ Re: 微分法 / ヨッシー

それは、ついでに聞くには重いテーマですね。

基本は、教科書の内容はすべて理解する。
公式は暗記ではなく、作れるようにしておく。
問題集を１冊、すべて解く。
くらいでしょうか。

本番間近になったら、過去問とか、赤本とか（同じか)
模擬的な問題（各通信教育、予備校が出している)を
チェックすることが入りますが、いずれも、基本を
マスターしていることが前提です。

No.4219 - 2008/12/12(Fri) 11:59:23

★ (No Subject) / ゆう高1

ax^2＋2b'x＋c＝0
の解は
x＝a分の-b'±√b'^2-acであることを確かめよ。

という問題で、代入する以外の方法を教えて下さい!あと、そのまま代入するとしたらどうやって計算すればいいのでしょうか??

よろしくお願いします!

No.4193 - 2008/12/09(Tue) 21:08:27

☆ Re: / にょろ

ax^2＋2bx＋c＝0 --(A)
の解は
x＝(-b±√b^2-ac)/aであることを確かめよ。
にします。
（面倒くさい）

ax^2＋2bx＋c=a(x-e)(x-f)とします。
（e,fは複素数の範囲で存在する）

ここでe,fは(A)の解である
また
ef=c/a
e+f=-2b/a
(解と係数の関係よりでも良いと思います)

この連立方程式を解けばOKですね。
(eとfは対称式ですね、ちょっとだけ楽できそうです。)

No.4195 - 2008/12/10(Wed) 00:36:49

☆ Re: / にょろ

確かめよなので
これに代入が早そうですね

むしろ↑の方程式とくと駄目なのか…
（式の形が戻ってしまいます）

No.4196 - 2008/12/10(Wed) 00:41:24

☆ Re: / らすかる

ax^2+2bx+c=0
x^2+(2b/a)x+c/a=0
(x+b/a)^2-b^2/a^2+c/a=0
(x+b/a)^2=b^2/a^2-c/a
(x+b/a)^2=(b^2-ac)/a^2
x+b/a=±√(b^2-ac)/a
x=±√(b^2-ac)/a-b/a
x={-b±√(b^2-ac)}/a
で良さそうな気がしますが…

No.4197 - 2008/12/10(Wed) 09:05:09

☆ Re: / angel

えっと、代入してはダメですよ。
※趣味でやるだけなら良いですけど。

「～の解が…である」と、「…が～の解になっている（含まれる）」では意味が違います。

代入して良いのであれば、↓もO.K.になりますが…、なりませんよね?
--
　問い：x^2-x=0 の解を求めよ
　解答：x=0 が解であることを次のように確かめる。
　　x=0 を代入すると (左辺)=0 となる。
　　よって、x^2-x=0 の解は x=0 である。

No.4200 - 2008/12/10(Wed) 12:41:01

☆ Re: (No Subject) / ゆう

みなさんありがとうございました!!

No.4206 - 2008/12/10(Wed) 19:28:22

★ 三角関数 / 礼花　高２

連続投稿ですみません。

関数f(θ)=(sinθ+1)(cosθ+1)(0°≦＜360°)について、次の問いに答えよ。
(1)f(45°)の値を求めよ。
(2)t=sinθ+cosθとするとき、tのとりうる値の範囲を求めよ。
(3)f(x)の最大値、最小値を求めよ。また、そのときのθの値を求めよ。
(4)xについての2次方程式(sinθ+1)x^2+kx+(cosθ+1)=0がすべてのθに対して実数解をもつようにkの値の範囲を求めよ。
この問題が(2)からわかりません。質問を丸投げして申し訳ないのですが、本当にわからないので、どうか教えてください。よろしくお願いします。

No.4189 - 2008/12/09(Tue) 20:19:32

☆ Re: 三角関数 / ヨッシー

(2)
合成の公式より（または加法定理より)
　sinθ+cosθ＝√2sin(θ＋45°)
より、－√2≦ｔ≦√2

(3)
ｔ²＝sin²θ＋cos²θ＋2sinθcosθ
　＝１＋2sinθcosθ
より、sinθcosθ＝(ｔ²－１)／２

f(θ)＝(sinθ+1)(cosθ+1)＝sinθcosθ＋(sinθ＋cosθ)＋１
　＝(ｔ²－１)／２＋ｔ＋１
　＝(1/2)(ｔ²＋２ｔ＋１)
　＝(1/2)(ｔ＋１)²
より、－√2≦ｔ≦√2 に対して、最小最大が求められます。

(4)
判別式より
　ｋ²－４f(θ)≧０
　ｋ²≧４f(θ)
これがすべてのθについて成り立てばいいのですが、
f(θ)の最大最小は(3) で求められているので、ｋの取るべき
範囲もわかります。

No.4192 - 2008/12/09(Tue) 20:39:13

★ log / 礼花　高２

お久しぶりです、よろしくお願いします！

関数f(x)= 9^x- 3^x+2+20について、次の問いに答えよ。
(1)f(0)の値を求めよ。
(2)t=3^xとするとき、y=f(x)をtの式で表せ。
(3)不等式f(x)＞2を解け。
(4)定義域が1≦x≦2のとき、f(x)の最大値、最小値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。

自力で(2)までは解けたのですが、(3)で止まってしまいました。f(x)= 9^x-3^x+2+20という式をどうやったら不等式として解くか、定義域を求められるか、そこからわかりません。すみませんが、(3)(4)を教えていただけないでしょうか？よろしくお願いいたします。

No.4188 - 2008/12/09(Tue) 20:11:14

☆ Re: log / ヨッシー

(3)
(2) で、ｙ＝ｔ²－９ｔ＋２０　と、
ｔの２次式になったので、
　ｔ²－９ｔ＋２０＞２
　ｔ²－９ｔ＋１８＞０
　(ｔ－３)(ｔ－６)＞０
より、ｔ＜３　または　ｔ＞６
よって、ｘ＜１　または　ｔ＞log₃６＝1＋log₃２
(log₃６のままでも良いでしょう)

(4)
1≦x≦2 より 3≦ｔ≦9 このとき、
　ｙ＝ｔ²－９ｔ＋２０＝(ｔ－9/2)²-1/4
より、ｔ＝9/2 のとき最小値-1/4、ｔ＝９のとき最大値２０
ｘに直すと、
　ｔ＝9/2 は、ｘ＝log₃(9/2)＝2－log₃２
　ｔ＝９は、ｘ＝２

No.4190 - 2008/12/09(Tue) 20:24:03

★ 確率 / あき

いつもありがとうございます！どうかお願いします(>_<)

http://v.upup.be/?M49ut4j2ye
の問題の(2)は
7C1×3C1×6C1×2C1×5C1×4C2/2!
というふうにはとけないのでしょうか？
ご指導いただきたいです(>_<)

No.4176 - 2008/12/08(Mon) 20:43:42

☆ Re: 確率 / ヨッシー

式には、意味があります。
なぜ、7C1×3C1×6C1×2C1×5C1×4C2/2! で
解けると考えますか？

No.4178 - 2008/12/08(Mon) 23:45:05

☆ Re: 確率 / あき

今考えると白の玉には区別がないので
7C1×6C1×5C1×～
だと思います！
後の玉には色が異なり区別があるので白と一緒にいれる三つをそれぞれ一つずつ選んで…という感じです！

No.4183 - 2008/12/09(Tue) 11:39:23

☆ Re: 確率 / あき

でもこれでも違うんですよね？

No.4185 - 2008/12/09(Tue) 16:05:26

☆ Re: 確率 / あき

でもこれでも違うんですよね？わからないです(>_<)

No.4186 - 2008/12/09(Tue) 16:05:42

☆ Re: 確率 / ヨッシー

とりあえず、答えがあると思うので、載せてもらえますか？

No.4191 - 2008/12/09(Tue) 20:25:07

☆ Re: 確率 / あき

答えは
7C3×4C2/2!
らしいです
いわれてみればそうも考えられるようにも感じるんですが自分が考えたようにも考えられるようなというかんじでわからないです。

No.4198 - 2008/12/10(Wed) 11:02:28

☆ Re: 確率 / rtz

それは答えではなく、
「白が1個ずつ他の色と組み合わさる場合」ではないですか？
実際はこれに(1)の105を加えているはずですが。

なぜあなたの方法が間違っているかというと、
特定の3色A、B、Cに対して、
(Aと白を選ぶ)→(Bと白を選ぶ)→(Cと白を選ぶ)
(Bと白を選ぶ)→(Aと白を選ぶ)→(Cと白を選ぶ)
…
を2回以上数えているからです。
具体的には3!＝6倍ですから、6で割らなければいけません。

それから、こと場合の数の解答に関しては、
「式を書いただけでは考えている内容が不明」であることが多いです。
今回でも、あなたが書いた₇C₁×…という式だけ見ても、
あなたがどう考えてその式を書いたのか、採点者(というかあなた以外の他の人)はさっぱり分かりません。
ですから、
なぜそういう式になったのか、きちんと言葉で説明する必要があります。

「6つの中から2つ選ぶ」程度の問題で説明する必要まではないですが、
ある程度考える必要のある問題については、概略でもいいので式を書いた方針を書いてください。
今回なら「1つ目の組について白以外の7色から1個、白から1個選ぶ。2つ目の組についても…」という感じです。
これがあれば、初めの時点で無駄な応答なしに回答を得られたはずです。

くどいようですが、
我々はあなたではありませんから、どう考えたかまでは推測することしかできません。
ですので、「どう考えたか」をきちんと記していただくようお願いします。

No.4199 - 2008/12/10(Wed) 11:32:14

☆ Re: 確率 / あき

ごめんなさい！お答えいただき本当にありがとうございます。これからは気をつけます。
本当にご迷惑おかけしました。

No.4202 - 2008/12/10(Wed) 14:51:05

☆ Re: 確率 / angel

今更ですが…
1. かけたり割ったりすれば答えが出る、という発想は捨てること。
　! なり P, C, H といった計算は、場合の数を数え上げる上での規則性によりうまれたものに過ぎません。大事なのは計算式ではなく、まず規則性を見つけることです。
　※今回の(2)では、白白の組のある・なしで異なる規則性が現れるため、場合分けしてそれぞれ計算しています
　※見つけた規則性をどう計算式に落とし込むかも1通りではありません。例えば(1)は、8C2・6C2・4C2・2C2/4! 以外の式もあります（というか、第一感はそっち）

2. 問題の規模を縮小して実際に数え上げること
　計算してたまたま答えがあっていたとしても、実際に数え上げられなければ意味がありません。
　流石に100通りを超えるパターンを全て書き出すのは手間ですが、問題の規模を小さくすれば可能です。そこから規則性を考えることもできますし、計算式の妥当性を確認することもできます。

　例えば、(1)なら8色の球ではなく6種の数 1～6 に変えてみるとか ( 15通り )、(2)なら 1,1,2,3,4,5 の5種6個の数 ( 3+6通り ) や、1,1,1,2,3,4,5,6 の6種8個の数 ( 15+10通り ) とか…

No.4222 - 2008/12/13(Sat) 11:58:51

★ (No Subject) / ＴＡＫＡ

解説ありがとうございます。方程式の話に関して、もう一つ質問させて頂きたいのですがよろしいでしょうか。娘は小学５年生なのですが、難関中をめざす子供はやはり移項のやりかたを知っているものなのでしょうか。

No.4174 - 2008/12/08(Mon) 20:09:24

☆ Re: / angel

「移項」という名前で知っていたかどうかは記憶が定かではありませんが、移項そのものはできます。
※そもそも、和差算やら鶴亀算やらも、連立一次方程式のパターンに過ぎませんし、小学生時点でも方程式は解けます。中学以降のような書き方をしないだけです。

例えば、こんな場面でも普通に使いますよね。
問い：
　金貨10枚・銀貨5枚と、金貨5枚・銀貨12枚が天秤で丁度つりあった。
　各金貨、銀貨は同じ重さだとするとき、金貨と銀貨の重さの比を答えなさい。
解答：
　金貨の重さを○、銀貨の重さを□とすると、
　○×10+□×5 = ○×5+□×12
　両辺から○×5+□×5を引くと、○×5 = □×7
　よって、○:□=7:5
　※実際には式を立てずに、絵(積み上げ棒グラフ)を描いて処理するかも知れませんが

No.4177 - 2008/12/08(Mon) 21:04:24

☆ Re: / ＴＡＫＡ

ご丁寧な回答ありがとうございました。考え方としては知っているものなんですね。

No.4182 - 2008/12/09(Tue) 03:13:24

★ 図形問題 / ＴＡＫＡ

中学受験生の娘を持つ父です。塾の問題をみているのですが、図形の問題でわからないものがあります。方程式をつかえば答えは2.72とでるのですが・・・。よろしければ小学生としての解き方を教えていただけませんか。

No.4168 - 2008/12/08(Mon) 15:43:33

☆ Re: 図形問題 / にょろ

アとイの面積が等しいと言うことは
台形ADBCと扇形DECの面積が等しいと言うことです。

扇形の面積はすぐ分かるので
BCは台形の公式を「逆算して」BCを求めることになります。

逆算と方程式は同じ物なのですが
小学生に方程式は教えないので
逆算流の解き方になります。

（実は僕はこの逆算は大嫌いでしたが
方程式は好きでした
それほどややこしいです^^;）

いっそのこと方程式を教えた方が
逆算の説明のこじつけはしやすくなるかもしれません

No.4169 - 2008/12/08(Mon) 16:09:11

☆ Re: 図形問題 / angel

台形ADBC=扇形DEC が分かれば、

△BCD
= □ADBC - △ABD
= 扇DEC - △ABD

なので、
BC = △BCD×2÷CD = (扇DEC - △ABD)×2÷CD
で逆算として計算できます。( 三角形の面積の逆算 )

慣れていれば台形の面積の逆算の方が効率が良いですが。
※BC = □ADBC×2÷CD-AD = 扇DEC×2÷CD-AD

No.4170 - 2008/12/08(Mon) 18:26:37

☆ Re: 図形問題 / ＴＡＫＡ

すいません。続けて質問させていただきたかったのですが、間違って、別の記事になってしまいました。管理人様もし不都合があれば、消していただければ幸いです。失礼いたしました。

No.4175 - 2008/12/08(Mon) 20:13:53

★ 確率 / あき

いつも丁寧に教えてくださりありがとうございます。

http://v.upup.be/?z0GyoByEUC
の(2)で
http://s.upup.be/?cp7dhRa4Xv
が解答なのですが、
xを考えていないのはなぜなんでしょうか？
不思議です(>_<)
お願いします！

No.4161 - 2008/12/07(Sun) 22:02:46

☆ Re: 確率 / rtz

1と2を選んでくれば1＝1＜2(x＝y＝1、z＝2)になりますね。

つまり適当に異なるy,zを選べば、
自動的にそのyがxに等しくなるのです。

No.4162 - 2008/12/07(Sun) 22:26:22

☆ Re: 確率 / あき

ごめんなさい(>_<)
まだよくわからないです(>_<)

x

No.4164 - 2008/12/08(Mon) 01:16:28

☆ Re: 確率 / rtz

では多少面倒ですが、
x＝y＜zになる(x,y,z)の組み合わせを書き出してみてください(15通り)。
今度はy＜zになる組み合わせも考えてみてください。

上の2つにはどういう関連があるでしょうか？

No.4165 - 2008/12/08(Mon) 02:08:44

☆ Re: 確率 / あき

全て同じ場合の数の答えになると思います…

No.4167 - 2008/12/08(Mon) 13:50:37

☆ Re: 確率 / rtz

そうです。

つまり、
「x＝y＜zになる(x,y,z)の組み合わせ」を考えることは、
「y＜zになる(y,z)の組み合わせ」を考えることと同じです。

何故かといわれればNo.4162にも書きましたが、
考えたyをそのままxに入れればx＝yになるわけです。

計算上納得がいかないなら、
「xはyに等しいので1通りしか考えられないから₆C₂*1＝15通り」
としてもいいですよ。

No.4171 - 2008/12/08(Mon) 19:06:12

☆ Re: 確率 / あき

すみません勘違いしていました。等しいもののときで場合わけしてたのを忘れていました…
ありがとうございました！

No.4173 - 2008/12/08(Mon) 19:43:39

★ ベクトル / すん

たがいに直交する3つのべクトルを↑a＝(1,2,1）,↑b=(0,-1,2),↑c=(-5,2,1)とし，さらにベクトル↑d=(p,q,r)は↑a,↑bとの内積がそれぞれ↑a･↑d＝2，↑b･↑d=-1であるとする。
(1)↑c,↑dの作る平行四辺形の面積Sを求めよ。
(2)↑c･↑e=↑d･↑e=0で長さがSとなるベクトル↑e=(x,y,z)を求めよ。

よろしくお願いします。

No.4160 - 2008/12/07(Sun) 20:41:03

☆ Re: ベクトル / angel

面倒なので、↑を省略して書きます。

まず、a,b,c は互いに直交するため、a・b = b・c = c・a = 0
同時に a,b,c は一次独立なので、d=αa+βb+γc と置くことができます。
このγは決定しないのですが、計算の中で消えてくれるので気にしなくて良いです。

置いた後は、a,b との内積の条件から、
　a・d = αa・a = 2
　b・d = βb・b = -1

後は、
　c・d = γc・c
　d・d = α^2a・a + β^2b・b + γ^2c・c

(1) c,d のなす角をθとすれば、S=|c||d|sinθ
　※c,dの作る三角形であれば、1/2・|c||d|sinθ
　よって、
　　S=|c||d|sinθ
　　= √( |c|^2|d|^2(sinθ)^2 )
　　= √( |c|^2|d|^2( 1-(cosθ)^2 ) )
　　= √( |c|^2|d|^2 - (|c||d|cosθ)^2 )
　　= √( (c・c)(d・d) - (c・d)^2 )
　　= √( (c・c)(α^2a・a+β^2b・b) )

　※S=√( (c・c)(d・d) - (c・d)^2 ) は覚えて損はないですね。平面ベクトルなら、より簡単な形になります。
　　(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)-(x1x2+y1y2)^2 = (x1y2-x2y1)^2

(2) c・e = 0 より、e=δa+εb と置くことができます。
　※ c の係数が0でないと、内積が 0 にならない
　そうすると、d・e = αδa・a + βεb・b = 0 … (i)
　後は、|e|=S すなわち e・e = S^2 から、
　δ^2a・a + ε^2b・b = S^2 … (ii)
　(i)と(ii)を連立させることでδ,εが出ます。

余談：c,d に垂直で、c,dの作る平行四辺形の面積と同じ大きさを持つベクトル(の一方)を、c,dの外積 c×d と呼びます。

No.4201 - 2008/12/10(Wed) 13:02:04

★ 時計算 / ナルト

どうしてもわからないので教えてください。（小学５年）

10時と11時の間で時計の長針と短針が、２と８のめもりを通る直線を軸として、線対称になるのは10時何分ですか。

No.4154 - 2008/12/07(Sun) 00:10:24

☆ Re: 時計算 / angel

イメージの仕方は様々でしょうが…。

まず前提として、2-8を通る直線を軸として線対称、ということは、10時～11時では、25分～30分の間と絞られます。
※10に対称なのが6、11に対称なのが5のため、5～6の間、つまり25分～30分という理屈

後は、時計の中心と8の目盛りを結ぶ線と、長針/短針のなす角を考えてみましょう。これらが等しい時が対称の時です。

10時の時点では、中心-8の線と短針がなす角は60°です。10時25分なら、60+0.5×25°ですね。
一方、中心-8の線と長針がなす角は10時25分の時、90°です。
なので、10時25分の時点ではまだ対称ではありません。短針の方がより8に近い状態です。

ここから、短針は8より遠ざかり(毎分0.5°)、長針は8に近づきます。(毎分6°)
そのため、10時25分から、(90-(60+0.5×25))÷(0.5+6)=2+9/13分だけ経てば、丁度対称になります。
※短針のなす角は、60+0.5×(25+2+9/13)=73+11/13°
　長針のなす角は、90-6×(2+9/13)=73+11/13°

イメージが明確にできていれば、10時丁度を基準に考えて、
　(240-60)÷(0.5+6)=27+9/13分
という計算もできます。なぜこれで良いかは、考えてみてください。

No.4156 - 2008/12/07(Sun) 01:24:35

☆ Re: 時計算 / らすかる

他の考え方（angelさんの最後のと同じ？）
10時のとき対称軸は5-11を通る直線で、対称軸は1分あたり
(0.5+6)÷2=13/4度右回転しますので、対称軸が90°回転するには
90÷(13/4)=360/13分かかります。

No.4157 - 2008/12/07(Sun) 08:47:55

☆ Re: 時計算 / ナルト

ありがとうございました。

10時を基準に考えて、2と8を通る直線に対称な針の位置は、短針は11で長針は5のときと考えます。10時からそれぞれ動いた角度は、短針が30度、長針が150度なので、あわせて180度動いたと考えます。

180÷（0.5＋6）＝27と13分の9
答えが、10時27と13分の9（分）　これで良いですか？

No.4163 - 2008/12/07(Sun) 22:57:47