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積分 / snu
昨日に続いて質問です。

問題 1
媒介変数tを用いて、
x=cosht y=sinht (0≦t≦log(2+√3))・・(1)
とあらわされる曲線(ここで、sinht=(e^t-e^-t)/2,cosht=(e^t+e^-t)/2)と2直線y=0,x=2で囲まれた図形の面積を求めよ。
ただし、式(1)のように媒介変数表示されていることを利用した置換積分を用いよ。

問題 2
∫secx dx=log ltan(x/2+π/4)l +C (Cは積分定数)
を証明せよ。ただし、logは自然定数とする。

お願いします。

No.3585 - 2008/11/01(Sat) 11:25:04

Re: 積分 / rtz
1.
dx/dt=yですから、求める面積は
∫[0〜2]|y|dx
=∫[0〜log(2+√3)]y2dt

2.
secx=1/cosx
=cosx/cos2x
=cosx/(1−sin2x)
=(1/2)[ {cosx/(1−sinx)} + {cosx/(1+sinx)} ]

No.3587 - 2008/11/01(Sat) 13:12:16

Re: 積分 / snu
問題 1の答えは、√3-1/2log(2+√3)ですか?
No.3590 - 2008/11/01(Sat) 17:58:31

Re: 積分 / rtz
式を表すときは意味が1通りに受け取れるように括弧を補ってください。
そのままでは、√3-[1/{2log(2+√3)}]なのか{(√3-1)/2}log(2+√3)なのか(√3-1)/{2log(2+√3)}なのか√3-(1/2)log(2+√3)なのか{√3-(1/2)}log(2+√3)なのかはっきりしません。

答え自体は正しいです。

No.3593 - 2008/11/01(Sat) 19:57:22

Re: 積分 / snu
すいません。分かりにくかったですね。√3-(1/2)log(2+√3)
です。

No.3594 - 2008/11/01(Sat) 21:12:25

Re: 積分 / snu
問題2ですが、積分をして
(1/2)log{(1+sinx)/(1-sinx)}+C
まで出したのですが、ここから、どのように変形すればよいのでしょうか?

No.3596 - 2008/11/01(Sat) 22:21:48

Re: 積分 / rtz
せっかく問題に最終的な答えがあるのですから、
そちらを変形していってみては?

No.3597 - 2008/11/01(Sat) 22:34:54
領域作成 / Jez-z
平面上のx軸にA(1,0),B(-1,0),y軸上に定点C(0,1),D(0,-1)がある。この平面上の点Pから線分ABまでの距離の最大値をM(P),最小値をm(P)とする。
(1)M(P)≦PC または M(P)≦PD

(2)m(P)≦PC かつ  m(P)≦PD
をともに満たす点Pの存在範囲を図示せよ。

(自分は以下のように考えてみました)
条件(1)は
Pがx≧0、x<0の領域にあるときで場合分けして考えました。
具体的には垂直二等分線を境界と考えて領域を決定することができました。

条件(2)は
xが正領域にあるときは
0≦x≦1のとき、と1<xのときに場合に分けました。
∵前者の場合、m(P)はPから線分OA(Oは原点)に下ろした垂線PH.
後者の場合、m(P)=PAとなることに気付いたからです。

しかし、(1)かつ(2)を図示したら、解なしとなってしまい
行き詰ってしまいました。
一応、自分の考えはここですべてのべたつもりです。
適切なアドバイス等、お待ちしております。

No.3576 - 2008/10/31(Fri) 23:21:52

Re: 領域作成 / ヨッシー
良いところまで行っていますね。
m(P) で垂線に気付くのも大したものです。

下図の●をPだとすると、
 M(P)=PB<PD ・・・(1)
 m(P)<PC<PD ・・・(2)
とも満たしていますね。


ヒントは放物線です。

No.3579 - 2008/11/01(Sat) 05:12:17

Re: 領域作成 / Jez-z
上のヒントを参考に考えたのですが、「放物線」にたどりつけませんでした…

上の図の点Pが(1/5、1/3)だとすると、そのほかにも
点(1/2、1/2)を境界に領域が考えられますが・・・

また、別の視点で考えると、0≦x≦1の範囲で
例えば、直角三角形OAE(ただし、Eは直線x=1と直線y=1の交点)の周、および内部となるような領域が作成できそうですが・・・

No.3582 - 2008/11/01(Sat) 08:10:33

Re: 領域作成 / ヨッシー

図は、点Cからの距離と、線分ABからの距離が等しい点です。
これより下が、m(P)<PC となります。

また、△OAE の内部は、(2)は満たしますが、
(1) を満たさないので、解答の範囲には含まれません。

No.3584 - 2008/11/01(Sat) 10:36:28

Re: 領域作成 / Jez-z
ヨッシーさん、添付された図のおかげで大変よく理解できました。

あとは「同様に」y≦0の領域も考えればよいですよね。
ありがとうございました^^

No.3598 - 2008/11/02(Sun) 00:47:02
(No Subject) / 優香 高3
点Oを原点とするxyz空間に2点A(2,0,0),B(0,1,1)をとり、実数s(0≦s≦2)に対して2点P(s,1,0),Q(s,0,1)を考える。
また、点Qから直線BPにおろした垂線と直線BPとの交点をH、線分PQ上を動く点をRとする。
このとき、次の問いに答えよ。

(1)BH:HP=t:1-tとおくとき、OH→の成分を実数s,tを用いて表せ。
(2)OH→=(s^2/s^2+1)OP→+(1/s^2+1)OB→であることを示せ。
(3)PR:RQ=1-u:uとおくとき、AR→の成分を実数s,uを用いて表せ。
(4)点Rが線分AH上にあるとき、実数s,uの値を求めよ。

お願いします。

No.3573 - 2008/10/31(Fri) 22:13:40

Re: / ヨッシー
私のページに解答を載せました。
No.3577 - 2008/10/31(Fri) 23:43:52

Re: (No Subject) / 優香
ありがとうございます。
No.3578 - 2008/11/01(Sat) 00:23:42
積分 / snu
媒介変数tを用いて、
x=cosht y=sinht (0≦t≦log(2+√3))
とあらわされる曲線のグラフを描け。ここで、
sinht=e^t-e^t/2,cosht=e^t+e^t/2
である。

どうか、教えてください。お願いします。

No.3562 - 2008/10/31(Fri) 18:48:03

Re: 積分 / ヨッシー
双曲線関数の性質に、
 cosh2t−sinh2t=1
というのがあります。実際代入すれば、導けます。
これで、xとyの関係式が出せますね。
名前の通り、双曲線になります。
問題は、tの範囲により、グラフの範囲も決まると言うことですね。

No.3563 - 2008/10/31(Fri) 18:53:22

Re: 積分 / ヨッシー
ちなみに、
 sinht=(et-e-t)/2,cosht=(et+e-t)/2
です。

No.3564 - 2008/10/31(Fri) 18:55:47

Re: 積分 / snu
どうも、ありがとうこざいます。
がんばって、解いてみます!!

No.3565 - 2008/10/31(Fri) 18:57:23

Re: 積分 / snu
> 双曲線関数の性質に、
>  cosh2t−sinh2t=1
> というのがあります。実際代入すれば、導けます。
> これで、xとyの関係式が出せますね。


xとyの関係式を出すと

y=±√x^2-1とでてきますが,この関係式のグラフを描けばよいのですか?

No.3568 - 2008/10/31(Fri) 19:09:28

Re: 積分 / ヨッシー
そうなんですけど、
楕円とか、双曲線とか、放物線とかの、いわゆる二次曲線は、
まだですか?知っていれば、
 x2−y2=1
だけで、グラフが描けるのですが。

では、一次変換が済みなら、いっそ、45°回転してみても良いかもしれません。
 x2−y2=1
に、
 x=(x+y)/√2、y=(-x+y)/√2
を代入するのです。

No.3569 - 2008/10/31(Fri) 19:15:17

Re: 積分 / snu
グラフの形は分かりましたが
範囲は 1≦x≦2,0≦y≦√3であっているでしょうか?

No.3572 - 2008/10/31(Fri) 19:57:30

Re: 積分 / ヨッシー
合ってますね。
No.3574 - 2008/10/31(Fri) 22:49:35

Re: 積分 / にょろ
補足です。

sinx=(eix-e-ix)/2i
cosx=(eix+e-ix)/2
と言う式が成り立ちます。

式sinhとかと似てますよね
実はsinh,coshにも加法定理が存在します。
sinh(α+β) = sinh α cosh β + cosh α sinh β
cosh(α+β) = cosh α cosh β + sinh α sinh β

覚えていても損はないと思います。

No.3581 - 2008/11/01(Sat) 06:18:04

Re: 積分 / snu
ヨッシーさん、にょろさん、丁寧な解説ありがとうございました。
No.3583 - 2008/11/01(Sat) 08:52:39
微分 / あき
いつもごめんなさいまたお願いします(>_<)

http://k.upup.be/?7nG8SOxHOQ
の問題で前と似せて考えてみようと思い、区間の差が1 極値の差も1 を利用して
http://j.upup.be/?Hj592ikIHZ
http://q.upup.be/?P4q9ZeGds0
と考えて
http://l.upup.be/?lMavkWjyhC
と出してみたのですが答えは赤線の部分でt<(3−??3)/3
のときが間違ってるみたいでした…(>_<)
増減表を載せた通りMAXは変化なく3−??3/3 のときだと思うのですが…
この手の問題が苦手なことに気付き焦ってますお願いします!

No.3554 - 2008/10/31(Fri) 13:36:18

Re: 微分 / ヨッシー
とりあえず、解いてみます。
極大値は、x=(3-√3)/3 のとき、
 f((3-√3)/3)=2√3/9
です。
1)定義域が、極大点より左
 t<-√3/3 のとき、f(t+1) が最大値
2)定義域が、極大点を含む
 -√3/3≦t≦(3-√3)/3 のとき、極大値が最大値
3)(3-√3)/3<t≦1 のとき f(t) が最大値
4) t≧1 のとき f(t+1) が最大値
のようになります。

No.3556 - 2008/10/31(Fri) 15:01:40

Re: 微分 / あき
−??3/3 と 1 を場合わけに使っていますが、どこからでてきたのですか?
あとすみませんが問題の着眼点を教えて下さい(>_<)

No.3557 - 2008/10/31(Fri) 16:23:55

Re: 微分 / ヨッシー
前の問題のように、極大点を含んでいるのに、別に、もっと大きな
値の点がある、というようなことは、今回はありません。
ですから、幅1の区間を、ひたすら左右に動かすだけです。
極大値を含んでいれば、それが最大、含んでいなければ、
両端の小さくない方が最大です。

t<-√3/3 の -√3/3 は、t≦x≦t+1 が、極大よりも
左にある場合のギリギリの点です。
t+1 が極大値の (3-√3)/3 に来ますので、tは-√3/3です。
1を境にして、f(t) が最大値 と f(t+1) が最大値が切り替わります。
いずれも、グラフを見て、判断します。

No.3558 - 2008/10/31(Fri) 16:33:03

Re: 微分 / あき
図つきでありがとうございます!
わかりました、グラフをみるんてすね!
本当にお早い回答助かりました(>_<)
ありがとうございましたo(^-^)o

No.3559 - 2008/10/31(Fri) 17:39:37

Re: 微分 / あき
ごめんなさいまたちょっとわからなくなったのですが
答えは
http://p.upup.be/?5MFychYu0X
にやっていました、この考え方はどうしてこう考えられるのでしょうか?????

No.3560 - 2008/10/31(Fri) 18:10:01

Re: 微分 / ヨッシー
たとえば、t≦A≦t+1 は、
t≦A かつ A≦t+1 ですから、
A≦t+1 より、A−1≦t とすると、
t≦A かつ A−1≦t ですから、tを基準にして、
 A−1≦t≦A
になりますね。

No.3561 - 2008/10/31(Fri) 18:15:57

Re: 微分 / あき
すみません式変形じゃなくて全体の考え方を聞きたかったのですが(>_<)定義域に属する属さないの考え方です!
No.3566 - 2008/10/31(Fri) 18:58:28

Re: 微分 / ヨッシー
極大値を取るxの値が、1−(√3/3) であって、
定義域がt≦x≦t+1 なのですから、
この範囲内に、1−(√3/3) がある時が、定義域に極大値が
含まれる場合です。つまり、
 t≦x≦t+1  → t≦1−(√3/3)≦t+1
です。

No.3567 - 2008/10/31(Fri) 19:03:06

Re: 微分 / あき
ごめんなさい…式変形みたいなのはわかるのですがそもそもの定義域に属する属さないで考えられるわけがわからないということなんですがうまく伝えられていないかもしれません…この問題の着眼点はグラフをみることだとおっしゃってましたがこの方法も理解しなきゃと思ったので…
No.3571 - 2008/10/31(Fri) 19:54:08

Re: 微分 / ヨッシー
なぜ、極大値が、定義域に属するかどうかを調べる必要が
あるか? ということでしょうか?

No.3580 - 2008/11/01(Sat) 05:24:09

Re: 微分 / あき
はい、というかこの考えかた全体がわからないです…
http://i.upup.be/?36Ke8mQPBf
極大値が定義域に属する属さないで場合わけができる考え方です!

No.3588 - 2008/11/01(Sat) 14:02:45

Re: 微分 / ヨッシー
「場合わけができる」のではなく、「場合分けしないと正しく求められない」からです。

まず、こちらの後半を見て、定義域に極大点(最小の場合は極小点)が
入るときと入らないときで、答え方がどう違うか、また、
極値が入る場合を区別せずに、答えに至れるかを確認してください。

次に、8つ上の記事(No.3558)の動画を見て、最大値が、定義域の両端のいずれかにある時と、
定義域の内部にあるときがあるのを確認してください。

No.3589 - 2008/11/01(Sat) 15:56:54

Re: 微分 / あき
すみません分かってきたようなきがします、三次関数になったとき極大値は最大値とは限らないのでその判断が難しいと思って質問していましたすごくお騒がせしました。また似たようなことを質問するかもしれませんが宜しくお願いします!
No.3600 - 2008/11/02(Sun) 16:55:20

Re: 微分 / あき
すみません分かってきたようなきがします、三次関数になったとき極大値は最大値とは限らないのでその判断が難しいと思って質問していましたすごくお騒がせしました。また似たようなことを質問するかもしれませんが宜しくお願いします!
No.3601 - 2008/11/02(Sun) 16:55:22
微分 / あき
またまたすみません!
お願いします(>_<)

http://q.upup.be/?p45Q56kn7s
の問題でf(x)が二次式とわかるので=px^2+qx+rとおいてとき
http://m.upup.be/?tk6p9pRP2c
のようになったのですがなぜか答えが合わないのです…
計算が間違ってるようなかんじなんですが何回みても間違ってないように感じて…
どうかご指摘お願いします(>_<)

そして似たような問題で
http://r.upup.be/?YAR3t8CaIn
の(1)で二次式であることの証明を解答には長々書いてあったのですが証明みたいなのはちゃんと書かないといけないのでしょうか?

No.3550 - 2008/10/31(Fri) 10:19:07

Re: 微分 / あき
解答に書いてあったのは
http://l.upup.be/?t6bp1OHK9C
これです

No.3551 - 2008/10/31(Fri) 10:21:25

Re: 微分 / ヨッシー
p+r=0 ではなく p+q=0 になります。

確かに長々ですね。
f(x) を n次式とすると、f’(x) はn-1次式なので、
2f’(x)はn+1次式、となり、
2f’(x)+f(x) は式全体で、n+1次式になります。
一方、右辺は3次式なので、n+1=3 より、f(x)は2次式となります。
程度で良いと思います。

No.3552 - 2008/10/31(Fri) 10:32:44

Re: 微分 / あき
本当でしたqでした/( ̄口 ̄;)\
ありがとうございます!
証明は分かる程度に書けばいんですねわかりましたありがとうございました!

No.3553 - 2008/10/31(Fri) 13:25:03
おそらくベクトル? / Jez-z
一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがあり,辺AB,CG,EH上をそれぞれ点P,Q,Rが
 AP:PB=CQ:QG=HR:RE
をみたすように動くものとする.
(1) △PQRは正三角形であることを示せ.
(2) △PQRの面積の最小値を求めよ.

AP:PQ=(1-t):tとして考えました。具体的には
↑PQと↑PRを3つの一次ベクトルなベクトル
↑AE=↑a,↑AB=↑b,↑AD=↑cを用いて表し
それぞれの内積をとって計算するという方針です。

しかし、tの値がきれいにならず、計算ミスはないと思ったので、考え方の問題ではないかと思われたので質問させていただきました。
よろしくご指導いただきたく存じます。

No.3540 - 2008/10/30(Thu) 23:23:05

Re: おそらくベクトル? / ヨッシー
PQPR だけでなく QR も、 で表して、
 PQ=QR=RP
を言えばいいでしょう。実際には、
 PQ2=QR2=RP2
を言うことになります。

その際、PQ などは、tの2次式で表されますので、PQの
最小、すなわち△PQRの最小を求めることが出来ます。

No.3541 - 2008/10/30(Thu) 23:32:02

Re: おそらくベクトル? / rtz
(1)
これはベクトル云々よりは、長さで出した方が早いでしょう。
全辺√{t2+12+(1−t)2}ですね。

(2)
で、上で正三角形が言えましたから、
1辺が最小なら面積も最小ですね。

No.3542 - 2008/10/30(Thu) 23:32:20

Re: おそらくベクトル? / Jez-z
御二方ともありがとうございます。
理解できました!

No.3575 - 2008/10/31(Fri) 23:05:15
微分 / あき
いつもありがとうございますお世話になっています(^^)
http://k.upup.be/?6uiL79xMwE
の問題なのですが まず
http://t.upup.be/?Q2b8vjKGgI
こうなるのですがここから全てを場合分けするのは余りにも大変なので定義域に属するか属さないかで場合分けするものなのですか?
私はすごく頭がこんがらがっています(>_<)
どうかお助け下さい(>_<)

No.3538 - 2008/10/30(Thu) 22:26:22

Re: 微分 / ヨッシー

図のようにx=1に対して対称な位置に極値と、
極値と同じ値を持つ別の点が存在するので、
 0≦a<1/2・・・x=2 で最大、x=0 で最小
 1/2≦a<1 ・・・x=1-a で最大、x=1+a で最小
 a≧1 ・・・x=0で最大、x=2で最小
これだけの場合分けになります。

No.3539 - 2008/10/30(Thu) 23:16:55

Re: 微分 / あき
そうなんですか!
そんな方法があるとはつゆ知らずでした(>_<)
もらった解答には極値をとる値二つが定義域0から2にある場合とない場合の二つに分けてグラフを書いて調べるというものでした
この方法が私はぴんとこなくてこれは一般的なやり方というかよく使う方法なんでしょうか?そもそも二つとも定義域に入っているとは限らないし場合わけが少な過ぎる感じがするんですが…(>_<)

No.3545 - 2008/10/31(Fri) 01:54:44

Re: 微分 / ヨッシー
一般的には、極大値だけ定義域に含まれるとか、極小値だけとか、
色々あります。
ただし、この問題は、グラフが、x=1に対して対称であることと、
定義域も、x=1を中心にした範囲であるので、極大値と、
極小値は、定義域に、同時に含まれたり、外れたりします。

No.3547 - 2008/10/31(Fri) 05:54:11

Re: 微分 / あき
そうですよね一般的といっても色々ありますよね(^_^;)
なるほどです1+aと1−aもx=1に対称ですね!そこに注目するんですね、ありがとうございます!
問題を重ねて強くなりたいです。

No.3549 - 2008/10/31(Fri) 10:10:56
重複組み合わせ / マセマン
区別のない球5個を、A、B、C3つの箱に入れる。
どの箱にも少なくとも一個の球が入る方法は何通りあるか?
という問題でABCにそれぞれ、xyz個ずついれるとすると
x+y+z=5(x≧1、y≧1、z≧1)として
4C2より、六通りと答えはでたんですが、別解に
x=x゛+1、y=y゛+1、z=z゛+1とおけば、
x゛+y゛+z゛=2(x゛≧0、y゛≧0、z゛≧0)となり
4!/2!2!より六通りと考えることもできるとあるのですが
x゛とか、y゛とかなんのことなんでしょうか?いきなり
でてきて意味不明です。教えてください。おねがいしす。

No.3534 - 2008/10/30(Thu) 22:01:19

Re: 重複組み合わせ / ヨッシー
別に、何の文字でも良いのです。

最初に1個ずつを箱に入れておいて、残りの2個を
「入らない箱が出来ても良いので」3個の箱に分ける、
と考えたのが、4C2=4!/2!2! です。
5個の球を3個の箱に、最低1個入れる時の個数がx、y、zで、
2個の球を3個の箱に、入らない箱が出来ても良いので、
入れたときの個数が、x”、y”、z”です。
これに1ずつ足したものが x、y、z になります。

No.3535 - 2008/10/30(Thu) 22:07:31

Re: 重複組み合わせ / マセマン
詳しい説明ありがとうございました、よく理解できました。
No.3602 - 2008/11/02(Sun) 18:01:44
(No Subject) / 受験生
 半径rの円に内接する△ABCにおいて、辺BC=√3rのとき
∠BACを求めよ。ただし、0°<=∠BAC<=90°とする。
 解答がありません。
 御解説をお願いします。

No.3532 - 2008/10/30(Thu) 21:45:50

Re: / ヨッシー
正弦定理の公式そのままです。
 BC/sin∠BAC=2r

No.3533 - 2008/10/30(Thu) 21:56:04

Re: / 受験生
なるほど。ということは、∠BAC=60°ですね。?
No.3656 - 2008/11/05(Wed) 16:13:38

Re: / ヨッシー
そういうことです。
0°≦∠BAC≦90°の条件がなければ、120°もあり得ます。
どちらも、sin∠BAC=√3/2 ですからね。

No.3657 - 2008/11/05(Wed) 16:16:53
(No Subject) / D
aは実数の定数とする。関数y=ae^x-x^4が極小値をもつようなaの値の範囲を求めよ。
0<a<27/e^3でいいんでしょうか。できれば回答の流れを示していただけないでしょうか。

No.3530 - 2008/10/30(Thu) 21:00:32

Re: / rtz
y=aex−x4は極小値を持たないと思いますが…。
No.3536 - 2008/10/30(Thu) 22:11:07
数?U 高次方程式 / シャウムベルヒ
 a,bを実数とする。xの整式P(x)をP(x)=x^3+(a−2)x^2+(b−2)x−a−b−1とし,P(2)=0が成り立つとする。
bは,aを用いてb=アイa+ウと表される。
このとき,bを消去してP(x)を因数分解すると
 P(x)=(x−エ)(x^2+オx−カ+キ)
となる。三次方程式P(x)=0が虚数解をもつようなaの範はをクケ<a<コである。このとき、1つの虚数解の実部が1であるならば,a=サシである。

ア〜キまでは解けたのですが、虚数解以降が分かりません。解答お願いします!

No.3529 - 2008/10/30(Thu) 20:46:25

Re: 数?U 高次方程式 / シャウムベルヒ
無理でしょうか?

一応ア〜キまでの解答を載せます。

b=−3a+5
P(x)=(x−2)(x^2+ax−a+3)

です。

ク〜シの解答は下のようになってるのですが、

クケ   コ
−6<a<2
  サシ
a=−2

解答までの経過が分かりません。

No.3548 - 2008/10/31(Fri) 06:56:04

Re: 数?U 高次方程式 / くり頭
P(x)=(x−2)(x^2+ax−a+3)=0
を解きます。
x-2=0またはx^2+a*x-a+3=0となります。
x-2=0はx=2で実数解を持ちますから、x^2+a*x-a+3=0が虚数解を持てばいいわけです。
二次方程式が虚数解を持つ⇔判別式D<0を利用して"クケ、コ"はでます。
さらに解の公式を使ってx=(-a±√D)/2となるわけですが、ここで√のなかは虚数になるので、実部は-a/2。
よって-a/2=1とすれば"サシ"もでますね。

No.3555 - 2008/10/31(Fri) 14:03:54
(No Subject) / 大口
xy平面上の点(a,b)を通り,曲線y=x^3-xに3つの相異なる接線が引けるとき、点(a,b)の存在範囲を図示せよ。が解けません。誰か教えてくれませんか?
No.3527 - 2008/10/30(Thu) 19:45:16

Re: / rtz

f(x)=x3−xとして、曲線上の点(t,f(t))における接線は
y=(3t2−1)x−2t3
これが(a,b)を通るので、2t3−3at2+a+b=0
g(t)=2t3−3at2+a+bとして、
g'(t)=0⇔6t(t−a)=0⇔t=0,a

y=f(x)に3つの相異なる接線が引ける
⇔g(t)=0が相異なる3つの実数解を持つ
⇔[a>0 かつ g(0)>0 かつ g(a)<0] または [a<0 かつ g(0)<0 かつ g(a)>0]
⇔[a>0 かつ a+b>0 かつ −a3+a+b<0] または [a<0 かつ a+b<0 かつ −a3+a+b>0]
⇔[a>0 かつ b>−a かつ b<a3−a] または [a<0 かつ b<−a かつ b>a3−a]

http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=595

No.3528 - 2008/10/30(Thu) 20:26:56
(No Subject) / あき
いつもありがとうございます!

http://p.upup.be/?FzVYxGjcKE
この問題なのですが、全体を微分する方法ではできないのでしょうか?
自分でやってみたらできなかったのですが(^_^;)
お願いします!

No.3523 - 2008/10/30(Thu) 17:08:53

Re: / ToDa
積分区間の上端が分かりませんが、まあこの手の問題ですからxでしょうということで勝手にそう決めつけて解いちゃいます。

両辺をxで微分してみると、
f(x) + (x+1)f'(x) - f(x) = 3x^2 - 3よりf'(x)が得られるのでf(x)の1次と2次の項は分かります。あとは定数項ですが、両辺を次数に着目して比較してみれば自ずと分かるのですが、そうでなくてもx=0などを代入してみるというのも良いでしょう。

No.3524 - 2008/10/30(Thu) 18:00:10

Re: / ヨッシー
> 積分区間の上端が分かりませんが、
そうですね。たぶん、カメラで狙ったのと、実際の画像に
ズレがあるのだと思いますので、撮りたい範囲の、上下左右
1cm ずつくらい余裕を持って撮ってもらうと良いと思います。

No.3526 - 2008/10/30(Thu) 18:24:18

Re: (No Subject) / あき
すみませんご迷惑おかけしました(>_<)
ありがとうございます!

No.3537 - 2008/10/30(Thu) 22:20:08
(No Subject) / DAI
すべての実数Xに対して不等式
    (e^x+e^(-x)/2≧1+ax^2
が成り立つような定数aの最大値をもとめよ。
aについて解き、aの最大値=左辺の最小値までわかるのですがその後の計算がうまくいきません。助けていただけないでしょうか。

No.3521 - 2008/10/30(Thu) 14:30:20

Re: / ヨッシー
こちらをご覧ください。
No.3525 - 2008/10/30(Thu) 18:19:54
(No Subject) / コニャック
「曲線f(ay-bx,cx-az)=0の接平面は、常に直線x=at,y=bt,z=ctに平行であることを示せ。」
と問題文にあるのですが、解法がわかりません。
どなたか教えてください。よろしくお願いします!!

No.3520 - 2008/10/30(Thu) 14:21:30

Re: / soredeha
[平面]//[直線] ⇔ [法線ベクトル]⊥[方向ベクトル] ⇔ [法線ベクトル]・[方向ベクトル]=0
[法線ベクトル]=(∂G/∂x,∂G/∂y,∂G/∂z)

No.3546 - 2008/10/31(Fri) 03:21:15
領域を求める問題です…文字が多い! / なな
失礼します。よろしくお願いします。

【質問】
点P(x,y)を次のように定める。

x=pq/s、y=qr/s

正の実数p、q、r、sが1≦p≦2、1≦q≦2、1≦r≦2、s=p+rを満たしながら動くとき、点Pが描く領域の面積を求めなさい。


文字が多くてどの文字に注目したり消したりしていけばよいのか、手が付けられません。この問題の解き方を教えてください。お願いします。

No.3518 - 2008/10/29(Wed) 22:45:42

Re: 領域を求める問題です…文字が多い! / ヨッシー
q は両方にかかっているので、とりあえずq=1としましょう。
また、sもp+r に戻すと
 x=p/(p+r) y=r/(p+r)
なので、x+y=1 となります。
pを固定して、rを1から2まで動かすとxは単調に減少します。
当然yは単調に増加します。
よって、p=1,r=2のときxは最小値x=1/3
p=2,r=1のときxは最大値x=2/3 を取ります。

あとは、qに従って、1倍から2倍に変化するので、図のような領域になります。

No.3519 - 2008/10/29(Wed) 23:00:57

Re: 領域を求める問題です…文字が多い! / なな
ヨッシー様へ

遅くなってしまってすみませんでした。解説ありがとうございました。

No.3586 - 2008/11/01(Sat) 12:33:26
(No Subject) / あき
こんばんは
また一次変換の問題ですがお願いします(>_<)
http://r.upup.be/?0qE1mNBXsC
の最初の問題で
http://o.upup.be/?30fL0FNXGF
こんなかんじではとけないのでしょうか?
実際とけなかったのですが(^_^;)
すみませんがお願いします!

No.3515 - 2008/10/29(Wed) 19:54:39

Re: / ヨッシー
(x,y)=(cosα,sinα) が、f によって、(x', y') に移るとき、
移った後の点(x', y')は、ax+by=5 を満たしますが、
これに x'=xcosα−ysinα, y'=xsinα+ycosα を入れたときの
(x, y) は、移る前の点の座標ですから、ax+by=5 は
満たしません。よって、
 acosα+bsinα=a, bcosα−asinα=b
は、誤りです。

出題者の意図としては、1次変換の式をつかって、つまり、
sinα、cosα を使って解いて欲しいのでしょうが、グラフを
描いて解いた方が楽に解けます。
 a=−3,b=4
ですよね?

No.3517 - 2008/10/29(Wed) 20:15:37

Re: (No Subject) / あき
はいそうです、簡単に解けるんですね、難しいです、ありがとうございました(^^)
No.3522 - 2008/10/30(Thu) 16:49:41
たぶん東大の過去問です / 愛
x,yがx^2+y^2≦1を満たすとき
X=x+y、Y=xyで表される点P(X,Y)の存在範囲を図示せよ
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=X^2-2Y≦1 …?@
これで答えだと思ったのですが、x,yが実数であるという条件についても考える必要があって
t^2-(x+y)t+xy=0とおいて、判別式D≧0 
⇔X^2-4Y≧0…?A
よって、?@かつ?Aの部分(三日月)が答えとなるのですが
どうしてx、yが実数であることを考えないとダメなのですか?普通の問題(X=x+y,Y=x-yのときなど)ならそういうことを考慮せずにやってしまいますけど…
実際、大半の受験生が?@までで答えとしていたそうです。

No.3511 - 2008/10/29(Wed) 18:13:23

Re: たぶん東大の過去問です / ToDa
問題文は正確ですか?
その解答だと「実数x,yが〜」などのような記述であるべきだと思うのですが。

No.3512 - 2008/10/29(Wed) 19:24:41

Re: たぶん東大の過去問です / 愛
問題文にはxy平面上の点(x,y)とありますので
xy平面上という記述がそれにあたりますかね?

No.3513 - 2008/10/29(Wed) 19:38:35

Re: たぶん東大の過去問です / ToDa
ああ、それですね。
x,yが実数ということが宣言されているので、その条件を考えなければなりません。

「x,yが実数⇒x+y,xyが実数」
は成立しますがその逆は必ずしも成立しませんので。

No.3514 - 2008/10/29(Wed) 19:43:46

Re: たぶん東大の過去問です / 愛
x=1+i,y=1-iのとき、x^2+y^2≦1を満たし、x+y,xyが実数をも満たすから、そういった例を除く必要があったんですね!
ありがとうございました。スッキリしました。

No.3516 - 2008/10/29(Wed) 19:57:32
(No Subject) / ゆい
xについての方程式2^2x+1+(t-1)(2^2x+1-1)-(t-3)2^x=0について異なる2つの実数解をもつためのtの範囲を求めよ
が解けません
誰か教えて下さい。

No.3509 - 2008/10/29(Wed) 17:05:27

Re: / ヨッシー
2^(2x+1)+(t-1){2^(2x+1)-1}-(t-3)2^x=0 だとします。
X=2x とおくと、上の式は、
2X2+(t-1)(2X2−1)−(t-3)X=0
と書けます。
これが、異なる2つの正の解を持つための、tの範囲を求めます。

No.3510 - 2008/10/29(Wed) 17:23:01
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