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★ 漸化式 / ともや
√Ｓ_n＝ａ_n
(ａ_n＞0)を満たす漸化式を求めたいのですが、方針もたちません。どなたか教えて下さい。お願いします。

No.4147 - 2008/12/05(Fri) 19:45:53
☆ Re: 漸化式 / rtz
求めたいのは二項間漸化式のみですか？
No.4148 - 2008/12/05(Fri) 21:27:02
☆ Re: 漸化式 / ともや
特にこれ以外の条件は書いてないので分かりません。
No.4158 - 2008/12/07(Sun) 14:44:54
☆ Re: 漸化式 / rtz
隣接二項間漸化式を立てたいだけなら、
Sn+1−Sn＝anを使って、
an＝Sn+1−Sn＝an+12−an2
……
で終わりますが。
No.4159 - 2008/12/07(Sun) 18:51:16
☆ Re: 漸化式 / ともや
その漸化式を満たすa_nを具体的に求めることは可能ですか？
No.4166 - 2008/12/08(Mon) 09:10:50
☆ Re: 漸化式 / rtz
あ、その前に訂正です。
an
＝Sn+1−Sn
＝(?納k＝1〜n+1]ak)2−(?納k＝1〜n]ak)2
＝an+12＋2an+1・(?納k＝1〜n+1]ak)
の間違いですね。
失礼しました。
なので隣接二項間の漸化式となると出ないかもしれません。

また一般項ですが、
a1＝1
a2＝√2−1
a3＝√(√2＋1)−√2
a4＝√(√(√2＋1)＋1)−√(√2＋1)
a5＝√(√(√(√2＋1)＋1)＋1)−√(√(√2＋1)＋1)
…
から推測は付きますので数学的帰納法で証明も出来ると思います。
No.4172 - 2008/12/08(Mon) 19:36:59
☆ Re: 漸化式 / angel
初項および漸化式は分かりますが、一般項は無理そうな気がします。

√(S[n]) = a[n] で、S[1]=a[1] のため、a[1]=1 です。
※a[1]=0 は a[n]>0 に反するため不採用

両辺を平方すると、
　S[n] = a[n]^2
これより
　S[n+1] = a[n+1]^2
両辺の差をとって
　a[n+1] = S[n+1]-S[n] = a[n+1]^2-a[n]^2
これを、2次方程式
　a[n+1]^2 - a[n+1] - a[n]^2 = 0
として解くと、
　a[n+1] = ( 1 + √( 1+4a[n]^2 ) )/2
となります。なお、±のマイナス側を採用すると、a[n+1]<0 となってしまうため不適切です。
No.4194 - 2008/12/09(Tue) 23:01:31
★ (No Subject) / AI
はじめまして、

x^11=1の虚数解の1つをαとするとき、
α+α^3+α^4+α^5+α^9の値を求めよ。

という問題なんですが、
ωなどと関連するかと思いきやそうもいかないので難しいです・・・

どなたかわかる方教えていただけるとうれしいです
No.4141 - 2008/12/05(Fri) 18:00:30
☆ Re: / らすかる
α^11-1=0 で αは虚数なので α^10+α^9+α^8+α^7+α^6+α^5+α^4+α^3+α^2+α+1=0
(α+α^3+α^4+α^5+α^9)^2
=2α+3α^2+2α^3+2α^4+2α^5+3α^6+3α^7+3α^8+2α^9+3α^10
=3(α^10+α^9+α^8+α^7+α^6+α^5+α^4+α^3+α^2+α+1)-3-α-α^3-α^4-α^5-α^9
=-(α+α^3+α^4+α^5+α^9)-3
t=α+α^3+α^4+α^5+α^9 とおくと t^2+t+3=0
これを解いて t=(-1±i√11)/2
No.4146 - 2008/12/05(Fri) 18:23:38
☆ Re: / AI
らすかる様

ありがとうございました！
No.4149 - 2008/12/06(Sat) 01:37:54
★ (No Subject) / くまみ
もう一問添付できなかったので　こちらもお願い致します
No.4138 - 2008/12/05(Fri) 02:25:34
☆ Re: / ヨッシー
(1)
Ａ(-2,4)、Ｂ(3,9) であり、ＢＰとＡＯの交点を点Ｑとすると、
点ＱはＡＯの中点なので、その座標は(-1,2)
よって、ＱＢの傾きは 7/4 これが 点Ｂを通ることより、
直線ＢＱの式は
　ｙ＝7x/4＋15/4
点Ｐはこの直線のｙ切片なので、ｙ座標は 15/4

(2)
△ＯＢＱは△ＡＯＢの１／２です。
ＱＰ：ＰＢは、(ＰとＱのｘ座標差)：(ＢとＰのｘ座標差)
であるので、
　ＱＰ：ＰＢ＝１：３
よって、△ＯＢＰは、△ＯＢＱの３／４
よって、△ＯＢＰ；△ＡＯＢ＝３：８
No.4140 - 2008/12/05(Fri) 05:33:07
★ 二次関数 / くまみ
はじめまして
添付の問題に解答がついていないため解説と解答をお願い致します。
専門学校の入試問題です。
No.4137 - 2008/12/05(Fri) 02:23:36
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー
(1)
Ａ（-2,0)、Ｄ(-2,-1)、Ｆ(4,-4)、Ｂ(4,0) なので、傾き-2で
　Ａを通る直線：ｙ＝−２ｘ−４
　Ｄを通る直線：ｙ＝−２ｘ−５
　Ｆを通る直線：ｙ＝−２ｘ＋４
　Ｂを通る直線：ｙ＝−２ｘ＋８
より、点Ｂを通るとき、ｂの値８がもっとも大きい。

(2)
ＣＥ＝ＣＦ となるときであり、ＦＥの中点のｙ座標が
点Ｃのｙ座標になるようなａを見つけます。
Ｅ(4,16a)、Ｆ(4,-4)、Ｃ(-2,4a) であるので、
　{16a+(-4)}÷2＝4a
よって、
　ａ＝1/2
No.4139 - 2008/12/05(Fri) 05:23:59
★ 確率 / 翔
いつもお世話になります。
男子５人と女子２人が手をつないで１つの輪になるとき、女どうしが隣り合わないような確率を求める。
の解説お願いします。
No.4135 - 2008/12/04(Thu) 10:56:13
☆ Re: 確率 / DANDY　U
(女子Ａ,女子Ｂとするとき)
女子Ａ以外の位置が６つありますが、隣は２つです。
よって、ＢがＡの隣に来る確率は 2/6＝1/3　です。
だから、女子2人が隣り合わない確率は、1−1/3＝2/3　となります。

[別解] 円順列で解きたければ
7人の並び方は 7！/7＝6！（通り）
女子2人を引っ付けて、男子５人とでの並び方は 6！/6＝5！（通り）
女子2人を入れ替えた場合を考えると、女子2人が隣り合う確率は (5！×2)/6！＝1/3
よって、女子2人が隣り合わない確率は、1−1/3＝2/3　となります。
No.4136 - 2008/12/04(Thu) 14:07:20
★ 三角関数（青チャート） / 茄子
すみません。添付画像忘れましたので改めて...

添付した画像をみてください。
(2)の問題
どうして赤線の部分のようにπ/4≦θ＋π/4≦5π/4
が-1≦t≦√2になるのですか？
No.4132 - 2008/12/03(Wed) 17:34:10
☆ Re: 三角関数（青チャート） / ヨッシー
t=√2sin(θ＋π/4) であり、
　π/4≦θ＋π/4≦5π/4
であるので、sin(θ＋π/4) は、θ＋π/4＝π/2 のとき最大値１、
θ＋π/4＝5π/4 のとき、最小値 -√2/2 です。
よって、√2を掛けたｔは、上のような範囲になります。
No.4133 - 2008/12/03(Wed) 17:45:25
★ 三角関数（青チャート） / 茄子
添付した画像をみてください。
(2)の問題
どうして赤線の部分のようにπ/4≦θ＋π/4≦5π/4
が-1≦t≦√2になるのですか？
No.4131 - 2008/12/03(Wed) 17:32:33
★ 定積分のふとうしき / あき
こんばんは！いつもありがとうございます。
http://n.upup.be/?S5qZwosHAy
の問題の(2)なのですが
http://t.upup.be/?OKEiVdWxux
こんなかんじでといたのですがn=1をいれないとうまくいかなかったりで困ってしまいました。
方針は間違ってますでしょうか？？？
どうかお助け下さい(>_<)
No.4127 - 2008/12/02(Tue) 18:38:48
☆ Re: 定積分のふとうしき / rtz
間違っていませんが、
あくまで(2)の主体は分数ですので、
(1)⇔log(n+1)−logn＜1/n＜logn−log(n-1) (n≧2)
としておく方が分かりやすいですね。

右の不等号が分からないなら
1とその他の部分を分けるとよいでしょう。
No.4129 - 2008/12/02(Tue) 22:43:00
★ 解説お願いします。 / モモ
はじめまして、モモと申します。高2です。よろしくお願いします。

aを1以上9以下の整数とし、bとcを0以上9以下の整数とする。
さらに、nを百の位がa、十の位がb、一の位がcである3桁の自然数とする。
(a+b+c)^2が9の倍数であることは、nが9の倍数であるための（*）
0:必要十分条件である
1:必要条件であるが十分条件でない
2:十分条件であるが必要条件でない
3:必要条件でも十分条件でもない
私は0だと思ったのですが、答えは1らしいです。解説をお願いします。

-----------------------------------------------------
平行四辺形ABCDにおいて、AB=7,BC=5,cos∠ABC=1/7とする。
三角形ABCの外接円Oの半径をR,平行四辺形ABCDの面積をSとする。
円Oと直線BDの2交点のうち、Bでない方をEとすると、DE=(*)√(**)/(**)である。

-----------------------------------------------------
箱の中にA,B,C,D,E,Fの文字が一つずつ書かれた6枚のカードが入っている。
この箱の中から一枚ずつすべてのカードを取り出し、取り出した順に右に横一列に並べる。

Aと書かれたカードより左にあるカードの枚数をX,
Bと書かれたカードより右にあるカードの枚数をYとする。
X=Yとなる確立は(*)/(*)である。
また、|X-Y|の期待値は(**)/(**)である。
No.4122 - 2008/12/01(Mon) 23:51:07
☆ Re: 解説お願いします。 / ni
(a+b+c)^2が9の倍数である ならば

nが9の倍数

これが偽なのです

たとえばｎ＝１１１　　ａ＝１　ｂ＝１　ｃ＝１

（１＋１＋１）＾２＝９　

１１１は９の倍数ではありません
No.4123 - 2008/12/02(Tue) 00:44:47
☆ Re: 解説お願いします。 / モモ
niさんありがとうございました。理解できました。

どなたか、残りの2問の解説お願いできないでしょうか・・？
No.4128 - 2008/12/02(Tue) 19:14:41
☆ Re: 解説お願いします。 / DANDY　U
ＡＣとＢＤの交点をＦとします。
△ＡＢＣにおいて余弦定理を使うと、ＡＣ＝8 が求まります。
ＡＦ＝ＣＦ＝4 となるので、中線定理より
7^2＋5^2＝2(BF^2＋4^2)
よって　ＢＦ＝ＦＤ＝√21
AF・FC＝BF・FE(方べきの定理)より　16＝(√21)ＦＥ
∴ ＦＥ＝16√21/21　
∴ ＥＤ＝ＦＤ−ＦＥ＝5√21/21　となります。
No.4130 - 2008/12/02(Tue) 23:45:32
☆ Re: 解説お願いします。 / DANDY　U
Ｘ＝ＹのときＡとＢが同じ位置に来ることはありません。
だから、Ａの位置が決まったとき、他の位置は５つあり Ｘ＝Ｙを満たすＢの位置はその中の1つです。
だから、Ｘ＝Ｙとなる確率は(1/5)となります。

[X＝0 のとき] Y＝0,1,2,3,4 の場合があり、それぞれの|x-Y|＝0,1,2,3,4
[X＝1 のとき] Y＝0,1,2,3,5 の場合があり、それぞれの|x-Y|＝1,0,1,2,4
[X＝2 のとき] Y＝0,1,2,4,5 の場合があり、それぞれの|x-Y|＝2,1,0,2,3
　・・・・・・・・
[X＝5 のとき] Y＝1,2,3,4,5 の場合があり、それぞれの|x-Y|＝4,3,2,1,0

上記　30通りの場合において|x-Y|の総和が 52となり
期待値は　52/30＝26/15　となります。
No.4134 - 2008/12/03(Wed) 21:42:04
☆ Re: 解説お願いします。 / モモ
ありがとうございました。
No.4144 - 2008/12/05(Fri) 18:14:31
★ 場合の数 / みかん　小5
また、教えてください。

（１）カキが２個、ナシが３個、リンゴが２個あり、これを１列にならべます。同じくだもの同士は、それぞれ区別しないものとするとき、カキとナシだけの並べかたは、何通りですか。

（２）１〜６の数字の書いたカードが１枚ずつあります。
このうちの４枚を選び、１列に並べます。右に並んだカードの数が大きくなるように並べるには、何通りのならべかたがありますか。

お願いします。
No.4118 - 2008/11/30(Sun) 20:28:31
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
(1)リンゴは並べずに、カキとナシの５個だけを並べるということでしょうか？

並べる位置をＡＢＣＤＥ とするとき、カキを並べるのは
　ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，ＡＥ，ＢＣ，ＢＤ，ＢＥ，ＣＤ，ＣＥ，ＤＥ
の１０通りで、残りの３ヶ所はナシを置けばいいので、
求める並べ方は、１０通りです。

組み合わせを知っているなら、５つのものから２つ取る組み合わせで、
　(５×４)÷(１×２)＝１０(通り)
です。

(2) 右に行くほど大きいということでしょうか？

組み合わせから行くと、６つのものから４つ取る組み合わせで、
　(６×５×４×３)÷(１×２×３×４)＝１５(通り)
です。

詳しく説明すると(組み合わせの考え方ですので、(1)にも
使えます)
４つの数を順々に選び、並べていくとき、
１つ目に選ぶ数の選び方は、６通りです。
２つ目に選ぶ数の選び方は、１つ目以外の５通りです。
以下、３つ目が４通り、４つ目が３通りなので、
４つの数を並べる並べ方は、
　６×５×４×３＝３６０(通り)
です。ところが、たとえば、１，２，３，４ を使った並べ方は、
　４×３×２×１＝２４(通り)
あるのですが、このうちで、右に行くほど大きくなるのは
　１，２，３，４
だけです。つまり、３６０通りのうち、２４通りずつ、
同じ４つの数字を使った並べ方があって、そのうちの１つだけが
条件を満たすので、
　３６０÷２４＝１５(通り)
となります。
No.4120 - 2008/11/30(Sun) 23:29:10
★ 質問です / Zambara
以下の連立方程式を満たす実数の組(x,y,z)を全て求めよ.

x^99 - 99^99 = y - 99
y^99 - 99^99 = z - 99
z^99 - 99^99 = x - 99

答えは大体見当が付くのですが(x=y=z=99)解き方が分かりません.どなたかお願いします.
No.4116 - 2008/11/30(Sun) 19:03:08
☆ Re: 質問です / angel
f(x)=x^99 という関数は単調増加です。
つまり、a>b⇔f(a)>f(b)、a=b⇔f(a)=f(b)、a＜b⇔f(a)＜f(b) ということ。

それを踏まえて、各方程式の差を取ってみましょう。
例えば、1番目・2番目の式の差を取ると
　x^99-y^99=y-z
これにより、x>y⇔x^99>y^99⇔x^99-y^99>0⇔y-z>0⇔y>z
逆の大小関係でも同様に、x<y⇔y<z
※もちろん x=y⇔y=z

このようにして大小関係を見ていくと、x=y=z 以外の場合には矛盾が出てきます。

最後には99次方程式を解くことになるのですが…
微分の力を借りて、解が x=99 以外にないことを示すのが良いでしょう。
No.4117 - 2008/11/30(Sun) 20:11:09
★ 数式を教えてください / ちー　中三
１から６までの目の出る大小１つずつのさいころを同時に投げる。大きいさいころの出た目の数をa、小さいさいころの出た目の数をbとする。
二次方程式　x2＋ax＋b＝０の解が全て整数になる確率を求めよ。
ただし、さいころの１から６までの目の出る確率はすべて等しいものとする。
答えは７／３６です。
宜しくお願いします。
No.4114 - 2008/11/30(Sun) 17:30:54
☆ Re: 数式を教えてください / 七
a，bの出方はすべてで36通り。
方程式の解がすべて整数になるのは
b＝1のときa＝2の1通り，
b＝2のときa＝3の1通り，
b＝3のときa＝4の1通り，
b＝4のときa＝4，5の2通り，
b＝5のときa＝6の1通り，
b＝6のときa＝5の1通り
計7通りですね。
No.4115 - 2008/11/30(Sun) 18:57:27
☆ Re: 数式を教えてください / ちー　中三
ご回答頂き有り難うございました。
No.4119 - 2008/11/30(Sun) 23:06:51
★ 証明の同値性の検討 / Jez-z
以下の証明で、気になる点があるので教えてくれませんか？
（注）このエレガントな解法は自分で思いついたのではありません

問.
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα
を示せ．

【解答】
OA↑=(cosα,sinα)
OB↑=(cosβ,-sinβ)=(cos(-β),sin(-β))
とおくと，
∠AOB=α-(-β)=α+β
ここで，
OA↑･OB↑=cosαcosβ-sinαsinβ
OA↑･OB↑=|OA↑||OB↑|cos∠AOB
　　　　 =cos(α+β)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
が成り立つ．
ここで，恒等式
(a^2+b^2)(c^2+d^2)
　=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2において，OA↑=(a,b),OB↑=(c,d)とおけば，
1=(cos(α+β))^2+(cosαsinβ+sinαcosβ)^2・・・（※）
∴sin(α+β)=cosαsinβ+sinαcosβ…（☆）

上の答案では（※）⇔（☆）としていますが、これを行うには一般にsin(α+β)とcosαsinβ+sinαcosβがともに正でなければなりませんよね？
したがって、この解答はこの部分に不備があるように思われるのですが、どうなのでしょう？それと、もし不備であるならどのように修正するのがよいのでしょうか？
お力添え願います。
No.4104 - 2008/11/29(Sat) 00:30:39
☆ Re: 証明の同値性の検討 / rtz
もちろん異符号である場合も考慮する必要はありますが、
∴の行の後ろに
(∵−cosαsinβ−sinαcosβではβ＝0において恒等式が成り立たない)
と書いておけばいいのではないでしょうか。

それから、もしこの解答で行く場合、
「余弦定理の証明に加法定理を使っていないこと」
が絶対条件です。
(ベクトルの成分表示による内積も余弦定理で証明できるので)
もちろんこの場合はできますが、解答内に考慮に入れたことを示しておいた方がいいかもしれません。
No.4106 - 2008/11/29(Sat) 04:00:33
☆ Re: 証明の同値性の検討 / angel
図形的な話を持ち出している時点で、0≦α,β≦π/2 (90°) としないと収まりがつかないので、結果的に cos(α+β) 以外の全ての sin,cos の値は正ですね。
α,βの範囲を拡張するなら、個別に +π/2, +π, +3π/2 してやっていくしかないのではないかと思います。

ただ、そもそもの話として、ベクトルの内積は、三角関数の性質の上に成り立っているものなので、加法定理の証明にベクトルを持ち出すのは違うような気がします。
No.4110 - 2008/11/29(Sat) 20:35:05
☆ Re: 証明の同値性の検討 / Jez-z
rtzさん、「解答内に考慮に入れたこと」とありますが、具体的にどのように記述するのでしょうか？特に、上の解答に「当てはめる」ことを考えた場合ですと・・・!?
つまり、これから証明する加法定理を証明にいれるな！ということでしょうか？（ここが引っかかってしまうのです）余弦定理を使うのなら断りも何もないのではないのか？という疑問です。

それと、angelさん、
自分もベクトルの内積と三角関数は密接なつながりがあることを問題演習を通じて理解してきた（つもり）ですが、
その「ベクトルの内積は、三角関数の性質の上に成り立っている」ということについてもう少し詳しくお答えできないでしょうか？

よろしくお願いします。
No.4111 - 2008/11/30(Sun) 00:43:24
☆ Re: 証明の同値性の検討 / rtz
加法定理を使って余弦定理を証明したのに、
もしその余弦定理を使って加法定理を証明したのでは意味がないですよね。

考慮に入れた旨は、最後に「なお、余弦定理については〜とすれば加法定理を用いず証明可能である」と加えればいいのではないでしょうか。
No.4112 - 2008/11/30(Sun) 02:00:33
☆ Re: 内積と三角関数 / BossF
内積の一般的定義を確認してください←高校範囲ではありませんが、知っといて損はありません

たとえば
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E7%A9%8D
などを参照されたらいい
No.4113 - 2008/11/30(Sun) 07:57:17
★ シグマ / あき
またまたすみません！お願いします！
Σ[k=1〜n](2k−1)^2
の計算は展開して公式にあてはめるのが普通かと思いますが、
展開せずにn=2k−1と考え1/6n(n＋1)(2n＋1)に代入するという方法ではできないのでしょうか？
やってみたら答えは合わなかったんですが(^_^;)
宜しくお願いします！
No.4102 - 2008/11/28(Fri) 22:48:04
☆ Re: シグマ / ヨッシー
Σ[k=1〜n](2k−1)^2
は、1^2＋3^2＋5^2＋7^2＋・・・　であるので、
いわゆる２乗和
　1^2＋2^2＋3^2＋4^2＋・・・
とは違います。
No.4103 - 2008/11/28(Fri) 22:51:48
☆ Re: シグマ / angel
公式に安易にあてはめようとするのはお勧めしませんね。
どこまで状況を整理すれば公式を適用できるか、を意識した方が良いと思います。

例えば、「普通」と言われた方法

　?納k=1,n] (2k-1)^2
　= 4?納k=1,n]k^2 - 4?納k=1,n]k + ?納k=1,n] 1
　= 4・1/6・n(n+1)(2n+1) - 4・1/2・n(n+1) + n

でも良いですし、

　?納k=1,n] (2k-1)^2
　= ?納k=1,2n] k^2 - 4?納1,n] k^2
　= 1/6・2n(2n+1)(2・2n+1) - 4・1/6・n(n+1)(2n+1)

もあります。
※1^2+3^2+…+(2n-1)^2
　= (1^2+2^2+…+(2n)^2) - (2^2+4^2+…(2n)^2)
　= (1^2+2^2+…+(2n)^2) - 4(1^2+2^2+…+n^2)
　という考え方

いずれも、公式を適用できる状態まで落とし込むのが重要なのです。
No.4109 - 2008/11/29(Sat) 15:30:26
☆ Re: シグマ / あき
そうですか…ありがとうございます。
いまいち公式を適用できるまで落とし混むというのがよく分からないのですが…
Σk^2ならそのとおりk^2がでてくるまでつかえないという感じでしょうか？

またΣ[k=1〜2n](−1)^(k−1)*k^2は これも 等比の公式×等差の公式をかけて2/1[(−1)^2n]×6/1n(n＋1)(2n＋1)というのはきっとできないんですよね…？
No.4121 - 2008/12/01(Mon) 11:11:07
☆ Re: シグマ / あき
どなたかお助け下さい(>_<)
No.4124 - 2008/12/02(Tue) 12:08:17
☆ Re: シグマ / angel
「等比の公式×等差の公式…はきっとできない」
はい。
(?蚤[k])(?巴[k])=??(a[k]b[k]) なんてことにはなりません。
?狽?使わない式で表してみれば明らかで。
※(a[1]+a[2]+…+a[n])(b[1]+b[2]+…+b[n])=a[1]b[1]+a[2]b[2]+…+a[n]b[n] なんて計算したら即座に×です

公式というのは、「良く出る形をいちいち計算していたら面倒なので、途中を省略しても良いですよ」というもので、あくまで計算結果の一つに過ぎません。
なので、?納k=1,n] k や ?納k=1,n] k^2 や ?納k=1,n] r^(k-1) 等、決まった形を作り出さないと適用はできません。

?狽ﾌ字面に惑わされず、ヨッシーさんが書かれているように、「実際に何を足しこんでいるのか」をはっきりイメージすることです。イメージしきれなければ紙に書くことです。

?納k=1,2n] (-1)^(k-1)・k^2 であれば、
1^2-2^2+3^2-4^2+…+(2n-1)^2-(2n)^2 になります。
ここからどうやるかは好みによりますが、

(1^2+3^2+…+(2n-1)^2) - (2^2+4^2+…(2n)^2)
=?納k=1,n](2k-1)^2 - ?納k=1,n](2k)^2
=?納k=1,n]( (2k-1)^2-(2k)^2 )

などで計算できます。
No.4125 - 2008/12/02(Tue) 13:01:53
☆ Re: シグマ / あき
わかりました！ご丁寧にどうもありがとうございました(>_<)
No.4126 - 2008/12/02(Tue) 18:29:54
★ 数列 / あき
こんばんは！
いつもありがとうございます。また宜しくお願いします！

http://u.upup.be/?bv8s13F6TN
の問題なのですが、 私は底をeの対数をとって考えたのですが答えでは底が5の対数をとってといていました。
e出といた私の答えと合いませんでした。底の取り方で答えは変わってしまうのでしょうか？それか底がeの対数をとるとだめな理由とかがわかりません…
宜しくお願いします！
No.4098 - 2008/11/28(Fri) 17:03:17
☆ Re: 数列 / ヨッシー
数列{bn}が、b1＝１と、漸化式
　bn+1＝5√bn　(n=1,2,3･･･)
で定義されるとき、一般項 bn をｎの式で表せ。

底が５の場合
両辺の対数を取って、
　log5bn+1＝log5(5√bn)
　　＝１＋(1/2)log5bn
an＝log5bn とおくと、
　an+1＝１＋(1/2)an
　(an+1−２)＝(1/2)(an−２)
および、a1−２＝−２ より
　an−２＝-2・(1/2)n-1
よって、
　an＝log5bn＝-2・(1/2)n-1+2
　bn＝５^{-2・(1/2)n-1+2}

底がｅの場合
両辺の対数を取って、
　logbn+1＝log(5√bn)
　　＝log5＋(1/2)logbn
an＝logbn とおくと、
　an+1＝log5＋(1/2)an
　(an+1−2log5)＝(1/2)(an−2log5)
および、a1−2log5＝−2log5 より
　an−2log5＝-2log5・(1/2)n-1
よって、
　an＝logbn＝-2log5・(1/2)n-1+2log5
　bn＝ｅ^{-2log5・(1/2)n-1+2log5}
　　＝ｅ^{-2log5・(1/2)n-1}・ｅ^2log5
　　＝ｅ^{log5・(-2)(1/2)n-1}・ｅ^(log5・2)
　　＝５^{(-2)(1/2)n-1}・５^2
　　＝５^{(-2)(1/2)n-1+2}
なので、結果は同じです。
No.4100 - 2008/11/28(Fri) 17:57:55
☆ Re: 数列 / あき
わかりました！eのほうは複雑にかんじます(>_<)
ありがとうございました！
No.4101 - 2008/11/28(Fri) 22:43:53
★ 高3 / あい
次の関係が成り立つとき、dy/dx, d^2y/dx^2を求めよ(a>0)

(1)y^2=4ax
(2)x^2+y^2-a^2=0
(3)x^2-4xy+5y^2=2
(4)(√x)+(√y)=(√a)

詳しい解説をお願いします!!
No.4092 - 2008/11/28(Fri) 06:00:31
☆ Re: 高3 / ヨッシー
(1)
　y=2(√a)ｘ1/2
　dy/dx＝(√a)ｘ-1/2＝√(a/x)
　d2/dx2＝(-1/2)(√a)ｘ-3/2＝-√a/2x√x
としても良いですし、そのまま微分して、
　2y(dy/dx)＝4a
２で割ってから２乗して
　y^2(dy/dx)^2＝4a^2
元の式を代入して
　4ax(dy/dx)^2＝4a^2
　(dy/dx)^2＝a/x
　dy/dx＝√(a/x)
さらに　y(dy/dx)＝2a を微分して、
　(dy/dx)^2＋ｙ(d^2y/dx^2)＝０
　a/x＋ｙ(d^2y/dx^2)＝０
　(d^2y/dx^2)＝-a/xy＝-a/2(√a)ｘ・ｘ1/2＝-√a/2x√x
とすることも出来ます。(2)以降も主に、後半のやり方で解きます。

(2)
微分して
　x＋yy'＝０
　ｙ＝-x/y'
　x^2＋(x/y')^2-a^2=0
　(x/y')^2＝a^2−x^2
　(y')^2＝x^2/(a^2−x^2)
　y'＝±x/√(a^2−x^2)
といった具合です。
No.4093 - 2008/11/28(Fri) 07:07:30
☆ Re: 高3 / あい
なるほど！
理解できました！
ありがとうございました
No.4107 - 2008/11/29(Sat) 07:49:40
★ (No Subject) / ゆう【高１】
0.10mol/L塩酸10mLと0.10mol/L水酸化バリウム水溶液20mL（いずれも電離度1）の 混合水溶液のPHを求めよ。


よろしくお願いします。
No.4085 - 2008/11/26(Wed) 23:24:14
☆ Re: (No Subject) / ゆう
化学だから教えていただけなかったのでしょうか?
そうだとしたら本当にすいませんでした。
No.4094 - 2008/11/28(Fri) 12:20:57
☆ Re: / ヨッシー
化学だからではなく、忘れちゃったからです。
掲示板では、解けない問題を「解けません」と
言って回りませんので、いきおい、放っておかれます。

というわけで、わかる方よろしく。
No.4095 - 2008/11/28(Fri) 14:37:30
☆ Re: / にょろ
水酸化バリウム
Ba(OH)2

塩酸
HCl

式は
Ba(OH)2+2HCl→BaCl2+2H2O

でどうでしょ？
ここからは計算です。
No.4096 - 2008/11/28(Fri) 16:20:58
☆ Re: (No Subject) / ゆう
ヨッシーさんへ
そうだったんですか!分かってなくてすいません。ありがとうございます!



分かりました!!
ありがとうございました!
No.4099 - 2008/11/28(Fri) 17:30:46
☆ Re: / BossF
α=1だから
0.10mol/ℓHCl10mℓ中に　H+=0.1x0.01=1x10^(-3)[mol]
0.10mol/ℓBa(OH)2水溶液20mℓ中に　
OH-=0.1x2x0.02=4x10^(-3)[mol]

これを混合すれば
　[OH-]=3x10^(-3)/(0.01+0.02)=1x10^(-1)[mol/ℓ]

すると水のイオン積から 　　[H+]=10^(-13)

よって　pH=-log[H+]=13
No.4105 - 2008/11/29(Sat) 01:40:47
☆ Re: (No Subject) / ゆう
なるほど…
よく分かりました!!
詳しい解説ありがとうございました!
No.4108 - 2008/11/29(Sat) 08:52:21
★ 積分で体積 / 高3
【問】2曲線　　y=x2　　,　　y=√{8x}
に囲まれる部分をx軸周りに回転してできる回転体の体積を求めよ。

自分で計算したところ、48/5πとなったのですが、確信がもてません。
よろしくお願いします。
No.4082 - 2008/11/26(Wed) 21:32:38
☆ Re: 積分で体積 / rtz
あっていると思います。
No.4083 - 2008/11/26(Wed) 21:53:32
★ 解けそうで解けないんです / 旅人
上り下りともに□分おきに発車している列車があり、また線路沿いの道を歩く人がいます。この人は上りの列車と１２分ごとにすれ違い、下りの列車に１５分ごとに追い越されます。ただし、列車の速さはすべて等しく、また、列車の速さと人の歩く速さはそれぞれ一定です。

キョリに注目すればいいのか
速さに注目すればいいのか・・・

困ってます。
よろしくお願いします。
No.4074 - 2008/11/26(Wed) 15:11:37
☆ Re: 解けそうで解けないんです / チョッパ
列車と列車の間の距離を1とします。

列車と人の速さの和＝1÷12＝1/12
列車と人の速さの差＝1÷15＝1/15

和差算を用いて、
列車の速さ＝(1/12＋1/15)÷2＝3/40

よって、1÷3/40＝40/3分
No.4075 - 2008/11/26(Wed) 15:17:29
☆ Re: 解けそうで解けないんです / チョッパ
次の図は、前の列車とすれ違ったあと次の列車とすれ違うまでの図と、前の列車に追い越されたあと次の列車に追い越されるまでの図を上下にかいたものです。

（12分）列車→→→→→→→→→→→→
（12分）列車→→→→→→→→→→→→←人（12分）

（15分）列車→→→→→→→→→→→→→→→
（12分）列車→→→→→→→→→→→→←人→（15分）

上の図より、列車が15−12＝3分で進む距離を人は12＋15＝27分で進みます。

よって、人が12分で進む距離を列車は12÷27×3＝4/3分で進みます。
したがって、12＋4/3＝40/3分となります。
No.4076 - 2008/11/26(Wed) 15:36:40
☆ Re: 解けそうで解けないんです / ヨッシー
こちらの後半と同じですね。
↓図を描いている間に思い出しました。

No.4077 - 2008/11/26(Wed) 18:04:54
★ 確率 / ★
赤玉5個、黒玉3個、白玉4個が入っている袋の中から玉を1個取り出し、色を確認してから袋の中へ戻すという試行を考える。この試行を3回行ったとき2回だけ同じ色となる確率を求めよ。


この問題なのですが、解答は↓

赤玉が2回出るとき
3Ｃ2×(5/12)^2×7/12＝175/576

黒玉が2回出るとき…

白玉が2回出るとき…

というように書かれていたのですが、


私の解答は↓

赤玉が2回出るとき
5/12×5/12×7/12＝175/1728

黒玉が2回出るとき…

白玉が2回出るとき…


というようにして間違ってしまいました(汗)


それで、この問題はなぜ上の解答のように計算しなければならないのか教えて頂けますでしょうか?(>_<;)

宜しくお願いします。


No.4064 - 2008/11/26(Wed) 03:37:23
☆ Re: 確率 / rtz
それだと「1回目赤、2回目赤、3回目赤以外」です。
赤以外が1回目や2回目に出る場合も考えなくてはいけません。
No.4065 - 2008/11/26(Wed) 03:45:41
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