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★ 三角関数 / 高３
０≦θ＜２πとし、ｔ＝sinθ＋cosθとする。

θ＝（５/１２）πのときのｔの値を求めよ。

また、ｔのとる値の範囲を求めよ。

よろしくお願いします。
No.5744 - 2009/05/03(Sun) 02:06:09
☆ Re: 三角関数 / X
前半）
条件から
t^2=(sinθ＋cosθ)^2
=1+2sinθcosθ
=1+sin2θ
∴θ=(5/12)πのとき
t^2=1+sin(5/6)π=3/2 (A)
ここで
0＜(5/12)π＜π/2
ですのでθ=(5/12)πのとき、少なくともt＞0
よって(A)より
t=√(3/2)

後半)
tの右辺を合成してみましょう。
No.5746 - 2009/05/03(Sun) 11:27:21
☆ Re: 三角関数 / 高３
丁寧なご指導ありがとうございました。
No.5748 - 2009/05/03(Sun) 12:23:41
★ 数列 / むささび３年
第3項が２、第5項が1/2の等比数列の初項と公比を求めよ。

おねがいします。
No.5736 - 2009/05/02(Sat) 18:45:29
☆ Re: 数列 / DANDY　U
No.5623 ,No5685 などの質問の回答に対するなんの反応,返事もなしに、次々と質問をするのは望ましいことではありません。
（回答者は解答作成マシーンの部品ではありません）
No.5737 - 2009/05/02(Sat) 19:12:06
☆ Re: 数列 / むささび３年
> No.5623 ,No5685 などの質問の回答に対するなんの反応,返事もなしに、次々と質問をするのは望ましいことではありません。
> （回答者は解答作成マシーンの部品ではありません）

すいませんでした。以後気を付けます。
No.5740 - 2009/05/02(Sat) 22:07:35
☆ Re: 数列 / DANDY　U
第ｎ項をＡ[n], 公比をｒとすると　Ａ[3]*r^2＝Ａ[5]
よって　2*ｒ^2＝1/2
∴ｒ＝±1/2　が公比
したがって　Ａ[1]*(±1/2)^2＝Ａ[3]＝2
となり　Ａ[1]＝8　が初項となります。
No.5742 - 2009/05/02(Sat) 23:15:44
☆ Re: 数列 / むささび３年
ありがとうございます。
No.5750 - 2009/05/03(Sun) 13:23:21
★ 教えてください。 / よしこ（中３）
准看護学校の過去問題で次の問題の解き方がわからなくて困っています。わかりやすく教えてください。
よろしくお願いします。

（問）x^2 + y^2＝4のときy-xの最大値を求めなさい。
No.5730 - 2009/05/02(Sat) 11:57:50
☆ Re: 教えてください。 / ハオ
こんにちわ。僕はこのサイトに常駐して解けそうな問題は解かして頂き又質問もさせて頂いている高2の者です。
ですので、僕の解答は無視されて頂いても一向に構いません。
y-x=tと置く。(ここでy-x=tと置いたのはそれしか進むべき道がないからです。y-xを二乗しても結局はx,yの項が出てしまいます。) y-x=tよりy=x+t この式よりtはy=xの切片である事が分かります。
ところでx^2+y^2=4は半径2である円の式です。
グラフを用いて解くとy=x+tの式は当然先程の円を通るはずです。何故ならx,yはx^2+y^2=4を満たすから。
y=x+tはy=xを上下にtだけ平行移動したグラフです。これらの事を頭に入れてy=xを上下に動かすとtが最大になるのは
y=x+tが円に第二象限で接する時だと分かります。
接するというのは、O(0,0)とy=x+tの距離が2であるとあるという事,点と直線の公式より
t=±2√2　
よってt=y-x=2√2.

No.5733 - 2009/05/02(Sat) 16:37:20
☆ Re: 教えてください。 / よしこ（中３）
ハオさんありがとうございました。
点と直線の公式というのが中学ではわからないで、ネットで調べて、言うとおりに解いたらできました！
わかりやすくて助かりました。
ちなみに、この問題って、中学までの数学の知識で解けるのでしょうか？
もしわかったら教えてください。
No.5734 - 2009/05/02(Sat) 17:21:18
☆ Re: 教えてください。 / ハオ
すいません、優しさに欠く解答でした。
点と直線の公式を習っていないのでしたら、
円と直線の接点を点A、円の中心を点O、切片を点Bと置くと
ΔOABはAを頂角とする直角二等辺三角形です。
辺の比1:1:√2は知っていますか？
それを知っていればOA:OB=2:2√2が導けます。
No.5735 - 2009/05/02(Sat) 17:56:36
☆ Re: 教えてください。 / DANDY　U
> ハオさん
中学までの知識だと x^2 + y^2＝4 のグラフは円になるということは知らないことになっていると思います。（導けないことないのですが）

> よしこ（中３）さん
マルチ先の掲示板にも回答が付いていましたよ。そこに・・
(マルチの場合は、「・・とマルチ」と断りをいれ、解決すれば他サイトにその旨を書きこむようにしてください）
No.5739 - 2009/05/02(Sat) 21:48:15
☆ Re: 教えてください。 / よしこ（中３）
ハオさん、ありがとうございました。
やっと納得しました。
DANDY　U さんもご指摘ありがとうございました。
初めての投稿で、礼儀知らずなことをしてしまいました。
本当に申し訳ありませんでした。
No.5847 - 2009/05/16(Sat) 00:16:05
★ 質問なんですが / でるた
y=1/(e^1/x-1)のグラフをマクローリン展開をもちいてかけというのはどうすればいいんですか？
No.5729 - 2009/05/02(Sat) 10:56:05
★ 高２数学について / ハオ
授業でベクトルの内積というのものを習ったのですが
内積とは一体何なのでしょうか？
座標軸上のどの部分を表しているのでしょうか？
勉強していても内積の存在意義が見出せません。内積=0の時に二つのベクトルは垂直である、という事位にしか使えないと思うのですが。
No.5726 - 2009/05/01(Fri) 21:06:46
☆ Re: 高２数学について / X
例えば
↑a=(2,3)
を考えます。
↑e1=(1,0)
↑e2=(0,1)
(つまり↑e1,↑e2はx軸y軸の正の向きの単位ベクトル)
と↑aとの内積を考えると
↑a・↑e1=2
↑a・↑e2=3
これはそれぞれ↑aのx,y成分を表しています。
同様にある単位ベクトル↑eに対し
↑a・↑e
は↑aの↑eの向きに対する正射影の大きさを表しています。
No.5728 - 2009/05/02(Sat) 08:23:30
☆ Re: 高２数学について / ハオ
Χさん
有難う御座いました。納得です。
数学の本質を理解したいなぁ、って最近思うようになって
黒大数を読んでいるのですが大学受験に太刀打ち出来るでしょうか？
No.5732 - 2009/05/02(Sat) 16:20:38
☆ Re: 高２数学について / X
ハオさんに言われるまで黒大数という参考書の存在は知りませんでした。
内容も全く見ていませんので、その参考書に対するコメントは差し控えさせていただきます。
(ごめんなさい)
No.5741 - 2009/05/02(Sat) 22:58:12
★ (No Subject) / shiyo
宜しくお願いします。

問：数列a[n]は初項1、公差3の等差数列、数列b[n]は初項5、公差4の等差数列である。数列a[n]と数列b[n]に共通に含まれる項を順に並べると、どんな数列になるか

解：初項13、公差12の等差数列になる。

→　a[n]=1+(n-1)・3= 3n-2
b[n]=5+(n-1)・4= 4n+1
としたのですが、その先が解りません。
宜しくお願いします。
No.5724 - 2009/05/01(Fri) 16:16:04
☆ Re: / ヨッシー
数列a[n]は、３で割ると１余る数です。
数列b[n]は、４で割ると１余る数です。ただし、５から始まります。
ということなので、共通の項は、
３で割っても４で割っても１余る数です。ただし、１は含まず、
その次の数からとなります。
なので、上の通りになります。
No.5725 - 2009/05/01(Fri) 16:55:57
☆ Re: / shiyo
ヨッシーさん
ありがとうございます。

解りました！！
No.5727 - 2009/05/01(Fri) 21:29:59
★ 等式変形 / sora
疑問に思ったので質問します。

-1=-1
1/-1=-1
両辺に√をつける
√1/√(-1)=√(-1)
1/√(-1)=√(-1)
ここで√(-1)=iとおくと
1/i=i
両辺にiを掛ける
1=i^2
1=-1

-1=1と矛盾が生じてしっまたのですがこれは何が原因なんでしょうか？よろしくお願いします。
No.5720 - 2009/04/30(Thu) 00:17:58
☆ Re: 等式変形 / ast
> 両辺に√をつける
> √1/√(-1)=√(-1)

は "両辺に√をつける √(1/(-1))=√(-1)" とすれば正しい.
しかし, ここで勝手に √(1/(-1)) を √1/√(-1)=√(-1) とすることはできない.
No.5722 - 2009/04/30(Thu) 01:58:19
☆ Re: 等式変形 / DANDY　U
1＝√1＝√{(-1)×(-1)}＝√(-1)×√(-1)＝i×i＝−1

とよく似たことをしていることになります。
√(ab)＝√a√b ,√(a/b)＝√a/√b 　は a,bの正負にかかわらずいえるわけではありません。
No.5723 - 2009/04/30(Thu) 11:36:44
☆ Re: 等式変形 / sora
astさん、DANDY　Uさん回答ありがとうございます。

√1/√(-1)=√(-1) とすることはできない。
√(a/b)＝√a/√b 　は a,bの正負にかかわらずいえるわけではない。

√(a/b)＝√a/√bとしてよい場合としてはまずい場合があることはわかりました。
ここで質問なんですが、どのような場合この変形をして大丈夫で、どの場合してはまずいのでしょうか？
No.5731 - 2009/05/02(Sat) 14:31:04
☆ Re: 等式変形 / ast
正の実数に話を制限するかぎりは成立します. いずれかあるいはどちらもが負の場合にだめなことは sora さん, DANDY　U さんの例がそのまま反例として利用できますね. a > 0 かつ b > 0 の場合の √(ab) = √(a)√(b) の証明を追えば, 何故通じないかわかるのではないでしょうか.
No.5743 - 2009/05/03(Sun) 00:13:37
☆ Re: 等式変形 / 七
a，bを実数として
√(a/b)＝√a/√bとしてよいのは
b＞0 の場合です。
No.5755 - 2009/05/04(Mon) 07:45:43
★ (No Subject) / みぃ
極限の証明の問題です。大学の１回生なのですが

lim[x→a](x)=l であるためには lim[x→a+0]ｆ(x)=lim[x→a-0]ｆ(x)=l となることが必要十分であることを証明しろ
という問題です。

十分性・必要性それぞれから考えれば良いというのはわかるのですがそこから進みません。
解答例をよければ教えてください。
No.5719 - 2009/04/29(Wed) 22:16:13
☆ Re: / angel
必要性、十分性を示すのはそうなのですが、まずはそれぞれの定義を抑えているか、が重要です。そこは大丈夫でしょうか。

lim[x→a] f(x) = L とは、
　任意の正の実数εに対し、（ε毎に）次の条件を満たす正の実数δが存在する。
　　0<|x-a|<δ⇒|f(x)-L|<ε

lim[x→a-0] f(x) = L とは、
　任意の正の実数εに対し、（ε毎に）次の条件を満たす正の実数δが存在する。
　　0<|x-a|<δかつx<a⇒|f(x)-L|<ε
※a+0 の場合は、x<a の代わりに x>a となります。

そうすると、lim[x→a] f(x) = L ⇒ lim[x→a-0] f(x) = L の証明はほぼ自明です。（x→a+0 も同じく）

逆の証明に対しては、x→a-0 でεに対応するδをδ1、x→a+0 でεに対応するδをδ2 と置きます。
そうすると、x→a に対応するδとしてmin(δ1,δ2)を持ってくれば、これが条件を満たすものになります。
No.5721 - 2009/04/30(Thu) 00:47:28
★ (No Subject) / 千昭
O点を始点とする一つの単位ベクトルをeとするとき、r･e=c(内積)(cは実定数)を満たすようなベクトルrを位置ベクトルとする点の集合はeに垂直でOからcの距離にある平面をなすことを示せ(cの正負でどう違うか)。

r,eはベクトルです。

質問の意味も解き方もまったく分かりません･･･
教えてくれたら幸いです。
No.5716 - 2009/04/29(Wed) 20:00:45
☆ Re: / BossF
ヒント

「（cの正負でどう違うか）」←質問とはこれでしょうか？

c＜0だと「…Oからcの距離にある平面…」という文が意味を持ちません。定義から距離は正ですので

c を ｜ｃ｜(絶対値c）と読み替えたとして…解き方は、いろいろ考えられますが、
成分表示 r=(x,y,z) c=(s,t,u) (s^2+t^2+u^2=c^2) などとおいて、内積を計算してみるなど如何？（＾o＾）
No.5718 - 2009/04/29(Wed) 21:50:43
☆ Re: / 千昭
内積を計算しても何も出てこないです･･･
どうすればいいですか？
No.5774 - 2009/05/06(Wed) 17:42:26
★ (No Subject) / あい
xについての二次関数f(x)=ax^2＋bx＋c(a＞0)がlim[x→1]f(x)/(x-1)=1を満たすとき、b、cをaを用いて表せ。

解き方を教えてくれませんか？?ｫ
No.5715 - 2009/04/29(Wed) 19:20:37
☆ Re: / BossF
考え方のみ

lim[x→1]f(x)/(x-1)=1を満たすためには、

f(1)=0,すなわち　f(x)=a(x-1)(x-p)

が必要で、かつ

g(x)=f(x)/(x-1)=a(x-p)　が　g(1)=1

を満たすことが十分です
No.5717 - 2009/04/29(Wed) 21:39:15
★ (No Subject) / みほ
もう１つお願いします。

この定理を証明しなさい。

(1)sinh(-x)=-sinhx
(2)cosh(-x)=-coshx
(3)tan(-x)=-tanhx

単位円x＾２+ｙ＾２＝１の図より、x=x…,y=-y…,
x…=cos（-θ）,y…=sin（-θ）を利用することはわかるのですがどうやって証明を示せばいいのかわかりません・・・。
解答解説お願いします。

*…はダッシュでお願いします。
No.5708 - 2009/04/27(Mon) 10:20:39
☆ Re: / ヨッシー
sinh(x)=(e^x-e^(-x))/2
などの定義から示せばいいでしょう。
(2) は誤りです。
(3) の左辺の tan は tanh でしょう。
No.5709 - 2009/04/27(Mon) 12:24:58
★ (No Subject) / みほ
数学の記号について教えてください。
Ｒ＝｛x|xは実数｝
Ｃ＝｛a+bi|a,b∈Ｒ,i^2=-1｝={x|xは複素数}
この記号のＣが理解できません・・・
詳しい解説お願いします。
No.5707 - 2009/04/27(Mon) 10:08:32
☆ Re: / ヨッシー
Ｃ＝｛a+bi|a,b∈Ｒ,i^2=-1｝={x|xは複素数}
の式そのものの意味か、なぜＣを使うのか、のどちらの質問でしょうか？
「なぜＣを使うのか」ということなら、別に何の文字でも
いいのですが、複素数(Complex Number)の頭文字なので
使用した、という程度のものです。
式そのものの意味は、実数a, b、虚数単位ｉに対して
　ａ＋ｂｉ
と書ける数の集合を複素数の集合とします。
という意味です。
No.5710 - 2009/04/27(Mon) 13:53:14
★ 三角関数 / 高校2年生
もう一つ…お願いします

次の式を簡単にせよ

sin^2×9π/8＋sin^2×3π/8

……分かりにくかったでしょうか？

最初のsin^2×9π/8は
sin^2（5π/8＋π/2）
にするというのは
分かっていますが…

おねがいします
No.5701 - 2009/04/27(Mon) 00:52:17
☆ Re: 三角関数 / rtz
左は(9/8)π＝(1/8)π＋πで考える。
右は(1/2)πから引いてcosで表す。

それからその表記は間違っています。
()で括るべきで、積でないのですから×は使うべきではありません。
No.5703 - 2009/04/27(Mon) 01:20:55
☆ Re: 三角関数 / BossF
cos2θ=cos^2(θ)-sin^2(θ)=1-2sin^2(θ)
より

sin^2(θ)={1-cos2θ}/2

これを用います

sin^2×9π/8＋sin^2×3π/8
={1-cos(9π/4)}/2+{1-cos(3π/4)}/2
=1/2-{cos(π/4)}/2+1/2-{-cos(π/4)}/2
=1 ■
No.5704 - 2009/04/27(Mon) 01:32:24
★ 三角関数のなす角 / 高校2年生
y＝３xを原点を中心に
正の向き(左回り)にπ／6回転した
直線の方程式を求めよ

一応解いてみましたが
答えが違っていて
解き方が分かりません

教えて下さい
宜しくお願いします
No.5700 - 2009/04/27(Mon) 00:51:25
☆ Re: 三角関数のなす角 / rtz
y＝3xのy≧0の部分と、x軸の正の部分が成す角をθとし、tanθを求める。
→回転した直線とy≧0の部分と、x軸の正の部分が成す角をθを使って表す。
→tanの加法定理を以ってその角度のtanを求める。
→直線の方程式を求める。
No.5702 - 2009/04/27(Mon) 01:16:13
☆ Re: 三角関数のなす角 / ヨッシー
y=3x は、原点と点(1,3)を結ぶ直線なので、
点(1,3)をπ/3 回転した点を求め、その点と原点を通る直線の
式を求めます。

rtz さんの方法と照らし合わせると、点(1,3)は、
点(1,tanθ) のことですから、これをπ/6 回転するのと
加法定理とは同じ手続きなので、やっていることは同じです。
No.5705 - 2009/04/27(Mon) 05:59:01
★ 三角関数の合成・高2 / 匿名
0≦θ＜2πのとき、
sinθ-cosθ≦1を解け。

範囲は-π/4≦θ-π/4＜7π/4なのに
図では-π/4を負の角として
とらえていないと思うのですが、
それはなぜでしょうか?
No.5694 - 2009/04/26(Sun) 15:47:32
☆ Re: 三角関数の合成・高2 / ヨッシー
ｘ軸方向より、時計回りにπ/4進んでいるので
-π/4 ですね。

ちなみに 7π/4 と同じ位置の角になります。
No.5696 - 2009/04/26(Sun) 16:13:18
★ (No Subject) / トーラス
トーラスを三角形に分割して、頂点(e)、辺(k)、面(f)を数え、
e-k+f=0の証明
No.5692 - 2009/04/26(Sun) 12:39:56
★ (No Subject) / 高2
a>0、ｂ>0とするとき、
　
　L=(a+2/b)(b+3/a)について

　(1)Lの最小値
　(2)Lが最小値をとるとき、a・bが満たす条件

　を求めたいのですがどうやって解けばいいのか分かりません。
　詳しい解説と回答を、教えてください。
　お願いいたします。
No.5690 - 2009/04/26(Sun) 10:21:10
☆ Re: / 七
Lを展開すると
ab＋(6/ab)＋5 となります。
相加相乗平均より
ab＋(6/ab)≧2√6
したがって
ab＋(6/ab)＋5≧2√6＋5
No.5691 - 2009/04/26(Sun) 11:31:23
☆ Re: / 高2
回答していただいてありがとうございました！！！
とてもよくわかりました。
No.5697 - 2009/04/26(Sun) 19:40:09
☆ Re: / 高2
後もうひとつだけ教えて下さい！
Lが最小値をとるとき、
のa・bが満たす値はどうやって求めたらいいですか？

ab+5=6/ab+5
a^2ｂ^2+5ab=6+5ab
a^2ｂ^2=6
(ab)^2=6
　ab=±√6
でいいのでしょうか？
　おしえてください！おながいします。
No.5711 - 2009/04/27(Mon) 18:38:42
☆ Re: / 七
ab＞0 ですから
ab=√6 です。
No.5713 - 2009/04/27(Mon) 20:19:44
☆ Re: / 高2
わかりました！！
ありがあとうございました！！
No.5714 - 2009/04/27(Mon) 21:14:52
★ (No Subject) / ベクトル
ベクトルの質問です

3次元空間内の２直線　

Ａ：(x-1)/2=z-2,y=-1 Ｂ：(x+1)/3=1-y=1-z

(1)この2直線がねじれの位置の証明

(2)この2直線Ａ，Ｂの両方に垂直に交わる直線の方程式

(3)直線Ａ上の点をＳ、直線Ｂ上の点をＴ，線分ＳＴの中点をＰとする。Ｓ，Ｔがそれぞれ直線Ａ、Ｂ上を動く時、点Ｐが描く図形の方程式


大学始まっていきなりさっぱりわかりません；；
詳しく教えてくれるとありがたいです。
No.5688 - 2009/04/26(Sun) 02:23:13
☆ Re: / BossF
ヒントのみ

(1)A〃(1,0,1) B〃(1,-1,-1) （←式を見れば分かります)ですから　A,Bは平行ではありません　後は共有点を持たないことを示せば終了

(2)(1,0,1),(1,-1,-1)の両方に垂直なvectorのひとつは(1,2,-1)（←外積で求めます)でこれを用いて求めます
No.5689 - 2009/04/26(Sun) 02:35:37
☆ Re: / ベクトル
ありがとうございます。

Ａ"って(１,０,１)になるんですか？？

どうして・・・？


初心者ですいません
No.5693 - 2009/04/26(Sun) 12:42:26
☆ sorry / BossF
A〃はA‖(平行)の打ち間違えです

で(１,０,１)は間違いで正しくは(2,0,1)ですね(＾o＾)
No.5695 - 2009/04/26(Sun) 16:09:29
☆ Re: / ベクトル
ありがとうございます！
No.5698 - 2009/04/26(Sun) 20:03:20
★ 数学B / むささび３年
数列の問題です。　

2(1-2^n)
------ −ｎ＝2^(n＋１)-n-2
1-2

書き方が滑稽ですみません。点線のところは分数です。

なぜ答が4^(n)-2-nではなく、上に書いたようになるのかがわかりません・・・。
お願いします。
No.5685 - 2009/04/25(Sat) 19:03:36
☆ Re: 数学B / rtz
分母が-1なので、分数部分は-2+2*2nです。
2*2n＝2n+1
No.5686 - 2009/04/25(Sat) 21:47:53
☆ Re: 数学B / DANDY　U
> むささび３年さん
別件ですが、4/15 に質問された Ｎo.5623　に対する回答は理解できたのでしょうか？
No.5699 - 2009/04/26(Sun) 21:21:03
☆ Re: 数学B / むささび３年
ありがとうございます。

DANDY　Uさん理解できました。ありがとうございました。
No.5738 - 2009/05/02(Sat) 20:16:22
★ (No Subject) / 高校生
すいません?ｫ

不等式の１つが間違ってました?ｬ

正しくは2log[a](x-2)≧log[a](x-2)＋log[a]5でした。

解いてみると答えが

0＜a＜1のとき2≦x＜5
a＞1のとき0＜x≦2

になりました?ｫ
合ってますか？?ｫ
No.5684 - 2009/04/25(Sat) 19:01:14
☆ Re: / BossF
まず
0＜a＜1のとき2≦x＜5
a＞1のとき0＜x≦2
なら、解は　単に　0＜x＜5 となります

さて、今度の式の方が正しいとすると
2log[a](x-2)≧log[a](x-2)＋log[a]5
⇔log[a](x-2)≧log[a]5
⇔（a>1 ∧ x≧7)∨(0＜a＜1 ∧ x≦7)
また
ａ^(2x-4)-1＜ａ^(x＋1)-ａ^(x-5)
⇔(a^x-a^5)(a^x+1/a)＜0
⇔(a>1 ∧ 2＜x＜5)∨(0＜a＜1 ∧ x＞5)

∴0＜a＜1のとき、5＜x≦7,a＞1のとき　解なし■

となるようですから、あなたの解は違うようです(^^;;)
No.5687 - 2009/04/26(Sun) 02:20:56
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