ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 極限 / けい　高三

a>1でkは実数の定数とする。次のAnの極限を求めよ。
(1)An=n/a^n (2)An=n^k/a^n

という問題なんですが、まだ極限習い始めたばかりでよくわかりません…どなたか教えてください。よろしくお願いします。

No.596 - 2008/05/11(Sun) 22:26:56

☆ Re: 極限 / にょろ

(1)番について
nではなく「x」でやってみましょう。

下の図は、

赤:y=x
青:y=a^x
緑:y=1^x

です。

コレを見ると

赤よりも青の方が（一時的には赤の方が大きくても）
青の方がとても速く大きくなることことが分かります。

つまり十分大きいxについては青は赤とは比べ物にならないほど大きくなってしまうのです。

で、問題はn/a^nです。
これは先程「赤/青」ですが、十分xが多きいと青の方が遙かに大きいんです。

要するにAn=10/1000ぐらいにすぐなってしまいます。
もっと大きくしていくと…
An=100/10000000…ぐらいになります。
つまりlimAn=0

ところで、緑はそんなことはないただの「1」です。
これでa>1の理由が分かりますか？

分数系の極限は分かりやすく言うと
「どっちがどれぐらい速い？」ということだと思います。
3x/xを考えると…3xの方がxより３倍速いから3
n/a^nはnよりa^nの方が恐ろしく速いから0

そういうイメージでどうでしょう…

（実際答案に何か書いたら大きな×ですが…）

後はこれを教えて良い物か分かりませんが、
「ロピタルの定理」という分数系の極限でとても有名な定理があります。
（興味があったらしらべてみてください）

(2)もグラフを書いてみましょうよ…
そうすると分かるかもしれません…
（aは３くらいkは2位にすると分かりやすいと思います）

No.605 - 2008/05/12(Mon) 01:27:23

★ 恒等式 / 礼花　高２

こんにちは。
２．次の各場合について，定数ａ，ｂの値を求めよ。
(１)２ｘ＾３＋ａｘ＋１０をｘ＾２－３ｘ＋ｂで割ると，余りが３ｘ－２である。

この問題で、２ｘ＾３＋ａｘ＋１０＝Ｑ(ｘ＾２－３ｘ＋ｂ)＋２ｘ－２と式を立て、計算したのですが、どうしても答えが出ません。よろしくお願いします。

No.591 - 2008/05/11(Sun) 21:18:13

☆ Re: 恒等式 / 成瀬

x³ の係数が 2 であることから、
　　2x³ + ax + 10 = (2x + c)(x² - 3x + b) + 3x - 2
と書けますので、後は右辺を展開して係数比較すれば良いと思います。

No.592 - 2008/05/11(Sun) 21:52:17

☆ Re: 恒等式 / rtz

割られる式が3次、割る式が2次ですから、
商Q(x)は1次です。
Q(x)＝cx＋dとして考えてみましょう。

あと立てた式の、加えた余りが間違っているので
計算するときには訂正してください。

No.593 - 2008/05/11(Sun) 21:52:40

☆ Re: 恒等式 / rtz

成瀬さんかぶりました、申し訳ありません。

No.594 - 2008/05/11(Sun) 21:53:04

☆ Re: 恒等式 / 礼花　高２

早々のお返事、ありがとうございました！

成瀬様、2x^3+ax+10=(2x+c)(x^2-3x+b)+3x-2の右辺を展開して、左辺と係数比較したのですが、cd-2=10というようになってしまい、どうしても解けません。係数比較するところからもう一度教えて頂けないでしょうか？

rtz様、式は2x^3+ax+10=(x^2-3x+b)(cx+d)+3x-2となるのでしょうか？すみませんが、もう一度教えて頂けないでしょうか？

No.601 - 2008/05/11(Sun) 23:16:58

☆ Re: 恒等式 / 成瀬

　　 (2x + c)(x² - 3x + b) + 3x - 2
　　= 2x³ + (c - 6)x² + (2b - 3c + 3)x + (bc - 2)
となりますので、これと 2x³ + ax + 10 と係数比較をすれば、
　　c - 6 = 0　(x^2 の係数)
　　2b - 3c + 3 = a　(x の係数)
　　bc - 2 = 10　(定数項)
となりますので、これを解けば答えが得られます。

No.602 - 2008/05/11(Sun) 23:33:42

☆ Re: 恒等式 / rtz

私のも基本的には成瀬さんのと同じです。

x³の係数を見比べればc＝2はすぐ分かりますので、
あとは成瀬さんのと同じになります。

No.607 - 2008/05/12(Mon) 03:29:06

☆ Re: 恒等式 / 礼花　高２

遅くなってしまい、すみません。
ａ＝－１１、ｂ＝２と答えが出ました！
お二方とも丁寧に解説していただいて、本当にありがとうございました。

No.617 - 2008/05/13(Tue) 00:21:43

★ 写像について / 悩める学生

集合{1,2,...,n}から集合{1,2,...,m}への写像について次の問題に答えなさい。
１　写像は何通りあるか。
２　nとmの関係がどのような場合に単射を作れるか？作れる場合の単射は何通りあるか？
３　nとmの関係がどのような場合に全射を作れるか？
４　nとmの関係がどのような場合に全単射を作れるか？作れる場合の全単射は何通りあるか。

(a,b)={x∈R|a<x<b}とする。
１　開区間(a,b)から開区間(c,d)への関数で、全単射となる関数を１つあげよ。

という問題がわかりません。答えてくれれば幸いです。

No.590 - 2008/05/11(Sun) 20:11:37

☆ Re: 写像について / にょろ

(1)

A(x)を集合{1,2,...,n}から集合{1,2,...,m}への写像
Bを集合{1,2,...,n}
とします。

Bの1から考え得る写像は
A(1)=1
A(2)=2
・
・

とmまであります
よって1の写像m通り
他の2,3,4からの写像もm通りなので

m^n通りです。
（写像に制限はないので全てのxでA(x)=1でも可）

(2)

単射とは
A(1)=2ならば
もう他のA(x)では2になら無いと言うことです。

取りあえずn=3,m=4でやってみましょう。

A(1)=2
とすると
A(2)=4
A(3)=1

と決めるんです。

要するにnのグループの数字一つにつきmのグループの数字が一つ
一緒にいないといけないんです。
（浮気はダメです）
逆にmの数字は一人でもやっていけます。

というわけでn≦mです。

で、こういった理由で考え得る写像mPn通りです。
なぜなら、1…n迄の数字がmの中から数字を選ぶんですから

(3)さっきの例を挙げると
今度はmは寂しがり屋で絶対一人になること（A(x)=mとなるxが存在すること）を許してはくれません。
でも、自分は浮気します。
何人でも対応します。
（A(1)=A(3)=5とかでも良い）

n=4,m=3でやってみましょう。
A(1)=3
A(2)=1
A(3)=2
A(4)=3

これで、全てのmは遊び相手が見付かりました。

(4)

今回はmもnも寂しがり屋で浮気禁止です。
要するにnの遊び相手のmは絶対一人居ないといけないし
その逆もそう
勿論浮気も認めない(A(2)=A(5)=2はだめ)

つまりn=mでなければいけません。

で、何通りかというと(2)のm=nの場合つまりn!(=m!)です。

1もっと簡単に言うと逆関数のある関数は何か？
といってるんです。

a=c,b=dになりますけど

y=xが一番簡単な関数ですかね？

No.606 - 2008/05/12(Mon) 01:53:34

☆ Re: 写像について / 悩める学生

にょろさんありがとうございました。
とてもわかりすかったです。またよろしくおねがいします。

No.608 - 2008/05/12(Mon) 06:58:53

★ 数列 / 桜　高校2

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

次の等比数列の一般項を求める問題です。
(1)初項8,公比1/2
私は8*1/2^n-1 としました。
これでもいいでしょうか。

(2)8,m,nがこの順で等比数列をなし、m,n,36がこの順で等比数列をなすとき、m,nの値を求めよ。

m^2=8n と n^2=36nが出てこのあとどうすればよいかわかりません。

教えてくださいよろしくお願いいたします。

No.582 - 2008/05/10(Sat) 22:19:26

☆ Re: 数列 / rtz

(1)
正しいですが、もうちょっとまとめましょう。
答えに3*3⁴とは書きませんよね。(3⁵)
なので、(1/2)^n-4あるいは16/2ⁿなどとしておいた方がいいと思います。

(2)
36²*8n＝36²*m²＝(36m)²＝n⁴として
直接求めることが出来ます。

8、m、n、36でも等比数列ですから、公比rとして
8*r³＝36としてrを求める方法もあります。

No.583 - 2008/05/10(Sat) 22:35:11

☆ Re: 数列 / 桜　高校2

ありがとうございました☆
とってもわかりやすかったです。

No.586 - 2008/05/11(Sun) 17:29:21

★ (No Subject) / 匿名　高1

聞きたいことがあるので教えて下さい！

(1)3√5-5√3/√5+√3　+　3√5+4√3/3√5-4√3
　
　この答えを自分で求めてみたところ
　111+14√5/53 になったのですが、あっているでしょうか？
間違っているようでしたら教えて頂きたいです。

(2)√2-1/√2+1　+　√3-√2/√3+√2　+　√3+√2/2-√3
　　
　　これも一応自分で解いてみたのですが
　　答えが出なかったので解き方を教えて下さい！

　　2問よろしくお願いします。

No.574 - 2008/05/09(Fri) 18:54:54

☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

(1)(2)ともどこまでが分子で、どこまでが分母かが分からないので、分母あるいは分子に括弧を付けてください。

3√5-5√3/√5+√3 と書けば、3√5-(5√3/√5)+√3 の意味になりますが、そのようでない気がするので・・・

No.575 - 2008/05/09(Fri) 20:44:48

☆ Re: / 匿名　高1

書き直します！すみませんでした(´・ω・｀)

(1)(3√5-5√3)/(√5+√3)　+　(3√5+4√3)/(3√5-4√3)

(2)(√2-1)/(√2+1)　+　(√3-√2)/(√3+√2)　+　(√3+√2)/(2-√3)

こんな感じで大丈夫でしょうか･･･？

No.576 - 2008/05/09(Fri) 21:52:32

☆ Re: / X

(1)
分母を有理化すると
(与式)=(1/2)(3√5-5√3)(√5-√3)-(1/3)(3√5+4√3)^2
=(1/2)(15-8√15+15)-(1/3)(45+24√15+48)
=(15-4√15)-(31+8√15)
=-16-12√15
となります。

(2)
これも分母を有理化すると
(与式)=(√2-1)^2+(√3-√2)^2+(√3+√2)(2+√3)
=(√2-1)^2+(√3-√2)^2+(√3+√2)(√3+2)
=(2-2√2+1)+(3-2√6+2)+(3+(√2+2)√3+2√2)
=(3-2√2)+(5-2√6)+(3+√6+2√3+2√2)
=11+2√3-√6
となります。

No.577 - 2008/05/09(Fri) 22:17:51

☆ Re: / 匿名　高1

返信ありがとうございます！
詳しく解説して頂き、とてもよくわかりました★
本当にありがとうございました(^ω^)

No.578 - 2008/05/10(Sat) 14:58:03

★ √2の近似値について / にょろ

週刊少年マガジンで「賭博覇王伝零」と言う漫画があります。
その中で、√2の近似値を小数第10位くらい迄求めるという場面がありました。
（現在進行形で…）

で、実際自分でも出してみました。
1.41421356まではでているようです。

実際漫画の中での解法はこうです

1.41421356=aとします。
まず、a*aを計算した後で
a*a+2aを計算し
更に最終行に1をくわえる。

つまり(a+1)^2を計算する。
と言う方法でやっていました。

で、数学って面白い！？と言うサイトではニュートン法
僕のブログでは二分法でやってみました。
開平法でもできると思います。

ここまでで、４つの解法がでてきました。

制限時間はないとして

この他にどのような近似値の求め方があるのでしょうか？
少し興味が湧いたので書き込んでみました。
宜しくお願いします。

No.563 - 2008/05/08(Thu) 00:07:10

☆ Re: √2の近似値について / らすかる

a[0]=1, a[1]=1, b[0]=0, b[1]=1 として
a[n]=2a[n-1]+a[n-2], b[n]=2b[n-1]+b[n-2] とすると
a[1]=1, b[1]=1, a[1]/b[1]=1/1=1
a[2]=3, b[2]=2, a[2]/b[2]=3/2=1.5
a[3]=7, b[3]=5, a[3]/b[3]=7/5=1.4
a[4]=17, b[4]=12, a[4]/b[4]=17/12=1.41666666…
a[5]=41, b[5]=29, a[5]/b[5]=41/29=1.41379310…
a[6]=99, b[6]=70, a[6]/b[6]=99/70=1.41428571…
a[7]=239, b[7]=169, a[7]/b[7]=239/169=1.41420118…
a[8]=577, b[8]=408, a[8]/b[8]=577/408=1.41421568…
a[9]=1393, b[9]=985, a[9]/b[9]=1393/985=1.41421319…
a[10]=3363, b[10]=2378, a[10]/b[10]=3363/2378=1.41421362…
a[11]=8119, b[11]=5741, a[11]/b[11]=8119/5741=1.41421355…
a[12]=19601, b[12]=13860, a[12]/b[12]=19601/13860=1.41421356…

この方法は 19601 と 13860 を求めるのに足し算だけで済み、
割り算が１回しか必要ありません。

No.564 - 2008/05/08(Thu) 00:16:55

☆ Re: √2の近似値について / らすかる

二分法を変形して按分法にすると
1.4＜√2＜1.5
1.4^2=1.96, 1.5^2=2.25
1.4+(1.5-1.4)×(2-1.96)/(2.25-1.96)=1.41379310…
1.41379310^2=1.99881093…
1.4+(1.41379310-1.4)×(2-1.96)/(1.99881093-1.96)=1.41421568…
1.41421568^2=2.00000598…
1.41379310+(1.41421568-1.41379310)×(2-1.99881093)/(2.00000598-1.99881093)
=1.41421356…

この方法の収束速度は多分ニュートン法と同等です。

No.565 - 2008/05/08(Thu) 03:04:45

☆ Re: √2の近似値について / らすかる

漸化式をいいかげんに作る方法

例えば x=√2-1 とすると x^2+2x-1=0 なので
2x=1-x^2
x=(1-x^2)/2
これを使って初期値を0.4として
x ← (1-x^2)/2 という計算を繰返し行うと
0.4
0.42
0.4118
0.41521038
0.41380017…
0.41438470…
0.41414265…
0.41424293…
0.41420139…
0.41421860…
0.41421147…
0.41421442…
0.41421320…
0.41421371…
0.41421350…
0.41421358…
0.41421355…
0.41421356…
のように√2-1に収束します。
（収束は遅いですし、いいかげんに作った漸化式が必ずしも収束するとは限りません。）

No.566 - 2008/05/08(Thu) 07:14:26

☆ Re: √2の近似値について / にょろ

成る程
色々な方法があるのですね。

やはり簡単そうな問題は色々な解法でで解を導くのがなかなか楽しいですね。

有り難うございます。

まだあれば…

No.567 - 2008/05/08(Thu) 13:34:06

☆ Re: √2の近似値について / らすかる

最初の方法は無駄があることに気付きました。

a[1]=0, a[2]=1 として
a[n]=2a[n-1]+a[n-2] とすれば
lim[n→∞]a[n-1]/a[n]+1=√2 ですから
a[1]=0
a[2]=1
a[3]=2
a[4]=5
a[5]=12
a[6]=29
a[7]=70
a[8]=169
a[9]=408
a[10]=985
a[11]=2378
a[12]=5741
a[13]=13860

a[12]/a[13]+1=1.41421356…
のように求められました。

No.568 - 2008/05/08(Thu) 17:41:10

☆ Re: √2の近似値について / らすかる

↓こちらのページにはまた別の方法が記載されています。
http://mathworld.wolfram.com/WolframsIteration.html

No.570 - 2008/05/08(Thu) 17:49:32

☆ Re: √2の近似値について / らすかる

こういう方法もあります。

√2=3/2-3Σ[k=0～∞](2k)Ck/{(k+1)*36^(k+1)}
　=3/2-{1/36+1/36^2+6/(3*36^3)+20/(4*36^4)+70/(5*36^5)+252/(6*36^6)+…}
この項まで計算すると 1.4142135679…

No.572 - 2008/05/09(Fri) 04:19:28

☆ Re: √2の近似値について / らすかる

上と同じ方法で

√2=17/12-(17/6)Σ[k=0～∞](2k)Ck/{(k+1)*1156^(k+1)}
=17/12-(17/6){1/1156+1/1156^2+4C2/(3*1156^3)+6C3/(4*1156^4)+8C4/(5*1156^5)+…}
（この項までで 1.41421356237309509…）

√2=99/70-(99/35)Σ[k=0～∞](2k)Ck/{(k+1)*39204^(k+1)}
=99/70-(99/35){1/39204+1/39204^2+4C2/(3*39204^3)+6C3/(4*39204^4)+…}
（この項までで 1.414213562373095048802…）

√2=577/408-(577/204)Σ[k=0～∞](2k)Ck/{(k+1)*1331716^(k+1)}
=577/408-(577/204){1/1331716+1/1331716^2+4C2/(3*1331716^3)+…}
（この項までで 1.41421356237309504880169…）

√2=3363/2378-(3363/1189)Σ[k=0～∞](2k)Ck/{(k+1)*45239076^(k+1)}
=3363/2378-(3363/1189){1/45239076+1/45239076^2+4C2/(3*45239076^3)+…}
（この項までで 1.41421356237309504880168872421…）

などの収束の早い式も作れます。
（いくら早くしても１項でn桁ですからニュートン法にはかないませんが。）

No.573 - 2008/05/09(Fri) 18:37:02

☆ Re: √2の近似値について / にょろ

らすかるさん…
凄いですね。

こんなに方法があるんですね。
勉強になりました

No.604 - 2008/05/12(Mon) 01:09:18

★ 図形の問題 / Ｅ１０

1800×900の長方形内で幅150の長方形を書く場合最大でいくら取れますでしょうか？　計算してもわからずＣＡＤで書いてみたのですがまだ最大値が伸びそうですが・・・　説明不足だと思いますので一応自分でやってみた画像も載せておきます　丸で囲んだ部分の最大値をお願いします　幅150の長方形を中心を軸に回転すれば微妙に長さ伸びそうな気がするのですが答えがわかりません　どうかよろしくお願いします

No.556 - 2008/05/06(Tue) 20:04:24

☆ Re: 図形の問題 / rtz

61.492の部分をx(0＜x＜150)とすると、
136.816の部分は√(150²－x²)
x：√(150²－x²)＝{900－√(150²－x²)}：(2000－x)
⇔2000x－x²＝{900√(150²－x²)}－(150²－x²)
⇔20x＋225＝9√(150²－x²)
⇔400x²＋9000x＋225²＝2250²－81x²
⇔481x²＋9000x－99*225²＝0
⇔x＝(225/481){－20＋√(400＋481*99)}＝93.1492422…

このとき、求める長さは
150*(2000-(225/481)*(-20+√(400＋481*99)))/√(22500-((225/481)^2*(-20+√(400＋481*99))^2))
＝2432.78301
となりましたが、いまいち自信は無いです。

No.557 - 2008/05/06(Tue) 20:55:32

☆ Re: 図形の問題 / らすかる

√(1800^2+900^2)=2012.46117974… ですから、rtzさんの答えは正しくありません。
rtzさんの計算では、√を外す前にx^2の項が消えてしまっているところが
問題だと思います。

61.492のところを150xとして方程式を立てると
4x^4-48x^3+176x^2+24x-35=0
という四次方程式になります。
これをニュートン法で解いて150倍すると
60.21991684…
すると136.816となっているところは
137.38108172…
となり、幅150の長方形の長さは
1899.58478417…
となります。

No.558 - 2008/05/06(Tue) 21:58:55

☆ Re: 図形の問題 / らすかる

ちなみに、方程式を立てずに計算することも出来ます。

最初に概算します。
外側の長方形が2：1なのでまわりの直角三角形の
斜辺以外の2辺の比は約2：1になります。
2：1になるとすると、短辺は150/√5≒67です。

67とすると、長辺は√(150^2-67^2)≒134.2となり
(1800-67)×(67/134.2)+134.2=999.4＞900
短辺はもっと小さくなければいけないので
例えば60とすると、長辺は√(150^2-60^2)≒137.477となり
(1800-60)×(60/137.477)+137.477≒896.877＜900

よって60と67の間とわかります。
この後を二分法で計算すると
短辺=63.5 → 長辺=135.896 → 947.309＞900 → 60と63.5の間
短辺=61.75→長辺=136.700→921.901＞900 → 60と61.75の間
のようになり、10回繰り返すと精度が3桁程度出ます。

二分法でなく按分法（名前は適当です）にすると
60+(67-60)×(900-896.877)/(999.4-896.877)≒60.21323
短辺=61.21323 → 長辺=136.94138 → 914.18457＞900
60+(61.21323-60)×(900-896.877)/(914.18457-896.877)≒60.21892
短辺=60.21892 → 長辺=137.38152 → 899.98582＜900
60+(60.21892-60)×(900-896.877)/(899.98582-896.877)≒60.21992
短辺=60.21992 → 長辺=137.38108 → 900.00005≒900
(1800-60.21992)×(150/137.38108)≒1899.58480
のように数回の計算で精度良く求まりますね。

No.559 - 2008/05/07(Wed) 00:09:51

☆ Re: 図形の問題 / rtz

＞らすかるさん
あら、本当ですね。
失礼しました。

No.560 - 2008/05/07(Wed) 02:58:39

☆ Re: 図形の問題 / Ｅ１０

【61.492のところを150xとして方程式を立てると
4x^4-48x^3+176x^2+24x-35=0
という四次方程式になります。】

ちなみになぜ方程式がこのような形になるか教えていただけますでしょうか？
150以外にも使えるように勉強したいので

当方中卒２８歳です　よろしくお願いします

No.561 - 2008/05/07(Wed) 19:06:22

☆ Re: 図形の問題 / らすかる

61.492の部分を t (0＜t＜150) とすると、
136.816の部分は √(150^2-t^2)
三角形の相似から
t：√(150^2-t^2)=900-√(150^2-t^2)：1800-t
このまま計算していくと係数が大きくなりすぎて大変なので
t=150x (0＜x＜1) とおいて代入すると
150x：√(150^2-(150x)^2)=900-√(150^2-(150x)^2)：1800-150x
x：√(1-x^2)=6-√(1-x^2)：12-x
x(12-x)={6-√(1-x^2)}√(1-x^2)
12x-x^2=6√(1-x^2)-(1-x^2)
12x-2x^2+1=6√(1-x^2)
(12x-2x^2+1)^2=36(1-x^2)
4x^4+144x^2+1-48x^3-4x^2+24x=36-36x^2
∴4x^4-48x^3+176x^2+24x-35=0

No.562 - 2008/05/08(Thu) 00:01:10

☆ Re: 図形の問題 / Ｅ１０

勉強してみます　
３ヶ月悩んでいたものがすっきりしました
今回は大変ありがとうございました
また何かありましたらよろしくお願いします

No.571 - 2008/05/08(Thu) 21:58:26

★ (No Subject) / こたろう

原点を中心とは限らない回転や一般の線対称移動を表す式を
考えよう。という問題に数?VCを習っていない僕にも
わかるように教えてください。お願いします!

No.552 - 2008/05/06(Tue) 18:29:06

☆ Re: / にょろ

え～と…ある程度は分かるという前提で良いですか？
まずP(a,b)と言う点を
θ度回転させることを考えましょう。
「原点(O)中心」で
（原点中心でないと恐ろしいことになります。（5*5行列…））
OP=√(a^2+b^2)

またx軸とOPの成す角をαとします。

するとθ回転させた時に移動する
点P'（x,y）とxの成す角度は
α+θになるのは分かりますね。
（分からないのならこれ以上話しても無駄な気がします）

そしてOP'=√(a^2+b^2)

ですので
x=√(a^2+b^2)cos(θ+α)
=√(a^2+b^2)(cosθcosα-sinθsinα)
y=√(a^2+b^2)sin(θ+α)
=√(a^2+b^2)(sinθcosα+cosθsinα)

次にP(a,b)はどうなるかというと
a=√(a^2+b^2)cos(α)
b=√(a^2+b^2)sin(α)

と言うわけでこんな関係になっています。

a→x

√(a^2+b^2)cosα→√(a^2+b^2)(cosθcosα-sinθsinα)

b→y

√(a^2+b^2)sinα→√(a^2+b^2)(sinθcosα+cosθsinα)

となります。

ところで

√(a^2+b^2)cosα=a
√(a^2+b^2)sinα=b

というのは分かりますか？

これを代入して

a→(acosθ-bsinθ)
b→(asinθ+bcosθ)

の変換になります。

原点ではない場合は回転の中心を原点に移動させることを考えてください

No.554 - 2008/05/06(Tue) 19:23:42

☆ Re: / にょろ

追伸

この方法で出来るかなぁ？
線対称移動…
まず考えてみてください

No.555 - 2008/05/06(Tue) 19:34:15

★ (No Subject) / フェニックス高二

こんばんは。以下の問題が分かりません。教えて下さい。

1.　次の円と直線の共有点の個数を調べよ。

　　ｘ＾2+ｙ＾2＝4　　ｙ＝-2ｘ+ｋ

答え　-2√5＜ｋ＜2√5のとき2個　、ｋ＝±2√5のとき1個、
　　　2√5＜ｋのとき0個

2.　　原点を中心とし、半径2の円上を動く点をP（ｘ、ｙ）とするとき、2ｘ+ｙの値の最大値は（あ）、最小値は（い）である。

答え　あ　2√5　い　－2√5

お願いします。

No.543 - 2008/05/05(Mon) 22:25:22

☆ Re: / にょろ

(1)
　ｘ＾2+ｙ＾2＝4 　…(A)　
　ｙ＝-2ｘ+ｋ　　　…(B)

(A)に(B)を代入して（y消去）

x^2+(-2x+k)^2=4

整理して

5x^2-4kx+k^2-4=0　…(C)

よって

判別式/4=4k^2-5(k^2-4)
　=-k^2+20

これより(C)の解の個数nは

n=1の時
-k^2+20=0
k=±2√5

n=0の時

-k^2+20<0

k^2>20

k>2√5,k<-2√5

n=2の時

-k^2+20>0

-2√5<k<2√5

(2)

k=2x+yとすると

(1)より

-2√5≦k≦2√5

よって

2ｘ+ｙの値の最大値は2√5、最小値は-2√5である。

No.545 - 2008/05/05(Mon) 23:48:06

☆ Re: / フェニックス高二

ありがとうございました。

No.546 - 2008/05/06(Tue) 08:13:37

★ 多項式の加法・減法と乗法 / シャイア

初めまして。　私は高1です。
実は数学の問題で分からない問題があって・・・。

(5a^3-3a^b+7ab^2-2b^3)(3a^2+2ab-3b^2)を展開したときの、a^3b^2およびa^2b^3の係数を求めよ。

係数が出たら、２つの係数を足して答えを出すみたいなのですが、なかなか答えが合いません。

ちなみに答えは１７です。

分かる方、解き方を教えて下さい。お願いします！

No.542 - 2008/05/05(Mon) 21:49:54

☆ Re: 多項式の加法・減法と乗法 / small

実際に展開すると合計12回掛け算をすることになりますが、
必要な部分だけ抜き出して考えます。
(1)a^3b^2の係数について
左のかっこ内の5a^3と右のかっこ内の-3b^2をかけると
-15a^3b^2という項がでてきます。同じ要領で
左の-3a^2bと右の2abをかけると-6a^3b^2
左の7ab^2と右の3a^2をかけると21a^3b^2
これらを整理して
-15a^3b^2-6a^3b^2+21a^3b^2=0
よって、a^3b^2の係数は0

(2)a^2b^3の係数について
左の-3a^2bと右の-3b^2⇒9a^2b^3
左の7ab^2と右の2ab⇒14a^2b^3
左の-2b^3と右の3a^2⇒-6a^2b^3
これを整理して
9a^2b^3+14a^2b^3-6a^2b^3=17a^2b^3
よって,a^2b^3の係数は17

No.544 - 2008/05/05(Mon) 22:37:05

☆ Re: 多項式の加法・減法と乗法 / シャイア

smallさん、ありがとうございます＾＾

やっと答えが合いました！

また質問することがあるかもしれませんが、よろしくお願いしますm(_　_)m

No.550 - 2008/05/06(Tue) 16:32:49

★ 関数 / 桜　高校2

たびたびすみません。
よろしくお願いいたします。
図は(0,2) (a,4) (2,3) (3,1) (4,0)のグラフです。
私の事情で画像表示できず、ご迷惑おかけして申し訳ありません。

(1)図の折れ線グラフで表される関数をf(x)とする。このとき、y=f(f(x))のグラフを書け。
(2)f(x)=x^2-4x+5とする。関数f(f(x))の区間0≦x≦3における最大値と最小値を求めよ。

という問題がわかりませんでした・
教えてください。
よろしくお願いいたします。

No.536 - 2008/05/04(Sun) 23:29:10

☆ Re: 関数 / にょろ

まず
(aは1じゃないですか？その様な回答で行きます。
そうしないと定義されていない物を答える事になるので)
(1)は、それぞれ

f(0)=2
f(1)=4
f(2)=3
f(3)=1
f(4)=0

と言うことで

f(f(1))=f(4)=0
f(f(2))=f(3)=1

以下同様です。

(2)は、

f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1
0≦x≦3
より
x=2の時最小値f(x)=1をとる
です。

次、正攻法ではそのまま、f(0),f(3)のどちらかが最大値です。

少し裏技的な方法

定理

二次関数は、軸に対し対称

より

|2-3|＜|2-0|より

f(0)で最大値をとる

以上です。

No.538 - 2008/05/05(Mon) 01:11:40

☆ Re: 関数 / 七

(1) (a，4)が(1，4)でy＝f(x)が
上の図のようになっているのなら
下の図のようになると思います。
y＝f(x)の図にはx＜0や4＜xの部分もあるのでしょうか？

No.539 - 2008/05/05(Mon) 10:42:35

☆ Re: 関数 / ヨッシー

(2) は、
0≦x≦3 において、f(x) の範囲は、1≦f(x)≦5 であり、
これは、にょろさんの書かれたとおりです。
そして、今度は、1≦f(x)≦5 が、f(f(x)) のf(x) を変数としたときの
定義域になり、1≦x≦5 における f(x) の範囲は、
　1≦f(x)≦10
となります。
最小値１：f(x)＝２のとき→ｘ＝１または３のとき
最大値10：f(x)＝５のとき→ｘ＝０のとき

No.540 - 2008/05/05(Mon) 11:34:23

☆ Re: 関数 / 桜　高校2

ありがとうございました
参考になりました・

No.580 - 2008/05/10(Sat) 22:15:06