ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ベクトル空間 / らいおん

こんにちは。質問させていただきます。

ベクトル空間Ｖ、Ｗと
線形写像ｆ：Ｖ→Ｖ、ｇ：Ｗ→Ｗ、ｈ：Ｖ→Ｗ
があり、ｈ〇ｆ＝ｇ〇ｈを満たしているとする。
(〇は合成写像を表すとします)
このとき以下を示せ。

?@ｆがべき零でｇが単射なら、ｈ＝０である。

?Aｆが全射でｇがべき零なら、ｈ＝０である

?@の証明：
ｈ〇ｆ^n=ｇ〇ｈ〇ｆ^(n-1)＝０
線形性より、０＝ｈ(0)＝ｇ(ｈ(ｆ^(n-1)))
ｇ：単射より、ｈ(f^(n-1))=0
よって、ｈ＝０

?Aの証明：
ｇ^n〇ｈ
＝ｇ^(n-1)〇ｇ〇ｈ
＝ｇ^(n-1)〇ｈ〇ｆ

ｆ：全射より、∀ｖ_1,∃ｖ_2∈Ｖ s.t.ｆ(v_2)=v_1
から、ｇ^(n-1)〇ｈ(v_1)=0
ｖ_1：任意より、ｈ＝０

添削をお願いします。

No.435 - 2008/04/22(Tue) 22:10:53

★ (No Subject) / ラディン.ms

四角形ABCD(反時計回りにA,B,C,D)において
　　∠ABD=30°,∠DBC=40°,∠ACB=30°,∠ACD=50°
であるとき，∠ADBの大きさを求めよ。

よろしくお願いします。

No.434 - 2008/04/22(Tue) 20:45:48

☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

(1) 辺ＢＣ上に ∠ＤＣＥ＝20°になる点Ｅをとります。
(2) 次に直線ＡＢ上に∠ＢＥＦ＝40°になる点ＦをとりＤとＦを結びます。
すると
∠ＤＣＥ＝∠ＤＥＣ＝80°となり、ＤＣ＝ＤＥ・・・(イ)
△ＥＤＢで、∠ＤＥＢ＝100°,∠ＤＢＣ＝40°より∠ＥＤＢ＝40°となり　ＤＥ＝ＥＢ・・・・・・・(ロ)
∠ＥＢＦ＝∠ＥＦＢ＝70°となり、ＥＢ＝ＥＦ・・・(ハ)
(ロ)(ハ)より、ＤＥ＝ＥＦ
∠ＤＥＦ＝180°－(80°＋40°)＝60°となるので
△ＤＥＦは正三角形となります。
よって(イ)をつかって　ＤＦ＝ＤＥ＝ＤＣ
ゆえに△ＤＣＦは二等辺三角形となり、
∠ＦＤＣ＝∠ＦＤＥ+∠ＥＤＣ＝60°+20°＝80°
だから　∠ＤＣＦ＝50°
ところが∠ＤＣＡ＝50°だからＣＡとＣＦは重なり
ＡとＦは一致します。（△ＤＥＡは正三角形になります）
∴∠ＡＤＢ＝60°－∠ＥＤＢ＝60°－40°＝20°

・・・以上のようになります・・・

　

No.438 - 2008/04/24(Thu) 16:12:38

☆ (No Subject) / ヨッシー

>(1) 辺ＢＣ上に ∠ＣＤＥ＝20°になる点Ｅをとります。
ですね。

図を描いてみました。
点Ｆが最終的には、点Ａに重なります。

No.439 - 2008/04/24(Thu) 18:15:50

☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

あらら、ホント！　タイプミスです。
ヨッシーさん、ご指摘および図も描いていただき有難う御座います。
ラディン.ms さん、No.438の1行目はヨッシーさんのご指摘の通りです。（失礼しました）

No.440 - 2008/04/24(Thu) 19:00:43

☆ Re: / ラディン.ms

ありがとうございます。

それにしても，こういう補助線はどうやったら思いつくのでしょうか？

No.441 - 2008/04/24(Thu) 21:35:28

☆ (No Subject) / ヨッシー

ラングレーの問題をはじめとする、この手の整角問題は、
どこかに正三角形を作って解くことが多いです。
そのために目を付けるのは、60°が決め手になります。

また、反則ですが、正確に図を描いて、答えを先に掴んでおくのも、
よく使う手です。

No.442 - 2008/04/24(Thu) 21:40:17

☆ Re: / ラディン.ms

ありがとうございます。ラングレーの問題を調べてみます。

No.443 - 2008/04/24(Thu) 21:45:59

★ 確率 / コブクロ

番号1,2,3,・・・,ｎのついた札が、袋Ａには各々１枚ずつ、袋Ｂには各々2枚ずつ入っている。ただし、n≧2とする。

（1）袋Ａから札を２枚取り出すとき、その２枚の番号札がnより大きい確率を求めよ。
（2）袋Ｂから札を２枚取り出すとき、その２枚の番号札がnより大きい確率を求めよ。

考え方がわかりません・・・・
解説お願いします。

No.421 - 2008/04/21(Mon) 00:40:18

☆ Re: 確率 / rtz

もしかして2枚の和、ですか？

No.422 - 2008/04/21(Mon) 01:03:13

☆ Re: 確率 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

このままでは、(1)(2)とも答えは０となってしまいます。

No.424 - 2008/04/21(Mon) 01:21:37

☆ Re: 確率 / コブクロ

すいません。正しくは『２枚の札の和』です。

No.430 - 2008/04/21(Mon) 21:38:15

☆ Re: 確率 / ヨッシー

(1)

上の図は、n=5, n=6 の場合の組み合わせ表です。
すべての組み合わせは、nＣ2＝n(n-1)/2 (通り) （黄色と緑）
n=5 のようにｎが奇数の場合、条件を満たさないもの(緑)は、
　１＋３＋・・・＋(n-2)＝{(n-1)/2}²
その確率は、
　{(n-1)/2}²÷n(n-1)/2＝(n-1)/2n
よって、条件を満たすもの(黄)の確率は、
　１－(n-1)/2n＝(n+1)/2n
n=6 のようにｎが偶数の場合、条件を満たすもの(黄)は、
　１＋３＋・・・＋(n-1)＝(n/2)²
その確率は、
　(n/2)²÷n(n-1)/2＝n/2(n-1)

とりあえず、ここまで。

No.431 - 2008/04/22(Tue) 09:12:03

★ 二次関数 / 桜

たびたびすみません。
以下の問題がわかりませんでした。

二次関数f(x),g(x)および実数kが次の(A),(B),(C)の条件をすべてみたしているとする。

(A) f(x)はx=kで最大値をとる。
(B) f(k)=13,f(-k)=-23,g(k)=49,g(-k)=7
(C) f(x)+g(x)=2x^2+13x+5
このときkの値とf(x),g(x)を求めよ。

よろしくお願いいたします

No.418 - 2008/04/20(Sun) 20:06:10

☆ Re: 二次関数 / rtz

(B)(C)から、
78＝62－(-16)
＝(13＋49)－(-23＋7)
＝{f(k)＋g(k)}－{f(-k)＋g(-k)}
＝(2k²＋13k＋5)－(2k²－13k＋5)
＝26k
⇔k＝3

(A)と(B)のf(3)＝13から、
f(x)＝a(x－3)²＋13 (a＜0)とおけます。
あとは(B)のf(-3)＝-23と(C)で求まるでしょう。

No.423 - 2008/04/21(Mon) 01:14:08

☆ Re: 二次関数 / 桜

ありがとうございます。
申し訳ないのですが。。
k=3の求め方がわかりません・
どこからその数字がでてくるのでしょうか。
78＝62－(-16)

No.428 - 2008/04/21(Mon) 19:33:03

☆ Re: 二次関数 / rtz

いきなり全部書いたのがまずかったでしょうか。

(B)から、
f(k)＋g(k)＝13＋49＝62
f(-k)＋g(-k)＝(-23＋7)＝-16から
{f(k)＋g(k)}－{f(-k)＋g(-k)}＝62－(-16)＝78です。

また(C)から、
f(k)＋g(k)＝2k²＋13k＋5
f(-k)＋g(-k)＝2k²－13k＋5から
{f(k)＋g(k)}－{f(-k)＋g(-k)}
＝(2k²＋13k＋5)－(2k²－13k＋5)
＝26kです。

これらを結んで書いたのが↑です。

No.429 - 2008/04/21(Mon) 20:33:45

☆ Re: 二次関数 / 桜

ありがとうございました！

No.432 - 2008/04/22(Tue) 17:40:02

★ 2次関数 / ぼうず

2次関数f(x)=x^+ax+b に対し、－1≦ｘ≦1 におけるlf(x)lの最大値をＭとおく時、以下の問いを証明せよ。
(ア) 1/2≦Ｍ
(イ) Ｍ＝1/2となるf(x)はf(x)=x^-1/2 に限る

上記２問の解説お願いします

No.414 - 2008/04/20(Sun) 18:59:30

☆ Re: 2次関数 / 豆

手間かもしれませんが、背理法で。
M＜1/2とすると、
|f(1)|=|1+a+b|＜1/2　
　→　1+a^2+b^2+2a+2b+2ab＜1/4　・・・A
|f(-1)|=|1-a+b|＜1/2
　→　　1+a^2+b^2-2a+2b-2ab＜1/4　・・・B
|f(0)|=|b|＜1/2
　　→　　-1/2＜b＜1/2　・・・C
A+Bより、a^2+(1+b)^2＜1/4
ところで、Cより　　1/2＜1+b＜3/2　これは矛盾

f(x)=x^2-1/2はf(1)=f(-1)=1/2　、f(0)=-1/2
となりM=1/2を満たす。
このグラフを左右にずらしても(a≠0)、上下にずらしても
(b≠-1/2)　いずれかの絶対値は1/2を超えるので
M=1/2となるのはf(x)に限られる。

No.427 - 2008/04/21(Mon) 13:21:39

★ 三角関数の合成 / 奈々理

関数ｙ＝３sinx＋４cosx (０≦ｘ＜２π）の最大値と最小値を求めよ。

できたら三角関数の合成の意味も教えていただけませんか？

初めてなのにいろいろお願いして申し訳ありません（泣

No.409 - 2008/04/20(Sun) 15:57:12

☆ Re: 三角関数の合成 / 七

図のαについて
cosα＝3/5，sinα＝4/5
したがって

y＝3sinx＋4cosx
＝5((3/5)sinx＋(4/5)cosx)
＝5(sinxcosα＋cosxsianα)
＝5sin(x＋α)
ただし，cosα＝3/5，sinα＝4/5
－1≦sin(x＋α)≦1
なので最大値5，最小値－5

No.412 - 2008/04/20(Sun) 18:04:35

☆ Re: 三角関数の合成 / 奈々理

ありがとうございました。

これからも利用させていただくことがあると思いますがよろしくお願いします！

No.419 - 2008/04/20(Sun) 21:20:19

★ 数列 / GURURU

全ての項が正の数である数列｛an｝が、
a1=1, (a1)^2+(a2)^2+(a3)^2+……+(an)^2=n^2
である。
（１）a2,a3を求めよ。
（２）一般項anを求めよ。
（３）lim(n→∞) (1/√n)??(k=1～n)1/{ak+a(k+1)}を求めよ。

（３）の表記の仕方がややこしくなってしまいましたが、わかりましたでしょうか。
よろしくお願いします。

No.407 - 2008/04/20(Sun) 15:32:03

☆ Re: 数列 / ヨッシー

(1)
ｎ＝２として、
　a1²＋a2²＝2²
　１＋a2²＝４
より、a2＝√3
ｎ＝３として、
　a1²＋a2²＋a3²＝3²
　１＋３＋a3²＝９
より、a3＝√5

(2)
bn＝an² とおくと、
　Sn＝b1＋b2＋・・・bn＝n²
であり、b1＝a1²＝１　および、2以上の整数ｎについて、
　bn＝Sn－S(n-1)＝n²－(n-1)²＝2n-1
よって、
　an＝√(2n-1)

(3)
　1/{ak+a(k+1)}＝1/{√(2n-1)＋√(2n+1)}
　　＝{√(2n+1)－√(2n-1)}/2
より、
　??(k=1～n)1/{ak+a(k+1)}＝(1/2){(√3－1)＋(√5－√3)＋・・・＋(√(2n+1)－√(2n-1))}
　＝(1/2){√(2n+1)－1}
よって、
　(与式)＝lim(n→∞)(1/2√n){√(2n+1)－1}
　　＝√2/2

No.425 - 2008/04/21(Mon) 08:52:08

☆ Re: 数列 / GURURU

ありがとうございます。参考にさせていただきます。

No.462 - 2008/04/26(Sat) 00:46:23

★ 初めまして！！！ / コジ

今年理工系の大学１年生です。
理工系ですが私は数学が苦手です。
いざ授業が始まると数学?V（微分積分）の応用からのスタートで今とても焦っています。
自分でも努力しますが、協力お願いします。
（１）arcsinx＋arccosx＝π／２
（２）arctan（１／２）＋arctan（１／３）＝π／４
（３）cos（arcsinx）＝√（１－x＾２）
予習の段階なのでできれば詳しい解答解説をお願いします。

No.405 - 2008/04/20(Sun) 00:21:48

☆ Re: 初めまして！！！ / ヨッシー

(1)公式 sinθ＝cos(π/2－θ)＝ｘとおくと、
　θ＝arcsinｘ
　π/2－θ＝arccosｘ
よって、arcsinx＋arccosx＝π／２
(2)公式 tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)/(１－tanαtanβ)
において、tanα＝1/2 tanβ＝1/3 とおくと、
　α＝arctan(1/2)、β＝arctan(1/3) であり、
tan(α＋β)＝１
　α＋β＝π/4

こういう図でも理解できます。

(3)arcsinx＝θ とおくと、sinθ＝ｘ　ただし、-π/2≦θ≦π/2
　cosθ＝√(1-sin²θ)　より、
　cos（arcsinx）＝√（１－x＾２）

No.406 - 2008/04/20(Sun) 07:37:10

☆ (No Subject) / コジ

早い解答ありがとうございます♫♩
さっそく答え合わせしてみます。

No.415 - 2008/04/20(Sun) 19:39:41

★ (No Subject) / Φ

Σ[k=2…n]1/k(k^2-1) の値を求めよ、という問題です。
よろしくお願いします。

No.398 - 2008/04/17(Thu) 20:11:58

☆ Re: / X

与式を
Σ[k=2…n]1/{k(k^2-1)}
と見て回答します。

1/{k(k^2-1)}=1/{k(k-1)(k+1)}
∴1/{k(k^2-1)}=A/k+B/(k-1)+C/(k+1)
(A,B,Cは定数)
と変形できると仮定してA,B,Cの値を求めると
A=-1
B=C=1/2
∴Σ[k=2…n]1/{k(k^2-1)}=Σ[k=2…n]{-1/k+(1/2)/(k-1)+(1/2)/(k+1)}
=Σ[k=2…n][(1/2){1/(k-1)-1/k}-(1/2){1/k-1/(k+1)}]
=…

No.400 - 2008/04/17(Thu) 21:10:25

☆ Re: (No Subject) / hari

別解です。

目的はa[n+1] - a[n]やa[n+2] - a[n]のような形にすることなので

1/(k-1)k(k+1) = (1/2){1/(k-1)k - 1/k(k+1)}

と分解すればＯＫです。
（1/(k-1)k(k+1) = □/(k-1)k - □/k(k+1)
とまず分解し、右辺から左辺にもどせるように、□に1/2を代入します。）

あとは2からnまで足せば初項と末項のみ残ります。

No.402 - 2008/04/18(Fri) 03:40:20

★ 高１・因数分解 / 匿名

x^9+3x^6+3x^3+1を因数分解しなさい。

という問題なのですが、
これはどう解けばいいのでしょうか？

No.397 - 2008/04/17(Thu) 19:53:51

☆ Re: 高１・因数分解 / X

x^3=X
と置いてみましょう。

No.399 - 2008/04/17(Thu) 20:59:24

☆ Re: 高１・因数分解 / 匿名

Xと置いてみると
X^3+3X^2+3X+1
=(X+1)^3
=(x^3+1)^3
={(x+1)(x^2-x+1)}^3
=(x+1)^3(x^2-x+1)^3

になったのですが･･･
途中式はあっているでしょうか？

No.401 - 2008/04/17(Thu) 22:40:15

☆ Re: 高１・因数分解 / ヨッシー

途中の式も合っていますし、最終の答えも、それで良いです。

No.403 - 2008/04/18(Fri) 07:00:45

☆ Re: 高１・因数分解 / 匿名

あっていてよかったです！
どうもありがとうございました★

No.404 - 2008/04/18(Fri) 19:37:01

★ 場合の数 / コブクロ

一個のさいころをn回振って、出た目を順に記す。この中から任意の２数を取り出すとき、和が4にならない目の出方は何通りあるか。

どのように考えればいいのかわかりません。教えてください。

No.390 - 2008/04/17(Thu) 01:22:30

☆ Re: 場合の数 / X

サイコロの２つの目で和が4になる組み合わせは
{2,2}{1,3}
よって題意を満たすためにはn個の数字の中に
(i)2を2個以上含まない
(ii)1,3を同時に含まない
という条件が必要になります。
従って
(I)2が全く含まれない場合
3も含まれない場合は4^n[通り]
1も含まれない場合は4^n[通り]
1,3がいずれも含まれない場合は3^n[通り]
∴場合の数は4^n+4^n-3^n=2・4^n-3^n[通り]
(II)2が1個のみ含まれる場合
3が含まれない場合は
{1,4,5,6}
の4つの数字でできるn-1個の重複順列に2を1個割り込ませて順列を作ると考えて
{4^(n-1)}n[通り]
同様に1が含まれない場合も
{4^(n-1)}n[通り]
1,3がいずれも含まれない場合は
{3^(n-1)}n[通り]
∴場合の数は2{4^(n-1)}n-{3^(n-1)}n[通り]

(I)(II)の和を取って求める場合の数は
2・4^n-3^n+2{4^(n-1)}n-{3^(n-1)}n
=2{4^(n-1)}(n+4)-{3^(n-1)}(n+3) [通り]
となります。

No.393 - 2008/04/17(Thu) 09:37:56

★ 二次関数2 / 桜

たびたびすみません。
よろしくお願いいたします。

(1)二次関数y=3x^2-(3a-6)x+bがx=1で最小値-2をとるとき、定数a,bの値を求めよ。

(2)二次関数f(x)=ax^2+bx+cが、f(-1)=f(3)=0を満たし、その最大値が4であるとき、定数a,b,cの値を求めよ。

よろしくお願いいたします。

No.386 - 2008/04/16(Wed) 23:31:01

☆ Re: 二次関数2 / X

(1)
問題の二次関数は
y=3{x-(a-2)/2}^2+b-(3/4)(a-2)^2
となりますので
x=(a-2)/2のとき、最小値b-(3/4)(a-2)^2
を取ります。よって
(a-2)/2=1 (A)
b-(3/4)(a-2)^2=-2 (B)
(A)(B)を連立して解きます。

(2)
f(x)のx^2の係数がaでf(-1)=f(3)=0であることから
f(x)=a(x+1)(x-3) (A)
となります。
これより
f(x)=a(x^2-2x-3)
=a(x-1)^2-4a
ここでf(x)は最大値が4ですので
a<0 (B)
-4a=4 (C)
(B)(C)よりaを求め、(A)に代入して展開し、
f(x)=ax^2+bx+c
と係数を比較します。

No.389 - 2008/04/16(Wed) 23:45:00

☆ Re: 二次関数2 / 桜

ありがとうございました
とてもわかりやすかったです(^^)

No.411 - 2008/04/20(Sun) 17:06:20

★ 二次関数 / 桜

こんばんは。よろしくお願いいたします。

(1)二次関数y=2x^2+4xのグラフをx軸方向にa,y軸方向にbだけ平行移動するとx軸と2点(3,0)(7,0)で交わるという。このときa,bの値を求めよ。

(2)二次関数y=-2x^2+2ax-aの最大値Mをaの関数としてあらわせ。またこのaの関数Mは、aのどんな値に対して最小になるか。　

2問が分かりませんでした。(2)は最小になるaの値の求め方が分かりません。

よろしくお願いいたします。

No.385 - 2008/04/16(Wed) 23:23:43

☆ Re: 二次関数 / X

(1)
y=2x^2+4xのグラフをx軸方向にa,y軸方向にbだけ平行移動したときのグラフの方程式は
y-b=2(x-a)^2+4(x-a)
これが点(3,0),(7,0)を通るので
-b=2(3-a)^2+4(3-a) (A)
-b=2(7-a)^2+4(7-a) (B)
(A)(B)を連立して解きます。
(まず(A)-(B)を計算しましょう。)

No.387 - 2008/04/16(Wed) 23:34:13

☆ Re: 二次関数 / X

(2)
前半)
y=-2x^2+2ax-a
を平方完成しましょう。
後半)
前半の結果、Mはaの二次関数になりますので、aについて平方完成しましょう。

No.388 - 2008/04/16(Wed) 23:36:40

☆ Re: 二次関数 / 桜

ありがとうございました☆
おかげさまで解決いたしました！！

No.410 - 2008/04/20(Sun) 17:04:59

★ いろいろ　（入試問題かな？） / Answer

(1)２次関数　y=x^2-a のグラフ上でx座標が正の整数である点を考える。
この中にy座標が 495　のものと、699　のものがあるとき、 a　のとる値をすべて求めよ。

(2)xy平面上に定点Ａ(-1,0),B(1,0)と動点Ｐがある。
Ｐは領域 y>0　にあり、条件　∠ＰＢＡ－∠ＰＡＢ＝π/３
を満たしながら動くものとする。点Ｐのx座標が最小となるときの点Ｐの座標を求めよ。

(3)６個の数1,2,3,4,5,6から異なる4つの数を選んで並べ、4桁の自然数Nを作る。
その千、百、十、一の各位の数を順にa、b、c、dとすれば、N＝1000a+100b+10c+dであることに
注意して、次の問いに答えよ。
　１、Nが3の倍数であるための必要十分条件は、各位の数の和が3の倍数であることを示せ。
　２、が3の倍数であるとき、そのようなNの総和を求めよ。

(4)xの2次方程式 x^2+(4k-3)x+3k=0は、0aはBの小数部分に等しい。このとき、実数kを求めよ。

(5)０を原点とするxy平面上に正方形OABCがある。頂点Aは第4象限(x>0かつy<0で表される領域)
にあり、辺AB上に点(10,0)が、辺BC上に点(9,7)がそれぞれある。このとき、点A,B,Cの座標を
求めよ。

(6)n^4が3n+7の倍数となるような自然数nをすべて求めよ。

※x^2はエックスの２乗の意

一問でもいいので、解答宜しくお願いします。

No.381 - 2008/04/16(Wed) 21:42:56

☆ Re: いろいろ　（入試問題かな？） / ヨッシー

(1)
　x1²-a＝495　・・・(i)
　x2²-a＝699　・・・(ii)
であるとします。ただし、x1, x2 は正の整数。
(ii)から(i)を引いて、
　x2²－x1²＝204
　(x2－x1)(x2＋x1)＝2²×3×17
より、204 を２つの偶数の積に分解すると、
　2・102、6・34
であるので、
　x2－x1＝2、x2＋x1＝102 より、x1＝50, x2＝52　このとき a＝2005
　x2－x1＝6、x2＋x1＝34 より、x1＝14, x2＝20　このとき a＝-299

No.394 - 2008/04/17(Thu) 10:38:43

☆ Re: いろいろ　（入試問題かな？） / ヨッシー

(3)１．
N＝1000a+100b+10c+d＝(999+1)a+(99+1)b+(9+1)c+d
　＝3(333a+33b+3c)＋(a+b+c+d)
と書けるので、
Ｎが３の倍数であることと、a+b+c+d が３の倍数であることは同値である。

２．
ある３の倍数が見つかったら、その各位の数を並べ替えた
24個の数も、３の倍数です。
たとえば、1236 が３の倍数であるので、1263,1326,1362 なども３の倍数です。
これら２４個の数を足すと、
千の位には、1,2,3,6 が６回ずつ現れます。
百の位、十の位、一の位も同様で、
1,2,3,6 からなる24個の数の合計は
1000×{(1+2+3+6)×6}＋100×{(1+2+3+6)×6}＋10×{(1+2+3+6)×6}＋{(1+2+3+6)×6}
＝6666×(1+2+3+6)
で表されます。

和が３の倍数となる４つの数の選び方は
和が１２：(1,2,3,6)(1,2,4,5)
和が１５：(1,3,5,6)(2,3,4,6)
和が１８：(3,4,5,6)
であるので、求める総和は
　6666×(12+12+15+15+18)＝479952

(4)問題として成立していません。
問題文を見直してください。

No.395 - 2008/04/17(Thu) 12:26:28

☆ Re: いろいろ　（入試問題かな？） / ヨッシー

(5)
点Ｃが第１象限にあることはＢＣが(9,7)を通ることより
わかります。
点Ｄ(10,0)、点Ｅ(9,7)、点Ｆ(0,10) とします。
∠ＯＡＤ＝90°なので、点Ａは、ＯＤを直径とする円上にあり、
それを90°回転したのが点Ｃなので、点Ｃは、ＯＦを直径とする円上にあります。つまり、
　ｘ²＋ｙ(ｙ－10)＝０　・・・(i)
また、∠ＯＣＥ＝90°なので、点Ｃは、ＯＥを直径とする円上にあります。つまり、
　ｘ(ｘ－９)＋ｙ(ｙ－７)＝０　・・・(ii)
(i)(ii) の解のうち、原点以外の点が点Ｃとなります。
これを解いて、x=3, y=9
以上より、点Ａ(9,-3)、点Ｂ(12,6)、点Ｃ(3,9) となります。

No.396 - 2008/04/17(Thu) 13:40:21

★ 代数 / たもつ

2,3,5,7,…,pは素数を小さい方から並べたものとする。
(1)q=2^2×3×5…(p-1)を4で割ったときの余りは3であることを示せ。またこのことを使って、qはpより大きい4m+3の形の素数を約数として持つことを示せ。
(2)(1)を使って、4n+3の形の素数は無限にあることを示せ。

という問題です。
けんとうもつかないのでよろしくお願いします。

No.369 - 2008/04/15(Tue) 16:43:48

☆ Re: 代数 / らすかる

q=2^2×3×5…(p-1) の省略部分はどうなっているのですか？

No.370 - 2008/04/15(Tue) 18:20:06

☆ Re: 代数 / rtz

q＝2*3*5*…*p＋1なら分かるのですが、
ちょっと解せませんね。
問題文の確認をお願いします。

No.371 - 2008/04/15(Tue) 18:49:43

☆ Re: 代数 / たもつ

分かりにくくて申し訳ありません。
問題では最初に書いてあるように書いてありました。
たぶん…の部分は７＊１１＊…と小さい方からpより小さいものまで掛けていくのだと思います

No.372 - 2008/04/15(Tue) 18:59:46

☆ Re: 代数 / ヨッシー

「最初に書いてあるように」ということは、
q=2^2×3×5…(p-1)
ですよね？
2^2 が付いている時点で、４で割り切れるんですが。

それに、p=13 だと、(p-1)自体４で割り切れますね。

No.374 - 2008/04/15(Tue) 19:16:57

☆ Re: 代数 / たもつ

すいませんでした。自分の見間違いでした。
q=2^2*3*5*7…p-1という問題でpまでかけて最後に1引くというものでした。すいません。
(1)は自力で分かったのですが、(2)の証明の仕方が分かりません。よろしくお願いします。

No.375 - 2008/04/15(Tue) 23:58:43

☆ Re: 代数 / 風あざみ

たぶん、この問題の「2^2×3×5…(p-1)は」、「2^2×3×5…×p-1」の誤りなんでしょう。
出題ミスだと思います。

No.376 - 2008/04/16(Wed) 00:00:41

☆ 2番 / 風あざみ

4n+3の形の素数が有限個と仮定します。
pを4n+3の形の素数のうち最大のものとします…※
(4n+3の形の素数が有限個なら、このようなpは必ず存在します)。

(1)より2^2×3×5…×p-1はpより大きな4n+3の形の素数p'を
素因数としてもちます。
明らかにこれは※に反します。

したがって、「4n+3の形の素数が有限個」という仮定は誤りで、4n+3の形の素数が無数にあることがわかります。

No.377 - 2008/04/16(Wed) 00:06:58

☆ Re: 代数 / たもつ

>風あざみさん

すいません自分のミスでした。
丁寧な解答ありがとうございました。

No.378 - 2008/04/16(Wed) 01:17:50