ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数学?U / キョン

△ABCの重心をG,辺BCの中点をL,辺CAの中点をMとする。A(6,6),M(7,4),G(16/3,8/3)であるとき、点B,Lの座標を求めよ。

この問題が分からないので教えて下さい。宜しくお願いします。

No.5084 - 2009/02/06(Fri) 02:20:35

☆ Re: 数学?U / Bob

Ｂ（ｂ，ｘ）
Ｃ（ｃ，ｙ）とすると

重心の公式から

　（６＋ｂ＋ｃ）／３＝１６／３・・・・・?@
　（６＋ｘ＋ｙ）／３＝８／３・・・・・・?A

またＢＣの中点
Ｌはｘ座標が（ｂ＋ｃ）／２
　　ｙ座標が（ｘ＋ｙ）／２

またＣＡの中点がＭより
　　　（ｃ＋６）／２＝７・・・・?B
　　　（ｙ＋６）／２＝４・・・・?C

?@はｂ＋ｃ＝１０・・・?D
?Aはｘ＋ｙ＝２　・・・?E　となる　
?Bよりｃ＝８　?Cより　ｙ＝２
これと?D?Eをからませ　ｂ＝２　ｘ＝０

よってＬ（５，１）
　　　Ｂ（２，０）

No.5085 - 2009/02/06(Fri) 02:31:39

☆ Re: 数学?U / キョン

すごく助かりました。
有り難う御座いました。

No.5087 - 2009/02/06(Fri) 03:17:07

★ (No Subject) / ヒロ

平面上で正三角形をn段積み重ねたとき、その中に含まれる台形の総個数を求める公式はどうなりますか。教えてください。

No.5083 - 2009/02/06(Fri) 00:33:21

☆ Re: / らすかる

たぶん {10n^4+16n^3-16n^2-16n+3-3(-1)^n}/32 個

No.5086 - 2009/02/06(Fri) 03:13:25

☆ Re: / ヒロシ

> 平面上である一定の大きさの正三角形をピラミッド状にn段積み重ねたとき、その中に含まれる台形の総個数を求める公式はどうなりますか。教えてください。

No.5090 - 2009/02/06(Fri) 09:34:41

☆ Re: / らすかる

ヒロシさん＝ヒロさんですか？
「ある一定の大きさの」と「ピラミッド状に」を考慮に入れたうえで
{10n^4+16n^3-16n^2-16n+3-3(-1)^n}/32 個という答えになったのですが、
解答と違うということでしょうか？

No.5092 - 2009/02/06(Fri) 12:44:30

★ 証明 / あき

こんばんは！
続けて申し訳ありません！
http://t.upup.be/?5LsGRZrMXW
の最後の問いなのですが、はいりほうで課程して
f(x)=0が存在しないことと f(0)=1 であることから連続関数であることに矛盾するらしいのですが、なぜ連続関数ということに矛盾になるのかわかりませんでした。
どなたかご説明いただけませんでしょうか？

No.5081 - 2009/02/06(Fri) 00:18:54

☆ Re: 証明 / 七

問題が違っていると思います。

No.5088 - 2009/02/06(Fri) 06:32:29

★ 逆関数 / あき

いつもありがとうございます。
質問お願いしたいです(>_<)
http://p.upup.be/?i9x19ti3eP
は普通にxについての方程式にして解の公式を使うというのではできませんか？
そうすると答えがy=1±?富
になって答えと合わなくて…
お願いします(>_<)

No.5073 - 2009/02/05(Thu) 20:33:39

☆ Re: 逆関数 / ToDa

その課程を書いてみてください。
できれば、以前書いた物を引き写すのではなく、改めて解いた上でお願いします。

No.5074 - 2009/02/05(Thu) 20:49:54

☆ Re: 逆関数 / あき

できました！本当にお騒がせしました(|||__ __)/

No.5076 - 2009/02/05(Thu) 20:57:53

★ 連立方程式です・・。 / ゴマ

３０代の主婦です・・長年数学をしていないので
どうしても分かりません。
是非、教えてください。

ある店で、先週は商品AとBがあわせて780個売れた。
今週は、先週と比べて、Aは20%少なく、Bし10%多く売れ、
売れた個数は合わせて先週より30個少なかった。
先週の商品A、Bのうれた個数をそれぞれ求めたい。

先週の商品AとBが売れた個数をそれぞれX個、Y個とすると
X＋Y＝(ア)・・・?@
また今週のAの売れた個数をXを用いて表すと(イ)個、
Bの売れた個数をYを用いて表すと(ウ)個となるから、
(イ)＋(ウ)＝(エ)・・・?A
となる。
?@?Aの連立方程式を解いて、先週の商品Aの個数は
(オ)個、Bの売れた個数は(カ)となる。

No.5072 - 2009/02/05(Thu) 20:11:40

☆ Re: 連立方程式です・・。 / ヨッシー

(ア)・・・商品AとBがあわせて780個売れた、に基づきます。
(イ)・・・Aは20%少なく、に基づきます。
(ウ)・・・Bは10%多く、に基づきます。
(エ)・・・先週より30個少なかった、に基づきます。
?@?Aを解いて、Ｘが(オ)、Ｙが(カ)になります。

No.5078 - 2009/02/05(Thu) 23:19:43

☆ Re: 連立方程式です・・。 / ゴマ

回答を頂き有難うございます。
ただ、笑われるかもしれませんが、
私は％などの問題が苦手で
(イ)(ウ)に入る数字をどのように記入したらいいのか
分かりません。
まさか20％10％とそのまま記入するのは違いますよね？
具体的な回答をお願いいたします。

No.5096 - 2009/02/06(Fri) 21:43:01

☆ Re: 連立方程式です・・。 / ヨッシー

Ｘより２０％少ないということは、
Ｘより0.2Ｘ少ないということなので、
　Ｘ－0.2Ｘ＝0.8Ｘ
です。俗に、20%引きを８掛けと言うように、いきなり
　0.8Ｘ
としてもかまいません。

Ｙより１０％多いのは、
　Ｙ＋0.1Ｙ＝1.1Ｙ
ですね。

No.5098 - 2009/02/06(Fri) 22:54:42

★ (No Subject) / かなみ

早速ですが、お願いします

四角形ABCDにおいて、△ABDの重心をＰ、△BCDの重心をＱとする。DA→,DB→,DC→,をそれぞれa→,b→,c→とするとき、次の問いに答えよ。
(1)PQ→をa→,c→を用いて表せ。
(2)AQ→=2AP→が成り立つとき、四角形ABCDは平行四辺形になることを示せ。
(3)(2)の条件に加え、更に△BPQが正三角形のとき、∠ADCを求めよ。

No.5068 - 2009/02/05(Thu) 18:19:56

☆ Re: / ヨッシー

以下、太字はベクトルです。
(1)
ＰＱ＝ＤＱ－ＤＰであり、
ＤＱ＝(ｂ＋ｃ)/３
ＤＰ＝(ａ＋ｂ)/３
より(以下略)
(2)
ＡＱ＝ＤＱ－ａ
　＝(ｂ＋ｃ)/３－ａ
ＡＰ＝ＤＰ－ａ
　＝(ｂ－２ａ)/３
条件より
　(ｂ＋ｃ)/３－ａ＝２(ｂ－２ａ)/３
整理して
　ｂ＝ａ＋ｃ
より四角形ＡＢＣＤは、平行四辺形。
(3)
∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣなので、∠ＡＢＣについて考えます。

ＡＣの中点をＭとします。
ＡＰ：ＰＭ＝ＣＱ：ＱＭ＝２：１
ＢＰ＝ＢＱ＝ＰＡ＝ＱＣ＝２ＭＰ＝２ＭＱ
が言えます。
よって、△ＡＰＢ、△ＣＱＢは、頂角が120°の二等辺三角形となり、
図で示した、●の角はすべて30°となり
∠ＡＢＣ（＝∠ＡＤＣ）は、120°となります。

No.5079 - 2009/02/05(Thu) 23:35:05

☆ (No Subject) / かなみ

分りやすい解答ありがとうございます。
解き方も分かりスッキリしました。

No.5080 - 2009/02/06(Fri) 00:05:15

★ (No Subject) / syota

△ABCの中点をIとし、３辺BC,CA、ABに関してIto対象な点をそれぞれP,Q,Rとする。
Iは△PQRについてどのような点か？

質問の意味すら理解できません。よろしくお願いします

No.5053 - 2009/02/05(Thu) 05:47:49

☆ Re: / syota

すみません中点ではなく内心です

No.5055 - 2009/02/05(Thu) 06:20:25

☆ Re: / ヨッシー

ＩＰ，ＩＱ，ＩＲは、それぞれ、ＢＣ，ＣＡ，ＡＢに垂直で、
それぞれの中点で、ＢＣ，ＣＡ，ＡＢと交わります。
また、それらの交点は、内接円とＢＣ，ＣＡ，ＡＢとの
接点になっています。
以上より、ＩＰ，ＩＱ，ＩＲは、内接円の半径の２倍の長さであり、
　ＩＰ＝ＩＱ＝ＩＲ
であることが言えます。
よって、点Ｉは、△ＰＱＲの外心です。

No.5056 - 2009/02/05(Thu) 06:31:42

★ (No Subject) / ryo

平行四辺形ABCDにおいて、辺ADの中点をM、辺CDの中点をNとする。また線分BM,BNと対角線ACとの交点をそれぞれP,Qとする。AC＝６のとき線分PQの長さを求めよ。

お願いします。

No.5051 - 2009/02/05(Thu) 05:36:59

☆ Re: / ヨッシー

ＡＣとＢＤの交点をＯとすると、
　ＡＯ＝ＣＯかつＢＯ＝ＤＯ
点Ｐは△ＡＢＤの重心なので、ＡＰ：ＰＯ＝２：１
点Ｑは△ＢＣＤの重心なので、ＣＱ：ＱＯ＝２：１
以上より、ＡＰ＝ＰＱ＝ＱＣ　となり　ＰＱ＝２　です。

No.5052 - 2009/02/05(Thu) 05:43:39

★ 図形 / あき

こんばんは！連続して申し訳ないです(>_<)
http://u.upup.be/?Z34JQIwzON
のウのときかたを教えていただけませんでしょうか？
お願い致します(>_<)

No.5050 - 2009/02/05(Thu) 01:57:49

☆ Re: 図形 / ヨッシー

メネラウスの定理より、
　(ＢＤ/ＤＣ)(ＣＱ/ＱＡ)(ＡＰ/ＰＢ)＝１
ＢＰ＝ｘとおくと
　(２/４)(１/４)((４＋ｘ)/ｘ)＝１
よって、
　ｘ＝４/７

No.5054 - 2009/02/05(Thu) 05:56:15

☆ Re: 図形 / あき

メネラウスですか…気がつきませんでした…(＞Д＜)
ありがとうございます…

No.5069 - 2009/02/05(Thu) 19:39:37

★ 確率 / あき

こんばんは！
質問お願い致します(>_<)
http://x.upup.be/?OXOqBiWtLD
の解答がないのでときかたを教えていただけませんでしょうか？ちなみに悲しいことに問題の意味がよくわからなかったのですが…
いつもありがとうございます(>_<)すみませんがお願い致します

No.5049 - 2009/02/05(Thu) 01:56:46

☆ Re: 確率 / ヨッシー

ｎ＝２の時は、確率は
　p0,p1,p2
だけで、これが、公比1/2の等比数列、かつ合計が１(確率なので)
よって、合計は
　p0×7/4＝１
より、p0＝4/7。期待値は、
　0×p0＋1×p1＋2×p2＝4/7

これを、ｎの一般形に発展させればいいでしょう。

No.5057 - 2009/02/05(Thu) 06:46:34

☆ Re: 確率 / あき

ありがとうございます。
最後の一般化したときの期待値は
Σ[k=1～n]k*(1/2)^(k－1)*p0=2Σ[k=1～n]k/2^(k＋1)－1
となったんですが、ここからの計算ができませんでした。
教えていただけませんでしょうか？(>_<)

No.5070 - 2009/02/05(Thu) 19:59:02

★ (No Subject) / ぉぉぉ？

(logx)^2 とlogx^2
は同じですか？？？

No.5042 - 2009/02/04(Wed) 23:11:03

☆ Re: / らすかる

違います。

No.5044 - 2009/02/04(Wed) 23:52:01

☆ Re: / ヨッシー

(logx)^2 は logx × logx
logx^2 は、２×logx なので、
logx＝０または logx＝２の時は等しいですが、
その他の時は等しくありません。

ましてｘ＜０の時は、logx^2 は定義できますが、
(logx)^2 は実数の範囲では定義できません。

No.5045 - 2009/02/04(Wed) 23:52:23

★ 再掲 / Jez-z

連投してしまい、この質問を聞けなかったので再掲させてもらいます。

すべての正の実数x,yに対し√x＋√y≦k√（2x+y）が成り立つような実数kの最小値を求めよ。

--------------------------------------------------------------------------------
☆ Re: ヒントの意図が・・・ / Jez-z 引用
連投すいません。上の問題で、自分は必要条件から絞って求めた（x=1,y=4のとき成り立つことが必要）のですが、この解法を思いついたのは、この手の問題を一度経験したことがあるからであって、正しい数学的理解に基づいたものではないので、そこらへんの矛盾した思いを解消したいのですが…
この解法はどのように理解・アプローチすべきでしょうか？（上の質問とは別に考えてください）たとえば、x=1,y=1を代入しても解決しませんよね？

お願いします。

No.5041 - 2009/02/04(Wed) 22:28:25

☆ Re: 再掲 / angel

えーと、どこらへんをお悩みでしょうか。

質問内容を見た限りでは、「答えを予め知っていたから解けたけど、この方法はよろしくないのではないか」と考えているように思えますが、そうなのでしょうか。
言葉を変えると、「答えを知らない状態からでも、その方法を考えついて解けるべきである。しかしこの解法では、そうできるかどうか自信がない」と言っているように見えます。
※不等式が √x+√y≦k√(x+y) であれば、x=y の時に着目するのは敷居が低いでしょうけれど。

もしそう考えているのであれば、私は別に気にしない方が良いと思います。
重要なのは、根拠立てて示せるかどうかであって、そのとっかかりが直感であれ、経験であれ、以前見た答えであれ、問題ではないと思います。
むしろ、知っていることは何でも利用できた方が逞しくて良いと思う位です。
勿論、この解法は答えを予め知っていないと厳しいでしょうから、そういう意味で、前に豆さんが紹介されていたような、様々な解法を身につける方が本筋でしょうけれど。

こういう回答で方向性は合ってるでしょうか?

No.5047 - 2009/02/05(Thu) 00:25:49

☆ Re: 再掲 / Jez-z

angelさん、自分なりにこたえ（結論）を導くことができました＾＾ありがとうございます！

No.5095 - 2009/02/06(Fri) 18:13:55

★ よろしくお願いします / 魑魅魍魎

A,B,Cの3高校が野球の試合をする。まず２校が対戦して勝った方が残りの１校と対戦する。これを繰り返して２連勝した高校が優勝する。A校がB,C校に勝つ確率をそれぞれp,qとし、B校がC校に勝つ確率を1/2とする。次の確率を求めよ
ただし　0<p<1 0<q<1　とする

第１戦にA校とB校が対戦した場合、A校がB校に勝って優勝する確率

という問題なのですが、まず、２戦してAが優勝する確率はpqであっていますか？
答えにはqと書いてあったので何故そのようになるかわかりませんでした。
どなたかよろしくお願いします。

No.5038 - 2009/02/04(Wed) 16:29:54

☆ Re: よろしくお願いします / ヨッシー

＞A校がB校に勝って優勝する
というのは、A校がB校に勝った瞬間に優勝が決まる
の意味と思われますが、それでも、ｑにはなりませんね。

他の解釈でしょうか？

２戦してAが優勝する確率はpq は、合っています。

No.5039 - 2009/02/04(Wed) 17:54:52

☆ Re: よろしくお願いします / 魑魅魍魎

ヨッシーさん、どうもありがとうございます！！！

No.5061 - 2009/02/05(Thu) 11:29:37

★ (No Subject) / 数学・・・。

↓ミスです。
△ABCにおいて、点D、Eはそれぞれ変BC、CAの中点で、BC並行DFである。またGはADとBEの交点である。このときCE：DFを求めよ。

考え方と答えをよろしくお願いします。

No.5035 - 2009/02/04(Wed) 06:15:29

☆ Re: / ヨッシー

下の記事のように、GE：DF であれば求められますが、
CE：DF は決まりません。
GE：DF なら、△ＡＧＥと△ＡＤＦの相似比より、求めることが出来ます。

No.5036 - 2009/02/04(Wed) 06:56:58

★ 重積分 / AnND

Q.次の重積分を計算せよ。(a>0)
(1)∫(0～(π/2))∫(acosθ～a) rdrdθ
(2)∬D((r^2)sinθdrdθ D:0≦r≦2acosθ、0≦θ≦(π/2)

Q.領域D:(x^2)+(y^2)≦a^2 (a>0)で次の関数の重積分を求めよ。
(3)x^4
(4)√((a^2)-(x^2)-(y^2))

(1)を解いていくと
∫(0～(π/2))(((a^2)/2)((1-cos2θ)/2))dθ
となるのまではできたのですが、
その先がどうやって解けばいいのかわかりません。

(2)は全然わかりません。

(3)は∫(0～2π)((a^6)/6)(cosθ)^4 dθ
となりましたが、それから先がわかりません。

(4)も全然わかりません。

解き方を詳しく教えてください!!
お願いします!!

No.5031 - 2009/02/03(Tue) 23:24:08

☆ Re: 重積分 / angel

(1)は、そこまでできたのなら、後は三角関数の積分の問題。
∫cos(nθ)dθ=1/n・sin(nθ)+C
※(d/dθ)・sin(nθ) = ncos(nθ) の裏返し
という所から積分計算ができます。

(2)は、∬～dxdy = ∬～rdrdθ を活用して、x,y の形の積分に持って行きましょう。
0≦r≦2acosθ というのは、0≦r^2≦2arcosθ、つまり、x^2+y^2≦2ax と変形できることに着目しましょう。

(3)も、後は三角関数の積分。
cos(2nθ)=2(cos(nθ))^2-1 を逆に使えば、
(cos(nθ))^2 = (1+cos(2nθ))/2
これより、
(cosθ)^4
= ((cosθ)^2)^2
= 1/4・(1+cos(2θ))^2
= 1/4 + 1/2・cos(2θ)+1/4・(cos(2θ))^2
= 1/4 + 1/2・cos(2θ)+1/8・(1+cos(4θ))
= 3/8 + 1/2・cos(2θ) + 1/8・cos(4θ)
ここから先は(1)のヒントと同じこと。

(4)はやはり∬～dxdy = ∬～rdrdθの活用。
x^2+y^2=r^2 ですから、√(a^2-x^2-y^2)=(a^2-r^2)^(1/2)
ここで、f(r)=a^2-r^2 と置けば、f'(r)=-2r なので、
r√(a^2-r^2)=-1/2・f'(r)・f(r)^(1/2)
∫r√(a^2-r^2)dr
= ∫(-1/2)・f'(r)・f(r)^(1/2) dr
= (-1/2)・2/3・f(r)^(3/2) + C
という計算となります。
※(d/dr)・f(r)^n = nf'(r)・f(r)^(n-1) の裏返し

No.5032 - 2009/02/04(Wed) 01:44:52

☆ Re: 重積分 / AnND

解説ありがとうございます!!

何度も申し訳ないんですが、
(2)の｢0≦r^2≦2arcosθ、つまり、x^2+y^2≦2ax と変形できる｣というところが何故そうなるのかなのかわかりません…。

また解説してくだされば嬉しいです…。

No.5043 - 2009/02/04(Wed) 23:46:50

☆ Re: 重積分 / angel

0≦r≦2acosθ
⇔ 0・r≦r・r≦2acosθ・r
⇔ 0≦r^2≦2a・rcosθ
⇔ 0≦x^2+y^2≦2ax　( ∵r=√(x^2+y^2)、x=rcosθ )

ということです。

No.5046 - 2009/02/05(Thu) 00:03:00

☆ Re: 重積分 / AnND

やっと理解できました！
ありがとうございます！

No.5135 - 2009/02/09(Mon) 23:08:26

★ 中１方程式の文章問題 / かず

姉と弟は同じ時刻に家を出て、姉は自転車で分速２００ｍ、弟は徒歩で分速６０ｍで同じ道を進みました。
(１)家を出てから１０分後には、姉は弟より何ｍ先にいます　　か。
(２)家を出てから１２分後に、姉はｘ分間休憩しました。姉が再び走り出そうとしたとき、弟は姉が自転車で走った道のりのちょうど１／２のところにいました。ｘについての方程式を作りなさい。

この２問のとき方を教えてください。お願いします。

No.5030 - 2009/02/03(Tue) 21:18:31

☆ Re: 中１方程式の文章問題 / ヨッシー

道のり＝速さ×時間　ですから、
(1)
姉の進んだ距離：200×10＝2000
弟の進んだ距離：60×10＝600
(2)
姉が進んだのは12分間なので、道のりは
　200×12＝2400
弟が進んだのは12＋ｘ分なので、道のりは
　60×(12+x)
これが姉の道のりの 1/2 になるので、(以下略)

No.5037 - 2009/02/04(Wed) 09:29:15

★ 小学６年・難問プリントから・・・ / ミサ

8分でピッタリ燃えつきるお線香が、３本あります。
このお線香に火をつけて、7分を計りなさい。

これは普通に燃やしたら多分できないと思うので、両端から燃やすことを考えたのですができませんでした。
分かったら教えてください。よろしくお願いします。

No.5026 - 2009/02/03(Tue) 18:33:54

☆ Re: 小学６年・難問プリントから・・・ / rtz

A、Bは一方に、Cは両方に火。
→4分後：C終、Bのもう一方に火。
→6分後：B終、Aのもう一方に火。
→7分後：A終。

No.5027 - 2009/02/03(Tue) 18:47:51

☆ Re: 小学６年・難問プリントから・・・ / ミサ

わーありがとうございます。
本当になりました！

No.5028 - 2009/02/03(Tue) 19:09:02