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★ (No Subject) / お願いします�ｫ
1＋1/3＋1/5＋… ＋1/2n＋1>1/2log(2n＋3) を積分を用いて証明せよ No.5425 - 2009/03/15(Sun) 18:22:05 ☆ Re: / ヨッシー 両辺２を掛けて 　2{1＋1/3＋1/5＋…＋1/(2n＋1)}＞log(2n＋3) を示すことにします。 図のように、y＝1/x を考えると、 図の長方形は 　2{1＋1/3＋1/5＋…＋1/(2n＋1)} を表します。 一方、図の斜線部は、y＝1/x を、１から2n＋3 まで積分したものなので、 　∫1〜2n+3(1/x)dx＝[logｘ]1〜2n+3 　　＝log(2n+3) 斜線部の面積の方が、長方形の合計の面積より小さいので、 　2{1＋1/3＋1/5＋…＋1/(2n＋1)}＞log(2n＋3) が成り立ちます。 No.5426 - 2009/03/15(Sun) 22:18:13

★ 軌跡 / ユウ

2定点をＡ(0,4),Ｂ(4,0)とし、点Ｐが円x^2+y^2=4上を動くとき、△ＡＢＰの重心Ｇの軌跡を求めよ。 この問題が分からないので教えてください。宜しくお願いします。 No.5421 - 2009/03/15(Sun) 16:39:10 ☆ Re: 軌跡 / 高1 こんばんわ。僕で良ければと思って解いたので僕の解答は無視されても構いません。 （解答）点P(s,t)とおく。点Pはx^2+y^2=4上にあるので s^2+t^2=4---?@が得られる。また、重心G(x,y)とおく。ここがポイントなのですが三角形の重心は3つの座標を足して3で割る事で求められます。よってG( (0+4+s)/3,(4+0+t)/3 )とおける。x=(4+s)/3 y=(4+t)/3 となるので、s=3x-4 t=3y-4 これらの値を?@に代入して整理すれば軌跡が求められます。 よって点Gはその軌跡上にあり逆にその軌跡上の任意の点は条件を満たします。点Pは直線AB上にない事を調べればこの事が言えますよ。何故、直線AB上に点Pがない事を調べるのかと言えば、それはもし3点ABPが一直線上にあったら三角形が成立しないからです。 No.5424 - 2009/03/15(Sun) 17:48:25 ☆ Re: 軌跡 / ヨッシー 高1 さんの方針でいいと思いますよ。 ＞点Pは直線AB上にない事を調べれば は、「調べれば」というより「示せば」の方が良いですね。 No.5431 - 2009/03/16(Mon) 18:37:57

★ (No Subject) / syo
0 < a <b のとき、a^2 < 3a^2 + 2b^2 / 5 <b^2 を証明して下さい。　わかりません。 No.5418 - 2009/03/12(Thu) 23:38:29 ☆ Re: / のぼりん こんばんは。 「a^2 ＜ 3a^2 + 2b^2 / 5 ＜b^2」は、ａ２＜（３ａ２＋２ｂ２）/５＜ｂ２ の意味ですね。 　　　（３ａ２＋２ｂ２）/５−ａ２＝２（ｂ２−ａ２）/５＞０ 　　　ｂ２−（３ａ２＋２ｂ２）/５＝３（ｂ２−ａ２）/５＞０ です。 No.5419 - 2009/03/13(Fri) 00:25:43 ☆ Re: / らすかる 別解です a^2=(3a^2+2a^2)/5＜(3a^2+2b^2)/5＜(3b^2+2b^2)/5=b^2 No.5420 - 2009/03/13(Fri) 16:45:50

★ 円の中に3つの三角形を描くには… / くみ

分度器を使わずコンパスと定規だけを使って、円の中に三つの三角形を等間隔に描くことはできますか？ No.5413 - 2009/03/10(Tue) 16:47:31 ☆ Re: 円の中に3つの三角形を描くには… / ヨッシー こんなのでいいんですか？ No.5414 - 2009/03/10(Tue) 18:12:24 ☆ Re: 円の中に3つの三角形を描くには… / くみ ハハハ…すみません。質問って難しいですね。 正九角形を、頂点が円に接するように、コンパスと定規だけを使って描くことはできますか？ で、伝わったてでしょうか。 折り紙を使うと、できるのですね？ No.5415 - 2009/03/10(Tue) 19:30:41 ☆ Re: 円の中に3つの三角形を描くには… / のぼりん こんばんは。 横から失礼します。 正 ｎ 多角形がコンパスと定規だけを使って作図可能であるための必要十分条件は、ｎ が 　　　ｎ＝２ｒｐ１…ｐｓ と表されることです。 ここで、ｒ、ｓ は非負整数、ｐ１、…、ｐｓ は 　　　ｐｉ＝２２ｒｉ＋１　（ｒｉ は非負整数） の形の奇素数です。 抑も正九角形が作図できないので、況してや内接正九角形は不可能ですね。 この定理は、ガウスが始めて証明したそうで、ガロア理論をご存じならそう難しくなく証明できます。 この定理を使わないとすると、内接正九角形が作図できれば、３６０°÷９＝４０°が作図できますが、４０°は作図できませんよね。 No.5416 - 2009/03/10(Tue) 21:38:53

★ 中学の立体図形について / hiro

ベクトルは無しでお願いします 正四角錐o-abcdについてoa, ob,oc,od,各辺にそれぞれ op:oaがa:1,oq:obがb:1,or:ocがc:1,os:odがd:1 となるような点p,q,r,sを取ったときa,b,c,dの関係式を出せ 平面pqrsで切断して、oから平面abcdに垂線を引き 平面oac,obdを見て考えたのですが、この先が見えません よろしくお願いします。 No.5406 - 2009/03/08(Sun) 10:31:28 ☆ Re: 中学の立体図形について / 七 > ベクトルは無しでお願いします > > 正四角錐o-abcdについてoa, > ob,oc,od,各辺にそれぞれ > op:oaがa:1,oq:obがb:1,or:ocがc:1,os:odがd:1 となるような点p,q,r,sを取ったときa,b,c,dの関係式を出せ > > 平面pqrsで切断して、oから平面abcdに垂線を引き > 平面oac,obdを見て考えたのですが、この先が見えません > よろしくお願いします。 関係はないように思います。問題文は正確ですか？ あと，大文字は使えないのですか？ No.5407 - 2009/03/08(Sun) 12:48:39 ☆ Re: 中学の立体図形について / hiro すいません比率以外はすべて大文字と考えてください。 また問題についてはあっているかどうか解りませんが 1/a+1/c＝1/b+1/d という式が何個かの全ての正四角錐に共通して見られたのですがどうでしょう？ No.5408 - 2009/03/08(Sun) 14:57:28 ☆ Re: 中学の立体図形について / 七 > 1/a+1/c＝1/b+1/d なぜこうなるのかさっぱり分かりません。 大事な部分が抜けているように思います。 問題文が正しいなら 平面PQRSが出来るとは思えません。 No.5409 - 2009/03/08(Sun) 15:34:21 ☆ Re: 中学の立体図形について / hiro 申し訳ありません。 正しくは問題文の最後にかっこ書きで ただし平面ＰＱＲＳはこの正四角錐を切断できるものとする。 と、あります。 理解が浅くてすみませんこれで大丈夫でしょうか？ No.5410 - 2009/03/08(Sun) 16:28:51 ☆ Re: 中学の立体図形について / ヨッシー △ＯＡＣにおいて、ＡＣの中点をＭ、ＯＭとＰＲの交点をＴとし、 Ｍを原点として、Ａ(-1,0)、Ｃ(1,0)、Ｏ(0,h) とすると、 Ｐ(-a, (1-a)h)、Ｒ(c, (1-c)h) となり、ＰＲとｙ軸ＭＯとの 交点Ｔは、(0, h-2ach/(a+c)) △ＯＢＤについて同様に考えると、点Ｔの座標は 　(0, h-2bdh/(b+d)) この２点は同じ点なので、 　h-2ach/(a+c)＝h-2bdh/(b+d) より、 　ac/(a+c)＝bd/(b+d) となり、 1/a+1/c＝1/b+1/d　は確かに成り立ちます。 No.5412 - 2009/03/09(Mon) 02:04:09

★ 三角形の面積比？ / 雪人

中3だと思います。 三角形ABCの内部に点Pをとり、直線APと辺BCの交点をD、BPとACの交点をE、CPとABの交点をFとする。 また、△PEF=5、△PFD=8、△PDE=9とする。 このとき、△ABCの面積を求めよ。 チェバの定理が関係しているのかと考えましたが、よくわかりませんでした。 よろしくお願いします。 No.5404 - 2009/03/07(Sat) 23:09:26 ☆ Re: 三角形の面積比？ / roro 参考です。 チェバ・メネラウスの定理(＋α)より、 ＡＦ：ＦＢ＝b：a，ＢＤ：ＤＣ＝c：b，ＣＥ：ＥＡ＝a：b　として ?@△ＰＥＦ＝△ＡＢＣ＊{abc}/{(a＋b)(c＋a)(a＋b＋c)}＝5 ?A△ＰＦＤ＝△ＡＢＣ＊{abc}/{(b＋c)(a＋b)(a＋b＋c)}＝8 ?B△ＰＤＥ＝△ＡＢＣ＊{abc}/{(c＋a)(b＋c)(a＋b＋c)}＝9 以上から …5/(b＋c)＝8/(c＋a)＝9/(a＋b)で、これを、1/k　として …b＋c＝5k，c＋a＝8k，a＋b＝9k これより、a＋b＋c＝11k　で …a＝6k，b＝3k，c＝2k よって、?@?A?Bより △ＡＢＣ＊{(6k)(3k)(2k)}/{(9k)(8k)(11k)}＝5　で、△ＡＢＣ＝110 △ＡＢＣ＊{(6k)(3k)(2k)}/{(5k)(9k)(11k)}＝8　で、△ＡＢＣ＝110 △ＡＢＣ＊{(6k)(3k)(2k)}/{(8k)(5k)(11k)}＝9　で、△ＡＢＣ＝110 No.5405 - 2009/03/08(Sun) 01:46:53 ☆ Re: 三角形の面積比？ / 雪人 > 参考です。 > チェバ・メネラウスの定理(＋α)より、 > ＡＦ：ＦＢ＝b：a，ＢＤ：ＤＣ＝c：b，ＣＥ：ＥＡ＝a：b　として > ?@△ＰＥＦ＝△ＡＢＣ＊{abc}/{(a＋b)(c＋a)(a＋b＋c)}＝5 > ?A△ＰＦＤ＝△ＡＢＣ＊{abc}/{(b＋c)(a＋b)(a＋b＋c)}＝8 > ?B△ＰＤＥ＝△ＡＢＣ＊{abc}/{(c＋a)(b＋c)(a＋b＋c)}＝9 > 以上から > …5/(b＋c)＝8/(c＋a)＝9/(a＋b)で、これを、1/k　として > …b＋c＝5k，c＋a＝8k，a＋b＝9k > これより、a＋b＋c＝11k　で > …a＝6k，b＝3k，c＝2k > よって、?@?A?Bより > △ＡＢＣ＊{(6k)(3k)(2k)}/{(9k)(8k)(11k)}＝5　で、△ＡＢＣ＝110 > △ＡＢＣ＊{(6k)(3k)(2k)}/{(5k)(9k)(11k)}＝8　で、△ＡＢＣ＝110 > △ＡＢＣ＊{(6k)(3k)(2k)}/{(8k)(5k)(11k)}＝9　で、△ＡＢＣ＝110 なるほど…。 やっとわかりました。 ありがとうございました。 No.5411 - 2009/03/08(Sun) 20:51:42

★ 二次方程式 / Kay(高1女子)

〔問題〕 ａを定数とし、ｘの二次方程式 x^2+ax+a+15=0・・・?@ のすべての解が、x^2-2x+2a+9=0・・・?A の解となるとする。 このとき、ａの値を求めよ。また、?Aの解を求めよ。 上の問題が分かりません。よろしくお願いします。 以下の２つの考え方で、トライしてみたのですが、いずれも 上手くいきませんでした。 （１）?@と?Aの解をそれぞれ、解の方程式で求める方法 　　　解の組合せは４つなので、それぞれ場合分けして求めよう 　　　というやり方です。 （２）解と係数の関係を用いて連立方程式を立てて求める方法 　　　これも場合分けするやり方です。 どうかよろしくお願いします。 　　　　 No.5401 - 2009/03/07(Sat) 17:00:33 ☆ Re: 二次方程式 / rtz x2＋ax＋a＋15＝0の全ての解がx2−2x＋2a＋9＝0の解である ⇔[ x2＋ax＋a＋15＝0の相異なる2つの実数解がともにx2−2x＋2a＋9＝0の解である ] または [ x2＋ax＋a＋15＝0が重解を持ち、それがx2−2x＋2a＋9＝0の解である ] ⇔[ a＝-2 かつ a＋15＝2a＋9 ] または [ …… ] No.5402 - 2009/03/07(Sat) 18:12:30

★ 中学の立体図形 / tatuya
立方体を平面で切ったとき切り口が正五角形にならないことを証明せよ。 まったく手が出ません よろしくお願いします No.5400 - 2009/03/07(Sat) 16:53:57 ☆ Re: 中学の立体図形 / DANDY　U 立方体の面は３組の平行な面からなります。五角形の辺は５本あり、それらは６つの面上にあるので、どれかの２辺は平行な対面上に無ければなりません。 立体を平面で切断するとき、平行な面上の切断面の辺は必ず平行になります。 ところが正五角形には平行な辺が無いので、切断面が正五角形になることはありません。 No.5403 - 2009/03/07(Sat) 18:23:41

★ 高2のベクトル / teru

↑PA+2↑PB+3↑PC＝k↑AB （kは実数とする）を満たすとき （1）k=0のとき点Pの位置を求めよ （2）kが実数全体を動くとき、点Pの軌跡を求めよ （3）点Pが三角形ABCの内部にあるようなkの範囲を求めよ ベクトルは苦手なのでどうかお願いします No.5396 - 2009/03/07(Sat) 03:30:13 ☆ Re: 高2のベクトル / ヨッシー 太字はベクトルです。 ｂ＝ＡＢ, ｃ＝ＡＣ, ｐ＝ＡＰ とおきます。 (1) (左辺)＝−ｐ＋2(ｂ−ｐ)＋3(ｃ−ｐ) 　＝2ｂ＋3ｃ−6ｐ＝０ より、 　ｐ＝(2ｂ＋3ｃ)/6 　　＝(5/6)(2ｂ＋3ｃ)/5 ＢＣを３：２に内分する点をＱとすると、 　ｐ＝(5/6)ＡＱ となるので、点Ｐは、ＡＱを５：１に内分する点。 (2) (左辺)＝2ｂ＋3ｃ−6ｐ＝ｋｂ より、ｋ＝０ のときのＰをＰ0、ＡＰ0＝ｐ0 とすると、 　ｐ＝ｐ0−(k/6)ｂ よって、点Ｐは、点Ｐ0 を通り、ＡＢに平行な 直線となります。 (3) 　ｐ＝{(2-k)ｂ＋3ｃ}/6 より、点Ｐが図のＲの位置にあるとき、ｂとｃの係数の和が１になるので、 　(2-k)＋３＝６ 　ｋ＝−１ 点Ｐが図のＳの位置にあるとき、ｂの係数が０になるので 　２−ｋ＝０ 　ｋ＝２ ｋがこれらの間にあるとき、点Ｐは三角形ＡＢＣの内部にあります。 　−１＜ｋ＜２ No.5398 - 2009/03/07(Sat) 08:39:12

★ (No Subject) / syo
次の等式がx,yについての恒等式となるように、定数a,b,cの値を定めて下さい。 ?@ x^2 + y^2 = a(x+y)^2 + b(x-y)^2 ?A xy = a(x+y)^2 + b(x-y)^2 ?B x^2 + axy + bx - 2y + 2 = (x-1)(x+2y+c) わかりません。　お願いします！ No.5394 - 2009/03/07(Sat) 01:10:44 ☆ Re: / ヨッシー (1)展開して 　ｘ2＋ｙ2＝(a+b)ｘ2＋2(a-b)ｘｙ＋(a+b)ｙ2 係数比較して、 　ａ＋ｂ＝１　・・・ｘ2 および ｙ2 の係数 　ａ−ｂ＝０　・・・ｘｙの係数 よって、ａ＝ｂ＝1/2 (2)(3) だいたい同じ考え方です。 No.5395 - 2009/03/07(Sat) 01:42:37

★ 誕生日一致の確立 / 28

中学三年生です ２４のクラスの中で、誕生日が同じ人が複数いる確立はどれだけですか？ 閏年を考えたときの回答を知りたいです 考えないときの解法はわかったのですが・・・ お願いします No.5392 - 2009/03/06(Fri) 20:50:45 ☆ Re: 誕生日一致の確立 / ヨッシー 無作為に２４人いるのと違って、クラスと言うからには、 同じ学年の人が、２４人いると考えるべきでしょう。 そして、その学年の人たちの年（年度）が、２月２９日を 含むかどうかが、明らかな場合は、３６５日で考えたのと 同じ考え方で出来ます。 どの年なのかは、同じ確からしさである場合、 　(3/4)×(365日で考えた確率)＋(1/4)×(366日で考えた確率) となります。 No.5393 - 2009/03/07(Sat) 00:26:29 ☆ Re: 誕生日一致の確立 / らすかる 重箱の隅をつつくような話で恐縮ですが、閏年は4年に1回ではなく400年に97回ですので 　(303/400)×(365日で考えた確率)＋(97/400)×(366日で考えた確率) となりますね。 No.5397 - 2009/03/07(Sat) 07:20:46 ☆ Re: 誕生日一致の確立 / ヨッシー あ、ごもっとも。(^^: No.5399 - 2009/03/07(Sat) 13:20:48 ☆ Re: 誕生日一致の確立 / 28 大変遅い返事になってすみませんm(_ _)m 高校入試間近のためPC禁止令が出され、今日ようやく解放されました。 よくわかりました。 では、オバマ(代44代)までの大統領ので、誕生日が同じ人が複数いる確立はどれだけなのでしょうか？←元々ききたかったのはこれ 閏年は400年に97回ではなく、単純に4年に1回と考えていただいておｋです。 No.5422 - 2009/03/15(Sun) 16:47:54 ☆ Re: 誕生日一致の確立 / 28 すんません　誤字多すぎますね。。。 No.5423 - 2009/03/15(Sun) 16:49:13 ☆ Re: 誕生日一致の確立 / らすかる そうなるともはや数学の問題ではありませんね。 (1) 過去の人ですから誕生日は決定しており、調べることで確率は0か1に決定します。 　　※11代大統領と29代大統領が同じ11月2日生まれ、22代大統領と24代大統領が 　　　同じ3月18日生まれですが、22代大統領と24代大統領は同一人物ですから 　　　これを一人と考えれば確率は0です。 (2) 同一人物が複数回大統領になることがありますので、44代大統領までに何人いるかは 　調べないとわかりません（数学的には計算できません）。 　　※実際は22代大統領と24代大統領が同一人物で他はすべて異なりますので43人です。 (3) 実際に「4年に1回」というルールから外れる1800年生まれ、1900年生まれの人が 　いる可能性がありますので、「4年に1回閏年」と考えるのは不十分です。 　　数学的には閏年がないものと考えても確率はほとんど変わりませんので、 　正確に出すならすべて正確にしないと意味がありませんし、 　大雑把で良いなら閏年を考える必要もありません。 　　※実際、13代大統領は1800年生まれです。 (4) 昔は現行のグレゴリオ暦が使われていませんでしたので、正確に求めるのであれば 　その点も考慮する必要があります。 　　※実際、初代〜4代大統領が生まれた時はグレゴリオ暦でなくユリウス暦であり、 　　　1752年9月14日の改暦で日付がずれています。1752年は9月3日から9月13日までの 　　　11日間が存在しませんでした（9月2日の次の日が9月14日でした）。 No.5427 - 2009/03/16(Mon) 10:04:58 ☆ Re: 誕生日一致の確立 / 28 誤字脱字も見落としている点も多すぎますね・・・ 返信を見て考えた結果、 (97/400)*(366日で考えた結果)+(303/400)*(365日で考えた結果)ですね で、世論調査のように、無作為に選ばれた１０人の場合を考える場合 (97/400)*{1-(365*364*363*362*361*360*359*358*357)/366^9}+ (303/400)*{1-(364*363*362*361*360*359*358*357*356)/365^9} =0.0293131293+0.0877111333 =0.117024263 →約12% ということですね No.5432 - 2009/03/16(Mon) 19:06:43 ☆ Re: 誕生日一致の確立 / 28 > 誤字脱字も見落としている点も多すぎますね・・・ > 返信を見て考えた結果、 > (97/400)*(366日で考えた結果)+(303/400)*(365日で考えた結果)ですね > > で、世論調査のように、無作為に選ばれた１０人の場合を考える場合 > (97/400)*{1-(365*364*363*362*361*360*359*358*357)/366^9}+ > (303/400)*{1-(364*363*362*361*360*359*358*357*356)/365^9} > =0.0293131293+0.0877111333 > =0.117024263 > →約12% ということですね Google電卓機能による No.5433 - 2009/03/16(Mon) 19:14:20 ☆ Re: 誕生日一致の確立 / らすかる ＞(97/400)*(366日で考えた結果)+(303/400)*(365日で考えた結果) この式は、「全員が同じ１年間に生まれた場合」という前提がある場合の式です。 年代がバラバラの場合は、2月29日生まれの人を含む場合と含まない場合で 場合分けして計算してから加算する必要があると思います。 No.5439 - 2009/03/17(Tue) 00:06:21

★ (No Subject) / ヒロ
No5386「らすかる」さんのご回答に関連し、もし、問題が以下のように一般化のケースでは答えは、どのように表現したらよいのか教えてください。「ｍ種類の色の玉を各ｎ個ずつ、円形に並べる時の場合の数はいくつか。ただし、回転させると同じ並びになるものは同一のものとみなす。」 No.5389 - 2009/03/05(Thu) 15:08:50 ☆ Re: / らすかる 基本的にnの約数ごとに計算しなければなりませんので 簡潔な式で表すのは難しいと思いますが、 もう少し一般化された問題の解答が↓こちらにあります。 http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/report/enjun.pdf No.5391 - 2009/03/05(Thu) 21:48:15

★ ランダムウォークの原点からの距離 / たけし

x軸上でのランダムウォークを考えます。５０％の確率で右に１，５０％の確率で左に１進むとしてｎ回目の原点からの距離がルート（２ｎ）≒ルート（ｎ）に近いのはなぜでしょうか？ 分散や標準偏差が関係しているのでしょうか？ 厳密な数学的理屈ではなく，アバウトな説明の方がありがたいです。 No.5384 - 2009/03/04(Wed) 22:42:19 ☆ Re: ランダムウォークの原点からの距離 / ヨッシー ＞ｎ回目の原点からの距離 ｎ回目の何と原点からの距離 でしょうか？また、 ＞ルート（２ｎ）≒ルート（ｎ） はどういうことでしょう？ 　√(2n) と √ｎ は、＝ でも ≒ でもないですね。 No.5388 - 2009/03/05(Thu) 09:19:24 ☆ Re: ランダムウォークの原点からの距離 / たけし 申し訳ありません。ｎ回目の試行の結果の位置と原点からの距離です。また，ルート（２ｎ）≒ルートｎとはｎが大きければルート（２ｎ）≒ルートｎとみてよいだろうという意味です。 これは文献で読んだのですが，ｎ回目の試行の結果の位置と原点からの距離はルート（２ｎ）になるそうなんです。しかしその導出過程が全く書かれておらず，別の文献では，ルートｎだったり。←こちらも導出過程なし。 よろしくお願いします。 No.5390 - 2009/03/05(Thu) 21:33:01

★ 場合の数 / ヒロ

赤、黄、青の3種類の玉が各3個ずつあり、それらを円形に並べる場合の数の求め方を教えてください。ただし、回転させると同じ並びになるものは同一のものとみなします。 No.5383 - 2009/03/04(Wed) 16:30:28 ☆ Re: 場合の数 / ヨッシー 赤に着目すると、図のように７通りの位置があります。 残りの６個の白に青、黄を置く並べ方は 　6Ｃ3×3Ｃ3＝20(通り) ずつあります。 (1)(4) は、赤が線対称なので、ひっくり返しても新しい 並べ方は出来ません。 (2)(3)(5)(6) は、ひっくり返すと新しい並べ方になります。 (7) は、 この２通りは、回転しても自分自身になるだけですが、 残りの18通りは、3つずつ同じものがあります。 以上より 　20×2＋20×4×2＋2＋6＝208(通り) No.5385 - 2009/03/05(Thu) 07:15:53 ☆ Re: 場合の数 / らすかる 全部の玉を一列に並べる方法は 9!/(3!3!3!)=1680通り このうち3個ずつ同じ色が繰り返すのは3!=6通り 輪にしたとき、3個ずつ同じ色が繰り返す並び方は上で3倍数えていて 他の並び方は9倍数えているから、 (1680-6)/9+6/3=188通り ヨッシーさんの回答は、(5)も線対称であることを見落としています。 No.5386 - 2009/03/05(Thu) 09:03:31 ☆ Re: 場合の数 / ヨッシー あ、そうですね。 20×3＋20×3×2＋2＋6＝188(通り) です。 ご指摘ありがとうございます。 No.5387 - 2009/03/05(Thu) 09:09:29

★ 軌跡の問題です / 高1

点A(1,-1) B(2,1)がある。放物線:y=x^2+ax+2 がこの線分ABと共有点を持つとき放物線の頂点（X,Y)はどんな図形を描くか。という問題で僕は、 条件を満たすには(i)共有点が1個のとき 1+a+2≧-1かつ4+2a+2≦1⇔a≧-4かつa≦-5/2 よって-4≦a≦-5/2 (ii)共有点が2個のとき　この値は存在しない。 又、y=x^2+ax+2=(x+a/2)^2 + 2 -a^2/4 頂点P(x,y)とおく。 x=-a/2 y=2 -a^2/4 整理してy=-x^2+2 -4≦a≦-5/2 より 5≦x≦8　以上より点Pはy=-x^2+2(5≦x≦8の範囲）上にあり逆にこの範囲の任意の点は条件を満たす。 求める軌跡はy=-x^2+2(5≦x≦8の範囲） と解答したのですが、(ii)共有点が2個のとき　この値は存在しない。の所に線が引かれこの部分の証明は如何に？と書かれ×をもらってしまいました。 感覚的に（というかグラフを書いて視覚的に）存在しないと思ったのですが、証明をしないと駄目みたいです。証明の方法を教えてください。お願いします。 No.5361 - 2009/03/01(Sun) 11:02:48 ☆ Re: 軌跡の問題です / にょろ 直線ABはy=2x-3ですので これが放物線と異なる二つの共有点を持つためには 方程式x^2+ax+2-(2x-3)=x^2+(a-2)x+5=0の判別式D>0となればよいのですが… その点が線分ABに入っているか…（いないのでしょうね） 入っていなければそれで終わりです No.5363 - 2009/03/01(Sun) 14:27:33 ☆ Re: 軌跡の問題です / 高１ 回答有難う御座います。 にょろさんの線で考えていくとD=a^2-4a-16>0より a<2-2√5.a>2+2√5-?@が導けます。そこで、x^2+(a-2)x+5=0の解x= -a+2±√(a^2-4a+16)/2であり、条件よりこの2つの解の内小さい方が1以上、大きいほうが2以下になれば良い。よって 1≦-a+2-√(a^2-4a+16)/2かつ2≦-a+2+√(a^2-4a+16)/2 これを満たすaの範囲と先程の?@のaの範囲を比べて両者の共通範囲がなければ、(ii)共有点が2個のとき　この値は存在しない。の証明になるのでしょうか？ご回答宜しくお願いします。 No.5366 - 2009/03/01(Sun) 15:25:40 ☆ Re: 軌跡の問題です / 高1 質問の仕方が不適切だったでしょうか？ まず、にょろさん本当に有難う御座いました。私の瑣末な問題に時間を割いてくださいまして。 そこで、にょろさんの解説を参考に考えた方針が上記になりました。この方針に誤りがありでしょうか？自分ではその誤りに気づかないので、ご指摘よろしくお願い致します。 上記の方法ではaの範囲がうまく出てこないのです。 No.5376 - 2009/03/02(Mon) 12:33:25 ☆ Re: 軌跡の問題です / angel 「2次方程式 f(x)=0 ( y=f(x)は下に凸 ) が α≦x≦β の間に解を持つ」というのは、グラフを描いてみると、以下のパターンに分かれます。 　1. x=αもしくはx=βが解(重解でない) … f(α)f(β)=0 かつ、判別式≠0 　2. x=αもしくはx=βが重解 … f(α)f(β)=0 かつ、判別式=0 　3. α＜x＜βに1解(重解でない)のみ … f(α)f(β)<0 　4. α＜x＜βに重解 … 判別式=0 かつ 軸が α＜x＜βの範囲 　5. α＜x＜βに2解 … 判別式>0 かつ 軸が α＜x＜βの範囲 かつ f(α)>0 かつ f(β)>0 実際に計算のしやすさを考えると、 　1〜3：f(α)f(β)≦0 　4,5：判別式≧0 かつ 軸が α＜x＜βの範囲 かつ f(α)>0 かつ f(β)>0 の2パターンにまとめるのが良いでしょう。 No.5377 - 2009/03/02(Mon) 15:55:16 ☆ Re: 軌跡の問題です / にょろ ごめんなさい 投稿したと思ったのですが投稿ボタンを押し忘れていたようです… 問題の意図を二つの共有点と間違えてるし… なので少しでも… というわけでangelさんの投稿のグラフ例です ここでは1<x<-1の範囲ですが 1→青 2→緑 3→赤 4→紫 5→黄 のグラフです。 参考になりましたか…？ このようになるaが存在しないことを証明していってください No.5378 - 2009/03/02(Mon) 21:35:44 ☆ Re: 軌跡の問題です / 高1 今更になっての返信申し訳ありません。 にょろさんがお怒りでなかったのは何よりです。 おかげ様で数学200点をとることができました。 No.5417 - 2009/03/12(Thu) 19:11:56

★ 文章題 / りんご

小5です。教えてください。 みかんを12個以上買うと2割引きにしてくれる八百屋で、みかん６個とカキ3個を買うと1140円、みかん15個とカキ4個を買うと1880円です。 カキ1個はいくらですか。 カキ１個は200円になったのですが、解き方が自信ありません。（当てはめで求めてしまったので） よろしくお願いします。 No.5360 - 2009/03/01(Sun) 11:02:41 ☆ Re: 文章題 / BossF 2割引きのみかん15個＝割引なしのみかん12個　で考えたらどうでしょう 値引きがないと みかん６個とカキ3個を買うと1140円 みかん12個とカキ4個を買うと1880円 これで、簡単でしょう No.5362 - 2009/03/01(Sun) 13:09:41 ☆ Re: 文章題 / rtz ＞BossFさん みかん"だけ"値引きすることは普通しないと思いますが…。 2割引して1880円ですから、本来払うはずの値段を出してください。 あとはいつもと同じです。 No.5364 - 2009/03/01(Sun) 14:46:50 ☆ Re: 文章題 / ヨッシー >みかんを12個以上買うとみかんを2割引きにしてくれる八百屋 という、解釈で良いと思います。 でないと、答えが整数で出ないはず。 No.5367 - 2009/03/01(Sun) 16:39:18 ☆ Re: 文章題 / rtz ＞ヨッシーさん 確かにカキが1000/7円になってしまいますね。 BossFさん失礼しました m(_ _)m No.5368 - 2009/03/01(Sun) 17:01:01 ☆ Re: 文章題 / りんご ありがとうございました。 よくわかりました。 No.5373 - 2009/03/01(Sun) 23:44:52

★ (No Subject) / ゆう

酸化還元反応の問題です。 銅と希硝酸の反応の化学反応式を記せ。 という問題なのですが、銅の式と希硝酸の式からe-を消去して1つの式にするところまでは分かったのですがその後がよく分からないので教えてください! お願いします! No.5359 - 2009/03/01(Sun) 10:31:12 ☆ Re: / rtz ？ 1つの式にしたら終わりでは？ 具体的にやった手順を書いてください。 No.5365 - 2009/03/01(Sun) 14:51:21 ☆ Re: (No Subject) / ゆう 3Cu+2HNO3+6H+→3Cu(2+)+4H2O+2NO となるところまでは分かるのですがそれをどうしてどうやったら答えの 3Cu+8HNO3→3Cu(NO3)2+4H2O+2NO になるのかがよく分からなくて… No.5369 - 2009/03/01(Sun) 19:32:52 ☆ Re: / rtz 両辺共に6NO3-を加えれば終わりです。 ちなみに左辺は水由来にはなりません。 本来イオン化傾向はH+＞Cuであり、 Cu＋2H+←Cu2+＋H2 左に寄るはずです。 それを(希硝)酸の力で反対に押し戻すわけです。 No.5371 - 2009/03/01(Sun) 21:37:25 ☆ Re: (No Subject) / ゆう ありがとうございます!でもなぜ6NO3を加えるのですか?理解力がなくて本当にすいません。 No.5372 - 2009/03/01(Sun) 23:28:45 ☆ Re: / rtz あぁ、そこからでしたか。 6H+ですから、 どこかからH+を調達してこなければならないわけです。 ここでは硝酸がそうですね。 なので6HNO3にするために、右辺には6NO3-を加えるわけです。 理解できなければ上の「ちなみに〜」は飛ばしてもらって構いません。 初めのうちは、濃硝酸の場合も含めて半反応式と共に憶えてしまう方がよいかと思います。 No.5374 - 2009/03/02(Mon) 00:22:20 ☆ Re: (No Subject) / ゆう どうして6NO3-を加えたら6HNO3になるのですか?あと両辺に6NO3-を加えた後の計算を教えてください!何度もすいません! No.5375 - 2009/03/02(Mon) 00:39:00 ☆ Re: / ヨッシー 3Cu+2HNO3+6H+→3Cu(2+)+4H2O+2NO で、イオンのままの部分は、 6H+ と 3CU2+ です。 それぞれ、6NO- を加えると、 6HNO3 と 3CU(NO3)2 になります。 No.5379 - 2009/03/03(Tue) 12:19:19 ☆ Re: (No Subject) / ゆう 分かりました! ありがとうございました!! No.5381 - 2009/03/03(Tue) 23:24:28

★ 数学的帰納法 / ちよ　高2

【質問】 すべての自然数nに対して、2^(2n-1)-1と2nは互いに素であることを証明しなさい。 数学的帰納法を利用すると思ったのですが、2^(2k-1)-1と2kが互いに素であることを仮定した後がさっぱり分からないです。 どなた様か教えてください。よろしくお願いします。 No.5354 - 2009/02/28(Sat) 21:06:00 ☆ Re: 数学的帰納法 / のぼりん こんばんは。 例えば ｎ＝１４ とすると、 　　　２２ｎ−１−１＝１３４，２１７，７２７＝１９，１７３，９６１×７ 　　　２ｎ＝２８＝４×７ だから、嘘の様です。 No.5355 - 2009/02/28(Sat) 21:41:10 ☆ Re: 数学的帰納法 / ちよ　高2 のぼりんさまへ 宿題だったので困っていましたが、どーりで解けないわけですね。ありがとうございました。 ちなみにのぼりんさまはどうしてこの問題が嘘と見抜かれたのですか？わたしはnが5のところまでしか確かめる気になれなかったので、n=14の場合を見つけられたのぼりんさまにびっくりです。 No.5356 - 2009/02/28(Sat) 22:41:13 ☆ Re: 数学的帰納法 / のぼりん 論理的な説明でなく恐縮ですが、問題の内容が胡散臭かったので、反例がないかと捜して見ただけです。 No.5370 - 2009/03/01(Sun) 21:21:51 ☆ Re: 数学的帰納法 / angel 「2^(2n-1)-1 と 2n-1 は互いに素であること」を証明するのではないかな…、とふと思ったのですがどうでしょう。 これであれば成り立ちそうですが。 ※2n ってのが不自然なので、問題間違いではないかと思いました。 なお、帰納法では説明できないと思います。 ただ、高校範囲には収まらないと思いますけど…（知識があればできるか） No.5380 - 2009/03/03(Tue) 12:43:19 ☆ Re: 数学的帰納法 / angel ごめんなさい。 2^(2n-1)-1 と 2n-1 が互いに素でない例もありました。 n=11 の時、2^(2n-1)=2,097,151 と、2n-1=21 は共に7の倍数です。 お騒がせしました。 No.5382 - 2009/03/04(Wed) 12:46:33

★ 確率 / Jez-z

ヒントがほしいのですが・・・（以下問題です） 1からnまでの数字が１つずつ記されたn枚のカードがある。この中から１枚を取り出し、記録した後元に戻してまた１枚取り出す。この２枚のカードの和をＸで表す。 Ｘ＝ｋとなる確率を求めよk=2,3,…,2n 自分は具体的な数で考えたのですが、予想だと答は (k-1)/n^2になりました。しかし、一般のkで考えると、どうも2≦k≦nのときとn+1≦k≦2nのときで場合分けが必要になるのではなかと思いました。 アドバイスお願いします。 No.5350 - 2009/02/28(Sat) 18:10:54 ☆ Re: 確率 / ヨッシー (k-1)/n^2 にはなりませんね。 上のように場合分けするのが、わかりやすいでしょう。 絶対値記号を駆使して、式を作れば、１つの式で書くことも出来ます。 No.5352 - 2009/02/28(Sat) 19:03:00 ☆ Re: 確率 / DANDY　U 多分 (k-1)/n^2 とされたのは どの場合も(1,k-1) (2,k-2) (3,k-3)・・・ (k-2,2)(k-1,1) で(k-1)通りとされたのでしょうが 例えば k＝ｎ+3 の場合だと k-1,k-2 の数は実際にはありませんね だから k≧n+1　の場合は　(k-n,n) (k-n+1,n-1)・・・(n-1,k-n+1) (n,k-n) の個数を数えることになりますね。 No.5358 - 2009/03/01(Sun) 09:29:14

★ 化学 / ゆう

酸化還元反応の半反応の書き方で、 過酸化水素が H2O2+(2H+)+(2e-)→2H2Oとなるのですが なぜ2e-を足すのか分からないので教えてください! No.5348 - 2009/02/28(Sat) 12:14:10 ☆ Re: 化学 / angel > なぜ2e-を足すのか そうしないと、左右の電荷が釣り合わないから…というのがストレートな回答。 左辺は、2H+ での +2 と、2e- の -2 の合計で 0、右辺はイオンもないため 0、なので丁度釣り合っています。 酸化還元という観点ならば、過酸化水素は酸化剤として働くため、自身は還元されることになります。 還元される方は電子を受け取るため、e- を左辺に足している、と考えると良いでしょう。 ※逆に酸化される方は電子を放出するため、e- が右辺に来る事になります。 例：水の電気分解 　陰極：2H2O + 2e- → 2OH- + H2↑　（還元反応） 　陽極：2H2O → 4H+ + 4e- + O2↑　（酸化反応） No.5351 - 2009/02/28(Sat) 18:19:43 ☆ Re: 化学 / ゆう ご丁寧にありがとうございました!! よく分かりました! No.5357 - 2009/02/28(Sat) 22:42:36

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