複素数の不等式の証明に関する問題です.(2)の解き方を教えて頂きたいです.
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No.80130 - 2021/12/30(Thu) 15:05:50
| ☆ Re: / IT | | | No.80136 - 2021/12/30(Thu) 16:29:29 |
| ☆ Re: / IT | | | 簡単のため,複素数をz,w 実数をa,b と表します。
左辺^2 を計算してみます。
＝(a^2+b^2-ab(zw~+z~w))(1+1/(a^2b^2)-(zw~+z~w)/(ab))
＝((a/b)+(b/a)-(zw~+z~w))(ab+1/(ab)-(zw~+z~w))≧(2-(zw~+z~w))^2
（最後の≧の理由）
(a/b)+(b/a)≧2、ab+1/(ab)≧2（∵相加相乗平均）
|z|＝|w|＝1より zw~+z~w≦2
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No.80138 - 2021/12/30(Thu) 16:43:23 |
| ☆ Re: / k2 | | | > 両辺の２乗を比較してはどうですか？
その方法だと明らかに計算が煩雑になってしまうため,(1)で示した不等式を利用して解くのだと思うのですが,どう利用すれば示せるのかが分からないので考えてみていただけると幸いです...
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No.80139 - 2021/12/30(Thu) 16:44:48 |
| ☆ Re: / k2 | | | > 簡単のため,複素数をz,w 実数をa,b と表します。
> 左辺^2 を計算してみます。
> ＝(a^2+b^2-ab(zw~+z~w))(1+1/(a^2b^2)-(zw~+z~w)/(ab))
> ＝((a/b)+(b/a)-(zw~+z~w))(ab+1/(ab)-(zw~+z~w))≧(2-(zw~+z~w))^2
>
> (a/b)+(b/a)≧2、ab+1/(ab)≧2（∵相加相乗平均）
> |z|＝|w|＝1より zw~+z~w≦2
ちょうどコメントを書いているときに解き方を送ってくださっていたので気づかずに送ってしまいました、すみません,今から読みます.
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No.80140 - 2021/12/30(Thu) 16:48:08 |
| ☆ Re: / k2 | | | 理解できました,素直に2乗を計算して比較すれば解けたのですね...((1)の不等式を利用することばかり考えていたので肩透かしを食らった気分です.(1)は関係無かったのかなぁ...?)
解説していただきありがとうございました.
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No.80142 - 2021/12/30(Thu) 17:02:16 |
| ☆ Re: / m | | | (1)をつかうなら √(r1r2) を分配するとよさそうです．
手書きで汚いですが：
https://jamboard.google.com/d/1ZJwhlqN4Nm9ZzrJfhXk2NurFiTGwLe_c-zdUaOiIrns/edit?usp=sharing
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No.80144 - 2021/12/30(Thu) 17:27:59 |
| ☆ Re: / k2 | | | > (1)をつかうなら √(r1r2) を分配するとよさそうです．
> 手書きで汚いですが：
> https://jamboard.google.com/d/1ZJwhlqN4Nm9ZzrJfhXk2NurFiTGwLe_c-zdUaOiIrns/edit?usp=sharing
凄いですね!!自分には思い付きませんでした...
解いて下さりありがとうございました.
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No.80146 - 2021/12/30(Thu) 17:58:39 |
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