ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ベクトル / まさ　高２

はじめまして。

三角形ABCの辺ABを６：５に内分する点をD,辺BCを１：２に内分する点をEとし、直線ACと直線DEの交点をPとする。
AB＝√３、AC=１、BP⊥CDのとき、cos∠BACを求めよ。

この問題が解けません。
宜しくお願いします。

No.2962 - 2008/09/30(Tue) 23:06:37

☆ Re: ベクトル / X

与えられた条件を用いて
↑AB・↑AC
の値を求める方針で行きます。

↑AB=↑a,↑AC=↑b
と置くと、題意から
↑AD=(6/11)↑a (A)
↑AE=(2↑a+↑b)/3 (B)
今、点Pが直線ACについて点Aの側にあるとして
ED:DP=k:1-k
↑AP=-l↑b (C)
と置くと
↑AD=(1-k)↑AE+k↑AP (D)
(D)に(A)(B)(C)を代入して
(6/11)↑a=(1-k)(2↑a+↑b)/3-kl↑b
∴(6/11)↑a={2(1-k)/3}↑a+{(1-k)/3-kl}↑b (E)
ここで↑a//↑bでなく、かつ↑a≠↑0,↑b≠↑0
ですので(E)の両辺の係数を比較することができ
6/11=(2/3)(1-k) (F)
0=(1-k)/3-kl (G)
(F)(G)を連立して解き
(k,l)=(2/11,3/2)
∴↑AP=-(3/2)↑b (C)'
ここでBP⊥CDゆえ
↑BP・↑CD=0 (H)
(H)に(A)(C)'を用いると
{-(3/2)↑b-↑a}・{(6/11)↑a-↑b}=0 (H)'
(H)'の左辺を展開して
|↑a|=AB=√3,|↑b|=AC=1
を代入し、
↑AB・↑AC=↑a・↑b
の値を求めます。

No.2965 - 2008/09/30(Tue) 23:35:49

☆ Re: ベクトル / X

こちらの計算では
cos∠BAC=(√3)/4
となりました。

No.2966 - 2008/09/30(Tue) 23:39:39

☆ Re: ベクトル / まさ　高２

ありがとうございます。

No.2967 - 2008/10/01(Wed) 00:31:31

★ (No Subject) / マロン★高２

《２点の関係と三角比》
平面上に２点O、O'があり、OO'＝８である。点Oを中心とする円Oと点O'を中心とする円O'が２点A,Bで交わっている。円Oの半径は５であり、∠AOO'＝６０°である。
このとき、円O'の半径は〔ア〕であり、、AB=〔イ〕√〔ウ〕である。
また、OAと円O'の交点のうち、Aと異なる点をCとするとき、三角形ABCにおいてBC=〔エ〕である。
答えは
ア７
イ５√ウ３
エ７
なんですけど、図の書き方と解き方が分かりません。
宜しくお願いしますm(_ _)m

No.2957 - 2008/09/30(Tue) 21:32:19

☆ Re: / 魑魅魍魎

ヒントです。
(ア)△AOO'に余弦定理を用います

(イ、ウ)直線ABと直線OO'との交点をDとすればAD=5sin60°

(エ)
A点と異なる点Cは円O'上にあります。
△COO'に余弦定理を使う。

O'Cの長さ=円O'の半径
OCの長さをx
OO'=8
∠COO'=60°

あとは0Cの長さが分かったら
△OCBに余弦定理を使い、BCを求める

図はこんな感じです(下手ですみません）

No.2968 - 2008/10/01(Wed) 00:35:28

☆ Re: / マロン★高２

丁寧な図とヒントありがとうございます_(._.)_
おかげで解くことができました。

No.2975 - 2008/10/01(Wed) 21:27:00

★ ヒントください / Jez-z

正の４整数a(1),a(2),a(3),a(4)はこの順で等比数列をなす。いま、公比をr(>1),ただしrは整数ではないものとする。このとき、a(4)の取り得る値を求めよ。また、最小値を求めそのときのa(1)の値を求めよ。

a(1)の値は最小の正の整数1が答としてよいのでしょうか…
それと、a(4)の取り得る値の範囲（およびその最小値）を求めるために注目すべき点（＝ヒント）を教えてもらえないでしょうか？よろしくお願いします。

No.2956 - 2008/09/30(Tue) 21:31:23

☆ Re: ヒントください / rtz

a₁＝1なら公比rが整数になるので不可です。

公比rはa₂/a₁ですから有理数です。
よって、r＝n/m (m,nは互いに素な自然数、n＞m、m≠1)とすれば、
a₄＝(n³/m³)・a₁から、a₁はm³の倍数です。

No.2958 - 2008/09/30(Tue) 21:57:14

☆ Re: / Jez-z

rtzさんの方針で以下のような展開を考えてみましたが、どうでしょうか・・・？

a(1)=m^3　×　k （kは正の整数）
とおく。また、(n/m)^3=r^3より
a(4)=r^3*m^3*k　（>1）
・・・・しかし、これでは評価できませんよね!?
やはり目の付けどころが違っているということですよね。もう一度考えてみます。このレスに目を通されたら返信お願いします。

No.2959 - 2008/09/30(Tue) 22:32:41

☆ Re: ヒントください / rtz

a₁＝k*m³とすれば、r＝n/mから
a₂＝k*nm²、a₃＝k*n²m、a₄＝k*n³です。

また、m≠1よりm≧2、n＞mから、n≧3(n≠1,2)です。
よって幾つか記述の仕方はあると思いますが、
a₄は27以上の立方数の、正の倍数です。

No.2960 - 2008/09/30(Tue) 22:48:43

★ 数学Ａからです。 / とも

赤い玉３個、黄色い玉２個、青い玉１個が入った袋から３個の玉を同時に取り出す。この３個の中に同じ色の玉が入っている確率を求めよ。

答えは7/10です。

解き方が分からないので教えて頂けますか？宜しくお願いします。

No.2953 - 2008/09/30(Tue) 20:26:48

☆ Re: 数学Ａからです。 / DANDY　U

すべての玉を{赤1,赤2,赤3,黄1,黄2,青}と区別すると
３個の玉の取り出し方は全部で　6Ｃ3（通り）

そのうちすべての色を取り出す場合は{赤1,黄1,青}{赤3,黄2,青}など　 3×2×1＝6（通り）
よって、３個とも違う色である確率＝6/(6Ｃ3)＝3/10

したがって、(３個の中に同じ色の玉が入っている確率)＝１－(３個とも違う色である確率)＝１－3/10　　　
となります。

No.2954 - 2008/09/30(Tue) 21:17:44

★ 高校３年です。 / 未魅

二次関数のグラフと二次方程式についてです。
・ｍ、ｎを自然数とし、二次関数ｙ＝x^-2mx-nのグラフをCとする。
(１)グラフとのCの頂点が放物線ｙ＝-x^+3x-5上にあるとき、
ｍ＝□、ｎ＝□である。
　このとき、グラフCはｘ軸から長さ□√□の線分を切り取る。
(２)グラフCがｘ軸から長さ４の線分を切り取るとき、
ｍ＝□、ｎ＝□である。

□が解答欄です。
ちなみに答えは上から１、２、２√３、１、３です。

私の力ではｍ＝１、ｎ＝２が分かれば
２+√３-(２-√３)＝２√３
より答をだすことができますが、ｍ・ｎのだしかた、(２)が分かりません。
よろしくお願いします。

No.2945 - 2008/09/29(Mon) 21:00:04

☆ Re: 高校３年です。 / 魑魅魍魎

二次関数ｙ＝x^-2mx-n
の頂点は
(m,-m^2-n)
これがｙ＝-x^+3x-5上にあるので
-m^2-n=-m^2+3m+5
3m+n=5
3m=(5-n)
mは自然数から5-nは3以上なので
5-n≧3
2≧n
よってn=1,2
n=1のときm=4/3
n=2のときm=1

これらから
m=1,n=2

No.2947 - 2008/09/29(Mon) 21:21:12

☆ Re: 高校３年です。 / 魑魅魍魎

(2)ヒントです。
x^-2mx-n=0の解をα,β(α<β)とすると
β-α=4 ･･････(1)

解と係数の関係より
α+β=2m ･････(2)
αβ=n ･･････(3)

(1)を二乗すると
(β-α)^2=16
{(β+α)^2-4αβ}=16
(2)(3)を代入すると････

No.2948 - 2008/09/29(Mon) 21:26:08

☆ Re: 高校３年です。 / 未魅

丁寧な解説ありがとうございました。
ヒントをもとにとくことができました。

あと一つ気になったのが
＞これがｙ＝-x^+3x-5上にあるので
＞-m^2-n=-m^2+3m+5

の-５から+５になっているのですが、おそらく間違いかなと思います。
教えていただいた身分ですみません;;

No.2976 - 2008/10/01(Wed) 22:36:36

☆ Re: 高校３年です。 / 魑魅魍魎

すみませんでした。未魅さんの仰るとおりです。
-m^2-n=-m^2+3m+5　×
-m^2-n=-m^2+3m-5 ○
です。

No.2977 - 2008/10/01(Wed) 23:24:34

★ 必要十分条件の証明 / 惇

はじめまして。答えは分かっているのですがなぜなのかを教えてくれませんでしょうか？

a≧0，b≧0，a+b≦1を満たす任意のa、bに対し，
「E=Aa+Bb+C≧0(A、B、Cは定数)」となるための必要十分条件は「A+C≧0,B+C≧0,C≧0」らしいのですが、なぜでしょうか？
前者を命題Ｐ，後者を命題Ｑとしたとき，「ＰならばＱ」と「ＱならばＰ」が真であればよいのは分かるのですが、どのように証明するのでしょうか？

No.2938 - 2008/09/28(Sun) 21:53:09

☆ Re: 必要十分条件の証明 / だるまにおん

P⇒Q：
a=1, b=0とすると
A+C≧0
a=0, b=1とすると
B+C≧0
a=b=0とすると
C≧0
∴A+C≧0, B+C≧0, C≧0

Q⇒P：
E=Aa+Bb+C
=(A+C)a+(B+C)b+C(1-a-b)
≧0

No.2939 - 2008/09/28(Sun) 23:00:57

☆ Re: 必要十分条件の証明 / 惇

Ｑ⇒Ｐはよく分かりました。ありがとうございます。

P⇒Qの証明で
a=1, b=0とすると
a=0, b=1とすると
a=b=0とすると

とありますが、これ以外の任意のa,bで成り立つことを言う必要はないのですか？

No.2940 - 2008/09/29(Mon) 06:06:16

☆ Re: 必要十分条件の証明 / だるまにおん

ありません。

No.2941 - 2008/09/29(Mon) 06:43:23

☆ Re: 必要十分条件の証明 / 惇

すいません、なぜなのでしょうか？
必要条件しか満たしていない気がするのですが・・・（見当違いですか？）
よろしくお願いします。

No.2946 - 2008/09/29(Mon) 21:11:38

☆ Re: 必要十分条件の証明 / DANDY　U

>（見当違いですか？）
・・・見当違いですね。

a≧0，b≧0，a+b≦1を満たす任意のa、bに対し，「E=Aa+Bb+C≧0(A、B、Cは定数)」
がいえるとするのだから

a≧0，b≧0，a+b≦1 を満たすどのような a,b を代入しても、導かれた式は成り立つのです。

No.2950 - 2008/09/29(Mon) 21:49:52

★ 高３です！ / しほ

教えてください(>_<)

ルート（３－X）ｄXの積分は
－２/３ルート（３－X）三乗
になるんですが、どうしてそうなるんでしょうか？途中式を教えてください(>_<)

わかりにくい書き方ですみません(T_T)

No.2933 - 2008/09/28(Sun) 19:00:24

☆ Re: 高３です！ / 魑魅魍魎

∫√(3-x)dx

3-x=Aとおくと
-dx=dA

∫-√AdA
=(-2/3)A^(3/2)
=(-2/3)(3-x)^(3/2)

No.2935 - 2008/09/28(Sun) 19:14:29

☆ Re: 高３です！ / ヨッシー

√(3-x)＝(3-x)^1/2
です。
√x＝x^1/2 だったら、積分して、
　(2/3)ｘ^3/2＝(2/3)√ｘ³
ですね？よく似た形なので、
　(2/3)(3-x)^3/2＝(2/3)√(3-x)³
かと予想がつきますが、これを微分すると、
　3-x を微分した -1 が付いてしまうので、これを打ち消すために、
　-(2/3)(3-x)^3/2＝-(2/3)√(3-x)³
とします。

式で説明すると、u=3-x とおくと、du/dx＝-1 より、dx＝-du なので、
置換積分により、
　∫(3-x)^1/2dx＝∫u^1/2(-du)
　　＝-(2/3)u^3/2＋Ｃ
　　＝-(2/3)(3-x)^3/2＋Ｃ
となります。

No.2936 - 2008/09/28(Sun) 19:19:02

☆ ありがとうございました！ / しほ

ありがとうございました(≧∀≦)

とてもわかりやすい説明で感激です！

No.2937 - 2008/09/28(Sun) 19:48:37

★ 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）

お久しぶりです！　
月曜日に数学のテストがあるので、勉強していたら分からない問題が出てきてしまいました（汗

問題：a<0とする。　関数y=x^2-2ax-a(0≦x≦2)の最小値が-11であるように、定数aの値を求めよ。

y=x^2-2ax-aを平方完成して-(x+a)^2+a^2+3aという式にして、頂点(-a,a^2+3a)を出しました。
それから、xの変域の値を代入して、
x=0　→　y=3a
x=1 →　2a+2 　と出しました。

ここまでは解けたのですが、aの値の出し方がイマイチ分かりません。
グラフは、下に凸...でいいですよね？

お願いしますm(_　_)m

No.2919 - 2008/09/27(Sat) 22:13:31

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / 魑魅魍魎

y=x^2-2ax-a
の平方完成が間違っています。

グラフは下に凸です。
グラフを描いてみるとどこで最小値かがわかると思います。

No.2920 - 2008/09/27(Sat) 22:39:50

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）

あ、すいません・・・！
私が間違ってました。
式は、y=-x^2-2ax-aです。マイナス書き忘れていました＾＾；

すいませんでした。

No.2922 - 2008/09/27(Sat) 22:48:43

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / rtz

それでも平方完成間違っていますよ。
元の式のxに－aを代入しても頂点のy座標と一致しません。
まずここを計算しなおしてください。

2次の係数が負なので上に凸です。

a＜0より軸(あるいは頂点のx座標)－a＞0ですから、
軸の位置で最小値が変わってきます。
軸の位置と、最小値をとるxの関係を、グラフを描いて考えてみてください。

No.2923 - 2008/09/27(Sat) 23:02:14

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / 魑魅魍魎

問題文は正しいですか？

No.2924 - 2008/09/27(Sat) 23:58:20

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）

本当にすいません。　間違えてました。

問題書き直します！

問題：a<0とする。関数y=-x^2-2ax-a(0≦x≦1)の最小値が-11であるように、定数aの値を定めよ。

です。

No.2925 - 2008/09/28(Sun) 08:49:33

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / ヨッシー

y=-x^2-2ax-a を平方完成して
y=-(x+a)²+a²-a
これより、頂点は (-a, a²-a) となります。
頂点のｘ座標はｘ＞０の位置にあり、0≦x≦1 においては、
０＜-a≦1/2 のとき、ｘ＝１で最小
1/2≦-a のときｘ＝０で最小になります。

-1/2≦a＜0 のとき、
　y=-x^2-2ax-a　にｘ＝１を代入して
　y=-1-3a＝-11
より　a=10/3 となり不適
a≦-1/2 のとき
　y=-x^2-2ax-a　にｘ＝０を代入して
　y=-a=-11
より a=11 となり不適

よって、題意を満たす a は存在しない
で、やっぱり問題がおかしいと言わざるを得ません。

No.2926 - 2008/09/28(Sun) 09:47:43

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）

本当にすいません。　問題の式は、y=-x^2+2ax+3aでした。
私、問題書き間違え過ぎですよね・・。　本当に迷惑かけてしまってごめんなさい。

No.2927 - 2008/09/28(Sun) 12:19:10

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / ヨッシー

で、
>(0≦x≦1)の最小値が-11であるように・・・
は、正しいとすると、頂点(a, a²+3a) は、
ｘ座標が負なので、0≦x≦1 における最小値は、ｘ＝１で
発生します。
　y=-x^2+2ax+3a にｘ＝１を代入して、
(以下 No.2926 参照のこと)

No.2928 - 2008/09/28(Sun) 12:57:02

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）

ありがとうございます！

x=1を代入して
y=5a-1で、

x=0を代入して
y=3a

最小値はx=1だから、y=5a-1に最小値の-11を代入して
-11=5a-1
a=-2

aの値は-2。　でOKですか？

No.2929 - 2008/09/28(Sun) 13:50:51

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / ヨッシー

結果はＯＫですが、
最小値は、ｘ＝１のときと分かっているので、
ｘ＝０を代入する必要はありません。

No.2931 - 2008/09/28(Sun) 14:30:02

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）

あ、そうですよね＾＾；

本当にありがとうございます！

スッキリしました。　また質問させてもらうこともあるかと思いますが、よろしくお願いします。

No.2932 - 2008/09/28(Sun) 14:37:16

★ (No Subject) / yasu

Ｎを正整数とする
（２＾Ｎ）+１は１５で割り切れないことを示せ

という問題なのですが、合同式を使わずに解く方法は無いのでしょうか？？

もう一つ質問があって
１２冊の異なる本を四冊ずつ三人の子供わけるのは何通りか？
これは12c4*8c4に3!をかけて子供の配り方を考えるのかなと思ったのですがかけないようです。
ものすごく基本的なこととは思いますがわからないのでなぜかけないのか教えてください。

宜しくお願い致します！

No.2906 - 2008/09/27(Sat) 03:09:45

☆ Re: / らすかる

N=1のとき2^N+1を15で割った余りは3
N=2のとき2^N+1を15で割った余りは5
N=3のとき2^N+1を15で割った余りは9
N=4のとき2^N+1を15で割った余りは2
N≧5のとき 2^N+1=2^(N-4)*16+1=15・2^(N-4)+{2^(N-4)+1} なので
2^N-1を15で割った余りは2^(N-4)+1を15で割った余りと同じ
よって任意のNに対して2^N+1は15で割り切れない。

1人目の子供に与える4冊の決め方が12C4通り
2人目の子供に与える4冊の決め方が8C4通り
これで分け方は決まりますから、12C4×8C4通りです。

No.2907 - 2008/09/27(Sat) 04:26:21

☆ Re: / yasu

ご解答が早くて感動しましたありがとうございます。
N=1のとき2^N+1を15で割った余りは3
というのはなぜでしょうか？＞＜

そもそも割れないような気がするのですが・・・

No.2951 - 2008/09/30(Tue) 13:04:49

☆ Re: / ヨッシー

３÷15＝０あまり３
です。

No.2952 - 2008/09/30(Tue) 13:19:16

☆ Re: / yasu

そうですねご丁寧にすみません＞＜
ありがとうございまいした！

No.2979 - 2008/10/02(Thu) 02:14:51

★ 数A / 匿名

わからない問題があったので教えて頂きたいです。

(1)平面上に8本の直線があり、そのいずれの3本も1点で
　交わることはない。この8本のうち2本だけが平行である
　ときそれら8本の直線によってできる三角形は何個あるか。

(2)男子5人と女子4人がいる。この9人が次のように3人ずつA,B,Cの部屋に入る方法は何通りあるか。
・各室に女子が少なくとも1人入る。
・女子が2人ずつ2室に分かれて入る。

宜しくお願いします!

No.2896 - 2008/09/26(Fri) 22:50:04

☆ Re: 数A / ヨッシー

(1)
こちらの問題で、直線２本で交点１つが、
直線３本で三角形１つ、になるだけですので、同じように解けます。

No.2901 - 2008/09/27(Sat) 01:51:22

☆ Re: 数A / DANDY　U

(1) ２つ下のスレッドでのヨッシーさんの回答の考え方２と同じように考えます。

互いに平行でない３本の直線があるとき１つの三角形ができるので、８本とも平行でないときは 8Ｃ3（個）の三角形ができます。
２本が平行のときは、２本の平行線とほかの直線(6本)で本来できるはずの６つの三角形が出来ないのでそのぶん引かなければなりません。従って、答えは 8Ｃ3－6＝50（個）となります。

(2)[１つ目] 女子の別れ方は２人,１人,１人です。
いまＡが(女2,男1)、Ｂ,Ｃが(男2,女1)とすると
女子の分かれ方は 4！/2!(通り)、男子の分かれ方は 5！/(2!*2!) 通りだから　(4！/2!)×5！/(2!*2!) 通り

女子２人の部屋は３通り考えられるので、答えは(4！/2!)×5！/(2!*2!)×３　通りで求まります。

[２つ目] 女子がＡとＢに２人ずつ分かれたとすると
Ａ,Ｂは(女2,男1)、Ｃは(男3)となり、
女子の分かれ方は 4！/(2!*2!)(通り)、男子の分かれ方は 5！/3! (通り)だから　{4！/(2!*2!)}×(5！/3!)（通り）

女子のいない部屋は３通り考えられるので、答えは{4！/(2!*2!)}×(5！/3!)×３ (通り)で求まります。

No.2903 - 2008/09/27(Sat) 02:31:13

☆ Re: 数A / 匿名

説明して頂きありがとうございます!
(2)は理解することができたのですが、
(1)のDANDY　Uさんの説明の｢２本が平行のときは、２本の平行線とほかの直線(6本)で本来できるはずの６つの三角形が出来ない｣という意味がよくわかりませんでした。

お手数お掛けしますが説明宜しくお願いします( ‥`)

No.2910 - 2008/09/27(Sat) 13:57:33

☆ Re: 数A / ヨッシー

ＡとＢが平行でその他に、Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈの直線があるとします。
これらから３本を選べば、三角形ができるので、
　8Ｃ3＝56(個)
ですが、ＡとＢが平行なので、この２本を含む
ＡＢＣ，ＡＢＤ，ＡＢＥ，ＡＢＦ，ＡＢＧ，ＡＢＨ
の６通りの選び方では、三角形にならないのです。
その説明が、
>２本の平行線とほかの直線(6本)で本来できるはずの６つの三角形
です。

No.2911 - 2008/09/27(Sat) 14:51:11

☆ Re: 数A / 匿名

ヨッシーさん
詳しい説明ありがとうございます!
よくわかりました★
あとで解きなおしてみます!
本当にありがとうございました(^ω^)

No.2930 - 2008/09/28(Sun) 14:23:33

★ 方程式 / たこ

質問です
xの方程式(i+1)^2+(m+i)x+mi+1=0が実数解をもつように、実数mの値を定めよ(i^2=-1)ってどうやって解くんですか??
教えて下さい

No.2895 - 2008/09/26(Fri) 22:13:25

☆ Re: 方程式 / ヨッシー

ｘの一次方程式ですから、そのように解いて、
　(i+1)^2+(m+i)x+mi+1=0
　(m+i)x=-(i+1)^2-(mi+1)
　(m+i)x=-2i-mi-1=-(2+m)i-1
　x=-{(2+m)i+1}/(m+i)
　　=-{(2+m)i+1}(m-i)/(m^2+1)
分子のi の係数が0 になるようにすると、
　m(2+m)-1=0
　m^2+2m-1=0
　m=-1±√2

No.2898 - 2008/09/26(Fri) 23:03:33

☆ Re: 方程式 / rtz

(i＋1)²＋(m＋i)x＋mi＋1＝0
⇔(mx＋1)＋(x＋m＋2)i＝0
⇔mx＋1＝x＋m＋2＝0 (∵(mx＋1),(x＋m＋2)ともに実数)
⇔x＋m＝－2,mx＝－1
よってm,xはt²＋2t－1＝0の解なので、m＝－1±√2

でも一応解けます。

No.2899 - 2008/09/27(Sat) 00:02:07

☆ Re: 方程式 / たこ

わかりました
どうもありがとうございます

No.2900 - 2008/09/27(Sat) 00:44:06

★ 組み合わせ / 桜　高校2

こんばんは。
いつもお世話になっております
よろしくお願いいたします。

平面上に、4本だけがお互いに平行で、どの3本も同じ点で交わらない10本の直線の交点の個数は（　　）である。

という問題がわかりませんでした。
どのように考えたらよいのでしょうか。
よろしくお願いいたします

No.2892 - 2008/09/26(Fri) 19:11:47

☆ Re: 組み合わせ / ヨッシー

普通は、ｎ本ある直線（どの２本も平行でない）から、
２本を選べば、１つの交点が存在するので、交点の数は
　nＣ2＝n(n-1)/2
です。

考え方１
まず、平行な４本以外の６本が描かれているとします。
このとき交点の数は、
　6Ｃ2＝15(個)
ここにもう１本直線Ａを、どの６本とも平行でないように引くと、
直線Ａと新たに出来る交点は６個です。
さらに、直線Ａに平行な直線Ｂを引きます。
このとき、新たに出来る交点はやはり６個です。
以下、直線Ｃ、直線Ｄを直線Ａに平行に引くと、
新たに出来る交点は、６個、６個です。
結局、合計１５＋６×４＝３９(個) の交点が出来ます。

考え方２
もし、どの２本も平行でない１０本の直線があったら、
交点の数は、
　10Ｃ2＝45(個)
４本の直線が平行なので、本来なら、この４本で出来るはずの
　4Ｃ2＝6(個)
の交点が出来ないので、
　45－6＝39(個)
の交点だけになります。

No.2894 - 2008/09/26(Fri) 19:49:08

☆ Re: 組み合わせ / 桜　高校2

ありがとうございました＾＾
参考になりました！！

No.2917 - 2008/09/27(Sat) 19:48:36

★ 事象の独立と試行の独立の違い / daigo(大学１年)

?@独立試行である試行Ａ，Ｂに対してその結果に起こる事象をそれぞれＡ’，Ｂ’とすると，この事象Ａ´，Ｂ´は互いに独立（つまり事象の独立）になりますよね？
?Aこのとき，Ａ’がおこる確率をＰ（Ａ’），Ｂ’が起こる確率をＰ（Ｂ’）としたとき，Ａ’とＢ’がともに起こる確率はＰ（Ａ’）Ｐ（Ｂ’）です。これはつまり
Ｐ（Ａ’∧Ｂ’）ですよね？
?B結局、独立試行とは、試行がお互いに影響しあわないことであって，事象の独立とは、結果同士が無関係なんですよね？言葉を分けるメリットがイマイチよく分からないのですが。つまり、独立試行で事象が独立にならないことはあるのですか？もしくは、事象が独立で、試行が独立にならないことはあるのですか？

?@、?A、?Bをよろしくお願いします。

No.2887 - 2008/09/25(Thu) 22:35:07

☆ Re: 事象の独立と試行の独立の違い / daigo(大学１年)

条件付確率が関係するのかな？
どなたかお教えいただけませんか？

No.2914 - 2008/09/27(Sat) 16:51:12

★ 数学Ａ / *Sana*

?@xは実数とする。次の命題が真であるような定数aの値の範囲を求めよ。

|x-3|≦2⇒x＜a

?A次の等式を満たす有理数p,qの値を求めよ。

(1)(√2-1)p+q√2=2+√2

(2)p/√2-1+q/√2=1

いつもお世話になっています。
また分からない問題が出てきたので宜しくお願いします。

No.2886 - 2008/09/25(Thu) 22:16:57

☆ Re: 数学Ａ / にょろ

x-3≧0
⇒|x-3|≦2
⇔0≦x-3≦2
3≦x≦5

x-3≦0
⇒|x-3|≦2
⇔0≦-x+3≦2
⇔-3≦-x≦-1
1≦x≦3

暗算自信ないので確認してください

(1)(√2-1)p+q√2=2+√2
p,qは有理数より
(√2-1)p+q√2
=-p+(q+p)√2
=2+√2
有理数*無理数=無理数だから…

(2)は通分して分母払って以下同様です

No.2889 - 2008/09/26(Fri) 02:28:31

☆ Re: 数学Ａ / hari

|x-3|≦2⇒x＜a
はx＜aの示す集合の中に|x-3|≦2が含まれていればいいので
1≦x≦5がx＜aに含まれるにはa＞5であればいいですね。

No.2890 - 2008/09/26(Fri) 05:17:13

★ 組み合わせ / のり

次のような場合何通りあるか教えてください。
白玉５個、赤玉３個、黒玉２個がある。
１）１０個の玉を６人に分ける方法（１個ももらわない人がいても良い）
２）１０個の玉を２組に分ける方法

No.2885 - 2008/09/25(Thu) 22:12:25

☆ Re: 組み合わせ / ヨッシー

1)
詳しくは重複組み合わせをご覧ください。
白について、分け方は
　₅Ｈ₆＝₁₀Ｃ₅＝252(通り)
赤については
　₃Ｈ₆＝₈Ｃ₃＝56(通り)
黒については
　₂Ｈ₆＝₇Ｃ₂＝21(通り)
それぞれ、独立なので、
　252×56×21＝296352(通り)

２）１）で２人だとして考えると、
　６×４×３＝７２(通り)
このうち、たとえば、
　白白白白白黒　　赤赤赤黒　という分け方と
　赤赤赤黒　　白白白白白黒　という分け方は同じです。
このような組が２つずつあるので、
　７２÷２＝３６(通り)
です。

これが、白玉６個、赤玉２個、黒玉２個だと、
　白白白白白白黒　　赤赤黒　　に対して
　赤赤黒　　白白白白白白黒　　が存在しますが、
　白白白赤黒　　白白白赤黒　　に対しては、ペアが存在しませんので、
こういう場合は、単純に２で割るわけにはいきません。

No.2891 - 2008/09/26(Fri) 18:33:42

☆ Re: 組み合わせ / のり

1)は重複組み合わせですとそれぞれ白は6Ｈ5,赤は6Ｈ3、黒は6Ｈ2ということですね。６種類の箱に白を５個入れる方法と考えれば理解できます。Ｈの左右を逆に考えていました。
2)はご説明の２組あるというところがわからなかったです。
ありがとうございました。

No.2897 - 2008/09/26(Fri) 22:59:08

☆ Re: 組み合わせ / のり

さて寝ながら考えたのですが、２）の場合、片方に全ての玉が入った場合は２組とは言えないのかなと思いました。そうすると更に２を引く必要があり、全部で３４通りとなるのですが如何でしょうか。

No.2908 - 2008/09/27(Sat) 09:09:41

☆ Re: 組み合わせ / ヨッシー

そうですね。ただし、引くのは１で十分です。
２）で、最初に計算した７２通りの中には、
　白白白白白赤赤赤黒黒　　なし
　なし　　白白白白白赤赤赤黒黒
の２通りが含まれていて、２で割って、３６にした時点で
どちらか１つに減っていますので、引くのは１です。
　３６－１＝３５
または
　(７２－２)÷２＝３５
です。

No.2909 - 2008/09/27(Sat) 11:38:19

☆ Re: 組み合わせ / のり

確かにその通りですね。
ありがとうございました。

No.2912 - 2008/09/27(Sat) 15:18:53