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存在条件 / Jez-z
4辺の長さが2、残りの2辺の長さがaの四面体が存在するためのaの条件を求めよ。

aの場所により2通りに分けて考えましたが
「a<4またはa>1」では間違いですよね?
(三角形の成立条件で上を求めたのですが)

自分の何がいけないのでしょう?使う道具は三角形の成立条件以外に考えられないのですが・・・

よろしくご指導願います。

No.5113 - 2009/02/08(Sun) 17:48:46

Re: 存在条件 / rtz
まず、それが正しいとして、
正確には「0<a<4またはa>1」でしょうから、
それならば両方あわせて「a>0」がJez-zさんの解答になります。

が、やはりそれでは足りません。
なぜかというと、1個1個の三角形が成り立っても、
立体として成り立つかは分からない為です。


考えやすいのは
長さaの2辺が端点の一方を共有しているときでしょうか。
(AB=BC=CA=AD=2としておきます)
この場合、底面に1辺2の正三角形ABCがあって、残りの長さ2の辺の端Dが、
BCの中点を通りBCに垂直な平面内をくるくる回るのは分かりますか?
(長さaの2辺BD、CDとBC=2が二等辺三角形をなす)
これでaの範囲が分かりますね。

同様にAB=AC=2=DB=DCの場合も考えてみましょう。

No.5114 - 2009/02/08(Sun) 18:11:05

Re: 存在条件 / Jez-z
rtzさんのおっしゃる四面体は正確に再現することができました。

しかし、一点腑に落ちないのが、
「Dが、BCの中点を通りBCに垂直な平面内をくるくる回る」
ということです。Dは固定されている点だと思っていたのですが・・・それと、このことから何が言えるのかを考えてみたのですが、それもわかりませんでした。

以上の2点の疑問点について言及願います。。

No.5116 - 2009/02/08(Sun) 19:20:35

Re: 存在条件 / rtz
あぁ、aが変わればDの位置が変わる、という意味です。
Dの動きうる範囲が「BCの中点を通りBCに垂直な平面内」だということです。

よって
a2=BD2
=BM2+MD2(MはBCの中点)
=MD2+1
から、aの大小はMのDからの距離と連動しますので、
最小なのは、Dが△ABCと同一平面で、Aを挟んでBC側にあるとき、
最大なのは、Dが△ABCと同一平面で、Aを挟んでBC側と反対側にあるときです。
もちろん、これらのときは四面体にはなりませんから、
≦ではなく<になりますが。

もっとも、AB=AC=2=DB=DCの場合を先に考察するなら、
a>0はすぐ言えますので、上の最小の方は考えなくてもいいのですが。

No.5117 - 2009/02/08(Sun) 19:59:24

Re: 存在条件 / Jez-z
なるほど!つまり求めるべきもうひとつの条件は
三角形DMAが成立する条件を求めることですね!

あと、これは細かいことかも知れませんが
「MのDからの距離と連動」というのは線分MDの長さが変化するということでよろしいでしょうか?
あと、「Dが△ABCと同一平面で、Aを挟んでBC側にあるとき」
というのはDが直線BCを境界としてAを含む平面ABC上にあるということでよろしいですか?
同様に、「Dが△ABCと同一平面で、Aを挟んでBC側と反対側にある」というのはDが直線BCを境界としてAを含まない平面ABC上にあるということでよろしいでしょうか?
しかし、これらは三角形BDCをBCを回転軸として回転させたもののうち、たまたま頂点Dが平面ABC上に存在したときの(極端な)2つの例を議論したに過ぎず、別にaを固定して考えれば、最大・最小もないような気がするのですが・・・

お願いします_(_^_)_

No.5118 - 2009/02/08(Sun) 21:33:08

Re: 存在条件 / rtz
http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=639
細かい位置関係を図にしてみました。

△ABCはxy平面(薄黄色)上にあって、
Dはxz平面内の円(xz平面であることが多少分かりにくいですが赤い円)上を動けます。

このとき先ほどの通りa2=DM2+1ですから、
DMが大きく(小さく)なればaも大きく(小さく)なります。
DMが最大になるのはDがD'のときで、最小になるのはD"のときです。
当然これでは四面体にならないので、
つまり、D"M2+1<a2<D'M2+1です。

No.5120 - 2009/02/08(Sun) 22:35:11

Re: 存在条件 / Jez-z
rtzさん、丁寧な説明ありがとうございます。おかげで疑問が解消されました^^!
No.5131 - 2009/02/09(Mon) 21:39:09
(No Subject) / のびた
 高校受験レベルの問題を解いていて、気がついたことについての質問です。よろしくお願いします。

 図(きたなくてごめんなさい)のように、△ABCの∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとしたとき、証明はできませんが AB:BC=BD:CD になりそうです。
 AB:BC=BD:CDとなる証明をよろしくお願いします。
 
 また、三等分以上としたときにはどうなるかとも思います。

No.5108 - 2009/02/08(Sun) 12:45:18

Re: / のびた
AB:AC=BD:CD でした・・・
すみません

No.5109 - 2009/02/08(Sun) 12:46:39

Re: / ヨッシー
これは、いわゆる角の二等分線の定理ですね。
こちらをご覧下さい。

3等分線の時は、決まった比にはならないと思います。

No.5110 - 2009/02/08(Sun) 14:37:00

Re: / DANDY U
【三角関数の面積の公式を使ったこのような証明も】
∠BAD=∠CAD=α とおくと
△ABD:△ACD=(1/2)AB*AD*sinα:(1/2)AC*AD*sinα
=AB:AC ・・・(イ)
△ABDと△ACDの底辺をそれぞれBD,CDとすると、高さは等しくなるから
△ABD:△ACD=BD:CD ・・・(ロ)
(イ)(ロ)より AB:AC=BD:CD  

No.5112 - 2009/02/08(Sun) 16:14:45

Re: / のびた
どうもありがとうございました・・・m(_ _)m
No.5125 - 2009/02/09(Mon) 07:22:20
文章題 / ひろ
続けてすみません。
(3)ゆたかくんとお姉さんが家から2.8km離れたデパートへ買い物に行きました。お姉さんはゆたかくんより10分送れて出発し、20分早くデパートにつくように自転車で出かけました。
ゆたかくんは10分で700m進みます。
お姉さんが自転車で進む速さは時速何kmですか。

宜しくお願いします。

No.5104 - 2009/02/07(Sat) 22:40:38

Re: 文章題 / roro
●お姉さんが出発してからデパートへ着くまでの時間を考えます。

単位の整理:2.8(km)→2800(m)

ゆたかくんが出発してからデパートへ着くまでの時間
「10(分)で、700(m)進む」ので、
・・・2800÷700=4 、10×4=40(分)

お姉さんが出発してからデパートへ着くまでの時間
「ゆたかくんより10(分)送れて出発し、20(分)早くデパートにつく」ので
・・・40−10−20=10(分)

お姉さんが自転車で進む速さ
「10(分)で、2.8(km)進んだ」ので、60(分)、つまり1(時間)だと
・・・2.8×6=16.8(km)

お姉さんが自転車で進む速さは、時速16.8(km)

No.5107 - 2009/02/08(Sun) 02:19:31

Re: 文章題 / ひろ
roroさま
詳しく教えていただき、有難うございました。
また教えてください。

No.5111 - 2009/02/08(Sun) 15:18:44
文章問題 / ひろ
(1)まさおくんとたかしくんは、同じ本を同時に読み始めました。二人とも読む速さは一定で、まさおくんが5ページ読む間にたかしくんは6ページ読みます。
まさおくんが残り30ページのとき、たかしくんは残り2ページです。この本は全部で何ページあるのか。

(2)ある会社では、毎日一定の量の仕事が入ってきます。
 いくらか仕事がたまった状態から10人で仕事を行うと、ちょうど24日で次の日に残す仕事がなくなります。16人で行うとちょうど12日で次の日に残す仕事がなくなります。
28人で仕事を行うと、何日で次の日に残す仕事がなくなるか。

教えてください、お願いします。

No.5103 - 2009/02/07(Sat) 22:36:07

Re: 文章問題 / チョッパ
(1)
30−2=28ページ
28÷(6−5)=28
5×28+30=170ページ
6×28+2=170ページ

(2)
(10×24−16×12)÷(24−12)=4 …1日に入ってくる仕事量
240−4×24=144 …はじめにたまっていた仕事量
144÷(28−4)=6日

No.5105 - 2009/02/07(Sat) 23:11:10

Re: 文章問題 / ひろ
チョッパさま、有難うございました。
計算方法がわかりました。

No.5106 - 2009/02/07(Sat) 23:59:46
(No Subject) / fだs
aを正の定数とする、不等式a^x≧xが任意の正の実数xに対して成り
たつようなaの値の範囲を求めよ


でa^xーx≧0
a^xーxのグラフをかいて最小値が≧0
でもとめれないかなっとおもったんですが
微分してxがだせませんOTZ
おねがいします

No.5101 - 2009/02/07(Sat) 20:02:21

Re: / ヨッシー
y=a^x のグラフで、傾きが1の点で、y=x と接する時を
調べます。
y=a^x をxで微分して
 y'=(a^x)loga=1
より、
 a^x=1/loga
 x=loga(1/loga)
このとき、y=x と y=a^x よりが接するとき
 loga(1/loga)=a^{loga(1/loga)
}
これを解いて、
 a=e^(1/e)
よって、
 a≧e^(1/e)
において、不等式a^x≧xが任意の正の実数xに対して成り
立つ。

No.5115 - 2009/02/08(Sun) 18:39:58

Re: / fだs
すみませんOTZ


これを解いてがわかりません;;;;;;

No.5163 - 2009/02/11(Wed) 22:26:11
高1 / 匿名
(1)sinθcosθ=1/8のとき、sinθ+cosθの値

(2)正四面体ABCDとA'B'C'D'の表面積の比が9:4のとき、 
  体積比を求めよ。

(3)底面の直径と高さが2aの円錐がある。 
  この円錐の頂点と底面の円周に外接する球を考える。
このとき、球の半径を求めよ。

3つありますが宜しくお願いします!

No.5100 - 2009/02/07(Sat) 19:45:47

Re: 高1 / にょろ
(1)(sinθ+cosθ)^2=?
(2)次元がそれぞれ(表面積)2,(体積)3で
相似比が3:2なので求める比は
27:8
(実際は相似比→一辺の長さを求める→体積を求める)
つまり相似比が3,2なので一辺を3a,2aと置くのが妥当だと思います。

(3)球は何処で水平に切っても円の切り口になるので
(点もあるっちゃあるけど)
円と正方形を考えてやると良い感じです

No.5102 - 2009/02/07(Sat) 20:28:50
教えて下さい。 / 家庭教師小学校低学年
よろしくお願いします。


以前、こちらに移る前に、35から始まる5桁のNOの
頃の掲示板は、どうすれば、見ることができますか?
過去ログなどみましたが、もう当時の質問は残って
いないのでしょうか。よろしくお願いします。

No.5093 - 2009/02/06(Fri) 14:56:41

Re: 教えて下さい。 / NISSK
http://yosshy.sansu.org/log/
ここで検索すると出てきますよ。

No.5094 - 2009/02/06(Fri) 16:59:08

Re: 教えて下さい。 / 家庭教師小学校低学年
NISSK 様

有難うございました。
見つけました。とても勉強になることでしたので
番号だけ控えていました。

本当に、有難うございました。助かりました。

No.5097 - 2009/02/06(Fri) 22:31:55

Re: 教えて下さい。 / ヨッシー
NISSK さん、フォローありがとうございます。

家庭教師小学校低学年さん
よろしければ、何番の記事か教えていただければ、
内容によっては、本ページの「覚え書き」などに
残しておきたいと思いますがいかがでしょうか。

No.5099 - 2009/02/07(Sat) 07:19:33
(No Subject) / 高校1年

y=x^2/(x-1)を

y=x+1+1/(x−1)

に変形する簡単なやり方とかありませんか?

No.5089 - 2009/02/06(Fri) 07:45:51

Re: / Bob
分子=x^2=(x^2−1)+1
  =(x+1)(x−1)+1

y={(x+1)(x−1)+1}/(x−1)=
{(x+1)(x−1)}/(x−1)+{1/(x−1)}
 =x+1+1/(x−1)


こんな感じでしょうか
   

No.5091 - 2009/02/06(Fri) 11:14:38
数学?U / キョン
△ABCの重心をG,辺BCの中点をL,辺CAの中点をMとする。A(6,6),M(7,4),G(16/3,8/3)であるとき、点B,Lの座標を求めよ。

この問題が分からないので教えて下さい。宜しくお願いします。

No.5084 - 2009/02/06(Fri) 02:20:35

Re: 数学?U / Bob
B(b,x)
C(c,y)とすると

重心の公式から

 (6+b+c)/3=16/3・・・・・?@
 (6+x+y)/3=8/3・・・・・・?A

またBCの中点
Lはx座標が(b+c)/2
  y座標が(x+y)/2

またCAの中点がMより
   (c+6)/2=7・・・・?B
   (y+6)/2=4・・・・?C

?@はb+c=10・・・?D
?Aはx+y=2 ・・・?E となる 
?Bよりc=8 ?Cより y=2
これと?D?Eをからませ b=2 x=0


よってL(5,1)
   B(2,0)

No.5085 - 2009/02/06(Fri) 02:31:39

Re: 数学?U / キョン
すごく助かりました。
有り難う御座いました。

No.5087 - 2009/02/06(Fri) 03:17:07
(No Subject) / ヒロ
平面上で正三角形をn段積み重ねたとき、その中に含まれる台形の総個数を求める公式はどうなりますか。教えてください。
No.5083 - 2009/02/06(Fri) 00:33:21

Re: / らすかる
たぶん {10n^4+16n^3-16n^2-16n+3-3(-1)^n}/32 個
No.5086 - 2009/02/06(Fri) 03:13:25

Re: / ヒロシ
> 平面上である一定の大きさの正三角形をピラミッド状にn段積み重ねたとき、その中に含まれる台形の総個数を求める公式はどうなりますか。教えてください。
No.5090 - 2009/02/06(Fri) 09:34:41

Re: / らすかる
ヒロシさん=ヒロさんですか?
「ある一定の大きさの」と「ピラミッド状に」を考慮に入れたうえで
{10n^4+16n^3-16n^2-16n+3-3(-1)^n}/32 個という答えになったのですが、
解答と違うということでしょうか?

No.5092 - 2009/02/06(Fri) 12:44:30
証明 / あき
こんばんは!
続けて申し訳ありません!
http://t.upup.be/?5LsGRZrMXW
の最後の問いなのですが、はいりほうで課程して
f(x)=0が存在しないことと f(0)=1 であることから連続関数であることに矛盾するらしいのですが、なぜ連続関数ということに矛盾になるのかわかりませんでした。
どなたかご説明いただけませんでしょうか?

No.5081 - 2009/02/06(Fri) 00:18:54

Re: 証明 / 七
問題が違っていると思います。
No.5088 - 2009/02/06(Fri) 06:32:29
逆関数 / あき
さらにお願いします!
http://t.upup.be/?5LsGRZrMXW
はy=e^x(1−1/e)としてxについてといて
y=logx/(1−1/e)
となったんですがこのときかたは正しくないでしょうか?

No.5075 - 2009/02/05(Thu) 20:53:13

Re: 逆関数 / rtz
e-x≠ex÷e
よって間違い。

No.5077 - 2009/02/05(Thu) 22:17:06

Re: 逆関数 / あき
本当ですね/( ̄口 ̄;)\お騒がせしましたありがとうございます。
No.5082 - 2009/02/06(Fri) 00:23:01
逆関数 / あき
いつもありがとうございます。
質問お願いしたいです(>_<)
http://p.upup.be/?i9x19ti3eP
は普通にxについての方程式にして解の公式を使う というのではできませんか?
そうすると答えがy=1±?富
になって答えと合わなくて…
お願いします(>_<)

No.5073 - 2009/02/05(Thu) 20:33:39

Re: 逆関数 / ToDa
その課程を書いてみてください。
できれば、以前書いた物を引き写すのではなく、改めて解いた上でお願いします。

No.5074 - 2009/02/05(Thu) 20:49:54

Re: 逆関数 / あき
できました!本当にお騒がせしました(|||__ __)/
No.5076 - 2009/02/05(Thu) 20:57:53
連立方程式です・・。 / ゴマ
30代の主婦です・・長年数学をしていないので
どうしても分かりません。
是非、教えてください。


ある店で、先週は商品AとBがあわせて780個売れた。
今週は、先週と比べて、Aは20%少なく、Bし10%多く売れ、
売れた個数は合わせて先週より30個少なかった。
先週の商品A、Bのうれた個数をそれぞれ求めたい。

先週の商品AとBが売れた個数をそれぞれX個、Y個とすると
X+Y=(ア)・・・?@
また今週のAの売れた個数をXを用いて表すと(イ)個、
Bの売れた個数をYを用いて表すと(ウ)個となるから、
(イ)+(ウ)=(エ)・・・?A
となる。
?@?Aの連立方程式を解いて、先週の商品Aの個数は
(オ)個、Bの売れた個数は(カ)となる。

No.5072 - 2009/02/05(Thu) 20:11:40

Re: 連立方程式です・・。 / ヨッシー
(ア)・・・商品AとBがあわせて780個売れた、に基づきます。
(イ)・・・Aは20%少なく、に基づきます。
(ウ)・・・Bは10%多く、に基づきます。
(エ)・・・先週より30個少なかった、に基づきます。
?@?Aを解いて、Xが(オ)、Yが(カ)になります。

No.5078 - 2009/02/05(Thu) 23:19:43

Re: 連立方程式です・・。 / ゴマ
回答を頂き有難うございます。
ただ、笑われるかもしれませんが、
私は%などの問題が苦手で
(イ)(ウ)に入る数字をどのように記入したらいいのか
分かりません。
まさか20%10%とそのまま記入するのは違いますよね?
具体的な回答をお願いいたします。

No.5096 - 2009/02/06(Fri) 21:43:01

Re: 連立方程式です・・。 / ヨッシー
Xより20%少ないということは、
Xより0.2X少ないということなので、
 X−0.2X=0.8X
です。俗に、20%引きを8掛けと言うように、いきなり
 0.8X
としてもかまいません。

Yより10%多いのは、
 Y+0.1Y=1.1Y
ですね。

No.5098 - 2009/02/06(Fri) 22:54:42
(No Subject) / かなみ
早速ですが、お願いします

四角形ABCDにおいて、△ABDの重心をP、△BCDの重心をQとする。DA→,DB→,DC→,をそれぞれa→,b→,c→とするとき、次の問いに答えよ。
(1)PQ→をa→,c→を用いて表せ。
(2)AQ→=2AP→が成り立つとき、四角形ABCDは平行四辺形になることを示せ。
(3)(2)の条件に加え、更に△BPQが正三角形のとき、∠ADCを求めよ。


No.5068 - 2009/02/05(Thu) 18:19:56

Re: / ヨッシー
以下、太字はベクトルです。
(1)
PQDQDPであり、
DQ=()/3
DP=()/3
より(以下略)
(2)
AQDQ
 =()/3−
APDP
 =(−2)/3
条件より
 ()/3−=2(−2)/3
整理して
 
より四角形ABCDは、平行四辺形。
(3)
∠ADC=∠ABCなので、∠ABCについて考えます。

ACの中点をMとします。
AP:PM=CQ:QM=2:1
BP=BQ=PA=QC=2MP=2MQ
が言えます。
よって、△APB、△CQBは、頂角が120°の二等辺三角形となり、
図で示した、●の角はすべて30°となり
∠ABC(=∠ADC)は、120°となります。

No.5079 - 2009/02/05(Thu) 23:35:05

(No Subject) / かなみ
分りやすい解答ありがとうございます。
解き方も分かりスッキリしました。

No.5080 - 2009/02/06(Fri) 00:05:15
(No Subject) / fだs
log10底x

真数x>0

log10底x=M
とおいたらMの範囲はどうなるかおしえてくださいmm

No.5059 - 2009/02/05(Thu) 08:45:41

Re: / ヨッシー
Mはすべての実数を取ります。
No.5060 - 2009/02/05(Thu) 09:20:33
(No Subject) / syota
△ABCの中点をIとし、3辺BC,CA、ABに関してIto対象な点をそれぞれP,Q,Rとする。
Iは△PQRについてどのような点か?

質問の意味すら理解できません。よろしくお願いします

No.5053 - 2009/02/05(Thu) 05:47:49

Re: / syota
すみません中点ではなく内心です
No.5055 - 2009/02/05(Thu) 06:20:25

Re: / ヨッシー

IP,IQ,IR は、それぞれ、BC,CA,AB に垂直で、
それぞれの中点で、BC,CA,ABと交わります。
また、それらの交点は、内接円とBC,CA,ABとの
接点になっています。
以上より、IP,IQ,IRは、内接円の半径の2倍の長さであり、
 IP=IQ=IR
であることが言えます。
よって、点Iは、△PQRの外心です。

No.5056 - 2009/02/05(Thu) 06:31:42
(No Subject) / ryo
平行四辺形ABCDにおいて、辺ADの中点をM、辺CDの中点をNとする。また線分BM,BNと対角線ACとの交点をそれぞれP,Qとする。AC=6のとき線分PQの長さを求めよ。

お願いします。

No.5051 - 2009/02/05(Thu) 05:36:59

Re: / ヨッシー
ACとBDの交点をOとすると、
 AO=COかつBO=DO
点Pは△ABDの重心なので、AP:PO=2:1
点Qは△BCDの重心なので、CQ:QO=2:1
以上より、AP=PQ=QC となり PQ=2 です。

No.5052 - 2009/02/05(Thu) 05:43:39
図形 / あき
こんばんは!連続して申し訳ないです(>_<)
http://u.upup.be/?Z34JQIwzON
のウのときかたを教えていただけませんでしょうか?
お願い致します(>_<)

No.5050 - 2009/02/05(Thu) 01:57:49

Re: 図形 / ヨッシー
メネラウスの定理より、
 (BD/DC)(CQ/QA)(AP/PB)=1
BP=x とおくと
 (2/4)(1/4)((4+x)/x)=1
よって、
 x=4/7

No.5054 - 2009/02/05(Thu) 05:56:15

Re: 図形 / あき
メネラウスですか…気がつきませんでした…(>Д<)
ありがとうございます…

No.5069 - 2009/02/05(Thu) 19:39:37
確率 / あき
こんばんは!
質問お願い致します(>_<)
http://x.upup.be/?OXOqBiWtLD
の解答がないのでときかたを教えていただけませんでしょうか? ちなみに悲しいことに問題の意味がよくわからなかったのですが…
いつもありがとうございます(>_<)すみませんがお願い致します

No.5049 - 2009/02/05(Thu) 01:56:46

Re: 確率 / ヨッシー
n=2の時は、確率は
 p0,p1,p2
だけで、これが、公比1/2の等比数列、かつ合計が1(確率なので)
よって、合計は
 p0×7/4=1
より、p0=4/7。期待値は、
 0×p0+1×p1+2×p2=4/7

これを、nの一般形に発展させればいいでしょう。

No.5057 - 2009/02/05(Thu) 06:46:34

Re: 確率 / あき
ありがとうございます。
最後の一般化したときの期待値は
Σ[k=1〜n]k*(1/2)^(k−1)*p0=2Σ[k=1〜n]k/2^(k+1)−1
となったんですが、ここからの計算ができませんでした。
教えていただけませんでしょうか?(>_<)

No.5070 - 2009/02/05(Thu) 19:59:02
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