[ 掲示板に戻る ]

過去ログ閲覧モード

対数 / 礼花 高2
お久しぶりです。よろしくお願いします!

Log102=0.3010, log103=0.4771とする。次の数は、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか。
1.(1/2)100
2.{1/(√2)25}
3.(3)√(0.06)10

分かりにくくてすみません。この3問がどうやって解いたらいいか分かりません。よろしくお願い致します。

No.2763 - 2008/09/18(Thu) 18:56:51

Re: 対数 / ヨッシー
log101=0
log100.1=−1
log100.01=−2
ですから、ある数の常用対数(底が10の対数)をとって、
 0未満-1以上 ・・・ 小数第1位に初めて0以外の数
 -1未満-2以上 ・・・ 小数第2位  〃
 -2未満-3以上 ・・・ 小数第3位  〃
のように判断できます。

(以下 log は常用対数です)
1.log(1/2)100=log2-100=-100log2
2. log{1/√225}=log2-25/2
3.log(3)√0.0610=log0.0610/3
  =10/3log(2・3/100)=10/3(log2+log3−log100)
というふうに変形して、最後は、
 log2=0.3010, log3=0.4771
より、近似値を出します。

No.2766 - 2008/09/18(Thu) 19:49:09

Re: 対数 / 礼花 高2
ヨッシーさん、ありがとうございます。

近似値までは出せたのですが、そこから先の解き方が全く分かりません。もう少し詳しく教えて頂けませんか?よろしくお願いします!

No.2767 - 2008/09/18(Thu) 21:34:23

Re: 対数 / ヨッシー
たとえば、log をとった近似値が、-1.35 だったら、
 -1未満-2以上 ・・・ 小数第2位に初めて0以外の数
に該当しますので、答えは、小数第2位です。
同様に、近似値が、-1230.24 だったら、
 -1230未満-1231以上 ・・・ 小数第1231位に初めて0以外の数
に該当しますので、答えは、小数第1231位です。

No.2769 - 2008/09/18(Thu) 22:12:05

Re: 対数 / にょろ
例えば
1234は4桁の数字です。
1000<1234<10000です。
log10をとってみると

log101000=4<log101234<log1010000=5

なので、1234は104以上105未満
つまり4桁と分かります。

No.2772 - 2008/09/18(Thu) 23:34:25

Re: 対数 / 礼花 高2
理解できました♪
物分かりが悪くて、申し訳ありませんでした;
ヨッシーさん・にょろさん、分かりやすく解説してくださってありがとうございました。

No.2808 - 2008/09/21(Sun) 14:28:30
数列 / 白梅
お久しぶりです。宜しくお願い致します。

(問題)nを自然数とする。
    座標平面上の2n+2個の点からなる集合
L={(x,y)|x,y は整数、0≦x≦n , 0≦y≦1}
のうち3点を頂点とする三角形を全て考える。
   これらの三角形の面積の総和を求めよ。

答えは(1/6)*n*(n+1)^2*(n+2)
なのですが、解法が分かりません。
どこかの1点を固定して考えたのですが、
回答と答えが合致しません。
どのように考えれば良いのでしょうか。

宜しくお願い致します。

No.2761 - 2008/09/18(Thu) 17:46:04

Re: 数列 / ヨッシー
x軸(y=0)上と、y=1上にn+1この点が並んだ形です。
x軸上から2点とy=1上から1点選びます。
高さは必ず1であり、底辺はx軸上で選ぶ2点の間隔になります。
点(0,0) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
 1,2,3・・・n のn通り出来ます。
点(0,1) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
 1,2,3・・・n-1 の n-1通り出来ます。
以下、
点(0,n-1) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
 1 の 1通り出来ます。
これらの和(底辺の和)をもとめると、
 (1+2+3+…+n)+(1+2+3+…+n-1)+・・・・+(1+2)+(1)
=Σk=1〜nk(k+1)/2=Σk=1〜n(k2+k)/2
=n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4=n(n+1)(n+2)/6

1つの底辺について、y=1 上の点はn+1個あるので、
同じ底辺から、三角形がn+1個出来ます(面積は同じ)
よって、
 n(n+1)(n+2)/6×(n+1)×1÷2
これが、x軸上に2点を取ったときの三角形の面積の和です。
y=1 上に2点、x軸上に1点を取ったときも、同じだけの三角形ができるので、
三角形の面積の和は
 n(n+1)(n+2)/6×(n+1)×1÷2×2=n(n+1)2(n+2)/6

No.2762 - 2008/09/18(Thu) 18:10:40

素晴らしい!^^ / 白梅
ヨッシ−様、非常に素早く、
大変分かりやすい解説をして下さって
ありがとうございます!^^

予備校で何回も個別に質問して
先生に説明してもらいましたが、
ヨッシー様の説明はそれをはるかに上回る
大変分かりやすい解説です。
1度目を通しただけですぐに理解することが
出来ました。ヨッシー様は本当に説明が上手ですね。
ヨッシー様は素晴らしい人です^^
ありがとうございました。

補足ですが1カ所ヨッシー様の説明の中で
条件にあわない表現があったのですが、
解答として試験の時に書く時にはその点を
修正して書きますので、その点お伝えしておきます。

ありがとうございました^^

No.2764 - 2008/09/18(Thu) 19:09:59

Re: 数列 / ヨッシー
あぁ、点(0,0) はともかく、
点(0,1)、点(0,n-1) が、x、y逆ですね。

最初しばらく、y軸と直線x=1 と思っていたので。

それと、それより上というのも、それより右の誤りですね。
x軸が右に向かって大きくなる、よく見かける座標軸での話ですけど。

No.2765 - 2008/09/18(Thu) 19:36:33

ありがとうございます。 / 白梅
ヨッシー様、わざわざレスを付けて下さって
ありがとうございます。

お忙しい中わざわざ回答して頂けるだけで
私はとても嬉しいです。
なので諸処の箇所については特に
気にせずにこれからも機会があれば
どうぞ宜しくお願い致します。

No.2768 - 2008/09/18(Thu) 21:42:25
「×」と「÷」の優先順位 / √
よろしく、お願い致します。
小学生レベルの初歩的な質問で申し訳ありません。


?@
○×△÷□ の場合は、
「×」「÷」どちらを先に計算しても答えは同じになりますが、

?A
○÷△×□ の場合は、
「÷」を先に計算するか、「×」を先に計算するかで答えが
異なってしまいます。
この場合は、当然、「左から順番に」「左側優先」ですよね。

では、
?@、?Aを考えると
「×」と「÷」の混合計算において、
「×」よりも、「÷」を優先して計算すれば間違いは無いと考えてよろしいでしょうか?

全ての優先順位を書くと、下記の順位でよろしいでしょうか?
( ),÷ ,×

No.2752 - 2008/09/18(Thu) 01:27:00

Re: 「×」と「÷」の優先順位 / にょろ
いいえ
計算順位は(),×÷です。
○×△÷□を分数で表すと
(○×△)/□です。

○÷△×□は
(○×□)/△
です。
が、
△×□を先にやると
○/(△×□)
で誤りになります。

優先順位は
(),×÷,+−の順です。
更に同順位の場合→の順に計算します。

No.2753 - 2008/09/18(Thu) 01:38:54

Re: 「×」と「÷」の優先順位 / にょろ
というより
割り算とかけ算は「同じ物」なので優先順位って…

No.2754 - 2008/09/18(Thu) 01:40:07

Re: 「×」と「÷」の優先順位 / らすかる
>「×」と「÷」の混合計算において、
>「×」よりも、「÷」を優先して計算すれば
>間違いは無いと考えてよろしいでしょうか?

はい。通常の計算では問題ありません。
ただし、一般的な定義では「÷」と「×」が同順位です。

No.2756 - 2008/09/18(Thu) 03:26:33

Re: 「×」と「÷」の優先順位 / √
らすかるさん 有り難うございます。

> はい。通常の計算では問題ありません。
> ただし、一般的な定義では「÷」と「×」が同順位です。


「÷」と「×」の混合計算では、
『必ず、左側から順番に計算していく(左側優先)』
又は、
『「÷」を優先する』
を守っていれば大丈夫ということですね。 
らすかるさん 意図を分かってくださり有り難うございました。



にょろさん 有り難うございます。
にょろさんの、おっしゃりたい事の意味は理解できました。

No.2758 - 2008/09/18(Thu) 09:43:09

Re: 「×」と「÷」の優先順位 / ヨッシー
+と−でも同じことが言えます。
5+4−3 を 5+(4−3) と書いても答えは変わりません。
( )を付けても良いということは、優先させても良いということです。

5−4+3 と 5−(4+3) はダメです。
引き算より足し算を優先させてはいけません。

5−4−3 と 5−(4−3) もダメです。
原則左から、を守らないといけません。

おなじことを、×と÷に当てはめれば、分かると思います。

ただし、「原則左から」さえ守れば、÷を優先するは気にしなくても
良いので、あまり、取りざたされていません。しかし、
 37×24÷4
を左からやるのではなく、24÷4を先にするようなことは、
実際には行われています。

No.2759 - 2008/09/18(Thu) 09:55:26

Re: 「×」と「÷」の優先順位 / √
ヨッシーさん 有り難うございます。

> ただし、「原則左から」さえ守れば、÷を優先するは気にしなくても
> 良いので、あまり、取りざたされていません。


そうですね。
昔、「×」と「÷」は同順位と習ったはずなのに、
順番を変えると答が異なる場合があるので、ふと疑問に思ってしまいました。
有り難うございました。

No.2760 - 2008/09/18(Thu) 10:54:43
(No Subject) / creampuff
多項式の列
P0(x)=0,P1(x)=1,P2(x)=1+x,・・・・・,Pn(x)=Σ_[k=0,n-1]x^kを考える。

正の整数m,nに対して、Pn(x)をPm(x)で割った余りは、
P0(x),P1(x),・・・・・,Pm-1(x)のいずれかで
あることを証明せよ。

この問題を教えてください。

No.2749 - 2008/09/18(Thu) 00:14:23

Re: / ヨッシー
n<m のときは、あまりは Pn(x) であり、明らかに
P0(x),P1(x),・・・・・,Pm-1(x) のいずれかである。

n=m のとき、あまりは P0(x) である。

n>m のとき、
 Pn(x)=Pm(x)・xn-m+xn-m-1+xn-m-2+・・・+1
と書け、あまりは Pn-m となります。

No.2750 - 2008/09/18(Thu) 00:20:57

Re: / creampuff
ありがとうございました。どうも。
No.2770 - 2008/09/18(Thu) 22:36:12
本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子 社会人(簿記受験中)
初めまして。

なぜか全く展開式が浮かばず解答が理解出来ません。
どうか宜しくお願い致します。

(5000x × 0.45 + 8,295,000)×0.04÷0.6

解答は 150x-553,000

になるようなのですが、150xがどうして出るのか分かりません・・・。

初心者のような質問で大変申し訳ありませんが
教えて下さい。
宜しくお願いいたします。


No.2747 - 2008/09/17(Wed) 22:01:00

Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / ヨッシー
5000x×0.45×0.04÷0.6=150x
です。

No.2748 - 2008/09/17(Wed) 22:16:04

Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / √
余計な事ですが・・・

> 解答は 150x-553,000
          ↑
          +では?

簿記は楽しいですよね。
頑張ってください。



No.2751 - 2008/09/18(Thu) 00:28:47

Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子 社会人(簿記受験中)
回答ありがとうございました。
本当に初歩的な質問ですみません。
もう一度良いでしょうか?

>5000x×0.45×0.04÷0.6=150x になるのは
分かったのですが、8,295,000 にも同じ ×0.04÷0.6
をかけてわって、553,000が出ますよね?

括弧内の数字を計算してから、×0.04÷0.6
だと思っていたのですが、どうして二つの数字に
同じ、×0.04÷0.6 をかけわりするのでしょうか?
本当に無知ですみません。

>√さん
すみません。+でした。
数学得意ではないまま(出来ないまま)一級に
突入してしまい工業簿記の方程式で苦しんでます。
(楽しいんですけれど)
ありがとうございました。

No.2755 - 2008/09/18(Thu) 02:32:56

Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / ヨッシー
たとえば、
 (x+4)×3
を考えます。3を掛けるのは3回足すことですから、
 (x+4)×3=(x+4)+(x+4)+(x+4)
  =x+x+x+4+4=4
  =x×3+4×3
のように、xにも4にも3が掛けられます。

一般に
 (a+b)c=ac+bc
となり、これを分配法則といいます。

No.2757 - 2008/09/18(Thu) 05:51:32

Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子 社会人(簿記受験中)
回答ありがとうございました。

・・・いわゆる自乗(実際は× 0.04÷0.6)のような扱いなのでしょうか?
他の括弧内の計算

?@例えば
x-x×(1-0.2)2(←自乗と呼んでください)=9,000
の式だと
x-0.64x=9,000
0.36x=9,000
x=25,000
ですよね。

?Aもう一つの例えばだと
a=0.2b+0.1c+117,000
b=0.1a+0.1c+144,000
c=108,000

代入して
a=0.2b+0.1×108,000/10,800+117,000
b=0.1a+0.1×108,000/10,800+144,000

で、
a=0.2b+10,800+117,000
a=0.2b+127,800

b=0.1a+10,800+144,000
b=0.1a+154,800

あわせると
a=0.2(0.1a+154,800)+127,800
a=0.02a+30,960+127,800
0.98a=158,760
a=162,000
b=171,000

になると思うのですが、この式との意味の違いが(分配配列を使用する時)が分かりません・・・。

例えば(3-1)2 
だったとしたら、2の自乗で答えは4なんですよね?
一番はじめに質問した


(5000x × 0.45 + 8,295,000)×0.04÷0.6

この×0.04÷0.6の部分が自乗と同じ意味に当たるんでしょうか?
もし仮にこの部分に括弧がついていたとしたら
意味は違うんでしょうか?

(5000x × 0.45 + 8,295,000)×(0.04÷0.6)
(2250x+8,295,000)×0.07(四捨五入だとしたら)
これだと括弧が外れるから
=1575x+580,650
となるのでしょうか?

xも値を求めるから、それぞれの数字に(5000x×0.04÷0.6)?
これがxがないとしたら
(5000×1(仮に1として)×0.45 +8,295,000)×0.04÷0.6
8,297,250×0.04÷0.6
=553,150?

総数に対して ×0.04÷0.6は総数に対して加わる(かけわり)が行われるから、
5000x×0.45 と 8,295,000両方にかけるということなのでしょうか?

今まで代入法とかxを求める計算で、この分配法則を使用したことがなかったので
(だから今まで躓かず解いてこられたと思うのですが・・・)
なぜ今回のこのような式だけ、両方の値にかけるのか・・・、
なんだかピンと来ず、考えれば考えるほど深みにはまって行っております・・・。

このような幼稚な質問で何度も本当に申し訳ありませんが
どうかご教授ください。お願いいたします。


私には難しい事も解けない問題も沢山ありますが
やればやるほど数学って面白くなってきますね。

No.2771 - 2008/09/18(Thu) 23:24:14

Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / ヨッシー
質問されたのは
(3+4)×2
の×2は、3だけでなく4にまで掛けるのはなぜ?
ということだったと思います。それはまさに、

> 総数に対して ×0.04÷0.6は総数に対して加わる(かけわり)が行われるから、
> 5000x×0.45 と 8,295,000両方にかけるということなのでしょうか?

ということです。

(3+4)×2 が 3×2+4
では、片手落ちですよね?

No.2773 - 2008/09/18(Thu) 23:41:59

Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子 社会人(簿記受験中)
回答ありがとうございました。
質問の意図が悪くて申し訳ありません。

先日質問した内容は、同じような括弧式なのに、
分配法則を使用する時としない時があるのか?
と言うことがいまいち分からず
括弧の前にかける数字がある時や、
自乗等の数字が括弧についている時との
違いが理解出来なかったので
違う配列の時はと言う意味で質問してしたつもりでおり、
代入式の解答を聞きたい、等と言う意図では
ありませんでした。
(5000x × 0.45 + 8,295,000)×0.04÷0.6
だと5000x × 0.45 を計算した段階で
括弧が外れると思っていたんです。

誤解をさせるような質問で申し訳ありませんでした。

No.2780 - 2008/09/19(Fri) 18:56:47
順列 / 桜 高校2
こんばんは。
よろしくお願いいたします。

1から5までの番号のついた箱がある。
それぞれの箱に赤、白、青の球のうち、どれか一個入れて、どの色の球も必ずどれかの箱に入るようにする仕方は何通りか。

という問題がわかりませんでした
私は
3^5-3をしたのですがだめでした。
答えは150です。

とき方を教えてください
よろしくお願いいたします。

No.2737 - 2008/09/16(Tue) 18:39:30

Re: 順列 / 七
> 3^5-3をしたのですがだめでした。
3^5 と それから引く3 の意味が分かっていれば
それだけではだめだと分かるはずです。

さらに (2^5−2)×3 を引けばいいですね。

No.2738 - 2008/09/16(Tue) 19:14:46

Re: 順列 / 桜 高校2
ありがとうございます。

(2^5−2)×3 は何のために引くのでしょうか。

たびたびすみません。
よろしくお願いいたします。

No.2739 - 2008/09/16(Tue) 21:14:28

Re: 順列 / rtz
では初めの式でなぜ3を引いたのですか?
それ以外に除外しなければいけないような場合はありませんか?

No.2740 - 2008/09/16(Tue) 21:20:39

Re: 順列 / 桜 高校2
ありがとうございます。

3を引いたのは、、
赤が3つ、白3つ、青3つだぶるかもしれないので
引きました。

すみません。。
とても数学が苦手で皆様にお手数おかけしてすみません。

No.2741 - 2008/09/16(Tue) 21:26:22

Re: 順列 / 桜 高校2
m(__)m
2つだけだぶるときでしょうか。??

その場合
どうやって式を考えたらよいのでしょうか。

No.2742 - 2008/09/16(Tue) 21:34:39

Re: 順列 / rtz
>赤が3つ、白3つ、青3つだぶるかもしれないので
1〜5の箱全てに赤だけ、白だけ、青だけという意味でなら正しいです。

>2つだけだぶる
そういうことです。
「1赤、2赤、3赤、4白、5白」などはダメですよね。

では、1色しか使わないのは3通りで既に引いていますので、
2色しか使わないものを考えるわけですが、
例として赤と白だけの場合を考えてみましょう。
赤と白だけの場合、何通りでしょう?
"2色"使うので1色だけの場合は引かないといけないので注意してください。

今考えたのは赤と白だけでした。
では2色のみの、色の選び方は何通りでしょう?

これらが分かれば、七さんの書かれた内容も納得行くかと思います。

No.2743 - 2008/09/16(Tue) 22:25:04

Re: 順列 / 桜 高校2
申し訳ないですぅ。。

わからなくて頭がパンクしました。。
ごめんなさい。
ヒントをください

No.2745 - 2008/09/17(Wed) 19:17:42

Re: 順列 / 桜 高校2
ひらめきました!!
本当にお手数おかけしましてすみませんでした。

みなさん、ありがとうございました。
感謝しております(^^)

No.2746 - 2008/09/17(Wed) 19:21:17
(No Subject) / 数B
3x+2y≦2008を満たす整数の組x,yを求めよ。
何もうかびませんでした。
答えは
x=2kのとき(1005-3k)個、x=2k+1のとき(1003-3k)個ある。
(x=0,1,2,…669)(k=0,1,2,…334)
よって1/2*335*(2008+4)=337010

となっているんですが2k、2k+1でわけているとこからもうわかりません。よろしくお願いします。

No.2734 - 2008/09/15(Mon) 22:19:41

Re: / ヨッシー
問題は正確に!
3x+2y≦2008を満たす0以上の整数の組x,yの数を求めよ。

たとえば、
x=1だと
 2y≦2005
なので、y=0,1,2,3・・・1002 の1003個です。
x=2だと
 2y≦2002
なので、y=0,1,2,3・・・1001 の1002個です。
x=3だと
 2y≦1999
なので、y=0,1,2,3・・・999 の1000個です。
x=4だと
 2y≦1996
なので、y=0,1,2,3・・・998 の 999個です。
xが奇数か偶数によって、2y≦(奇数) か 2y≦(偶数) の
違いがあるので、yの最大値が
 (2008-3x)÷2 (xが偶数の場合)
 (2008-3x-1)÷2 (xが奇数の場合)
のように、変わるのです。
yの最大値をkで表すと、
x=2k のとき (2008-3x)÷2=(2008-6k)÷2=1004-3k
x=2k+1 のとき (2008-3x-1)÷2=(2004-6k)÷2=1002-3k
yの個数は0も含むのでそれぞれ1ずつ多くて
x=2k のとき 1005-3k
x=2k+1 のとき 1003-3k

一方、xは最大669まで取れますが、これは k=334 のときの
x=2k+1 までなので、
k=0 のとき x=2k=0,x=2k+1=1
k=1 のとき x=2k=2,x=2k+1=3
 ・・・
k=334 のとき x=2k=668,x=2k+1=669
までの、1005-3k と 1003-3k を足せばいいことになります。

具体的に言うと、yの個数は
k=0 のとき 1005個 と 1003個
k=1 のとき 1002個 と 1000個
 ・・・
k=334 のとき 3個 と 1個
これだけの合計を出します。これを、
k=0 のとき 2008個
k=1 のとき 2002個
 ・・・
k=334 のとき 4個
と、前に足しておくと、
 2008+2002+・・・+4
という、項数335個の等差数列の和になります。
後は公式通りで 1/2*335*(2008+4)=337010 となります。

No.2735 - 2008/09/15(Mon) 22:45:56

Re: / らすかる
模範解答とは無関係な別解

x=2p-s, y=3q-t(p,s,q,tは自然数、s≦2,t≦3)とおくと
(s,t)=(1,1) のとき 3(2p-1)+2(3q-1)≦2008 → 6(p+q)≦2013 → p+q≦335 → 335C2通り
(s,t)=(1,2) のとき 3(2p-1)+2(3q-2)≦2008 → 6(p+q)≦2015 → p+q≦335 → 335C2通り
(s,t)=(1,3) のとき 3(2p-1)+2(3q-3)≦2008 → 6(p+q)≦2017 → p+q≦336 → 336C2通り
(s,t)=(2,1) のとき 3(2p-2)+2(3q-1)≦2008 → 6(p+q)≦2016 → p+q≦336 → 336C2通り
(s,t)=(2,2) のとき 3(2p-2)+2(3q-2)≦2008 → 6(p+q)≦2018 → p+q≦336 → 336C2通り
(s,t)=(2,3) のとき 3(2p-2)+2(3q-3)≦2008 → 6(p+q)≦2020 → p+q≦336 → 336C2通り
よって全部で 335C2×2+336C2×4 = 337010通り

No.2736 - 2008/09/16(Tue) 01:44:10
順列 / 桜 高校2
よろしくお願いいたします。

両親と4人の子供(息子2人、娘2人)が手をつないで輪を作るとき
両親が正面に向かい合うならび方は何通りか。

私は両親の2人を固定して残りの子供たち4人をまず計算。
4!そのあと両親(2-1)!
という方法でやりましたが、あっていますでしょうか

よろしくお願いいたします。

No.2728 - 2008/09/15(Mon) 17:39:09

Re: 順列 / ヨッシー
合ってますよ。
No.2731 - 2008/09/15(Mon) 18:41:15

Re: 順列 / 桜 高校2
ヨッシーさんっありがとうございます☆
よかったです。
おかげさまで少しずつ数学ができるようになりましたッ。
m(__)m

No.2732 - 2008/09/15(Mon) 19:12:01
順列 / 桜 高校2
こんにちは。
よろしくお願いいたします。

a,b,c,d,eの5文字を並べたものを、アルファベット順に、一番目abcde,2番目abced,...........120番目edcbaと番号をつける。

(1)cbedaは何番目か
(2)40番目は何か。

という問題がわかりませんでした。
よろしくお願いいたします。

No.2727 - 2008/09/15(Mon) 16:50:50

Re: 順列 / ヨッシー
(1)
a で始まるものだけを数えると○○通り。
b で始まるものも同じく○○通り
ca で始まるものは、△△通り
cb で始まるものも同じく、△△通り
cbeda は、cbで始まるものの最後なので、
 ○○+○○+△△+△△(番目)
(2)
同様に、区切って数えましょう。

No.2729 - 2008/09/15(Mon) 18:17:09

Re: 順列 / 桜 高校2
ヨッシーさんありがとうございました!!
おかげさまで解けました^^v

No.2730 - 2008/09/15(Mon) 18:38:48
数学A / 優
【1】p,r,o,b,l,e,mの7つの文字を使って順列を作る。このとき、次のようなものは何通りあるか。

(1)両端に子音がくるもの(A.2400通り)
(2)少なくとも一方の端に子音がくるもの(A.4800通り)


【2】黒玉7個と白玉3個を一列に並べるとき、白玉が隣り合わないような並べ方は何通りあるか。(A.56通り)


宜しくお願いします。

No.2722 - 2008/09/15(Mon) 12:25:48

Re: 数学A / ヨッシー
【1】
(1)子音はo,e 以外の5つです。
 左端の文字の選び方は5通り、
 右端の文字の選び方は、左端の文字以外の4通り
 間の5文字の並び方は 5!=120(通り)
 以上より、 5×4×120=2400(通り)
(2)
 両端とも母音の場合を数えます。
 左端がo、右端がeの場合、
  間の5文字の並び方は 5!=120(通り)
 左端がe、右端がoの場合も、同様に120通り
 合わせて240通り。
 すべての並び方は 7!=5040(通り)
 求める場合の数は、
  5040−240=4800(通り)

【2】
 ○●○●○ をあらかじめ並べておき残りの●5個を、
 3つの○の、両端と間の4ヶ所のいずれかに入れる
 方法なので、重複組み合わせとなり、
 4585=56(通り)

No.2723 - 2008/09/15(Mon) 12:41:09

Re: 数学A / らすかる
【2】別解
黒玉7個を並べ、間または端計8箇所中3箇所に白玉を入れればよいので、8C3=56通り

No.2724 - 2008/09/15(Mon) 13:04:57
円と半径 / Jez-z
半径1の円Cと半径1の円C(1)が外接しており、さらに、2つの円はともに直線lに接している。
n=2,3,4…に対してC(n+1)をC(n)とCの両方に外接し、かつ、
直線lにも接しているように作ることにする。
ただし、(C(n)の半径>C(n+1)の半径)である。
このときC(n)の半径を求めよ。

(方針)
C(n)の半径をr(n)とする。
実験してみたところ、C(2)は三平方の定理を用いて
r(2)=1/4と求めることができました。
しかし、r(3)を求めようとしたところ、三角形の横(l軸に平行)の長さだけが分からず敢え無く挫折。
そこで、発想を変えて漸化式を作り一般項r(n)を求めればうまくいくのではないかと考えました。
しかし、この方針でも自身の計算力・数学力がついてこれず行き詰ってしまいました。

ご指導お願いします。

No.2707 - 2008/09/14(Sun) 17:56:31

Re: 円と半径 / rtz
Cを(0,1)中心、C1を(2,1)中心、直線lをy=0としてしまいましょう。

そうするとC2については、
r2=1/4からC2の中心は(1,1/4)です。

続いてC3については、
√{(1+r3)2−(1−r3)2}+√{((1/4)+r3)2−((1/4)−r3)2}=1
⇔2(√r3)+(√r3)=1
⇔r3=1/9
よってC3の中心は(2/3,1/9)

これと同様に考えて、
Cnの中心は(2√rn,rn)であるから、
Cn+1について、
√{(1+rn+1)2−(1−rn+1)2}+√{(rn+rn+1)2−(rn−rn+1)2}=2√rn
⇔2(√rn+1)+2√(rnrn+1)=2√rn
⇔{(√rn+1)−1}{(√rn)+1}=−1
⇔(1−√rn+1)(1+√rn)=1
あとはn=1,2,3から√rnを推測してそれが正しいことを言えばよいでしょう。

今回のポイントは、
・Cnの中心座標をrnで表せるか
・rn、rn+1間の漸化式が作れるか
の2点です。

No.2709 - 2008/09/14(Sun) 19:52:55

Re: 円と半径 / ヨッシー
rtz の座標設定を使わせてもらうと、
y=−1 を考えると、円Cとx軸に接する円の中心は、
点(0,1) と 直線y=−1からの距離が等しいので、
放物線 y=x2/4 上にあります。
よって、中心の座標は(x、x2/4)と表すことが出来ます。

これを使って、隣り合うCn、Cn+1 の関係を
作ることが出来ます。

No.2710 - 2008/09/14(Sun) 20:03:53

Re: 円と半径 / Jez-z
ヨッシーさん、それって「焦点」の考え方ですか?
「焦点」って数?Vの範囲ですよね…(実際の試験では使ってもよいものなのでしょうか…)

となるとrtzさんの方針を参考にさせてもらうことになるのですが、
>>「√rnを推測してそれが正しいことを言えばよい」
数学的帰納法を使えばよいですよね。ちょっと自分でやってみます。

No.2715 - 2008/09/14(Sun) 22:11:58

Re: 円と半径 / ヨッシー
実際に使って良いかは、何の試験かによります。

漸化式を出してから解くまでは、同じような解き方になるでしょうから、
良いと思う方で解けばいいと思います。

No.2716 - 2008/09/14(Sun) 22:37:23

Re: 円と半径 / Jez-z
rtzさん、やっぱり「漸化式」をつくることが理解できていませんでした。少しヒントをくれませんか?

それと、実際の問題は円の位置関係として
緑色の円が1<x<2の位置にあり以下
紫色の円が外接…していくというような設定がなされていました(はじめに書いていなくてすいません)どうしても言葉では説明しづらかったので・・・

No.2720 - 2008/09/14(Sun) 23:57:44

Re: 円と半径 / rtz
えぇと、具体的にどの部分でしょうか。

漸化式の作成自体は添付図を参照してください。
Cnの中心が(2√rn,rn)になるのは、
添付図のCn+1のx座標を考えてもらえば分かりますが、
Cnのx座標も√{(1+rn)2−(1−rn)2}になり、
これを計算すれば2√rnになるためです。
y座標は半径と同じです。

右の方に円を作っていくというのは解答の作り方の問題で、
それはどっちでもいいので、
解答作成者は好きなように、解答を読む側は上手く処理してとしか言えません。

No.2721 - 2008/09/15(Mon) 01:07:41

Re: 円と半径 / Jez-z
rtzさんわかりました^^ありがとうございます。
No.2744 - 2008/09/16(Tue) 23:52:19
順列 / 桜 高校2
こんにちは。
よろしくお願いいたします。

男子4人、女子3人がいる。
女子のうち2人だけが並びあうように7人が一列に並びは何通りか。

という問題がわかりません。
教えてください。

No.2705 - 2008/09/14(Sun) 12:02:17

Re: 順列 / 七
1) 女子3人が隣り合う並び方,
2) 女子が隣り合わない並び方
なら分かりますか?

No.2706 - 2008/09/14(Sun) 12:23:56

Re: 順列 / 桜 高校2
ありがとうございます。

(1)はわかりました^^

「2人」だけというのがひっかかってわかりません。
3人ならわかるのですが・・・

No.2711 - 2008/09/14(Sun) 20:17:27

Re: 順列 / 七
7人の並び方すべてから
1),2)を引けば求められると思います。

No.2712 - 2008/09/14(Sun) 20:35:06

Re: 順列 / 桜 高校2
ありがとうございます。
たびたびすみません。

隣り合わない並び方が
よくわからなかったのですが、4!*3!でいいのでしょうか。

No.2713 - 2008/09/14(Sun) 21:14:14

Re: 順列 / 桜 高校2
全体-144でよいでしょうか。

すみませんです。。
もうわからなくて混乱です><

No.2714 - 2008/09/14(Sun) 21:31:43

Re: 順列 / ヨッシー
全体-144 はあり得ません。
 1) 女子3人が隣り合う並び方
だけで720通りありますから。

 2) 女子が隣り合わない並び方
は、男女の並び順が
 男男女男女男女
 男女男男女男女
 男女男女男男女
 男女男女男女男
 女男男男女男女
 女男男女男男女
 女男男女男女男
 女男女男男男女
 女男女男男女男
 女男女男女男男
の10通りあり、それぞれについて4!×3!=144(通り)あります。
以上より、
 全体−720−1440
となります。

No.2718 - 2008/09/14(Sun) 23:03:18

Re: 順列 / 桜 高校2
ありがとうございました^^
おかげで解けました☆

No.2726 - 2008/09/15(Mon) 16:47:34
積分です。 / 高専マン
次の曲線で囲まれる図形の面積を求めよ
r=cos2θ

についてですが、解答では図形の対称性を利用して
4*(1/2)∫[-π/4,π/4](cos2θ)^2 dθ
=2∫[-π/4,π/4](1+cos4θ)/2 dθ
=π/2

としていますが、対称性を考えずに
(1/2)∫[0,2π](cos2θ)^2 dθ
=∫[0,2π](1+cos4θ)/2 dθ
=π/2
と考えたのですが、これでもいいのでしょうか?

No.2701 - 2008/09/14(Sun) 01:58:10

Re: 積分です。 / 高専マン
スミマセン。自分の解答に1/2が抜けてますね。
正しくは
(1/2)∫[0,2π](cos2θ)^2 dθ
=(1/2)∫[0,2π](1+cos4θ)/2 dθ
=π/2
でした。申し訳ありません。

No.2702 - 2008/09/14(Sun) 01:59:56

Re: 積分です。 / ヨッシー
どちらでも、構いません。
が、いずれの場合も、ちゃんとθとrと図形の関係を把握して
おかないといけません。
模範解答の-π/4〜π/4 というのも、簡単には判断できませんし、
0〜2π で、ちょうど1回分の図形が、過不足なく描けるという
確証がないといけません。

No.2725 - 2008/09/15(Mon) 13:50:52

Re: 積分です。 / 高専マン
ヨッシーさん、ありがとうございます。
助かりました。

No.2733 - 2008/09/15(Mon) 21:51:09
高2 / NnA
○次の曲線で囲まれた図形を図示し、その面積を求めよ。
(1)y=x(x-2)(x-3), x軸
(2)y=sinx, y=cos2x (0≦x≦π), x=0, x=π
(3)y=((2x)/(1+x^2)), y=x

○次の曲線で囲まれた図形をx軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ。
(1)y=(1/(x+1)), x軸, y軸, 直線x=2
(2)y=sinx (0≦x≦π), x軸
(3)y=logx, 直線x=e, x軸
(4)放物線y=x^2, y=√x
(5)放物線y^2=4x, 直線x=1

多くてすいません…
よろしくお願いします。

No.2687 - 2008/09/13(Sat) 21:37:43

Re: 高2 / にょろ
x=0,2,3で±が変わります
そこに注意して積分
(2)交点を求めれば大丈夫です。
sinとcosの関係に気を付ければ交点はすぐ求まります。
(3)y=((2x)/(1+x^2))=(1+x^2)'/(1+x^2)
です。

とりあえずここまで

No.2688 - 2008/09/13(Sat) 22:30:00

Re: 高2 / にょろ
(1)
y=(1/(x+1))=(x+1)'/(x+1)
(2)
面積はTHE 2
は公式として知ってて欲しいな〜
(3)y=logx, 直線x=eはy=1でまじわります。

(4),(5)
大きい方の回転体の体積-小さい方の回転体の体積です。
あとで少し補足するかもしれません。

No.2690 - 2008/09/13(Sat) 22:35:51

Re: 高2 / にょろ

下の画像のように回転軸に対して線対称な図形を考えます。

対称軸はy=Rとします。
上のグラフは
R+f(x)
下のグラフは
R-f(x)
とできます。
ここで[a,b]の区間でのx軸中心の回転体の体積を考えます。
まずこの図形の面積をSとするとS=∫_[a,b](2f(x))dx

すると
π∫_[a,b]((R+f(x))^2-(R-f(x))^2)dx
=π∫_[a,b](4f(x)R)
=2π∫_[a,b](2f(x))dx*R
=2πSR

となります。
実は回転体の面積Vは
V=2πSR(Rは「重心」までの距離)
と表せます。
(高校範囲では上の範囲が限界だと思います)

これをパップスギュルダンの定理といいます。
上の問題のy=sinxがy軸中心回転なら使えたんですけどねぇ…

No.2692 - 2008/09/13(Sat) 22:59:12

Re: 高2 / NnA
解説ありがとうございます。

でも、最初の問題の
(2)y=sinx, y=cos2x (0≦x≦π), x=0, x=π
の解き方がどうしてもわかりません。
よろしければ、詳しい解説をお願いします。

No.2694 - 2008/09/13(Sat) 23:47:10

Re: 高2 / NnA
すいません。
(3)y=((2x)/(1+x^2)), y=x
(1)y=(1/(x+1)), x軸, y軸, 直線x=2
(3)y=logx, 直線x=e, x軸
(4)放物線y=x^2, y=√x
(5)放物線y^2=4x, 直線x=1
もわからないです。
詳しい解説をお願いします。

No.2695 - 2008/09/13(Sat) 23:53:43

Re: 高2 / にょろ
まず(2)から
交点の座標は
sinx=cos2x=sin((π/2)-2x)
x=π/2-2x
x=π/6が交点です。
それまでは
cos2x-sinx
そこからπ/2までは
sinx-cos2x
の積分になります。
その後範囲がコレの二倍なので二倍してください。

No.2696 - 2008/09/14(Sun) 00:10:39

Re: 高2 / にょろ
次図形はこんな感じ点は気にしないでください
というわけで求める面積は
∫_[0,1](1+x^2)'/(1+x^2)-xdx
=[log(1+x^2)-x^2/2]_[0,1]
=〜
です。

No.2697 - 2008/09/14(Sun) 00:33:11

Re: 高2 / にょろ
画像入れ忘れましたorz
No.2698 - 2008/09/14(Sun) 00:39:15
順列 / 桜 高校2
こんばんは。
よろしくお願いいたします。

0,1,2,3,4,5の6個の数字から異なる4個の数字を取って並べて、4桁の整数を作るものとする。

(1)3の倍数
(2)2400より大きい整数

2つがわkりませんでした
教えてください
よろしくお願いいたします。

No.2685 - 2008/09/13(Sat) 20:13:47

Re: 順列 / gaku
(1)その数が3の倍数になるのは,各位の数の和が3の倍数になるときです。
たとえば,1236のように。

No.2686 - 2008/09/13(Sat) 21:00:48

Re: 順列 / 桜 高校2
ありがとうございます^^。

1236はないみたいです。

詳しい解説をお願いいたします。

No.2689 - 2008/09/13(Sat) 22:34:47

Re: 順列 / にょろ
(1)まず0-5を3つのグループに分類
0,3//3で割りきれる…①
1,4//1余る…②
2,5//-1余る…③

足して3の倍数になる組み合わせは
①*2,②,③一つづつ
②,③が2つづつ

です。
確かhtmlは使えますねうん

No.2699 - 2008/09/14(Sun) 00:48:10

Re: 順列 / 桜 高校2
ありがとうございました。
とても参考になりました!!

No.2704 - 2008/09/14(Sun) 11:59:43
指数対数 / kai(高3)
(1)6^nが39桁の自然数になるとき自然数nを求めよ。(2)その場合のnに対する6^nの最高位の数字を求めよ。ただし
log(10)2=0.3010 log(10)3=0.4771 とする。

(1)
10^38≦6^n<10^39
38≦0.7781n<39
よってn=49,50

(2)
0≦6^n-a*10^38<10^38 (n=49,50)
○≦a<□

上のように計算してるのですが、解けないので教えてください。
(1)は間違っていないかどうか、(2)はヒントをお願いします。

No.2680 - 2008/09/13(Sat) 17:11:35

Re: 指数対数 / rtz
(2)
n=49なら、
649/1038とすれば、
○.○○○○…という小数になりますね。
つまり1以上10未満ですので、
1≦649/1038<10として自然対数を取ってみましょう。
そうすれば0≦?<1となりますが、
たとえば?=0.4ならlog102≦?<log103から整数部は2と分かります。
実際に出てきた値について考えてみてください。
log104=log1022
log105=log10(10/2)
log106=log10(2*3)
などを使えば、
実際の数値も出せますね。
n=50も同様に出せます。


(1)
答えは正しいです。
googleで10^49や10^50と入力してみてください。
ちなみに(2)の答えが正しいかどうかも一緒に分かってしまうので、後にしました。

No.2681 - 2008/09/13(Sat) 17:44:58

Re: 指数対数 / kai(高3)
rtzさん返信ありがとうございます。

rtzさんの計算で(2)は分かりました。
ってことは、(2)
0≦6^n-a*10^38<10^38 (n=49,50)
log10(a)≦□<log10(a+1)
とすればいいんですね。

阪大の問題といいrtzさんありがとうございます。

たびたびすみませんが、logの底のあらわし方はどうするのでしょうか。rtzさんのは底10がlogの下にかいてありますが...

No.2693 - 2008/09/13(Sat) 23:04:48

Re: 指数対数 / rtz
この掲示板はHTMLタグが使えるので、
log<sub>10</sub>xと打てば下付き文字としてlog10xと表示されます。
(ただし、<>は半角に直してください。下も同じです。)
また、
x<sup>2</sup>と打てば上付き文字としてx2と表示されます。
一々打つのは面倒なら辞書登録しておいてもいいでしょう。

No.2700 - 2008/09/14(Sun) 01:26:17

Re: 指数対数 / にょろ
&lt;,&gtで<>は表現できると思いますよ。
ただプレビューの時変わっちゃうのはいただけませんけどね…。

No.2703 - 2008/09/14(Sun) 09:07:15

Re: 指数対数 / rtz
>にょろさん
はじめそれで打ち込んだのですが、
なぜか私の場合、投稿すると
そのままタグ扱いで変換されてしまいましたので全角にしました。

No.2708 - 2008/09/14(Sun) 18:45:30
分数式 / まあ
分数式にまとめる問題で
{(x-2)/(2x^2-5x+3)}+{(3x-1)/(2x^2+x-6)}+{(2x^2-5)/(x^2+x-2)}の計算教えてください。
お願いします

No.2678 - 2008/09/13(Sat) 16:42:27

Re: 分数式 / gaku
分数式であっても,分数は分数ですからたし算はやはり通分。
No.2679 - 2008/09/13(Sat) 16:56:55

Re: 分数式 / hari
分母は因数分解できますよ。
どの項も分母分子に一次式をかけると通分できます。

No.2682 - 2008/09/13(Sat) 18:23:34

Re: 分数式 / まあ
良かったら計算過程を教えてください?ォ
No.2683 - 2008/09/13(Sat) 18:38:12

Re: 分数式 / とおりすがり
自分の計算に自信がなければその過程を書いてください.
そうすれば添削します.

No.2684 - 2008/09/13(Sat) 19:26:14

Re: 分数式 / hari
計算問題は自分の力でやらないと身につかないからがんばってください。
答えは2です。

たとえば1/ab + 1/bc + 1/caを通分するなら
c/abc + a/abc + b/abc = (a + b + c)/abc
となります。今回も同様に通分できます。

No.2691 - 2008/09/13(Sat) 22:41:47
ある立体の体積 / 浪花のムサシ
初めて書き込みいたします。以前、姪の勉強を見てあげていて、回答に困ったので、質問させていただきます。
直径10cm、高さ10cmの円柱があります。上面の円に内接する正方形ABCDがあり、底面の円にABCDと45度傾いた内接正方形EFGHがあります。
上面の頂点ABCDと底面の頂点EFGHをそれぞれ直線で結びます。すると、上面及び底面が正方形で、側面が合同の二等辺三角形が8面である、10面体ができあがります。
この立体の体積を求めなさいという問題なのですが、
姪が中学3年の時の問題です。
中学生のレベルでこの問題をどう説明すれば良いのでしょうか。
よろしくお願いします。

No.2676 - 2008/09/13(Sat) 16:11:30

Re: ある立体の体積 / ヨッシー
時間がないので、描き散らかした図ですが、

8角柱から、三角錐を8つ取り除いたものとして考えます。

1辺10cmの正方形に、底辺10cm、高さ5√2−5 の三角形を4つつけたのが
正8角形なので、8角柱の体積も、三角錐の体積も、出ると思います。

No.2677 - 2008/09/13(Sat) 16:34:08
2次方程式 / ナンシー
0.3x^2-2x-1.2=0
で10倍して公式に当てはめたところ
{-20±√(400-4×3×(-12))}/6
になったのですが、続きの計算がわかりません
教えてください!

No.2674 - 2008/09/13(Sat) 11:26:39

Re: 2次方程式 / ヨッシー
まず、最初の-20 は 20 の誤りです。
続きといっても、
(20±√544)/6=(20±4√34)/6=(10±2√34)/3
とするぐらいですね。

xの係数が偶数の時の解の公式
 ax^2+2bx+c=0 の解 x={-b±√(b^2-ac)}/a
を使えば、
 x=(10±√(100−3×(-12))/3=(10±√136)/3
となり、約分が不要になります。
(√136=2√34 の変形は必要です)

No.2675 - 2008/09/13(Sat) 13:07:46
なぜか途中で文が消えてします。3回目の投稿。下2回目は削除してください / daigo(大学1年)
2次方程式の解の配置問題で、条件として、f(α)f(β)<0であればよいというときがあります。これは、

f(α)>0かつf(β)<0 または f(α)<0かつf(β)>0

代わりに、f(α)f(β)<0 をチェックするということなのは分かります。
しかし、現実問題として、f(α)>0かつf(β)<0 を満たすaの範囲があった場合、f(α)<0かつf(β)>0 を満たすaの範囲は必ず存在しないのでは?抽象的ですいません。私の聞きたいこと分かるでしょうか?[質問?@]

具体的には次の問題です。
x^2+(a+2)x-a+1=0 について、
解の1つが-2他の解がx<-2または
0<xの範囲にあるようなaの範囲は?

この問題を解くための必要十分条件は
f(0)>0かつf(-2)<0 または f(-2)>0かつf(0)<0 ですよね。
これは、f(0)f(-2)<0 と同値です。つまり、1/3<a<1が(答)。しかし、この1/3<a<1は、f(0)>0かつf(-2)<0 のaの範囲です。ちなみに、f(-2)>0かつf(0)<0 を満たすaの範囲は存在しません。
ということはこの問題、1つが-2<x<0 にあった場合、0<xに解があることはありえないということですか?[質問?A]
それなら初めから聞くなという感想を持つのですが・・・

皆さんいかがですか?質問?@、質問?A、両方ともよろしくお願いします。

No.2667 - 2008/09/12(Fri) 23:37:50

Re: なぜか途中で文が消えてします。3回目の投稿。下2回目は削除してください / daigo(大学1年)
解の1つが-2<x<0の範囲にあり、他の解が・・

です。-2で止まっているのは間違いです。

打ち込んでいるのになぜ消えるの?

No.2668 - 2008/09/12(Fri) 23:40:19

Re: なぜか途中で文が消えてします。3回目の投稿。下2回目は削除してください / ヨッシー
半角の<は、しばしば、タグとして見なされることがあるので、
それで表示されないと思います。

質問1
たとえば、f(x)=x2+2ax+1
が、−1<x<1 に1つの解を持ち、他の解をx≦−1 
または 1≦x にもつようなaの値
といった場合は、
 f(-1)<0 かつ f(1)>0
 f(-1)>0 かつ f(1)<0
もあるaの値を示します。

質問2
よって、片方から解が得られたら、他方からは解が得られないかどうかは
解いてみないと分かりませんし、片方からは、解が得られない
ということを示すことは、解があることを示すのと、同じくらい
重要と思います。

No.2669 - 2008/09/12(Fri) 23:57:18

Re: なぜか途中で文が消えてします。3回目の投稿。下2回目は削除してください / rtz
先に質問2から。
x2+(a+2)x−a+1=0
⇔x2+2x+1=a(1−x)
方程式x2+(a+2)x−a+1=0の解は、
y=x2+2x+1とy=a(1−x)の交点のx座標ともいえますね。
両方のグラフを描いてみましょう(y=a(1−x)は(1,0)を通る直線)。
y=a(1−x)をくるくる回せば、-2<x<0で交わるときx>0で交わらないことは確認できると思います。


質問1
xが正だとして、
x2=1
⇔(x+1)(x−1)=0
⇔x=1 (∵x>0)
としてx=-1は捨てますよね?

これと同じで、
問題の条件に当てはまるような場合を、
実際にはありえようがありえなかろうが全て考えた上で、
その上でありえないものについては切り捨てればよいだけのことです。

例えばA、B、C、D、Eの5人が容疑者だったとして、
「Aはこの時間別の場所にいたから無理」
「Bは…」
として、1つ1つ潰していくのと同じです。
最終的にはありえなくても、条件から導かれる可能性については、
ありえないとして潰しておかなければ「それを考慮指定していない」という時点で論理として間違いなわけです。

No.2673 - 2008/09/13(Sat) 11:14:30
全22091件 [ ページ : << 1 ... 1064 1065 1066 1067 1068 1069 1070 1071 1072 1073 1074 1075 1076 1077 1078 ... 1105 >> ]