n+1が3の倍数となる自然数nが与えられている時、F[n](p,q)が最大になる自然数p、qの組(p,q)をすべて求めなさい。
F[n](p,q)はF[n](p,q)=n!/p!・q!・(n-p-q)!となることはわかりました(←これで合っています)。でも↑の問題はさっぱりです。解き方を教えてください。お願いします。
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No.4392 - 2008/12/31(Wed) 22:08:25
| ☆ Re: 場合の数 / rtz | | | いきなり途中から始められても何のことやら分かりかねますので、
一応問題の一部くらいは書いて頂けますか？
質問の件ですが、
nは固定ですから、p!・q!・(n-p-q)!を最小にすればいいので、
例えばqを固定したとき、p!・(n-p-q)!が最小になるのは、
{(p+1)!・(n-p-1-q)!}/{p!・(n-p-q)!}＝(p+1)/(n-p-q)から、
(p+1)!・(n-p-1-q)! ＜ {p!・(n-p-q)!} ⇔ p＜(1/2)(n-q-1)
(p+1)!・(n-p-1-q)! ＝ {p!・(n-p-q)!} ⇔ p＝(1/2)(n-q-1)
(p+1)!・(n-p-1-q)! ＞ {p!・(n-p-q)!} ⇔ p＞(1/2)(n-q-1)
より、
n-qが偶数ならp!・(n-p-q)!≧{(1/2)(n-q)}!・{(1/2)(n-q)}!
n-qが奇数ならp!・(n-p-q)!≧{(1/2)(n-q-1)}!・{(1/2)(n-q+1)}!
要は同数か1違う数のいずれかです。
これはqにおいても同様ですから、
結局n＝3k−1において、p,q,n-p-qがk,k,k-1のいずれかということになります。
よって即ち(p,q)＝((1/3)(n+1),(1/3)(n+1))、((1/3)(n+1),(1/3)(n-2))、((1/3)(n-2),(1/3)(n+1))
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No.4393 - 2008/12/31(Wed) 23:55:30 |
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