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★ 確立 / mon

正三角形の頂点を反時計回りにＯ，Ａ，Ｂとし、「コインを投げて表が出れば反時計回りに次の頂点に移動し、裏が出れば移動せずその頂点に留まる」という試行を考える。頂点Ｏを出発し、n回の試行の後、頂点Ｏ，Ａ，Ｂにいる確立をそれぞれp(n),q(n),r(n)と表す。ただし、p(0)=1,q(0)=r(0)=0とする。 (1)p(n+3)={3-p(n)}/8 (n=0,1,2,････)であることを示せ。 (2)lim n→∞,p(n)=lim n→∞,q(n)=lim n→∞,r(n)=1/3であることを示せ。 全く分かりません。 わかる方、よろしければ教えて下さい。お願いします。 No.5206 - 2009/02/15(Sun) 12:08:01 ☆ Re: 確率 / ヨッシー (1) ｎ回目にＯにいるとき、n+1 回目には50%ずつの確率で、 点Ｏと点Ａにいます。 ｎ回目にＡにいるとき、n+1 回目には50%ずつの確率で、 点Ａと点Ｂにいます。 ｎ回目にＢにいるとき、n+1 回目には50%ずつの確率で、 点Ｂと点Ｏにいます。 以上より 　p(n+1)＝{r(n)＋p(n)}/2 　q(n+1)＝{p(n)＋q(n)}/2 　r(n+1)＝{q(n)＋r(n)}/2 という漸化式が出来ます。 これを利用すると 　p(n+3)＝{r(n+2)＋p(n+2)}/2 　　＝{q(n+1)＋r(n+1)＋r(n+1)＋p(r+1)}/4 　　＝{q(n+1)＋2r(n+1)＋p(r+1)}/4 　　＝{3q(n)＋3r(n)＋2p(n)}/8 p(n)＋q(n)＋r(n)＝１ より 　p(n+3)＝{3−p(n)}/8 (2) A(n)＝p(3n) B(n)＝p(3n+1) C(n)＝p(3n+2) とおきます。(n=0,1,2,････) (1) の結果より 　A(n+1)＝{3−A(n)}/8, A(0)＝1 　B(n+1)＝{3−B(n)}/8, B(0)＝1/2 　C(n+1)＝{3−C(n)}/8, C(0)＝1/4 と書けます。 　A(n+1)-1/3＝(-1/8){A(n)−1/3} より 　A(n)−1/3＝(2/3)(-1/8)^n 　A(n)＝(2/3)(-1/8)^n＋1/3 同様に 　B(n)＝(1/6)(-1/8)^n＋1/3 　C(n)＝(-1/12)(-1/8)^n＋1/3 となり、ｎ→∞ のとき A(n), B(n), C(n)ともに、1/3 に収束するので 　limn→∞p(n)=1/3 同様に D(n)＝q(3n) E(n)＝q(3n+1) F(n)＝q(3n+2) とおくと 　D(n+1)＝{3−D(n)}/8, D(0)＝0 　E(n+1)＝{3−E(n)}/8, E(0)＝1/2 　F(n+1)＝{3−F(n)}/8, F(0)＝1/2 G(n)＝r(3n) H(n)＝r(3n+1) I(n)＝r(3n+2) とおくと 　G(n+1)＝{3−G(n)}/8, G(0)＝0 　H(n+1)＝{3−H(n)}/8, H(0)＝0 　I(n+1)＝{3−I(n)}/8, I(0)＝1/4 より、それぞれ D(n)＝G(n)＝H(n)＝(-1/3)(-1/8)^n＋1/3 E(n)＝F(n)＝B(n) I(n)＝C(n) となり、いずれも 1/3 に収束します。以上より、 　limn→∞q(n)=1/3 　limn→∞r(n)=1/3 No.5209 - 2009/02/15(Sun) 12:49:21 ☆ Re: 確立 / mon なるほど まずn+1回目の確立をn回目の確立で表すのですね。 大変よく分かりました。 丁寧な解答、解説ありがとうございました。 No.5220 - 2009/02/15(Sun) 21:38:12

★ 数学?U / ゆっち

円Ｃ:x^2+y^2=5に円外の点Ｐ(3,1)から引いた接線の方程式を求めよ。 この問題が分からないので教え下さい。宜しくお願いします。 No.5202 - 2009/02/15(Sun) 02:47:28 ☆ Re: 数学?U / 七 > 円Ｃ:x^2+y^2=5に円外の点Ｐ(3,1)から引いた接線の方程式を求めよ。 > > この問題が分からないので教え下さい。宜しくお願いします。 円周上の点(a，b)における接線の方程式は ax＋by＝5 … (A) これが(3，1)を通ればいいから 3a＋b＝5 … (1) また(a，b)は円周上の点だから a^2＋b^2＝5 … (2) 連立方程式(1)，(2)を解いて(A)に代入すればいいですね。 No.5203 - 2009/02/15(Sun) 06:40:19 ☆ Re: 数学?U / ToDa こういった解き方もあります。 接線は明らかにy軸と平行ではないので、接線の方程式は、傾きをkとしてy=k(x-3)+1とおけます。 あとは円の式と連立させて実数解の条件に帰着させたり、中心と直線との距離の関係を使うなりご随意に。 No.5210 - 2009/02/15(Sun) 13:26:52

★ 極限値 / ｋ

次の極限値を求めなさい。 lim〔ｘ→∞〕ｘ[√（ｘ＾２-５ｘ）-ｘ]sin（１／ｘ） という問題です。 自分で解いたら<∞に発散>となったのですが・・・。 お願いします。 No.5198 - 2009/02/14(Sat) 23:35:52 ☆ Re: 極限値 / rtz t＝1/xとして、lim[x→∞] xsin(1/x)＝lim[t→0](sint)/t lim[x→∞]√(x2−5x)−x ＝lim[x→∞]-5x/{√(x2−5x)＋x} No.5199 - 2009/02/14(Sat) 23:48:49 ☆ Re: 極限値 / ｋ ありがとうございます。 式変形をミスってました・・・。 答えは-５/２でしょうか？ No.5200 - 2009/02/15(Sun) 00:23:20 ☆ Re: 極限値 / rtz はい。 No.5201 - 2009/02/15(Sun) 00:35:40 ☆ Re: 極限値 / ｋ すっきりしました。 ありがとうございました。 No.5205 - 2009/02/15(Sun) 12:07:05

★ 文章問題 / ひろ

鉛筆だけならちょうど50本、消しゴムだけならちょうど30個買うことが出来ます。鉛筆15本買うと、残りのお金で消しゴムは何個買えますか。 教えてください。 No.5194 - 2009/02/14(Sat) 19:07:31 ☆ Re: 文章問題 / ヨッシー １５０円持っていたとすると、 鉛筆３円、消しゴム５円です。 鉛筆１５本買うと、４５円なので、 　１５０−４５＝１０５(円) で、形ゴムを買うと、 　１０５÷５＝２１(個) 買えます。 所持金を１とおくと・・・と言うのが通常ですが、 分数が出るので公倍数の１５０としました。 単位の円は簡便的に付けました。 No.5195 - 2009/02/14(Sat) 19:15:06 ☆ Re: 文章問題 / らすかる 別解 鉛筆50本の値段＝消しゴム30個の値段 だから 鉛筆5本の値段＝消しゴム3個の値段 鉛筆15本の値段＝消しゴム9個の値段 30-9=21だから21個 No.5197 - 2009/02/14(Sat) 19:49:16 ☆ Re: 文章問題 / ひろ 有難うございました。 いろいろな方法がわかりました。 また分からない時は教えてください。 No.5223 - 2009/02/15(Sun) 22:38:39

★ (No Subject) / かなみ

関数y=cos2π/(x^2+1)のグラフの概形をかけ。 微分してy'=4πx/(x^2+1)^2×sin2π/(x^2+1) となったのですがあっているでしょうか。 y"やlimも求めたいのですがよく分りません。 お願いします。 No.5189 - 2009/02/14(Sat) 10:51:21 ☆ Re: / 七 > 関数y=cos2π/(x^2+1)のグラフの概形をかけ。 この式はあっているのでしょうか？ もしそうなら > 微分してy'=4πx/(x^2+1)^2×sin2π/(x^2+1) > となったのですがあっているでしょうか。 間違いです。 いくつかおかしいところがありますが cos2π＝1をxについて微分すると0になります。 No.5191 - 2009/02/14(Sat) 12:51:00 ☆ Re: / かなみ y=cos{2π/(x^2+1)} こうした方が分りやすいかもしれません。 どのように微分すればいいのでしょうか？？ No.5192 - 2009/02/14(Sat) 15:37:17 ☆ Re: / ヨッシー {1/(x^2+1)}’＝-2x/(x^2+1)^2 なので、 　y'＝-sin{2π/(x^2+1)}×2π{-2x/(x^2+1)^2} 　　＝4πx/(x^2+1)^2×sin{2π/(x^2+1)} で合ってますね。 No.5193 - 2009/02/14(Sat) 16:55:55 ☆ Re: / かなみ 合ってますか。 ヨッシーさんありがとうございます。 No.5196 - 2009/02/14(Sat) 19:41:30

★ 受験数学 / mon

関数f(x)=xe^(-x^2/2)について次の問いに答えよ (1) y=f(x)の概形をかけ。ただし、lim x→∞,f(x) =0は用いても良い。 (2)αを正の定数とするとき、x軸上の点(α,0)からy=f(x)へ引ける接線の本数を求めよ。 (1)は単純にy',y''を求めればできるのでしょうか？ xe^(-x^2/2)という式をうまく微分できないのですが。 (2)は全くわかりません。 わかる方、よろしかったら教えて下さい。 No.5188 - 2009/02/14(Sat) 10:06:14 ☆ Re: 受験数学 / rtz (1) 仰るとおり、基本的な方針はいつもと変わりません。 合成関数の微分法はもうご存知だと思いますが、 分かりにくければ途中で一度文字に置き換えるのも手です。 t＝-(1/2)x2とおけば、dt/dx＝-xですので、 d/dx e-(1/2)x2＝d/dx et＝dt/dx・d/dt et＝-x・et＝-xe-(1/2)x2 あとはxe-(1/2)x2を合成関数の微分法に基づいて微分しましょう。 あとはf'(x)同様にf"(x)も求めましょう。 ちなみに、f(-x)＝-xe-(1/2)x2＝-f(x)ですから、 グラフは原点に関して点対称であることも一助になるかと思います。 (2) グラフを描ければある程度想像は付きますが。 (p,f(p)における接線の方程式を求め、 これが(α,0)を通るとして、pに関する3次方程式を作り、 その実数解の個数を出せば、それが即ち引ける接線の本数です。 No.5190 - 2009/02/14(Sat) 11:59:51 ☆ Re: 受験数学 / mon できました！ 丁寧な説明ありがとうございました No.5204 - 2009/02/15(Sun) 12:01:58

★ (No Subject) / ｆだｓ

∫x^2/(x+1) - 2x^3/(x^2+1) ｘ−１＋１/(x+1) この変形がわかりませんＯＴＺ No.5184 - 2009/02/13(Fri) 18:35:27 ☆ Re: / ｆだｓ (ｘ−１)＋１/(x+1) -((2x)-2x/(x^2+1)) 右側わすれてました No.5185 - 2009/02/13(Fri) 20:34:48 ☆ Re: / NISSK それぞれ分子の次数が分母の次数より小さくなるように変形したものです． 丁寧に変形してみますと，第１項目に関しては x2/(x + 1) = {x(x + 1) - x}/(x + 1) 　　　　　　= x - x/(x + 1) 　　　　　　= x - {(x + 1) - 1}/(x + 1) 　　　　　　= x - {1 - 1/(x + 1)} 　　　　　　= x - 1 + 1/(x + 1) となります． No.5186 - 2009/02/13(Fri) 22:04:08

★ 集合と論理について教えてください / ノリス
自分は現在B1の理工系学生です。単純な問題なのですが答えが出せずに困っています。教えていただきたいのは「集合が先か論理が先か」という問題です。 　個人的には集合によって論理を決定したほうが明快な気がするのですが・・・。その場合何か問題が生じるのでしょうか？それとも論理と集合は同等な関係にあるのでしょうか？解説をぜひお願いします。 No.5179 - 2009/02/13(Fri) 01:10:27

★ (No Subject) / syo

半径８の円Oの内部の点Pを通る弦ABについて、PA・PB＝28であるとき、線分OPの長さを求めよ。 解説お願いします。 No.5178 - 2009/02/13(Fri) 00:20:05 ☆ Re: / らすかる ABの中点をMとすると OP^2=OM^2+PM^2 =(OA^2-AM^2)+(AM-AP)^2 =OA^2+AP^2-2AM・AP =OA^2+AP^2-AB・AP =OA^2-AP・(AB-AP) =OA^2-AP・BP =8^2-28 =36 ∴OP=6 No.5180 - 2009/02/13(Fri) 02:27:28 ☆ Re: / ToDa OとPを通る弦(すなわち直径)を描いて、方べきの定理を持ち出してみるという手もありますね。 No.5181 - 2009/02/13(Fri) 02:56:31 ☆ Re: / syo ほうべきも使えるんですね！わかりました！ No.5182 - 2009/02/13(Fri) 06:27:34

★ (No Subject) / ｆだｓ

☆ Re: / ヨッシー 引用 ｙ＝ａ^x のグラフで、傾きが１の点で、ｙ＝ｘ と接する時を 調べます。 ｙ＝ａ^x をｘで微分して 　ｙ'＝(ａ^x)logａ＝１ より、 　ａ^x＝1/logａ 　ｘ＝loga(1/logａ) このとき、ｙ＝ｘ と ｙ＝ａ^x よりが接するとき 　loga(1/logａ)＝ａ^{loga(1/logａ) } これを解いて、 　ａ＝ｅ^(1/e) よって、 　ａ≧ｅ^(1/e) において、不等式a^x≧ｘが任意の正の実数ｘに対して成り 立つ。 No.5115 - 2009/02/08(Sun) 18:39:58 -------------------------------------------------------------------------------- ☆ Re: NEW / ｆだｓ 引用 すみませんＯＴＺ これを解いてがわかりません；；；；；； No.5175 - 2009/02/12(Thu) 18:10:46 ☆ Re: / ヨッシー ｂ＝logａ とおくと、 　loga(1/logａ)＝log(1/ｂ)/ｂ 　ａ^{loga(1/logａ)}＝１/ｂ より、 　log(1/ｂ)＝１ 　１/ｂ＝ｅ 　ｂ＝logａ＝1/e よって、 　ａ＝ｅ^(1/e) となります。 No.5176 - 2009/02/12(Thu) 20:09:16 ☆ Re: / ｆだｓ ありがとうございます No.5183 - 2009/02/13(Fri) 18:21:33

★ 重積分 / 絢香

重積分の下のような問題のとき、 どのようにxの範囲とyの範囲を求めるのですか?? (1)3y^2-xy D:y≦2x、y≧2^2 (2)　　x D:0≦x+y≦1、0≦x-y≦1 (3)(x^2)y D:0≦x≦y≦1 範囲は (1)∫(0〜4)∫(2x^2〜2x) 3y^2-xy dydx (2)∫(0〜1/2)∫(0〜x) x dydx (3)∫(0〜1)∫(0〜y) (x^2)y dxdy となるようなのですが、考え方がよくわかりません。 詳しい解説をお願いします!! また、下の問題のように積分の順序を変えて計算するとき、 どのようにxとyの範囲を求めるのですか？ (4)∫0〜3 ∫0〜(2-(2x/3)) (1-(x+y)/3)dydx 範囲は、入れ替えると (4)∫(0〜2)∫(0〜3-(3/2)y) (1-(x+y)/3)dydx となるようなのですが、 考え方を詳しく教えてください!! No.5173 - 2009/02/12(Thu) 02:01:24

★ 文章問題　他 / ひろ

(1)ある数を17で割ると余りが15になりました。同じ数を19で割ると、商は17で割った時と同じになり、あまりは3でした。ある数はいくつですか。 (2)直角三角形ABCがあります。 ∠A=90°　AB=6 AC=8 BC=10 辺ABを辺BCに折り曲げると、∠AはBCに対して直角です。 折曲がったAC上の角をDとする。 折り曲げったACを∠Aを中心に折り曲げます。 その時できた三角形のBCDの面積はいくつか。 イメージするのが難しいかもしれませんが、宜しくおねがいします。 No.5165 - 2009/02/11(Wed) 23:13:32 ☆ Re: 文章問題　他 / ヨッシー (1) 商をｘとおくと、 　１７ｘ＋１５＝１９ｘ＋３ 答え　１１７ (2) ここまでは描けましたが、合ってますか？ No.5167 - 2009/02/11(Wed) 23:22:22 ☆ Re: 文章問題　他 / ひろ ヨッシーさん、ありがとうございます。 あっています。どうしてCD=5と出たのですか。 No.5170 - 2009/02/12(Thu) 00:15:38 ☆ Re: 文章問題　他 / らすかる Aを折り返した先をA'とすると △ABC∽△A'DC なので A'C：CD=AC：BC=4：5 です。 No.5171 - 2009/02/12(Thu) 00:33:57 ☆ Re: 文章問題　他 / ひろ らすかるさま ありがとうございます。 よく見るとその通りでした。失礼しました。 No.5177 - 2009/02/12(Thu) 22:01:06

★ (No Subject) / ｆだｓ
区分求積法で 右端型と左端型の見分け方がわかりません おしえてください No.5162 - 2009/02/11(Wed) 22:05:28 ☆ Re: / ヨッシー 見分ける必要もないと思いますが、 Σの範囲の最初が、左端の値なら左端型、 Σの範囲の最後が、右端の値なら右端型です。 こちらをどうぞ。 No.5168 - 2009/02/11(Wed) 23:26:07

★ 場合の数 / Kay(高1女子)

〔問題〕 10人の生徒から、図書、放送、保健委員を２人ずつ選ぶ。１人３役は不可、１人２役までは兼任可として、全部で何通りの選び方があるか答えよ。 上の問題ですが、複雑でわかりません。よろしくお願いします。 No.5160 - 2009/02/11(Wed) 18:15:37 ☆ Re: 場合の数 / らすかる 2役を兼任する人が3人の場合 　「図書＋放送」「放送＋保健」「保健＋図書」の3人を選ぶので、10P3通り 2役を兼任する人が2人の場合で同じ2役を兼任する場合 　兼任する役の選び方が3通り、人の選び方が10C2×8C2通り 2役を兼任する人が2人の場合で異なる2役を兼任する場合 　兼任する役の選び方が3通り、人の選び方が10P4通り 2役を兼任する人が1人の場合 　兼任する役の選び方が3通り、人の選び方が10C2×8P3通り 2役を兼任する人がいない場合 　人の選び方が10C2×8C2×6C2通り 計 83880通り No.5161 - 2009/02/11(Wed) 19:14:36

★ (No Subject) / 魑魅魍魎

xについての方程式px^2+{(p^2)-q}x-(2p-q-1)=0が解をもち、すべての解の実部が負となるような実数の組(p,q)の範囲をpq平面状に図示せよ という問題なのですが 最初にp=0,q≠0の場合のとき -1が分かりました。 次にp≠0の場合のとき 判別式D=0 判別式D>0 判別式D<0 をそれぞれ考えました。 判別式D=0のとき D={(p^2)-q}^2+4p(2p-q-1)=0 x=(-p^2+q)/p が負になるには (-p^2+q)/p <0 ⇒　p(-p^2+q)<0 から p<0のとき　-p^2+q>0 ･･････(1) p>0のとき -p^2+q<0　･･････(2) と求まりました。 ここから質問なのですが　もしD=0のときだけ図示しようとしたとき,先ほど求めた条件式(1)(2)は D={(p^2)-q}^2+4p(2p-q-1)=0の場合なので Dの式をq=の形にして、qのグラフを調べてから図示するという手順になるのでしょうか？ No.5153 - 2009/02/11(Wed) 02:53:17 ☆ Re: / 魑魅魍魎 すみません、関係ないところですが訂正です＞＜ 最初にp=0,q≠0の場合のとき -1が分かりました。 の部分は 最初にp=0,q≠0の場合のとき -1<q<0が分かりました。 でした。 No.5154 - 2009/02/11(Wed) 02:56:55 ☆ Re: / 豆 １．細かいことですが、p=0、q≠0の場合のとき 　と書くと、p=0、q=0の場合の記述が必要なので、 　p=0のとき、とすべきでしょう ２．質問の答えにはなりませんが、答えを出すためなら、 Dによる、場合分けは不要です。 2根をα、βとした場合、どんな根の場合でも α+β＜0　かつ　αβ＞0 が題意を満たす必要十分条件となります。 No.5156 - 2009/02/11(Wed) 09:22:22 ☆ Re: / 魑魅魍魎 豆さんどうもありがとうございました！ > １．細かいことですが、p=0、q≠0の場合のとき > 　と書くと、p=0、q=0の場合の記述が必要なので、 > 　p=0のとき、とすべきでしょう わかりました！！ > ２．質問の答えにはなりませんが、答えを出すためなら、 > Dによる、場合分けは不要です。 > 2根をα、βとした場合、どんな根の場合でも > α+β＜0　かつ　αβ＞0 > が題意を満たす必要十分条件となります。 この問題ではDによる場合分けが不要ということでしょうか？ あと、もし問題がすべての解ではなくて、実数解だったら Dのグラフが必要になってくるのでしょうか？ 宜しくお願い致します。 No.5157 - 2009/02/11(Wed) 14:26:45 ☆ Re: / 豆 ＞この問題ではDによる場合分けが不要ということでしょうか？ はい、そうです。 因みにα+βの正負、αβの正負、計4つの組み合わせで、 実根、虚根の場合にどういう根の条件になっているかこの際 見てみたら如何ですか？ 勿論、虚根の場合はα+β=2Re(α)、αβ=|α|^2＞0というのを意識して。 ＞あと、もし問題がすべての解ではなくて、実数解だったら ＞Dのグラフが必要になってくるのでしょうか？ そうなりますね。そうすると、最初の質問のように、厄介なのじゃ ないでしょうか？　チェックはしていませんが。 逆に大変だからそんな問題は、出題されないと思いますよ。 Dの場合分けが不要というのが、この問題の肝だと思います。 No.5158 - 2009/02/11(Wed) 15:47:09 ☆ Re: / 魑魅魍魎 理解できました！！！ 豆さん本当にどうもありがとうございました！！ No.5159 - 2009/02/11(Wed) 15:59:57

★ 問題の本質 / Jez-z

2つの袋A,Bの中にはそれぞれ、1,2,3…,nの数が１つずつ書かれたn枚のカードがある。（ｎ≧2) それぞれの袋からカードを1枚ずつ取り出し、その数を記録して袋に戻さない操作を2回繰り返す。 1回目に記録されたA,Bのカードの数をそれぞれa1,b1 ２回目に記録されたＡ，Ｂのカードの数をそれぞれa2,b2 とする。 このとき、a2=b2となる確率を求めよ（答1/n) 以下に質問を書きます。 自分はa1、ｂ1の取り方によってつまり、１回目の取り方に応じて、２回目の取り方は制限される（依存する）ので場合分けをして求めるのが筋だと思い、そのように場合分けをして上の答を得られました。ところが、本問に限って言えば次のような解答も許されるようなのです。 １回目にとりだすカードは無視してもよい(a2,b2)はn^2通り、そのうちa2=b2を満たすものはn通りある。よって 答は1/n ここで、改めて思うこと（考えさせられること）は 「なぜ、１回目に取り出すのと同じようにして考えられるのか（つまり、a1=b1となる確率も1/nだということです）その問題のいわば「本質」に迫りたいのです。逆に、そのように考えてもよい（１回目に取り出すカードは無視してよい）と考えられるだけの根拠が題意の条件設定にあるはずだ！！！と思い、自分でもよく問題文を読み直してみたのですが、解決にいたることができませんでした。 長文になりましたが、以上の文に自分がこの問題と真摯に向き合っているということが伝われば幸いです。 ご指導の程よろしくお願い申し上げます。 No.5148 - 2009/02/10(Tue) 22:40:44 ☆ Re: 問題の本質 / ToDa 2つの袋A,Bの中にはそれぞれ、1,2,3…,nの数が１つずつ書かれたn枚のカードがある。(n≧2) 袋からカードを2枚同時に取り出し、横一列に左から並べる。これをA,Bの袋どちらに対しても行う。 (1)このとき、Aから取り出したカードの列のうち左にあるものの数と、Bから取り出したカードの列のうち左にあるものの数が一致する確率を求めよ。 以上の問題と、ご質問にあった問題の本質的な違いはあるでしょうか？ そして応用編。 (2)このとき、Aから取り出したカードの列のうち右にあるものの数と、Bから取り出したカードの列のうち右にあるものの数が一致する確率を求めよ。 (3)このとき、Aから取り出したカードの列のうち右にあるものの数と、Bから取り出したカードの列のうち左にあるものの数が一致する確率を求めよ。 No.5150 - 2009/02/11(Wed) 01:06:46 ☆ Re: 問題の本質 / ヨッシー Ａのカードを a1,a2,a3,a4,・・・an と並べて、そこに、Ｂのカードを b1,b2,b3,b4,・・・bn と並べたものを対応させて、 a2=b2 となる確率を考えるのと同じです。 b2 のところには、1〜n のいずれかが同じ確率で来ます。 ですから、a2=b2 となるのは 1/n である。 でどうでしょう？ No.5151 - 2009/02/11(Wed) 01:07:05 ☆ Re: 問題の本質 / DANDY　U 逆に「２回目には出やすいカードと出にくいカードがあるのか」と考えれば、何回目でもどの数字をとりだす確率も同じとなりますね。 No.5155 - 2009/02/11(Wed) 08:14:47 ☆ Re: 問題の本質 / Jez-z 御三方ともありがとうございます。理解が深まりました。 No.5164 - 2009/02/11(Wed) 23:00:29 ☆ Re: 問題の本質 / Jez-z 考え方は理解できたのですが、計算で１点ヨッシーさんに聞きたいことがあります。 基本的に確率を求めるには（場合の数）/（総事象）でも止まりますよね？したがって、 〉〉b2 のところには、1〜n のいずれかが同じ確率で来ます。ですから、a2=b2 となるのは 1/n である。 のところは自分は頭の中でn/n^2と考えたのですが、もし、ヨッシーさんの頭の中で考えてることと違っていたら教えてほしいのですが・・・（というのも、場合の数の計算では許されない考え方（計算方法）でも確率だから許される計算って色いろありますよね？自分はその手の「読み換え」が苦手で理解が鈍いので、ヨッシーさんのそれはその種の類かとも思い、一応質問させていただきました） No.5166 - 2009/02/11(Wed) 23:16:30 ☆ Re: 問題の本質 / ヨッシー n/n^2 でも良いのですが、その方法って、 a2,b2 の組み合わせが n^2 通りあるうちの、一致するのが 　a2=b2=1,a2=b2=2,a2=b2=3・・・,a2=b2=n のｎ通り、という考え方ですよね？ a2,b2 の組み合わせを、他の数と関係なく、独立して取り出せる かどうかが、この質問のポイントですので、最初からそれを前提に した式を持ってくるのは違和感があります。 私の考えたのは、 a1,a2,a3,a4,・・・an を並べたら、これだけについて確率を求める考え方です。 極端な話、a1,a2,a3・・・ の並びは 　1，2，3・・・,n に限定しても良いくらいです。 場合の数は、総数を調べる問題ですが、確率は、起こりやすさを 調べるので、同等に起こることが明らかな場合は、省略しても 良いのです。 この場合は、 　1,2,3,・・・n と並べても、 　1,4,5,・・・3 と並べても起こり方は同じだというのが根本にあります。 No.5169 - 2009/02/11(Wed) 23:36:22 ☆ Re: 問題の本質 / Jez-z 上手く言葉で言い表せないのですが、ヨッシーさんの考えはつまりこういうことですか？↓ 「b2 のところには、1〜n のいずれかが等確率でくることができるので、そのうちの１つを選ぶと考えて1/n」 上のレスでもう少し説明してほしいことが… “a1,a2,a3,a4,・・・an を並べたら、これだけについて確率を”とありますが、これは“b2が値としてとり得る確率”のようなものを指すのですよね？ あと、“同等に起こることが明らかな場合は、省略しても 良いのです。”というのは、“全事象をとるということを省略する”という意味に解してよろしいでしょうか？ 最後に、“起こり方は同じだというのが根本に”の“起こり方は”というのはこれも“b2が値としてとり得る確率（1/n)”を意味しているのでしょうか？ No.5172 - 2009/02/12(Thu) 00:40:12 ☆ Re: 問題の本質 / ヨッシー “b2が値としてとり得る確率”は、微妙な表現ですが、 「b2 が取り得るそれぞれの値の確からしさ」がどの数も 同じとして計算した、「b2 に、a2 と同じ数が来る確率」 ですね。 例えば、n=4 とします。 Ａ から取りだした順が　１，２，３，４ だったとします。 この場合ポイントは、Ｂの２番目に２が来るかどうかです。 総数で計算すると、全並べ方 ４！＝２４ のうちの、２番目に ２が来る　３！＝６ の確率なので、１／４ です。 これを、 Ｂの２番目に１，２，３，４のいずれが来るのも同じ 確からしさなので、確率は１／４ と出来る というのが、「同等に起こることが明らかな場合」のその１。 さらに、 Ａからの取り出し方は、１，２，３，４ 以外にも、２３通り ありますが、いずれの場合も、上と同じことが言えるので、 全体としての確率も、１／４ であると言える、 というのが、「同等に起こることが明らかな場合」のその２です。 DANDY　U さんの言われていることと同じですが、「どの数が 特に出やすいと言うことはない」＝「同様に確からしい」と いうのが根底にあります。 No.5174 - 2009/02/12(Thu) 10:12:31 ☆ Re: 問題の本質 / Jez-z ヨッシーさんありがとうございます。 よく復習しておきます＾＾」 No.5187 - 2009/02/13(Fri) 23:46:40

★ 中学３年 / かな

この掲示板では数学しか扱っていないのは分かっているのですが、入試が迫っていてどうしても苦手な理科にみなさんの力をお借りしたいと思い投稿しました。 解答・解説お願いします。 （１）〜地震の問題〜初期微動継続時間が震央から離れた地点ほど長くなるのはどうしてでか？その理由を簡潔に書きなさい。 （２）〜植物の問題〜イヌワラビは一年を通じて花が咲くのを観察することができません。しかし、ある時期に葉の裏側に茶色のものがたくさんできていました。イヌワラビは葉の裏側にできた何によってなかまを増やしましか？その名称を書きなさい。 お願いします。 No.5144 - 2009/02/10(Tue) 12:08:04 ☆ Re: 中学３年 / ヨッシー (1) 初期微動というのは縦揺れ(Ｎ波)が到達してから、 横揺れ(Ｓ波)が到達するまでの時間ですね。 Ｎ波の方が、Ｓ波よりも進む速さが速いことを考えれば、 両者の到達時間の差と、震央からの距離の関係が説明できるでしょう。 (2) 種子じゃなくて・・・ No.5145 - 2009/02/10(Tue) 13:32:38 ☆ Re: 中学３年 / にょろ ワラビはシダ植物なので胞子で繁殖したと思います。 No.5152 - 2009/02/11(Wed) 01:58:18

★ 重積分 / 凛

次の領域で関数x^2+y^2の重積分を求めよ。 (１)0≦r≦2acosθ (２)0≦r≦a(1+cosθ) (１)→0≦r^2≦2arcosθ　r^2=x^2+y^2となるのはわかりますが、θの範囲をどうやって求めるのかわかりません。 (２)→(１)と同様です。 詳しい解説をお願いします。 No.5137 - 2009/02/09(Mon) 23:27:55 ☆ Re: 重積分 / angel ∬(x^2+y^2)dxdy は、∬r^3drdθ と変形できるため、 (∵x^2+y^2=r^2, dxdy=rdrdθ) 後は θの範囲ですが、 (1) θの取り得る全体の範囲としては、0≦2acosθ を元に -π/2≦θ≦π/2 (2) 0≦a(1+cosθ) を元に考えると、任意のθで不等式が成り立っている、つまり任意のθの値を取り得る、ということで 0≦θ≦2π ※(1)は、0≦θ≦π/2, 3π/2≦θ≦2πでも良いですけど、-π/2≦θ≦π/2 とまとめた方が分かりやすい No.5141 - 2009/02/10(Tue) 03:18:17 ☆ Re: 重積分 / 凜 詳しく教えていただいてありがとうございます!! No.5142 - 2009/02/10(Tue) 10:43:41 ☆ Re: 重積分 / 凜 すいません｡｡ (2)って 0≦a(1+cosθ) 0≦1+cosθ cosθ≧-1 で θ=π､-π にはならないんですか?? No.5143 - 2009/02/10(Tue) 11:03:54

★ 三角関数の問題 / TDJ
｜sinθ+sin２θ+sin３θ｜≦ksinθ ０°＜θ＜１８０°をみたすθに対して、上記の不等式が 成り立つような定数Kの最小値を求めよ。（K＝６） 解き方が分かりません。解説をお願いします。 No.5134 - 2009/02/09(Mon) 23:07:48 ☆ Re: 三角関数の問題 / rtz 恐らく 普通に2,3倍角の公式でばらし、両辺sinθ(＞0)で割って、cosθに関して平方完成、 が一番早いかと思います。 No.5139 - 2009/02/10(Tue) 01:26:42

★ 間違いのご指摘を… / Jez-z

自分では間違い（答と異なるのでそう判断）に気づかないので、どなたか修正してもらえませんか？以下に問題、および自分の解答を書きます。 問題:nを2以上の整数とする。n個の整数の集合Anを 　　An={1,2,…,2^(n-2),2^(n-1)}と定める。 　　Anに属する異なる２数の積をすべてつくり、それらの和をSnとする。Snを求めよ。 解答：Snを以下に具体的に書き下ろす 　　　1・2+1・2^2+1・2^3+・・・+1・2^(n-1) +2・2^2+2・2^3+・・・・・・+2・2^(n-1) ・・・ ・・・ +2^(k-1)・2^k+・・・・・・+2^(k-1)・2^(n-1) ・・・ ・・・ (ただし、k=1,2,・・・,n-1) より、とりあえず、次の和をとる 2^(k-1)・2^k+・・・・・・+2^(k-1)・2^(n-1) ＝2^n・n^(k-1)-2・4^(k-1) したがって、 Sn=?煤mk=1→n-1］(2^n・n^(k-1)-2・4^(k-1)) =2^n{(2^(n-1)-1}-(1/3){4^n-4} （答） よろしくご指導ください。 No.5132 - 2009/02/09(Mon) 21:51:53 ☆ Re: 間違いのご指摘を… / ヨッシー 途中、n^(k-1) になっているのは、2^(k-1) だとして Ｓn=?納k=1→n-1](2^n・2^(k-1)-2・4^(k-1)) において、 　??(2^n・2^(k-1))＝2^n{(2^(n-1)-1} ですが、 　??(2・4^(k-1))＝(1/3){4^n-2} になるはずです。 別の解き方としては、 　(a+b+c)^2＝2(ab+bc+ca)＋(a^2+b^2+c^2) であることを利用して、 　(1+2+4+・・・+2^(n-1))^2−(1^2＋2^2＋4^2＋・・・＋2^(2n-2)) を計算して２で割ると求められます。 No.5133 - 2009/02/09(Mon) 22:39:47 ☆ Re: 間違いのご指摘を… / Jez-z 訂正。確かに間違ってました。以下に修正です 2^(k-1)・2^k+・・・・・・+2^(k-1)・2^(n-1) ＝2^n・2n^(k-1)-2・4^(k-1) ちなみに、答えは Sn=(1/3)(4^n-3・2^n+2) なのですが、ヨッシーさんの示されたのと若干異なりますよね？ ※自分が一般に考えた（kを持ち出してきた和の）式は間違っているのでしょうか…？ No.5136 - 2009/02/09(Mon) 23:19:00 ☆ Re: 間違いのご指摘を… / ヨッシー 2^n・2n^(k-1)-2・4^(k-1) は 2^n・2^(k-1)-2・4^(k-1)　ですね。 ??(2・4^(k-1))＝(1/3){4^n-2} ではなく、 ??(2・4^(k-1))＝(1/3){2^(n-1)-2} でした。 これで、Sn=(1/3)(4^n-3・2^n+2) になるはず。 No.5138 - 2009/02/09(Mon) 23:30:06 ☆ Re: 間違いのご指摘を… / Jez-z ありがとうございます。 No.5147 - 2009/02/10(Tue) 22:21:59

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