ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ ベクトル / 桜　高校2

こんばんは
よろしくお願いいたします。

2直線のなす角θをそれぞれ求めよ。
０°＜θ≦90°

x-y-1=0 (√3+1)x+(√3-1)y-1=0

という問題がわかりませんでした。
２つのグラフはかけました。
n→（法線ベクトル）の書き方がわかりません。
どこから始まってどこで終わるのでしょうか。

教えてください
y炉しくお願いいたします

No.2779 - 2008/09/19(Fri) 17:59:52

☆ Re: ベクトル / hari

法線ベクトルは関係あるのでしょうか・・・？

x - y - 1 = 0とx軸のなす角をα
(√3 + 1)x + (√3 - 1)y - 1 = 0とx軸のなす角をβ
とおくと
tanα = 1, tanβ = -(2 + √3)
で、タンジェントの加法定理で
tan(β-α) = (tanβ - tanα)/(1 + tanαtanβ) = √3

∴β - α = 60°

※式の区切りにはコンマをおいたほうがいいですよ、

No.2782 - 2008/09/19(Fri) 21:40:28

☆ Re: ベクトル / 桜　高校2

ありがとうございました

No.2789 - 2008/09/20(Sat) 17:06:09

☆ Re: ベクトル / hari

内積を使うのかな？

x - y - 1 = 0の法線ベクトルは(1, -1)
(√3 + 1)x + (√3 - 1)y - 1 = 0の法線ベクトルは(√3 +　1, √3 - 1)

※ax + by + c = 0の法線ベクトル(の一つ)は(a, b)

内積の関係から
cosθ = a・b/|a||b|
から
cosθ = 1/2
ゆえにθ = 60°

No.2800 - 2008/09/21(Sun) 02:43:44

★ 不定積分 / のり

次の不定積分どうなるでしょうか
但しｘは定数と考えてください。
∫（y^2―2y+1―x^2）/(y^2―2y+1+x^2)^2dy
宜しくお願いいたします。

No.2778 - 2008/09/19(Fri) 13:34:02

☆ Re: 不定積分 / hari

{(y - 1)^2 - x^2}/{(y - 1)^2 + x^2}
= 1 - 2x^2/{(y - 1)^2 + x^2}
= 1 - 2/{((y - 1)/x)^2 + 1}

なので
y - 2xtan^-1((y - 1)/x) + 積分定数
となります。

No.2783 - 2008/09/19(Fri) 21:47:53

☆ Re: 不定積分 / のり

なるほどきれいに積分できますね。
ありがとうございました。

No.2785 - 2008/09/19(Fri) 22:39:35

☆ Re: 不定積分 / 豆

分母の2乗はいいのかしら？

No.2787 - 2008/09/20(Sat) 06:53:42

☆ Re: 不定積分 / のり

そういえば抜けていますね。
入れた場合どうなりますか。
第１項の答えがｘtan＾-1｛(y - 1)/x｝ですね。
第２項はｙ―1=xtanθとおいて計算すると
(y―1)/ {x^2+(y―1)^2}―（1/x）tan^－1｛(yー1/x｝
となりましたが・・・あっていますか。

No.2788 - 2008/09/20(Sat) 09:54:58

☆ Re: 不定積分 / hari

すいません。^2を見逃してしまいました。
でしたら、
(1 - y)/{(y - 1)^2 + x^2} + 積分定数
となります。

No.2804 - 2008/09/21(Sun) 08:21:29

☆ Re: 不定積分 / のり

最初にy-1=xtanθと置けばいいのですね。
結果、「hari」さんの答えになりました。
遠回りをしましたが、おかげで計算力がつきました。
ありがとうございました。

No.2805 - 2008/09/21(Sun) 09:48:56

★ 対数 / 礼花　高２

お久しぶりです。よろしくお願いします！

Log₁₀2=0.3010, log₁₀3=0.4771とする。次の数は、小数第何位に初めて０でない数字が現れるか。
1.(1/2)¹⁰⁰
2.{1/(√2)²⁵}
3.(3)√(0.06)¹⁰

分かりにくくてすみません。この３問がどうやって解いたらいいか分かりません。よろしくお願い致します。

No.2763 - 2008/09/18(Thu) 18:56:51

☆ Re: 対数 / ヨッシー

log₁₀１＝０
log₁₀0.1＝－１
log₁₀0.01＝－２
ですから、ある数の常用対数(底が10の対数)をとって、
　０未満-1以上　・・・　小数第１位に初めて０以外の数
　-1未満-2以上　・・・　小数第２位　　〃
　-2未満-3以上　・・・　小数第３位　　〃
のように判断できます。

(以下 log は常用対数です)
1．log(1/2)¹⁰⁰＝log2^-100＝-100log2
2. log{1/√2²⁵}＝log2^-25/2
3．log(3)√0.06¹⁰＝log0.06^10/3
　　＝10/3log(2・3/100)＝10/3(log2＋log3－log100)
というふうに変形して、最後は、
　log2=0.3010, log3=0.4771
より、近似値を出します。

No.2766 - 2008/09/18(Thu) 19:49:09

☆ Re: 対数 / 礼花　高２

ヨッシーさん、ありがとうございます。

近似値までは出せたのですが、そこから先の解き方が全く分かりません。もう少し詳しく教えて頂けませんか？よろしくお願いします！

No.2767 - 2008/09/18(Thu) 21:34:23

☆ Re: 対数 / ヨッシー

たとえば、log をとった近似値が、-1.35 だったら、
　-1未満-2以上　・・・　小数第２位に初めて０以外の数
に該当しますので、答えは、小数第２位です。
同様に、近似値が、-1230.24 だったら、
　-1230未満-1231以上　・・・　小数第1231位に初めて０以外の数
に該当しますので、答えは、小数第1231位です。

No.2769 - 2008/09/18(Thu) 22:12:05

☆ Re: 対数 / にょろ

例えば
1234は4桁の数字です。
1000＜1234＜10000です。
log₁₀をとってみると

log₁₀1000=4＜log₁₀1234＜log₁₀10000=5

なので、1234は10⁴以上10⁵未満
つまり4桁と分かります。

No.2772 - 2008/09/18(Thu) 23:34:25

☆ Re: 対数 / 礼花　高２

理解できました♪
物分かりが悪くて、申し訳ありませんでした；
ヨッシーさん・にょろさん、分かりやすく解説してくださってありがとうございました。

No.2808 - 2008/09/21(Sun) 14:28:30

★ 数列 / 白梅

お久しぶりです。宜しくお願い致します。

（問題）ｎを自然数とする。
　　　　座標平面上の２ｎ＋２個の点からなる集合
Ｌ＝{（x,y）|x,y　は整数、０≦x≦n ,　０≦y≦１}
のうち３点を頂点とする三角形を全て考える。
　　　これらの三角形の面積の総和を求めよ。

答えは（１／６）*ｎ*（ｎ＋１）^2*（ｎ＋２）
なのですが、解法が分かりません。
どこかの１点を固定して考えたのですが、
回答と答えが合致しません。
どのように考えれば良いのでしょうか。

宜しくお願い致します。

No.2761 - 2008/09/18(Thu) 17:46:04

☆ Re: 数列 / ヨッシー

ｘ軸（ｙ＝０）上と、ｙ＝１上にｎ＋１この点が並んだ形です。
ｘ軸上から２点とｙ＝１上から１点選びます。
高さは必ず１であり、底辺はｘ軸上で選ぶ２点の間隔になります。
点(0,0) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
　1,2,3・・・n のｎ通り出来ます。
点(0,1) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
　1,2,3・・・n-1 の n-1通り出来ます。
以下、
点(0,n-1) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
　1 の 1通り出来ます。
これらの和(底辺の和)をもとめると、
　(1+2+3+…+n)＋(1+2+3+…+n-1)＋・・・・＋(1+2)＋(1)
＝Σ_k=1～nk(k+1)/2＝Σ_k=1～n(k²+k)/2
＝n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4＝n(n+1)(n+2)/6

１つの底辺について、ｙ＝１上の点はｎ＋１個あるので、
同じ底辺から、三角形がｎ＋１個出来ます(面積は同じ)
よって、
　n(n+1)(n+2)/6×(n+1)×１÷２
これが、ｘ軸上に２点を取ったときの三角形の面積の和です。
ｙ＝１上に２点、ｘ軸上に１点を取ったときも、同じだけの三角形ができるので、
三角形の面積の和は
　n(n+1)(n+2)/6×(n+1)×１÷２×２＝n(n+1)²(n+2)/6

No.2762 - 2008/09/18(Thu) 18:10:40

☆ 素晴らしい！＾＾ / 白梅

ヨッシ－様、非常に素早く、
大変分かりやすい解説をして下さって
ありがとうございます！＾＾

予備校で何回も個別に質問して
先生に説明してもらいましたが、
ヨッシー様の説明はそれをはるかに上回る
大変分かりやすい解説です。
１度目を通しただけですぐに理解することが
出来ました。ヨッシー様は本当に説明が上手ですね。
ヨッシー様は素晴らしい人です＾＾
ありがとうございました。

補足ですが１カ所ヨッシー様の説明の中で
条件にあわない表現があったのですが、
解答として試験の時に書く時にはその点を
修正して書きますので、その点お伝えしておきます。

ありがとうございました＾＾

No.2764 - 2008/09/18(Thu) 19:09:59

☆ Re: 数列 / ヨッシー

あぁ、点(0,0) はともかく、
点(0,1)、点(0,n-1) が、ｘ、ｙ逆ですね。

最初しばらく、ｙ軸と直線ｘ＝１と思っていたので。

それと、それより上というのも、それより右の誤りですね。
ｘ軸が右に向かって大きくなる、よく見かける座標軸での話ですけど。

No.2765 - 2008/09/18(Thu) 19:36:33

☆ ありがとうございます。 / 白梅

ヨッシー様、わざわざレスを付けて下さって
ありがとうございます。

お忙しい中わざわざ回答して頂けるだけで
私はとても嬉しいです。
なので諸処の箇所については特に
気にせずにこれからも機会があれば
どうぞ宜しくお願い致します。

No.2768 - 2008/09/18(Thu) 21:42:25

★ 「×」と「÷」の優先順位 / √

よろしく、お願い致します。
小学生レベルの初歩的な質問で申し訳ありません。

?@
○×△÷□　の場合は、
「×」「÷」どちらを先に計算しても答えは同じになりますが、

?A
○÷△×□　の場合は、
「÷」を先に計算するか、「×」を先に計算するかで答えが
異なってしまいます。
この場合は、当然、「左から順番に」「左側優先」ですよね。

では、
?@、?Aを考えると
「×」と「÷」の混合計算において、
「×」よりも、「÷」を優先して計算すれば間違いは無いと考えてよろしいでしょうか？

全ての優先順位を書くと、下記の順位でよろしいでしょうか？
（　），÷　，×

No.2752 - 2008/09/18(Thu) 01:27:00

☆ Re: 「×」と「÷」の優先順位 / にょろ

いいえ
計算順位は(),×÷です。
○×△÷□を分数で表すと
（○×△）/□です。

○÷△×□は
（○×□）/△
です。
が、
△×□を先にやると
○/（△×□）
で誤りになります。

優先順位は
(),×÷,＋－の順です。
更に同順位の場合→の順に計算します。

No.2753 - 2008/09/18(Thu) 01:38:54

☆ Re: 「×」と「÷」の優先順位 / にょろ

というより
割り算とかけ算は「同じ物」なので優先順位って…

No.2754 - 2008/09/18(Thu) 01:40:07

☆ Re: 「×」と「÷」の優先順位 / らすかる

＞「×」と「÷」の混合計算において、
＞「×」よりも、「÷」を優先して計算すれば
＞間違いは無いと考えてよろしいでしょうか？

はい。通常の計算では問題ありません。
ただし、一般的な定義では「÷」と「×」が同順位です。

No.2756 - 2008/09/18(Thu) 03:26:33

☆ Re: 「×」と「÷」の優先順位 / √

らすかるさん　有り難うございます。

> はい。通常の計算では問題ありません。
> ただし、一般的な定義では「÷」と「×」が同順位です。

「÷」と「×」の混合計算では、
『必ず、左側から順番に計算していく（左側優先）』
又は、
『「÷」を優先する』
を守っていれば大丈夫ということですね。　
らすかるさん　意図を分かってくださり有り難うございました。

にょろさん　有り難うございます。
にょろさんの、おっしゃりたい事の意味は理解できました。

No.2758 - 2008/09/18(Thu) 09:43:09

☆ Re: 「×」と「÷」の優先順位 / ヨッシー

＋と－でも同じことが言えます。
５＋４－３　を　５＋（４－３）　と書いても答えは変わりません。
（　）を付けても良いということは、優先させても良いということです。

５－４＋３　と　５－（４＋３）　はダメです。
引き算より足し算を優先させてはいけません。

５－４－３　と　５－（４－３）　もダメです。
原則左から、を守らないといけません。

おなじことを、×と÷に当てはめれば、分かると思います。

ただし、「原則左から」さえ守れば、÷を優先するは気にしなくても
良いので、あまり、取りざたされていません。しかし、
　３７×２４÷４
を左からやるのではなく、２４÷４を先にするようなことは、
実際には行われています。

No.2759 - 2008/09/18(Thu) 09:55:26

☆ Re: 「×」と「÷」の優先順位 / √

ヨッシーさん　有り難うございます。

> ただし、「原則左から」さえ守れば、÷を優先するは気にしなくても
> 良いので、あまり、取りざたされていません。

そうですね。
昔、「×」と「÷」は同順位と習ったはずなのに、
順番を変えると答が異なる場合があるので、ふと疑問に思ってしまいました。
有り難うございました。

No.2760 - 2008/09/18(Thu) 10:54:43

★ 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子　社会人（簿記受験中）

初めまして。

なぜか全く展開式が浮かばず解答が理解出来ません。
どうか宜しくお願い致します。

（5000x　×　0.45　＋　8,295,000）×0.04÷0.6

解答は　150x-553,000

になるようなのですが、150xがどうして出るのか分かりません・・・。

初心者のような質問で大変申し訳ありませんが
教えて下さい。
宜しくお願いいたします。

No.2747 - 2008/09/17(Wed) 22:01:00

☆ Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / ヨッシー

5000x×0.45×0.04÷0.6＝150x
です。

No.2748 - 2008/09/17(Wed) 22:16:04

☆ Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / √

余計な事ですが・・・

> 解答は　150x-553,000
　　　　　　　　　↑
　　　　　　　　　＋では？

簿記は楽しいですよね。
頑張ってください。

No.2751 - 2008/09/18(Thu) 00:28:47

☆ Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子　社会人（簿記受験中）

回答ありがとうございました。
本当に初歩的な質問ですみません。
もう一度良いでしょうか？

>5000x×0.45×0.04÷0.6＝150x　になるのは
分かったのですが、8,295,000　にも同じ　×0.04÷0.6
をかけてわって、553,000が出ますよね？

括弧内の数字を計算してから、×0.04÷0.6
だと思っていたのですが、どうして二つの数字に
同じ、×0.04÷0.6　をかけわりするのでしょうか？
本当に無知ですみません。

>√さん
すみません。＋でした。
数学得意ではないまま（出来ないまま）一級に
突入してしまい工業簿記の方程式で苦しんでます。
（楽しいんですけれど）
ありがとうございました。

No.2755 - 2008/09/18(Thu) 02:32:56

☆ Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / ヨッシー

たとえば、
　（ｘ＋４）×３
を考えます。３を掛けるのは３回足すことですから、
　（ｘ＋４）×３＝（ｘ＋４）＋（ｘ＋４）＋（ｘ＋４）
　　＝ｘ＋ｘ＋ｘ＋４＋４＝４
　　＝ｘ×３＋４×３
のように、ｘにも４にも３が掛けられます。

一般に
　（ａ＋ｂ）ｃ＝ａｃ＋ｂｃ
となり、これを分配法則といいます。

No.2757 - 2008/09/18(Thu) 05:51:32

☆ Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子　社会人（簿記受験中）

回答ありがとうございました。

・・・いわゆる自乗（実際は×　0.04÷0.6）のような扱いなのでしょうか？
他の括弧内の計算

?@例えば
x-x×（1-0.2）2（←自乗と呼んでください）=9,000
の式だと
x-0.64x=9,000
0.36x=9,000
x=25,000
ですよね。

?Aもう一つの例えばだと
a=0.2b+0.1c+117,000
b=0.1a+0.1c+144,000
c=108,000

代入して
a=0.2b+0.1×108,000/10,800+117,000
b=0.1a+0.1×108,000/10,800+144,000

で、
a=0.2b+10,800+117,000
a=0.2b+127,800

b=0.1a+10,800+144,000
b=0.1a+154,800

あわせると
a=0.2(0.1a+154,800)+127,800
a=0.02a+30,960+127,800
0.98a=158,760
a=162,000
b=171,000

になると思うのですが、この式との意味の違いが（分配配列を使用する時）が分かりません・・・。

例えば（3-1）2　
だったとしたら、2の自乗で答えは4なんですよね？
一番はじめに質問した

（5000x　×　0.45　＋　8,295,000）×0.04÷0.6

この×0.04÷0.6の部分が自乗と同じ意味に当たるんでしょうか？
もし仮にこの部分に括弧がついていたとしたら
意味は違うんでしょうか？

（5000x　×　0.45　＋　8,295,000）×（0.04÷0.6）
（2250x＋8,295,000）×0.07（四捨五入だとしたら）
これだと括弧が外れるから
=1575x+580,650
となるのでしょうか？

xも値を求めるから、それぞれの数字に（5000x×0.04÷0.6）？
これがxがないとしたら
（5000×1（仮に1として）×0.45　+8,295,000)×0.04÷0.6
8,297,250×0.04÷0.6
＝553,150？

総数に対して　×0.04÷0.6は総数に対して加わる（かけわり）が行われるから、
5000x×0.45　と　8,295,000両方にかけるということなのでしょうか？

今まで代入法とかxを求める計算で、この分配法則を使用したことがなかったので
（だから今まで躓かず解いてこられたと思うのですが・・・）
なぜ今回のこのような式だけ、両方の値にかけるのか・・・、
なんだかピンと来ず、考えれば考えるほど深みにはまって行っております・・・。

このような幼稚な質問で何度も本当に申し訳ありませんが
どうかご教授ください。お願いいたします。

私には難しい事も解けない問題も沢山ありますが
やればやるほど数学って面白くなってきますね。

No.2771 - 2008/09/18(Thu) 23:24:14

☆ Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / ヨッシー

質問されたのは
（３＋４）×２
の×２は、３だけでなく４にまで掛けるのはなぜ？
ということだったと思います。それはまさに、

> 総数に対して　×0.04÷0.6は総数に対して加わる（かけわり）が行われるから、
> 5000x×0.45　と　8,295,000両方にかけるということなのでしょうか？
ということです。

（３＋４）×２　が　３×２＋４
では、片手落ちですよね？

No.2773 - 2008/09/18(Thu) 23:41:59

☆ Re: 本当に初歩的な問題ですが・・・。 / 亜希子　社会人（簿記受験中）

回答ありがとうございました。
質問の意図が悪くて申し訳ありません。

先日質問した内容は、同じような括弧式なのに、
分配法則を使用する時としない時があるのか？
と言うことがいまいち分からず
括弧の前にかける数字がある時や、
自乗等の数字が括弧についている時との
違いが理解出来なかったので
違う配列の時はと言う意味で質問してしたつもりでおり、
代入式の解答を聞きたい、等と言う意図では
ありませんでした。
（5000x　×　0.45　＋　8,295,000）×0.04÷0.6
だと5000x　×　0.45　を計算した段階で
括弧が外れると思っていたんです。

誤解をさせるような質問で申し訳ありませんでした。

No.2780 - 2008/09/19(Fri) 18:56:47

★ 順列 / 桜　高校2

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

1から5までの番号のついた箱がある。
それぞれの箱に赤、白、青の球のうち、どれか一個入れて、どの色の球も必ずどれかの箱に入るようにする仕方は何通りか。

という問題がわかりませんでした
私は
3^5-3をしたのですがだめでした。
答えは150です。

とき方を教えてください
よろしくお願いいたします。

No.2737 - 2008/09/16(Tue) 18:39:30

☆ Re: 順列 / 七

> 3^5-3をしたのですがだめでした。
3^5 とそれから引く3 の意味が分かっていれば
それだけではだめだと分かるはずです。

さらに (2^5－2)×3 を引けばいいですね。

No.2738 - 2008/09/16(Tue) 19:14:46

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございます。

(2^5－2)×3 は何のために引くのでしょうか。

たびたびすみません。
よろしくお願いいたします。

No.2739 - 2008/09/16(Tue) 21:14:28

☆ Re: 順列 / rtz

では初めの式でなぜ3を引いたのですか？
それ以外に除外しなければいけないような場合はありませんか？

No.2740 - 2008/09/16(Tue) 21:20:39

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございます。

3を引いたのは、、
赤が３つ、白３つ、青３つだぶるかもしれないので
引きました。

すみません。。
とても数学が苦手で皆様にお手数おかけしてすみません。

No.2741 - 2008/09/16(Tue) 21:26:22

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

m(__)m
２つだけだぶるときでしょうか。？？

その場合
どうやって式を考えたらよいのでしょうか。

No.2742 - 2008/09/16(Tue) 21:34:39

☆ Re: 順列 / rtz

＞赤が３つ、白３つ、青３つだぶるかもしれないので
1～5の箱全てに赤だけ、白だけ、青だけという意味でなら正しいです。

＞２つだけだぶる
そういうことです。
「1赤、2赤、3赤、4白、5白」などはダメですよね。

では、1色しか使わないのは3通りで既に引いていますので、
2色しか使わないものを考えるわけですが、
例として赤と白だけの場合を考えてみましょう。
赤と白だけの場合、何通りでしょう？
"2色"使うので1色だけの場合は引かないといけないので注意してください。

今考えたのは赤と白だけでした。
では2色のみの、色の選び方は何通りでしょう？

これらが分かれば、七さんの書かれた内容も納得行くかと思います。

No.2743 - 2008/09/16(Tue) 22:25:04

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

申し訳ないですぅ。。

わからなくて頭がパンクしました。。
ごめんなさい。
ヒントをください

No.2745 - 2008/09/17(Wed) 19:17:42

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ひらめきました！！
本当にお手数おかけしましてすみませんでした。

みなさん、ありがとうございました。
感謝しております(^^)

No.2746 - 2008/09/17(Wed) 19:21:17

★ (No Subject) / 数Ｂ

3x+2y≦2008を満たす整数の組x,yを求めよ。
何もうかびませんでした。
答えは
x=2kのとき(1005-3k)個、x=2k+1のとき(1003-3k)個ある。
(x=0,1,2,…669)(k=0,1,2,…334)
よって1/2*335*(2008+4)=337010

となっているんですが2k、2k+1でわけているとこからもうわかりません。よろしくお願いします。

No.2734 - 2008/09/15(Mon) 22:19:41

☆ Re: / ヨッシー

問題は正確に！
3x+2y≦2008を満たす０以上の整数の組x,yの数を求めよ。

たとえば、
ｘ＝１だと
　2y≦2005
なので、ｙ＝0,1,2,3・・・1002 の1003個です。
ｘ＝２だと
　2y≦2002
なので、ｙ＝0,1,2,3・・・1001 の1002個です。
ｘ＝３だと
　2y≦1999
なので、ｙ＝0,1,2,3・・・999 の1000個です。
ｘ＝４だと
　2y≦1996
なので、ｙ＝0,1,2,3・・・998 の 999個です。
ｘが奇数か偶数によって、2y≦(奇数)　か　2y≦(偶数) の
違いがあるので、ｙの最大値が
　(2008-3x)÷2　（ｘが偶数の場合）
　(2008-3x-1)÷2　（ｘが奇数の場合）
のように、変わるのです。
ｙの最大値をｋで表すと、
x=2k のとき　(2008-3x)÷2＝(2008-6k)÷2＝1004-3k
x=2k+1 のとき　(2008-3x-1)÷2＝(2004-6k)÷2＝1002-3k
ｙの個数は０も含むのでそれぞれ１ずつ多くて
x=2k のとき　1005-3k
x=2k+1 のとき　1003-3k

一方、ｘは最大669まで取れますが、これは k=334 のときの
x=2k+1 までなので、
k=0 のとき x=2k=0,x=2k+1=1
k=1 のとき x=2k=2,x=2k+1=3
　・・・
k=334 のとき x=2k=668,x=2k+1=669
までの、1005-3k と 1003-3k を足せばいいことになります。

具体的に言うと、ｙの個数は
k=0 のとき 1005個と 1003個
k=1 のとき 1002個と 1000個
　・・・
k=334 のとき 3個と 1個
これだけの合計を出します。これを、
k=0 のとき 2008個
k=1 のとき 2002個
　・・・
k=334 のとき 4個
と、前に足しておくと、
　2008+2002+・・・+4
という、項数335個の等差数列の和になります。
後は公式通りで　1/2*335*(2008+4)=337010　となります。

No.2735 - 2008/09/15(Mon) 22:45:56

☆ Re: / らすかる

模範解答とは無関係な別解

x=2p-s, y=3q-t（p,s,q,tは自然数、s≦2,t≦3）とおくと
(s,t)=(1,1) のとき 3(2p-1)+2(3q-1)≦2008 → 6(p+q)≦2013 → p+q≦335 → 335C2通り
(s,t)=(1,2) のとき 3(2p-1)+2(3q-2)≦2008 → 6(p+q)≦2015 → p+q≦335 → 335C2通り
(s,t)=(1,3) のとき 3(2p-1)+2(3q-3)≦2008 → 6(p+q)≦2017 → p+q≦336 → 336C2通り
(s,t)=(2,1) のとき 3(2p-2)+2(3q-1)≦2008 → 6(p+q)≦2016 → p+q≦336 → 336C2通り
(s,t)=(2,2) のとき 3(2p-2)+2(3q-2)≦2008 → 6(p+q)≦2018 → p+q≦336 → 336C2通り
(s,t)=(2,3) のとき 3(2p-2)+2(3q-3)≦2008 → 6(p+q)≦2020 → p+q≦336 → 336C2通り
よって全部で 335C2×2+336C2×4 = 337010通り

No.2736 - 2008/09/16(Tue) 01:44:10

★ 数学Ａ / 優

【1】p,r,o,b,l,e,mの7つの文字を使って順列を作る。このとき、次のようなものは何通りあるか。

(1)両端に子音がくるもの(A.2400通り)
(2)少なくとも一方の端に子音がくるもの(A.4800通り)

【2】黒玉7個と白玉3個を一列に並べるとき、白玉が隣り合わないような並べ方は何通りあるか。(A.56通り)

宜しくお願いします。

No.2722 - 2008/09/15(Mon) 12:25:48

☆ Re: 数学Ａ / ヨッシー

【1】
(1)子音はo,e 以外の５つです。
　左端の文字の選び方は５通り、
　右端の文字の選び方は、左端の文字以外の４通り
　間の５文字の並び方は　５！＝120(通り)
　以上より、　５×４×１２０＝2400(通り)
(2)
　両端とも母音の場合を数えます。
　左端がo、右端がeの場合、
　　間の５文字の並び方は　５！＝120(通り)
　左端がe、右端がoの場合も、同様に120通り
　合わせて240通り。
　すべての並び方は　７！＝5040(通り)
　求める場合の数は、
　　5040－240＝4800(通り)

【2】
　○●○●○　をあらかじめ並べておき残りの●５個を、
　３つの○の、両端と間の４ヶ所のいずれかに入れる
　方法なので、重複組み合わせとなり、
　₄Ｈ₅＝₈Ｃ₅＝56(通り)

No.2723 - 2008/09/15(Mon) 12:41:09

☆ Re: 数学Ａ / らすかる

【2】別解
黒玉7個を並べ、間または端計8箇所中3箇所に白玉を入れればよいので、8C3=56通り

No.2724 - 2008/09/15(Mon) 13:04:57

★ 円と半径 / Jez-z

半径1の円Cと半径1の円C(1)が外接しており、さらに、2つの円はともに直線lに接している。
n=2,3,4…に対してC(n+1)をC(n)とCの両方に外接し、かつ、
直線lにも接しているように作ることにする。
ただし、（Ｃ(n)の半径＞Ｃ(n+1)の半径）である。
このときC(n)の半径を求めよ。

（方針）
C(n)の半径をr(n)とする。
実験してみたところ、C(2)は三平方の定理を用いて
r(2)=1/4と求めることができました。
しかし、r(3)を求めようとしたところ、三角形の横（l軸に平行）の長さだけが分からず敢え無く挫折。
そこで、発想を変えて漸化式を作り一般項r(n）を求めればうまくいくのではないかと考えました。
しかし、この方針でも自身の計算力・数学力がついてこれず行き詰ってしまいました。

ご指導お願いします。

No.2707 - 2008/09/14(Sun) 17:56:31

☆ Re: 円と半径 / rtz

Cを(0,1)中心、C₁を(2,1)中心、直線lをy＝0としてしまいましょう。

そうするとC₂については、
r₂＝1/4からC₂の中心は(1,1/4)です。

続いてC₃については、
√{(1＋r₃)²－(1－r₃)²}＋√{((1/4)＋r₃)²－((1/4)－r₃)²}＝1
⇔2(√r₃)＋(√r₃)＝1
⇔r₃＝1/9
よってC₃の中心は(2/3,1/9)

これと同様に考えて、
C_nの中心は(2√r_n,r_n)であるから、
C_n+1について、
√{(1＋r_n+1)²－(1－r_n+1)²}＋√{(r_n＋r_n+1)²－(r_n－r_n+1)²}＝2√r_n
⇔2(√r_n+1)＋2√(r_nr_n+1)＝2√r_n
⇔{(√r_n+1)－1}{(√r_n)＋1}＝－1
⇔(1－√r_n+1)(1＋√r_n)＝1
あとはn＝1,2,3から√r_nを推測してそれが正しいことを言えばよいでしょう。

今回のポイントは、
・C_nの中心座標をr_nで表せるか
・r_n、r_n+1間の漸化式が作れるか
の2点です。

No.2709 - 2008/09/14(Sun) 19:52:55

☆ Re: 円と半径 / ヨッシー

rtz の座標設定を使わせてもらうと、
ｙ＝－１を考えると、円Ｃとｘ軸に接する円の中心は、
点(0,1) と直線ｙ＝－１からの距離が等しいので、
放物線　ｙ＝ｘ²／４上にあります。
よって、中心の座標は（ｘ、ｘ²／４）と表すことが出来ます。

これを使って、隣り合うＣ_n、Ｃ_n+1 の関係を
作ることが出来ます。

No.2710 - 2008/09/14(Sun) 20:03:53

☆ Re: 円と半径 / Jez-z

ヨッシーさん、それって「焦点」の考え方ですか？
「焦点」って数?Vの範囲ですよね…（実際の試験では使ってもよいものなのでしょうか…）

となるとrtzさんの方針を参考にさせてもらうことになるのですが、
>>「√rnを推測してそれが正しいことを言えばよい」
数学的帰納法を使えばよいですよね。ちょっと自分でやってみます。

No.2715 - 2008/09/14(Sun) 22:11:58

☆ Re: 円と半径 / ヨッシー

実際に使って良いかは、何の試験かによります。

漸化式を出してから解くまでは、同じような解き方になるでしょうから、
良いと思う方で解けばいいと思います。

No.2716 - 2008/09/14(Sun) 22:37:23

☆ Re: 円と半径 / Jez-z

rtzさん、やっぱり「漸化式」をつくることが理解できていませんでした。少しヒントをくれませんか？

それと、実際の問題は円の位置関係として
緑色の円が1＜ｘ＜2の位置にあり以下
紫色の円が外接…していくというような設定がなされていました（はじめに書いていなくてすいません）どうしても言葉では説明しづらかったので・・・

No.2720 - 2008/09/14(Sun) 23:57:44

☆ Re: 円と半径 / rtz

えぇと、具体的にどの部分でしょうか。

漸化式の作成自体は添付図を参照してください。
C_nの中心が(2√r_n,r_n)になるのは、
添付図のC_n+1のx座標を考えてもらえば分かりますが、
C_nのx座標も√{(1＋r_n)²－(1－r_n)²}になり、
これを計算すれば2√r_nになるためです。
y座標は半径と同じです。

右の方に円を作っていくというのは解答の作り方の問題で、
それはどっちでもいいので、
解答作成者は好きなように、解答を読む側は上手く処理してとしか言えません。

No.2721 - 2008/09/15(Mon) 01:07:41

☆ Re: 円と半径 / Jez-z

rtzさんわかりました＾＾ありがとうございます。

No.2744 - 2008/09/16(Tue) 23:52:19

★ 順列 / 桜　高校2

こんにちは。
よろしくお願いいたします。

男子4人、女子3人がいる。
女子のうち2人だけが並びあうように7人が一列に並びは何通りか。

という問題がわかりません。
教えてください。

No.2705 - 2008/09/14(Sun) 12:02:17

☆ Re: 順列 / 七

1) 女子3人が隣り合う並び方，
2) 女子が隣り合わない並び方
なら分かりますか？

No.2706 - 2008/09/14(Sun) 12:23:56

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございます。

(1)はわかりました＾＾

「2人」だけというのがひっかかってわかりません。
3人ならわかるのですが・・・

No.2711 - 2008/09/14(Sun) 20:17:27

☆ Re: 順列 / 七

7人の並び方すべてから
1)，2)を引けば求められると思います。

No.2712 - 2008/09/14(Sun) 20:35:06

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございます。
たびたびすみません。

隣り合わない並び方が
よくわからなかったのですが、4!*3!でいいのでしょうか。

No.2713 - 2008/09/14(Sun) 21:14:14

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

全体-144でよいでしょうか。

すみませんです。。
もうわからなくて混乱です><

No.2714 - 2008/09/14(Sun) 21:31:43

☆ Re: 順列 / ヨッシー

全体-144 はあり得ません。
　1) 女子3人が隣り合う並び方
だけで720通りありますから。

　2) 女子が隣り合わない並び方
は、男女の並び順が
　男男女男女男女
　男女男男女男女
　男女男女男男女
　男女男女男女男
　女男男男女男女
　女男男女男男女
　女男男女男女男
　女男女男男男女
　女男女男男女男
　女男女男女男男
の10通りあり、それぞれについて4!×3!＝144(通り)あります。
以上より、
　全体－720－1440
となります。

No.2718 - 2008/09/14(Sun) 23:03:18

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございました^^
おかげで解けました☆

No.2726 - 2008/09/15(Mon) 16:47:34

★ 高2 / NnA

○次の曲線で囲まれた図形を図示し、その面積を求めよ。
(1)y=x(x-2)(x-3), x軸
(2)y=sinx, y=cos2x (0≦x≦π), x=0, x=π
(3)y=((2x)/(1+x^2)), y=x

○次の曲線で囲まれた図形をx軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ。
(1)y=(1/(x+1)), x軸, y軸, 直線x=2
(2)y=sinx (0≦x≦π), x軸
(3)y=logx, 直線x=e, x軸
(4)放物線y=x^2, y=√x
(5)放物線y^2=4x, 直線x=1

多くてすいません…
よろしくお願いします。

No.2687 - 2008/09/13(Sat) 21:37:43

☆ Re: 高2 / にょろ

x=0,2,3で±が変わります
そこに注意して積分
(2)交点を求めれば大丈夫です。
sinとcosの関係に気を付ければ交点はすぐ求まります。
(3)y=((2x)/(1+x^2))=(1+x^2)'/(1+x^2)
です。

とりあえずここまで

No.2688 - 2008/09/13(Sat) 22:30:00

☆ Re: 高2 / にょろ

(1)
y=(1/(x+1))=(x+1)'/(x+1)
(2)
面積はTHE 2
は公式として知ってて欲しいな～
(3)y=logx, 直線x=eはy=1でまじわります。

(4),(5)
大きい方の回転体の体積-小さい方の回転体の体積です。
あとで少し補足するかもしれません。

No.2690 - 2008/09/13(Sat) 22:35:51

☆ Re: 高2 / にょろ

下の画像のように回転軸に対して線対称な図形を考えます。

対称軸はy=Rとします。
上のグラフは
R+f(x)
下のグラフは
R-f(x)
とできます。
ここで[a,b]の区間でのx軸中心の回転体の体積を考えます。
まずこの図形の面積をSとするとS=∫_[a,b](2f(x))dx

すると
π∫_[a,b]((R+f(x))^2-(R-f(x))^2)dx
=π∫_[a,b](4f(x)R)
=2π∫_[a,b](2f(x))dx*R
=2πSR

となります。
実は回転体の面積Vは
V=2πSR(Rは「重心」までの距離)
と表せます。
（高校範囲では上の範囲が限界だと思います）

これをパップスギュルダンの定理といいます。
上の問題のy=sinxがy軸中心回転なら使えたんですけどねぇ…

No.2692 - 2008/09/13(Sat) 22:59:12

☆ Re: 高2 / NnA

解説ありがとうございます。

でも、最初の問題の
(2)y=sinx, y=cos2x (0≦x≦π), x=0, x=π
の解き方がどうしてもわかりません。
よろしければ、詳しい解説をお願いします。

No.2694 - 2008/09/13(Sat) 23:47:10

☆ Re: 高2 / NnA

すいません。
(3)y=((2x)/(1+x^2)), y=x
(1)y=(1/(x+1)), x軸, y軸, 直線x=2
(3)y=logx, 直線x=e, x軸
(4)放物線y=x^2, y=√x
(5)放物線y^2=4x, 直線x=1
もわからないです。
詳しい解説をお願いします。

No.2695 - 2008/09/13(Sat) 23:53:43

☆ Re: 高2 / にょろ

まず(2)から
交点の座標は
sinx=cos2x=sin((π/2)-2x)
x=π/2-2x
x=π/6が交点です。
それまでは
cos2x-sinx
そこからπ/2までは
sinx-cos2x
の積分になります。
その後範囲がコレの二倍なので二倍してください。

No.2696 - 2008/09/14(Sun) 00:10:39

☆ Re: 高2 / にょろ

次図形はこんな感じ点は気にしないでください
というわけで求める面積は
∫_[0,1](1+x^2)'/(1+x^2)-xdx
=[log(1+x^2)-x^2/2]_[0,1]
=～
です。

No.2697 - 2008/09/14(Sun) 00:33:11

☆ Re: 高2 / にょろ

画像入れ忘れましたorz

No.2698 - 2008/09/14(Sun) 00:39:15