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(No Subject) / かず
子供から出された問題なのですがわからないので教えてください。

ジョニー「僕の持っているりんごを君に1個あげるよ。これで2人の持っているりんごの数が同じになるよね。」
トーマス「いや、君はいつも宿題を教えてくれるから、お礼にぼくのりんごを2個あげる。こうすれば君はぼくの3倍のりんごをもってくることになるよ。」
ジョニーとトーマスはそれぞれ何個ずつりんごをもっていたのだろうか。

すみませんがゲームの問題らしいのですが・・・おしえていただけませんか。

No.2594 - 2008/09/08(Mon) 21:34:44

Re: / rtz
ジョニーの言葉から、
ジョニーがトーマスより2個多く林檎を持っていることが分かります。

よってトーマスがジョニーに2個林檎を渡すと、差は6個になります。
この時点でジョニーはトーマスの3倍の林檎を持っており、
トーマスの2倍が、2人の差の6個ですから
トーマスは3個でジョニーが9個です。

あとは渡した林檎を戻せば元の状態に戻ります。

No.2595 - 2008/09/08(Mon) 21:39:47
方程式 / creampuff
実数x,yの方程式をグラフを利用して解け。

|x-y|=1+x

|x+y|=1+y

見当がつかないので教えてください。

No.2585 - 2008/09/08(Mon) 02:57:18

Re: 方程式 / 与一
ふたつの方程式のグラフを書いて、その交点の座標が方程式の解になります。

まず、第一式から求めましょう。
x-y≧0とx-y<0で場合分けなので、y=xが境界線
となります。

x≧yのとき
y=-1
x<yのとき
y=2x+1

よって、グラフを書くと、『∠』のような形になります。

第2式も同様の方法で書きます。

No.2586 - 2008/09/08(Mon) 03:13:29

Re: 方程式 / にょろ
補足というか何というか…
グラフはこうなります。

見ても良いけど丸写しとかは禁止ですよもちろん

No.2593 - 2008/09/08(Mon) 20:04:52

Re: 方程式 / creampuff
与一さん、にょろさん、ご丁寧にありがとうございました。
No.2627 - 2008/09/10(Wed) 00:05:23
同値条件 / コブクロ
方程式?@、?Aがあるとします。
?@+?Aをつくりそれを?Bとします。
ここで、?A=?B-?@と表されるから
?@かつ?A⇔?@かつ?B

?A=?B-?@と表されるから、どうしてこのような同値変形ができるのですか。同値変形について、複雑になればなるほど何をやっているのかがわからなくなることが多々あります。解説よろしくお願いします。

No.2581 - 2008/09/08(Mon) 01:29:18

Re: 同値条件 / rtz
丸囲み文字は環境によって文字化けしますので、
使うのは避けた方がよいでしょう。

>(2)=(3)-(1)と表されるから、
>どうしてこのような同値変形ができるのですか。
の意味がやや不明ですが、

この場合なら
「(1)かつ(2)」⇒「(1)かつ(3)」
「(1)かつ(2)」<=「(1)かつ(3)」
の両者が成り立てばいいわけです。
(ちゃんと成り立っていますね)

凡そ解答の際には必要条件(⇒)で進めていくわけですが、
ここを同値変形(⇔)にする場合は、
必ず十分(<=)も確認していく必要があります。

No.2591 - 2008/09/08(Mon) 18:29:19
高1【数学A】 / ☆京☆
下の図でA,B,C,Dの境目がはっきるするように、赤、青、黄、白の4色の絵の具で塗り分けるとき。

(1)すべての部分の色が異なる場合は何通りあるか。

(2)同じ色を2回使ってもよいが、隣り合う部分は異なる色とする場合は何通りあるか。

解説と解答を教えて貰えると助かります。宜しく御願いします。

No.2576 - 2008/09/07(Sun) 23:13:29

Re: 高1【数学A】 / にょろ
(1)全部違うんだから
4P4=4*3*2*1=24通り

(2)隣り合っていないのが
A-D,B-Dだけだから
まずC,Dの色は
4P2=12通り
A,Dが同じ色としてBは2通りだから
(A,Cと違う色)
12*2=24
同様にA,Bが同じ場合でも22通り
∴24+24+24=72通り
ですかね
数え上げ系の問題はよく間違えるので…

No.2577 - 2008/09/07(Sun) 23:18:31

Re: 高1【数学A】 / らすかる
(2)別解
Aの色が4通り
Bの色はAに使っていない3通り
Cの色はAにもBにも使っていない2通り
Dの色はCに使っていない3通り
なので、4×3×2×3=72通り

No.2578 - 2008/09/07(Sun) 23:39:13
数学A / *Sana*
?@7人を2つの部屋A,Bに入れる方法は何通りか。ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。

また、7人を区別しない2つの部屋に入れる方法は何通りか。ただし、それぞれの部屋には少なくとも1人は入れるものとする。

?A異なる6個の玉をA,B,Cの3箱に入れる方法は何通りか。ただし、空き箱はあってよい。

宜しくお願いします。

No.2573 - 2008/09/07(Sun) 22:30:17

Re: 数学A / にょろ
(1)
一人をA,Bに分ける分け方は二通り
∴2^7通り
区別しないのだからダブり分2!を割って
2^6また一人も入らない部屋がある分け方は一部屋に全員が入るので1通り
∴2^6-1

No.2574 - 2008/09/07(Sun) 23:00:57

Re: 数学A / にょろ
続き
(2)(1)と同様に考えて
一つの玉を3つのうちどれを選ぶのだから3^6通り


玉とか区別しますよねコレ

No.2575 - 2008/09/07(Sun) 23:03:12
もう一問 / ぐるる
明日までに答えが知りたいのですが、よろしいでしょうか。
円C:x^2+y^2+6x-4y+8=0と直線L:x-3y+14=0があり、円Cと直線Lは2点A,Bで交わっている。ただし、Aのx座標はBのx座標より小さい。
(1)2点A,Bの座標を求めよ。
(2)点Aにおける円Cの接線の方程式を求めよ。
(3)x,yが2つの不等式
    x^2+y^2+6x-4y+8≦0  x-3y+14≦0
   を満たすとき、-mx+yの最大値は6である。定数mの値を求めよ。

No.2570 - 2008/09/07(Sun) 20:37:35

Re: もう一問 / ヨッシー
私のページに解答を載せました。
No.2571 - 2008/09/07(Sun) 21:39:55

Re: もう一問 / ぐるる
ありがとうございます。
No.2626 - 2008/09/09(Tue) 20:40:48
4次関数? / Jez-z
x,y,zは実数で
x^2-yz-8x+7=0かつy^2+z^2+yz-6x+6=0をともに満たす。
をともに満たす。
このとき、xy+yz+zxの最小値を求めよ。

xの範囲を求めると(判別式)≧0より
1≦x≦9を得る。
t=xy+yz+zxとおく
両辺を2乗するとすべてxで表せるので
t^2=4x^4-20x^3+15x^2-14x+49
左辺をf(x)とおくと
xで微分して、
16x^3-60x^2+30x-14
=2(8x^3-30x^2+15x-7)
因数定理で、因数を求めようとしたところ挫折してしまった次第です。

アドバイスお願いします。

No.2568 - 2008/09/07(Sun) 16:47:14

Re: 4次関数? / キューダ
条件式はyとzの入れ替えで不変です。
ここに目を付けて対称性を崩さないように変形するのがよいと思います。

第一式と第二式を足すと (x-7)^2+y^2+z^2=6^2
この式から、第一式×2を引くと、 (x-1)^2=(y+z)^2 が得られます。
X=(x-7)/6、Y=y/6、Z=z/6と変数変換すると、条件式はX^2+Y^2+Z^2=1、(X+1)^2=(Y+Z)^2
目的関数はxy+yz+zx=36(XY+YZ+ZX)+42(Y+Z)=18{(X+Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)}+42(Y+Z)
=18{X^2+X(Y+Z)+(Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)}+42(Y+Z)=...以下、Xのみの関数にできます。

No.2569 - 2008/09/07(Sun) 20:12:02

Re: 4次関数? / Jez-z
ありがとうございます。ちなみに、私のやり方でも「理論」的にはできますよね?だとしたら、計算が間違えてるということでしょうか…。(何度も見直したのですが・・・)
No.2572 - 2008/09/07(Sun) 22:28:03

Re: 4次関数? / キューダ
t=xy+yz+zx≧0が担保されているのなら、t^2が最小値をとるときtも最小値をとりますが、
t<0の可能性もあるのなら、t^2が最小値を取っているときが、tの最小値と即決できません。

この問題の最小値は負のようです。

No.2580 - 2008/09/08(Mon) 00:45:27

Re: 4次関数? / Jez-z
なるほど・・・同値変形できていなかったというわけですね…

ところで、キューダさんが最初にしめしてくれた
「条件式はyとzの入れ替えで不変です。
ここに目を付けて対称性を崩さないように変形するのがよいと思います。」というのはすごく納得いくのですが、
例えば?@解答の途中の「第一式×2を引くと」の箇所や
?A「X=(x-7)/6、Y=y/6、Z=z/6と変数変換すると」の箇所などはどのような思考を経て考えられたのでしょうか…?
ここらへんの柔軟な発想さえできれば自分ももう一皮むけるかなと思う次第です…(数学センスなんて言わないでくださいよ?)ww

回答お待ちしております★

No.2582 - 2008/09/08(Mon) 01:41:43

Re: 4次関数? / キューダ
(1)については、
・yとzについての対称式なので、y+zとyzというものに注目すべき
・目的関数xy+yz+zxは(x+y+z)^2とx^2+y^2+z^2から作れる。
・二つの条件式を加えたら、球を表す式(y^2+z^2が含まれている)がでた。
・{A=0,B=0}は、{A+B=0,A-B=0}等と同値。同値性を失う二乗や次数アップは極力避けるべき
・球の式の他に、もう一つ扱いやすい式を作り出すべきだが、y+zを登場させる為
 には、(y+z)^2ができるよう球の式に2yzを加えるのがいいようだ。

このような、事が頭の中にあったと思います。

(2)は、単位球に変形する常套手段です。

一つの問題を、幾つもの方法で解く訓練をすると良いと思います。
特に、答えがシンプルできれいなのに、途中経過が汚いような場合、何らかの
美しいアプローチがあると考えていいと思います。それを考え続けるか、
別の問題に移るか、最終的に大きな差となるでしょう。
考え続けるのは机の前である必要はありません。風呂の中でも布団の中でも可能です。

No.2589 - 2008/09/08(Mon) 13:59:38

Re: 4次関数? / Jez-z
キューダ様、こんなにも丁寧に回答していただき嬉しく思います。おかげで、数学に対するやる気が倍増しました。
これからも、頑張っていきますので、また何かあったらご指導お願いします。

No.2602 - 2008/09/08(Mon) 22:57:07
(No Subject) / 。
また質問です。
∫の0からπ/2 (sin^7 x)dx を教えてください。

答えは 16/35 です。

No.2564 - 2008/09/07(Sun) 13:52:32

Re: / 与一
部分積分を使います。

∫_[0,π/2](sin^7 x)dx
=(-cosx・sin^6 x)_[0,π/2]-∫_[0,π/2](-cox^2 x ・『6』sin^5 x)dx
=0 + ∫_[0,π/2]{(1-sin^2 x)6sin^5 x}dx

左辺に移項すると、
∫_[0,π/2](sin^7 x)dx = 6/7∫_[0,π/2](sin^5 x)dx

規則は分かりましたか?

∫_[0,π/2](sin^7 x)dx
= 6/7∫_[0,π/2](sin^5 x)dx
= (6/7)(4/5)(2/3)∫_[0,π/2](sinx)dx  
=16/35         

No.2565 - 2008/09/07(Sun) 15:58:13

Re: / 。
考えてみたのですが、解くことができません。
∫_[0,π/2](sin^7 x)dx = 6/7∫_[0,π/2](sin^5 x)dx
の6/7はどのようにしてでてきたのですか?
もう少し詳しく解説お願いします。

No.2579 - 2008/09/08(Mon) 00:16:27

Re: / 与一
すいません。6を忘れてました。訂正します。
No.2583 - 2008/09/08(Mon) 02:06:16

Re: (No Subject) / 。
6/7の7はどのようにして出すのですか??
なんどもすいません(;´∧`)

No.2587 - 2008/09/08(Mon) 11:40:15

Re: 左辺に移項すると、と書いてありますよ / ヨッシー
∫_[0,π/2] はとりあえず無視すると、
 sin^7 x=(1-sin^2 x)6sin^5 x
展開して
 sin^7 x=6sin^5 x−6sin^7 x
移項して
 7sin^7 x=6sin^5 x
 sin^7 x=(6/7)sin^5 x
です。

No.2588 - 2008/09/08(Mon) 12:12:44

Re: (No Subject) / 。
なるほどw(゜o゜)w
細かく説明して頂いてありがとうございます☆わかりました!!

No.2592 - 2008/09/08(Mon) 20:01:33
(No Subject) / な
 
x^2-4x-7=0
 
の解き方と答えを
教えてください!!
 

No.2561 - 2008/09/07(Sun) 12:54:18

Re: / ヨッシー
x2=11 は解けますか?
(x-2)2=11 は解けますか?
(x-2)2=11 を展開した後、移項して右辺を0にするとどんな式になりますか?

それが出来た上で、こちらをご覧ください。

No.2562 - 2008/09/07(Sun) 13:04:44
(No Subject) / 。
∫dx/cosx の解き方がわかりません。

答えは 1/2log(1+sinx/1-sinx) です。

No.2551 - 2008/09/07(Sun) 02:05:46

Re: / rtz
1/cosx
=cosx/cos2x
=cosx/(1−sin2x)
=(1/2)[{cosx/(1−sinx)}+{cosx/(1+sinx)}]
あとは積分するだけです。

No.2552 - 2008/09/07(Sun) 03:55:55

Re: / 。
1=cosx/(1−sin2x)
=(1/2)[{cosx/(1−sinx)}+{cosx/(1+sinx)}]
すいません、上の式から下の式へいく計算がわかりません。
そのような公式があるのですか? 

No.2557 - 2008/09/07(Sun) 12:02:53

Re: / ヨッシー
三角関数に関する公式ではありません。
部分分数に直す式変形です。
1/(1-x2)=1/(1-x)(1+x) が、
 a/(1-x)+b/(1+x)
という形にならないかと考えて、
 {(a+b)+(a-b)x}/(1-x)(1+x)
より、a+b=1, a-b=0 から a=b=1/2 となり
 1/(1-x2)=(1/2){1/(1-x)+1/(1+x)}
が得られます。

No.2558 - 2008/09/07(Sun) 12:09:21

Re: / 。
(1/2)[{cosx/(1−sinx)}+{cosx/(1+sinx)}]
となるの理解できました!!(^-^*)
その後の積分も教えて頂けるとありがたいです。

No.2559 - 2008/09/07(Sun) 12:27:16

Re: / ヨッシー
答えが、(1/2)log(1+sinx/1-sinx)=(1/2){log(1+sinx)−log(1-sinx)}
と分かっているので、
 cosx/(1+sinx) → log(1+sinx)
 cosx/(1−sinx) → -log(1-sinx)
となりそうですね。
log(1+sinx) を微分したら、cosx/(1+sinx) になるのは分かりますか?
では、それを戻すのですが、使うのは置換積分です。
 t=1+sinx
などと置いてみましょう。

No.2560 - 2008/09/07(Sun) 12:47:07

Re: / 。
できました!!!
ありがとうございましたm(_ _)m♪

No.2563 - 2008/09/07(Sun) 13:30:13
(No Subject) / 太郎
第610回の算チャレが分かりません
No.2546 - 2008/09/06(Sat) 21:28:14

Re: 算チャレ / ヨッシー
おそらく算チャレ過去問のページを見られたのだと思いますが、
そのページの表に過去ログというのがあって、その週の問題について
色々書かれていますので、まずそちらを見てみてください。

No.2547 - 2008/09/06(Sat) 21:36:14
背理法 / レンズ
>にょろさん
回答ありがとうございます。
にょろさんの説明はqならばpでないと仮定する。
しかし、pである。よってq。となっていると思うのですが
これは本にかいてある命題p→qが偽である(pかつqでない)を仮定して矛盾を導くことでp→qが真であるとする方法と同じことなんでしょうか?かなり違うように見受けられます。対偶を利用した証明に近いような・・どうなんでしょう?
>与一さん
回答ありがとうございます。本(白チャート)の記述は2、3行目(背理法の説明)と
1+2√3が有理数であると仮定するのくだりです。本の通りかきますと、

√3が無理数ならば、1+2√3は無理数であることを証明せよ。(↑問題文)
1+2√3は無理数でない、すなわち有理数であると仮定する。
1+2√3=rとおく(rは有理数)・・?@
?@を変形すると、√3=(r-1)/2・・?A
ここでrは有理数なので、(r-1)/2は有理数である。
?Aは√3が無理数であることに矛盾する。従って1+2√3は
無理数である。

で、疑問点を書きますと、(さっきとすこし違ってますが)
1、本の背理法の説明だと、何に対する矛盾なのかが
わからない。問題文だとp(仮定)に対する矛盾ですが、たとえば鯨が魚でないことを証明しろに対し、鯨が魚であると
仮定する、魚ならばえらを持つ。鯨はえらを持たない。(事実)、したがって鯨は魚ではない。問題文に書かれていない
事実にたいする矛盾です。
2、また問題文はp=√3は無理数である→q=1+2√3は無理数であるとおけるが、pは仮定であるのに、問題文の途中で、事実として扱って(あるいは、仮定を根拠にして)qを導くのはおかしくないか?

No.2540 - 2008/09/06(Sat) 17:40:10

Re: 背理法 / レンズ
すいません、ボタン押し間違いました。あと
にょろさんの説明はqならばpでないと仮定するではなく、
にょろさんの説明はqでないならばpでないと仮定でした。

No.2541 - 2008/09/06(Sat) 18:10:44

Re: 背理法 / 通りすがり
> にょろさんの説明はqならばpでないと仮定する。
> しかし、pである。よってq。となっていると思うのですが

p:√3が無理数
q:1+2√3が無理数 でしょうか。
もしそうなら,にょろさんの説明は,「qでないならばpでない」を「証明」しています(背理法と対偶法は似たような証明になることが多いです)。仮定ではなく。

それから,qならばpでない,すなわち「pならばqでない」と仮定するのは背理法ではありません。あくまで「pであってqでないとする」と仮定して矛盾を導くのが背理法です。

No.2542 - 2008/09/06(Sat) 18:12:10

Re: 背理法 / 通りすがり
すみません。更新してませんでした。
> にょろさんの説明はqでないならばpでないと仮定でした。
仮定ではなく,証明。

No.2543 - 2008/09/06(Sat) 18:13:13

Re: 背理法 / 与一
『¬(p→q)』は確かに『p∧¬q』になります。正しい論理ですが、これは背理法ではありません。

背理法は、p→¬qを真であると仮定し、これが矛盾することを示し、p→qを証明します。

2.
数学の問題にある仮定とは解答にたどり着くためのヒントのようなものです。『√3が無理数ならば』とあれば、この問題内で√3は無理数として扱ってよい、ということになります。

No.2548 - 2008/09/06(Sat) 22:52:20

Re: 背理法 / 通りすがり
「p→¬qを真であると仮定し、これが矛盾することを示し」ただけでは,p⇒¬qが偽であることしかわかりません。
これだけでは「p→qを証明します」は不可能です。

No.2566 - 2008/09/07(Sun) 16:33:33

Re: 背理法 / 与一
p→¬qが偽であることは、「pが真かつ¬qが偽」であることと同値です。
つまり「pが真でqが真」なので、p→qである。

No.2584 - 2008/09/08(Mon) 02:13:09

Re: 背理法 / 通りすがり
すみません。どうやら¬の意味を誤解していたようです。
例えば¬(1<x<2)は,必ず1<x<2でない,ではなく1<x<2でないxが存在する,ですね。

> それから,qならばpでない,すなわち「pならばqでない」と仮定するのは背理法ではありません

この部分は,「pならば必ずqでない」と解釈すれば,ご理解くださると思います。曖昧な書き方をして申し訳ありませんでした。

No.2590 - 2008/09/08(Mon) 16:00:00
背理法 / レンズ
背理法の説明について、ある本ではこうあります。
命題p→qが偽である(pかつqでない)を仮定して
矛盾を導くことでp→qが真であるとする方法。
まず、お聞きしたいのは、この説明は正しいのでしょうか?
この説明の下に、例題として
√3が無理数ならば、1+2√3は無理数であることを証明せよ。とあります。で、

1+2√3が有理数であると仮定する。
1+2√3=r(rは有理数)
√3=(r-1)/2。rが有理数なので、(r-1)/2も有理数である。これは√3が無理数であることに矛盾する。
よって1+2√3は無理数である。とあるのですが、よくわかりません。説明にあてはめると、p=√3は無理数である
q=1+2√3は無理数である。
pかつqでないと仮定する。
ところがpである。よってq。←この行がわからない。
はじめに普通に解いた時は納得したのですが、pとかqとか
記号で考えると←のところで、わからなくなります。
pが無理数であることがわかっているならp→qである、p
である、よってqだけで証明にはならないのでしょうか?また背理法とは厳密にいうとどういった論法なんでしょうか?以上3点をお願いします。

No.2536 - 2008/09/06(Sat) 14:51:36

Re: 2次関数 / にょろ
背理法って言うのはもしも〜だったら○○になるはずだ
でも○○にならないだから〜ではないということです。

今回の問題では
もしも

No.2537 - 2008/09/06(Sat) 15:44:29

Re: 2次関数 / にょろ
背理法って言うのは(適当にかくと)もしも〜だったら○○になるはずだ
でも○○にならないだから〜ではないということです。

今回の問題では
もしも「1+2√3は有理数」ならば
1+2√3=r(rは有理数)とおけて
それを変形すると√3=(r-1)/2になったで
rが有理数なんだから√3は有理数のはずだ
でも実際には無理数だから「1+2√3は有理数」ではない
有理数でない実数は無理数だだから
「1+2√3は無理数」

厳密にやって分からないんだったら適当にやると理解できたりします。

No.2538 - 2008/09/06(Sat) 15:48:58

Re: 背理法 / 与一
背理法というのは、
ある事柄 P を証明するために、P の否定 ¬P を仮定すると、矛盾(ある命題とその否定が同時に証明されること)が起きることを利用する証明の手法である。


貴方の文章は、どこからが書籍等の内容でどこからが貴方の意見なのかが分かりづらいですね。
論理学は非常に厳密な学問なので、できれば本の内容は書きかえずに載せてもらえるとありがたいです。

No.2539 - 2008/09/06(Sat) 16:10:46
数列 / セロ。高2
初めまして。
とても単純な問題なのですが、
いまいち理解できません。

Σ(k=1〜20)|ak|を求めよ。

ただこれだけです。

解答は、
=Σ(k=1〜7)ak−Σ(k=8〜20)ak
=1/2×7×(20+2)−1/2×13×(−1−37)
=77+247
=324

となっています。
なぜ1〜7と、8〜20になるのかが
わかりません。
よろしくお願いします。

No.2533 - 2008/09/06(Sat) 11:20:38

Re: 数列 / ヨッシー
「ただこれだけ」のはずありません。
 an=-3n+23
のようなものが与えられているはずです。
1から7項まではプラス。
8項以降はマイナス。
| | は、マイナスには−1を掛けてプラスにするので、
こういう計算になります。

No.2534 - 2008/09/06(Sat) 12:59:46

Re: 数列 / gaku
推測すると,初項20,公差-3の等差数列がanらしい。
絶対値がついていますから,第8項以降は(-ak)としてやる必要があります。

No.2535 - 2008/09/06(Sat) 13:03:01

Re: 数列 / セロ。高2
あ、すいません。
お二人さんの言うとおりで、
問題に与えられていました。
どうもありがとうございました。

No.2545 - 2008/09/06(Sat) 19:48:27
イメージが・・・ / Jez-z
空間内に半径√3の球SとAB=3,BC=4,CA=5(直角三角形)がある。三角形ABCは3つの頂点がすべてSの外側に存在し、3辺がすべてSに接しながら空間を動く。このとき三角形ABCの周が通過する部分全体の体積を求めよ。

(できたところまで書きます)
切り口が√3になるようにSを切り、その円を内接円とする三角形A'B'C'と切り口が1になるようにSを切り、その円を内接円とする三角形ABCを考えてみました。(前者は問題分にある「√3」を利用するため、とりあえず…やってみました)
さて、ここから条件をみたすように三角形ABCを(上下左右)に動かしてみましたが、(おそらく球となると思うのですが)三角形ABCの通過後の「ビジョン」がまだ見えません。
それと、√3の使い道も闇の中…暗中模索状態です^^;

ヒント等ありましたら、お願いします。

No.2529 - 2008/09/06(Sat) 01:05:54

Re: イメージが・・・ / ヨッシー
半径√3の球の中心をO とし、△ABCの3辺がこの球に
接しているとき、内接円(半径1)は、球面の一部であり、
内接円の中心をIとすると、OI=√2 となります。
この状態で、Oから最も遠い、△ABCの周上の点はCです。
IC=√10、OI=√2 より、OC=2√3
よって、点Cは、点O中心に半径2√3の球面上を動き、
点Cから、CA上の接点に至る辺によって、半径√3 の球の
外側はすべて通過します。

No.2532 - 2008/09/06(Sat) 01:37:54

Re: イメージが・・・ / Jez-z
私の読解力不足のせいかもしれませんが
「点Cから、CA上の接点に至る辺によって」の箇所を詳しく教えていただけませんか?
お願いします

No.2549 - 2008/09/07(Sun) 00:23:40

Re: イメージが・・・ / ヨッシー

図の、太線で示した部分が、それです。
この部分だけを考えて、△ABCをぶん回せば、
半径2√3 の球から、もとの球(半径√3) を除いた部分の
全体を動きます。

No.2550 - 2008/09/07(Sun) 00:45:21

Re: イメージが・・・ / Jez-z
わかりました。ありがとうございます。^^
No.2567 - 2008/09/07(Sun) 16:40:13
数列 / ぐるる
等差数列{an}があり、a=1,a7+a8+a9=15である。また、数列{bn}をbn=2^an (n=1,2,3,・・・)で定める。
(1)anをnを用いて表せ。
(2)a1+a2+a3+...+anをnを用いて表せ。また、b1+b2+b3+...+bnをnを用いて表せ。
(3)Sn=b1b2+b2b3+b3b4+......bnb(n+1) とする。このとき、Sn>100を満たす最小の自然数nを求めよ。

よろしくお願いします。

No.2528 - 2008/09/06(Sat) 00:35:29

Re: 数列 / ヨッシー
(1)
a7+a8+a9=15 より a8=5 がわかります。よって、
公差は 4÷7=4/7
an=4n/7 + 3/7
(2)
 a1+a2+・・・+an=(a1+an)n/2=(4n+10)n/14=(2n+5)n/7
bn=2(4n+3)/723/7・(24/7)n
から、等比数列として扱うことが出来ます。

とりあえず、ここまで。

No.2531 - 2008/09/06(Sat) 01:25:59

Re: 数列 / ぐるる
a7+a8+a9=15 より a8=5というのは、ナゼですか?
あと、公差は 4÷7というのもよくわかりません。

No.2554 - 2008/09/07(Sun) 11:08:44

Re: 数列 / ヨッシー
等差数列の性質:
 連続する3項の和は、真ん中の数の3倍
によります。公差をdとすると、連続する3項は
 a−d,a,a+d
と書けるので、足すと公差に関係なく3aになります。

同様に、等比数列の連続する3項の積は真ん中の数の3乗となります。

初項をa1、公差をdとして、数列を書き並べると、
 a1, a1+d, a1+2d, a1+3d・・・, a1+7d
のように、第8項は a1+7d となります。
a8=a1+7d において、a1=1, a8=5 より、
 7d=a8−a1=5−1=4
となります。

No.2555 - 2008/09/07(Sun) 11:24:16

Re: 数列 / ぐるる
お早い返事ありがとうございます。
なるほどそういうことだったんですね。

No.2556 - 2008/09/07(Sun) 11:44:03
xの二次方程式 / みな 高1
x2乗-2(a-1)x+(a-2)2乗=0・・・?@
(1)?@が実数解をもたないとき、定数aの値の範囲を求めよ。
(2)?@が重解を持つ時、定数aの値と重解を求めよ。
というもんだいの解き方が分かりません。
詳しい解き方の解説をいただけるとうれしいです。
よろしくお願いします。

No.2518 - 2008/09/05(Fri) 22:44:36

Re: xの二次方程式 / ヨッシー
まず、判別式というのを知らないと始まりませんが、
?@ の判別式を書くことは出来ますか?

No.2519 - 2008/09/05(Fri) 22:46:16

Re: xの二次方程式 / ヨッシー
あ、始まらなくもないか。

 x2-2(a-1)x+(a-2)2=0
を変形して
 (x-a+1)2=・・・
の形にしてみましょう。

No.2520 - 2008/09/05(Fri) 22:49:53

Re: xの二次方程式 / みな 高1
判別式というのは、
(-2a+2)2乗-4×(a-2)2乗<0
の式のことですか?
ちなみにこの式はあっていますか?
何度もすみませんが教えて下さいお願いします。

No.2523 - 2008/09/05(Fri) 22:55:56

Re: xの二次方程式 / ヨッシー
最後の <0 は余分ですね。
 (-2a+2)2-4×(a-2)2
までが判別式で、これが負だと、実数解がなく、
0だと、重解になります。

それにそって、aの範囲を求めたり、aの値を求めたりします。

No.2526 - 2008/09/05(Fri) 23:01:45
因数分解 / みな 高1
 (xy-1)(x-1)(y+1)−xyという問題を
=(xy-1)2乗+(x−y)(xy-1)−xy
というところまで解いたのですが、その後のたすきがけの計算がどうしても出来ません。(計算が合いません)
詳しい解説をいただけるとうれしいです。
毎回毎回本当にありがとうございます。
今回もよろしくお願いいたします。

No.2513 - 2008/09/05(Fri) 22:35:58

Re: 因数分解 / ヨッシー
xy-1 を A とでもおくと、
 A2+(x-y)A−xy
ですね?
足して x-y 掛けて-xy になる2つの数を見つけます。

No.2515 - 2008/09/05(Fri) 22:42:29

Re: 因数分解 / 通りすがり
xy-1=Xとおくと X2+(x-y)X-xy=0
足してx-y,掛けて-xyとなる2数はx,-yなので
(X+x)(X-y)と因数分解できます
Xを元に戻して (xy+x-1)(xy-y-1)

No.2516 - 2008/09/05(Fri) 22:43:03

Re: 因数分解 / 通りすがり
かぶってしまいました。すみません^^
No.2517 - 2008/09/05(Fri) 22:43:31

Re: 因数分解 / みな 高1
問題が解けました!!
本当にありがとうございます。
またお願いします。

No.2524 - 2008/09/05(Fri) 22:57:06
高一【数学A】 / *Sana*
いつもお世話になっています。
また御願いしても宜しいでしょうか?

図のように、点Oを中心とする円に内接する正六角形ABCDEFがある。1から6までの数が1ずつ書かれた6枚のカードを、この六角形の各頂点に無作為に1枚ずつ置く。

(1)A,Dに置かれたカードに書かれた数の和が3となるのは何通りあるか。
(2)Oを通る3本の対角線の両端に置かれたカードに書かれた数の和がいずれも7となるのは何通りあるか。
(3)Oを通る3本の対角線の両端に置かれたカードに書かれた数の和がいずれも奇数となるのは何通りあるか。

宜しく御願い致します。

No.2511 - 2008/09/05(Fri) 22:13:43

Re: 高一【数学A】 / ヨッシー
(1)
ADの数は1,2 か 2,1 の2通り。
BCEFに3456 を並べるのは 4!=24(通り)
合計 48通り

(2)
(1,6)(2,5)(3,4) を、AD,BE,CF のどれかに割り付けるのは
3!=6(通り)
それぞれについて、AとD, BとE, CとF が入れ替わることを考慮して
 6×2×2×2=48(通り)

(3)
1,3,5 の3つの数字に、2,4,6 のいずれかを加えて
3つの奇数を作るのは、3!=6(通り)
そのそれぞれについて、(2) の48通りがあるので
 6×48=288(通り)

No.2512 - 2008/09/05(Fri) 22:19:30
高1 数字A / 優
上面下面は大きさの異なる正方形で、側面は合同な台形である六面体がある。この六面体に、隣り合った面は色が異なるように、色を塗りたい。ただし、六面体を回転させて一致する塗り方は同じとみなす。

(1)異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。

(2)異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。

(3)異なる4色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。



こんばんは。解説と解答を教えて頂けると助かります。宜しくお願いします。

No.2509 - 2008/09/05(Fri) 21:57:45

Re: 高1 数字A / ヨッシー
(1)
各色1回ずつ使います
上面に塗るのが6通り。下面が残りの5通り。
残り4色は、円順列なので、(4−1)!=6通り
以上より 6×5×6=180(通り)

(2)
2回使う色が1色と、1回使う色が5色。
どの色を2回使うかで6通り。どの色を使わないかで5通り。
(2)-1.
それを上面に塗る場合。下面にも同じ色を塗る。
残り4色は円順列で6通り。
以上より6×5×6=180(通り)
(2)-2.
それを側面に塗る場合。上面の色は4通り。下面は残り3通り。
側面は1通り。
以上より 6×5×4×3=360(通り)
合わせて 180+360=540(通り)

(3)
同じ色を3回使うことはないので、2回使う色が2色、1回使う色が2色。
どの色を2回使うかで15通り。
どの色を1回使うかで6通り。
色の選び方は90通り。
(3)-1.
2回使う色を、両方側面に塗る場合
上面と下面の塗り方は2通り。
(3)-2.
2回使う色を、上下面に塗る場合
どちらを上下面に塗るかで2通り。
側面は1通り。
合計 90×(2+2)=360(通り)

No.2510 - 2008/09/05(Fri) 22:12:39

Re: 高1 数字A / らすかる
(2)
5色のうち2回使う色の選び方が5通り。
2回使う色を上下の面に塗る場合、残りは円順列で(4-1)!=6通り。
2回使う色を隣り合わない側面2箇所に塗る場合、4色から
上面と下面に塗る2色を選べば良いので、4P2=12通り。
よって全部で 5×(6+12)=90通り。

(3)
4色のうち2回使う色の選び方が4C2=6通り。
1回しか使わない色を上下の面に塗る場合、どちらの色をどちらに塗るかで2通り。
1回しか使わない色を隣り合わない側面に塗る場合、
2回使う色のどちらを上下の面に使うかで2通り。
よって全部で 6×(2+2)=24通り。

No.2521 - 2008/09/05(Fri) 22:53:38

Re: 高1 数字A / ヨッシー
あ、6色から5色とか4色とか選ぶのと勘違いしていました。

(2)は、6倍
(3)は、15倍 余分に足してました。

No.2525 - 2008/09/05(Fri) 22:57:26
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