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★ 積分の応用（曲線の長さ） / ゆうすけ
ちょっと微積でつまずき中です。宜しくお願いします。

曲線の長さを求めよ。
(1) y=(x^2)/4-(logx)/2 (0≦x≦1)
(2) y=log(x+√(x^2-1)) (2≦x≦3)
No.4334 - 2008/12/27(Sat) 11:32:53
☆ Re: 積分の応用（曲線の長さ） / angel
曲線の長さは L=∫[a,b] √(1+y'^2) dx というのは良いでしょうか?
(1) の場合は、y'=x/2-1/(2x) なので、√(1+y'^2)=x/2+1/(2x) となります。この形は、y' の途中の符号を反転しただけなので、∫√(1+y'^2)dx = x^2/4+(logx)/2 となりますね。
ただ、0≦x≦1 だと長さが発散してしまいますね。

(2) の場合は微分計算を地道にやりましょう。
f(x)=x+√(x^2-1) とおけば、
f'(x)=1+2x・1/2・(x^2-1)^(-1/2)
　=1+x/√(x^2-1)
　=(x+√(x^2-1))/√(x^2-1)
　=f(x)/√(x^2-1)
そのため、y'=log(f(x))=f'(x)/f(x)=1/√(x^2-1)
√(1+y'^2)=x/√(x^2-1) なので、素直に積分できる形です。
No.4337 - 2008/12/27(Sat) 16:37:39
☆ Re: 積分の応用（曲線の長さ） / ゆうすけ
基本的なところがいまいち出来ないで悩んでいます。
∫[3,2](x/√(x^2-1)dx の解法を教えてください。
No.4346 - 2008/12/28(Sun) 11:41:57
☆ Re: 積分の応用（曲線の長さ） / ゆうすけ
x^2-1=t と置換すると 2x=dt/dx xdx=dt/2
∫[3,2]x/√(x^2-1)dx=∫[3,2](1/2)*(1/√t)dt
=1/2*∫[3,2]t^(-1/2)dt
=1/2*∫[3,2]2*{t^(-1/2+1)}'dt=[t^1/2][3,2]
=[(x^2-1)^1/2][3,2]
=√8-√3=2√2-√3
この解き方であってますか？かなり自信がありません。
宜しくお願いします。
No.4347 - 2008/12/28(Sun) 13:56:54
☆ Re: 積分の応用（曲線の長さ） / angel
その置換積分でほぼ考えと結果はあっているのですが、t で置換したなら、色々 t で揃えるべきでしょう。

置換積分を使わないなら、
　g(x)=x^2-1 とおくと、g'(x)=2x
　∫[3,2] x/√(x^2-1) dx
　= ∫[3,2] 1/2・g'(x)・g(x)^(-1/2) dx
　= [ g(x)^(1/2) ][3,2]
　= [ (x^2-1)^(1/2) ][3,2]
　= 2√2-√3
丁度、( g(x)^n )' = ng'(x)・g(x)^(n-1) の裏返しで、
∫(m+1)g'(x)・g(x)^m dx = g(x)^(m+1)+C
という積分結果を利用しています。

置換積分でいくなら、
　∫[3,2] x/√(x^2-1) dx = ∫[8,3] 1/(2√t) dt
　= [ √t ][8,3]
　= 2√2-√3
ですね。積分区間が x 基準の [3,2] ではなく、t 基準の [8,3] に変わっていることに注意してください。
No.4349 - 2008/12/28(Sun) 18:59:50
☆ Re: 積分の応用（曲線の長さ） / ゆうすけ
ありがとうございました。
No.4356 - 2008/12/29(Mon) 00:00:38
★ 数?T / みかげ
x,yを変数とする関数z=x^2-6xy+10y^2+2yについて、次の問いに答えよ。
(1)yを変数とみると、zはxの2次関数と考えられる。このときzの最小値mをyの式で表せ。
(2)mの最小値とそのときのyの値を求めよ。
(3)zの最小値とそのときのx､yの値を求めよ。

問題の意味自体がとれないのでそこも説明して頂けると有り難いです。
「yを変数とみると、zはxの2次関数」「(zの最小値である)mの最小値」という所がよく分かりません。
よろしくお願いします。
No.4331 - 2008/12/27(Sat) 09:25:22
☆ Re: 数?T / angel
問題全体としては、z が2変数x,yの関数となっていて、x,yが様々な値を取る中で z の最小値を求めることが目的になっています。
ただ、x,y両方同時に動く状況を考えると難しいので、一方を固定して考えるよう、誘導されています。

(1)は「yを変数とみると」ではなく「yを定数とみると」ですね。
例えば、
　y=1 の時：z=x^2-6x+12=(x-3)^2+3 → z の最小値m=3
　y=2 の時：z=x^2-12x+44=(x-6)^2+8 → z の最小値m=8
　…
というように、y の値が固定されていれば、それぞれで z の最小値 m を、x の2次関数の問題として解いて求めることができます。
※勿論、解答内で、y=1の時,y=2の時,…と個々の値を計算することはありません。あくまで例です。
※z=x^2-6ax+10a^2+2a (aは定数) となっていれば見易いでしょうか?

さて、この m というのは、y の値毎に決まってくるため、m は y の関数となります。（計算すれば、2次関数と分かる）
この最小値を求めるのが (2) で、それはそのまま (3) の答えにもなるわけです。
No.4332 - 2008/12/27(Sat) 10:19:27
☆ Re: 数?T / みかげ
返信ありがとうございます。

>m というのは、y の値毎に決まってくるため
xは関係ないのですか？
ものわかり悪くてすみません。本当に数学苦手なもので。
No.4348 - 2008/12/28(Sun) 15:41:15
☆ Re: 数?T / angel
> >m というのは、y の値毎に決まってくるため
> xは関係ないのですか？

はい、m の値には x は関係しません。
「m が y の値毎に決まる」というのは、「yの値が変化すれば、それに応じて m も変化する」ということですが、「x の値の変化に応じて m も変化する」ということはありません。
なぜなら、m の値を計算する中で、x の値は既に固定されているからです。

例えば、
　y=1 の時：z=x^2-6x+12=(x-3)^2+3
　　→ z は x=3 の時最小値 3 を取るため、m=3
　y=2 の時：z=x^2-12x+44=(x-6)^2+8
　　→ z は x=6 の時最小値 8 を取るため、m=8
　y=a の時：z=x^2-6ax+10a^2+2a=(x-3a)^2+a^2+2a
　　→ z は x=3a の時最小値 a^2+2a を取るため、m=a^2+2a
m の値が決まる裏では、x は色々動くのではなく、ある値に固定されることを意識してください。
これは、(3) の「z が最小値を取る時の x ( と y ) の値」を計算する鍵となります。
No.4350 - 2008/12/28(Sun) 19:17:36
☆ Re: 数?T / みかげ
ありがとうございました
くわしい説明でよく分かりました！
No.4353 - 2008/12/28(Sun) 22:56:23
★ (No Subject) / ゆう
aは定数とする。ｙ＝ｘ＾2−6ｘ＋4の0≦ｘ≦aにおける最大値、最小値を場合分けして求めよ。


お願いします!
No.4327 - 2008/12/26(Fri) 23:46:11
☆ Re: / にょろ
y=y(x)=x＾2-6x+4
=(x-3)^2-5

です。

で定義域が限定されている場合
二次関数では「頂点」「端っこ」のどれか

つまり
x=0,3,aの時のどれかです。

y(0)=4
y(3)=-5
y(a)=a^2-6a+4

です。

まず
0<=a<=3の時←頂点と0の間
x=0の時最大値y=4
x=aの時最小値y=a^2-6a+4

…
の様にやっていきます。
No.4329 - 2008/12/27(Sat) 01:08:50
☆ Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!
ありがとうございました!
No.4355 - 2008/12/28(Sun) 23:43:14
★ (No Subject) / β
方程式ｘ^3＝１の虚数解の一つをωとする、次の式を求めよ。
?@ω^2＋ω＋１
?Aω^3
?Bω^123
?C(１−ω)(１−ω^2)

という問題で、?@?A?B番まではとけたのですが、?C番がとけません。答えは３になるのですがどうといたらそうなるのでしょうか、宜しくお願いします。
No.4325 - 2008/12/26(Fri) 23:26:01
☆ Re: / DANDY　U
?C(１−ω)(１−ω^2)＝1−ω^2−ω＋ω^3
　　　＝1−(ω^2＋ω＋1)＋1＋ω^3＝1−0＋1＋1＝3
他の変形も考えられますが、そのまま展開した後?@?Aの結果を使うだけで求まりますね。
No.4330 - 2008/12/27(Sat) 08:15:08
☆ Re: / β
返信が送れて申し訳ありません、こう解けば良かったのですか！
ありがとうございます、よくわかりました。
No.4359 - 2008/12/29(Mon) 17:43:19
★ 数?T / みかげ
関数y=(x^2-6x)^2+12(x^2-6x)+30(1≦x≦5)の値域を求めよ。

多分、(x^2-6x)^2をAとおく、という事までは分かるのですが、その先が分かりません。よろしくお願いします。
No.4317 - 2008/12/26(Fri) 17:45:23
☆ Re: 数?T / rtz
(x2−6x)2ではなく、(x2−6x)ですね。

A＝x2−6x＝(x−3)2−9で、
1≦x≦5から、−9≦A≦−5です。
(最小になるのはx＝3、最大はx＝1と5)

さて、
y＝A2＋12A＋30＝(A＋6)2−6から
先ほど同様yの範囲を求めれば終わりです。


実際にグラフを描くと添付図のようになります。
あっているかの確認にどうぞ。
No.4318 - 2008/12/26(Fri) 19:31:16
☆ Re: 数?T / みかげ
Ａとおく→Ａの範囲を求める→ｙの範囲が求まる
という手順で解くのですね。
よく分かりました。ありがとうございます。
No.4321 - 2008/12/26(Fri) 22:19:58
★ (No Subject) / ゆう
2点A(1.0)、B(3.-4)を通り、頂点が直線ｙ＝ｘ−1上にある放物線の方程式を求めよ。


よろしくお願いします!
No.4316 - 2008/12/26(Fri) 17:29:33
☆ Re: / rtz
頂点のx座標をtとすると、頂点は(t,t-1)ですから、
放物線の方程式はy＝a(x−t)2＋(t-1) (a≠0)です。

あとはこれにA,Bの座標を代入してa,tを求めれば終わりです。
No.4319 - 2008/12/26(Fri) 20:11:50
☆ Re: (No Subject) / ゆう
ありがとうございます!


連立してみたら、8a-4at＋4＝0となりそこから計算できないのですが…
No.4320 - 2008/12/26(Fri) 21:24:42
☆ Re: / rtz
式をまとめれば4a(t−2)＝4⇔a(t−2)＝1ですから、
a＝1/(t−2)とすればよいでしょう。
(t＝2なら4a(t−2)＝0となり矛盾)
No.4322 - 2008/12/26(Fri) 22:48:42
☆ Re: / DANDY　U
[横から失礼します]
連立させるとき、y＝a(x−t)2＋(t-1)に(1,0)を代入した式
ａ(1−ｔ)^2＋(ｔ−1)＝0　の左辺を因数分解して
(t−1)(at−a＋1)＝0
よって a≠0 より、ｔ＝1 または ｔ＝1−1/a
これを、もう１つの式に代入してもよいですね。
No.4324 - 2008/12/26(Fri) 23:20:49
☆ Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!!
ありがとうございました!!!
No.4326 - 2008/12/26(Fri) 23:34:55
★ 期待値 / めい
期待値の問題です。宜しくお願いいたします。
袋に３個の赤球とn-3個の黒球がはいっている。これらｎ個の球を袋から１球ずつとりだすとき、赤球がＸ回目にはじめて取り出されるとして、Ｘの期待値を次のそれぞれの場合についてもとめよ。
１．取り出した球をその都度袋に戻す場合。
２．取り出した球を袋に戻さない場合。
No.4313 - 2008/12/26(Fri) 12:42:30
☆ Re: 期待値 / angel
1. は、Σ[k=1,n] kx^(k-1) の形の計算になります。
先にこれを微分を使って計算してみましょう。
まず、
　Σ[k=1,n] x^k = (x-x^(n+1))/(1-x)
両辺を微分すると
　Σ[k=1,n] kx^(k-1) = ( 1-(n+1)x^n+nx^(n+1) )/(1-x)^2
細部は自分でも計算してみてください。

さて、「X回目に初めて赤球が出る」ということは、1〜(X-1)回目までは全て黒球、X回目が赤球という状況なので、
確率：( (n-3)/n )^(X-1)・3/n となります。
なので、計算するのは
　lim[n→∞] Σ[k=1,n] k・( (n-3)/n )^(k-1)・3/n
です。
※いつまでたっても赤が出ない可能性があるため、n→∞

2. は答えが (n+1)/4 と綺麗なので楽に解ける方法があるのかもしれませんが…
地味に計算していきましょう。
「X回目に初めて赤球が出る」ということは、1〜(X-1)回目までは全て黒球、X回目が赤球という状況なので、
1〜(X-1)回目に取り出す球の組み合わせ nC(X-1) に対して、黒球のみ (n-3)C(X-1) と、X回目は残り(n-X+1)個の中から3個ある赤球を取り出す、ということから、
確率：(n-3)C(X-1)/nC(X-1)・3/(n-X+1) となります。

で、(n-2)回目までには確実に赤が出るため、
Σ[k=1,n-2] k・(n-3)C(k-1)/nC(k-1)・3/(n-k+1)
を計算することになります。

実際の計算としては、
　aCb = a!/( b!(a-b)! )
　a!/(a-3)! = a(a-1)(a-2), (a-3)!/a! = 1/( a(a-1)(a-2) )
　Σ[k=1,n] k^3 = 1/4・k^2(k+1)^2
　Σ[k=1,n] k^2 = 1/6・k(k+1)(2k+1)
　Σ[k=1,n] k = 1/2・k(k+1)
といった関係を適用していきます。
No.4333 - 2008/12/27(Sat) 11:01:54
☆ Re: 期待値 / めい
早速の回答感謝いたします。期待値の計算は面倒なところがありますが、これだけの解説があれば何としてでも頑張ります。
No.4336 - 2008/12/27(Sat) 13:16:49
☆ Re: 期待値 / angel
ごめんなさい。1箇所訂正です。
(1)は、
　lim[n→∞] Σ[k=1,n] k・( (n-3)/n )^(k-1)・3/n
ではなく
　lim[m→∞] Σ[k=1,m] k・( (n-3)/n )^(k-1)・3/n
でした。
文字をごっちゃにしてはいけませんでした。
No.4339 - 2008/12/27(Sat) 18:42:56
☆ Re: 期待値 / めい
1.の回答についてですが、Ｘ回目に赤球が取り出されるということなので、無限級数にする必要は無いのではないかと考えました。
そこでΣ[k=1,Ｘ] k・｛ (n-3)/n ｝^(k-1)・3/nとして計算すると、期待値はX/2(X+1)[1-{(n-3)/n}^X]となったのですが如何でしょうか。
No.4341 - 2008/12/27(Sat) 22:53:40
☆ Re: 期待値 / 亀田馬志
これ、玉川大学通信教育部数学コースのレポート問題でしょ?

＞1.の回答についてですが、Ｘ回目に赤球が取り出されるということなので、無限級数にする必要は無いのではないかと考えました。

無限級数にする必要アリ、です。X回目に出る、とは言ってもそのX回目が確定しているわけではありません。つまり、最終的な答えとしては「Xが消えてなければならない」んで、極限取らざるを得ない、ですね。
どうしてなのか、と言うと、答えにXが含まれる場合、Xによって「期待値がズレる」事を意味します。当然期待値は「平均」の意なので、それじゃあ「平均」の意味がありませんね。
必要なのは「Xによって左右されない」値、です。

ちなみにの分布自体は「幾何分布」と呼ばれているもの、です。
参考サイトを以下に紹介しておくんで、調べてみてください。

http://aoki2.si.gunma-u.ac.jp/lecture/Bunpu/kika.html
No.4342 - 2008/12/28(Sun) 00:17:35
☆ Re: 期待値 / angel
> Ｘ回目に赤球が取り出されるということなので、無限級数にする必要は無い

それは重大な勘違いですね。
Xはあくまで変数なのです。

X回目に事象が起こる確率を P(X) とした場合、何回目に起こるかの期待値は、
　Σ[Xの取り得る範囲] XP(X)
なので、答えに X が入っていてはいけないのです。
で、Xの取り得る範囲は、(1) の場合、「1以上の自然数全て」で上限がありませんから、
　Σ[k=1,∞] kP(k) = lim[m→∞] Σ[k=1,m] kP(k)
となるのです。
No.4343 - 2008/12/28(Sun) 10:07:46
☆ Re: 期待値 / めい
おっしゃるとおりですね。計算しなおしました。
部分和Sn＝Σ[k=1,n] kx^(k-1)として、次にaSnとして
Sn-aSn=1+a+a^2+・・・・+a^(n-1)-na^nとなるので
a=1でない場合はSn=(1-a^n)/(1-a)^2-na^n/(1-a)となってa^n→0,na^n→0(-1<a<1の場合）であるので、Sn=1/(1-a^2)ここでa=(n-3)/nを代入するとSn=n^2/9　よってlim[m→∞] Σ[k=1,m] k・( (n-3)/n )^(k-1)・3/n＝n/3となりましたが、如何でしょうか。
No.4345 - 2008/12/28(Sun) 11:09:22
☆ Re: 期待値 / angel
> 如何でしょうか。

良いと思います。
表現としては、
> Sn=1/(1-a^2)ここでa=(n-3)/nを代入するとSn=n^2/9
ここを
　Sn→1/(1-a)^2 ここで a=(n-3)/n を代入すると Sn→n^2/9
に替えるくらいでしょうか。
No.4352 - 2008/12/28(Sun) 21:35:19
☆ Re: 期待値 / めい
答はきれいなのですが途中がなかなかしんどいですね。
２．については計算途中で引っかかっています。階乗を全部はずすと・・・・１．のようにうまくいかなくて・・・
もう少し頑張ってみます。何回もフォローありがとうございます。
No.4354 - 2008/12/28(Sun) 23:19:27
★ (No Subject) / mako
はじめまして。
Oを原点とする座標平面上で、中心(2,0)、半径2の円Cの周上に動点P、x軸上に原点と異なる定点A(a,0)をとり、OP=2APとする。
（１）このような点Pが存在するようなaの値の範囲を求めよ。
（２）点PはC上のどの部分を動くか図示せよ。

この問題の方針が立ちません。
どうしたらいいでしょうか？
お願いします。
No.4311 - 2008/12/26(Fri) 00:09:41
☆ Re: / angel
とりあえず P の座標を (x,y) とでも置いて、方程式を立てて計算しても良いと思います。
※最初からスマートに解けることはあまり期待しない。がちゃがちゃ計算していく中で見えてくることもあります。

ただ、OP=2APから、アポロニウスの円に気付けば、近道になるでしょう。

(2)は、Pの x座標をとりあえず a を使って表してからです。
No.4312 - 2008/12/26(Fri) 12:13:04
★ (No Subject) / ゆう
Ａ君、Ｂ君、Ｃ君がつりをした。Ａ君とＢ君が釣った魚は合わせて49匹、Ｃ君のつった魚はＡ君の0.4倍、また3人の平均は小数第一位を四捨五入すると22匹だった。3人の釣った数を求めよ。


お願いします!
No.4308 - 2008/12/25(Thu) 22:06:16
☆ Re: / rtz
3人の平均は21.5以上22.5未満ですから
3人の合計は64.5以上67.5未満、つまり65、66、67のいずれかです。

ということはCの数が分かりますから、Aの数も求まります。
その際、数が整数でないものは省きましょう。
No.4309 - 2008/12/25(Thu) 23:27:02
☆ Re: (No Subject) / ゆう
分かりました!!
ありがとうございました!


すいません…もう一つお願いします!

2点A(1.0)、Ｂ(3.−4)を通り、直線がｙ＝ｘ−1上にある放物線の方程式を求めよ。
No.4310 - 2008/12/25(Thu) 23:35:32
☆ Re: / DANDY　U
新しい問題を質問するときは、また別のスレッドを立ててください。

タイプミスか、問題の意味不明ですし尚更のことですね。
No.4314 - 2008/12/26(Fri) 17:04:44
☆ Re: (No Subject) / ゆう
すいません…気をつけます。
No.4315 - 2008/12/26(Fri) 17:23:11
★ 平方の和 / 母
小学4年生に平方の和　(1×1＋2×2＋3×3+……+100×100）を教えるには、どのようにすればいいでしょうか。
ちなみに、（1+2+3+・・・・+100)は、等差数列の和(1+100)×100÷2という求め方は習っています。
No.4302 - 2008/12/24(Wed) 17:41:51
☆ Re: 平方の和 / ヨッシー
図形でむりやり理解させるには、こちら。

一般には、ｎとかを使うのですが、100に限定するなら、
3・2・1−2・1・0＝3(2・1)＝3(12＋1)
4・3・2−3・2・1＝3(3・2)＝3(22＋2)
　・・・
102・101・100−101・100・99＝3(101・100)＝3(1002＋100)
全部足すと、左辺はほとんどの項が消えて
(左辺)＝102・101・100−2・1・0
(右辺)＝3{(12＋22＋・・・1002)＋(1+2+・・・100)}
より、
　3{(12＋22＋・・・1002)＋5050}＝102・101・100
　(12＋22＋・・・1002)＋5050＝343400
　12＋22＋・・・1002＝338350
No.4304 - 2008/12/24(Wed) 19:54:47
★ (No Subject) / もん
さっきのもんだいです。
すいません。
No.4301 - 2008/12/24(Wed) 15:55:09
☆ Re: / X
No.4300のスレッドもそうですが、写真を添付する場合は
アップ後に確認をしましょう。
画像の向きはともかくとして、ピンボケで何が書かれているのか
よく分かりません。
No.4303 - 2008/12/24(Wed) 17:45:54
☆ Re: / rtz
答えがどうなのか分かりませんが、
速度v0でt0秒上昇したのですから、
高さはv0t0でいいと思いますが。
No.4305 - 2008/12/24(Wed) 20:54:49
☆ Re: / angel
問題は、「速度 v0 で上昇する気球から物体を切り離した。時刻 0 での物体の高さを 0 とすると、t0秒後の物体の高さは?」でしょうか。
答えは v0t0-1/2・gt0^2 ですね。

問題が見辛いのは、まぁ、しょうがないとしても。
前提やら貴方自身の考えやら疑問点の詳細を全部すっとばされると、答えようがないです。物理以前の問題です。

ただ感じたのは…、公式 h=1/2・gt^2 を鵜呑みにしているのではないですか? そんなんじゃ解けませんよ。
※偶然答えがあったとしても、解ける力として身についているわけではないので、本番で役に立たない。

今回は、
　高さ … 常識的に上る方がプラス
　v0 … 上昇している気球の速度なので、上方向がプラス
　g … 落下時の加速度なので、下方向がプラス
ということで、「高さ」にあわせて上をプラスとすると、気球の速度は +v0、物体の加速度は -g
なので (+v0)・t0+1/2・(-g)・t0^2 と計算できます。

少なくとも、上下、左右、増減、プラスマイナスがどうなるかは毎回意識した方が良いです。
No.4306 - 2008/12/25(Thu) 12:46:02
★ (No Subject) / もん
物理なんですが。。。
高さｈの式にｔ＝ｔｾﾞﾛで代入すると
?Dになってしまうんですが
どうすればよいのでしょうか？
No.4300 - 2008/12/24(Wed) 15:53:39
★ 三角関数 / Jez-z
nを自然数とする。このとき、
cos(2^n)θ=cosθを満たすθは
相異なる2^nをもつ・・・・・・※
ことを示したいのですが、グラフを書いてみて考えたところ、θ＝0のときは２つのグラフが接するので、どうやら重解をもつようです。
しかし、それ以外のθでは２つのグラフが接するところがないのかというと、図を描いてみる限り、他にもあってもよさそう!?な気がするのですが、※を数学的にどのように証明したらよいのかがわかりません。

解説よろしくお願いします。（自分の考えで誤りがあったら、それも正してくれると嬉しいです）_(_^_)_
No.4296 - 2008/12/23(Tue) 22:49:46
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
問題の意味がよくわかりません。
例えば、ｎ＝１のとき、
θ＝120°が答えですが、このθは、
ｎ＝３，ｎ＝５，ｎ＝７のときも、解になる、ということでしょうか？
No.4297 - 2008/12/23(Tue) 22:59:05
☆ Re: 三角関数 / Jez-z
条件をつけ忘れました
θは0≦θ≦πをみたし、
※の条件は正しくは

nを自然数とする。このとき、
cos(2^n)θ=cosθを満たすθは
相異なる2^n個の解をもつ・・・・・・※

です
No.4299 - 2008/12/23(Tue) 23:53:02
☆ Re: 三角関数 / angel
cosの和積
　cosα-cosβ= -2sin((α+β)/2)・sin((α-β)/2)
を使えば、実際に解θが出ますから、個数を数えることができます。
※2^n でなくとも 2n でも解けますね。こちらの方が条件としては厳しいのですが。
No.4307 - 2008/12/25(Thu) 12:49:50
☆ Re: 三角関数 / Jez-z
angelさん、全般的にもう少し詳しく教えてもらえませんか？
また、相異なることも示せるのでしょうか？
No.4323 - 2008/12/26(Fri) 22:49:47
☆ Re: 三角関数 / angel
…適用してみました?
まあ、模範解答(っぽいもの)を欲するのであれば、別に良いですが。

方程式を cos(2^n・θ)-cosθ=0 と変形し、和積を適用すると、
-2sin((2^n+1)θ/2)・sin((2^n-1)θ/2)=0
すなわち、sin((2^n+1)θ/2)=0 または sin((2^n-1)θ/2)=0
これより、(2^n+1)θ/2=pπ または (2^n-1)θ/2=qπ ( p,qは整数 )
0≦θ≦π という条件より、
θ=2pπ/(2^n+1) ( pは整数、0≦p≦2^(n-1) )
　 2qπ/(2^n-1) ( qは整数、0≦q≦2^(n-1)-1 )
解の重複は p=q=0 の時のみのため、θは相異なる 2^n 個の解を持つ。
なお、p=q=0 の時以外に重複がないことを以下に示す。
もし、ある p,q (p≠0またはq≠0、0≦p≦2^(n-1)、0≦q≦2^(n-1)-1) に対し、2pπ/(2^n+1)=2qπ(2^n-1) となったと仮定すると、

まず明らかに p≠0 かつ q≠0
また、p(2^n-1)=q(2^n+1)
ここで、2^n-1 と 2^n+1 は互いに素である。実際、互いに素でないとすれば、2以上の公約数 g が存在して、2^n-1=gA, 2^n+1=gB と表せるが、2^n-1,2^n+1 とも奇数のため、g も奇数、かつ g(B-A)=2^n+1-(2^n-1)=2 のため g は 2 の約数であり、g=1 これは「2以上の公約数gが存在する」ことに矛盾するからである。

このため、p は 2^n+1 の倍数となるが、0<p≦2^(n-1) の範囲で 2^n+1 の倍数は存在しないため、矛盾が生ずる。
以上により、p=q=0 以外に解の重複がないことが示された。
No.4328 - 2008/12/26(Fri) 23:47:23
☆ Re: 三角関数 / Jez-z
angel様、ありがとうございます。すごくよくわかりました。
と同時にこの問題により新たに分かった（？）ことがあるので、以下に書きますので点検してもらってもよいですか？

一般に、kを2以上の整数とすると（nは自然数）
y=cos(k^n)θとy=cosθのグラフはθ=0で「接する」が、その他の点では「交わる」（←接しはしない）

ただ、cosのグラフは周期関数で、一般の多項式と同列に扱ってよいのかという疑問は残ります。たとえば、一般の多項式の正解では、゛一般に"「重解」⇔「接する」の読み換えが成り立ちますが・・・

返信遅れましたが、よろしくご指導ください_(_^_)_
No.4340 - 2008/12/27(Sat) 22:50:45
☆ Re: 三角関数 / angel
重解って、あくまで n次方程式での概念なので、三角関数を含んだ方程式で考える必要はないと思いますが…。
θ=0 でグラフが接するが、他では交わる、というのは多分正しいでしょうね。
ただし、k が奇数の時は θ=π でも接するので注意。

…というか、k^n にしなくても、
　y=cos(nθ) (nは2以上の自然数) と y=cosθ のグラフは、0≦θ≦π の範囲で n個の共有点を持ち、θ=0 で接する。nが奇数の時は θ=πでも接する。
で成り立ってそうですがね。
No.4344 - 2008/12/28(Sun) 10:27:15
★ 水溶液 / はなまる
理科の水溶液の問題です。小学校５年です。

温　　度(℃)　10　　20　　40　　60　　80

とけた量(ｇ)　3.7　4.9　　8.9　14.9　23.6
　　　　　　　

上の表は水100gに溶けるホウ酸の量を表しています。ホウ酸と石の混ぜ合わせたものに水を加え、さまざまな温度で十分に溶かしました。解けずに残った固体の量は２０度で27.5g、40度で15.5g、60度で12.2gでした。水は蒸発しなかったものとして、次の(１)〜(５)の問いに答えなさい。(ただし、割り切れないときには、小数第2位を４捨５入して小数第１位まで求めなさい。)

(１)　最初に加えた量は何gですか。
(２)　80℃まで加熱したとき何gの固体が溶けないで残りますか。
(３)　(２)で求めた水溶液に含まれているホウ酸の重さの割合は何%ですか。
(４)　80℃まで加熱した後、溶けないで残った固体を取りのぞいて、水溶液を10℃になるまで冷やしました。何gの固体が出てきますか。
(５)　最初のホウ酸と石を混ぜ合わせたものは、全部で何gありましたか。

(１)だけは、わかったのですが、(２)〜(５)がわかりません。よろしくお願いします。

(１)の答え　300ｇ
No.4291 - 2008/12/23(Tue) 19:21:15
☆ Re: 水溶液 / rtz
(1)問題文中に「水」があるはずです。
(2)(1)から40℃→60℃で18g減少しないとおかしいはずです。
つまり60℃で残っているものは全て石です。
(3)水は300g、ホウ酸は「40℃で300gの水に溶ける量」＋(15.5−12.2)g
(4)元のホウ酸量が分かっていますから、10℃で解ける量を引きます。
(5)石も元のホウ酸量も出ています。
No.4293 - 2008/12/23(Tue) 20:54:40
☆ Re: 水溶液 / はなまる
ありがとうございました。
(１)　水の量です。書きもれてしまいました。すみません。
(２)　12.2g
(３)　10%
(４)　18.9g
(５)　42.2g
になりましたが、合っていますか？
No.4294 - 2008/12/23(Tue) 22:22:08
☆ Re: 水溶液 / rtz
(3)が間違いです。
分母にホウ酸の分が足されていませんね。
No.4295 - 2008/12/23(Tue) 22:49:38
☆ Re: 水溶液 / はなまる
ああ、そうでした。
ありがとうございました。

このような問題がテストに出た場合でも、うっかりミスをすることがないようにしなければ、と思いました。

　
No.4298 - 2008/12/23(Tue) 23:09:39
★ 微積 / blue
a<0とし、直線y=3axをlとする。
点(1,0)でx軸に接する放物線Cが直線lにも接しているとする。
その接点Pの座標と放物線Cの方程式を求めなさい。
しばらく考えたのですが、いっこうに閃きません。
よろしくお願いします。
No.4285 - 2008/12/22(Mon) 20:35:10
☆ Re: 微積 / X
Cの軸がy軸平行であるという前提で解答します。

Cは点(1,0)でx軸に接している放物線ですのでその方程式は
y=p(x-1)^2
(p≠0)
と置くことができます。
これより
y'=2p(x-1)
∴C上の点(q,p(q-1)^2)における接線の方程式は
y=2p(q-1)(x-q)+p(q-1)^2 (A)
(A)がLと一致するためには少なくとも(A)は
点(0,0)を通らなくてはならないので
0=2p(q-1)(-q)+p(q-1)^2
題意からq≠1であることに注意してこれを整理すると
q=-1
∴(A)は
y=-4px
これがLと一致するので傾きについて
-4p=3a
∴p=-3a/4
よってCの方程式は
y=-(3a/4)(x-1)^2
接点の座標は(-1,-3a)
となります。
No.4286 - 2008/12/22(Mon) 22:23:29
☆ Re: 微積 / blue
うーむ…やっぱり難しいですな＾＾；
解答ありがとうございます。
No.4288 - 2008/12/22(Mon) 22:40:05
☆ Re: 微積 / X
blueさん、まだ見ていますか？。
No.4286と前提は同じですが、微分を使わないもう少し
簡単な方法がありますので書いておきます。

題意からCの方程式は
y=p(x-1)^2 (A)
(p≠0)
と置くことができます。
これとL,つまり
y=3ax (B)
とが接しますので接点のx座標に関する方程式
3ax=p(x-1)^2
つまり
px^2-(3a+2p)x+p=0
の解の判別式をDとすると
D=(3a+2p)^2-4p^2=0
これを解いて
p=-3a/4
よってCの方程式は
y=-(3a/4)(x-1)^2
接点の座標は
(-1,-3a)
となります。
No.4289 - 2008/12/23(Tue) 00:42:20
★ 高１です/順列 / riry
すみません、お願いします。
0,1,2,3,4,5,6,7の８桁の数字を使ってできる整数は何個あるか。ちなみに同じ数字は２度以上使えません。
３桁の整数で５の倍数は何通りあるか。

･･･という問題なんですが。
答えは一応出てきたんですが、自信がありません。
式も分かりません･･･。
No.4284 - 2008/12/22(Mon) 20:27:06
☆ Re: 高１です/順列 / ヨッシー
95901, 78 になりましたか？
No.4287 - 2008/12/22(Mon) 22:39:35
☆ Re: 高１です/順列 / riry
なりません･･･。
取りあえず1の位が0，5になるから2通りで、
百と十の位が6通りずつで
６×６×２＝７２個？
になったんですけど、合ってるかどうか。
これが重複順列だと簡単なんですけどね〜；
No.4290 - 2008/12/23(Tue) 18:44:52
☆ Re: 高１です/順列 / ヨッシー
１の位が０のときは、７×６
１の位が５のときは、６×６　です。
１の位が０のときは百の位が０になる心配がないので、こうなります。

で、念のためですが、
＞0,1,2,3,4,5,6,7の８桁の数字
とありますが、
「８個の数字」の間違いなのか、
「８個を使って８桁の数字」を作るのか
どちらでしょう？

95901 は、８個の数字から重複なく１個以上使って、
１桁から８桁の数をつくるという解釈での答えです。
No.4292 - 2008/12/23(Tue) 20:29:16
☆ Re: 高１です/順列 / riry
ありがとうございますｗ♪
０，５の場合を考えるとそうなることが
よく分かりました〜☆(´∀`)
あと、８桁の数字と８個の数字を間違って表記してすみません。(＞＜)８個の数字でしたが理解して頂いてありがとうございました。
これからもお世話になる時があるかもしれませんが
よろしくです(´∀`)
No.4351 - 2008/12/28(Sun) 21:01:35
★ コンビネーション / コブクロ
nCk=n!/k!(n-k)!が整数となることの証明を教えていただけませんか。自分で考えましたけどさっぱりです。
No.4278 - 2008/12/21(Sun) 19:24:50
☆ Re: コンビネーション / angel
n!/k!(n-k)! の形ではなく、nPk/k! の形の方が分かり易いと思います。連続する k 個の整数の積が k! で割り切れる、ということで。
…とは言え、直感的には分かり易いのですが、ちゃんと説明するのは難しいかも知れないですね。

代わりに、

　nC0 = 1
　nCk = (n-1)Ck + (n-1)C(k-1) (n≧1, k≧1)

を使えば、帰納法でいけますので、こちらの方が楽かもしれません。
No.4279 - 2008/12/21(Sun) 19:46:54
★ (No Subject) / ken
こんばんは。宜しくお願いします。

Oを原点とし，放物線C:y=1/√3x^2上に2点PとQを∠POQ=90°となるようにとる。
(1)PとQがC上を動くとき，線分PQの中点Rはどのような曲線上を動くか。
(2)直角三角形OPQの面積がとり得る範囲を求めよ。
No.4277 - 2008/12/21(Sun) 19:03:40
☆ Re: / law
（1）放物線y=(2/√3)x^2+√3
（2）S≧6√3
でしょうか。

（1）
?@R(x,y)とおく
?AP(p,(1/√3)p^2)とおき、Qの座標もpを用いて表す
?Bx,yをそれぞれpを用いて表す
?Cpを消去してx,yの関係式を求める（コツが必要）

（2）
?@OP,OQの長さをpを用いて表す
?AS=(1/2)*OP*OQとして、Sをpを用いて表す
?B相加相乗平均の関係を用いる

詳細な途中式は全部書くとヘヴィなのでご勘弁をば。。。
No.4280 - 2008/12/21(Sun) 21:12:53
☆ Re: / angel
(2)の答えは S≧3 だと思いますよ。
P(√3,√3), Q(-√3,√3) の時 ( P,Qが逆でも可 )、OP=OQ=√6 で、S=1/2・(√6)^2=3 が面積最小です。
答えの裏を取るのも大事ですね。
No.4281 - 2008/12/22(Mon) 01:18:09
☆ Re: / angel
綺麗に解くなら、P,Qの片方を主役にするのではなく、両方平等に扱うのが手です。
P(α,α^2/√3), Q(β,β^2/√3)、s=α+β, t=αβ と置き、s,t を活用しましょう。
※例えば、α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=s^2-2t というように。

(1)
中点R の座標を R(x,y) とすると、
　x = (α+β)/2 = s/2
　y = (α^2/√3+β^2/√3)/2 = (s^2-2t)/(2√3)
ところで、
OPとOQが垂直なので、OPとOQの傾きの積が -1
というところから、t の条件が出ます。
後は s を消去すれば x,y のみの関係式となります。
なお、x の値域ですが、s^2-4t≧0 を満たす s を考えると、実は s は全ての実数となります。同時に x も全ての実数の範囲を動きます。
No.4282 - 2008/12/22(Mon) 02:02:39
☆ Re: / ken
みなさん，ありがとうございます。
No.4283 - 2008/12/22(Mon) 07:54:37
★ 空間図形 / bin
こんばんは！
どうしてもわかりません、教えてください。

「高さ153cm、体積π159cm3の円錐の展開図をできるだけ
小さな正方形におさまるようにかくとき、この円錐の展開図
をかくことのできる、もっとも小さな正方形の1辺の長さを
求めなさい。
なお、円錐の展開図で、底面の円は側面のおうぎ形の弧と
どこかで接しています。」

解答
3＋2分の15ルート2
No.4267 - 2008/12/19(Fri) 22:43:45
☆ Re: 空間図形 / rtz
高さの割に答えの正方形が小さいような…？
No.4269 - 2008/12/19(Fri) 22:54:28
☆ Re: 空間図形 / DANDY　U
解答から類推すると
高さ「3√15」cm、体積「(9√15)π」cm3 の円錐の・・・
という問題と思われますが・・・

（注）積ではπは数字より後ろに書きます。π×159→159π）
No.4273 - 2008/12/20(Sat) 08:43:30
☆ Re: 空間図形 / bin
すみません、問題が間違ってました。
「高さ３√１５ｃｍ体積９√１５パイ?p3の円錐の展開図をできるだけ小さな正方形に納まるように書く時、この円錐の展開図を書くことのできるもっとも小さな正方形の一辺の長さをもとめなさい。尚 円錐の展開図で底面の円は側面の扇形の弧とどこかで、接しています。」です。
おうぎ形の半径（母線）12cmや底面の半径3cm、中心角90度はわかるのですが、それからがわかりません。とくに3√2がわからなくて、どんな正方形になるのでしょうか。教えてくださいお願いします。
No.4274 - 2008/12/21(Sun) 12:13:28
☆ Re: 空間図形 / bin
ごめんなさい！
やってるうちに解けました！
３√２ は、正方形の対角線の長さの一部ということがわかりました。そこから一辺の長さを求めることができました。
正方形の中に入るときのおうぎ形の形を間違ってました。
ありがとうございました。
No.4275 - 2008/12/21(Sun) 12:39:31
☆ Re: 空間図形 / DANDY　U
解けてよかったですね。
マルチ先にも、問題ミスであったこと、解決したことを書き込んでおいてください。
No.4276 - 2008/12/21(Sun) 16:29:49
★ 平面図形 / 7bitm
△ABCの内部にD、外部にE,F があり、
∠AFB＝∠DBC＝30°
∠EAC＝∠DCB＝45°
∠ECA＝∠FAB＝60°
となっている時のDE:EFを求める問題で、

自分では √3-1:2 と出たのですが、手順が面倒です。

この問題、どう解くのが簡単でしょうか。
教えて下さい。お願いします。
No.4262 - 2008/12/19(Fri) 00:09:46
☆ Re: 平面図形 / 7bitm
すみません。最初の1行を以下のように訂正します。

△ABCというのは変わらずに、DはBCからみてAと同じ側に、
EはCAを挟んでBの反対側に、FはABを挟んでCの反対側にある。
No.4263 - 2008/12/19(Fri) 00:27:49
☆ Re: 平面図形 / rtz
DEの長さはCがどこにあっても同じですが、
EFの長さはCの位置で変わるため、答えは一意に定まらないと思いますが。
No.4264 - 2008/12/19(Fri) 15:28:07
☆ Re: 平面図形 / 7bitm
本当にすみません。　
DE：DFですね。
No.4265 - 2008/12/19(Fri) 19:32:11
☆ Re: 平面図形 / らすかる
私が何か勘違いしているのかも知れませんが、例えば
A(-√3,2+√3), B(-√3,-1), C(1,-1), D(0,0), E(3,2√3-1), F(-4√3-3,-1)
のとき DE：DF=√(22-4√3)：√(58+24√3)、DE/DF=0.38906302…
A(1,2+√3), B(-√3,-1), C(1,-1), D(0,0), E(4,-1+√3), F(-4√3-3,2+√3)
のとき DE：DF=√(20-2√3)：√(64+28√3)、DE/DF=0.38339161…
のように一定になりませんので、与えられた条件からは求まらないような気がします。
No.4266 - 2008/12/19(Fri) 19:50:36
☆ Re: 平面図形 / rtz
らすかるさんの仰っていることと同じになってしまいますが、

B(0,0)、A(a,b)、C(c,0)とすれば、
D((c√3)/(1+√3),c/(1+√3))、E({a+(b+c)√3}/(1+√3),{b+(c-a)√3}/(1+√3))、F(-b√3,a√3)ですから
どっちにしろ同じことです。

私がこれでは定まらない、と言ったのは、
該当する線分が間違っているのでは？ということではなく、
三角形を決定する要素が他にあるのでは？ということです。
そもそもその答え自体、三角形が決まっていなければ出てこない数字のはずです。
No.4268 - 2008/12/19(Fri) 22:48:46
☆ Re: 平面図形 / 7bitm
そうなのですか・・・
それでは、答えを出す過程で失敗してるみたいです。
それか、問題図の説明がおかしかったのかもしれません。

自分がその値を出した方法を載せてみます。
どこが間違っているのか教えて下さい。


AF：BF＝２：√３　BD：CD＝２：√２　CE：AE＝√２：√３

∠BDG＝30°　∠CDG＝７５°　BD:DG:CD＝2:√３：√２
となるようにGをとると、△ABF∽△GBD　△CAE∽△CGD

なので△ABG∽△FBD　△ACG∽△ECD
ゆえに　AG:DF＝１：２　AG:DE＝１＋√３：２

よって　DE:DF＝１：１＋√３
（√３−１：２　よりもこちらの方が値が簡単でした）
No.4270 - 2008/12/19(Fri) 23:47:14
☆ Re: 平面図形 / らすかる
問題文の ∠ECA＝∠FAB＝60°が
∠ECA＝∠FBA＝60°の誤りですね。
No.4271 - 2008/12/20(Sat) 00:16:28
☆ Re: 平面図形 / 7bitm
本当だ・・・　
完璧にミスです。
もっと早くに気付くべきでした。　申し訳ありません。
No.4272 - 2008/12/20(Sat) 00:34:46
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