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模試の過去問らしい / ぐるる
Oを原点とする座標平面上に曲線C:y=√x(x≧0)があり、C上に点の列O、P1、P2、・・・・、Pn,・・・がこの順に、さらに、△OP1Q1および△QnP(n+1)Q(n+1) (nは1以上の整数)はすべて正三角形である。Pnのx座標をxnとする。

(1)x1をもとめよ
(2)xnをもとめよ
(3)lim(n→∞) (1/n^3)(OP1^2+P1P2^2+・・・+P(n-1)Pn^2)を求めよ。

ややこしく感じてどうすればいいかわかりません。
分かりやすくお願いします。

No.2508 - 2008/09/05(Fri) 19:36:50

Re: 模試の過去問らしい / ヨッシー
この文だけでは、図のように好き勝手にP1,P2・・・が取れます。

問題文は一字一句抜けていませんか?

>点の列O、P1、P2、・・・・、Pn,・・・がこの順に、さらに、
の辺が、文章的におかしい気がします。
この順にどうしたのでしょう?

No.2514 - 2008/09/05(Fri) 22:39:42

すみません。訂正します。 / ぐるる
Oを原点とする座標平面上に曲線C:y=√x(x≧0)があり、C上に点の列O、P1、P2、P3、・・・、Pn,・・・がこの順に、さらに、x軸上に点の列O,Q1,Q2,Q3,・・・,Qn,・・・がこの順に並んでいる。さらに、△OP1Q1および、△QnP(n+1)Q(n+1) (nは1以上の整数をとる)はすべて正三角形であり、Pnのx座標をxnとする。


すみません。こちらです。確認おねがいします

No.2527 - 2008/09/06(Sat) 00:17:00

Re: 模試の過去問らしい / ヨッシー
私のページに解答を載せました。
No.2530 - 2008/09/06(Sat) 01:17:09

Re: 模試の過去問らしい / ぐるる
確認しました。ありがとうございます!
No.2553 - 2008/09/07(Sun) 11:00:37
立体(複雑) / Jez-z
半径1の球Sと正四面体Tがある。Tの4頂点のうち3点はS上にあり、Sの中心はこの3点を通る平面上に存在する。このとき、Sに外接し、Tの3つの面に接する球の半径を求めよ。


この問題なのですが、まず「図」を書くことから始めるのが基本だと思うのですが、問題文が言っている「状態」がうまく図示できません。たぶん、図示さえできればもっと考えられると思うのですが…

ヒントなどほしいと思っています、アドバイスお願いします

No.2502 - 2008/09/04(Thu) 23:03:10

Re: 立体(複雑) / ヨッシー

こんな感じです。

答えは、(√2−1)/4 になります。

No.2504 - 2008/09/04(Thu) 23:36:27

Re: 立体(複雑) / rtz
図示、というか想像できていれば
汚くても絵は描けると思いますが…。

球と正四面体、というよりは、
正四面体があって、その底面の中心をOとし、
Oが中心である半球が被さっている、と考えた方がいいかもしれません。
(半球の切断面である円は正四面体の底面である正三角形の外接円)

とすれば、
題意の球は正四面体の3側面と半球のてっぺんに接するので、
要は正四面体を、半球の高さ(=球の半径)で底面と平行に切断した、
小さな正四面体の内接球ということになります。

No.2505 - 2008/09/04(Thu) 23:41:29

感謝 / Jez-z
ありがとうございます。おかげで正答を得ることができました。
No.2522 - 2008/09/05(Fri) 22:54:32
よろしくお願いします。 / A
関数f(x)=asinxcosx+cos^2xがある。
(1)f(x)をsin2x,cos2xで表せ。
(2)a=√3のとき、f(x)の最大値、最小値を求めよ。
(3)0≦x≦π/4とする。
(イ)0(ロ)f(x)の最大値が、f(x)の最小値の2倍となるような実数aの値を求めよ。

よろしくお願いします。


No.2489 - 2008/09/03(Wed) 18:20:14

Re: よろしくお願いします。 / ヨッシー
(1)
倍角の公式
 sin2x=2sinxcosx
 cos2x=2cos2x−1
を使います。
(2)
f(x)=cos(π/6)sin2x+sin(π/6)cos2x+1/2
 =sin(2x+π/6)+1/2
と書けるので、最大値3/2、最小値-1/2

(3)
(イ)0(ロ)f(x) とは何ですか?

No.2492 - 2008/09/03(Wed) 19:46:51

Re: よろしくお願いします。 / A
(イ)0は打ち間違いです。

飛ばして(ロ)からが問題です。

No.2493 - 2008/09/03(Wed) 20:35:48

Re: よろしくお願いします。 / ヨッシー
私の見込では、
「f(x)の最大値が、f(x)の最小値の2倍となるような実数a」は無い
となりましたが、どうでしょう?

No.2494 - 2008/09/04(Thu) 09:48:51

Re: よろしくお願いします。 / rtz
>ヨッシーさん
一応2つ存在するようですが…。

No.2498 - 2008/09/04(Thu) 19:53:53

Re: よろしくお願いします。 / ヨッシー
あ、「0≦x≦π/4とする。」を見落としてましたね。
No.2500 - 2008/09/04(Thu) 19:57:06

Re: よろしくお願いします。 / A
遅くなりました。

(3)方針だけでも教えてもらえないでしょうか?

答えも出るなら教えてほしいです。

No.2501 - 2008/09/04(Thu) 21:49:41

Re: よろしくお願いします。 / だるまにおん
ヨッシーさん、お久しぶりです。

この問題は、2ちゃんねるの【高三・高卒】第二回 全統記述模試2【ネタバレ】というスレッドに書き込まれた問題であり、実際に河合塾の模試のネタバレである可能性が高いです。

No.2507 - 2008/09/05(Fri) 08:45:03
方程式 / あや
こんにちは。失礼します。よろしくお願いします。

【質問】
nを0以上の整数とするとき、2nπ+π/3≦t≦2nπ+2π/3において、

cost+st-1=0

を満たすtが、(1)ただ一つ存在する、(2)四つ存在するような正の定数sのとりうる値の範囲をそれぞれ求めなさい。

f(t)=cost+st-1とおいて、f(t)のグラフを描こうとしました。f'(t)=-sint+sなので、|s|<1、|s|=1、|s|>1に分けて考えようとしましたが、全く上手くいきませんでした。

この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

No.2483 - 2008/09/03(Wed) 11:11:45

Re: 方程式 / ヨッシー
cost+st-1=0 を変形して
1-cost=st なので、y=1-cost と y=st の交点について考えます。

図の太線と、原点を通る直線 y=st が、何点で交わるかを調べます。

No.2484 - 2008/09/03(Wed) 11:37:24

Re: 方程式 / あや 大学受験生
ヨッシー様へ

はじめまして。早速のお返事ありがとうございました。グラフをつけていただいたおかげで、考え方はよくわかりました。y=1-costとy=stに分けるところとか、すごーいと思います。

考え方はわかったのですが、解き方でまだ質問があります。まず(1)についてですが、交点が一個になるのはグラフを見ると、(π/3,1/2)を通るときから(2π/3,3/2)を通るときまでの間になりそうです。これを解くと、3/2π≦s≦9/4πになりました。でもたとえば、(π/3,1/2)を通るときなど、隣のお山とも交点を持ちそうですが、答えを書くときはちゃんと(π/3,1/2)以外の交点はないことを書かなければいけないでしょうか。

それから、(π/3,1/2)を通るときより傾きを小さくしても、一個目のお山とは交点はないですが、二個目のお山とは交点を持ちそうな感じがします(実際ヨッシー様のグラフではそうなっているような…?)。ということは、傾きを小さくしていくと、三個目、四個目のお山で一個の交点を持つかもしれないってことですよね(グラフ出を見る限りそんなことはなさそうですが)。これはグラフより明らかに3/2π≦s≦9/4π以外にないなんて結論付けてしまってよいのでしょうか。

こちらの疑問についても教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

No.2485 - 2008/09/03(Wed) 15:21:51

Re: 方程式 / ヨッシー
それらはちゃんと書かないといけないでしょう。
(2π/3, 3/2) を通るときの傾き9/4π が上限ですね。
(π/3, 1/2) を通るときの傾き 3/2π 。このとき、
(π/3, 1/2) を3倍に延ばした(π, 3/2) は、まだ,次の山の
太線の右上(8π/3, 3/2) に届いていないので、
3/2π≦s≦9/4π において、交点は1つです。

次に、(8π/3, 3/2) を通るときの傾き 9/16π。
このとき、この点を 1/3 倍した (8π/9, 1/2) は、
1つ目の山の太線の左下(π/3, 1/2) より右にあるので、交点は1個です。
一方、3つ目の山の太線の右上(14π/3, 3/2) を通るとき、
傾きは 9/28π ですが、この点を 1/3 倍した、(14π/9, 1/2) は、
2つ目の山の太線の左下(7π/3, 1/2) より左にあるので、
2つ目の山の太線と交わります。よって、
 9/28π<s≦9/16π
の範囲で、交点は1つです。

式で書くとややこしいですが、表にまとめるとスッキリすると思います。

No.2486 - 2008/09/03(Wed) 16:38:46

Re: 方程式 / 豆
計算自体は楽になりませんが、いくつ解があるかについては
少し考え方が楽になるかもしれませんので、少し異なるグラフで・・

t>0 なので、s=(1-cost)/t として、
y= (1-cosx)/xのグラフと、y=sのグラフの交点の個数を考える。
(高さだけ見ればよいことになる)
前者のグラフは極小点がx=2nπの点であり、極大点は
1-cosxのそれ((2n-1)π)より左にずれ、高さはxが増えるにつれ
低くなることが分かる  (グラフが書ければよいのですが・・・)
なお、x方向の極大点のずれはxが増加するに従い小さくなってくる。
y'=(xsinx+cosx-1)/x^2より、
x=2π/3 のとき、y'=π/√3-3/2>0より
π/3≦x≦2π/3は単調増加の領域である。
以降2πの周期に関しても単調増加の領域である。
従って、一つ目の山での値域は
(1/2)/(π/3)≦y≦(3/2)/(2π/3)  つまり  3/(2π)≦y≦9/(4π)
二つ目での山の地域は
(1/2)/(7π/3)≦y≦(3/2)/(8π/3) 
といった具合で値の範囲が特定できます。 あとは大小関係の比較ですね・・・

No.2487 - 2008/09/03(Wed) 17:31:57

Re: 方程式 / あや 大学受験生
ヨッシー様へ

お返事ありがとうございます。グラフを見ればなんとなくわかるのに、ちゃんとした答えを書くのが大変です。深みにはまっていくような感じのいやな問題です。

次に〜からの部分ですが、ここは要するに二つ目のお山で交点一個になる場合は、二つ目のお山での右端(上限)から三つ目のお山での右端(下限)を通るまでの間ってことですよね。ここら辺からちょと難しいです。

三つ目のお山以降で交点が一つになることはないことをどうやって書けばいいのかわかりません。表にまとめるとスッキリするってことですが、どういう表を描けばいいの思いつかないです。ヨッシー様のおっしゃる表ってどんなかんじでしょうか。

豆様へ
お返事ありがとうございます。一度に複数の解き方はキツイので、また後ほどゆっくり読ませていただきます。すみません。

No.2495 - 2008/09/04(Thu) 17:08:34

Re: 方程式 / 豆
あやさんへ
そうですね。ひとつずつ着実にマスターしてください。

ヨッシーさん
今後のために、可能であれば山が低くなっていく方のグラフも
アップしていただけたら幸甚。

No.2496 - 2008/09/04(Thu) 17:17:42

Re: 方程式 / ヨッシー
まずは、豆さんのグラフは

こうだと思うんですが、どうですか?

あと、これを、
 2nπ+π/3≦t≦2nπ+2π/3
で、切らないといけないですね。

No.2497 - 2008/09/04(Thu) 17:23:00

Re: 方程式 / ヨッシー
なかなかうまい表が書けなかったので、少し工夫します。

図のように、太線を原点からの光線によって、直線y=3/2 に
投射します。つまり、1つ目の山の太線は、直線y=3/2 上では、
 2π/3≦x≦3π/3
に投射されます(赤線)。2つ目の山の太線は
 8π/3≦x≦21π/3
です(青線)。

この横線が、何本重なるかが、y=st と太線が、何カ所で
交わるかに対応します。

一般に、太線の
 (右上のx座標)≦x≦(左下のx座標)×3
です。さらに、第n番目の山の太線の投射は
 (6n-4)π/3≦x≦(18n−15)π/3=(6n−5)π
となります。これらのx座標を、小さい順にたどって、
(右上のx座標) に出会ったら、交わる数を+1し、
(左下のx座標)×3に出会ったら、交わる数を−1するとして、
表を書くと、以下のようになります。


−1の間隔は、+1の3倍なので、この先に、4点で交わる点は
ありません。

1点で交わるのは、
 2π/3≦x≦π および 8π/3≦x≦14π/3
で、傾きで言うと、y座標が3/2 なので、
 9/4π≦s≦3/2π および 9/16π≦s≦9/28π
4点で交わるのは
 32π/3≦x≦38π/3 および 13π≦x≦44π/3
で傾きで言うと、
 9/64π≦s≦9/76π および 3/26π≦s≦9/88π
となります。

問題では、tを使っていますが、便宜上xを使用しています。

No.2499 - 2008/09/04(Thu) 19:55:38

Re: 方程式 / 豆
アップ、ありがとうございました。
No.2506 - 2008/09/05(Fri) 07:27:12

Re: 方程式 / あや 大学受験生
ヨッシー様へ

無事解決しました。とても丁寧におしえていただき、ありがとうございました。

No.2544 - 2008/09/06(Sat) 19:45:15
(No Subject) / にし
こんばんは,今回もお願いします。

2つの2次方程式x^2−3x+m−1=0…?@,
x^2+(m−2)x−2=0…?Aが共通な実数解をただ1つだけもつとき,定数mの値と共通解を求めよ。

宜しくお願いします。

No.2478 - 2008/09/02(Tue) 20:12:24

Re: / rtz
丸囲み文字は特定の環境で文字化けしますので、
使わない方がいいです。


共通解をtとでもおいて代入し、
(2)から(1)を引いてみましょう。

No.2479 - 2008/09/02(Tue) 20:55:11

Re: / にし
有難うございます。

文字化けは今後気をつけます・・・

No.2481 - 2008/09/02(Tue) 21:15:19
/ 桜 高校2
こんばんは。
いつもお世話になっております
よろしくお願いいたします。

一辺の長さがaの正四面体に球が内接している。
(1)球の半径をaを用いて表せ。
(2)正四面体と球の体積比を求めよ。


教えてください
よろしくお願いいたします。

No.2475 - 2008/09/02(Tue) 18:31:13

Re: 球 / ヨッシー
(1)

△BCDの重心をHとすると、BC=a に対して、
HB=HC=HD=a/√3=√3a/3
△ABHにおいて、∠AHB=90° なので、
三平方の定理より AH=√6a/3
内接球の中心を点Iとすると、点Iは、AH上にあり
 AI:IH=3:1
求める半径はIHにあたるので、
 IH=(1/4)AH=√6a/12

(2)
正四面体の体積:
 △BCDにおいて、CDの中点をMとすると、
  CD=a,BM=√3a/2
 より、△BCD=√3a^2/4
 さらにAH=√6a/3 より、
 求める体積は、
  (1/3)×√3a^2/4×√6a/3=√2a^3/12
球の体積
 (4π/3)(√6a/12)^3=√6πa^3/216
よって、体積比は、
 √2a^3/12:√6πa^3/216=6√3:π

No.2476 - 2008/09/02(Tue) 19:06:26

Re: 球 / 桜 高校2
とっても丁寧な図と解説ありがとうございます。
ヨッシーさんにはいつもお世話になっております。
おかげさまで解けました!

No.2482 - 2008/09/02(Tue) 22:24:45
(No Subject) / ラスク
またまたすみません;;
自分なりに解いてみたのですが
これであっていますか?
違ったら正しい回答とよければ解説もお願いします。

定価900円の品物を2割引で売ったが、
なお2割の利益があった。
次の問に答えよ。
(1)原価はいくらだったか。
(2)定価は原価の何%増しにつけられていたか。

自分の回答
(1)720-144=576(円)
(2)900÷576=1.5625
       =56(%)

お願いします。

No.2462 - 2008/09/01(Mon) 22:32:07

Re: / ヨッシー
残念ながら、不正解です。
定価900円の品物を(定価の)2割引で売ったが、
なお(原価の)2割の利益があった。
という意味です。

No.2463 - 2008/09/01(Mon) 22:38:37

Re: / ラスク
ありがとうございます。

定価の2割引→900×0.2=720円
原価をxと考えて
原価の2割→x×0.2=0.2x
ということですか??;;

No.2465 - 2008/09/01(Mon) 22:59:45

Re: / ヨッシー
720円 が売値ですね。
これが、原価の何倍にあたるでしょうか?
つまり原価をxとすると、[  ]x と書けるでしょうか?
0.2x は、利益分ですね。

No.2467 - 2008/09/01(Mon) 23:15:54

Re: / ラスク
原価をxとすると、[1.2]xで、
720-0.2x=x
720=1.2x
x=600
原価は600円

あってますか??

No.2469 - 2008/09/02(Tue) 00:15:44

Re: / ヨッシー
正解です。
ただし、720-0.2x=x は、やや蛇足気味ですね。
いきなり 720=1.2x でいいです。

No.2472 - 2008/09/02(Tue) 05:47:25

Re: / ラスク
わかりましたw
ありがとうございました!

No.2480 - 2008/09/02(Tue) 21:00:01
図形 / かず
図のような板がある。これを線に沿って2枚に切り離し、それをつなぎあわせると8×8マスの正方形ができるという。どう切ればよいだろうか。

すみませんが教えてください。

No.2457 - 2008/09/01(Mon) 21:12:12

Re: 図形 / らすかる
ここで切る
No.2459 - 2008/09/01(Mon) 22:04:49

Re: 図形 / ヨッシー
先を越されましたが、一応作ったので載せておきます。

No.2460 - 2008/09/01(Mon) 22:12:00

コツを教えてください / √
横から、すみません。

このような問題は、
まず、どのように考えていったら良いのか、
を教えてください。

No.2470 - 2008/09/02(Tue) 00:40:41

もしかして / √
管理人ヨッシー様

もしかして、人様の質問に便乗することは、
マナー違反でしょうか?

もし、そうでしたら次回からは、新しくスレッドをたてますので、今回はお許しくださいm(_)m

No.2471 - 2008/09/02(Tue) 01:14:57

Re: 図形 / ヨッシー
>マナー違反でしょうか?
別に、かまいませんよ。


右の2マスの出っ張りがあるので、6マスの所が出来るだろうということと、
上の4マスに対して、空白が4マスありますので、
図の赤線あたりに切れ目が来るなぁ、くらいの予測を付けて、
あとはひらめきですね。

No.2473 - 2008/09/02(Tue) 05:57:40

有り難うございました / √
ヨッシーさん 有り難うございました。

「裁ち合わせ」って難しいですね。

No.2474 - 2008/09/02(Tue) 09:46:30
集合 / にし
a>0の実数とする。2次不等式ax^2-3a^2x+2a^3≦0の解の集合をA,x^2+x-2≧0の解の集合をBとする。このとき,集合A∩Bか空集合となるようなaの値の範囲を求めよ。

教えていただけるとうれしいです。
宜しくお願いします。

No.2456 - 2008/09/01(Mon) 20:53:12

Re: 集合 / ヨッシー
x^2+x-2≧0 の解は x≦-2, x≧1 なので、
ax^2-3a^2x+2a^3≦0 の解が -2<x<1 の範囲に入っていれば
良いことになります。
a>0 より、ax^2-3a^2x+2a^3≦0 の解は、
a(x-a)(x-2a)≦0 より、a≦x≦2a なので、
 -2<a かつ 2a<1
となります。よって、 -2<a<1/2

No.2464 - 2008/09/01(Mon) 22:44:39

Re: 集合 / rtz
>ヨッシーさん
条件のa>0が抜けていますので0<a<1/2ですね。

No.2466 - 2008/09/01(Mon) 23:12:57

Re: 集合 / ヨッシー
そうでした。
失礼しました。

No.2468 - 2008/09/01(Mon) 23:17:30

Re: 集合 / にし
なるほど!有難うございます!
No.2477 - 2008/09/02(Tue) 20:06:02
正方形 / カッコ(中一)
中一の問題ですが、解からないところがあります。
『1辺がacmの正方形で4aはどんな数量を表していますか』という問題で、答えを『周辺の長さ』と書いたら、
間違えました。これは、違っているのでしょうか。
よろしくお願いします。

No.2453 - 2008/09/01(Mon) 20:21:39

Re: 正方形 / rtz
意図していることは正しいでしょうが、
普通は「周りの長さ」というと思います。

No.2454 - 2008/09/01(Mon) 20:32:55

Re: 正方形 / ヨッシー
『周の長さ』『4辺の長さの和』なら良かったかも。
あるいは、『周の長さをcmで表したときの数値部分』と
まで要求するか?まさかね。

で、先生の用意した解答は?

No.2455 - 2008/09/01(Mon) 20:34:41

Re: 正方形 / カッコ(中一)
教えていただきありがとうございます
先生の解答は『正方形の周の長さ,cm』でした
周辺の長さとはいわないのでしょうね。
どうもありがとうございました。

No.2458 - 2008/09/01(Mon) 21:20:32
加法定理 / もやし
?@cosθ+sinθ=0(0≦θ≦π)?

?AsinX‐√3cosX=√2(0≦X≦π)?

の方程式が解りません?ホ
宜しくお願いします。

No.2450 - 2008/09/01(Mon) 09:02:44

Re: 加法定理 / ヨッシー
いわゆる合成公式ですが、もとをたどれば加法定理です。
(1)
cosθ+sinθ=√2{(1/√2)cosθ+(1/√2)sinθ}
 =√2{sin(π/4)cosθ+cos(π/4)sinθ}
 =√2sin(θ+π/4)=0
より、θ+π/4=π
(2)
sinX‐√3cosX=2{(1/2)sinX−(√3/2)cosX}
 =2{cos(π/3)sinX−sin(π/3)cosX}
 =2sin(X−π/3)=√2
より X−π/3=π/4

No.2451 - 2008/09/01(Mon) 11:28:56
百分率と歩合 / ラスク

定価で売ると、1冊について100円の利益がある書籍を
定価の1割引で売った利益は、2割引で売った利益の
3倍に等しい。この書籍の原価を求めよ。

定価をxとして考えると
0.9x=0.8x×3
という式が出てきたのですが
ここから先がわかりません。
この式は使えるのでしょうか?;;

教えてください。
よろしくお願いします。

No.2447 - 2008/09/01(Mon) 00:35:33

Re: 百分率と歩合 / gaku
0.9x円は売上金であって,利益ではないです。売上げから原価を引いた金額が利益です。この場合,原価は(x-100)円。
No.2448 - 2008/09/01(Mon) 01:06:26

Re: 百分率と歩合 / ラスク
gakuさんありがとうございます。

xの求め方がわかりません><
面倒ですみませんが解説お願いします。

No.2449 - 2008/09/01(Mon) 07:19:10

Re: 百分率と歩合 / ヨッシー
>定価をxとして考えると
までの方針が決まっているので、あとは
「問題文に書いてあるとおりに式を作る」です。
定価:x円
原価:x−100円 → 利益:100円
定価の1割引の売値:0.9x
その時の利益:0.9x−(x−100円)=100−0.1x
定価の2割引の売値:0.8x
その時の利益:0.8x−(x−100円)=100−0.2x

ここまで確認しておいて、
>定価の1割引で売った利益は、2割引で売った利益の3倍に等しい
を式にすると、
 100−0.1x=3(100−0.2x)
あとはこれを解くだけです。

答えは400円です。

No.2452 - 2008/09/01(Mon) 11:34:38

Re: 百分率と歩合 / ラスク

理解できました!
丁寧な解説ありがとうございました。

No.2461 - 2008/09/01(Mon) 22:15:28
数A / ゆき(高一)
こんばんは、またまたお願いします><

△ABCの中線AM上(点Aを除く)に任意の点Pをとるとき、AB<ACならば、PB-PC<AB-ACであることを証明せよ。

名前が間違っていたので訂正しました^^;
よろしくお願いします!!

No.2445 - 2008/08/31(Sun) 23:44:28
はじめまして★ / あ
 
(1)
4x^2-28xy+49y^2
 
(2)
4x^2-100y^2
 
(3)
連続する3つの整数では
一番大きい数の2乗と
一番小さい数の2乗の
和から2をひいたものが
中央の数の2乗の2倍と
等しくなることを中央の
整数をnとして証明しなさい
 

この問題が全然
解けません(´;ω;)
解き方を教えて
ください。
お願いします!!
 

No.2441 - 2008/08/31(Sun) 22:37:00

Re: はじめまして★ / とおりすがり
(1)(2)は因数分解ですか?
だとします.

(1)
4x^2 - 28xy + 49y^2 = (2x)^2 - 2*(2x)*(7y) + (7y)^2 = ・・・

(2)
4x^2 - 100y^2 = (2x)^2 - (10y)^2 = ・・・

(3)
連続する3つの整数は,中央の整数をnとすれば
n - 1,n,n + 1
と表せます.
一番大きい数の2乗と一番小さい数の2乗の和から2をひいたものは
(n + 1)^2 + (n - 1)^2 - 2
と書けて,更に中央の数の2乗の2倍は
2n^2
となります.
あとはこれが等しいことを言えば良い.

No.2442 - 2008/08/31(Sun) 23:10:20

Re: はじめまして★ / 7bitm 
なんとなく付け足すと、

(1) 
慣れないうちは「たすきがけ」を使うと良いかと。

(2)
まずは共通因数でくくった方が楽かな?

No.2446 - 2008/09/01(Mon) 00:02:59
(No Subject) / β 高校2
nが自然数の時、次の等式が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。
1^3+2^3+……+n^3={n(n+1)/2}^2

数学的帰納法がよくわかっていなくて解き方が分かりません。
宜しくお願いします。

No.2440 - 2008/08/31(Sun) 22:33:56

Re: / ヨッシー
数学的帰納法の基本的なパターンは、
たとえば、すべての自然数nについて成り立つことを言う場合、
(1) n=1 のとき成り立つことを言う
(2) n=k のとき成り立つとしたとき、n=k+1 のときも
  成り立つことを言う。
(3) (1)(2)より、すべての自然数nについて成り立つ
です。

上の問題の場合、
(1)n=1 のとき、
 (左辺)=13=1
 (右辺)={n(n+1)/2}^2=1
 より、与式は成り立つ。
(2)
 n=k のとき
 1^3+2^3+……+k^3={k(k+1)/2}^2
 が成り立つとき、n=k+1 を考えると、
 1^3+2^3+……+k^3+(k+1)^3={k(k+1)/2}^2+(k+1)^3
  =k^2(k+1)^2/4+4(k+1)^3/4
  =(k+1)^2{k^2+4(k+1)}/4
  =(k+1)^2(k+2)^2/4={(k+1)(k+2)/2}^2
 より、n=k+1 のときも、与式が成り立つ。
(3) 以上より、すべての自然数nについて、与式が成り立つ。

No.2444 - 2008/08/31(Sun) 23:43:38
数I 2次関数 / 匿名
この前はお世話になりました!

(1)x^2+2y=2,x≧0,y≧0のとき、x^2+y^2の最大値と最小値を
 求めよ。
 》いつも通りにyを消去したのですが式が複雑になって
  できませんでした。この場合はどう解くのでしょうか?

(2)y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)+10の値域を求めよ。
 》これはx^2-2xを何かに置き換えて考えるのでしょうか?
 でもそのあとがわかりません。

(3)x^2-13x+40≧0
  x^2+(k-4)x-4k<0
  これを同時に満たす整数値が5だけであるように、 
  定数kのとりうる値の範囲を定めよ。
  》答えは-8≦k<-5なのですが、-8が≦になるのが
   わかりません。≦だと同時に満たす整数値は
   5と8になってしまうと思うのですが…

3問ありますが宜しくお願いします;;

No.2435 - 2008/08/31(Sun) 18:28:51

Re: 数I 2次関数 / ヨッシー
(1)
x^2+2y=2,x≧0,y≧0 をグラフに描くと、0≦y≦1 であることが分かります。
x^2+y^2=k として x^2+2y=2 に x^2=-y^2+k を代入して
 -y^2+k+2y=2
 y^2−2y+2−k=0
 k=(y-1)^2+1
これと、0≦y≦1 より、1≦k≦2 となります。

x^2+2y=2 のグラフに、円:x^2+y^2=r^2 を重ねて、半径rの
最大最小を見つける方法もあります。

(2)
X=x^2-2x とおくと、X=(x-1)^2-1 より、X≧-1 です。
このとき、
 y=X^2+4X+10=(X+2)^2+6
と、X≧-1 より y≧7

(3)
x^2+(k-4)x-4k<0 の k<-4 のときの解は、
 4<x<−k
なので、k=−8 でも、x=8 は含まれません。

No.2437 - 2008/08/31(Sun) 18:49:48
(No Subject) / L
三角OAB
ABをm:nにない分

点をQとする
OAQ:OBQ=m:n
になるんですか????
なる場合なぜかをおしえてくださいm

No.2429 - 2008/08/31(Sun) 00:17:11

Re: / hari
なります。その二つの三角形は高さが等しく、底辺がm:nの比なので面積もm:nになります。
No.2430 - 2008/08/31(Sun) 00:42:32

Re: / L
ありがとうございます
No.2431 - 2008/08/31(Sun) 00:48:48
二次関数 / ゆき(高1)
こんばんは、分からないので教えてください><!

kを定数とする。放物線y=(x-1)^2+kについて、以下の問いに答えよ。
(1)直線y=xが接戦となるように定数kの値を求めよ。
(2)k=0のとき原点をとおりこの放物線に接する接線をすべて求めよ。
(3)kの値を変化kさせると原点を通る接線の本数はどうなるか。

(1)と(2)はできたのですが。。。(3)が分からないです。
よろしくご指導お願いします。

No.2427 - 2008/08/30(Sat) 23:15:27

Re: 二次関数 / hari
原点を通る接線をy = mxとおいて連立すると
x^2 - (2 + m)x + k + 1 = 0
となり判別式を考えると接するので0になります。
D1 = (2 + m)^2 - 4(k + 1) = 0

今度はmに注目します。D1 = 0を満たすmが存在しなければ接線は0本、存在すれば解の個数はいくつか調べます。

m^2 + 4m - 4k = 0
D2 = 4 + 4k
となりk<-1で0本、k = -1で1本、k>-1で2本と変化することがわかります。

No.2428 - 2008/08/30(Sat) 23:59:27

Re: 二次関数 / ヨッシー

図のような、グラフの位置と接線の数の関係が
思い描ければ、方針が立てやすいと思います。

No.2432 - 2008/08/31(Sun) 06:15:49
(No Subject) / fだs
赤球
黄球
青球

が2個ずつ計6個ある

同じ色の球が隣り合わないように一列に並べる方法
は何通りあるか

90−6(隣り合う)

ですか???

No.2424 - 2008/08/30(Sat) 22:43:36

Re: / ヨッシー
その「6」というのは、
赤も黄も青も隣り合っている場合ですね。

赤黄 で始まるパターンが何通りあるかをまず数えましょう。
計算しましょうではありませんよ。数えましょう。

No.2425 - 2008/08/30(Sat) 22:55:31
期待値☆ / ria

教えてください.

3枚の硬貨を同時に投げるとき、
表の出る枚数の期待値を求めよ。

この場合、表と裏の1/2の確率で3枚あるから
1/2×1/2×1/2=1/8
であってますか?
自信がないのでよろしくお願いします。。

No.2414 - 2008/08/30(Sat) 16:44:05

Re: 期待値☆ / gaku
こんにちは

riaさんは「期待値」と「確率」を混同していますよ。

この問題では,3枚同時に投げると何枚表になることが「期待できるか」を求めます。

No.2416 - 2008/08/30(Sat) 18:02:24

Re: 期待値☆ / ria
そぉなんですか!z
ありがとうございます*...

別の問題で、賞金の期待値を求める問題は
できたのですが、この問題はどのように
したらよいかわかりません><
教えてください.

No.2433 - 2008/08/31(Sun) 17:55:27

Re: 期待値☆ / ヨッシー
賞金の期待値と同じ考え方ですよ。

(表が0枚の確率)×0+(表が1枚の確率)×1(表が2枚の確率)×2(表が3枚の確率)×3

No.2434 - 2008/08/31(Sun) 18:11:06

Re: 期待値☆ / ria

ありがとうございます+..

もうひとつ自信のない問題があるのですが、
教えてください.

【問】袋の中に図のような7枚のカードが入っている。
   この中から1枚取り出すとき、出る数字の
   期待値を求めよ。
   
  (図) ?@ ?A ?B ?C ?D ?D ?D

  この場合、
  1×1/7+2×1/7+3×1/7+4×1/7+5×3/7+5×3/7+5×3/7
  =55/7

  これであってますか?

No.2436 - 2008/08/31(Sun) 18:48:27

Re: 期待値☆ / ヨッシー
1×1/7+2×1/7+3×1/7+4×1/7+5×3/7=25/7
です。
3つの5を、5A,5B,5C のように区別するなら、
それぞれの確率は 1/7 なので、後半部分は、
 5×1/7+5×1/7+5×1/7=15/7
区別せずに、5が3枚とするなら、
 5×3/7=15/7
です。

チェックポイント1
 確率の和は1になるべきです。
 1×1/7+2×1/7+3×1/7+4×1/7+5×3/7+5×3/7+5×3/7
 では、
 1/7+1/7+1/7+1/7+3/7+3/7+3/7=13/7
 になります。
 1×1/7+2×1/7+3×1/7+4×1/7+5×3/7
 のように、
 1/7+1/7+1/7+1/7+3/7=7/7=1
 にならないといけません。

チェックポイント2
 1から5までのカードなのに、1回あたりの期待値が
 55/7≒7.8
 というのは、おかしいですね。

No.2438 - 2008/08/31(Sun) 18:56:18

Re: 期待値☆ / ria

わかりました!
とてもわかりやすい
解説ありがとうございます.

No.2443 - 2008/08/31(Sun) 23:23:50
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