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★ (No Subject) / ちえみ
またお願いします!!!

i=∫π/2からπ log(sinx)dx=∫0からπ/2 log(cosx)dx が成り立つことを示せ。
本を調べてもやっぱり分かりませんでした(*_*;宜しくお願いします。
No.4180 - 2008/12/09(Tue) 00:19:35
☆ Re: / ヨッシー
　sin(ｘ＋π/2)＝cosｘ
であるので、
　∫[π/2〜π]sinｘdx において、
ｘ＝ｚ＋π/2 とおくと、dx=dz、
π/2＜ｘ＜π は、０＜ｚ＜π/2 に対応するので、
　∫[π/2〜π]sinｘdx＝∫[0〜π/2]cosｚdz
となります。
あとは、それぞれの範囲（端を含まない）で、
　sinｘ＞０、cosｚ＞０ なので、log を取ることが出来ます。
No.4184 - 2008/12/09(Tue) 15:07:20
☆ Re: (No Subject) / ちえみ
解りました!有難うございます。
No.4208 - 2008/12/11(Thu) 14:56:08
★ 確率 / あき
いつもありがとうございます！どうかお願いします(>_<)

http://v.upup.be/?M49ut4j2ye
の問題の(2)は
7C1×3C1×6C1×2C1×5C1×4C2/2!
というふうにはとけないのでしょうか？
ご指導いただきたいです(>_<)
No.4176 - 2008/12/08(Mon) 20:43:42
☆ Re: 確率 / ヨッシー
式には、意味があります。
なぜ、7C1×3C1×6C1×2C1×5C1×4C2/2! で
解けると考えますか？
No.4178 - 2008/12/08(Mon) 23:45:05
☆ Re: 確率 / あき
今考えると白の玉には区別がないので
7C1×6C1×5C1×〜
だと思います！
後の玉には色が異なり区別があるので白と一緒にいれる三つをそれぞれ一つずつ選んで…という感じです！
No.4183 - 2008/12/09(Tue) 11:39:23
☆ Re: 確率 / あき
でもこれでも違うんですよね？
No.4185 - 2008/12/09(Tue) 16:05:26
☆ Re: 確率 / あき
でもこれでも違うんですよね？わからないです(>_<)
No.4186 - 2008/12/09(Tue) 16:05:42
☆ Re: 確率 / ヨッシー
とりあえず、答えがあると思うので、載せてもらえますか？
No.4191 - 2008/12/09(Tue) 20:25:07
☆ Re: 確率 / あき
答えは
7C3×4C2/2!
らしいです
いわれてみればそうも考えられるようにも感じるんですが自分が考えたようにも考えられるようなというかんじでわからないです。
No.4198 - 2008/12/10(Wed) 11:02:28
☆ Re: 確率 / rtz
それは答えではなく、
「白が1個ずつ他の色と組み合わさる場合」ではないですか？
実際はこれに(1)の105を加えているはずですが。


なぜあなたの方法が間違っているかというと、
特定の3色A、B、Cに対して、
(Aと白を選ぶ)→(Bと白を選ぶ)→(Cと白を選ぶ)
(Bと白を選ぶ)→(Aと白を選ぶ)→(Cと白を選ぶ)
…
を2回以上数えているからです。
具体的には3!＝6倍ですから、6で割らなければいけません。


それから、こと場合の数の解答に関しては、
「式を書いただけでは考えている内容が不明」であることが多いです。
今回でも、あなたが書いた7C1×…という式だけ見ても、
あなたがどう考えてその式を書いたのか、採点者(というかあなた以外の他の人)はさっぱり分かりません。
ですから、
なぜそういう式になったのか、きちんと言葉で説明する必要があります。

「6つの中から2つ選ぶ」程度の問題で説明する必要まではないですが、
ある程度考える必要のある問題については、概略でもいいので式を書いた方針を書いてください。
今回なら「1つ目の組について白以外の7色から1個、白から1個選ぶ。2つ目の組についても…」という感じです。
これがあれば、初めの時点で無駄な応答なしに回答を得られたはずです。

くどいようですが、
我々はあなたではありませんから、どう考えたかまでは推測することしかできません。
ですので、「どう考えたか」をきちんと記していただくようお願いします。
No.4199 - 2008/12/10(Wed) 11:32:14
☆ Re: 確率 / あき
ごめんなさい！お答えいただき本当にありがとうございます。これからは気をつけます。
本当にご迷惑おかけしました。
No.4202 - 2008/12/10(Wed) 14:51:05
☆ Re: 確率 / angel
今更ですが…
1. かけたり割ったりすれば答えが出る、という発想は捨てること。
　! なり P, C, H といった計算は、場合の数を数え上げる上での規則性によりうまれたものに過ぎません。大事なのは計算式ではなく、まず規則性を見つけることです。
　※今回の(2)では、白白の組のある・なしで異なる規則性が現れるため、場合分けしてそれぞれ計算しています
　※見つけた規則性をどう計算式に落とし込むかも1通りではありません。例えば(1)は、8C2・6C2・4C2・2C2/4! 以外の式もあります（というか、第一感はそっち）

2. 問題の規模を縮小して実際に数え上げること
　計算してたまたま答えがあっていたとしても、実際に数え上げられなければ意味がありません。
　流石に100通りを超えるパターンを全て書き出すのは手間ですが、問題の規模を小さくすれば可能です。そこから規則性を考えることもできますし、計算式の妥当性を確認することもできます。

　例えば、(1)なら8色の球ではなく6種の数 1〜6 に変えてみるとか ( 15通り )、(2)なら 1,1,2,3,4,5 の5種6個の数 ( 3+6通り ) や、1,1,1,2,3,4,5,6 の6種8個の数 ( 15+10通り ) とか…
No.4222 - 2008/12/13(Sat) 11:58:51
★ (No Subject) / ＴＡＫＡ
解説ありがとうございます。方程式の話に関して、もう一つ質問させて頂きたいのですがよろしいでしょうか。娘は小学５年生なのですが、難関中をめざす子供はやはり移項のやりかたを知っているものなのでしょうか。
No.4174 - 2008/12/08(Mon) 20:09:24
☆ Re: / angel
「移項」という名前で知っていたかどうかは記憶が定かではありませんが、移項そのものはできます。
※そもそも、和差算やら鶴亀算やらも、連立一次方程式のパターンに過ぎませんし、小学生時点でも方程式は解けます。中学以降のような書き方をしないだけです。

例えば、こんな場面でも普通に使いますよね。
問い：
　金貨10枚・銀貨5枚と、金貨5枚・銀貨12枚が天秤で丁度つりあった。
　各金貨、銀貨は同じ重さだとするとき、金貨と銀貨の重さの比を答えなさい。
解答：
　金貨の重さを○、銀貨の重さを□とすると、
　○×10+□×5 = ○×5+□×12
　両辺から○×5+□×5を引くと、○×5 = □×7
　よって、○:□=7:5
　※実際には式を立てずに、絵(積み上げ棒グラフ)を描いて処理するかも知れませんが
No.4177 - 2008/12/08(Mon) 21:04:24
☆ Re: / ＴＡＫＡ
ご丁寧な回答ありがとうございました。考え方としては知っているものなんですね。
No.4182 - 2008/12/09(Tue) 03:13:24
★ 図形問題 / ＴＡＫＡ
中学受験生の娘を持つ父です。塾の問題をみているのですが、図形の問題でわからないものがあります。方程式をつかえば答えは2.72とでるのですが・・・。よろしければ小学生としての解き方を教えていただけませんか。
No.4168 - 2008/12/08(Mon) 15:43:33
☆ Re: 図形問題 / にょろ
アとイの面積が等しいと言うことは
台形ADBCと扇形DECの面積が等しいと言うことです。

扇形の面積はすぐ分かるので
BCは台形の公式を「逆算して」BCを求めることになります。

逆算と方程式は同じ物なのですが
小学生に方程式は教えないので
逆算流の解き方になります。

（実は僕はこの逆算は大嫌いでしたが
方程式は好きでした
それほどややこしいです^^;）

いっそのこと方程式を教えた方が
逆算の説明のこじつけはしやすくなるかもしれません
No.4169 - 2008/12/08(Mon) 16:09:11
☆ Re: 図形問題 / angel
台形ADBC=扇形DEC が分かれば、

△BCD
= □ADBC - △ABD
= 扇DEC - △ABD

なので、
BC = △BCD×2÷CD = (扇DEC - △ABD)×2÷CD
で逆算として計算できます。( 三角形の面積の逆算 )

慣れていれば台形の面積の逆算の方が効率が良いですが。
※BC = □ADBC×2÷CD-AD = 扇DEC×2÷CD-AD
No.4170 - 2008/12/08(Mon) 18:26:37
☆ Re: 図形問題 / ＴＡＫＡ
すいません。続けて質問させていただきたかったのですが、間違って、別の記事になってしまいました。管理人様もし不都合があれば、消していただければ幸いです。失礼いたしました。
No.4175 - 2008/12/08(Mon) 20:13:53
★ 確率 / あき
いつも丁寧に教えてくださりありがとうございます。

http://v.upup.be/?z0GyoByEUC
の(2)で
http://s.upup.be/?cp7dhRa4Xv
が解答なのですが、
xを考えていないのはなぜなんでしょうか？
不思議です(>_<)
お願いします！
No.4161 - 2008/12/07(Sun) 22:02:46
☆ Re: 確率 / rtz
1と2を選んでくれば1＝1＜2(x＝y＝1、z＝2)になりますね。

つまり適当に異なるy,zを選べば、
自動的にそのyがxに等しくなるのです。
No.4162 - 2008/12/07(Sun) 22:26:22
☆ Re: 確率 / あき
ごめんなさい(>_<)
まだよくわからないです(>_<)

x
No.4164 - 2008/12/08(Mon) 01:16:28
☆ Re: 確率 / rtz
では多少面倒ですが、
x＝y＜zになる(x,y,z)の組み合わせを書き出してみてください(15通り)。
今度はy＜zになる組み合わせも考えてみてください。

上の2つにはどういう関連があるでしょうか？
No.4165 - 2008/12/08(Mon) 02:08:44
☆ Re: 確率 / あき
全て同じ場合の数の答えになると思います…
No.4167 - 2008/12/08(Mon) 13:50:37
☆ Re: 確率 / rtz
そうです。

つまり、
「x＝y＜zになる(x,y,z)の組み合わせ」を考えることは、
「y＜zになる(y,z)の組み合わせ」を考えることと同じです。

何故かといわれればNo.4162にも書きましたが、
考えたyをそのままxに入れればx＝yになるわけです。

計算上納得がいかないなら、
「xはyに等しいので1通りしか考えられないから6C2*1＝15通り」
としてもいいですよ。
No.4171 - 2008/12/08(Mon) 19:06:12
☆ Re: 確率 / あき
すみません勘違いしていました。等しいもののときで場合わけしてたのを忘れていました…
ありがとうございました！
No.4173 - 2008/12/08(Mon) 19:43:39
★ ベクトル / すん
たがいに直交する3つのべクトルを↑a＝(1,2,1）,↑b=(0,-1,2),↑c=(-5,2,1)とし，さらにベクトル↑d=(p,q,r)は↑a,↑bとの内積がそれぞれ↑a･↑d＝2，↑b･↑d=-1であるとする。
(1)↑c,↑dの作る平行四辺形の面積Sを求めよ。
(2)↑c･↑e=↑d･↑e=0で長さがSとなるベクトル↑e=(x,y,z)を求めよ。

よろしくお願いします。
No.4160 - 2008/12/07(Sun) 20:41:03
☆ Re: ベクトル / angel
面倒なので、↑を省略して書きます。

まず、a,b,c は互いに直交するため、a・b = b・c = c・a = 0
同時に a,b,c は一次独立なので、d=αa+βb+γc と置くことができます。
このγは決定しないのですが、計算の中で消えてくれるので気にしなくて良いです。

置いた後は、a,b との内積の条件から、
　a・d = αa・a = 2
　b・d = βb・b = -1

後は、
　c・d = γc・c
　d・d = α^2a・a + β^2b・b + γ^2c・c

(1) c,d のなす角をθとすれば、S=|c||d|sinθ
　※c,dの作る三角形であれば、1/2・|c||d|sinθ
　よって、
　　S=|c||d|sinθ
　　= √( |c|^2|d|^2(sinθ)^2 )
　　= √( |c|^2|d|^2( 1-(cosθ)^2 ) )
　　= √( |c|^2|d|^2 - (|c||d|cosθ)^2 )
　　= √( (c・c)(d・d) - (c・d)^2 )
　　= √( (c・c)(α^2a・a+β^2b・b) )

　※S=√( (c・c)(d・d) - (c・d)^2 ) は覚えて損はないですね。平面ベクトルなら、より簡単な形になります。
　　(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)-(x1x2+y1y2)^2 = (x1y2-x2y1)^2

(2) c・e = 0 より、e=δa+εb と置くことができます。
　※ c の係数が0でないと、内積が 0 にならない
　そうすると、d・e = αδa・a + βεb・b = 0 … (i)
　後は、|e|=S すなわち e・e = S^2 から、
　δ^2a・a + ε^2b・b = S^2 … (ii)
　(i)と(ii)を連立させることでδ,εが出ます。

余談：c,d に垂直で、c,dの作る平行四辺形の面積と同じ大きさを持つベクトル(の一方)を、c,dの外積 c×d と呼びます。
No.4201 - 2008/12/10(Wed) 13:02:04
★ 時計算 / ナルト
どうしてもわからないので教えてください。（小学５年）

10時と11時の間で時計の長針と短針が、２と８のめもりを通る直線を軸として、線対称になるのは10時何分ですか。
No.4154 - 2008/12/07(Sun) 00:10:24
☆ Re: 時計算 / angel
イメージの仕方は様々でしょうが…。

まず前提として、2-8を通る直線を軸として線対称、ということは、10時〜11時では、25分〜30分の間と絞られます。
※10に対称なのが6、11に対称なのが5のため、5〜6の間、つまり25分〜30分という理屈

後は、時計の中心と8の目盛りを結ぶ線と、長針/短針のなす角を考えてみましょう。これらが等しい時が対称の時です。

10時の時点では、中心-8の線と短針がなす角は60°です。10時25分なら、60+0.5×25°ですね。
一方、中心-8の線と長針がなす角は10時25分の時、90°です。
なので、10時25分の時点ではまだ対称ではありません。短針の方がより8に近い状態です。

ここから、短針は8より遠ざかり(毎分0.5°)、長針は8に近づきます。(毎分6°)
そのため、10時25分から、(90-(60+0.5×25))÷(0.5+6)=2+9/13分だけ経てば、丁度対称になります。
※短針のなす角は、60+0.5×(25+2+9/13)=73+11/13°
　長針のなす角は、90-6×(2+9/13)=73+11/13°

イメージが明確にできていれば、10時丁度を基準に考えて、
　(240-60)÷(0.5+6)=27+9/13分
という計算もできます。なぜこれで良いかは、考えてみてください。
No.4156 - 2008/12/07(Sun) 01:24:35
☆ Re: 時計算 / らすかる
他の考え方（angelさんの最後のと同じ？）
10時のとき対称軸は5-11を通る直線で、対称軸は1分あたり
(0.5+6)÷2=13/4度右回転しますので、対称軸が90°回転するには
90÷(13/4)=360/13分かかります。
No.4157 - 2008/12/07(Sun) 08:47:55
☆ Re: 時計算 / ナルト
ありがとうございました。

10時を基準に考えて、2と8を通る直線に対称な針の位置は、短針は11で長針は5のときと考えます。10時からそれぞれ動いた角度は、短針が30度、長針が150度なので、あわせて180度動いたと考えます。

180÷（0.5＋6）＝27と13分の9
答えが、10時27と13分の9（分）　これで良いですか？
No.4163 - 2008/12/07(Sun) 22:57:47
★ (No Subject) / ちえみ　
こんばんわ。
今回も宜しくお願いします

s>0として、ガンマ関数Γ(s)=∫0から∞　e^(-x)x^(s-1)dxについて式Γ(s＋１）＝ｓΓ(s)が成り立つことを示せ。
No.4152 - 2008/12/06(Sat) 21:32:09
☆ Re: / rtz
部分積分でいいのでは。
No.4153 - 2008/12/06(Sat) 21:39:16
☆ Re: (No Subject) / ちえみ
部分積分でやってみましたが、いまいち解き方がわかりません(--;)
No.4179 - 2008/12/09(Tue) 00:14:54
☆ Re: / rtz
どうされましたか？
No.4181 - 2008/12/09(Tue) 02:21:58
☆ Re: (No Subject) / ちえみ
大変遅くなりました。
本などで調たりよく考えてやったら分かりました。
有難うございます。
No.4224 - 2008/12/13(Sat) 22:22:27
★ 中3 √ / 絵理
√（24n）が自然数となるような自然数nのうち2番目に小さいものを求めなさい。

どう解くのかわかりません・・・
お願いします。
No.4150 - 2008/12/06(Sat) 13:39:26
☆ Re: 中3 √ / ヨッシー
一番小さいｎを見つけて、それに
　22＝４ を掛ける
　32＝９ を掛ける
　42＝16 を掛ける
の順に、2番目、3番目、4番目に小さい自然数ｎになります。
たとえば、√(18n) だと、2,8,18,32 の順です。
No.4151 - 2008/12/06(Sat) 15:45:20
☆ Re: 中3 √ / にょろ
最小の物の見つけ方ですが

√(24n)=mとします。
24n=m^2

で見つけてみてください。
No.4155 - 2008/12/07(Sun) 00:44:48
★ 漸化式 / ともや
√Ｓ_n＝ａ_n
(ａ_n＞0)を満たす漸化式を求めたいのですが、方針もたちません。どなたか教えて下さい。お願いします。

No.4147 - 2008/12/05(Fri) 19:45:53
☆ Re: 漸化式 / rtz
求めたいのは二項間漸化式のみですか？
No.4148 - 2008/12/05(Fri) 21:27:02
☆ Re: 漸化式 / ともや
特にこれ以外の条件は書いてないので分かりません。
No.4158 - 2008/12/07(Sun) 14:44:54
☆ Re: 漸化式 / rtz
隣接二項間漸化式を立てたいだけなら、
Sn+1−Sn＝anを使って、
an＝Sn+1−Sn＝an+12−an2
……
で終わりますが。
No.4159 - 2008/12/07(Sun) 18:51:16
☆ Re: 漸化式 / ともや
その漸化式を満たすa_nを具体的に求めることは可能ですか？
No.4166 - 2008/12/08(Mon) 09:10:50
☆ Re: 漸化式 / rtz
あ、その前に訂正です。
an
＝Sn+1−Sn
＝(?納k＝1〜n+1]ak)2−(?納k＝1〜n]ak)2
＝an+12＋2an+1・(?納k＝1〜n+1]ak)
の間違いですね。
失礼しました。
なので隣接二項間の漸化式となると出ないかもしれません。

また一般項ですが、
a1＝1
a2＝√2−1
a3＝√(√2＋1)−√2
a4＝√(√(√2＋1)＋1)−√(√2＋1)
a5＝√(√(√(√2＋1)＋1)＋1)−√(√(√2＋1)＋1)
…
から推測は付きますので数学的帰納法で証明も出来ると思います。
No.4172 - 2008/12/08(Mon) 19:36:59
☆ Re: 漸化式 / angel
初項および漸化式は分かりますが、一般項は無理そうな気がします。

√(S[n]) = a[n] で、S[1]=a[1] のため、a[1]=1 です。
※a[1]=0 は a[n]>0 に反するため不採用

両辺を平方すると、
　S[n] = a[n]^2
これより
　S[n+1] = a[n+1]^2
両辺の差をとって
　a[n+1] = S[n+1]-S[n] = a[n+1]^2-a[n]^2
これを、2次方程式
　a[n+1]^2 - a[n+1] - a[n]^2 = 0
として解くと、
　a[n+1] = ( 1 + √( 1+4a[n]^2 ) )/2
となります。なお、±のマイナス側を採用すると、a[n+1]<0 となってしまうため不適切です。
No.4194 - 2008/12/09(Tue) 23:01:31
★ (No Subject) / AI
はじめまして、

x^11=1の虚数解の1つをαとするとき、
α+α^3+α^4+α^5+α^9の値を求めよ。

という問題なんですが、
ωなどと関連するかと思いきやそうもいかないので難しいです・・・

どなたかわかる方教えていただけるとうれしいです
No.4141 - 2008/12/05(Fri) 18:00:30
☆ Re: / らすかる
α^11-1=0 で αは虚数なので α^10+α^9+α^8+α^7+α^6+α^5+α^4+α^3+α^2+α+1=0
(α+α^3+α^4+α^5+α^9)^2
=2α+3α^2+2α^3+2α^4+2α^5+3α^6+3α^7+3α^8+2α^9+3α^10
=3(α^10+α^9+α^8+α^7+α^6+α^5+α^4+α^3+α^2+α+1)-3-α-α^3-α^4-α^5-α^9
=-(α+α^3+α^4+α^5+α^9)-3
t=α+α^3+α^4+α^5+α^9 とおくと t^2+t+3=0
これを解いて t=(-1±i√11)/2
No.4146 - 2008/12/05(Fri) 18:23:38
☆ Re: / AI
らすかる様

ありがとうございました！
No.4149 - 2008/12/06(Sat) 01:37:54
★ (No Subject) / くまみ
もう一問添付できなかったので　こちらもお願い致します
No.4138 - 2008/12/05(Fri) 02:25:34
☆ Re: / ヨッシー
(1)
Ａ(-2,4)、Ｂ(3,9) であり、ＢＰとＡＯの交点を点Ｑとすると、
点ＱはＡＯの中点なので、その座標は(-1,2)
よって、ＱＢの傾きは 7/4 これが 点Ｂを通ることより、
直線ＢＱの式は
　ｙ＝7x/4＋15/4
点Ｐはこの直線のｙ切片なので、ｙ座標は 15/4

(2)
△ＯＢＱは△ＡＯＢの１／２です。
ＱＰ：ＰＢは、(ＰとＱのｘ座標差)：(ＢとＰのｘ座標差)
であるので、
　ＱＰ：ＰＢ＝１：３
よって、△ＯＢＰは、△ＯＢＱの３／４
よって、△ＯＢＰ；△ＡＯＢ＝３：８
No.4140 - 2008/12/05(Fri) 05:33:07
★ 二次関数 / くまみ
はじめまして
添付の問題に解答がついていないため解説と解答をお願い致します。
専門学校の入試問題です。
No.4137 - 2008/12/05(Fri) 02:23:36
☆ Re: 二次関数 / ヨッシー
(1)
Ａ（-2,0)、Ｄ(-2,-1)、Ｆ(4,-4)、Ｂ(4,0) なので、傾き-2で
　Ａを通る直線：ｙ＝−２ｘ−４
　Ｄを通る直線：ｙ＝−２ｘ−５
　Ｆを通る直線：ｙ＝−２ｘ＋４
　Ｂを通る直線：ｙ＝−２ｘ＋８
より、点Ｂを通るとき、ｂの値８がもっとも大きい。

(2)
ＣＥ＝ＣＦ となるときであり、ＦＥの中点のｙ座標が
点Ｃのｙ座標になるようなａを見つけます。
Ｅ(4,16a)、Ｆ(4,-4)、Ｃ(-2,4a) であるので、
　{16a+(-4)}÷2＝4a
よって、
　ａ＝1/2
No.4139 - 2008/12/05(Fri) 05:23:59
★ 確率 / 翔
いつもお世話になります。
男子５人と女子２人が手をつないで１つの輪になるとき、女どうしが隣り合わないような確率を求める。
の解説お願いします。
No.4135 - 2008/12/04(Thu) 10:56:13
☆ Re: 確率 / DANDY　U
(女子Ａ,女子Ｂとするとき)
女子Ａ以外の位置が６つありますが、隣は２つです。
よって、ＢがＡの隣に来る確率は 2/6＝1/3　です。
だから、女子2人が隣り合わない確率は、1−1/3＝2/3　となります。

[別解] 円順列で解きたければ
7人の並び方は 7！/7＝6！（通り）
女子2人を引っ付けて、男子５人とでの並び方は 6！/6＝5！（通り）
女子2人を入れ替えた場合を考えると、女子2人が隣り合う確率は (5！×2)/6！＝1/3
よって、女子2人が隣り合わない確率は、1−1/3＝2/3　となります。
No.4136 - 2008/12/04(Thu) 14:07:20
★ 三角関数（青チャート） / 茄子
すみません。添付画像忘れましたので改めて...

添付した画像をみてください。
(2)の問題
どうして赤線の部分のようにπ/4≦θ＋π/4≦5π/4
が-1≦t≦√2になるのですか？
No.4132 - 2008/12/03(Wed) 17:34:10
☆ Re: 三角関数（青チャート） / ヨッシー
t=√2sin(θ＋π/4) であり、
　π/4≦θ＋π/4≦5π/4
であるので、sin(θ＋π/4) は、θ＋π/4＝π/2 のとき最大値１、
θ＋π/4＝5π/4 のとき、最小値 -√2/2 です。
よって、√2を掛けたｔは、上のような範囲になります。
No.4133 - 2008/12/03(Wed) 17:45:25
★ 三角関数（青チャート） / 茄子
添付した画像をみてください。
(2)の問題
どうして赤線の部分のようにπ/4≦θ＋π/4≦5π/4
が-1≦t≦√2になるのですか？
No.4131 - 2008/12/03(Wed) 17:32:33
★ 定積分のふとうしき / あき
こんばんは！いつもありがとうございます。
http://n.upup.be/?S5qZwosHAy
の問題の(2)なのですが
http://t.upup.be/?OKEiVdWxux
こんなかんじでといたのですがn=1をいれないとうまくいかなかったりで困ってしまいました。
方針は間違ってますでしょうか？？？
どうかお助け下さい(>_<)
No.4127 - 2008/12/02(Tue) 18:38:48
☆ Re: 定積分のふとうしき / rtz
間違っていませんが、
あくまで(2)の主体は分数ですので、
(1)⇔log(n+1)−logn＜1/n＜logn−log(n-1) (n≧2)
としておく方が分かりやすいですね。

右の不等号が分からないなら
1とその他の部分を分けるとよいでしょう。
No.4129 - 2008/12/02(Tue) 22:43:00
★ 解説お願いします。 / モモ
はじめまして、モモと申します。高2です。よろしくお願いします。

aを1以上9以下の整数とし、bとcを0以上9以下の整数とする。
さらに、nを百の位がa、十の位がb、一の位がcである3桁の自然数とする。
(a+b+c)^2が9の倍数であることは、nが9の倍数であるための（*）
0:必要十分条件である
1:必要条件であるが十分条件でない
2:十分条件であるが必要条件でない
3:必要条件でも十分条件でもない
私は0だと思ったのですが、答えは1らしいです。解説をお願いします。

-----------------------------------------------------
平行四辺形ABCDにおいて、AB=7,BC=5,cos∠ABC=1/7とする。
三角形ABCの外接円Oの半径をR,平行四辺形ABCDの面積をSとする。
円Oと直線BDの2交点のうち、Bでない方をEとすると、DE=(*)√(**)/(**)である。

-----------------------------------------------------
箱の中にA,B,C,D,E,Fの文字が一つずつ書かれた6枚のカードが入っている。
この箱の中から一枚ずつすべてのカードを取り出し、取り出した順に右に横一列に並べる。

Aと書かれたカードより左にあるカードの枚数をX,
Bと書かれたカードより右にあるカードの枚数をYとする。
X=Yとなる確立は(*)/(*)である。
また、|X-Y|の期待値は(**)/(**)である。
No.4122 - 2008/12/01(Mon) 23:51:07
☆ Re: 解説お願いします。 / ni
(a+b+c)^2が9の倍数である ならば

nが9の倍数

これが偽なのです

たとえばｎ＝１１１　　ａ＝１　ｂ＝１　ｃ＝１

（１＋１＋１）＾２＝９　

１１１は９の倍数ではありません
No.4123 - 2008/12/02(Tue) 00:44:47
☆ Re: 解説お願いします。 / モモ
niさんありがとうございました。理解できました。

どなたか、残りの2問の解説お願いできないでしょうか・・？
No.4128 - 2008/12/02(Tue) 19:14:41
☆ Re: 解説お願いします。 / DANDY　U
ＡＣとＢＤの交点をＦとします。
△ＡＢＣにおいて余弦定理を使うと、ＡＣ＝8 が求まります。
ＡＦ＝ＣＦ＝4 となるので、中線定理より
7^2＋5^2＝2(BF^2＋4^2)
よって　ＢＦ＝ＦＤ＝√21
AF・FC＝BF・FE(方べきの定理)より　16＝(√21)ＦＥ
∴ ＦＥ＝16√21/21　
∴ ＥＤ＝ＦＤ−ＦＥ＝5√21/21　となります。
No.4130 - 2008/12/02(Tue) 23:45:32
☆ Re: 解説お願いします。 / DANDY　U
Ｘ＝ＹのときＡとＢが同じ位置に来ることはありません。
だから、Ａの位置が決まったとき、他の位置は５つあり Ｘ＝Ｙを満たすＢの位置はその中の1つです。
だから、Ｘ＝Ｙとなる確率は(1/5)となります。

[X＝0 のとき] Y＝0,1,2,3,4 の場合があり、それぞれの|x-Y|＝0,1,2,3,4
[X＝1 のとき] Y＝0,1,2,3,5 の場合があり、それぞれの|x-Y|＝1,0,1,2,4
[X＝2 のとき] Y＝0,1,2,4,5 の場合があり、それぞれの|x-Y|＝2,1,0,2,3
　・・・・・・・・
[X＝5 のとき] Y＝1,2,3,4,5 の場合があり、それぞれの|x-Y|＝4,3,2,1,0

上記　30通りの場合において|x-Y|の総和が 52となり
期待値は　52/30＝26/15　となります。
No.4134 - 2008/12/03(Wed) 21:42:04
☆ Re: 解説お願いします。 / モモ
ありがとうございました。
No.4144 - 2008/12/05(Fri) 18:14:31
★ 場合の数 / みかん　小5
また、教えてください。

（１）カキが２個、ナシが３個、リンゴが２個あり、これを１列にならべます。同じくだもの同士は、それぞれ区別しないものとするとき、カキとナシだけの並べかたは、何通りですか。

（２）１〜６の数字の書いたカードが１枚ずつあります。
このうちの４枚を選び、１列に並べます。右に並んだカードの数が大きくなるように並べるには、何通りのならべかたがありますか。

お願いします。
No.4118 - 2008/11/30(Sun) 20:28:31
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
(1)リンゴは並べずに、カキとナシの５個だけを並べるということでしょうか？

並べる位置をＡＢＣＤＥ とするとき、カキを並べるのは
　ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ，ＡＥ，ＢＣ，ＢＤ，ＢＥ，ＣＤ，ＣＥ，ＤＥ
の１０通りで、残りの３ヶ所はナシを置けばいいので、
求める並べ方は、１０通りです。

組み合わせを知っているなら、５つのものから２つ取る組み合わせで、
　(５×４)÷(１×２)＝１０(通り)
です。

(2) 右に行くほど大きいということでしょうか？

組み合わせから行くと、６つのものから４つ取る組み合わせで、
　(６×５×４×３)÷(１×２×３×４)＝１５(通り)
です。

詳しく説明すると(組み合わせの考え方ですので、(1)にも
使えます)
４つの数を順々に選び、並べていくとき、
１つ目に選ぶ数の選び方は、６通りです。
２つ目に選ぶ数の選び方は、１つ目以外の５通りです。
以下、３つ目が４通り、４つ目が３通りなので、
４つの数を並べる並べ方は、
　６×５×４×３＝３６０(通り)
です。ところが、たとえば、１，２，３，４ を使った並べ方は、
　４×３×２×１＝２４(通り)
あるのですが、このうちで、右に行くほど大きくなるのは
　１，２，３，４
だけです。つまり、３６０通りのうち、２４通りずつ、
同じ４つの数字を使った並べ方があって、そのうちの１つだけが
条件を満たすので、
　３６０÷２４＝１５(通り)
となります。
No.4120 - 2008/11/30(Sun) 23:29:10
★ 質問です / Zambara
以下の連立方程式を満たす実数の組(x,y,z)を全て求めよ.

x^99 - 99^99 = y - 99
y^99 - 99^99 = z - 99
z^99 - 99^99 = x - 99

答えは大体見当が付くのですが(x=y=z=99)解き方が分かりません.どなたかお願いします.
No.4116 - 2008/11/30(Sun) 19:03:08
☆ Re: 質問です / angel
f(x)=x^99 という関数は単調増加です。
つまり、a>b⇔f(a)>f(b)、a=b⇔f(a)=f(b)、a＜b⇔f(a)＜f(b) ということ。

それを踏まえて、各方程式の差を取ってみましょう。
例えば、1番目・2番目の式の差を取ると
　x^99-y^99=y-z
これにより、x>y⇔x^99>y^99⇔x^99-y^99>0⇔y-z>0⇔y>z
逆の大小関係でも同様に、x<y⇔y<z
※もちろん x=y⇔y=z

このようにして大小関係を見ていくと、x=y=z 以外の場合には矛盾が出てきます。

最後には99次方程式を解くことになるのですが…
微分の力を借りて、解が x=99 以外にないことを示すのが良いでしょう。
No.4117 - 2008/11/30(Sun) 20:11:09
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