ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 期待値☆ / ｒｉａ

教えてください.

３枚の硬貨を同時に投げるとき、
表の出る枚数の期待値を求めよ。

この場合、表と裏の1/2の確率で３枚あるから
1/2×1/2×1/2＝1/8
であってますか？
自信がないのでよろしくお願いします。。

No.2414 - 2008/08/30(Sat) 16:44:05

☆ Re: 期待値☆ / gaku

こんにちは

riaさんは「期待値」と「確率」を混同していますよ。

この問題では，3枚同時に投げると何枚表になることが「期待できるか」を求めます。

No.2416 - 2008/08/30(Sat) 18:02:24

☆ Re: 期待値☆ / ria

そぉなんですか！z
ありがとうございます*...

別の問題で、賞金の期待値を求める問題は
できたのですが、この問題はどのように
したらよいかわかりません＞＜
教えてください.

No.2433 - 2008/08/31(Sun) 17:55:27

☆ Re: 期待値☆ / ヨッシー

賞金の期待値と同じ考え方ですよ。

(表が0枚の確率)×０＋(表が1枚の確率)×１(表が2枚の確率)×２(表が3枚の確率)×３

No.2434 - 2008/08/31(Sun) 18:11:06

☆ Re: 期待値☆ / ria

ありがとうございます+..

もうひとつ自信のない問題があるのですが、
教えてください.

【問】袋の中に図のような７枚のカードが入っている。
　　　この中から１枚取り出すとき、出る数字の
　　　期待値を求めよ。
　　　
　　（図）　?@　?A　?B　?C　?D　?D　?D

　　この場合、
　　1×1/7＋2×1/7＋3×1/7＋4×1/7＋5×3/7＋5×3/7＋5×3/7
　　＝55/7

　　これであってますか？

No.2436 - 2008/08/31(Sun) 18:48:27

☆ Re: 期待値☆ / ヨッシー

1×1/7＋2×1/7＋3×1/7＋4×1/7＋5×3/7＝25/7
です。
３つの５を、5A,5B,5C のように区別するなら、
それぞれの確率は１／７なので、後半部分は、
　5×1/7＋5×1/7＋5×1/7＝15/7
区別せずに、５が３枚とするなら、
　5×3/7＝15/7
です。

チェックポイント１
　確率の和は１になるべきです。
　1×1/7＋2×1/7＋3×1/7＋4×1/7＋5×3/7＋5×3/7＋5×3/7
　では、
　1/7＋1/7＋1/7＋1/7＋3/7＋3/7＋3/7＝13/7
　になります。
　1×1/7＋2×1/7＋3×1/7＋4×1/7＋5×3/7
　のように、
　1/7＋1/7＋1/7＋1/7＋3/7＝7/7＝１
　にならないといけません。

チェックポイント２
　１から５までのカードなのに、１回あたりの期待値が
　55/7≒7.8
　というのは、おかしいですね。

No.2438 - 2008/08/31(Sun) 18:56:18

☆ Re: 期待値☆ / ria

わかりました！
とてもわかりやすい
解説ありがとうございます.

No.2443 - 2008/08/31(Sun) 23:23:50

★ 和積or積和！？ / Jez-z

鋭角三角形ABCを考える。このとき
cosA+cosB+cosCの最大値を求めよ。

いろいろと変形した結果、
2cos{(A+B)/2}〔cos{(A-B)/2}-cos{(A+B)/2}〕+1
までできたのですが、次にどうすればよいのか…
ここら辺で、最大値の考察を始めるべきでしょうか？
予想では「３」だと思うのですが・・・

お願いします。

No.2407 - 2008/08/30(Sat) 00:38:57

☆ Re: 和積or積和！？ / hari

大体こういうのって正三角形で最大になるものなんですよ。

cosA + cosB＋cosC
= cosA + 2cos((B + C)/2)cos((B - C)/2)
≦cosA + 2cos((B + C)/2)　(∵0≦|B - C|＜π/2)
= cosA + 2sin(A/2)
= 1 - 2sin²(A/2) + 2sinA
= -2(sin(A/2) - 1/2)²＋3/2
≦3/2
等号成立は、B = CかつA = π/3なのでA = B = C = π/3で最大値3/2です。

【追記】Jez-zさんの式を
2cos{(A+B)/2}〔cos{(A-B)/2}-cos{(A+B)/2}〕+1
≦ 2sin(C/2)((1 - sin(C/2)) + 1)
として平方完成すれば一緒になりますね。

「別解」
関数の凸性を利用します。f(x)がある区間で上に凸のときその区間内で
f((A + B + C)/3)≧(f(A) + f(B) + f(C))/3・・・(☆)
が成り立ちます。
左辺はA、B、Cの平均、右辺はf(x)上の三点で作られる三角形の重心なので大小関係はグラフを見れば一目瞭然ですね。
ここの一番下参照（ただしこの図は下に凸なので不等号が逆向きです。）

[0,π/2]でcosxは上に凸ですので(☆)でfをcosにとすればよいです。等号はA = B = Cのとき成立。

参考URL

No.2409 - 2008/08/30(Sat) 03:10:20

☆ Re: 和積or積和！？ / にょろ

予想について

その予想は不味いだろうと言っておきますね。
まず、cosθの最大値がそもそも1なんです。
つまり「３」が最大値であるならば
cosA=cosB=cosC=1
でなければなりません。
全部の角度が0って…
三角形じゃないですよね^^;

No.2411 - 2008/08/30(Sat) 12:27:34

☆ Re: 和積or積和！？ / Jez-z

hariさん、にょろさんありがとうございます。
勉強になりました＾＾

No.2415 - 2008/08/30(Sat) 17:44:18

☆ Re: 和積or積和！？ / Jez-z

即興で作ったのですが、問題が
cosAcosBcosCの最大値を求めよ。に変わったらどうでしょう？
この場合、最大値って求めることできますか？
ちなみに、以下のところまでやってみたのですが・・・

与式を変形して
-cosAcosBcos(A+B)
このあと、積→和の公式と2倍角の公式を用いて（共通因数が出てくるといいなと願いつつ）変形してみましたが、失敗してしまいました。

積の場合も「予想」としては「正三角形」が妥当なのでしょうか？そしたら、cos60°=1/2より
与式の最大値は1/8になると予想できますが・・・

ご指導、お願いします

No.2418 - 2008/08/30(Sat) 18:03:10

☆ Re: 和積or積和！？ / rtz

cosAcosBcosC
＝(1/2){cos(A+B)＋cos(A-B)}cosC
＝(1/2){－cos²C＋cos(A-B)cosC}
＝(-1/2){cosC－(1/2)cos(A-B)}²＋(1/8)cos²(A-B)
≦(1/8)cos²(A-B) (等号成立はcosC＝(1/2)cos(A-B))
≦1/8
等号成立は、
cos(A-B)＝1即ちA＝B(∵-180°＜A-B＜180°)、
cosC＝1/2からC＝60°よりA＝B＝C＝60°即ち正三角形。

No.2419 - 2008/08/30(Sat) 18:24:33

☆ Re: 和積or積和！？ / hari

どのような問題が「正三角形が正解として妥当」かというのはわかりませんが、よくあるということです。
そして今回も正三角形のとき最大となります。

f(x) = log(cosx)を考えるとfは区間内で上に凸です。
sinの場合が京大で入試問題となったようです。ある入試問題の別解

cosAcosBcosC = (1/2)(cos(A + B) + cos(A - B))cosC
≦(1/2)(- cosC + 1)cosC = (-1/2)(cosC - 1/2)² + 1/8≦1/8

No.2420 - 2008/08/30(Sat) 18:27:19

★ (No Subject) / ｆだｓ

★ (No Subject) / ｆだｓ引用
x^3-(2a+3)x^2+(5a+9)x-(3a+b)=o
重解のときaの値を求めよ
ってのがわかりません
（ｘ－１）・・・

No.2339 - 2008/08/27(Wed) 14:36:34

--------------------------------------------------------------------------------
☆ Re: / rtz 引用
同じ投稿を2度されるのは結構ですが、
何が何をどう重解なのかきちんと書いてください。
問題文として不適切です。

No.2345 - 2008/08/27(Wed) 15:39:21

--------------------------------------------------------------------------------
☆ Re: NEW / ｆだｓ引用
（２）
aを実数とする　ｘの３次方程式
x^3-(2a+3)x^2+(5a+9)x-(3a+b)=o・・・・Ａ
について
Ａが重解をもつときaの値を求めよ
ってのがわかりません

なんか
あがんない（？）みたいなんで
もう一度投稿しますｍｍｍ

No.2404 - 2008/08/29(Fri) 23:39:20

☆ Re: / rtz

本当にそれで問題文は正しいのですか？
aは1つに定まりませんよ？

No.2410 - 2008/08/30(Sat) 07:54:41

☆ Re: / ｆだｓ

あと

aを実数とする　ｘの３次方程式
x^3-(2a+3)x^2+(5a+9)x-(3a+b)=o・・・・Ａ
について
１）x=１はＡの解であることを示せ

２）Ａが重解をもつときaの値を求めよ

です

No.2413 - 2008/08/30(Sat) 14:05:02

☆ Re: / とおりすがり

bとは何か書いてありませんか？
でないと(1)は出来ないと思いますが・・・

No.2417 - 2008/08/30(Sat) 18:02:38

☆ Re: / ｆだｓ

まじでごめんなさいｍｍｍｍｍｍｍｍｍｍ
ほんっとごめんなさいｍｍｍｍｍｍｍｍ

ｂじゃなくて
７でした；；；；；；；；ＯＴＺ

No.2421 - 2008/08/30(Sat) 19:35:54

☆ Re: / ヨッシー

右辺もo ではなく 0 ですね。

>１）x=１はＡの解であることを示せ
これは、単にx=1 を代入して、0 になることを示すだけです。

２）Ａが重解をもつときaの値を求めよ
１）より、
　x^3-(2a+3)x^2+(5a+9)x-(3a+7)
は、(x-1) を因数として因数分解できて
　(x-1){x^2-(2a+2)x+(3a+7)}
となります。
重解を持つためには、
　x^2-(2a+2)x+(3a+7)＝０　が x=1 を解とする
　x^2-(2a+2)x+(3a+7)＝０　が重解を持つ
のいずれかであればいいことになります。
前者は x=1 を代入、後者は判別式を調べる、です。

No.2422 - 2008/08/30(Sat) 19:52:51

☆ Re: / ｆだｓ

ありがとううございますｍｍｍｍｍｍｍ

No.2423 - 2008/08/30(Sat) 22:36:02

★ 二次関数 / ゆき（高１）

度々すみません、教えてください＞＜

xの二次不等式 2x^2-3x+k>0 について以下の問いに答えよ。
(1)全ての実数xに対して不等式が成り立つように実数kの範囲を定めよ。
(2)全ての有理数xに対して不等式が成り立つように有理数kの範囲を定めよ。
(3)全ての整数xに対して不等式が成り立つように整数kの範囲を定めよ。

(1)は解けて、k>9/8だと分かりました。
(2)は分からなかったです。答えはk>9/8ですが、考え方がよく分かりません。
(3)の解答がk≧2になっています。9/8の次の整数が2だから、という理由でよいのでしょうか。

よろしくお願いします！

No.2401 - 2008/08/29(Fri) 23:20:46

☆ Re: 二次関数 / ヨッシー

(1)
y=2x^2-3x にグラフを描いてみます。
このグラフは、頂点（3/4, -9/8) の下に凸のグラフです。
これに、ｋを足すと、このグラフはｙ軸方向に持ち上がりますが、
どれだけ持ち上げたら、グラフ全体がｘ軸の上に出るかと考えます。
k=9/8 だと、頂点だけ、ｘ軸上にあり、他は上に出ています。
よって、k＞9/8 であるｋを足せば、グラフ全体が上に出ます。

(2)
有理数の場合も、k=9/8 だと、x=3/4 のときに、不等式が
成り立っていないことになります。よって、(1) と同じく
k＞9/8 の条件が必要です。

(3)
一方、グラフの●は、ｘが整数の点ですが、(1,-1) が、一番
ｙの値が小さい点です。
そこで、ｋ＝１とすると、ｘ＝１の点がまだｘ軸上にあるので
もっと上げてやる必要があります。
ｋ＝２とすると、ｘ軸の上に出るので、整数ｋの範囲は
　ｋ≧２
となります。

ｘ＝１の点が (1, -0.9) などで、これが最小だと、ｋ≧１で十分です。

No.2408 - 2008/08/30(Sat) 00:50:20

☆ Re: 二次関数 / ゆき（高１）

グラフまで丁寧に、ありがとうございました！＾＾

No.2426 - 2008/08/30(Sat) 23:11:28

★ 高２です / R

はじめまして。

△ABCにおいて、BC=２、∠B＋∠C＝60°とする。
(1)このような三角形の面積の最大値を求めよ。
その時の２辺AB,ACの長さを求めよ。
(2)(1)で得た三角形の内接円の半径を求めよ。

という問題の求め方がわかりません。
詳しく求め方を教えてください。
お願いします！

No.2398 - 2008/08/29(Fri) 21:19:04

☆ Re: 高２です / ヨッシー

∠B＋∠C＝60°ならば ∠A＝120° なので、
円周角の性質より、点Ａは、図のような円弧上にあります。
このうちで面積最大となるのは、点Ａが辺ＢＣから最も離れた点
に来たときで、図のようにＡＢ＝ＡＣとなるときです。

このとき、ＢＣの中点をＥとすると、ＢＥ＝ＥＣ＝１であり、
ＡＥ＝√3/3 であるので、△ＡＢＣの面積の最大値は
　(1/2)×2×√3/3＝√3/3
また、ＡＢ＝ＡＣ＝２ＡＥ＝2√3/3

(2)
内接円の中心をＤとすると、ＢＤは、∠ＡＢＣの二等分線。
角の二等分線の定理より、
ＡＤ：ＤＥ＝ＡＢ：ＢＥ＝２：√3
求める半径はＤＥであるので、
　ＤＥ＝ＡＥ×√3/(2＋√3)＝1//(2＋√3)

No.2399 - 2008/08/29(Fri) 22:42:16

☆ Re: 高２です / R

細かいご説明
ありがとうございました。

やっと理解することができました。

No.2406 - 2008/08/30(Sat) 00:28:42

★ 中2です / RP

1次関数の式で、簡単にグラフを書く方法があると聞いたのですが、どうやって書くのか方法を教えてください。

例えば、y=(2/5)x+1/5
という式があって、xに2を代入すればyが1になるというようなやり方でグラフを書くらしいのですが、
さっぱりわかりません。

詳しくやり方を教えてください。
お願いします！

No.2384 - 2008/08/29(Fri) 10:55:27

☆ Re: 中2です / にょろ

こんな感じなのかな?

まず、一次関数は全て直線であることを了解してください。

その上で、
まずx=2のときy=1ですね。
これを座標にプロットします。
次にx=7のときy=3です。
これもプロットします。
これを直線で結べば完成です。

No.2385 - 2008/08/29(Fri) 11:07:05

☆ Re: 中2です / RP

x=2とか、x=7とかは
どうやって考えるというか、求めたらいいんですか？

No.2386 - 2008/08/29(Fri) 11:17:23

☆ Re: 中2です / にょろ

適当に入れるとしか…
別に
x=0を入れたときy=1/5をプロットしてもいいわけですし
今回は整数になる組を『探して』みました

No.2387 - 2008/08/29(Fri) 11:54:05

☆ Re: 中2です / ぱんだ

直線を「簡単に」引くには、座標が整数の点を2つ結べばいいわけですね。

1つ目のx=2のときy=1は自分で見つけられますか？

次に、「傾きが2/5ということは、右に５動いたら上に２動く」ということになります。

x=2のときy=1の点から右に５、上に２動いた点は
x=7のときy=3となります。

この2つの点を結べばいいわけです。

とりあえずこんなやり方もありますが、一番お勧めしたいのは、「自分で色々実験してうまい直線の引き方を工夫してみる」ということです。色々試してみるといいでしょう。

No.2388 - 2008/08/29(Fri) 12:12:59

☆ Re: 中2です / RP

x=2はy=(2/5)x+1/5の2/5の分子の2で、
y=1は、x=2を入れて計算しました。

そういうやり方でいいんでしょうか？

x=7、y=3はそうやって求めるんですね!!
わかりました。

No.2394 - 2008/08/29(Fri) 18:03:15

☆ Re: 中2です / ヨッシー

2/5 の分子の2と、x=2 を当てはめることとは、関係ありません。
とにかく何でも良いから、入れてみるのです。
　x=0, y=1/5　　x=1, y=3/5　　x=2, y=1
　x=3, y=7/5　　x=4, y=9/5　　x=5, y=11/5
どれでも良いのです。
２つ違う点を選んで、直線で結ぶ。それだけです。

x=2 や、x=7 は、たまたま y が整数になるというだけで、
点の位置が取りやすいですが、それ以上の意味はありません。

No.2397 - 2008/08/29(Fri) 18:56:26

★ 数A / 匿名

大中小3個のサイコロを投げるとき次のような場合は
何通りあるか。

･目の積が3の倍数
･目の和が奇数

この問題を樹形図を書いて求めようと思ったのですが、
書き出す数が大量だったので計算で求められる問題
なのでしょうか？

基礎的な問題ですが説明よろしくお願いします！

No.2379 - 2008/08/28(Thu) 23:08:41

☆ Re: 数A / ヨッシー

目の出方は全部で
　6×6×6＝216(通り)
このうち、３の倍数(３と６）が一度も出ないのは
　4×4×4＝64(通り)
これ以外は、すべて積が３の倍数となるので、
　216－64＝152(通り)

大と中の和が何であっても、
それに小の出方１，２，３，４，５，６を足すと、
奇数が３通り、偶数が３通りになるので、
奇数と偶数は同じ場合の数だけあります。
　216÷2＝108(通り)

No.2381 - 2008/08/28(Thu) 23:48:57

☆ Re: 数A / 匿名

ご説明頂きありがとうございます！
3の倍数の問題で、3の倍数が1度も出ないのが4×4×4＝64
というのがよくわかりませんでした。
奇数のほうの問題はわかりました！ありがとうございます。

No.2402 - 2008/08/29(Fri) 23:22:33

☆ Re: 数A / ヨッシー

３の倍数にならない場合を求めて、それを全体の216通りから
引こうという方針です。
３つのさいころの１個でも３または６が出ると積が３の倍数になってしまいます。
よって、大中小３つとも、１，２，４，５のみでそろえないと
いけません。
よって、目の出方は
４×４×４＝２５６(通り)
です。

No.2405 - 2008/08/30(Sat) 00:27:55

☆ Re: 数A / 匿名

よくわかりました！
詳しく説明して頂き、本当にありがとうございます★

No.2412 - 2008/08/30(Sat) 13:02:18

★ １次変換 / 白梅

（北海道大学　過去問）
高校３年生の数学Ｃの分野です。
宜しくお願い致します。

（問題）平面上に２直線l_1:ycosα－xsinα＝０
　　　　l_2:ycosβ－xsinβ＝０が与えられている。
　　　　直線l_1 l_2に関する対称移動を表す行列を
　　　　それぞれＡ,Ｂとする。
（１）行列Ａを求めよ。
（２）α－β＝θとおくとき積ＡＢをθを用いて表せ。
（３）（ＡＢ）^2＝ＢＡを満たすθの値を求めよ。
　　　ただし、０＜θ＜πとする。

（解答）　　　　　　 cos2α sin2α
　　　　（１）Ａ＝（sin2α　－cos2α）
　　　　　　　　　　　cos2θ　－sin2θ
　　　　（２）ＡＢ＝（ sin2θ　　cos2θ）

　　　　（３）（２）により、ＡＢは原点の周りの
　　　　　　　２θ回転を表すから、
　　　　　　（ＡＢ）^2は４θ回転、ＢＡは－２θ回転を
　　　　　　　それぞれ表すことになる。よって
　　　　　　　それらが等しいための条件はｎを整数として
　　　　　　　「４θ－（－２θ）＝２ｎπ」
　　　　　　　∴θ＝（ｎπ）／３　０＜θ＜πだから
　　　　　　　　θ＝π／３, ２π／３

私が疑問に思うのは解答の鍵括弧の所です。
本来、Ａ＝Ｂという式が成り立つことを
証明するには、
１つはＡを変形しＢにする（ＢがＡにでもよい）
もう１つはＡ－Ｂ＝０を証明する
この２つが定石ですが、
今回の場合、２つ目を使っています。
しかし私はこの問題を解く時に４θ－（－２θ）＝０
としてθの値を求めたかったのですが、
条件から０＜θ＜πとされていますし、
万が一、４θ－（－２θ）＝０を計算しても
６θ＝０⇔θ＝０となってしまいます。
どうして解答では４θ－（－２θ）＝２ｎπと
して解を出すのでしょうか。その理由が分かりません。

宜しくお願い致します。

No.2378 - 2008/08/28(Thu) 22:01:16

☆ Re: １次変換 / rtz

ただのx＝y⇔x－y＝0とは違い、この場合は回転です。
よって1周分、2周分、…、を余計に回っても重なります。
ここを2nπとして表現しています。

時計も12時だけでなく、
1周ぐるっと回ってくれば1時5+(5/11)分にも重なりますね。
そんなイメージです。

No.2380 - 2008/08/28(Thu) 23:14:56

☆ ありがとうございました＾＾ / 白梅

rtz様、大変分かりやすい解説を
して下さってありがとうございます＾＾

確かにrtz様の仰る通り
計算しても元の点に戻ってくれば０ですね。
ベクトルでもＡＡ→＝０というものが
単に回転の場合になっただけだったのですね。

rtz様が示されたイメージもしっかりできました。

ありがとうございました＾＾

No.2393 - 2008/08/29(Fri) 17:35:52

★ (No Subject) / shiyo

問1：四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える。点Pは時刻０では頂点Oにあり、1秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の5つの頂点のいずれかに移動する。
規則：点Pのあった頂点と1つの辺によって結ばれる頂点の1つに、等しい確率で移動する。
このときn秒後に点Pが頂点Oにある確率を求めよ。
（解答：｛1-（-1／3）^（n-1）｝／4　　）

問2：数直線上を原点から出発し、次の規則で移動する点Pあある。　1個のサイコロを投げて、出た目が5以上の場合は、正の向きに2進み、出た目が4以下の場合は、正の向きに１進む。
サイコロをn回投げたとき、Pの座標が偶数になる確率をa_nとする。
?@ a_1、a_2、a_3　を求めよ。
　（解答：a_1＝ 1／3、a_2＝ 5／9、 a_3＝ 13／27　）

?A a_（n＋1）をa_n を用いて表せ。
　（解答：a_（n＋1）＝ 2／3 － a_n／3　）

?B a_n を求めよ。（解答：a_n＝｛1＋（-1／3）^n｝／2 ）

宜しくお願い致します。

　　

No.2365 - 2008/08/28(Thu) 00:23:09

☆ (No Subject) / ヨッシー

問1
求める確率をＰ_n とします。
ｎ秒後に点Ｏにあると、１秒後には、点Ｏ以外にあります。
ｎ秒後に点Ｏ以外にあると、１秒後には、1/3 の確率で点Ｏにあり、2/3 の確率で点Ｏ以外にあります。
以上より
　Ｐ_n+1＝(1/3)(１－Ｐ_n)
という関係があります。変形して
　Ｐ_n+1-1/4＝(-1/3)(Ｐ_n-1/4)
Ｐ₀＝１　より
　Ｐ_n-1/4＝(1-1/4)(-1/3)ⁿ
　Ｐ_n＝(1-1/4)(-1/3)ⁿ+1/4
　　＝{1-(-1/3)^n-1}/4

問2
(1)省略
(2)
ｎ回目が偶数だと1/3の確率でｎ＋１回目に偶数になります。
ｎ回目が偶数だと2/3の確率でｎ＋１回目に偶数になります。
以上より
　ａ_n+1＝(1/3)ａ_n＋(2/3)(１－ａ_n)
　ａ_n+1＝2/3－(1/3)ａ_n
(3)
　ａ_n+1-1/2＝(-1/3)(ａ_n-1/2)
(以下、問1と同じ)

No.2366 - 2008/08/28(Thu) 07:19:39

★ 数学A / 祐

0,1,2,3,4,5の6個の数字から異なる5個の数字を取って並べて、5桁の整数を作るものとする。次のものはいくつできるか。

(1)整数
(2)偶数
(3)24000より大きい整数

分からないので教えて下さい。
宜しくお願いします。

No.2364 - 2008/08/27(Wed) 23:41:24

☆ Re: 数学A / ヨッシー

(1)
万の位は０以外の５通り、千の位はそれ以外の５通り、
以下、百の位４通り、十の位３通り、一の位２通りで、
　５×５×４×３×２＝６００(個)
(2)
万の位が１，３，５のとき
一の位は０，２，４の３通り、以下、
千の位４通り、百の位３通り、十の位２通りで、
　３×３×４×３×２＝２１６(個)
万の位が２，４のとき
一の位はそれ以外の２通り、以下、
千の位４通り、百の位３通り、十の位２通りで、
　２×２×４×３×２＝９６(個)
合計３１２個
(3)
万の位が３，４，５のとき
千の位以下、５，４，３，２通りで、
　３×５×４×３×２＝３６０(個)
万の位が２のとき
千の位は４，５の２通り、
百の位以下、４，３，２通りで、
　１×２×４×３×２＝４８(個)
合計　４０８個

No.2368 - 2008/08/28(Thu) 09:29:06

☆ Re: 数学A / 祐

お返事有難うございます。

一つ質問なのですが、(3)の問題は万の位が2のときと、万の位が3,4,5のときで分けるのはどうしてでしょうか?

変な質問をしていたらすみません;;

No.2371 - 2008/08/28(Thu) 10:31:29

☆ Re: 数学A / ヨッシー

両方の書き方をそろえれば、わかりやすいでしょうか？
というか、気付いてもらえるでしょうか？

(3)
万の位が３，４，５のとき
千の位はそれ以外の５通り、
百の位以下、４，３，２通りで、
　３×５×４×３×２＝３６０(個)

万の位が２のとき
千の位は４，５の２通り、
百の位以下、４，３，２通りで、
　１×２×４×３×２＝４８(個)
合計　４０８個

No.2372 - 2008/08/28(Thu) 10:40:22

★ 同位角が等しいことの証明 / daigo（大学１年）

はじめまして、daigoといいます。
同位角が等しいことはユーグリッドの原論により証明できないと一般に聞くのですが、例えばこの証明法は証明になっているのですか？
『≠』は図と思ってください。

≠　において、＝を上から直線Ｌ、直線Ｍとします。もちろん平行。∠aと∠bが同位角です。∠aの場所は後述。
まず、直線Ｌと直線Ｍに垂直な垂線Ｐを引きます。すると、台形ができます。（直線Ｌが上底、直線Ｍが下底。ちなみに上底の左の角が∠aです。）
すると、上底の右の角は９０度、下底の右の角が９０度なので足して１８０度。台形の内角の和は３６０度なので、
左上つまり、∠aとその下の角の和は１８０度。
式にすると、∠a+（１８０°－∠b）=１８０°より∠a=∠b

これは証明といえるのですか？

No.2360 - 2008/08/27(Wed) 22:11:49

☆ Re: 同位角が等しいことの証明 / rtz

＞台形の内角の和は３６０度
であることを同位角や錯角なしで証明できないのでは。
もっと言うと、
三角形の内角の和が180度であることを証明できないのでは。

No.2361 - 2008/08/27(Wed) 22:42:47

☆ Re: 同位角が等しいことの証明 / 通りすがり

まず同位角x,yが等しいとき2直線l,mが平行であることを証明します。
（lとmが平行でないとすると交点をもつのでそれをＰとします。
対頂角は等しいからx,yとそれらの対頂角はすべて等しくなり
図を180度回転してももとの図とぴったり重なります。
するとlとmはＰの反対側にも交点をもつことになり公理に反します）

次に本命題の証明。
平行2直線をl,m　それに交わっている直線をn
同位角をx,yとします。
nとlの交点をＰとし
Ｐを通り同位角がyに等しくなるように直線l´を引くと
捕題よりl´とmは平行です。
よって平行線公理によりlとl´は一致します。
∴　x=y

急ぎ証明を書きましたのでわかりにくいところ多々あるでしょうがご勘弁＾＾

No.2369 - 2008/08/28(Thu) 09:35:24

☆ Re: 同位角が等しいことの証明 / 通りすがり

> 直線Ｌと直線Ｍに垂直な垂線Ｐを引きます
ここは　平行⇒同位角が等しい　という事実を使っていますね。

No.2370 - 2008/08/28(Thu) 09:44:48

★ 二次関数 / ゆき（高１）

はじめまして、ゆきと言います。
二次関数の問題で分からないのがあるので、教えていただきたく・・・お願いします！

次の条件を満たすように定数aの値の範囲を求めよ。
xの二次方程式 ax^2+(a+1)x+(2a-1)=0 が異なる２つの正の解をもつ。

二乗の表記の仕方が分からなかったので”ax^2”としました。
回答は”-1/7<a<0”となっていますが・・・解き方が分かりません。
よろしくお願いします＾＾；

No.2343 - 2008/08/27(Wed) 15:29:34

☆ Re: 二次関数 / にょろ

自乗の表記はそれで正しいです。
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
参照

で両方の解が+ということは
f(x)=ax^2+(a+1)x+(2a-1)
まず
判別式/4>=0
次に
f(x)は下に凸だから
f(0)>0
さらに軸がx=0より大きくなくてはならない

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=2129

まえ同じ様なのがあったので画像はそれ見てください

No.2346 - 2008/08/27(Wed) 16:39:39

☆ Re: 二次関数 / ゆき（高１）

返信ありがとうございます。
ですが、以下のところがよく分からず・・・

>判別式/4>=0

>f(x)は下に凸だから
(なぜ下に凸なのでしょうか、aが－の場合は考えなくてよいのでしょうか)

すみませんが、お願いいたします；；

No.2347 - 2008/08/27(Wed) 16:54:43

☆ Re: 二次関数 / rtz

いえ、考える必要があります。
というか、そちらを考えないと答えが出ません。
同様に考えればよいでしょう。
f(0)の符号だけ反転します。

判別式はD＞0ですね。

No.2348 - 2008/08/27(Wed) 17:31:25

☆ Re: 二次関数 / にょろ

すいません
上のをコピペで軽く書き換えただけなので
見直してませんでした

No.2351 - 2008/08/27(Wed) 17:35:41

☆ Re: 二次関数 / ゆき（高１）

教えていただいたとおり考えてみたのですが・・・。

a＞０,a＜０について、それぞれ
（１）軸＞0
（２）D＞0
（３）f(0)＞0(a＞0のとき)、f(0)＜0（a＜0のとき）
をやりました。

a＞0の場合、（１）で a＜－１となってしまうので、不適ですよね。

a＜０の場合は、（１）と（２）は変わらず、（３）は不等号の向きが変わるので、
（１）a＜－１
（２）－１/７＜a＜１　a＜０より－１/７＜a＜０
（３）a＜１/２　a＜０よりa＜０
となりました。
すると上記の条件をすべて満たす範囲がないのですが・・・。
何がいけないのでしょうか＞＜；；

No.2353 - 2008/08/27(Wed) 18:29:01

☆ Re: 二次関数 / rtz

軸を考えたとき、分母のaを無意識に消しませんでしたか？
a＜0ですから不等号が逆向きになりますね。

No.2355 - 2008/08/27(Wed) 18:51:37

☆ Re: 二次関数 / ゆき（高１）

なるほど、納得しました！
丁寧に教えてくださってありがとうございました！
長々とすみませんでした＾＾；；

No.2356 - 2008/08/27(Wed) 19:04:26

☆ Re: 二次関数 / 豆

趣味の問題かもしれませんが、場合分けが嫌いなので、以下のように
場合分けせずに、私なら解きます。
（本質的には場合分けするのと同じことですが）

2次方程式と決定しているので、a≠0のもと、
D=(a+1)^2-4a(2a-1)＞0
2根の和=-(a+1)/a＞0
2根の積=(2a-1)/a＞0
この3つを連立させます。

No.2367 - 2008/08/28(Thu) 08:52:33

★ 数列 / kai(高3)

こんにちは
よく分からないので、教えてください。

No.2338 - 2008/08/27(Wed) 13:51:34

☆ Re: 数列 / rtz

具体的にどこが分からないのでしょうか。
考えた経緯など書いていただけると分かりやすいのですが。

No.2349 - 2008/08/27(Wed) 17:32:35

☆ 一部分回答します。 / 白梅

初めて回答させていただきます。
白梅と申します。

これは大阪大学の過去問ですね。
私も１度だけ解きましたが、数列問題の中でも
最高峰の難しさだと思います。

全ての解答を書くと大変な長さに
なりますし、kaiさんの力にならないと思うので
（１）だけ回答し、（２）（３）は
ヒントと解のみ書いておこうと思います。

（解答）Ｄ内にあり、ｙ軸上に中心をもち、
　　　　原点を通る円の方程式を、
　　　　x^2＋（ｙ－ｒ）^2＝r^2　（r＞０）
　　　　とおくと、x^2＝２ｒｙ－ｙ^2
これが領域ｙ≧x^2の内部にある為には
　　　　ｙ≧２ry－y^2 すなわち、
　　　　y{y－（２ｒ－１）}≧０がｙ≧０で
　　　　つねに成り立てば良い。
　　　　よって、２ｒ－１≦０よりｒ≦（１／２）
　　　　ａ(1)は最大のｒの値だからａ（１）＝（１／２）

（２）の解　ａn＝（１／２）＋√（２(bn-1)）
（３）の解　ａn＝ｎ－（１／２）　　です。

（２）はＣnは放物線y＝x^2に接するので
　　　重解を利用します。
（３）は判別式Ｄ＝０の式より条件を利用すれば
　　　出来ると思います。

長文失礼しました。

No.2350 - 2008/08/27(Wed) 17:32:45

☆ Re: 数列 / kai(高3)

rtzさん白梅さん返信ありがとうございます。
白梅さんの解答で(1)は分かりました。
(2)はＣn:x^2+(y-2(bn-1)-an)^2=an^2とy=x^2より
2(bn-1)-an=Aとおくと
y^2-(2A-1)y+A^2-an^2=0
重解よりan=(bn-1)-1/8
と出てきて
分かりません。
(2),(3)のヒントをもう少し詳しくお願いします。

No.2352 - 2008/08/27(Wed) 17:58:36

☆ Re: 数列 / rtz

数列ならa[n]やa_nなど、
添え字であることが分かるようにしていただけますか？
そのままではa*nと間違えてしまいますので。

(2)
x²＋{y－2b_n-1－a_n}²＝a_n²
ですから、
Aとおくなら2b_n-1＋a_nではないでしょうか。

(3)
a_n＝(1/2)＋√(2b_n-1)から
a_n+1＝(1/2)＋√(2b_n)
よって
{a_n+1－(1/2)}²
＝2b_n
＝2b_n-1＋2a_n
＝{a_n－(1/2)}²＋2a_n
＝{a_n＋(1/2)}²
⇔a_n+1－(1/2)＝a_n＋(1/2) (明らかにa_n≧1/2)
以下略

No.2354 - 2008/08/27(Wed) 18:49:04

☆ ではもう少しだけヒントを / 白梅

ふむふむ。なるほど。

kaiさんの解答の５行目までは正しいです。
６行目の重解より～が間違えています。
どこかで計算ミスをしたのだと思われます。
落ち着いてもう１度計算してみて下さい。
上手くいけば（２ａ_n－１）^2＝８b_n-1
といった式が得られると思います。

そこからがこの問題のミソですね。
ｎ≧２のときａ_n＞ａ_1＝（１／２）だから
２ａ_n－１＞０、またb_n-1＞０だから‥‥
ここまでくれば解答を得られると思います。

No.2357 - 2008/08/27(Wed) 19:04:43

☆ Re: 数列 / kai(高3)

rtzさん白梅さん返信有り難うございます。
数列の表記の仕方が分からず、見づらくなってしまいすいません。
次からはa[n]やa_nのように表記します。

rtzさん白梅さんの仰るとおり、単純なミスです。
ここまで書いていただいたので、分かりました。

乱雑な文章、数式でめちゃくちゃだったと思いますが、丁寧な解説、ヒントありがとうございます。

No.2359 - 2008/08/27(Wed) 21:06:52

☆ 最後に / 白梅

ご理解していただけたようで良かったです。

（２）については部分的にしか書いていなかったので
確認のため、全てここに書いておきますね。
ｎ≧２のときａ_n＞ａ_1＝（１／２）だから
２ａ_n－１＞０、またb_(n-1)＞０だから
２ａ_n－１＝２*√(２b_(n-1))より
ａn＝（１／２）＋√（２(b_(n-1)）

それと（３）についてですが、
完答できましたでしょうか？
rtzさんの示された解法で答えを出せたのなら
それで良いのですが、ヒントも出したので
そのヒントを使った別解を示しておきますね。

（解答）（２）のＤ＝０の式から
４ａ_n^2－４ａ_n＋１－８b_(n-1)＝０‥‥（ア）
これより
４ａ_(n＋1)^2－４ａ_(n＋1)＋１－８b_n＝０‥‥（イ）
（ア）－（イ）より
４（ａ_(n＋1)^2－ａ_n^2）－
４（ａ(n＋1)－ａ_n）－８ａ_n＝０　⇔
（ａ_(n＋1)＋ａ_n）*（ａ_(n＋1)－ａ_n－１）＝０
よってａ_(n＋1)＋ａ_n＞０より
ａ_(n＋1)－ａ_n－１＝０
よってａ_(n＋1)＝ａ_n＋１（n≧２）
またb_1＝ａ_1＝１／２だから
ａ_2＝（１／２）＋１＝ａ_1＋１
となり、ｎ≧１でａ_(n＋1)＝ａ_n＋１
数列{ａn}は初項ａ_1＝１／２　公差１の等差数列より、
ａ_n＝ｎ－（１／２）　

以上が別解となります。

私もこの掲示板で質問する者なので、
そう何度も回答者にはなれませんが、
この質問に関しては理解しているつもりなので、
何か疑問に感じる所があれば、
また質問して下さいね＾＾

追伸:rtz様、回答者として
　　　横からレスを入れて大変申し訳ありませんでした。
　　　確かにrtz様の仰る通り、
　　　質問者がどこが理解できていないかを把握してから
　　　少しずつアドバイスするのが理想だと思います。
　　　さらに数列の表記についてもですが
　　　以後よくよく気を付けます。
　　　質問者としてまた書き込むと思います。
　　　その時は宜しくお願い致します。＾＾

No.2362 - 2008/08/27(Wed) 23:07:15

☆ Re: 数列 / rtz

いえ、実際問題どの程度までヒントとして出すのか、
導入に留めるのか、ある程度踏み込むのかというのはいつも悩みどころで、
流れを暈してヒントを出しても抽象的過ぎてしまう場合もありますし、
なんとも難しい部分です。

本問の場合は(1)もそれなりの難度です。
ある程度半径が大きくなると
原点で接せないことを分かっていないと解けないので
一応お聞きした、という感じです。

私はヒントでも完全解答でも、
受け取って消化するのは質問された方次第なので、
どちらでもいいと思っていますし、
私自身よく間違うので、気にせずレスして下さいませ。
こちらこそよろしくお願いします。

No.2363 - 2008/08/27(Wed) 23:34:02