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(No Subject) / あ
∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx
=2∫[-1,1]√(1-x^2) dx
=∫[-∞,∞]1/(1+x^2) dx

ということを三角関数を使わずに示すにはどうしたらよいのでしょうか?前半は次のように分かるのですが、後半がわかりません。

∫[-1,1]√(1-x^2) dx
=[x√(1-x^2)][-1,1]+∫[-1,1]x^2/√(1-x^2) dx
=−∫[-1,1]√(1-x^2) dx+∫[-1,1]1/√(1-x^2) dx

No.2256 - 2008/08/23(Sat) 16:23:20
お願いします / シーサー
20072008×20082009-20072007×20082008
 お願いします

No.2246 - 2008/08/23(Sat) 10:45:50

Re: お願いします / 七
20072007=x,20082008=y とおくと
20072008×20082009-20072007×20082008
=(x+1)(y+1)−xy
=x+y+1=40154016

No.2248 - 2008/08/23(Sat) 11:24:42
半円の重なる部分の面積 / ガンジー
おはようございます。

直径をABとする半円があり、中心をOとする。
点Aを通る弦を折り目として、この半円の弧の部分が中心Oを通るように折り重ねた。直径が12cmのとき折り重ねてできる紙の重なった部分の面積を求めよ。

よろしくお願いいたします。

No.2240 - 2008/08/23(Sat) 04:43:18

Re: 半円の重なる部分の面積 / ヨッシー

折り目をAC、折って点Oに重なる元の点をD、ACとDOの交点をEとすると、
 AO=CO=12cm
 OE=ED=6cm
 ∠AEO=90°
より、∠AOD=∠DOC=∠DAO=60° となり、
ADとOCは平行になります。
よって、図のように等積変形できて、求める部分の面積は、
中心角60°の扇形DCEと等しくなります。

No.2241 - 2008/08/23(Sat) 06:33:10

Re: 半円の重なる部分の面積 / 明智小五郎
ヨッシーさん、
上のような動的な図はなんというソフトをお使いなのでしょうか・・?

No.2245 - 2008/08/23(Sat) 09:11:00

Re: 半円の重なる部分の面積 / シーサー
12×12×π=144π
 
なのでは?

No.2247 - 2008/08/23(Sat) 10:50:47

Re: 半円の重なる部分の面積 / rtz
>ヨッシーさん
直径が12cmなのでAO=CO=6cmでは。
あと扇形はDCEではないかと。

>シーサーさん
それは違うと思います。

No.2250 - 2008/08/23(Sat) 11:30:27

Re: 半円の重なる部分の面積 / ヨッシー
>>rtz さん
あぁ、そうですね。
>AO=CO=6cm
>OE=ED=3cm

です。
ご指摘ありがとうございます。

>>明智小五郎さん
私のページのTOPに、「GIFアニメの出来るまで」
がありますので、ご覧ください。

No.2251 - 2008/08/23(Sat) 13:01:37

Re: 半円の重なる部分の面積 / 明智小五郎
>ヨッシーさん
了解しました。見てみます。

No.2252 - 2008/08/23(Sat) 13:15:26

Re: 半円の重なる部分の面積 / 明智小五郎
>ヨッシーさん
自由に自分で色々な図形を描く方法を教えていただけますか?

No.2253 - 2008/08/23(Sat) 13:18:37

Re: 半円の重なる部分の面積 / 明智小五郎
「GIFアニメの出来るまで」ですね。
わかりました。

No.2254 - 2008/08/23(Sat) 13:26:47

Re: 半円の重なる部分の面積 / ガンジー
わかりました。教えていただきまして、どうもありがとうございました。

(明智小五郎さん、
ちなみに、僕の使っているソフトはペイントです。(え?そんなの聞いてないって…?失礼いたしました。)

No.2255 - 2008/08/23(Sat) 15:05:19
なんどもすんません;; / fだs
cos2θー2sinθ+1=a
0以上θ以下2π

この方程式が4っつの解をあらわすときのa
の値の範囲を求めよ

tであらわして
ー2t^2−2t+2=aにして
−7以上a


・・・・・・・じゃないですよね;;;;
おねがいしますTT)

No.2237 - 2008/08/22(Fri) 20:29:25

Re: なんどもすんません;; / fだs

もつための条件
ですた;;

No.2238 - 2008/08/22(Fri) 21:04:20

Re: なんどもすんません;; / 七
cos2θ−2sinθ+1=a
0≦θ≦2π
sinθ=t とおくと
−2t^2−2t+2=a
これが−1<t<1 の範囲に異なる2つの解をもてばよいので
y=−2t^2−2t+2 のグラフと y=a のグラフが
−1<t<1 の部分で 異なる2点で交わればいいですね。

No.2244 - 2008/08/23(Sat) 08:39:34
(No Subject) / teduka
(x+3)(1+2x-2x2乗)=(a/x+1)+b/(x+1)2乗+(cx+d)/(x2乗-x+1)
上の式のxが恒等式になるよう定数a,b,c,dを定めよ。
どう解けばいいでしょうか?

No.2236 - 2008/08/22(Fri) 20:19:30

(No Subject) / ヨッシー

ということで良いですか?

No.2242 - 2008/08/23(Sat) 06:58:21

Re: / teduka
はい☆
面倒な計算になってしまうと思うのですが・・・

No.2258 - 2008/08/23(Sat) 18:40:24

Re: / rtz
恒等式になりません。
No.2270 - 2008/08/24(Sun) 01:38:13

Re: / ぱんだ
おそらく問題はヨッシーさんの問題ではなく

(x+3)(1+2x-2x^2)={a/(x+1)}+{b/(x+1)^2}+{(cx+d)/(x^2-x+1)}

だと思います。
この場合、両辺に(x+1)^2(x^2-x+1)をかけても恒等式です。

そのとき、x=-1,0,1,-3を代入して両辺を比較すればすぐに解けます。

No.2318 - 2008/08/26(Tue) 02:01:10
(No Subject) / fだs
nを正数とする 
不等式9x+2y<=2n
x>=0
y>=0
を同時に満たす整数 x y
の(x。y)
の個数をN(n)とする

2)N(n)
を求めよ
・・・・で
n^2であってますか??
階差数列でもとめたんですが


解答みたら(n+1)^2
ってかいてありました
(写し間違いかもしれません;;)

No.2234 - 2008/08/22(Fri) 20:06:52

(No Subject) / ヨッシー
>nを正数とする
とは、「nを整数とする」のことでしょうか?

たとえば、n=1 のとき、9x+2y≦2n=2
を満たすには、x=0 に限り、yも、0か1なので、
個数は2です。つまり、N(1)=2 です。
同様にN(2)=3, N(3)=4, N(4)=5, N(5)=7
などとなり、n^2 でも (n+1)^2 でもありません。

問題が間違っていませんか?

No.2243 - 2008/08/23(Sat) 08:33:16
2次関数です / 関
aは定数とする
方程式 x^4+2ax^2-a+2=0 が実数解を持たないようなaの範囲(☆)を求めよ。
また、関数 f(x)=x^4+2ax^2-a+2 の最小値をm(a)とする。
aが(☆)の範囲を動くときのm(a)の最大値を求めよ。

が分かりません。

範囲はD<0とD≧0かつ軸:t<0かつf(0)>0で求まりますか?

どうかよろしくお願いします。

No.2233 - 2008/08/22(Fri) 19:33:54
(No Subject) / fだs
x^3-(2a+3)x^2+(5a+9)x-(3a+b)=o
重解のときaの値を求めよ
ってのがわかりません
(x−1)・・・

No.2232 - 2008/08/22(Fri) 19:10:34
正四面体 / 桜 高校2
こんばんは。
いつもお世話になっております。
よろしくお願いいたします。

一辺の長さがaの正四面体ABCDがある。
次の値をそれぞれaの式で表せ。

(1)Aから△BCDにおろした垂線AHの長さ
(2)正四面体ABCDの体積
(3)(1)のHに対して、Hから△ABCにおろした垂線の長さ。


(1)〜(2)はできたのですが、(3)がわかりませんでした(><)
どのように求めればよいのでしょうか

よろしくお願いいたします。

No.2231 - 2008/08/22(Fri) 18:54:25

Re: 正四面体 / ヨッシー

図において、BCの中点をMとし、△ADMを考えます。
HはDMを2:1に内分する点なので、
DからAMへの垂線と、HからAMへの垂線の長さの比は
3:1 になります。
DからAMへの垂線の長さは、AHと等しいので(以下略)

No.2235 - 2008/08/22(Fri) 20:13:43
(No Subject) / fだs
P(x)を(x−1)^2で割ったときの余りが−2x+1
P(x)を(x−1)でわったときのあまりって
−1でいいですか???

No.2227 - 2008/08/22(Fri) 18:04:01

(No Subject) / ヨッシー
いいですよ。

P(x)=Q(x)(x-1)^2+(-2x+1) と書けるので、
P(1)=-2+1=-1
です。

No.2228 - 2008/08/22(Fri) 18:07:57

Re: / fだs
どもです
No.2229 - 2008/08/22(Fri) 18:08:10
(No Subject) / ガンジー
こんにちは。

√(396-36m) (mは自然数)が自然数となるmをすべて求めよ。

教えて下さい。お願いします。

No.2225 - 2008/08/22(Fri) 17:53:49

(No Subject) / ヨッシー
396=36×11 なので、
√(396-36m)=√{36(11-m)}=6√(11-m)
となり、√(11-m) が自然数になればいいですね。
m は自然数なので、11-m は、1から10 の値を取ります。
そのうち、√(11-m) が自然数になるのは・・・

No.2226 - 2008/08/22(Fri) 17:56:58

Re: / ガンジー
くくればよいのですね。教えて下さりましてありがとうございました。
No.2239 - 2008/08/23(Sat) 04:07:23
(No Subject) / L
(x+2)/(x+1)-(x+3)/(x+2)-(x+4)/(x+3)+(x+5)/(x+4)
この計算がおそろしくメンドイことになります
なにか簡単にできる方法をおしえてください

No.2223 - 2008/08/22(Fri) 17:34:22

(No Subject) / ヨッシー
(x+2)/(x+1)-(x+3)/(x+2)={(x+2)^2-(x+1)(x+3)}/(x+1)(x+2)=1/(x+1)(x+2)
-(x+4)/(x+3)+(x+5)/(x+4)={-(x+4)^2+(x+3)(x+5)}/(x+3)(x+4)=-1/(x+3)(x+4)

ここまでしておけば、あとは楽でしょう。

No.2224 - 2008/08/22(Fri) 17:46:31

Re: / rtz
>ヨッシーさん
恐らく作成者は1を括りだした上で、
計算をさせるつもりではないかと。

No.2230 - 2008/08/22(Fri) 18:42:11
(No Subject) / ウア(高一)
次の式を因数分解せよ。
x^2y + 2xy^2 - x^2 + 4y^2 - xy - x - 6y + 2
この問題で、僕はxについてまとめてみました。
その結果,
(y-1)x^2 + (2y+1)(y-1)x + (4y-2)(y-1)
この式をたすきがけしても(y-1)でくくってもうまくいかないのですが、どうすれば良いのですか?
教えてください。お願いします。

No.2218 - 2008/08/22(Fri) 13:52:40

(No Subject) / ヨッシー
(y-1)でくくると、
(y-1){x^2+(2y+1)x+2(2y-1)}

x^2+(2y+1)x+2(2y-1) について、
足して 2y+1 掛けて 2(2y-1) となるのは、
 2y-1 と 2
なので、
 (y-1)(x+2)(x+2y-1)
となります。

No.2219 - 2008/08/22(Fri) 13:59:50

Re: / ウア(高一)
(4y-2)を2でくくるということに気づきませんでした。
ありがとうございます。

No.2220 - 2008/08/22(Fri) 14:13:33
(No Subject) / ガンジー
こんばんは。以下の問題を教えて下さい。

1個のサイコロを投げ、出た目が偶数なら、数直線上を正の向きに、奇数なら負の向きに出た目だけ移動することにする。原点を出発点として、サイコロを3回投げるとき、次の場合は何通りあるか。
(1)3回目の移動が終わったときの座標がー2となる場合。
(2)(1)のうちで、1回目、2回目の終了後の座標がいずれも0以下になる場合。

No.2213 - 2008/08/22(Fri) 00:41:30

(No Subject) / ヨッシー
(1)
進む数は、2,4,6,−1,−3,−5で
これらの中から、3つの数を重複を許して取り出し、
和が−2になるようにします。
最低でも奇数を1つ出さないとダメですが、奇数が1個や3個では、
和が奇数になるので、奇数は2個です。
奇数2個の和は、-2,-4,-6,-8,-10 まで作れますが、
これに偶数を1つ足して、−2にするには、
 -4と2、-6と4、-8と6
です。
以上より
 (1,2,3)(1,4,5)(3,3,4)(3,5,6)
で、並び替えで、それぞれ、6,6,3,6通りが得られます。
合計21通り。
(2)
(1,2,3)→(1,3,2)(3,1,2)(3,2,1)
(1,4,5)→(1,5,4)(5,1,4)(5,4,1)
(3,3,4)→(3,3,4)
(3,5,6)→(3,5,6)(5,3,6)
の9通り。

No.2216 - 2008/08/22(Fri) 07:15:27

Re: / ガンジー
わかりました。
1,3,5を-1,-3,-5などとみたりするので、かなりややこしいですね。
ありがとうございました。

No.2222 - 2008/08/22(Fri) 15:32:39
確率 / ガンジー
こんばんは。よろしくお願いします。

赤玉が4個、白玉が2個入った袋がある。この袋の中から同時に2個の玉を取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めよ。ただしどの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。

No.2212 - 2008/08/22(Fri) 00:19:05

Re: 確率 / ヨッシー
赤玉をABCD、白玉をefとすると、珠の取り出し方は、
 AB,AC,AD,BC,BD,CD
 Ae,Af,Be,Bf,Ce,Cf,De,Df,ef
の15通りで、2個とも赤玉なのは、上段の6通りです。
組み合わせを使うなら、
 6C2=15,4C2=6
です。
確率は、2/5。

No.2215 - 2008/08/22(Fri) 07:07:29

Re: 確率 / ガンジー
わかりました。
どうもありがとうございました。

No.2217 - 2008/08/22(Fri) 07:17:29
高1【数学A】 / 優(・∀・)
【1】6個の数字1,2,3,4,5,6から異なる4個を並べて4桁の整数を作るとき、3000以上の整数はいくつできるか。

【2】子音g,h,kと母音a,e,oの6文字を1列に並べる。子音のすぐ後には必ず母音が続くような並べ方は何通りあるか。

宜しく御願いします。

No.2209 - 2008/08/21(Thu) 23:37:22

Re: 高1【数学A】 / ヨッシー
【1】
千の位には3,4,5,6 の4通りの数が入ります。
百の位には、千の位に使わなかった5通りの数が入ります。
十の位には残りの4通り、一の位は残りの3通りが入るので
4×5×4×3=240(個)
【2】
子母子母子母 の順に並ぶので、
子音の並べ方 3×2×1=6(通り)
母音の並べ方 3×2×1=6(通り)
よって、6×6=36(通り)

No.2210 - 2008/08/21(Thu) 23:45:02

Re: 高1【数学A】 / 優(・∀・)
早速の返信有難うございました^^
No.2211 - 2008/08/21(Thu) 23:55:59
(No Subject) / β 高校2
△ABCの辺BC,CA,ABをそれぞれ1:3に内分する点をそれぞれI,M,Nとするとき、等式ALベクトル+BMベクトル+CNベクトル=0ベクトルが成り立つことを証明せよ。

この問いの証明を教えて下さい。
宜しくお願いします

No.2206 - 2008/08/21(Thu) 22:46:59

(No Subject) / ヨッシー
 ALAB+(1/4)BC
 BMBC+(1/4)CA
 CNCA+(1/4)AB
とおけるので、辺々足します。
あとは、ABBCCA
を利用します。

No.2208 - 2008/08/21(Thu) 23:32:11

Re: / β 高校2
ありがとうございました。
理解できた気がします!

No.2259 - 2008/08/23(Sat) 19:00:14
xやy / ゆくいく
式の値 方程式について教えてください。
解き方も教えてください。
お願いします    

1    x=−3、y=2のとき、次の式の値を求めよ


(1) −4x+5y



(2) 2x二乗−xy



2     次の方程式を解け


?@ 4x−5=6x+9



↑です。

あとxはエックスのほうでかけるほうではありません。

 

No.2196 - 2008/08/21(Thu) 15:44:10

Re: xやy / とおりすがり
1.はx = -3,y = 2をそれぞれ代入するだけですがどこらへんが分かりませんか?
No.2197 - 2008/08/21(Thu) 15:52:43

Re: xやy / ヨッシー
1-(2) をやってみますので、(1) はやってください。
xの2乗は x^2 と書きます。
 2x^2−xy=2×(-3)^2−(-3)×2
ここで、(-3)^2=-3×(-3)=9 ←負の数の掛け算
より
 2x^2−xy=2×9−(-6)=18+6=24

2 の方程式は、こちらの第10回以降ですが、
どこまで理解出来ますか?
特に「移項」という方法がうまくできると、ずいぶん楽になります。

No.2198 - 2008/08/21(Thu) 16:54:27

Re: xやy / ゆくいく
そうですか(笑w

あと
(2)の二乗とかがよくわからないのですが
あと
方程式・・・


お願いします

No.2199 - 2008/08/21(Thu) 16:56:08

Re: xやy / ヨッシー
2乗とは、同じ数を2回かけること(3乗は3回掛ける)
 3^2=3×3=9
 (紙に書くときは 3^2 は 32 と書きます)
 (−4)2=−4×(−4)=16
 (−2)3=−2×(−2)×(−2)=−8
こちらの、第9回をご覧ください。

方程式も、こちらの10回以降で、「移項」が
出てくるまでを、理解しましょう。

その前に、
 4x+5=6x−9
を、線分図などで、解いてみても良いかと思います。

No.2200 - 2008/08/21(Thu) 17:46:06

Re: xやy / ゆくいく
本当にありがとうございました。
No.2221 - 2008/08/22(Fri) 15:06:19
2次関数の問題です。 / mako
x,y,zの連立方程式 x+y+z=a xy=z x^2+y^2=z^2 がある。
この連立方程式の解(X Y Z)が X≧1 Y≧1 Z≧1 となるような実数aの値の範囲を求めよ。

という問題です。
お忙しい中すみません。よろしくお願いします。

No.2195 - 2008/08/21(Thu) 15:34:18

Re: 2次関数の問題です。 / ヨッシー
z=t という平面で切ると、3つのグラフはそれぞれ、
直線、双曲線、円 になります。
まず、双曲線と円が交わるためのtの範囲を決め、
それに対応するaの範囲を決める
という手順でどうでしょう?

No.2202 - 2008/08/21(Thu) 19:17:52

Re: 2次関数の問題です。 / mako

その方針は考えてませんでしたね。

でも、どうやって反比例のグラフと円の交わるためのtの範囲を出すのでしょうか?

たびたびすみません。

No.2204 - 2008/08/21(Thu) 21:03:17

Re: 2次関数の問題です。 / ヨッシー

図は、t=1から3までの断面です。
反比例のグラフと円が交わるとすれば、最初に y=x 上の
点で、接します。よって、x=y として、
 xy=x2=t
 x2+y2=2x2=t2
を解いて、t=2 が、tの最小値となります。

No.2207 - 2008/08/21(Thu) 23:26:26

Re: 2次関数の問題です。 / mako
あ〜!
ひらめきましたw
ありがとうございます。

No.2214 - 2008/08/22(Fri) 01:17:54
(No Subject) / *Sana*
数学Aからです。

【1】1から8までの8個の数字から3個の数字を取り出したとき、その和が12になる場合は何通りあるか。

【2】男子10人、女子12人の中から男女それぞれ1人ずつの委員を選ぶ。このときの選び方の数を求めよ。

【3】大小2個のサイコロを同時に投げるとき、目の出方は何通りあるか、また両方とも偶数の目が出る場合の数を求めよ。

中学の復習でもあるのですが、忘れてしまったので;教えて頂けると助かります。宜しく御願いします。

No.2184 - 2008/08/21(Thu) 00:52:06

(No Subject) / ヨッシー
【1】(8,3,1)(7,4,1)(7,3,2)(6,5,1)(6,4,2)(5,4,3)
の6通りです。
【2】10×12=120(通り)
たとえば、男A,B の2人、女a,b,c の3人 とすると、
 Aa,Ab,Ac Ba,Bb,Bc
の6通りです。
【3】
6×6=36(通り)
両方偶数は、
3×3=9(通り)

No.2190 - 2008/08/21(Thu) 12:27:08

Re: / *Sana*
有難う御座いました!
No.2205 - 2008/08/21(Thu) 21:51:56
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