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★ (No Subject) / １年　ＫＴ
平面上のある点Ｐ(x,y)をｘ軸について対称な点に移し、さらに３０度回転させたところ、もとの点に一致した。このときのｘとｙはどのような関係か。
自分では、ｘ軸に対称な点は(x,-y)それを３０度回転した座標は(√3/2x+1/2y,1/2x-√3/2y)　まで解きました。

高校の範囲ではないかもしれませんがよろしくお願いします。
No.1196 - 2008/06/20(Fri) 20:30:29
☆ Re: / 七
x＝√3/2x+1/2y,またはy＝1/2x-√3/2y
を簡単にすればいいですね。

念のため tan15°＝2−√3 です。
No.1197 - 2008/06/20(Fri) 21:16:06
☆ Re: / ＫＴ
連日方程式を作ればよかったんですね
ありがとうございます
No.1212 - 2008/06/21(Sat) 12:34:49
☆ Re: / 七
連立ではありませんよ。
どちらの式も
y＝(2−√3)x
になります。
No.1217 - 2008/06/21(Sat) 14:00:49
☆ Re: / ＫＴ
それからtan15ﾟを使うんですよね

度々ありがとうございます
No.1224 - 2008/06/21(Sat) 19:32:26
☆ Re: / 七
使うわけではありません。
y＝(2−√3)x=xtan15°
だから
あってるなと思うだけです。
No.1225 - 2008/06/21(Sat) 20:40:33
☆ Re: / ＫＴ
おかげさまで課題が終わりそうです
どうも本当にありがとうございました
No.1226 - 2008/06/21(Sat) 20:51:25
★ 円の方程式 / 礼花　高２
いつもお世話になります。
点(1,-3)に関して、円x^2+y^2=1と対称な円の方程式を求めよ。

この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。
No.1191 - 2008/06/19(Thu) 23:37:21
☆ Re: 円の方程式 / にょろ
少し解説しやすいように回りくどい方法でいきます。
まず点(1,-3)（以下P）を原点に持って行きます。
つまり、X=x-1,Y=y+3という座標系を作ります。
これで、点PはXY座標の原点にきました。
（x,yに代入してみてください）

x=X+1,y=Y-3なので
円は(X+1)²+(Y-3)²=1になります。
つまり中心は(-1,3)にきます。
これを、原点に対称移動させて

中心(1,-3)半径1の円が求める円です。
つまり、(X-1)²+(Y+3)²=1
これにX=x-1,Y=y+3を代入すれば終了です。

一応二つの円を…
No.1193 - 2008/06/20(Fri) 00:00:45
☆ Re: 円の方程式 / hari
(解法1)
半径は1とわかっているから、あとは中心を求めればいい。
今回は単に基準点を二倍した(2, -6)が中心となります。

(解法2)
x2 + y2 = 1上の点を(X, Y)、対称な円上の点を(x, y)とします。
基準点は中点だから(X, Y)と(x, y)の中点は(1, -3)です。
(X + x)/2 = 1, (Y + y)/2 = -3
をX2 + Y2 = 1に代入してX, Yを消去すれば求まります。
No.1195 - 2008/06/20(Fri) 00:26:23
☆ Re: 円の方程式 / 礼花　高２
お二方の詳しい解説のおかげさまで、理解できました♪
にょろ様、hari様、詳しく解説してくださって本当に本当にありがとうございました。
No.1238 - 2008/06/22(Sun) 18:03:08
★ (No Subject) / テスト間近の高一……
高一の数?Tの不等式の問題です。

?@3≦x≦a
を満たす整数xが3個あるような定数aの値の範囲をもとめよ。
答え　5≦a＜6

?A家から1000?b離れた駅までいくのに,はじめ分速60?bで歩き,途中から分速80?bに速度を増した。出発してから15分以内に駅に着くためには,分速80?bで歩く道のりを何?b以上にすればよいか。

答え　400?b以上

?B花子の父の年齢は現在49歳で,花子の年齢の3倍を上まわる。しかし,1年後には花子の年齢の3倍が父の年齢を上まわるという。花子は現在何歳であるか。

答え　16歳
No.1189 - 2008/06/19(Thu) 23:35:03
☆ Re: / テスト間近の高一……
わからないので教えて下さい。
よろしくお願いします＾＾
No.1190 - 2008/06/19(Thu) 23:35:57
☆ Re: / にょろ
(1)

整数xは3,4,5より
5≦a＜6

(2)
分速60?bで歩く時間をxとおくと
60(m/min)x(min)+80(m/min)y(min)=1000(m)
x+y<15(min)
で出てくるxの範囲
()内は単位（minは分）

（３）

花子の年齢をxとすると


3x<49

3(x+1)>50
(∵一年たてば花子も父親も年齢が一つあがるから)

を解く
これぐらいは自分で
No.1192 - 2008/06/19(Thu) 23:51:35
☆ (No Subject) / ヨッシー
(1)答えの通りです。
整数ｘとしては３，４，５ の３つがこの範囲に含まれる状態に
すればいいことになります。
ｘ≦ａ なので、ａが５より少しでも小さいと、ｘ＝５ が含まれません。
ａ＝５ だと、ｘ＝５ が含まれます。
また、６まで行ってしまうと、ｘ＝６ まで含まれるので、
ａは６よりわずかでも小さい必要があります。

(2)
８０ｍ/分でｘｍ歩き、６０ｍ/分で1000−ｘｍ歩いたとすると、
かかる時間について、
　ｘ/８０＋(1000−ｘ)/６０≦１５
となればいいので、これを解いて　ｘ≧400

(3)
現在の花子の年齢をｘ歳とすると、条件より
　３ｘ＜４９
　３（ｘ＋１）＞５０
これを同時に満たす整数ｘは、１６。
No.1194 - 2008/06/20(Fri) 00:02:46
☆ Re: / テスト間近の高一……
有難う御座いました＾＾
No.1229 - 2008/06/21(Sat) 22:50:59
★ (No Subject) / 空
aは定数でa>0とする。
曲線y=ax(1-x)とx軸で囲まれる部分の面積が
曲線y=x^2で2等分されるとき、
定数aの値を求めよ。


曲線y=ax(1-x)とx軸の､
交点x=0,1
面積a/6
と求めたのですが
その後が分かりません。
よろしくお願いします。
No.1177 - 2008/06/18(Wed) 21:14:28
☆ (No Subject) / ヨッシー
y=ax(1-x) と y=x^2 とで囲まれた部分の面積は、
ｙ＝ax(1-x)-x^2 とｘ軸とで囲まれた部分の面積と等しいです。
　ｙ＝-(a+1)x^2＋ax
より、交点のｘ座標は
　ｘ＝０、a/(a+1)
これとｘ軸とで囲まれた部分の面積は、こちらの公式より
　Ｓ＝(a+1){a/(a+1)}^3/6
これがa/12 になるので、
　a^3/{6(a+1)^2}＝a/12
これを解いて、
　ａ＝１±√2
ａ＞０ より　ａ＝１＋√2
No.1182 - 2008/06/18(Wed) 23:47:14
☆ Re: / 空
分かりました！
ありがとうございます。
No.1188 - 2008/06/19(Thu) 18:39:04
★ 微分 / 高３
f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6axの0≦x≦1における最大値最小値およびxの値を求めよ。

f'(x)=0のときx=1,a

でとまってしまいました。お願いします
No.1174 - 2008/06/18(Wed) 18:29:26
☆ Re: 微分 / ヨッシー
まず、ｘ＝１とｘ＝ａ で極値を持ちます。

ａの１との大小関係によって、上のような場合があります。
(1)ａ≧１のとき
　f(0)が最小、f(1) が最大
(2)０＜ａ＜１のとき
　f(a) が最大、f(0)とf(1) の大きくない方が最小。
(3)ａ≧１のとき
　f(1)が最小、f(0) が最大
となります。
No.1175 - 2008/06/18(Wed) 20:22:06
☆ Re: 微分 / ヨッシー
ａ＝１ のときは、極値とはなりませんが、単調増加なので、
(1)と同様、f(0)が最小、f(1) が最大　です。
No.1176 - 2008/06/18(Wed) 20:23:24
★ 不等式の問題です / いさみ
次の不等式の証明をせよ。またその等式の成り立つのはどのようなときか。
?@　lal-lbl≦la+bl

lal＜１、lbl＜１、lcl＜１のとき、次の不等式を証明せよ。
?@ ab+1>a+b
?A abc+1>a+bc
?B abc+2>a+b+c

です。宜しくお願いいたします。
No.1172 - 2008/06/18(Wed) 15:33:03
☆ Re: 不等式の問題です / ヨッシー
下の方から、
(1)ab+1＞a+b において、
(左辺)−(右辺)＝ab-a-b+1＝(1-a)(1-b)
であり、1-a＞0、1-b＞0 より、
　(左辺)−(右辺)＞０
となり、ab+1＞a+b が成り立ちます。
(2)　|bc|＜1 と(1) の結果より
　a(bc)+1＞a＋bc
(3)
(1) より、bc+1＞b+c も成り立つので、これを、
(2) の結果 abc+1＞a+bc　の両辺に１を足した
　abc+2＞a+bc+1
に適用すると
　abc+2＞a+bc+1＞a+b+c
No.1173 - 2008/06/18(Wed) 16:54:32
☆ Re: 不等式の問題です / いさみ
稚拙な質問で恐縮ですが…
lbl＜１、lcl＜１からlbcl＜1となるのは何故ですか?
絶対値が１以下である二つの数字を掛けて１以上になる事もあると思うのですが。1/2×2/3みたいに。
No.1180 - 2008/06/18(Wed) 22:10:49
☆ Re: 不等式の問題です / ヨッシー
絶対値が１未満である二つの数字を掛けて１以上になる事はありません。
1/2×2/3が1/3であるように。
No.1181 - 2008/06/18(Wed) 23:02:28
☆ Re: 不等式の問題です / いさみ
確かにその通りです。すみません、足し算してました。
申し訳ないです、本当に。
No.1185 - 2008/06/19(Thu) 07:50:33
☆ Re: 不等式の問題です / 七
一つ目
|x＋y|≧0，|x|＋|y|≧0
(|x|＋|y|)^2−|x＋y|^2
＝2(|xy|−xy)≧0
よって
|x＋y|≦|x|＋|y|(等号は|xy|＝xyのとき成り立つ)
x＝a＋b，y＝−b を代入して
|a|≦|a＋b|＋|−b|
|a|≦|a＋b|＋|b|
|a|−|b|≦|a＋b|
等号は|−b(a＋b)|＝−b(a＋b)
|b(a＋b)|＝−b(a＋b) のとき成り立つ。
No.1186 - 2008/06/19(Thu) 10:45:43
☆ Re: 不等式の問題です / 七
等号の成立条件は
b(a＋b)≦0

あるいはもっと詳しく

b＝0
または
a＋b＝0
または
b＞0，a＋b＜0
または
b＜0，a＋b＞0

とした方がいいかもしれません。
No.1187 - 2008/06/19(Thu) 11:18:27
★ ヒント　・　解答の方向 / Jez-z
箱の中に、13枚の白いカードと2枚の赤いカードが入っている。A,B,Cの3人がこの順番で箱から１枚ずつカードを取り出す。ただし、取り出したカードは箱の中に戻さないとする。2枚目の赤いカードを取り出した者を勝ちとするとき、Aの勝つ確率を求めよ。

（自分の方針）・・・ここでは計算は省略します。

Aが勝つパターンは以下の４通り
（1）４回目で決着がつく
（2）７回目で決着がつく
（3）10回目で決着がつく
（4）13回目で決着がつく。

はじめの２つの場合の計算はまだマシなのですが、後半２つの場合は計算がやたら煩雑になり、一度頭を冷やして考え直そうか（根性で行くのをやめて）と考えてみましたがほかによさそうな方法が見当たりません。

ご指導の程、よろしくお願いします。
No.1164 - 2008/06/17(Tue) 22:44:22
☆ Re: ヒント　・　解答の方向 / らすかる
4回目で決着 → 3回目までで赤が1枚で4回目が赤 → (13C2×2C1)/15C3・(1/12)
7回目で決着 → 6回目までで赤が1枚で7回目が赤 → (13C5×2C1)/15C6・(1/9)
10回目で決着 → 9回目までで赤が1枚で10回目が赤 → (13C8×2C1)/15C9・(1/6)
13回目で決着 → 12回目までで赤が1枚で13回目が赤 → (13C11×2C1)/15C12・(1/3)
地道に計算して合計すると 2/7

と計算できますね。
No.1166 - 2008/06/17(Tue) 23:38:35
☆ Re: ヒント　・　解答の方向 / Jez-z
C（コンビネーション）ってこの問題で使えますか？自分は「ただし、取り出したカードは箱の中に戻さないとする。」という条件から
例えば4回目で決着の場合

（2/15）×（13/14）×（12/13）×（1/12)

のように計算してしまったのですが・・・　（以下の場合同様）これって間違っていますか？もしくは、間違ってはいないけど、すごく遠回りな計算の仕方ってやつですか？（←表現未熟ですいません；）

回答よろしくお願いします。
No.1169 - 2008/06/17(Tue) 23:59:27
☆ Re: ヒント　・　解答の方向 / らすかる
間違っていませんよ。
そのように計算しても、同じ答えになります。
具体的に書いてみるとわかりますが、例えば13回目で決着の場合
「1個目の赤が1回目」「1個目の赤が2回目」… のどれでも
分子の順番が変わるだけで同じ答えになります。
また項数が非常に多くなっても、分母と分子に同じものがあって
ごっそり消えますので、地道に計算しても（書くのは大変ですが）
出来ますね。

上のCを使う式は、例えば7回目で決着の場合、
「6個同時に取り出してその中に赤が1個だけ含まれ、かつ
あと一つ取り出したものが赤」と考えています。
6個を1個ずつ取り出してもまとめて取り出しても、赤が1個含まれる
確率は同じですね。
No.1170 - 2008/06/18(Wed) 04:44:33
☆ Re: ヒント　・　解答の方向 / Jez-z
らすかるさんの言っていること、8割がた理解できました。ただ次の箇所で質問があります。

>>「例えば13回目で決着の場合「1個目の赤が1回目」「1個目の赤が2回目」… のどれでも分子の順番が変わるだけで同じ答えになります。


確かに、上のどの場合でも「分子の順番」が変わるだけで確率としては同じになりました。このあとの作業なのですが、
13回目で決着の場合「1個目の赤が1回目」「1個目の赤が2回目」… 「1個目の赤が12回目」までの確率を足してやればいいんですよね？（これらは同時におこらない、つまり排反であるから）
一応、自分の思考があっているか確認したいので、面倒なのは重々承知の上で敢えてお願い申し上げますが、13回目で決着の場合の計算式を教えていただけませんか？


それともう1点、（これは基本的です）
>>6個を1個ずつ取り出してもまとめて取り出しても、赤が1個含まれる確率は同じ

というのは、組み合わせの定義から言えますか？ただここでは確率なのでどう証明すればよいのか考えてしまいました？（これって考えすぎですかね？）よく、場合の数と確率は似て非なるものなので、やや疑心暗鬼的なものの見方で考えてしまっているみたいです。（つまり、確率は「すべて異なるものとみなす」ところに焦点があるので、場合の数の単元で学んだ組み合わせの定義を確率のときも同様に単純に考えてよいのかと悩みました。）

※長文（稚拙な文で本当申し訳ないです）ですいません
。回答お願いします。
No.1183 - 2008/06/19(Thu) 00:30:10
☆ Re: ヒント　・　解答の方向 / らすかる
＞13回目で決着の場合の計算式

1回目が赤で13回目で決着
(2/15)×(13/14)×(12/13)×(11/12)×(10/11)×(9/10)×(8/9)×(7/8)
×(6/7)×(5/6)×(4/5)×(3/4)×(1/3)
=(13・12・11・…・3・2)/(15・14・13・…・4・3)
=2/(15・14)
=1/105

2回目が赤で13回目で決着
(13/15)×(2/14)×(12/13)×(11/12)×(10/11)×(9/10)×(8/9)×(7/8)
×(6/7)×(5/6)×(4/5)×(3/4)×(1/3)
=(13・12・11・…・3・2)/(15・14・13・…・4・3)
=1/105

3回目が赤で13回目で決着
(13/15)×(12/14)×(2/13)×(11/12)×(10/11)×(9/10)×(8/9)×(7/8)
×(6/7)×(5/6)×(4/5)×(3/4)×(1/3)
=(13・12・11・…・3・2)/(15・14・13・…・4・3)
=1/105

以下略。全部で12個あるので、13回目で決着する確率は全部で (1/105)×12=4/35


＞>>6個を1個ずつ取り出してもまとめて取り出しても、赤が1個含まれる確率は同じ
＞というのは、組み合わせの定義から言えますか？

組合せの定義というよりは、あたりまえのことです。
つまりどちらの操作も、「15個から取り出す6個をランダム選ぶ」ことと変わりません。


＞これって考えすぎですかね？

考えすぎです。このように考え方を置き換えると簡単になる問題は多いので、
慣れた方が良いと思います。
No.1184 - 2008/06/19(Thu) 00:56:14
★ 集合・論理 / kai
a,bを実数とするとき、演算※をa※b=a+b-abと定義する。このとき、※の可換性、結合性は成り立つか。

なるべく詳しい解答よろしくお願いします。
No.1163 - 2008/06/17(Tue) 22:05:21
☆ Re: 集合・論理 / rtz
a※bとb※a
a※(b※c)と(a※b)※c
比較してやればよいのでは。
No.1168 - 2008/06/17(Tue) 23:47:12
★ 数 / みなみ
４点Ａ（−２，２）、Ｂ（２，４）、Ｃ（０，−２）、Ｄ（４,０）
を頂点とする四角形は平行四辺形であることを示せ。

わからないので解答おねがいします！！
No.1162 - 2008/06/17(Tue) 21:56:21
☆ Re: 数 / rtz
学年が分からないので適切かどうか分かりませんが…。

平行四辺形の性質を思い出しましょう。
「隣り合わない辺同士が平行」
「隣り合わない辺同士の長さが等しい」など。

今回なら「AB//CDとAC//BD」「AB＝CDとAC＝BD」などが言えればいいでしょう。
No.1165 - 2008/06/17(Tue) 23:38:16
★ 数Aの確率について / 高１
チャート式青の基本例題37で
aが3個bが2個cが1個を一列に並べるとき、両端が子音となる確率を求めなさい。という問題があって
解答に3個のaと2個のbをa1,a2,a3,b1,b2の様に区別して考えた方が確率の本来の意味から考えるとよい。と書いてあったのですが、模試などの記述式で上記の様な問題が出た場合、赤・白と区別しないで下記の様に求めてもよいのでしょうか？ (3!/2!)*(4!/3!)/(6!/3!*2!)です。チャート式にも同じ文字でも区別して考える方がよい。とされているので、やはり時間的にも区別するほうがよいのでしょうか？
↓のテストはアク禁になっていたので書き込めるかどうか不安だったのでテストさせて頂きました。削除していただいてもかまいません。
No.1161 - 2008/06/17(Tue) 21:21:00
☆ Re: 数Aの確率について / rtz
「赤・白」が何を意味しているのか分かりませんが、
ちゃんと式の意味を説明できるならどちらでも構いませんよ。

それと質問とは関係ないことですが、
↑の状態だと非常に読みづらいので、
適宜改行していただいた方がいいかと思います。
No.1167 - 2008/06/17(Tue) 23:44:38
☆ Re: 数Aの確率について / 高１
ありがとうございます。
赤と白ではなくaとbの間違いでした。
No.1171 - 2008/06/18(Wed) 08:27:29
★ 円に内接する四角形 / ショパン
円に内接する四角形の内対角の和が180°になる定理につ
いての質問です。
四角形が円の中心より上にある場合、若しくは四角形の辺
が直径上にある場合が解りません。
よろしくお願いします。
No.1154 - 2008/06/17(Tue) 02:22:20
☆ Re: 円に内接する四角形 / らすかる
頂点を一つ移動して四角形が円の中心を含むようにすれば、
移動した角は円周角の定理により不変、対角は移動していないので
不変ですから、和は同じままですね。
No.1155 - 2008/06/17(Tue) 03:01:09
☆ Re: 円に内接する四角形 / ヨッシー
私はむしろ、中心が四角形に含まれる場合、どのように
理解されたか気になります。
だって、

円周角は、その位置にあっても一定で、中心角の半分ですよね？
これを使えば中心の位置は関係ないと思うのですが。

それとも、円周角が鈍角の場合が分からないということでしょうか？
No.1157 - 2008/06/17(Tue) 09:17:18
★ 別解 / ツバメ
a,bはともに実数で、a>2 ,b>2を満たすものとする。
このときa^2・b^2＞4(a+b)を示せ。

私はこの問題は、まずbを固定してaの関数とし、そのあとbの固定をはずすという考え方で解きました。

他にもっといい方法はないでしょうか。
No.1144 - 2008/06/17(Tue) 00:11:07
☆ Re: 別解 / ツバメ
書くのを忘れておりましたが、私の解答は
a^2・b^2-4(a+b)を作ってからやりました。
No.1145 - 2008/06/17(Tue) 00:13:29
☆ Re: 別解 / だるまにおん
コブクロさんとツバメさんは同一人物ですか？

a＞2,b＞2よりab＞4　…(♂)
ab＞2max{a,b}≧a+b　…(♀)
(♂),(♀)を辺々かけてa2b2＞4(a+b)
No.1151 - 2008/06/17(Tue) 02:01:51
☆ Re: 別解 / らすかる
だるまにおんさんの解答とほとんど同じですが…
a＞2, b＞2 から a-1＞1, b-1＞1 なので (a-1)(b-1)＞1
展開して整理すると ab＞a+b … (1)
a＞2, b＞2 から ab＞4 … (2)
(1)(2)を辺々掛けて a^2b^2＞4(a+b)
No.1153 - 2008/06/17(Tue) 02:12:40
☆ Re: 別解 / ツバメ
ありがとうございました
No.1179 - 2008/06/18(Wed) 22:02:19
★ お礼です。 / 梅雨だったゆういちろうです。
こんばんは、この間ここが数学サイトだと知っていながら
社会を聞いてものすごい速さで教えてもらいましたゆういちろうです。あれから、「金印」を調べノート提出したら
ずっと後ろにはってもらって、今日戻ってきました。
僕は感想の最後に「偽者が出回ったらしい。と書いて先生のももちろんにせものですよね」って書いていたので、今日返してもらったら。ＶＥＲＲＹ　ＧＯＯＤの横に、金印が今度
２つも教えてくれて。「よく調べたね、だれも調べようと
しなかったこと、先生も嬉しいよ、だけど偽物より
せめて複製品といってくれないか」よ笑っている判も
押してくれていました。先週は。ノートがなかったので
他の研究は、パソコン用紙にして、返してもらうのを
楽しみにしていました。なんて書いてくれるかなあって
思っていたら。面白かったです。又後ろにはってもらえる
ようにがんばります。ヨッシー先生。七先生ありがとうございました。「漢委奴国王」（かんのわのなのこくおう）は
思い出になりました。一生忘れないと思います。
自慢の一週間をおくれました。嬉しかったです。
No.1141 - 2008/06/16(Mon) 22:32:28
☆ Re: お礼です。 / ヨッシー
こういう、プラスになることで、忘れないことが出来るのって、良いですね。

私などは、先生に恥をかかされたとか、先生がぼんくらで困ったとか
いうのばかり覚えてますね。
No.1156 - 2008/06/17(Tue) 09:11:24
★ できるだけ早めにお願いしたいのですが / GURURU
aがa>1を満たすとき、xについての不等式(x-a-1)(x-2a)≦0　…?@がある。
（１）不等式?@を解け。
（２）f(x)=-x^2+4xとする。xが（１）の範囲の値をとる時、f(x)の最小値を求めよ。

明日までには答えが知りたいのですがお願いできますか？
よろしくお願いします。
No.1139 - 2008/06/16(Mon) 21:57:39
☆ Re: できるだけ早めにお願いしたいのですが / 魑魅魍魎
(1)
a>1より
a+1≦x≦2a

(2)
2<a+1≦x≦2a
より
f(x)の最小値はx=2aのときなので
f(2a)=-4a^2+8a
No.1143 - 2008/06/16(Mon) 23:55:36
☆ Re: できるだけ早めにお願いしたいのですが / GURURU
ありがとうございます。
よく理解することができました。
No.1178 - 2008/06/18(Wed) 21:28:21
★ ３次方程式 / 礼花　高２
続けての投稿ですみません。

aを実数とする。整式P(x)=x^3+(2a+5)x^2+(2a+13)x+9がある。
(1)P(x)をx+1で割ったときの余りを求めよ。
(2)３次方程式P(x)=0が１つの実数解と２つの虚数解をもつとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。
(3)(2)のとき、虚数解をα=p+qi,β=p-qi(p・qは実数、q＞０、iは虚数単位)とする。q^2の最大値とそのときのaの値を求めよ。

(1)は解けたのですが、(2)(3)がどうしても、どうやって解いたらいいのか分かりません。２問も申し訳ありませんが、よろしくおねがいします。
No.1137 - 2008/06/16(Mon) 21:24:46
☆ Re: ３次方程式 / 魑魅魍魎
ヒントです。
(2)
P(x)=(x+1)(x^2+2(a+2)x+9)
なので
P(x)=0は
実数解x=-1を持つので
x^2+2(a+2)x+9=0
が2つの虚数解を持つことになります。なので判別式D＜0となれば２つの虚数解を持ちます。
No.1140 - 2008/06/16(Mon) 22:29:11
☆ Re: ３次方程式 / 礼花　高２
遅れてしまい、すみませんでした。

(2)はまずP(x)=x^3+(2a+5)x^2+(2a+13)x+9をx+1で割って、x^2+2(a+2)x+9)という商を出してから計算するんですね…。
-5＜a＜1という答えが出ましたし、(3)も何とか解くことが出来ました♪
魑魅魍魎さま、２問もありがとうございました。
No.1241 - 2008/06/22(Sun) 18:14:17
★ (No Subject) / 礼花　高２
こんばんは。いつもお世話になります。

AB=3,AC=5,cos∠BAC=1/3を満たす△ABCを底面とし、頂点をPとする四面体PABCが半径3の球面に内接している。
(1)辺BCの長さを求めよ。また、△ABCの外接円の半径を求めよ。
(2)点Pが球面上を動き、辺APの長さが最大となるとき、辺BPの長さを求めよ。
(3)点Pが球面上を動くとき、四面体PABCの体積の最大値を求めよ。

この問題の(2)(3)の解き方が全く分かりません。解説をよろしくお願い致します。
No.1136 - 2008/06/16(Mon) 21:13:55
☆ Re: / 魑魅魍魎
(2)
APの長さが最大になるときは半径3の球の中心を通るときなので
AP=6
また球の中心をQとすれば
AQ=BQ=AB=3より△ABQは正三角形となります。
よって∠QAB=60°
余弦定理よりBDが求まります。

(3)
Qを通り△ABCに垂直に降ろしたときの底面からの高さが最大になります。
Qを通り△ABCに垂直に降ろしたとき交わる点をTとすると
△TAQをみればTAは(1)で求めた外接円の半径であり、AQは球の半径3なので三平方の定理よりTQが求まります。
よって
V=(△ABCの面積×TP)/3

間違っていたらごめんなさい＞＜
No.1142 - 2008/06/16(Mon) 23:25:24
☆ Re: / 礼花　高２
ありがとうございます！
大変申し訳ないのですが、(2)がいまいちよく分かりません。
教えてもらう立場ですみませんが、もう少し教えて頂けないでしょうか？よろしくお願いします。
No.1147 - 2008/06/17(Tue) 00:44:14
☆ Re: / 魑魅魍魎
半径3の球の中心をQとします。
AとQを結ぶ直線が　球と交わる点をPで
そのときがAPの長さが最大となり、AP＝AQ+QP=3+3=6

また、AQ=BQ=AB=3より
AQ=BQ=AB=3より△ABQは正三角形となります。
よって∠QAB=60°

△ABPに余弦定理を用います
BP^2＝AB^2+AP^2−2AB×AP×cos60°

--------------------------------
最初に書いた説明で
『余弦定理よりBDが求まります。』
と書きましたが
『余弦定理よりBPが求まります。』
でした。
No.1152 - 2008/06/17(Tue) 02:12:27
☆ Re: / 礼花　高２
返信が遅くなってしまい、すみません。

(2)はBP=3√3，(3)15√2/2と、何とか答えが出ました。
魑魅魍魎さま、分かりやすく解説してくださって、本当にありがとうございました。本当に助かりました!!
No.1239 - 2008/06/22(Sun) 18:09:06
★ (No Subject) / 空
関数y=f(x)のグラフは座標平面で原点に関して
点対称である。
更にこのグラフのx≦0の部分は軸がy軸に平行で、
点(-1/2,1/4)を頂点とし、原点を通る放物線と一致している。
このときx=-1におけるこの関数のグラフの接線と
この関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

よろしくお願いします。
No.1135 - 2008/06/16(Mon) 20:38:44
☆ (No Subject) / ヨッシー

図のように、f(x) は
f(x)＝−ｘ2−ｘ　(ｘ≦0)
　　＝ｘ2−ｘ　　(ｘ＞0)
と表せます。
ｙ＝−ｘ2−ｘ を微分して、
　ｙ’＝−２ｘ−１
ｘ＝−１ における接線の傾きは、ｙ’＝１ より、
接線の式は、　ｙ＝ｘ＋１
これと、ｙ＝ｘ2−ｘ とのｘ＞０における交点は
　ｘ2−ｘ＝ｘ＋１
より、ｘ＝1+√2
よって、求める面積は、
　∫-1〜0{ｘ＋１−(−ｘ2−ｘ)}dx＋∫0〜1+√2{ｘ＋１−(ｘ2−ｘ)}dx
で求められます。
No.1150 - 2008/06/17(Tue) 00:58:01
☆ Re: / 空
解けました。
ありがとうございます！
No.1159 - 2008/06/17(Tue) 20:16:58
★ (No Subject) / ミホ
arccosX/√（１+x＾２）+arctanX=π/２または-π/２
早い解答お願いします。
No.1126 - 2008/06/16(Mon) 09:47:39
☆ Re: / 雀
自信ないですが、
arccosx/√(1+x2)＝α
arctanx＝β
とおくと
x/√(1+x2)=cosα
x=tanβ
この二式から
cosα＝sinβ

sin(π/2-α)=sinβ
より
π/2-α＝β　→α+β=π/2
つまり
arccosx/√(1+x2)+arctanx＝π/2

-π/2にはならなかったのですが。
No.1130 - 2008/06/16(Mon) 17:33:59
☆ Re: / X
別解1)(かなり煩雑です)
arccos{x/√(1+x^2)}+arctanx=θ
と置くと加法定理により
sinθ={sin[arccos{x/√(1+x^2)}]}cos(arctanx)
+{x/√(1+x^2)}sin(arctanx) (A)
ここで
0≦arccos{x/√(1+x^2)}≦π (C)
ですので
sin[arccos{x/√(1+x^2)}]=√{1-{x/√(1+x^2)}^2}
=1/√(1+x^2) (B)
又
-π/2より
cos(arctanx)>0
∴cos(arctanx)=1/√(1+x^2) (D)
更に(C)'より
x≧0のとき
sin(arctanx)=1/√(1+1/x^2) (E)
x<0のとき
sin(arctanx)=-1/√(1+1/x^2) (F)
ですが(E)(F)いずれの場合も
sin(arctanx)=x/√(1+x^2) (F)'
(B)(D)(F)'から(A)は
sinθ=1/(1+x^2)+(x^2)/(1+x^2)=1
(C)(C)'から
-π/2<θ<3π/2
ですので
θ=π/2
となります。

別解2)
f(x)=arccos{x/√(1+x^2)}+arctanx
と置くと
f'(x)=0 (自分で確かめてみて下さい)
ですので
f(x)=C
(Cは実数の定数)
ここで
f(0)=π/2
ですので
C=π/2
よって
f(x)=π/2
となります。

いずれの場合も
arccos{x/√(1+x^2)}+arctanx=-π/2
とはならないようです。
No.1134 - 2008/06/16(Mon) 20:12:52
☆ Re: / ミホ
解答ありがとうございます。
自分の答えもarccos{x/√(1+x^2)}+arctanx=-π/2
になりませんでした。
みなさんのおかげでなんとか今日課題の発表ができます。
ありがとうございました。
No.1158 - 2008/06/17(Tue) 11:01:18
★ 複素 / 複素

コーシーの積分定理を用いて次の積分を計算せよ。

(a)
∫[-∞,+∞]e^-(x^2) dx

(b)
∫[0,+∞](sinx)/x dx


この問題がわかりません。よろしくお願いします。
No.1125 - 2008/06/16(Mon) 09:21:09
★ (No Subject) / コブクロ
ｙ＝｜x^3 -ax｜について
0≦ｘ≦1のときの最大値の最小値を求めよ。

解法を教えてください。
No.1120 - 2008/06/15(Sun) 22:24:50
☆ Re: / にょろ

最小値は明らか
最大値は以下の場合の何れか
x=1
yが極値をとるとき

あとは、aの範囲を探してあげるだけ
No.1121 - 2008/06/15(Sun) 23:01:24
☆ Re: / にょろ
問題読み間違えました。
上の後
最大値をaの関数としてだして
最小値を求めてあげてください。
たぶん０．７〜０．８くらいかなと
No.1122 - 2008/06/15(Sun) 23:03:45
☆ Re: / ツバメ
ありがとうございました。
No.1146 - 2008/06/17(Tue) 00:14:46
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