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★ (No Subject) / sukiyaki
この微分方程式の解き方を教えてください
　
答えは x(t)=2e^(-4t)×(1+4t)です
No.79333 - 2021/11/10(Wed) 16:26:06
☆ Re: / X
問題の微分方程式は2階の斉次の線形微分方程式
であり、特性方程式は
u^2+8u+16=0
∴u=-4(重解)
よって一般解は
x(t)=(αt+β)e^(-4t)
(α、βは任意定数)
注)
初期条件がありませんので、答えが
＞＞ x(t)=2e^(-4t)×(1+4t)
ということにはなりません。
No.79334 - 2021/11/10(Wed) 16:58:33
☆ Re: / sukiyaki
すいません。初期条件を記載することを忘れていました。
初期条件
x(t=0)=2 dx/dt (t=0)=0
となります。
No.79340 - 2021/11/11(Thu) 01:29:17
☆ Re: / GandB
　一般解が
　　x(t) = (αt+β)e^(-4t).
で、初期条件が
　　x(0) = 2,　x'(0) = 0
なのだから
　　x'(t) = e^(-4t)(α-4αt) - 4βe^(-4t).
　　x(0) = β = 2.
　　x'(0) = α - 4β = 0. α = 8.
　　∴x(t) = (8t+2)e^(-4t) = 2e^(-4t)(4t+1).
No.79341 - 2021/11/11(Thu) 02:55:20
★ 漸化式 / スティーブン・モヤ
この漸化式ってどのように解けば良いでしょうか？
No.79331 - 2021/11/10(Wed) 13:54:43
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
解く、とはどういうことでしょう？
一般項を求める問題なのですか？
No.79332 - 2021/11/10(Wed) 14:32:04
☆ Re: 漸化式 / 関数電卓
例えば こちら をご覧下さい。
数列の各項 x[n] は全て有理数なのに，その極限 x[∞] は無理数 √2 になる。
素朴に考えると，不思議ですね。
No.79336 - 2021/11/10(Wed) 20:02:35
☆ Re: 漸化式 / 関数電卓
図をご覧下さい。
　x1＝4 から始めても（黒）
　x1＝2/3 から始めても（赤）
y＝x/2＋1/x と y＝x との間をジグザグと渡り歩き，両者の交点 x＝√2 に収束します。
No.79337 - 2021/11/10(Wed) 22:14:55
★ ^ ^ / あま
これわからないので教えてください
No.79329 - 2021/11/10(Wed) 09:08:37
★ 代幾 / キリンさん
大問1、２の３、3の2が分かりません教えて欲しいです
No.79326 - 2021/11/10(Wed) 00:56:07
☆ Re: 代幾 / キリンさん
大問２(3),良ければ３(2)も教えてほしいです
No.79327 - 2021/11/10(Wed) 05:00:55
★ (No Subject) / 最大値
x>0のとき、x/(6x^2+5x+2)の最大値を求めよ。
解説よろしくお願いします
No.79323 - 2021/11/09(Tue) 23:33:03
☆ Re: / 関数電卓
　x/(6x^2＋5x＋2)＝1/(6x＋5＋2/x)
右辺の分母を最小にする x を考えてみて下さい。
No.79324 - 2021/11/10(Wed) 00:04:42
★ (No Subject) / 数学初心者
何度もすみません。
答案に説明不足な点があり、∴を使って進めた点は改善します。
自分としては?@のもとで?A，?Bが同値な条件に変形して、最終的に得たそれぞれのaの不等式に?@が含まれるので?@⇒?A、?@⇒?Bが成り立つという論法を取りましたが、これは論理的に正しいのでしょうか？この論法自体まずいとのことでした。
No.79320 - 2021/11/09(Tue) 23:06:18
☆ Re: / 数学初心者
投稿場所を間違えました。
No.79321 - 2021/11/09(Tue) 23:06:56
★ 論理、答案の書き方に関して / 数学初心者
１≦a<2?@のとき、a-1<(2a)/(2+a)?Aと-2+２√(1+a)<a?Bを示せ。という問題の答案に関して画像のように書いたら、「結論を変形したから×。?A，?Bを変形した部分を見た瞬間に×を付けた。あくまでも?@から?Aや?Bを導かなければならない」との評価を受けました。皆様のご意見をお聞かせください。
No.79309 - 2021/11/09(Tue) 22:03:35
☆ Re: 論理、答案の書き方に関して / 数学初心者
?A、?Bをではなく、⇔で結べというのならまだ納得しますが、論法自体が駄目というのが納得いきません。
No.79310 - 2021/11/09(Tue) 22:05:23
☆ Re: 論理、答案の書き方に関して / 数学初心者
（訂正）?A、?Bを∴ではなく、⇔で結べというのならまだ納得しますが、論法自体が駄目というのが納得いきません。
No.79311 - 2021/11/09(Tue) 22:06:19
☆ Re: 論理、答案の書き方に関して / IT
まず、?@⇒?Aは、私も×をつけます。

?@⇒?A　の次の行の
　?A∴(a-1)(2+a)<2a (∵?@) とは、日本語で書くとどういうことになりますか？
No.79312 - 2021/11/09(Tue) 22:30:32
☆ Re: 論理、答案の書き方に関して / 数学初心者
?@のもとでは2+a>0であるから?A⇔(a-1)(2+a)<2aです。
No.79314 - 2021/11/09(Tue) 22:32:46
☆ Re: 論理、答案の書き方に関して / IT
私の理解では、「A ∴　B」　は、
「A ゆえに　B」とか「Aなので、したがって　B」を表すと思います。


?A　⇔　(a-1)(2+a)<2a (∵?@)
などと書き換えても説明不足と思います。
No.79315 - 2021/11/09(Tue) 22:39:53
☆ Re: 論理、答案の書き方に関して / 数学初心者
そうですね、⇔を多用するのが何となく嫌でそれの代用としておりました。そこは非常にまずかったと反省していますが、∴を⇔に変えても駄目でしょうか？
⇔に変えても駄目だといわれました。
No.79316 - 2021/11/09(Tue) 22:44:47
☆ Re: 論理、答案の書き方に関して / 数学初心者
?A　⇔　(a-1)(2+a)<2a (∵2+a>0)以下∴を⇔に変えてもだめでしょうか？
最終的に?@が-1<a<2に含まれるということから論証完了であるとやり取りの中で説明したところ-1<a<2から逆にさかのぼる形で?Aへと至り、?@⇒?Aが成り立つとせよと言われました。
No.79317 - 2021/11/09(Tue) 22:51:28
☆ Re: 論理、答案の書き方に関して / IT
?A　⇔　(a-1)(2+a)<2a (∵?@)
などと書き換えても説明不足と思います。

また、最後の「?@より?Aは成立」もなぜそう言えるのか言ってないのでダメですね。
No.79318 - 2021/11/09(Tue) 22:52:59
☆ Re: 論理、答案の書き方に関して / IT
私は、結論側を同値変形してターゲットを分かり易くする。というのは、ありだとは思います。
そうした場合、書き直せば、先生の求める正解の書き方になると思いますが、そのままでも良いと思います。

しかし、まずは、先生の指導に従って練習された方が良いと思います。
No.79319 - 2021/11/09(Tue) 22:58:07
☆ Re: 論理、答案の書き方に関して / 数学初心者
何度もすみません。
答案に説明不足な点があり、∴を使って進めた点は改善します。
自分としては?@のもとで?A，?Bが同値な条件に変形して、最終的に得たそれぞれのaの不等式に?@が含まれるので?@⇒?A、?@⇒?Bが成り立つという論法を取りましたが、これは論理的に正しいのでしょうか？この論法自体まずいとのことでした。
No.79322 - 2021/11/09(Tue) 23:09:21
☆ Re: 論理、答案の書き方に関して / 黄桃
私の考えです。X(a),Y(a),Z(a)をaに関する条件とします。

問題は
X(a)⇒Y(a)
を証明せよ、ということです。
解答は、
(*) (X(a)∧Y(a))⇒Z(a)
を示しています。もう少し説明すれば、Z(a)は
(**) X(a)⇒Z(a)
であるようなaに関する条件です。

この解答では
1.(*)を示しているだけで(**)の明示的な説明がない
2.(*)と(**)から X(a)⇒Y(a) であることは導けますがその説明がない
の2点により、ダメです。
No.79328 - 2021/11/10(Wed) 08:02:47
☆ Re: 論理、答案の書き方に関して / 黄桃
失礼、79328で(*)は X(a)⇒(Y(a)⇔Z(a))の誤りです。

＃これを説明するくらいなら下から上に書く方が簡単ですね。
No.79330 - 2021/11/10(Wed) 09:21:10
☆ Re: 論理、答案の書き方に関して / 数学初心者
ありがとうございます、考え直します
No.79335 - 2021/11/10(Wed) 19:21:13
★ 複素解析 / C3PO
とっかかりがわかりません。ヒントで良いのでどなたか教えていただけると助かります。
No.79305 - 2021/11/09(Tue) 18:29:25
☆ Re: 複素解析 / C3PO
すみません、自己解決しました
No.79307 - 2021/11/09(Tue) 19:32:17
★ 大学数学 / 永野号
問1 [0, 1] で定義された関数 f (x) について, 区間を n 等分して得られるリー マン和
?馬 1f(k/n)
n
k=1 について次の場合について lim ?馬 1 f(k/n) を求めよ.
n→∞ k=1 n (1) f(x) = x (2) f(x) = x2
注 (1),(2) を計算することにより ∫ 1 xdx, ∫ 1 x2dx の値がわかる. 00
問2 f(x) は [a,b] で連続, φ : (α,β) → [a,b] は微分可能とする. すると
d ∫ φ(x)
f(t)dt = f(φ(x))φ′(x) が成り立つことを証明してください.
No.79304 - 2021/11/09(Tue) 17:14:45
★ 格子点の問題 / 京大
座標平面において, x 座標, y 座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ.
(1) 座標平面において,一辺の長さが1で各辺が座標軸と平行な正方形の周または内部には少なくとも1つの格子点が存在することを示せ.
(2) a は負でない実数とする. 不等式(x-a)^2+(y-2a)^2≦a^2/2を満たす点(x, y)の存在範囲にどの格子点も含まれないようなaの値の範囲を求めよ.

すみません、京都大学の入試問題らしいんですけど、どこにも解答見当たらなくて、恐縮ですがどなたか模範解答を作成していただけないでしょうか。
No.79303 - 2021/11/09(Tue) 16:23:15
☆ Re: 格子点の問題 / IT
ヒントだけ
(1)一辺の長さが1で各辺が座標軸と平行な正方形の頂点を(b,c),(b+1,c),(b+1,c+1),(b,c+1) とおいて
　この中に入る格子点の座標を具体的に考えれば良いと思います。

(2)円C:(x-a)^2+(y-2a)^2=a^2/2の半径が1/√2以上のとき（すなわちa≧1のとき)、(1)により条件を満たしません。
0≦a＜1 のとき、
　円C（円周と内部）に含まれる可能性がある格子点を絞って考えれば、良いと思います。
　グラフを描いて考えて下さい。

なお、円Cの中心は、直線y=2x 上にあります。
No.79306 - 2021/11/09(Tue) 18:56:14
☆ Re: 格子点の問題 / 関数電卓
余計なお世話ですが，ご参考まで…
No.79308 - 2021/11/09(Tue) 21:05:22
★ (No Subject) / 名無し
こちらの問題について、質問です。私はこの問題のインフルエンザとウについて、A組をx人と置いたときにB組はx-3人、x+3人の可能性があると考え、イに関して場合分けしましたがx-3のときは5x≦235、6x≧260となり、x+3の場合は5x≦205、6x≧224となりました。色々間違えているかもしれませんがご教授お願いします
No.79292 - 2021/11/09(Tue) 00:39:01
☆ Re: / ヨッシー
数学苦手じゃなくなったんですね。(２回目)

ところで、インフルエンザって何ですか？
No.79294 - 2021/11/09(Tue) 00:45:43
☆ Re: / ヨッシー
インフルエンザ以外は、何も間違っていませんよ。
No.79295 - 2021/11/09(Tue) 00:54:21
☆ Re: / 数学苦手
あ、間違えました笑 すみません。数学苦手は入れ忘れましたね
No.79296 - 2021/11/09(Tue) 01:02:08
☆ Re: / 数学苦手
ここから、xの値を揃えるように30xにするようにすればいいですかね…？
No.79297 - 2021/11/09(Tue) 01:03:36
☆ Re: / 数学苦手
最初のインフルエンザはイだけを打つ予定が予測変換でインフルエンザを打ちました(--;)

x-3のときは30x≦1410、30x≧1300。よって、1300≦30x≦1400
そして、選択肢1の最も小さい数値75から-3で72を代入するとになり、一致しないためにx-3は間違い…

と考えましたがこれだとx+3の方が数値が小さいのでおかしくなりますね、、
No.79299 - 2021/11/09(Tue) 01:24:32
☆ Re: / ヨッシー
問題文をよく読んで、何を問われているのか、確認しましょう。

あと、アは考慮しないのですか？
No.79300 - 2021/11/09(Tue) 06:55:51
☆ Re: / 数学苦手
あ、そうですね！Aについて考えてみます
No.79301 - 2021/11/09(Tue) 11:02:45
☆ Re: / 数学苦手
xはAとBの合計だから、そのまま選択肢を代入したらダメでした！すみません。
No.79302 - 2021/11/09(Tue) 11:03:49
☆ Re: / 数学苦手
一応、xに数値を入れて、試行したら解けました。ちょっと計算にかなり時間が掛かるので、A、Bと文字分けした方が良さそうですが…
Aに関しては1500≦42x≦1603で、xの範囲は36~38まで。
Bに関してはパターン?@が1300≦30x≦1380で、xの範囲が43~45まで。
パターン?Aが1120≦30x≦1230となり、xの範囲が38~44となりました。
これより、Aは固定で決まりで、Bについて判断します。
条件ウより、(+or-)3の差があるので、AとBのパターン?@だとBは43、44、45とAは36、37、38より3の差はないので、間違い。書く順序が逆ですがすみません。
よって、AとBのパターン?Aで決まり、候補として、ABの順で(36、39),(37、40),(38、41)が挙げられました。
ここから、どうすれば良いのか分かりません
No.79313 - 2021/11/09(Tue) 22:31:25
☆ Re: / ヨッシー
>A、Bと文字分けした方が良さそう
は良いアイデアですが、結局両方ｘを使っていて、分けていませんね。
アからＡ組の人数ｘの範囲を36〜38と求めたように、
イからＢ組の人数ｙの範囲を求めてみたらどうですか？
差が３人、を考えるのはその後です。
No.79325 - 2021/11/10(Wed) 00:18:38
★ 数列・確率 / 楪(高3)
「4枚のカードがあって、1から4までの整数がひとつずつ書かれている。このカードをよく混ぜて,1枚引いては数字を記録し,カードをもとに戻す。
この試行をn回(nは自然数)繰り返し,記録した順に数字を並べて得られる数列を,a[1],a[2],…,a[n]とする。
(1)a[1]≦a[2]≦…≦a[n]となる確率を求めよ。
(2)nは2以上の自然数とする。a[1]≦a[2]≦…≦a[n-1]　かつ　a[n-1]>a[n]となる確率を求めよ。」

上の問題は「'07北大理系数学」の第2問の改変版だと思われるのですが、解説を読んでもよくわからなかったので質問させて頂きました。どなたかご教授宜しくお願い致します。
No.79291 - 2021/11/08(Mon) 22:25:25
☆ Re: 数列・確率 / ヨッシー
(1)
ｎ回引いたとき、条件を満たしていて、a[n] が１，２，３，４である確率をそれぞれ
　s[n], t[n], u[n], v[n]
とします。このとき
　s[1]＝t[1]＝u[1]＝v[1]＝1/4
n≧2 のとき
　s[n]＝(1/4)s[n-1]　・・・(i)
　t[n]＝(1/4)(s[n-1]＋t[n-1])　・・・(ii)
　u[n]＝(1/4)(s[n-1]＋t[n-1]＋u[n-1])　・・・(iii)
　v[n]＝(1/4)(s[n-1]＋t[n-1]＋u[n-1]＋v[n-1])　・・・(iv)
(i) より
　s[n]＝(1/4)^n

(ii) に代入して
　t[n]＝(1/4)^n＋(1/4)t[n-1]
両辺 4^n 掛けて
　(4^n)t[n]＝1＋(4^(n-1))t[n-1]
b[n]＝(4^n)t[n] とおくと
　b[n]−b[n-1]＝1　・・・等差数列
b[1]＝1 より　b[n]＝ｎ
よって、
　t[n]＝n/4^n

(iii) に代入して
　u[n]＝(1/4)^n＋(n-1)(1/4)^n＋(1/4)u[n-1]
　u[n]＝n(1/4)^n＋(1/4)u[n-1]
両辺 4^n 掛けて
　(4^n)u[n]＝n＋(4^(n-1))u[n-1]
c[n]＝(4^n)u[n]　とおくと
　c[n]−c[n-1]＝ｎ　　・・・階差数列
c[1]＝１　より　c[n]＝n(n+1)/2
よって、
　u[n]＝n(n+1)/(2・4^n)

(iv) に代入して
　v[n]＝(1/4)^n＋(n-1)/4^n＋n(n-1)/(2・4^n)＋(1/4)v[n-1])
　v[n]＝n(n+1)/(2・4^n)＋(1/4)v[n-1])
両辺 4^n 掛けて
　(4^n)v[n]＝n(n+1)/2＋(4^(n-1))v[n-1]
d[n]＝(4^n)v[n] とおくと、
　d[n]−d[n-1]＝n(n+1)/2　　・・・階差数列
d[1]＝１　より　d[n]＝n(n+1)(n+2)/6
よって、
　v[n]＝n(n+1)(n+2)/(6・4^n)　　

s[n]＋t[n]＋u[n]＋v[n]＝(n+1)(n+2)(n+3)/(6・4^n)　・・・・(1) の答え

(2)
n-1回目の目が、
　２であり、ｎ回目に１が出る
　３であり、ｎ回目に１か２が出る
　４であり、ｎ回目に１か２か３が出る
であるので、
　(1/4)t[n-1]＋(1/2)u[n-1]＋(3/4)v[n-1]＝(n-1)(n+1)(n+2)/(2・4^n)　・・・(2) の答え
No.79293 - 2021/11/09(Tue) 00:42:21
☆ Re: 数列・確率 / m
ヨッシーさんがすでに解答されてますが，別解をどうぞ．


(1)
全事象は 4^n 通りですね．
あとは条件(*) a[1]≦a[2]≦…≦a[n] を満たすような場合の数を求めればいいです．

n=10 について．例で説明します．記録された数字が

1 1 1 2 3 3 4 4 4 4

だったとします．これは条件(*) を満たします．
視点を変えて，数字が増えるところに注目します．
数字が増えるところに矢印をかくことにすると：

?@?@?@↑?A↑?B?B↑?C?C?C?C

丸の中にある数字を忘れて
○○○↑○↑○○↑○○○○
だけでも意味は分かりますね．

逆に，記号の列
○○○↑○↑↑○○○○○○
が与えられれば数列
1 1 1 2 4 4 4 4 4 4
が復元できます．もう一つ
○○○↑○○○○○○○↑↑
は
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
です．

ここまでくれば条件 (*) を満たす数列と
○ 10個 と↑ 3個
の記号の並び替えが一対一に対応していることがわかるでしょう．
その組み合わせは 13 個のうち矢印がどこにあるかを決めればいいので
13 C 3
です．

一般の n についても同様に (n+3) C 3 通りになります．


(2)は
数列a[1], ..., a[n-1], a[n] のうち
a[1]≦a[2]≦…≦a[n-1] を満たす組み合わせの数から
a[1]≦a[2]≦…≦a[n-1]≦a[n] となる組み合わせの数を引けばいい．
No.79298 - 2021/11/09(Tue) 01:23:14
☆ Re: 数列・確率 / 楪(高3)
お二人とも解答解説ありがとうございますm(__)m
解き方は理解できたので、どうにかして自分で解法が見つけられるように修行を積んでまいります…
No.79342 - 2021/11/11(Thu) 08:57:38
★ 対数関数 / あ
16の一番がわかりません
2/3log10√125が5であることはわかっています。
答えは2/3です。
No.79283 - 2021/11/08(Mon) 17:31:29
☆ Re: 対数関数 / らすかる
> 2/3log10√125が5であることはわかっています。

2/3log10√125は5ではありません。
No.79284 - 2021/11/08(Mon) 18:48:55
☆ Re: 対数関数 / あ
そうなんですか！
できれば解き方の方も教えていただけたら嬉しいです
No.79286 - 2021/11/08(Mon) 18:57:21
☆ Re: 対数関数 / あ
2/3log10√125はlog10の5ですねすいません書き間違えです
No.79287 - 2021/11/08(Mon) 19:10:21
☆ Re: 対数関数 / IT
底10は省略します
与式=log5+log(4/5)^(1/3)
=log(5*(4/5)^(1/3))

ここで5=(5^3)^(1/3)などと考えればどうですか？　
No.79288 - 2021/11/08(Mon) 19:54:22
☆ Re: 対数関数 / あ
ありがとうございます！解くことが出来ました！
No.79289 - 2021/11/08(Mon) 20:06:31
☆ Re: 対数関数 / IT
5*(4/5)^(1/3)= (5^(2/3))(2^(2/3))=10^(2/3) とかがよいかも知れません。
No.79290 - 2021/11/08(Mon) 20:37:37
★ 仕事算 / あまり
Aさん、Bさん、Cさんの3人は面積が2700 m2のグラウンドに砂をまく作業をすることになりました。Aさんは10分で21 m2'、Bさんは20分で45m2、Cさんは15分で36m2に砂をまくことができます。

作業が長時間になりそうなので、途中で休憩をとる案を考えました。Aさんが30分、Bさんが40分、Cさんが45分の休憩をとるとき、この作業は何時間何分何秒で終わりますか。
実際に3人で作業を始めましたが、砂を1260m2まき終わったところでBさんが一度抜け30分後にDさんを連れて戻ってきました。Dさんは4分で9m2に砂をまくことができここからはDさんも加わり4人で作業を続けました。この作業はDさんが加わってから何時間何分で終わりましたか。なお、休憩はとらないものとします。
No.79280 - 2021/11/08(Mon) 13:13:40
☆ Re: 仕事算 / ヨッシー
１分間に、
Ａさんは 2.1m^2、Ｂさんは 2.25m^2、Ｃさんは 2.4m^2 砂をまきます。

最初の45分間に休憩をフルにとったとすると
Ａさんは、30分休憩、15分作業で、31.5m^2 まいた。
Ｂさんは、40分休憩、5分作業で、11.25m^2 まいた。
Ｃさんは、45分休憩で、作業なし。
この時点で、
　2700−(31.5＋11.25)＝2657.25　(m^2)
残っています。このあと、３人が休憩無しで作業すると、
　2657.25÷(2.1＋2.25＋2.4)＝2657.25÷6.75＝1181/3＝393と2/3
最初の45分と合わせて、
　438と2/3（分）＝７時間18分40秒　・・・答え

Ｂさんが抜けていた30分間の間に、ＡさんとＣさんとで
　(2.1＋2.4)×30＝135(m^2)
分の作業をしたので、最初の分と合わせて、
　1260＋135＝1395
残りは、
　2700−1395＝1305(m^2)
Ｄさんは１分間に
　9÷4＝2.25(m^2)
砂をまくので、４人で１分間にまく砂の広さは
　2.1＋2.25＋2.4＋2.25＝9　(m^2)
残り 1305 m^2 をまくのにかかる時間は
　1305÷9＝145（分）＝2時間25分　・・・答え
No.79281 - 2021/11/08(Mon) 13:59:51
☆ Re: 仕事算 / あまり
ありがとうございます！めちゃ助かりました...
No.79282 - 2021/11/08(Mon) 14:11:44
★ (No Subject) / to
-6/5×1/（2×√18/5）　計算お願いします。
No.79279 - 2021/11/08(Mon) 10:49:38
☆ Re: / らすかる
2×√18/5=2×3√2/5=6√2/5
-6/5×1/(2×√18/5)
=-6/5÷(2×√18/5)
=-6/5÷(6√2/5)
=-6/5×(5/(6√2))
=-(6×5)/(5×6√2)
=-1/√2
=-√2/2
となります。
No.79285 - 2021/11/08(Mon) 18:52:37
★ (No Subject) / Kannjo
あるくじ引きでは、5本引くごとにもう1本くじを引くことができます。ただし、“もう1本”引けることになったくじが5本集まった場合でも、くじをもう1本引ける(その後も同様)とします。

この問題ですが、最初にn本くじを引くことにした時の最終的にくじを引く本数をnを用いた式で表すことは出来ますか？
No.79277 - 2021/11/08(Mon) 06:40:01
☆ Re: / ヨッシー
最終的にくじを引く本数を f(n) とすると、
　f(1)＝1
であり、その後、４本増えるごとに、１本余分に引けるので、
　f(n)＝ｎ＋[(n-1)/4]
[ｘ]はｘを超えない最大の整数を表す、いわゆるガウス記号です。
No.79278 - 2021/11/08(Mon) 07:01:21
★ 論証 / もぐら水
√a(a-1)が整数であるとき、これが整数であることを示せ.

お願いします
No.79271 - 2021/11/07(Sun) 17:28:02
☆ Re: 論証 / IT
問題の転記ミスでは？
a の条件は？
「これ」とは何ですか？「これ」が√(a(a-1)) だとすると当たり前なので証明不要です。

なおルートの範囲を明確にするため、適切に括弧を使ってください。
No.79272 - 2021/11/07(Sun) 17:38:20
★ 3次方程式 / ？
実数を係数とする3次方程式
x^3+ax^2+bx+c=0とする.
この方程式が|x|≧2の範囲に実数解をもつならば,|a|,|b|,|c|の少なくとも1つは1より大きいことを示せ.

この問題どうやって示せばいいですか。解法を教えてください。
No.79269 - 2021/11/07(Sun) 15:04:37
☆ Re: 3次方程式 / IT
|a|,|b|,|c|がすべて１以下のとき
　この方程式が|x|≧2の範囲に実数解を持たないことを示します。

f(x)=x^3+ax^2+bx+c の値f(-2),f(2)や増減（f'(x)=3x^2+2ax+b の値から）を考えれば良いです。
No.79270 - 2021/11/07(Sun) 15:19:12
★ アポロん / 証明
(1)の証明の仕方を教えてください。よろしくお願いします。
No.79265 - 2021/11/07(Sun) 10:06:59
☆ アポロん / 証明
写真逆さまですみませんでした。
No.79266 - 2021/11/07(Sun) 10:08:42
☆ Re: アポロん / mathmouth
初項1,公比t,項数nの等比数列の和を考えて,[0,x]で定積分してみてください.
No.79267 - 2021/11/07(Sun) 11:57:16
☆ Re: アポロん / 証明
(1)できました、ありがとうございました。
No.79268 - 2021/11/07(Sun) 14:43:58
★ 円と直線の共有点について / ナナヒカリ
数学?Uの教科書の例題です。

連立方程式
x^2 + y^2 = 2 (これをAとする)
y = x - 2 (これをBとする)

BをAに代入
↓
x^2 + (x - 2)^2 = 2
↓
x^2 - 2x + 1 = 0
↓
(x - 1)^2 = 0 より x = 1

x = 1をBに代入
↓
y = -1

よって、共有点の座標は、(1, -1)

ここまでが教科書の例題です。

ここで試しに x = 1 を A に代入する。
↓
1 + y^2 = 2
↓
y^2 = 1
↓
y = ±1

となります。

yは共有点であるから、プラスもマイナスもあり得ますよね？
どうしてAとBに代入した時で答えが変わるのですか？
ご教授よろしくお願いいたします。
No.79263 - 2021/11/07(Sun) 01:26:24
☆ Re: 円と直線の共有点について / IT
グラフを描いて見ると分かり易いかも知れません。
（教科書にはグラフが描いてないですか？）

>どうしてAとBに代入した時で答えが変わるのですか？
x=1を、Aに代入して　y=±1　としても、答えになっていません。
(x,y)=(1,1) はB:y=x-2 上にありません。

>yは共有点であるから、プラスもマイナスもあり得ますよね？
意味不明です。
問題によっては、共有点のｙ座標がプラスもマイナスもあり得ますが、
この問題では共有点は１点で、そのy座標はプラスではありません。
No.79264 - 2021/11/07(Sun) 04:27:01
☆ Re: 円と直線の共有点について / ナナヒカリ
返信ありがとうございまず。
連立方程式は、xかyのいずれかを求めて、任意の式に代入すれば、同じ答えになると思っていたのですが違うんですね。
全ての式に対して同時に満たすかどうかちゃんと検討しないとダメって事ですね。
ご教授ありがとうございました。
No.79274 - 2021/11/07(Sun) 21:48:41
☆ Re: 円と直線の共有点について / 黄桃
>どうしてAとBに代入した時で答えが変わるのですか？
いわゆる連立方程式の解の同値に関する問題です。
以下で説明してみますが、わからなければITさんのおっしゃるように、「確かめ」をすれば違うことがわかる（2次以上の連立方程式ではこういうことはよくある）、くらいで理解してください。

BをAに代入してできた式
x^2 + (x - 2)^2 = 2
をCとします。

CとBを満たす(x,y)があれば、Bのx-2=y をCに代入してAが出てきますので、CとBを満たす解(x,y)はAも満たします。

ですが、CとAでは、x^2を消去しても y^2=(x-2)^2 しか出てきませんので、CとAを満たす解(x,y)は、y^2=(x-2)^2を満たしますが、y=x-2　を満たすとは限りません。　
実際、y^2=(x-2)^2 は、y=x-2 または y=-(x-2) なので、y=-(x-2)と連立した答(1,-1)（これはy^2=(x-2)^2を満たします）もでてくるのです。これが、yがマイナスの余計な解がでてくる理由です。
No.79275 - 2021/11/07(Sun) 21:48:47
☆ Re: 円と直線の共有点について / ナナヒカリ
黄桃さん返信ありがとうざいます。
正直難しくて頭が追い付かないですが、ゆっくり理解しようと思います。
また機会があれば、ご教授お願い致しますm(__)m
No.79338 - 2021/11/10(Wed) 23:49:35
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