ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 微分方程式の応用 / 白梅

高校３年生の問題です。宜しくお願い致します。

（問題）ある曲線上の任意の点Pにおける接線が、
　　　　X軸,Y軸と交わる点をそれぞれQ、Ｒとする時、
　　　　Pがつねに線分QＲの中点であるような
　　　　曲線を求めよ。

（解答）求める曲線ｙ＝f(x)上の任意の点をP（x,y）
　　　　とするとPにおける接線の方程式は、
　　　　Ｙ－ｙ＝(dy/dx)(Ｘ－x)
　　　　よって点Ｒのy座標はＸ＝０として、
　　　　Ｙ＝y－x*(dy/dx)
　　　　「Pが線分QＲの中点であるから
　　　　２ｙ＝ｙ－x*(dy/dx)」これより、
　　　　x*(dy/dx)＝－ｙとなり、xy≠０のとき、
　　　　（１／ｙ）*（dy/dx）＝－１／ｘとなるから、
　　　　∫（１／ｙ）*（dy/dx）*dx＝－∫（１／ｘ）dx
　　　　よってlog｜y｜＝－log｜x｜＋Ｃ（１）
　　　　ゆえにｙ＝±{ｅ^(Ｃ（１）)／ｘ}
　　　　ここで±ｅ^(Ｃ（１）)＝Ｃとおくと、
　　　　ｙ＝Ｃ／ｘ（Ｃ≠０）
　　　　したがって求める曲線は　
　　　　双曲線群ｘｙ＝Ｃ　（Ｃは０以外の任意の定数）

私が疑問に思うのは解答の鍵括弧の所です。
中点Pを求める際にそのような計算をすれば
カギ括弧の中の式が得られるのかが分かりません。
その前までに出てきた式を変形してみたのですが
なかなか上手くいかず、
その式を立てる事が出来ません。

宜しくお願い致します。

No.2113 - 2008/08/17(Sun) 21:50:11

☆ Re: 微分方程式の応用 / to

ｙ軸上の点Ｒのｙ座標　y－x*(dy/dx)
ｘ軸上の点Ｑのｙ座標　0
ＲＱの中点Ｐのｙ座標　Y
　以上から、Y＝[{y－x*(dy/dx)}＋{0}]/2
　両辺２倍、2Ｙ＝－x*(dy/dx)

【参考】
(a，b)，(c，d)の中点
　{(a＋c)/2，(b＋d)/2}

No.2115 - 2008/08/18(Mon) 00:01:16

☆ ありがとうございました＾＾ / 白梅

to様、深夜遅くにも関わらず、
分かりやすい回答ありがとうございました＾＾

なるほど、中点座標を出すには
線分の端の点を１／２すれば簡単に
出せるのですね。接線の方程式を無理に
難しく考えてしまって、基本的な事を忘れていました。
やっと理解できました＾＾

ありがとうございました＾＾

No.2120 - 2008/08/18(Mon) 09:13:28

★ 図形 / 中1

「２つの三角形（△ABC △DEF）において　２組の辺（AB＝DE、AC＝DF）がそれぞれ等しく、その１組の等しい辺の対角（その辺に向かい合う角　∠B＝∠E）が等しいとき、この２つの三角形は合同（△ABC≡△DEF）であるか、または、他の１組の等しい辺の対角が補角（∠C+∠F＝2∠R）をなす」
この事柄を図を用いて証明せよ　との問題

No.2109 - 2008/08/17(Sun) 19:39:40

☆ 図形 / 中1

すみません。質問文の途中で間違って投稿してしまいました。
　答えは必ずしも合同になるとは限らないという結論になるようですが、よくわからいのでよろしくお願いします。

No.2110 - 2008/08/17(Sun) 19:55:35

☆ Re: 図形 / Ｂｏｂ

三角形の合同条件と照らし合わせましょう

No.2112 - 2008/08/17(Sun) 21:43:43

☆ Re: 図形 / 中1

> 三角形の合同条件と照らし合わせましょう

Bob さま

基本的な三角形の合同条件（三辺相等、二辺挟角、二角挟辺）はもちろんわかっているんです。

基本的な合同条件を踏まえた上での宿題です。

ネットで調べてみたところ　あまり有名ではない定理で
『二辺と1対角』というのがあるみたいです。
　上の問題の条件の場合、
・△ABC≡△DEF　　　か
・∠C＋∠F＝2∠R　
のどちらかが成り立つという定理があるようです。
この定理は習っていませんが、三角形の基本的な合同条件や習ったことを踏まえて証明してしてみなさいということだと思うのです。

No.2114 - 2008/08/17(Sun) 22:04:25

☆ Re: 図形 / rtz

調べればすぐ出てきそうな気はしますが…。

図の通り2辺1非狭角の場合、
△DEF、△DEF'の2つの可能性があるということです。

今回は結論まで書いてあるのですから、
その結論に合うような図を描けば解くことができますね。

No.2119 - 2008/08/18(Mon) 04:44:53

☆ Re: 図形 / 中1

> 調べればすぐ出てきそうな気はしますが…。
>
> 図の通り2辺1非狭角の場合、
> △DEF、△DEF'の2つの可能性があるということです。
>
> 今回は結論まで書いてあるのですから、
> その結論に合うような図を描けば解くことができますね。

なるほど。。
「他の１組の等しい辺の対角が補角（∠C+∠F＝2∠R）をなす」
という部分をどう図で示して証明したらよいのかがよくわからなかったのですが、
rtzさんの図をみてよくわかりました。
すっきりしました。
本当にありがとうございました。

No.2124 - 2008/08/18(Mon) 11:48:26

★ 変数分離形微分方程式 / 白梅

高校３年生の問題です。宜しくお願いします。

（問題）微分方程式dy/dx＝－２ｙを解け。
　
（解答）dy/dx＝－２yにおいて、ｙ≠０とすると、
　　　　(1/y)*(dy/dx)＝－２　両辺をＸで積分すると、
　　　∫(1/y)*(dy/dx)*dx＝∫（－２）dx
　　　∫(1/y)dy＝∫（－２）dx
　　　log｜y｜＝－２x＋Ｃ（１）（Ｃ（１）は定数）
　　　よってｙ＝±ｅ^(－２x＋Ｃ（１））
　　　ここでＣ＝±ｅ^(Ｃ（１））とすると、
　　　「ｙ＝Ｃｅ^(－２x) (Ｃ≠０)
　　　また関数ｙ＝０は微分方程式を満たしており、
　　　これはＣ＝０のとき表される。」
　　　したがって、求める一般解は
　　　ｙ＝Ｃｅ^(－２x) （Ｃは任意定数）

私が疑問に思うのは解答の鍵括弧の所です。
カギ括弧前半部分でＣは０でないと定義しているのに
後半部分でＣ＝０のとき、ｙ＝０を満たすと言うのは
矛盾しているのではないでしょうか？
Ｃが０で定義できないのなら、ｙ＝０も
成り立つ事も出来なくて、答えも
「Ｃは０を除く任意の定数」と
するべきではないでしょうか？

宜しくお願い致します。

追伸：豆様、七様、前回回答して下さった
　　　質問に対して返信が遅くなりました。
　　　申し訳ございません。そして、豆様、
　　　もしこの質問を見て下さっているならば
　　　前回の質問に返信しているので見ていただけないで　　　　
　　　しょうか？ぜひ豆様の意見が聞きたいと思います。

No.2103 - 2008/08/17(Sun) 13:55:49

☆ Re: 変数分離形微分方程式 / rtz

これはどちらかというと文章の切れ目の問題に近いでしょう。

y≠0で議論を進めているのですから、
y＝C*e^-2xとしたなら、当然C≠0は付記すべき事項です。

その上で(「また」の前後で議論が変わります)、
除外したy＝0は微分方程式を満たしているので、これも加える必要があり、
y＝C*e^-2xにおいてC＝0とすればy＝0となり、まとめて表記できることから、
y＝C*e^-2x (Cは任意の定数)としているわけです。

別にy＝C*e^-2x (C≠0) または y＝0でも間違いではありません。
でもまとめられるならまとめた方がいいよね、ということです。

No.2104 - 2008/08/17(Sun) 14:14:23

☆ ありがとうございました＾＾ / 白梅

rtz様、素早くて大変分かりやすい
回答をありがとうございました＾＾

確かにrtz様が仰る通り、解答部分をどこで
場合分けしているのかが理解できていませんでした。
ｙ≠０⇔Ｃ≠０が１つの場合、
ｙ＝０⇔Ｃ＝０を１つの場合と考えれば、
なるほど、全体的に条件を満たすのは
Ｃが任意の定数ですね。rtz様の説明は
とても分かりやすいです。やっと納得できました＾＾

今、またこの問題を解き直しましたが、
ｙ≠０とした後、(1/y)*dy＝－２dxと考えて、
∫（1/y)*dy＝∫（－２）*dxを導いてもよいことが
分かったので、追加してここに書いておきます。

ありがとうございました。＾＾

No.2106 - 2008/08/17(Sun) 15:19:36

☆ Re: 変数分離形微分方程式 / 豆

白梅殿
以前の問題に関するコメントを入れました。

No.2122 - 2008/08/18(Mon) 09:49:33

☆ ありがとうございました＾＾ / 白梅

豆様、回答ありがとうございました。

ようやく納得できました＾＾
追伸という小さい告示だったにも関わらず、
見つけて回答して下さってありがとうございました＾＾

今後また機会がありましたら、
宜しくお願い致します。＾＾

No.2126 - 2008/08/18(Mon) 12:16:30

★ (No Subject) / 7bitm　

・△ABC≡△DEF　
・∠AGD＝60°
このとき図において、
AE,BF,CDの中点同士を結ぶと
正三角形になることの証明。

自力で解くと補助線が凄まじくなってしまって。
簡単な解き方は無いでしょうか。お願いします。

No.2092 - 2008/08/17(Sun) 03:26:40

☆ Re: / にゃんこ先生といいます

複素数を使うとよいのでは?
A=0,B=b,C=cとする。
△ABCをAを中心に-60度回転(-ωをかける)し、平行移動(pをたす)したのが△DEFだから、
D=p,E=-ωb+p,F=-ωc+p

AE,BF,CDの中点はそれぞれ、
(-ωb+p)/2,(b-ωc+p)/2,(c+p)/2

ところで、点α,β,γが正の向きに正三角形をなすとき、
α+ωβ+ω^2γ=0
だから、それらはこの式を満たすので正三角形

No.2093 - 2008/08/17(Sun) 07:57:05

☆ Re: / にょろ

↑複素数は高校の範囲になっていないので使えそうにありません。
（何ではずした文科省中途半端な行列は残したくせに）

なので座標を使ったらどうでしょう?
a(0,0),b(1,0),c(1/2,1/√3)
d(c,d)～

で、それの中点を求める
というのは？

No.2096 - 2008/08/17(Sun) 08:41:22

☆ Re: / 7bitm　

図形的に考えなくても良いんですね！

複素数の方は感覚的にしかわからないのでちょっと。

座標の方は60°をどう使うかがわかりません。
それと、　c(1/2,1/√3)　というのもいまいち…

No.2101 - 2008/08/17(Sun) 12:09:06

☆ Re: / にょろ

あ、思いっきり間違えました
a(0,0),b(2,0),c(1,√3)
でした。

少し急いでいたので…
正三角形はすべて合同なので一辺の長さが2の時だけ考えればよいことになります。
d(c,d),e(e,f)
とするとfはどう表せますか?

ただタブン複雑になりますよ^^;

No.2107 - 2008/08/17(Sun) 17:08:44

☆ Re: / 7bitm　

度々すみません。
a,b,cを結ぶと正三角形になるのは解ったのですが、
その「a,b,c」は何を指すのでしょうか。

３つの中点ならばd,eは何を指すのでしょうか。
△ABCの頂点ならば△ABCは正三角形とは限らないので
おかしくなってしまい…。

というわけでfが表せないのです…

No.2111 - 2008/08/17(Sun) 21:02:34

☆ Re: / にょろ

あ、問題読み間違えました

それはもう力一杯
というわけでこの方法でやると
変数が大量に出てくるのでお勧めしません。
A(0,0)B(1,0)←ここまでは決めて問題ない
C(a,b)

D(c,d)
E(e,f)
ただし
DE=1
F(g,h)
ただし
AC=DF
AB=DF
という座標には表せます。
が、これを計算で持って行くとなると
大変だと思います。

あとは、行列もありますが…

No.2117 - 2008/08/18(Mon) 02:33:11

☆ Re: / 7bitm　

やっぱりそう簡単にはいかないですね。
座標は角度が入ると辛いです。

一応図に30本ぐらい線を引けば図形的に証明できるには
できます(もっと簡単にできるかも、ですが)

にょろさん、にゃんこ先生といいますさん、
ありがとうございました。

No.2118 - 2008/08/18(Mon) 04:35:08

☆ (No Subject) / ヨッシー

ごりごり計算するには違いありませんが、

図のように、△ＡＢＣと△ＤＥＦは、ある点を中心に60°回転した関係にあります。
（ある点とは、ＡＤ，ＢＥそれぞれの垂直二等分線の交点です）
この中心を原点として D(a,b),E(c,d),F(e,f) とおくと、
A((a-√3b)/2,(√3a+b)/2),B((c-√3d)/2,(√3c+d)/2),C((e-√3f)/2,(√3e+f)/2) となり、
AE,BF,CDの中点の座標を出して、中点間の距離の２乗を計算すると、いずれも
　a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+√3(ad+cf+eb-af-cb-ed)-(ac+ce+ea+bd+df+fb)
になります。

それはさておき、この問題は、図のように

１つの頂点を共有する３つの正三角形の問題に帰着するのですが、
こういうの、どなたかご存じないですか？

おまけ

No.2136 - 2008/08/19(Tue) 14:16:09

☆ Re: / 7bitm　

「１つの頂点を共有する３つの正三角形の問題」
ならしっていますよ。

この問題自体が、
一年前に実習生として来ていた大学生から出された
その問題をアレンジして作ったものですから。

自分の解き方は、その問題の形にしてから解いていく、
というものですし。

No.2153 - 2008/08/20(Wed) 00:32:56

★ (No Subject) / ゆぅ高1

Ａ、Ｂをいくつか並べて新しい記号を作るとき、Ａ、Ｂを最小限何個まで並べると100個の記号が作れるか。

正十ニ角形の頂点を結んで三角形を作るとき、正十ニ角形と辺を共有しない三角形は何個できるか。

お願いします!

No.2085 - 2008/08/16(Sat) 19:47:30

☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

横１列に並べて出来る記号と捉えて回答します。

例えば AAA,ABA,BBA,・・のように３つ並べた記号は 2^3 個できます。
このようにｎ個のABを並べると2^n個の記号が出来るので、ｎ個以内で出来る記号の数は
2^1+2^2+2^3+・・・+2^n＝2^(n+1)－2　となります。

この値が100以上になるには　2^(n+1)≧102
2^6＜102＜2^7　だからｎ＝6で128個までの記号が作れます。
（ｎ＝5では64個しか作れません）・・・答えは６個
（２次元的に並べるならもっと少なくてすみます）

共有してもよいのなら出来る三角形の総数は 12Ｃ3(個)
そのうち２辺が共有するものは・・頂点の数と同じで 12個
1辺が共有するものは・・１辺につき(12-4)個あるので、全部で 12×8（個）あります。
よって、12Ｃ3－(12＋12×8）で求まります。

No.2095 - 2008/08/17(Sun) 08:30:04

☆ Re: (No Subject) / ゆぅ

ありがとうございました!!
答えはあってるのですが、100個の記号を作る.というのを、100以上の記号を作ると考えてよいのはなぜですか??

2問目は分かりました!

No.2097 - 2008/08/17(Sun) 09:43:37

☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

2^(n+1)－2＝100　になる整数ｎがあればそれにこしたことはないのですが、丁度100
になる場合があるとは限りません。
そこで、「この値が100以上になる整数ｎのうち最小のもの」を求めると、必要な最小
限の数となると考えたのです。

No.2098 - 2008/08/17(Sun) 10:24:55

☆ Re: (No Subject) / ゆぅ

分かりました!
どうもありがとうございました!!?~

No.2099 - 2008/08/17(Sun) 10:30:24

★ この問題の答え教えて下さいm(_ _)m / 山本開

　　　＿＿＿ロ.ロロロロロロロ
ロロロ）ロロロ
　　　　ロロロ
　　　　ーーー
　　　　　ロロロ
　　　　　ロロロ
　　　　　ーーーーーー
　　　　　　　ロロロロ
　　　　　　　ロロロロ
　　　　　　　ーーーーーー
　　　　　　　　　　ロロロ
　　　　　　　　　　ロロロ
　　　　　　　　　　ーーーー
　　　　　　　　　　ロロロロ
　　　　　　　　　　ロロロロ
　　　　　　　　　　ーーーー　
　　　　　　　　　　　　ロロ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　お願いします！！

No.2075 - 2008/08/16(Sat) 13:37:56

☆ Re: この問題の答え教えて下さいm(_ _)m / らすかる

548÷498です。

No.2078 - 2008/08/16(Sat) 14:41:38

☆ Re: この問題の答え教えて下さいm(_ _)m / 高１

横槍すいませんが解き方を教えて頂いてもいいですか？
興味深い問題なので・・・。

No.2081 - 2008/08/16(Sat) 17:29:31

☆ Re: この問題の答え教えて下さいm(_ _)m / rtz

注目するのは、4桁－4桁＝1桁のところ。
明らかに？000－？？？？＝？であるから、引く数は？99？。
これに該当するものを考える。
1桁×3桁(A)で該当するものを候補に上げる。

ただし、その1つ下が3桁(B)－3桁＝3桁で、
引かれる数の最大が900であるから、引く数の最大は799。
また(B)から、(A)の引きうる最大倍数を引いて、ちゃんと
3桁分残るものでないといけない。(この時点で候補は恐らく3つに絞れる)
そして、4桁－4桁＝1桁の1つ上、3桁(C)－3桁(D)＝1桁(E)のところ、
(C)の下1桁は当然0で、(D)は(A)の倍数。
既に分かっている(E)に(A)の倍数を足し、下1桁が0でかつ3桁に収まるような候補は1つしか残らないのでそれが答え。

…という方針で私はやりましたが、
もっといい方法があるかもしれません。

No.2082 - 2008/08/16(Sat) 18:02:00

★ (No Subject) / にゃんこ先生といいます

半径1の円に内接する正n角形の辺を含めた対角線の長さの２乗の和は，非常に巧妙かつ簡単に求めることができて，　　n^2である。

上記のことをどのように示せばよいのでしょうか?
ピタゴラスの定理が使えそうだと感じるのですが、うまくいきません。
http://www.geocities.jp/tomodak_grapes/volume24.html
より

No.2072 - 2008/08/16(Sat) 01:13:38

☆ Re: / キューダ

Σ[k<j][{cos(2kπ/n)-cos(2jπ/n)}^2+{sin(2kπ/n)-sin(2jπ/n)}^2]
=Σ[k=1,n]Σ[j=1,n][1-cos(2(k-j)π/n)]=n^2
という方針が念頭にあってのコメントではないでしょうか。

No.2077 - 2008/08/16(Sat) 14:16:27

☆ Re: / にゃんこ先生といいます

ありがとうございます。
Σ[k<j][{cos(2kπ/n)-cos(2jπ/n)}^2+{sin(2kπ/n)-sin(2jπ/n)}^2]
=Σ[k=1,n]Σ[j=k+1,n][2-cos(2(k-j)π/n)]
=(1/2)Σ[k=1,n]Σ[j=1,n][2-cos(2(k-j)π/n)]
=n^2
と個人的には解釈しました。

でも、なにか図形的な方法のような気がします。
ピタゴラスの定理・トレミーの定理が使えそうだと感じるのですが、うまくいきません。

No.2079 - 2008/08/16(Sat) 16:15:11

☆ Re: / rtz

nが偶数なら三平方は使えますね。
直径を斜辺とする直角三角形の残りの辺の2乗和は、
直径の2乗つまり4です。
あとはn倍して2*2の重複で割ればn²になります。

No.2080 - 2008/08/16(Sat) 17:15:52

☆ Re: / キューダ

Σ[k]Σ[j]=Σ[k<j]+Σ[j<k]+Σ[j=k]
ですが、加算される関数では、第一項と第二項は等しく、第三項は０なので、
Σ[k<j]=(1/2)Σ[k]Σ[j]と対称形に変形できるのがミソとなってます。

示されている２行目のような式を入れているのをみると、Σ[k=j]についてしっか
り考察していないようにおもわれます。

あと、cosineの係数は定数項と同じ２ですね。k=jのとき、非０となってしまいますよ。

No.2083 - 2008/08/16(Sat) 18:56:32

☆ Re: / にゃんこ先生といいます

rtzさん、ありがとうございます。
そうですね。nが奇数のときも、うまい方法はないでしょうかね？

キューダさん、ありがとうございます。
Σ[k=j]に考慮はしましたが、記述は省いていました。
cosineの係数は間違えていました。

No.2088 - 2008/08/16(Sat) 23:52:38

☆ Re: / にゃんこ先生といいます

半径1の円に内接する正n角形の辺を含めた対角線の長さの２乗の和はn^2

次の方法はいかがでしょう。
複素平面の単位円をとり、α=exp(2πi/n)として、~を共役として、
頂点を1,α,α~,α^2,α~^2,…とする。
頂点1を端点とする対角線の２乗の和は、
Σ|1-α^k|^2
=Σ(1-α^k)(1-α~^k)
=Σ(2-α^k-α~^k)

この和は共役どうしで打ち消しあう。
nを奇数か偶数かで分ければうまくいきそう。
本質的にキューダさんの方法と同じですね。

No.2089 - 2008/08/17(Sun) 00:12:56

☆ (No Subject) / にゃんこ先生といいます

似たものに、
半径１の円に内接する正ｎ角形において、一つの頂点から残りの（ｎ－１）個の頂点へ引いた線分の長さの総積は、ちょうどｎになる、
ことの証明を見つけました。
http://d.hatena.ne.jp/kuro-yo/20070418/1176912035

そこのコメントの質問が分かる方はいらっしゃいますでしょうか？

「単位円に内接する正ｎ角形のある一つの頂点から
　残りのｎ－１個の頂点に引いて出来る対角線の
長さの【逆m乗】の和は　いくつになるでしょうか？」

No.2090 - 2008/08/17(Sun) 00:14:54

★ (No Subject) / ゆぅ高1

500以上1000以下の整数のうち7の倍数であるが3の倍数でない数は何個あるか。

という問題で答えが47なのに48になってしまうのですが…

360の正の約数全体の和を求めよ。

大中小3つのサイコロを投げるとき、目の和が奇数になる場合は何通りか。

何問もすいません。
よろしくお願いします!

No.2064 - 2008/08/15(Fri) 12:10:56

☆ (No Subject) / rtz

1つ目
どう考えたか書いてみてください。
間違っているところを指摘できるかと思います。

2つ目
単純な公式があるにはあるのですが、
何をやってるのか分からなくなっては意味がないので、
http://arot.net/sanzyutsuman/public_html/Pages/unit2.html
をとりあえず参考にして下さい。
その上で約数の総和、などで検索してみるとよいでしょう。

3つ目
和が奇数になるのは
「偶数＋偶数＋奇数」か「奇数＋奇数＋奇数」のいずれかです。
それぞれ求めて足し合わせるといいでしょう。

No.2065 - 2008/08/15(Fri) 12:43:00

☆ Re: (No Subject) / ゆぅ

ありがとうございます☆
2つ目は見てみます!

1つ目は
500÷7で7の倍数の個数を出し、500÷21で7、3の倍数の個数を出して引きました。

３つ目はその考え方でやったのですが計算の方法が間違ってたみたいで…よく分からなくて…

No.2066 - 2008/08/15(Fri) 13:25:44

☆ Re: / rtz

1つ目
方向性は間違いではありません。
でもそれだと1～500なら確かにそうですが、501～1000でそうとは限りません。

例を出せば、
1～10に6の倍数は1つですが、11～20には2つありますね。
整数の数自体は同じでも、このように結果が違うこともありうるわけです。

そこで、
(1～1000の7の倍数の個数)－(1～500の7の倍数の個数)
を計算することで501～1000の7の倍数の個数を出しましょう。
21も同様にすれば出せますね。

3つ目
奇数の目は3通りですから奇数3つの方はいいでしょう。
偶数も同じく3通りですが、
偶数2つ奇数1つの場合、どのさいころが奇数なのか選ぶ必要がありますね。

No.2068 - 2008/08/15(Fri) 13:37:32

☆ Re: (No Subject) / ゆぅ

丁寧にありがとうございました!

No.2084 - 2008/08/16(Sat) 19:43:19

★ 格子点（立体） / Jez-z

x+y+z≦n(x,y,zはo以上の整数、nは整数）
を満たす組(x,y,z)は何組あるか？

z=iと固定すると
x+y≦n-i
ここで、x+y=n-iの場合を考えると、
(x,y)=(0,n-i),(1,n-i-1),……,(n-i,0)の
n-i+1組あるので

?納i=0→n](n-i+1)=〔{(n+1)(n+2)}/2〕
とここまではできましたが、こんかいは等号ではなく不等号（≦）であるので、ここで混乱してしまい挫折してしまいました。xyzの空間を描いたら、三角錐の周および内部の格子点を求めればよいのかと想像したのですが、どこをどう、動かせば（どう切れば）よいのか検討が付きませんでした。

できれば、図なども添付していただければ嬉しいのですが・・・（自分は図かうまく書けなかったので）

（注）格子点の解き方でお願いします。どうしても格子点で解く解法だけが理解できないもので…（泣）

No.2058 - 2008/08/15(Fri) 00:08:08

☆ Re: 格子点（立体） / rtz

要はx＋y≦n－i、x≧0、y≧0であるような
整数x,yの組み合わせですね。

和で考えるのではなく、直接xやyを考えてみましょう。
x＝0のときはyは0～n-iのn-i+1個です。
x＝1のときはyは0～n-i-1のn-i個です。
…
x＝n-i-1のときはyは0～1の2個です。
x＝n-iのときはyは0のみで1個です。
以上から、組み合わせ総数は
1～n-i+1の総和ですので(1/2)(n-i+1)(n-i+2)ですね。

あとはiの0～nまでの総和です。
もちろん展開して?婆や?婆²を用いても出来ますが、
(1/2)(n-i+1)(n-i+2)＝(1/6){(n-i+1)(n-i+2)(n-i+3)－(n-i)(n-i+1)(n-i+2)}
に気付けば、計算の手間がかなり省けます。

No.2061 - 2008/08/15(Fri) 04:40:25

☆ Re: 格子点（立体） / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

（横から失礼します）
立体の格子点で考えるのなら、ｘ+ｙ+ｚ＝ｋ（ｘ,ｙ,ｚ,ｋ：0以上の整数）をみたす
(ｘ,ｙ,ｚ)の組の個数は(1/2)(k+1)(k+2)であることを利用して次のように考えられます。

原点ＯとＡ(n,0,0) Ｂ(0,n,0) Ｃ(0,0,n)で囲まれた三角錐の周上および内部の格子点
の数が答えとなります。

0≦ｋ≦ｎである整数ｋにおいて、この三角錐を面ｘ+ｙ+ｚ＝ｋで切断すればその断面
上に格子点が(1/2)(k+1)(k+2)個あります。ｋを0～ｎまで動かしそれらの和を求めれ
ばよいので

?納i=0→n]{(n+1)(n+2)/2}＝(1/2)?納i=0→n]{(n+1)(n+2)}
で求めます。
rtz さんが書かれておられるのと同様に
(1/2)(n+1)(n+2)＝(1/6){(n+1)(n+2)(n+3)－n(n+1)(n+2)}
を用いると楽ですね。

・・格子点で考える以外では、(n+3)Ｃ3　という式で瞬殺ですが・・

No.2063 - 2008/08/15(Fri) 09:20:42

☆ Re: 格子点（立体） / Jez-z

rtzさん、ＤＡＮＤＹ　Ｕさんに質問なのですが、
(1/2)(n+1)(n+2)＝(1/6){(n+1)(n+2)(n+3)－n(n+1)(n+2)}
はどのようにして導かれたのでしょうか？
確かに、手計算で右辺を整理してみたら、左辺になりました。しかし、これを導く方法がわかりません。

次に活かすという意味でも、この「方法」をお教示ください。
回答お待ちしております。

No.2070 - 2008/08/15(Fri) 20:02:52

☆ Re: 格子点（立体） / rtz

"導いた"というよりは、"知っていた"というべきでしょうか。

問題によってはこの手法がヒントとして提示されているものもありますので、
それを憶えていて、使ったという感じです。
ちょっとした小手技のようなものでしょうか。

似たものに
??1/{k(k+1)}＝??(1/k)－{1/(k+1)}
などがありますね。

No.2071 - 2008/08/16(Sat) 00:47:18

☆ Re: 格子点（立体） / Jez-z

そうだったのですか・・・何か「求め方」もしくは「発見の仕方」のようなものを教えてもらえるのかと期待していたのですが・・・

確かに、??1/{k(k+1)}＝??(1/k)－{1/(k+1)}は有名な変形ですよね。

No.2073 - 2008/08/16(Sat) 01:36:29

☆ 私が考えていること / ぱんだ

??1/{k(k+1)}＝??(1/k)－{1/(k+1)}は確かに有名な変形です。
この変形でなぜ簡単になったのでしょうか？
1/{k(k+1)}を「似たような形のものの引き算で表せたから」うまくまとめて消していくことが出来たわけです。
（正確に言うと、f(k+1)-f(k)の形に表現できたから）

ではどうすればその「似たような形のものの引き算にできるのか？」

そこで「○/kから△/(k+1)を引くと、分母はk(k+1)になって、近い形が出来そうだ」と分析してみることも重要だと思います。

類題としては、1/{k(k+2)}を見たときに(1/k)-{1/(k+2)}と「似た（いきなり一致させるのは大変）」形にならないか考えてみてください。

1/{k(k+1)(k+2)}を見たときに、うまく引き算の形で分母だけでも似た形にならないか考えてみてください。
（もっというとf(k+1)-f(k)の形、「次の番号」－「前の番号」）
1/■-1/◇の分母がk(k+1)(k+2)になるにはどうすれば？
（しかも■は◇の次の番号あるいは前の番号）

■にk(k+1)、◇に(k+1)(k+2)を入れたらいいのはお分かりでしょうか。

1/{k(k+1)(k+2)(k+3)}ならどうすれば分解できるか、考えてみてください。

次に、(n+1)(n+2)についてですが、その前にもっと項を増やして

(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)をどうすればいいか考えてみてください。（この値をＡとでもおいておきます）

f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)となる。

ｆはｎの多項式になるだろう。そしてf(n)にはn+1やn+2などがたくさん出てきそうだ。

f(n+1)-f(n)という引き算の結果(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)という項が残るには、
f(n+1)もf(n)も(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)を因数に持っていれば簡単ですね。
あとはちょっと考えてみてください。

今回の説明はあくまでも私が個人的に考えていることであり、若干プロブレムソルバー的な（つまりこのタイプの問題だけを解くならばよい姿勢だが、数学の本質に迫る考え方かというと疑問が残る）考え方になってしまっています。
ただし、あくまでも公式として「覚える」だけよりも、「こうすれば解けるのではないか？」という意識を持って自分で実験してみるという姿勢は非常に重要だと思います。

上の例の他にも、Σ{(kの一次式)/k(k+1)}などのときに
{(ak+b)/k}-[{a(k+1)+b}/(k+1)]がその形にならないかと考えてaとbを求める、というのはよくやる手法です。
このときも「こんな引き算をすれば『似たような形』になるのではないか」という考えが根底にあります。

No.2076 - 2008/08/16(Sat) 13:49:13

☆ Re: 格子点（立体） / dust

和分と差分について調べてみては。読み物でよいなら、結城浩さんの『数学ガール』の中の一話ですが「ミルカさんの隣で」 (PDF) あたりはどうでしょうか。

No.2100 - 2008/08/17(Sun) 12:00:43

☆ Re: 格子点（立体） / ぱんだ

「ミルカさんの隣で」、本質的な内容で非常にうまく説明していますね。（登場人物は高校生ということになっていますが、受験生にはちょっと難しいかもしれませんが）
私にも大変参考になりました。ありがとうございます。

No.2152 - 2008/08/19(Tue) 23:15:07

★ 夏休みの宿題です。 / 高１

２次方程式ｘ＾２＋ｘ＋ａ=０、ｘ＾２-ｘ＋２ａ=０はあわせて４つの実数解をもちこれらはすべて異なる。このときいずれの方程式も解のひとつが他の方程式の解の間にある条件を求めよ
（私の解き方）F(x)=ｘ＾２＋ｘ＋ａ-?@　F(x)=ｘ＾２-ｘ＋２ａ-?Aとおく。
?@の解をP,Q(p<Q)?Aの解をc,d(c<d)とする。?@は軸x=-1/2?Aは軸x=1/2より、もし題意の条件を満たすaが存在するならばそれは、p<a<qを満たすaである。
また、グラフを書けば明らかであるが、cがpに近づく程aは小さくなっていき、逆にqに近づく程aは大きくなっていく。この事より、 p=cの時のa<a<q=cの時のaが成り立つのは自明。p=cとは、すなわちp^2＋p＋a=c^2－c＋2a p=c=eとおけば
e^2＋e＋a=e^2－e＋2a 2e=aこれを代入してe^2＋e＋2e=o e=o,-3 p<qよりp=-3 q=0 p.qの値を?@に代入すればa=-6,0が得られる。
これより、-6<a<0の条件を導いた。
こんな考え方はどうでしょうか？間違っていたら御教授願います！

No.2039 - 2008/08/14(Thu) 15:07:17

☆ Re: 夏休みの宿題です。 / ヨッシー

答えは合っているので、方向性は良いのかと思います。
ちょっとまだ、読み切れていないですが、
「もし題意の条件を満たすaが存在するならばそれは、p<a<qを満たすaである。」
の部分は、なぜそう言えるでしょうか？

私が解くのに用いた方法は、上の、ｐ，ｑ，ｃ，ｄを使うと、
「?Aがｐとｑの間に１つだけ解を持つ」
と、「２つの方程式が異なる２実根を持つ」
だけです。
?Aの方は、g(x)＝ｘ＾２-ｘ＋２ａと書くと、
　g(p)・g(q)＜０　これと?@における解と係数の関係
および、２つの判別式です。

No.2045 - 2008/08/14(Thu) 17:18:51

☆ Re: 夏休みの宿題です。 / 高１

あっ！すいません！！記号の書き間違いです。
p<c<qを満たすようなaです。これなら言えますよね？
お早い回答ありがとうございました！

No.2049 - 2008/08/14(Thu) 18:40:40

★ 高3です / 真琴

∇(ab)=a∇b＋b∇aを証明せよ。
ただし､
a=a(x､y､z)
b=b(x､y､z)
∇=((∂/∂x)､(∂/∂y)､(∂/∂z))
∇a=((∂a/∂x)､(∂a/∂y)､(∂a/∂z))
∇b=((∂b/∂x)､(∂b/∂y)､(∂B/∂z))
とする。

お願いします!

No.2037 - 2008/08/14(Thu) 10:50:40

☆ Re: 高3です / X

成分毎に積の微分を使って計算します。

No.2038 - 2008/08/14(Thu) 14:33:38

☆ Re: 高3です / 真琴

申し訳ないです…。
できればでいいんですが
詳しい解説お願いします…。

No.2040 - 2008/08/14(Thu) 15:33:45

☆ Re: 高3です / ヨッシー

∇(ab)＝(∂(ab)/∂x､∂(ab)/∂y､∂(ab)/∂z)
　＝(a_xb+ab_x,a_yb+ab_y,a_zb+ab_z)
a∇b＝a(b_x, b_y, b_z)
b∇a＝b(a_x, a_y, a_z)

ここで、
a_x＝∂a/∂x, a_y＝∂a/∂y,a_z＝∂a/∂z
b_x＝∂b/∂x, b_y＝∂b/∂y,b_z＝∂b/∂z
です。

No.2050 - 2008/08/14(Thu) 18:54:14

☆ Re: 高3です / 真琴

解答してくださってありがとうございます。

ただ
(∂(ab)/∂x､∂(ab)/∂y､∂(ab)/∂z)
=(axb+abx､ayb+aby､azb+abz)
となる理由がわからないです。

すいません。
解説お願いします。

No.2052 - 2008/08/14(Thu) 21:31:33

☆ Re: 高3です / X

f,gがxの一変数関数のとき、積の微分により
(d/dx)(fg)=(df/dx)g+f(dg/dx)
これと同様に考えてみましょう。

No.2054 - 2008/08/14(Thu) 22:01:59

☆ Re: 高3です / 真琴

あ、
その公式ありましたね！

やっとわかりました。
もう一度自分でやってみます！

ありがとうございました！

No.2055 - 2008/08/14(Thu) 22:11:58

★ 基本的な質問ですが.．． / Jez-z

http://yosshy.sansu.org/tokusei.htm　　
において

（α≠βのとき）
　「両辺の差」を取って、
　　（β－α）ａn＝βn-1（ａ2－αａ1）－αn-1（ａ2－βａ1）
　より、
　　ａn＝｛βn-1（ａ2－αａ1）－αn-1（ａ2－βａ1）｝/（β－α）

とありますが、隣接三項間漸化式を解く際に、必ずしもこの作業は必要としませんよね？（確かに、特性方程式を解くと解が２つでてきて（重解でない）それによって与えられた漸化式は2通りに変形できます。そして、その２つの式の差をとりストレートに一般項anを求めるというのが簡明かつ一般的な手法なのかもしれません）しかし、2通りに変形できた漸化式のうち一方のみを使っても結果が同じ（一般項を求められる）になることが多々あるのですが、この場合、もう一方の漸化式は全く手つかずな状態なのが少々気持ち悪く感じるのですが、これは別に問題はないと考えてよろしいのでしょうか・・・？

抽象的ですいません、皆様ならお分かりいただけるかと思いこのまま投稿させていただきます。何か不明な点がございましたら、また改めて具体例を付けて書きたいと思います。

ご指導よろしくお願いします。

No.2034 - 2008/08/13(Wed) 23:27:04

☆ Re: 基本的な質問ですが.．． / ヨッシー

気持ち悪いですが、問題ありません。
また、「両辺の差」をとって、の方法は、
簡明ではありますが、一般的かは分かりません。

ａ_n＝｛β^n-1（ａ₂－αａ₁）－α^n-1（ａ₂－βａ₁）｝/（β－α）
は、αとβの対称式になっていますので、どちらの式を使っても、
同じ結果になります。

No.2035 - 2008/08/13(Wed) 23:38:38

☆ Re: 基本的な質問ですが.．． / ヨッシー

たとえば、こちらの後半に
ａ_n+2＝２ａ_n+1＋８ａ_n
より、
　ａ_n+2－４ａ_n+1＝－２(ａ_n+1－４ａ_n)
と変形出来ます。

以降の部分は、

　ａ_n+2＋２ａ_n+1＝４(ａ_n+1＋２ａ_n)
と変形しても出来ます。

No.2036 - 2008/08/13(Wed) 23:44:53

☆ Re: 基本的な質問ですが.．． / Jez-z

ありがとうございます。よく理解できました

No.2059 - 2008/08/15(Fri) 00:09:00