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★ 数学?T・Ａの問題です (3) / 小倉裕子
本当に度々すみません。よろしくお願い致します。

BC=√6,∠BAC=60°で面積が√3である三角形ABCについて、CA=b,AB=c　としたとき、三角形ABCの内接円の半径を求めなさい。

＜解答＞
2/√6-√2

これが、私が計算すると　2/√6＋√2　になるのですが
なぜでしょうか。
No.4605 - 2009/01/15(Thu) 19:36:52
☆ Re: 数学?T・Ａの問題です (3) / DANDY　U
解答は、(√6−√2)/2　となっていませんか？
ならば
(√6−√2)/2＝2/(√6＋√2)　で同じ値です。
ただし、一般的には分母は有理化して (√6−√2)/2 までもっていくものでしょう。

(注) 2/√6＋√2 と書くと (2/√6)＋√2 の意味になります。括弧を使って、どこまでが分母,分子かはっきり分かる表記を・・
No.4606 - 2009/01/15(Thu) 21:22:17
☆ Re: 数学?T・Ａの問題です (3) / 小倉裕子
ありがとうございました。
解答の書き方がおかしく、申し訳ありませんでした。
おっしゃるとおり、解答は、(√6−√2)/2　です。

それで、再度計算し直しましたらできました。
本当にありがとうございました。
No.4619 - 2009/01/16(Fri) 14:14:43
★ お願いします?? / かな
x2+(a+2)x+6a-6=0…?@
x2+bx+c=0…?A
があり、方程式?@はx=3を解にもっている。
ただしa、b、cは定数とする。
このときa=-1であり、方程式?@、?Aが共通な解x=pをもっているとするとp=3、c=-3b-9
またはp=-4、c=4b-16が成り立つ。
さらに、b>0とし、方程式?Aの２つの解の差が１０であればb=□、c=□
または、b=□、c=□である。
No.4598 - 2009/01/15(Thu) 16:59:40
☆ Re: お願いします?? / ヨッシー
(2)の解をα、β(α＜β) とします。
　条件より　β−α＝10
解と係数の関係より、α＋β＝-b、αβ＝c
　(β−α)^2＝(α＋β)^2−4αβ＝b^2-4c＝100

c=-3b-9 のとき、
　b^2＋12b-64＝０
　(b+16)(b-4)＝０
　ｂ＝４、ｃ＝−２１

c=4b-16 のとき
　b^2-16b−36＝０
　(b-18)(b+2)＝０
　ｂ＝１８、ｃ＝５６
No.4601 - 2009/01/15(Thu) 18:29:19
★ 数学?T・Ａの問題です (2) / 小倉裕子
度々すみません、よろしくお願い致します。

a=-2+√5 のとき、次の問に答えなさい。

＜問題＞
a3-1/a3 を求めなさい。

＜解答＞
-76

途中で行き詰まってしまいます。解説をよろしくお願い致します。
No.4597 - 2009/01/15(Thu) 15:42:27
☆ Re: 数学?T・Ａの問題です (2) / ヨッシー
普通にやる場合
a^2＝9-4√5
a^3＝-38＋17√5
1/a^3＝1/(17√5-38)＝(17√5+38)/(1445-1444)＝17√5+38
　・・・分母の有理化です。
よって、a^3−1/a^3＝-76

ちょっと工夫（3乗−3乗の因数分解を使います）
　a^3-1/a^3＝(a-1/a)(a^2＋１＋1/a^2)
1/a＝√5+2　より、
　a-1/a＝-4
２乗して、
　a^2＋1/a^2−２＝１６
より、
　a^2＋１＋1/a^2＝１９
よって、
　a^3-1/a^3＝(a-1/a)(a^2＋１＋1/a^2)＝-4・19＝-76

別の工夫
　(a-1/a)^3＝a^3−3a＋3/a−1/a^3
　　　＝a^3−1/a^3−3(a−1/a)
a-1/a＝-4 （上述）より
　-64＝a^3−1/a^3＋12
　a^3−1/a^3＝-76
No.4600 - 2009/01/15(Thu) 18:22:14
☆ Re: 数学?T・Ａの問題です (2) / 小倉裕子
助かりました。
自分で勘違いしていたところがわかりました。
また、助けてください。どうぞよろしくお願い致します。
No.4604 - 2009/01/15(Thu) 19:27:26
★ 数学?T・Ａの問題です / 小倉裕子
よろしくお願い致します。

2つの放物線y=f(x)=ｘ2-4x+14とy=g(x)=-ｘ2+2ax-aについて、次の問に答えなさい。ただし、aは実数の定数とする。

＜問題＞
f(x)＞g(x)がすべての実数xについて成立するとき、aの値の範囲を求めよ。

＜解答＞
-6＜a＜4

どうしてそうなるのかわからず、困っています。解説をよろしくお願い致します。
No.4596 - 2009/01/15(Thu) 15:33:56
☆ Re: 数学?T・Ａの問題です / ヨッシー
f(x)＞g(x) は f(x)−g(x)＞０ と変形できますから、
　2x^2-2(2+a)x+14+a＞０
これがすべてのｘについて成り立つのは、
　判別式＜0
　・・・　グラフとｘ軸は交点を持たず、グラフ全体が、ｘ軸より上（値が正）の位置にある。
のときなので、
　D/4＝(2+a)^2−2(14+a)＝a^2+2a-24＜０
　(a+6)(a-4)＜０
より　-6＜a＜4　となります。
No.4599 - 2009/01/15(Thu) 18:13:13
☆ Re: 数学?T・Ａの問題です / 小倉裕子
早速教えていただきありがとうございました。
行き詰まっておりましたので、本当に助かりました。
ありがとうございました。
No.4603 - 2009/01/15(Thu) 19:26:09
★ 数列 / あき
連続投稿申し訳ありません。
宜しくお願いします。
http://o.upup.be/?Wswp7Dt6rF
の問題で
http://p.upup.be/?6OEvmqJf4i
のように解いたのですが答えが合いませんでした。
考え方間違ってますでしょうか？
わけがわからなくなってきてしまったので宜しくお願いします…
No.4594 - 2009/01/15(Thu) 14:32:24
☆ Re: 数列 / rtz
3行目→4行目が間違いです。

?納k＝1〜n]C2k-1≠?納k＝1〜n]ak＋2です。
?納k＝1〜n]C2k-1≠?納k＝1〜n]a2k-1＋2なら正しいですが。
偶数項も同じです。

もし綺麗に総和を取りたいなら
?納k＝1〜2n]Ck＋?納k＝1〜n](1＋2)とすべきでしょう。
No.4602 - 2009/01/15(Thu) 18:46:48
☆ Re: 数列 / あき
ごめんなさいよくわからないのでもう少し詳しく教えていただけませんでしょうか…
No.4618 - 2009/01/16(Fri) 14:05:21
☆ Re: 数列 / ヨッシー
　ΣＣ(2k-1)＋ΣＣ2k　ここまでは正しいです。続きは
＝Σ{２^(2k-2)＋２}＋Σ{２^(2k-1)＋１}
＝Σ{２^(2k-2)＋２・２^(2k-2)＋３}
＝Σ{３・２^(2k-2)＋３}
＝３Σ４^(k-1)＋３ｎ
＝４^n＋３ｎ−１
となります。

どこが違うかというと、　ΣＣ(2k-1)＋ΣＣ2k　を具体的に書くと、
　{(1+2)＋(4+2)＋(16+2)＋・・・＋(2^(2n-2)+2)}＋{(2+1)＋(8+1)＋(32+1)＋・・・＋(2^(2n-1)+1)}
＝{1+2+4+8+・・・+2^(2n-1)}＋3n
です。一方、
　Σ(2^k+3)＝(2+4+8+・・・+2^n)＋3n
となりますから、違いますね。

ちなみに、上のrtzさんの記事の一番下は、
　?納k＝1〜2n]ａk＋?納k＝1〜n](1＋2)
ですね。
No.4623 - 2009/01/16(Fri) 19:26:17
☆ Re: 数列 / あき
なるほどです！よくわかりました！
ご丁寧にどうもありがとうございました！
No.4657 - 2009/01/17(Sat) 21:25:38
★ (No Subject) / あき
こんばんは！
質問お願いします…
http://w.upup.be/?6t7PGxRolv
の(2)の問題で、最初のaを求めるのに私はx=tで交わりそこで接線とも直交すると考え
y=y
y'=y'
で解いたのですが答えが合いませんでした、ときかた間違えてますでしょうか？また他になにかいい方法があるのでしょうか？
すみませんが教えていただけませんでしょうか？
No.4589 - 2009/01/14(Wed) 23:09:53
☆ Re: / ヨッシー
ｙ’＝ｙ’(この書き方もどうかと思いますが)では、
同じ傾きになってしまいます。

ｙ’ｙ’＝−１
というか、片方は傾き１とわかっているので、
　ｙ’＝−１　（ｙ’は交点における微分係数）
でいいでしょう。
No.4592 - 2009/01/15(Thu) 00:00:29
☆ Re: (No Subject) / あき
あそうですねとても初歩的なミス気がつきませんでした…
ありがとうございます(^_^;)
No.4595 - 2009/01/15(Thu) 14:36:26
☆ Re: (No Subject) / あき
すみませんそれで計算したらa=1/4になってしまいました。答えは1らしいです。何回やっても合いませんでした教えて下さい…
No.4720 - 2009/01/20(Tue) 23:35:51
☆ Re: / ヨッシー
まず、ｙ＝ｘ^2 で ｙ’＝−１ となる点を考えると、
ｙ’＝２ｘ より、(-1/2, 1/4) が得られます。つまり、
頂点から、(-1/2, 1/4) 進んだ点です。
　ｙ＝(ｘ−ａ)^2＋1/4
の場合は、頂点のｙ座標が 1/4 なので、交点のｙ座標は
　1/4＋1/4＝1/2
であり、ｙ＝ｘ より、ｘ＝1/2 となり、交点は(1/2,1/2)です。
　ｙ＝(ｘ−ａ)^2＋1/4
が、(1/2,1/2) を通るので、
　1/2＝(1/2−ａ)^2＋1/4
　(1/2−ａ)＝±1/2
　ａ＝０，１
ａ＝０ のときは、交点でなく接点になるので、ａ＝１ が答えです。
No.4725 - 2009/01/21(Wed) 06:46:19
☆ Re: (No Subject) / あき
本当ですねできました！
助かりました！ヨッシーさんいつもありがとうございます(^^)
No.4726 - 2009/01/21(Wed) 11:07:27
★ 関数 / 高２〜３
次の方程式、不等式を解け

√ｘ-１＝７-ｘ　√ｘ-１≦７-ｘ

ルートは-１までです。
よろしくお願いします。
No.4587 - 2009/01/14(Wed) 21:29:24
☆ Re: 関数 / ヨッシー
両辺２乗すれば、２次方程式になりますが、
方程式の場合は、ｘ≧１ が、
不等式の場合は、ｘ≧１　と　ｘ≦７ が、条件として付きます。
ルートの中が負になったり、７−ｘがあまりにも小さい負の数だと、
２乗すると、ｘ−１≦（７−ｘ）2 が成り立ちますが、
そういうのを除くためです。
No.4588 - 2009/01/14(Wed) 22:53:43
☆ Re: 関数 / 高２〜３
分かりました。
ありがとうございます。
No.4590 - 2009/01/14(Wed) 23:31:12
☆ Re: 関数 / ヨッシー
あ、方程式の場合も、ｘ≦７ が必要ですね。
ｘ＝１０ はダメです。
No.4591 - 2009/01/14(Wed) 23:57:05
★ (No Subject) / 匿名
いつもお世話になっています。

2(cos^6θ+sin^6θ)-3(cos^4θ+sin^4θ)の値を求めよ。
》回答では(cos^6θ+sin^6θ)を
　(cos^2θ+sin^2θ)(cos^4θ-cos^2θsin^2θ+sin^4θ)と
　していたのですが、なんでこのように因数分解
　できるのかわかりません。

　とても基礎的なことでお恥ずかしいですが、
　よろしくお願いします。
No.4582 - 2009/01/14(Wed) 16:02:29
☆ Re: / 七
3乗＋3乗
の因数分解だと思いますが？
No.4583 - 2009/01/14(Wed) 16:50:58
☆ Re: / 匿名
これが回答です!
3乗でもできるのでしょうか?
No.4584 - 2009/01/14(Wed) 18:54:09
☆ Re: / ヨッシー
ｘ3＋ｙ3＝(ｘ＋ｙ)(ｘ2−ｘｙ＋ｙ2)
ｘ3−ｙ3＝(ｘ−ｙ)(ｘ2＋ｘｙ＋ｙ2)
という公式が因数分解の単元で出てきます。
No.4585 - 2009/01/14(Wed) 20:16:22
☆ Re: / 匿名
わかりました!
どうもありがとうございました★
No.4586 - 2009/01/14(Wed) 21:03:43
★ 背理法による証明 / Kay(高1女子)
解答解説の説明に途中飛躍と思われるところがあり、充分に詳しくないのでよくわかりません。また、模範解答そのものが正解とするには不十分であると思うのですが、よろしくお願いします。

〔問題〕
ＡＢを斜辺とする直角三角形ＡＢＣがあり、ＢＣ＝ａ，
ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ　とします。ａ，ｂ，ｃそれぞれが正の整数で、かつ最大公約数が１であるようなａ，ｂ，ｃは無数にあることが知られています。このとき、ａとｂのどちらか一方は偶数で他方は奇数であることを証明しなさい。

〔模範解答〕
背理法を用いて証明する。
（?T）ａが偶数、ｂが偶数のとき
　　　?@ｃも偶数となる。このとき、ａ，ｂ，ｃはともに２で割
　　り切れることから、ａ，ｂ，ｃの最大公約数が１であること
　　に矛盾する。
（?U）ａが奇数、ｂが奇数のとき
　　　ｃは偶数となる。r，s，tを正の整数として、
　　?Aａ＝2r-1，ｂ＝2s-1，?Bｃ＝2t　とおくと、
　　　三平方の定理より
(2r-1)^2+(2s-1)^2=(2t)^2
4r^2-4r+1+4s^2-4s+1=4t^2
　　　両辺を２で割って
2(r^2-r+s^2-s)+1=2t^2
　　　この式は、左辺が奇数であるのに対して右辺は偶数であ
　　り、矛盾している。

以上から、ａ，ｂ，ｃは正の整数で、かつ最大公約数が１であるとき、ａとｂのどちらか一方は偶数で他方は奇数である。

〔質問〕
?@でいきなり「ｃも偶数となる」と言っていますが、なぜそう言
　えるのですか。また、何も証明していない段階で、「ｃも偶数
　となる」という書き方自体にも疑問があります。
　　また、たとえば、あらかじめ　ａ=2r，ｂ=2s などと置けば
　ｃ^2=4r^2+4s^2 となりますが、この両辺が２乗されているの
　で、両辺を累乗でない形に直す（つまり「１乗の形にする」と
　言いたいのですが、平方（＝２乗する）の逆の操作を何と言っ
　ていいのか分からないのです。本題からは外れますが、両辺を
　（１／２）乗することを何と言うのかも教えたください。
　すると、
　　c=2*√(r^2+s^2) となりますが、たとえこのように説明し　ても、ルートの中の部分(r^2+s^2)が、整数の平方になってい
　ることをここでは証明していないので、右辺全体として偶数に
　なるとは言えないのではないかと考えました。

?A奇数とおく　という条件でなぜ　ａ＝2r-1，ｂ＝2s-1　とわざ　わざマイナスの形にするのですか。奇数を表す場合、よく見か
　けるのは、2n+1や2m+1 などですが、ここでもａ＝2r+1，
　ｂ＝2s+1　ではいけないのでしょうか。
　
?Bまたいきなり「ｃは偶数となる」と何も証明していない段階で
　述べています。また、ａが奇数、ｂが奇数のとき　の条件の下　で、ｃ＝2t　とおいていますが、これも分かりません。なぜ、
　ｃを偶数とおくのですか。ｃを奇数と置いてｃ＝2t+1　として　はいけないのでしょうか。

不安としては、明らかに説明しなくても分かるほど基本的なことなので、いきなり「ｃは偶数」と言っている、ということも考えましたが、それも説明なしで「偶数」と言える根拠が見つけられませんでした。

長くなってしまいましたが、よろしくお願いします。








　

　
　


　
　　　　　
No.4571 - 2009/01/14(Wed) 00:07:50
☆ Re: 背理法による証明 / ヨッシー
まず、三平方の定理により
　ａ2＋ｂ2＝ｃ2　・・・(1)
が成り立つことは良いですね？
　
ａが偶数、ｂが偶数の時、(1)の左辺は、偶数＋偶数になるので、
偶数です。右辺も当然偶数です。
ところが、ｃが奇数だと、右辺は(奇数)2で奇数となります。
よって、ｃは偶数になります。
今回、問題にしているのは、奇数か偶数であり、ｃが奇数ならダメなので偶数、
という程度の省略は問題ないと思います。

同様に、ａが奇数、ｂが奇数の時、(1) の左辺は
奇数＋奇数となり偶数となるので、ｃは偶数となります。

＞なぜ　ａ＝2r-1，ｂ＝2s-1　とわざ　わざマイナスの形にするのですか
その上に、「r，s，tを正の整数として、」とあります。
ａ＝２ｒ＋１ だと、ａ＝１ を表せません。
どうしても、ａ＝２ｒ＋１ にしたいなら、
「r，sを０以上の整数として、」と書けばいいです。
模範解答は、その方法は選ばなかったようです。
No.4572 - 2009/01/14(Wed) 00:31:13
☆ Re: 背理法による証明 / ヨッシー
両辺を（１／２）乗することは、平方根を取るなどと言えばいいですが、
　ｍ^2＝ｎ^2
だからといって、ｍ＝ｎ とは限らないので、取り扱いには
注意が必要です。
No.4573 - 2009/01/14(Wed) 00:34:51
☆ Re: 背理法による証明 / Kay(高1女子)
ありがとうございました。
No.4581 - 2009/01/14(Wed) 15:01:20
★ 二次不等式 / ゆ
不等式 x^2-2(a-1)x+4＞0
について次の問いに答えよ。
?@すべてのxについて不等式が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。
?A区間0≦x≦4で不等式が成り立つようなaの値の範囲を求めよ。

という問題の解き方を教えて下さい!
No.4567 - 2009/01/13(Tue) 21:09:02
☆ Re: 二次不等式 / あおい
?@は左辺の判別式が0以下になってればよいのでＤ=4(a-1)^2-16>0となります。 これより答えは、 a<-1、3

No.4570 - 2009/01/13(Tue) 23:59:06
☆ Re: 二次不等式 / ヨッシー
上の記事の後半は、
これより答えは、 a＜-1、3＜a です。
と書いてあります。
No.4574 - 2009/01/14(Wed) 05:52:01
☆ Re: 二次不等式 / BossF
?A与式の左辺をf(x)とおけば　(f(x)の記号は既知とします)
　y=f(x)は下に凸な放物線で、軸は x=a-1
よって(普通はここでgraghを描きgraghよりとなるんですが)
a-1≦0なら、f(0)＞0
0≦a-1≦4なら、f(a-1)＞0
4≦a-1なら、f(4)＞0

といった具合に場合分けして解いていきます
No.4575 - 2009/01/14(Wed) 07:41:19
☆ Re: 二次不等式 / ゆ
ありがとうございました!!
No.4593 - 2009/01/15(Thu) 10:52:54
★ (No Subject) / 化学
（１）０．０１mol／ℓ酢酸水溶液の水素イオン濃度が０．０００４mol／ℓであるとする。このとき、酢酸の電離度はいくらか。
（２）０．０２mol／ℓ酢酸水溶液の電離度と[H＋]を求めよ。ただし、酢酸の電離定数は１．８×１０＾（−１５）mol／ℓとする。

解答お願いします。
（２）が読みにくいかもしれませんが、酢酸の電離定数は１．８×１０のマイナス１５乗です。
これでお願いします。
No.4565 - 2009/01/13(Tue) 17:46:23
☆ Re: / BossF
溶液の濃度=c,電離度=α,電離定数=K とします

(1)cα=0.0004 ∴α=0.04

(2)K=[Ch3COO-][H+]/[CH3COOH]
=(cα)^2/{c(1-α)} ∴α={-K±√(K^2+4Kc)}/2c

ここでKが十分に小さいから
　　α≒√4Kc/2c

また　[H+]=cα でもとめるはずなんですが…

これでいくと[H+]が10^(-9)のorderになってしまう…どっかまちがえてるのかな？
No.4576 - 2009/01/14(Wed) 09:11:06
☆ Re: / BossF
ちょっと調べてみたら酢酸の電離定数は 10^(-5)のorderのようですね、何かの勘違いではありませんか？
No.4578 - 2009/01/14(Wed) 09:28:31
★ (No Subject) / クロ
次の２変数関数の極限値を求めよ。
（A）lim（x、y）→（０，０）x＾２／（x＾２＋ｙ＾２）
（B）lim（x、y）→（０，０）（x＾２y）／（x＾２＋ｙ＾２）
私の計算だとどちらも同じ答えになってしまいます。
配られた解答
（A）連続
（B）不連続
この二問の計算方法の違いを詳しく教えていただけたら嬉しいです。
解説お願いします。
No.4563 - 2009/01/13(Tue) 17:34:11
☆ Re: / BossF
[極限値を求めよ]で解答が[連続]？
極限値を調べるのか、連続性を調べるのかどっちでしょうか？連続性を調べるのなら、関数の定義式（f(0,0)の定義)もかいてもらわないと(^^;;
No.4577 - 2009/01/14(Wed) 09:25:28
★ 数?U / 高１
教科書の例題です。教師に聞いても曖昧な答しか返って来なかったので、すみませんがよろしくお願いします。

整式P(x)をx-2で割ると4余り、x+3で割ると−11余る。P(x)を(x-2)(x+3)で割った時の余りを求めよ。

解　P(x)を(x-2)(x+3)で割った時の商をQ(x)とする。余りは１次以下の整式であるから、それをax+bとおくと
　P(x)＝(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b･･･?@
P(x)を-2で割ると4余り、x+3で割ると−11余るので、余剰の定理により
　P(2)=4、P(-3)=-11･･･?A
一方、?@において、xにそれぞれ2､-3を代入すると
　P(2)=2a+b、P(-3)=-3a+b･･･?B
?A、?Bより　2a+b=4、-3a+b=-11
これを特と　a=3、b=2
よって求める余りは　3x-2

>１次以下の整式であるから、それをax+bとおく
なぜxが出てくるのか分からないです。

>2a+b=4、-3a+b=-11
なぜ連立すると(x-2)(x+3)で割った答が出るのか分かりません。
No.4561 - 2009/01/13(Tue) 17:12:57
☆ Re: 数?U / ヨッシー
＞余りはｘの１次以下の整式であるから、それをax+bとおく
と書けばわかりますか？

＞P(x)＝(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b･･･?@
とおいた時点で、この問題の当面の目標は、ａ，ｂ を求めることです。
ａ，ｂ が求まったら、ａｘ＋ｂ が求める余りになるからです。

それを求める方法として、?A，?B から、
　2a+b=4、-3a+b=-11
を、導きます。これを解けば、当面の目標はクリアです。
No.4564 - 2009/01/13(Tue) 17:38:29
☆ Re: 数?U / 高１
ありがとうございます。
No.4568 - 2009/01/13(Tue) 22:38:09
★ 数学?U / ミポ
次の２変数関数の原点における連続性を調べよ。
（１）
ｆ（ｘ、ｙ）＝xy／√（x＾２＋y＾２）のとき（x、y）≠（０．０）、０のとき（x、y）＝（０．０）

読みにくいかも知れませんが答え方が全く分からないので詳しい解説お願いします。
No.4558 - 2009/01/13(Tue) 09:35:32
☆ Re: 数学?U / BossF
　(x,y)≠(0.0)のとき f(x,y)=xy/√(x^2+y^2)
　 (x,y)＝(0.0)のとき f(x,y)=0 (が正しいと信じて)

lim[(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)=0 なら連続です


No.4579 - 2009/01/14(Wed) 09:39:43
★ (No Subject) / L
f(z)が正則ならば、｜f(z)｜は極大値を持たないことを示せ。

という問題の解き方がわかりません。よろしくお願いします。
No.4553 - 2009/01/13(Tue) 00:37:47
☆ Re: / サボテン
Cauchyの積分公式より、
Cをz周りの半径rの円として、
f(z)=1/(2πi)∫_C f(ξ)/(ξ-z)dξ・・・?@

M≡|f(z)|を極大値とする。
C上で∃ξ、|f(ξ)|
M=|f(z)|>M
これは矛盾。
よってf(z)は極大値を持つなら定数関数しかありえない。
No.4566 - 2009/01/13(Tue) 19:30:44
★ 平面図形 / タラちゃん(小４）
図がかけないので、わかりづらいと思いますが、教えてください。
(問題)半径4cmの円4つをそれぞれの円周が1点で交わるように重ねたところ四角形ABCDが正方形になりました。
かげをつけた部分の面積を求めなさい。

図は、正方形の中に4つの円がそれぞれ重なっています。（花びら型の部分が4つできています）その花びら型の部分二つ分のところにそって直線が辺ABから辺DCまで平行に2本引いてあります。（横に細長い長方形の中に花びら型が二つある）その細長い長方形の部分がかげのついた部分です。

わかりづらくてすみません。
どうしてもわからないので、お願いします。
No.4549 - 2009/01/12(Mon) 22:10:23
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー

図を描いてみましたが、この先どうするか？
あるいは、全然ちがうのか？
教えてください。
No.4550 - 2009/01/12(Mon) 23:42:00
☆ Re: 平面図形 / タラちゃん(小４）
すみません。全然ちがいます。
正方形の中に、
4つの円(半径4cm）
○○
○○が、少しずつ重なって（花びら型４まいができる程度）正方形に接して４つ全てがおさまっています。
そして、真ん中の花びら2つ(横長の花びら）の上部と下部に接するように平行な直線が２本引いてあります。（正方形のたての辺AB,DCに垂直な線です）その平行な２本の線と、正方形のたての線が接して横に細長い長方形ができ、その部分がかげの部分です。
細長い長方形のなかに花びら型が入っています。

（正方形の真ん中に横線が2本引いてあり、その幅の中に花びら型２つがおさまっている状態です。
その、横に細長い長方形の部分の面積を求める問題です。）

本当に、わかりづらくてごめんなさい。
No.4552 - 2009/01/13(Tue) 00:22:50
☆ Re: 平面図形 / hari
このような図ですか？
影の部分はEFGH？


No.4555 - 2009/01/13(Tue) 01:50:50
☆ Re: 平面図形 / タラちゃん(小４）
はい、そのとおりです。
よろしくお願いします。
No.4557 - 2009/01/13(Tue) 07:10:44
☆ Re: 平面図形 / らすかる
(かげの部分の面積)
＝{(緑色)＋(水色)}×2
＝{(緑色)＋(黄色)}×2
＝(赤色)×2
＝(8cm×8cmの正方形の面積)÷2
No.4559 - 2009/01/13(Tue) 10:27:37
☆ Re: 平面図形 / ヨッシー
らすかるさんの方がわかりやすいですが、
一応のせておきます。

影の部分を図のようにＬ字形の図形に直します。
これは、１辺８ｃｍの正方形から、少し小さい正方形を引いたものです。

一方、外側の正方形の１辺は、
　4cm＋4cm＋(1辺4cmの正方形の対角線)
なので、右上の小さい正方形は、1辺4cmの正方形の２倍の面積になります。
よって、求める面積は
　８×８−４×４×２＝３２(cm2)
となります。
No.4560 - 2009/01/13(Tue) 11:40:20
☆ Re: 平面図形 / タラちゃん(小４）
ヨッシー先生、hari先生、らすかる先生
私のわかりづらい説明を読み取ってくださって、また、ていねいに教えてくださってありがとうございました。

よくわかりました。
No.4562 - 2009/01/13(Tue) 17:22:38
★ 重責分の問題教えてください。 / ゆうすけ
Dを（）内の不等式で表される領域とするとき、次の2重積分の値を求めよ。（領域Dも図示せよ。）

∫∫[ ,D]sin(2x+y)dxdy (0≦x≦π/2, x≦y≦2x)


途中までしか分かりませんでした。
∫∫[ ,D]sin(2x+y)dxdy
=∫[π/2,0]{∫[2x,x]sin(2x+y)dy}dx
=∫[π/2,0]{-cos ・・・
すみませんが宜しくお願いします。
No.4548 - 2009/01/12(Mon) 22:02:16
☆ Re: 重責分の問題教えてください。 / BossF
∫[2x,x]sin(2x+y)dy=[-cos(2x+y)][2x,x]
=cos3x-cos4x

∴∫[π/2,0]{∫[2x,x]sin(2x+y)dy}dx
=∫[π/2,0](cos3x-cos4x)dx
=[(sin3x)/3-(sin4x)/4][π/2,0]
=-1/6

あってるかなぁ(^^;;
No.4580 - 2009/01/14(Wed) 09:50:18
☆ Re: 重責分の問題教えてください。 / ゆうすけ
ありがとうございました。
No.4611 - 2009/01/15(Thu) 21:59:57
★ 高校1年の図形問題 / 数学助けて
高校1年の数学の問題です。

問題；BC=3,CA=4,cosB=-1/4(マイナス4分の1)
　　　である△ABCがある。

(1)sinBの値を求めよ。

(2)辺ABの長さを求めよ。また、△ABCの面積を求めよ。

(3)△ABCの外接円の周上にBと異なる点Dを、BC=CDとなるようにとり、
　ACとBDの交点をEとする。このとき、CEの長さを求めよ。また、
　△CDEの面積を求めよ。

…です。
全く解らないので、教えてください!!
No.4538 - 2009/01/12(Mon) 15:04:24
☆ Re: 高校1年の図形問題 / ヨッシー
cosθ＝-1/4 となるような角は、以下のような角です。


これを使って、△ＡＢＣの図を描くと、このようになります。


(1) sin2θ＋cos2θ＝１ を使うと、
　sinＢ＝√15/4
(2) 余弦定理　CA2＝AB2＋BC2−2AB・BCcosＢ　を使うと、
　AB＝2
また、公式 △ＡＢＣ＝(1/2)AB・BC・sinＢ　を使うと、
　△ＡＢＣ＝3√15/4

とりあえず、ここまで。
No.4546 - 2009/01/12(Mon) 19:09:31
☆ Re: 高校1年の図形問題 / 数学助けて
なるほど！
ありがとうございます！
わかりやすいです！！

問題は3番ですね…
No.4547 - 2009/01/12(Mon) 19:57:15
☆ Re: 高校1年の図形問題 / ヨッシー

外接円の半径Ｒとすると、sin∠ＡＢＣ＝√15/4 より、
　２Ｒ＝ＡＣ/sin∠ＡＢＣ＝16/√15
△ＢＣＤにおける正弦定理より
　sin∠ＥＢＣ＝ＤＣ/２Ｒ＝3√15/16
よって、
　cos∠ＥＢＣ＝11/16
また、∠ＥＢＣ＝∠ＢＤＣ　から
　ＢＤ＝２ＤＣcos∠ＢＤＣ＝33/8

一方、△ＡＢＣにおける余弦定理より
　cos∠ＡＣＢ＝7/8
　sin∠ＡＣＢ＝√15/8
図のようにｘ、ｙを取ると、
△ＢＣＥにおける正弦定理より、
　x/sin∠ＥＢＣ＝y/sin∠ＥＣＢ
よって、
　ｙ＝(2/3)x

方べきの定理　ＡＥ・ＥＣ＝ＢＥ・ＥＤ　より
　x(4-x)＝y(33/8−y)
これに、　ｙ＝(2/3)x を代入して解くと、ｘ＞０ より
　ｘ＝9/4　また　ｙ＝3/2
△ＣＤＥ＝(1/2)ＤＣ・ＤＥsin∠ＥＤＣ
　＝189√15/256
No.4551 - 2009/01/13(Tue) 00:10:13
☆ Re: 高校1年の図形問題 / 数学助けて
ありがとうございます！

図が付いていてい
すごくわかりやすかったです
No.4556 - 2009/01/13(Tue) 04:56:06
★ 微分係数 / さき(高２)
解き方から分かりません；

問...関数f(x)=2x^2-3 について x=2 における微分係数を定義にしたがって答えよ。


あと『関数f(x)=-x^2+2x について f'(3) の微分係数を求めよ。』
という問題は、先の問題と同じ解答法でいいのでしょうか？

解答お願いします。
No.4527 - 2009/01/12(Mon) 11:57:59
☆ Re: 微分係数 / ヨッシー
定義にしたがってとあるので、定義に当てはめます。
f(x) の x=a における微分係数は、
　limdx→0{f(a+dx)−f(a)}/dx
なので、
　limdx→0[{2(a+dx)^2-3}−(2a^2-3)]/dx
　＝・・・

後半は、文章が少し変ですが、定義式をいちいち書かなくても、
公式通りで良いのでしょう。
微分係数 f'(3) を求めよ。の方が良いし、f'(3) を求めよ。
で十分です。
No.4529 - 2009/01/12(Mon) 12:07:56
☆ Re: 微分係数 / さき(高２)
解けました!!
いつも丁寧にありがとうございます。
No.4533 - 2009/01/12(Mon) 13:18:26
☆ Re: 微分係数 / さき(高２)
再び質問です!

3次関数 f(x)=ax^3+bx^2-6 がある。
f'(1)=7,f(-2)=4 となるように定数a,bの値を定めよ。

という問題の解き方が分かりません。。
解答よろしくお願いします。
No.4539 - 2009/01/12(Mon) 15:21:35
☆ Re: 微分係数 / にょろ
何処まで分かったのか書かないと…

f'(x)=3ax^2+2bx
f'(1)=3a(1)^2+2b(1)=7
f(-2)=a(-2)^3+b(-2)^2-6=4
後は中学一年生の問題です。
No.4542 - 2009/01/12(Mon) 17:31:20
☆ Re: 微分係数 / さき(高２)
連立で解くんだろうなぐらいしか
分かりませんでした；
ありがとうございました!
No.4544 - 2009/01/12(Mon) 17:54:07
★ 数Ａ / 高1
★四角形が円に内接する条件
(1)１組の対角の和が180度である
(2)１つの外角が、それと隣り合う内角の和に等しい

上の定理の(2)の場合を、(1)の場合を用いて証明せよ。


★右の図において、AR,BP,CP,DRはそれぞれ角の二等分線である。このとき、4点P,Q,R,Sは同一円周上にあることを証明せよ。

2問立て続けですみません。解答の指針を教えてください。よろしくお願いします。
No.4525 - 2009/01/12(Mon) 11:52:34
☆ Re: 数Ａ / ヨッシー
★(2) は成り立ちません。

図において、●＝○＋△ にはなりませんよね？

★△ＡＤＲと△ＢＣＰの内角の和を足したものを考えます。
　それから、∠ＡＲＤと∠ＢＰＣの和がいくつになるかを
　計算します。
No.4528 - 2009/01/12(Mon) 12:02:36
☆ Re: 数Ａ / 高1
＞１つの外角が、それと隣り合う内角の和に等しい

申し訳ありません。
「１つの外角が、それと隣り合う内角の対角に等しい」ですね。
No.4535 - 2009/01/12(Mon) 13:23:59
☆ Re: 数Ａ / ヨッシー
向かい合う２つの角を∠Ａ、∠Ｃとし、∠Ｃの外角をθとします。
(1) ∠Ａ＋∠Ｃ＝180°
(2) θ＝∠Ａ
∠Ｃ＋θ＝180°　（θは∠Ｃの外角）は自明なので、
(1)と(2)は同値となり、(1)が四角形が円に内接する条件
であるならば、(2)も四角形が円に内接する条件となります。
No.4536 - 2009/01/12(Mon) 13:40:34
☆ Re: 数Ａ / 高１
ありがとうございます。
No.4537 - 2009/01/12(Mon) 14:50:11
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