ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 大学１年　数学?U / みほ

次の関係式が定める陰関数についてｄｙ／ｄｘ、ｄ＾２ｙ／ｄｘ＾２をもとめよ。
ｘ＾３＋ｙ＾３－３ｘｙ＝０

ｄ＾２ｙ／ｄｘ＾２について答えまで導くことができません・・・・。解説お願いします。

答え　　２ｘｙ／（ｘ－ｙ＾２）＾３
これを利用して解けませんでした・・・・。
第２次導関数

ｄ＾２ｙ／ｄｘ＾２＝－｛Ｆｘｘ（Ｆｙ）＾－２ＦｘｙＦｘＦｙ＋Ｆｙｙ（Ｆｘ）＾２｝／（Ｆｙ）＾３

No.4786 - 2009/01/23(Fri) 01:27:15

★ 大学１年　数学?U / みほ

ｆ（ｘ．ｙ）＝ｘ＾３＋ｙ＾３のとき
ｆ（ｘ．ｙ）＝ｆ（０．０）＋ｘ＊ｆｘ（θｘ．θｙ）＋ｙ＊ｆｙ（θｘ．θｙ）
となるθの値を求めよ。

答え・・・・１／√３
プロセスがわかりません・・・・。
問題読みとりにくいかもしれませんが、解説お願いします。

No.4784 - 2009/01/23(Fri) 01:17:37

☆ Re: 大学１年　数学?U / ヨッシー

ｆx(x,y)＝３ｘ²
ｆy(x,y)＝３ｙ²　より、
ｆ(0,0)＋ｘ*ｆx(θx, θy)＋ｙ*ｆy(θx, θy)
　＝０＋3θ²ｘ³＋３θ²ｙ³
となり、これが、f(x,y)＝ｘ³＋ｙ³ に
一致するようにθを決めると
　3θ²＝１
　θ＝1/√3
となります。

No.4785 - 2009/01/23(Fri) 01:26:12

☆ 大学１年　数学?U / みほ

ｘ*ｆx(θx, θy)が3θ2ｘ3になるのがよくわかりません・・・。どう考えたらθが２乗になるんですか？
わかりません。再度解説お願いします。

No.4805 - 2009/01/24(Sat) 07:18:41

★ 小学生です。 / オバマ

塾の算数の予習なのですが教えてください。
よく、3センチ、4センチ、5センチの直角3角形が
出てくるのですが。この３，４，５に
なにか関係あるのですか？
どのような関係か教えてください。
ただの３，４，５センチの直角三角形ですか。
よろしくお願いします。

No.4774 - 2009/01/22(Thu) 22:39:57

☆ Re: 小学生です。 / ヨッシー

こちらにもありますが、
これは、ピタゴラスの定理という関係です。

直角三角形の一番長い辺（直角と向かい合う辺)を斜辺といいます。
この場合は、５が斜辺です。
　斜辺の２乗（斜辺×斜辺）が他の２辺の２乗の和に等しい
というのがピタゴラスの定理です。
　５×５＝３×３＋４×４
という具合です。

この５×５を１辺が５の正方形の面積、他の２辺も
それぞれの大きさの正方形にたとえて、
↓このように図で説明したりします。

このような数は
　５，１２，１３
　７，２４，２５
など、いくらでも作ることが出来ますが、
３，４，５が一番簡単なので、良く問題などに使われます。

No.4776 - 2009/01/22(Thu) 22:51:24

☆ Re: 小学生です。 / オバマ

ヨッシー先生少しの時間の差で、投稿してしまいました。
教えてくれていたのですね。ありがとうございました。
とても、分かりやすい面積の動画もありがとうございました。こちらで、いつも見るこのように動いているのを
途中の場面で止めることは、出来るのですか？
急いでいませんので、また教えてください。
本当に、少しの時間の差で、ごめんなさい。
投稿した後、色々と見ていましたらありました。
すみませんでした。勉強になりました。

No.4780 - 2009/01/22(Thu) 23:04:23

☆ Re: 小学生です。 / ヨッシー

GIF動画を操作できるソフトがあれば、この画像を保存して、
そのソフトで開けば、ひとつひとつの画像を取り出すことが出来ます。

No.4782 - 2009/01/22(Thu) 23:25:40

★ (No Subject) / 瑠依高3

2日考えたのですが、全く分りません。
おねがいします。

平面上に点Oを中心とする半径1の円周Sを考える。
(1)S上の2点A,Bに対し、OA→+OB→=OE→となる点Eをとる。
OE→≠0→のとき、線分OEが角AOBを2等分することを示せ。

(2)Sに内接する三角形ABCが条件OA→+OB→+OC→=0→を満たすとする。このとき三角形ABCはどのような三角形になるか、証明付きで述べよ。

(3)Sに内接する四角形ABCDが条件AB→+OB→+OC→+OD→=0→を満たすとする。
このとき四角形ABCDはどのような四角形になるか、証明付きで述べよ。

No.4773 - 2009/01/22(Thu) 22:10:04

☆ Re: / ヨッシー

(1)
ベクトルの和の性質より
四角形ＯＡＥＢは平行四辺形になります。
ＯＡ＝ＯＢ＝１なので、この平行四辺形は、菱形です。
菱形の対角線は、互いに直交し、かつ２等分し合うので、
△ＡＯＢという二等辺三角形に対して、ＯＥは、∠ＡＯＢを
二等分します。
（菱形の性質から明らか、としてもいいかも）

(2)
　ＯＡ＋ＯＢ＝－ＯＣ
と、(1) の結果より、
直線ＯＣは、∠ＡＯＢを二等分します。よって、
　∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＣ
　ＯＡ＋ＯＣ＝－ＯＢ
から同様に
　∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ
また、∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ＋∠ＣＯＡ＝360°
より、
　∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝120°
および　ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝１より
△ＡＢＣは正三角形になります。

(3)
ＡＢではなく、ＯＡだとします。
　ＯＡ＋ＯＢ＝ＯＥ
　ＯＣ＋ＯＤ＝ＯＦ
とすると、
　ＯＥ＝－ＯＦ
より、
　∠ＡＯＢの二等分線と、∠ＣＯＤの二等分線が
同一直線上にあり、かつ大きさが等しいので、
　△ＡＯＥ≡△ＢＯＥ≡△ＣＯＦ≡△ＤＯＦ
となり、
　∠ＡＯＥ＝∠ＢＯＥ＝∠ＣＯＦ＝∠ＤＯＦ＝α
となります。
同様に
　ＯＡ＋ＯＤ＝ＯＧ
　ＯＣ＋ＯＢ＝ＯＨ
とすると、
　∠ＡＯＧ＝∠ＤＯＧ＝∠ＣＯＨ＝∠ＢＯＨ＝β
となります。
　∠ＡＯＥ＋∠ＢＯＥ＋∠ＣＯＦ＋∠ＤＯＦ＋∠ＡＯＧ＋∠ＤＯＧ＋∠ＣＯＨ＋∠ＢＯＨ＝４(α＋β)＝360°
より、
　α＋β＝90°
これより
　∠ＢＯＤ＝∠ＢＯＥ＋∠ＡＯＥ＋∠ＡＯＧ＋∠ＤＯＧ＝180°
　∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＧ＋∠ＤＯＧ＋∠ＤＯＦ＋∠ＣＯＦ＝180°
となり、四角形ＡＢＣＤは、対角線ＡＣ，ＢＤが長さがともに２で等しく、点Ｏで二等分し合うので、長方形となります。

No.4781 - 2009/01/22(Thu) 23:23:48

☆ Re: / 瑠依高3

ありがとうございます。
やっと分りました。

No.4797 - 2009/01/23(Fri) 22:06:46

★ (No Subject) / あざらし

何度しても解けません・・・。かなり悩んでます助けて下さい。
この問題なんですが↓
AB=３a AC=a BC＝４√２を満たす三角形ABCがあり、その外接円は半径３である。ただしaは正の定数とし、角Aは鋭角とする。

?@cosAの値を求めよ。またaの値を求めよ。
?A三角形ＡＢＣの外接円の点Ａを含まない弧ＢＣ上に点Ｄをとり、四角形ＡＢＣＤをつくる。四角形ＡＢＣＤの面積が最大になるとき、その最大値を求めよ。

どなたか教えて下さると助かります。よろしくお願いします。

No.4771 - 2009/01/22(Thu) 21:42:53

☆ Re: / ヨッシー

(1)
正弦定理より
　4√2/sinＡ＝６
よって、sinＡ＝2√2/3
　cos²Ａ＝１－sin²Ａ＝1/9
Ａ＜π/2 より cosＡ＝1/3

余弦定理
　ＢＣ²＝ＡＢ²＋ＡＣ²－２ＡＢ・ＡＣcosＡ
より
　32＝9a²＋a²－６ａ²×1/3＝８ａ²
よって、ａ＝２

(2)
ＢＣを底辺としたとき、点Ｄが、ＢＣから最も離れたときに
△ＢＣＤは最大となります。それは、ＢＤ＝ＣＤのときなので、
　ＢＤ＝ＣＤ＝ｂ
とおくと、余弦定理より
　ＢＣ²＝ＢＤ²＋ＣＤ²－２ＢＤ・ＣＤcos∠Ｄ
　∠Ａ＋∠Ｄ＝180° なので、
　cos∠Ｄ＝cos(180°－∠Ａ)＝-cos∠Ａ＝-1/3
よって、
　32＝ｂ²＋ｂ²＋(2/3)ｂ²＝８ｂ²／３
　ｂ＝2√3

このとき、
　△ＡＢＣ＝(1/2)ＡＢ・ＡＣsinＡ＝4√2
　△ＢＣＤ＝(1/2)ＢＤ・ＣＤsinＤ＝4√2
よって、四角形ＡＢＤＣの面積の最大値は8√2 となります。

No.4783 - 2009/01/22(Thu) 23:38:56

★ (No Subject) / 数学大好き

１つのさいころを５回続けて投げる。

?@５回のうち１回だけ２の目が出て、残りの４回は奇数の確率。
?A各回に出た目の数の積が４の倍数となる確率。

?@の答えは5/96でしょうか？?Aはさっぱりわからないのですがどうすればいいんでしょうか？
どなたかよろしくお願いします。答えも教えて下さると助かります。

No.4770 - 2009/01/22(Thu) 21:39:41

☆ Re: / 通りすがり

教えて!goo/OKWaveでの質問番号：4652530

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4652530.html

No.4772 - 2009/01/22(Thu) 22:02:38

☆ Re: / 数学大好き

ありがとうございます。
(2)の答えが83/96になったんですがあってますかね？

No.4787 - 2009/01/23(Fri) 05:39:28

☆ Re: / ヨッシー

答えは合っていますね。

No.4788 - 2009/01/23(Fri) 05:44:18

☆ Re: / 数学大好き

ありがとうございます。

No.4789 - 2009/01/23(Fri) 06:09:07

★ (No Subject) / みな

　簡単なのか難しいのか解りません。教えてくだい。
ある工場でAさんとＢさんが働いています。Aさんは10秒間に製品を８個作る事ができ、Ｂさんは１０秒間に６個しかつくる事ができません。1日の二人に課せられたノルマは８２０台で、二人が同時に仕事を終わらせるには、何個ずつ分け与えばいいでしょう？
　以上、お願いいたします。

No.4769 - 2009/01/22(Thu) 21:24:46

☆ Re: / ヨッシー

840台だとちょうど割り切れますが。

１０秒間に８個と６個の合わせて、１４個出来ます。
同じ時間だけ仕事をすると、この比率で、仕事は進んでいきます。

つまり、８２０を８：６に分けて、
　８２０×8/14＝469
　８２０×6/14＝351
ずつに分けます。ちなみに840台だと480と360になります。

さらにちなみに、840台の場合、600秒＝10分で、１日の仕事が終わります。
８２０台だともっと短いです。
　

No.4775 - 2009/01/22(Thu) 22:44:48

☆ Re: / みな

　ありがとうございました。(*^_^*)

No.4778 - 2009/01/22(Thu) 22:56:32

★ (No Subject) / ラビ

どうもありがとうございました。
変な問題だと思ったのですが・・・工夫をしなさいということなのですね。きっと。
お世話をかけてすみませんでした。

No.4765 - 2009/01/22(Thu) 19:35:26

☆ Re: / ヨッシー

やるだけ時間の無駄と思います。
学校で出た問題なのですか？

No.4766 - 2009/01/22(Thu) 19:42:28

☆ Re: / ラビ

友達から聞いた問題なので、答え方が違っているのかもしれません。すみません。。。

No.4767 - 2009/01/22(Thu) 19:48:42

☆ Re: / ヨッシー

こちらに記事があります。
誤った答えもありますが(^^;

入試に出たとありますが、この９００桁に及ぶ数を
答えさせるとは思えませんね。

No.4768 - 2009/01/22(Thu) 19:58:25

☆ Re: / ラビ

ありがとうございます。確認したら、下一桁の数を答えるものでした。お世話をかけました。

No.4790 - 2009/01/23(Fri) 09:22:17

★ 計算 / ラビ

中学２年生です。よろしくお願いします。
３の2008乗という問題がわかりません。どのように解いたらよいのでしょうか。教えてください。

No.4760 - 2009/01/22(Thu) 18:27:51

☆ Re: 計算 / ヨッシー

これを、そのまま答える問題なのですか？
１の位の数を答えよ、などではなく？

No.4761 - 2009/01/22(Thu) 18:29:19

☆ Re: 計算 / ラビ

そのまま答える問題です。

No.4763 - 2009/01/22(Thu) 18:32:54

☆ Re: 計算 / ヨッシー

114677832825523172109790934763393380032411789800622718
653637972454899125927171544852414427287821727697670703
255174091596989289483077792122363420715799363620795681
781257703402739222158924462609548102528951333505262537
948506973377847503072329079715302013464945811678831357
416370632804393957776616232703303118450907337565065490
733111420551461376319927119682428393286162925117428209
534881373808998297588234457211355983547090146402875523
183395341730207182271365705573351594200627677546745256
574940693542126114617548469115053704873142016172901977
405047971798464618602210858051876700215406582569867512
545971675104841245835007598867760391162297916995288391
119907603514455531838926113599298094154246760143723740
489774997961921514722111790119077712491976790153758059
052519434306626793601693351492749715621448379199223187
609788870123436628710828087726846572801628321094046395
015396893080329394425615444263015072236317203952165747
81138638864539784395371926814018596846561

959桁の数になります。
ただただ掛けるだけです。
途中で、
3^2000＝3^1000×3^1000
のような、工夫をすれば、単純に３を2008回掛けるよりは
回数が減ります。

No.4764 - 2009/01/22(Thu) 19:25:40

★ ギブアップです・・・ / moco

２日考えましたが、ギブでした。
助けて下さい。

半径のわからない円Ｏに内接する三角形ＡＢＣがあります。
（三角形は中心Ｏを囲むようにあります。）
弦ＡＢ６センチ、弦ＡＣ４センチ、角ＢＡＣ６０度です。
（１）で角ＢＯＣが１２０度ということを求めました。
そして（２）。弦ＢＣの長さを求めなさい。

よろしくお願いします。

No.4756 - 2009/01/22(Thu) 17:17:05

☆ Re: ギブアップです・・・ / ヨッシー

高校１年(と思いました)で習う、余弦定理
　ＢＣ²＝ＡＢ²＋ＡＣ²－２ＡＢ・ＡＣcos∠ＢＡＣ
を使います。

(2) だけについては、円に内接していることは、関係ありません。
おそらくこの後、(1) の結果と合わせて、半径を求めるのでしょう。

ただし、正弦定理
　ＢＣ/sin∠ＢＡＣ＝２Ｒ　（Ｒは外接円の半径）
を使えば、∠ＢＯＣは、必要ありません。

No.4757 - 2009/01/22(Thu) 17:30:31

☆ Re: ギブアップです・・・ / moco

すみません、書き忘れてしまいました！！
高校入試で出てきた問題なので、三角関数とかは知らない状態で解かなきゃいけないんです・・・。

No.4758 - 2009/01/22(Thu) 18:11:47

☆ Re: ギブアップです・・・ / ヨッシー

図のように、正三角形ＡＢＤを作ります。
各辺の長さは、図のようになりますが、
△ＢＥＣにおける三平方の定理により、ＢＣを求めることが出来ます。
答えは2√7 です。

No.4759 - 2009/01/22(Thu) 18:23:00

☆ Re: ギブアップです・・・ / moco

ありがとうございました！！
感謝します！！！

No.4762 - 2009/01/22(Thu) 18:30:14

★ (No Subject) / じゅん

丁寧に書いていただきありがとうございます。　
私の書き方があまりうまくなっかったので一部間違えてしまいました。　
(１)∫sin2x*e＾cos2xdx

因みに解答は(１)(－1/2)e＾cos2x

No.4751 - 2009/01/22(Thu) 08:32:33

☆ Re: / ヨッシー

No.4750 の (1) の最後の１行は、
　(与式)＝(-1/2)∫ｅ^ｕdu＝(-1/2)ｅ^(cos2x)＋Ｃ
ですね。係数を抜かしてしまいました。

というわけで、問題を間違えて解釈したわけではありません。

No.4752 - 2009/01/22(Thu) 08:54:38

★ 部分積分 / じゅん

はじめまして。どうしてもこの二問が解けません。力を貸して下さい。
(１)∫sin2xe＾cos2xdx
(２)∫sin2x㏒(sin＾2・x)

No.4749 - 2009/01/22(Thu) 01:21:00

☆ Re: 部分積分 / ヨッシー

(1)
ｕ＝cos2x とおくと
　du＝-2sin2xdx
より、
　(与式)＝(-1/2)∫ｅ^ｕdu＝ｅ^(cos2x)＋Ｃ

(2) dx が抜けていますね。
　ｕ＝sin^2ｘ＝(１－cos2x)/2 とおくと、
　du＝sin2xdx より、
　(与式)＝∫logｕdu＝∫(u)’logｕdu
　　＝ｕlogｕ－∫ｕ(1/u)du
　　＝ｕlogｕ－ｕ＋Ｃ
　　＝{(１－cos2x)/2}log{(１－cos2x)/2}－(１－cos2x)/2＋Ｃ

No.4750 - 2009/01/22(Thu) 07:09:22

★ (No Subject) / tennti

ｘの２次関数ｆ（ｘ）＝ｘ＾２－２ax＋a^2-a-5（aは定数）があり、放物線y=f(x)はｘ軸と異なる２点P（α,0）,Q(β,0)で交わっている。ただしα＜βとする。

?@aのとりうる範囲を求めよ。
?Aα＞１かつβ＞１のとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。
?B|α|＞１かつ|β|＞１のとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。

よろしくお願いします＾＾；

No.4745 - 2009/01/21(Wed) 22:28:38

☆ Re: / ヨッシー

上の２行だけで、
ｘの２次方程式
　ｘ^2－2ax＋a^2-a-5＝０
は、異なる2つの実数解α、β(α＜β)を持つ
と読み取れますか？

そうすると、
?@は、判別式＞０だけでＯＫ
?Aは判別式＞０かつ軸＞１かつ f(1)＞０
?Bは、α＜β＜-1、1＜α＜β、α＜-1 かつ 1＜β
の３つに分け、それぞれを満たすａを求めます。

No.4754 - 2009/01/22(Thu) 10:39:17

★ (No Subject) / tennti

ｘの不等式ｘ＾２－２ｘ≦０……?@ ｘ＾２－ax－２a^2＜０……?A があるただしaは定数とする。

（１）０＜a＜１の時不等式?Aを解け。またこのとき不等式?@?Aを同時に満たすｘの値の範囲を求めよ。
（２）不等式?@?Aを同時に満たすｘの数値が、ちょうど２個存在するとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。

No.4744 - 2009/01/21(Wed) 22:28:19

☆ Re: / ヨッシー

(1)
?Aは、(ｘ－２ａ)(ｘ＋ａ)＜０　と書けるので、
　２ａ＜ｘ＜－ａまたは－ａ＜ｘ＜２ａです。
どちらになるかは、２ａと－ａの、どちらが大きいかによります。
また、?@は　ｘ(ｘ－２)≦０なので、０≦ｘ≦２です。
よって、?@と?Aの共通部分は、０≦ｘ＜２ａとなります。

(2)は、問題文に不備があると思います。

No.4755 - 2009/01/22(Thu) 10:49:05

★ (No Subject) / 杏

関数f(x)=∫(-1=>1)|t-x|dx-2について
1)x≧1のとき,積分を計算してf(x)を求めよ
2)関数y=f(x)のグラフと直線y=x+1とで囲まれる部分の面積を求めよ

どなたか教えて下さい(>_<)

No.4739 - 2009/01/21(Wed) 18:35:48

☆ Re: / ヨッシー

どこかで、ｘとｔが書き間違えてると思うのですが。

ご確認ください。

No.4741 - 2009/01/21(Wed) 19:59:48

☆ Re: (No Subject) / 杏

すみません;;
dxではなくdtです

No.4742 - 2009/01/21(Wed) 20:05:55

☆ Re: / にょろ

∫(t-x)dtを試しにやってみます。
∫tdt-∫xdt

赤字の所はtで積分しているので
∫tdt=t^2/2+C
青地の所はtで積分しているので「xは定数」です。
なので
∫xdt=xt+C

(1)については絶対値がはずれます。
なのでこの方法で

No.4747 - 2009/01/21(Wed) 22:32:16

★ (No Subject) / まな

お願いします??

２次方程式x2+2ax+3a+4=0…?@と
xについての不等式2分の3+2b-x＜3分の5-3x＜4分の9+2b-2x…?Aがある。
ただしa.bわ定数とする。
2次方程式?@が重解をもつときa=-1と4でありa=-1のとき重解をαとするとα=1である。
x=αが不等式?Aの解に含まれるとき□＜b＜□である。

No.4733 - 2009/01/21(Wed) 15:20:25

☆ Re: / にょろ

携帯の絵文字は使わないようにしましょう。
PCでは見えないんです。
機種依存文字(丸囲み文字)もちょっと危ないです。

x2+2ax+3a+4=0…(1)
(3/2)+2b-x<(5/3)-3x<(9/4)+2b-2x…(2)
でよろしいですか?

で
a=-1
x=1
を代入すれば
「b」についての不等式
(3/2)+2b-x<(5/3)-3x
(5/3)-3x<(9/4)+2b-2x
が出てくるのでこれを解けば終わりです。
αは自分で解いたと言うことですか?

No.4734 - 2009/01/21(Wed) 16:47:16