ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 数列の問題です / ろく

数列の問題が分かりません。２問ありますが、お願いします。

?@a(1)=2 a(n+1)=2a(n)+6/a(n+1) のとき、b(n)=a(n)-3/a(n)+2 とおく。

この時、b(n+1)とb(n)の関係式と、a(n),b(n)　を求めよ

《文字の横の()は普段右下に小さく書く数字のことです》

?Aある等差数列の初項から第p項までの和はp/qで、第q項までの和はq/pである。
この時、第(p+q)項までの和を求めよ。ただしp＝qではない

?@はさっぱり分かってません。?AはΣの形に直して代入しようとしましたが、上手くいきませんでした。

よろしくお願いします。

No.2026 - 2008/08/13(Wed) 15:59:41

☆ Re: 数列の問題です / ヨッシー

たとえば、b(n)=a(n)-3/a(n)+2 は、

のように、読み取れます。（額面通りで行けば、一番上ですが）

また、a(n+1)=2a(n)+6/a(n+1) も同様ですし、
添え字も、ｎ＋１，ｎ，ｎ＋１で合っていますか？

今一度確認していただいて、今度は、
　b(n)=a(n)-{3/a(n)}+2
　b(n)={a(n)-3}/{a(n)+2}
　b(n)=a(n)-[3/{a(n)+2}]
のように、カッコを補ってください。

No.2027 - 2008/08/13(Wed) 16:21:05

☆ Re: 数列の問題です / ヨッシー

(2)の方から行きます。
初項ａ、公差ｄ　とすると、
第ｐ項　ａ＋(ｐ－１)ｄ
第ｑ項　ａ＋(ｑ－１)ｄ
第ｐ項までの和　{２ａ＋(ｐ－１)ｄ}ｐ/２＝ｐ／ｑ
第ｑ項までの和　{２ａ＋(ｑ－１)ｄ}ｑ/２＝ｑ／ｐ
より、
　{２ａ＋(ｐ－１)ｄ}ｑ＝２　・・・(i)
　{２ａ＋(ｑ－１)ｄ}ｐ＝２　・・・(ii)
(i)×ｐ－(ii)×ｑ
　(ｐ－ｑ)ｐｑｄ＝２(ｐ－ｑ)
ｐ≠ｑより、両辺ｐ－ｑで割って、
　ｐｑｄ＝２

一方、
第１項から第ｑ項までのｑ個の数と、
第ｐ＋１項から第ｐ＋ｑ項までのｑ個の数では、
後者の方が、１つ１つの項がｐｄずつ大きく、
そういう項がｑ個あるので、合計でｐｑｄ大きくなります。

以上より、第ｐ＋ｑ項までの和は、
　(p/q)＋(q/p＋pqd)＝p/q ＋ q/p ＋２＝(p+q)²/pq

No.2030 - 2008/08/13(Wed) 17:40:54

☆ Re: 数列の問題です / ろく

分かりづらくてすいません・・。
問題が間違っていました。
正しくは、　a(n+1)={2a(n)+6}/{a(n)+1}
　　　　　　b(n)={a(n)-3}/{a(n)+2}　　でした。

No.2031 - 2008/08/13(Wed) 17:45:02

☆ Re: 数列の問題です / ヨッシー

＞b(n+1)とb(n)の関係式
と書いてあるので、まさにそれを求めに行きます。
　b(n+1)={a(n+1)-3}/{a(n+1)+2}
の右辺の a(n+1) に、a(n+1)={2a(n)+6}/{a(n)+1}
を代入して、
　b(n+1)={-a(n)+3}/{4a(n)+8}＝(-1/4)b(n)
b(1)＝-1/4 より、b(n) は、初項-1/4、公比-1/4 の等比数列であり、
一般項は、
　b(n)＝(-1/4)^n
となります。b(n)={a(n)-3}/{a(n)+2}　なので、
　{a(n)-3}/{a(n)+2}＝(-1/4)^n
　a(n)-3＝{a(n)+2}(-1/4)^n
あとは、a(n)＝・・・の形にするだけです。

No.2032 - 2008/08/13(Wed) 18:17:13

☆ Re: 数列の問題です / ろく

丁寧な回答、本当にありがとうございました。
おかげで理解することができました。

No.2033 - 2008/08/13(Wed) 18:42:36

★ 高?@の数?Tです / 夏休みの宿題教えて下さい

?@Ａ(0.5)Ｂ(4.7)とする。直線ＡＢに上にＰ点をとりＰからｘ軸に垂線ＰＨを引く。四角形ＡＯＨＰの面積56?pとなるような点Ｐの座標を求めよ。

?A秒速20ｍで走る電車がブレーキをかけてからｔ秒後の速度は(20－4ｔ)ｍ/秒その間に(20ｔ－2ｔ^2)ｍだけ進む(0≦ｔ≦5)この電車がブレーキをかけた地点から42ｍ離れた地点を通過するときの早さを求めよ。

?B三角形ＡＢＣで、ＡＢ＝６?p、ＢＣ＝８?pとする。点ＰがＡから毎秒0.5?p、点ＱがＣから毎秒1?pの早さで同時にＡ，Ｃを出発して、点Ｂに向かって動く。三角形ＰＢＱの面積が三角形ＡＢＣの面積の３分の１となるのは何秒後か。

わからないので教えて下さい＞＜

No.2022 - 2008/08/13(Wed) 01:25:21

☆ Re: 高?@の数?Tです / ヨッシー

(1)
直線ＡＢの式は　ｙ＝x/2＋5 なので、点Ｐのｘ座標をａとすると、
ｙ座標は、a/2＋5 となります。
台形ＡＯＨＰにおいて、
上底ＡＯ＝５，下底ＰＨ＝a/2＋5，高さＯＨ＝ａであるので、
面積は、
　(a/2＋10)a/2＝56
展開して整理すると、
　a^2＋20a－224＝０
　(a+28)(a-8)＝０
より、a=8　(以下略)

(2)
20ｔ－2ｔ^2＝42 であるので、
　t^2－10t＋21＝０
0≦ｔ≦5 より、ｔ＝３　・・・４２ｍ進むまでの時間
このときの速さは、(以下略)

(3)
ｔ秒後の
　ＢＰ＝６－0.5t(cm)
　ＢＱ＝８－ｔ(cm)
ＢＰ・ＢＱ＝(6×8)÷3＝16 になればいいので、
　(６－0.5t)(８－ｔ)＝16
展開して
　0.5t^2－10ｔ＋32＝０
　t^2－20ｔ＋64＝０
　(t-4)(t-16)＝０
0≦ｔ≦８（Ｂを超えては動かない）と考えると、ｔ＝４

No.2025 - 2008/08/13(Wed) 11:13:07

★ 置換積分 / 白梅

高校３年生の問題です。宜しくお願い致します。

（問題）次の不定積分を（　）内のように
　　　　おくことにより求めよ。
　　　　
　　　　∫dx／sinx （t＝tanx／２）
　　
（解答）t＝tanx／２とおくと　
　　　　「sinx＝2t／（１＋t^2）,
　　　　cosx＝（１－t^2 ）／（１＋t^2）」
　　　　dt／dx＝（１／２）／{cos^2*（ｘ／２）}
　　　　＝１／（１＋cosｘ）＝（１＋t^2）／２
　　　　よって、∫dx／sinx
　　　　＝∫（１＋t^2）／（２t）*２／（１＋t^2）*dt
　　　　＝∫dt／t
　　　　＝log｜t｜＋Ｃ＝log｜tanx／２｜＋Ｃ

私が疑問に思うのは解答の鍵括弧の所です。
参考書で倍角や半角の公式でカギ括弧以前の
t＝tanx／２を使ってsinxtとcosxを出そうとしましたが
どうすれば括弧内のような式が出るのか
計算方法が分かりません。

宜しくお願い致します。

No.2016 - 2008/08/12(Tue) 19:18:44

☆ Re: 置換積分 / 乳の谷のナウシカ

２乗の和が１の公式とタコスの公式で出したものを倍角の公式でだす。以上。

No.2017 - 2008/08/12(Tue) 19:56:22

☆ ありがとうございました＾＾ / 白梅

乳の谷のナウシカ様、とても素早く、
かつ簡潔な解答ありがとうございました＾＾

まず、乳の谷のナウシカ様が仰る
＞２乗の和が１の公式
これはsin^2x＋cos^2x＝１の事ですね＾＾次に
＞タコスの公式
これは１＋tan^2x＝１／cos^2xの事ですね。さらに
＞倍角の公式　
ここで使うのはcos^2ｘ／２＝１－cosx／２ですね。
タコスの公式だけはすぐに理解できなくて
何十秒か思考回路を巡らせてやっと分かりました＾＾；
「数学の鬼」とされるこの掲示板の回答者方々では
「タコスの公式」と呼ぶのでしょうか？
少し勉強になりました、私も明日からそう呼びます。＾＾

さて。計算方法ですが、解答は一応得られました。
が、この書き込みはログとして残るので
誰か他の人が参考として見る時のため、
まとめとして計算法を書き込んでおきますね＾＾
それに回答に対して自分はどう理解できたか、
どう解釈したかを示すのが回答者に対する
敬意だと私は思うので乳の谷のナウシカ様は
質問者が理解しているのにここまで書くのを
不思議に思われるかもしれませんが
私の質問に対して回答がつけばこのように書くので
その点、理解して下さります様、お願い致します。＾＾
１＋tan^2x＝１／cos^2x⇔１＋tan^2x/2＝１／cos^2x/2
⇔１＋t^2＝１／cos^2x/2⇔cos^2x/2＝１／１＋t^2
⇔cos^2x/2＝（１＋cosx）／２⇔
１／（１＋t^2）＝（１＋cosx）／２⇔
２／（１＋t^2）＝１＋cosx⇔
cosx＝２／（１＋t^2）－（１＋t^2）／（１＋t^2）
∴cosx＝（１－t^2 ）／（１＋t^2）
sin^2x＋cos^2x＝１より、sinx＝±√（１－cos^2x）⇔
sinx＝±√１－（１－t^2）^2／（１＋t^2）^2⇔
±√４t^2／（１＋t^2）^2⇔±２t／（１＋t^2）
条件よりsinx＞０∴sinx＝2t／（１＋t^2）

答えをすぐには示さず、解法へのヒントを与えて下さる
乳の谷のナウシカ様の回答は
解法を導くにはどうすれば良いか考えるのに
私にとってとても役立つ契機となります＾＾
今回も１問だけでもよく頭を働かせたと思っています。
ありがとうございました＾＾　

No.2020 - 2008/08/12(Tue) 23:22:38

☆ Re: 置換積分 / 豆

sinx＞0　はどこから示されるのでしょう？
更にsinx＞0だと　何故sinx=2t/（1+t^2)になるのでしょう？

No.2023 - 2008/08/13(Wed) 07:23:42

☆ Re: 置換積分 / 七

昔習ったはずなのですがそのときはよく分かりませんでした。
今は，例えば次のように考えています。

半角の公式より
tan^2(x/2)＝(1－cosx)/(1＋cosx)
t^2＝(1－cosx)/(1＋cosx)
(1＋cosx)t^2＝1－cosx
(1＋t^2)cosx＝1－t^2
1＋t^2≠0 より
cosx＝(1－t^2)/(1＋t^2)

2倍角の公式より
tanx＝2t/(1－t^2)
sinx＝cosxtanx＝2t/(1＋t^2)

No.2024 - 2008/08/13(Wed) 10:42:20

☆ 条件の考え方について / 白梅

豆様、七様、回答ありがとうございます＾＾
返答が遅くなり、大変申し訳ありません。

まず、豆様の仰る「sinx＞０」についてですが、
この問題文を見ると、ｘの範囲などが
全く見受けられません。
そこで「ｘを文字として考える問題だ」と考え、
計算しました。つまりsinx＝　のｘとは
負の記号、正の符号を含んでいているものだと考えられ、
よって答えのsinｘに負の符号をつけるとｘの符号が
変わってしまい、答え自身も変わってしまう為、
sinx＞０と私は書きました。
記述式の問題だと細かい点まで見られるので、
sinx＝±～　とまで計算してsinx＝といきなり
してしまうと減点されるのではないかと思います。
乳の谷のナウシカ様にもその点を
どう処理したのか聞きたいのですが。。
最近は回答されていないようですね。
豆様はどう考えられましたでしょうか？
ぜひ豆様の意見をお聞かせ下さい。

七様の方法だと、条件もきちんと
説明できていて、少ない計算で
解答を得られていて、大変分かりやすいと思います。
自分でも七様の仰る方法で解き直した所、
無事、正解を出す事が出来ました＾＾
本当に有り難うございます。
三角関数では計算方法が多種多様な事を
改めて実感する事が出来ました＾＾

No.2087 - 2008/08/16(Sat) 22:41:55

☆ Re: 置換積分 / 豆

＞よって答えのsinｘに負の符号をつけるとｘの符号が
変わってしまい、答え自身も変わってしまう為、
sinx＞０と私は書きました。

上記周辺含め、記載事項の意味が不明です。
いずれにせよ、sinxの正負は決められないため、sinx＞0とするのは誤りです。
二つの倍角の公式から、
cosx=2(cos(x/2))^2-1=2/(1+t^2)-1=(1-t^2)/(1+t^2)
tanx=2t/(1-t^2)
sinx=tanxcosx=2t/(1+t^2)
とするのが正解です。

一般に三角関数からなる有理関数は上記置き換えで、tの有理関数になる
ので、必ず積分できます。覚えておく必要があります。

ただ、この問題なども、トリッキーですが以下のようにして別のやり方で
積分が出来ることもあります。

∫dx/sinx=∫sinxdx/(sinx)^2=-∫(cosx)’dx/(1-(cosx)^2)
=-(1/2)∫(1/(1+cosx)+1/(1-cosx))(cosx)’dx
=(1/2)log((1-cosx)/(1+cosx))+C

No.2121 - 2008/08/18(Mon) 09:44:37

☆ ありがとうございました＾＾ / 白梅

豆様、回答ありがとうございます＾＾

豆様の仰る通り、sinxの値は正確には
正か負か決められませんね。。
その問題に突き当たらない為にも、
豆様の示された回答方法ならば
条件も上手く使えていますし、計算ミスを
することなく正解に辿り着けていて
大変理解しやすいと思います＾＾

ということは、私の計算方法で
最後のsinx＝±～と出てきた時点で記号の
判別が出来ないので一度
その計算を全て消して、豆様の仰る方法で
やり直せば記述式の問題では減点を
避ける事が出来ますでしょうか？

どちらにしても、今後は確実に問題を
とくならば、豆様の仰る方法でしたいと思います＾＾

ありがとうございました＾＾

No.2125 - 2008/08/18(Mon) 12:11:17

★ (No Subject) / 高３

各位の数がすべて素数であるようなｎ桁の自然数Ｎについて考える。
各位の数の和が奇数となるようなＮの個数を求めよ。

よろしくお願いします

No.2009 - 2008/08/12(Tue) 13:40:20

☆ Re: / kei

「各位の数がすべて素数である」とは、「各位の数は2,3,5,7のどれかである」と言っているのと同じですね。
後は、「各位の数の和が奇数」という条件ですが、これは、各位に出てくる奇数(3,5,7のこと)の個数が奇数個ということです。
たとえば、n=4のときは、2753や7723や2252などが条件を満たし、3557や2273などは満たしませんね。
また、n=5のときは35753や23527や22232などが条件を満たします。
以上より、nが偶数の場合と奇数の場合で場合分けしたほうがよさそうだと察しがつきます。

後はがんばってみてください

No.2013 - 2008/08/12(Tue) 15:34:29

☆ Re: / 高３

一応そこの考えまでは自分でたどり着いているのですが
そこから数列の要用にもっていくことができなくて

No.2014 - 2008/08/12(Tue) 16:03:17

☆ Re: / kei

そうでしたか。失礼しました。

では、nが奇数の場合を。
nが奇数なので、上の議論から2の個数は偶数個です。
そこで2の個数を2k個とすれば、kは0以上(n-1)/2以下の整数となります。

ここで、2の個数が2k個のとき、条件を満たすNの個数を求めます。
これは(nＣ2k)×3^(n-2k)となります。(確認は容易にできるかと)
よって、これをk=0からk=(n-1)/2まで足し合わせたものが答えとなるわけです。

No.2015 - 2008/08/12(Tue) 17:10:21

☆ (No Subject) / ヨッシー

私のページに解答を載せました。
kei さんのとは、アプローチが異なります。

No.2018 - 2008/08/12(Tue) 20:10:23

☆ Re: / 高３

こんな方法もあるのですね。。。
keiさん、よっしーさんありがとうございました

No.2021 - 2008/08/13(Wed) 00:35:19

★ ２次関数 / シャイア（高一）

こんにちは。　お久しぶりです。
またまた分からない問題が出来てしまいました＾＾；

問題：次の各点を、X軸方向に２、Y軸方向に－3だけ移動した点の座標を求めよ。
また、この移動によって、次の点に移される点の座標を求めよ。

(１)（3，5）　(２)（－1，2）　(３)（－3，－4）(４)（1，－1）

解き方が分かったら4問全て解けると思うのですが、一応全ての問題書いておきました。

『次の各点を、X軸方向に２、Y軸方向に－3だけ移動した点の座標を求めよ。』
これは分かるのですが、後の『この移動によって、次の点に移される点の座標を求めよ。』という問題がさっぱり分かりません。

(１)で（5，2)、(7，－1)と答えを出したのですが、(7，－1)が間違っていました。

お願いしますm(_　_)m

No.1998 - 2008/08/11(Mon) 18:48:17

☆ Re: ２次関数 / 七

(１)（3，5）をX軸方向に２、Y軸方向に－3だけ移動した点の座標は (3＋2，5－3) で (5，2)です。
点(x，y) をX軸方向に２、Y軸方向に－3だけ移動した点が（3，5）ならば，
(x＋2，y－3) が（3，5）ですから
x＋2＝3，y－3＝5 で x＝1，y＝8
したがって，元の点は (1，8) です。

No.1999 - 2008/08/11(Mon) 19:08:56

☆ Re: ２次関数 / シャイア（高一）

なるほど！！　問題何回も読んで苦戦してたのですが、やっとスッキリしました＾＾

本当にありがとうございます！！

ということは、(２)は（－3，5）ですよね？？

No.2000 - 2008/08/11(Mon) 19:15:09

☆ Re: ２次関数 / 七

> ということは、(２)は（－3，5）ですよね？？

この移動によって、次の点に移される点の座標ならそうです。

No.2001 - 2008/08/11(Mon) 21:08:10

★ (No Subject) / 真優

(1)放物線x=pt^2, y=2pt (-1≦t≦1)と直線x=p(p＞0)で囲まれた図形の面積Sを求めよ。また、その図形をx軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ。

(2)x=t^2, y=t^3 (0≦t≦2)とx軸, 直線x=4で囲まれた図形の面積Sを求めよ。

(3)r=2asinθ (0≦θ≦π)で囲まれた図形の面積を求めよ。(a＞0)

(4)r=a(1+cosθ) (0≦θ≦2π)で囲まれた図形の面積を求めよ。(a＞0)

お願いします!!

No.1997 - 2008/08/11(Mon) 17:25:14

☆ Re: / 真優

ちなみに答えは
(1)(8p^2)/3, 2πp^3
(2)64/5
(3)πa^2
(4)(3πa^2)/2
です。

本当に初歩的な問題なんですが、
よろしくお願いします！

No.2007 - 2008/08/12(Tue) 00:19:48

☆ Re: / にょろ

(2)と(3)の解き方が分かればほかも分かると思うので

(2)
x=0⇒t=0
x=4⇒t=2
dx/dt=2t
∫_[0,4]ydx
=∫_[0,4]t^3dx
=∫_[0,2]t^3*2tdt
=2∫_[0,2]t^4dt
=2(t^5/5)|_[0,2]
=64/5

(3)
ある極方程式
r(θ)において

r(θ)と微少増分Δθを用いてのr(θ+Δθ)が作る三角形
（図で言う三角形OSP）の面積は
1/2r(θ)r(θ+Δθ)sinΔθ
lim_[x→0]sinx/x=1より
Δθが十分小さいとき
1/2r(θ)r(θ+Δθ)sinΔθ=1/2r(θ)^2Δθ
よって求める面積はこの三角形を足し合わせた物だから
1/2∫_[0,π]r(θ)^2dθ
～　

No.2008 - 2008/08/12(Tue) 12:34:06

☆ (No Subject) / ヨッシー

一応、解答を載せました。

本当は、グラフを描くなりして、
「本当に閉じた図形か？」
「微小三角で１回ずつ数えられているか？」
を確認すべきでしょうが、割愛しました。
問題文を信用します。

No.2019 - 2008/08/12(Tue) 20:47:59

☆ Re: (No Subject) / 真優

ありがとうございます

みなさんのおかげで理解することが出来ました！

No.2053 - 2008/08/14(Thu) 21:47:05

★ 確率 / Jez-z

1からnまでの数字が書かれたn枚のカードがあり、このn枚のカードから1枚を取り出し、元に戻す。この試行を3回行う。このとき、記録した3個の数字が3つとも異なる場合は大きい方から2番目の値をX、２つが一致し1つが異なる場合は２つの一致した値をXとし、3つとも同じ数字ならその値をXとする。

確率P(X≦k)を求めよ。ただし、k=1,2,…,n-1,nとする。

（考え方）
問題文に示されたとおりに3つの場合に分けて考える。
つまり、
(?@)記録した3個の数字が3つとも異なる場合
(?A)２つが一致し1つが異なる場合
(?B)3つとも同じ数字である場合

(?B)は111,222,333,…,kkkのk通りであってますよね？
　
（※）すべての場合はn^3通り　であることもわかりました。
しかし、この場合以外は自信がありません。
ご教示ください。よろしくご指導願います。

No.1989 - 2008/08/08(Fri) 23:24:33

☆ Re: 確率 / ヨッシー

(ii)数字が２種類で２枚ある方がｋ以下なので、
　11x,22x,33x・・・kkx
で、x には、それぞれ n-1 通りの入り方があります。
また、11x,1x1,x11 の３通りの並び方がありますので、
　k×(n-1)×3＝3k(n-1)
(i)数字が３種類で１つがkより大きく、残り２つがk以下なので、
　kより大きいn-k個の数から１個選び、
　k以下のk個の数から異なる２個を選ぶので
　(n-k)×k×(k-1)
　並び方は、小さい順にabc とすると、aとb の並び順は
　既に固定されていますので、(k×(k-1) は kＰ2 で順列です)
　cab,acb,abc の３通りです。よって、
　(n-k)×k×(k-1)×３＝3k(k-1)(n-k)
以上より、求める確率は、
　k+3k(n-1)+3k(k-1)(n-k)＝k{-3k^2+3(n+1)k-2}/n^3
となります。

No.1990 - 2008/08/09(Sat) 00:36:19

☆ Re: 確率 / ぱんだ

横レス失礼します。
ヨッシーさんのおっしゃる「(i)数字が３種類で１つがkより大きく、残り２つがk以下なので」ですが、この部分が間違いだと思います。
実際は「(i)数字が３種類で２つの値（ｍとおく）がk以下で、残り１つはｍ以外のなんでもよい」といった形になると思います。

その場合?@が非常にやっかいになるので、私は以下のようにやってみました。

今回の問題、「（同着を含めて）上から2位の数がｋ以下の確率を求めよ」というように考えます。
分け方としては
?@全ての数がｋ以下の場合
?A２つはｋ以下、１つはｋより大の場合

?@は(k/n)^3
?Aは「1回目にｋより大、2回目と3回目にｋ以下が出る」確率の3倍なので、
{(n-k)/n}(k/n)^2×３
ここで?@と?Aは同時には満たされないので
答えは(k/n)^3+{(n-k)/n}(k/n)^2×３=k^2(3n-2k)/n^3

計算が間違っていたらすいません。

No.1991 - 2008/08/09(Sat) 01:21:18

☆ Re: 確率 / ヨッシー

あぁ、そうですね。
私の(i)は、誤りです。

No.1992 - 2008/08/09(Sat) 01:25:43

☆ Re: 確率 / ぱんだ

一応念のためにヨッシーさんのやり方（Ｊｅｚさんのやり方）でやってみると

（?@）は（ア）「全ての数が異なり、かつ全てｋ以下」である場合と
（イ）「全ての数が異なり、かつ１つはｋより大、２つはｋ以下」の場合

（ア）はk(k-1)(k-2)で
（イ）は「全ての数が異なり、1回目と2回目はｋ以下、3回目はｋより大」の3倍なので
k(k-1)(n-k)×３

これらを全て足すと上のk^2(3n-2k)/n^3になるので
どうやらあってそうです。

No.1993 - 2008/08/09(Sat) 01:38:58

☆ 確率について私が思うこと / ぱんだ

Jezさんは「3つの場合に分けて」問題を解こうとされたのですが、これは教科書に書いてあったのでしょうか？それとも自分で考えたのでしょうか？（これは責めているわけではないです）

高校の教科書では、どうも「全部で～通り！求める方法は～通り！」という方法にこだわりすぎている感じがします。
その結果、確率が苦手な生徒が「全体が～通り」でやろうとして失敗するのは非常に多く見られるパターンです。

今回Jezさんの場合分けを見て真っ先に感じたのは「こんな問題で『全体～通り』なんてやりたくないぞ。第一～を見分ける数え方なのか、見分けない数え方なのか、あとで大混乱するのが目に見えてる。こんな場合分けにいちいち付き合わないといけないの？こんな意味不明な分け方してたら俺も間違いかねないな（明確な場合わけの力をつけるいい練習にはなります！）」ということです。

今回の私のアドバイスとしては、高校で習うＰやＣなどを極力使わずに、中学生でもわかるような素朴な確率の積の法則をうまく使いこなせるようにするのが確率の実力をアップさせるコツだと私は考えています（これには色々な考え方の人がいますし、反論もあると思いますが）

No.1995 - 2008/08/09(Sat) 01:59:07

☆ Re: 確率 / Jez-z

ヨッシーさん、ぱんださん貴重な解説ならびにアドバイスありがとうございます。

No.2003 - 2008/08/11(Mon) 22:31:35

★ 高3です / sa-ya

○∫1～2 (1/(4x^2-1))dxの定積分の値を求める問題なんですが･･･

1/(4x^2-1)=(a/(2x+1))+(b/(2x-1))
1=a(2x-1)+b(2x+1)
=(2a+2b)x+(-a+b)
2a+2b=0
-a+b=1
よってa=-1/2, b=1/2

∫1～2 (1/(4x^2-1))dx
=-1/2∫1～2 (1/(2x+1))dx+1/2∫1～2 (1/(2x-1))dx
ここで2x+1=t, 2x-1=pとし、
x =1/2(t-1) ,x =1/2(p+1)
dx=1/2dt ,dx=1/2dp
=-1/4∫3～5 (1/t)dt+1/4∫1～3 (1/p)dp
=-1/4[log t]3～5 + 1/4[log p]1～3
=-1/4log(5/3)+1/4log3

ここから、わかりません。
答えは1/4log(9/5)なんですが、このとき方であっているのかも自信ないです。
お願いします。

○次の極限値を求めよ。
lim(n→∞)1/n√n(√1 + √2 + √3 + … +√n)

これもわかりません！
お願いします！！

No.1977 - 2008/08/08(Fri) 00:30:21

☆ Re: 高3です / rtz

(－1/4)log(5/3)＋(1/4)log3
＝(1/4)log{(5/3)^-1}＋(1/4)log3
＝(1/4)log(3/5)＋(1/4)log3
＝(1/4)log(9/5)

下はどこまでが分数なのか、括弧を使って
式が1通りのみに受け取れるように下さい。

No.1978 - 2008/08/08(Fri) 00:38:17

☆ Re: 高3です / rtz

あと、恐らく下に関してはy＝√xを用いた区分求積だと思います。

No.1979 - 2008/08/08(Fri) 00:42:31

☆ Re: 高3です / にょろ

まず表記法として
これを参照してください
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
これが一般的なのでその方が読みやすいです。

2行目まで合っているとすると

∫[1,2](1/(4x^2-1))dx
=-(1/2)∫[1,2] (1/(2x+1))dx+(1/2)∫[1,2](1/(2x-1))dx
=(1/4)(-∫[1,2](2/(2x+1))dx+∫[1,2](2/(2x-1))dx)
=(1/4)((-log(2x+1))+log(2x-1))|_[1,2]
=(1/4)(log((2x-1)/(2x+1)))|_[1,2]
=(1/4)(log(1/3)-log(3/5))
=(1/4)log(5/9)

になります。

f(x):=√x

lim_[n→∞](1/n)√n(√1 + √2 + √3 + … +√n)
=lim_[n→∞](1/n)(√1/n+√1/n+…+√n/n)
=lim_[n→∞](1/n)Σ_[k=1,n]f(k/n)
=～

でどうでしょう？

No.1980 - 2008/08/08(Fri) 00:44:16

☆ Re: 高3です / sa-ya

1問目は理解できました。
ありがとうございました。

2問目ですが、
f(x)=√x ってどうやって求めたんでしょうか？
初歩的なことかもしれませんが…、お願いします。

あと、
lim(n→∞)(1/(n√n))(√1 + √2 + √3 + … +√n)
=lim(n→∞)(1/n)(1/√n)(√1+√2+ √3…+√n)
という式が、
=lim(n→∞)(1/n)(√1/n+√1/n+…+√n/n)
=lim_[n→∞](1/n)Σ_[k=1,n]f(k/n)
となる理由が、わかりません。

=lim(n→∞)(1/n)(√1/√n + √2/√n + √3/√n … + √n/√n)
=lim(n→∞)(1/n)Σ(k=1,n)(√k/√n)
ではないんでしょうか？？

ほんとに知識不足でごめんなさい。
できるなら、詳しい解説をお願いします…。

No.1988 - 2008/08/08(Fri) 22:52:57

☆ Re: 高3です / にょろ

すいません表記が不十分でした。
=lim(n→∞)(1/n)(1/√n)(√1+√2+ √3…+√n)
=lim(n→∞)(1/n)(√(1/n)+√(1/n)+…+√(n/n))
でした

√k/√n=√(k/n)
となります。
あとf(x)=√xとおくと
と書いた方がよかったですね

そうすると定積分の公式にうまくはまるからとしかいえません。

No.1994 - 2008/08/09(Sat) 01:41:35

☆ Re: 高3です / sa-ya

いえいえ。
こちらのほうこそ、理解不足ですいません…。

そういうことなんですね♪
やっと理解できました。
詳しく解説してくださってありがとうございました！！

No.1996 - 2008/08/09(Sat) 19:08:08

★ 三角形と四角形 / 中３

△ABCは正三角形、Dはその内部にある点で、△DCEも正三角形である。
線分AEと線分BDの延長との交点をFとするとき、∠DFEの大きさを求めなさい。

いくら考えてもできません。
外角だと思うんですが…教えてもらえませんか。
お願いします。

No.1967 - 2008/08/07(Thu) 16:20:15

☆ Re: 三角形と四角形 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

(イ)Ｄが辺ＢＣに近いときなど、線分ＡＥの延長線上で線分ＢＤの延長がまじ
わる場合（Ａ,Ｅ,Ｆの順で並ぶ）
(ロ)Ｄが点Ａに近いときなど、線分ＡＥ上で線分ＢＤの延長がまじわる場合（Ａ,
Ｆ,Ｅの順で並ぶ）

Ｄの位置により図・答えが異なってきますが、途中まで(下から３行目まで)同じ説
明で兼用できます。

先ず △ＤＢＣ≡△ＥＡＣとなることを確かめてください。
これがいえると
∠ＤＢＣ＝∠ＥＡＣ　となります。
そこで　ＡＣとＢＦの交点をＧとおくと
△ＧＢＣ∽△ＧＡＦ
ゆえに ∠ＤＦＡ＝∠ＧＣＢ＝60°

Ｄが辺ＢＣに近いときなどで、(先ず △ＤＢＣ≡△ＥＡＣとなることを確かめてください。
これがいえると
∠ＤＢＣ＝∠ＥＡＣ　となります。
そこで　ＡＣとＢＦの交点をＧとおくと
△ＧＢＣ∽△ＧＡＦ
ゆえに ∠ＤＦＡ＝∠ＧＣＢ＝60°

(イ)の場合　∠ＤＦＥ＝∠ＤＦＡ＝60°
(ロ)の場合　∠ＤＦＥ＝180°－∠ＤＦＡ＝120°

No.1969 - 2008/08/07(Thu) 19:32:38

☆ Re: 三角形と四角形 / 中３

わかりました。図がなくてすみません。
(ロ)になると思います。やはり合同を使うんですね。
相似はまだよくわからないのですが、角度が等しいを
つかえばいいので理解できました。
詳しくありがとうございました。

No.1972 - 2008/08/07(Thu) 22:13:33

★ 接線 / Jez-z

正の実数aに対し、傾きがaの直線lと曲線C:y=x^3-√ax^2を考える。Cとx座標が正であるような点Pで接している。Cとlの点P以外の共有点をQとする。点Qで曲線Cと接する直線をl'としlとl'のなす角をθ（0°≦θ≦90°）とするとき、tanθをaを用いて表せ。

点Qは定石通りの解法で解いたのですが、どうも答えに自信が持てません。tanθを求めるのも解法（方針）はすぐに思い浮かぶのですが、肝心のQの座標があまりに複雑な値になったため計算を躊躇している次第です。恐れながら、点Qを求めるまでの計算と過程をご教示くだせいませんか？ちなみに、自分の方針は点Pのx座標をtとすると「接する」条件からCとlの連立方程式において(x-t)^2を因数にもつので・・・組み立て除法より点Qのx座標は…（以下略）という方針です。

No.1947 - 2008/08/05(Tue) 20:36:36

☆ Re: 接線 / rtz

まず回答の前に。
適当な位置で改行してください、現状では非常に読みづらいです。
あとCの方程式内√ax²は(√a)x²だと思いますが、
今後の間違いを避けるためにも、√などは括弧で括るようお願いします。

d/dx (x³－(√a)x²)＝a
⇔3x²－2(√a)x＝a
⇔(x－√a)(3x＋√a)＝0
⇔x＝√a,(-1/3)√a
より、接点PはP(√a,0)です。
よってQのx座標は-√aです。

No.1948 - 2008/08/05(Tue) 21:05:50

☆ Re: 接線 / Jez-z

ありがとうございます。自分の計算ミスが原因でした（上の自分の方針）それと、昨日ご指導いただいた問題に新たな質問が生まれたので、↓のスレッドも見てくれるとうれしいです。
よろしくお願い申し上げます。

（見やすいように以降書き方に工夫します）

No.1951 - 2008/08/05(Tue) 22:58:30

☆ Re: 接線 / rtz

下のスレッドで指摘頂いた点について回答しましたので、
よろしければ御覧下さいませ。

No.1953 - 2008/08/06(Wed) 00:04:44

★ 数I / 桜　高校2

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

0°≦θ≦180°のとき、次の不等式を満たすθの範囲を求めよ。

tanθ＞-1

ぜんぜんわかりませんでした・・
すみません。
よろしくお願いいたします。

No.1941 - 2008/08/05(Tue) 17:28:52

☆ Re: 数I / ヨッシー

tanθ＝-1 となる θ は何度ですか？
ただし、0°≦θ≦180°とします。

No.1942 - 2008/08/05(Tue) 17:44:00

☆ Re: 数I / 桜　高校2

お返事ありがとうございます。

tanθ＝-1 となる θ は135°です。

No.1943 - 2008/08/05(Tue) 18:04:29

☆ Re: 数I / 桜　高校2

数学が苦手でなかなか難しいです><

この問題はtanθが135°より大きいという意味なのでしょうか。

もしそうでしたら135＜θ＜180でしょうか。

たびたびすみません

No.1945 - 2008/08/05(Tue) 19:07:39

☆ Re: 数I / ヨッシー

先を急いではいけません。
tan135°＝－１　であることを踏まえて、
その近辺の代表的な角度を調べましょう。
tan120°＝？？？
tan150°＝？？？
tan180°＝？？？

さらに、
tan134°は－１より大きいか小さいか？
tan136°は－１より大きいか小さいか？

0°、30°、45°、60°なども調べましょう。

また、tan90°は定義できませんが、
tan89°、tan91°は、どれくらいか？正か負か？

などを調べると、θの取るべき範囲が分かってくると思います。

y=tanθ のグラフも描けるようにしておきましょう。

答えは　0≦θ＜90°、135°＜θ≦180°　になります。
135＜θ＜180 のように、単位がないと rad(ラジアン)と見なされます。

No.1946 - 2008/08/05(Tue) 19:30:24

☆ Re: 数I / 桜　高校2

1つ１つ調べて、0≦θ＜90°、135°＜θ≦180°の範囲で-1より大きくなることがわかって面白かったです^^

丁寧に教えてくださってありがとうございました！！☆ｍ

No.1949 - 2008/08/05(Tue) 22:28:28