図の前出の不等式について等号が成立するとき〜の部分で
どうして１組だけ解を持ち接線であるとなるのですか？
式変形しても導き出せないのですが..
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No.4468 - 2009/01/06(Tue) 22:06:30
| ☆ Re: 楕円とｺｰｼｰｼｭﾜﾙﾂ不等式 / ヨッシー  | | | 
元の問題がわからない上に、
前出の不等式とは何か？
ｓ，ｔ，ｕ，ｖとは何か？
などがわからないと、解答の意図が読み取れません。
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No.4475 - 2009/01/07(Wed) 11:06:30 |
| ☆ Re: 楕円とｺｰｼｰｼｭﾜﾙﾂ不等式 / こう３ | | | 前出の不等式は
その上の２つの
(a^2s^2＋b^2t^2)〜
(a^2t^2＋b^2s^2)〜
の不等式ことだと思います。
楕円(x^2/a^2 ＋y^2/b^2=1)の直行する２接線の交点の軌跡（準円）を求める問題です。
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No.4476 - 2009/01/07(Wed) 13:15:01 |
| ☆ Re: 楕円とｺｰｼｰｼｭﾜﾙﾂ不等式 / angel | | | これは…、解説が不親切な気もしますね。
少なくとも、このまま解答を書いたら(足りない部分を補うにしても)、減点を喰らいそうです。
ちょっと別の角度から見てみましょう。
p≠0 もしくは q≠0 の時、x^2/a^2+y^2/b^2=1 を満たす x,y に対して、px+qy の最大値・最小値を求めよ、という問題を考えます。
1つのアプローチとしては、グラフを利用する方法。
つまり、楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 に対し、直線 px+qy=k が接する時が k の最大値もしくは最小値、とする方法です。
もう1つのアプローチとしては、コーシー・シュワルツの不等式（ (c^2+d^2)(e^2+f^2)≧(ce+df)^2 ( 等号成立は cf=de )）を利用する方法。
c=ap, d=bq, e=x/a, f=y/b を適用して
(a^2p^2+b^2q^2)(x^2/a^2+y^2/b^2)≧(px+by)^2
ここからダイレクトに、等号成立、つまり (px+by)^2=a^2p^2+b^2q^2 の時が、px+qy 最大もしくは最小と分かります。
この2つの事象を組み合わせれば、k^2=a^2p^2+b^2q^2 の時に限り、直線 px+qy=k は、楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 に接する、ということが分かります。
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No.4504 - 2009/01/09(Fri) 21:55:18 |
| ☆ Re: 楕円とｺｰｼｰｼｭﾜﾙﾂ不等式 / angel | | | 上で書いたことを元に解いてみますと、
直線 px+qy=k ( p≠0 もしくは q≠0 ) が楕円に接する時、k^2=a^2p^2+b^2q^2
任意の直交する2直線は sx+ty=u, tx-sy=v ( s≠0 もしくは t≠0 ) と表せる。
であれば、直交する楕円の2接線は、
sx+ty=u ( u^2=a^2s^2+b^2t^2 )
tx-sy=v ( v^2=a^2t^2+b^2s^2 )
と表せる。
この交点を(α,β)と置けば、
sα+tβ=u, tα-sβ=v
のため、両辺平方して足し合わせれば
(s^2+t^2)(α^2+β^2)=u^2+v^2
これより、α^2+β^2=a^2+b^2 これは、交点(α,β)が、円 x^2+y^2=a^2+b^2 に存在することを示す。
ということで、円になることが分かります。
ただし、解としてはここまでで半分ですが。十分条件をどうやって示すかは、この方針だとちょっと分かりません…。
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No.4505 - 2009/01/09(Fri) 22:06:01 |
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