xy平面上の楕円板E:x^2/a^2+y^2/b^2≦1かつz=0(a＞0,b＞0)上に動点Pをとり、
線分L:z=2かつy=0かつ|x|≦a上に動点Qをとるとき、線分PQが通過してできる立体をHとする。
Hの体積Vを求めなさい。
こういう問題ではx軸に垂直な断面での面積を求めるように教わったので、x=hとすると、切り口は二等辺三角形なので、面積は2b√(a^2-h^2)/aとなるから、これを-aからaまで積分してπabという答えが出てきたんですが、πab(a+b)と答えに非常に近い感じで間違えてました。でもどうして自分の答えのa+b倍になるのかがさっぱりです。おしいともうのですが、どこを間違えているんでしょうか。教えてください。お願いします。
ちなみに、空間座標で線分を表すためにはz=2かつy=0かつ|x|≦aみたいにx、y、zのそれぞれひとつずつ条件が必要と聞きました。でもz=2かつ|x|≦aだけでもいいようなきがします。もしy=0がないとどういった図形になるんでしょうか？？
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No.3595 - 2008/11/01(Sat) 21:52:58
| ☆ Re: 数3の積分法の応用 / 大々  | | | おじゃまします。数3から離れて10年以上経つのでちょっとだけ不安ですが、書き込みます。
πab(a+b)は間違いなのではないでしょうか。
たとえば、a=2,b=2 のとき、16π となりますが、求める図形は底面が4×4の正方形で高さが2の直方体に収まるはずなので、体積は32以下になるはずです。
私の計算でも πab となりました。
線分については、y=0 がないと、yの値がいくつでもよくなるので、y方向に永遠にのびた細い帯になります。
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No.3599 - 2008/11/02(Sun) 11:38:59 |
| ☆ Re: 数3の積分法の応用 / ryu | | | レスありがとうです。
正解は2πab/3に訂正だそうです。それにしても2/3ずれてしまっています。大々さんはどうやって解きましたか？私と同じでしょうか？
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No.3617 - 2008/11/03(Mon) 23:26:10 |
| ☆ Re: 数3の積分法の応用 / ヨッシー  | | | ｙｚ平面以外では、断面は三角形になりません。
たとえば、楕円板Ｅが、半径２の円とすると、
円上の点(0,2,0) と、線分の端(2,0,2) の中点は(1,1,1)です。
一方、平面ｘ＝１ において、円上の点(1, √3, 0)と、
線分上の点(1,0,2) の中点は(1,√3/2, 1)です。
同じｘ座標、ｚ座標なのに、後者の方がｙ座標が小さいので、
断面は、三角形よりもっとふくらんだ形になります。
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No.3620 - 2008/11/04(Tue) 00:16:55 |
| ☆ Re: 数3の積分法の応用 / 大々 | | | そうですね、切り口は三角形にはなりませんね。
z軸に垂直な平面で切ると、楕円＋長方形になって計算できます。
2πab/3だと楕円錐の体積なので違うでしょう。ちなみに私の計算では2(π＋2)ab/3になりました。こんどこそ。。
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No.3622 - 2008/11/04(Tue) 02:40:41 |
| ☆ Re: 数3の積分法の応用 / ヨッシー | | | 
大々さんの方法、（ｚ軸方向の積分）でも出来ますし、
図のように、半楕円錐２つ（Ｅ−ＢＤＡ、Ｆ−ＢＤＣ）と、
四面体ＢＤＥＦの合計と考えると、
半楕円錐２つで、楕円錐の体積と同じ、(2/3)πａｂとなり、
四面体ＢＤＥＦは、菱形柱ＡＢＣＤ−ＥＧＦＨから、４つの三角錐
(ＡＢＤＥ，ＣＢＤＦ，ＥＦＧＢ，ＥＦＨＤ)を引いたもので、
菱形柱ＡＢＣＤ−ＥＧＦＨの1/3倍の 4ab/3 となり、
大々さんの答えと同じになります。
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No.3623 - 2008/11/04(Tue) 05:46:24 |
| ☆ Re: 数3の積分法の応用 / ryu | | | To 大々様 ＆ ヨッシー様
返事が遅れてしまい大変失礼しました。解説ありがとうございました。ヨっシー様の解き方がようやく納得できました。断面を考えなくても解けるなんてすごいです。
もう見ていただけないかと思いますが、最後にひとつだけ質問です。
大々様はz軸に垂直な平面とおっしゃっていますが、x軸に垂直な平面以外の断面で考えるなんて、そんな事をしてもいいんですか？学校ではいつもx軸に垂直な平面での断面を考えるように言われたのですが？z軸に垂直な平面のばあいどういう計算になるのか教えていただけないでしょうか？
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No.3687 - 2008/11/06(Thu) 22:55:14 |
| ☆ Re: 数3の積分法の応用 / ヨッシー | | | ｚ軸(高さ)方向において、ｚ座標ｈ（0≦h≦2）において、
断面は、底面の楕円の (2-h)/2 倍の楕円と、
縦 b(2-h)、横 2a−a(2-h)＝ah の長方形を合わせた形です。
その面積は、πab(2-h)2/4＋ab(2h-h2)
これを、h=0からh=2まで積分して、
ab∫0〜2{π(h2-4h+4)/4＋(2h-h2)}dh
＝ab{π(8/3-8+8)/4＋(4-8/3)}
＝2πab/3＋4ab/3
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No.3690 - 2008/11/06(Thu) 23:19:03 |
| ☆ Re: 数3の積分法の応用 / 大々 | | | この問題の場合、図形を縦に（xy平面に垂直）切ったときの切り口の形がどんな形になるのか想像しにくいです。
ところがz軸に垂直な平面で切ると（例えばz=1で切ると）ヨッシーさんの図の記号をお借りして、
Eと楕円ABCDでできる楕円錘をz=1で切ると長半径、短半径がa/2,b/2の楕円になります。
Fと楕円ABCDでできる楕円錘をz=1で切っても同じ形の楕円になります。
楕円錘の頂点をEとFの間で動かしたとき、切り口は常に長半径、短半径がa/2,b/2で、x軸方向に移動します。
なので切り口を合わせると、ちょうどリムジンのように先端と後ろが楕円で、その間を長方形がつないでいる形になります。
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No.3700 - 2008/11/07(Fri) 11:07:05 |
| ☆ Re: 数3の積分法の応用 / ryu | | | To 大々様 ＆ ヨッシー様
まさか回答していただけるとは思いませんでした。どうもありがとうございます。
＞ｚ軸(高さ)方向において、ｚ座標ｈ（0≦h≦2）において、
断面は、底面の楕円の (2-h)/2 倍の楕円と、
縦 b(2-h)、横 2a−a(2-h)＝ah の長方形を合わせた形です。
どうしてそういう図形になるのかがどうしてもわからないです。お二人はどうやってこういう図形を想像されているのですか？なにかイメージのヒントはないでしょうか？
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No.3707 - 2008/11/08(Sat) 00:45:09 |
| ☆ Re: 数3の積分法の応用 / ヨッシー | | | 手がかりは No.3623 の立体です。
楕円からの線は、点Ｅや点Ｆに集中しますので、
その部分は、錐（＝断面が相似な半楕円)になり、
△ＥＦＢ、△ＥＦＤは、平面なので、切り口は直線になります。
ＡＥ，ＣＦは、底面に垂直なので、断面では、半楕円の
一番外の位置は、変わりません。
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No.3716 - 2008/11/08(Sat) 17:02:06 |
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