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★ 微分 / あき
いつもありがとうございますお世話になっています(^^)
http://k.upup.be/?6uiL79xMwE
の問題なのですが まず
http://t.upup.be/?Q2b8vjKGgI
こうなるのですがここから全てを場合分けするのは余りにも大変なので定義域に属するか属さないかで場合分けするものなのですか？
私はすごく頭がこんがらがっています(>_<)
どうかお助け下さい(>_<)
No.3538 - 2008/10/30(Thu) 22:26:22
☆ Re: 微分 / ヨッシー

図のようにｘ＝１に対して対称な位置に極値と、
極値と同じ値を持つ別の点が存在するので、
　0≦a＜1/2・・・x=2 で最大、x=0 で最小
　1/2≦a＜1　・・・x=1-a で最大、x=1+a で最小
　a≧1　・・・ｘ＝０で最大、ｘ＝２で最小
これだけの場合分けになります。
No.3539 - 2008/10/30(Thu) 23:16:55
☆ Re: 微分 / あき
そうなんですか！
そんな方法があるとはつゆ知らずでした(>_<)
もらった解答には極値をとる値二つが定義域0から2にある場合とない場合の二つに分けてグラフを書いて調べるというものでした
この方法が私はぴんとこなくてこれは一般的なやり方というかよく使う方法なんでしょうか？そもそも二つとも定義域に入っているとは限らないし場合わけが少な過ぎる感じがするんですが…(>_<)
No.3545 - 2008/10/31(Fri) 01:54:44
☆ Re: 微分 / ヨッシー
一般的には、極大値だけ定義域に含まれるとか、極小値だけとか、
色々あります。
ただし、この問題は、グラフが、ｘ＝１に対して対称であることと、
定義域も、ｘ＝１を中心にした範囲であるので、極大値と、
極小値は、定義域に、同時に含まれたり、外れたりします。
No.3547 - 2008/10/31(Fri) 05:54:11
☆ Re: 微分 / あき
そうですよね一般的といっても色々ありますよね(^_^;)
なるほどです1＋aと1−aもx=1に対称ですね！そこに注目するんですね、ありがとうございます！
問題を重ねて強くなりたいです。
No.3549 - 2008/10/31(Fri) 10:10:56
★ 重複組み合わせ / マセマン
区別のない球５個を、A、B、C3つの箱に入れる。
どの箱にも少なくとも一個の球が入る方法は何通りあるか？
という問題でABCにそれぞれ、ｘｙｚ個ずついれるとすると
ｘ+ｙ+ｚ＝5（ｘ≧1、ｙ≧1、ｚ≧1）として
4C2より、六通りと答えはでたんですが、別解に
ｘ＝ｘ゛+1、ｙ＝ｙ゛+1、ｚ＝ｚ゛+1とおけば、
ｘ゛+ｙ゛+ｚ゛＝2（ｘ゛≧0、ｙ゛≧0、ｚ゛≧0）となり
4！／2！2！より六通りと考えることもできるとあるのですが
ｘ゛とか、ｙ゛とかなんのことなんでしょうか？いきなり
でてきて意味不明です。教えてください。おねがいしす。
No.3534 - 2008/10/30(Thu) 22:01:19
☆ Re: 重複組み合わせ / ヨッシー
別に、何の文字でも良いのです。

最初に１個ずつを箱に入れておいて、残りの２個を
「入らない箱が出来ても良いので」３個の箱に分ける、
と考えたのが、4Ｃ2＝4!/2!2! です。
５個の球を３個の箱に、最低１個入れる時の個数がｘ、ｙ、ｚで、
２個の球を３個の箱に、入らない箱が出来ても良いので、
入れたときの個数が、ｘ”、ｙ”、ｚ”です。
これに１ずつ足したものが　ｘ、ｙ、ｚ になります。
No.3535 - 2008/10/30(Thu) 22:07:31
☆ Re: 重複組み合わせ / マセマン
詳しい説明ありがとうございました、よく理解できました。
No.3602 - 2008/11/02(Sun) 18:01:44
★ (No Subject) / 受験生
　半径rの円に内接する△ABCにおいて、辺BC=√3rのとき
∠BACを求めよ。ただし、0°<=∠BAC<=90°とする。
　解答がありません。
　御解説をお願いします。
No.3532 - 2008/10/30(Thu) 21:45:50
☆ Re: / ヨッシー
正弦定理の公式そのままです。
　ＢＣ/sin∠ＢＡＣ＝２ｒ
No.3533 - 2008/10/30(Thu) 21:56:04
☆ Re: / 受験生
なるほど。ということは、∠BAC=60°ですね。？
No.3656 - 2008/11/05(Wed) 16:13:38
☆ Re: / ヨッシー
そういうことです。
0°≦∠BAC≦90°の条件がなければ、120°もあり得ます。
どちらも、sin∠BAC＝√3/2 ですからね。
No.3657 - 2008/11/05(Wed) 16:16:53
★ (No Subject) / D
ａは実数の定数とする。関数y=ae^x-x^4が極小値をもつようなaの値の範囲を求めよ。
0<a<27/e^3でいいんでしょうか。できれば回答の流れを示していただけないでしょうか。
No.3530 - 2008/10/30(Thu) 21:00:32
☆ Re: / rtz
y＝aex−x4は極小値を持たないと思いますが…。
No.3536 - 2008/10/30(Thu) 22:11:07
★ 数?U 高次方程式 / シャウムベルヒ
　ａ,ｂを実数とする。ｘの整式Ｐ(ｘ)をＰ(ｘ)＝ｘ^3＋(ａ−２)ｘ^2＋(ｂ−２)ｘ−ａ−ｂ−１とし,Ｐ(２)＝０が成り立つとする。
ｂは,ａを用いてｂ＝アイａ＋ウと表される。
このとき,ｂを消去してＰ(ｘ)を因数分解すると
　Ｐ(ｘ)＝(ｘ−エ)(ｘ^2＋オｘ−カ＋キ)
となる。三次方程式Ｐ(ｘ)＝０が虚数解をもつようなａの範はをクケ＜ａ＜コである。このとき、１つの虚数解の実部が１であるならば,ａ＝サシである。

ア〜キまでは解けたのですが、虚数解以降が分かりません。解答お願いします！
No.3529 - 2008/10/30(Thu) 20:46:25
☆ Re: 数?U 高次方程式 / シャウムベルヒ
無理でしょうか？

一応ア〜キまでの解答を載せます。

ｂ＝−３ａ＋５
Ｐ(ｘ)＝(ｘ−２)(ｘ^2＋ａｘ−ａ＋３)

です。

ク〜シの解答は下のようになってるのですが、

クケ　　　コ
−６＜ａ＜２
　　サシ
ａ＝−２

解答までの経過が分かりません。
No.3548 - 2008/10/31(Fri) 06:56:04
☆ Re: 数?U 高次方程式 / くり頭
Ｐ(ｘ)＝(ｘ−２)(ｘ^2＋ａｘ−ａ＋３)＝０
を解きます。
x-2=0またはx^2+a*x-a+3=0となります。
x-2=0はx=2で実数解を持ちますから、x^2+a*x-a+3=0が虚数解を持てばいいわけです。
二次方程式が虚数解を持つ⇔判別式D<0を利用して"ｸｹ､ｺ"はでます。
さらに解の公式を使ってx=(-a±√D)/2となるわけですが、ここで√のなかは虚数になるので、実部は-a/2。
よって-a/2=1とすれば"ｻｼ"もでますね。
No.3555 - 2008/10/31(Fri) 14:03:54
★ (No Subject) / 大口
xy平面上の点(a,b)を通り,曲線y=x^3-xに3つの相異なる接線が引けるとき、点(a,b)の存在範囲を図示せよ。が解けません。誰か教えてくれませんか?
No.3527 - 2008/10/30(Thu) 19:45:16
☆ Re: / rtz

f(x)＝x3−xとして、曲線上の点(t,f(t))における接線は
y＝(3t2−1)x−2t3
これが(a,b)を通るので、2t3−3at2＋a＋b＝0
g(t)＝2t3−3at2＋a＋bとして、
g'(t)＝0⇔6t(t−a)＝0⇔t＝0,a

y＝f(x)に3つの相異なる接線が引ける
⇔g(t)＝0が相異なる3つの実数解を持つ
⇔[a＞0 かつ g(0)＞0 かつ g(a)＜0] または [a＜0 かつ g(0)＜0 かつ g(a)＞0]
⇔[a＞0 かつ a＋b＞0 かつ −a3＋a＋b＜0] または [a＜0 かつ a＋b＜0 かつ −a3＋a＋b＞0]
⇔[a＞0 かつ b＞−a かつ b＜a3−a] または [a＜0 かつ b＜−a かつ b＞a3−a]

http://b4.spline.tv/study777/?command=GRPVIEW&num=595
No.3528 - 2008/10/30(Thu) 20:26:56
★ (No Subject) / あき
いつもありがとうございます！

http://p.upup.be/?FzVYxGjcKE
この問題なのですが、全体を微分する方法ではできないのでしょうか？
自分でやってみたらできなかったのですが(^_^;)
お願いします！
No.3523 - 2008/10/30(Thu) 17:08:53
☆ Re: / ToDa
積分区間の上端が分かりませんが、まあこの手の問題ですからxでしょうということで勝手にそう決めつけて解いちゃいます。

両辺をxで微分してみると、
f(x) + (x+1)f'(x) - f(x) = 3x^2 - 3よりf'(x)が得られるのでf(x)の1次と2次の項は分かります。あとは定数項ですが、両辺を次数に着目して比較してみれば自ずと分かるのですが、そうでなくてもx=0などを代入してみるというのも良いでしょう。
No.3524 - 2008/10/30(Thu) 18:00:10
☆ Re: / ヨッシー
> 積分区間の上端が分かりませんが、
そうですね。たぶん、カメラで狙ったのと、実際の画像に
ズレがあるのだと思いますので、撮りたい範囲の、上下左右
1cm ずつくらい余裕を持って撮ってもらうと良いと思います。
No.3526 - 2008/10/30(Thu) 18:24:18
☆ Re: (No Subject) / あき
すみませんご迷惑おかけしました(>_<)
ありがとうございます！
No.3537 - 2008/10/30(Thu) 22:20:08
★ (No Subject) / DAI
すべての実数Xに対して不等式
　　　　(e^x＋e^(-x)/2≧1+ax^2
が成り立つような定数aの最大値をもとめよ。
aについて解き、aの最大値＝左辺の最小値までわかるのですがその後の計算がうまくいきません。助けていただけないでしょうか。
No.3521 - 2008/10/30(Thu) 14:30:20
☆ Re: / ヨッシー
こちらをご覧ください。
No.3525 - 2008/10/30(Thu) 18:19:54
★ (No Subject) / コニャック
「曲線f(ay-bx,cx-az)=0の接平面は、常に直線x=at,y=bt,z=ctに平行であることを示せ。」
と問題文にあるのですが、解法がわかりません。
どなたか教えてください。よろしくお願いします！！
No.3520 - 2008/10/30(Thu) 14:21:30
☆ Re: / soredeha
[平面]//[直線]　⇔　[法線ベクトル]⊥[方向ベクトル]　⇔　[法線ベクトル]・[方向ベクトル]＝0
[法線ベクトル]=(∂G/∂x,∂G/∂y,∂G/∂z)
No.3546 - 2008/10/31(Fri) 03:21:15
★ 領域を求める問題です…文字が多い！ / なな
失礼します。よろしくお願いします。

【質問】
点P(x,y)を次のように定める。

x=pq/s、y=qr/s

正の実数p、q、r、sが1≦p≦2、1≦q≦2、1≦r≦2、s=p+rを満たしながら動くとき、点Pが描く領域の面積を求めなさい。


文字が多くてどの文字に注目したり消したりしていけばよいのか、手が付けられません。この問題の解き方を教えてください。お願いします。
No.3518 - 2008/10/29(Wed) 22:45:42
☆ Re: 領域を求める問題です…文字が多い！ / ヨッシー
q は両方にかかっているので、とりあえずｑ＝１としましょう。
また、ｓもｐ＋ｒ に戻すと
　ｘ＝p/(p+r)　ｙ＝r/(p+r)
なので、ｘ＋ｙ＝１ となります。
ｐを固定して、ｒを１から２まで動かすとｘは単調に減少します。
当然ｙは単調に増加します。
よって、ｐ＝１，ｒ＝２のときｘは最小値ｘ＝１／３
ｐ＝２，ｒ＝１のときｘは最大値ｘ＝２／３ を取ります。

あとは、ｑに従って、１倍から２倍に変化するので、図のような領域になります。

No.3519 - 2008/10/29(Wed) 23:00:57
☆ Re: 領域を求める問題です…文字が多い！ / なな
ヨッシー様へ

遅くなってしまってすみませんでした。解説ありがとうございました。
No.3586 - 2008/11/01(Sat) 12:33:26
★ (No Subject) / あき
こんばんは
また一次変換の問題ですがお願いします(>_<)
http://r.upup.be/?0qE1mNBXsC
の最初の問題で
http://o.upup.be/?30fL0FNXGF
こんなかんじではとけないのでしょうか？
実際とけなかったのですが(^_^;)
すみませんがお願いします！
No.3515 - 2008/10/29(Wed) 19:54:39
☆ Re: / ヨッシー
(x,y)=(cosα，sinα) が、ｆ によって、(x', y') に移るとき、
移った後の点(x', y')は、ａｘ＋ｂｙ＝５ を満たしますが、
これに x'＝xcosα−ysinα, y'＝xsinα＋ycosα を入れたときの
(x, y) は、移る前の点の座標ですから、ａｘ＋ｂｙ＝５ は
満たしません。よって、
　acosα＋bsinα＝a, bcosα−asinα＝b
は、誤りです。

出題者の意図としては、１次変換の式をつかって、つまり、
sinα、cosα を使って解いて欲しいのでしょうが、グラフを
描いて解いた方が楽に解けます。
　ａ＝−３，ｂ＝４
ですよね？
No.3517 - 2008/10/29(Wed) 20:15:37
☆ Re: (No Subject) / あき
はいそうです、簡単に解けるんですね、難しいです、ありがとうございました(^^)
No.3522 - 2008/10/30(Thu) 16:49:41
★ たぶん東大の過去問です / 愛
x,yがx^2+y^2≦1を満たすとき
Ｘ＝x+y、Ｙ＝xyで表される点Ｐ(Ｘ，Ｙ)の存在範囲を図示せよ
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=X^2-2Y≦1　…?@
これで答えだと思ったのですが、x,yが実数であるという条件についても考える必要があって
t^2-(x+y)t+xy=0とおいて、判別式Ｄ≧0　
⇔X^2-4Y≧0…?A
よって、?@かつ?Aの部分(三日月)が答えとなるのですが
どうしてx、yが実数であることを考えないとダメなのですか？普通の問題(X=x+y,Y=x-yのときなど)ならそういうことを考慮せずにやってしまいますけど…
実際、大半の受験生が?@までで答えとしていたそうです。
No.3511 - 2008/10/29(Wed) 18:13:23
☆ Re: たぶん東大の過去問です / ToDa
問題文は正確ですか？
その解答だと「実数x,yが〜」などのような記述であるべきだと思うのですが。
No.3512 - 2008/10/29(Wed) 19:24:41
☆ Re: たぶん東大の過去問です / 愛
問題文にはxy平面上の点(x,y)とありますので
xy平面上という記述がそれにあたりますかね？
No.3513 - 2008/10/29(Wed) 19:38:35
☆ Re: たぶん東大の過去問です / ToDa
ああ、それですね。
x,yが実数ということが宣言されているので、その条件を考えなければなりません。

「x,yが実数⇒x+y,xyが実数」
は成立しますがその逆は必ずしも成立しませんので。
No.3514 - 2008/10/29(Wed) 19:43:46
☆ Re: たぶん東大の過去問です / 愛
x=1+i,y=1-iのとき、x^2+y^2≦1を満たし、x+y,xyが実数をも満たすから、そういった例を除く必要があったんですね！
ありがとうございました。スッキリしました。
No.3516 - 2008/10/29(Wed) 19:57:32
★ (No Subject) / ゆい
xについての方程式2^2x+1+(t-1)(2^2x+1-1)-(t-3)2^x=0について異なる2つの実数解をもつためのtの範囲を求めよ
が解けません
誰か教えて下さい。
No.3509 - 2008/10/29(Wed) 17:05:27
☆ Re: / ヨッシー
2^(2x+1)+(t-1){2^(2x+1)-1}-(t-3)2^x=0 だとします。
Ｘ＝２x とおくと、上の式は、
２Ｘ2＋(t-1)(２Ｘ2−１)−(t-3)Ｘ＝０
と書けます。
これが、異なる２つの正の解を持つための、ｔの範囲を求めます。
No.3510 - 2008/10/29(Wed) 17:23:01
★ 数学Ａ / 優
Ａ,Ｂの2があるゲームを独立に繰り返し行う。1回ごとのゲームでＡ,Ｂの勝つ確率はそれぞれ2/3,1/3であるとする。先に3回勝った者を優勝とするとき、Ａが勝つ確率を求めよ。


教えて頂けると助かります。
宜しくお願いします。
No.3500 - 2008/10/28(Tue) 22:10:34
☆ Re: 数学Ａ / ヨッシー
Ａが優勝するのは、
ＡＡＡ、ＢＡＡＡ、ＡＢＡＡ、ＡＡＢＡ
ＢＢＡＡＡ、ＢＡＢＡＡ、ＢＡＡＢＡ、ＡＢＢＡＡ
ＡＢＡＢＡ、ＡＡＢＢＡ
の順にそれぞれが勝つときで、それぞれの確率の合計が、
Ａの優勝する確率になります。
答えは、64/81 になります。
No.3502 - 2008/10/28(Tue) 23:02:00
★ 場合の数 / みかん
小４です。教えてください。

１，２，３，４，５　の５まいのカードから、３まいを選んで２けたの数字と１けたの数字をつくります。
そして、その和をもとめます。（例）３，４，５を選ぶと　34　と　5　の和は、39になる。
このとき、和は全部で何通りできますか。

おねがいします。
No.3496 - 2008/10/28(Tue) 16:01:08
☆ Re: 場合の数 / ヨッシー
１枚を選んで、十の位にし、それ以外の２枚を選んで、足して
１の位にすると考えてもいいですね。
また、１の位では、くり上がりが起こらないので、最初に選んだ
数が、合計でも十の位になっています。

ここからは、個別に数えた方が早いでしょう。
十の位が１のとき：15,16,17,18,19 の５通り
十の位が２のとき：24,25,26,27,28,29 の６通り
といった具合に、十の位で選ばなかった４個の数のうちから
２つを選んで足すと、いくつになるかを確認しながら書き上げます。
答えは２７通りになります。
No.3497 - 2008/10/28(Tue) 16:22:48
☆ Re: 場合の数 / みかん
ありがとうございました。
とてもよくわかりました。
No.3506 - 2008/10/29(Wed) 10:06:12
★ (No Subject) / やす
質問お願いします！
Ａ＾２＝−Ｅ
の行列Ａは周期4だと思いますが、Ａ＾２＝−３Ｅの行列Ａは周期２でしょうか？？
なんだかややこしくなってしまったので詳しく教えてくださいお願いします＞＜
No.3488 - 2008/10/28(Tue) 02:33:59
☆ Re: / ヨッシー
行列の周期の定義は何ですか？
No.3492 - 2008/10/28(Tue) 12:20:33
☆ Re: / やす
ごめんなさいよくわからないので教えてください＞＜
すみません。
No.3504 - 2008/10/29(Wed) 02:13:32
☆ Re: / ヨッシー
いや、これは確認ではなく、逆質問です。
周期とは何かを定義しないと、答えようがありません。

その問題の載っている、テキストか何かに、載っていませんか？
No.3505 - 2008/10/29(Wed) 04:23:18
★ 数１Ａ（大学入試） / ton
２問質問です
?@実数ｘについての連立不等式
　ｘ＾２−２ｋｘ＋ｋ＜０
　ｋｘ＾２−２ｘ＜０　
が解を持つような自然数ｋは何個？



?Aｘについての不等式を解きましょう
ａは定数で０でないとする

√（ａ＾２−ｘ＾２）＞ａｘ−ａ　
No.3485 - 2008/10/28(Tue) 01:27:05
☆ Re: 数１Ａ（大学入試） / ヨッシー
(1)
ｘ＾２−２ｋｘ＋ｋ＜０　は、
　(ｘ−ｋ)2＜ｋ2−ｋ
より、
　ｋ−√(ｋ2−ｋ)＜ｘ＜ｋ＋√(ｋ2−ｋ)
ただし、ｋ＞１ のとき。

ｋｘ＾２−２ｘ＜０　は、
　ｘ（ｋｘ−２）＜０
より、０＜ｘ＜２／ｋ が解になります。

ｋ−√(ｋ2−ｋ)＞０ より
　ｋ−√(ｋ2−ｋ)＜２／ｋ
であれば、両者は共通の解を持ちます。
　ｋ−２/ｋ＜√(ｋ2−ｋ)
２乗して、
　ｋ2＋４/ｋ2−４＜ｋ2−ｋ
　４/ｋ2＋ｋ＜４
これより、ｋ＝２，３　の２個。
No.3491 - 2008/10/28(Tue) 12:19:46
★ 大学への数学2の問題 / しその葉
平面上の帯状の領域M={(x，y)||y|≦1}内を点Pが次のように運動する。
(イ)Mの内部{(x，y)||y|＜1}においてPは直進する。
(ロ)Mの境界上においてはPは等しい角度で反射する。
原点から傾きa(a＞0)で右方向に出発した点Pが、線分y=x-2(3/2≦x≦5/2)を通過しないようなaの値の範囲を求めよ。

反射していく直線を式であらわしていったところ、5本目で複雑すぎて挫折しました。何かうまいやり方はないでしょうか。お願いします。
No.3482 - 2008/10/27(Mon) 23:04:17
☆ Re: 大学への数学2の問題 / rtz
他板ですが、同一問題かと。
http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=pickup&no=5204
No.3483 - 2008/10/28(Tue) 00:15:31
☆ Re: 大学への数学2の問題 / ToDa
折り返して考えるのはどうですか。こんな感じで。
No.3484 - 2008/10/28(Tue) 00:47:51
★ (No Subject) / 匿名
1から9までの整数が1つずつ書かれたカードが9枚ある。
この中から7枚のカードを無作為に取り出して得られる
7つの整数のうち最大のものをXとする。
Xの期待値を求めよ。

このときの最大とは7,8,9のことですか?
よくわからないのでよろしくお願いします。
No.3474 - 2008/10/27(Mon) 19:50:03
☆ Re: / rtz
そうです、
選んできたカードに書かれた中で最大の数字です。
No.3476 - 2008/10/27(Mon) 20:07:49
☆ Re: / 匿名
わかりました!
ありがとうございます(`ω∩)
No.3479 - 2008/10/27(Mon) 21:53:52
★ 訂正・三角関数です。 / kohime
(１)π≦θ≦２πとする。sinθ+cosθ=-１/２のとき、sinθcosθ=アイ/ウである。
また、sinθ-cosθ=-√エ/オ、sin^θ/cosθ-cos^θ/sinθ=カ√キ/クである。

(２)０≦x≦２πとする。
不等式cos２x＜√２cos(x+π/４)-cosxを満たすxの値の範囲をもとめよう。

a=sinxとおくと、与えられた不等式はケa^-a-コ＞0となる。
左辺の因数分解を利用してxの値の範囲を求めると
サ/シπ＜x＜スセ/ソπである。

求めるものはカタカナの場所です。(１)は自力で解けました！
(２)をよろしくお願いします。
No.3473 - 2008/10/27(Mon) 19:38:37
☆ Re: 訂正・三角関数です。 / rtz
方針に書いてあるとおりsinxに統一します。
cos2xは2倍角を使ってsinxで表します。
cos{x＋(π/4)}は加法定理でばらせばよいでしょう。
No.3475 - 2008/10/27(Mon) 20:05:21
☆ Re: 訂正・三角関数です。 / kohime
すいませんが、加法定理のばらし方を教えて下さい。
No.3477 - 2008/10/27(Mon) 20:34:53
☆ Re: 訂正・三角関数です。 / rtz
あれ、もう学習されていると思いますが…。
cos(x＋y)＝cosxcosy−sinxsinyというのはもうご存知ですよね？
これを使いましょうということです。
No.3478 - 2008/10/27(Mon) 21:42:02
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