某掲示板で拾ってきました。
(1)xy平面上の動点P,Qはそれぞれx軸、y軸上のx≧0,y≧0,の部分を
OP+OQ=1という関係満たしながら動く。
このとき線分PQの通過しうる領域を図示し、その領域の面積を求めよ。
(2)xyz空間内の動点P,Q,Rはそれぞれx軸、y軸、z軸上のx≧0,y≧0,z≧0の部分を
OP+OQ+OR=1という関係を満たしながら動く。
このとき平面PQRの通貨しうる領域の体積を求めよ。
ただしOは原点である。
前に代ゼミのテキストで以下のような問題がありましたができませんでした。以下の問題を解く途中でわからずに挫折してたときに上の問題が途中式が同じだったので今回は理解したいので質問させていただきます。
「テキストの問題」
tを実数として、直線tx+(1-t)y=t(1-t)を考える。
tが00,y>0の範囲で直線が通過する
領域を図示せよ。（答え√x+√y≦1）
拾ってきた問題をとくと、
P（t,0）Q(0,s)とするとOP+OQ=1より
s+t=1
t≠０のとき
直線ＰＱは、
y=-sx/t+s
よってs=1-tを代入して
t^2+(y-x-1)t+x=0
f(t)=t^2+(y-x-1)t+xとすると
f(t)=０がｔ>0に少なくともひとつ実数解をもつ条件が
求めるもの。
判別式≧０、軸＞０、f(0)＞0
この三つの式を処理できずに困ってます。
代ゼミのテキストでも同様の式がでてきました。
式変形を解説詳しくお願いします。
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No.1802 - 2008/07/28(Mon) 18:12:49
| ☆ Re: 領域問題 / ダン | | | 訂正
＞＞tが00,y>0の範囲で直線が通過する
→tがx>0,y>0の範囲で直線が通過する
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No.1811 - 2008/07/28(Mon) 23:16:44 |
| ☆ Re: 領域問題 / ぱんだ | | | えっと、色々と言いたいことはあるのですが、ちょっと辛口のコメントから。
まず、「正しい」と誰かが言っている解き方を吟味せずに覚えることは何か意義があることでしょうか？答えは誰かに（よくわからないけど）こうすれば出るらしいと教えてもらうものではなく、自分で論理立てて解法を作っていくものだと私は考えています。
f(t)=０がｔ>0に少なくともひとつ実数解をもつ条件が
求めるもの。
判別式≧０、軸＞０、f(0)＞0
とお題目のように書かれてますが、これは某掲示板で拾ったものでしょうか？？それともどこかの教科書に「このタイプの問題はこう解け」と書かれてあった（のを覚えた）のでしょうか？代ゼミの問題集の「掲示板の問題とは違う」問題ではこうなっていたのでしょうか？
いずれにしても申し訳ないですが軽率すぎると思います。式変形の前に、式を導く方針をしっかり自分で立てられることが最重要だと思います。では、実際にやってみましょう。
（＊実際は細かいところまで議論をするとかなりやっかいになるのですが、恐らくダンさんの能力的に無理があるので細かい議論は省略します）
まずP(t,0),Q(0,1-t)とおきます。（ただし、０≦ｔ≦１）
線分ＰＱをl_t:(x/t)+{y/(1-t)}=1とおけます。（l_tのtは右下に小さく書く添え字。線分Ｌは定まった一つの直線ではなく、ｔと共に変化する直線群というイメージをしっかり持ちましょう ＊t=0とt=1のときは本当は分けて議論しなければならないが省略）
「ある点R(x0,y0)が求める領域上にある」とは（x0,y0は定数、数字だというイメージを持つこと！）
「R(x0,y0)がl_t上に来るようなt（０≦ｔ≦１）が少なくとも一つ存在する」
つまり「(x0/t)+{y0/(1-t)}=1となるｔ（０≦ｔ≦１）が少なくとも一つ存在する （＊そしてその解t=t0として０≦x0≦t0とならないといけないのですが、煩雑なので省略。）」
両辺にt(1-t)をかけて「(1-t)x0+ty0=t(1-t)となるｔ（０≦ｔ≦１）が少なくとも一つ存在する」
つまり「t^2+(-x0+y0-1)t+x0=0が０≦ｔ≦１に少なくとも一つ解を持つ」条件を求めればよい。
さて、左辺をf(t)とおいて、色々な条件を考えるわけですが
少なくとも１つということは、２つ以上解を持っても、１つだけでもよいということはしっかり意識してください。
やり方としては「ちょうど２つだけ」の場合と「ちょうど１つ」の場合に分けてやるのが一番確実ですが、今回先に
f(0)とf(1)を求めてみると、
f(0)=x0≧０かつf(1)=y0≧0となっていることから
Ｄ≧０かつ０≦軸≦１となることが条件になります。
軸のｘ座標＝(x0-y0+1)/2なので0≦(x0-y0+1)/2≦１
つまり-1≦x0-y0≦1となるが、これは必ず満たされる。
（-1+y0≦x0は左辺≦０、x0≦y0+1は右辺≧１なので）
次に、D=(-x0+y0-1)^2-4x0=x0^2+y0^2+1-2x0y0-2x0-2y0
=y0^2+(-2x0-2)y0+x0^2-2x0+1≧０について考える。
（y0について一文字整理したのがポイント。最終的にｙ＝〜の形にしたいので、ｙが主役）
（Ｄ＝０を解いてy0=x0±２√(x0)より）
y0≧x0+2√(x0)+1（右辺≧１より不適）またはy0≦x0-2√(x0)+1
よってy0≦x0-2√(x0)+1
代ゼミの形にどうしても直したければ（今回必要ないと思われるが）右辺＝(√(x0)-1)^2に直して変形すればＯＫ。
（その際√(x0)-1≦０に気をつけて）
ただ、実際問題としてこの問題はファクシミリの原理を使った方がかなり早く終ると思います。ｘ＝X0のときのｙ座標の取りえる範囲を表す方法です。
l_tでｘ＝X0のとき、y=1+X0-(t+X0/t)≦1+X0-2√X0（相加相乗）とあっさりでます。
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No.1813 - 2008/07/29(Tue) 01:59:28 |
| ☆ Re: 領域問題 / ダン | | | 解説ありがとうございます。
ぱんださんがいうとおりだと思います。いろいろと
反省しております…；；；
＞軸のｘ座標＝(x0-y0+1)/2なので0≦(x0-y0+1)/2≦１
つまり-1≦x0-y0≦1となるが、これは必ず満たされる。
（-1+y0≦x0は左辺≦０、x0≦y0+1は右辺≧１なので）
とありますが、
点R(x0,y0)がl_t上に来るようなt（０≦ｔ≦１）が少なくとも一つ存在するので０≦x0≦１となるのはわかりますが、
y0がf(1)=y0≧0としかわからないと思うんですがどうして
「-1+y0≦x0は左辺≦０」がいえるのでしょうか？
初歩的な質問で申し訳ありません…
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No.1816 - 2008/07/29(Tue) 09:54:38 |
| ☆ Re: 領域問題 / ダン | | | すいません(･･;)勘違いです。やっとわかりましたm(_ _)mありがとうございました！
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No.1817 - 2008/07/29(Tue) 10:56:43 |
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