a,b,c,dを自然数とし、a≧cとする。m=2^a3^b,n=2^c3^dについてm,nの正の約数の個数がそれぞれ80,72でmとnの正の公約数の個数が45であるという。 このときa,b,c,dを求めよ。
この問題が全く分かりません。詳しい解説おねがいします。
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No.1738 - 2008/07/25(Fri) 08:03:09
| ☆ Re: 高校1年です。 / ヨッシー | | | 約数の個数については、こちらなどをご覧いただくとして、 mの約数の数は (a+1)(b+1)=80 ・・・(1) nの約数の数は (c+1)(d+1)=72 ・・・(2) a≧c は分かっていますが、bとdの大小は分かっていませんので、 bとdで大きくない方をeとします。 mとnの最大公約数は 2^c・3^e なので、 公約数(=最大公約数の約数)の数は (c+1)(e+1)=45 ・・・(3) (2)(3)より、eはdではなくbであることが分かります。よって、 (c+1)(b+1)=45 ・・・(4) (1)(2)(4) より c+1=9, b+1=5, a+1=16, d+1=8 以上より、 a=15,b=4,c=8,d=7
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No.1740 - 2008/07/25(Fri) 08:44:15 |
| ☆ Re: 高校1年です。 / にょろ | | | まず、基本事項 正の整数xの約数の個数nは,x=a^pb^qc^r・・・と素因数分解されるとき n=(p+1)(q+1)(r+1)
これより (a+1)(b+1)=80 (c+1)(d+1)=72
これより a,bの組は順不同で(1,39)(3,19)(4,15)(7,9)-(*) c,dの組は順不同で(1,35)(2,23)(3,17)(5,11)(7,8)-(\) のいづれか a≦cより b,dの大小関係は不明
b,dの小さいほうをeとおくと
m,nの最大公約数Mは M=2^c3^e これの約数の個数は (c+1)(e+1)=45 (c,e)=(2,14)(4,8)(8,4)(14,2) (\)より (c,e)=(2,14)(8,4) eはb,dのいづれかなので (c,e)=(8,4) よってe=b=4 よって (a,b,c,d)=(15,4,8,7) ですかね
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No.1741 - 2008/07/25(Fri) 08:46:46 |
| ☆ Re: 高校1年です。 / 笹舟 | | | ヨッシーさん、にょろさん、詳しい解説ありがとうございます! 本当に助かりました。
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No.1758 - 2008/07/26(Sat) 11:32:25 |
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