ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 微分の応用 / 高三

【問】
半径4の球に内接する直円柱のうちで、側面積が最大になるものの半径と高さを求めよ。
また、側面積の最大値を求めよ。

よろしくお願いします。

No.3839 - 2008/11/12(Wed) 23:22:54

☆ Re: 微分の応用 / X

前半を途中まで。

円柱の底面の円の中心を通り、底面に垂直な平面による
断面を考えます。
今、直円柱の高さをh,底面の円の半径をrとすると、上記の断面上に
底辺がr,高さがh/2,斜辺が4(=球の半径)の直角三角形
ができていることがわかりますので、三平方の定理から
r^2+(h/2)^2=4^2 (A)
一方、直円柱の体積をVとすると
V=hπr^2 (B)
(A)(B)(C)よりrを消去して
V=πh{16-(h/2)^2} (B)'
一方、題意から
0＜h (C)
更に(A)から
r^2=16-(h/2)^2＞0 (D)
(C)(D)から
0＜h＜8 (E)
(E)の範囲でhの関数(B)'の増減を考えます。

注)(B)からhを消去してrの関数として考えてもよいのですが
その場合は√が式に混じりますので処理が多少煩雑になります。

No.3843 - 2008/11/13(Thu) 08:45:38

☆ Re: 微分の応用 / ヨッシー

＞＞Ｘさん
不等号（＜＞、特に＜）を、全角で書いてみてください。

No.3846 - 2008/11/13(Thu) 08:54:50

☆ Re: 微分の応用 / X

＞＞ヨッシーさんへ
お手数をおかけしました。
不等号を修正し、表示に問題がなくなりました。

No.3847 - 2008/11/13(Thu) 09:06:11

☆ Re: 微分の応用 / 高三

ここまでは理解できました！
この後、どのような処理をすると、h、rが出てくるのでしょうか？
教えて下さい。

No.3920 - 2008/11/16(Sun) 11:51:42

☆ Re: 微分の応用 / X

dV/dhを求めて増減表を描きましょう。

No.3959 - 2008/11/18(Tue) 07:52:58

★ 高1 / 匿名

箱の中に赤、青、黄のカードがそれぞれ1枚ずつ入っている。箱からカードを1枚取り出し、その色を確かめて箱の中に戻す。この操作を4回行う。

(1)異なる2色のカードをそれぞれ2回ずつ取り出す確率を求めよ。
(2)取り出したカードの色が全部でX種類であるとする。
　 X＝2となる確率を求めよ。

(1)と(2)の違いがわかりません。
教えていただきたいです(ｐｑ)

No.3836 - 2008/11/12(Wed) 22:11:21

☆ Re: 高1 / にょろ

とりあえず
(1)は分かっているという風にとらえたのですが大丈夫ですか？

では(2)との違いですが
こんな取り方があります
赤、青、青、青

どうですかこれでもX=2ですよね？

そういうことです。

No.3837 - 2008/11/12(Wed) 22:24:32

☆ Re: 高1 / 匿名

(1)は一応解けました。
そういう場合もありますね!
思いつきませんでした;;

ご説明ありがとうございました★

No.3870 - 2008/11/14(Fri) 13:53:50

★ (No Subject) / 南

お願いします。
ＡＢ=３,ＡＣ=５,↑ＡＢ･↑ＡＣ=５である三角形ＡＢＣに対して↑ＡＢ=↑ｂ,↑ＡＣ=↑ｃとする。このとき三角形ＡＢＣの外接円の中心をＯとして↑ＡＯを↑ｂ,↑ｃを用いて表せっていう問題なんですけど…どうもわかりません。教えて下さい。

No.3827 - 2008/11/12(Wed) 17:36:35

☆ Re: / ヨッシー

　cos∠ＢＡＣ＝ＡＢ・ＡＣ/ＡＢ・ＡＣ
より、
　cos∠ＢＡＣ＝1/3
これより、
　sin∠ＢＡＣ＝2√2/3
余弦定理より
　ＢＣ²＝ＡＢ²＋ＡＣ²－２ＡＢ・ＡＣcos∠ＢＡＣ
　　＝９＋２５－１０＝２４
よって、
　ＢＣ＝2√6
正弦定理より
　２ＡＯ＝ＢＣ/sin∠ＢＡＣ＝3√3
よって、
　ＡＯ＝3√3/2
ＮをＡＣの中点とすると、ＡＮ＝5/2 より
　ＮＯ²＝ＡＯ²＋ＡＮ²
　　＝(27＋25)/4＝13
　ＮＯ＝√13
ＢからＡＣにおろした垂線の足をＤとすると、
　ＡＤ＝ＡＢcos∠ＢＡＣ＝１
　ＢＤ＝ＡＢsin∠ＢＡＣ＝2√2
よって、
　ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ＝ｂ－ｃ/５
　ＮＯ＝(√13/2√2)ＤＢ
であり、
　ＡＯ＝ＡＮ＋ＮＯ
であるので、
　ＡＯ＝ｃ/２＋(√13/2√2)ＤＢ
　　＝ｃ/２＋(√13/2√2)(ｂ－ｃ/５)
　　＝(√13/2√2)ｂ＋(1/2－√13/10√2)ｃ

No.3832 - 2008/11/12(Wed) 20:36:17

☆ Re: (No Subject) / 南

どうもありがとうございます！

No.3840 - 2008/11/12(Wed) 23:33:34

★ ２００８に最も近い整数 / √

何度も、すみません。
また、よろしくお願い致します。算数です。

５で割ると２余り、
４で割ると１余り、
３で割ると１余る整数で２００８に最も近い整数を求める問題です。

答えは２０１７です。
考え方が分らないので教えてください。
よろしくお願い致します。

No.3824 - 2008/11/12(Wed) 17:19:04

☆ Re: ２００８に最も近い整数 / ヨッシー

５は特殊なので、あとまわしにします。

４で割ると１余り、３で割ると１余る　だけ考えると、
「３でも４でも割れる数に１を足す」で出来ますね。
たとえば、１２，２４，３６に１を足した、
１３，２５，３７などがそれです。
これらの中で、５で割ると２余る数をさがします。

見つかったら、それに、６０（３，４，５の最小公倍数）を
足していったものは、すべて条件を満たします。

No.3826 - 2008/11/12(Wed) 17:29:56

☆ 有り難うございました / √

ヨッシーさん　有り難うございました。

一番小さい数で条件満たす数字を見つけて、
あとは、最小公倍数を何個足すかで決まるのですね。

考え方、分かりました。
いつも、本当に有り難うございます。

No.3829 - 2008/11/12(Wed) 17:47:55

★ 数学Ａ～三角形 / ゆっき

△ABCで辺BCの中点をMとする。AB=9,BC=10,CA=7であるとき,中線Mの長さを求めよ。

この問題を教えてもらえませんか?
宜しくお願いします。

No.3815 - 2008/11/12(Wed) 02:30:43

☆ Re: 数学Ａ～三角形 / rtz

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kika/heimenkika/tyuusenteiri.html
で。

No.3816 - 2008/11/12(Wed) 03:09:51

☆ Re: 数学Ａ～三角形 / ヨッシー

拡張形の中線定理もあります。
http://yosshy.sansu.org/theorem/chusen.htm

No.3819 - 2008/11/12(Wed) 09:17:49

☆ Re: 数学Ａ～三角形 / ヨッシー

解法１）
中線定理に従うと
　８１＋４９＝２（ＡＭ^2＋２５）
　６５＝ＡＭ^2＋２５
　ＡＭ＝2√10

解法２)

図のように、垂線ＡＨを引いて、ＨＣ＝ｘとします。
三平方の定理より
　ＡＨ^2＝８１－(10－ｘ)^2＝４９－ｘ^2
より、
　２０ｘ＝６８
　ｘ＝３．４
　ＡＨ^2＝37.44
　ＨＭ＝５－３．４＝１．６
よって、
　ＡＭ^2＝ＡＨ^2＋ＨＭ^2＝４０
　ＡＭ＝2√10

解法３)
ヘロンの式により、△ＡＢＣの面積は
　√(13・3・4・6)＝6√26
よって、ＢＣを底辺としたときの高さＡＨは、
　ＡＨ＝2×6√26÷10＝1.2√26
よって、
　ＡＨ^2＝37.44
△ＡＣＨにおける三平方の定理より
　ＣＨ^2＝４９－37.44＝11.56
　ＣＨ＝3.4
(以下同様)

No.3821 - 2008/11/12(Wed) 14:01:40

★ ２００８までの積の総和 / √

また　よろしくお願い致します。
算数です。

１＋（１ｘ２）＋（１ｘ２ｘ３）＋（１ｘ２ｘ３ｘ４）＋・・・＋（１ｘ２ｘ・・・ｘ２００８）

を計算した時、一の位の数字を求める問題です。

答えは「３」なのですが、
求め方が分らないので、教えてください。
よろしくお願い致します。

No.3807 - 2008/11/12(Wed) 00:42:57

☆ Re: ２００８までの積の総和 / ヨッシー

実は、(1×2×3×4×5) よりあとは、全部１の位は同じ数になります。

No.3810 - 2008/11/12(Wed) 00:45:18

☆ 有り難うございました / √

なっ　なるほど！！
『∞まで掛けても、一の位は永遠に「３」ということですね』

とても良いことを教わりました。
ヨッシーさん　本当に有り難うございました。

いつも、感謝しても感謝しきれません。

No.3812 - 2008/11/12(Wed) 00:59:27

★ (No Subject) / カナダ

xy平面上に放物線Ｃ:y=1/3x^2がある。点Ｐ(p,1/3p^2)(ただし,p＞0)を通り,ＰにおけるＣの接線に垂直な直線をｎとする。ｎとＣのＰ以外の交点をＱとするときＣとｎで囲まれる部分の面積Ｓの最小値とそのときのpの値を求めよ。が解けないです。教えて下さい。

No.3804 - 2008/11/12(Wed) 00:03:40

☆ Re: / ヨッシー

ｙ’＝2x/3 より、点Ｐにおける接線の傾きは 2p/3。
これに垂直な直線の傾きは -3/2p。
よって、ｎの式は、
　ｙ＝(-3/2p)(x-p)＋p^2/3
これと、ｙ＝x^2/3 を連立させて、
　x^2/3＝-3x/2p＋(3/2＋p^2/3)
移項して
　x^2/3＋3x/2p－(3/2＋p^2/3)＝０
３倍して
　x^2＋9x/2p－(9/2＋p^2)＝０
これの解をα、β（α＜β）とすると、解と係数の関係より
　α＋β＝-9/2p、αβ＝－(9/2＋p^2)
　(α＋β)²＝81/4p^2
　(β－α)²＝(α＋β)²－4αβ
　　＝81/4p^2＋4(9/2＋p^2)
　　＝(2p＋9/2p)²
よって、
　β－α＝2p＋9/2p
こちらの公式より、Ｓは、
　Ｓ＝(1/3)(2p＋9/2p)³/6
2p＋9/2p＞０より、p＋9/2p が最小の時、Ｓも最小となります。
相加、相乗平均より
　2p＋9/2p≧2√(2p・9/2p)＝６
等号は、2p＝9/2p で、ｐ＝3/2 のとき。

No.3808 - 2008/11/12(Wed) 00:43:46

☆ Re: (No Subject / カナダ

ありがとうございます！

No.3825 - 2008/11/12(Wed) 17:26:05

★ (No Subject) / ちえみ　

お世話になります。
ﾃｲﾗｰ展開についての問題です。
１．Arcsinx＋Arccosx＝π/2であることを示せ。
２．1°は何ﾗｼﾞｱﾝか。この結果（後で書きます）を用いてtan１°の近似値を少数第４位まで求めよ。
　この２の問題を解く前に、「ﾃｲﾗｰの定理を関数tanxに適用し、x＝０を中心として剰余項R3までの展開形を具体的に表せ」という、問題がありました。　私なりに答えが出ました。　tanx=0+x-2x^2/2!+6x^3/3!=x-x^2+x^3
だと思います。これが正しければ利用してもらって、２の問題を解いて頂きたいとお思います。
宜しくお願いします。

No.3793 - 2008/11/11(Tue) 21:15:17

☆ Re: / ヨッシー

１．
sinθ＝cos(π/2－θ)＝ｘ　ただし、-π/2≦θ≦π/2
このとき、0≦π/2－θ≦π より、
　Arcsinｘ＝θ、Arccosｘ＝π/2－θ とおけます
よって、Arcsinx＋Arccosx＝π/2

２．
1°＝π/180 (rad)
なので、これを代入すればいいのではないでしょうか？
ただ、tanｘ＝x+(1/3)x^3 になるはずです。

No.3820 - 2008/11/12(Wed) 12:22:23

☆ Re: / ちえみ　

遅くなりました。
解いてみたら問題２は、ﾖｯｼｰさんと同じくなりました、

今回もありがとうございました。

No.3851 - 2008/11/13(Thu) 21:17:23

★ 積分の問題で / β　高校２

ｆ(ｘ)＝３ｘ＾2＋∫1～0(２ｘ＋１)ｆ(ｔ)ｄｔ
この等式を満たす関数ｆ(ｘ)を求めよ。

という問題なのですが、２ｘ＋１をどうしたらいいのか分かりません、教えてくださいお願いします。

答えは３ｘ＾2－２ｘ－１となります。

No.3789 - 2008/11/11(Tue) 20:44:27

☆ Re: 積分の問題で / rtz

2x＋1はtと無関係ですので外に出せます。
つまりf(x)＝3x²＋(2x＋1)∫¹₀f(t)dtとなり、
∫¹₀f(t)dtは定数ですのでkとおけます。

f(x)＝3x²＋k(2x＋1)として、
再度元の方程式に戻って計算しましょう。

No.3790 - 2008/11/11(Tue) 20:50:36

☆ Re: 積分の問題で / β　高校２

(2ｘ＋1)[ｔ＾3＋ｔ＾2＋ｋ]1～0＝ｋ(2ｘ＋1)
となるということですか？
これを解くとｋ＝－2ｘｋ＋２ｘ＋1が出てきてしまうのですが…

No.3794 - 2008/11/11(Tue) 21:31:58

☆ Re: 積分の問題で / rtz

そもそも1行目の計算の時点で間違っています。

No.3795 - 2008/11/11(Tue) 21:38:35

★ (No Subject) / 大阪人

はじめまして現在高２のものなんですが、大阪女子の問題で関数f(x)=|12x^3-(24a+12)x^2+12(a^2+a)x|
（0<a<1）のグラフをかけ。
というのの解き方が分かりません。どうかおねがいします
＾＾

No.3788 - 2008/11/11(Tue) 20:36:53

☆ Re: / rtz

どこまでされて、どこが分からないのか書いていただけますか？

No.3791 - 2008/11/11(Tue) 20:51:58

☆ Re: / 大阪人

f(x)が0,a,a+1を解にもつことが分かったんですけど、aが分からないのでf´(x)=０のときのxが解の公式を使うと２つでてくるので増減表などをどうやったらグラフの概形をつかめるのかわからないです＾＾：
また、その際の変曲点などもどう求めたらいいかわからないんです。

No.3792 - 2008/11/11(Tue) 21:08:02

☆ Re: / rtz

まず、絶対値に関しては考える必要はありません。
負になった部分はあとでx軸を挟んで折り返せばいいので、
この処理は最後に行えば片付きます。
(以降絶対値を外したものをf(x)と考えますが、実際の答案ではg(x)などとおき直した方が無難でしょう。)

さらにf(x)＝0⇔x＝0,a,a＋1となった時点で、
ほぼ概形は掴めます。
0～aの間に極大、a～a＋1の間に極小となるxがあるのは当然として、
0＜a＜1ですから、0～a間(差がa)よりa～a＋1間(差が1)の方が大きいわけで、
つまり変曲点はx軸より下にあります(変曲点より上にx軸がある、と同じ)。

つまり、
「上がってきて→原点を通過→0～aが小さい山→(a,0)を通過→a～a＋1が大きな谷→(a＋1,0)を通過→以降上昇」
という概形は描けることになります。

No.3796 - 2008/11/11(Tue) 21:58:03

☆ Re: / rtz

さて、グラフに必要な実際の数値計算ですが、
これはひたすらにやっていくしかありません。

f'(x)＝0の解自体は√が出てきて面倒ですが一応出せるでしょう。
問題はその解を利用した極大極小値ですね。
これは代入するのは面倒なので、
f'(x)＝0⇔3x²－(4a+2)x＋(a²+a)＝0の解であることを利用し、
12x³－(24a+12)x²＋12(a²+a)x
＝{3x²－(4a+2)x＋(a²+a)}{4x－(4/3)(2a+1)}－(8/3)(a²+a+1)x－(4/3)(2a+1)(a²+a)
とした方が若干楽でしょう。

No.3797 - 2008/11/11(Tue) 22:12:11

☆ Re: / 大阪人

ありがとうございました＾＾

No.3800 - 2008/11/11(Tue) 23:22:25

★ (No Subject) / 絵莉沙

この問題お願いします。

座標平面上に原点Ｏとは異なる点Ｑをとり、原点Ｏと点Ｑを結ぶ線分上に点Ｐをとる。点Ｑの座標を(Ｘ,Ｙ),点Ｐの座標を(x,y)とするとき、次の問いに答えよ。ただし点Ｑのx座標は正とし、点Ｐは線分ＯＱの両端とは一致しないものとする。
(１)0＜k＜1となるkを用いて、Ｘ=x/k , Ｙ=y/kと表されることを示せ。
(２)ＯＰ･ＯＱ=12のとき、Ｘ=12x/(x^2+y^2) , Ｙ=12y/(x^2+y^2)であることを示せ。
(３)点Ｑが直接x=9の上を動くとき、ＯＰ･ＯＱ=12を満たす点Ｐの軌跡を求めよ。

No.3780 - 2008/11/11(Tue) 17:59:31

☆ Re: / ヨッシー

(1)は、当たり前すぎて、かえって難しいですね。
単純に、Ｐの座標(x,y) は、０＜ｋ＜１なるｋを用いて、
　ｘ＝ｋＸ、ｙ＝ｋＹ
とおける。ここで、ｋ≠０であるので、
　Ｘ＝ｘ/ｋ、Ｙ＝ｙ/ｋ
と書ける。とするか、もっと根本のところを聞かれているとすれば、

図において、Ｙ≠０のとき、点Ｐ、点Ｑからｘ軸に下ろした垂線の足を
点Ａ、点Ｂとすると、△ＯＰＡと△ＯＱＢは相似で、
　ＯＡ：ＯＢ＝ＡＰ：ＢＱ
この日の値をｋとすると、０＜ｋ＜１であり、
　ｘ：Ｘ＝ｙ：Ｙ＝ｋ
と書けるので、ｘ＝ｋＸ、ｙ＝ｋＹより、
　Ｘ＝ｘ/ｋ、Ｙ＝ｙ/ｋ
と書ける。Ｙ＝０のときは、ｘ/Ｘ＝ｋとおけば、Ｙ＝ｙ/ｋは
常に成り立つので、明らかに、Ｘ＝ｘ/ｋ、Ｙ＝ｙ/ｋと書ける。
といった具合でしょうか。

(2)
ＯＰ²＝ｘ²＋ｙ²
ＯＱ²＝Ｘ²＋Ｙ²＝(ｘ²＋ｙ²)/ｋ²
より、
　(ＯＰ・ＯＱ)²＝(ｘ²＋ｙ²)²/ｋ²＝１４４
よって、
　ｋ²＝(ｘ²＋ｙ²)²/１４４
ｋ＞０、ｘ²＋ｙ²＞０より
　ｋ＝(ｘ²＋ｙ²)/１２
(1) の結果より・・・・

(3) (2) において、Ｘ＝９とおくと、
　１２ｘ/(ｘ²＋ｙ²)＝９
　４ｘ/３＝ｘ²＋ｙ²
　ｘ²－４ｘ/３＋ｙ²＝０
　(ｘ－２/３)²ｙ²＝４／９
より、点(2/3, 0) 中心、半径 2/3 の円上の点で、原点を除く点。

No.3782 - 2008/11/11(Tue) 18:40:32

☆ Re: (No Subject) / 絵莉沙

分かり易くありがとうございます。
考えてみます

No.3783 - 2008/11/11(Tue) 18:54:46

★ 微積 / あき

こんばんは(^ ^)/
いつも簡単な質問に丁寧に答えてくださりありがとうございます。
http://t.upup.be/?1CI4sDJBdd
の問題の(1)では
http://o.upup.be/?55awbJmqfC
となりY=kxが接するときはにこ交点もちうるので0
また(2)では答えで
http://p.upup.be/?TFcYigiBRY
のように計算の工夫をしていて
第二の積分の工夫の説明がなにをいってるか全くわかりませんでした…
教えて下さいお願いします。

No.3777 - 2008/11/11(Tue) 17:23:24

☆ Re: 微積 / あき

途中消えてました。(1)はk=1の時もはいるのではないかという疑問です、宜しくお願いします。

No.3778 - 2008/11/11(Tue) 17:24:38

☆ Re: 微積 / ヨッシー

>となりY=kxが接するときはにこ交点もちうるので0＜k≦1と
>思いましたが=はいりませんでした、なぜなんでしょう？
と書いてあったようです。

ｋ＝１では、ｘ＝０（重解）ともう１点が共有点になりますが、ｘ＝０は、ｘ＞０での解とならないので、ダメです。

第二の積分は、特に工夫でも何でもなく、f(x) の原始関数を
F(x) とすると、
　∫_a～bf(x)dx＝F(b)－F(a)
ですよね？これが、0～k-1 のときは、
　F(k-1)－F(0)
になりますが、F(x) は、定数項のないｘの３次式なので、
F(0)＝0 になって、F(k-1) だけ残ります。
これが、1～k-1 だと、F(k-1)－F(1) となり、第一の積分に
－F(1) を付けた形になります。（本書では「付けただけの形になります」
と言いたいのでしょう)。
工夫というなら、kx－f(x) とすべきところを、わざと
f(x)－kx として、その代わりに、積分区間の k-1～1 を
1～k-1 にして、符号を合わせて、結果、第一の積分に
似た形になった、というところでしょう。

No.3779 - 2008/11/11(Tue) 17:46:41

☆ Re: 微積 / あき

私の方ではなぜか表示されてないです(>_<)
2個目の方は分かりました！ありがとうございます！
一個目の方はx=0と接点ともう一点と交わっていませんか？ですからx=0を除いた二点と交わっていると思ったんですが…(^^;)

No.3785 - 2008/11/11(Tue) 20:24:23

☆ Re: 微積 / ヨッシー

上に凸のグラフだけ考えると、接点である以上、それ以外の
点とは、交わりません。

No.3801 - 2008/11/11(Tue) 23:32:36

☆ Re: 微積 / あき

上に凸だけだとそうなのですがY=x|x－1|全体で考えるんじゃないんですか？？(?_?)
x=1以降のとこで交わりませんか？(?_?)

No.3814 - 2008/11/12(Wed) 01:24:27

☆ Re: 微積 / ヨッシー

ですから、ｘ＞０の位置で交わるのは、
ｘ＞１の部分の１点だけです。

No.3817 - 2008/11/12(Wed) 05:52:17

☆ Re: 微積 / あき

http://r.upup.be/?EwRTssF9qq
このような状態で二点交わると思うのですが、範囲を考えるとxが1より小さいところでの接線だからということですか？

No.3822 - 2008/11/12(Wed) 15:49:53

☆ Re: 微積 / ヨッシー

その位置(左下の方の○）では、交わりません。
もう一度、上に凸の部分だけで考えますが、
私の主張は、「(0,0) で接する以外に、共有点はない」で、
あきさんのは、「(0,0) で接する以外に、○で交わる」ですね？

２次関数のグラフと、直線との位置関係は、
●離れている　（連立して虚数解：Ｄ＜０）
●接している　（連立して重根:Ｄ＝０）
●２点で交わる　（連立して２実解：Ｄ＞０）
であって（Ｄは判別式）、「接して、さらに別の点で交わる」
ということはありません。
もし、図の○が存在するとすると、それは、原点で接していなくて
ｋ＝１のときではないことになります。

No.3823 - 2008/11/12(Wed) 16:14:28

☆ Re: 微積 / あき

わかりました！私原点で交わるということがすっかり抜けていました…／(￣口￣;)＼
お騒がせしましたありがとうございました！

No.3862 - 2008/11/14(Fri) 02:32:55

☆ Re: 微積 / あき

すいません…やっぱりわからなくなってきてしまいました、
Y=kx とY=－x(x－1) が接するときは
連立してD=0をとくとk=1になるのでやはりk=1でも接するんじゃないんですか？

No.3863 - 2008/11/14(Fri) 02:41:54

☆ Re: 微積 / ヨッシー

ｋ＝１のときの、y=|x(x－1)| と y=x の共有点は、
図の○(0,0) と ●(2,2) の２個であることは、理解されたでしょうか？

No.3864 - 2008/11/14(Fri) 06:34:34

☆ Re: 微積 / あき

わかりました、色々勘違いをしていました、本当にすみませんありがとうございました！

No.3876 - 2008/11/14(Fri) 19:47:26