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★ 微積 / あき
いつも丁寧にありがとうございます！質問お願いします。
http://s.upup.be/?ty79jNhl7E
の問題の(2)で
解説に
http://m.upup.be/?wh2y7FHAMp
とかいてあったんですがこの意味がよくわかりません、そしてどのように問題に適用させるのかもわかりませんでした。すみませんが教えて下さい(>_<)
No.3768 - 2008/11/11(Tue) 09:20:14
☆ Re: 微積 / ヨッシー

２つのグラフで囲まれる面積、といった場合
図のような場合が考えられます(他の場合もあります)
左のような場合が、「途中で交わっている」場合で、
右が「途中で交わっていない」場合です。

左の場合でも、
　|∫a〜b{f(x)−g(x)}dx|＋|∫b〜c{f(x)−g(x)}dx|
と書けます。要は、g(x)−f(x) としないといけないのを、
f(x)−g(x) で計算してしまっても、符号が変わるだけなので、
絶対値を付ければ同じこと、というだけの意味です。

実際にも、面積を出すつもりで ∫a〜bf(x)dx を計算して、
マイナスになって、実は ∫a〜b{-f(x)}dx を計算するんだったと、
訂正したことはありませんか？それを面倒がった人が、考え出した、
姑息手段で、あまり感心しません。

ただ（図を描いてもよくわからない) という状況が、本当に
あったら、使わざるを得ないかも知れません。
No.3769 - 2008/11/11(Tue) 10:37:56
☆ Re: 微積 / あき
なるほどです！
できれば使わない方がいいとのことでしたがこの場合は積分区間内ではどちらが上にあるかはどうやってわかるのですか？
No.3770 - 2008/11/11(Tue) 10:59:45
☆ Re: 微積 / ヨッシー
この前もそうでしたが、画像が削除されていますね。
No.3771 - 2008/11/11(Tue) 14:09:22
☆ Re: 微積 / あき
撮り直しました、
http://r.upup.be/?Gu6lG6m0dl
お願いします！
No.3774 - 2008/11/11(Tue) 14:37:11
☆ Re: 微積 / ヨッシー
x=2, a=1 になると思いますが、このとき
h(x)＝f(x)−g(x)＝x^3−12x+16 とおきます。
　h(x)＝(x-2)^2(x+4)
より、-4＜ｘ＜2 においては、h(x)＞０ なので、f(x) の方が
上にあります。
No.3775 - 2008/11/11(Tue) 15:25:17
☆ Re: 微積 / あき
わかりました！
詳しくありがとうございました！
No.3776 - 2008/11/11(Tue) 17:15:41
★ 数学A・論理と集合 / 高1
いつも本当に助かっています
今回もよろしくお願いします。
次の等式を満たす有理数p.qの値を求める問題で、
(√2-1）p＋q√2＝2＋√2
というもんだいなのですが、
（-p-2)＋（p＋q-1)√2＝0
という形にしてから、その後どうやって
解いていったら良いのかが分かりません。
詳しく教えていていただけると
うれしいです。よろしくお願いします。
No.3763 - 2008/11/10(Mon) 22:25:49
☆ Re: 数学A・論理と集合 / rtz
−p−2もp＋q−1も有理数同士の和ですから有理数になります。
よってともに0でないといけませんね。

分かりにくければ、
−p−2を移項して(p＋q−1)√2＝p＋2とすれば、
もしp＋q−1≠0なら√2＝(p＋2)/(p＋q−1)で
無理数＝有理数となってしまいますね。
No.3764 - 2008/11/10(Mon) 22:35:37
★ 周の長さが等しい図形の面積比 / √
算数です。よろしくお願い致します。

「正六角形」と「正三角形」があります。

この二つの図形の「周の長さ」が等しい時、
面積の比は、いくつになるか教えてください。
No.3755 - 2008/11/10(Mon) 18:30:18
☆ Re: 周の長さが等しい図形の面積比 / DANDY　U
正六角形の１辺を１とすると正三角形の１辺は２となります。

[正六角形を中心と頂点を結んで出来る小さい正三角形]と[元の正三角形]の辺の比は
１：２ だから、面積の比は１：４となります。

よって、(正六角形の面積)：(正三角形の面積)＝(1*6)：4＝3：2 となります。
No.3760 - 2008/11/10(Mon) 21:41:53
☆ Re: 周の長さが等しい図形の面積比 / √
ＤＡＮＤＹ　Ｕさん

なるほど〜
分りました。有り難うございました。
最後の答えは３：２ですよね。

一般に、
「周の長さが等しい図形において、角数が大きくなるほど、面積が大きくなる」
最小は「三角形」の時
最大は「円」の時
と考えてよろしいでしょうか？
No.3762 - 2008/11/10(Mon) 22:21:10
☆ Re: 周の長さが等しい図形の面積比 / DANDY　U
3：2 ・・・・失礼しました。タイプミスでした。
> 一般に、「周の長さが等しい図形において、角数が大きくなるほど、面積が大きくなる」
と考えてよろしいでしょうか？

正多角形に限定すればいえますが、一般の多角形に広げればいいきれません。（例えば、十角形でも細長いものが考えられます）

最大は「円」の時・・・・ですね。
No.3765 - 2008/11/10(Mon) 23:08:48
☆ 有り難うございました / √
ＤＡＮＤＹ　Ｕさん

> 正多角形に限定すればいえますが、一般の多角形に広げればいいきれません。（例えば、十角形でも細長いものが考えられます）

またまた、なるほど〜
有り難うございました。


> 最大は「円」の時・・・・ですね。

また少し気になったのですが、
周の長さが同じだったら、
面積は「楕円」より「正円」の方が大きいということでしょうか？

もちろん、とても細長い「楕円」ではなく、「正円」に近い「楕円」です。
No.3766 - 2008/11/10(Mon) 23:27:58
☆ Re: 周の長さが等しい図形の面積比 / DANDY　U
「楕円の周長は初等関数では表わすことができないことが知られている。」とWikipediaにありました。
ただし、楕円x^2/a^2＋y^2/b^2＝1 の周長≒π√{2(a^2+b^2)らしいです。

もし周長＝π√{2(a^2+b^2)として、半径ｒの円と比較すると
π√{2(a^2+b^2)＝2πｒ ならば、2r^2＝a^2＋b^2 となり
∴ r^2−ab＝(1/2)(a−b)^2≧0
よって、πr^2≧πab　（等号は a=b のとき）

この楕円の面積は πab だから、同じ周長をもつ円と楕円では
(円の面積)≧(楕円の面積)　がいえます。
円は a=bである楕円でもあるので、等号が付きます。

厳密な説明ではありませんが、同じ周長を持つをもつ円と楕円では、円の面積ほうが楕円(円を除く)の面積より大きくなりそうですね。
No.3786 - 2008/11/11(Tue) 20:27:22
☆ 有り難うございました。 / √
ＤＡＮＤＹ　Ｕさん

> 厳密な説明ではありませんが、同じ周長を持つをもつ円と楕円では、円の面積ほうが楕円(円を除く)の面積より大きくなりそうですね。

私の突拍子もない質問に、ご丁寧に解答してくださり、本当に、有り難うございました。
（大きなケーキがあって、この紐で好きな分だけ取っていいと言われたら、まん丸に囲むのが一番多く食べられるということですね（＾＾＊）ノ　）

これを知っていると何かの時、役に立ちそうです。
有り難うございました。
No.3798 - 2008/11/11(Tue) 22:12:57
☆ Re: 周の長さが等しい図形の面積比 / DANDY　U
どういたしまして！
お役に立てたのなら嬉しいことです。
私の分かる範囲の質問なら、また回答していきたいと思いますので、またど〜ぞ。

（上に立てられたスレッド(NO.3799)、削除できるなら削除しておかれたら・・と思います）
No.3831 - 2008/11/12(Wed) 19:06:08
☆ Re: 周の長さが等しい図形の面積比 / √
ＤＡＮＤＹ　Ｕさん

> （上に立てられたスレッド(NO.3799)、削除できるなら削除しておかれたら・・と思います）

はい。　削除させて頂きました。
No.3850 - 2008/11/13(Thu) 14:48:50
★ 微積 / あき
いつも助かりますまたお願いします。
http://l.upup.be/?8fCI3emVZr
の問題で
解答は
http://t.upup.be/?2vYotXL1bK
なのですが、確かにそうなんですが私は計算途中で=0を使ってしまい
最終的に
7b^4＋b^3(6a−4b)=0
とでてきてしまいました。この式からは条件を出すのは無理なのでしょうか？？？
教えて下さい、

No.3754 - 2008/11/10(Mon) 01:31:30
☆ Re: 微積 / rtz
申し訳ないですが、
何が"＝0"なのかいまいちよく分からないのですが。

もう少し過程を書いていただけますか？
No.3756 - 2008/11/10(Mon) 18:30:41
☆ Re: 微積 / あき
S1=S2
を
S1−S2=0
として計算しました！
No.3757 - 2008/11/10(Mon) 19:14:54
☆ Re: 微積 / rtz
なるほど。
でも同じ結果が出ないとおかしいですね。
出た式をb3で括って整理しても違いますので。

過程を具体的に書いてもらえますか？
No.3759 - 2008/11/10(Mon) 20:51:14
☆ Re: 微積 / あき
何度も見直したら計算間違いしてました(^^;)ごめんなさい…ありがとうございました！
No.3767 - 2008/11/11(Tue) 09:15:02
★ 方程式 / すん
xの2次方程式x^2+(3a+1)x+(2a^2-b^2)=0が重解をもつための，実数a,bの条件を求めよ。

判別式D=0ですかね…？

答えまで出ませんでした…
よろしくお願いします。
No.3746 - 2008/11/09(Sun) 20:52:20
☆ Re: 方程式 / rtz
それでいいですよ。

式を整理すれば円の方程式のようになるかと思います。
No.3747 - 2008/11/09(Sun) 21:03:41
★ 微積 / あき
またお願いします(^^;)
http://p.upup.be/?AHYlfAHXmX
の問題で
http://r.upup.be/?x32J0NUMgD
が解説なのですがD>0となるところまでは理解できました、そのあと解説に−1/f'(α) がどうのこうのとかいてありそこがなにをいってるのか理解出来ませんでした。
教えて下さい！
No.3741 - 2008/11/09(Sun) 19:26:06
☆ Re: 微積 / にょろ
二直線が直行する⇔傾きの積が-1

から来ています。

（証明）
二直線(l,m)の方向ベクトルを
l↑(1,a),m↑(1,b)とする
この二直線が直行する⇔l↑・m↑=0
より
1+ab=0
ab=-1
No.3743 - 2008/11/09(Sun) 19:55:23
☆ Re: 微積 / rtz
f'(α)＜0であるようなαを何でもいいので考えます。
すると、もし直交するならｆ’(β)＝−1/f'(α)ですが、
f'(α)＜0でしたので、f’(β)＝−1/f'(α)＞0です。

ところで、
y＝f'(x)は図のようにyは0より大きいどんな値でもとれます。
つまり、f’(β)＞0であるようなβは適切な値を選べば必ず存在します。

ということは、逆に言えば、f'(α)f'(β)＝−1を満たすようなα,βが必ず存在するということになります。
No.3744 - 2008/11/09(Sun) 20:03:13
☆ Re: 微積 / あき
わかりました、ありがとうございます、いつも助かります。
No.3753 - 2008/11/10(Mon) 01:21:40
★ (No Subject) / ちぃ
連立不等式x^2+y^2≦1,y≧x^2-1/4の表す領域の面積を求めよ。が解けません。どなたか教えて下さい。
No.3736 - 2008/11/09(Sun) 17:52:44
☆ Re: / にょろ
x^2+y^2=1,y=x^2-1/4が囲む面積ならどうでしょ
同じ事です
No.3737 - 2008/11/09(Sun) 18:11:11
☆ Re: (No Subject) / ちぃ
計算がうまくできません;;
No.3748 - 2008/11/09(Sun) 21:09:10
☆ Re: / にょろ
x^2+y^2=1
x=√(1-y^2)(y>=0)とできます。
これで出せますか？
∫_[a,b]f(x)-g(x)dx

の公式です
No.3751 - 2008/11/09(Sun) 23:17:56
★ 数A･高1 / 匿名
(1)(2x+3y-z)^5を展開したときの各項の係数の和を求めよ。
》解答に｢x=y=z=1とすれば各項の係数の和が得られる｣
　と書いてあったのですが、なぜだかわかりませんでした。

(2)0〜3までのカードが各2枚ずつ計8枚ある。
　この中から3枚のカードを使って3桁の数を作る。
　このとき、5の倍数がいくつできるか。
》5の倍数になるには、この場合は一の位が0になればいい
　というのはわかったのですが、そのあとからが
　求められません。

2問よろしくお願いします(ｐｑ)
　
No.3733 - 2008/11/09(Sun) 16:45:55
☆ Re: 数A･高1 / rtz
(1)
展開した後のことを考えてみてください。
どの項もkxaybzcになってます。
このkの総和を知りたいのですから、解答の通りにすればいいですね。

(2)
1〜3は百の位も十の位も使えて、2枚残ってます。
0は十の位だけ使えて、1枚残ってます。
つまり百の位に1〜3をおいて、十の位に0〜3をおけますね。
No.3734 - 2008/11/09(Sun) 16:59:19
☆ Re: 数A･高1 / 匿名
お返事ありがとうございます!
よくわかりました★
本当にありがとうございました(*^ω^*)
No.3761 - 2008/11/10(Mon) 22:00:33
★ (No Subject) / kai高3
[111]pを3以上の素数とする。4個の整数a,b,c,dが次の3条件a+b+c+d=0,ad-cb+p=0,a≧b≧c≧dを満たすとき,a,b,c,dをp
を用いて表せ。

[111]
a>0,d<0しか分かりません。
[112]
y=x<sup>2上の点P,Qを(s s2)
(t t2)とおく時
点R(2s+t/3 2s2+t2/3)と表せる
という所までしか分かりません

ヒントか方針を教えてください
No.3732 - 2008/11/09(Sun) 16:31:00
★ (No Subject) / 絵美
2次方程式 x^2-4x+k=0…?@
の2つの解をα,βとするとき、α+2,β+2を解にもつ2次方程式を
x^2+mx+n=0…?A
とする。この時次の問いに答えよ。
(1)mの値を求め、nをkで表せ。
(2)2次方程式?@と?Aが共通の解をもつとき、kの値を求めよ。
(3)sを自然数として、α+s,β+sを解とする2次方程式が?@と共通の解をもつとき、kの最大値とそのときの共通解を求めよ。

忙しいと思いますが、解き方と答えお願いします。

No.3730 - 2008/11/09(Sun) 16:00:42
☆ Re: / にょろ

(1)
x^2-4x+k=x^2-(α+β)x+αβ=0
x^2+mx+n=x^2-(α+2+β+2)x+(α+2)(β+2)=0
（∵解と係数の関係）

∴α+β=4
m=-(α+2+β+2)=-(4+4)=-8

(α+2)(β+2)=αβ+2(α+β)+4=k+12

〜以下考えてみてください
No.3738 - 2008/11/09(Sun) 18:20:33
☆ Re: (No Subject) / 絵美
(2)はk=3ですか？

(3)は考えたのですが、よく分かりません…
教えていただけませんか？
No.3739 - 2008/11/09(Sun) 19:03:13
☆ Re: / にょろ
(1),(2)をα+2でなくα+sでやってみてください
そうするとkの関数が出てきます。
No.3742 - 2008/11/09(Sun) 19:50:45
☆ Re: (No Subject) / 絵美
分かります。
やってみます。

(2)はk=3であってますか…？
No.3745 - 2008/11/09(Sun) 20:35:13
☆ Re: (No Subject) / 絵美
最大値４
共通解２
となったのですが、これであってますか？
No.3749 - 2008/11/09(Sun) 21:33:35
☆ Re: / にょろ
(2)の確かめの仕方
実際代入してみる

やってみてください
答えとしては合っています。
No.3752 - 2008/11/09(Sun) 23:29:39
★ 微積 / あき
いつもお世話になっております。
http://s.upup.be/?Z1Pgs5ymgx
の問題で
http://o.upup.be/?gch998uuZM
が解答ですがなぜ2を代入できるかがいまいちわかりません。相似の中心を代入すればいいということなんですか？
宜しくお願いします。
No.3728 - 2008/11/09(Sun) 14:55:21
☆ Re: 微積 / rtz
定点ということは、p1やp2が消えなければならないので、
直線P1P2の傾きの分母がp2−p1＝2−p2ですから、
x＝2を入れたら消えそう → 入れたら消えた、程度のことでしょう。

補足しますと、これ以外の定点を通ることはありません。
なぜならこれ以外の定点も通るとすると、定点が2つになり、直線が1本しか存在しないことになるためです。
No.3731 - 2008/11/09(Sun) 16:15:14
☆ Re: 微積 / あき
そうなんですかよくわかりました！
丁寧にありがとうございました！
No.3740 - 2008/11/09(Sun) 19:11:57
★ 証明 / ｊ
三角形ＡＢＣにおいて、角Ａの二等分線とＢＣとの交点をＤとする。このとき、ＡＤの二乗＝ＡＢ・ＡＣーＢＤ・ＣＤが成り立つことを証明せよ
No.3726 - 2008/11/09(Sun) 13:42:50
☆ Re: 証明 / DANDY　U
もっとうまい方法があるかもしれませんが、回答します。

ADは∠Aの二等分線だから AB:AC=BD:CDとなり、AB*CD=AC*BD・・・（イ）
∠A/2＝α とおくと、△ABDで余弦定理より
AD^2+AB^2-2*AD*AB*cosα＝BD^2
∴ 2*AD*cosα＝(AD^2+AB^2-BD^2)/AB
△ACDで余弦定理より
AD^2+AC^2-2*AD*AC*cosα＝CD^2
∴ AD^2+AC^2-AC*(AD^2+AB^2-BD^2)/AB＝CD^2
整理すると
AD^2*(AB-AC)＝AB^2*AC-AB*AC^2+CD^2*AB-AC*BD^2 　
　　＝AB*AC*(AB-AC)+CD*BD*AC-AB*CD*BD　　　←(イ)より
　　＝AB*AC*(AB-AC)-BD*CD*(AB-AC)
よって、AD^2＝AB*AC−BD*CD　　となります。
No.3750 - 2008/11/09(Sun) 21:38:03
☆ 証明 / ｊ
ありがとうございました。
No.3787 - 2008/11/11(Tue) 20:29:53
★ 確率 / こん
a、bを4以上の整数とし、a個の席のある円いテーブルとb個の席のある円いテーブルがある。そこに二人が座るとき、二人がそれぞれ確率1／2でどちらかのテーブルを選んで座るものとする。二人が同じテーブルでとなりあって座る確率をp(a,b)とする。いつp(a,b)＝14となるか調べてみよう。
p(a,b)＝1／14を変形すると(aー〇)(bー〇)＝〇〇となる。従ってa＝bならばa＝〇〇のとき、p(a,b)＝1／14となる。
また、a＞bならばa＝〇〇、b＝〇のとき、p(a,b)＝1／14となる。


〇のなかに数字が入ります。
やり方がわらないので解説していただけたら嬉しいです。
お願いします。
No.3723 - 2008/11/09(Sun) 10:41:47
☆ Re: 確率 / DANDY　U
(1)２人がともにａに座る確率＝1/4
このとき、1人が座ったとき残りの席は(a-1)あるので、もう１人が隣に座る確率は 2/(a-1)
よって、２人がａのテーブルで隣り合っている確率は、(1/4)×2/(a-1)＝1/{2(a-1)}
(2) 同様に２人がｂのテーブルで隣り合っている確率は、1/{2(b-1)}となります。

したがって、1/{2(a-2)}＋1/{2(b-2)}＝1/14　が成り立ちます。
分母を払って整理すると、ａｂ−8ａ−8ｂ＝−15
さらに変形すると、(ａ−8)(ｂ−8)＝49

あとは、いいでしょうか・・
No.3725 - 2008/11/09(Sun) 12:45:06
☆ Re: 確率 / こん
ありがとうございます。
あとは、比較してやってみます。
ほんとにありがとうございました。
No.3735 - 2008/11/09(Sun) 17:07:49
★ 積分 / あき
毎度お助け下さりありがとうございます、質問させてください。
http://p.upup.be/?vFOdqgqz9G
がどっちもわからないのですが
http://s.upup.be/?iQrTdJJvzJ
が解答で
まず(1)の書いてある意味がわかりません。 (2)は一番最後のm^2α^2=1 と書いてあるところがどこからでてきたのかわからないです。
教えて下さい（＾▽＾）
No.3720 - 2008/11/08(Sat) 18:08:54
☆ Re: 積分 / rtz
(1)
問題集の解説については後回しで、とりあえず概論として。

領域と共有点を持つ、持たないを考えるときは
領域の境界線に着目して考えます。
共有点を持つなら、要は領域内をぶち抜いてるか接しているかですから、
どこかから入ってどこかから出ているはずです。
例えば今回の正方形なら、
どこかの辺から入ってどこかの辺から出て行くはずです。

ただし、今回は放物線と正方形の位置関係から、
(2)の解説にある3通り(実際はEH→FGも考えるべきだが)しかないわけです。
(上に凸な2次関数や、円など考えると様々な出入りの仕方があるのが分かるかと)
つまりこれらの場合を1つ1つ考えていけば答えにたどり着きます。
(EHと放物線が交わるmは…で、HGと交わるmは……、という感じで)

一段階進んで、
「入ったら勝手に出るだろうから入るところだけ考える」
こともできます。
つまり、今回だとEFかEHと交われば必ず通過する、ということです。
これも先ほど同様求めることができます。
(もしくは出るところだけ考えて、HGかFGで考えても同じです)


ここまではあくまで一般的な方針です。
ところが、今回は放物線と正方形の位置関係により、
「グラフはHとFの間を通過する」ことはほぼ自明としてよいかと思います。
あとは解説の通りです。

(2)
(α,1)や(β,4)は放物線上の点です。
No.3722 - 2008/11/08(Sat) 23:03:12
☆ Re: 積分 / あき
何度も読ませていただきました、詳しくありがとうございます

この場合はおかげでなんとか理解できました、 rtzさんありがとうございました。
No.3727 - 2008/11/09(Sun) 13:58:45
★ 微積 / あき
いつもありがとうございます、質問お願いします！
http://r.upup.be/?pgGDoD8kWP
の問題で
http://l.upup.be/?KcneoyZDYa
このようにといたのですが増減が答えとあいません。
どこが間違ってますか？？？
宜しくお願いします！
No.3706 - 2008/11/07(Fri) 21:36:14
☆ Re: 微積 / rtz
画像がありません。
No.3711 - 2008/11/08(Sat) 15:21:47
☆ Re: 微積 / あき
気付かなくてずっと待ってました…ありがとうございます、
http://r.upup.be/?frkvNq8jx3
http://q.upup.be/?c0XaWpXwD5
です！
No.3712 - 2008/11/08(Sat) 15:25:39
☆ Re: 微積 / rtz
画像で見える範囲ではどこも間違っていませんが…。

ちなみにf'(x)は
「0〜π/6で−、π/6〜π/3で＋、π/3〜πで−」
です。
No.3713 - 2008/11/08(Sat) 15:56:07
☆ Re: 微積 / あき
その
0〜6/πで−にならず＋になるんです…
sinxもsin2xも＋じゃないでしょうか(?_?)
No.3714 - 2008/11/08(Sat) 16:19:12
☆ Re: 微積 / rtz
もう一度ご自身の書かれた"f'(x)の式"を見直してみてください。

それから、この手のミスを無くす為に、
あらかじめf'(x)の式内で、
(2sin2x−√3)に変形しておくようにすることをお勧めします。
No.3715 - 2008/11/08(Sat) 17:00:00
☆ Re: 微積 / あき
すみませんまだ気付きません。
ブランクがあるので根本的なことが間違ってるのかもしれません、教えて下さい、
No.3717 - 2008/11/08(Sat) 17:08:47
☆ Re: 微積 / あき
気付きました！
すごく基本的なことをまちがってました、ごめんなさい、ありがとうございました
No.3718 - 2008/11/08(Sat) 18:01:57
☆ Re: 微積 / rtz
f'(x)＝3sinx(2sin2x−√3)であり、
sin2xが正であることと、f'(x)が正であることは関係ありません。
No.3719 - 2008/11/08(Sat) 18:03:12
★ 微積 / あき
申し訳ありませんが質問お願いします。

http://m.upup.be/?0qawoC1I2a
の問題について上下両方疑問があるのですがhttp://o.upup.be/?pHEe0YfMaE
が答えで
上の方は中点が定点だとそれが対称点だということになるということなのでしょうか？？
また下の方は自分では2/3≦2a≦3/8かつa≦2/3と考えたのですが、答えはa=4/3という単体もあるらしいんです。すごく不思議なのですがどう考えたらいいのでしょうか？
いつもお早いご回答有り難いです。
教えて下さい
No.3698 - 2008/11/07(Fri) 03:22:06
☆ Re: 微積 / ヨッシー
グラフ y=f(x)上の、任意の点（x,f(x)）と、点(-1,k) に対して
対称な点(-2-x, 2k-f(x)) も、y=f(x) 上にあるので、
y=f(x) のグラフは、点(-1,k) に対して対称なのです。
その結果として、対称な２点の中点が定点になります。

x=32/27 となる点は２ヶ所あります。
１つは極大点で、１つは、（8/3,32/27) です。
ａ≦ｘ≦2a が極大点を含み、それ以上の点がその範囲にないという範囲が、1/3≦ａ≦2/3 で、
ａ≦ｘ≦2a の端点で、点（8/3,32/27) が、最大値となるのが　a=4/3 です。

グラフに ａ≦ｘ≦2a の範囲を当てはめながら考えると、
わかると思います。
逆に、答えがわかっているので、a=4/3 のときの範囲
4/3≦ｘ≦8/3 が、グラフのどこにあたるかを、見てみても
良いでしょう。
No.3699 - 2008/11/07(Fri) 08:49:02
☆ Re: 微積 / あき
(−1､k)はどこからでてくるのでしょうか？解答のように定めて出て来るのですか？すみませんが全然わからないです…詳しく教えていただけませんか？お願い致します…
No.3701 - 2008/11/07(Fri) 16:28:15
☆ Re: 微積 / ヨッシー
f(-1+t)+f(-1-t) がｔに限らず一定なので、
f(-1+t)+f(-1-t)＝ｋ とおきます。（あとで2ｋと置き換えます）
一方、f(-1+t)、f(-1-t) は、ｘ座標 -1+t, -1-t に対する、
グラフのｙ座標ですが、
　{f(-1+t)+f(-1-t)}／２＝ｋ(一定)　→ｙ座標の中点が一定
　　→ではｘ座標は？
　{(-1+t)＋(-1-t)}/2＝−１(一定)→ｘ座標の中点も一定
　→（−１，ｋ）　について対称だと気付く
　→極小の対称点は極大
　→極大点のｘ座標が-3なので、極小点との中点が−１
という流れです。
No.3702 - 2008/11/07(Fri) 17:27:02
☆ Re: 微積 / あき
丁寧に教えて下さってありがとうございますやっとわかりました！p^^)
今t−1と−t−1というどの任意の二点についても中点が一定であることが成り立つということですね！問題の意味がわかりました(>_<)ありがとうございました！
No.3705 - 2008/11/07(Fri) 21:20:36
★ (No Subject) / コウ
三角関数の問題なのですが

π/２≦θ≦πとする。

１) sinθ＋cosθ＝1/√5のとき cosθ‐sinθの値を求めよ。

２)sinθ＋cosθ＝1/√5のとき 2cos(2θ‐π/3)の値を求めよ。

３)2cos(2θ‐π/3)≦-1のとき cosθ＋√3sinθの最大値と最小値を求めよ

というものです。
(１)まではなんとか求められたのですがその続きがわかりません。
よろしくお願いします。
No.3694 - 2008/11/06(Thu) 23:58:15
☆ Re: / ヨッシー
1)この範囲では、sinθ≧0、cosθ≦0
　(sinθ＋cosθ)2＝１＋2sinθcosθ＝1/5
　2sinθcosθ＝-4/5
　これを利用して
　(cosθ−sinθ)2＝１−2sinθcosθ＝9/5
　よって、cosθ−sinθ＝-3/√5
2)和差算によって、
　cosθ＝-1/√5、sinθ＝2/√5 まで求めておきます。
　2cos(2θ-π/3)＝2cos2θcos(π/3)＋2sin2θsin(π/3)
　　＝(cos2θ−sin2θ)＋2√3sinθcosθ
　　＝(1/5−4/5)-4√3/5＝-3/5-4√3/5

3) π/2≦θ≦π より
　2π/3≦2θ-π/3≦5π/3
このとき、
　2cos(2θ‐π/3)≦-1　→　cos(2θ‐π/3)≦-1/2
より、2π/3≦2θ-π/3≦4π/3
変形して　π≦2θ≦5π/3
　π/2≦θ≦5π/6
この範囲において、
　cosθ＋√3sinθ＝2sin(θ＋π/3)
　5π/6≦θ＋π/3≦7π/6　より、
　最大はθ＝π/2 のとき 1/2
　最小はθ＝5π/6 のとき -1/2
No.3695 - 2008/11/07(Fri) 00:44:47
☆ Re: (No Subject) / コウ
ありがとうございました!
No.3703 - 2008/11/07(Fri) 18:37:38
☆ Re: (No Subject) / コウ
ありがとうございました!
No.3704 - 2008/11/07(Fri) 18:37:43
★ (No Subject) / かなみ
実数xに対して、xを超えない最大の整数を[x]とする。
このとき、0＜θ＜πとして次の問いに答えよ。
だだし、必要ならsinα=1/2√2となる角α(0＜α＜π/2)を用いてよい。

(1)不等式log(2)[5/2+cosθ]≦1をみたすθの範囲を求めよ。
(2)不等式[3/2+log(2)sinθ]≧1をみたすθの範囲を求めよ。
(3)不等式log(2)[5/2+cosθ]≦[3/2+log(2)sinθ]をみたすθの範囲を求めよ。

解き方と答えをお願いします。
logの後の(2)は底が2という意味です。
よろしくお願いします。

No.3686 - 2008/11/06(Thu) 21:52:37
☆ Re: / ヨッシー
(1) Ａ＝[5/2+cosθ] とおくと、
　log2Ａ≦1 より、０＜Ａ≦２
　１≦5/2+cosθ＜３
　-3/2≦cosθ＜1/2
　よって、π/3＜θ＜π

(2) [3/2+log2sinθ]≧1　より
　3/2+log2sinθ≧1
　log2sinθ≧-1/2
　sinθ≧２-1/2＝1/√2
　よって、π/4≦θ≦3π/4

(3) (1)(2) の共通部分である　π/3＜θ≦3π/4 では、
　log2[5/2+cosθ]≦1≦[3/2+log2sinθ]

それ以外の
3π/4＜θ＜π のとき
　-1＜cosθ＜-1/2
　3/2＜5/2＋cosθ＜２
　よって、[5/2＋cosθ]＝１
　log2[5/2＋cosθ]＝０
　これより、
　０≦[3/2+log2sinθ]
　-3/2≦log2sinθ
　２-3/2＝1/2√2＝sinα≦sinθ
　α≦θ≦π−α
　3π/4＜θ＜π　と合わせて、
　3π/4＜θ≦π−α

０＜θ＜π/4　のとき
　０＜sinθ＜1/√2
　log2sinθ＜-1/2
　3/2+log2sinθ＜１
　[3/2+log2sinθ]≦0

　√2/2＜cosθ＜１
　[5/2＋cosθ]＝３
　log2[5/2＋cosθ]＝log23＞０

よって、この範囲には解なし。

以上より、
　π/3＜θ≦π−α
No.3688 - 2008/11/06(Thu) 23:05:50
☆ Re: (No Subject) / かなみ
ありがとうございます。
(1)での
0＜Ａ≦2から
1≦5+cosθ＜3
になるのが分かりません。
説明して頂けないでしょうか？
No.3689 - 2008/11/06(Thu) 23:18:38
☆ Re: / ヨッシー
Ａは整数ですから、　０＜Ａ≦２　は、
　Ａ＝１　または　Ａ＝２
と同じです。Ａ＝[5+cosθ] の[　]の中身 5+cosθ は
　１≦5+cosθ＜２　のとき　[5+cosθ]＝１
　２≦5+cosθ＜３　のとき　[5+cosθ]＝２
で、あわせて、１≦5+cosθ＜３ です。
No.3691 - 2008/11/06(Thu) 23:22:59
☆ Re: (No Subject) / かなみ
なる程！
分かりました。
ありがとうございます。
No.3692 - 2008/11/06(Thu) 23:25:19
★ ２項定理 / 白梅
９８年横浜国立大学過去問です。
宜しくお願いします。

（問題）（1＋x）^nの展開を考えて
　　　　次の和を求めよ。
　　　　Σ[r=0,n] {1／（r＋1）}*nＣr

（解答）{２^(n＋１)−１／（ｎ＋１）}


途中まで式変形してみたのですが、
このやり方であっているのか分からなくなり
解答を得られませんでした。
私のやり方でよいのか、それとも
別の方法でやらなければいけないのか
ご教示下さい。宜しくお願い致します。

（１＋ｘ）^n＝nＣ0＋nＣ1*ｘ
　　　　　　　＋nＣ2*ｘ^2‥nＣn*ｘ^n　変形して、
（１＋ｘ）^(n＋1)＝(n＋１)Ｃ0＋(n＋１)Ｃ1*ｘ＋‥
　　　　　　　　　　＋(n＋１)Ｃ(n＋１)ｘ^(n＋１)
また、(n＋１)Ｃ(ｒ＋1)＝
{（ｎ＋１）／（ｒ＋１）}（nＣr）が成立する。
Σ[r=0,n]{１／（ｒ＋１）}nＣr＝
Σ[r=0,n]{１／（ｎ＋１）}(n＋1)Ｃ(r＋1)

ここから先が分かりません。
宜しくお願い致します。

No.3684 - 2008/11/06(Thu) 19:47:21
☆ Re: ２項定理 / rtz
それで問題ないですよ。

1/(n+1)はrに無関係ですので外に出せます。
?納r＝0,n]n+1Cr+1が分からないなら、
k＝r＋1とすれば、?納k＝1,n+1]n+1Ck、
さらにm＝n＋1とすれば?納k＝1,m]mCk＝?納k＝0,m]mCk−mC0です。
No.3685 - 2008/11/06(Thu) 20:08:09
☆ ありがとうございました＾＾ / 白梅
rtz様、素早い回答をありがとうございます＾＾

なるほど、文字が複雑なものは
簡単な文字に置き換えることで
上手く計算が出来ますね。＾＾
rtz様が示された方法を悩まずに
すぐに頭の中から取り出せるように
繰り返し、解こうと思います＾＾

ありがとうございました＾＾
No.3693 - 2008/11/06(Thu) 23:55:03
★ ひずめ形の体積について / 馬蹄
円柱におけるひずめ形体積の求め方が判りません。
切断角度は60°です。参考文献で円中心より半径以上の箇所で切断した場合の公式はあるみたいです。（添付ファイル参照願います。）
御教示頂きたいのは、中心点ＯよりもＡ側で切断した場合の体積の公式が参考公式では解けませんので解説の程、よろしくお願い致します。
No.3682 - 2008/11/06(Thu) 15:04:40
☆ Re: ひずめ形の体積について / X
添付ファイルが載っていないようですので、
掲載をお願いします。
文章だけでは解りませんので。
No.3683 - 2008/11/06(Thu) 16:13:08
☆ Re: ひずめ形の体積について / 馬蹄
申し訳ありません。添付ファイルの掲載したつもりだったのですがいすいません。
では、再度　ご質問いたします。
円柱におけるひずめ形体積の求め方が判りません。
切断角度は60°です。参考文献で円中心より半径以上の箇所で切断した場合の公式はあるみたいです。（添付ファイル参照願います。）
御教示頂きたいのは、中心点ＯよりもＡ側で切断した場合の体積の公式が参考公式では解けませんので解説の程、よろしくお願い致します。
No.3696 - 2008/11/07(Fri) 01:59:48
☆ Re: ひずめ形の体積について / angel
いえ、添付の式そのままで、CがOA内部にある場合も表現できます。
が、まずは「公式」なんていう考えは捨てることです。この式はあくまで計算の結果に過ぎません。

先に、添付の式を整理しなおしてみましょう。

切り口の傾き60°をαと置くと、h/b=tanα
残りはθで統一することを考えると、a=rsinθ, r-b=rcosθ

V=1/3・tanα・{ rsinθ(3r^2-(rsinθ)^2) + 3r^2(-rcosθ)θ }
=1/3・tanα・r^3・( 3sinθ-(sinθ)^3-3θcosθ )
=tanα・r^3 ( sinθ - 1/3・(sinθ)^3 - θcosθ )

この形も、θがπ/2よりも大きいか、小さいかに関わらず成立します。
No.3708 - 2008/11/08(Sat) 13:00:31
☆ Re: ひずめ形の体積について / angel
さて、肝心の計算方法ですが、ACを軸として垂直に切断した面の面積を積分するとして考えます。
※θ=π/2であれば、BDを軸とした方が楽なのですが…
軸上Oからの距離(符号込み、Aの方が正)を x で表してみます。
点Aでは x=r、点Cでは x=rcosθ ( θ>π/2 であれば負 ) となります。

で、断面は、BDに平行な辺が 2√(r^2-x^2)、高さが tanα・(x-rcosθ) の長方形となります。
そのため、
V=∫[rcosθ,r] tanα・(x-rcosθ)・2√(r^2-x^2) dx

rを一々書くのは面倒なので、x=rt (その時 dx=rdt) で置換しましょうか。

V=∫[cosθ,1] tanα・(rt-rcosθ)・2√(r-(rt)^2) rdt
= tanα・r^3 ∫[cosθ,1] 2(t-cosθ)・√(1-t^2) dt
= tanα・r^3 ( ∫[cosθ,1] 2t√(1-t^2)dt - cosθ∫[cosθ,1] 2√(1-t^2) dt )

括弧内の最初の∫は f'・f^(1/2) の形になりますので、そのまま積分できます。値は 2/3・(sinθ)^3 です。
後の∫は置換積分を使っても良いですが…、円を途中で切った場合の面積そのものですから、θ-sinθcosθと計算できます。
これらを当てはめれば、上と同じ値になることが分かります。
No.3709 - 2008/11/08(Sat) 13:50:03
☆ Re: ひずめ形の体積について / angel
後は余談ですが、典型的な状況での値を計算してみて、整合性が取れているかどうかを確認すると、解答の精度が上がるのでお勧めです。
典型と考えられるのは、

θ=0 の場合 … 明らかに V=0 となるため O.K.
θ=π の場合 … 円柱の半分、1/2・( πr^2・(2rtanα) ) と一致するため O.K.
θ=π/2 の場合 … BDを軸とした積分計算 ∫[-r,r] 1/2・tanα・( √(r^2-x^2) )^2 dx = 2/3・tanα・r^3 と一致するため O.K.

ということで、全て整合性が取れているので、問題はなさそうだ、と分かります。
No.3710 - 2008/11/08(Sat) 14:14:29
☆ Re: ひずめ形の体積について / 馬蹄
ａｎｇｅｌさんご丁寧な解説ありがとうございました。
ついつい公式に頼りがちで　こうして解説していただけると
数学の基本を参考に解を導き出す事の重要性を感じます。
反省反省です。本当にありがとうございました。
No.3721 - 2008/11/08(Sat) 19:28:57
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