ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / tar

座標空間において、点(-1,1,1)と点(2,0,0)を通る直線をl,点(1,-1,-2)と点(3,-1,-3)を通る直線をmとする。

(1)2直線l,mはねじれの位置にあることを示せ。

(2)2直線l,mのなす角をθ（0≦θ≦π/2）とするとき、cosθを求めよ。

(1)は4つの点をA、B、C、Dとすると、A、B、C、Dが同一平面上にないことを示すだけで良いですか？
(2)は|AB|=√11、|CD|=√6、↑AB・↑CD=6であるから
cosθ=(↑AB・↑CD)/|AB||CD|=√66/11
であってますか？
よろしくお願いします。

No.2996 - 2008/10/03(Fri) 00:06:15

☆ Re: / rtz

(1)は問題ないですが、
(2)は点の座標の表記が違っているか、計算ミスのどちらかです。

No.2998 - 2008/10/03(Fri) 00:55:05

☆ Re: / tar

ありがとうございます。
考え方は合っているということですね。

No.3011 - 2008/10/04(Sat) 20:27:49

★ 数学Ａ / 優

大小2個のさいころを投げるとき、次の確率を求めよ。

(1)2個とも同じ目が出る確率

(2)目の数の和が8である確率

白玉3個、赤玉4個、青玉5個が入っている袋から同時に3個の玉を取り出すとき次の確率を求めよ。

(3)3色とも出る確率

(4)少なくとも1個は白玉が出る確率

解き方が分からないので教えて頂けませんか？宜しくお願いします。

No.2993 - 2008/10/02(Thu) 21:19:03

☆ Re: 数学Ａ / 与一

(1)･(2)
全部で6×6で、分母は36通り
分子のほうは普通に数えあげる。
(1､2)と(2,1)は違うことに注意。

(3)･(4)
分母は12C3通りです。
3色ともでる場合は、同じ色の玉にそれぞれ番号ふって、樹形図描けば分かります。
「少なくとも」なので、余事象。
白球が1個も出ない確率を求めて、１から引く。

No.2995 - 2008/10/02(Thu) 23:56:48

★ 順列 / 桜　高校2

こんにちは。
よろしくお願いいたします

internetのすべての文字を使ってできる順列のうち、どのtも、どのeよりも左側にあるものは（）通り。

わかりませんでした。
教えてください
よろしくお願いいたします

No.2987 - 2008/10/02(Thu) 16:35:20

☆ Re: 順列 / らすかる

tとeを○に置き換えて並べてから○にt,t,e,eを左から順に当てはめると
考えればよいので、8!/(2!4!)通り

No.2988 - 2008/10/02(Thu) 17:25:08

☆ Re: 順列 / rtz

文字をばらしてABC順に並べると、e,e,i,n,n,r,t,tです。
この8文字を入れる箱を用意します。
「□□□□□□□□」

この8つからeettを入れる4つを選べば、
自動的に左からe→e→t→tと場所が決まります。
(例)「□e□□et□t」

あとは残りの4つのinnrを入れる場合の数を考えればよいでしょう。

No.2989 - 2008/10/02(Thu) 17:26:41

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございます^^

質問なんですが、違う文字(e,t)なのに同じ文字（○）で表すのはなぜでしょうか。

数学が苦手でお手数おかけしましてすみません

No.2990 - 2008/10/02(Thu) 17:59:14

☆ Re: 順列 / らすかる

tとeの順番は決まっていますので、tとe以外の文字の場所が
決まると全体の並び順が自動的に決まるからです。
つまり、8マスのうち4マスにi,n,r,nの4文字を入れるのと同じです。

No.2991 - 2008/10/02(Thu) 18:03:39

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございました。
らすかるさん、
rtzさん。
とても参考になりました^^

No.2992 - 2008/10/02(Thu) 18:16:41

★ (No Subject) / yasu

いくつか質問がありますお願い致します＞＜

｜-４+ｋ｜＝｜-４｜+｜ｋ｜
ではないのでしょうか？？

3c+b=1の不定方程式を解くとき
３（ｃ-１）＝-（ｂ+２）
でやると答えが
x=17k-12
y=-58k+41
となり

（ｂ+２）＝-３（ｃ+１）
でやると答えが
x=-17k-12
y=58k+41
となるのですが、マイナスを右辺と左辺のどちらにつけるかによって答えが変わってしまうのでしょうか？？
それとも計算を私が間違えているのでしょうか・・・？
正答には下のほうしか書かれていませんでしたので上のほうはやはり間違っているのかとよくわからなくなってしまいました。。。

y=-3x+1上の全ての点が一点（１、１）に移る一次変換ｆを表す行列をもとめよ

この問題はパラメーター表示で解く以外に方法は無いのでしょうか？？
逆変換法的な発想で解くのは無理でしょうか？？？

以上ご迷惑をおかけしますがお願い致します＞＜

No.2980 - 2008/10/02(Thu) 02:24:55

☆ Re: / hari

ひとつめ
|-4 + k| = |-4| + |k|ではありません。
（例えばk = 1では成り立ちませんね）
一般に|a + b|≦|a| + |b|です。

ふたつめ
xとyがでてくるのがよくわかりませんが、後者のkを-kと置き換えれば一緒ですよね。

みっつめ
はパスで・・・^^;

No.2981 - 2008/10/02(Thu) 02:57:17

☆ Re: / 受験生

すみません、パラメーターで解くとはどのようなことなのでしょうか？

No.2985 - 2008/10/02(Thu) 12:33:09

☆ Re: / にょろ

じゃあ、3つめを
求める行列をAとし
A=[[a,b][c,d]]とします。

y=-3x+1上の点
P(0,1)があるので
AP=(1,1)
∴b=1
d=1

Q(1,-2)を取って同様に…

で、Aが求まります。
不安なら確かめも簡単ですよ

No.2986 - 2008/10/02(Thu) 15:10:25

☆ Re: / yasu

二つ目ですが、
では上の答えでも正解なのでしょうか？？
Ｋを－ｋに勝手に置き換えていいのでしょうか？？

No.3001 - 2008/10/04(Sat) 02:51:16

☆ Re: / hari

kが整数か実数か知らないけど任意の数を取りうるんでしょ？

例えばkが-1, 0, 1をとるなら -kも-1, 0, 1をとります。

No.3008 - 2008/10/04(Sat) 15:39:38

☆ Re: / 受験生

横からすみません。
３つめの問題に興味を持ち、もしよければ、パラメータで解く方法を教えてほしいです。宜しくお願いします。

No.3009 - 2008/10/04(Sat) 18:03:27

☆ Re: / yasu

そうですね、Ｋは整数　とだけしか制約は無いのでいくらでもとりうるですよね。
ありがとうございます！！

No.3017 - 2008/10/05(Sun) 02:24:44

★ ベクトル / tar

四面体OABCにおいて、↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑cとする。線分OAを2:1に内分する点をP、線分PBを2:1に内分する点をQ、線分QCを2:1に内分する点をR、直線ORAと平面ABCとの交点をSとする。

(1)↑ORを↑a、↑b、↑cで表せ。

(2)↑PSを↑a、↑b、↑cで表せ。

(3)四面体OABCの体積をV、四面体OPQRの体積をV'とするとき、V'/Vを求めよ。

(1)はOR=(8/27)a+(2/9)b+(1/3)c、(2)はOS=kORと表してk=27/23からOS=(8/23)a+(6/23)b+(9/23)cと解けたんですが、
(3)のOPQRの体積の出し方がよく解りません・・・
初歩的な質問ですいません。お願いします。

No.2978 - 2008/10/02(Thu) 00:07:51

☆ Re: ベクトル / X

例えば
四面体OABCの体積をV[OABC]
△ABCの面積をS[ABC]
と表すことにします。

高さが等しい四面体同士の体積比較を順に行います。
まずは
V[OPQR]:V[OPBC]
を求めることを目標にしましょう。
平面PBCに注目すると、
V[OPQR]:V[OPQC]=S[PQR]:S[PQC]
=QR:QC=2:(2+1)=2:3 (A)
V[OPQC]:V[OPBC]=S[PQC]:S[PBC]
=PQ:PB=2:(2+1)=2:3 (B)
(A)(B)から
V[OPQR]:V[OPBC]=…
更に
V[OABC]:V[OPBC]=S[OAB]:S[OPB]
=…
ですので…。

No.2983 - 2008/10/02(Thu) 10:58:54

☆ Re: ベクトル / X

それから、質問の内容とは関係ありませんが(1)の計算に
ミスがあるようです。

(1)
条件から
↑OP=(2/3)↑a (A)
↑OQ=(↑OP+2↑b)/3 (B)
↑OR=(↑OQ+2↑c)/3 (C)
(A)(B)(C)から
↑OR=(((2/3)↑a+2↑b)/3+2↑c)/3
=((2/3)↑a+2↑b+6↑c)/9
=(2↑a+6↑b+18↑c)/27

これに伴い、(2)で
↑OS=k↑OR
と置くと
k=27/26
ですので
↑PS=↑OS-↑OP
=(27/26)↑OS-(2/3)↑a
=(2↑a+6↑b+18↑c)/26-(2/3)↑a
=(↑a+3↑b+9↑c)/13-(2/3)↑a
=(-23↑a+9↑b+27↑c)/39
となります。

No.2984 - 2008/10/02(Thu) 11:08:25

☆ Re: ベクトル / tar

回答＆指摘ありがとうございます。
2:1を1:2と勘違いしていました。

No.2994 - 2008/10/02(Thu) 22:12:07

★ ベクトル / creampuff

↑a=(1,4,2),↑b=(-5,1,2),↑u(-2,3,2),↑v(3,-4,-1)
とし、直線L1,L2を次のように定める。
L1 ; ↑a+t↑u（-∞<t<∞）
L2 ; ↑b+t↑v（-∞<t<∞）

LをL1とL2の双方に垂直に交わる直線とする。

(1)LとL1,L2の交点をそれぞれA,Bとおく。A,Bを求めよ。

(2)P,QをそれぞれL1,L2上の任意の点をするとき、↑PQ・↑ABの値を求めよ。

この問題の解法を教えてください。

No.2972 - 2008/10/01(Wed) 20:59:13

☆ Re: ベクトル / X

(1)
題意から
A(1-2t,4+3t,2+2t),B(-5+3u,1-4u,2-u)
(t,uは実数)
と置くことができますので
↑AB=(3u+2t-6,-4u-3t-3,-u-2t) (A)
又、AB⊥L1,AB⊥L2ですのでL1,L2の方向ベクトルについて
↑AB⊥↑u,↑AB⊥↑v
∴
↑AB・↑u=0 (B)
↑AB・↑v=0 (C)
(B)(C)に(A)などを代入してt,uについての連立方程式を導きます。

(2)
P(↑p),Q(↑q)
とすると
↑p=↑a+x↑u (D)
↑q=↑b+y↑v (E)
(x,yは実数)
と表すことができますので
↑PQ・↑AB=(↑q-↑p)・↑AB (F)
(F)に(D)(E)を代入して展開し、更に(B)(C)を代入すると…

No.2982 - 2008/10/02(Thu) 10:36:47

☆ Re: ベクトル / creampuff

わかりました。
ありがとうございました！

No.2997 - 2008/10/03(Fri) 00:44:00

★ 高1･2次関数 / 匿名

いつもお世話になっています。

aを正の定数とするとき、関数f(x)=|x^2-a|について答えよ。
(1)f(x)=aを満たすxの関数と、そのときのxの値の
　　最大値を求めよ。

この問題はグラフを使って解くようなのですが、
画像の線をひいた部分がよくわかりません。

1つ目：絶対値記号をはずすときの要領で|x^2-a|も
　　　　やってみたのですが、画像のようなxの範囲が
　　　　でてきません。基礎的なこととは思いますが
　　　　説明宜しくお願いします!
2つ目：x^2=2aを解くとx=√2aになるのは
　　　　"x＞0を見たす解"
　　　　という条件がついているからだと思うのですが、
　　　　この条件はどこからきたのでしょうか?

No.2969 - 2008/10/01(Wed) 18:33:15

☆ Re: 高1･2次関数 / rtz

x²－a≧0である範囲が↑
x²－a≦0である範囲が↓
です。普通に不等式を解けば出てきます。

xの「最大値」です。
明らかに1つは負、1つは0、1つは正ですから、
最大になるのは正であるものです。

No.2973 - 2008/10/01(Wed) 21:00:12

☆ Re: 高1･2次関数 / 匿名

説明ありがとうございます!
よくわかりました★
本当にありがとうございました(^ω^)

No.3000 - 2008/10/03(Fri) 22:25:10

★ ベクトル / まさ　高２

はじめまして。

三角形ABCの辺ABを６：５に内分する点をD,辺BCを１：２に内分する点をEとし、直線ACと直線DEの交点をPとする。
AB＝√３、AC=１、BP⊥CDのとき、cos∠BACを求めよ。

この問題が解けません。
宜しくお願いします。

No.2962 - 2008/09/30(Tue) 23:06:37

☆ Re: ベクトル / X

与えられた条件を用いて
↑AB・↑AC
の値を求める方針で行きます。

↑AB=↑a,↑AC=↑b
と置くと、題意から
↑AD=(6/11)↑a (A)
↑AE=(2↑a+↑b)/3 (B)
今、点Pが直線ACについて点Aの側にあるとして
ED:DP=k:1-k
↑AP=-l↑b (C)
と置くと
↑AD=(1-k)↑AE+k↑AP (D)
(D)に(A)(B)(C)を代入して
(6/11)↑a=(1-k)(2↑a+↑b)/3-kl↑b
∴(6/11)↑a={2(1-k)/3}↑a+{(1-k)/3-kl}↑b (E)
ここで↑a//↑bでなく、かつ↑a≠↑0,↑b≠↑0
ですので(E)の両辺の係数を比較することができ
6/11=(2/3)(1-k) (F)
0=(1-k)/3-kl (G)
(F)(G)を連立して解き
(k,l)=(2/11,3/2)
∴↑AP=-(3/2)↑b (C)'
ここでBP⊥CDゆえ
↑BP・↑CD=0 (H)
(H)に(A)(C)'を用いると
{-(3/2)↑b-↑a}・{(6/11)↑a-↑b}=0 (H)'
(H)'の左辺を展開して
|↑a|=AB=√3,|↑b|=AC=1
を代入し、
↑AB・↑AC=↑a・↑b
の値を求めます。

No.2965 - 2008/09/30(Tue) 23:35:49

☆ Re: ベクトル / X

こちらの計算では
cos∠BAC=(√3)/4
となりました。

No.2966 - 2008/09/30(Tue) 23:39:39

☆ Re: ベクトル / まさ　高２

ありがとうございます。

No.2967 - 2008/10/01(Wed) 00:31:31

★ (No Subject) / マロン★高２

《２点の関係と三角比》
平面上に２点O、O'があり、OO'＝８である。点Oを中心とする円Oと点O'を中心とする円O'が２点A,Bで交わっている。円Oの半径は５であり、∠AOO'＝６０°である。
このとき、円O'の半径は〔ア〕であり、、AB=〔イ〕√〔ウ〕である。
また、OAと円O'の交点のうち、Aと異なる点をCとするとき、三角形ABCにおいてBC=〔エ〕である。
答えは
ア７
イ５√ウ３
エ７
なんですけど、図の書き方と解き方が分かりません。
宜しくお願いしますm(_ _)m

No.2957 - 2008/09/30(Tue) 21:32:19

☆ Re: / 魑魅魍魎

ヒントです。
(ア)△AOO'に余弦定理を用います

(イ、ウ)直線ABと直線OO'との交点をDとすればAD=5sin60°

(エ)
A点と異なる点Cは円O'上にあります。
△COO'に余弦定理を使う。

O'Cの長さ=円O'の半径
OCの長さをx
OO'=8
∠COO'=60°

あとは0Cの長さが分かったら
△OCBに余弦定理を使い、BCを求める

図はこんな感じです(下手ですみません）

No.2968 - 2008/10/01(Wed) 00:35:28

☆ Re: / マロン★高２

丁寧な図とヒントありがとうございます_(._.)_
おかげで解くことができました。

No.2975 - 2008/10/01(Wed) 21:27:00

★ ヒントください / Jez-z

正の４整数a(1),a(2),a(3),a(4)はこの順で等比数列をなす。いま、公比をr(>1),ただしrは整数ではないものとする。このとき、a(4)の取り得る値を求めよ。また、最小値を求めそのときのa(1)の値を求めよ。

a(1)の値は最小の正の整数1が答としてよいのでしょうか…
それと、a(4)の取り得る値の範囲（およびその最小値）を求めるために注目すべき点（＝ヒント）を教えてもらえないでしょうか？よろしくお願いします。

No.2956 - 2008/09/30(Tue) 21:31:23

☆ Re: ヒントください / rtz

a₁＝1なら公比rが整数になるので不可です。

公比rはa₂/a₁ですから有理数です。
よって、r＝n/m (m,nは互いに素な自然数、n＞m、m≠1)とすれば、
a₄＝(n³/m³)・a₁から、a₁はm³の倍数です。

No.2958 - 2008/09/30(Tue) 21:57:14

☆ Re: / Jez-z

rtzさんの方針で以下のような展開を考えてみましたが、どうでしょうか・・・？

a(1)=m^3　×　k （kは正の整数）
とおく。また、(n/m)^3=r^3より
a(4)=r^3*m^3*k　（>1）
・・・・しかし、これでは評価できませんよね!?
やはり目の付けどころが違っているということですよね。もう一度考えてみます。このレスに目を通されたら返信お願いします。

No.2959 - 2008/09/30(Tue) 22:32:41

☆ Re: ヒントください / rtz

a₁＝k*m³とすれば、r＝n/mから
a₂＝k*nm²、a₃＝k*n²m、a₄＝k*n³です。

また、m≠1よりm≧2、n＞mから、n≧3(n≠1,2)です。
よって幾つか記述の仕方はあると思いますが、
a₄は27以上の立方数の、正の倍数です。

No.2960 - 2008/09/30(Tue) 22:48:43

★ 数学Ａからです。 / とも

赤い玉３個、黄色い玉２個、青い玉１個が入った袋から３個の玉を同時に取り出す。この３個の中に同じ色の玉が入っている確率を求めよ。

答えは7/10です。

解き方が分からないので教えて頂けますか？宜しくお願いします。

No.2953 - 2008/09/30(Tue) 20:26:48

☆ Re: 数学Ａからです。 / DANDY　U

すべての玉を{赤1,赤2,赤3,黄1,黄2,青}と区別すると
３個の玉の取り出し方は全部で　6Ｃ3（通り）

そのうちすべての色を取り出す場合は{赤1,黄1,青}{赤3,黄2,青}など　 3×2×1＝6（通り）
よって、３個とも違う色である確率＝6/(6Ｃ3)＝3/10

したがって、(３個の中に同じ色の玉が入っている確率)＝１－(３個とも違う色である確率)＝１－3/10　　　
となります。

No.2954 - 2008/09/30(Tue) 21:17:44

★ 高校３年です。 / 未魅

二次関数のグラフと二次方程式についてです。
・ｍ、ｎを自然数とし、二次関数ｙ＝x^-2mx-nのグラフをCとする。
(１)グラフとのCの頂点が放物線ｙ＝-x^+3x-5上にあるとき、
ｍ＝□、ｎ＝□である。
　このとき、グラフCはｘ軸から長さ□√□の線分を切り取る。
(２)グラフCがｘ軸から長さ４の線分を切り取るとき、
ｍ＝□、ｎ＝□である。

□が解答欄です。
ちなみに答えは上から１、２、２√３、１、３です。

私の力ではｍ＝１、ｎ＝２が分かれば
２+√３-(２-√３)＝２√３
より答をだすことができますが、ｍ・ｎのだしかた、(２)が分かりません。
よろしくお願いします。

No.2945 - 2008/09/29(Mon) 21:00:04

☆ Re: 高校３年です。 / 魑魅魍魎

二次関数ｙ＝x^-2mx-n
の頂点は
(m,-m^2-n)
これがｙ＝-x^+3x-5上にあるので
-m^2-n=-m^2+3m+5
3m+n=5
3m=(5-n)
mは自然数から5-nは3以上なので
5-n≧3
2≧n
よってn=1,2
n=1のときm=4/3
n=2のときm=1

これらから
m=1,n=2

No.2947 - 2008/09/29(Mon) 21:21:12

☆ Re: 高校３年です。 / 魑魅魍魎

(2)ヒントです。
x^-2mx-n=0の解をα,β(α<β)とすると
β-α=4 ･･････(1)

解と係数の関係より
α+β=2m ･････(2)
αβ=n ･･････(3)

(1)を二乗すると
(β-α)^2=16
{(β+α)^2-4αβ}=16
(2)(3)を代入すると････

No.2948 - 2008/09/29(Mon) 21:26:08

☆ Re: 高校３年です。 / 未魅

丁寧な解説ありがとうございました。
ヒントをもとにとくことができました。

あと一つ気になったのが
＞これがｙ＝-x^+3x-5上にあるので
＞-m^2-n=-m^2+3m+5

の-５から+５になっているのですが、おそらく間違いかなと思います。
教えていただいた身分ですみません;;

No.2976 - 2008/10/01(Wed) 22:36:36

☆ Re: 高校３年です。 / 魑魅魍魎

すみませんでした。未魅さんの仰るとおりです。
-m^2-n=-m^2+3m+5　×
-m^2-n=-m^2+3m-5 ○
です。

No.2977 - 2008/10/01(Wed) 23:24:34

★ 必要十分条件の証明 / 惇

はじめまして。答えは分かっているのですがなぜなのかを教えてくれませんでしょうか？

a≧0，b≧0，a+b≦1を満たす任意のa、bに対し，
「E=Aa+Bb+C≧0(A、B、Cは定数)」となるための必要十分条件は「A+C≧0,B+C≧0,C≧0」らしいのですが、なぜでしょうか？
前者を命題Ｐ，後者を命題Ｑとしたとき，「ＰならばＱ」と「ＱならばＰ」が真であればよいのは分かるのですが、どのように証明するのでしょうか？

No.2938 - 2008/09/28(Sun) 21:53:09

☆ Re: 必要十分条件の証明 / だるまにおん

P⇒Q：
a=1, b=0とすると
A+C≧0
a=0, b=1とすると
B+C≧0
a=b=0とすると
C≧0
∴A+C≧0, B+C≧0, C≧0

Q⇒P：
E=Aa+Bb+C
=(A+C)a+(B+C)b+C(1-a-b)
≧0

No.2939 - 2008/09/28(Sun) 23:00:57

☆ Re: 必要十分条件の証明 / 惇

Ｑ⇒Ｐはよく分かりました。ありがとうございます。

P⇒Qの証明で
a=1, b=0とすると
a=0, b=1とすると
a=b=0とすると

とありますが、これ以外の任意のa,bで成り立つことを言う必要はないのですか？

No.2940 - 2008/09/29(Mon) 06:06:16

☆ Re: 必要十分条件の証明 / だるまにおん

ありません。

No.2941 - 2008/09/29(Mon) 06:43:23

☆ Re: 必要十分条件の証明 / 惇

すいません、なぜなのでしょうか？
必要条件しか満たしていない気がするのですが・・・（見当違いですか？）
よろしくお願いします。

No.2946 - 2008/09/29(Mon) 21:11:38

☆ Re: 必要十分条件の証明 / DANDY　U

>（見当違いですか？）
・・・見当違いですね。

a≧0，b≧0，a+b≦1を満たす任意のa、bに対し，「E=Aa+Bb+C≧0(A、B、Cは定数)」
がいえるとするのだから

a≧0，b≧0，a+b≦1 を満たすどのような a,b を代入しても、導かれた式は成り立つのです。

No.2950 - 2008/09/29(Mon) 21:49:52

★ 高３です！ / しほ

教えてください(>_<)

ルート（３－X）ｄXの積分は
－２/３ルート（３－X）三乗
になるんですが、どうしてそうなるんでしょうか？途中式を教えてください(>_<)

わかりにくい書き方ですみません(T_T)

No.2933 - 2008/09/28(Sun) 19:00:24

☆ Re: 高３です！ / 魑魅魍魎

∫√(3-x)dx

3-x=Aとおくと
-dx=dA

∫-√AdA
=(-2/3)A^(3/2)
=(-2/3)(3-x)^(3/2)

No.2935 - 2008/09/28(Sun) 19:14:29

☆ Re: 高３です！ / ヨッシー

√(3-x)＝(3-x)^1/2
です。
√x＝x^1/2 だったら、積分して、
　(2/3)ｘ^3/2＝(2/3)√ｘ³
ですね？よく似た形なので、
　(2/3)(3-x)^3/2＝(2/3)√(3-x)³
かと予想がつきますが、これを微分すると、
　3-x を微分した -1 が付いてしまうので、これを打ち消すために、
　-(2/3)(3-x)^3/2＝-(2/3)√(3-x)³
とします。

式で説明すると、u=3-x とおくと、du/dx＝-1 より、dx＝-du なので、
置換積分により、
　∫(3-x)^1/2dx＝∫u^1/2(-du)
　　＝-(2/3)u^3/2＋Ｃ
　　＝-(2/3)(3-x)^3/2＋Ｃ
となります。

No.2936 - 2008/09/28(Sun) 19:19:02

☆ ありがとうございました！ / しほ

ありがとうございました(≧∀≦)

とてもわかりやすい説明で感激です！

No.2937 - 2008/09/28(Sun) 19:48:37

★ 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）

お久しぶりです！　
月曜日に数学のテストがあるので、勉強していたら分からない問題が出てきてしまいました（汗

問題：a<0とする。　関数y=x^2-2ax-a(0≦x≦2)の最小値が-11であるように、定数aの値を求めよ。

y=x^2-2ax-aを平方完成して-(x+a)^2+a^2+3aという式にして、頂点(-a,a^2+3a)を出しました。
それから、xの変域の値を代入して、
x=0　→　y=3a
x=1 →　2a+2 　と出しました。

ここまでは解けたのですが、aの値の出し方がイマイチ分かりません。
グラフは、下に凸...でいいですよね？

お願いしますm(_　_)m

No.2919 - 2008/09/27(Sat) 22:13:31

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / 魑魅魍魎

y=x^2-2ax-a
の平方完成が間違っています。

グラフは下に凸です。
グラフを描いてみるとどこで最小値かがわかると思います。

No.2920 - 2008/09/27(Sat) 22:39:50

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）

あ、すいません・・・！
私が間違ってました。
式は、y=-x^2-2ax-aです。マイナス書き忘れていました＾＾；

すいませんでした。

No.2922 - 2008/09/27(Sat) 22:48:43

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / rtz

それでも平方完成間違っていますよ。
元の式のxに－aを代入しても頂点のy座標と一致しません。
まずここを計算しなおしてください。

2次の係数が負なので上に凸です。

a＜0より軸(あるいは頂点のx座標)－a＞0ですから、
軸の位置で最小値が変わってきます。
軸の位置と、最小値をとるxの関係を、グラフを描いて考えてみてください。

No.2923 - 2008/09/27(Sat) 23:02:14

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / 魑魅魍魎

問題文は正しいですか？

No.2924 - 2008/09/27(Sat) 23:58:20

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）

本当にすいません。　間違えてました。

問題書き直します！

問題：a<0とする。関数y=-x^2-2ax-a(0≦x≦1)の最小値が-11であるように、定数aの値を定めよ。

です。

No.2925 - 2008/09/28(Sun) 08:49:33

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / ヨッシー

y=-x^2-2ax-a を平方完成して
y=-(x+a)²+a²-a
これより、頂点は (-a, a²-a) となります。
頂点のｘ座標はｘ＞０の位置にあり、0≦x≦1 においては、
０＜-a≦1/2 のとき、ｘ＝１で最小
1/2≦-a のときｘ＝０で最小になります。

-1/2≦a＜0 のとき、
　y=-x^2-2ax-a　にｘ＝１を代入して
　y=-1-3a＝-11
より　a=10/3 となり不適
a≦-1/2 のとき
　y=-x^2-2ax-a　にｘ＝０を代入して
　y=-a=-11
より a=11 となり不適

よって、題意を満たす a は存在しない
で、やっぱり問題がおかしいと言わざるを得ません。

No.2926 - 2008/09/28(Sun) 09:47:43

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）

本当にすいません。　問題の式は、y=-x^2+2ax+3aでした。
私、問題書き間違え過ぎですよね・・。　本当に迷惑かけてしまってごめんなさい。

No.2927 - 2008/09/28(Sun) 12:19:10

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / ヨッシー

で、
>(0≦x≦1)の最小値が-11であるように・・・
は、正しいとすると、頂点(a, a²+3a) は、
ｘ座標が負なので、0≦x≦1 における最小値は、ｘ＝１で
発生します。
　y=-x^2+2ax+3a にｘ＝１を代入して、
(以下 No.2926 参照のこと)

No.2928 - 2008/09/28(Sun) 12:57:02

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）

ありがとうございます！

x=1を代入して
y=5a-1で、

x=0を代入して
y=3a

最小値はx=1だから、y=5a-1に最小値の-11を代入して
-11=5a-1
a=-2

aの値は-2。　でOKですか？

No.2929 - 2008/09/28(Sun) 13:50:51

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / ヨッシー

結果はＯＫですが、
最小値は、ｘ＝１のときと分かっているので、
ｘ＝０を代入する必要はありません。

No.2931 - 2008/09/28(Sun) 14:30:02

☆ Re: 2次関数の最大と最小 / シャイア（高一）

あ、そうですよね＾＾；

本当にありがとうございます！

スッキリしました。　また質問させてもらうこともあるかと思いますが、よろしくお願いします。

No.2932 - 2008/09/28(Sun) 14:37:16