ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 桜　高校2

こんばんは。
いつもお世話になっております

放物線y=ax^2-(a+1)x-a-3が-1＜x＜0,1＜x＜2の範囲で、それぞれx軸と一点で交わるように、定数aの値の範囲を定めよ。

という問題がわかりませんでした。

よろしくお願いいたします。

No.1488 - 2008/07/08(Tue) 19:59:08

☆ Re: / 七

放物線y=ax^2-(a+1)x-a-3＝f(x) とおくと
f(－1)f(0)＜0，f(1)f(2)＜0
であればいいのでは？
計算はしていないのですが
もし，この共通範囲に a＝0 が含まれていれば
それは除いてください。

No.1489 - 2008/07/08(Tue) 21:12:28

☆ Re: / 七

勘違いしていたようです。
a＞0 のとき
f(－1)＞0，f(0)＜0，f(1)＜0，f(2)＞0
a＜0のとき，
f(－1)＜0，f(0)＞0，f(1)＞0，f(2)＜0
であればいいですね。

No.1490 - 2008/07/08(Tue) 21:32:05

☆ Re: / 桜　高校2

回答大変うれしいです。
ありがとうございます。

数学が苦手なので詳しく教えてくださると幸いです。
すみませんです。。
よろしくお願いいたします。

No.1493 - 2008/07/08(Tue) 22:30:28

☆ Re: / にょろ

実際に図を書くとわかると思いますが

連続関数f(x)が
f(a)とf(b)が異符号
⇒
f(x)が範囲[a,b]（a≦x≦b）に少なくとも一つ
f(x)=0となるような点を持つ

これがポイントです。
です。

No.1494 - 2008/07/08(Tue) 23:24:16

☆ Re: / 桜　高校2

ありがとうございました。
おかげさまで理解ができました！！
感謝しております

No.1532 - 2008/07/11(Fri) 18:15:08

★ 微分の問題です / りょうた

limtx＾2 f(a) - a ^ 2 f(x)/ x-a　をｆ（a）f`(a)で表せ
x→a

f(x)をどうやったらf(a)に変換したらいいのですか？
　

No.1480 - 2008/07/08(Tue) 17:55:43

☆ Re: 微分の問題です / ヨッシー

lim_x→a{x²f(a)－a²f(x)}/(x-a)
と思われます。

No.1481 - 2008/07/08(Tue) 18:03:11

☆ Re: 微分の問題です / りょうた

そういう形になってます。
汚くてスイマセン。

No.1482 - 2008/07/08(Tue) 18:12:48

☆ Re: 微分の問題です / りょうた

すいません
f(a)とf`(a)で表せでした。

No.1484 - 2008/07/08(Tue) 18:55:59

☆ Re: 微分の問題です / X

横から失礼します。

lim[x→a]{(x^2)f(a)-(a^2)f(x)}/(x-a)
=lim[x→a]{-(x^2){f(x)-f(a)}+(x^2)f(x)-(a^2){f(x)-f(a)}-(a^2)f(a)}/(x-a)
=lim[x→a][-(x^2+a^2){f(x)-f(a)}/(x-a)+{(x^2)f(x)-(a^2)f(a)}/(x-a)]
=-(a^2+a^2)f'(a)+g'(a)
(但しg(x)=(x^2)f(x))
ここで積の微分により
g'(x)=2xf(x)+(x^2)f'(x)
よって
lim[x→a]{(x^2)f(a)-(a^2)f(x)}/(x-a)
=-2(a^2)f'(a)+2af(a)+(a^2)f'(a)
=2af(a)-(a^2)f'(a)
となります。

No.1485 - 2008/07/08(Tue) 18:57:24

☆ Re: 微分の問題です / りょうた

ありがとうございます
けれど
g'(x)=2xf(x)+(x^2)f'(x)
よって
lim[x→a]{(x^2)f(a)-(a^2)f(x)}/(x-a)
=-2(a^2)f'(a)+2af(a)+(a^2)f'(a)
というところがよくわかりません。
なぜg'(x)がでてきたのですか？

No.1486 - 2008/07/08(Tue) 19:13:12

☆ Re: 微分の問題です / りょうた

-(a^2+a^2)f'(a)+g'(a)
これに持っていくことがみそですね。
理解できました。
ありがとうございます

No.1487 - 2008/07/08(Tue) 19:22:57

★ 文字の式 / さとこ

なぜ、文字の式では数が前、文字が後ろになるのですか？
ａにんの３％なら「もとの数×割合」なのに、０．０３ａとなるのが納得できなくています。教えてください！！
　（中一）

No.1478 - 2008/07/08(Tue) 09:13:24

☆ Re: 文字の式 / ヨッシー

一言で言えば、決まりだからです。

別に a0.03 と書いても、さとこさんが理解する範囲では
問題ありません。
でも、他の人と話をするには、共通の決まりが必要です。
今のところ（おそらくは今後も）数が前、文字が後ろが、決まりです。

どうしても、式の意味する順番(これもかなり怪しいですが)
でないとイヤだと言うなら、　ａ×0.03　と書くのは
どうでしょう？

＞ａ人の３％なら「もとの数×割合」なのに、
割合×もとの数　ではいけませんか？
また、
ａが割合を表す数（0.03など）で、200人のａにあたる人数は、
　２００ａ
で納得ですか？
問題のたびに順番を変えるのは、かえって大変ですし、
そのうち、掛け算の順番も気にしていられないような問題
がバシバシ出てきますから大丈夫ですよ。

No.1479 - 2008/07/08(Tue) 09:57:38

★ わかりません / マリオ

log[2](x-3)＝log[4](2x-a)
をみたす実数xが2つあるようなaの条件を求めよ。

この問題の解説で、真数条件（x-3>0かつ2x-a>0・・・?@）を求めてから底を2に統一し最終的に
(x-3)^2＝(2x-a)・・・?A
と変形してきました。
その後?A式で「x-3>0⇒2x-a」だから、求める条件はx>3において?Aが異なる2実解をもつことである。
とかいていたのですが、「　」内のことが成立することが良くわかりません。

教えてください。

No.1475 - 2008/07/08(Tue) 00:26:45

☆ Re: わかりません / ヨッシー

　x-3>0⇒2x-a>0
ではないでしょうか？
(2)の式で、x≠3 である解があれば、
　(左辺)＞０
なので、当然　(右辺)＞０　にもなります。

これと、(1) の x-3>0 を照らし合わせると、
x-3>0 であれば、2x-a>0 も、自動的に成り立つので、
(1) については、x-3>0 だけを言えば良くなり、
さらに、実数ｘが２つ、と言っているので、(2) の解が
x>3 の範囲に２つあればいいことになります。

No.1477 - 2008/07/08(Tue) 08:43:31

☆ Re: わかりません / マリオ

>x-3>0⇒2x-a>0ではないでしょうか？
その通りです。間違えました。

別にx-3＜0⇒2x-a>0も言えますよね。

ｘ＝3のときは（右辺）が0になるからふてきということですか。

No.1491 - 2008/07/08(Tue) 21:54:11

☆ Re: わかりません / ヨッシー

＞別にx-3＜0⇒2x-a>0も言えますよね。
そうですが、それでは(1) が満たされないので、
結局 x-3＞0 だけになります。

＞ｘ＝3のときは（右辺）が0になるからふてきということですか。
そうです。

No.1498 - 2008/07/09(Wed) 08:37:56

★ 極値 / けん

関数y=x^3+ax^2+x+7が極値をもつためのaの値の範囲を求めよ
教科書や問題集など調べてみたのですが何故かこの形式の問題がありませんでした。
よろしくおねがいします

No.1469 - 2008/07/07(Mon) 22:26:54

☆ Re: 極値 / 魑魅魍魎

yの微分のy´が符号変化すれば極値をもつので

y´=0が異なる2解をもてばよい。よって判別式D>0

No.1470 - 2008/07/07(Mon) 22:32:11

☆ Re: 極値 / けん

ありがとうございます
微分してそれを判別式にあてはめるとa>√3になりました。
この後どうすればいいのでしょうか

No.1471 - 2008/07/07(Mon) 22:58:26

☆ Re: 極値 / 魑魅魍魎

a^2>3
⇒
a<-√3 , √3<a
ですね。
これが求めるaの値の範囲となります。

No.1472 - 2008/07/07(Mon) 23:13:56

☆ Re: 極値 / けん

やっと理解できました
本当にありがとうございます！

No.1473 - 2008/07/07(Mon) 23:35:56

★ 微分積分 / けい

∫1/(x^4+x^2+1)dx
∫1/{x(x^2+1)^2}dx
という問題が解けません。
逆三角関数を使うとのことですが・・・
よろしくお願いします。

No.1468 - 2008/07/07(Mon) 22:20:53

☆ Re: 微分積分 / X

一問目)
x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2
=(x^2+x+1)(x^2-x+1)
∴1/(x^4+x^2+1)=1/{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}
=(x+1)/{2(x^2+x+1)}-(x-1)/{2(x^2-x+1)}
=(1/2)(x+1)/{(x+1/2)^2+3/4}-(1/2)(x-1)/{(x-1/2)^2+3/4}
=(1/2)(x+1/2)/{(x+1/2)^2+3/4}-(1/2)(x-1/2)/{(x-1/2)^2+3/4}
+(1/4)/{(x+1/2)^2+3/4}+(1/4)/{(x-1/2)^2+3/4}
よって
(与式)=(1/4)log{(x^2+x+1)/(x^2-x+1)}
+{1/(4√3)}arctan{(2x+1)/√3}+{1/(4√3)}arctan{(2x-1)/√3}+C
(C:積分定数)
となります。

(2)
1/{x(x^2+1)^2}=1/{x(x^2+1)}-x/(x^2+1)^2
=1/x-x/(x^2+1)-x/(x^2+1)^2
∴(与式)=log{x/√(x^2+1)}+(1/2)/(x^2+1)+C
(C:積分定数)
となります。

No.1474 - 2008/07/07(Mon) 23:37:04

★ 積分 / りゅう

∫x/√(3+2x-x^2)dx
がわかりません。逆三角関数使ってよいので教えてください。

No.1458 - 2008/07/07(Mon) 14:10:57

☆ Re: 積分 / 雀

∫x/√(3+2x-x^2)dx
=∫x/√{4-(x-1)^2}dx　･･････(a)

x-1=A　とおくと
(a)は
∫(A+1)/√{2^2-A^2}dA
=∫A/√{2^2-A^2}dA + ∫1/√{2^2-A^2}dA

∫A/√{4-A^2}dA　は　A^2=t　とおけば簡単に積分できます

∫1/√{2^2-A^2}dA は　{sin(A/2)}^-1

答えは
{sin((x-1)/2)}^-1 -√(-x^2+2x+3)

No.1459 - 2008/07/07(Mon) 14:54:05

☆ Re: 積分 / りゅう

ありがとうございます!!
計算してみます!

No.1460 - 2008/07/07(Mon) 16:09:14

☆ Re: 積分 / りゅう

追加で
∫x^2/√(2-x^2)dx
∫x^2/√(x^2+3)dx
∫x*(sinx)^-1dx
はどう解けばいいですか？？よろしくお願いしますm(_ _)m

No.1461 - 2008/07/07(Mon) 16:28:20

☆ Re: 積分 / 雀

最初だけですが、
∫x^2/√(2-x^2)dx
∫x･{x/√(2-x^2)}dx　　
部分積分をする

∫x･{x/√(2-x^2)}dx=x(-√(2-x^2)+∫√(2-x^2)dx

ここで
∫√(2-x^2)dx　　　　　
=∫(2-x^2)/√(2-x^2)dx
=∫(2/√(2-x^2)dx-∫(x^2)/√(2-x^2)dx

なので
∫x･{x/√(2-x^2)}dx=
　　　x(-√(2-x^2)+∫(2/√(2-x^2)dx-∫(x^2)/√(2-x^2)dx

そうすると求める積分
∫x^2/√(2-x^2)dx＝A
とおくと
A=x(-√(2-x^2)+∫(2/√(2-x^2)dx-A
2A=x(-√(2-x^2)+∫(2/√(2-x^2)dx

A={-x√(2-x^2)/2}+∫(1/√(2-x^2)dx

A={-x√(2-x^2)/2}+sin(x/√2)^-1

∫x^2/√(x^2+3)dx
の問題も同様にできます。

No.1462 - 2008/07/07(Mon) 17:43:06

☆ Re: 積分 / 雀

∫x*(sinx)^-1dx
の問題で

(sinx)^-1=1/sinx
でしょうか？

No.1463 - 2008/07/07(Mon) 17:52:03

☆ Re: 積分 / 雀

(sinx)^-1がArcsinθなら
∫x*(sinx)^-1dx
部分積分し
(sinx)^-1･(x^2/2)-(1/2)∫x^2/{√(1-x^2)}dx

∫x^2/{√(1-x^2)}dx
の積分は
先ほどの問題と同様な解法で解けます。

No.1464 - 2008/07/07(Mon) 18:06:41

★ 放物線 / 桜　高校2

こんばんは。
いつもお世話になっております。
感謝しております。

二次関数y=x^2-mx+m^2-3mのグラフが次の条件を満たすとき、定数mの値の範囲を求めよ。

(1)x軸の正の部分と、異なる2点で交わる。
(2)x軸の正と負の部分で交わる。

という問題がまったくわかりませんでした(泣き
f(x)=yを使うと聞いたのですが、それを使うのはなぜなのかもわかりませんでした。

教えてください
よろしくお願いいたします。

No.1453 - 2008/07/06(Sun) 22:21:50

☆ Re: 放物線 / hari

y = (x - α)(x - β)
のとき（α、βは実数）
α＞0かつβ＞0 ⇔ αβ＞0かつα + β＞0
という関係を使うとよいと思います。
（この条件は軸が正でy切片が正という条件と同じです。）

もちろんD＞0も条件の一つです。

(2)
y切片が負であれば条件を満たします。
つまりf(0)＜0です。

No.1456 - 2008/07/07(Mon) 00:34:50

☆ Re: 放物線 / 桜　高校2

ありがとうございます☆

難しいのでもしよろしければ詳しく教えてくださると幸いです。
よろしくお願いいたします

No.1466 - 2008/07/07(Mon) 19:25:38

☆ Re: 放物線 / hari

y = f(x) = x² - mx + m² - 3mとします。

(1)条件を満たすには以下の図のようであればいいわけです。

これらの条件を書き下すと以下のようになります。

(i)軸が正であること(m/2＞0)
(ii)y切片が正であること(f(0)＞0)
(iii)頂点が負であること(f(m/2)＜0)

⇔

(i)α+β＞0
(ii)αβ＞0　　（f(x) = 0の解をα, βとした）
(iii)D＞0

と同値です。(図を見ればわかりますよね。)
考え方はどちらでもかまいません。やりやすいほうでどうぞ。
計算して整理すると
(i)m＞0, (ii)m＜0, 3＜m, (iii)0＜m＜4
となり、これらの3つの条件を同時に満たす範囲が答えです。
「3＜m＜4」

(2)
条件を満たすには以下の図のようであればよいです。

つまりf(0)＜0です。
m² - 3m＜0 ⇔ 「0＜m＜3」

No.1467 - 2008/07/07(Mon) 21:18:00

☆ Re: 放物線 / 桜　高校2

すごく理解できました。
ご丁寧で感謝しております。

ありがとうございました☆

No.1483 - 2008/07/08(Tue) 18:51:21

★ 連立不等式 / ウア　高一

ｘの連立不等式　 7x - 5 ＞ 13 - 2x
　　　　　　　　　　　　x + a ≧ 3x + 5 を満たす整数xがちょうど5個存在するとき、定数aの値の範囲を求めよ。

答え：19≦a＜21

解説お願いします！！

No.1449 - 2008/07/06(Sun) 20:54:07

☆ Re: 連立不等式 / rtz

1つ目の不等式を解くとx＞2です。
ということは、これ(↑)を満たす整数は、
小さいほうから3、4、5、6、7、…です。

5個と言うことは7までということですから、
2つ目の不等式が3～7は○、8～は×になるようにaを決めればいいことになります。

2つ目の不等式を解くと、x≦(1/2)(a-5)になります。
このままでは決めにくいのでb＝(1/2)(a-5)とすると、x≦bです。

x≦bについて、3～7は○、8～は×になるようなbは
どこからどこまでの範囲に入るか考えてみてください。
あとはその不等式に入っているbを(1/2)(a-5)に置き換えて解けばaの範囲です。

No.1452 - 2008/07/06(Sun) 21:31:25

☆ Re: 連立不等式 / ウア　高一

解説ありがとうございます。

すみませんが下記の部分がよく分からないので、もう一度詳しく解説していただけると助かります。

【x≦bについて、3～7は○、8～は×になるようなbは
どこからどこまでの範囲に入るか考えてみてください。
あとはその不等式に入っているbを(1/2)(a-5)に置き換えて解けばaの範囲です。】
宜しくお願いします。

No.1492 - 2008/07/08(Tue) 22:02:43

☆ Re: 連立不等式 / ヨッシー

前の方の式でｘ＞２は、決まっているわけです。
すると、
　２＜ｘ≦ｂ　・・・(i)
になるわけですが、たとえば、ｂ＝３だと、(i) を満たす
整数ｘは　ｘ＝３　の１つです。
ｂ＝３．５だと、やはりｘ＝３の１つです。
ｂ＝４　だと　ｘ＝３，ｘ＝４の２つになります。
このようにして　ｘ＝３，４，５，６，７の５つが含まれるように
ｂのあるべき範囲を調べます。
ｂ＝6.9999 では、ｘ＝３，４，５，６の４つです
ｂ＝７　では　７が含まれて　ｘ＝３，４，５，６，７の５つになります。
ｂ＝7.9999 では、　ｘ＝３，４，５，６，７の５つのままで、
ｂ＝８　になると、ｘ＝３，４，５，６，７，８の６つになります。
これらより、ｂの範囲を不等式で書くと・・・(以下略)

No.1499 - 2008/07/09(Wed) 08:44:34

★ (No Subject) / m　高校２

こんばんは、この数列の問題の解き方を教えてください

次の数列(ａn)の初項から第n項までの和を求めよ
２・１、５・２、８・４、１１・８……

宜しくお願いします。

No.1448 - 2008/07/06(Sun) 20:52:47

☆ Re: / rtz

第n項が(3n-1)・2^n-1で表せるのはよいですか？
初項～第n項の総和をS_nとすると、
S_n＝2・1＋5・2＋8・4＋…＋(3n-4)・2^n-2＋(3n-1)・2^n-1 ←(a)
です。

ところで、
2S_n
＝2{2・1＋5・2＋8・4＋…＋(3n-4)・2^n-2＋(3n-1)・2^n-1}
＝2・2＋5・4＋8・8＋…＋(3n-4)・2^n-1＋(3n-1)・2ⁿ ←(b)
です。

ここで、(a)と(b)の式を見比べて、
2^？が同じになっているところを引き算します。
具体的には(a)－(b)を行います。
すると、
S_n－2S_n
＝{2・1＋5・2＋8・4＋…＋(3n-1)・2^n-1}
－{ ＋2・2＋5・4＋…＋(3n-4)・2^n-1＋(3n-1)・2ⁿ}
＝2・1＋3・2＋3・4＋…＋3・2^n-1－(3n-1)・2ⁿ
＝2＋3・(2＋4＋…＋2^n-1)－(3n-1)・2ⁿ
あとは括弧部分を等比数列の総和で計算すれば、
S_n－2S_n＝－S_nが出ますので、－1をかけてS_nが出ます。

No.1451 - 2008/07/06(Sun) 21:23:51

★ (No Subject) / たか

ある中学校の昨年の生徒数は６９０名で、今年度は男子が６％、女子は５％増加し、全体として６８６人であった。今年度の男子の生徒数と女子の生徒数を求めたい。
(１)昨年度の男子の生徒数をx人、女子をy人として式を作り　　求めなさい。
(２)今年度の男子の生徒数をx人、女子をy人として式を作り　　なさい。
特に(２)が全然分からないので、教えて下さい。

No.1447 - 2008/07/06(Sun) 20:13:38

☆ Re: / rtz

転記ミスでしょうか、
男女とも増えてるのに全体が減ることは無いと思います。

No.1450 - 2008/07/06(Sun) 21:12:57

☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

rtzさんが書かれておられる通り、転記ミスでしょう。
他の値から察するに「昨年の生徒数は６５０名」なのでは？

取り敢えず考え方を書きますので、正しい値を使って式をたててみてください。

（１）の場合は、昨年度の男子がx人なら、今年の男子は、(106/100)ｘ（人）と表されることから式が作れます。（女子も同様に考えます）

（２）の場合
昨年より６％増加した場合・・・昨年の 106/100倍が今年
　　　　　　　　　　　　　　⇔今年の 100/106倍が昨年
よって、昨年の男子は、(100/106)ｘ（人）
　　　　昨年の女子は、(100/105)ｙ（人）
と表されることから式を作れます。

No.1455 - 2008/07/06(Sun) 22:51:30

★ よろしくお願いします。 / フェニックス高二

こんにちは。以下の質問を教えてください。

xの３次式ｐ（ｘ）＝ｘ＾2－（ｋ+3）ｘ＾2+（3ｋ+1）ｘ-3
（ｋは実数）がある。
ア　Ｐ（3）の値を求めよ。また、Ｐ（ｘ）を因数分解せよ。

イ　3次方程式Ｐ（ｘ）の解がすべて実数になるようなｋの値の範囲を求めよ。また、ｐ（ｘ）＝0の3つの解をα、β、ｒとするとき、α＾2β＾2+β＾2ｒ＾2+ｒ＾2α＾2をｋを用いて表せ。

ウ　三次方程式Ｐ（ｘ）＝0の3つの解α、β、ｒがすべて正の数であるとき、α＾2β＾2+β＾2ｒ＾2+ｒ＾2α＾2の最小値を求めよ。
また、そのときのｋの値をもとめよ。

アは解けたので、イ、ウだけお願いします。よろしくお願いします。

No.1438 - 2008/07/06(Sun) 09:26:32

☆ Re: よろしくお願いします。 / X

ア)
P(3)=27-9(k+3)+3(3k+1)-3=0
P(x)=(x-3)(x^2-kx+1)
となりました。

イ)
(前半)
ア)の結果から題意を満たすためにはxの二次方程式
x^2-kx+1=0
が実数解を持てばよいことになります。よって…
(後半)
３次方程式の解と係数の関係から
α+β+γ=… (A)
αβ+βγ+γα=… (B)
αβγ=… (C)
ですので…。

ウ)
ア)の結果から三次方程式P(x)=0の3つの解α、β、γが全て正の数であるためには
xの二次方程式
x^2-kx+1=0
が正の実数解のみを持つことが条件になります。
このことからkの値の範囲を求めます。
後はそのkの値の範囲における、イ)の後半の結果の最小値を求めます。

No.1439 - 2008/07/06(Sun) 13:42:00

☆ Re: よろしくお願いします。 / フェニックス高二

すみません。α+β+γ=… (A)
αβ+βγ+γα=… (B)
αβγ=… (C)
ここから後何をしていいのか解りません。

No.1443 - 2008/07/06(Sun) 16:15:50

☆ Re: よろしくお願いします。 / 魑魅魍魎

横から失礼致します。
(αβ+βγ+γα)^2=α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2+2αβγ(α+β+γ)

α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2=(αβ+βγ+γα)^2-2αβγ(α+β+γ)

あとはXさんのヒントより
α^2β^2+β^2γ^2+γ^2α^2が求まります。

No.1445 - 2008/07/06(Sun) 17:23:35

★ ベクトル方程式 / tetora

ベクトルの問題なんですが、

2直線　l:(x,y)=(0,3)+s(1,2),m:(x,y)=3,1)+t(-2,3) (s,tは媒介変数)について、点P(4,1)からlに垂線PQを下ろす。このとき、点Qの座標を求めよ。

答え　(0,3)

図を描くと目でわかってしまうのですが、どの情報を用いてとけばいいのかわかりません。
詳しい解説、よろしくお願いします。

No.1433 - 2008/07/06(Sun) 00:44:01

☆ Re: ベクトル方程式 / ヨッシー

点Ｑは、ｌ上の点なので、
　(s,3+2s)
と書け、
　ＰＱ＝(s-4, 3+2s-1)＝(s-4, 2+2s)
と書けます。これが、ｌの方向ベクトル(1,2) と垂直なので、
ＰＱとの内積を取って、
　(s-4)＋2(2+2s)＝5s＝０
より、ｓ＝０
よって、点Ｑの座標は
　(s,3+2s)＝(0,3)
となります。

No.1434 - 2008/07/06(Sun) 00:51:21

☆ Re: ベクトル方程式 / tetora

ありがとうございます!!

でもベクトルの基礎がまだ曖昧なのか、l
方向ベクトル(1,2)というのが何故そうなるのかいまいちわからないです。教えていただけないでしょうか？

No.1437 - 2008/07/06(Sun) 08:34:47

★ 数と式と論理 / 白梅

高校2年生の問題です。よろしくお願いします。

整式ｆ(x)＝Ｘ^3＋ａＸ^2＋bＸ＋C（ａ,b,Cは整数）
ただし以下ではｎを整数とする。

（問題）（１）ｆ(x)が（Ｘ－ｎ）の式で割り切れる時、
　　　　　Cはｎの倍数である事を示せ。
　　　　（２）整式g(x)＝Ｘ^3＋７Ｘ－Ｘ－３は、
　　　　（Ｘ－ｎ）の形の式で割り切れるかどうか、
　　　　　理由を述べ判定せよ。

（解答）（１）ｆ(x)がＸ－ｎで割り切れるとき、
　　　　　ｆ(x)＝０であるから、ｎ^3＋ａｎ^2＋bｎ＋C＝０
　　　　　∴C＝－ｎ(ｎ^2＋ａｎ＋b)
　　　　よってａ,b,Cは整数よりCはｎの倍数。

私が疑問に思うのは（２）の解答方法です。

「（１）よりg（x）がＸ－ｎで割り切れるとき、
ｎは－３の約数±１,±３のいずれかである。
g（－１）＝４、g（１）＝４,
g（－３）＝３６,g（３）＝８４
より、g（x）＝０となる整数ｎは存在しない。
g（x）は（Ｘ－ｎ）の形の式で割り切れない。」
と学校では説明されました。

私は（２）の解答をする上でなぜｎ＝－３が
（１）から証明方法として使われるのか
が考えても分かりません。

No.1426 - 2008/07/05(Sat) 22:00:02

☆ Re: 数と式と論理 / にょろ

（１）がいっているのは
少なくともCがnの倍数（nがCの約数）でなければ割り切れませんよ。
といっています。

（２）に当てはめると
C=-3
なので、nは-3の約数である。
約数±１,±３
でどうでしょう？

No.1427 - 2008/07/05(Sat) 22:54:56

☆ ありがとうございます！ / 白梅

にょろ様、分かりやすい回答ありがとうございます！＾＾

なるほど、確かに(1)の結果を使って
証明をする意味がよく分かりました！！

これからも前の問題をどう使って
証明するかをよく観察しながら１問１問真剣に
取り組んでいきたいと思います！
本当にありがとうございました＾＾

No.1430 - 2008/07/05(Sat) 23:53:39

★ 因数分解 / とん

係数が実数の範囲での因数分解ですが方法が解りません
問題は次の式です
(3x^2) - 4x - 1
これをどのようにして因数分解するのでしょうか？

詳しく教えていただけたら嬉しいです。
宜しくお願い致します。

No.1422 - 2008/07/05(Sat) 19:42:49

☆ Re: 因数分解 / チョッパ

3x²－4x－1
＝3(x²－(4/3)x－1/3)
＝3((x－2/3)²－7/9)
＝3(x＋(√7－2)/3)(x－(√7＋2)/3)

でいかがでしょうか？

No.1423 - 2008/07/05(Sat) 20:01:39

☆ ありがとうございました / とん

チョッパさん
３でくくるのですね。解りませんでした。
詳しく教えていただき、ありがとうございました。
今後とも宜しくお願いします。

　　　　　　　　　　　とん

No.1424 - 2008/07/05(Sat) 20:36:50

☆ Re: 因数分解 / とん

もう一度お願いします。
今のような因数分解の手法はどのような
問題の場合に使用するのでしょうか？
宜しくお願いします

No.1436 - 2008/07/06(Sun) 05:24:44

☆ Re: 因数分解 / 七

> もう一度お願いします。
> 今のような因数分解の手法はどのような
> 問題の場合に使用するのでしょうか？
> 宜しくお願いします

2次方程式
ax^2＋bx＋c＝0
の2解がx＝α，βのとき
ax^2＋bx＋c＝a(x－α)(x－β)
の形に因数分解できます。
α，βが実数であれば
実数係数の範囲での因数分解になります。

No.1440 - 2008/07/06(Sun) 13:44:01

☆ Re: 因数分解 / とん

七さん

ご回答ありがとうございます。練習してみます。

とん

No.1441 - 2008/07/06(Sun) 14:13:03

★ 積分 / Jez-z

整式f(x)はf(0)=2, 3∫[0→x]tf(t)'dt=2xf(x)-xf(x)'
を満たす。このとき整式f(x)を求めよ。

（方針）
∫[0→x]tf(t)'dt=a(定数）とおく
という定石で解いてみましたが、答がもとまりませんでした。この方針はふさわしくないのでしょうか？

No.1416 - 2008/07/04(Fri) 23:26:02

☆ Re: 積分 / hari

∫[0→x]tf'(t)dtは変数xを含んでいるので、定数じゃありませんからa(定数)とはおけませんね。

両辺をxで微分してから、整式f(x)の最高次だけ計算すれば二次式であることがわかります。

後はf(x) = ax² + bx + cとおけば答えが求まると思います。

No.1418 - 2008/07/05(Sat) 00:24:48

☆ Re: 積分 / Jez-z

∫[0→x]f(t)'dtを微分するならできるのですが・・・
∫[0→x]tf(t)'dtを微分するのって可能ですか？
この計算を教えてほしいのですが・・・

お願いします。

No.1425 - 2008/07/05(Sat) 21:19:45

☆ Re: 積分 / にょろ

可能です。

(∫[0→x]f(t)dt)'=f(x)
です。
今回はこの
f(t)がtf(t)'に変わっただけです。

No.1428 - 2008/07/05(Sat) 22:59:05

☆ Re: 積分 / Jez-z

では、これであってるでしょうか？

(d/dx)∫[0→x]tf(t)'dt=tf(t)

なぜか、この計算で行き詰ってしまいます・・・

No.1429 - 2008/07/05(Sat) 23:36:35

☆ Re: 積分 / hari

基本：(d/dx)∫[0→x]g(t)dt = g(x)

今回、g(t)がtf'(t)となっているだけです。
ですから(d/dx)∫[0→x]tf'(t)dt = xf'(x)となります。

No.1431 - 2008/07/05(Sat) 23:54:36

☆ Re: 積分 / Jez-z

ありがとうございます

No.1432 - 2008/07/06(Sun) 00:36:06

☆ Re: 積分 / Jez-z

hariさん、
両辺をxで微分した式を最高次の比較する計算は以下であってますか？f(x)をn次とすると…
左辺＝(d/dx)∫[0→x]tf'(t)dt = xf'(x)
右辺＝(d/dx){2xf(x)}-(d/dx){xf'(x)}
＝2x'f(x)+2xf'(x)-〔x'f(x)+x{f'(x)}'〕
＝f(x)+2xf'(x)-x{f'(x)}'

そうすると、左辺＝n次式
　　　　　　右辺＝n次式
となり、2次式とならないのですが・・・
もしかして、条件f(0)=2を使うのですか？？
でも、どうやって？（方針違ってたらすいません）

一日空いてしまいましたが、回答お願いできますか？
よろしくお願いします_(_^_)_

No.1446 - 2008/07/06(Sun) 17:43:27

☆ Re: 積分 / hari

回答遅くなりました。

整理すると
2f(x) - (x+1)f'(x) - xf''(x) = 0
となります。
（Jez-zさんは右辺の第二項の微分でケアレスミステイクがあります。）
この微分方程式はすべてのxで成り立つので、xのどの次数の係数も0になります。最高次の係数が0であることを使って次数を決定します。

f(x) = ax^n + g(x)(g(x)の次数はn-1以下)
とおいて代入すると
(2a - an)x^n - an^2x^(n-1) + 2g(x) - (x+1)g'(x) - xg''(x) = 0
となります。
最高次だけみると2a - an = 0 より n = 2です。
次にf(x) = ax^2 + bx + cを微分方程式に代入して、係数が0よりa,b,cに関する連立方程式を得ます。
それとf(0) = 2 = cよりa, bが決定します。

No.1476 - 2008/07/08(Tue) 02:47:21