質問
4点A(-π,0),B(π,0),C(π,π^2),D(-π,π^2)を頂点とする長方形上に放物線P:y=x^2(-π≦x≦π)が描かれている。この長方形ABCDを半径1、高さπ^2の直円柱Eの側面に巻きつける。ただし、辺ABはEの底面Fの周に巻きつくものとする。底面Fに平行な平面HとEの側面上の放物線Pとの交点をQ、Rとするとき、Hの変化に伴い線分QRはある曲面を作り、直円柱Eを2つの部分に分ける。このとき、それぞれの体積を求めなさい。
体積の問題なのに分けられる立体の形がうまく図にできなくてどういう形をしているのかがわかりません。この問題の解き方を教えてもらえないでしょうか。お願いします。
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No.3113 - 2008/10/09(Thu) 08:10:50
| ☆ Re: 立体図形の体積 / ヨッシー  | | | 円筒の底面の中心を原点、底面を含む面をｘｙ座標、高さ方向をｚ軸とします。
また、ｘｙ平面を、極座標表現することにします。
もとの放物線 ｙ＝ｘ2 において、
ｘの範囲が−π≦ｘ≦π なので、円筒に巻き付けると、
ｘがθ、ｒは常に１、ｙはｚに相当するので、もとの放物線上の点(ｘ，ｘ2)は、
(cosｘ, sinｘ, ｘ2) に相当します。
ある高さｚ(0≦ｚ≦π2)における点Ｑ、Ｒの座標は、
(cos√z, sin√z, ｚ), (cos√z, −sin√z, ｚ) になります。
半径１の円を直線ｘ＝cos√z で切るとき、(1,0,π2) を含む立体の体積を求めます。
0≦ｚ≦π2/4 のとき、
半径１、中心角2√z の扇形から、２辺が１で、挟む角が2√z の二等辺三角形を引いたものが
断面の面積となります。その面積は、
√z−(1/2)sin(2√z)
π2/4≦ｚ≦π2 のとき、
半径１、中心角2√z の扇形に、２辺が１で、挟む角が(2π−2√z) の二等辺三角形を足したものが
断面の面積となります。その面積は、
√z＋(1/2)sin(2π−2√z)＝√z−(1/2)sin(2√z)
となり、ｚの範囲にかかわらず、断面積は√z−(1/2)sin(2√z) となります。
これを、0≦ｚ≦π2 の範囲で積分して、
Ｖ＝∫0〜π2{√z−(1/2)sin(2√z)}dz
ｔ＝√ｚ＝ｚ1/2 とおくと、
dt/dz＝1/2√z
より、dz＝2ｔdt で、0≦ｚ≦π2 は、0≦ｔ≦π に相当するので、
Ｖ＝∫0〜π2t{t−(1/2)sin(2t)}dt＝∫0〜π{2t2−ｔsin(2t)}dt
Ｖ1＝∫0〜π2t2dt＝[(2/3)t3]0〜π＝2π3/3
Ｖ2＝−∫0〜πｔsin(2t)dt＝∫0〜πｔ{(1/2)cos(2t)}’dt
＝[(t/2)cos(2t)]0〜π−∫0〜π(1/2)cos(2t)dt＝π/2−[(1/4)sin(2t)]0〜π
＝π/2
よって、求める体積Ｖは、
Ｖ＝Ｖ1＋Ｖ2＝2π3/3＋π/2
もう一方の体積は、円柱の体積が π3 なので、
π3−Ｖ＝π3/3−π/2
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No.3119 - 2008/10/09(Thu) 11:43:47 |
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