ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / 数Ｂ

3x+2y≦2008を満たす整数の組x,yを求めよ。
何もうかびませんでした。
答えは
x=2kのとき(1005-3k)個、x=2k+1のとき(1003-3k)個ある。
(x=0,1,2,…669)(k=0,1,2,…334)
よって1/2*335*(2008+4)=337010

となっているんですが2k、2k+1でわけているとこからもうわかりません。よろしくお願いします。

No.2734 - 2008/09/15(Mon) 22:19:41

☆ Re: / ヨッシー

問題は正確に！
3x+2y≦2008を満たす０以上の整数の組x,yの数を求めよ。

たとえば、
ｘ＝１だと
　2y≦2005
なので、ｙ＝0,1,2,3・・・1002 の1003個です。
ｘ＝２だと
　2y≦2002
なので、ｙ＝0,1,2,3・・・1001 の1002個です。
ｘ＝３だと
　2y≦1999
なので、ｙ＝0,1,2,3・・・999 の1000個です。
ｘ＝４だと
　2y≦1996
なので、ｙ＝0,1,2,3・・・998 の 999個です。
ｘが奇数か偶数によって、2y≦(奇数)　か　2y≦(偶数) の
違いがあるので、ｙの最大値が
　(2008-3x)÷2　（ｘが偶数の場合）
　(2008-3x-1)÷2　（ｘが奇数の場合）
のように、変わるのです。
ｙの最大値をｋで表すと、
x=2k のとき　(2008-3x)÷2＝(2008-6k)÷2＝1004-3k
x=2k+1 のとき　(2008-3x-1)÷2＝(2004-6k)÷2＝1002-3k
ｙの個数は０も含むのでそれぞれ１ずつ多くて
x=2k のとき　1005-3k
x=2k+1 のとき　1003-3k

一方、ｘは最大669まで取れますが、これは k=334 のときの
x=2k+1 までなので、
k=0 のとき x=2k=0,x=2k+1=1
k=1 のとき x=2k=2,x=2k+1=3
　・・・
k=334 のとき x=2k=668,x=2k+1=669
までの、1005-3k と 1003-3k を足せばいいことになります。

具体的に言うと、ｙの個数は
k=0 のとき 1005個と 1003個
k=1 のとき 1002個と 1000個
　・・・
k=334 のとき 3個と 1個
これだけの合計を出します。これを、
k=0 のとき 2008個
k=1 のとき 2002個
　・・・
k=334 のとき 4個
と、前に足しておくと、
　2008+2002+・・・+4
という、項数335個の等差数列の和になります。
後は公式通りで　1/2*335*(2008+4)=337010　となります。

No.2735 - 2008/09/15(Mon) 22:45:56

☆ Re: / らすかる

模範解答とは無関係な別解

x=2p-s, y=3q-t（p,s,q,tは自然数、s≦2,t≦3）とおくと
(s,t)=(1,1) のとき 3(2p-1)+2(3q-1)≦2008 → 6(p+q)≦2013 → p+q≦335 → 335C2通り
(s,t)=(1,2) のとき 3(2p-1)+2(3q-2)≦2008 → 6(p+q)≦2015 → p+q≦335 → 335C2通り
(s,t)=(1,3) のとき 3(2p-1)+2(3q-3)≦2008 → 6(p+q)≦2017 → p+q≦336 → 336C2通り
(s,t)=(2,1) のとき 3(2p-2)+2(3q-1)≦2008 → 6(p+q)≦2016 → p+q≦336 → 336C2通り
(s,t)=(2,2) のとき 3(2p-2)+2(3q-2)≦2008 → 6(p+q)≦2018 → p+q≦336 → 336C2通り
(s,t)=(2,3) のとき 3(2p-2)+2(3q-3)≦2008 → 6(p+q)≦2020 → p+q≦336 → 336C2通り
よって全部で 335C2×2+336C2×4 = 337010通り

No.2736 - 2008/09/16(Tue) 01:44:10

★ 順列 / 桜　高校2

こんにちは。
よろしくお願いいたします。

a,b,c,d,eの5文字を並べたものを、アルファベット順に、一番目abcde,2番目abced,...........120番目edcbaと番号をつける。

(1)cbedaは何番目か
(2)40番目は何か。

という問題がわかりませんでした。
よろしくお願いいたします。

No.2727 - 2008/09/15(Mon) 16:50:50

☆ Re: 順列 / ヨッシー

(1)
a で始まるものだけを数えると○○通り。
b で始まるものも同じく○○通り
ca で始まるものは、△△通り
cb で始まるものも同じく、△△通り
cbeda は、cbで始まるものの最後なので、
　○○＋○○＋△△＋△△(番目)
(2)
同様に、区切って数えましょう。

No.2729 - 2008/09/15(Mon) 18:17:09

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ヨッシーさんありがとうございました！！
おかげさまで解けました＾＾v

No.2730 - 2008/09/15(Mon) 18:38:48

★ 数学Ａ / 優

【1】p,r,o,b,l,e,mの7つの文字を使って順列を作る。このとき、次のようなものは何通りあるか。

(1)両端に子音がくるもの(A.2400通り)
(2)少なくとも一方の端に子音がくるもの(A.4800通り)

【2】黒玉7個と白玉3個を一列に並べるとき、白玉が隣り合わないような並べ方は何通りあるか。(A.56通り)

宜しくお願いします。

No.2722 - 2008/09/15(Mon) 12:25:48

☆ Re: 数学Ａ / ヨッシー

【1】
(1)子音はo,e 以外の５つです。
　左端の文字の選び方は５通り、
　右端の文字の選び方は、左端の文字以外の４通り
　間の５文字の並び方は　５！＝120(通り)
　以上より、　５×４×１２０＝2400(通り)
(2)
　両端とも母音の場合を数えます。
　左端がo、右端がeの場合、
　　間の５文字の並び方は　５！＝120(通り)
　左端がe、右端がoの場合も、同様に120通り
　合わせて240通り。
　すべての並び方は　７！＝5040(通り)
　求める場合の数は、
　　5040－240＝4800(通り)

【2】
　○●○●○　をあらかじめ並べておき残りの●５個を、
　３つの○の、両端と間の４ヶ所のいずれかに入れる
　方法なので、重複組み合わせとなり、
　₄Ｈ₅＝₈Ｃ₅＝56(通り)

No.2723 - 2008/09/15(Mon) 12:41:09

☆ Re: 数学Ａ / らすかる

【2】別解
黒玉7個を並べ、間または端計8箇所中3箇所に白玉を入れればよいので、8C3=56通り

No.2724 - 2008/09/15(Mon) 13:04:57

★ 円と半径 / Jez-z

半径1の円Cと半径1の円C(1)が外接しており、さらに、2つの円はともに直線lに接している。
n=2,3,4…に対してC(n+1)をC(n)とCの両方に外接し、かつ、
直線lにも接しているように作ることにする。
ただし、（Ｃ(n)の半径＞Ｃ(n+1)の半径）である。
このときC(n)の半径を求めよ。

（方針）
C(n)の半径をr(n)とする。
実験してみたところ、C(2)は三平方の定理を用いて
r(2)=1/4と求めることができました。
しかし、r(3)を求めようとしたところ、三角形の横（l軸に平行）の長さだけが分からず敢え無く挫折。
そこで、発想を変えて漸化式を作り一般項r(n）を求めればうまくいくのではないかと考えました。
しかし、この方針でも自身の計算力・数学力がついてこれず行き詰ってしまいました。

ご指導お願いします。

No.2707 - 2008/09/14(Sun) 17:56:31

☆ Re: 円と半径 / rtz

Cを(0,1)中心、C₁を(2,1)中心、直線lをy＝0としてしまいましょう。

そうするとC₂については、
r₂＝1/4からC₂の中心は(1,1/4)です。

続いてC₃については、
√{(1＋r₃)²－(1－r₃)²}＋√{((1/4)＋r₃)²－((1/4)－r₃)²}＝1
⇔2(√r₃)＋(√r₃)＝1
⇔r₃＝1/9
よってC₃の中心は(2/3,1/9)

これと同様に考えて、
C_nの中心は(2√r_n,r_n)であるから、
C_n+1について、
√{(1＋r_n+1)²－(1－r_n+1)²}＋√{(r_n＋r_n+1)²－(r_n－r_n+1)²}＝2√r_n
⇔2(√r_n+1)＋2√(r_nr_n+1)＝2√r_n
⇔{(√r_n+1)－1}{(√r_n)＋1}＝－1
⇔(1－√r_n+1)(1＋√r_n)＝1
あとはn＝1,2,3から√r_nを推測してそれが正しいことを言えばよいでしょう。

今回のポイントは、
・C_nの中心座標をr_nで表せるか
・r_n、r_n+1間の漸化式が作れるか
の2点です。

No.2709 - 2008/09/14(Sun) 19:52:55

☆ Re: 円と半径 / ヨッシー

rtz の座標設定を使わせてもらうと、
ｙ＝－１を考えると、円Ｃとｘ軸に接する円の中心は、
点(0,1) と直線ｙ＝－１からの距離が等しいので、
放物線　ｙ＝ｘ²／４上にあります。
よって、中心の座標は（ｘ、ｘ²／４）と表すことが出来ます。

これを使って、隣り合うＣ_n、Ｃ_n+1 の関係を
作ることが出来ます。

No.2710 - 2008/09/14(Sun) 20:03:53

☆ Re: 円と半径 / Jez-z

ヨッシーさん、それって「焦点」の考え方ですか？
「焦点」って数?Vの範囲ですよね…（実際の試験では使ってもよいものなのでしょうか…）

となるとrtzさんの方針を参考にさせてもらうことになるのですが、
>>「√rnを推測してそれが正しいことを言えばよい」
数学的帰納法を使えばよいですよね。ちょっと自分でやってみます。

No.2715 - 2008/09/14(Sun) 22:11:58

☆ Re: 円と半径 / ヨッシー

実際に使って良いかは、何の試験かによります。

漸化式を出してから解くまでは、同じような解き方になるでしょうから、
良いと思う方で解けばいいと思います。

No.2716 - 2008/09/14(Sun) 22:37:23

☆ Re: 円と半径 / Jez-z

rtzさん、やっぱり「漸化式」をつくることが理解できていませんでした。少しヒントをくれませんか？

それと、実際の問題は円の位置関係として
緑色の円が1＜ｘ＜2の位置にあり以下
紫色の円が外接…していくというような設定がなされていました（はじめに書いていなくてすいません）どうしても言葉では説明しづらかったので・・・

No.2720 - 2008/09/14(Sun) 23:57:44

☆ Re: 円と半径 / rtz

えぇと、具体的にどの部分でしょうか。

漸化式の作成自体は添付図を参照してください。
C_nの中心が(2√r_n,r_n)になるのは、
添付図のC_n+1のx座標を考えてもらえば分かりますが、
C_nのx座標も√{(1＋r_n)²－(1－r_n)²}になり、
これを計算すれば2√r_nになるためです。
y座標は半径と同じです。

右の方に円を作っていくというのは解答の作り方の問題で、
それはどっちでもいいので、
解答作成者は好きなように、解答を読む側は上手く処理してとしか言えません。

No.2721 - 2008/09/15(Mon) 01:07:41

☆ Re: 円と半径 / Jez-z

rtzさんわかりました＾＾ありがとうございます。

No.2744 - 2008/09/16(Tue) 23:52:19

★ 順列 / 桜　高校2

こんにちは。
よろしくお願いいたします。

男子4人、女子3人がいる。
女子のうち2人だけが並びあうように7人が一列に並びは何通りか。

という問題がわかりません。
教えてください。

No.2705 - 2008/09/14(Sun) 12:02:17

☆ Re: 順列 / 七

1) 女子3人が隣り合う並び方，
2) 女子が隣り合わない並び方
なら分かりますか？

No.2706 - 2008/09/14(Sun) 12:23:56

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございます。

(1)はわかりました＾＾

「2人」だけというのがひっかかってわかりません。
3人ならわかるのですが・・・

No.2711 - 2008/09/14(Sun) 20:17:27

☆ Re: 順列 / 七

7人の並び方すべてから
1)，2)を引けば求められると思います。

No.2712 - 2008/09/14(Sun) 20:35:06

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございます。
たびたびすみません。

隣り合わない並び方が
よくわからなかったのですが、4!*3!でいいのでしょうか。

No.2713 - 2008/09/14(Sun) 21:14:14

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

全体-144でよいでしょうか。

すみませんです。。
もうわからなくて混乱です><

No.2714 - 2008/09/14(Sun) 21:31:43

☆ Re: 順列 / ヨッシー

全体-144 はあり得ません。
　1) 女子3人が隣り合う並び方
だけで720通りありますから。

　2) 女子が隣り合わない並び方
は、男女の並び順が
　男男女男女男女
　男女男男女男女
　男女男女男男女
　男女男女男女男
　女男男男女男女
　女男男女男男女
　女男男女男女男
　女男女男男男女
　女男女男男女男
　女男女男女男男
の10通りあり、それぞれについて4!×3!＝144(通り)あります。
以上より、
　全体－720－1440
となります。

No.2718 - 2008/09/14(Sun) 23:03:18

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございました^^
おかげで解けました☆

No.2726 - 2008/09/15(Mon) 16:47:34

★ 積分です。 / 高専マン

次の曲線で囲まれる図形の面積を求めよ
r=cos2θ

についてですが、解答では図形の対称性を利用して
4*(1/2)∫[-π/4,π/4](cos2θ)^2 dθ
=2∫[-π/4,π/4](1+cos4θ)/2 dθ
=π/2

としていますが、対称性を考えずに
(1/2)∫[0,2π](cos2θ)^2 dθ
=∫[0,2π](1+cos4θ)/2 dθ
=π/2
と考えたのですが、これでもいいのでしょうか？

No.2701 - 2008/09/14(Sun) 01:58:10

☆ Re: 積分です。 / 高専マン

スミマセン。自分の解答に1/2が抜けてますね。
正しくは
(1/2)∫[0,2π](cos2θ)^2 dθ
=(1/2)∫[0,2π](1+cos4θ)/2 dθ
=π/2
でした。申し訳ありません。

No.2702 - 2008/09/14(Sun) 01:59:56

☆ Re: 積分です。 / ヨッシー

どちらでも、構いません。
が、いずれの場合も、ちゃんとθとｒと図形の関係を把握して
おかないといけません。
模範解答の-π/4～π/4 というのも、簡単には判断できませんし、
0～2π で、ちょうど１回分の図形が、過不足なく描けるという
確証がないといけません。

No.2725 - 2008/09/15(Mon) 13:50:52

☆ Re: 積分です。 / 高専マン

ヨッシーさん、ありがとうございます。
助かりました。

No.2733 - 2008/09/15(Mon) 21:51:09

★ 高2 / NnA

○次の曲線で囲まれた図形を図示し、その面積を求めよ。
(1)y=x(x-2)(x-3), x軸
(2)y=sinx, y=cos2x (0≦x≦π), x=0, x=π
(3)y=((2x)/(1+x^2)), y=x

○次の曲線で囲まれた図形をx軸の周りに回転してできる回転体の体積を求めよ。
(1)y=(1/(x+1)), x軸, y軸, 直線x=2
(2)y=sinx (0≦x≦π), x軸
(3)y=logx, 直線x=e, x軸
(4)放物線y=x^2, y=√x
(5)放物線y^2=4x, 直線x=1

多くてすいません…
よろしくお願いします。

No.2687 - 2008/09/13(Sat) 21:37:43

☆ Re: 高2 / にょろ

x=0,2,3で±が変わります
そこに注意して積分
(2)交点を求めれば大丈夫です。
sinとcosの関係に気を付ければ交点はすぐ求まります。
(3)y=((2x)/(1+x^2))=(1+x^2)'/(1+x^2)
です。

とりあえずここまで

No.2688 - 2008/09/13(Sat) 22:30:00

☆ Re: 高2 / にょろ

(1)
y=(1/(x+1))=(x+1)'/(x+1)
(2)
面積はTHE 2
は公式として知ってて欲しいな～
(3)y=logx, 直線x=eはy=1でまじわります。

(4),(5)
大きい方の回転体の体積-小さい方の回転体の体積です。
あとで少し補足するかもしれません。

No.2690 - 2008/09/13(Sat) 22:35:51

☆ Re: 高2 / にょろ

下の画像のように回転軸に対して線対称な図形を考えます。

対称軸はy=Rとします。
上のグラフは
R+f(x)
下のグラフは
R-f(x)
とできます。
ここで[a,b]の区間でのx軸中心の回転体の体積を考えます。
まずこの図形の面積をSとするとS=∫_[a,b](2f(x))dx

すると
π∫_[a,b]((R+f(x))^2-(R-f(x))^2)dx
=π∫_[a,b](4f(x)R)
=2π∫_[a,b](2f(x))dx*R
=2πSR

となります。
実は回転体の面積Vは
V=2πSR(Rは「重心」までの距離)
と表せます。
（高校範囲では上の範囲が限界だと思います）

これをパップスギュルダンの定理といいます。
上の問題のy=sinxがy軸中心回転なら使えたんですけどねぇ…

No.2692 - 2008/09/13(Sat) 22:59:12

☆ Re: 高2 / NnA

解説ありがとうございます。

でも、最初の問題の
(2)y=sinx, y=cos2x (0≦x≦π), x=0, x=π
の解き方がどうしてもわかりません。
よろしければ、詳しい解説をお願いします。

No.2694 - 2008/09/13(Sat) 23:47:10

☆ Re: 高2 / NnA

すいません。
(3)y=((2x)/(1+x^2)), y=x
(1)y=(1/(x+1)), x軸, y軸, 直線x=2
(3)y=logx, 直線x=e, x軸
(4)放物線y=x^2, y=√x
(5)放物線y^2=4x, 直線x=1
もわからないです。
詳しい解説をお願いします。

No.2695 - 2008/09/13(Sat) 23:53:43

☆ Re: 高2 / にょろ

まず(2)から
交点の座標は
sinx=cos2x=sin((π/2)-2x)
x=π/2-2x
x=π/6が交点です。
それまでは
cos2x-sinx
そこからπ/2までは
sinx-cos2x
の積分になります。
その後範囲がコレの二倍なので二倍してください。

No.2696 - 2008/09/14(Sun) 00:10:39

☆ Re: 高2 / にょろ

次図形はこんな感じ点は気にしないでください
というわけで求める面積は
∫_[0,1](1+x^2)'/(1+x^2)-xdx
=[log(1+x^2)-x^2/2]_[0,1]
=～
です。

No.2697 - 2008/09/14(Sun) 00:33:11

☆ Re: 高2 / にょろ

画像入れ忘れましたorz

No.2698 - 2008/09/14(Sun) 00:39:15

★ 順列 / 桜　高校2

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

0,1,2,3,4,5の6個の数字から異なる4個の数字を取って並べて、4桁の整数を作るものとする。

(1)3の倍数
(2)2400より大きい整数

２つがわｋりませんでした
教えてください
よろしくお願いいたします。

No.2685 - 2008/09/13(Sat) 20:13:47

☆ Re: 順列 / gaku

(1)その数が3の倍数になるのは，各位の数の和が3の倍数になるときです。
たとえば，1236のように。

No.2686 - 2008/09/13(Sat) 21:00:48

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございます^^。

1236はないみたいです。

詳しい解説をお願いいたします。

No.2689 - 2008/09/13(Sat) 22:34:47

☆ Re: 順列 / にょろ

(1)まず0-5を3つのグループに分類
0,3//３で割りきれる…①
1,4//1余る…②
2,5//-1余る…③

足して３の倍数になる組み合わせは
①*2,②,③一つづつ
②,③が2つづつ

です。
確かhtmlは使えますねうん

No.2699 - 2008/09/14(Sun) 00:48:10

☆ Re: 順列 / 桜　高校2

ありがとうございました。
とても参考になりました！！

No.2704 - 2008/09/14(Sun) 11:59:43

★ 指数対数 / kai(高3)

(1)6^nが39桁の自然数になるとき自然数nを求めよ。(2)その場合のnに対する6^nの最高位の数字を求めよ。ただし
log(10)2=0.3010 log(10)3=0.4771 とする。

(1)
10^38≦6^n＜10^39
38≦0.7781n＜39
よってn=49,50

(2)
0≦6^n-a*10^38＜10^38 (n=49,50)
○≦a＜□

上のように計算してるのですが、解けないので教えてください。
(1)は間違っていないかどうか、(2)はヒントをお願いします。

No.2680 - 2008/09/13(Sat) 17:11:35

☆ Re: 指数対数 / rtz

(2)
n＝49なら、
6⁴⁹/10³⁸とすれば、
○.○○○○…という小数になりますね。
つまり1以上10未満ですので、
1≦6⁴⁹/10³⁸＜10として自然対数を取ってみましょう。
そうすれば0≦？＜1となりますが、
たとえば？＝0.4ならlog₁₀2≦？＜log₁₀3から整数部は2と分かります。
実際に出てきた値について考えてみてください。
log₁₀4＝log₁₀2²、
log₁₀5＝log₁₀(10/2)
log₁₀6＝log₁₀(2*3)
などを使えば、
実際の数値も出せますね。
n＝50も同様に出せます。

(1)
答えは正しいです。
googleで10^49や10^50と入力してみてください。
ちなみに(2)の答えが正しいかどうかも一緒に分かってしまうので、後にしました。

No.2681 - 2008/09/13(Sat) 17:44:58

☆ Re: 指数対数 / kai(高3)

rtzさん返信ありがとうございます。

rtzさんの計算で(2)は分かりました。
ってことは、(2)
0≦6^n-a*10^38＜10^38 (n=49,50)
log10(a)≦□＜log10(a+1)
とすればいいんですね。

阪大の問題といいrtzさんありがとうございます。

たびたびすみませんが、logの底のあらわし方はどうするのでしょうか。rtzさんのは底10がlogの下にかいてありますが...

No.2693 - 2008/09/13(Sat) 23:04:48

☆ Re: 指数対数 / rtz

この掲示板はHTMLタグが使えるので、
log＜sub＞10＜/sub＞xと打てば下付き文字としてlog₁₀xと表示されます。
(ただし、＜＞は半角に直してください。下も同じです。)
また、
x＜sup＞2＜/sup＞と打てば上付き文字としてx²と表示されます。
一々打つのは面倒なら辞書登録しておいてもいいでしょう。

No.2700 - 2008/09/14(Sun) 01:26:17

☆ Re: 指数対数 / にょろ

<,&gtで<>は表現できると思いますよ。
ただプレビューの時変わっちゃうのはいただけませんけどね…。

No.2703 - 2008/09/14(Sun) 09:07:15

☆ Re: 指数対数 / rtz

＞にょろさん
はじめそれで打ち込んだのですが、
なぜか私の場合、投稿すると
そのままタグ扱いで変換されてしまいましたので全角にしました。

No.2708 - 2008/09/14(Sun) 18:45:30

★ 分数式 / まあ

分数式にまとめる問題で
{(x-2)/(2x^2-5x+3)}+{(3x-1)/(2x^2+x-6)}+{(2x^2-5)/(x^2+x-2)}の計算教えてください。
お願いします

No.2678 - 2008/09/13(Sat) 16:42:27

☆ Re: 分数式 / gaku

分数式であっても，分数は分数ですからたし算はやはり通分。

No.2679 - 2008/09/13(Sat) 16:56:55

☆ Re: 分数式 / hari

分母は因数分解できますよ。
どの項も分母分子に一次式をかけると通分できます。

No.2682 - 2008/09/13(Sat) 18:23:34

☆ Re: 分数式 / まあ

良かったら計算過程を教えてください?ｫ

No.2683 - 2008/09/13(Sat) 18:38:12

☆ Re: 分数式 / とおりすがり

自分の計算に自信がなければその過程を書いてください．
そうすれば添削します．

No.2684 - 2008/09/13(Sat) 19:26:14

☆ Re: 分数式 / hari

計算問題は自分の力でやらないと身につかないからがんばってください。
答えは2です。

たとえば1/ab + 1/bc + 1/caを通分するなら
c/abc + a/abc + b/abc = (a + b + c)/abc
となります。今回も同様に通分できます。

No.2691 - 2008/09/13(Sat) 22:41:47

★ ある立体の体積 / 浪花のムサシ

初めて書き込みいたします。以前、姪の勉強を見てあげていて、回答に困ったので、質問させていただきます。
直径１０cm、高さ１０cmの円柱があります。上面の円に内接する正方形ABCDがあり、底面の円にABCDと４５度傾いた内接正方形EFGHがあります。
上面の頂点ABCDと底面の頂点EFGHをそれぞれ直線で結びます。すると、上面及び底面が正方形で、側面が合同の二等辺三角形が８面である、１０面体ができあがります。
この立体の体積を求めなさいという問題なのですが、
姪が中学３年の時の問題です。
中学生のレベルでこの問題をどう説明すれば良いのでしょうか。
よろしくお願いします。

No.2676 - 2008/09/13(Sat) 16:11:30

☆ Re: ある立体の体積 / ヨッシー

時間がないので、描き散らかした図ですが、

８角柱から、三角錐を８つ取り除いたものとして考えます。

1辺10cmの正方形に、底辺10cm、高さ5√2－5 の三角形を４つつけたのが
正８角形なので、８角柱の体積も、三角錐の体積も、出ると思います。

No.2677 - 2008/09/13(Sat) 16:34:08

★ なぜか途中で文が消えてします。３回目の投稿。下２回目は削除してください / daigo（大学１年）

２次方程式の解の配置問題で、条件として、f(α)f(β)<0であればよいというときがあります。これは、

f(α)>0かつf(β)<0　または　f(α)<0かつf(β)>0

代わりに、f(α)f(β)<0　をチェックするということなのは分かります。
しかし、現実問題として、f(α)>0かつf(β)<0　を満たすaの範囲があった場合、f(α)<0かつf(β)>0 を満たすaの範囲は必ず存在しないのでは？抽象的ですいません。私の聞きたいこと分かるでしょうか？[質問?@]

具体的には次の問題です。
x^2+(a+2)x-a+1=0 について、
解の１つが-2他の解がx<-2または
0<xの範囲にあるようなaの範囲は？

この問題を解くための必要十分条件は
f(0)>0かつf(-2)<0 または f(-2)>0かつf(0)<0 ですよね。
これは、f(0)f(-2)<0 と同値です。つまり、1/3<a<1が（答）。しかし、この1/3<a<1は、f(0)>0かつf(-2)<0　のaの範囲です。ちなみに、f(-2)>0かつf(0)<0　を満たすaの範囲は存在しません。
ということはこの問題、１つが-2<x<0　にあった場合、0<xに解があることはありえないということですか？[質問?A]
それなら初めから聞くなという感想を持つのですが・・・

皆さんいかがですか？質問?@、質問?A、両方ともよろしくお願いします。

No.2667 - 2008/09/12(Fri) 23:37:50

☆ Re: なぜか途中で文が消えてします。３回目の投稿。下２回目は削除してください / daigo（大学１年）

解の１つが-2<x<0の範囲にあり、他の解が・・

です。-2で止まっているのは間違いです。

打ち込んでいるのになぜ消えるの？

No.2668 - 2008/09/12(Fri) 23:40:19

☆ Re: なぜか途中で文が消えてします。３回目の投稿。下２回目は削除してください / ヨッシー

半角の＜は、しばしば、タグとして見なされることがあるので、
それで表示されないと思います。

質問１
たとえば、f(x)＝ｘ²＋２ａｘ＋１
が、－１＜ｘ＜１に１つの解を持ち、他の解をｘ≦－１　
または　１≦ｘにもつようなａの値
といった場合は、
　f(-1)＜０　かつ　f(1)＞０
　f(-1)＞０　かつ　f(1)＜０
もあるａの値を示します。

質問２
よって、片方から解が得られたら、他方からは解が得られないかどうかは
解いてみないと分かりませんし、片方からは、解が得られない
ということを示すことは、解があることを示すのと、同じくらい
重要と思います。

No.2669 - 2008/09/12(Fri) 23:57:18

☆ Re: なぜか途中で文が消えてします。３回目の投稿。下２回目は削除してください / rtz

先に質問2から。
x²＋(a+2)x－a＋1＝0
⇔x²＋2x＋1＝a(1－x)
方程式x²＋(a+2)x－a＋1＝0の解は、
y＝x²＋2x＋1とy＝a(1－x)の交点のx座標ともいえますね。
両方のグラフを描いてみましょう(y＝a(1－x)は(1,0)を通る直線)。
y＝a(1－x)をくるくる回せば、-2＜x＜0で交わるときx＞0で交わらないことは確認できると思います。

質問1
xが正だとして、
x²＝1
⇔(x＋1)(x－1)＝0
⇔x＝1 (∵x＞0)
としてx＝-1は捨てますよね？

これと同じで、
問題の条件に当てはまるような場合を、
実際にはありえようがありえなかろうが全て考えた上で、
その上でありえないものについては切り捨てればよいだけのことです。

例えばA、B、C、D、Eの5人が容疑者だったとして、
「Aはこの時間別の場所にいたから無理」
「Bは…」
として、1つ1つ潰していくのと同じです。
最終的にはありえなくても、条件から導かれる可能性については、
ありえないとして潰しておかなければ「それを考慮指定していない」という時点で論理として間違いなわけです。

No.2673 - 2008/09/13(Sat) 11:14:30

★ 三角関数/方程式・不等式 / ジーニー(高2)

次の二つの問題それぞれの解答をお願いします。

■0≦θ＜2πのとき、次の方程式を満たすθの値。

　cos(θ+π/4)=(√3)/2

■0≦θ＜2πのとき、次の不等式を満たすθの値の範囲。

　√2sinθ＞1

よろしくお願いします。

No.2662 - 2008/09/12(Fri) 19:48:17

☆ Re: 三角関数/方程式・不等式 / ヨッシー

0≦θ＜2πのとき
　π/4≦θ+π/4＜9π/4　　＝　　45°≦θ+45°＜405°
です。
　cosｘ＝√3/2
となる、主なｘの値は、π/6(30°)、11π/6(330°)、13π/6(390°) などがあります。
このうち、π/4≦ｘ＜9π/4 となるのは、11π/6、13π/6 の２つです。
　θ+π/4＝11π/6　より　θ＝19π/12
　θ+π/4＝13π/6　より　θ＝23π/12

　√2sinθ＞1　は　sinθ＞1/√2
と書けるので、単位円において、ｙ座標が 1/√2 より大きい角は
　π/4＜θ＜3π/4

No.2663 - 2008/09/12(Fri) 19:57:55

☆ Re: 三角関数/方程式・不等式 / ジーニー(高2)

ありがとうございます！

二つ目の問題と同じ要領で

cosθ≧(√3)/2

の範囲も教えて欲しいです；

No.2664 - 2008/09/12(Fri) 23:14:32

★ 積分 / じゃぱん

２つの関数f(x),g(x)は方程式

f(x)+∫[１からx]g(t)dt=x^3+x^2-(a+1)x+2a,

f'(x)-g(x)=3x＾2-2x+a-1

を満たすとする。ただし、aは定数とする。

(1) f'(x)+g(x)をxとaを用いて表せ。

(2) f(1)をaを用いて表せ。

(3) f(x)とg(x)をxとaを用いて表せ。

(4) y=f(x)とy=g(x)のグラフが接するようなaの値を求めよ。

答え
(1) f'(x)+g(x)=3x^2+2x-(a+1)

(2) f(1)=a+1

(3) f(x)=x^3-x+a+1

(4) 1/2,-3/2

まず何をしたらいいのかわかりません。
答えはわかっているのですがちゃんと理解したいのでできるだけ詳しい解説よろしくお願いします。

No.2660 - 2008/09/12(Fri) 17:28:37

☆ Re: 積分 / とおりすがり

f(x) + ∫[1,x]g(t)dt = x^3 + x^2 - (a+1)x + 2a …[1]
f'(x) - g(x) = 3x^2 - 2x + a - 1 …[2]
とします．

(1)
[1]の左辺をxで微分すると求めたいf'(x) + g(x)になりますね．

(2)
[1]の両辺にx=1を代入すると左辺はf(1)となりますね．

(3)
[2]と(1)で求めた式を使いましょう．

No.2661 - 2008/09/12(Fri) 17:49:11

★ 辞書式配列 / Sana

異なる5文字a,b,c,d,eを1つずつ使ってできる120通りの文字列をabcdeからedcbaまでアルファベット順に並べてある。

●94番目にある文字列は何か。

(解答)
a○○○○,b○○○○,c○○○○,d○○○○型のものはそれぞれ4!通りあるから、

4!×4=96

つまり、decbaは96番目…

と、ここまでは分かるのですが、その後は95番目、94番目というように戻りますがその戻り方がよくわかりません。

教えて頂けないでしょうか?

No.2654 - 2008/09/12(Fri) 05:56:41

☆ Re: 辞書式配列 / ヨッシー

dxxxx の形のものは、高々４！＝24通りなので、

dabce,dabec,dacbe,daceb,daebc,daecb,
dbace,dbaec,dbcae,dbcea,dbeac,dbeca,
dcabe,dcaeb,dcbae,dcbea,dceab,dceba,
deabc,deacb,debac,debca,decab,decba

と書き並べてみると、並び方の規則が分かるでしょう。

必ずしも、よりよく分かるとは限りませんが、a=1,b=2,c=3,d=4,e=5 のように、数字に対応させる方法もあります。

No.2659 - 2008/09/12(Fri) 08:42:24

★ (No Subject) / ラディン.ms

x+y+z=0,ax+by+cz=1のとき
(a-b)(a-c)x^2+(b-c)(b-a)y^2+(c-a)(c-b)z^2の値を求めよ。

色々試してみましたが方針がつかめません。
y,zをxで表して求める式に代入すればいいのでしょうか。

よろしくお願いします。

No.2645 - 2008/09/11(Thu) 19:41:24

☆ Re: / ヨッシー

値さえ求まればいいと言うのであれば、
この手の問題は、適当に値を決めても、常に同じ値に
なるようになっているので、
x=0,y=1,z=-1,a=0,b=1,c=0 などと決めると、(与式)＝１になります。

まじめにやると、
　(ax+by+cz)^2＝a^2x^2＋b^2y^2＋c^2z^2＋2abxy＋2bcyz＋2cazx＝1
よって、
　a^2x^2＋b^2y^2＋c^2z^2＝１－2abxy－2bcyz－2cazx　・・・(i)
　(与式)＝a^2x^2＋b^2y^2＋c^2z^2－a(b+c)x^2－b(a+c)y^2－c(a+b)z^2＋bcx^2＋cay^2＋abz^2
(i) を代入して
　(与式)＝１－2abxy－2bcyz－2cazx－a(b+c)x^2－b(a+c)y^2－c(a+b)z^2＋bcx^2＋cay^2＋abz^2
　　＝１－ab(x^2+2xy+y^2)－bc(y^2+2yz+z^2)－ca(z^2+2zx+x^2)＋bcx^2＋cay^2＋abz^2
　　＝１＋ab{z^2－(x+y)^2}＋bc{x^2－(y+z)^2}＋ca{y^2－(z+x)^2}
　　＝１＋ab(z-x-y)(z+x+y)＋bc(x-y-z)(x+y+z)＋ca(y-z-x)(y+z+x)
　　＝１　　（x+y+z＝0　より）

No.2646 - 2008/09/11(Thu) 20:15:18

☆ Re: / ラディン.ms

ありがとうございます。計算が大変そうですが，頑張ってみます。

No.2647 - 2008/09/11(Thu) 20:29:37