ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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★ No.2568について（レスが長くなるため再掲） / Jez-z

キューださんが示してくださった方針で解いていたのですが、計算ミスが発見されたのでまず指摘したいとおもいます。

>>18{X^2+X(Y+Z)+(Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)}+42(Y+Z)=...
は18{X^2+2X(Y+Z)+(Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)}+42(Y+Z)=...
ではないでしょうか？

それと、何度もお願いして申し訳ないのですが、このあとの計算式を大雑把でいいので教えてもらえないでしょうか？
よろしくお願いいたします
（放物線の最小問題に帰着して考えられますよね、自分はその方針で定義域と軸の位置で3通りに場合分けしてやってみました）

No.2642 - 2008/09/10(Wed) 23:12:25

☆ Re: No.2568について（レスが長くなるため再掲） / キューダ

X(Y+Z)の係数は、ご指摘の通り2です。申し訳ありません。

以後は、難しくない問題になっているはずです。

見直してみたのですが、もし陥るとしたら、(Y+Z)^2=(X+1)^2　の扱いだと思います。
「軸の位置で三通り」等というコメントを見ると、Y+Z=|X+1|　等と、変形してしまっ
たということはありませんか？両者は異なります。（後者では、Y+Zは常に非負ですからね）
一般にY+Z=±(X+1)は二つの平面の和集合を表していますが、実際には、交線で
もう一つの平面に切り替わり「折れた平面」です。厳密には、「この領域では、
この平面、こちらの領域では、こちらの平面」のような、扱いをすべきなのでしょうが、
平面の分岐指定など面倒なので、とりあえず、和集合全体　Y+Z=±(X+1)
として扱い、適宜、相応しくない方を捨てるという扱いが無難です。

Y+Z=X+1の場合
18{X^2+2X(Y+Z)+(Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)}+42(Y+Z)
=72X^2+114X+42=72(X+19/24)^2-25/8
-1≦X≦1/3なので、X=-19/24のとき最小値は-25/8　これは、適している。
なぜなら、
X=-19/24,x=6X+7=9/4
　　Y+Z=1+X=1-19/24=5/24， y+z=5/4
　　YZ={(Y+Z)^2-(Y^2+Z^2)}/2={(1+X)^2-(1-X^2)}/2=X^2+X=-95/576, yz=-95/16
　　xy+yz+zx=x(y+z) + yz = -19/24 * (5/4) -95/16= -25/8

Y+Z=-(X+1)の場合
18{X^2+2X(Y+Z)+(Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)}+42(Y+Z)=-42X-42
X=1/3の時最小値-56を取るはずだが、この時
X=1/3,x=6X+7=9,
　　Y+Z=-(1+X)=-4/3,y+z=-8
　　YZ=X^2+X=4/9,yz=16
　　xy+yz+zx=x(y+z) + yz = 9*(-8)+16=-72+16=-48　と上と矛盾する
　　つまり、こちらの平面では無い

しかし、見直してみたのですが、変数変換をすると、面倒なので、
xy+yz+zx=x(y+z)+yz=±x(x-1)+x^2-8x+7=...とした方が、全然楽でしたね。

No.2643 - 2008/09/11(Thu) 03:32:18

☆ Re: No.2568について（レスが長くなるため再掲） / Jez-z

回答ありがとうございます。２つ質問があります。

?@Y+Z=|X+1|はY+Z=±(X+1)と同値ではないですか？したがって(Y+Z)^2=(X+1)^2をY+Z=|X+1|のように変形してもY+Z=±(X+1)のように変形してもさして問題がないように思われるのですが・・・

?A軸の位置で場合分けというのは以下の作業を踏まえてのことです。（どこがおかしいか確認してほしいのですが・・・）
-1≦X≦-(1/3)より
0≦X+1≦4/3
(Y+Z)^2=(X+1)^2より
0≦(Y+Z)^2≦16/9
よって-4/3≦Y+2≦4/3
であるので、-4/3≦-(Y+2)≦4/3

一方、18{X^2+2X(Y+Z)+(Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)}+42(Y+Z)
　　　=18{X+(Y+2)}^2+42(Y+Z)-18
より考えている関数（2次関数）の軸の方程式は
X=-(Y+Z)
したがって
(1)-4/3≦-(Y+Z)<-1
(2)-1≦-(Y+Z)≦1/3
(3)1/3<-(Y+Z)≦4/3
の３つの場合に分けて考えられる。

です、この方針でもとけるでしょうか？キューダさんの答と違ったのですけど…

よろしくお願いします。

No.2652 - 2008/09/12(Fri) 01:04:49

☆ Re: No.2568について（レスが長くなるため再掲） / キューダ

>Y+Z=|X+1|はY+Z=±(X+1)と同値ではないですか？
同値ではありません。三次元だと面倒なので、二次元で考えましょう。
以下のグラフを書いてみて下さい。

y^2=(x+1)^2
y=|x+1|
y=-|x+1|
y=±|x+1|
y=±(x+1)
±y=x+1

三種類のグラフができあがります。
１、４、５、６番目は「Ｘ」の様な形
２番目は、「Ｖ」の様な形（基本グラフのｙ≧0の部分のみ）
３番目は、「Λ」の様な形（基本グラフのｙ≦0の部分のみ）
です。他に、|y|=x+1、-|y|=x+1　なども考えられますが、これらはまた、
別のグラフになります

「18{X+(Y+2)}^2+42(Y+Z)-18」
これは、三つ項からできています。
X=-(Y+2)のとき、第一項は最小になりますが、だから、何が言えるのでしょう？
変数が複数有り、お互いに影響しあっている場合、一変数の二次関数のような
扱いで最大最小などを検討することはできません。

いくつかの変数が、勝手に、しかし、ある条件には従って、変化します。
そのようなものを、同時に扱えないから、他の変数のことを考えなくても良いよ
うに変数を減らすのです。そして、一変数の二次関数に帰着させるのです。
ただし、生き残った変数も、他の変数とのかねあいで、無条件に全域を動け
るわけではありません。それが、一番最初にコメントされていた
1≦x≦9という条件です。

No.2653 - 2008/09/12(Fri) 02:01:33

☆ Re: No.2568について（レスが長くなるため再掲） / Jez-z

1つめ…>>Y+Z=|X+1|はY+Z=±(X+1)と同値ではないですか？
同値ではありません。三次元

変数が３つあるため「同値」な変形ができないというわけですね？では以下は可能ですよね？
(x+1)^2=(y+3)^2
→x+1=±(y+3)

ちなみに「←」の矢印も成り立つといってよいでしょうか？

2つ目・・・多変数であることを忘れていました。一般の2次関数の最大・最小のように考えるのはいけないということですね？

No.2670 - 2008/09/13(Sat) 00:19:30

☆ Re: No.2568について（レスが長くなるため再掲） / キューダ

前回例としてあげたものをグラフにしましたか？　してないから、
> 変数が３つあるため「同値」な変形ができないというわけですね？
のような、的外れなコメントが出てくるのではありませんか？
変数の数は関係ありません。絶対値記号の使用上の注意を示したのです。
変数が三つあると、空間内の平面の式で、「図示」が簡単ではないので、
本質が失われず、図示が簡単な、y^2=(x+1)^2を例に挙げだけです。

(x+1)^2=(y+3)^2
√{(x+1)^2}=√{(y+3)^2}
|x+1|=|y+3|
x+1=±|y+3|
x+1=±1*{±(y+3)}
右辺1の前の「±」は、(x+1)の正負によって、使い分けられるプラマイです。
(y+3)の前の「±」は、(y+3)の正負によって、使い分けられるプラマイです。
x+1が正かつy+3が正など、全部で４通りのプラスマイナスの組み合わせがあります。
平面を四つに分け、それぞれの領域でグラフを書く必要があります。
しかし、結局は　x+1=±(y+3)　のグラフと同じ事が確認できます。
換言すると、「復号任意」として四通りあったものが、
整理の結果、x+1=±(y+3)という、二通りにまとめられたということです。

>　ちなみに「←」の矢印も成り立つといってよいでしょうか？
前回グラフのところで、「１、４、５、６番目は「Ｘ」の様な形」と書きました。
それらは全て同じ形だと書いたのです。

No.2672 - 2008/09/13(Sat) 02:41:09

★ 場合の数 / さくら

こんばんは、数学Aの問題が分からなかったので
教えて頂きたいです。

問：７２、３００　のそれぞれの数について、
正の約数の個数を求めよ。

というものなのですが、積の法則を使って
求めるらしく、その解き方がよく
分からないです。

基本的な問題だとは思いますが、
教えてください。

No.2638 - 2008/09/10(Wed) 21:39:51

☆ Re: 場合の数 / 透

>７２、３００　のそれぞれの数について、
この部分が不明瞭です。問題文をそのまま書くべきです。

No.2639 - 2008/09/10(Wed) 21:45:59

☆ Re: 場合の数 / ヨッシー

私のページの
全国のお父さん向け
　ヨッシーの
　数学テキスト
の、第４回をご覧ください。

No.2640 - 2008/09/10(Wed) 22:45:55

☆ Re: 場合の数 / さくら

分かりました！
ありがとうございます。

No.2641 - 2008/09/10(Wed) 22:55:57

★ 広義積分 / とも

∫[0～∞]1/x･e^{-(x+ 1/x)}dx
の積分の値を求めよ。
という問題なのですが…
留数定理が使えそうかな…と考えましたが結局挫折しました。どなたかおしえてください。
xが分母で、e^{-(x+ 1/x)}が分子に来ています。

No.2637 - 2008/09/10(Wed) 18:08:54

☆ Re: 広義積分 / キューダ

第二種変形ベッセル関数Ｋ_ν(z)　を使って　2Ｋ_0(2)　のようですね。

No.2655 - 2008/09/12(Fri) 06:20:28

★ (No Subject) / kita

こんにちは、はじめて書き込みをさせて頂きます。分からないところがあり質問をさせて頂きました。

内容ですが、燃料タンクの容積を用いた燃料消費量の計算方法についてです。

いま、燃料のタンクの容積が900L、すなわち0.9m^3＝900,000cm^3(cc)があり燃料ゲージが1cm刻みであるとします。このとき、エンジンを数時間アイドル運転を行いエンジン停止後、目盛りが何?p減ったためこれだけの燃料を消費したという計算を行いたいのですが、いまいち、ピントきません。
仮に、上と同じ条件で、タンクの容量が900L、燃料が80,000cm^3入っていたと仮定して、エンジンを2時間アイドルで動かしました。そして、ゲージを見てみると上限より2cmほど減っておりこれを1時間あたりのリットル消費量に直すと・・・

といった感じです。初歩的な質問ではありますがよろしくお願いします。

No.2634 - 2008/09/10(Wed) 14:42:53

☆ Re: / らすかる

燃料ゲージが全体で何センチあるかがわからないと求まりません。

No.2635 - 2008/09/10(Wed) 16:10:44

☆ Re: / ヨッシー

状況がよく分かりません。

燃料ゲージは、燃料の消費量に対して、同じ速さで減るのでしょうか？
自動車の燃料計の多くはそうではありませんね。
（最初のうちはあまり減らなくて、途中からグッと減る）

仮に、どの位置の１ｃｍも、燃料の量は同じだとして、
エンジンを動かして目盛りを読む方法では、たとえば、
　１．タンクを空にして、量の分かっている燃料を入れて目盛りを読み取る
　２．エンジンを動かした後、残った燃料を全部出して、燃料の量を量る
のようにしないと、どれだけ消費したかは分からないと思います。
それよりも、燃料を入れながら、１ｃｍ目盛りが増えるのに
何Ｌ入ったかを見た方が良いと思いますが。

No.2636 - 2008/09/10(Wed) 16:10:46

☆ Re: / kita

返信が遅くなり大変申し訳ありませんでした。

皆さんのアドバイスを元にもう少し考えてみようと思います。ありがとうございました。

No.2671 - 2008/09/13(Sat) 00:25:22

★ 数学Ａ / *Sana*

こんばんは。毎回丁寧な解答を頂き有り難う御座います。また分からないところがあるので宜しくお願いします。

?@黒玉7個と白玉3個を1列に並べるとき、白玉が隣り合わないような並べ方は何通りあるか。

?A1から9までの数字をかいた9枚のカードの中から、5枚のカードを選ぶとき、奇数が2枚となる選び方は何通りあるか。

?B0から9までの数字をかいた10枚のカードがある。この中から、4枚のカードを選ぶとき、最大の数が7であるような選び方は何通りあるか。

No.2629 - 2008/09/10(Wed) 02:43:17

☆ Re: 数学Ａ / TK

(1)黒玉の間の選び方です。

(2)奇数のカードから2枚、偶数のカードから3枚選ぶ場合の数です。

(3)7以下が出る場合の数から6以下が出る場合の数を引く。

No.2631 - 2008/09/10(Wed) 05:31:26

☆ Re: 数学Ａ / TK

(1)
"間"は表現が悪かったです。以下のように□に3つの○を入れる場合の数を考えればよいです。
□●□●□●□●□●□●□●□

No.2632 - 2008/09/10(Wed) 07:19:32

☆ Re: 数学Ａ / ヨッシー

(3)は
７以下の数から４枚を選ぶ場合の数から、
６以下の数から４枚を選ぶ場合の数を引く。
ですね。

また、７をまず選んでおいて、
６以下の数から３枚選ぶ、と考えても良いです。

No.2633 - 2008/09/10(Wed) 08:41:42

★ 不等式 / creampuff

三角形の３辺の長さをa,b,cとし、2s=a+b+cとする。
次の不等式を示せ。

{1/(s-a)}+{1/(s-b)}+{1/(s-c)}≧(9/s)

この問題を教えてください。

No.2628 - 2008/09/10(Wed) 00:19:26

☆ Re: 不等式 / キューダ

x,y,z>0に対し、(x+y+z)/3≧[3]√(xyz)
同様に1/x,1/y,1/zに対し、(1/x+1/y+1/z)/3≧[3]√(1/xyz)
逆数を取ると、3/(1/x+1/y+1/z)≦[3]√(xyz)　（←調和平均と相乗平均の関係式です）

これらから、(x+y+z)/3≧3/(1/x+1/y+1/z)が得られます。
x=1/(s-a),y=1/(s-b),z=1/(s-c)としたものが、求められている式です。

No.2630 - 2008/09/10(Wed) 03:31:55

☆ Re: 不等式 / creampuff

なるほど。
ありがとうございました。

No.2649 - 2008/09/11(Thu) 23:02:29

★ (No Subject) / モモ

1/2 log｜cosx-1/cosx+1｜
＝1/2 log 1-cosx/1+cosx

絶対値がとれると､どうして下の式になるのかがわかりません。解説お願いします。

No.2620 - 2008/09/09(Tue) 18:01:49

☆ Re: / gaku

真数は正でなければならないし，-1≦cos x≦１
であることも一緒に考えるとそうなります。
ただし，cosx=1は今回はだめです。

No.2621 - 2008/09/09(Tue) 18:09:21

☆ Re: / ヨッシー

絶対を外した結果は、必ず正か０です。
　(cosx-1)/(cosx+1)
だと、負になります。-1≦cosx≦1 のため。

分母までひっくり返す必要はありませんが、分子と合わせたものと思います。

No.2622 - 2008/09/09(Tue) 18:17:11

☆ Re: / モモ

-1≦cosx≦１を考えなければいけなかったのですね。
ありがとうございました(^^)/~

No.2623 - 2008/09/09(Tue) 18:50:53

★ (No Subject) / 数Ｃ

2点（3,0）（-3,0）を焦点とし、（4,5）を通る双曲線を求めよ。

c^2=a^2+b^2より、a^2+b^2=9
x^2/a^2-y^2/b^2=1より、25/a^2-16/b^2=1
この式があっているのかこっから先どうするのかわかりません。お願いします。

No.2616 - 2008/09/09(Tue) 17:15:28

☆ Re: / 訂正

（5,4）を通る　でした
すみません。

No.2617 - 2008/09/09(Tue) 17:17:16

☆ Re: / rtz

(25/a²)－(16/b²)＝1にa²b²をかけて
25b²－16a²＝a²b²
としてa²かb²を消せばよいでしょう。

ちなみに結局a²とb²を求めるので、
a²＝A(＞0)、b²＝B(＞0)と置いた方が1次になって考えやすいかもしれません。

No.2618 - 2008/09/09(Tue) 17:48:07

☆ Re: / ヨッシー

要するに、
　a^2+b^2=9　と
　25/a^2-16/b^2=1
の連立方程式を解けばいいのです。A=a^2, B=b^2 とおいて、
A≧0, B≧0 の範囲で解くことにします。
　A=9-B
を、25/A-16/B=1 に代入して
　25/(9-B)-16/B=1
分母を払って、
　25B-16(9-B)=B(9-B)
これを解いて、B=4, A=5 となりますので、
　x^2/5－y^2/4＝1
となります。

No.2619 - 2008/09/09(Tue) 17:55:27

☆ Re: / 数Ｃ

一次式に持ち込むのは思いつかなかったです…
ありがとうございました。

No.2624 - 2008/09/09(Tue) 20:06:34

★ 算数の問題です。 / かなえ

小学生に、答えをもらってないが教えてほしいといわれました。
正直、わかりません…。
教えていただけると嬉しいです
二問ほど失礼します（他はわかったのですが）

ある人が午後２時何分かに家を出ました。
その日の午後６時□分に言えに帰ってきたときに時計を見ると
長身と短針の位置が、家を出たときの長針と短針の位置とちょうどいれかわっていました。
□に入る数字を答えよ。

兄と弟がいます。兄が３歩で行く距離を弟は４歩で行き、
兄が５歩で進む間に弟は６歩進みます。
弟が家を出発して90歩進んだときに、兄が家を出発して弟を追いかけました。
兄は□歩進んだところで弟に追いつきます。
□に入る数字を答えよ。

よろしくお願いします。

No.2609 - 2008/09/09(Tue) 11:07:09

☆ Re: 算数の問題です。 / ヨッシー

前半の詳しい解説は、私のページの「和算目録」の「時計算」の
問題２をご覧ください。

最初の時間を２時○分とします。
２時○分は、長針が６と７の間で、
６時□分は、長針が２と３の間です。
２時○分から３時○分まで、長針が360°回ります。
３時○分から４時○分まで、長針が360°回ります。
４時○分から５時○分まで、長針が360°回ります。
６時○分まで行くと行き過ぎで、長針は６時□分まで回ります。
一方、短針は２時○分に、□分の位置にあったのが、
６時□分に○分の位置まで動くので、
長針と短針を合わせて、360°×４＝1440°回ります。
長針は１分に６°、短針は0.5°動くので、一定時間に動く角度は
　１２：１
です。
1440°のうち短針の動いたのは
　1440°×1/(12+1)＝(1440/13)°
です。これが、２時○分や、６時□分のときの、長針と短針の
角度になります。
６時のとき両者は180°差が付いています。
これを、１分 6－0.5＝5.5 ずつ長針が追い付いていって、
(1440/13)°になるまでの時間が□分です。
(180－1440/13)÷5.5＝1800/143＝12と84/143(分)

長いので、一旦切ります。

No.2610 - 2008/09/09(Tue) 11:48:44

☆ Re: 算数の問題です。 / ヨッシー

>兄が３歩で行く距離を弟は４歩で行き、
>兄が５歩で進む間に弟は６歩進みます。
を、何倍かして兄の歩数をそろえると、
兄が１５歩で行く距離を弟は２０歩で行き、
兄が１５歩で進む間に弟は１８歩進みます。
となるので、兄が１５歩歩く時間に、
兄は、弟の歩幅で２０歩分歩き、弟は１８歩歩きます。
よって、兄と弟の速さの比は１０：９です。

最初に、弟の歩幅で90歩分差が付いていて、これを兄が追いかけます。
追い付くまでに歩いた距離は、図のように１０：９になっているので、
最初の弟の90歩は(1)にあたります。
兄は、弟の歩幅で900歩歩いたことになり、兄の歩幅でいうと
　900×(3/4)＝675(歩)

No.2611 - 2008/09/09(Tue) 12:01:14

☆ Re: 算数の問題です。 / かなえ

迅速かつわかりやすい回答ありがとうございます。
子どもと感動して読ませていただきました。

失礼かとは思うのですが、もう一問助けていただけないでしょうか・・・？

上り、下りともに□分おきに発車している列車がありまた線路沿いの道を歩く人がいます。
この人は上りの列車と12分ごとにすれ違い、下りの列車に15分ごとに追い越されます。
ただし、列車の速さはすべて等しく、また列車の速さと人の歩く速さはそれぞれ一定です。

□に入る数字を答えよ

計算していると、どうも変な答えにしかならないんです。

よろしくお願いします。

No.2612 - 2008/09/09(Tue) 12:10:13

☆ Re: 算数の問題です。 / ヨッシー

図の左のようなダイヤグラムを描きます。
右上がりが上り、右下がりが下り、ゆるく横切るのが人です。
２本の列車と人が同時にすれ違った瞬間があったとして、
その付近を切り取ったのが、真ん中の図です。
△ＡＢＣと△ＥＤＣは相似で、相似比は１２：３＝４；１です。
よって、ＢＣ：ＣＤも４：１で、ＢＣ＋ＣＤ＝ＢＤ＝ＡＢであることから、
　ＡＢ：ＢＣ：ＣＤ＝５：４：１
となり、ＣＤ：ＤＥ＝ＢＣ：ＡＢ＝４：５　です。
点Ｄから、真下に直線を引きその線にＣ、Ｅから垂線ＣＦ、ＥＧを引きます。
△ＣＤＦと△ＥＤＧは相似(上下線の速度が等しいため)なので、
相似比は、４：５です。よって、ＣＦ：ＧＥ＝４：５　となり
ＣＦにあたる部分の時間は３分×４／９＝８０秒＝１分２０秒
求める間隔は、１２分＋ＣＦ＝１３分２０秒　となります。

No.2613 - 2008/09/09(Tue) 13:19:31

☆ Re: 算数の問題です。 / ヨッシー

式で解くとこんな感じです。
すれ違った瞬間は、次の列車は上りの場合も、下りの場合も
人から同じ距離離れています。
それから上りの場合は、列車＋人の速さで近付き
下りは列車－人の速さで近付きます。
出会うまでの時間の比は、速さの逆比なので、
　(列車＋人)：(列車－人)＝１５：１２
となり、和差算より、列車と人の速さの比は
　13.5：1.5＝９：１
となります。
10の速さ(列車＋人)で、12分で出会う距離を、
９の速さ（人が止まっている）で行くと、
　１２×１０÷９＝13と1/3
で、13分20秒　となります。

和差算の所を線分図でやっても出来ます。

No.2614 - 2008/09/09(Tue) 13:35:20

☆ Re: 算数の問題です。 / かなえ

二通りもありがとうございました！！
途中までのプロセスはあっていたみたいで一安心です。

ありがとうございました

No.2615 - 2008/09/09(Tue) 14:17:38

☆ Re: 算数の問題です。 / にょろ

独り言というか愚痴というか…
小学生の時この手の問題が分からなくて父に聞いたら
コレをxとおいて…方程式がこう立つから
コレを解いて云々
と意味不明のことを言われた覚えが…

小学生なので方程式なぞ分かるはずもなく…

以上チラシの裏すいませんでした

No.2625 - 2008/09/09(Tue) 20:12:41

★ 二項定理 / *Sana*

?@(a+b)^4
?A(x+y)^6
?B(x-y)^4
?C(x+2y)^5

予習なんですが、やり方が分からなくて(汗)すみませんが、宜しくお願いします。

No.2606 - 2008/09/09(Tue) 05:53:02

☆ Re: 二項定理 / ヨッシー

一番面倒な(2) で説明します。

最終手段は「ゴリゴリやる」です。
(x+y)²＝x²+2xy+y²
(x+y)³＝(x+y)(x²+2xy+y²)＝x³+3x²y+3xy²+y³
　・・・
といった具合です。

ただし、二項定理とあるので、それを使うと、
(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)
このように、ｘとｙの入ったカッコが６つあり、
その中から、ｘかｙをどちらか１個ずつ取り、
計６個の文字を取って、掛けるとします。
出来る項は
x⁶、x⁵y、x⁴y²、x³y³、x²y⁴、xy⁵、y⁶
の７種類です。
x⁶ を作るには、それぞれのカッコからｘを取る１通りなので、
x⁶の係数は１です。
x⁵y を作るには、左から順に
xxxxxy,xxxxyx,xxxyxx,xxyxxx,xyxxxx,yxxxxx
の６通りなので、x⁵y の係数は６です。
x⁴y² を作るには、左から順に
xxxxyy,xxxyxy,xxyxxy,xyxxxy,yxxxxy,
xxxyyx,xxyxyx,xyxxyx,yxxxyx,xxyyxx,
xyxyxx,yxxyxx,xyyxxx,yxyxxx,yyxxxx
の15通りなので、x⁴y²の係数は15です。
このように考えると、
　xⁿy^6-n
を作るには、６つのカッコからｎ個ｘを取る組み合わせと
考えられるので、係数は 6Ｃn と書けます。
よって、
(x+y)⁶＝x⁶＋6x⁵y＋15x⁴y²＋20x³y³＋15x²y⁴＋6xy⁵＋y⁶
となります。

No.2607 - 2008/09/09(Tue) 06:08:21

★ 指数関数 / おだ

?@関数Ｙ=４＾х－２＾（х＋１）はх=□のとき、最小値□をとる。
?A関数ｆ（х）=４＾х‐６・２＾х＋３はх=log2□のとき、最小値□をとる。

の解き方が解りません。是非教えて下さい。

No.2600 - 2008/09/08(Mon) 22:44:27

☆ Re: 指数関数 / rtz

両者ともt＝2^x(＞0)とおけば、
普通の2次関数の最大最小問題に帰着します。

No.2601 - 2008/09/08(Mon) 22:47:11

★ 常用対数 / ゆ

log_{10}(3)=0.4771を用いてlog_{10}(3)^60を計算すると△△△である、したがって3^60は△けたの数である。
また3^-20は少数第△位に0でない数がはじめて現れる。

△のところを求めたいのですが…
よろしくお願いします。

No.2598 - 2008/09/08(Mon) 22:02:49

☆ Re: 常用対数 / ヨッシー

前半は公式
　log₁₀ａ^b＝ｂlog₁₀ａ
を使い、△△△が出ます。
たとえば、
　log₁₀Ａ＝3.12 などのように、整数部が３の数だとすると、
　log₁₀1000＝3
　log₁₀10000＝4
より
　log₁₀1000≦log₁₀Ａ＜log₁₀10000
より、Ａは４桁の数となります。上の場合はどうでしょう？

同様に
　log₁₀３^-20＝-9.541
ですが、たとえば、
　log₁₀Ｂ＝-3.12
のような場合、
　log₁₀0.001＝-3
　log₁₀0.0001＝-4
より、
　log₁₀0.0001＜log₁₀Ｂ≦log₁₀0.001
より、Ｂは小数第３位に初めて０でない数字が現れます。
さて、-9.541 の場合は？

No.2603 - 2008/09/08(Mon) 23:09:19

★ (No Subject) / かず

図のように半径１０メートルの円が４つ接している花壇がある。４つの円の中心が正方形になるように配置されていたとすると、青く塗られた部分の面積を簡単に求められるという。それは何平方メートルですか。

教えてください。これも子供から出された問題なのですがわからないのでお願いします。

No.2597 - 2008/09/08(Mon) 21:43:21

☆ Re: / rtz

添付図を参照。

No.2599 - 2008/09/08(Mon) 22:08:50

★ (No Subject) / かず

図のような円形の広場の中央に石像がある。石像部を除いたドーナツ型の広場に１本だけ線を引いて全く同じ形の２つに切り分けられる。どこに線を引けばよいか答えなさい。

何度もすみません。教えてください。

No.2596 - 2008/09/08(Mon) 21:40:33

☆ Re: / ヨッシー

ドーナツの穴の半径をａ，外周の半径をｂとします。
　同じ形＆同じ大きさとは限らない＝相似
と考えると、
半径√(ab) の所に同心円を引いて切り取ればよい。

No.2604 - 2008/09/08(Mon) 23:25:39

☆ Re: / rtz

これ合同って意味ではないのですよね…？

No.2605 - 2008/09/09(Tue) 00:16:40

☆ Re: / ヨッシー

ある種ネタバレなのですが、某ゲームソフトに同じ問題が
ありましたので、間違いないでしょう。

No.2608 - 2008/09/09(Tue) 08:40:21

☆ Re: / かず

ゲームソフトなんてあるんですか？どんなソフトか知りたいです。ちなみに、ルートａｂはどの線になるのかがよくわからないので詳しく教えてくれますか。

No.2717 - 2008/09/14(Sun) 22:43:39

☆ Re: / ヨッシー

ゲームは Nintendo DS の
　「ヨッシー教授と天使の箱」
によく似たタイトルのゲームです。これのナゾ060がそれです。

上の図は、外径４，内径１のドーナツの場合で、
　√ab＝√(4×1)＝２
より、半径２のところに円を描いて、円にそって切り離し、
　外径４，内径２　のドーナツと、
　外径２，内径１　のドーナツとに分けています。
小さい方を２倍に拡大すれば大きい方になり、ピッタリ重なる
（相似である）ことを表しています。

切るところだけを示すと↓こうです。

No.2719 - 2008/09/14(Sun) 23:19:43

★ (No Subject) / かず

子供から出された問題なのですがわからないので教えてください。

ジョニー｢僕の持っているりんごを君に１個あげるよ。これで２人の持っているりんごの数が同じになるよね。｣
トーマス｢いや、君はいつも宿題を教えてくれるから、お礼にぼくのりんごを２個あげる。こうすれば君はぼくの３倍のりんごをもってくることになるよ。｣
ジョニーとトーマスはそれぞれ何個ずつりんごをもっていたのだろうか。

すみませんがゲームの問題らしいのですが・・・おしえていただけませんか。

No.2594 - 2008/09/08(Mon) 21:34:44

☆ Re: / rtz

ジョニーの言葉から、
ジョニーがトーマスより2個多く林檎を持っていることが分かります。

よってトーマスがジョニーに2個林檎を渡すと、差は6個になります。
この時点でジョニーはトーマスの3倍の林檎を持っており、
トーマスの2倍が、2人の差の6個ですから
トーマスは3個でジョニーが9個です。

あとは渡した林檎を戻せば元の状態に戻ります。

No.2595 - 2008/09/08(Mon) 21:39:47

★ 方程式 / creampuff

実数x,yの方程式をグラフを利用して解け。

｜x-y｜=1+x

｜x+y｜=1+y

見当がつかないので教えてください。

No.2585 - 2008/09/08(Mon) 02:57:18

☆ Re: 方程式 / 与一

ふたつの方程式のグラフを書いて、その交点の座標が方程式の解になります。

まず、第一式から求めましょう。
ｘ-ｙ≧０とｘ-ｙ＜０で場合分けなので、ｙ＝ｘが境界線
となります。

ｘ≧ｙのとき
ｙ＝-１
ｘ＜ｙのとき
ｙ＝２ｘ＋１

よって、グラフを書くと、『∠』のような形になります。

第２式も同様の方法で書きます。

No.2586 - 2008/09/08(Mon) 03:13:29

☆ Re: 方程式 / にょろ

補足というか何というか…
グラフはこうなります。

見ても良いけど丸写しとかは禁止ですよもちろん

No.2593 - 2008/09/08(Mon) 20:04:52

☆ Re: 方程式 / creampuff

与一さん、にょろさん、ご丁寧にありがとうございました。

No.2627 - 2008/09/10(Wed) 00:05:23

★ 同値条件 / コブクロ

方程式?@、?Aがあるとします。
?@+?Aをつくりそれを?Bとします。
ここで、?A＝?B-?@と表されるから
?@かつ?A⇔?@かつ?B

?A＝?B-?@と表されるから、どうしてこのような同値変形ができるのですか。同値変形について、複雑になればなるほど何をやっているのかがわからなくなることが多々あります。解説よろしくお願いします。

No.2581 - 2008/09/08(Mon) 01:29:18

☆ Re: 同値条件 / rtz

丸囲み文字は環境によって文字化けしますので、
使うのは避けた方がよいでしょう。

＞(2)＝(3)-(1)と表されるから、
＞どうしてこのような同値変形ができるのですか。
の意味がやや不明ですが、

この場合なら
「(1)かつ(2)」⇒「(1)かつ(3)」
「(1)かつ(2)」<=「(1)かつ(3)」
の両者が成り立てばいいわけです。
(ちゃんと成り立っていますね)

凡そ解答の際には必要条件(⇒)で進めていくわけですが、
ここを同値変形(⇔)にする場合は、
必ず十分(<=)も確認していく必要があります。

No.2591 - 2008/09/08(Mon) 18:29:19

★ 高1【数学A】 / ☆京☆

下の図でA,B,C,Dの境目がはっきるするように、赤、青、黄、白の4色の絵の具で塗り分けるとき。

(1)すべての部分の色が異なる場合は何通りあるか。

(2)同じ色を2回使ってもよいが、隣り合う部分は異なる色とする場合は何通りあるか。

解説と解答を教えて貰えると助かります。宜しく御願いします。

No.2576 - 2008/09/07(Sun) 23:13:29

☆ Re: 高1【数学A】 / にょろ

(1)全部違うんだから
4P4=4*3*2*1=24通り

(2)隣り合っていないのが
A-D,B-Dだけだから
まずC,Dの色は
4P2=12通り
A,Dが同じ色としてBは2通りだから
(A,Cと違う色)
12*2=24
同様にA,Bが同じ場合でも22通り
∴24+24+24=72通り
ですかね
数え上げ系の問題はよく間違えるので…

No.2577 - 2008/09/07(Sun) 23:18:31

☆ Re: 高1【数学A】 / らすかる

(2)別解
Aの色が4通り
Bの色はAに使っていない3通り
Cの色はAにもBにも使っていない2通り
Dの色はCに使っていない3通り
なので、4×3×2×3=72通り

No.2578 - 2008/09/07(Sun) 23:39:13

★ 数学Ａ / *Sana*

?@7人を2つの部屋A,Bに入れる方法は何通りか。ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。

また、7人を区別しない2つの部屋に入れる方法は何通りか。ただし、それぞれの部屋には少なくとも1人は入れるものとする。

?A異なる6個の玉をA,B,Cの3箱に入れる方法は何通りか。ただし、空き箱はあってよい。

宜しくお願いします。

No.2573 - 2008/09/07(Sun) 22:30:17

☆ Re: 数学Ａ / にょろ

(1)
一人をA,Bに分ける分け方は二通り
∴2^7通り
区別しないのだからダブり分2!を割って
2^6また一人も入らない部屋がある分け方は一部屋に全員が入るので1通り
∴2^6-1

No.2574 - 2008/09/07(Sun) 23:00:57

☆ Re: 数学Ａ / にょろ

続き
(2)(1)と同様に考えて
一つの玉を3つのうちどれを選ぶのだから3^6通り
で

玉とか区別しますよねコレ

No.2575 - 2008/09/07(Sun) 23:03:12

★ もう一問 / ぐるる

明日までに答えが知りたいのですが、よろしいでしょうか。
円C：x^2+y^2+6x-4y+8=0と直線L：x-3y+14=0があり、円Cと直線Lは2点A,Bで交わっている。ただし、Aのx座標はBのx座標より小さい。
（１）2点A,Bの座標を求めよ。
（２）点Aにおける円Cの接線の方程式を求めよ。
（３）x,yが2つの不等式
　　　　x^2+y^2+6x-4y+8≦0　　x-3y+14≦0
　　　を満たすとき、-mx+yの最大値は6である。定数mの値を求めよ。

No.2570 - 2008/09/07(Sun) 20:37:35

☆ Re: もう一問 / ヨッシー

私のページに解答を載せました。

No.2571 - 2008/09/07(Sun) 21:39:55

☆ Re: もう一問 / ぐるる

ありがとうございます。

No.2626 - 2008/09/09(Tue) 20:40:48

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