こんにちは。失礼します。よろしくお願いします。
【質問】
nを0以上の整数とするとき、2nπ+π/3≦t≦2nπ+2π/3において、
cost+st-1=0
を満たすtが、(1)ただ一つ存在する、(2)四つ存在するような正の定数sのとりうる値の範囲をそれぞれ求めなさい。
f(t)=cost+st-1とおいて、f(t)のグラフを描こうとしました。f'(t)=-sint+sなので、|s|＜1、|s|＝1、|s|＞1に分けて考えようとしましたが、全く上手くいきませんでした。
この問題の解き方を教えてください。よろしくお願いします。
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No.2483 - 2008/09/03(Wed) 11:11:45
| ☆ Re: 方程式 / ヨッシー  | | | cost+st-1=0 を変形して
1-cosｔ＝st なので、ｙ＝1-cosｔ と y=st の交点について考えます。
図の太線と、原点を通る直線 y=st が、何点で交わるかを調べます。
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No.2484 - 2008/09/03(Wed) 11:37:24 |
| ☆ Re: 方程式 / あや 大学受験生 | | | ヨッシー様へ
はじめまして。早速のお返事ありがとうございました。グラフをつけていただいたおかげで、考え方はよくわかりました。ｙ＝1-cosｔとy=stに分けるところとか、すごーいと思います。
考え方はわかったのですが、解き方でまだ質問があります。まず(1)についてですが、交点が一個になるのはグラフを見ると、(π/3,1/2)を通るときから(2π/3,3/2)を通るときまでの間になりそうです。これを解くと、3/2π≦s≦9/4πになりました。でもたとえば、(π/3,1/2)を通るときなど、隣のお山とも交点を持ちそうですが、答えを書くときはちゃんと(π/3,1/2)以外の交点はないことを書かなければいけないでしょうか。
それから、(π/3,1/2)を通るときより傾きを小さくしても、一個目のお山とは交点はないですが、二個目のお山とは交点を持ちそうな感じがします(実際ヨッシー様のグラフではそうなっているような…？)。ということは、傾きを小さくしていくと、三個目、四個目のお山で一個の交点を持つかもしれないってことですよね(グラフ出を見る限りそんなことはなさそうですが)。これはグラフより明らかに3/2π≦s≦9/4π以外にないなんて結論付けてしまってよいのでしょうか。
こちらの疑問についても教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。
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No.2485 - 2008/09/03(Wed) 15:21:51 |
| ☆ Re: 方程式 / ヨッシー | | | それらはちゃんと書かないといけないでしょう。
(2π/3, 3/2) を通るときの傾き9/4π が上限ですね。
(π/3, 1/2) を通るときの傾き 3/2π 。このとき、
(π/3, 1/2) を３倍に延ばした(π, 3/2) は、まだ，次の山の
太線の右上(8π/3, 3/2) に届いていないので、
3/2π≦s≦9/4π において、交点は１つです。
次に、(8π/3, 3/2) を通るときの傾き 9/16π。
このとき、この点を 1/3 倍した (8π/9, 1/2) は、
１つ目の山の太線の左下(π/3, 1/2) より右にあるので、交点は１個です。
一方、３つ目の山の太線の右上(14π/3, 3/2) を通るとき、
傾きは 9/28π ですが、この点を 1/3 倍した、(14π/9, 1/2) は、
２つ目の山の太線の左下(7π/3, 1/2) より左にあるので、
２つ目の山の太線と交わります。よって、
9/28π＜s≦9/16π
の範囲で、交点は１つです。
式で書くとややこしいですが、表にまとめるとスッキリすると思います。
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No.2486 - 2008/09/03(Wed) 16:38:46 |
| ☆ Re: 方程式 / 豆 | | | 計算自体は楽になりませんが、いくつ解があるかについては
少し考え方が楽になるかもしれませんので、少し異なるグラフで・・
t＞0 なので、s=(1-cost)/t として、
y= (1-cosx)/xのグラフと、y=sのグラフの交点の個数を考える。
（高さだけ見ればよいことになる）
前者のグラフは極小点がx=2nπの点であり、極大点は
1-cosxのそれ(（2n-1）π)より左にずれ、高さはxが増えるにつれ
低くなることが分かる （グラフが書ければよいのですが・・・）
なお、x方向の極大点のずれはxが増加するに従い小さくなってくる。
y'=(xsinx+cosx-1)/x^2より、
x=2π/3 のとき、y'=π/√3-3/2＞0より
π/3≦x≦2π/3は単調増加の領域である。
以降2πの周期に関しても単調増加の領域である。
従って、一つ目の山での値域は
(1/2)/(π/3)≦y≦(3/2)/(2π/3) つまり 3/(2π)≦y≦9/(4π)
二つ目での山の地域は
(1/2)/(7π/3)≦y≦(3/2)/(8π/3)
といった具合で値の範囲が特定できます。 あとは大小関係の比較ですね・・・
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No.2487 - 2008/09/03(Wed) 17:31:57 |
| ☆ Re: 方程式 / あや 大学受験生 | | | ヨッシー様へ
お返事ありがとうございます。グラフを見ればなんとなくわかるのに、ちゃんとした答えを書くのが大変です。深みにはまっていくような感じのいやな問題です。
次に〜からの部分ですが、ここは要するに二つ目のお山で交点一個になる場合は、二つ目のお山での右端(上限)から三つ目のお山での右端(下限)を通るまでの間ってことですよね。ここら辺からちょと難しいです。
三つ目のお山以降で交点が一つになることはないことをどうやって書けばいいのかわかりません。表にまとめるとスッキリするってことですが、どういう表を描けばいいの思いつかないです。ヨッシー様のおっしゃる表ってどんなかんじでしょうか。
豆様へ
お返事ありがとうございます。一度に複数の解き方はキツイので、また後ほどゆっくり読ませていただきます。すみません。
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No.2495 - 2008/09/04(Thu) 17:08:34 |
| ☆ Re: 方程式 / 豆 | | | あやさんへ
そうですね。ひとつずつ着実にマスターしてください。
ヨッシーさん
今後のために、可能であれば山が低くなっていく方のグラフも
アップしていただけたら幸甚。
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No.2496 - 2008/09/04(Thu) 17:17:42 |
| ☆ Re: 方程式 / ヨッシー | | | まずは、豆さんのグラフは
こうだと思うんですが、どうですか？
あと、これを、
2nπ＋π/3≦ｔ≦2nπ＋2π/3
で、切らないといけないですね。
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No.2497 - 2008/09/04(Thu) 17:23:00 |
| ☆ Re: 方程式 / 豆 | | | No.2506 - 2008/09/05(Fri) 07:27:12 |
| ☆ Re: 方程式 / あや 大学受験生 | | | ヨッシー様へ
無事解決しました。とても丁寧におしえていただき、ありがとうございました。
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No.2544 - 2008/09/06(Sat) 19:45:15 |
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