ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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★ 大学への数学2の問題 / しその葉

平面上の帯状の領域M={(x，y)||y|≦1}内を点Pが次のように運動する。
(イ)Mの内部{(x，y)||y|＜1}においてPは直進する。
(ロ)Mの境界上においてはPは等しい角度で反射する。
原点から傾きa(a＞0)で右方向に出発した点Pが、線分y=x-2(3/2≦x≦5/2)を通過しないようなaの値の範囲を求めよ。

反射していく直線を式であらわしていったところ、5本目で複雑すぎて挫折しました。何かうまいやり方はないでしょうか。お願いします。

No.3482 - 2008/10/27(Mon) 23:04:17

☆ Re: 大学への数学2の問題 / rtz

他板ですが、同一問題かと。
http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=pickup&no=5204

No.3483 - 2008/10/28(Tue) 00:15:31

☆ Re: 大学への数学2の問題 / ToDa

折り返して考えるのはどうですか。こんな感じで。

No.3484 - 2008/10/28(Tue) 00:47:51

★ (No Subject) / 匿名

1から9までの整数が1つずつ書かれたカードが9枚ある。
この中から7枚のカードを無作為に取り出して得られる
7つの整数のうち最大のものをXとする。
Xの期待値を求めよ。

このときの最大とは7,8,9のことですか?
よくわからないのでよろしくお願いします。

No.3474 - 2008/10/27(Mon) 19:50:03

☆ Re: / rtz

そうです、
選んできたカードに書かれた中で最大の数字です。

No.3476 - 2008/10/27(Mon) 20:07:49

☆ Re: / 匿名

わかりました!
ありがとうございます(`ω∩)

No.3479 - 2008/10/27(Mon) 21:53:52

★ 訂正・三角関数です。 / kohime

(１)π≦θ≦２πとする。sinθ+cosθ=-１/２のとき、sinθcosθ=アイ/ウである。
また、sinθ-cosθ=-√エ/オ、sin^θ/cosθ-cos^θ/sinθ=カ√キ/クである。

(２)０≦x≦２πとする。
不等式cos２x＜√２cos(x+π/４)-cosxを満たすxの値の範囲をもとめよう。

a=sinxとおくと、与えられた不等式はケa^-a-コ＞0となる。
左辺の因数分解を利用してxの値の範囲を求めると
サ/シπ＜x＜スセ/ソπである。

求めるものはカタカナの場所です。(１)は自力で解けました！
(２)をよろしくお願いします。

No.3473 - 2008/10/27(Mon) 19:38:37

☆ Re: 訂正・三角関数です。 / rtz

方針に書いてあるとおりsinxに統一します。
cos2xは2倍角を使ってsinxで表します。
cos{x＋(π/4)}は加法定理でばらせばよいでしょう。

No.3475 - 2008/10/27(Mon) 20:05:21

☆ Re: 訂正・三角関数です。 / kohime

すいませんが、加法定理のばらし方を教えて下さい。

No.3477 - 2008/10/27(Mon) 20:34:53

☆ Re: 訂正・三角関数です。 / rtz

あれ、もう学習されていると思いますが…。
cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsinyというのはもうご存知ですよね？
これを使いましょうということです。

No.3478 - 2008/10/27(Mon) 21:42:02

★ (No Subject) / 三十余歳

　2次関数y=x^2-ax-bの頂点の座標(3,3)のときa,bの値を求めよ。
　残念ながら解答がありません。
　教えて下さい。
　宜しくお願いします。

No.3472 - 2008/10/27(Mon) 19:36:43

☆ Re: / ヨッシー

こちらが、いくらか参考になります。

ｙ＝ｘ²－ａｘ－ｂ　が、
ｙ＝（ｘ－α)²＋β の形になれば、(α，β) が頂点です。
展開してみると、
　ｙ＝ｘ²－２αｘ＋α²＋β
これを、ｙ＝ｘ²－ａｘ－ｂと比較して、
　－２α＝－ａ，α²＋β＝－ｂ
なので、α＝ａ／２，β＝－ｂ－α²＝－ｂ－ａ²／４
となり、頂点は、(ａ／２，－ｂ－ａ²／４）となります。

ｘ²－ａｘ－ｂ＝ｘ²－ａｘ＋ａ²/４－ａ²/４－ｂ
　＝(ｘ－ａ/２)²－ａ²/４－ｂ
と変形する方法もあります。
(ｘ－ａ/２)² が出来ることを予測して、
ａ²/４を足して、その分引いておくのです。

No.3489 - 2008/10/28(Tue) 08:53:00

☆ Re: / 三十余歳

　ということは、a=6,b=-12で良いのでしょうか。？

No.3501 - 2008/10/28(Tue) 22:32:07

☆ Re: / ヨッシー

そうですね、正解です。
実際、その時に、
　y=x^2-6x+12＝(x-3)²+3
になります。

No.3503 - 2008/10/28(Tue) 23:07:41

☆ Re: / 三十余歳

　ヨッシーさん、いつもわかりやすい解説ありがとうございます。感謝しています。

No.3531 - 2008/10/30(Thu) 21:26:48

★ (No Subject) / たくや

mが実数全体を動くとき、xy平面において
(x-2m)^2+(y+m)^2=m^2 の表す図形が通過する領域の範囲を図示せよ。
教えて下さい

No.3468 - 2008/10/27(Mon) 18:20:32

☆ Re: / ヨッシー

展開してｍの２次式
→ｍが実数解を持つ、ｘ、ｙの関係式

という手順です。

No.3470 - 2008/10/27(Mon) 18:28:04

★ (No Subject) / かなみ高3

いつもお世話になってます。
早速ですが質問です。

xy平面上の2点A(0,-1),B(t,1)から等距離にある点P(x,y)について、次の問いに答えよ。
(1)yをxとtを用いて表せ。
(2)tが実数全体を動くとき、点Pが存在する領域を表す不等式を求め、その領域を図示せよ。
(3)tがt≧0で動くとき、点Pが存在する領域を表す不等式を求め、その領域を図示せよ。

点Pが存在する領域を表す不等式を
求める所まででもいいので御願いします。

No.3467 - 2008/10/27(Mon) 18:16:34

☆ Re: / ヨッシー

(1)
ｔ＝０のときは、ｙ＝０
ｔ≠０のときは、
　ＡＢの中点をＭ(t/2, 0) とすると、ＭＰは、ＡＢと垂直で、
ＡＢの傾きは2/t なので、ＭＰの傾きは-t/2
これより、ＭＰの式を求めます。
これは、ｔ＝０のときに、ｙ＝０になるので、両者合わせて、
１つの式で表せます。

(1) の式をｔの２次式と見たとき、
(2) ｔが実数解を持つ
(3) ｔが少なくとも１つの０以上の解を持つ
となる、ｘ、ｙを、主に判別式などで表します。

No.3469 - 2008/10/27(Mon) 18:26:30

☆ Re: (No Subject) / かなみ

二次関数のｸﾞﾗﾌになったのですが、それでいいのでしょうか??

No.3490 - 2008/10/28(Tue) 11:52:29

☆ Re: / ヨッシー

(1)の答えは、
　ｙ＝(-t/2)(x-t/2)＝-xt/2＋t²/4
です。これを、t の２次式と見ると、
　t²－2xt－4y＝０
です。

(2)ｔが実数となるには、判別式をとって、
　D/4＝ｘ²＋4y≧0
よって、
　y≧-x²/4

(3)
(2)の範囲から、解が両方負になる条件
　2x＜0, かつ -4y＞0 を除きます。
　↑これは、解と係数の関係より、
　α+β＜０かつ αβ＞０
　を使っています。

No.3507 - 2008/10/29(Wed) 11:10:49

★ (No Subject) / 床

aをa≦-2を満たす定数とするときy=(3^x+a)^2+(3^-x+a)^2の最小値が7となるようなaの値を求めよ。
がわかりません
教えて下さい。

No.3465 - 2008/10/27(Mon) 17:49:24

☆ Re: / rtz

ヒント
y＝(3^x＋a)²＋(3^-x＋a)²
＝(3^x＋3^-x)²＋2a(3^x＋3^-x)＋2a²－2
＝(3^x＋3^-x＋a)²＋a²－2

No.3466 - 2008/10/27(Mon) 18:12:07

★ (No Subject) / あき

こんにちは(^ ^)/
いつもありがとうございます、まえの質問で一つお聞きしたいことがあったので書き込みしましたのでお願いします。随分下に下がっていたので…(^_^;)

あと
似たような問題で
http://n.upup.be/?8Lebpqiz5y
の後者の方のはこで
http://o.upup.be/?pHd71Gqi0r
のようにといたのですが、答えが合いませんでした、
答えは2なのですが…

どうしてできないのでしょう？方針が悪いのでしょうか？

ご指導いただきたいです。お願いします！

No.3461 - 2008/10/27(Mon) 12:14:20

☆ Re: / ヨッシー

ｘとｙの関係を出そうとしているように見えますが、
要求されているのは、ｘ’とｙ’の関係式です。

No.3462 - 2008/10/27(Mon) 14:52:55

☆ Re: / ヨッシー

また、答えは 2 ではないと思います。
問題が↓これで正しければ。

No.3463 - 2008/10/27(Mon) 14:55:29

☆ Re: (No Subject) / あき

答えが間違っていました－1/2です！

なぜ自分の方法が間違っているかはわかりました、ありがとうございます、逆行列もたないのでパラメータてしかとけないのですね！
でもパラメータでやってみたらこんどは3になってしまいました…
http://k.upup.be/?cfv9FczMVy
これです。どこが間違えてるのかご指導いただきたいです。

No.3486 - 2008/10/28(Tue) 01:38:52

☆ Re: / ヨッシー

平面上の点(ｘ、ｙ）が点（Ｘ、Ｙ）に移るとします。
　Ｘ＝６ｘ－２ｙ
　Ｙ＝－３ｘ＋ｙ
です。これより直ちに、
　Ｘ＝－２(－３ｘ＋ｙ)＝－２Ｙ
が得られますので、平面上のあらゆる点の移った先の点は、
　ｘ＝－２ｙ　←→　ｙ＝(-1/2)ｘ
上にあります。

これだけです。

パラメータの方法の続きを書くなら、
　（６ｋ＋３）ｘ＋（－２ｋ－１）ｙ＝０
これが、ｘ、ｙの恒等式になるには、
　６ｋ＋３＝０　かつ　－２ｋ－１＝０
これより、ｋ＝－１／２
と、書けなくもないですが、ややこしいです。

ちなみに、ｙ＝３ｘに至るくだりは、前半の答えですね。

No.3493 - 2008/10/28(Tue) 12:31:53

☆ Re: (No Subject) / あき

すみませんどこがどこを説明してるのかわからなくなってきてしまいました…
私は後者の答えとしてY=3xが出て来てしまったのですが…

No.3494 - 2008/10/28(Tue) 14:37:49

☆ Re: / ヨッシー

（６ｋ＋３）ｘ＋（－２ｋ－１）ｙ＝０　・・・(1)
までは特に問題ありません。ここで、（ｘ，ｙ）は、変換前の点、
ｋは、変換後の点の、原点から見た傾きです。

ｘ，ｙに関わらず、つまりどんな点でも、ｋがある値であれば、
(1) が成り立つ、と考えて、
　６ｋ＋３＝０、－２ｋ－１＝０
としたのが、後半の答えです。
「もとの点がどんな点でも、変換後の点はｙ＝(-1/2)ｘ上にある」

一方、(1)を展開して、
　ｋ(6x-2y)＋(3x-y)＝０　・・・(1)’
として、ｋの恒等式として、
　６ｘ－２ｙ＝０、３ｘ－ｙ＝０
としたのが、ｙ＝３ｘを求めるくだりです。
これは、よく見ると、
（ｘ、ｙ）を変換した後の点
　(6x-2y, -3x+y)
を、(0, 0) と置いたときの式です。その意味は、
「移動後の点が原点になるには、移動前の点(ｘ, ｙ)に、どんな関係が
あればいいでしょう？」
ということで、前半の問題になります。

No.3495 - 2008/10/28(Tue) 15:52:38

☆ Re: (No Subject) / あき

なるほどです…
ヨッシーさんの文を何回も読んでわかりました(>_<)
なんだか一次変換はパターンだと思っていたのにパターンにあてはまらなかったりあてはめられなかったりで苦戦中です…(>_<)
どうもありがとうございました！

No.3499 - 2008/10/28(Tue) 17:32:13

★ 質問です / 拓也

関数f(x)=√x二乗-2x＋2について
(1)微分係数f'(1)を求めよ。
(2)lim(x→1)f'(x)/x-1を求めよ。
(3)xが1に十分近いときの近似式f'(x)≒a＋b(x-1)の係数a,b
を求めよ。
(4)(3)の結果を用いて,xが1に十分近いときの近似式
　 f(x)≒A＋B(x-1)＋C(x-1)の二乗の係数A,B,Cを求めよ。
この問題の解説をお願いします!!

No.3454 - 2008/10/26(Sun) 23:57:35

☆ Re: 質問です / rtz

・累乗(冪乗)の表記は通常" ^ "を用います。
また今回は推測が付きますが√のかかる範囲が不明です。きちんと括弧を補ってください。
・どこまでできたのか書いてください。
・あと基本的な考え方はテイラー展開による近似ですので、
http://www.tohtech.ac.jp/~comms/nakagawa/taylorexp/taylor1.htm
などを参照するといいかもしれません。

No.3457 - 2008/10/27(Mon) 03:51:27

★ 高1 / ＊Sana＊

図1のような12個のマスをもつ図形があり、上から1行目、2行目、3行目、4行目と呼ぶことにする。この図形の4個のマスを選んで○印をつける。

(1)○印のつけ方は全部で何通りあるか。

(2)○印がつかない行が少なくとも1つはあるような○印のつけ方は全部で何通りあるか。

(3)○印のついたマスの横隣のマスには○印をつけないとき、○印のつけ方は全部で何通りあるか。たとえば、図２は適するが、図３は適さない。

一度に沢山すみません。進研模試の過去問なのですが、来週模試があるので解答と解説をお願いできますでしょうか？

宜しくお願いします。

No.3451 - 2008/10/26(Sun) 23:09:27

☆ Re: 高1 / ＊Sana＊

追加の画像です。

No.3452 - 2008/10/26(Sun) 23:10:19

☆ Re: 高1 / rtz

(1)
12個から4個選ぶ場合の数は。

(2)
全体から、「全ての行に○がある」を引きます。

(3)
ある行についてのみ見ると、
[1つ入れる]…(左のみ、中央のみ、右のみ)
[2つ入れる]…(左右のみ)
の4パターンしかありません。

よって[2つ入れる×2]か[2つ入れる＋1つ入れる×2]か[1つ入れる×4]のどれか。
最後に関しては(2)で出してあるので残り2つを考えます。

No.3456 - 2008/10/27(Mon) 03:43:12

★ (No Subject) / 1年

2つの放物線y=x^2とy=ax^2+bx+cは,二点(-1,1),(2,4)で交わっていて,点(2,4)におけるそれぞれの放物線の接線のなす角はπ/4である。このときa,b,cの値を求めよ
がわかりません
どなたか教えて頂けないでしょうか？

No.3449 - 2008/10/26(Sun) 23:00:43

☆ Re: / rtz

通る2点からb,cをaで表します。
(2,4)における接線の傾きをそれぞれ出しておき、
tanの加法定理でπ/4を処理すればよいでしょう。

No.3455 - 2008/10/27(Mon) 03:33:52

★ 数検２級の問題です / Kay（高１女子）

添付した問題ですが、いろいろ試したのですが分かりません。
よろしくお願いします。

No.3442 - 2008/10/26(Sun) 20:25:57

☆ Re: 数検２級の問題です / X

ヒントだけ。

(1)
題意から、問題の四面体は１辺の長さが10cmの正四面体
になっています。

(2)
問題の平行６面体は(1)の四面体を６個組み合わせて
作ることができます。
従って求める体積は(1)の結果の６倍です。

No.3447 - 2008/10/26(Sun) 22:09:03

☆ Re: 数検２級の問題です / Kay（高１女子）

ありがとうございました

No.3610 - 2008/11/03(Mon) 15:15:43

★ 三角関数です。 / kohime

0≦x≦２xとする。
不等式cos2x＜√2cos(x+1/4)-cosxを満たすxの値の範囲をもとめよう。

θ=sinxとおくと、与えられた不等式はアa^-a-イ＞0となる。
左辺の因数分解を利用してxの値の範囲を求めると
ウ/エx＜x＜オカ/キxである。

求めるものはカタカナの場所です。解説よろしくお願いします。

No.3441 - 2008/10/26(Sun) 20:02:22

☆ Re: 三角関数です。 / X

問題文は正確に掲載しましょう。
タイプミスはありませんか？。

No.3448 - 2008/10/26(Sun) 22:11:05

☆ Re: 三角関数です。 / kohime

すみません。
あまり見えなくて
だいぶタイプミスをしてたみたいです。。

もう一度新しいスレッドに書き込むのでよければ解説をお願いいたします。

No.3471 - 2008/10/27(Mon) 18:55:16

★ 大学数学：代数学 / N&M

大学の数学科に通う者です。
代数学の問題を自分なりに解いてみたのですが、腑に落ちない点が有りますので質問させてください。

問題：乗法群Ｒ^×と加法群Ｒは同型でないことを示せ。

自分なりの回答↓
写像ｆ：Ｒ^×→Ｒとして、自然対数を取れば、
Ｆ(Ａ×Ｂ)
＝logＡＢ
＝logＡ+logＢ
＝Ｆ(Ａ)+Ｆ(Ｂ)
＝Ｆ(Ａ)×'Ｆ(Ｂ) （Ａ，Ｂ∈Ｒ^×）
となり、ｆは準同型写像。
また、ｇ(x)＝exp(x)はｆの逆写像なので、全単射。
従って、Ｒ^×とＲは同型。

･･･と、題意に適さない解答を導いてしまいます。
これは問題のミスなのでしょうか？　それとも自分が見落としている点が有るのでしょうか？

良かったらアドバイスお願いいたします。

No.3439 - 2008/10/26(Sun) 19:13:43

☆ Re: 大学数学：代数学 / サボテン

ｇ(x)＝exp(x)はｆの逆写像なので、全単射。

この部分が間違っています。exp(x)はR→R^×への
全単射ではありません。

証明としては、RとR^×が同型であるとします。
この時同型写像fが存在し、a,b∈Rに対し、

f(a+b)=f(a)f(b)
f(0)=1
f(-a)=1/f(a)
を満たします。

仮定より、f(a)=-1なるa∈Rが存在します。
f(2a)=f(a)^2=1
となりますが、2a≠0より単射の条件に反します。

よって矛盾です。

No.3443 - 2008/10/26(Sun) 20:46:54

☆ Re: 大学数学：代数学 / N&M

＞サボテン様
ご返答有難う御座います。
具体的に考えなければ定義と性質から矛盾が証明できるのですね（汗）
明朗なご解答有難う御座いました。　すぐに理解することが出来ました。

No.3481 - 2008/10/27(Mon) 22:14:15

★ 高一、二次関数 / ＵＡ

放物線、y = x^2 - 4x + 3　を、次の方向に平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式を求めよ。
?@y軸方向　　答え：y = x^2 - 4x
?Ax軸方向　　答え：y = x^2 - 2x , y = x^2a + 2x
解説宜しくお願いします。

No.3438 - 2008/10/26(Sun) 16:58:30

☆ Re: 高一、二次関数 / ヨッシー

y = x^2 - 4x + 3 を、
ｙ軸方向にａ移動した式は
　(y-a) = x^2 - 4x + 3
ｘ軸方向にｂ移動した式は
　y = (x-b)^2 - 4(x-b) + 3
と書けます。これらが(0,0) を通るようにａやｂを決めます。

No.3458 - 2008/10/27(Mon) 09:27:13

★ (No Subject) / とくめい

割合の計算で質問ですが。ある取り組み前は4ヶ月間で59,052Lの水を使っていたのを改善よって15,288Lとなりました。すなわち、削減量は43,764Lとなりますがこのときの削減量を%で表すと、比べる量/元にする量＝割合でおおよそ72%・・という回答でよろしいのでしょうか？

よろしくおねがいします。

No.3433 - 2008/10/26(Sun) 14:50:30

☆ Re: / ヨッシー

改善前の４ヶ月と、改善後の４ヶ月の比較ということであれば、
それで良いです。

ただし、43764÷59052 なら、72% にはなりません。

No.3435 - 2008/10/26(Sun) 15:19:22

☆ Re: / とくめい

アドバイスありがとうございます。正確には(43764/59052)×100=74.1%ということで良いのでしょうか？

No.3436 - 2008/10/26(Sun) 15:51:08

☆ Re: / ヨッシー

そうですね。
ただし、正確には、
　(43764/59052)×100%＝74.1%
です。または
　(43764/59052)×100=74.1(%)
です。下の方は、簡便的な書き方で、正式ではありません。

No.3459 - 2008/10/27(Mon) 09:29:37

★ (No Subject) / 匿名

いつもお世話になっています。

Aの袋には赤玉5個、白玉2個、Bの袋には赤玉3個、白玉2個が入っている。Aの袋から玉を1個取り出して、Bの袋に入れた後、よくかき混ぜてBの袋から玉を1個取り出すとき、それが白玉である確率を求めよ。

この問題はAから取り出す玉が赤の場合と白の場合で分けて考えるのでしょうか?
解き方がよくわかりません(´･ω･｀)
教えて頂きたいので宜しくお願いします!

No.3424 - 2008/10/25(Sat) 21:20:19

☆ Re: / ヨッシー

>赤の場合と白の場合で分けて考える
です。

念のため、全部調べると、
　Ａから赤を取り出す確率５／７
　　このとき、Ｂは、赤４白２になっているので、
　　　白を取り出す確率１／３
　　　赤を取り出す確率２／３
　Ａから白を取り出す確率２／７
　　このとき、Ｂは、赤３白３になっているので、
　　　白を取り出す確率１／２
　　　赤を取り出す確率１／２
以上より、
Ａから赤を取り出して、Ｂから白を取り出す確率
　５／７　×　１／３　＝　５／２１
Ａから白を取り出して、Ｂから白を取り出す確率
　２／７　×　１／２　＝　１／７
Ａから赤を取り出して、Ｂから赤を取り出す確率
　５／７　×　２／３　＝　１０／２１
Ａから白を取り出して、Ｂから赤を取り出す確率
　２／７　×　１／２　＝　１／７
で合計１になります。
Ｂから白を取り出す確率は、
　5/21＋1/7＝8/21

No.3425 - 2008/10/25(Sat) 22:12:46

☆ Re: / DANDY　U

次のようなものも在りでしょう。
[別解]
Ａから取り出した玉が白玉である期待値は 2/7 です。
すると
Ｂから１つ取り出すとき、６個の中の白玉の個数の期待値は(2＋2/7)個となり
求める確率は (2＋2/7)/６＝8/21　となります。

No.3431 - 2008/10/26(Sun) 08:31:51

☆ Re: / 匿名

お二人とも、丁寧なご説明ありがとうございます。
お陰で理解できました!
時間をあけてもう1度解きなおしてみます。
本当にありがとうございました(^ω^)

No.3432 - 2008/10/26(Sun) 12:24:35

★ (No Subject) / すずほ

AB=5,BC=7,CA=3の△ABCがある。∠Aの二等分線が△ABCの外接円と交わる点をD,直線ADと直線BCの交点をEとする。このときEDは？
がわかりません。
どなたか教えて下さい。

No.3421 - 2008/10/25(Sat) 18:34:14

☆ Re: / ヨッシー

角の二等分線の定理より、
　ＢＥ：ＥＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝５：３
よって、
　ＢＥ＝35/8、ＥＣ＝21/8
また、こちらの性質より
　ＡＥ＝15/8
方べきの定理より
　ＡＥ・ＥＤ＝ＢＥ・ＥＣ
よって、
　ＥＤ＝49/8

No.3422 - 2008/10/25(Sat) 19:10:29

☆ Re: (No Subject) / すずほ

わかりやすい解答ありがとうございます。

No.3427 - 2008/10/25(Sat) 23:53:01

★ 数学的帰納法 / はづき

この式

1/6k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2

が何故次の式にもっていけるのかがわかりません。
=
1/6(k+1)(2k^2+7k+6)

わかる方よろしくお願いします。

No.3419 - 2008/10/25(Sat) 18:18:21

☆ Re: 数学的帰納法 / ヨッシー

(k+1) が共通にあるので、それでくくっただけです。

(1/6)k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2
　＝(k+1){(1/6)k(2k+1)＋(k+1)}
　＝(1/6)(k+1){2k^2+k＋6(k+1)}
　＝(1/6)(k+1)(2k^2+7k＋6)

No.3420 - 2008/10/25(Sat) 18:26:15

☆ Re: 数学的帰納法 / はづき

ありがとうございます!
助かりました。

No.3423 - 2008/10/25(Sat) 20:35:03

★ 場合の数 / ナルト

小５年生です。
かく乱順列というらしいのですが、考え方がわかりません。
書き出して解きましたが、これ以上は大変です。
何か規則があるのかとずっと考えています。

１から６までの番号をつけた６個のボールを１から６までの番号をつけた６つの箱に１つずつ入れるとき、ボールと箱の番号が異なる入れ方は何通りありますか。
また、同じように、１から７のボール、１から７の箱では何通りありますか。

１から５までの場合(４４通り）は、書き出して求めました。
よろしくお願いします。

No.3406 - 2008/10/25(Sat) 09:01:17

☆ Re: 場合の数 / DANDY　U

６人を A,B,C,D,E,F とします。すると条件を満たす入れ方には次の４パターンがあります。
(1) 例えば [A→B→D→F→E→C→A] のように、ボールの行き先が６つの間で循環していく場合
(2) [A→B→D→A][C→F→E→C]のように、３つずつの間で循環する場合
(3) [A→B→A][C→D→F→E→C]のように、２つ４つの間で循環する場合
(4) [A→C→A][B→D→B][E→F→E]のように、２つずつ３つに分かれて循環する場合

(1)の場合・・・5*4*3*2*1＝120（通り）
(2)の場合・・・グループの分け方は10通りで、グループ内での入れ替え方は２通りずつだから、10*2*2＝40（通り）
(3)の場合・・・グループの分け方は15通りで、グループ内での入れ替え方は１通りと６通りだから、15*1*6＝90（通り）
(4)の場合・グループの分け方は15通りで、グループ内での入れ替え方は１通りずつだから、15*1*1*1＝15（通り）

よって、合計は　120+40+90+15＝265（通り）となります。

小５とあれば、どこまで理解できるか分からないのですが、とりあえず回答します。

※ちなみに組み合わせの数の 6Ｃ3 などはご存知なのでしょうか？
※７つの場合は、1854通りとなります。

No.3408 - 2008/10/25(Sat) 10:21:47

☆ Re: 場合の数 / ナルト

ありがとうございます。
6C3　などはまだ習っていません。
書き出しで、何とか解きました。
すると、規則らしいものが見つかりました。
でも、どうしてそのようになるのかという根拠があやふやです。もう少し、時間をかけて考えます。
　
4つの場合が9通り、5つの場合が44通りから、
5×(9＋44)＝265、6×(44＋265)＝1854　のようになることを見つけたのですが、なぜなのかはっきりとわからないのです。よろしくお願いします。

No.3410 - 2008/10/25(Sat) 12:48:57

☆ Re: 場合の数 / らすかる

6つの場合
6番の箱に注目します。
6番の箱に1番のボールが入っていて1番の箱に6番のボールが入っている場合
→2番、3番、4番、5番が攪乱順列になっていればよいので9通り
6番の箱に2番のボールが入っていて2番の箱に6番のボールが入っている場合
→1番、3番、4番、5番が攪乱順列になっていればよいので9通り
6番の箱に3番、4番、5番の場合も同様なので、このような場合は5×9通り
上記以外の場合は、例えば
6番の箱に1番のボール、1番の箱に2番のボール、2番の箱に6番のボール
のように3つ以上で循環します。
このような場合、6番を抜いて
1→2→6→1 ならば 1→2→1
1→4→6→3→1 ならば 1→4→3→1
のようにすると、1～5の5個の攪乱順列になります。
つまり1～5の5個の攪乱順列のどこかに6を挿入した形になっているわけですが、
6を挿入する箇所は「1の次」「2の次」「3の次」「4の次」「5の次」の
5箇所ありますので、5×44通りとなります。
よって全部で 5×9+5×44=5×(9+44) 通りです。

7つ以上の場合も同じことが言えますね。

No.3411 - 2008/10/25(Sat) 13:47:39

☆ Re: 場合の数 / ナルト

ありがとうございました。
正直に言うと、まだよく理解できないのですが、じっくりと考えて、わかるようになりたいと思います。
5年生なので、難しい解法や用語などわからないことがところどころにあって、問題を解くのにも時間がかかってしまいます。それが、今、一番くやしいというか、歯がゆいです。

これからも、わからないことがあったときは、よろしくお願いします。

No.3413 - 2008/10/25(Sat) 14:48:30

☆ Re: 場合の数 / らすかる

上の説明はわかりにくかったような気がしますので、同じことですが
別の表現でもう一度書いてみます。

6つの場合
まず、5つの場合のパターンのどこかに6を挿入すれば6つのパターンが作れます。
例えば 1→3→5→1　2→4→2 ならば
1の次に6を入れると 1→6→3→5→1　2→4→2
2の次に6を入れると 1→3→5→1　2→6→4→2
3の次に6を入れると 1→3→6→5→1　2→4→2
4の次に6を入れると 1→3→5→1　2→4→6→2
5の次に6を入れると 1→3→5→6→1　2→4→2
5つのパターンは44通りで6の入れ方が5通りありますので、
このようにして作ったパターンは44×5通りあります。

上記のようにして作れない6つのパターンは
1→2→4→5→1　3→6→3
のようなパターンです。これは6を削除すると
1→2→4→5→1　3
となってしまい、5つのパターンになりません。
このようなパターンは6とペアになる数字が5通りで、残りの4個が
4つのパターン9通りとなりますので、9×5通りです。

よって5×(9+44)通りとなります。

No.3414 - 2008/10/25(Sat) 15:56:31

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