ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 2次関数が全く解りません / 数学苦手

定義域a≦x≦a＋2（aは定数）のとき、関数f(x)=x^2-2x+3の最小値mを求めよという問題です。分かる方がいらっしゃいましたらご指導よろしくお願いします

No.3114 - 2008/10/09(Thu) 08:55:11

☆ Re: 2次関数が全く解りません / ヨッシー

こちらをまず、ご覧ください。

手順としては
y=x^2-2x+3 のグラフを描く
a=-2 つまり -2≦ｘ≦0 のとき
a=-1 つまり -1≦ｘ≦1 のとき
a=0 つまり 0≦ｘ≦2 のとき
a=1 つまり 1≦ｘ≦3 のとき
a=2 つまり 2≦ｘ≦4 のとき
それぞれについて、グラフのどの位置で最小になるかを調べます。

f(a) が最小になるとき、f(1) が最小になるとき、f(a+2) が
最小になるときに分かれると思いますので、
それらが、a の値でいうと、どの範囲に当てはまるかをまとめて
答えとします。

答えの一部は、
ａ＞１のとき f(a)＝a^2-2a+3 が最小となるので、m=a^2-2a+3
となります。
ａ＜－１、－１≦ａ≦１の場合は、自分で調べてみてください。

No.3115 - 2008/10/09(Thu) 09:42:34

★ 立体図形の体積 / 黒うさぎ

質問
4点A(-π,0),B(π,0),C(π,π^2),D(-π,π^2)を頂点とする長方形上に放物線P:y=x^2(-π≦x≦π)が描かれている。この長方形ABCDを半径1、高さπ^2の直円柱Eの側面に巻きつける。ただし、辺ABはEの底面Fの周に巻きつくものとする。底面Fに平行な平面HとEの側面上の放物線Pとの交点をQ、Rとするとき、Hの変化に伴い線分QRはある曲面を作り、直円柱Eを2つの部分に分ける。このとき、それぞれの体積を求めなさい。

体積の問題なのに分けられる立体の形がうまく図にできなくてどういう形をしているのかがわかりません。この問題の解き方を教えてもらえないでしょうか。お願いします。

No.3113 - 2008/10/09(Thu) 08:10:50

☆ Re: 立体図形の体積 / ヨッシー

円筒の底面の中心を原点、底面を含む面をｘｙ座標、高さ方向をｚ軸とします。
また、ｘｙ平面を、極座標表現することにします。
もとの放物線　ｙ＝ｘ² において、
ｘの範囲が－π≦ｘ≦π なので、円筒に巻き付けると、
ｘがθ、ｒは常に１、ｙはｚに相当するので、もとの放物線上の点(ｘ，ｘ²)は、
(cosｘ, sinｘ, ｘ²) に相当します。

ある高さｚ(0≦ｚ≦π²)における点Ｑ、Ｒの座標は、
(cos√z, sin√z, ｚ), (cos√z, －sin√z, ｚ) になります。

半径１の円を直線ｘ＝cos√z で切るとき、(1,0,π²) を含む立体の体積を求めます。
0≦ｚ≦π²/4 のとき、
　半径１、中心角2√z の扇形から、２辺が１で、挟む角が2√z の二等辺三角形を引いたものが
　断面の面積となります。その面積は、
　　√z－(1/2)sin(2√z)
π²/4≦ｚ≦π² のとき、
　半径１、中心角2√z の扇形に、２辺が１で、挟む角が(2π－2√z) の二等辺三角形を足したものが
　断面の面積となります。その面積は、
　　√z＋(1/2)sin(2π－2√z)＝√z－(1/2)sin(2√z)
となり、ｚの範囲にかかわらず、断面積は√z－(1/2)sin(2√z) となります。
これを、0≦ｚ≦π² の範囲で積分して、
　Ｖ＝∫_0～π²{√z－(1/2)sin(2√z)}dz
ｔ＝√ｚ＝ｚ^1/2 とおくと、
　dt/dz＝1/2√z
より、dz＝2ｔdt で、0≦ｚ≦π² は、0≦ｔ≦π に相当するので、
　Ｖ＝∫_0～π2t{t－(1/2)sin(2t)}dt＝∫_0～π{2t²－ｔsin(2t)}dt
　Ｖ₁＝∫_0～π2t²dt＝[(2/3)t³]_0～π＝2π³/3
　Ｖ₂＝－∫_0～πｔsin(2t)dt＝∫_0～πｔ{(1/2)cos(2t)}’dt
　　＝[(t/2)cos(2t)]_0～π－∫_0～π(1/2)cos(2t)dt＝π/2－[(1/4)sin(2t)]_0～π
　　＝π/2
よって、求める体積Ｖは、
　Ｖ＝Ｖ₁＋Ｖ₂＝2π³/3＋π/2
もう一方の体積は、円柱の体積が π³ なので、
　π³－Ｖ＝π³/3－π/2

No.3119 - 2008/10/09(Thu) 11:43:47

★ お助けください / Jez-z

「nを自然数とする。
Sn=2^n+3^n+5が6の倍数である⇔(nは偶数）」・・・（※）
（※）が成り立つとき、Snは12の倍数ではないことが言えるか？

実験してみると、n=2,4,…のときは6(=2・3）の倍数になることはあっても、確かに12(=2^2・3）の倍数にはなりそうにないことはわかりました。

ご指導、お願いします。

No.3102 - 2008/10/08(Wed) 23:09:32

☆ Re: お助けください / rtz

2^2m＋3^2m＋5
＝4^m＋9^m＋5
＝4^m＋(8＋1)^m＋(4＋1)
＝4^m＋(8^m＋_mC₁・8^m-1＋_mC₂・8^m-2＋…＋_mC_m-1・8＋1)＋(4＋1)
＝4^m＋8^m＋_mC₁・8^m-1＋_mC₂・8^m-2＋…＋_mC_m-1・8＋4＋2
＝4・(4^m-1＋2・8^m-1＋2・_mC₁・8^m-2＋2・_mC₂・8^m-3＋…＋_mC_m-1・2＋1)＋2

まぁここまで式で通さなくても、
3^2mが4で割って1余ることを数学的帰納法で示すのでも構いません。

No.3104 - 2008/10/08(Wed) 23:18:33

☆ Re: お助けください / Jez-z

上の考え方は理解できました。帰納法はたとえば以下のようにすればよいのでしょうか？

[1]n=1のとき
3^2=9より4で割ったあまりは1

[2]n=kのとl+き
3^(2k)=4l+1(lは整数）と仮定する

3^(2k+1)=4(9l+2)+1

よりn=k+1のときも成り立つ

したがって与式はまとめて
4×（整数）+2と書けるのでSnは素因数2は高々1個しかもたない。これはすなわち、6の倍数となり得るが12の倍数とはなり得ないことを示している
（Q,E,D)

No.3106 - 2008/10/09(Thu) 00:39:32

☆ Re: お助けください / rtz

はい、問題ありません。
6の倍数が示してあるなら、
「4の倍数ではないので12の倍数にはなりえない」
くらいでもいいと思います。

No.3108 - 2008/10/09(Thu) 00:48:29

★ 解析・多変数関数・大学1年 / NABU

初めて質問させて頂きます<(_ _)>

A.以下の条件を満たす関数f(x,y)を示せ
(i)f(x,0)=f(0,y)=0
(ii)f(x,y)の直線x+y=k(kは定数)による断面はx=yの
点を頂点とする放物線である
(iii)f(x,x)=x^3
(ex)f(x,y)=xyは(i)(ii)を満たすが(iii)を満たさない
------------------------------------------------
はじめはf(x,y)=x^2*yやf(x,y)=x*y^2かと思ったんですが
(ii)の内容を満たすことを示すまでに至りません。
x+y=kの平面と答えになるf(x,y)の交点がでれば・・とは
思ったんですがうまくいきません。この問題はこの後に
-----------------------------------------------
B.条件(iii)をf(x,x)=x^n(n≧2)に一般化するとどうなるか
C.Bでn=1,n=0の場合はどうなるか、関数の定義域、
連続性なども含めて考察せよ
-----------------------------------------------
と続いてきます。
　f(x,y)とx+y=kの交点はどうやってだせるんでしょうか、
もしくはそこから示すこと自体間違ってるんでしょうか？

お助け願います～

No.3095 - 2008/10/08(Wed) 21:25:57

☆ Re: 解析・多変数関数・大学1年 / 黄桃

問題文が x+y や x-y(x=y)に関する条件ばかり述べているので「基底」をx,y ではなく x+y, x-y とすると簡単になります。
大学入試で時々X=x+y, Y=x-y と置換すると楽になる問題がありますが、それと同じです。変数変換しないでもこれを意識して変形すればできますが、計算が煩雑です。

f(x,y)=g(X,Y) として、fに関する条件をgに関する条件に書き換えます。
(i)f(x,0)=g(x,x)=0, f(0,y)=g(y,-y)=0
(ii)直線y=x は直線Y=0 に対応するから、g(k,Y)=0 は直線Y=0 上に頂点をもつ放物線(aY^2+bという形)
(iii) f(x,x)=g(2x,0)=x^3ですから、g(X,0)=(X/2)^3

(ii)より、g(X,Y)をYについての関数として整理すれば、
g(X,Y)=a(X)Y^2+b(X)
とかける、ということがポイントです。
これがわかれば、あとは簡単でしょう。
答はf(x,y)=xy(x+y)/2です。

B,Cは、b(X)=X^n/2^n の時にa(X)がどうなるか、ということです。Bは同様に解け、CはX^2で簡単に割れないので X=0 での考察が必要になる、ということです。ちなみに答はn=1なら定義域はR^2全体だが、X=0上で連続にならない、n=0の場合はX=0で定義されない、です(x,yに戻すのはご自分で）。

＃蛇足ですが、積分とか微分とか面倒なことが絡むときはX=(1/√2)(x+y) Y=(1/√2)(x-y)と、ヤコビアンが1になるような変換が安全です。

元々のご質問にも簡単に触れておきます。
>　f(x,y)とx+y=kの交点はどうやってだせるんでしょうか、
例えばy=k-x して、f(x,y)に代入した f(x,k-x)ですね。これがy=x すなわちx=k/2 で頂点をとる放物線ですから、ax(k-x)+bと書ける、ということになります。

No.3111 - 2008/10/09(Thu) 07:39:05

☆ Re: 解析・多変数関数・大学1年 / NABU

黄桃さん早い回答ありがとうございます、助かります。
変換して条件を置き換きかえるということはわかりました。
ところどころわからないところがあるので質問させて
ください。
・g(k,Y)=0というのはXY平面を表しているのでしょうか
・＞(ii)より、g(X,Y)をYについての関数として整理すれば、
＞g(X,Y)=a(X)Y^2+b(X)
Xの関数a(X),b(X)がどこから導かれるかどうしても
わかりません(_ _；)

なんだか私が考えてる全体像自体があっているのか
不安になったので変なグラフですが描いてみました。
赤枠が断面のつもりなんですが・・
よろしくお願いします。

No.3117 - 2008/10/09(Thu) 10:21:50

☆ Re: 解析・多変数関数・大学1年 / 黄桃

>g(k,Y)=0というのはXY平面を表しているのでしょうか
=0 は余計でした。z=g(k,Y)とするのが正しいです。

>＞g(X,Y)=a(X)Y^2+b(X)
>Xの関数a(X),b(X)がどこから導かれるかどうしても
>わかりません(_ _；)

Xを固定すると、Yだけの関数になります。それがY=0を対称軸にもつ放物線になっているのですから、aY^2+b という形をしているのはいいでしょうか？
ここでXを動かせば、どこがかわるでしょう？a,bがXの値に応じて変わりますね？X,Yは独立変数ですから、Yを固定してXを動かすこともできますから、Xが動いてもYの部分は変化しません。変化するのはa,bの部分だけです。つまりa,bはXだけの関数です。

No.3136 - 2008/10/10(Fri) 00:17:56

☆ Re: 解析・多変数関数・大学1年 / NABU

Xを動かすとa,bがXの値に応じて変わるというところで
理解できました、ありがとうございます！
2問目3問目も無事解くことができました。
返信どうもありがとうございました<(_ _)>

No.3146 - 2008/10/10(Fri) 13:16:39

★ 数?V / はる

曲線y=√（4－x）をCとする。2≦t≦3を満たすtに対して，曲線C上の点（t，√（4－t））と（0,0）および（t，0）の3つの点を頂点とする三角形の面積をS(t)とおく。

(1)tが2≦t≦3の範囲を動くとき，関数S(t)の最大値，最小値およびそのときのtの値を求めよ。

(2)区間［2，3］をn等分して，その端点と分点を小さいほうから順にto=2,t1,t2････，tn-1,tn-3とする。
このとき極限値lim(n→∞)1／n?煤ik=1からnまで）S(ｔk)を求めよ。

茨城大の過去問です。教えていただけると助かります。
宜しくお願いします。

No.3093 - 2008/10/08(Wed) 20:33:08

☆ Re: 数?V / X

(1)
題意から
S(t)=(1/2)t√(4-t) (A)
これの2≦t≦3における増減表を描きましょう。

(2)
t[k]=t[0]+k/n=2+k/n
ですので(A)を使うと
lim[n→∞](1/n)?納k=1～n]S(t[k])
=lim[n→∞](1/n)?納k=1～n](1/2)(2+k/n)√(2-k/n)
=…(区分求積法を使うと…。)

No.3100 - 2008/10/08(Wed) 23:00:53

★ ベクトル / あき

困っています。宜しくお願いします(>_<)
http://h.pic.to/125hzr
の問題の3番で私は
http://i.pic.to/1164ug
こうしたのですが、これで面積比とあわせて計算すると答えが合いませんでした。比の表記の仕方が間違えているのでしょうか…
どなたかどこが間違えているか教えてくださいませんか？
お願い致します(>_<)

No.3087 - 2008/10/08(Wed) 19:18:51

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

◆大変申し訳ございませんが、ただいまの時間はPCでのアクセスを制限しております。
下記リンクより携帯端末にURLを送信してご利用ください。

だそうです。
日本国内の方、よろしくお願いします。

No.3089 - 2008/10/08(Wed) 19:25:09

☆ Re: ベクトル / rtz

UserAgentで判断してるのではないようですので、
時間が合わないと見れないようです。

No.3090 - 2008/10/08(Wed) 19:40:30

☆ Re: ベクトル / あき

すみません、みれないということでしょうか？？

No.3099 - 2008/10/08(Wed) 22:54:59

☆ Re: ベクトル / rtz

そのようです。
今現在も見れない状態です。
アップローダを変えてもらった方がいいかもしれませんね。

No.3101 - 2008/10/08(Wed) 23:08:01

☆ Re: ベクトル / あき

ごめんなさいアップローだとはなんでしょうか？？

No.3107 - 2008/10/09(Thu) 00:45:20

☆ Re: ベクトル / rtz

詳細は検索してもらえばいいですが、
要はファイルなどをネット上に公開して誰でも見れるようにするサービスです。
あきさんが利用したのもそのうちの1つです。

No.3109 - 2008/10/09(Thu) 00:57:28

☆ Re: ベクトル / あき

教えて下さってありがとうございます！
ピクト以外に方法はあるのでしょうか？

No.3110 - 2008/10/09(Thu) 01:54:57

☆ Re: ベクトル / あき

言われた通り変えてみました
http://e-tomo.tv/f/1295785/

http://e-tomo.tv/f/1295795/
です。みれますでしょうか？
お願い致します。

No.3116 - 2008/10/09(Thu) 10:00:47

☆ Re: ベクトル / あき

何度もすみません、一日たってもう一度考えたら自己解決しました(^^)
お騒がせしましたありがとうございます(^^)

No.3118 - 2008/10/09(Thu) 11:21:46

★ 二項定理 / 桜　高校2

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

ＫnＣk=ｎ(n-1)Ｃ(k-1)
(ｎ≧2、Ｋ＝１、２・・・,ｎ)が成り立つことを証明せよ。

大きい文字は普通の文字で
小さい文字はＣにくっついている小さいものです。

nＣr=ｎ!/{ｒ!(ｎ－ｒ）!}を利用するように教えられたのですがなぜこのようになるのかわかりません。
そして問題ができません

教えてください
よろしくお願いいたします

No.3085 - 2008/10/08(Wed) 18:35:41

☆ Re: 二項定理 / ヨッシー

(左辺)＝k・n!/{k!(n-k)!}＝n!/{(k-1)!(n-k)!}
(右辺)＝n・(n-1)!/{(k-1)!(n-k)!＝n!/{(k-1)!(n-k)!}
で、等しくなります。

ｋ！÷ｋ＝(k-1)!
(n-1)!×ｎ＝ｎ!
が、使いこなせるかどうかですね。

No.3088 - 2008/10/08(Wed) 19:23:01

☆ Re: 二項定理 / 桜　高校2

ありがとうございます。
数学が苦手でさっぱり分かりませんでした。。

なぜ
(左辺)＝k・n!/{k!(n-k)!}＝n!/{(k-1)!(n-k)!}
(右辺)＝n・(n-1)!/{(k-1)!(n-k)!＝n!/{(k-1)!(n-k)!}

になるのでしょうか。

No.3091 - 2008/10/08(Wed) 20:16:29

☆ Re: 二項定理 / 魑魅魍魎

横から失礼致します。
nＣr=ｎ!/{ｒ!(ｎ－ｒ）!}
を利用します。
左辺=knＣk
＝k×nＣk
＝k×n!/{k!(n－k)!} rをkにした。

k!=1×2×3×････×(k-1)×k

なので

＝k×n!/{1×2×3×････×(k-1)×k×(n－k)!}

kで約分して

＝n!/{1×2×3×････×(k-1)×(n-k)!}

1×2×3×････×(k-1)=(k-1)!
より

＝n!/{(k-1)!(n-k)!}

右辺=ｎ(n-1)Ｃ(k-1)
ｎ×(n-1)Ｃ(k-1)
＝ｎ×(n-1)!/{(k-1)!(n-1-k+1）!} nをn-1、rをk-1にした
＝n!/{(k-1)!(n-k)!}

No.3092 - 2008/10/08(Wed) 20:28:47

☆ Re: 二項定理 / 桜　高校2

ありがとうございます。

数学が苦手でわからなすぎてなきたいくらいです；；

nＣr=ｎ!/{ｒ!(ｎ－ｒ）!}になるのでしょうか。
これは暗記でしょうか

No.3094 - 2008/10/08(Wed) 20:58:43

☆ Re: 二項定理 / 魑魅魍魎

覚えていたほうがいいと思います

nCr=nPr/r!
=n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)/r(r-1)(r-2)･･･2×1
=n!/{r!(n-r)!}

No.3096 - 2008/10/08(Wed) 21:39:57

☆ Re: 二項定理 / 桜　高校2

ありがとうごあいます。

n!/{r!(n-r)!}でn-rになっているのはどうしてでしょうか

すみませんよろしくおねがいいたします

No.3098 - 2008/10/08(Wed) 22:54:51

☆ Re: 二項定理 / 魑魅魍魎

n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)/r(r-1)(r-2)･･･2×1
=n!/{r!(n-r)!}
のところでしょうか？
(違うところでしたらまた質問して下さい)

n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)/r(r-1)(r-2)･･･2×1
=n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)/r!

分子分母に(n-r)!を掛けます
n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)×(n-r)!/{r!(n-r)!}

(n-r)!=(n-r)(n-r-1)(n-r-2)･･･3×2×1

なので分子だけみてみると

n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)×(n-r)!
=n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)×(n-r)(n-r-1)(n-r-2)･･･3×2×1
=n!
となるので

n(n-1)(n-2)･･･(n-r+1)/r(r-1)(r-2)･･･2×1
=n!/{r!(n-r)!}
が得られます。

No.3105 - 2008/10/08(Wed) 23:18:54

☆ Re: 二項定理 / 桜　高校2

ありがとうございました。
無事解決いたしました＾＾

No.3122 - 2008/10/09(Thu) 15:22:22

★ 式を教えてください。 / ふうか

小学校４年生です。１２０ｃｍのひもを長方形にして長い辺が、みじかい辺の３ばいの長さがあります。それぞれの長さを答えなさい。なのですが、答えはぐうぜん、わかってしまいました。１５センチと４５センチでした。でも、式がわかりません。教えてください。おねがいします。

No.3078 - 2008/10/08(Wed) 14:28:37

☆ Re: 式を教えてください。 / tobira

●使用する基礎事項
?@長方形の周囲･････････････(縦＋横)×２
?A長い辺が、短い辺の３倍･･･長い辺は、短い辺の３つ分

「１２０ｃｍのひもを長方形にする」
120÷2＝60(cm)　･･･　(長い辺)＋(短い辺)

「長い辺が、短い辺の３倍」
･･･(長い辺)＝(短い辺)×３　なので
(長い辺)＋(短い辺)＝(短い辺)×３＋(短い辺)＝60(cm)
★つまり、短い辺４つ分が　60(cm)
60÷(3＋1)＝15(cm)　･･･　(１つ分)
15×1＝15(cm)　･･･　(短い辺)
15×3＝45(cm)　･･･　(長い辺)

No.3079 - 2008/10/08(Wed) 15:29:53

☆ Re: 式を教えてください。 / ヨッシー

図のように、短い辺と同じ長さのぼうが、８本あると、
問題にあるような長方形が作れます。

じっさいは、１２０ｃｍのひもなので、
短い辺は
　１２０÷８＝１５(cm)
長い辺は
　１５×３＝４５(cm)
となります。

No.3084 - 2008/10/08(Wed) 17:32:32

★ 極座標 / あき

r=2sinθ
を直交座標に治せ

これは両辺にrをかけてといていいのでしょうか？それともかけてといてはだめなんでしょうか？

またx=4 の式における極座標はどうあらわせばよいのでしょうか？

どうかお願いします！

No.3076 - 2008/10/08(Wed) 13:43:12

☆ Re: 極座標 / ヨッシー

極座標と、直交座標の関係は、
　x=rcosθ, y=rsinθ
ですから、r=2sinθ より
　x=2sinθcosθ, y=2sin²θ
変形すると、
　x=sin(2θ)
　y=2-2cos²θ=1-cos(2θ)
よって、
　x²＋(y-1)²＝1
という円になります。

x=4 は、x=rcosθ より、rcosθ=4 となります。

No.3077 - 2008/10/08(Wed) 13:49:43

☆ Re: 極座標 / あき

返信ありがとうございます

一つ目の方ですが、他のかいほうを教えていただきましたが私のやり方では間違いかどうかはどうなのか教えていただけないでしょうか…？

No.3080 - 2008/10/08(Wed) 15:39:04

☆ Re: 極座標 / 七

r=2sinθ
両辺にrをかけて
r²＝2rsinθ
x²＋y²＝2y
よって、
x²＋(y－1)²2＝1
と同じ答になります。

No.3082 - 2008/10/08(Wed) 16:47:23

☆ Re: 極座標 / 七

よって、
x²＋(y－1)²＝1
でした。

No.3083 - 2008/10/08(Wed) 16:48:04

☆ Re: 極座標 / あき

七さんありがとうございます！
答えは同じになるのですが勝手にrをかけていいのか不安でした(>_<)ありがとうございました。

No.3086 - 2008/10/08(Wed) 19:09:17

★ お願いします！高３ / シャウムベルヒ

《重複順列》
　５個の整数1,2,3,4,5の中から、重複を許して３個を取り出してa,b,cとし、３桁の整数Ｘ＝100a＋10b＋cを作るとき
(１)整数Ｘは全部で○○○通りでき、偶数のＸは全部で○○通りできる。
(２)３の倍数のＸは全部づ○ま通りでき、５の倍数のＸは全部で○○通りできる。
(３)７の倍数のＸは全部○○通りできる。

(１)は解けたのですが、(２)以降が分かりません。
解答をお願いします！

No.3073 - 2008/10/08(Wed) 11:31:20

☆ Re: お願いします！高３ / ヨッシー

(2)
３の倍数はa+b+c が３の倍数になればいいので、
和が３になる場合、111 の１通り
和が６になる場合　114 より３通り(並び替えて３通り出来るという意味です)
　123 より６通り、222 より１通り
和が９になる場合　135 より６通り、144 より３通り
　234 より６通り、333 より１通り
和が12になる場合　255 より３通り、345 より６通り
　444 より１通り
和が15になる場合　555 の１通り
全部足すと・・・

５の倍数はｃ＝５は確定で、ａ，ｂは何でも良いので２５通りです。

(3)
７の倍数の見分け方の１つに
○○○○● という数字の場合
　○○○○－●×２
が７で割り切れれば良い、というのがあります。
この問題で言うと、10a+b-2c が７で割り切れれば良いのです。
このことを使うと、
112, 133, 154, 224, 231, 245, 252
315, 322, 343, 413, 434, 441, 455
511, 525, 532, 553
の18個となります。

No.3074 - 2008/10/08(Wed) 12:16:30

☆ Re: お願いします！高３ / ヨッシー

(3) について、別の見方をすると、
３桁の整数 abc のうち、ab までが決まっているとき、
１の位に0～9 までの数を当てはめると、最低１個の７の倍数が出来ます。
特に、１の位を 6 または 7 にして７の倍数になる数以外は
１の位を1,2,3,4,5 のいずれかにして７の倍数にすることが出来ます。

１の位が６で７の倍数になるような数は、
ab の部分が７で割って５余る数で、
12,33,54 がそれに当たります。

１の位が７で７の倍数になるような数は、
ab の部分が７の倍数である数で、
14,21,35,42 がそれに当たります。

上２桁は全部で２５通りあるので、そのうち上の７通りを除いた
１８通りは、１の位に１～５のいずれか１つを付けることにより、
７の倍数にすることが出来ます。

No.3075 - 2008/10/08(Wed) 13:41:14

☆ Re: お願いします！高３ / DANDY　U

[７の倍数の見分け方の別法]
○○●● という数字の場合
　○○×２＋●●　・・・が７で割り切れれば良い
というのもあります。（○は何桁であってもよい）

この問題では
2a＋(10ｂ＋ｃ)　が７で割り切れればよいことになります。

No.3112 - 2008/10/09(Thu) 08:07:54

★ こんばんは / 香

数列{ａn｝の初項から第ｎ項までの和をＳnとするとき、
Ｓn＝2^n+2－４が成り立つ。またa[n]を3で割った時の商をｂ[n]、余りをＣ[n]として、ｂ[ｎ]、Ｃ[n]を定める。

(1)ａ[ｎ]をｎを用いてあらわせ。
(2)Ｃ1+Ｃ2+Ｃ3+・・・+Ｃ10の値を求めよ。
(3)?巴[k]（ｋは1から2ｎまで）の和を求めよ。

(1)はa[n]=2^(n+1)
(2)は15になりました。

(3)なんですが、
　Σb[k]＝(1/3)Σa[k]－(1/3)Σc[k]
　　　　＝(1/3)Σ２^(k+1)－(1/3)Σc[k]

となったんですが、ｃ[k]はどのように表せばよいのでしょうか？

あと、kは1から２ｎまでなので、Σ２^(n+1）は等比数列の和の公式の項数の所に、2ｎをいれて計算すればよいのでしょうか

No.3062 - 2008/10/07(Tue) 21:45:52

☆ Re: こんばんは / にょろ

10%4=2（但し1=5=9の用に循環していると考えます）
のように
aをbで割ったあまりを
a%bとします
c[1]=4%3=1
c[2]=8%3=2
c[3]=16%3=1

なのでcは1,2,1,2,1,2…の数列と予想できます
明らかに
2(a%b)=(2a%b)より証明できます。

No.3068 - 2008/10/08(Wed) 00:45:20

★ 困ってます；；高３ / エリス

AB=6,BC=8,CA=10の直角三角形ABCの外接円の中心をOとする。
図のように,辺BC上に点Pをとり,線分APの延長と円Oとの交点をQとし,Qにおける円Oの接線と辺ABの延長との交点をRとする。
(1)BR=4のとき,QRの長さは
(2)BP=6のとき,BQ=〇√〇,AQ=〇√〇,QR=〇分の〇BRである。
したがって,BR=〇分の〇〇である。

この問題なんですが、先生に聞いても理解できずとても困っています。できれば理解できる解説と答えが欲しいです。よろしくお願いいたします。。
見にくいですが、画像もつけておきます。

No.3061 - 2008/10/07(Tue) 20:51:21

☆ Re: 困ってます；；高３ / 魑魅魍魎

ヒントです。
(1)△AQR∽△QBR

(2)BP=6のとき △ABPは正三角形なのでAPの長さが求まります。また△ACP∽△BQP

No.3063 - 2008/10/07(Tue) 21:56:54

☆ Re: 困ってます；；高３ / エリス

途中まで求めれました。
ヒントありがとうございます｡

(2)のQRとBRは
どう求めるのですか？

No.3066 - 2008/10/07(Tue) 23:22:23

☆ Re: 困ってます；；高３ / 魑魅魍魎

QR=〇分の〇BR　のヒントです。

△AQR∽△QBR
より
AQ:QB=QR:BR
AQとQBの長さが分かっているので･･･

BR=〇分の〇〇のヒントです。
△AQR∽△QBR
より
QR:BR=AR:QR
⇒
QR:BR=AB+BR:QR

あとは先ほど求めた『QR=〇分の〇BR』の関係を用いると･･･

No.3067 - 2008/10/07(Tue) 23:39:56

☆ Re: 困ってます；；高３ / エリス

理解することができました^^
わかりやすい説明ありがとうございました。

No.3072 - 2008/10/08(Wed) 11:25:16

★ 何に目をつけていくかを教えて下さい。 / 親本当のバカです。

すみませんが。親の勉強なのですが。よろしくお願いします

これは、どうして、赤から目をつけるのか教えて下さい。
こんな問題の時に、「これから考えるというのがあれば
教えて下さい」本当に、算数音痴で、ご迷惑おかけしますが
一応威厳を保つ為に、ひそかに勉強しています。

恥ずかしいと言ってられませんので。ご指導を。

No.3057 - 2008/10/07(Tue) 15:06:07

☆ Re: 何に目をつけていくかを教えて下さい。 / 親本当のバカです。

返信フォームを忘れていました。すみません。
「らすかる」さんのご指導されておられます。
No.3050 についてです。よろしくお願いします。

No.3058 - 2008/10/07(Tue) 15:09:09

☆ Re: 何に目をつけていくかを教えて下さい。 / ヨッシー

これは、つるかめ算の応用ですが、
100個全部が黄色だと500円にしかならないので、
4個を赤に変えて40円値を上げるか、3個を青に変えて5円値を上げるかして、
合計を1000円にします。
というところまでは良いですか？

増やすのは赤か青なので、「黄色に目を付ける」はあり得ませんね。

では、青に目を付けてみます。
青は3個で5円ですが、5円の端数を作ると、赤の4個40円で
調整できないので、6個10円とします。
青は6個単位なので、最大96個まで変えられます。
青96個だと 160円なので、残り340円は、赤で調整できません。
青90個だと 150円なので、残り350円も、赤で調整できません。
青84個だと 140円なので、残り360円を、赤で作ると、36個360円となり、100個を超えてしまいます。

ここで、少し学習して、残りが40の倍数になるように青を4単位(24個)ずつ、減らします。
青60個で100円残り400円赤40個400円、黄0個
青36個で60円　残り440円赤44個440円、黄20個
青12個で20円　残り480円赤48個480円、黄40個

と、一応出来ますが、ちょっと大変ですね。

やはり基本は、額の大きいものを動かして、額の小さいので
調節する、ですね。

No.3059 - 2008/10/07(Tue) 15:33:42

☆ Re: 何に目をつけていくかを教えて下さい。 / 親本当のバカです。

大変ご丁寧なご指導有難うございました。
そうですね。「つるかめ算」自体、こんな時使うのだよと
教えられない難しさに、苦しんでいました。
応用となると、もう繰り返し、させるしかないですね。

ここに投稿されている、小学５年生の皆さんの問題をみて
びっくりです。こちらの掲示板、本当に、勉強できますね。
子供に質問されるようになって、とうとう文系から
脱出しないといけない日が参りました。

今回のこの問題は、分かりました。しかし。この色ではなく
花の種類で、数字がちがったらきっと又、同じ
疑問を抱く事間違いないと思います。

つまり、説明があって、答えがあると分かるのに
そこまで行く勉強、今回は、「やはり基本は、額の大きいものを動かして、額の小さいので調節する」

こういうことに、気がつく勉強は、やはり学校の
教科書だけでは、無理なのでしょうかね。
これからもよろしくお願いします。
細かな、本当にご丁寧なご説明いただき、
有難うございました。よく分かりました。お礼まで。

No.3060 - 2008/10/07(Tue) 20:37:34

★ 倍数算 / 飴谷　孝之

小学校５年生です。
わからない問題は下の問題です。教えてください。

はじめに兄は弟より80円多く持っていました。兄が弟に200円あげると、弟の所持金は兄の所持金の３倍になりました。兄ははじめいくらもっていましたか。

ぼくは、
はじめ明子さんは色紙を48枚、冬実さんは23枚持っていました。２人とも同じ枚数の色紙を使ったところ明子さんの色紙の色紙の枚数の６倍になりました。明子さんは今色紙を何枚持っていますか。
という問題ならわかるのです。

48-23＝25
25÷５＝５
25＋５＝30　　　　　答え30枚

はじめに何枚持っていたのかをもとめる問題の図をどのように描いたらいいのか、どんな式で求めるのか教えてください。

No.3054 - 2008/10/06(Mon) 23:03:08

☆ Re: 倍数算 / ヨッシー

こういう図になります。

No.3056 - 2008/10/06(Mon) 23:22:58

★ 場合の数 / さくら

小学5年生です。
わからないので教えてください。

赤、青、黄の3色のおはじきがあり、赤は2個ずつ、青は3個ずつ、黄は4個ずつ袋に入って売っています。1袋の値段は、赤が30円、青と黄が20円です。
ユカさんは、合計100個のおはじきをちょうど1000円で買おうと思っています。このとき、赤、青、黄の袋はどのように組み合わせればよいですか。考えられる組み合わせをすべて答えなさい。ただし、1袋も買わない種類のおはじきがあってもよいとします。

(赤、青、黄)の順に、(40、60、0）の1通りしかわかりません。よろしくお願いします。

No.3048 - 2008/10/06(Mon) 21:05:00

☆ Re: 場合の数 / らすかる

赤は2袋単位で買わないと20円で割り切れなくなりますので、4個60円と考えます。
1個あたりの値段は赤＞青＞黄で、一番安いのが黄の1個あたり5円ですから、
1個あたりの基本料金が5円と考えれば、
　赤の追加料金は4個40円、青の追加料金は3個5円、黄は追加料金なし
となります。
1000円のうち500円は基本料金分ですから、残り500円を赤と青の追加料金で
使い切ればよいことになります。
赤は4個単位なので最高48個です。
赤が48個の場合、480円なので残りの20円を青に使うと青は12個、従って黄は40個です。
赤が44個の場合、440円なので残りの60円を青に使うと青は36個、従って黄は20個です。
赤が40個の場合、400円なので残りの100円を青に使うと青は60個、従って黄は0個です。
赤がこれ以上すくないと、青が多すぎて100個を超えます。
よって組合せは(48,12,40)(44,36,20)(40,60,0)の3通りとなります。

No.3050 - 2008/10/06(Mon) 21:46:51

☆ Re: 場合の数 / さくら

らすかるさん　ありがとうございました。
この考え方が、少しむずかしくてよくわからないのですが、ほかに解き方(考え方）がありますか？

No.3064 - 2008/10/07(Tue) 22:02:48

☆ Re: 場合の数 / らすかる

(40,60,0)より赤を少なくするとどうしても1000円未満になってしまいますので、
赤は40個以上です。

赤を42個にした場合
赤が630円となって、青と黄は20円単位なので1000円にできません。

赤を44個にした場合
赤は660円です。
残り340円ですから、青と黄は合わせて17袋です。
もし青だけだとすると51個になって5個足りませんから、
5袋を黄にする必要があります。
そうすると、赤44個、青36個、黄20個となります。

赤を46個にした場合
赤が690円となって、42個のときと同様、1000円にできません。

赤を48個にした場合
赤は720円です。
残り280円ですから、青と黄は合わせて14袋です。
もし青だけだとすると42個になって10個足りませんから、
10袋を黄にする必要があります。
そうすると、赤48個、青12個、黄40個となります。

赤を50個にした場合は、46個のときと同様、1000円にできません。

赤を52個にした場合
赤は780円です。
残り220円ですから、青と黄は合わせて11袋です。
しかし全部を黄にしても44個にしかならず、100個にできません。
よってこれ以上赤を増やしても無駄ですから、
(40,60,0)(44,36,20)(48,12,40)の3通りとなります。

No.3065 - 2008/10/07(Tue) 22:22:39

☆ Re: 場合の数 / さくら

らすかるさん　本当にありがとうございました。
よくわかりました。

No.3081 - 2008/10/08(Wed) 16:31:41

★ 場合の数 / 桜　高校2

こんにちは
たびたびすみません。よろしくお願いいたします

(2x+1)^nの展開式で、x^2の項の係数が420であるとき、自然数nの値を求めよ。
答えはn=15です。

解けなくてこまってしまいました
教えてください
よろしくお願いいたします

No.3041 - 2008/10/06(Mon) 17:31:21

☆ Re: 場合の数 / 魑魅魍魎

二項定理より
(2x+1)^n
=C[n,0]{(2x)^0}{1^n}+C[n,1]{(2x)^1}{1^(n-1)}+
C[n,2]{(2x)^2}{1^(n-2)}+･･･

となるので
x^2の係数は
C[n,2]×4
なので････

No.3042 - 2008/10/06(Mon) 17:55:37

☆ Re: 場合の数 / 桜　高校2

ありがとうございます。

数学が苦手で難しいです＾＾；
もうすこしヒントをください

No.3043 - 2008/10/06(Mon) 20:41:02

☆ Re: 場合の数 / 魑魅魍魎

二項定理より
x^2の係数は
C[n,2]×4={n(n-1)/2}×4
=2n(n-1)

これが420になるので

420=2n(n-1)
210=n(n-1)
n^2-n-210=0
････

No.3045 - 2008/10/06(Mon) 20:49:21

☆ Re: 場合の数 / 桜　高校2

ありがとうございます。
そしてたびたびすみませんでした。

私が計算すると
{n}Ｃ{n-2}・２^2=４２０になってしまいます。
ここからそのような式にできません><

すみません

No.3047 - 2008/10/06(Mon) 21:00:04

☆ Re: 場合の数 / 桜　高校2

やっとわかりました！！

ご迷惑おかけしてすみませんでした

本当にありがとうございました

No.3053 - 2008/10/06(Mon) 22:44:21