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★ 数A / 匿名
大中小3個のサイコロを投げるとき次のような場合は
何通りあるか。

･目の積が3の倍数
･目の和が奇数

この問題を樹形図を書いて求めようと思ったのですが、
書き出す数が大量だったので計算で求められる問題
なのでしょうか？

基礎的な問題ですが説明よろしくお願いします！
No.2379 - 2008/08/28(Thu) 23:08:41
☆ Re: 数A / ヨッシー
目の出方は全部で
　6×6×6＝216(通り)
このうち、３の倍数(３と６）が一度も出ないのは
　4×4×4＝64(通り)
これ以外は、すべて積が３の倍数となるので、
　216−64＝152(通り)

大と中の和が何であっても、
それに小の出方１，２，３，４，５，６ を足すと、
奇数が３通り、偶数が３通りになるので、
奇数と偶数は同じ場合の数だけあります。
　216÷2＝108(通り)
No.2381 - 2008/08/28(Thu) 23:48:57
☆ Re: 数A / 匿名
ご説明頂きありがとうございます！
3の倍数の問題で、3の倍数が1度も出ないのが4×4×4＝64
というのがよくわかりませんでした。
奇数のほうの問題はわかりました！ありがとうございます。
No.2402 - 2008/08/29(Fri) 23:22:33
☆ Re: 数A / ヨッシー
３の倍数にならない場合を求めて、それを全体の216通りから
引こうという方針です。
３つのさいころの１個でも３または６が出ると積が３の倍数になってしまいます。
よって、大中小３つとも、１，２，４，５ のみでそろえないと
いけません。
よって、目の出方は
４×４×４＝２５６(通り)
です。
No.2405 - 2008/08/30(Sat) 00:27:55
☆ Re: 数A / 匿名
よくわかりました！
詳しく説明して頂き、本当にありがとうございます★
No.2412 - 2008/08/30(Sat) 13:02:18
★ １次変換 / 白梅
（北海道大学　過去問）
高校３年生の数学Ｃの分野です。
宜しくお願い致します。

（問題）平面上に２直線l_1:ycosα−xsinα＝０
　　　　l_2:ycosβ−xsinβ＝０が与えられている。
　　　　直線l_1 l_2に関する対称移動を表す行列を
　　　　それぞれＡ,Ｂとする。
（１）行列Ａを求めよ。
（２）α−β＝θとおくとき積ＡＢをθを用いて表せ。
（３）（ＡＢ）^2＝ＢＡを満たすθの値を求めよ。
　　　ただし、０＜θ＜πとする。

（解答）　　　　　　 cos2α sin2α
　　　　（１）Ａ＝（sin2α　−cos2α）
　　　　　　　 　　　　cos2θ　−sin2θ
　　　　（２）ＡＢ＝（ sin2θ　　cos2θ）

　　　　（３）（２）により、ＡＢは原点の周りの
　　　　　　　２θ回転を表すから、
　　　　　　（ＡＢ）^2は４θ回転、ＢＡは−２θ回転を
　　　　　　　それぞれ表すことになる。よって
　　　　　　　それらが等しいための条件はｎを整数として
　　　　　　　「４θ−（−２θ）＝２ｎπ」
　　　　　　　∴θ＝（ｎπ）／３　０＜θ＜πだから
　　　　　　　　θ＝π／３, ２π／３

私が疑問に思うのは解答の鍵括弧の所です。
本来、Ａ＝Ｂという式が成り立つことを
証明するには、
１つはＡを変形しＢにする（ＢがＡにでもよい）
もう１つはＡ−Ｂ＝０を証明する
この２つが定石ですが、
今回の場合、２つ目を使っています。
しかし私はこの問題を解く時に４θ−（−２θ）＝０
としてθの値を求めたかったのですが、
条件から０＜θ＜πとされていますし、
万が一、４θ−（−２θ）＝０を計算しても
６θ＝０⇔θ＝０となってしまいます。
どうして解答では４θ−（−２θ）＝２ｎπと
して解を出すのでしょうか。その理由が分かりません。

宜しくお願い致します。
No.2378 - 2008/08/28(Thu) 22:01:16
☆ Re: １次変換 / rtz
ただのx＝y⇔x−y＝0とは違い、この場合は回転です。
よって1周分、2周分、…、を余計に回っても重なります。
ここを2nπとして表現しています。

時計も12時だけでなく、
1周ぐるっと回ってくれば1時5+(5/11)分にも重なりますね。
そんなイメージです。
No.2380 - 2008/08/28(Thu) 23:14:56
☆ ありがとうございました＾＾ / 白梅
rtz様、大変分かりやすい解説を
して下さってありがとうございます＾＾

確かにrtz様の仰る通り
計算しても元の点に戻ってくれば０ですね。
ベクトルでもＡＡ→＝０というものが
単に回転の場合になっただけだったのですね。

rtz様が示されたイメージもしっかりできました。

ありがとうございました＾＾
No.2393 - 2008/08/29(Fri) 17:35:52
★ 三角関数 / ゆい
次の(ｱ)〜(ｷ)の関数のグラフのうち
?@周期が最大のもね
?Ayの極大値と極小値の差が最大のものをそれぞれえらべ、またそれを選んだ根拠を簡単に説明せよ。
(ｱ)y=2sinθcosθ
(ｲ)y=sinθcosθ
(ｳ)y=sinθ
(ｴ)y=2sinθ
(ｵ)y=sinθ/2
(ｶ)y=1/2cosθ
(ｷ)y=1/2sinθ

という問題なんですが、
よろしくお願いします。
No.2377 - 2008/08/28(Thu) 18:36:02
☆ Re: 三角関数 / ヨッシー
ｙ＝sinｘ、ｙ＝cosｘ　は、周期2π、振幅１　です。
　ｙ＝Ａsin（ｘ/Ｂ)　Ｂ≠０
は、周期がＢ×2π、振幅Ａです。

これを踏まえて
（ア）ｙ＝sin(2θ) なので、周期π、振幅１
（イ）ｙ＝(1/2)sin(2θ)　なので、周期π、振幅1/2
（ウ）周期2π、振幅１
（エ）周期2π、振幅２
（オ）周期４π、振幅１
（カ）周期2π、振幅1/2
（キ）周期2π、振幅1/2
となります。

極大値と極小値の差は、振幅の２倍にあたります。
No.2382 - 2008/08/28(Thu) 23:57:05
☆ Re: 三角関数 / ゆい
なるほど!
公式がわからなかったので勉強になりました!
ありがとうございます。
No.2383 - 2008/08/29(Fri) 00:03:45
★ 最短距離 / 桜　高校2
こんばんは。
たびたびすみません。
よろしくお願いいたします

直円錐でＨは円の中心、線分ＡＢは直径、ＯＨは円に垂直で、OA＝a,sinθ=1/3とする。
点Pが母船OB上にあり、PB=a/3とするとき、点Aからこの直円錐の側面を通って点Pに至る最短距離の長さを求めよ。

という問題がわかりませんでした。
図がわかりずらくて申し訳ございません。

よろしくお願いいたします。
No.2374 - 2008/08/28(Thu) 16:16:13
☆ Re: 最短距離 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
OA＝a,sinθ=1/3 より ＡＨ＝a/3
側面をＯＡで切って展開すると、中心角が120°の扇形になります。
また∠ＡＯＢ＝60°で ＰはＯＢ上にありＯＰ＝2ａ/3となります。

その展開図でＡとＰを結んだ線分の長さが最短距離となります。
あとは△ＯＡＰで余弦定理を使うだけですね。
No.2375 - 2008/08/28(Thu) 17:07:19
☆ Re: 最短距離 / 桜　高校2
いつもありがとうございます^^
おかげさまで解けました＾＾
No.2391 - 2008/08/29(Fri) 14:02:15
★ 三角形 / 桜　高校2
こんにちは
よろしくお願いいたします。

面積が1である△ABCの辺AB,BC,CA上に点D,E,FをAD:DB=BE:EC=CF:FA=t:(1-t)(ただし0＜t＜1)となるようにとる。

(1)△ADFの面積をtを用いて表せ。
(2)△DEFの面積をSとするとき、Ｓの最小値とそのときのtの値を求めよ。


どのように求めればよいのかわかりませんでした。
教えてください
よろしくお願いいたします。
No.2373 - 2008/08/28(Thu) 15:08:59
☆ Re: 三角形 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ
(1) ＤとＣを結ぶと
△ＡＤＦ＝(1-t)△ＡＤＣ＝(1-t)×(ｔ×△ＡＢＣ)＝t(1―t)
となります。

(2) (1)と同様にして、△ＢＥＤ＝△ＣＦＥ＝t(1―t)
よって
Ｓ＝１―３t(1―t)　となるので右辺を平方完成すれば、Ｓの最小値とそのときのtの値が求まるでしょう。

※(1)は三角形の面積＝(1/2)ａｂsinα の公式からも導けます。
No.2376 - 2008/08/28(Thu) 17:23:16
☆ Re: 三角形 / 桜　高校2
どうもありがとうございました(*^_^*)
とっても参考になりましたアっ！！
No.2390 - 2008/08/29(Fri) 14:01:49
★ (No Subject) / shiyo
問1：四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える。点Pは時刻０では頂点Oにあり、1秒ごとに次の規則に従ってこの四角錐の5つの頂点のいずれかに移動する。
規則：点Pのあった頂点と1つの辺によって結ばれる頂点の1つに、等しい確率で移動する。
このときn秒後に点Pが頂点Oにある確率を求めよ。
（解答：｛1-（-1／3）^（n-1）｝／4　　）

問2：数直線上を原点から出発し、次の規則で移動する点Pあある。　1個のサイコロを投げて、出た目が5以上の場合は、正の向きに2進み、出た目が4以下の場合は、正の向きに１進む。
サイコロをn回投げたとき、Pの座標が偶数になる確率をa_nとする。
?@ a_1、a_2、a_3　を求めよ。
　（解答：a_1＝ 1／3、a_2＝ 5／9、 a_3＝ 13／27　）

?A a_（n＋1）をa_n を用いて表せ。
　（解答：a_（n＋1）＝ 2／3 − a_n／3　）

?B a_n を求めよ。（解答：a_n＝｛1＋（-1／3）^n｝／2 ）


宜しくお願い致します。



　　
No.2365 - 2008/08/28(Thu) 00:23:09
☆ (No Subject) / ヨッシー
問1
求める確率をＰn とします。
ｎ秒後に点Ｏにあると、１秒後には、点Ｏ以外にあります。
ｎ秒後に点Ｏ以外にあると、１秒後には、1/3 の確率で点Ｏにあり、2/3 の確率で点Ｏ以外にあります。
以上より
　Ｐn+1＝(1/3)(１−Ｐn)
という関係があります。変形して
　Ｐn+1-1/4＝(-1/3)(Ｐn-1/4)
Ｐ0＝１　より
　Ｐn-1/4＝(1-1/4)(-1/3)n
　Ｐn＝(1-1/4)(-1/3)n+1/4
　　＝{1-(-1/3)n-1}/4

問2
(1)省略
(2)
ｎ回目が偶数だと1/3の確率でｎ＋１回目に偶数になります。
ｎ回目が偶数だと2/3の確率でｎ＋１回目に偶数になります。
以上より
　ａn+1＝(1/3)ａn＋(2/3)(１−ａn)
　ａn+1＝2/3−(1/3)ａn
(3)
　ａn+1-1/2＝(-1/3)(ａn-1/2)
(以下、問1と同じ)
No.2366 - 2008/08/28(Thu) 07:19:39
★ 数学A / 祐
0,1,2,3,4,5の6個の数字から異なる5個の数字を取って並べて、5桁の整数を作るものとする。次のものはいくつできるか。

(1)整数
(2)偶数
(3)24000より大きい整数

分からないので教えて下さい。
宜しくお願いします。
No.2364 - 2008/08/27(Wed) 23:41:24
☆ Re: 数学A / ヨッシー
(1)
万の位は０以外の５通り、千の位はそれ以外の５通り、
以下、百の位４通り、十の位３通り、一の位２通りで、
　５×５×４×３×２＝６００(個)
(2)
万の位が１，３，５のとき
一の位は０，２，４ の３通り、以下、
千の位４通り、百の位３通り、十の位２通りで、
　３×３×４×３×２＝２１６(個)
万の位が２，４のとき
一の位はそれ以外の２通り、以下、
千の位４通り、百の位３通り、十の位２通りで、
　２×２×４×３×２＝９６(個)
合計３１２個
(3)
万の位が３，４，５のとき
千の位以下、５，４，３，２通りで、
　３×５×４×３×２＝３６０(個)
万の位が２のとき
千の位は４，５の２通り、
百の位以下、４，３，２通りで、
　１×２×４×３×２＝４８(個)
合計　４０８個
No.2368 - 2008/08/28(Thu) 09:29:06
☆ Re: 数学A / 祐
お返事有難うございます。

一つ質問なのですが、(3)の問題は万の位が2のときと、万の位が3,4,5のときで分けるのはどうしてでしょうか?

変な質問をしていたらすみません;;
No.2371 - 2008/08/28(Thu) 10:31:29
☆ Re: 数学A / ヨッシー
両方の書き方をそろえれば、わかりやすいでしょうか？
というか、気付いてもらえるでしょうか？

(3)
万の位が３，４，５のとき
千の位はそれ以外の５通り、
百の位以下、４，３，２通りで、
　３×５×４×３×２＝３６０(個)

万の位が２のとき
千の位は４，５の２通り、
百の位以下、４，３，２通りで、
　１×２×４×３×２＝４８(個)
合計　４０８個
No.2372 - 2008/08/28(Thu) 10:40:22
★ 同位角が等しいことの証明 / daigo（大学１年）
はじめまして、daigoといいます。
同位角が等しいことはユーグリッドの原論により証明できないと一般に聞くのですが、例えばこの証明法は証明になっているのですか？
『≠』は図と思ってください。

≠　において、＝を上から直線Ｌ、直線Ｍとします。もちろん平行。∠aと∠bが同位角です。∠aの場所は後述。
まず、直線Ｌと直線Ｍに垂直な垂線Ｐを引きます。すると、台形ができます。（直線Ｌが上底、直線Ｍが下底。ちなみに上底の左の角が∠aです。）
すると、上底の右の角は９０度、下底の右の角が９０度なので足して１８０度。台形の内角の和は３６０度なので、
左上つまり、∠aとその下の角の和は１８０度。
式にすると、∠a+（１８０°−∠b）=１８０°より∠a=∠b

これは証明といえるのですか？
No.2360 - 2008/08/27(Wed) 22:11:49
☆ Re: 同位角が等しいことの証明 / rtz
＞台形の内角の和は３６０度
であることを同位角や錯角なしで証明できないのでは。
もっと言うと、
三角形の内角の和が180度であることを証明できないのでは。
No.2361 - 2008/08/27(Wed) 22:42:47
☆ Re: 同位角が等しいことの証明 / 通りすがり
まず同位角x,yが等しいとき2直線l,mが平行であることを証明します。
（lとmが平行でないとすると交点をもつのでそれをＰとします。
対頂角は等しいからx,yとそれらの対頂角はすべて等しくなり
図を180度回転してももとの図とぴったり重なります。
するとlとmはＰの反対側にも交点をもつことになり公理に反します）

次に本命題の証明。
平行2直線をl,m　それに交わっている直線をn
同位角をx,yとします。
nとlの交点をＰとし
Ｐを通り同位角がyに等しくなるように直線l´を引くと
捕題よりl´とmは平行です。
よって平行線公理によりlとl´は一致します。
∴　x=y

急ぎ証明を書きましたのでわかりにくいところ多々あるでしょうがご勘弁＾＾
No.2369 - 2008/08/28(Thu) 09:35:24
☆ Re: 同位角が等しいことの証明 / 通りすがり
> 直線Ｌと直線Ｍに垂直な垂線Ｐを引きます
ここは　平行⇒同位角が等しい　という事実を使っていますね。
No.2370 - 2008/08/28(Thu) 09:44:48
★ 二次関数 / ゆき（高１）
はじめまして、ゆきと言います。
二次関数の問題で分からないのがあるので、教えていただきたく・・・お願いします！

次の条件を満たすように定数aの値の範囲を求めよ。
xの二次方程式 ax^2+(a+1)x+(2a-1)=0 が異なる２つの正の解をもつ。

二乗の表記の仕方が分からなかったので”ax^2”としました。
回答は”-1/7<a<0”となっていますが・・・解き方が分かりません。
よろしくお願いします＾＾；
No.2343 - 2008/08/27(Wed) 15:29:34
☆ Re: 二次関数 / にょろ
自乗の表記はそれで正しいです。
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
参照

で両方の解が+ということは
f(x)=ax^2+(a+1)x+(2a-1)
まず
判別式/4>=0
次に
f(x)は下に凸だから
f(0)>0
さらに軸がx=0より大きくなくてはならない

http://www2.rocketbbs.com/11/bbs.cgi?id=yosshy&mode=res&resto=2129

まえ同じ様なのがあったので画像はそれ見てください
No.2346 - 2008/08/27(Wed) 16:39:39
☆ Re: 二次関数 / ゆき（高１）
返信ありがとうございます。
ですが、以下のところがよく分からず・・・

>判別式/4>=0

>f(x)は下に凸だから
(なぜ下に凸なのでしょうか、aが−の場合は考えなくてよいのでしょうか)

すみませんが、お願いいたします；；
No.2347 - 2008/08/27(Wed) 16:54:43
☆ Re: 二次関数 / rtz
いえ、考える必要があります。
というか、そちらを考えないと答えが出ません。
同様に考えればよいでしょう。
f(0)の符号だけ反転します。

判別式はD＞0ですね。
No.2348 - 2008/08/27(Wed) 17:31:25
☆ Re: 二次関数 / にょろ
すいません
上のをコピペで軽く書き換えただけなので
見直してませんでした
No.2351 - 2008/08/27(Wed) 17:35:41
☆ Re: 二次関数 / ゆき（高１）
教えていただいたとおり考えてみたのですが・・・。

a＞０,a＜０について、それぞれ
（１）軸＞0
（２）D＞0
（３）f(0)＞0(a＞0のとき)、f(0)＜0（a＜0のとき）
をやりました。

a＞0の場合、（１）で a＜−１ となってしまうので、不適ですよね。

a＜０の場合は、（１）と（２）は変わらず、（３）は不等号の向きが変わるので、
（１）a＜−１
（２）−１/７＜a＜１　a＜０より−１/７＜a＜０
（３）a＜１/２　a＜０よりa＜０
となりました。
すると上記の条件をすべて満たす範囲がないのですが・・・。
何がいけないのでしょうか＞＜；；
No.2353 - 2008/08/27(Wed) 18:29:01
☆ Re: 二次関数 / rtz
軸を考えたとき、分母のaを無意識に消しませんでしたか？
a＜0ですから不等号が逆向きになりますね。
No.2355 - 2008/08/27(Wed) 18:51:37
☆ Re: 二次関数 / ゆき（高１）
なるほど、納得しました！
丁寧に教えてくださってありがとうございました！
長々とすみませんでした＾＾；；
No.2356 - 2008/08/27(Wed) 19:04:26
☆ Re: 二次関数 / 豆
趣味の問題かもしれませんが、場合分けが嫌いなので、以下のように
場合分けせずに、私なら解きます。
（本質的には場合分けするのと同じことですが）

2次方程式と決定しているので、a≠0のもと、
D=(a+1)^2-4a(2a-1)＞0
2根の和=-(a+1)/a＞0
2根の積=(2a-1)/a＞0
この3つを連立させます。
No.2367 - 2008/08/28(Thu) 08:52:33
★ (No Subject) / ゆくいく
方程式の問題です。
（解き方は知っているけどわからない）



　　　　　ｘ
４−ｘ＝−−−　　　分数です
　　　　　２





移項わかりました!!


お願いします。
No.2341 - 2008/08/27(Wed) 15:12:30
☆ (No Subject) / らすかる
両辺を２倍
左辺のｘを右辺に移項
・・・・・
No.2342 - 2008/08/27(Wed) 15:28:36
★ (No Subject) / ｆだｓ
縦↑４横→５
一番左下をＡ　一番右上をＢ
Ａから→１　↑１
をＰ
→３　↑３をＱ

ＰもＱもとおらない道順は何通りあるか


めっちゃわかりにくとおもますが
おねがいしますｍｍｍｍｍｍ
No.2340 - 2008/08/27(Wed) 14:56:58
☆ (No Subject) / らすかる
(全体)-(Pを通る道順の数)-(Qを通る道順の数)+(PもQも通る道順の数)
No.2344 - 2008/08/27(Wed) 15:31:01
★ (No Subject) / ｆだｓ
x^3-(2a+3)x^2+(5a+9)x-(3a+b)=o
重解のときaの値を求めよ
ってのがわかりません
（ｘ−１）・・・
No.2339 - 2008/08/27(Wed) 14:36:34
☆ Re: / rtz
同じ投稿を2度されるのは結構ですが、
何が何をどう重解なのかきちんと書いてください。
問題文として不適切です。
No.2345 - 2008/08/27(Wed) 15:39:21
☆ Re: / ｆだｓ
（２）
aを実数とする　ｘの３次方程式
x^3-(2a+3)x^2+(5a+9)x-(3a+b)=o・・・・Ａ
Ａが重解をもつときaの値を求めよ
ってのがわかりません
No.2403 - 2008/08/29(Fri) 23:37:10
★ 数列 / kai(高3)
こんにちは
よく分からないので、教えてください。
No.2338 - 2008/08/27(Wed) 13:51:34
☆ Re: 数列 / rtz
具体的にどこが分からないのでしょうか。
考えた経緯など書いていただけると分かりやすいのですが。
No.2349 - 2008/08/27(Wed) 17:32:35
☆ 一部分回答します。 / 白梅
初めて回答させていただきます。
白梅と申します。

これは大阪大学の過去問ですね。
私も１度だけ解きましたが、数列問題の中でも
最高峰の難しさだと思います。

全ての解答を書くと大変な長さに
なりますし、kaiさんの力にならないと思うので
（１）だけ回答し、（２）（３）は
ヒントと解のみ書いておこうと思います。

（解答）Ｄ内にあり、ｙ軸上に中心をもち、
　　　　原点を通る円の方程式を、
　　　　x^2＋（ｙ−ｒ）^2＝r^2　（r＞０）
　　　　とおくと、x^2＝２ｒｙ−ｙ^2
これが領域ｙ≧x^2の内部にある為には
　　　　ｙ≧２ry−y^2 すなわち、
　　　　y{y−（２ｒ−１）}≧０がｙ≧０で
　　　　つねに成り立てば良い。
　　　　よって、２ｒ−１≦０よりｒ≦（１／２）
　　　　ａ(1)は最大のｒの値だからａ（１）＝（１／２）

（２）の解　ａn＝（１／２）＋√（２(bn-1)）
（３）の解　ａn＝ｎ−（１／２）　　です。

（２）はＣnは放物線y＝x^2に接するので
　　　重解を利用します。
（３）は判別式Ｄ＝０の式より条件を利用すれば
　　　出来ると思います。

長文失礼しました。
No.2350 - 2008/08/27(Wed) 17:32:45
☆ Re: 数列 / kai(高3)
rtzさん白梅さん返信ありがとうございます。
白梅さんの解答で(1)は分かりました。
(2)はＣn:x^2+(y-2(bn-1)-an)^2=an^2とy=x^2より
2(bn-1)-an=Aとおくと
y^2-(2A-1)y+A^2-an^2=0
重解よりan=(bn-1)-1/8
と出てきて
分かりません。
(2),(3)のヒントをもう少し詳しくお願いします。
No.2352 - 2008/08/27(Wed) 17:58:36
☆ Re: 数列 / rtz
数列ならa[n]やa_nなど、
添え字であることが分かるようにしていただけますか？
そのままではa*nと間違えてしまいますので。

(2)
x2＋{y−2bn-1−an}2＝an2
ですから、
Aとおくなら2bn-1＋anではないでしょうか。

(3)
an＝(1/2)＋√(2bn-1)から
an+1＝(1/2)＋√(2bn)
よって
{an+1−(1/2)}2
＝2bn
＝2bn-1＋2an
＝{an−(1/2)}2＋2an
＝{an＋(1/2)}2
⇔an+1−(1/2)＝an＋(1/2) (明らかにan≧1/2)
以下略
No.2354 - 2008/08/27(Wed) 18:49:04
☆ ではもう少しだけヒントを / 白梅
ふむふむ。なるほど。

kaiさんの解答の５行目までは正しいです。
６行目の重解より〜が間違えています。
どこかで計算ミスをしたのだと思われます。
落ち着いてもう１度計算してみて下さい。
上手くいけば（２ａ_n−１）^2＝８b_n-1
といった式が得られると思います。

そこからがこの問題のミソですね。
ｎ≧２のときａ_n＞ａ_1＝（１／２）だから
２ａ_n−１＞０、またb_n-1＞０だから‥‥
ここまでくれば解答を得られると思います。
No.2357 - 2008/08/27(Wed) 19:04:43
☆ Re: 数列 / kai(高3)
rtzさん白梅さん返信有り難うございます。
数列の表記の仕方が分からず、見づらくなってしまいすいません。
次からはa[n]やa_nのように表記します。

rtzさん白梅さんの仰るとおり、単純なミスです。
ここまで書いていただいたので、分かりました。

乱雑な文章、数式でめちゃくちゃだったと思いますが、丁寧な解説、ヒントありがとうございます。
No.2359 - 2008/08/27(Wed) 21:06:52
☆ 最後に / 白梅
ご理解していただけたようで良かったです。

（２）については部分的にしか書いていなかったので
確認のため、全てここに書いておきますね。
ｎ≧２のときａ_n＞ａ_1＝（１／２）だから
２ａ_n−１＞０、またb_(n-1)＞０だから
２ａ_n−１＝２*√(２b_(n-1))より
ａn＝（１／２）＋√（２(b_(n-1)）

それと（３）についてですが、
完答できましたでしょうか？
rtzさんの示された解法で答えを出せたのなら
それで良いのですが、ヒントも出したので
そのヒントを使った別解を示しておきますね。

（解答）（２）のＤ＝０の式から
４ａ_n^2−４ａ_n＋１−８b_(n-1)＝０‥‥（ア）
これより
４ａ_(n＋1)^2−４ａ_(n＋1)＋１−８b_n＝０‥‥（イ）
（ア）−（イ）より
４（ａ_(n＋1)^2−ａ_n^2）−
４（ａ(n＋1)−ａ_n）−８ａ_n＝０　⇔
（ａ_(n＋1)＋ａ_n）*（ａ_(n＋1)−ａ_n−１）＝０
よってａ_(n＋1)＋ａ_n＞０より
ａ_(n＋1)−ａ_n−１＝０
よってａ_(n＋1)＝ａ_n＋１（n≧２）
またb_1＝ａ_1＝１／２だから
ａ_2＝（１／２）＋１＝ａ_1＋１
となり、ｎ≧１でａ_(n＋1)＝ａ_n＋１
数列{ａn}は初項ａ_1＝１／２　公差１の等差数列より、
ａ_n＝ｎ−（１／２）　

以上が別解となります。

私もこの掲示板で質問する者なので、
そう何度も回答者にはなれませんが、
この質問に関しては理解しているつもりなので、
何か疑問に感じる所があれば、
また質問して下さいね＾＾

追伸:rtz様、回答者として
　　　横からレスを入れて大変申し訳ありませんでした。
　　　確かにrtz様の仰る通り、
　　　質問者がどこが理解できていないかを把握してから
　　　少しずつアドバイスするのが理想だと思います。
　　　さらに数列の表記についてもですが
　　　以後よくよく気を付けます。
　　　質問者としてまた書き込むと思います。
　　　その時は宜しくお願い致します。＾＾
No.2362 - 2008/08/27(Wed) 23:07:15
☆ Re: 数列 / rtz
いえ、実際問題どの程度までヒントとして出すのか、
導入に留めるのか、ある程度踏み込むのかというのはいつも悩みどころで、
流れを暈してヒントを出しても抽象的過ぎてしまう場合もありますし、
なんとも難しい部分です。

本問の場合は(1)もそれなりの難度です。
ある程度半径が大きくなると
原点で接せないことを分かっていないと解けないので
一応お聞きした、という感じです。

私はヒントでも完全解答でも、
受け取って消化するのは質問された方次第なので、
どちらでもいいと思っていますし、
私自身よく間違うので、気にせずレスして下さいませ。
こちらこそよろしくお願いします。
No.2363 - 2008/08/27(Wed) 23:34:02
★ 和の法則・積の法則 / ＊Sana＊
おはよう御座います。数学Aからなのですが…

和の法則…同時に起こらない事柄の場合の数

積の法則…複数の事柄がともにおこる場合の数

ですよね?それで、この“同時に起こらない事柄の場合の数”というのと“複数の事柄がともにおこる場合の数”というのがよく分からないのですが、どういう意味なのか教えて貰えませんか?

問題を解くときにどっちを使ったら良いのか分からなくて；

宜しく御願いします。
No.2334 - 2008/08/27(Wed) 06:51:16
☆ Re: 和の法則・積の法則 / にょろ
和の法則
絶対にどちらか一つしか起きないということです。
要するに
一枚コインを投げて表になる確率と裏になる確率です。
これの合計は1になります。
これは
表の確率→1/2
裏の確率→1/2
合計　　→1

次に積ですが
今度は別々の試行を同時に行う場合です
例えばコイン（赤、青）を二枚投げて表になる色です。

赤→1/2*1/2=1/4
青→1/2*1/2=1/4
無→1/2*1/2=1/4
両方→1/2*1/2=1/4

右側は赤になるorならない
左側は青になるorならない

こんな感じでどうでしょう?
No.2336 - 2008/08/27(Wed) 09:05:38
★ 速度 / りんご
教えてください。
よろしくお願いします。

東西にまっすぐのびる道ＡからＢに向かって自動車が毎時５０ｋｍ、
自転車がＰからＢに向かって毎時１０ｋｍで同時に出発したとする。

（１）自動車が自転車に追いつくまでに、出発してから何分かかるか。

（２）また、自動車がＢについてから、何時間で自転車がＢに到着するか。
No.2331 - 2008/08/26(Tue) 22:23:48
☆ Re: 速度 / にょろ

50km/hの方が自動車a
10km/hの方が自転車b
とします
a,bの差が今20km/h
です
a,bの相対速度が50-10=40km/hです。
よって
20/40=1/2=30min
です。

(2)どの自動車か指定お願いします。
（２）また、自動車aがＢについてから、何時間で自転車bがＢに到着するか。

だと思うので

まずaが到着する時間が
75/50
一方bは
55/20

でどうでしょう？
No.2332 - 2008/08/27(Wed) 00:42:36
☆ Re: 速度 / りんご
にょろｻﾝ、丁寧な解説ありがとうございます*...+

（２）の問題は多分その指定だと思います。

　確認なんですが、
　aが到着する時間は75/50=1.5=1時間30分
　bが到着する時間は55/20=2.75=2時間40分
　となり、自動車がＢについてから
　自転車がＢに到着するのは1時間10分後
　ということでいいのでしょうか？


　
No.2400 - 2008/08/29(Fri) 22:50:08
★ ２次方程式 / WIDE（高２）
x^2+ax+b=0 の２つの異なる実数解α，βが −２＜α＜３，
−２＜β＜３ を満たすとき，点（a，b）が存在する領域を ab平面上に図示せよ。

解答はグラフで考える方法でしたが、この問題を解と係数の関係を使って解く方法はありますか？
No.2329 - 2008/08/26(Tue) 21:26:50
☆ Re: ２次方程式 / にょろ
この手の問題見ると階と係数が真っ先に思い浮かぶ人です。

α,βをA,Bにしますね。
面倒くさい

A

a=-(A+B)
b=AB
A=b/B
a=-(b/B+B)

aB=-(b+B^2)

B^2+aB+b=0
でできるような気がしないでもないです。
というより最後に導出した式がかなり自明なんですけどね。
A,Bを
c±√d
とすると
−２＜c±√d＜３
とd>0
が条件です

ここで、−２＜β＜３ より
No.2333 - 2008/08/27(Wed) 00:56:11
★ 確率収束 / ケン
よろしくご指導下さい。
確率変数の列X_1,X_2,・・・・、X_nは互いに独立でE(X_k)=μｋ、
σ²（X_k)=σｋ^²（ｋ＝１，２、・・・）は存在し、
Σ(k=1〜ｎ)σｋ^²=0(n^²)ならば
1/n {Σk(=1〜ｎ)(X_k ―μ_ｋ)} は０に確率収束することを示せ。
と言う問題です。チェビシェフの不等式か何かでうまくいくのでしょうか。
No.2326 - 2008/08/26(Tue) 20:26:08
☆ Re: 確率収束 / rtz
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender2&dd=19&re=34020
考えた内容の付記まで一致するとは、不思議な偶然もあるものですね。
No.2328 - 2008/08/26(Tue) 20:58:09
★ 確率分布 / ケン
r.v.Xの確率分布が
P(X=k) =mCk・nC(m-k)/(m+n)Cm (k=0〜m) (1≦m<n)　
であるとき
Σ（ｋ＝0〜m）Ｐ(Ｘ＝ｋ）＝1を示せ
と言う問題です。よろしくご指導下さい。
ヒントで（１＋x）^n・（１＋x）＾ｍ＝（１＋x）^（n＋ｍ）を使用することとあります
No.2323 - 2008/08/26(Tue) 12:59:52
☆ Re: 確率分布 / 豆
Combinationは境界がはっきりしないので、C[n,r]と記すことにします。
これはヒントがもうほとんど答えになっていますね。
(1+x)^n・(1+x)^m=(1+x)^(n+m)　において、
展開したときのx^mの係数に関して、
左辺の(1+x)^mからx^kを分担すれば、
(1+x)^nからはx^(m-k)の分担が必要なので、
x^kの係数はΣ[k=0→m]C[m,k]・C[n,m-k]
一方、右辺のx^mの係数は単純にC[n+m,m]
これは等しいので、
Σ[k=0→m]C[m,k]・C[n,m-k]= C[n+m,m]
右辺で両辺を割れば求める式となる。
No.2324 - 2008/08/26(Tue) 16:27:24
☆ Re: 確率分布 / ケン
早速の回答ありがとうございました。
この問題のおかげで、１か月費やしました。
この手の問題は良い参考書がなくて苦労しています。
いい参考書があれば紹介してください。
またよろしくお願いいたします。
No.2325 - 2008/08/26(Tue) 17:50:24
☆ Re: 確率分布 / rtz
＞豆さん
新たに波風立てるのもどうかと思いますが、
http://whs-math.blogspot.com/2008/06/from.html
一応↑をご覧いただければと思います。
表記もまるで同じなので流石に気付きました。
No.2327 - 2008/08/26(Tue) 20:48:34
☆ Re: 確率分布 / 豆
う〜ん。
しかし、回答者側ではどうしようもないですね・・・
No.2335 - 2008/08/27(Wed) 07:28:55
★ 漸化式 / ケン
以下の問題宜しく解決下さい。再掲します。
１．平面上にどの２本も平行でなく、どの３本も一点で交わらないn本の直線がある。これらの直線が平面をa＿n個の部分に分けているとする。
１．１ a_1,a_2,a_3,a_４を求めよ
１．２ a_nの漸化式を求めよ
１．３ a_nを求めよ

２．N枚の平面に沿って３次空間は最大いくつの部分に分割されるか。１．３の結果を用いて解決できる。解決の際どのように用いるかアイデアを明確に述べること

１．はできたのですが２．についてご指導下さい。
１．の答え
1.1 a_1 : 2, a_2 : 4, a_3 : 7 ,　a_4 :11
1.2 a_n+1=a_n +n+1 (n=1,2,3,・・・)
1.3 a_n=(n^2+n+2)/2 だと思いです。
No.2320 - 2008/08/26(Tue) 11:15:46
☆ Re: 斬鉄剣 / ヨッシー
1.3 までは、あちらに書いたので、２． について考えます。

N枚の平面によって３次空間は最大、b_N の部分に分割されるとします。
b_1＝２，b_2＝４，b_3＝８ です。
今、N枚の平面によって、b_N の部分に分かれているとき、
N+1枚目の平面を置いたとします。
この平面上には、他のN枚の平面との交線がN本引かれ、
これによって、この平面は、(N^2+N+2)/2 の部分に分けられています。
それぞれの部分によって、平面がN枚だったときの部分空間は
(N^2+N+2)/2 個が２つずつに分けられ、結果、
(N^2+N+2)/2 個の部分空間が、増えます。
よって、
　b_(N+1)＝b_N＋(N^2+N+2)/2
という漸化式が出来、これより
　b_N＝(N^3＋5N＋6)/6
を得ます。
No.2321 - 2008/08/26(Tue) 11:37:44
☆ Re: 漸化式 / ケン
早速の対応ありがとうございました。
考え方がよく理解できました。また
ｂ_Ｎの値は確かに(N^3＋5N＋6)/6
となりました。
またよろしくお願いいたします。
No.2322 - 2008/08/26(Tue) 12:15:22
☆ Re: 漸化式 / 通りすがり
ヨッシーさんのタイトルがRe: 斬鉄剣となっているのは何か意味があるのですか？
No.2337 - 2008/08/27(Wed) 12:06:41
☆ Re: 漸化式 / ヨッシー
あ、気付かれましたか？

漸と斬が字が似ていることと、
算チャレ過去問の第90回の問題（斬鉄剣の問題）と
同じ主旨の問題だということで、遊んでみました。
No.2358 - 2008/08/27(Wed) 20:40:54
★ (No Subject) / さっちゃん
二つの円の、共通外接円の求め方がわかりません。　　　　　是非教えてください。
No.2317 - 2008/08/25(Mon) 23:25:02
☆ (No Subject) / ヨッシー
求めるとは、どういうことですか？
円が２つあるだけでは、共通外接円はいっぱいあります。

No.2319 - 2008/08/26(Tue) 05:54:37
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