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★ 大学数学：代数学 / N&M
大学の数学科に通う者です。
代数学の問題を自分なりに解いてみたのですが、腑に落ちない点が有りますので質問させてください。

問題：乗法群Ｒ^×と加法群Ｒは同型でないことを示せ。

自分なりの回答↓
写像ｆ：Ｒ^×→Ｒとして、自然対数を取れば、
Ｆ(Ａ×Ｂ)
＝logＡＢ
＝logＡ+logＢ
＝Ｆ(Ａ)+Ｆ(Ｂ)
＝Ｆ(Ａ)×'Ｆ(Ｂ) （Ａ，Ｂ∈Ｒ^×）
となり、ｆは準同型写像。
また、ｇ(x)＝exp(x)はｆの逆写像なので、全単射。
従って、Ｒ^×とＲは同型。

･･･と、題意に適さない解答を導いてしまいます。
これは問題のミスなのでしょうか？　それとも自分が見落としている点が有るのでしょうか？

良かったらアドバイスお願いいたします。
No.3439 - 2008/10/26(Sun) 19:13:43
☆ Re: 大学数学：代数学 / サボテン
ｇ(x)＝exp(x)はｆの逆写像なので、全単射。

この部分が間違っています。exp(x)はR→R^×への
全単射ではありません。

証明としては、RとR^×が同型であるとします。
この時同型写像fが存在し、a,b∈Rに対し、

f(a+b)=f(a)f(b)
f(0)=1
f(-a)=1/f(a)
を満たします。

仮定より、f(a)=-1なるa∈Rが存在します。
f(2a)=f(a)^2=1
となりますが、2a≠0より単射の条件に反します。

よって矛盾です。
No.3443 - 2008/10/26(Sun) 20:46:54
☆ Re: 大学数学：代数学 / N&M
＞サボテン様
ご返答有難う御座います。
具体的に考えなければ定義と性質から矛盾が証明できるのですね（汗）
明朗なご解答有難う御座いました。　すぐに理解することが出来ました。
No.3481 - 2008/10/27(Mon) 22:14:15
★ 高一、二次関数 / ＵＡ
放物線、y = x^2 - 4x + 3　を、次の方向に平行移動して原点を通るようにした放物線の方程式を求めよ。
?@y軸方向　　答え：y = x^2 - 4x
?Ax軸方向　　答え：y = x^2 - 2x , y = x^2a + 2x
解説宜しくお願いします。
No.3438 - 2008/10/26(Sun) 16:58:30
☆ Re: 高一、二次関数 / ヨッシー
y = x^2 - 4x + 3 を、
ｙ軸方向にａ移動した式は
　(y-a) = x^2 - 4x + 3
ｘ軸方向にｂ移動した式は
　y = (x-b)^2 - 4(x-b) + 3
と書けます。これらが(0,0) を通るようにａやｂを決めます。
No.3458 - 2008/10/27(Mon) 09:27:13
★ (No Subject) / とくめい
割合の計算で質問ですが。ある取り組み前は4ヶ月間で59,052Lの水を使っていたのを改善よって15,288Lとなりました。すなわち、削減量は43,764Lとなりますがこのときの削減量を%で表すと、比べる量/元にする量＝割合でおおよそ72%・・という回答でよろしいのでしょうか？

よろしくおねがいします。
No.3433 - 2008/10/26(Sun) 14:50:30
☆ Re: / ヨッシー
改善前の４ヶ月と、改善後の４ヶ月の比較ということであれば、
それで良いです。

ただし、43764÷59052 なら、72% にはなりません。
No.3435 - 2008/10/26(Sun) 15:19:22
☆ Re: / とくめい
アドバイスありがとうございます。正確には(43764/59052)×100=74.1%ということで良いのでしょうか？
No.3436 - 2008/10/26(Sun) 15:51:08
☆ Re: / ヨッシー
そうですね。
ただし、正確には、
　(43764/59052)×100%＝74.1%
です。または
　(43764/59052)×100=74.1(%)
です。下の方は、簡便的な書き方で、正式ではありません。
No.3459 - 2008/10/27(Mon) 09:29:37
★ (No Subject) / 匿名
いつもお世話になっています。


Aの袋には赤玉5個、白玉2個、Bの袋には赤玉3個、白玉2個が入っている。Aの袋から玉を1個取り出して、Bの袋に入れた後、よくかき混ぜてBの袋から玉を1個取り出すとき、それが白玉である確率を求めよ。

この問題はAから取り出す玉が赤の場合と白の場合で分けて考えるのでしょうか?
解き方がよくわかりません(´･ω･｀)
教えて頂きたいので宜しくお願いします!
No.3424 - 2008/10/25(Sat) 21:20:19
☆ Re: / ヨッシー
>赤の場合と白の場合で分けて考える
です。

念のため、全部調べると、
　Ａから赤を取り出す確率５／７
　　このとき、Ｂは、赤４白２になっているので、
　　　白を取り出す確率１／３
　　　赤を取り出す確率２／３
　Ａから白を取り出す確率２／７
　　このとき、Ｂは、赤３白３になっているので、
　　　白を取り出す確率１／２
　　　赤を取り出す確率１／２
以上より、
Ａから赤を取り出して、Ｂから白を取り出す確率
　５／７　×　１／３　＝　５／２１
Ａから白を取り出して、Ｂから白を取り出す確率
　２／７　×　１／２　＝　１／７
Ａから赤を取り出して、Ｂから赤を取り出す確率
　５／７　×　２／３　＝　１０／２１
Ａから白を取り出して、Ｂから赤を取り出す確率
　２／７　×　１／２　＝　１／７
で合計１になります。
Ｂから白を取り出す確率は、
　5/21＋1/7＝8/21
No.3425 - 2008/10/25(Sat) 22:12:46
☆ Re: / DANDY　U
次のようなものも在りでしょう。
[別解]
Ａから取り出した玉が白玉である期待値は 2/7 です。
すると
Ｂから１つ取り出すとき、６個の中の白玉の個数の期待値は(2＋2/7)個となり
求める確率は (2＋2/7)/６＝8/21　となります。
No.3431 - 2008/10/26(Sun) 08:31:51
☆ Re: / 匿名
お二人とも、丁寧なご説明ありがとうございます。
お陰で理解できました!
時間をあけてもう1度解きなおしてみます。
本当にありがとうございました(^ω^)
No.3432 - 2008/10/26(Sun) 12:24:35
★ (No Subject) / すずほ
AB=5,BC=7,CA=3の△ABCがある。∠Aの二等分線が△ABCの外接円と交わる点をD,直線ADと直線BCの交点をEとする。このときEDは？
がわかりません。
どなたか教えて下さい。

No.3421 - 2008/10/25(Sat) 18:34:14
☆ Re: / ヨッシー

角の二等分線の定理より、
　ＢＥ：ＥＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝５：３
よって、
　ＢＥ＝35/8、ＥＣ＝21/8
また、こちらの性質より
　ＡＥ＝15/8
方べきの定理より
　ＡＥ・ＥＤ＝ＢＥ・ＥＣ
よって、
　ＥＤ＝49/8
No.3422 - 2008/10/25(Sat) 19:10:29
☆ Re: (No Subject) / すずほ
わかりやすい解答ありがとうございます。
No.3427 - 2008/10/25(Sat) 23:53:01
★ 数学的帰納法 / はづき
この式

1/6k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2

が何故次の式にもっていけるのかがわかりません。
=
1/6(k+1)(2k^2+7k+6)

わかる方よろしくお願いします。
No.3419 - 2008/10/25(Sat) 18:18:21
☆ Re: 数学的帰納法 / ヨッシー
(k+1) が共通にあるので、それでくくっただけです。

(1/6)k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2
　＝(k+1){(1/6)k(2k+1)＋(k+1)}
　＝(1/6)(k+1){2k^2+k＋6(k+1)}
　＝(1/6)(k+1)(2k^2+7k＋6)
No.3420 - 2008/10/25(Sat) 18:26:15
☆ Re: 数学的帰納法 / はづき

ありがとうございます!
助かりました。
No.3423 - 2008/10/25(Sat) 20:35:03
★ 場合の数 / ナルト
小５年生です。
かく乱順列というらしいのですが、考え方がわかりません。
書き出して解きましたが、これ以上は大変です。
何か規則があるのかとずっと考えています。

１から６までの番号をつけた６個のボールを１から６までの番号をつけた６つの箱に１つずつ入れるとき、ボールと箱の番号が異なる入れ方は何通りありますか。
また、同じように、１から７のボール、１から７の箱では何通りありますか。


１から５までの場合(４４通り）は、書き出して求めました。
よろしくお願いします。
No.3406 - 2008/10/25(Sat) 09:01:17
☆ Re: 場合の数 / DANDY　U
６人を A,B,C,D,E,F とします。すると条件を満たす入れ方には次の４パターンがあります。
(1) 例えば [A→B→D→F→E→C→A] のように、ボールの行き先が６つの間で循環していく場合
(2) [A→B→D→A][C→F→E→C]のように、３つずつの間で循環する場合
(3) [A→B→A][C→D→F→E→C]のように、２つ４つの間で循環する場合
(4) [A→C→A][B→D→B][E→F→E]のように、２つずつ３つに分かれて循環する場合

(1)の場合・・・5*4*3*2*1＝120（通り）
(2)の場合・・・グループの分け方は10通りで、グループ内での入れ替え方は２通りずつだから、10*2*2＝40（通り）
(3)の場合・・・グループの分け方は15通りで、グループ内での入れ替え方は１通りと６通りだから、15*1*6＝90（通り）
(4)の場合・グループの分け方は15通りで、グループ内での入れ替え方は１通りずつだから、15*1*1*1＝15（通り）

よって、合計は　120+40+90+15＝265（通り）となります。

小５とあれば、どこまで理解できるか分からないのですが、とりあえず回答します。

※ちなみに組み合わせの数の 6Ｃ3 などはご存知なのでしょうか？
※７つの場合は、1854通りとなります。
No.3408 - 2008/10/25(Sat) 10:21:47
☆ Re: 場合の数 / ナルト
ありがとうございます。
6C3　などはまだ習っていません。
書き出しで、何とか解きました。
すると、規則らしいものが見つかりました。
でも、どうしてそのようになるのかという根拠があやふやです。もう少し、時間をかけて考えます。
　
4つの場合が9通り、5つの場合が44通りから、
5×(9＋44)＝265、6×(44＋265)＝1854　のようになることを見つけたのですが、なぜなのかはっきりとわからないのです。よろしくお願いします。
No.3410 - 2008/10/25(Sat) 12:48:57
☆ Re: 場合の数 / らすかる
6つの場合
6番の箱に注目します。
6番の箱に1番のボールが入っていて1番の箱に6番のボールが入っている場合
→2番、3番、4番、5番が攪乱順列になっていればよいので9通り
6番の箱に2番のボールが入っていて2番の箱に6番のボールが入っている場合
→1番、3番、4番、5番が攪乱順列になっていればよいので9通り
6番の箱に3番、4番、5番の場合も同様なので、このような場合は5×9通り
上記以外の場合は、例えば
6番の箱に1番のボール、1番の箱に2番のボール、2番の箱に6番のボール
のように3つ以上で循環します。
このような場合、6番を抜いて
1→2→6→1 ならば 1→2→1
1→4→6→3→1 ならば 1→4→3→1
のようにすると、1〜5の5個の攪乱順列になります。
つまり1〜5の5個の攪乱順列のどこかに6を挿入した形になっているわけですが、
6を挿入する箇所は「1の次」「2の次」「3の次」「4の次」「5の次」の
5箇所ありますので、5×44通りとなります。
よって全部で 5×9+5×44=5×(9+44) 通りです。

7つ以上の場合も同じことが言えますね。
No.3411 - 2008/10/25(Sat) 13:47:39
☆ Re: 場合の数 / ナルト
ありがとうございました。
正直に言うと、まだよく理解できないのですが、じっくりと考えて、わかるようになりたいと思います。
5年生なので、難しい解法や用語などわからないことがところどころにあって、問題を解くのにも時間がかかってしまいます。それが、今、一番くやしいというか、歯がゆいです。

これからも、わからないことがあったときは、よろしくお願いします。
No.3413 - 2008/10/25(Sat) 14:48:30
☆ Re: 場合の数 / らすかる
上の説明はわかりにくかったような気がしますので、同じことですが
別の表現でもう一度書いてみます。

6つの場合
まず、5つの場合のパターンのどこかに6を挿入すれば6つのパターンが作れます。
例えば 1→3→5→1　2→4→2 ならば
1の次に6を入れると 1→6→3→5→1　2→4→2
2の次に6を入れると 1→3→5→1　2→6→4→2
3の次に6を入れると 1→3→6→5→1　2→4→2
4の次に6を入れると 1→3→5→1　2→4→6→2
5の次に6を入れると 1→3→5→6→1　2→4→2
5つのパターンは44通りで6の入れ方が5通りありますので、
このようにして作ったパターンは44×5通りあります。

上記のようにして作れない6つのパターンは
1→2→4→5→1　3→6→3
のようなパターンです。これは6を削除すると
1→2→4→5→1　3
となってしまい、5つのパターンになりません。
このようなパターンは6とペアになる数字が5通りで、残りの4個が
4つのパターン9通りとなりますので、9×5通りです。

よって5×(9+44)通りとなります。
No.3414 - 2008/10/25(Sat) 15:56:31
★ (No Subject) / 四十路前
　2次方程式x^2+bx+4=0(bは定数でb>0とする)において
　解を1つだけもつとき、定数bの値を求めよ。また、同様に（解を1つだけもつとき）解xの値を求めよ。
　残念ながら、解答がありません。
　ご指導をお願いします。
　
No.3396 - 2008/10/24(Fri) 23:12:51
☆ Re: / rtz
2次方程式が実数解を1つのみ持つ
⇔2次方程式の判別式D＝0

です。
No.3399 - 2008/10/24(Fri) 23:28:55
☆ Re: / ヨッシー
こちらの下の方に、判別式の説明があります。
No.3403 - 2008/10/25(Sat) 06:26:21
☆ Re: / 四十路前
なるほど、b^2-4ac=0からb=4。これよりx^2+4x+4からx=2ということでしょうか。？
No.3445 - 2008/10/26(Sun) 21:36:37
★ 旅人算 / さくら
小学校５年生です。教えてください。

周囲が1400mの池のまわりを太郎君と花子さんは反時計回りに、二郎君は時計回りに、同じ場所から同時に走り始めました。太郎君は二郎君と出会うと走る向きを逆転します。
太郎君、花子さん、二郎君は、それぞれ時速12km、時速6km、
時速9kmの一定の速さで走り続けます。

太郎君が二郎君にはじめて追いつくのは出発した場所から時計回りに何mのところですか。

よろしくお願いします。
No.3394 - 2008/10/24(Fri) 21:25:10
☆ Re: 旅人算 / ヨッシー
花子は関係ないので、無視します。

太郎 12km/時、二郎 9km/時 なので、

1400×9/(12+9)＝600(m)
　・・・出発地点から時計回りに600ｍの地点で出会う。
この地点から1400m差を追いかける旅人算になります。

1400×12/(12-9)＝5600(m)　・・・太郎
1400×9/(12-9)＝4200(m)　・・・二郎
それぞれ走ったところで同じ地点に来ます(太郎が追い付く)
No.3395 - 2008/10/24(Fri) 22:39:50
☆ Re: 旅人算 / さくら
質問ですが、どうしてそのような式で求めることができるのかわからないので、解説してください。
お願いします。
No.3397 - 2008/10/24(Fri) 23:16:48
☆ Re: 旅人算 / ヨッシー
太郎と、二郎が反対方向に進むとき、
お互いに進んだ距離の比は、１２：９ です。
1400mを21等分した長さの、12個分が太郎の進んだ距離
9個分が二郎の進んだ距離です。
二郎が時計回りに進んだので二郎の進んだ距離が時計回り方向の
距離です。その計算が、
　1400×9/21＝600
です。
No.3398 - 2008/10/24(Fri) 23:21:47
☆ Re: 旅人算 / さくら
分速に直してから計算しました。
1400÷(200＋150)＝4分
150×4＝600m
1400÷(200−150)＝28分
200×28＝5600m
5600÷1400＝4
ちょうど出会った場所から４周の地点で追いつくので、出発した場所から時計回りに600mのところになります。
これで、合っていますか？
比は、まだ習っていません。
No.3400 - 2008/10/24(Fri) 23:38:22
☆ Re: 旅人算 / ヨッシー
それで、いいですね。
No.3404 - 2008/10/25(Sat) 06:28:35
☆ Re: 旅人算 / さくら
ありがとうございました。
No.3405 - 2008/10/25(Sat) 08:49:30
★ 極値判定に関して / 海
質問があるのでお答えください。
Z=x^4+y^4-(x-y)^2という関数の極値を求めたいのです。
（ｆをxについて偏微分したもの）=0、（ｆをyについて偏微分したもの）=0より
（ｘ、ｙ）=（-1，1）、（0，0）、（1，-1）
更に（ｆをｘについて２回偏微分したもの）=12ｘ＾2-2
　　（ｆをｘについて、そしてｙについて偏微分したもの）=2
　　（ｆをｙについて２回偏微分したもの）=12ｙ＾2-2
からΔ=4-4（6ｘ＾2-1）（6ｙ＾2-1）

・ ・・（ｘ、ｙ）=（-1，1）、（1，-1）において極小値-2をとることは分かりました。
しかし・・・（ｘ、ｙ）=（0，0）における極値判定方法は先ほどの２点とは異なるものを用いるしかないようなのですが・・・それが分かりません。
ｘ=0+α、ｙ=0+βとおいて、（α、β）→（0、0）としF=ｆ（ｘ、ｙ）-0の符号を調べたのですが上手くいきませんでした。
お助けくださいm(__)m

ヘッセ行列でも駄目でした・・・。平面ｙ＝ｘや平面ｙ＝０との交線の様子を観察する方法ってどのようなものですか？
No.3390 - 2008/10/24(Fri) 10:02:22
☆ Re: 極値判定に関して / キューダ
f(x+εcosθ,y+εsinθ)-f(x,y)をεの二次（以上）まで評価します。
どのようなθに対しても増加（減少）するなら、そこは極小（極大）と判断できます。
ある方向に対しては増加、別の方向に対しては減少、というようなことが確認できた場合には、
極値ではないと判断できます。
従って、幾つかの適当なθについて、挙動を調べてみて、一つでも他と異なる動きを
するものがあれば、極値でないと言えます。
具体的にはθ=0、π/2、±π/4等で調べてみることです。
（これは、平面y=constやx=const、あるいはy=±x等で切断したことに相当します。）

この問題の場合は、θ=0やπ/2の時は、極大っぽい動きをしていますが、
θ=π/4では、極小っぽい動きをしていることが判るはずです。
(つまり、(0,0)は、極値ではないと判断できます。)

あるいは、．．．

この問題の場合は、x→X+Y、y→X-Yと変数変換して(z軸周りにπ/4回転させ、拡大に対応)、
X方向、Y方向からの接近の仕方で極値ではないと判断できるでしょう。
No.3393 - 2008/10/24(Fri) 19:06:58
★ 分析化学（緩衝液etc) / 大学1年
0.1mol/L　CH3COOH20mlがある
?@0.1mol/L　NAOH4ml
?A0.1mol/L　NAOH10ml
?B0.1mol/L　NAOH20ml
?C0.1mol/L　NAOH21ml
加えた時の水素イオン濃度とphを求めよという問題です。宜しくお願いします。
No.3386 - 2008/10/23(Thu) 17:04:43
★ 図形 / あきら
点Ｐ(α,β)がα^2+β^2+α+β＜1を満たしながら動く。ただし,α,βは実数とする。このとき,点Ｑ(α+β,αβ)の動く範囲は?
ってどう解くのですか?教えて下さい
No.3383 - 2008/10/23(Thu) 15:27:52
☆ Re: 図形 / にょろ
x=α+β,y=αβとします
α^2+β^2+α+β
=(α+β)^2-2αβ+α+β
=x^2+x-2y<1
という問題に帰着できました
No.3384 - 2008/10/23(Thu) 15:44:35
☆ Re: 図形 / らすかる
x^2-4y≧0 という条件も必要ですね。
No.3385 - 2008/10/23(Thu) 16:35:25
★ (No Subject) / けつ
関数f(x)=x^3+(k-9)x^2+(k+9)x+1 (kは定数)が極値をもたないようなkの値の範囲は□≦k≦□である。
解答がわからないので教えてください。
No.3378 - 2008/10/23(Thu) 10:33:46
☆ Re: / ヨッシー
極値をもつ→f’(x)＝０ が異なる２つの実数解を持つ
ということで、２次方程式の判別式の問題に置き換えられます。
No.3379 - 2008/10/23(Thu) 11:25:24
☆ Re: (No Subject) / けつ
やってみたのですが解りません?ﾎ
お手数ですが詳しい解説をお願いします?ｭ
No.3388 - 2008/10/24(Fri) 08:48:48
☆ Re: / ヨッシー
f’(x) は、求められますか？
その判別式は？
No.3389 - 2008/10/24(Fri) 09:34:04
☆ Re: (No Subject) / けつ
判別式はわかるのですが因数分解がわかりません?ﾎ
どうやればよいでしょう?[
No.3391 - 2008/10/24(Fri) 11:59:40
☆ Re: / ヨッシー
判別式≦０ を解く問題ですので、因数分解は必須ではありません。
解の公式でも、当てずっぽうでも何でもいいので、とにかく
解きましょう。
No.3392 - 2008/10/24(Fri) 12:27:45
★ 一次変換 / あき
こんばんは！
いつもありがとうございますまたお願いします(>_<)
http://o.upup.be/?o11UQGedT0
の問題なのですが不動直線で、さらに題意よりx=kの場合は考えずY=kx＋n の式と考えて http://k.upup.be/?QYesiBNTzW
このように解いたのですが2 という答えしか出ず後者のはこの答えがでてきませんでした…
なぜでしょう？これでは足りないのでしょうか？
ごめんなさい教えて下さい(>_<)
No.3375 - 2008/10/23(Thu) 01:34:13
☆ Re: 一次変換 / ヨッシー
問題と解答が別物のようです。
No.3376 - 2008/10/23(Thu) 06:01:26
☆ Re: 一次変換 / あき
すみません表示されないでわからないのですが
問題と
http://q.upup.be/?Ewal63pJv6
答え
http://k.upup.be/?IAeIHju23G
です。お願いします！
No.3380 - 2008/10/23(Thu) 11:26:31
☆ Re: 一次変換 / ヨッシー
まず、ｙ＝ｋｘ として、ｋの値（2つあります）を
求めて、それぞれの場合で、ｙ切片を付けても変わらないか
どうかを調べるのが、幾分楽かと思います。
No.3381 - 2008/10/23(Thu) 14:00:59
☆ Re: 一次変換 / 七
例えば，これでどうかな？
No.3382 - 2008/10/23(Thu) 14:29:22
☆ Re: 一次変換 / あき
お二方ありがとうございます、
ヨッシーさんのほうでは
Y切片をつけてもかわらないかどうかはどうやって調べたらいいんでしょうか？？？
No.3460 - 2008/10/27(Mon) 12:02:15
☆ Re: 一次変換 / ヨッシー
ｙ＝ｍｘ がそれ自身に移るとすると、点(x,mx) を変換した
(3x-2mx,4x-3mx) が ｙ＝ｍｘ 上にあるので、
　(4-3m)x＝m(3-2m)x
これが、ｘの恒等式になるので、
　４−３ｍ＝３ｍ−２ｍ2
これを解いて　ｍ＝１，２

ｍ＝１ のとき、ｙ＝ｘ＋ｎを考えると、点(x,x+n) の移動先
(x-2n, x-3n) が ｙ＝ｘ＋ｎ 上にあるとすると、
　ｘ−３ｎ＝ｘ−ｎ
で、これは、ｎ＝０ しか成り立たない。

ｍ＝２ のとき ｙ＝２ｘ＋ｎ を考えると、点(x,2x+n)の移動先
(-x-2n, -2x-3n) が、ｙ＝２ｘ＋ｎ 上にあるとすると、
　−２ｘ−３ｎ＝２(−ｘ−２ｎ)＋ｎ
これは、任意のｎについて成り立つ。

という具合です。
幾分たりとも、楽じゃないですね(^^;
No.3464 - 2008/10/27(Mon) 16:15:10
☆ Re: 一次変換 / あき
なるほどです、本当ありがとうございます！
No.3487 - 2008/10/28(Tue) 01:42:52
★ (No Subject) / みすえ
行列　 1 2　で表される一次変換によって
　　　-6　3
円ｘ2乗＋y2乗＝１が移される図形の方程式を求めよ。
という問題なのですが、
どのようにすればよいのかわかりません。
No.3373 - 2008/10/23(Thu) 00:39:17
☆ Re: / ヨッシー
この変換によって
　(x,y)→(X,Y)
に移るとします。通常は、
　X=・・・
　Y=・・・
の形になりますが、これを、
　x=・・・
　y=・・・
の形にして、x2＋y2＝１ に代入し、
X,Y の式にします。
No.3377 - 2008/10/23(Thu) 06:57:08
★ ！ / 羅王
nCr＝n-1Cr-1+n-1Crを示せという問題で、
n-1Cr-1+n-1Cr
＝(n-1)！／（ｒ−1）！(n-r)！+（n-1)！／ｒ！（n-r-1)！↑
＝（n-1)！{r+(n-r)}／r！(n-r)！
＝（n-1)！n／r！（n-r)！
＝n！／r！（n-r)！
＝nCr
とあるのですが、↑で示したところから次の行の式への
変形の仕方がまったくわかりません。なぜこうなるのでしょうか？どなたかご教授ください、お願いします。
No.3370 - 2008/10/22(Wed) 23:55:59
☆ Re: ！ / 羅王
すいません、やじるしが↑ではなく、←です。
No.3371 - 2008/10/22(Wed) 23:57:41
☆ Re: ！ / らすかる
(n-1)!/{(r-1)!(n-r)}=(n-1)!・r/{r・(r-1)!(n-r)}=(n-1)!・r/{r!(n-r)}
(n-1)!/{r!(n-r-1)!}=(n-1)!・(n-r)/{r!(n-r)・(n-r-1)!}=(n-1)!・(n-r)/{r!(n-r)!}
です。
No.3372 - 2008/10/23(Thu) 00:29:37
☆ Re: ！ / 羅王
返答ありがとうございます。
ご返答に書かれているのは、←から次の行の式の過程部分でしょうか？なぜ、
(n-1)！／（ｒ−1）！(n-r)！+（n-1)！／ｒ！（n-r-1)！が
(n-1)!/{(r-1)!(n-r)}に変形できるのでしょうか？
No.3415 - 2008/10/25(Sat) 16:05:02
☆ Re: ！ / ヨッシー
らすかるさんの記事は、各項の変形です。
もう一度書きますが、基本的に「通分」です。

(n-1)！／（ｒ−1）！(n-r)！　の分母子にｒを掛けて
　ｒ(n-1)！/ｒ！(n-r)！
です。
(n-1)!/ｒ！(n-r-1)！　の分母子にｎ−ｒ を掛けて
　(n-r)(n-1)!/ｒ！(n-r)！
それぞれ足して、
　{ｒ＋(n-r)}{(n-1)!/ｒ！(n-r)！}
　＝ｎ(n-1)!/ｒ！(n-r)！
　＝ｎ!/ｒ！(n-r)！
となります。
No.3417 - 2008/10/25(Sat) 16:32:06
☆ Re: ！ / 羅王
遅れてすいません。よくわかりました、ありがとうございます。
No.3508 - 2008/10/29(Wed) 14:55:20
★ 面白い問題 / Jez-z
直角三角形AOB(∠AOBは直角）を考える。頂点Aから打ち出された球が各辺で一回ずつ当たり、Ｂに達するようにするには∠OABにどのような条件を与えればよいか？

答はπ/4と予想されるのですが・・・その証明に苦心しています。（入射角＝反射角ですので・・・）
No.3367 - 2008/10/22(Wed) 21:54:06
☆ Re: 面白い問題 / らすかる
△AOB,△A'OB,△A'O'B,△A'O'B'をくっつけて描けばわかりますが、
π/6＜∠OAB＜π/3 になると思います。
No.3369 - 2008/10/22(Wed) 22:09:04
☆ Re: 面白い問題 / Jez-z
らすかるさん、’はなにを意味するのですか？？
No.3407 - 2008/10/25(Sat) 09:01:47
★ (No Subject) / 豊太郎
〈整数と方程式〉
方程式４x＋３y＝５５...?@を満たす自然数x、yについて考える。
?@を満たすx、yがともに１桁の自然数であるときx=7、y=9である。また、?@は4(x-7)＋3(y-9)=0と変形できる。
よって?@を満たす自然数x、yの組は〔ア〕組あり、これらの組の中でxとyの積が最小になるのはx=〔イウ〕y=〔エ〕である。
どのように考えればよいのでしょうか？
お願いしますm(_ _)m
No.3365 - 2008/10/22(Wed) 20:27:58
☆ Re: / ヨッシー
Ｘ＝ｘ−７、Ｙ＝ｙ−９ とおくと、
　−６≦Ｘ、−８≦Ｙ
であり、４Ｘ＝−３Ｙ　であるので、
　(X,Y)＝(0,0),(3,-4),(6,-8),(-3,4),(-6,8)
であり、
　(x,y)＝・・・
という具合です。
No.3368 - 2008/10/22(Wed) 22:03:29
★ (No Subject) / 三十路
　1から6の目がある2個のサイコロを同時に投げるとき、出る目のうち小さくないほうが4である確率をもとめよ。
　ただし、どのサイコロも目の出方は同様に確からしいものとする。
　解答は、7/36です。
　小さくないほうが4ということは、大きいほうが4ということでしょうか。？ということは、小さいほうは3以下ということでしょうか。？6/36だと思いました。
　御指導お願いします。！
No.3361 - 2008/10/22(Wed) 15:57:38
☆ Re: / ヨッシー
大きくなくてもいいので、小さくなければよいということです。
余計ややこしいですね。
（４，４）でも良いということです。
No.3362 - 2008/10/22(Wed) 16:01:23
☆ Re: / 三十路
なるほど、なんだか問題に騙された感じです。ご指導ありがとうございます。
No.3363 - 2008/10/22(Wed) 17:05:53
★ 理系大学1回生 / コニャック
「定円に内接する三角形のうち、面積が最大のものを求めよ。」
っとあるのですが、当然答えは正三角形です。
分かり切ったことですが、「なぜ正三角形が最大の面積になるのか」と教えてあげようとすると上手に説明できません。
どのように教えてあげればよいのでしょうか？
よろしくお願いします。
No.3351 - 2008/10/21(Tue) 22:59:40
☆ Re: 理系大学1回生 / rtz
適当に1本弦を引きます。

それを底辺とする三角形の面積が最大になるのは、
弦に対し、中心を挟んだ反対側に頂点を持ち、
弦以外の2辺の長さが等しい二等辺三角形のときです。

これは全ての辺に対しても言えますから、
全ての辺の長さが等しい正三角形が最大です。

くらいでいいのでは。
No.3353 - 2008/10/21(Tue) 23:24:39
☆ Re: 理系大学1回生 / キューダ
S=(1/2)*b*c*sinA
=2R^2*sinA*sinB*sinC　　(正弦定理)
≦2R^2*((sinA+sinB+sinC)/3)^3　　(相加相乗平均の関係)
≦2R^2*(sin((A+B+C)/3))^3　　（sin関数の凸性）
=(3√3/4)*R^2
No.3357 - 2008/10/22(Wed) 07:58:38
☆ Re: 理系大学1回生 / コニャック
rtzさん、キューダさん。
詳しい解法ありがとうございました。
教えてあげる子は中学生なのでrtzさんの解法を使って説明したいと思います。
お二方とも本当にありがとうございました！！
No.3364 - 2008/10/22(Wed) 20:04:44
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