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RSA解読の解説をお願いしたいです! / イシュ
サマーウォーズの大量の文字列を解読する際に

n×(P-1とQ-1の最小公倍数) + 1
または、
n×(P-1)×(Q-1) + 1
(※なぜP-1やQ-1として+1をしたのかわかりません。また、この式が何を知るための公式かわかりません。)


d={(p-1)×(q-1) + 1}÷e

(※なぜ秘密鍵dを求めるためにP-1やQ-1として+1をしてeで割るのかわかりません。)

などの公式が出てきますが、どうやって以上の公式を導いたのでしょうか?

また、短い数字の羅列を例題(例えば12345)を用いて、以上の公式を使い小学生でもわかるように、どのように公式を使い数字の羅列12345を文字列に変換したのか、出来れば図などを用いて解説して頂けないでしょうか?

No.76809 - 2021/07/20(Tue) 03:58:56
高校数学の計算 / 徹夜ターボー
2-47の問題の最後の同値部分の計算が処理できません。
簡単な問題のはずなのですが、何度やっても計算できません。

No.76802 - 2021/07/20(Tue) 00:23:52

Re: 高校数学の計算 / ヨッシー
展開して
 (6/25)(4k^2−4k+1)=k+3
 24k^2−24k+6=25k+75
移項して
 24k^2−49k−69=0
これを解きます。

No.76805 - 2021/07/20(Tue) 00:34:24

Re: 高校数学の計算 / 徹夜ターボー
迅速な解答ありがとうございます。
勝手な先入観で解けないと思い込んでいました。

No.76807 - 2021/07/20(Tue) 00:46:25
線積分 / コーヒー
∫_C(0,1) z^5e^{sin(1/z)} dz
C(0,1)は中心0、半径1の円です。
ローラン展開が分からず、上手く留数を求めることができません。
ご教授お願い致します。

No.76801 - 2021/07/20(Tue) 00:14:47
(No Subject) / 晴
線型空間Vにおいて線形部分空間Sにより、またその要素が作る線型空間が以下の性質を持つことを示せ。
(1)原点0はSに属する。
(2)Sは、Sに属するどのようなa,bに対しても、0,a,bの3つの点を頂点とする三角形の内部および周上の点を全て含む。
(3)Vに属するa,b,cが作る部分空間は、線形部分空間である。

どのようにして考えればいいのでしょうか。例えば(1)なんかは当たり前のようで説明がうまくできません。

No.76789 - 2021/07/19(Mon) 20:31:53

Re: / IT
> 例えば(1)なんかは当たり前のようで説明がうまくできません。
線型部分空間であるための条件は、何かを確認して下さい。

No.76792 - 2021/07/19(Mon) 20:55:09
(No Subject) / りか
合っているのが分かりません。教えていただきたいです。
No.76784 - 2021/07/19(Mon) 19:14:35
場合の数 / ami
E,X,C,E,L,L,E,N,Tの9文字の並べ替えるとき、Eが続けて並ばない並べ方の総数を求めよ。という問題です。

1)Eが3個隣り合うときは、7!/2! (通り) これは分かります。
2)Eが2個隣り合うときに
         (8!/(2!2!)-7!/2!)×2 という式が答えに書いてあります。
 この式について、
  E2個が隣り合うときに、残りのE1個がその2個と隣り合って、計3個隣り合うこともあるので引いていると思うのですが、これを最後に2倍しているのはなぜでしょうか?
  E2個が隣り合っているときに、その両端に残りのE1個が来るので2倍しているということでしょうか?
  もしそうなら、例えば隣り合っているE2個が左端にあるとき、残りのE1個は片側にしか入れないと思うのですが。
利用規約

No.76781 - 2021/07/19(Mon) 18:55:07

Re: 場合の数 / ヨッシー
E を2個にして、全部で8個の文字で考えます。

並べ方は全部で 8!/(2!2!) です。
分母の 2! の1つは E の入れ替え、もう1つは L の入れ替えです。
このうち、EE が隣り合うのが 7!/2! です。
これを引くと、E が隣り合わない8個の文字の並べ方となります。
このうち、向かって左にあるE を EE にするか、右の E を EE にするかで2倍します。

No.76785 - 2021/07/19(Mon) 19:39:04
πの近似値 / re
こちらの式の証明を知っている方いますか?
No.76780 - 2021/07/19(Mon) 18:16:11

Re: πの近似値 / ast
(無限根号ならまだしも有限個の多重根号だし) 単純な数値計算の話ではあるかもしれませんが, 論理的には証明すべき点は何もない, と思います. 関数電卓か何かで計算させればよいのでは.
# それとも何か数値解析的な話題に関する質問なのだろうか……

参考: WolframAlpha

No.76782 - 2021/07/19(Mon) 18:56:00

Re: πの近似値 / re
質問の仕方が悪かったです。
√2の部分がn個あるとき、512の部分は2^nになるはずで、nを∞に近づけたときπに収束するはずなんですが、それの証明ってありますかね?

No.76788 - 2021/07/19(Mon) 20:17:08

Re: πの近似値 / らすかる
2cos(π/8)=√2
2cos(π/16)=√(2+2cos(π/8))=√(2+√2)
2cos(π/32)=√(2+2cos(π/16))=√(2+√(2+√2))
2cos(π/64)=√(2+2cos(π/32))=√(2+√(2+√(2+√2)))
・・・
だから
2sin(π/16)=√(2-2cos(π/8))=√(2-√(2+√2))
2sin(π/32)=√(2-2cos(π/16))=√(2-√(2+√(2+√2)))
2sin(π/64)=√(2-2cos(π/32))=√(2-√(2+√(2+√(2+√2))))
2sin(π/128)=√(2-2cos(π/64))=√(2-√(2+√(2+√(2+√(2+√2)))))
・・・
よって
(2^3)√(2-√(2+√2))=(2^4)sin(π/2^4)
(2^4)√(2-√(2+√(2+√2)))=(2^5)sin(π/2^5)
(2^5)√(2-√(2+√(2+√(2+√2))))=(2^6)sin(π/2^6)
(2^6)√(2-√(2+√(2+√(2+√(2+√2)))))=(2^7)sin(π/2^7)
・・・
なので
lim[n→∞](2^n)sin(π/2^n)=lim[n→∞]π・sin(π/2^n)/(π/2^n)=π
によりπに収束。

No.76810 - 2021/07/20(Tue) 07:23:38

Re: πの近似値 / re
ありがとうございます。
No.76853 - 2021/07/22(Thu) 11:20:21
線形微分方程式について / 名無し
以下の問題をどのように解き進めればよいのか分かりません。教えて頂きたいです。
No.76779 - 2021/07/19(Mon) 16:52:46

Re: 線形微分方程式について / ast
問題の誘導 (係数行列を求め, その固有値と固有ベクトルを求め, 係数行列を対角化して変数ごとの微分方程式を得て解いて, 対角化と逆の計算をする) がその問題の解き方にほかならないので, 問題の指示の通りに進めればよいと思います.

# どこで何に詰まっているのか具体的に (知っている内容, やった計算等の内容など) 書かれないと教えようがないと思います.
# 教科書や資料はちゃんと開きながら問題に取り組んでいますか?

参考: 過去に答えた似たような問題

No.76783 - 2021/07/19(Mon) 19:00:38

Re: 線形微分方程式について / 名無し
(2)までは解くことができたのですが(3)のユニタリ変換というのが何をすればよいのか分かりません。
No.76790 - 2021/07/19(Mon) 20:42:39

Re: 線形微分方程式について / ast
この場合, ユニタリ変換と大仰に言ったところで「ユニタリ行列を掛ける (ことで得られる変数変換)」程度の意味でしかないです.

"エルミート行列はユニタリ行列で対角化できる" (実係数の場合のアナロジーは "対称行列は直交行列で対角化できる") という話はやってないですか?
# No.76783 でも述べたように, 本問は簡単な対角化の問題にすぎません.

No.76793 - 2021/07/19(Mon) 21:01:22

Re: 線形微分方程式について / 名無し
つまりこの場合この問で与えられる行列にユニタリ行列をかけてえられる対角化行列を用いて計算を進めていけば良いということでしょうか?
No.76798 - 2021/07/19(Mon) 22:34:08

Re: 線形微分方程式について / ast
> 問で与えられる行列にユニタリ行列をかけてえられる対角化行列

やりたいことがうまく言葉にできていないだけかもしれませんが, ↑に書いてある文をそのまま読むと割と支離滅裂なことになってるように思えます. たとえば, ユニタリ行列を掛けるのは変数ベクトルにであって係数行列にではありません. ただし, そのユニタリ行列はそれが定める相似変換 (代数的な言葉で言えば内部自己同型) によって与えられた方程式の係数行列を対角化するものです.

もしかして, 最初のレス No.76783 で示したリンク先スレッドのやり取りはお読みになっていないのでしょうか?
# リンク先の内容は実の場合ですが, No.76793 に書いた通り本問は完全にその複素版なので
# リンク先を読めばやるべきことは分かるはず. とくにこれ以上補足する必要性を感じません.

No.76808 - 2021/07/20(Tue) 01:21:45
(No Subject) / あ
次の問題の解答解説をお願いします。
No.76776 - 2021/07/19(Mon) 14:54:36

Re: / 関数電卓
以前 こちら で回答しました。
>> あ さん
ご覧になったら,回答を書かせっ放しではなく,何らかの reaction を下さいね。

No.76777 - 2021/07/19(Mon) 16:14:52

Re: / あ
すみません。今確認しました。ありがとうございます。
反射の法則と計算過程も確認したいです。。
お願いします。

No.76796 - 2021/07/19(Mon) 21:47:44

Re: / 関数電卓
反射の法則とは,問題文にあるとおり,下図で
 直線 OB が∠ABC を2等分する ⇔ ∠OBA=∠OBC
です。
しかし,点 A が球面上にないため,このままでは立式が難しい。
そこで,BA の延長と球面との交点を D とすると,対称性より
 △BCD は二等辺三角形 ⇔ CD⊥OB かつ CD の中点が OB 上
で,C の座標が求まります。
計算は自分でやって下さい。前の回答どおりになれば,正しい計算です。
 
 

No.76800 - 2021/07/19(Mon) 23:44:52

Re: / あ
ありがとうございます
No.76803 - 2021/07/20(Tue) 00:26:29

Re: / あ
すみません。
(3),(4)の詳しい計算過程教えてください。

No.76806 - 2021/07/20(Tue) 00:41:55

Re: / 関数電卓
CD⊥OB:
 DC=(x−1,y,z−2), OB=(1,2,0)
 DCOBDCOB=x−1+2y+(z−2)・0=0 …(3)
CD の中点 E は E((x+1)/2,y/2,(z+2)/2)
 E が OB 上 ⇔ OE=kOB
       ⇔ x+1=2k, y=4k, z+2=0 …(4)
 (4)を(3)にいれて k=1/5 ∴ x=−3/5, y=4/5, z=−2

※ 解法は他にもありますが,私は↑が最も簡便かと思います。

No.76812 - 2021/07/20(Tue) 08:50:42

Re: / あ
ありがとうございます。
No.76911 - 2021/07/23(Fri) 18:28:51
(No Subject) / わ
添付のクイズの正解と解説をお願いします。
No.76774 - 2021/07/19(Mon) 13:51:24

Re: / ヨッシー
すばらしい着想かどうかわかりませんが、
 ADを直径とする円を描く
 BCを直径とする円を描く
各円で、四角形ABCDの外側にある半円を外半円、もう一方を内半円と呼ぶことにします。
ADの内半円の中点と、BCの内半円の中点を結ぶ直線と
ADの外半円、BCの外半円の交点をそれぞれE,Fとすると、
EFが元の正方形の対角線になります。


No.76775 - 2021/07/19(Mon) 14:25:34

Re: / わ
4つの円の各中点を結ぶと直交する2直線が出てくるのは何故ですか?また、どうしてそのような発想が出たのでしょうか?
No.76778 - 2021/07/19(Mon) 16:50:56

Re: / ヨッシー
まず、正方形の角は90度なので、どこかに頂点が存在するとすれば、
それは、外半円上のどこかです。
それで、外半円を書いて、順々に線を引くと、長方形が無限にできることは
わかりました。


これを正方形にするための条件として、
 対角線は頂点を2等分する
を利用して、内半円の中点から外半円上の頂点に直線を引くと
確かに45度ずつに2等分されます。

向かい合った頂点の二等分線どうしが重なれば、1つの対角線となるので、
内半円の中点を結びます。

これで、対角線の1つが確定するので、これを中点中心に90度回転させると
正方形が確定します。

No.76786 - 2021/07/19(Mon) 19:57:56

Re: / わ
ありがとうございます。
このクイズの模範解答は添付の通りですが、理由が分かりません。解説お願いします。

No.76797 - 2021/07/19(Mon) 22:25:09

Re: / わ
この添付図です。
No.76799 - 2021/07/19(Mon) 22:42:43

Re: / ヨッシー
正方形の内部に適当に点を取り、その点を通って、
正方形の向かい合う辺をつなぐような、
互いに垂直な直線を引くと、辺で切られる部分の
線分の長さは等しい。
このことを、逆に使っています。

No.76804 - 2021/07/20(Tue) 00:27:18

Re: / わ
上記の根拠は何でしょうか?
No.76830 - 2021/07/21(Wed) 03:33:37

Re: / ヨッシー
2つの線分が等しいことの根拠なら、

図の2つの直角三角形が合同であることから示せます。

No.76831 - 2021/07/21(Wed) 07:59:01

Re: / わ
黒丸と白丸の角を含む左下の四角形が円に内接するのがどうして分かりますか?
No.76835 - 2021/07/21(Wed) 11:35:07

Re: / わ
上記の問いは間違いです。

斜線の直角三角形の黒丸の角が互いに等しくなる理由を教えてください。

No.76836 - 2021/07/21(Wed) 11:42:01

Re: / ヨッシー
どちらの黒丸も、白丸を足せば、180°になるからです。
No.76837 - 2021/07/21(Wed) 11:52:18

Re: / わ
左下の四角形の黒丸と白丸の両対角とは別の両対角の和は180°になるでしょうか?
No.76842 - 2021/07/21(Wed) 18:06:41

Re: / ヨッシー
どこのことを言われているかわかりませんが、何にしても

において、4つの●、4つの○はそれぞれ等しく、
 ●+○=180°
です。

No.76843 - 2021/07/21(Wed) 18:16:03

Re: / わ
了解しました。ありがとうございます。
No.76849 - 2021/07/22(Thu) 05:18:23
情報解析学 / NNM
この問題が全く分からないです。
教えて下さい、宜しくお願いします。

No.76771 - 2021/07/19(Mon) 09:29:29

Re: 情報解析学 / WIZ
記号「¬≡」は「不合同」の意味とします。
n が合成数であると仮定して矛盾を導きます。

前提条件
(A) 整数 a, n は共に 1 より大きいとする。
(B) a^(n-1) ≡ 1 (mod n)
(C) n-1 の任意の(正の)約数 m (ただし m ≠ n-1) に対して a^m ¬≡ 1 (mod n)

先ず、n-1個の自然数 {a^1, a^2, ・・・, a^(n-1)} は法 n で全て不合同であることを証明します。

自然数 i, j が 1 ≦ i < j ≦ n-1 であるとき、a^i ≡ a^j (mod n) だったと仮定します。
1 ≦ j-i < n-1 で a^(j-i) ≡ 1 (mod n) となります。
e[1] = j-i とおくと、(C)より e[1] は n-1 の約数ではありません。
従って、ある自然数 k[1] が存在して、k[1]e[1] < n-1 < (k[1]+1)e[1] となります。

e[1] > 1 ならば、a^e[1] ≡ 1 (mod n) かつ(B)より、
a^((n-1)-k[1]e[1]) = (a^(n-1))((a^e[1])^(-k[1])) ≡ 1 (mod n) です。
e[2] = (n-1)-k[1]e[1] とおくと、e[2] < e[1] かつ a^e[2] ≡ 1 (mod n) であり、
(C)より e[2] も n-1 の約数ではありません。

e[2] > 1 ならば、同様に k[2]e[2] < n-1 < (k[2]+1)e[2] となる自然数 k[2] が存在して、
e[3] = (n-1)-k[2]e[2] < e[2] かつ a^e[3] ≡ 1 (mod n) とでき、
以下、e[1] > e[2] > e[3] > ・・・ e[x] = 1 と減少する数列を構成できます。(x は自然数)
e[x] = 1 は(C)と矛盾します。

また e[x-1] > 1 かつ e[x] = 0 と 1 を飛び越えて減少することもありません。
何故なら、e[x] = 0 = (n-1)-k[x-1]e[x-1] と e[x-1] が n-1 の約数となり(C)と矛盾しているからです。

以上から、 1 ≦ i < j ≦ n-1 であるとき、a^i ≡ a^j (mod n) だったという仮定が誤りで、
{a^1, a^2, ・・・, a^(n-1)} は法 n で全て不合同で、
剰余類としては {1, 2,・・・, n-1} を並び変えただけのものと言えます。

つまり、
Π[k = 1, n-1](a^k) ≡ Π[k = 1, n-1]k (mod n)
⇒ a^((n-1)n/2) ≡ (n-1)! (mod n) ・・・・・(D)

次に n が 4 以外の合成数ならば、(n-1)! は n で割り切れることを示します。
n = 4 に対して題意を満たす a が存在しないことは容易に示せると思うので省略します。

自然数 p, q が 1 < p < q で n = pq の場合、1 < p < q < n となるので、
p と q は 1, 2, ・・・, n-1 の異なるどれかと一致しますので、(n-1)! は pq で割り切れます。

自然数 p が 1 < p で n = p^2 の場合、n ≠ 4 なので p > 2 で、1 < p < 2p < p^2 = n となるので、
p と 2p は 1, 2, ・・・, n-1 の異なるどれかと一致しますので、(n-1)! は p*2p で割り切れます。
つまり、(n-1)! は p^2 でも割り切れます。

以上から、 n が 4 以外の合成数ならば (n-1)! ≡ 0 (mod n) となりますが、
a^((n-1)n/2) ¬≡ 0 (mod n) なので、(D)は矛盾です。
従って、n が(4以外の)合成数ならば題意は成立しません。
素数に関する原始根の存在とその性質を既知とすれば、(A)より n は素数といえます。
# n = 2 は素数ですが、題意を満たしていると言えるのかは微妙ですが。

No.76819 - 2021/07/20(Tue) 16:47:26

Re: 情報解析学 / 高校三年生
混乱してきた。整理すると、

@「aの素因数にnの素因数がスッポリ入るとき」→「aの塁乗数でいずれは割れる。a^(n-1)ならより確実。」

A「aの素因数にないものがnの素因数にあるとき」→「aの塁乗数では割れない。」

Aについてさらに分割すると、

[@]「nが素数のとき」→「aの塁乗数の余りは、n-1通りのすべてを取り得る。ひと回りするまで重複しない。」

[A]「nが合成数のとき」→「aの塁乗数の余りには、取り得ない数が存在する。ひと回りするまでに重複する。」

こんな感じですか?
しかし、[A]のケースでたまたま、

a^(n-1) ≡ 1 (mod n)

が取り得て、かつ重複しない余りという可能性はないのかな?
合成数の場合の余り方のパターンを詳しく知りたいな。

No.76825 - 2021/07/20(Tue) 23:10:22

Re: 情報解析学 / 高校三年生
あっ!高校数学範囲だ。
東大入試で出てもおかしくない。

{a,a^2,・・・,a^(n-1)}のうち、合同なものが少なくとも1組存在するなら、
0<i<j<nを満たす整数組(i,j)に対し、

a^i・{a^(j-i) - 1}≡0 (mod n)かつ
a^i ¬≡0 (mod n)

を満たすものが存在し、そのとき{a,a^2,・・・,a^(n-2)}のうち、余りが1となるものが少なくとも一つは存在する。
これは題意を満たさないので、{a,a^2,・・・,a^(n-1)}の余りは、相異なるn-1通りの余りをもつ。
また、題意より、0<k<nを満たす整数kに対し、

a^(ℓ(n-1)+k)≡a^k・{a^(n-1)}^ℓ≡a^k (mod n)(ℓ=1,2・・・)

なので、連続するn-1個のaの塁乗数を元とする集合Uℓを、

Uℓ = {a^(ℓ(n-1)+1),a^(ℓ(n-1)+2),・・・,a^((ℓ+1)(n-1))} (ℓ=0,1,2・・・)

と定めると、結局、

Uℓ≡{1,2,・・・,n-1} (mod n)(ℓ=0,1,2・・・)

となり、

Π[k = 1, n^2-1](a^k) ≡ Π[k = 1, n-1]k^(n+1) (mod n)
⇒ a^((n^2-1)n^2/2) ≡ [(n-1) !]^(n+1) (mod n)

ここで、nを合成数と仮定しても、重複する素因数の個数は、高々n/2以下なので、
共に1でないnの約数pとqに対して、

n = pq ⇒ {p,q}⊆{1,2,・・・,[(n-1) !]^(n+1)}

よって、

[(n-1)!]^(n+1)≡0 (mod n)
⇒ a^((n^2-1)n^2/2) ≡0 (mod n)
⇒ {a^(n-1)}^((n+1)n^2/2) ≡0 (mod n)

これは題意に矛盾。結局、nは素数。

No.76832 - 2021/07/21(Wed) 09:02:25

Re: 情報解析学 / WIZ
高校三年生さんへ

> しかし、[A]のケースでたまたま、
>
> a^(n-1) ≡ 1 (mod n)
>
> が取り得て、かつ重複しない余りという可能性はないのかな?


自然数 n が合成数で、n と互いに素である任意の整数 a に対して a^(n-1) ≡ 1 (mod n)
となる n は存在し、カーマイケル数と呼ばれています。
しかし、「重複しない余りという可能性」はありません。
何故なら、a が n と互いに素なので、a の累乗も n と互いに素であり、
法 n の零因子(n と互いに素でない整数)と a の累乗が合同になることはないからです。
# 自然数 u, v が 1 < u < n, 1 < v < n, n = uv だったとして、
# 自然数 s, t に対して、a^s ≡ u (mod n) つまり a^s = u+tn = u(1+tv) となるが、
# (a, uv) = 1 より (a^s, u) = 1 なので矛盾。
オイラーの定理 (a, n) = 1 ならば a^(φ(n)-1) ≡ 1 (mod n) を調べてみると良いでしょう。

> を満たすものが存在し、そのとき{a,a^2,・・・,a^(n-2)}のうち、余りが1となるものが少なくとも一つは存在する。
> これは題意を満たさないので、{a,a^2,・・・,a^(n-1)}の余りは、相異なるn-1通りの余りをもつ。


題意は「n-1 の任意の(正の)約数 m (ただし m ≠ n-1) に対して a^m ¬≡ 1 (mod n)」なので、
余りが1となる a の指数が n-1 の約数でないのなら、直ちに「題意を満たさない」とは言えないですよね?
というか、上記が矛盾である(題意を満たさない)ことを証明するのが、この問題のキモなんだと思います。
なので、私の解法では余りが1となる a の指数が n-1 の約数ではないとことから、
ユークリッドの互助法的に a の指数を小さくしていって、最後は指数が 1 になり、
n-1 の約数である 1 が指数となったという矛盾を導いている訳です。

> 共に1でないnの約数pとqに対して、
>
> n = pq ⇒ {p,q}⊆{1,2,・・・,[(n-1) !]^(n+1)}


p = q ならば {p, q} ⊆ {1,2,・・・,[(n-1) !]^(n+1)} とは言えないのでは?
(n が素数の2乗で、1より大きい異なる2個の自然数の積に表せない場合)
おそらく、p < 2p < [(n-1) !]^(n+1) だから、
{p, 2p} ⊆ {1,2,・・・,[(n-1) !]^(n+1)} と間接的に示すことになるのでは?

No.76838 - 2021/07/21(Wed) 12:46:09

Re: 情報解析学 / 高校三年生
WIZ さん、返信ありがとうございます。

>オイラーの定理 (a, n) = 1 ならば a^(φ(n)-1) ≡ 1 (mod n) を調べてみると良いでしょう。

なるほど。調べてみます。

>直ちに「題意を満たさない」とは言えないですよね?

仰るとおりです。(T_T)

>p = q ならば {p, q} ⊆ {1,2,・・・,[(n-1) !]^(n+1)} とは言えないのでは?

情け無いです。この式自体、大嘘ですね。書くなら、

p = q ならば {p, q} ⊆ {φ|φは「(n-1以下の素因数)の塁乗数」同士の積で表せる[(n-1) !]^(n+1)以下の整数}

こんな感じじゃないと。これなら、どんな素因数に対しても、少なくともn+1個以上は含まれますので。
ところで、n が素数の2乗なら、上式の右辺の元になるのではないでしょうか?
やばいのは、n=2^k の場合ですが、それでもkは高々n/2以下かと。

No.76840 - 2021/07/21(Wed) 14:41:06

Re: 情報解析学 / WIZ
高校三年生さんへ

実は、76832の書き込みの
> また、題意より、0<k<nを満たす整数kに対し、
以降とか、

76840の書き込みの
> p = q ならば {p, q} ⊆ {φ|φは「(n-1以下の素因数)の塁乗数」同士の積で表せる[(n-1) !]^(n+1)以下の整数}
以降は、私にとって殆ど意味不明です。
特に、上記の「素因数」はどの整数の素因数ですか? n の? n-1 の? (n-1)! の? それ以外?

本問題の私や高校三年生さんの解法のアウトラインは、
(1) n が4以外の合成数であると仮定すると、
 題意の a に対して {a^1, a^2, ・・・, a^(n-1)} は法 n の 0 以外の代表剰余類となる。
 Π[k = 1, n-1](a^k) ≡ (n-1)! (mod n) となるが、右辺は 0 に合同で、左辺は 0 に不合同なので矛盾。
 だから n は合成数ではない。
(2) n が素数ならば題意が満たされることを示す。
・・・となります。

私の解説では、(2)については素数の原始根の性質から示せるとだけ書いていて、詳細は述べていません。
真面目にやろうとすると、原始根の存在証明をすることになり厄介(!)ですからね。
但し、高校三年生さんの「n を合成数と仮定すると矛盾するから n は素数だ!」みたいな早とちりはだめですよ。
n が素数でも題意を満たさないかもしれないし、題意を満たすというなら、それを証明しないといけません。

もうひとつ、集合の包括関係に対する誤解があるように思えます。
通常の集合(set)は同一の要素を重複して含みません。
プログラミング言語なら、同一の要素を重複して含む多重集合(multiset)というのがありますが。
「p = q ならば {p, q} ⊆ {φ|φはナンタラ・・・}」の集合 {φ|φはナンタラ・・・} は重複した整数を含みませんよね?
なので、上記の包括関係は成立しません。
それとも、高校三年生さんは {2, 2} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} と思っているのですか?

失礼しました。

No.76845 - 2021/07/21(Wed) 21:14:22

Re: 情報解析学 / 高校三年生
WIZ さん、返信ありがとうございます。

> {2, 2} ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} と思っているのですか?

いえ、思ってません。
WIZ さんの解法は理解しているつもりです。

{2, 2} ⊆ {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5}

これは成立しますよね?
a^(n(n-1)/2)はとても小さな値で、余りをたった「一巡」しかできません。

具体例)

n=4

a・a^2・a^3≡1・2・3≡2 (mod n)
a・a^2・a^3・a^4・a^5・a^6≡1・2・3・1・2・3≡0 (mod n)

2巡目で割り切れました。a^21 について、集合表記で、

{n}⊆{1, 2, 3, 2^2, 6, 3^2, 12 ,18, 36}

です。右辺は「(3以下の素因数)の塁乗数」同士の積で表せる36以下の整数です。

No.76848 - 2021/07/22(Thu) 02:57:13
(No Subject) / たな
すみません。質問があります。
この質問者は数学的知識があまりありません。

                                  an+2 = an+1 +an

これはフィボナッチ数列を漸化式で表した式ですが、

                                 an = an-1 + an-2

という形に自分で移項させることができません。
解き方を教えていただけないでしょうか?

No.76767 - 2021/07/19(Mon) 06:25:00

Re: / らすかる
a[n+2]=a[n+1]+a[n] (n≧1)
n=m-2とおけばm≧3となるので
a[m]=a[m-1]+a[m-2] (m≧3)
mをnという文字に変えれば
a[n]=a[n-1]+a[n-2] (n≧3)
となります。
「移項」は関係ありません。

No.76769 - 2021/07/19(Mon) 09:25:30
ロピタルの定理 / のあ
自力で解いてみたら(1)1 (2)1/2 (3)e (4)0 という解が出たのですが不安なので合っているか見て頂きたいです。
また、(5)は分からなかったので解き方と解を教えていただきたいです。

No.76764 - 2021/07/18(Sun) 21:28:25

Re: ロピタルの定理 / X
>>(1)〜(4)0
こちらの計算でも同じ結果になりました。

(5)
(与式)=lim[x→∞]{arcsin(1/x^2)}/(1/x^2)
と変形してロピタルの定理を適用します。

No.76765 - 2021/07/19(Mon) 05:55:35

Re: ロピタルの定理 / のあ
確認ありがとうございます。
(5)について、私もそこまで考えたのですが、arcsin(1/x^2)の微分で詰まってしまって出来ませんでした…。arcsin(1/x^2)は微分したらどのようになりますか?

No.76768 - 2021/07/19(Mon) 08:20:30

Re: ロピタルの定理 / ヨッシー
y=asin(x) (asin は sin の逆関数)
とすると、
 x=sin(y)
 dx/dy=cos(y)
 dy/dx=1/(dx/dy)=1/cos(y)
x=sin(y) の定義域は -π/2≦y≦π/2 なので、cos(y)≧0
よって、
 cos(y)=√(1−x^2)
 dy/dx=1/√(1−x^2) ←これは公式
これを用いて、
 asin(1/x^2)=(-2/x^3)/(1−1/x^4)
また
 (1/x^2)’=-2/x^3
よって
 (与式)=lim[x→∞]1/(1−1/x^4)=1

No.76772 - 2021/07/19(Mon) 09:53:35

Re: ロピタルの定理 / WIZ
(5)についてはロピタルの定理を使う程でもないと思うけど、
「使え」と指示されているのなら、ヨッシーさんの解法になるかな。

以下の解法の方が見通しが良いかも。

y = arcsin(1/(x^2)) とおくと、sin(y) = 1/(x^2) つまり、x^2 = 1/sin(y) です。
逆正弦関数の値域は代表値をとって -π/2 ≦ y ≦ π/2 とすると、
x→∞ のとき sin(y)→+0 つまり y→+0 だから、
lim[x→∞]{(x^2)arcsin(1/(x^2))} = lim[y→+0]{y/sin(y)} = 1
# lim[y→+0]{y/sin(y)} = lim[y→+0]{1/cos(y)} としてロピタルの定理を使ったことにするとか。

あと、ヨッシーさんの書き込みで、重箱の隅ですが幾つか指摘させてください。

> x=sin(y) の定義域は -π/2≦y≦π/2 なので、cos(y)≧0
逆正弦関数の値域の代表値を取っているのだと思いますので、
「x=sin(y) の定義域」という表現に違和感があります。
「y=asin(x) (asin は sin の逆関数)」の直後ぐらいに代表値である旨記述すべきでは?

> asin(1/x^2)=(-2/x^3)/(1−1/x^4)
「asin(1/x^2)'=(-2/x^3)/(1−1/x^4)」の書き間違いですよね?

失礼しました。

No.76773 - 2021/07/19(Mon) 13:00:08

Re: ロピタルの定理 / ヨッシー
あ、色々すみません。
No.76787 - 2021/07/19(Mon) 20:01:53

Re: ロピタルの定理 / のあ
なるほど!理解しました、詳しいご説明ありがとうございます!
No.76794 - 2021/07/19(Mon) 21:21:38
複素解析 / コーヒー
D=B(2i,4)とする。
D~(バー)上でf(z)=|e^(z^2-2iz)|を考える。f(z)の最大値と最小値を求めよ。
この問題が分かりません。宜しくお願い致します。

No.76763 - 2021/07/18(Sun) 20:15:06
(No Subject) / UI
すいません、この問題について質問です。

n 次正方行列 A に対して定義される関数 f(A) が多重線形性と交代性を満たすならば,
ある数 λ が存在して
f(A) = λ det(A)
となることを証明せよ。

というものなのですが、
ei = [0 · · ·
i
1 · · · 0]
として、f(A)を展開して、その係数をもとめて、江体制を使いやいのですが、

一般のnでやるのが結構難しくて、どなたかアドバイスもしくは解答のヒント・解答などお願いします。

No.76760 - 2021/07/18(Sun) 16:27:49

Re: / IT
有名な定理なので、たいていの線形代数学のテキストには、載っていると思いますので調べられると良いかと思います。

(確認した3冊いずれにも載ってます)
斎藤正彦「線型代数学」(東京図書)
斎藤正彦「線型代数入門」(東京大学出版会)
笠原こう司「線形代数学」(サイエンス社)

下記にも載っています。
https://www.u-tokai.ac.jp/uploads/sites/12/2021/03/PP92-99.pdf

No.76761 - 2021/07/18(Sun) 17:50:07

Re: / UI
ありがとうございます!!
参考にがんばってみます。

No.76770 - 2021/07/19(Mon) 09:26:05
斜交座標 / りんご
平面ベクトルで斜交座標という考え方がありますよね。これを空間で応用するにはどのように考えればよいのでしょうか?
抽象的な質問すみません。

No.76759 - 2021/07/18(Sun) 16:08:35

Re: 斜交座標 / ヨッシー
応用するというのがどういうことを指すのかわかりませんが、
空間でも、斜交座標は定義できます。

No.76762 - 2021/07/18(Sun) 17:54:04
2変数関数の極値 / ハンマ
kを0でない定数とする。このとき2変数関数f(x,y)=x³-3kxy+y³の極値を求めよ。

大学数学の問題なのですが、どうか解説頂けないでしょうか。

No.76758 - 2021/07/18(Sun) 15:58:05
n次導関数 / 母
f(x)=arctan2xとする。自然数nに対しf(0)のn次導関数を求めよ。

よろしくお願いします

No.76757 - 2021/07/18(Sun) 15:57:01
(No Subject) / りょう
解けないです。教えてください
No.76752 - 2021/07/18(Sun) 12:02:12

Re: / IT
まず、各括弧内を計算します。
No.76754 - 2021/07/18(Sun) 12:15:02
指数関数 / あ
√64の三乗根はなぜ4になるのですか?なぜ2ではないのですか?
No.76741 - 2021/07/18(Sun) 08:25:23

Re: 指数関数 / X
√64=8=2^3
なので2で正解です。

No.76742 - 2021/07/18(Sun) 09:00:26

Re: 指数関数 / あ
これが問題で
No.76743 - 2021/07/18(Sun) 10:01:42

Re: 指数関数 / あ
こっちが答えです
No.76744 - 2021/07/18(Sun) 10:02:27

Re: 指数関数 / あ
2であっているという事は答えが間違っているという事ですか?
No.76745 - 2021/07/18(Sun) 10:03:45

Re: 指数関数 / IT
64の3乗根なので4ですね
No.76746 - 2021/07/18(Sun) 10:22:24

Re: 指数関数 / あ
√ は無視するという事ですか?
No.76748 - 2021/07/18(Sun) 10:24:15

Re: 指数関数 / IT
√を無視する。ということではないです。3と√がセットで一つの記号です。

その記号(3と√の組み合わせ)について、教科書で確認してください。

No.76750 - 2021/07/18(Sun) 10:45:11

Re: 指数関数 / あ
ありがとうございます
No.76751 - 2021/07/18(Sun) 12:00:18
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