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★ 部分積分 / aru
3行目から4行目の変形で部分積分をおこなってると思うのですが(tanθ)^3に1/3の係数がつく理由がわかりません。
これ以上の解説もなくどうしようもない状態です。
どなたかわかる方、回答よろしくお願いします。
No.79192 - 2021/11/02(Tue) 20:25:31
☆ Re: 部分積分 / ヨッシー
∫ｆ・ｇ’＝ｆｇ−∫ｆ’・ｇ
（公式は端折りました）
において、この場合は、
　ｆ＝(θ＋π/4)(1＋tan^2θ)、ｇ＝tanθ
ではなく
　ｆ＝(θ＋π/4)、ｇ＝(tanθ＋(1/3)tan^3θ)
すなわち
　ｇ’＝tan'θ＋tan^2θ(tanθ)'＝(1＋tan^2θ)(tanθ)'
と見ます。
No.79194 - 2021/11/02(Tue) 20:54:43
★ 場合の数 / t.m.
黒いボール3つ、白いボール3つ、青いボール3つを
3つの異なる箱に入れる場合の数はいくらですか。
箱を区別しない場合はいくらでしょうか。
この問題
の解法を教えて下さい。
No.79188 - 2021/11/02(Tue) 18:32:38
☆ Re: 場合の数 / IT
＞3つの異なる箱に入れる場合の数
まず、黒ボール３つの入れ方を数え上げてください。
No.79190 - 2021/11/02(Tue) 19:27:43
☆ Re: 場合の数 / t.m.
ありがとうございます
No.79191 - 2021/11/02(Tue) 20:05:07
☆ Re: 場合の数 / IT
＞箱を区別しない場合はいくらでしょうか。
各色のボールについて３つの箱へ入れる個数の組み合わせ
（3個,0個,0個)をAパターン
（2個,1個,0個)をBパターン
（1個,1個,1個)をCパターン　とします。

３色のボールのパターンの組み合わせのパターンは
AAA　１通り
AAB　３通り
AAC　３通り
ABB　３通り
ABC　３！＝６通り
ACC　３通り　
BBB　１通り
BBC　３通り
BCC　３通り
CCC　１通り
（全部で3^3=27通りあることを確認）

さらに、それぞれ毎に、入れ方が何通りかあるので数え上げる。

例えばAABでは
　各Aの３個のボールをBの２個の箱に入れるか１個の箱に入れるか０個の箱に入れるかなので　３×３通り。

CCCでは１通り。

けっこう面倒ですね。もっと良い方法があるかも知れません。

No.79193 - 2021/11/02(Tue) 20:45:10
☆ Re: 場合の数 / t.m.
丁寧な説明ありがとうございました
No.79200 - 2021/11/03(Wed) 08:10:59
☆ Re: 場合の数 / IT
＞箱を区別しない場合
黒の入れ方
(3,0,0)(2,1,0),(1,1,1) それぞれで
　白の入れ方
　(3,0,0)(2,1,0),(1,1,1) 毎に
黒白入れた後
　青の入れ方が何通りかを考えた方が、もれなく数えやすいかも知れません。

黒白入れた後、３つの箱が区別される、２つの箱の中身は同じで１つの箱は異なる、３つとも同じ、どれかの状態になります。

　３つの箱が区別される場合　　青の入れ方は10通り
　２つが同じで１つが違う場合　青の入れ方は6通り
　３つとも同じ場合　　　　　　青の入れ方は3通りです

黒(3,0,0)
白(3,0,0)：青6通り
　(2,1,0)：　10通り
　(1,2,0)：　10通り
　(1,1,1)：　6通り
　(0,3,0)：　10通り
　(0,2,1)：　10通り

黒(2,1,0)
白(3,0,0)：青10通り
　(2,1,0)：・・・
　(2,0,1)
　(1,2,0)
　(1,1,1)
　(1,0,2)
　(0,3,0)
　(0,2,1)
　(0,1,2)
　(0,0,3)

黒(1,1,1)
白(3,0,0)：青6通り
　(2,1,0)：　10通り
　(1,1,1)：　3通り

合計171通り
　
No.79201 - 2021/11/03(Wed) 09:08:41
☆ Re: 場合の数 / らすかる
箱を区別する場合は(4H2)^3=1000通り
このうち
3箱とも内容が同じであるものは1通り(全箱各色1個ずつ)

特定の2箱の内容が同じで残りの1箱の内容が違うものは
内容が同じ2箱の各色の個数が0個または1個だが
全色が1個だと3箱とも同じになって不適なので
2^3-1=7通り
内容が同じ2箱の選び方が3C2=3通りなので、
2箱の内容が同じで残りの1箱の内容が違うものは7×3=21通り

3箱とも同じであるものは箱を区別しなくても変わらず1通り
2箱が同じであるものは箱を区別しない場合1/3となり、
全箱が異なるものは箱を区別しない場合1/3!になるので、
求める場合の数は
1+21÷3+(1000-1-21)÷3!=171通り
No.79202 - 2021/11/03(Wed) 19:04:19
☆ Re: 場合の数 / t.m.
皆様に感謝します。
No.79247 - 2021/11/06(Sat) 11:52:16
★ 漸化式が... / 複素数
複素数のもんだいです。z(n+2)-z(n+1)=α(z(n+1)-z(n)の漸化式が解けなくて困っています。z(n)を求めたあと、|z(n)-β(中心)|=r(半径)を示そうと思っています。
No.79182 - 2021/11/01(Mon) 23:06:39
☆ 漸化式が... / 複素数
僕はここまでしかできませんでした...
No.79183 - 2021/11/01(Mon) 23:08:23
☆ Re: 漸化式が... / X
方針は問題ないのですが、αを元に戻すのは
＞＞|z(n)-β(中心)|=r(半径)
の形にした後にした方が見通しが立て易いです。

まず、条件式から
z[n+1]-z[n]=α^n
となるので
z[n]-z[n-1]=α^(n-1)
…
z[1]-z[0]=α^0
∴n≧1のとき
z[n]=z[0]+Σ[k=1〜n]α(k-1)
=(1-α^n)/(1-α) (A)
(A)はn=0のときも成立。
(A)より
z[n]-1/(1-α)=-(α^n)/(1-α)
条件より
|α|=1
に注意して両辺の絶対値を取ると
|z[n]-1/(1-α)|=1/|1-α|
ここまで変形した上で、
αを元に戻します。
No.79184 - 2021/11/01(Mon) 23:36:08
☆ Re: 漸化式が... / 複素数
ありがとうございます！
No.79187 - 2021/11/02(Tue) 13:52:43
★ (No Subject) / あ
|a^2+b^2|で、絶対値記号を外すとどうなりますか？
No.79165 - 2021/11/01(Mon) 14:58:47
☆ Re: / ヨッシー
a, b ともに実数なら、
　a^2+b^2≧0
なので、
　|a^2+b^2|＝a^2+b^2
です。
No.79166 - 2021/11/01(Mon) 15:01:35
☆ Re: / あ
√a^2+b^2/|a^2+b^2|=1/√a^2+b^2 で合っているでしょうか？
No.79185 - 2021/11/01(Mon) 23:58:22
☆ Re: / らすかる
その式の書き方では
(√a)^2 + b^2/|a^2+b^2|
{√(a^2)} + b^2/|a^2+b^2|
{√(a^2+b^2)} / |a^2+b^2|
√{(a^2+b^2)/|a^2+b^2|}
のどれだかわかりません。
（√がどこまでかかっているかわかりません。）
No.79186 - 2021/11/02(Tue) 08:56:42
★ (No Subject) / 2変数
f(x,y)=(y-2)x^2-4xy+7x+2y(1≦x≦2,1≦y≦2)
の最大値を求めよ

解き方を教えてください
No.79164 - 2021/11/01(Mon) 11:37:02
☆ Re: / らすかる
f(x,y)=(2-y){2-(2-x)^2}-x+4
2-y≧0, 2-(2-x)^2＞0なので
最大値をとるとき2-yが最大すなわちy=1
f(x,1)=-x^2+3x+2=-(x-3/2)^2+17/4なので
(x,y)=(3/2,1)のとき最大値17/4をとる。
No.79179 - 2021/11/01(Mon) 22:42:57
★ 対数の不等式 / 雷電将軍の膝
現在高校3年生です。
「5a>b,log[a]b>log[b]a^3+2を満たす整数a,bを求めよ。」
という問題なのですが、log[a]b=1/log[b]aと置き換えて解いてみたのですが、-1<log[b]a<1/3という答えが出たものの、そこから先の導き方が分かりません。
ご教授いただければ幸いです。
No.79161 - 2021/10/31(Sun) 22:37:19
☆ Re: 対数の不等式 / らすかる
-1＜log[b]a＜1/3 ということは
b^(-1)＜a＜b^(1/3) つまり
a^3＜b ですよね。
ここでb＜5aなので
a^3＜5a
a＜√5
∴a=2（∵a=1は不適）
a^3＜b＜5aから
8＜b＜10なので
b=9
となります。
No.79162 - 2021/10/31(Sun) 23:04:22
☆ Re: 対数の不等式 / 雷電将軍の膝
ご回答頂きありがとうございます。
すっきりしました！(最初返信を変な所に送ってしまったみたいで、申し訳ないです...)
No.79181 - 2021/11/01(Mon) 23:00:28
★ 周波数解析について / A
画像のように等しい形が４つ並んでいるグラフについて、周波数成分を求めて頂きたいです。
解答は、f=1000,2000,4000[Hz]と予想しておりますが、フーリエ級数（直流成分、交流成分）やフーリエ変換を用いた解答もございますでしょうか？
面接試験で出題されたのですが、模範解答を見つけることが出来ませんでした。
どうか宜しくお願い申し上げます。
No.79158 - 2021/10/31(Sun) 20:58:56
☆ Re: 周波数解析について / A
記入漏れがございました。
f=3000[Hz]も予想しております。
どうか宜しくお願い申し上げます。
No.79159 - 2021/10/31(Sun) 21:00:35
☆ Re: 周波数解析について / 関数電卓
t 軸上の座標だけではなく，他の２点の座標が与えられないと計算できません。
> 面接試験で出題
どういう回答が要求されているのでしょう？ 私なぞ，フーリエ係数を計算せよと言われたら，時間が１時間あっても無理？
面接試験時に課題が渡されて「後日解答を送れ！」ってこと？
No.79160 - 2021/10/31(Sun) 22:18:51
☆ Re: 周波数解析について / A
ご回答を頂きまして、ありがとうございます。
編入学試験の口頭試問で出題がありました。
また、t 軸上の座標のみの問題でした。
解答を再考してみまして、
ｆ=0（直流成分）, 1000, 2000, 3000,4000[Hz]
が全てかと予想しておりますが、その他にも周波数成分がございましたら、お教え頂けますと幸いです。

どうか宜しくお願い申し上げます。
No.79171 - 2021/11/01(Mon) 17:42:22
☆ Re: 周波数解析について / 関数電卓
大変失礼致しました。お尋ね１行目の
> 周波数成分を求めて頂きたい
を注視しておらず,「フーリエ係数を求める」ことのみに関心が行っておりました。
周波数成分のみで良いのならば，
> 他の２点の座標
はいりません。
先ずは， こちら をご覧下さい。
この記事の P.31 の三角波は P.33 にあるように逐次級数展開でき，数学的には，いくらでも大きい周波数成分をもちます。しかしながら高次項は n＝3, 10, 100 と大きくなるに従い急速に小さくなります（グラフ参照)。
したがって，工学のような実用上の場面では「高次項の影響は誤差の範囲」と考え，n＝3, 4 くらいは取り上げても それ以上は無視，とする場合が多いです。
ということで，お尋ねの問題では，基本周期が 0.001[s]，基本周波数が 1000[Hz] ですから
> ｆ=0（直流成分）, 1000, 2000, 3000,4000[Hz]
で正解です。
それにしても，面接の口頭試問でこんな 条件反射的な回答 を要求するんだ？!!
No.79174 - 2021/11/01(Mon) 19:16:49
☆ Re: 周波数解析について / A
関数電卓様

ご返信が大変遅れてしまいまして、申し訳ございません。
この1週間は多忙でありましたため、休日のご返信となってしまいました。

ご丁寧に資料までもご解説頂きまして、誠にありがとうございます。
とても分かりやすく、ご説明頂いた内容も理解することが出来ました。

数学的には，いくらでも大きい周波数成分をもつため、
丁寧な解答としては、
「ｆ=0（直流成分）,1000, 2000, 3000, 4000, ・・・(1000の整数倍)[Hz]」
でありますが、高次項の影響は誤差の範囲であるため、
「ｆ=0（直流成分）,1000, 2000, 3000, 4000[Hz]」
でも正解となるということですね。


お忙しい中、お時間を頂くことは大変申し訳ないのですが、
最後にもう少しだけお聞きさせて頂けますと幸いです。

試験では、私は「基本周波数が1000[Hz]」とのみ答えました。
この場合、ｆ=1000, 2000, 3000, 4000, ・・・(1000の整数倍)を解答出来たことになりますか？
（そのつもりで答えたのですが、念のためお聞きさせていただきたく思います。）

また、その場合、私の誤答箇所は f=0[Hz] のみかと思います。
「ｆ=0（直流成分）,1000, 2000, 3000, 4000, ・・・(1000の整数倍)[Hz]」を100点満点とすると、
関数電卓様は、私の解答「基本周波数が1000[Hz]」 に何割ほどの点数を与えますか？
（国立大学の試験でしたが、数学はこの1問だけでありました。）

どうか宜しくお願い申し上げます。
No.79273 - 2021/11/07(Sun) 19:39:25
☆ Re: 周波数解析について / 関数電卓
A さんが受けた口頭試問では，どのような質問･回答のキャッチボールがあったのでしょうか？

私が面接官だったとしたら，試問で
(1) フーリエ級数とな何ですか？ 簡潔に答えなさい。
(2) フーリエ級数の周波数成分とは何ですか？
(3) (グラフを見せて) この関数をフーリエ級数に展開したとき，周波数成分を答えなさい。

のように回答者を誘導します。
面接の目的は，緊張している受験者から「持てる力を引き出す」ことですから。

> 私の解答「基本周波数が1000[Hz]」
に対しては，
「もう少し詳しく言うとどうですか？」
のように，追加回答を促します。ですので，
> 何割ほどの点数を与えますか？
なんとも言えませんが，60/100 点くらいでしょうか。
No.79276 - 2021/11/07(Sun) 23:52:56
★ 素朴な疑問 / mnr
因数分解をする時、どのような順番で書くのが数学的には美しいのでしょうか？
例えば、(x-2)(x+3)と書くのと(x+3)(x-2)と書くのではどちらの方が美しいですか？
No.79153 - 2021/10/31(Sun) 18:32:20
★ 数lll / Σ
どなたかこの問題の解き方と答えを教えてください。初めてみる問題で困っています。
No.79146 - 2021/10/31(Sun) 17:00:03
☆ Re: 数lll / m
f(x) = x log x は凸関数ですね．
それをふまえて（凸関数を知らない場合は f(x) の増減表・グラフを描いて）問題の n=2 の場合は自力で証明できますか．

一般の n はイェンセンの不等式: https://manabitimes.jp/math/600 の特別な場合になっています．
リンク先（の特に帰納法のところ）を読めば，問題も同様にして示せると思います．

// リンク先の λ_i は 1/n で置き換えると読みやすいかもしれません
No.79151 - 2021/10/31(Sun) 17:54:45
☆ Re: 数lll / ast
最近あった別のスレッドの□1番はちょうど同じ問題ですね (学習目的で解く問題なら, リンク先スレッドのような小問による誘導がなされるのが適切でしょう).

# どうでもいいが, この質問者はなぜ正しいIではなく一貫してlを重ねるのだろう < タイトル
## ハンドルはコロコロ変わるのに < 一貫して
No.79152 - 2021/10/31(Sun) 18:18:46
☆ Re: 数lll / 関数電卓
別の予備校の模試問題なのでしょうか？
高校生･予備校生にノーヒントで課すのはムチャですよね。
それにしても《解答･解説》はもらえないのだろうか？
No.79155 - 2021/10/31(Sun) 19:24:01
☆ Re: 数lll / IT
「解答・解説は、後でもらえるけど、その前に自分でやりたい（やったことにしたい）」とかでは？
実は、塾の講師だったりとか（これは考えすぎ？、さすがに塾の講師なら過去問の解答はストックがあるでしょうから可能性は低いです。）

学校の入試問題演習の場合は、「まず問題だけ配られて、数日後に出来た人が答えを発表（板書）して、先生が添削して、模範解答を配る。」流れだと思うので、この可能性が高いですね。
No.79156 - 2021/10/31(Sun) 19:59:53
☆ Re: 数lll / 関数電卓
> 実は、塾の講師だったり
なるほど〜 !!
『大数』の学コンをコピーしてばらまくところもあるや，ですから。
No.79157 - 2021/10/31(Sun) 20:08:54
☆ Re: 数lll / Σ
みなさん、いろいろと毎度教えていただきありがとうございます。ITさんのご指摘の後半の部分とおりでごさいます。僕は高三の受験生です。学校や塾の問題で配られたものの予習でわからなかったもの、手のつけられなかったものをこの場をお借りしてあらかじめ解答解説をお尋ねし、それらを授業前に踏まえた上で授業にのぞんでいます。毎度毎度丁寧に教えてくださるおかげで、とても助かっています。本当にありがとうございます。
No.79168 - 2021/11/01(Mon) 16:11:10
☆ Re: 数lll / 関数電卓
で，件の問題は，ご理解下さったのですか？
No.79170 - 2021/11/01(Mon) 16:57:07
☆ Re: 数lll / ast
> 解答解説をお尋ねし、それらを授業前に踏まえた上で
予習ってそういうもんだっけ?
解答解説を踏まえるのって復習時点という印象だけど
(予習時点から完全解答をカンニングする癖を付けてしまったら, 最初から答えの分かってる問題にしか取り組めない人が出来上がりかねないし, 少なくとも解答解説が既知の状態で授業本番に (そうでない場合と比較して) どこまで真剣になれるのかは危惧する)
No.79172 - 2021/11/01(Mon) 18:00:46
☆ Re: 数lll / Σ
関数電卓さんへ
イェンセンの不等式と過去のスレッドのおかげで、何とかなりそうです。お心遣いありがとうございます。
No.79173 - 2021/11/01(Mon) 19:12:06
☆ Re: 数lll / 関数電卓
うん。ast さんのご意見に全面同意！
No.79175 - 2021/11/01(Mon) 19:26:14
☆ Re: 数lll / Σ
astさんへ
ご指摘のとおり、模試や入試本番においてどこまで本番で実力が発揮できるかを危惧されることはごもっともだと思います。僕はここに質問する前に自分で解答作成してみています。その作成中に、どこかで手詰まりになったら、一度教科書やチャートを振り返ってヒントを得て解答作成に取り組みます。それでも、予習の解答作成段階でどうしてもこれ以上手がでなくなったら、この掲示板に質問しています。授業をうける前に、ある程度の解法、解答知ったうえで、さらに学校、塾で授業をうけることでより確実にひとつひとつの問題を理解しようと努めています。もちろん、授業が終わったらそれで終わりではなくこの掲示板や授業で教わった解答解説を見ずに日をおいて自力で解いてみて、どのくらいその問題について自分が理解できているか、復習しています。　
No.79176 - 2021/11/01(Mon) 19:30:37
☆ Re: 数lll / 高校三年生
xi > 0 (i=1,2,・・・,n)で、

x1·x2·・・・·xn = a

とおくとき、

x1·log(x1)+x2·log(x2)+・・・+xn·log(xn)≧a^(1/n)·log(a)

を示せ。

昔、こんな問題はやりました。・・・いや、それだけです。ｗ
No.79177 - 2021/11/01(Mon) 20:07:50
★ 高校数学 正弦定理の利用 / 徹夜ターボー
写真のはてな部分の連比がなぜ6:3:2となるのかわかりません。
No.79141 - 2021/10/31(Sun) 15:12:23
☆ Re: 高校数学 正弦定理の利用 / IT
その？の前の行の等式から,b^2,c^2 をa^2 を使って表すとどうなりますか？
No.79142 - 2021/10/31(Sun) 15:50:07
☆ Re: 高校数学 正弦定理の利用 / 徹夜ターボー
b^2=1/2a^2,c^2=1/3a^2ですか？
No.79143 - 2021/10/31(Sun) 16:37:40
☆ Re: 高校数学 正弦定理の利用 / IT
合ってますが、ネットの掲示板で表記するときは
b^2=(1/2)a^2,c^2=(1/3)a^2と括弧を使って紛れない表現にする必要があります。
No.79148 - 2021/10/31(Sun) 17:09:09
☆ Re: 高校数学 正弦定理の利用 / ヨッシー
それで、a^2 を１とすると、b^2 は 1/2、c^2 は 1/3 になり
　a^2：b^2：c^2＝１：1/2：1/3
となるわけですが、その前の部分は、いっそ算数的に、
　Ａ＝２Ｂ＝３Ｃ
が成り立つように、Ａ、Ｂ、Ｃ にできるだけ小さい自然数を入れましょう。
のように考えるとわかりやすいかも知れません。
No.79149 - 2021/10/31(Sun) 17:26:07
☆ Re: 高校数学 正弦定理の利用 / 徹夜ターボー
返信ありがとうございます。今度からカッコを使います。
結論はたどり着けるのですが、a^2:b^2:c^2＝６：３：２となった過程がイマイチ理解できないんです。1:1/2:1/3から６:３:２となることはわかるんですが、どこから６:３:２出てくるのかがわかりません。
No.79154 - 2021/10/31(Sun) 18:48:19
☆ Re: 高校数学 正弦定理の利用 / ヨッシー
ん？まさに
　Ａ＝２Ｂ＝３Ｃ
が成り立つように、Ａ、Ｂ、Ｃ にできるだけ小さい自然数を入れましょう。
ですよ。
No.79163 - 2021/10/31(Sun) 23:32:46
★ (No Subject) / tan治郎
こちら添付の問題の(2)において、P1の座標を(r1cosθ,r1sinθ)とおき、楕円の式に代入する方針では解けますが、P1の座標を(acosθ,bsinθ)とおいて解答することは可能でしょうか？
可能であれば式変形のやり方もお聞きしたいです。
No.79135 - 2021/10/30(Sat) 21:54:18
☆ Re: / ヨッシー
(acosθ, bsinθ) は、楕円上の点を表すものではありますが、
角度については、下図のとおりですので、難しいのではないでしょうか？

No.79138 - 2021/10/30(Sat) 22:37:19
☆ Re: / ヨッシー
あ、でも意外と出来そうかも。
No.79139 - 2021/10/30(Sat) 22:56:58
☆ Re: / ヨッシー
Ｐ1 を(acosθ, bsinθ) と置き、ＯＰ2 の式を
　ｙ＝−(acosθ/bsinθ)ｘ
とし、楕円に代入します。
　x^2/a^2＋(acosθ/bsinθ)^2ｘ^2/b^2＝1
　x^2/a^2＋(acosθ)^2ｘ^2/b^4sin^2θ＝1
　x^2(a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ)/a^2b^4sin^2θ＝１
　x^2＝a^2b^4sin^2θ/(a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ)
よって、
　y^2＝(a^2cos^2θ/b^2sin^2θ)x^2
　　＝a^4b^2cos^2θ/(a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ)
ここで
　r1^2＝a^2cos^2θ＋b^2sin^2θ
　r2^2＝(a^2b^4sin^2θ＋a^4b^2cos^2θ)/(a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ)
　　　＝a^2b^2(b^2sin^2θ＋a^2cos^2θ)/(a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ)

逆数の和は
　1/(a^2cos^2θ＋b^2sin^2θ)＋(a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ)/a^2b^2(b^2sin^2θ＋a^2cos^2θ)
　＝(a^2b^2＋a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ)/a^2b^2(b^2sin^2θ＋a^2cos^2θ)

　(分子)＝a^2b^2(cos^2θ＋sin^2θ)＋a^4cos^2θ＋b^4sin^2θ
　　＝(a^2＋b^2)a^2cos^2θ＋(a^2＋b^2)b^2sin^2θ
　　＝(a^2＋b^2)(a^2cos^2θ＋b^2sin^2θ)
よって、
　1/r1^2＋1/r2^2＝(a^2＋b^2)/a^2b^2　・・・(一定)

これは、ＯＰ1 がｘ軸方向、ｙ軸方向の場合も成り立ちます。
No.79140 - 2021/10/30(Sat) 23:36:04
★ (No Subject) / ddd
質問です。一辺の長さが1の正方形を作図したときにその
対角線の長さは√2になりますよね？
それって√2の長さを正確にかけたことになるんですか？
これを利用すると√nの作図も理論上可能？かと思うのですが、
数学的な厳密性などから矛盾などはないのでしょうか？
No.79134 - 2021/10/30(Sat) 21:29:39
☆ Re: / ヨッシー
実際に書く際の、方法による誤差（ペンの太さなど）は度外視して、
完全に理論上の作図ができたなら、√ｎ（ｎは整数）を、
連続的に描くことが出来ます。

多分、√（有理数）も出来るでしょう。
No.79136 - 2021/10/30(Sat) 22:15:38
☆ Re: / ヨッシー
もちろん、１の長さは与えられているものとします。

その条件下で、こちらも参考まで。
No.79137 - 2021/10/30(Sat) 22:17:32
☆ Re: / ddd
ありがとうございます。長さ1を基準とした時の√nの長さになっているからokということでしょうか？
例えば正確な長さ1cmが与えられていて
正確な長さ√2を作図した時に無理数なので
実線で表すことは不可能ではないのでしょうか？
No.79167 - 2021/11/01(Mon) 15:54:01
☆ Re: / ヨッシー
無理数といえども実数なので、ある大きさ（線で言うと長さ）を持ちます。
有限桁の小数で表せないことと、大きさが決まらないこととは違います。
それを言うなら、1/3 も円周も存在しないことになります。
No.79169 - 2021/11/01(Mon) 16:21:26
☆ Re: / ddd
ありがとうございます。
No.79233 - 2021/11/05(Fri) 20:49:42
★ 数ll / マクグイア
2^50＜2^n+(5/2)^nを満たす最小の自然数nを求めよ.ただし,0.301＜log(10)2＜0.3011である.

京大の過去問らしいんですけど、答えが見つからなくて困っています。どたなか、解説していただけないでしょうか。
No.79129 - 2021/10/30(Sat) 16:21:38
☆ Re: 数ll / IT
両辺に2^(2n) を掛けて
　2^(2n+50)＜2^(3n)+10^n として
　0.301＜log(10)2＜0.3011 を使って、３つの値の10進数での桁数などを評価して絞っていけばよいです。

まず、左辺を下から、右辺を上から評価して　n＞37 であることが分かります。

次に、n=38 のとき　左辺を上から、右辺を下から評価して
　2^(2n+50)＜2^(3n)+10^n を満たすことを示します。
No.79130 - 2021/10/30(Sat) 17:11:50
☆ Re: 数ll / らすかる
(別法)
a^n+b^nは例えばa＜bでnがある程度の大きさのとき、
aとbがかなり近い値でない限り
「a^n+b^nの桁数」はほぼ「b^nの桁数」になります。
そこで
2^50＜(5/2)^nを先に解いてn≧38を出し、
n=37のときに元の式が成り立つかどうかを検討するという手もあります。
（n≧38で2^50＜(5/2)^nが成り立てば当然元の式もn≧38で成り立ちます）
No.79131 - 2021/10/30(Sat) 19:13:14
☆ Re: 数ll / IT
らすかるさんの解法で、２段階の確認を避けるため、

　2^50＜2^n+(5/2)^n＜2(5/2)^n
∴2^49＜(5/2)^n　を解いてもいいかも知れませんね。
（この問題の場合は、これだけでギリギリn≧38が示せるようです。）
No.79132 - 2021/10/30(Sat) 20:27:48
☆ Re: 数ll / マクグイア
皆さま、ご丁寧に様々な解説をしていただきありがとうございました。
No.79145 - 2021/10/31(Sun) 16:46:43
★ 数B / 確率漸化式
袋の中に, 青色のカードが4枚, 黄色のカードが3枚, 赤色のカードが1枚の計8枚のカードが入っている. この袋から無作為にカードを1枚取り出して,その色を記録し袋に戻す試行を繰り返し行う. ただし,赤色のカードが取り出された場合はその回で試行を終了する.また, 黄色のカードが2回連続して取り出された場合もその回で試行を終了する.このとき,ちょうど n 回目 (n ≧1) に試行を終了する確率を求めよ.

学校の授業の予習で出されたんですけど、各場合における漸化式が作れなくて困っています。どなたか解答解説をよろしくお願いします。
No.79128 - 2021/10/30(Sat) 16:14:25
☆ Re: 数B / IT
n回目まで続いており
　n回目が青の確率をA(n)
　n回目が黄だが終わらない確率をB(n)
　n回目が黄で終わる確率をC(n)
　n回目が赤で終わる確率をD(n)
　とすると

A(n+1)=(1/2)(A(n)+B(n)) などと漸化式が出来るのでは

整理して、例えば　A(n+2),A(n+1),A(n) ３項間の漸化式などにすると出来そうです。
No.79133 - 2021/10/30(Sat) 21:24:11
☆ Re: 数B / 確率漸化式
A(n+1)=1/2(A(n)+B(n))
B(n+1)=3/8 A(n)
C(n+1)=3/8 B(n)
D(n+1)=1/8(A(n)+B(n))となり
A(n+2),A(n+1),A(n) ３項間の漸化式は特性方程式を用いて解くと
A(n+2)-3/4 A(n+1)=-1/4(A(n+1)-3/4 A(n))...?@
A(n+2)+1/4 A(n+1)=3/4(A(n+1)+1/4 A(n))...?A
?@より数列{A(n+1)-3/4A(n)}は初項1/16公比-1/4の等比数列なので
{A(n+1)-3/4A(n)}=1/16(-1/4 A(n))

とりあえずここまで解いてみたんですが合っていますでしょうか。
No.79144 - 2021/10/31(Sun) 16:44:56
☆ Re: 数B / IT
確認してみますが、３項間にしない方が簡単かも知れませんね。

使うのは下記２式だけで
A(n+1)=(1/2)(A(n)+B(n))
B(n+1)=(3/8) A(n)
適当に係数を掛けて和をとって等比数列を２つ作る方が簡単かも知れません。
A(n+1)-2B(n+1)=(1/2)(A(n)+B(n))-(3/4)A(n)
=(-1/2)(A(n)-2B(n))

A(n+1)+(2/3)B(n)=(1/2)(A(n)+B(n))+(1/4)A(n)
=(3/4)A(n)+(1/2)B(n)=(3/4)(A(n)+(2/3)B(n))
No.79147 - 2021/10/31(Sun) 17:05:39
☆ Re: 数B / IT
> ?@より数列{A(n+1)-3/4A(n)}は初項1/16公比-1/4の等比数列なので
> {A(n+1)-3/4A(n)}=1/16(-1/4 A(n))
その前の確認はしていませんが、上記は記入ミスでは？
それと分数は(3/4),(1/16) などと括弧で括って紛れのない式にしてください。
No.79150 - 2021/10/31(Sun) 17:29:41
★ 解き方を教えてください / らな
Aさんは、時速3.6km の速さで24秒歩きました。歩いた道のりは□mです。　という問題です。答えは、24秒=3600分の24時間=150分の1時間　3.6×1000×150分の1=24 答え24mです。なぜ3600なのかがわからないんです。わかる人教えていただければ幸いです。
No.79125 - 2021/10/29(Fri) 18:34:33
☆ Re: 解き方を教えてください / らな
学年と年齢を書き忘れたので、ここに書いときます。私の学年と年齢は、小六で、11歳です。でも、中学受験する人のための問題なので、学年と年齢は参考にならないかもしれません。
No.79126 - 2021/10/29(Fri) 18:41:21
☆ Re: 解き方を教えてください / ヨッシー
秒を時間に直すのですから、１時間が何秒かが重要ですね。

450m を km に直す場合は、1km が 1000m なので、
　450÷1000
です。この場合に、なぜ1000で割るのですか？と聞くのと同じです。

さて、１時間は何秒ですか？
　　　7200秒は何時間ですか？
No.79127 - 2021/10/29(Fri) 18:55:14
★ (No Subject) / スティームビーコン
圧力P1、比容積v1、温度T1のガスがノズルから流出し、P2、v2、T2、速度w2になった。但し、入り口速度と熱損失は無視し、このガスの定容比熱はcvとする。
(1) 入口エンタルピー、出口エンタルピーをそれぞれh1 、h2 とし、このノズル出入口間で成り立つエネルギー式を示せ｡

(2) 出口速度w2をP1、v1、T1、P2、v2、T2、cvを用いて表せ｡
(3) P1 = 0.180 MPa、v1 = 0.479 m3/kg、T1 = 300 K、P2 = 0.100 MPa、v2 = 0.729 m3/kg、T2 = 254 K、cv = 0.718 kJ/kgKの時、w2 [m/s] を求めよ｡また、T2 = 254 Kの時このガスの音速はいくらになるか。
(4) ノズル出入口間の断熱熱落差を求めよ｡
No.79122 - 2021/10/29(Fri) 16:28:06
☆ Re: / スティームビーコン
解き方を教えてください。
No.79123 - 2021/10/29(Fri) 16:28:53
★ 確率について / なな
確率について数式などを教えてください。

1/3で当たるくじ引きがある。
(当たったり外れたりしても中身の変更はせず、常に一定の確率)

1.15回連続で外れる確率を求めよ
2.このくじびきを1000回引いたとき、15回連続で外れることは何回あるかを答えよ
(16回連続の場合、16回目を1回目として再度カウントする)
No.79116 - 2021/10/28(Thu) 08:41:45
☆ Re: 確率について / X
1.
求める確率は
(2/3)^15=…

2.
1000÷15=66.…
により、くじを1000回引いたとき15回連続で外れる回数は
最大で66回
よって15回連続で外れる回数の期待値をEとすると
E=Σ[n=1〜66]n{{(1000-15n+n)!/{n!(1000-15n)!}}{(2/3)^(15n)}{(1/3)^(1000-15n)}
=Σ[n=1〜66]{{(1000-14n)!/{(n-1)!(1000-15n)!}}{2^(15n)}{(1/3)^1000}
=…
No.79120 - 2021/10/28(Thu) 19:31:37
☆ Re: 確率について / 関数電卓
>> X さん
私は全く解けないのでお尋ねです。
>このくじびきを 1000 回引いたとき、15 回連続で外れる
こんなに数字が大きいと検算のしようもないので，
　くじを４回引いたとき，２回連続で外れる回数（の期待値）E
を調べてみると，
　場合を列挙して計算すると　E＝60/81
　上の X さんの式からは　　 E＝44/81
となります。
↑の式の導出過程をご教示下さい。
No.79121 - 2021/10/29(Fri) 14:48:53
☆ Re: 確率について / X
＞＞関数電卓さんへ
ご指摘ありがとうございます。
私の方針では、1回だけ外れてその次の回が
当たる場合を考えていませんでした。

＞＞ななさんへ
ごめんなさい。2.については誤りですので
無視して下さい。
No.79124 - 2021/10/29(Fri) 18:24:38
★ 図形と計量 / る
高1の定期テストの最後の問題だったのですが、考えてもわからないので解法を教えていただきたいです。sinθを文字でおいて進めていきましたが、行き詰まってしまいました。この問題の答えは「-2<k<-1またはk＝0」です。
No.79111 - 2021/10/27(Wed) 23:23:56
☆ Re: 図形と計量 / X
sinθ=xと置くと、
0°≦θ≦180° (A)
より
0≦x≦1 (B)
で問題の方程式は
|-3x^2+4x-1|=k(x-1)
これより
|3x^2-4x+1|=k(x-1)
|(3x-1)(x-1)|=k(x-1)
-|3x-1|(x-1)=k(x-1)
{|3x-1|+k}(x-1)=0
∴|3x-1|=-k,x=1
なので
|3x-1|=-k又はθ=90°
ここで(A)(B)より
0≦x＜1 (B)'
なるxの値1個に対し、θの値が2個対応
していることに注意すると、題意を満たすためには
xの方程式
|3x-1|=-k (C)
が(B)'において1つのみ解を持てばよい
ことになります。
そこで
y=|3x-1| (D)
のグラフと、直線
y=-k (E)
が(B)'の範囲で交点を1個のみ持つ条件を
考えると…
No.79113 - 2021/10/28(Thu) 06:01:15
☆ Re: 図形と計量 / ヨッシー
一応別解かな？
ｔ＝sinθ と置いて、
ｙ＝|−3t^2＋4t−1| のグラフと　ｙ＝k(t-1) の
交点を調べます。

点(1,0) を通る直線 ｙ＝k(t-1) と、
　ｙ＝|(3t-1)(t-1)|
のグラフが、ｔ＝１ 以外に 0≦ｔ＜１ に交点を１つ持つことが、
求められる条件です。
ｋ＞０ は論外として、
ｋ＝０ の場合は　t=1/3 のみ解となるのでＯＫ。
０＞ｋ≧−１ （青の線）だと、２つ持つのでダメ。
−１＞ｋ＞−２　（赤の線）はＯＫ。
ｋが−２以下になると、放物線と交わらなくなるのでダメ。

ザッとこんな感じです。
No.79114 - 2021/10/28(Thu) 07:02:01
☆ Re: 図形と計量 / る
|(3x-1)(x-1)|=k(x-1)
-|3x-1|(x-1)=k(x-1)

このような変形を初めて見たのですが、どうやって変形したのか説明していただいてもいいですか？
No.79115 - 2021/10/28(Thu) 07:20:02
☆ Re: 図形と計量 / ヨッシー
無条件にそう変形できるわけではありません。

|(3x-1)(x-1)|＝|3x-1|・|x-1|
までは良いと思います。
この問題では、0≦x≦1 の範囲で解こうとしているので、
それを前提に、
　x-1≦0　よって、x-1≦0　→　|x-1|＝−(x-1)
としています。
もしその結果、ｘ＞１ の解が出てきたら、それは排除されます。
No.79117 - 2021/10/28(Thu) 09:00:09
☆ Re: 図形と計量 / る
もう一つお聞きしたいのですが、
ｙ＝k(t-1) と、
　ｙ＝|(3t-1)(t-1)|
のグラフが、ｔ＝１ 以外に 0≦ｔ＜１ に交点を１つ持つことが、
求められる条件です。
とありますが、解が3つあるということでt＝1以外に交点が2つなのかと思ったのですが、なぜ1つなのか教えてください。
No.79118 - 2021/10/28(Thu) 11:50:13
☆ Re: 図形と計量 / ヨッシー
X さんの回答の
>xの値1個に対し、θの値が2個対応
ここです。
No.79119 - 2021/10/28(Thu) 12:17:25
★ 剰余の定理 / 時計
整式P(x)をx-3で割ると3余り、(x-2)^2で割るとx+1余る。
（1）P(x)を(x-2)^2で割った商をq(x)とすると、q(x)をx-3で割った余りを求めよ。
（2）xP(x)を(x-3)(x-2)^2で割った余りを求めよ。

答　（1）-2（2）-5x^2+25x-24

問題集の答（(1)は理解できました）
（2）q(x)=(x-3)r(x)-2であるからP(x)=(x-2)^2q(x)+x+1に代入して
P(x)=(x-2)^2(x-3)r(x)-2(x-2)^2+x+1
これより
x P(x)=x(x-2)^2(x-3)r(x)-2x(x-2)^2+x^2+x
また、x(x-2)^2=(x-3)(x-2)^2+3(x-2)^2より
x P(x)=(x-2)^2(x-3){xr(x)-2}-6 (x-2)^2+x^2+x
よって求める余りは-6 (x-2)^2+x^2+x=-5x^2+25x-24


（2）について質問です。
私の回答（剰余の定理と微分を用いて解けると思ってやってみました）
条件からP(x)は適当な整式Q(x)、R(x)で
P(x)=(x-3)Q(x)+3=(x-2)^2R(x)+x+1
と表せる。
このとき剰余の定理から
P(3)=3
P(2)=2+1=3

求める余りax^2+bx+cとするとxP(x)は適当な整式S(x)で
xP(x)=(x-3)(x-2)^2S(x)+ax^2+bx+c
とおける。
これにx=2、3を代入して
3P(3)=9=9a+3b+c
2P(2)=6=4a+2b+c

さらにP(x) =(x-2)^2R(x)+x+1、xP(x)=(x-3)(x-2)^2S(x)+ax^2+bx+cの両辺をxで微分すると
P’(x)=2(x-2)R(x)+(x-2)^2R’(x)+1
P(x)+xP’(x)=(x-2)^2S(x)+2(x-3)(x-2)S(x)+(x-3)(x-2)^2S’(x)+2ax+b
これらにx=2を代入して
P’(2)=1
P(2)+2P’(2)=3+2=5=4a+b

したがって
9=9a+3b+c
6=4a+2b+c
5=4a+b
を解いてa=-2、b=13、c=-12

どこが間違っているのでしょうか？
ご教授お願いします。
No.79102 - 2021/10/27(Wed) 02:38:01
☆ Re: 剰余の定理 / ast
問題が正しいなら正答は (1) -1, (2) -2x^2+13x-12
解答が正しいなら正しい問題は "x-3 で割ると 2 余り"

だと思いますが.
# 個人的には後者と予想します.
No.79103 - 2021/10/27(Wed) 05:26:57
☆ Re: 剰余の定理 / 解け
解答が正しいなら正しい問題は "x-3 で割ると 2 余り"

でした。お騒がせしました。
No.79105 - 2021/10/27(Wed) 10:36:03
★ (No Subject) / もぐら水
4x²+3y²+6y=9 ってどう図示できますか
No.79099 - 2021/10/27(Wed) 00:11:26
☆ Re: / ヨッシー
4x^2＋3(y^2＋2y＋1)＝12
x^2/3＋(y+1)^2/4＝1 より、楕円
x^2/3＋y^2/4＝1　を、
ｙ方向に−１移動した楕円となります。
No.79100 - 2021/10/27(Wed) 00:15:22
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