以下の画像中の漸化式（2階線形差分方程式などとも呼ぶそうですが）が解けません。ご教示よろしくお願い致します。
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No.79883 - 2021/12/09(Thu) 23:03:50
| ☆ Re: 漸化式（2階線形差分方程式） / m | | | 特性方程式が因数分解できます．
x=1 が解になっているので（必要なら条件 p+q=1 を使って）
0 = px^2 - x + q = p (x-1) (x-q/p)
従って x = 1, q/p
仮定より 1≠q/p
よってある定数 α, βを用いて一般項は
a[n] = α + β (q/p)^n
と表せる．（これはご存じですか？線形代数の固有値あたりの話）
あとは初期値 a[0], a[10] を使って α, β を求めればいい.
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No.79884 - 2021/12/10(Fri) 01:52:51 |
| ☆ Re: 漸化式（2階線形差分方程式） / ast | | | どういう背景でこの問題を解いているのか知らないけれど, 三項間線型漸化式の解法は普通に高校の数列の単元でやる内容で (だから教科書見るなりWeb検索なりすればいくらでも解法の分かりやすい解説にあたるはずだし), 本問も実際のところその定型通りにやるだけで済んでしまう話なのだけれど,
> うまくいかない
というのは具体的にどういう状況なのか (解法の適用のしかたを知らないのか, 解法は適用できるはずだったけどいつもと勝手が違う部分があるのか, 解放の適用はうまく言ったけど計算がおかしいとか, そういう詰まってる部分が違えば解決すべきことが全然違う).
少なくとも「特性方程式」という単語を質問者自身が口にしていながら使い方を知らないとは考えにくいけど, そうは言っても
> 解の積がq/pとなることなどを用いて
の部分は「など」というのは他に何を用いたのか (例えば解の和も用いたということなら, そのように書いた意図は量れるかもしれない), どのようにそれらを用いた (用いようとした) のかといったことも曖昧にしないで (曖昧にされると, どのような解法を想定したか, 解法を理解しているのかいないのか, といったことすら判断付かないので).
さしあたって例えば以下のように話を進めた場合, どの部分が理解できてどの部分が理解できないか具体的な箇所を指摘してください
--- (ここから)---
定型通りに, px^2=x-q の二つの根が 1, q/p であることに注意すれば (以下 q/p はこの形を崩す必要が無いので r:=q/p と置きますが), 与えられた漸化式を
a[n+2]-a[n+1]=r(a[n+1]-a[n]),
a[n+2]-ra[n+1]=(a[n+1]-ra[n])
の二通りに表せるので, それぞれ解いて (つまり, 必要ならば b[n]:=a[n+1]-a[n], c[n]:=a[n+1]-ra[n] と書き換えて b[n], c[n] を求めるという意味で)
a[n+1]-a[n]=r^n(a[1]-1),
a[n+1]-ra[n]=a[1]-r.
これらを辺々引いて整理すれば a[n]=((r^n-1)a[1]-r^n+r)/(r-1). (この時点で a[1] の値の如何によらず a[0]=1 が満たされることが既に確認できる)
ここで, a[10]=0 の条件から a[1] = (r^10-r)/(r^10-1) を得るから, 代入して整理すれば所期の式を得ます.
--- (ここまで) ---
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No.79885 - 2021/12/10(Fri) 01:53:16 |
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