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★ 算数の問題です。 / かなえ
小学生に、答えをもらってないが教えてほしいといわれました。
正直、わかりません…。
教えていただけると嬉しいです
二問ほど失礼します（他はわかったのですが）

ある人が午後２時何分かに家を出ました。
その日の午後６時□分に言えに帰ってきたときに時計を見ると
長身と短針の位置が、家を出たときの長針と短針の位置とちょうどいれかわっていました。
□に入る数字を答えよ。

兄と弟がいます。兄が３歩で行く距離を弟は４歩で行き、
兄が５歩で進む間に弟は６歩進みます。
弟が家を出発して90歩進んだときに、兄が家を出発して弟を追いかけました。
兄は□歩進んだところで弟に追いつきます。
□に入る数字を答えよ。

よろしくお願いします。
No.2609 - 2008/09/09(Tue) 11:07:09
☆ Re: 算数の問題です。 / ヨッシー
前半の詳しい解説は、私のページの「和算目録」の「時計算」の
問題２をご覧ください。

最初の時間を２時○分とします。
２時○分は、長針が６と７の間で、
６時□分は、長針が２と３の間です。
２時○分から３時○分まで、長針が360°回ります。
３時○分から４時○分まで、長針が360°回ります。
４時○分から５時○分まで、長針が360°回ります。
６時○分まで行くと行き過ぎで、長針は６時□分まで回ります。
一方、短針は２時○分に、□分の位置にあったのが、
６時□分に○分の位置まで動くので、
長針と短針を合わせて、360°×４＝1440°回ります。
長針は１分に６°、短針は0.5°動くので、一定時間に動く角度は
　１２：１
です。
1440°のうち短針の動いたのは
　1440°×1/(12+1)＝(1440/13)°
です。これが、２時○分や、６時□分のときの、長針と短針の
角度になります。
６時のとき両者は180°差が付いています。
これを、１分 6−0.5＝5.5 ずつ長針が追い付いていって、
(1440/13)°になるまでの時間が□分です。
(180−1440/13)÷5.5＝1800/143＝12と84/143(分)

長いので、一旦切ります。
No.2610 - 2008/09/09(Tue) 11:48:44
☆ Re: 算数の問題です。 / ヨッシー
>兄が３歩で行く距離を弟は４歩で行き、
>兄が５歩で進む間に弟は６歩進みます。
を、何倍かして兄の歩数をそろえると、
兄が１５歩で行く距離を弟は２０歩で行き、
兄が１５歩で進む間に弟は１８歩進みます。
となるので、兄が１５歩歩く時間に、
兄は、弟の歩幅で２０歩分歩き、弟は１８歩歩きます。
よって、兄と弟の速さの比は１０：９です。


最初に、弟の歩幅で90歩分差が付いていて、これを兄が追いかけます。
追い付くまでに歩いた距離は、図のように１０：９ になっているので、
最初の弟の90歩は(1)にあたります。
兄は、弟の歩幅で900歩歩いたことになり、兄の歩幅でいうと
　900×(3/4)＝675(歩)
No.2611 - 2008/09/09(Tue) 12:01:14
☆ Re: 算数の問題です。 / かなえ
迅速かつわかりやすい回答ありがとうございます。
子どもと感動して読ませていただきました。

失礼かとは思うのですが、もう一問助けていただけないでしょうか・・・？

上り、下りともに□分おきに発車している列車がありまた線路沿いの道を歩く人がいます。
この人は上りの列車と12分ごとにすれ違い、下りの列車に15分ごとに追い越されます。
ただし、列車の速さはすべて等しく、また列車の速さと人の歩く速さはそれぞれ一定です。

□に入る数字を答えよ

計算していると、どうも変な答えにしかならないんです。

よろしくお願いします。
No.2612 - 2008/09/09(Tue) 12:10:13
☆ Re: 算数の問題です。 / ヨッシー

図の左のようなダイヤグラムを描きます。
右上がりが上り、右下がりが下り、ゆるく横切るのが人です。
２本の列車と人が同時にすれ違った瞬間があったとして、
その付近を切り取ったのが、真ん中の図です。
△ＡＢＣと△ＥＤＣは相似で、相似比は１２：３＝４；１です。
よって、ＢＣ：ＣＤも４：１で、ＢＣ＋ＣＤ＝ＢＤ＝ＡＢであることから、
　ＡＢ：ＢＣ：ＣＤ＝５：４：１
となり、ＣＤ：ＤＥ＝ＢＣ：ＡＢ＝４：５　です。
点Ｄから、真下に直線を引きその線にＣ、Ｅから垂線ＣＦ、ＥＧを引きます。
△ＣＤＦと△ＥＤＧは相似(上下線の速度が等しいため)なので、
相似比は、４：５です。よって、ＣＦ：ＧＥ＝４：５　となり
ＣＦにあたる部分の時間は３分×４／９＝８０秒＝１分２０秒
求める間隔は、１２分＋ＣＦ＝１３分２０秒　となります。
No.2613 - 2008/09/09(Tue) 13:19:31
☆ Re: 算数の問題です。 / ヨッシー
式で解くとこんな感じです。
すれ違った瞬間は、次の列車は上りの場合も、下りの場合も
人から同じ距離離れています。
それから上りの場合は、列車＋人の速さで近付き
下りは列車−人の速さで近付きます。
出会うまでの時間の比は、速さの逆比なので、
　(列車＋人)：(列車−人)＝１５：１２
となり、和差算より、列車と人の速さの比は
　13.5：1.5＝９：１
となります。
10の速さ(列車＋人)で、12分で出会う距離を、
９の速さ（人が止まっている）で行くと、
　１２×１０÷９＝13と1/3
で、13分20秒　となります。

和差算の所を線分図でやっても出来ます。
No.2614 - 2008/09/09(Tue) 13:35:20
☆ Re: 算数の問題です。 / かなえ
二通りもありがとうございました！！
途中までのプロセスはあっていたみたいで一安心です。

ありがとうございました
No.2615 - 2008/09/09(Tue) 14:17:38
☆ Re: 算数の問題です。 / にょろ
独り言というか愚痴というか…
小学生の時この手の問題が分からなくて父に聞いたら
コレをxとおいて…方程式がこう立つから
コレを解いて云々
と意味不明のことを言われた覚えが…

小学生なので方程式なぞ分かるはずもなく…

以上チラシの裏すいませんでした
No.2625 - 2008/09/09(Tue) 20:12:41
★ 二項定理 / *Sana*
?@(a+b)^4
?A(x+y)^6
?B(x-y)^4
?C(x+2y)^5

予習なんですが、やり方が分からなくて(汗)すみませんが、宜しくお願いします。
No.2606 - 2008/09/09(Tue) 05:53:02
☆ Re: 二項定理 / ヨッシー
一番面倒な(2) で説明します。

最終手段は「ゴリゴリやる」です。
(x+y)2＝x2+2xy+y2
(x+y)3＝(x+y)(x2+2xy+y2)＝x3+3x2y+3xy2+y3
　・・・
といった具合です。

ただし、二項定理とあるので、それを使うと、
(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)
このように、ｘとｙの入ったカッコが６つあり、
その中から、ｘかｙをどちらか１個ずつ取り、
計６個の文字を取って、掛けるとします。
出来る項は
x6、x5y、x4y2、x3y3、x2y4、xy5、y6
の７種類です。
x6 を作るには、それぞれのカッコからｘを取る１通りなので、
x6の係数は１です。
x5y を作るには、左から順に
xxxxxy,xxxxyx,xxxyxx,xxyxxx,xyxxxx,yxxxxx
の６通りなので、x5y の係数は６です。
x4y2 を作るには、左から順に
xxxxyy,xxxyxy,xxyxxy,xyxxxy,yxxxxy,
xxxyyx,xxyxyx,xyxxyx,yxxxyx,xxyyxx,
xyxyxx,yxxyxx,xyyxxx,yxyxxx,yyxxxx
の15通りなので、x4y2の係数は15です。
このように考えると、
　xny6-n
を作るには、６つのカッコからｎ個ｘを取る組み合わせと
考えられるので、係数は 6Ｃn と書けます。
よって、
(x+y)6＝x6＋6x5y＋15x4y2＋20x3y3＋15x2y4＋6xy5＋y6
となります。
No.2607 - 2008/09/09(Tue) 06:08:21
★ 指数関数 / おだ
?@関数Ｙ=４＾х−２＾（х＋１）はх=□のとき、最小値□をとる。
?A関数ｆ（х）=４＾х‐６・２＾х＋３はх=log2□のとき、最小値□をとる。

の解き方が解りません。是非教えて下さい。
No.2600 - 2008/09/08(Mon) 22:44:27
☆ Re: 指数関数 / rtz
両者ともt＝2x(＞0)とおけば、
普通の2次関数の最大最小問題に帰着します。
No.2601 - 2008/09/08(Mon) 22:47:11
★ 常用対数 / ゆ
log_{10}(3)=0.4771を用いてlog_{10}(3)^60を計算すると△△△である、したがって3^60は△けたの数である。
また3^-20は少数第△位に0でない数がはじめて現れる。

△のところを求めたいのですが…
よろしくお願いします。
No.2598 - 2008/09/08(Mon) 22:02:49
☆ Re: 常用対数 / ヨッシー
前半は公式
　log10ａb＝ｂlog10ａ
を使い、△△△が出ます。
たとえば、
　log10Ａ＝3.12 などのように、整数部が３の数だとすると、
　log101000＝3
　log1010000＝4
より
　log101000≦log10Ａ＜log1010000
より、Ａは４桁の数となります。上の場合はどうでしょう？

同様に
　log10３-20＝-9.541
ですが、たとえば、
　log10Ｂ＝-3.12
のような場合、
　log100.001＝-3
　log100.0001＝-4
より、
　log100.0001＜log10Ｂ≦log100.001
より、Ｂは小数第３位に初めて０でない数字が現れます。
さて、-9.541 の場合は？
No.2603 - 2008/09/08(Mon) 23:09:19
★ (No Subject) / かず
図のように半径１０メートルの円が４つ接している花壇がある。４つの円の中心が正方形になるように配置されていたとすると、青く塗られた部分の面積を簡単に求められるという。それは何平方メートルですか。

教えてください。これも子供から出された問題なのですがわからないのでお願いします。
No.2597 - 2008/09/08(Mon) 21:43:21
☆ Re: / rtz
添付図を参照。
No.2599 - 2008/09/08(Mon) 22:08:50
★ (No Subject) / かず
図のような円形の広場の中央に石像がある。石像部を除いたドーナツ型の広場に１本だけ線を引いて全く同じ形の２つに切り分けられる。どこに線を引けばよいか答えなさい。

何度もすみません。教えてください。
No.2596 - 2008/09/08(Mon) 21:40:33
☆ Re: / ヨッシー
ドーナツの穴の半径をａ，外周の半径をｂとします。
　同じ形＆同じ大きさとは限らない＝相似
と考えると、
半径√(ab) の所に同心円を引いて切り取ればよい。

No.2604 - 2008/09/08(Mon) 23:25:39
☆ Re: / rtz
これ合同って意味ではないのですよね…？
No.2605 - 2008/09/09(Tue) 00:16:40
☆ Re: / ヨッシー
ある種ネタバレなのですが、某ゲームソフトに同じ問題が
ありましたので、間違いないでしょう。
No.2608 - 2008/09/09(Tue) 08:40:21
☆ Re: / かず
ゲームソフトなんてあるんですか？どんなソフトか知りたいです。ちなみに、ルートａｂはどの線になるのかがよくわからないので詳しく教えてくれますか。
No.2717 - 2008/09/14(Sun) 22:43:39
☆ Re: / ヨッシー
ゲームは Nintendo DS の
　「ヨッシー教授と天使の箱」
によく似たタイトルのゲームです。これのナゾ060がそれです。

上の図は、外径４，内径１のドーナツの場合で、
　√ab＝√(4×1)＝２
より、半径２のところに円を描いて、円にそって切り離し、
　外径４，内径２　のドーナツと、
　外径２，内径１　のドーナツとに分けています。
小さい方を２倍に拡大すれば大きい方になり、ピッタリ重なる
（相似である）ことを表しています。

切るところだけを示すと↓こうです。

No.2719 - 2008/09/14(Sun) 23:19:43
★ (No Subject) / かず
子供から出された問題なのですがわからないので教えてください。

ジョニー｢僕の持っているりんごを君に１個あげるよ。これで２人の持っているりんごの数が同じになるよね。｣
トーマス｢いや、君はいつも宿題を教えてくれるから、お礼にぼくのりんごを２個あげる。こうすれば君はぼくの３倍のりんごをもってくることになるよ。｣
ジョニーとトーマスはそれぞれ何個ずつりんごをもっていたのだろうか。

すみませんがゲームの問題らしいのですが・・・おしえていただけませんか。
No.2594 - 2008/09/08(Mon) 21:34:44
☆ Re: / rtz
ジョニーの言葉から、
ジョニーがトーマスより2個多く林檎を持っていることが分かります。

よってトーマスがジョニーに2個林檎を渡すと、差は6個になります。
この時点でジョニーはトーマスの3倍の林檎を持っており、
トーマスの2倍が、2人の差の6個ですから
トーマスは3個でジョニーが9個です。

あとは渡した林檎を戻せば元の状態に戻ります。
No.2595 - 2008/09/08(Mon) 21:39:47
★ 方程式 / creampuff
実数x,yの方程式をグラフを利用して解け。

｜x-y｜=1+x

｜x+y｜=1+y

見当がつかないので教えてください。
No.2585 - 2008/09/08(Mon) 02:57:18
☆ Re: 方程式 / 与一
ふたつの方程式のグラフを書いて、その交点の座標が方程式の解になります。

まず、第一式から求めましょう。
ｘ-ｙ≧０とｘ-ｙ＜０で場合分けなので、ｙ＝ｘが境界線
となります。

ｘ≧ｙのとき
ｙ＝-１
ｘ＜ｙのとき
ｙ＝２ｘ＋１

よって、グラフを書くと、『∠』のような形になります。

第２式も同様の方法で書きます。
No.2586 - 2008/09/08(Mon) 03:13:29
☆ Re: 方程式 / にょろ
補足というか何というか…
グラフはこうなります。

見ても良いけど丸写しとかは禁止ですよもちろん
No.2593 - 2008/09/08(Mon) 20:04:52
☆ Re: 方程式 / creampuff
与一さん、にょろさん、ご丁寧にありがとうございました。
No.2627 - 2008/09/10(Wed) 00:05:23
★ 同値条件 / コブクロ
方程式?@、?Aがあるとします。
?@+?Aをつくりそれを?Bとします。
ここで、?A＝?B-?@と表されるから
?@かつ?A⇔?@かつ?B

?A＝?B-?@と表されるから、どうしてこのような同値変形ができるのですか。同値変形について、複雑になればなるほど何をやっているのかがわからなくなることが多々あります。解説よろしくお願いします。
No.2581 - 2008/09/08(Mon) 01:29:18
☆ Re: 同値条件 / rtz
丸囲み文字は環境によって文字化けしますので、
使うのは避けた方がよいでしょう。

＞(2)＝(3)-(1)と表されるから、
＞どうしてこのような同値変形ができるのですか。
の意味がやや不明ですが、

この場合なら
「(1)かつ(2)」⇒「(1)かつ(3)」
「(1)かつ(2)」<=「(1)かつ(3)」
の両者が成り立てばいいわけです。
(ちゃんと成り立っていますね)

凡そ解答の際には必要条件(⇒)で進めていくわけですが、
ここを同値変形(⇔)にする場合は、
必ず十分(<=)も確認していく必要があります。
No.2591 - 2008/09/08(Mon) 18:29:19
★ 高1【数学A】 / ☆京☆
下の図でA,B,C,Dの境目がはっきるするように、赤、青、黄、白の4色の絵の具で塗り分けるとき。

(1)すべての部分の色が異なる場合は何通りあるか。

(2)同じ色を2回使ってもよいが、隣り合う部分は異なる色とする場合は何通りあるか。

解説と解答を教えて貰えると助かります。宜しく御願いします。
No.2576 - 2008/09/07(Sun) 23:13:29
☆ Re: 高1【数学A】 / にょろ
(1)全部違うんだから
4P4=4*3*2*1=24通り

(2)隣り合っていないのが
A-D,B-Dだけだから
まずC,Dの色は
4P2=12通り
A,Dが同じ色としてBは2通りだから
(A,Cと違う色)
12*2=24
同様にA,Bが同じ場合でも22通り
∴24+24+24=72通り
ですかね
数え上げ系の問題はよく間違えるので…
No.2577 - 2008/09/07(Sun) 23:18:31
☆ Re: 高1【数学A】 / らすかる
(2)別解
Aの色が4通り
Bの色はAに使っていない3通り
Cの色はAにもBにも使っていない2通り
Dの色はCに使っていない3通り
なので、4×3×2×3=72通り
No.2578 - 2008/09/07(Sun) 23:39:13
★ 数学Ａ / *Sana*
?@7人を2つの部屋A,Bに入れる方法は何通りか。ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。

また、7人を区別しない2つの部屋に入れる方法は何通りか。ただし、それぞれの部屋には少なくとも1人は入れるものとする。

?A異なる6個の玉をA,B,Cの3箱に入れる方法は何通りか。ただし、空き箱はあってよい。

宜しくお願いします。
No.2573 - 2008/09/07(Sun) 22:30:17
☆ Re: 数学Ａ / にょろ
(1)
一人をA,Bに分ける分け方は二通り
∴2^7通り
区別しないのだからダブり分2!を割って
2^6また一人も入らない部屋がある分け方は一部屋に全員が入るので1通り
∴2^6-1
No.2574 - 2008/09/07(Sun) 23:00:57
☆ Re: 数学Ａ / にょろ
続き
(2)(1)と同様に考えて
一つの玉を3つのうちどれを選ぶのだから3^6通り
で

玉とか区別しますよねコレ
No.2575 - 2008/09/07(Sun) 23:03:12
★ もう一問 / ぐるる
明日までに答えが知りたいのですが、よろしいでしょうか。
円C：x^2+y^2+6x-4y+8=0と直線L：x-3y+14=0があり、円Cと直線Lは2点A,Bで交わっている。ただし、Aのx座標はBのx座標より小さい。
（１）2点A,Bの座標を求めよ。
（２）点Aにおける円Cの接線の方程式を求めよ。
（３）x,yが2つの不等式
　　　　x^2+y^2+6x-4y+8≦0　　x-3y+14≦0
　　　を満たすとき、-mx+yの最大値は6である。定数mの値を求めよ。
No.2570 - 2008/09/07(Sun) 20:37:35
☆ Re: もう一問 / ヨッシー
私のページに解答を載せました。
No.2571 - 2008/09/07(Sun) 21:39:55
☆ Re: もう一問 / ぐるる
ありがとうございます。
No.2626 - 2008/09/09(Tue) 20:40:48
★ 4次関数？ / Jez-z
x,y,zは実数で
x^2-yz-8x+7=0かつy^2+z^2+yz-6x+6=0をともに満たす。
をともに満たす。
このとき、xy+yz+zxの最小値を求めよ。

xの範囲を求めると（判別式）≧0より
1≦x≦9を得る。
t=xy+yz+zxとおく
両辺を2乗するとすべてxで表せるので
t^2=4x^4-20x^3+15x^2-14x+49
左辺をf(x)とおくと
xで微分して、
16x^3-60x^2+30x-14
=2(8x^3-30x^2+15x-7)
因数定理で、因数を求めようとしたところ挫折してしまった次第です。

アドバイスお願いします。
No.2568 - 2008/09/07(Sun) 16:47:14
☆ Re: 4次関数？ / キューダ
条件式はyとzの入れ替えで不変です。
ここに目を付けて対称性を崩さないように変形するのがよいと思います。

第一式と第二式を足すと (x-7)^2+y^2+z^2=6^2
この式から、第一式×２を引くと、 (x-1)^2=(y+z)^2 が得られます。
X=(x-7)/6、Y=y/6、Z=z/6と変数変換すると、条件式はX^2+Y^2+Z^2=1、(X+1)^2=(Y+Z)^2
目的関数はxy+yz+zx=36(XY+YZ+ZX)+42(Y+Z)=18{(X+Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)}+42(Y+Z)
=18{X^2+X(Y+Z)+(Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)}+42(Y+Z)=...以下、Xのみの関数にできます。
No.2569 - 2008/09/07(Sun) 20:12:02
☆ Re: 4次関数？ / Jez-z
ありがとうございます。ちなみに、私のやり方でも「理論」的にはできますよね？だとしたら、計算が間違えてるということでしょうか…。（何度も見直したのですが・・・）
No.2572 - 2008/09/07(Sun) 22:28:03
☆ Re: 4次関数？ / キューダ
t=xy+yz+zx≧0が担保されているのなら、t^2が最小値をとるときtも最小値をとりますが、
t<0の可能性もあるのなら、t^2が最小値を取っているときが、tの最小値と即決できません。

この問題の最小値は負のようです。
No.2580 - 2008/09/08(Mon) 00:45:27
☆ Re: 4次関数？ / Jez-z
なるほど・・・同値変形できていなかったというわけですね…

ところで、キューダさんが最初にしめしてくれた
「条件式はyとzの入れ替えで不変です。
ここに目を付けて対称性を崩さないように変形するのがよいと思います。」というのはすごく納得いくのですが、
例えば?@解答の途中の「第一式×２を引くと」の箇所や
?A「X=(x-7)/6、Y=y/6、Z=z/6と変数変換すると」の箇所などはどのような思考を経て考えられたのでしょうか…？
ここらへんの柔軟な発想さえできれば自分ももう一皮むけるかなと思う次第です…（数学センスなんて言わないでくださいよ？）ｗｗ

回答お待ちしております★
No.2582 - 2008/09/08(Mon) 01:41:43
☆ Re: 4次関数？ / キューダ
(1)については、
・yとzについての対称式なので、y+zとyzというものに注目すべき
・目的関数xy+yz+zxは(x+y+z)^2とx^2+y^2+z^2から作れる。
・二つの条件式を加えたら、球を表す式(y^2+z^2が含まれている)がでた。
・{A=0,B=0}は、{A+B=0,A-B=0}等と同値。同値性を失う二乗や次数アップは極力避けるべき
・球の式の他に、もう一つ扱いやすい式を作り出すべきだが、y+zを登場させる為
　には、(y+z)^2ができるよう球の式に2yzを加えるのがいいようだ。

このような、事が頭の中にあったと思います。

(2)は、単位球に変形する常套手段です。

一つの問題を、幾つもの方法で解く訓練をすると良いと思います。
特に、答えがシンプルできれいなのに、途中経過が汚いような場合、何らかの
美しいアプローチがあると考えていいと思います。それを考え続けるか、
別の問題に移るか、最終的に大きな差となるでしょう。
考え続けるのは机の前である必要はありません。風呂の中でも布団の中でも可能です。
No.2589 - 2008/09/08(Mon) 13:59:38
☆ Re: 4次関数？ / Jez-z
キューダ様、こんなにも丁寧に回答していただき嬉しく思います。おかげで、数学に対するやる気が倍増しました。
これからも、頑張っていきますので、また何かあったらご指導お願いします。
No.2602 - 2008/09/08(Mon) 22:57:07
★ (No Subject) / 。
また質問です。
∫の0からπ/2 (sin^7 x)dx　を教えてください。

答えは　16/35 です。
No.2564 - 2008/09/07(Sun) 13:52:32
☆ Re: / 与一
部分積分を使います。

∫_[0,π/2](sin^7 x)dx
=(-cosx・sin^6 x)_[0,π/2]-∫_[0,π/2](-cox^2 x ・『６』sin^5 x)dx
=0 + ∫_[0,π/2]{(1-sin^2 x)6sin^5 x}dx

左辺に移項すると、
∫_[0,π/2](sin^7 x)dx = 6/7∫_[0,π/2](sin^5 x)dx

規則は分かりましたか？

∫_[0,π/2](sin^7 x)dx
= 6/7∫_[0,π/2](sin^5 x)dx
= (6/7)(4/5)(2/3)∫_[0,π/2](sinx)dx　　
=16/35　　　　　　　　　
No.2565 - 2008/09/07(Sun) 15:58:13
☆ Re: / 。
考えてみたのですが、解くことができません。
∫_[0,π/2](sin^7 x)dx = 6/7∫_[0,π/2](sin^5 x)dx
の6/7はどのようにしてでてきたのですか？
もう少し詳しく解説お願いします。
No.2579 - 2008/09/08(Mon) 00:16:27
☆ Re: / 与一
すいません。６を忘れてました。訂正します。
No.2583 - 2008/09/08(Mon) 02:06:16
☆ Re: (No Subject) / ｡
6/7の7はどのようにして出すのですか??
なんどもすいません(;´∧`)
No.2587 - 2008/09/08(Mon) 11:40:15
☆ Re: 左辺に移項すると、と書いてありますよ / ヨッシー
∫_[0,π/2] はとりあえず無視すると、
　sin^7 x＝(1-sin^2 x)6sin^5 x
展開して
　sin^7 x＝6sin^5 x−6sin^7 x
移項して
　7sin^7 x＝6sin^5 x
　sin^7 x＝(6/7)sin^5 x
です。
No.2588 - 2008/09/08(Mon) 12:12:44
☆ Re: (No Subject) / ｡
なるほどw(゜o゜)w
細かく説明して頂いてありがとうございます☆わかりました!!
No.2592 - 2008/09/08(Mon) 20:01:33
★ (No Subject) / な
　
ｘ^2-4ｘ-7=0
　
の解き方と答えを
教えてください!!
　

No.2561 - 2008/09/07(Sun) 12:54:18
☆ Re: / ヨッシー
x2＝11　は解けますか？
(x-2)2＝11　は解けますか？
(x-2)2＝11　を展開した後、移項して右辺を０にするとどんな式になりますか？

それが出来た上で、こちらをご覧ください。
No.2562 - 2008/09/07(Sun) 13:04:44
★ (No Subject) / 。
∫dx/cosx の解き方がわかりません。

答えは 1/2log(1+sinx/1-sinx) です。
No.2551 - 2008/09/07(Sun) 02:05:46
☆ Re: / rtz
1/cosx
＝cosx/cos2x
＝cosx/(1−sin2x)
＝(1/2)[{cosx/(1−sinx)}＋{cosx/(1＋sinx)}]
あとは積分するだけです。
No.2552 - 2008/09/07(Sun) 03:55:55
☆ Re: / 。
1＝cosx/(1−sin2x)
＝(1/2)[{cosx/(1−sinx)}＋{cosx/(1＋sinx)}]
すいません、上の式から下の式へいく計算がわかりません。
そのような公式があるのですか？　
No.2557 - 2008/09/07(Sun) 12:02:53
☆ Re: / ヨッシー
三角関数に関する公式ではありません。
部分分数に直す式変形です。
1/(1-x2)＝1/(1-x)(1+x)　が、
　a/(1-x)＋b/(1+x)
という形にならないかと考えて、
　{(a+b)＋(a-b)x}/(1-x)(1+x)
より、a+b=1, a-b=0 から a=b=1/2 となり
　1/(1-x2)＝(1/2){1/(1-x)＋1/(1+x)}
が得られます。
No.2558 - 2008/09/07(Sun) 12:09:21
☆ Re: / 。
(1/2)[{cosx/(1−sinx)}＋{cosx/(1＋sinx)}]
となるの理解できました!!(^-^*)
その後の積分も教えて頂けるとありがたいです。
No.2559 - 2008/09/07(Sun) 12:27:16
☆ Re: / ヨッシー
答えが、(1/2)log(1+sinx/1-sinx)＝(1/2){log(1+sinｘ)−log(1-sinｘ)}
と分かっているので、
　cosx/(1＋sinx)　→　log(1+sinｘ)
　cosx/(1−sinx)　→　-log(1-sinｘ)
となりそうですね。
log(1+sinｘ) を微分したら、cosx/(1＋sinx) になるのは分かりますか？
では、それを戻すのですが、使うのは置換積分です。
　ｔ＝1＋sinｘ
などと置いてみましょう。
No.2560 - 2008/09/07(Sun) 12:47:07
☆ Re: / 。
できました!!!
ありがとうございましたm(_ _)m♪
No.2563 - 2008/09/07(Sun) 13:30:13
★ (No Subject) / 太郎
第６１０回の算チャレが分かりません
No.2546 - 2008/09/06(Sat) 21:28:14
☆ Re: 算チャレ / ヨッシー
おそらく算チャレ過去問のページを見られたのだと思いますが、
そのページの表に過去ログというのがあって、その週の問題について
色々書かれていますので、まずそちらを見てみてください。
No.2547 - 2008/09/06(Sat) 21:36:14
★ 背理法 / レンズ
＞にょろさん
回答ありがとうございます。
にょろさんの説明はｑならばｐでないと仮定する。
しかし、ｐである。よってｑ。となっていると思うのですが
これは本にかいてある命題ｐ→ｑが偽である（ｐかつｑでない）を仮定して矛盾を導くことでｐ→ｑが真であるとする方法と同じことなんでしょうか？かなり違うように見受けられます。対偶を利用した証明に近いような・・どうなんでしょう？
＞与一さん
回答ありがとうございます。本（白チャート）の記述は2、3行目（背理法の説明）と
1+2√3が有理数であると仮定するのくだりです。本の通りかきますと、

√3が無理数ならば、1+2√3は無理数であることを証明せよ。（↑問題文）
1+2√3は無理数でない、すなわち有理数であると仮定する。
1+2√3＝ｒとおく（ｒは有理数）・・?@
?@を変形すると、√3＝（ｒ-1）／2・・?A
ここでｒは有理数なので、（ｒ-1）／2は有理数である。
?Aは√3が無理数であることに矛盾する。従って1+2√3は
無理数である。

で、疑問点を書きますと、（さっきとすこし違ってますが）
１、本の背理法の説明だと、何に対する矛盾なのかが
わからない。問題文だとｐ（仮定）に対する矛盾ですが、たとえば鯨が魚でないことを証明しろに対し、鯨が魚であると
仮定する、魚ならばえらを持つ。鯨はえらを持たない。（事実）、したがって鯨は魚ではない。問題文に書かれていない
事実にたいする矛盾です。
2、また問題文はｐ＝√3は無理数である→ｑ＝1+2√3は無理数であるとおけるが、ｐは仮定であるのに、問題文の途中で、事実として扱って（あるいは、仮定を根拠にして）ｑを導くのはおかしくないか？
No.2540 - 2008/09/06(Sat) 17:40:10
☆ Re: 背理法 / レンズ
すいません、ボタン押し間違いました。あと
にょろさんの説明はｑならばｐでないと仮定するではなく、
にょろさんの説明はｑでないならばｐでないと仮定でした。
No.2541 - 2008/09/06(Sat) 18:10:44
☆ Re: 背理法 / 通りすがり
> にょろさんの説明はｑならばｐでないと仮定する。
> しかし、ｐである。よってｑ。となっていると思うのですが
p:√3が無理数
q:1+2√3が無理数　でしょうか。
もしそうなら，にょろさんの説明は，「qでないならばpでない」を「証明」しています（背理法と対偶法は似たような証明になることが多いです）。仮定ではなく。

それから，qならばpでない，すなわち「pならばqでない」と仮定するのは背理法ではありません。あくまで「pであってqでないとする」と仮定して矛盾を導くのが背理法です。
No.2542 - 2008/09/06(Sat) 18:12:10
☆ Re: 背理法 / 通りすがり
すみません。更新してませんでした。
> にょろさんの説明はｑでないならばｐでないと仮定でした。
仮定ではなく，証明。
No.2543 - 2008/09/06(Sat) 18:13:13
☆ Re: 背理法 / 与一
『¬(ｐ→ｑ)』は確かに『ｐ∧¬ｑ』になります。正しい論理ですが、これは背理法ではありません。

背理法は、ｐ→¬ｑを真であると仮定し、これが矛盾することを示し、ｐ→ｑを証明します。

２.
数学の問題にある仮定とは解答にたどり着くためのヒントのようなものです。『√3が無理数ならば』とあれば、この問題内で√3は無理数として扱ってよい、ということになります。
No.2548 - 2008/09/06(Sat) 22:52:20
☆ Re: 背理法 / 通りすがり
「ｐ→¬ｑを真であると仮定し、これが矛盾することを示し」ただけでは，p⇒¬qが偽であることしかわかりません。
これだけでは「ｐ→ｑを証明します」は不可能です。
No.2566 - 2008/09/07(Sun) 16:33:33
☆ Re: 背理法 / 与一
ｐ→¬ｑが偽であることは、「ｐが真かつ¬ｑが偽」であることと同値です。
つまり「ｐが真でｑが真」なので、ｐ→ｑである。
No.2584 - 2008/09/08(Mon) 02:13:09
☆ Re: 背理法 / 通りすがり
すみません。どうやら¬の意味を誤解していたようです。
例えば¬（１＜ｘ＜２）は，必ず１＜ｘ＜２でない，ではなく１＜ｘ＜２でないxが存在する，ですね。

> それから，qならばpでない，すなわち「pならばqでない」と仮定するのは背理法ではありません

この部分は，「pならば必ずqでない」と解釈すれば，ご理解くださると思います。曖昧な書き方をして申し訳ありませんでした。
No.2590 - 2008/09/08(Mon) 16:00:00
★ 背理法 / レンズ
背理法の説明について、ある本ではこうあります。
命題ｐ→ｑが偽である（ｐかつｑでない）を仮定して
矛盾を導くことでｐ→ｑが真であるとする方法。
まず、お聞きしたいのは、この説明は正しいのでしょうか？
この説明の下に、例題として
√3が無理数ならば、1+2√3は無理数であることを証明せよ。とあります。で、

1+2√3が有理数であると仮定する。
1+2√3＝ｒ（ｒは有理数）
√3＝（ｒ-1）／2。ｒが有理数なので、（ｒ-1）／2も有理数である。これは√3が無理数であることに矛盾する。
よって1+2√3は無理数である。とあるのですが、よくわかりません。説明にあてはめると、ｐ＝√3は無理数である
ｑ＝1+2√3は無理数である。
ｐかつｑでないと仮定する。
ところがｐである。よってｑ。←この行がわからない。
はじめに普通に解いた時は納得したのですが、ｐとかｑとか
記号で考えると←のところで、わからなくなります。
ｐが無理数であることがわかっているならｐ→ｑである、ｐ
である、よってｑだけで証明にはならないのでしょうか？また背理法とは厳密にいうとどういった論法なんでしょうか？以上3点をお願いします。
No.2536 - 2008/09/06(Sat) 14:51:36
☆ Re: 2次関数 / にょろ
背理法って言うのはもしも〜だったら○○になるはずだ
でも○○にならないだから〜ではないということです。

今回の問題では
もしも
No.2537 - 2008/09/06(Sat) 15:44:29
☆ Re: 2次関数 / にょろ
背理法って言うのは（適当にかくと）もしも〜だったら○○になるはずだ
でも○○にならないだから〜ではないということです。

今回の問題では
もしも「1+2√3は有理数」ならば
1+2√3＝ｒ（ｒは有理数）とおけて
それを変形すると√3＝（ｒ-1）／2になったで
rが有理数なんだから√3は有理数のはずだ
でも実際には無理数だから「1+2√3は有理数」ではない
有理数でない実数は無理数だだから
「1+2√3は無理数」

厳密にやって分からないんだったら適当にやると理解できたりします。
No.2538 - 2008/09/06(Sat) 15:48:58
☆ Re: 背理法 / 与一
背理法というのは、
ある事柄 P を証明するために、P の否定 ¬P を仮定すると、矛盾（ある命題とその否定が同時に証明されること）が起きることを利用する証明の手法である。


貴方の文章は、どこからが書籍等の内容でどこからが貴方の意見なのかが分かりづらいですね。
論理学は非常に厳密な学問なので、できれば本の内容は書きかえずに載せてもらえるとありがたいです。
No.2539 - 2008/09/06(Sat) 16:10:46
★ 数列 / セロ。高２
初めまして。
とても単純な問題なのですが、
いまいち理解できません。

Σ(k=1〜20)|ａk|を求めよ。

ただこれだけです。

解答は、
＝Σ(k=1〜7)ak−Σ(k=8〜20)ak
＝1/2×７×(20+2)−1/2×13×(−1−37)
＝77+247
＝324

となっています。
なぜ1〜7と、8〜20になるのかが
わかりません。
よろしくお願いします。
No.2533 - 2008/09/06(Sat) 11:20:38
☆ Re: 数列 / ヨッシー
「ただこれだけ」のはずありません。
　ａn＝-3n＋23
のようなものが与えられているはずです。
１から７項まではプラス。
８項以降はマイナス。
| | は、マイナスには−１を掛けてプラスにするので、
こういう計算になります。
No.2534 - 2008/09/06(Sat) 12:59:46
☆ Re: 数列 / gaku
推測すると，初項20，公差-3の等差数列がanらしい。
絶対値がついていますから，第8項以降は(-ak)としてやる必要があります。
No.2535 - 2008/09/06(Sat) 13:03:01
☆ Re: 数列 / セロ。高２
あ、すいません。
お二人さんの言うとおりで、
問題に与えられていました。
どうもありがとうございました。
No.2545 - 2008/09/06(Sat) 19:48:27
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