・△ABC≡△DEF ・∠AGD=60° このとき図において、 AE,BF,CDの中点同士を結ぶと 正三角形になることの証明。
自力で解くと補助線が凄まじくなってしまって。 簡単な解き方は無いでしょうか。お願いします。
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No.2092 - 2008/08/17(Sun) 03:26:40
| ☆ Re: / にゃんこ先生といいます | | | 複素数を使うとよいのでは? A=0,B=b,C=cとする。 △ABCをAを中心に-60度回転(-ωをかける)し、平行移動(pをたす)したのが△DEFだから、 D=p,E=-ωb+p,F=-ωc+p
AE,BF,CDの中点はそれぞれ、 (-ωb+p)/2,(b-ωc+p)/2,(c+p)/2
ところで、点α,β,γが正の向きに正三角形をなすとき、 α+ωβ+ω^2γ=0 だから、それらはこの式を満たすので正三角形
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No.2093 - 2008/08/17(Sun) 07:57:05 |
| ☆ Re: / にょろ | | | ↑複素数は高校の範囲になっていないので使えそうにありません。 (何ではずした文科省中途半端な行列は残したくせに)
なので座標を使ったらどうでしょう? a(0,0),b(1,0),c(1/2,1/√3) d(c,d)〜
で、それの中点を求める というのは?
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No.2096 - 2008/08/17(Sun) 08:41:22 |
| ☆ Re: / 7bitm | | | 図形的に考えなくても良いんですね!
複素数の方は感覚的にしかわからないのでちょっと。
座標の方は60°をどう使うかがわかりません。 それと、 c(1/2,1/√3) というのもいまいち…
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No.2101 - 2008/08/17(Sun) 12:09:06 |
| ☆ Re: / にょろ | | | あ、思いっきり間違えました a(0,0),b(2,0),c(1,√3) でした。
少し急いでいたので… 正三角形はすべて合同なので一辺の長さが2の時だけ考えればよいことになります。 d(c,d),e(e,f) とするとfはどう表せますか?
ただタブン複雑になりますよ^^;
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No.2107 - 2008/08/17(Sun) 17:08:44 |
| ☆ Re: / 7bitm | | | 度々すみません。 a,b,cを結ぶと正三角形になるのは解ったのですが、 その「a,b,c」は何を指すのでしょうか。
3つの中点ならばd,eは何を指すのでしょうか。 △ABCの頂点ならば△ABCは正三角形とは限らないので おかしくなってしまい…。
というわけでfが表せないのです…
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No.2111 - 2008/08/17(Sun) 21:02:34 |
| ☆ Re: / にょろ | | | あ、問題読み間違えました
それはもう力一杯 というわけでこの方法でやると 変数が大量に出てくるのでお勧めしません。 A(0,0)B(1,0)←ここまでは決めて問題ない C(a,b)
D(c,d) E(e,f) ただし DE=1 F(g,h) ただし AC=DF AB=DF という座標には表せます。 が、これを計算で持って行くとなると 大変だと思います。
あとは、行列もありますが…
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No.2117 - 2008/08/18(Mon) 02:33:11 |
| ☆ Re: / 7bitm | | | やっぱりそう簡単にはいかないですね。 座標は角度が入ると辛いです。
一応図に30本ぐらい線を引けば図形的に証明できるには できます(もっと簡単にできるかも、ですが)
にょろさん、にゃんこ先生といいますさん、 ありがとうございました。
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No.2118 - 2008/08/18(Mon) 04:35:08 |
| ☆ (No Subject) / ヨッシー | | | ごりごり計算するには違いありませんが、
図のように、△ABCと△DEFは、ある点を中心に60°回転した関係にあります。 (ある点とは、AD,BEそれぞれの垂直二等分線の交点です) この中心を原点として D(a,b),E(c,d),F(e,f) とおくと、 A((a-√3b)/2,(√3a+b)/2),B((c-√3d)/2,(√3c+d)/2),C((e-√3f)/2,(√3e+f)/2) となり、 AE,BF,CDの中点の座標を出して、中点間の距離の2乗を計算すると、いずれも a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+√3(ad+cf+eb-af-cb-ed)-(ac+ce+ea+bd+df+fb) になります。
それはさておき、この問題は、図のように
1つの頂点を共有する3つの正三角形の問題に帰着するのですが、 こういうの、どなたかご存じないですか?
おまけ
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No.2136 - 2008/08/19(Tue) 14:16:09 |
| ☆ Re: / 7bitm | | | 「1つの頂点を共有する3つの正三角形の問題」 ならしっていますよ。
この問題自体が、 一年前に実習生として来ていた大学生から出された その問題をアレンジして作ったものですから。
自分の解き方は、その問題の形にしてから解いていく、 というものですし。
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No.2153 - 2008/08/20(Wed) 00:32:56 |
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