ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ (No Subject) / フェニックス高二

こんばんは。以下の問題が分かりません。教えて下さい。

1.　次の円と直線の共有点の個数を調べよ。

　　ｘ＾2+ｙ＾2＝4　　ｙ＝-2ｘ+ｋ

答え　-2√5＜ｋ＜2√5のとき2個　、ｋ＝±2√5のとき1個、
　　　2√5＜ｋのとき0個

2.　　原点を中心とし、半径2の円上を動く点をP（ｘ、ｙ）とするとき、2ｘ+ｙの値の最大値は（あ）、最小値は（い）である。

答え　あ　2√5　い　－2√5

お願いします。

No.543 - 2008/05/05(Mon) 22:25:22

☆ Re: / にょろ

(1)
　ｘ＾2+ｙ＾2＝4 　…(A)　
　ｙ＝-2ｘ+ｋ　　　…(B)

(A)に(B)を代入して（y消去）

x^2+(-2x+k)^2=4

整理して

5x^2-4kx+k^2-4=0　…(C)

よって

判別式/4=4k^2-5(k^2-4)
　=-k^2+20

これより(C)の解の個数nは

n=1の時
-k^2+20=0
k=±2√5

n=0の時

-k^2+20<0

k^2>20

k>2√5,k<-2√5

n=2の時

-k^2+20>0

-2√5<k<2√5

(2)

k=2x+yとすると

(1)より

-2√5≦k≦2√5

よって

2ｘ+ｙの値の最大値は2√5、最小値は-2√5である。

No.545 - 2008/05/05(Mon) 23:48:06

☆ Re: / フェニックス高二

ありがとうございました。

No.546 - 2008/05/06(Tue) 08:13:37

★ 多項式の加法・減法と乗法 / シャイア

初めまして。　私は高1です。
実は数学の問題で分からない問題があって・・・。

(5a^3-3a^b+7ab^2-2b^3)(3a^2+2ab-3b^2)を展開したときの、a^3b^2およびa^2b^3の係数を求めよ。

係数が出たら、２つの係数を足して答えを出すみたいなのですが、なかなか答えが合いません。

ちなみに答えは１７です。

分かる方、解き方を教えて下さい。お願いします！

No.542 - 2008/05/05(Mon) 21:49:54

☆ Re: 多項式の加法・減法と乗法 / small

実際に展開すると合計12回掛け算をすることになりますが、
必要な部分だけ抜き出して考えます。
(1)a^3b^2の係数について
左のかっこ内の5a^3と右のかっこ内の-3b^2をかけると
-15a^3b^2という項がでてきます。同じ要領で
左の-3a^2bと右の2abをかけると-6a^3b^2
左の7ab^2と右の3a^2をかけると21a^3b^2
これらを整理して
-15a^3b^2-6a^3b^2+21a^3b^2=0
よって、a^3b^2の係数は0

(2)a^2b^3の係数について
左の-3a^2bと右の-3b^2⇒9a^2b^3
左の7ab^2と右の2ab⇒14a^2b^3
左の-2b^3と右の3a^2⇒-6a^2b^3
これを整理して
9a^2b^3+14a^2b^3-6a^2b^3=17a^2b^3
よって,a^2b^3の係数は17

No.544 - 2008/05/05(Mon) 22:37:05

☆ Re: 多項式の加法・減法と乗法 / シャイア

smallさん、ありがとうございます＾＾

やっと答えが合いました！

また質問することがあるかもしれませんが、よろしくお願いしますm(_　_)m

No.550 - 2008/05/06(Tue) 16:32:49

★ 関数 / 桜　高校2

たびたびすみません。
よろしくお願いいたします。
図は(0,2) (a,4) (2,3) (3,1) (4,0)のグラフです。
私の事情で画像表示できず、ご迷惑おかけして申し訳ありません。

(1)図の折れ線グラフで表される関数をf(x)とする。このとき、y=f(f(x))のグラフを書け。
(2)f(x)=x^2-4x+5とする。関数f(f(x))の区間0≦x≦3における最大値と最小値を求めよ。

という問題がわかりませんでした・
教えてください。
よろしくお願いいたします。

No.536 - 2008/05/04(Sun) 23:29:10

☆ Re: 関数 / にょろ

まず
(aは1じゃないですか？その様な回答で行きます。
そうしないと定義されていない物を答える事になるので)
(1)は、それぞれ

f(0)=2
f(1)=4
f(2)=3
f(3)=1
f(4)=0

と言うことで

f(f(1))=f(4)=0
f(f(2))=f(3)=1

以下同様です。

(2)は、

f(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1
0≦x≦3
より
x=2の時最小値f(x)=1をとる
です。

次、正攻法ではそのまま、f(0),f(3)のどちらかが最大値です。

少し裏技的な方法

定理

二次関数は、軸に対し対称

より

|2-3|＜|2-0|より

f(0)で最大値をとる

以上です。

No.538 - 2008/05/05(Mon) 01:11:40

☆ Re: 関数 / 七

(1) (a，4)が(1，4)でy＝f(x)が
上の図のようになっているのなら
下の図のようになると思います。
y＝f(x)の図にはx＜0や4＜xの部分もあるのでしょうか？

No.539 - 2008/05/05(Mon) 10:42:35

☆ Re: 関数 / ヨッシー

(2) は、
0≦x≦3 において、f(x) の範囲は、1≦f(x)≦5 であり、
これは、にょろさんの書かれたとおりです。
そして、今度は、1≦f(x)≦5 が、f(f(x)) のf(x) を変数としたときの
定義域になり、1≦x≦5 における f(x) の範囲は、
　1≦f(x)≦10
となります。
最小値１：f(x)＝２のとき→ｘ＝１または３のとき
最大値10：f(x)＝５のとき→ｘ＝０のとき

No.540 - 2008/05/05(Mon) 11:34:23

☆ Re: 関数 / 桜　高校2

ありがとうございました
参考になりました・

No.580 - 2008/05/10(Sat) 22:15:06

★ 二次関数 / 桜　高校2

こんばんは。
よろしくお願いいたします

x,y,zがx+2y+3z=6を満たすとき、x^2+4y^2+9z^2の最小値とそのときのx,yの値を求める問題がわかりませんでした。

教えてください。
よろしくお願いいたします。

No.535 - 2008/05/04(Sun) 23:19:42

☆ Re: 二次関数 / 七

コーシー･シュワルツの不等式
はご存じですか？

No.537 - 2008/05/05(Mon) 00:06:49

☆ Re: 二次関数 / ヨッシー

真っ正直にやってみます。
3z=6-2y-x より、
Ｓ＝x^2+4y^2+9z^2＝x^2+4y^2+(6-2y-x)^2
　＝2x^2+4xy-12x+8y^2-24y+36
S/2＝x^2+2xy-6x+4y^2-12y+18
　＝(x+y-3)^2+3y^2-6y+9
　＝(x+y-3)^2+3(y-1)^2+6
よって、y=1, x=2, (z=2/3) のとき、最小値 12

※途中の S/2 をやめて、そのまま
　＝2x^2+4xy-12x+8y^2-24y+36
　＝2(x+y-3)^2+6y^2-12y+18
　＝2(x+y-3)^2+6(y-1)^2+12
としても良いです。係数を減らしたかっただけです。

No.541 - 2008/05/05(Mon) 11:48:43

☆ Re: 二次関数 / 桜　高校2

ありがとうございました
とっても参考になりました☆

No.581 - 2008/05/10(Sat) 22:15:39

★ ベクトル / ぼたん

三角形ＡＢＣの辺ＡＢ、辺ＢＣ、辺ＣＡを、
それぞれ３：２、１：１、１：３の比に内分する点を、
順にＤ、Ｅ、Ｆとし、ＡＥとＢＦの交点をＧとおく。
↑ＡＢ＝↑a、↑ＡＣ＝↑ｂとおくとき、
（１）ＤＧ：ＤＦ＝ｓ：１（０＜ｓ＜１）とおいて、
↑ＡＧをｓと↑a、↑bを用いて表すと、
↑3/5（１－ｓ）↑a＋3/4s↑bである。
（２）Ｇは線分ＡＥをア：イの比に、
また、線分ＤＦをウ：エの比に、それぞれ内分する点である。
（３）三角形ＡＤＧの面積は、三角形ＡＢＣの面積のオ/カ倍である。
また、四角形ＣＦＣＥの面積は、三角形ＡＢＣの面積のキ/ク倍である。
アイウエオカキクの答えを教えてください。

No.523 - 2008/05/03(Sat) 14:06:06

☆ Re: ベクトル / 七

四角形ＣＦＣＥは書き間違いですね。
また DFとAEの交点がGではありませんか？
そのつもりでDSで回答しました。

No.526 - 2008/05/03(Sat) 15:10:00

☆ お礼 / ぼたん

ＤＳで七さんの解答を見ました。
丁寧な解答ありがとうございます。

No.533 - 2008/05/03(Sat) 21:08:27

★ ベクトル / ぼたん

3点Ａ（０，２）Ｂ（３，１）Ｃ（１、－３）がある。

実数ｔに対して↑ＯＰ＝↑ＯＡ＋↑ＯＢ＋ｔ↑ＯＣによって

点Ｐを定めるとき

（１）ｔが変化するとき、動点Ｐの軌跡は直線ｙ＝アイｘ＋ウエである。

（２）↑ＯＰの大きさ｜↑ＯＰ｜が最小になるときのＰをＰaとすると

Ｐa（オカ/キ、ク/ケ）である。

（３）ベクトル↑ＯＡ＋↑ＯＢと↑ＯＰとのなす角が90度になるときの

ＰをＰｂとするとＰｂ（コ、サシ）である、

また、↑ＯＡ＋↑ＯＢ＝↑ＯＭとすると、

｜↑Ｐa↑Ｐｂ｜｜↑Ｐa↑Ｍ｜＝スセ/ソである。

アイウエオカキクケコサシスセソの答えを教えてください。

No.518 - 2008/05/02(Fri) 23:47:42

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

下の方に、
　ＯＡ＋ＯＢ＝ＯＭ
とあるので、これを使います。つまり、Ｍ(3,3) とします。
(1)
　ＯＰ＝ＯＡ＋ＯＢ＋ｔＯＣ
　　＝ＯＭ＋ｔＯＣ
の、図形としての意味は、点Ｐは、原点Ｏから点Ｍまで進んで、ＯＣの方向に
ＯＣの長さのｔ倍進んだ点、ということになります。
ｔは、マイナスからプラスまで、あらゆる実数を取るので、点Ｐは、点ＭからＯＣ方向に
好きな長さだけ進んだ点を取ることが出来ます。
１次関数っぽく書くと、点(3,3)を通り、傾き－３の直線、ということになります。
式で書くと、
　ｙ－３＝－３（ｘ－３）
　ｙ＝－３ｘ＋１２　・・・アイウエ
となります。
(2)
原点を通り、(1)で求めた直線と、垂直な直線
　ｙ＝ｘ／３
を考えます。この直線と、ｙ＝－３ｘ＋１２の交点に点Ｐが来たとき、|ＯＰ|は
最小になります。
２式を連立させて解くと、
　ｘ＝18/5、ｙ＝6/5　・・・オカキクケ
(3)
原点を通り、
　ＯＡ＋ＯＢ＝ＯＭ
と垂直な直線、
　ｙ＝－ｘ
を考えます。この直線と、ｙ＝－３ｘ＋１２の交点に点Ｐが来たとき、ＯＭと、
ＯＰは、垂直になります。
２式を連立させて解くと、
　ｘ＝６，ｙ＝－６　・・・コサシ

｜↑Ｐa↑Ｐｂ｜｜↑Ｐa↑Ｍ｜　は、何を意味しているのかわかりません。
ベクトルを２つ並べたものは、何を表しますか？
想像では、↑Ｐ_aＰ_b　か　↑Ｐa・↑Ｐｂかと思いますが、
吟味するより、一旦戻します。

No.519 - 2008/05/03(Sat) 09:51:16

☆ Re: ベクトル / ぼたん

ヨッシーさん、お時間かけてもらってすみませんでした。丁寧な説明を本当にありがとうございます！最後のは、絶対値同士の積です。書き方が悪くごめんなさい！

No.520 - 2008/05/03(Sat) 10:41:02

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

絶対値はわかりましたが、問題は絶対値の中身です。
Ｐa、Ｐb、Ｍは、点の名前ですね？それに矢印を付けた　↑Ｐa とは？
また、それを二つ並べた　↑Ｐa↑Ｐｂ　とは？

No.522 - 2008/05/03(Sat) 12:08:09

☆ Re: ベクトル / ぼたん

↑はベクトルを意味します。

No.524 - 2008/05/03(Sat) 14:07:24

☆ Re: ベクトル / hari

|↑PaPb||↑PaM｜なのでしょう？
太字で書くと
|P_aP_b||P_aM|

No.525 - 2008/05/03(Sat) 14:42:32

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

> |↑PaPb||↑PaM｜なのでしょう？
それは、519 でも書いたとおり、想像に難くありませんが、
ぼたんさん本人が、表記の不自然さに気付いておられるかが問題です。
上には、↑Ｏ↑Ｐではなく、↑ＯＰと書いてあるので。

で、Ｐa：(18/5, 6/5)、Ｐb：(6,-6)、Ｍ(3, 3) において、
　ＰaＰb＝(12/5, -36/5)＝(12/5)(1,-3)
より、
　|ＰaＰb|＝12√10/5
　ＰaＭ＝(-3/5, 9/5)＝(3/5)(-1,3)
より、
　|ＰaＭ|＝3√10/5
よって、掛け合わせて、
　|ＰaＰb||ＰaＭ|＝360/25＝72/5　・・・スセソ

No.527 - 2008/05/03(Sat) 15:26:39

☆ お礼 / ぼたん

お手数をおかけしてしまって本当に申し訳ありません！
hariさん、ヨッシーさん、本当にどうもありがとうございます！

No.528 - 2008/05/03(Sat) 15:35:14

☆ Re: ベクトル / ぼたん

再度で申し訳ないのですが、ＰaＰb＝(12/5, -36/5)＝(12/5)(1,-3)の(1,-3)はどこから出てきたのでしょうか？

No.529 - 2008/05/03(Sat) 15:47:16

☆ Re: ベクトル / ヨッシー

(12/5, -36/5) を、12/5 でくくっています。
-36/5＝(12/5)×(-3) です。
(4, 8)＝4×(1, 2) というのと同じです。

No.530 - 2008/05/03(Sat) 15:54:27

☆ Re: ベクトル / hari

>ヨッシーさん
他板で同様の質問があり、確認したところ先のであっているということだったので、ぼたんさんに
「きちんと質問に答えてくださいよ」
という意味で書き込んだのですが、言葉足らずですいませんでした。

|P_aP_b||P_aM|の別解としましては内積を使って
P_aP_b・P_aM = |P_aP_b||P_aM|cosθ

今、一直線上なのでθ=180°でcosθ = -1だから
|P_aP_b||P_aM| = - P_aP_b・P_aM
より求められます。

No.531 - 2008/05/03(Sat) 18:44:06

☆ お礼 / ぼたん

ヨッシーさん、お手数おかけしました。
あと、ありがとうございます。
hariさん、こちらこそすみませんでした。
別解の方、どうもありがとうございます。

No.532 - 2008/05/03(Sat) 19:33:16

★ よろしくお願いします。 / フェニックス高二

下の問題が考えてもどうしても分からなかったので解き方を教えてください。

同じ太さの丸太を一段上がるごとに一本ずつ減らして積み重ねるとする。ただし、最上段はこの限りではない。125本の丸太を全部積み重ねるには、最下段には最小限何本必要か。また、そのとき最上段は何本になるか。

答え・・最下段　16本必要　　　そのとき最上段　4本

よろしくお願いします。

No.511 - 2008/05/02(Fri) 18:14:59

☆ Re: よろしくお願いします。 / ヨッシー

たとえば、最下段63本、２段目62本でも、125本積めますが、
これは、最小ではありません。
最下段の数をなるべく少なくするには、出来るだけ高く積んで、
出来れば最上段が１本になるように積むのが、理想です。
たとえば、最下段が４本だと、
　４＋３＋２＋１＝１０
本まで積めます。１１本だと、最下段が５本必要です。

一般に、最下段ｎ本で、最上段１本まで積むと、
　１＋２＋・・・＋ｎ＝n(n+1)/2
本まで積めます。
　ｎ＝１５　で、120本
　ｎ＝１６　で、136本
ですから、最下段は最小１６本必要。125本積むには、
上まで積んだ136本より、11本少なくていいので、
　１＋２＋３＋４＋１＝１１
より、最上段は　５－１＝４(本)積むことになります。

No.512 - 2008/05/02(Fri) 18:28:02

☆ Re: よろしくお願いします。 / フェニックス高二

良く分かりました。ありがとうございました。

No.513 - 2008/05/02(Fri) 19:15:13

★ 積分について / トン

積分についてですが意味が理解できませんでした。

∫(1/x)dx=log x +C1 (x>0)・・・?@
∫(1/x)dx=log(-x) +C2 (x<0) ・・?A
厳密にはｘ＞０の場合、ｘ＜０の場合で積分定数は異なる。

と書籍に載っていました。

・積分定数が異なるという意味が理解できませんでした。
何故なのでしょうか？

・また、?Aの式のlog(-x)ですが、マイナスとなることが
ありえるのでしょうか？

どうか宜しくお願いします。

No.507 - 2008/05/01(Thu) 22:04:10

☆ Re: 積分について / 七

＞・積分定数が異なるという意味が理解できませんでした。
何故なのでしょうか？

積分定数は任意の定数ですから，厳密には異なるという意味は僕にも分かりませんが，気にしなくてもいいように思います。

＞・また、?Aの式のlog(-x)ですが、マイナスとなることが
ありえるのでしょうか？

真数がマイナスということでしょうか？
x＜0 のときですから－x は正です。

No.508 - 2008/05/01(Thu) 22:53:10

☆ Re: 積分について / らすかる

＞厳密にはｘ＞０の場合、ｘ＜０の場合で積分定数は異なる。

通常、定積分のときに積分定数が相殺されて消えますが、
正と負の場合は相殺されないということではないでしょうか。
例えば ∫[-1～1](1/x)dx とか。

No.509 - 2008/05/01(Thu) 23:21:54

☆ Re: 積分について / トン

七さんらすかるさん
教えて頂きありがとうございます。
x＜0 だから(‐x)となっていたのですね。
∫[-1～1](1/x)dx の場合は積分定数は消えないのですか？
ここの意味が解りませんでした。何度もすいませんが宜しくお願いします。

トン

No.510 - 2008/05/02(Fri) 18:09:33

☆ Re: 積分について / らすかる

あまり詳しくないので間違っていたら申し訳ないですが、
∫[-1～0](1/x)dx=-∞
∫[0～1](1/x)dx=+∞
ですから
∫[-1～1](1/x)dx=∞-∞=不定
となりますね。

No.514 - 2008/05/02(Fri) 19:29:56

☆ ありがとうございました / トン

らすかるさん

詳しくありがとうございました。
無限‐無限が不定になるからなのですね。理解できました。
トン

No.515 - 2008/05/02(Fri) 19:43:28

☆ ありがとうございました / トン

らすかるさん

詳しくありがとうございました。
無限‐無限が不定になるからなのですね。理解できました。
トン

No.516 - 2008/05/02(Fri) 19:43:55

☆ ありがとうございました / トン

らすかるさん

詳しくありがとうございました。
無限‐無限が不定になるからなのですね。理解できました。
トン

No.517 - 2008/05/02(Fri) 19:44:19

★ 不等式の発展問題なんですが / ゆい

不等式 x^2-4x-6＜0 を満たす整数xは全部で何個か

という問題なんですが、
ax^2-x+bの係数と比較して

a=1
b=-6

1＜x＜-6

でいいんですか？
答えが７個なんですが‥

No.503 - 2008/04/30(Wed) 21:16:13

☆ Re: 不等式の発展問題なんですが / ヨッシー

まずは、正しく解いてみます。
　x^2-4x-6=0
を解いて、x=2±√10 より、x^2-4x-6＜0 の解は、
　2-√10＜ｘ＜2＋√10
√10＝3.・・・であるので、
　2-√10＝-1.・・・、2+√10＝5.・・・
より、2-√10＜ｘ＜2＋√10 の範囲にある整数は、
　-1,0,1,2,3,4,5 の７個です。

さて、ゆいさんの解答ですが、
ax^2-x+b の a,b は、そのまま不等式の解となるわけではない。
1＜x＜-6 を満たすｘはない。
よしんば、-6＜ｘ＜1 であったとしても、これを満たす整数は
　-5,-4,-3,-2,-1,0 の６個である。
などの、誤りがあります。

No.505 - 2008/04/30(Wed) 22:38:49

☆ Re: 不等式の発展問題なんですが / ゆい

ありがとうございます!!
それでやってみたんですが√10をどうすればいいかわからなかったのでわかってよかったです?L??
本当にありがとうございました!!

No.506 - 2008/04/30(Wed) 23:38:17

★ (No Subject) / ラディン.ms

四面体の外接球がただ１つ定まることを証明せよ。

何から手をつけていいのか全くわかりません。
よろしくお願いします。

No.499 - 2008/04/30(Wed) 17:35:01

☆ (No Subject) / ヨッシー

四面体をＡＢＣＤとします。
ＡＢの中点を通り、ＡＢに垂直な平面αを考えると、
　α上の点Ｐについてのみ、ＡＰ＝ＰＢが成り立ちます。
ＢＣの中点を通り、ＢＣに垂直な平面βを考えると、
　β上の点Ｑについてのみ、ＢＱ＝ＱＣが成り立ちます。
ＣＤの中点を通り、ＣＤに垂直な平面γを考えると、
　γ上の点Ｒについてのみ、ＣＲ＝ＲＤが成り立ちます。
αとβは平行でないので、交線(交線Ｌという）が存在して、交線Ｌは、
△ＡＢＣを含む平面と垂直です。
βとγも交線(交線Ｍという)が存在しますが、交線Ｍが交線Ｌと平行ならば、
点Ｄが、△ＡＢＣと同一平面上にあることになり、四面体が出来ないので、
交線Ｍと、交線Ｌは、平面β上のある１点Ｓで交わり、この点においてのみ、
ＡＳ＝ＢＳ＝ＣＳ＝ＤＳが成り立ち、Ｓは外接球の中心となり、
外接球はただ１つ定まります。

No.500 - 2008/04/30(Wed) 18:05:12

☆ Re: / ラディン.ms

ありがとうございます。じっくり読んで理解してみます。

No.502 - 2008/04/30(Wed) 19:38:36

★ 複素数 / マスクん

z=(-2+2i)/(√3+i)
の時、複素数zの絶対値および、偏角を求めなさい。
という問題なんですが、絶対値のほうはzとzの共役をかけたものに√をつけて、√2　と出たんですが、偏角がわかりません。
どなたかご協力お願いします！

No.493 - 2008/04/30(Wed) 12:27:39

☆ Re: 複素数 / 七

z=(-2+2i)/(√3+i)
－2＋2i＝2√2(cos135°＋isin135°)
√3＋i＝2(cos30°＋isin30°)
したがって
z＝√2(cos105°＋isin105°)
偏角は105°＋360°･n [(7/12＋2n)π]

No.494 - 2008/04/30(Wed) 12:36:54

☆ Re: 複素数 / マスクん

七さん、本当にありがとうございます！！
本当に助かりました！

No.495 - 2008/04/30(Wed) 12:46:38

☆ Re: 複素数 / マスクん

七さん

度々申しわけありません。
３行目までは理解できたのですが、そこから５行目に変形する過程がちょっとわからないんです。
単に、「135°－30°」だから105°って事でしょうか？

No.496 - 2008/04/30(Wed) 12:55:35

☆ Re: 複素数 / 七

αの絶対値がr₁，偏角がθ₁
βの絶対値がr₂，偏角がθ₂ のとき
αβの絶対値r₁r₂，偏角θ₁＋θ₂
α/βの絶対値r₁/r₂，偏角θ₁－θ₂
です。

No.497 - 2008/04/30(Wed) 13:49:08

★ 多項式の除去、分数式 / DEBORAH

高3です。今回もよろしくお願いします。

x=(√5-1)/2のとき、x^2 + x-1= (ア) であるから、
4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x= (イ)　である。

このとき,(ア)と(イ)を求めよ。

答えは、(ア)=0 (イ)=(21-7√5)/2　　となるようです。

No.489 - 2008/04/29(Tue) 09:01:14

☆ Re: 多項式の除去、分数式 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

x=(√5-1)/2 を変形して√をなくしてみましょう。
ｘ＋1/2＝√5/2　
両辺を２乗すると　ｘ^2＋ｘ＋1/4＝5/4
∴ ｘ^2＋ｘ－1＝0　　となります。

4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x を(ｘ^2＋ｘ－1)で割った余りを求めます。
4x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x＝(ｘ^2＋ｘ－1)(4x－1)＋7ｘ
　　＝7ｘ＝7*(√5-1)/2＝・・・
となります。

No.490 - 2008/04/29(Tue) 10:07:35

☆ Re: 多項式の除去、分数式 / rtz

4x⁴＋3x³＋2x²＋x
＝(x²＋x－1)(4x²－x＋7)－7x
では。

No.491 - 2008/04/30(Wed) 01:27:44

☆ Re: 多項式の除去、分数式 / 七

4x⁴＋3x³＋2x²＋x
＝(x²＋x－1)(4x²－x＋7)－7x＋7
では。

No.492 - 2008/04/30(Wed) 04:03:25

☆ Re: 多項式の除去、分数式 / rtz

＞七さん
確かにそうです、すみません。

No.498 - 2008/04/30(Wed) 16:53:15

☆ Re: 多項式の除去、分数式 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

七さん　ご指摘有難う御座います。
仰るとおりです。（うっかり定数項を抜かして次数がずれていました）

DEBORAHさん、失礼しました。
－7ｘ＋7 ＝－7*(√5-1)/2＋7＝(21-7√5)/2
と導かれます。
rtz さん、私のミスの所為でミスを誘発させてすみませんでした。

No.501 - 2008/04/30(Wed) 18:41:50

☆ Re: 多項式の除去、分数式 / DEBORAH

皆さん、対応いただきありがとうございました。
理解できました。
またの機会もよろしくお願いします。

No.504 - 2008/04/30(Wed) 22:15:23

★ (No Subject) / MONO

(1)
ｘ^4＋ｘ^3－ｘ^2＋ａｘ＋ｂ(ａ,ｂは実数)が、ある2次式の2乗になるときのａ,ｂの値を求めよ。

(2)
ｘ^2－ｘｙ＋ｋｙ^2 －ｘ－7ｙ－2が1次式の積に因数分解できるように、定数ｋの値を定めよ。

この二問をお願いしますm(_ _)m

No.480 - 2008/04/27(Sun) 22:49:08

☆ (No Subject) / ヨッシー

(1)
　ｘ^4＋ｘ^3－ｘ^2＋ａｘ＋ｂ＝(x^2＋mx＋n)^2
とおけるとします。展開して、係数を比較すると、
　x^3 の係数：2m=1 より、m=1/2
　x^2 の係数：m^2＋2n＝-1 より n=-5/8
　x の係数：2mn＝ａ＝-5/8
　定数項：n^2＝ｂ＝25/64

(2)
　ｘ^2－ｘｙ＋ｋｙ^2 －ｘ－7ｙ－2＝(x+ay+b)(x+cy+d)
とおけるとします。係数を比較すると、
　xyの係数：a+c=-1
　x の係数：b+d=-1
　y の係数：ad+bc＝-7
　定数項：bd=-2
これらを解いて、
　(x+ay+b)(x+cy+d)＝(x-3y-2)(x+2y+1)
　y^2 の係数：k=-6

No.482 - 2008/04/27(Sun) 23:35:24

☆ Re: (No Subject) / MONO

ありがとうございます。
よくわかりました(^O^)
また機会があればよろしくお願いしますm(_ _)m

No.486 - 2008/04/28(Mon) 12:57:36

★ (No Subject) / ピロ高２

連立不等式
x+y-1≧0,2x-3y+13≧0,4x-y-4≦0
を満たす座標平面上の点全体からなる領域をDとするとき、
次の問いに答えよ。
(1)領域Dを図示せよ。
(2)領域内の点(x,y)に関して、y-xの最大値と最小値を求めよ。
(3)領域内の点(x,y)に関して、y-axの最小値をm(a)、
　最大値をM(a)とおき、その差S(a)をS(a)=M(a)-m(a)で定める。
　このとき、S(a)を求めよ。
　また、S(a)を最小とするaの値と、そのときの最小値を求めよ。
　ただし、aは-1

お願いしますm(._.)m

No.476 - 2008/04/27(Sun) 22:12:03

☆ (No Subject) / ヨッシー

ただし、aは-1＜a＜1の範囲の実数の定数とする。

ですね。

No.478 - 2008/04/27(Sun) 22:16:42

☆ Re: (No Subject) / ピロ

問題の最後の行が何故か消えてました…。

ただし、aは―１＜ａ＜１の範囲の実数の定数とする。

No.479 - 2008/04/27(Sun) 22:18:41

☆ (No Subject) / ヨッシー

私のページに解答を載せました。

No.481 - 2008/04/27(Sun) 23:24:52

☆ Re: (No Subject) / ピロ

ありがとうございます。
とても分かりやすくて助かりました。

No.483 - 2008/04/27(Sun) 23:51:36

★ f(x)=x^2のフーリエ級数とParseval'sの等式を使ってΣ[n=1..∞]1/n^4kの値を求めよ / yuuka

[問]f(x)=x^2のフーリエ級数とParseval'sの等式を使ってΣ[n=1..∞]1/n^4の値を求
めよ。

[解]
f(x)(=x^2)=π^2/3+4Σ[k=1..∞](-1)^kcos(kx)/k^2=π^2/3-4cosx+cos(2x)-4/9cos(3x)+
…
ここで正規直交関数系
{u_k(x)}={1/√(2π),cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}で級数
展開した形で考えると
=1/√(2π)2π・π^2/3-4√π・cosx/√π+0・sinx/√π-√π・cos/√π+0・sin(2x)/√π+… …?@

a_0=1/
√(2π),a_1=-4√π,a_2=0,a_3=-√π,a_4=0,…
よって?@の最右辺は
Σ[k=1..∞](a_k)^2=(a_1)^2+(a_3)^2+(a_5)^2+…　
=16π+π+16π/81+…
=Σ[n=0..∞]16π/(n+1)^4
=16πΣ[k=1..∞]1/k^4 …?A

一方,∥f(x)∥^2=∫[-π..π]{f(x)}^2dx=∫[-π..π]x^4dx
=[π^5/5]^π_(-π)=2π^5/5 …?B

よって,

Parseval'sの等式∥f(x)∥^2=Σ[k=0..∞](a_k)^2に代入して
2π^5/5=16πΣ[n=1..∞]1/n^4
2π^5/5=16πΣ[n=0..∞]1/n^4
Σ[n=0..∞]1/n^4=π^4/40

となったのですが正解はπ^4/90となっています。
何処を勘違いしているでしょうか?

No.466 - 2008/04/27(Sun) 05:56:02

☆ Re: f(x)=x^2のフーリエ級数とParseval'sの等式を使ってΣ[n=1..∞]1/n^4kの値を求めよ / X

まずa_0の値が誤っています。
(1)の第一項は
>>1/√(2π)2π・π^2/3
ではなく
{1/√(2π)}{√(2π)}(π^2)/3
ですので
a_0={√(2π)}(π^2)/3
又、Parsevalの等式ではa_0も考えなければなりませんので
>>2π^5/5=16πΣ[n=1..∞]1/n^4
ではなく
2π^5/5=a_0^2+16πΣ[n=1..∞]1/n^4
(∵)(2)にはa_0^2が含まれていません。

これより
2π^5/5=(2π^5)/9+16πΣ[n=1..∞]1/n^4
16πΣ[n=1..∞]1/n^4=(8π^5)/45
∴Σ[n=1..∞]1/n^4=(π^5)/90
となります。

No.475 - 2008/04/27(Sun) 21:58:19

☆ Re: f(x)=x^2のフーリエ級数とParseval'sの等式を使ってΣ[n=1..∞]1/n^4kの値を求めよ / yuuka

どうもありがとうございます。

おかげ様解決できました。

No.484 - 2008/04/28(Mon) 02:19:24