ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

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★ 指数対数 / kai(高3)

(1)6^nが39桁の自然数になるとき自然数nを求めよ。(2)その場合のnに対する6^nの最高位の数字を求めよ。ただし
log(10)2=0.3010 log(10)3=0.4771 とする。

(1)
10^38≦6^n＜10^39
38≦0.7781n＜39
よってn=49,50

(2)
0≦6^n-a*10^38＜10^38 (n=49,50)
○≦a＜□

上のように計算してるのですが、解けないので教えてください。
(1)は間違っていないかどうか、(2)はヒントをお願いします。

No.2680 - 2008/09/13(Sat) 17:11:35

☆ Re: 指数対数 / rtz

(2)
n＝49なら、
6⁴⁹/10³⁸とすれば、
○.○○○○…という小数になりますね。
つまり1以上10未満ですので、
1≦6⁴⁹/10³⁸＜10として自然対数を取ってみましょう。
そうすれば0≦？＜1となりますが、
たとえば？＝0.4ならlog₁₀2≦？＜log₁₀3から整数部は2と分かります。
実際に出てきた値について考えてみてください。
log₁₀4＝log₁₀2²、
log₁₀5＝log₁₀(10/2)
log₁₀6＝log₁₀(2*3)
などを使えば、
実際の数値も出せますね。
n＝50も同様に出せます。

(1)
答えは正しいです。
googleで10^49や10^50と入力してみてください。
ちなみに(2)の答えが正しいかどうかも一緒に分かってしまうので、後にしました。

No.2681 - 2008/09/13(Sat) 17:44:58

☆ Re: 指数対数 / kai(高3)

rtzさん返信ありがとうございます。

rtzさんの計算で(2)は分かりました。
ってことは、(2)
0≦6^n-a*10^38＜10^38 (n=49,50)
log10(a)≦□＜log10(a+1)
とすればいいんですね。

阪大の問題といいrtzさんありがとうございます。

たびたびすみませんが、logの底のあらわし方はどうするのでしょうか。rtzさんのは底10がlogの下にかいてありますが...

No.2693 - 2008/09/13(Sat) 23:04:48

☆ Re: 指数対数 / rtz

この掲示板はHTMLタグが使えるので、
log＜sub＞10＜/sub＞xと打てば下付き文字としてlog₁₀xと表示されます。
(ただし、＜＞は半角に直してください。下も同じです。)
また、
x＜sup＞2＜/sup＞と打てば上付き文字としてx²と表示されます。
一々打つのは面倒なら辞書登録しておいてもいいでしょう。

No.2700 - 2008/09/14(Sun) 01:26:17

☆ Re: 指数対数 / にょろ

<,&gtで<>は表現できると思いますよ。
ただプレビューの時変わっちゃうのはいただけませんけどね…。

No.2703 - 2008/09/14(Sun) 09:07:15

☆ Re: 指数対数 / rtz

＞にょろさん
はじめそれで打ち込んだのですが、
なぜか私の場合、投稿すると
そのままタグ扱いで変換されてしまいましたので全角にしました。

No.2708 - 2008/09/14(Sun) 18:45:30

★ 分数式 / まあ

分数式にまとめる問題で
{(x-2)/(2x^2-5x+3)}+{(3x-1)/(2x^2+x-6)}+{(2x^2-5)/(x^2+x-2)}の計算教えてください。
お願いします

No.2678 - 2008/09/13(Sat) 16:42:27

☆ Re: 分数式 / gaku

分数式であっても，分数は分数ですからたし算はやはり通分。

No.2679 - 2008/09/13(Sat) 16:56:55

☆ Re: 分数式 / hari

分母は因数分解できますよ。
どの項も分母分子に一次式をかけると通分できます。

No.2682 - 2008/09/13(Sat) 18:23:34

☆ Re: 分数式 / まあ

良かったら計算過程を教えてください?ｫ

No.2683 - 2008/09/13(Sat) 18:38:12

☆ Re: 分数式 / とおりすがり

自分の計算に自信がなければその過程を書いてください．
そうすれば添削します．

No.2684 - 2008/09/13(Sat) 19:26:14

☆ Re: 分数式 / hari

計算問題は自分の力でやらないと身につかないからがんばってください。
答えは2です。

たとえば1/ab + 1/bc + 1/caを通分するなら
c/abc + a/abc + b/abc = (a + b + c)/abc
となります。今回も同様に通分できます。

No.2691 - 2008/09/13(Sat) 22:41:47

★ ある立体の体積 / 浪花のムサシ

初めて書き込みいたします。以前、姪の勉強を見てあげていて、回答に困ったので、質問させていただきます。
直径１０cm、高さ１０cmの円柱があります。上面の円に内接する正方形ABCDがあり、底面の円にABCDと４５度傾いた内接正方形EFGHがあります。
上面の頂点ABCDと底面の頂点EFGHをそれぞれ直線で結びます。すると、上面及び底面が正方形で、側面が合同の二等辺三角形が８面である、１０面体ができあがります。
この立体の体積を求めなさいという問題なのですが、
姪が中学３年の時の問題です。
中学生のレベルでこの問題をどう説明すれば良いのでしょうか。
よろしくお願いします。

No.2676 - 2008/09/13(Sat) 16:11:30

☆ Re: ある立体の体積 / ヨッシー

時間がないので、描き散らかした図ですが、

８角柱から、三角錐を８つ取り除いたものとして考えます。

1辺10cmの正方形に、底辺10cm、高さ5√2－5 の三角形を４つつけたのが
正８角形なので、８角柱の体積も、三角錐の体積も、出ると思います。

No.2677 - 2008/09/13(Sat) 16:34:08

★ ２次方程式 / ﾅﾝｼｰ

0.3x^2-2x-1.2=0
で１０倍して公式に当てはめたところ
{-20±√(400-4×3×(-12))}/6
になったのですが、続きの計算がわかりません
教えてください！

No.2674 - 2008/09/13(Sat) 11:26:39

☆ Re: ２次方程式 / ヨッシー

まず、最初の-20 は 20 の誤りです。
続きといっても、
(20±√544)/6＝(20±4√34)/6＝(10±2√34)/3
とするぐらいですね。

ｘの係数が偶数の時の解の公式
　ax^2＋2bx＋c=0　の解　x={-b±√(b^2-ac)}/a
を使えば、
　ｘ＝(10±√(100－3×(-12))/3＝(10±√136)/3
となり、約分が不要になります。
（√136＝2√34 の変形は必要です)

No.2675 - 2008/09/13(Sat) 13:07:46

★ なぜか途中で文が消えてします。３回目の投稿。下２回目は削除してください / daigo（大学１年）

２次方程式の解の配置問題で、条件として、f(α)f(β)<0であればよいというときがあります。これは、

f(α)>0かつf(β)<0　または　f(α)<0かつf(β)>0

代わりに、f(α)f(β)<0　をチェックするということなのは分かります。
しかし、現実問題として、f(α)>0かつf(β)<0　を満たすaの範囲があった場合、f(α)<0かつf(β)>0 を満たすaの範囲は必ず存在しないのでは？抽象的ですいません。私の聞きたいこと分かるでしょうか？[質問?@]

具体的には次の問題です。
x^2+(a+2)x-a+1=0 について、
解の１つが-2他の解がx<-2または
0<xの範囲にあるようなaの範囲は？

この問題を解くための必要十分条件は
f(0)>0かつf(-2)<0 または f(-2)>0かつf(0)<0 ですよね。
これは、f(0)f(-2)<0 と同値です。つまり、1/3<a<1が（答）。しかし、この1/3<a<1は、f(0)>0かつf(-2)<0　のaの範囲です。ちなみに、f(-2)>0かつf(0)<0　を満たすaの範囲は存在しません。
ということはこの問題、１つが-2<x<0　にあった場合、0<xに解があることはありえないということですか？[質問?A]
それなら初めから聞くなという感想を持つのですが・・・

皆さんいかがですか？質問?@、質問?A、両方ともよろしくお願いします。

No.2667 - 2008/09/12(Fri) 23:37:50

☆ Re: なぜか途中で文が消えてします。３回目の投稿。下２回目は削除してください / daigo（大学１年）

解の１つが-2<x<0の範囲にあり、他の解が・・

です。-2で止まっているのは間違いです。

打ち込んでいるのになぜ消えるの？

No.2668 - 2008/09/12(Fri) 23:40:19

☆ Re: なぜか途中で文が消えてします。３回目の投稿。下２回目は削除してください / ヨッシー

半角の＜は、しばしば、タグとして見なされることがあるので、
それで表示されないと思います。

質問１
たとえば、f(x)＝ｘ²＋２ａｘ＋１
が、－１＜ｘ＜１に１つの解を持ち、他の解をｘ≦－１　
または　１≦ｘにもつようなａの値
といった場合は、
　f(-1)＜０　かつ　f(1)＞０
　f(-1)＞０　かつ　f(1)＜０
もあるａの値を示します。

質問２
よって、片方から解が得られたら、他方からは解が得られないかどうかは
解いてみないと分かりませんし、片方からは、解が得られない
ということを示すことは、解があることを示すのと、同じくらい
重要と思います。

No.2669 - 2008/09/12(Fri) 23:57:18

☆ Re: なぜか途中で文が消えてします。３回目の投稿。下２回目は削除してください / rtz

先に質問2から。
x²＋(a+2)x－a＋1＝0
⇔x²＋2x＋1＝a(1－x)
方程式x²＋(a+2)x－a＋1＝0の解は、
y＝x²＋2x＋1とy＝a(1－x)の交点のx座標ともいえますね。
両方のグラフを描いてみましょう(y＝a(1－x)は(1,0)を通る直線)。
y＝a(1－x)をくるくる回せば、-2＜x＜0で交わるときx＞0で交わらないことは確認できると思います。

質問1
xが正だとして、
x²＝1
⇔(x＋1)(x－1)＝0
⇔x＝1 (∵x＞0)
としてx＝-1は捨てますよね？

これと同じで、
問題の条件に当てはまるような場合を、
実際にはありえようがありえなかろうが全て考えた上で、
その上でありえないものについては切り捨てればよいだけのことです。

例えばA、B、C、D、Eの5人が容疑者だったとして、
「Aはこの時間別の場所にいたから無理」
「Bは…」
として、1つ1つ潰していくのと同じです。
最終的にはありえなくても、条件から導かれる可能性については、
ありえないとして潰しておかなければ「それを考慮指定していない」という時点で論理として間違いなわけです。

No.2673 - 2008/09/13(Sat) 11:14:30

★ 三角関数/方程式・不等式 / ジーニー(高2)

次の二つの問題それぞれの解答をお願いします。

■0≦θ＜2πのとき、次の方程式を満たすθの値。

　cos(θ+π/4)=(√3)/2

■0≦θ＜2πのとき、次の不等式を満たすθの値の範囲。

　√2sinθ＞1

よろしくお願いします。

No.2662 - 2008/09/12(Fri) 19:48:17

☆ Re: 三角関数/方程式・不等式 / ヨッシー

0≦θ＜2πのとき
　π/4≦θ+π/4＜9π/4　　＝　　45°≦θ+45°＜405°
です。
　cosｘ＝√3/2
となる、主なｘの値は、π/6(30°)、11π/6(330°)、13π/6(390°) などがあります。
このうち、π/4≦ｘ＜9π/4 となるのは、11π/6、13π/6 の２つです。
　θ+π/4＝11π/6　より　θ＝19π/12
　θ+π/4＝13π/6　より　θ＝23π/12

　√2sinθ＞1　は　sinθ＞1/√2
と書けるので、単位円において、ｙ座標が 1/√2 より大きい角は
　π/4＜θ＜3π/4

No.2663 - 2008/09/12(Fri) 19:57:55

☆ Re: 三角関数/方程式・不等式 / ジーニー(高2)

ありがとうございます！

二つ目の問題と同じ要領で

cosθ≧(√3)/2

の範囲も教えて欲しいです；

No.2664 - 2008/09/12(Fri) 23:14:32

★ 積分 / じゃぱん

２つの関数f(x),g(x)は方程式

f(x)+∫[１からx]g(t)dt=x^3+x^2-(a+1)x+2a,

f'(x)-g(x)=3x＾2-2x+a-1

を満たすとする。ただし、aは定数とする。

(1) f'(x)+g(x)をxとaを用いて表せ。

(2) f(1)をaを用いて表せ。

(3) f(x)とg(x)をxとaを用いて表せ。

(4) y=f(x)とy=g(x)のグラフが接するようなaの値を求めよ。

答え
(1) f'(x)+g(x)=3x^2+2x-(a+1)

(2) f(1)=a+1

(3) f(x)=x^3-x+a+1

(4) 1/2,-3/2

まず何をしたらいいのかわかりません。
答えはわかっているのですがちゃんと理解したいのでできるだけ詳しい解説よろしくお願いします。

No.2660 - 2008/09/12(Fri) 17:28:37

☆ Re: 積分 / とおりすがり

f(x) + ∫[1,x]g(t)dt = x^3 + x^2 - (a+1)x + 2a …[1]
f'(x) - g(x) = 3x^2 - 2x + a - 1 …[2]
とします．

(1)
[1]の左辺をxで微分すると求めたいf'(x) + g(x)になりますね．

(2)
[1]の両辺にx=1を代入すると左辺はf(1)となりますね．

(3)
[2]と(1)で求めた式を使いましょう．

No.2661 - 2008/09/12(Fri) 17:49:11

★ 重解 / aya

次の方程式が重解を持つようにｍの値を定めなさい。

(１)x^+(m+2)x+m^=0

(２)x^-4mx+m+3=0

(３)mx^+2(m-1)x+(m+1)=0 (m≠0)
助けてください!

No.2657 - 2008/09/12(Fri) 07:41:44

☆ Re: 重解 / ヨッシー

とりあえず、こちらですかねぇ。

No.2658 - 2008/09/12(Fri) 08:35:52

★ 辞書式配列 / Sana

異なる5文字a,b,c,d,eを1つずつ使ってできる120通りの文字列をabcdeからedcbaまでアルファベット順に並べてある。

●94番目にある文字列は何か。

(解答)
a○○○○,b○○○○,c○○○○,d○○○○型のものはそれぞれ4!通りあるから、

4!×4=96

つまり、decbaは96番目…

と、ここまでは分かるのですが、その後は95番目、94番目というように戻りますがその戻り方がよくわかりません。

教えて頂けないでしょうか?

No.2654 - 2008/09/12(Fri) 05:56:41

☆ Re: 辞書式配列 / ヨッシー

dxxxx の形のものは、高々４！＝24通りなので、

dabce,dabec,dacbe,daceb,daebc,daecb,
dbace,dbaec,dbcae,dbcea,dbeac,dbeca,
dcabe,dcaeb,dcbae,dcbea,dceab,dceba,
deabc,deacb,debac,debca,decab,decba

と書き並べてみると、並び方の規則が分かるでしょう。

必ずしも、よりよく分かるとは限りませんが、a=1,b=2,c=3,d=4,e=5 のように、数字に対応させる方法もあります。

No.2659 - 2008/09/12(Fri) 08:42:24

★ お願いします！ / あ

次の式を簡単にせよ
1/(√3+√5)+1/(√5+√7)

No.2650 - 2008/09/11(Thu) 23:30:15

☆ Re: お願いします！ / ヨッシー

有理化を試みます。
　1/(√3+√5)＝(√5-√3)/(√3+√5)(√5-√3)＝(√5-√3)/2
　1/(√5+√7)＝(√7-√5)/(√5+√7)(√7-√5)＝(√7-√5)/2
より、
　(与式)＝(√7-√3)/2

No.2651 - 2008/09/12(Fri) 00:33:39

☆ Re: / あ

ありがとうございます！

No.2656 - 2008/09/12(Fri) 07:32:37

★ (No Subject) / ラディン.ms

x+y+z=0,ax+by+cz=1のとき
(a-b)(a-c)x^2+(b-c)(b-a)y^2+(c-a)(c-b)z^2の値を求めよ。

色々試してみましたが方針がつかめません。
y,zをxで表して求める式に代入すればいいのでしょうか。

よろしくお願いします。

No.2645 - 2008/09/11(Thu) 19:41:24

☆ Re: / ヨッシー

値さえ求まればいいと言うのであれば、
この手の問題は、適当に値を決めても、常に同じ値に
なるようになっているので、
x=0,y=1,z=-1,a=0,b=1,c=0 などと決めると、(与式)＝１になります。

まじめにやると、
　(ax+by+cz)^2＝a^2x^2＋b^2y^2＋c^2z^2＋2abxy＋2bcyz＋2cazx＝1
よって、
　a^2x^2＋b^2y^2＋c^2z^2＝１－2abxy－2bcyz－2cazx　・・・(i)
　(与式)＝a^2x^2＋b^2y^2＋c^2z^2－a(b+c)x^2－b(a+c)y^2－c(a+b)z^2＋bcx^2＋cay^2＋abz^2
(i) を代入して
　(与式)＝１－2abxy－2bcyz－2cazx－a(b+c)x^2－b(a+c)y^2－c(a+b)z^2＋bcx^2＋cay^2＋abz^2
　　＝１－ab(x^2+2xy+y^2)－bc(y^2+2yz+z^2)－ca(z^2+2zx+x^2)＋bcx^2＋cay^2＋abz^2
　　＝１＋ab{z^2－(x+y)^2}＋bc{x^2－(y+z)^2}＋ca{y^2－(z+x)^2}
　　＝１＋ab(z-x-y)(z+x+y)＋bc(x-y-z)(x+y+z)＋ca(y-z-x)(y+z+x)
　　＝１　　（x+y+z＝0　より）

No.2646 - 2008/09/11(Thu) 20:15:18

☆ Re: / ラディン.ms

ありがとうございます。計算が大変そうですが，頑張ってみます。

No.2647 - 2008/09/11(Thu) 20:29:37

★ No.2568について（レスが長くなるため再掲） / Jez-z

キューださんが示してくださった方針で解いていたのですが、計算ミスが発見されたのでまず指摘したいとおもいます。

>>18{X^2+X(Y+Z)+(Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)}+42(Y+Z)=...
は18{X^2+2X(Y+Z)+(Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)}+42(Y+Z)=...
ではないでしょうか？

それと、何度もお願いして申し訳ないのですが、このあとの計算式を大雑把でいいので教えてもらえないでしょうか？
よろしくお願いいたします
（放物線の最小問題に帰着して考えられますよね、自分はその方針で定義域と軸の位置で3通りに場合分けしてやってみました）

No.2642 - 2008/09/10(Wed) 23:12:25

☆ Re: No.2568について（レスが長くなるため再掲） / キューダ

X(Y+Z)の係数は、ご指摘の通り2です。申し訳ありません。

以後は、難しくない問題になっているはずです。

見直してみたのですが、もし陥るとしたら、(Y+Z)^2=(X+1)^2　の扱いだと思います。
「軸の位置で三通り」等というコメントを見ると、Y+Z=|X+1|　等と、変形してしまっ
たということはありませんか？両者は異なります。（後者では、Y+Zは常に非負ですからね）
一般にY+Z=±(X+1)は二つの平面の和集合を表していますが、実際には、交線で
もう一つの平面に切り替わり「折れた平面」です。厳密には、「この領域では、
この平面、こちらの領域では、こちらの平面」のような、扱いをすべきなのでしょうが、
平面の分岐指定など面倒なので、とりあえず、和集合全体　Y+Z=±(X+1)
として扱い、適宜、相応しくない方を捨てるという扱いが無難です。

Y+Z=X+1の場合
18{X^2+2X(Y+Z)+(Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)}+42(Y+Z)
=72X^2+114X+42=72(X+19/24)^2-25/8
-1≦X≦1/3なので、X=-19/24のとき最小値は-25/8　これは、適している。
なぜなら、
X=-19/24,x=6X+7=9/4
　　Y+Z=1+X=1-19/24=5/24， y+z=5/4
　　YZ={(Y+Z)^2-(Y^2+Z^2)}/2={(1+X)^2-(1-X^2)}/2=X^2+X=-95/576, yz=-95/16
　　xy+yz+zx=x(y+z) + yz = -19/24 * (5/4) -95/16= -25/8

Y+Z=-(X+1)の場合
18{X^2+2X(Y+Z)+(Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)}+42(Y+Z)=-42X-42
X=1/3の時最小値-56を取るはずだが、この時
X=1/3,x=6X+7=9,
　　Y+Z=-(1+X)=-4/3,y+z=-8
　　YZ=X^2+X=4/9,yz=16
　　xy+yz+zx=x(y+z) + yz = 9*(-8)+16=-72+16=-48　と上と矛盾する
　　つまり、こちらの平面では無い

しかし、見直してみたのですが、変数変換をすると、面倒なので、
xy+yz+zx=x(y+z)+yz=±x(x-1)+x^2-8x+7=...とした方が、全然楽でしたね。

No.2643 - 2008/09/11(Thu) 03:32:18

☆ Re: No.2568について（レスが長くなるため再掲） / Jez-z

回答ありがとうございます。２つ質問があります。

?@Y+Z=|X+1|はY+Z=±(X+1)と同値ではないですか？したがって(Y+Z)^2=(X+1)^2をY+Z=|X+1|のように変形してもY+Z=±(X+1)のように変形してもさして問題がないように思われるのですが・・・

?A軸の位置で場合分けというのは以下の作業を踏まえてのことです。（どこがおかしいか確認してほしいのですが・・・）
-1≦X≦-(1/3)より
0≦X+1≦4/3
(Y+Z)^2=(X+1)^2より
0≦(Y+Z)^2≦16/9
よって-4/3≦Y+2≦4/3
であるので、-4/3≦-(Y+2)≦4/3

一方、18{X^2+2X(Y+Z)+(Y+Z)^2-(X^2+Y^2+Z^2)}+42(Y+Z)
　　　=18{X+(Y+2)}^2+42(Y+Z)-18
より考えている関数（2次関数）の軸の方程式は
X=-(Y+Z)
したがって
(1)-4/3≦-(Y+Z)<-1
(2)-1≦-(Y+Z)≦1/3
(3)1/3<-(Y+Z)≦4/3
の３つの場合に分けて考えられる。

です、この方針でもとけるでしょうか？キューダさんの答と違ったのですけど…

よろしくお願いします。

No.2652 - 2008/09/12(Fri) 01:04:49

☆ Re: No.2568について（レスが長くなるため再掲） / キューダ

>Y+Z=|X+1|はY+Z=±(X+1)と同値ではないですか？
同値ではありません。三次元だと面倒なので、二次元で考えましょう。
以下のグラフを書いてみて下さい。

y^2=(x+1)^2
y=|x+1|
y=-|x+1|
y=±|x+1|
y=±(x+1)
±y=x+1

三種類のグラフができあがります。
１、４、５、６番目は「Ｘ」の様な形
２番目は、「Ｖ」の様な形（基本グラフのｙ≧0の部分のみ）
３番目は、「Λ」の様な形（基本グラフのｙ≦0の部分のみ）
です。他に、|y|=x+1、-|y|=x+1　なども考えられますが、これらはまた、
別のグラフになります

「18{X+(Y+2)}^2+42(Y+Z)-18」
これは、三つ項からできています。
X=-(Y+2)のとき、第一項は最小になりますが、だから、何が言えるのでしょう？
変数が複数有り、お互いに影響しあっている場合、一変数の二次関数のような
扱いで最大最小などを検討することはできません。

いくつかの変数が、勝手に、しかし、ある条件には従って、変化します。
そのようなものを、同時に扱えないから、他の変数のことを考えなくても良いよ
うに変数を減らすのです。そして、一変数の二次関数に帰着させるのです。
ただし、生き残った変数も、他の変数とのかねあいで、無条件に全域を動け
るわけではありません。それが、一番最初にコメントされていた
1≦x≦9という条件です。

No.2653 - 2008/09/12(Fri) 02:01:33

☆ Re: No.2568について（レスが長くなるため再掲） / Jez-z

1つめ…>>Y+Z=|X+1|はY+Z=±(X+1)と同値ではないですか？
同値ではありません。三次元

変数が３つあるため「同値」な変形ができないというわけですね？では以下は可能ですよね？
(x+1)^2=(y+3)^2
→x+1=±(y+3)

ちなみに「←」の矢印も成り立つといってよいでしょうか？

2つ目・・・多変数であることを忘れていました。一般の2次関数の最大・最小のように考えるのはいけないということですね？

No.2670 - 2008/09/13(Sat) 00:19:30

☆ Re: No.2568について（レスが長くなるため再掲） / キューダ

前回例としてあげたものをグラフにしましたか？　してないから、
> 変数が３つあるため「同値」な変形ができないというわけですね？
のような、的外れなコメントが出てくるのではありませんか？
変数の数は関係ありません。絶対値記号の使用上の注意を示したのです。
変数が三つあると、空間内の平面の式で、「図示」が簡単ではないので、
本質が失われず、図示が簡単な、y^2=(x+1)^2を例に挙げだけです。

(x+1)^2=(y+3)^2
√{(x+1)^2}=√{(y+3)^2}
|x+1|=|y+3|
x+1=±|y+3|
x+1=±1*{±(y+3)}
右辺1の前の「±」は、(x+1)の正負によって、使い分けられるプラマイです。
(y+3)の前の「±」は、(y+3)の正負によって、使い分けられるプラマイです。
x+1が正かつy+3が正など、全部で４通りのプラスマイナスの組み合わせがあります。
平面を四つに分け、それぞれの領域でグラフを書く必要があります。
しかし、結局は　x+1=±(y+3)　のグラフと同じ事が確認できます。
換言すると、「復号任意」として四通りあったものが、
整理の結果、x+1=±(y+3)という、二通りにまとめられたということです。

>　ちなみに「←」の矢印も成り立つといってよいでしょうか？
前回グラフのところで、「１、４、５、６番目は「Ｘ」の様な形」と書きました。
それらは全て同じ形だと書いたのです。

No.2672 - 2008/09/13(Sat) 02:41:09

★ 場合の数 / さくら

こんばんは、数学Aの問題が分からなかったので
教えて頂きたいです。

問：７２、３００　のそれぞれの数について、
正の約数の個数を求めよ。

というものなのですが、積の法則を使って
求めるらしく、その解き方がよく
分からないです。

基本的な問題だとは思いますが、
教えてください。

No.2638 - 2008/09/10(Wed) 21:39:51

☆ Re: 場合の数 / 透

>７２、３００　のそれぞれの数について、
この部分が不明瞭です。問題文をそのまま書くべきです。

No.2639 - 2008/09/10(Wed) 21:45:59

☆ Re: 場合の数 / ヨッシー

私のページの
全国のお父さん向け
　ヨッシーの
　数学テキスト
の、第４回をご覧ください。

No.2640 - 2008/09/10(Wed) 22:45:55

☆ Re: 場合の数 / さくら

分かりました！
ありがとうございます。

No.2641 - 2008/09/10(Wed) 22:55:57

★ 広義積分 / とも

∫[0～∞]1/x･e^{-(x+ 1/x)}dx
の積分の値を求めよ。
という問題なのですが…
留数定理が使えそうかな…と考えましたが結局挫折しました。どなたかおしえてください。
xが分母で、e^{-(x+ 1/x)}が分子に来ています。

No.2637 - 2008/09/10(Wed) 18:08:54

☆ Re: 広義積分 / キューダ

第二種変形ベッセル関数Ｋ_ν(z)　を使って　2Ｋ_0(2)　のようですね。

No.2655 - 2008/09/12(Fri) 06:20:28

★ (No Subject) / kita

こんにちは、はじめて書き込みをさせて頂きます。分からないところがあり質問をさせて頂きました。

内容ですが、燃料タンクの容積を用いた燃料消費量の計算方法についてです。

いま、燃料のタンクの容積が900L、すなわち0.9m^3＝900,000cm^3(cc)があり燃料ゲージが1cm刻みであるとします。このとき、エンジンを数時間アイドル運転を行いエンジン停止後、目盛りが何?p減ったためこれだけの燃料を消費したという計算を行いたいのですが、いまいち、ピントきません。
仮に、上と同じ条件で、タンクの容量が900L、燃料が80,000cm^3入っていたと仮定して、エンジンを2時間アイドルで動かしました。そして、ゲージを見てみると上限より2cmほど減っておりこれを1時間あたりのリットル消費量に直すと・・・

といった感じです。初歩的な質問ではありますがよろしくお願いします。

No.2634 - 2008/09/10(Wed) 14:42:53

☆ Re: / らすかる

燃料ゲージが全体で何センチあるかがわからないと求まりません。

No.2635 - 2008/09/10(Wed) 16:10:44

☆ Re: / ヨッシー

状況がよく分かりません。

燃料ゲージは、燃料の消費量に対して、同じ速さで減るのでしょうか？
自動車の燃料計の多くはそうではありませんね。
（最初のうちはあまり減らなくて、途中からグッと減る）

仮に、どの位置の１ｃｍも、燃料の量は同じだとして、
エンジンを動かして目盛りを読む方法では、たとえば、
　１．タンクを空にして、量の分かっている燃料を入れて目盛りを読み取る
　２．エンジンを動かした後、残った燃料を全部出して、燃料の量を量る
のようにしないと、どれだけ消費したかは分からないと思います。
それよりも、燃料を入れながら、１ｃｍ目盛りが増えるのに
何Ｌ入ったかを見た方が良いと思いますが。

No.2636 - 2008/09/10(Wed) 16:10:46

☆ Re: / kita

返信が遅くなり大変申し訳ありませんでした。

皆さんのアドバイスを元にもう少し考えてみようと思います。ありがとうございました。

No.2671 - 2008/09/13(Sat) 00:25:22

★ 数学Ａ / *Sana*

こんばんは。毎回丁寧な解答を頂き有り難う御座います。また分からないところがあるので宜しくお願いします。

?@黒玉7個と白玉3個を1列に並べるとき、白玉が隣り合わないような並べ方は何通りあるか。

?A1から9までの数字をかいた9枚のカードの中から、5枚のカードを選ぶとき、奇数が2枚となる選び方は何通りあるか。

?B0から9までの数字をかいた10枚のカードがある。この中から、4枚のカードを選ぶとき、最大の数が7であるような選び方は何通りあるか。

No.2629 - 2008/09/10(Wed) 02:43:17

☆ Re: 数学Ａ / TK

(1)黒玉の間の選び方です。

(2)奇数のカードから2枚、偶数のカードから3枚選ぶ場合の数です。

(3)7以下が出る場合の数から6以下が出る場合の数を引く。

No.2631 - 2008/09/10(Wed) 05:31:26

☆ Re: 数学Ａ / TK

(1)
"間"は表現が悪かったです。以下のように□に3つの○を入れる場合の数を考えればよいです。
□●□●□●□●□●□●□●□

No.2632 - 2008/09/10(Wed) 07:19:32

☆ Re: 数学Ａ / ヨッシー

(3)は
７以下の数から４枚を選ぶ場合の数から、
６以下の数から４枚を選ぶ場合の数を引く。
ですね。

また、７をまず選んでおいて、
６以下の数から３枚選ぶ、と考えても良いです。

No.2633 - 2008/09/10(Wed) 08:41:42

★ 不等式 / creampuff

三角形の３辺の長さをa,b,cとし、2s=a+b+cとする。
次の不等式を示せ。

{1/(s-a)}+{1/(s-b)}+{1/(s-c)}≧(9/s)

この問題を教えてください。

No.2628 - 2008/09/10(Wed) 00:19:26

☆ Re: 不等式 / キューダ

x,y,z>0に対し、(x+y+z)/3≧[3]√(xyz)
同様に1/x,1/y,1/zに対し、(1/x+1/y+1/z)/3≧[3]√(1/xyz)
逆数を取ると、3/(1/x+1/y+1/z)≦[3]√(xyz)　（←調和平均と相乗平均の関係式です）

これらから、(x+y+z)/3≧3/(1/x+1/y+1/z)が得られます。
x=1/(s-a),y=1/(s-b),z=1/(s-c)としたものが、求められている式です。

No.2630 - 2008/09/10(Wed) 03:31:55

☆ Re: 不等式 / creampuff

なるほど。
ありがとうございました。

No.2649 - 2008/09/11(Thu) 23:02:29

★ (No Subject) / モモ

1/2 log｜cosx-1/cosx+1｜
＝1/2 log 1-cosx/1+cosx

絶対値がとれると､どうして下の式になるのかがわかりません。解説お願いします。

No.2620 - 2008/09/09(Tue) 18:01:49

☆ Re: / gaku

真数は正でなければならないし，-1≦cos x≦１
であることも一緒に考えるとそうなります。
ただし，cosx=1は今回はだめです。

No.2621 - 2008/09/09(Tue) 18:09:21

☆ Re: / ヨッシー

絶対を外した結果は、必ず正か０です。
　(cosx-1)/(cosx+1)
だと、負になります。-1≦cosx≦1 のため。

分母までひっくり返す必要はありませんが、分子と合わせたものと思います。

No.2622 - 2008/09/09(Tue) 18:17:11

☆ Re: / モモ

-1≦cosx≦１を考えなければいけなかったのですね。
ありがとうございました(^^)/~

No.2623 - 2008/09/09(Tue) 18:50:53

★ (No Subject) / 数Ｃ

2点（3,0）（-3,0）を焦点とし、（4,5）を通る双曲線を求めよ。

c^2=a^2+b^2より、a^2+b^2=9
x^2/a^2-y^2/b^2=1より、25/a^2-16/b^2=1
この式があっているのかこっから先どうするのかわかりません。お願いします。

No.2616 - 2008/09/09(Tue) 17:15:28

☆ Re: / 訂正

（5,4）を通る　でした
すみません。

No.2617 - 2008/09/09(Tue) 17:17:16

☆ Re: / rtz

(25/a²)－(16/b²)＝1にa²b²をかけて
25b²－16a²＝a²b²
としてa²かb²を消せばよいでしょう。

ちなみに結局a²とb²を求めるので、
a²＝A(＞0)、b²＝B(＞0)と置いた方が1次になって考えやすいかもしれません。

No.2618 - 2008/09/09(Tue) 17:48:07

☆ Re: / ヨッシー

要するに、
　a^2+b^2=9　と
　25/a^2-16/b^2=1
の連立方程式を解けばいいのです。A=a^2, B=b^2 とおいて、
A≧0, B≧0 の範囲で解くことにします。
　A=9-B
を、25/A-16/B=1 に代入して
　25/(9-B)-16/B=1
分母を払って、
　25B-16(9-B)=B(9-B)
これを解いて、B=4, A=5 となりますので、
　x^2/5－y^2/4＝1
となります。

No.2619 - 2008/09/09(Tue) 17:55:27

☆ Re: / 数Ｃ

一次式に持ち込むのは思いつかなかったです…
ありがとうございました。

No.2624 - 2008/09/09(Tue) 20:06:34

★ 算数の問題です。 / かなえ

小学生に、答えをもらってないが教えてほしいといわれました。
正直、わかりません…。
教えていただけると嬉しいです
二問ほど失礼します（他はわかったのですが）

ある人が午後２時何分かに家を出ました。
その日の午後６時□分に言えに帰ってきたときに時計を見ると
長身と短針の位置が、家を出たときの長針と短針の位置とちょうどいれかわっていました。
□に入る数字を答えよ。

兄と弟がいます。兄が３歩で行く距離を弟は４歩で行き、
兄が５歩で進む間に弟は６歩進みます。
弟が家を出発して90歩進んだときに、兄が家を出発して弟を追いかけました。
兄は□歩進んだところで弟に追いつきます。
□に入る数字を答えよ。

よろしくお願いします。

No.2609 - 2008/09/09(Tue) 11:07:09

☆ Re: 算数の問題です。 / ヨッシー

前半の詳しい解説は、私のページの「和算目録」の「時計算」の
問題２をご覧ください。

最初の時間を２時○分とします。
２時○分は、長針が６と７の間で、
６時□分は、長針が２と３の間です。
２時○分から３時○分まで、長針が360°回ります。
３時○分から４時○分まで、長針が360°回ります。
４時○分から５時○分まで、長針が360°回ります。
６時○分まで行くと行き過ぎで、長針は６時□分まで回ります。
一方、短針は２時○分に、□分の位置にあったのが、
６時□分に○分の位置まで動くので、
長針と短針を合わせて、360°×４＝1440°回ります。
長針は１分に６°、短針は0.5°動くので、一定時間に動く角度は
　１２：１
です。
1440°のうち短針の動いたのは
　1440°×1/(12+1)＝(1440/13)°
です。これが、２時○分や、６時□分のときの、長針と短針の
角度になります。
６時のとき両者は180°差が付いています。
これを、１分 6－0.5＝5.5 ずつ長針が追い付いていって、
(1440/13)°になるまでの時間が□分です。
(180－1440/13)÷5.5＝1800/143＝12と84/143(分)

長いので、一旦切ります。

No.2610 - 2008/09/09(Tue) 11:48:44

☆ Re: 算数の問題です。 / ヨッシー

>兄が３歩で行く距離を弟は４歩で行き、
>兄が５歩で進む間に弟は６歩進みます。
を、何倍かして兄の歩数をそろえると、
兄が１５歩で行く距離を弟は２０歩で行き、
兄が１５歩で進む間に弟は１８歩進みます。
となるので、兄が１５歩歩く時間に、
兄は、弟の歩幅で２０歩分歩き、弟は１８歩歩きます。
よって、兄と弟の速さの比は１０：９です。

最初に、弟の歩幅で90歩分差が付いていて、これを兄が追いかけます。
追い付くまでに歩いた距離は、図のように１０：９になっているので、
最初の弟の90歩は(1)にあたります。
兄は、弟の歩幅で900歩歩いたことになり、兄の歩幅でいうと
　900×(3/4)＝675(歩)

No.2611 - 2008/09/09(Tue) 12:01:14

☆ Re: 算数の問題です。 / かなえ

迅速かつわかりやすい回答ありがとうございます。
子どもと感動して読ませていただきました。

失礼かとは思うのですが、もう一問助けていただけないでしょうか・・・？

上り、下りともに□分おきに発車している列車がありまた線路沿いの道を歩く人がいます。
この人は上りの列車と12分ごとにすれ違い、下りの列車に15分ごとに追い越されます。
ただし、列車の速さはすべて等しく、また列車の速さと人の歩く速さはそれぞれ一定です。

□に入る数字を答えよ

計算していると、どうも変な答えにしかならないんです。

よろしくお願いします。

No.2612 - 2008/09/09(Tue) 12:10:13

☆ Re: 算数の問題です。 / ヨッシー

図の左のようなダイヤグラムを描きます。
右上がりが上り、右下がりが下り、ゆるく横切るのが人です。
２本の列車と人が同時にすれ違った瞬間があったとして、
その付近を切り取ったのが、真ん中の図です。
△ＡＢＣと△ＥＤＣは相似で、相似比は１２：３＝４；１です。
よって、ＢＣ：ＣＤも４：１で、ＢＣ＋ＣＤ＝ＢＤ＝ＡＢであることから、
　ＡＢ：ＢＣ：ＣＤ＝５：４：１
となり、ＣＤ：ＤＥ＝ＢＣ：ＡＢ＝４：５　です。
点Ｄから、真下に直線を引きその線にＣ、Ｅから垂線ＣＦ、ＥＧを引きます。
△ＣＤＦと△ＥＤＧは相似(上下線の速度が等しいため)なので、
相似比は、４：５です。よって、ＣＦ：ＧＥ＝４：５　となり
ＣＦにあたる部分の時間は３分×４／９＝８０秒＝１分２０秒
求める間隔は、１２分＋ＣＦ＝１３分２０秒　となります。

No.2613 - 2008/09/09(Tue) 13:19:31

☆ Re: 算数の問題です。 / ヨッシー

式で解くとこんな感じです。
すれ違った瞬間は、次の列車は上りの場合も、下りの場合も
人から同じ距離離れています。
それから上りの場合は、列車＋人の速さで近付き
下りは列車－人の速さで近付きます。
出会うまでの時間の比は、速さの逆比なので、
　(列車＋人)：(列車－人)＝１５：１２
となり、和差算より、列車と人の速さの比は
　13.5：1.5＝９：１
となります。
10の速さ(列車＋人)で、12分で出会う距離を、
９の速さ（人が止まっている）で行くと、
　１２×１０÷９＝13と1/3
で、13分20秒　となります。

和差算の所を線分図でやっても出来ます。

No.2614 - 2008/09/09(Tue) 13:35:20

☆ Re: 算数の問題です。 / かなえ

二通りもありがとうございました！！
途中までのプロセスはあっていたみたいで一安心です。

ありがとうございました

No.2615 - 2008/09/09(Tue) 14:17:38

☆ Re: 算数の問題です。 / にょろ

独り言というか愚痴というか…
小学生の時この手の問題が分からなくて父に聞いたら
コレをxとおいて…方程式がこう立つから
コレを解いて云々
と意味不明のことを言われた覚えが…

小学生なので方程式なぞ分かるはずもなく…

以上チラシの裏すいませんでした

No.2625 - 2008/09/09(Tue) 20:12:41

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