こんばんは。いつもお世話になります。
a,bは実数でf(x)=x^2+ax+bとする。α、βを2次方程式f(x)=0の異なる2つの実数解とする。α^2,β^2がまたf(x)=0の異なる2つの実数解であるとき、a,bの値を求めよ。
この問題を判別式D=(a+2b)(a-2b)＞0として、2b＜a,a＜2 と、ここまでは解いたのですが、ここからどうやって解いたらいいのか全く分かりません。解説をよろしくお願いします。
|
No.885 - 2008/05/29(Thu) 00:02:22
| ☆ Re: ２次方程式 / 案山子 | | | > こんばんは。いつもお世話になります。
>
> a,bは実数でf(x)=x^2+ax+bとする。α、βを2次方程式f(x)=0の異なる2つの実数解とする。α^2,β^2がまたf(x)=0の異なる2つの実数解であるとき、a,bの値を求めよ。
>
> この問題を判別式D=(a+2b)(a-2b)＞0として、2b＜a,a＜2 と、ここまでは解いたのですが、ここからどうやって解いたらいいのか全く分かりません。解説をよろしくお願いします。
さて，本題に入ります．
「二次方程式f(x)=0は実数解を持つ」ので，その判別式をDとすると，
D=a^2-4b＞0
この判別式は無理に解く必要はありませんが，見た目に分かりやすく次のようにしておきましょう．
a^2＞4b ・・・条件（＊）
「α，βが二次方程式f(x)=0の実数解」なので，
解と係数の関係から
和 α＋β＝-a/1 → α＋β＝−a ・・・?@
積 α・β＝b/1 → αβ＝b ・・・?A
「α^2，β^2も二次方程式f(x)=0の実数解」なので，
解と係数の関係から
和 α^2＋β^2＝-a/1 → α^2＋β^2＝−a ・・・?B
積 α^2・β^2＝b/1 → (αβ）^2＝b ・・・?C
?Bは，(α＋β）＾2−２αβ＝−a なので，?@，?Aの関係を代入して
（−a)＾2−２（b）＝−a →a^2−２b＝−a ・・・?D
?Cは，?Aの関係を代入して
（b）＾2＝１ →b^2＝b ・・・?E
?Eを解くと
b^2-b=0
b(b-1)=0
b=0，１
これより?Dから
（あ）b=0の場合
a^2＝-a
a^2+a=0
a(a+1)=0
a=0，-1
ここで，一旦整頓して書いておくと
（a，b)=(0，0)と(0，-1)
同じようにして?Dから，
（い）b=1の場合
a^2-2=-a ←整頓しますよ．
a^2+a-2=0
(a-1)(a+2)=0
a=1，-2
ここで，一旦整頓して書いておくと
（a，b)=(1，1)と(-2，1)
ところが，この中で条件（＊）に適しているのは
(a，b)=(0，-1)と(-2，1) [終]
最後に，肝心な判別式の条件（＊）を忘れないようにしましょう．
|
No.888 - 2008/05/29(Thu) 02:02:13 |
| ☆ Re: ２次方程式 / 案山子 | | | 礼花さんの考えですが，まず判別式に気付いたところは良いです．
でも判別式を解くときに，文字aとbがあるので注意が必要です．
礼花さんのように単に
「2b＜a，a＜2（こちらは打ち間違いかな？）」
とはしないことが肝心ですよ
|
No.889 - 2008/05/29(Thu) 02:03:55 |
| ☆ Re: ２次方程式 / 七 | | | (a,b)=(-1,0)ではありませんか？
(a，b)＝(0，−1) では解は±1でどちらも2乗すると1になり，元の方程式の解ですが異なる解ではありません。
(a，b)＝(−2，1)では重解1をもつことになり，やはり異なる解とはなりません。(a^2＝4bです)
|
No.891 - 2008/05/29(Thu) 09:32:08 |
| ☆ Re: ２次方程式 / 礼花 高２ | | | 返信がとても遅くなってしまい、本当に申し訳ありません…。
案山子さまの分かり易い解説で、一度はあきらめかけたこの問題がやっと理解できるようになりました。
嬉しくて嬉しくてたまりません！
案山子さま、七さま、教えてくださって本当にありがとうございました。
|
No.938 - 2008/06/01(Sun) 23:44:34 |
|
