ヨッシーの八方掲示板（小中高の算数・数学　質問掲示板）

★ 関数　最大・最小 / 桜　高校2

こんばんは。
よろしくお願いいたします。

(1)x,yの関数P=x^2+4xy+5y^2+2y+2の最小値を求めよ。
また、このときのx,yの値を求めよ。

(2)x,yの範囲を0≦x≦2,0≦y≦2としたとき、(1)のPの最大値・最小値を求めよ。また、このときのx,yの値を求めよ。

という問題がわかりませんでした。
申し訳ないのですが、数学が大変苦手ですので噛み砕いてくださると幸いです。

よろしくお願いいたします

No.444 - 2008/04/24(Thu) 22:27:25

☆ Re: 関数　最大・最小 / 魑魅魍魎

(1)関数P=x^2+4xy+5y^2+2y+2
をxだけの関数としてみます。
xについて平方完成を行います
そうすると
P=(x^2+4xy+4y^2)-4y^2+5y^2+2y+2
=(x+2y)^2+y^2+2y+2
になります。

x=-2yのときPは最小値y^2+2y+2
の値をとります。

(例えば　y=(x+2)^2+8のグラフを考えたとき
x=-2で最小値8をとることと同じです）

次x=-2yのとき最小値であるy^2+2y+2の最小値を探します。
y^2+2y+2をQとおきます
Q=y^2+2y+2
平方完成を行います
Q=(y^2+2y+1)-1+2
=(y+1)^2+1

y=-1のとき最小値1となります。

また、x=-2yだったので
y=-1を代入すると
x=2が得られます。

よって
x=2,y=-1のときPの最小値は1となります。

No.445 - 2008/04/25(Fri) 01:07:07

☆ Re: 関数　最大・最小 / 魑魅魍魎

(2)
P=(x+2y)^2+y^2+2y+2
これは
x=-2yが軸になっていますね。

条件より
0≦y≦2
なので-2yは
-4≦-2y≦0
となることがわかります。つまりこのグラフの軸はx軸の-4から0の間ことになります。
ここでグラフを描いて見てください。(横軸がｘで縦軸がPですね)
そうすると
0≦x≦2の範囲でPが最小値となるのはx=0となるので
Pにx=0を代入し求めると
P=y^2+2y+2
が得られ、またこれの最小値を求めていきます
平方完成をすると
P=(y+1)^2+1
で0≦y≦2
の範囲で最小値をとるのは
y=0なので
P=2となります

よってx=0,y=0のとき最小値は2となります

No.447 - 2008/04/25(Fri) 12:31:44

☆ Re: 関数　最大・最小 / 七

(2)別解
P=(x+2y)^2+(y＋1)^2＋1
x+2y，y＋1 の絶対値が大きくなれば大きくなり
小さくなれば小さくなります。
0≦x≦2，0≦y≦2 の範囲では
x+2y，y＋1 は0以上で，一方が大きくなればもう一方も大きくなりますから
x＝y＝2 のとき最大になり，x＝y＝0 のとき最小になります。

No.448 - 2008/04/25(Fri) 13:21:49

☆ Re: 関数　最大・最小 / 七

↑表現がおかしかったですね。
「一方の絶対イが大きくなるともう一方がいい錯なると言うことはありませんから」
の方がいいかもしれません。

No.449 - 2008/04/25(Fri) 13:23:42

☆ Re: 関数　最大・最小 / 七

> ↑表現がおかしかったですね。
> 「一方の絶対イが大きくなるともう一方がいい錯なると言うことはありませんから」
> の方がいいかもしれません。

たびたびすみません。
「一方の絶対イが大きくなるともう一方が小さくなると言うことはありませんから」です。

No.450 - 2008/04/25(Fri) 13:26:37

☆ Re: 関数　最大・最小 / 桜　高校2

ありがとうございました。
参考になりました☆

No.521 - 2008/05/03(Sat) 11:28:00

★ 大変教えて / 雪割草

始めまして、子どもから問題が出され解けません教えてください。
問題は点（４，２）を通り、直線y=3x-2に平行な直線を求めよ。
どのように答えを出すのでしょうか。
お願いします。

No.436 - 2008/04/23(Wed) 08:02:25

☆ Re: 大変教えて / ヨッシー

y=3x-2 と平行なので、傾きは同じ 3 です。
そこで、求める直線を
　y=3x+a
とおいて、点(4,2) を通るように（x=4,y=2 のとき成り立つように)
a を求めると、
　2=3・4+a
より、a=-10 となり、y=3x-10 と求められます。

また、公式、
　傾きｍで、点(a,b)を通る直線は、
　　ｙ－ｂ＝ｍ(ｘ－ａ)
　と書ける。
から求めることも出来ます。

No.437 - 2008/04/23(Wed) 08:33:07

☆ Re: 大変教えて / 雪割草

お礼が遅くなりました。有難うございました。これからも宜しくお願いします。数学は本当に難しい

No.485 - 2008/04/28(Mon) 12:31:23

★ ベクトル空間 / らいおん

こんにちは。質問させていただきます。

ベクトル空間Ｖ、Ｗと
線形写像ｆ：Ｖ→Ｖ、ｇ：Ｗ→Ｗ、ｈ：Ｖ→Ｗ
があり、ｈ〇ｆ＝ｇ〇ｈを満たしているとする。
(〇は合成写像を表すとします)
このとき以下を示せ。

?@ｆがべき零でｇが単射なら、ｈ＝０である。

?Aｆが全射でｇがべき零なら、ｈ＝０である

?@の証明：
ｈ〇ｆ^n=ｇ〇ｈ〇ｆ^(n-1)＝０
線形性より、０＝ｈ(0)＝ｇ(ｈ(ｆ^(n-1)))
ｇ：単射より、ｈ(f^(n-1))=0
よって、ｈ＝０

?Aの証明：
ｇ^n〇ｈ
＝ｇ^(n-1)〇ｇ〇ｈ
＝ｇ^(n-1)〇ｈ〇ｆ

ｆ：全射より、∀ｖ_1,∃ｖ_2∈Ｖ s.t.ｆ(v_2)=v_1
から、ｇ^(n-1)〇ｈ(v_1)=0
ｖ_1：任意より、ｈ＝０

添削をお願いします。

No.435 - 2008/04/22(Tue) 22:10:53

★ (No Subject) / ラディン.ms

四角形ABCD(反時計回りにA,B,C,D)において
　　∠ABD=30°,∠DBC=40°,∠ACB=30°,∠ACD=50°
であるとき，∠ADBの大きさを求めよ。

よろしくお願いします。

No.434 - 2008/04/22(Tue) 20:45:48

☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

(1) 辺ＢＣ上に ∠ＤＣＥ＝20°になる点Ｅをとります。
(2) 次に直線ＡＢ上に∠ＢＥＦ＝40°になる点ＦをとりＤとＦを結びます。
すると
∠ＤＣＥ＝∠ＤＥＣ＝80°となり、ＤＣ＝ＤＥ・・・(イ)
△ＥＤＢで、∠ＤＥＢ＝100°,∠ＤＢＣ＝40°より∠ＥＤＢ＝40°となり　ＤＥ＝ＥＢ・・・・・・・(ロ)
∠ＥＢＦ＝∠ＥＦＢ＝70°となり、ＥＢ＝ＥＦ・・・(ハ)
(ロ)(ハ)より、ＤＥ＝ＥＦ
∠ＤＥＦ＝180°－(80°＋40°)＝60°となるので
△ＤＥＦは正三角形となります。
よって(イ)をつかって　ＤＦ＝ＤＥ＝ＤＣ
ゆえに△ＤＣＦは二等辺三角形となり、
∠ＦＤＣ＝∠ＦＤＥ+∠ＥＤＣ＝60°+20°＝80°
だから　∠ＤＣＦ＝50°
ところが∠ＤＣＡ＝50°だからＣＡとＣＦは重なり
ＡとＦは一致します。（△ＤＥＡは正三角形になります）
∴∠ＡＤＢ＝60°－∠ＥＤＢ＝60°－40°＝20°

・・・以上のようになります・・・

　

No.438 - 2008/04/24(Thu) 16:12:38

☆ (No Subject) / ヨッシー

>(1) 辺ＢＣ上に ∠ＣＤＥ＝20°になる点Ｅをとります。
ですね。

図を描いてみました。
点Ｆが最終的には、点Ａに重なります。

No.439 - 2008/04/24(Thu) 18:15:50

☆ Re: / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

あらら、ホント！　タイプミスです。
ヨッシーさん、ご指摘および図も描いていただき有難う御座います。
ラディン.ms さん、No.438の1行目はヨッシーさんのご指摘の通りです。（失礼しました）

No.440 - 2008/04/24(Thu) 19:00:43

☆ Re: / ラディン.ms

ありがとうございます。

それにしても，こういう補助線はどうやったら思いつくのでしょうか？

No.441 - 2008/04/24(Thu) 21:35:28

☆ (No Subject) / ヨッシー

ラングレーの問題をはじめとする、この手の整角問題は、
どこかに正三角形を作って解くことが多いです。
そのために目を付けるのは、60°が決め手になります。

また、反則ですが、正確に図を描いて、答えを先に掴んでおくのも、
よく使う手です。

No.442 - 2008/04/24(Thu) 21:40:17

☆ Re: / ラディン.ms

ありがとうございます。ラングレーの問題を調べてみます。

No.443 - 2008/04/24(Thu) 21:45:59

★ 確率 / コブクロ

番号1,2,3,・・・,ｎのついた札が、袋Ａには各々１枚ずつ、袋Ｂには各々2枚ずつ入っている。ただし、n≧2とする。

（1）袋Ａから札を２枚取り出すとき、その２枚の番号札がnより大きい確率を求めよ。
（2）袋Ｂから札を２枚取り出すとき、その２枚の番号札がnより大きい確率を求めよ。

考え方がわかりません・・・・
解説お願いします。

No.421 - 2008/04/21(Mon) 00:40:18

☆ Re: 確率 / rtz

もしかして2枚の和、ですか？

No.422 - 2008/04/21(Mon) 01:03:13

☆ Re: 確率 / ＤＡＮＤＹ　Ｕ

このままでは、(1)(2)とも答えは０となってしまいます。

No.424 - 2008/04/21(Mon) 01:21:37

☆ Re: 確率 / コブクロ

すいません。正しくは『２枚の札の和』です。

No.430 - 2008/04/21(Mon) 21:38:15

☆ Re: 確率 / ヨッシー

(1)

上の図は、n=5, n=6 の場合の組み合わせ表です。
すべての組み合わせは、nＣ2＝n(n-1)/2 (通り) （黄色と緑）
n=5 のようにｎが奇数の場合、条件を満たさないもの(緑)は、
　１＋３＋・・・＋(n-2)＝{(n-1)/2}²
その確率は、
　{(n-1)/2}²÷n(n-1)/2＝(n-1)/2n
よって、条件を満たすもの(黄)の確率は、
　１－(n-1)/2n＝(n+1)/2n
n=6 のようにｎが偶数の場合、条件を満たすもの(黄)は、
　１＋３＋・・・＋(n-1)＝(n/2)²
その確率は、
　(n/2)²÷n(n-1)/2＝n/2(n-1)

とりあえず、ここまで。

No.431 - 2008/04/22(Tue) 09:12:03

★ 二次関数 / 桜

たびたびすみません。
以下の問題がわかりませんでした。

二次関数f(x),g(x)および実数kが次の(A),(B),(C)の条件をすべてみたしているとする。

(A) f(x)はx=kで最大値をとる。
(B) f(k)=13,f(-k)=-23,g(k)=49,g(-k)=7
(C) f(x)+g(x)=2x^2+13x+5
このときkの値とf(x),g(x)を求めよ。

よろしくお願いいたします

No.418 - 2008/04/20(Sun) 20:06:10

☆ Re: 二次関数 / rtz

(B)(C)から、
78＝62－(-16)
＝(13＋49)－(-23＋7)
＝{f(k)＋g(k)}－{f(-k)＋g(-k)}
＝(2k²＋13k＋5)－(2k²－13k＋5)
＝26k
⇔k＝3

(A)と(B)のf(3)＝13から、
f(x)＝a(x－3)²＋13 (a＜0)とおけます。
あとは(B)のf(-3)＝-23と(C)で求まるでしょう。

No.423 - 2008/04/21(Mon) 01:14:08

☆ Re: 二次関数 / 桜

ありがとうございます。
申し訳ないのですが。。
k=3の求め方がわかりません・
どこからその数字がでてくるのでしょうか。
78＝62－(-16)

No.428 - 2008/04/21(Mon) 19:33:03

☆ Re: 二次関数 / rtz

いきなり全部書いたのがまずかったでしょうか。

(B)から、
f(k)＋g(k)＝13＋49＝62
f(-k)＋g(-k)＝(-23＋7)＝-16から
{f(k)＋g(k)}－{f(-k)＋g(-k)}＝62－(-16)＝78です。

また(C)から、
f(k)＋g(k)＝2k²＋13k＋5
f(-k)＋g(-k)＝2k²－13k＋5から
{f(k)＋g(k)}－{f(-k)＋g(-k)}
＝(2k²＋13k＋5)－(2k²－13k＋5)
＝26kです。

これらを結んで書いたのが↑です。

No.429 - 2008/04/21(Mon) 20:33:45

☆ Re: 二次関数 / 桜

ありがとうございました！

No.432 - 2008/04/22(Tue) 17:40:02

★ 2次関数 / ぼうず

2次関数f(x)=x^+ax+b に対し、－1≦ｘ≦1 におけるlf(x)lの最大値をＭとおく時、以下の問いを証明せよ。
(ア) 1/2≦Ｍ
(イ) Ｍ＝1/2となるf(x)はf(x)=x^-1/2 に限る

上記２問の解説お願いします

No.414 - 2008/04/20(Sun) 18:59:30

☆ Re: 2次関数 / 豆

手間かもしれませんが、背理法で。
M＜1/2とすると、
|f(1)|=|1+a+b|＜1/2　
　→　1+a^2+b^2+2a+2b+2ab＜1/4　・・・A
|f(-1)|=|1-a+b|＜1/2
　→　　1+a^2+b^2-2a+2b-2ab＜1/4　・・・B
|f(0)|=|b|＜1/2
　　→　　-1/2＜b＜1/2　・・・C
A+Bより、a^2+(1+b)^2＜1/4
ところで、Cより　　1/2＜1+b＜3/2　これは矛盾

f(x)=x^2-1/2はf(1)=f(-1)=1/2　、f(0)=-1/2
となりM=1/2を満たす。
このグラフを左右にずらしても(a≠0)、上下にずらしても
(b≠-1/2)　いずれかの絶対値は1/2を超えるので
M=1/2となるのはf(x)に限られる。

No.427 - 2008/04/21(Mon) 13:21:39

★ 三角関数の合成 / 奈々理

関数ｙ＝３sinx＋４cosx (０≦ｘ＜２π）の最大値と最小値を求めよ。

できたら三角関数の合成の意味も教えていただけませんか？

初めてなのにいろいろお願いして申し訳ありません（泣

No.409 - 2008/04/20(Sun) 15:57:12

☆ Re: 三角関数の合成 / 七

図のαについて
cosα＝3/5，sinα＝4/5
したがって

y＝3sinx＋4cosx
＝5((3/5)sinx＋(4/5)cosx)
＝5(sinxcosα＋cosxsianα)
＝5sin(x＋α)
ただし，cosα＝3/5，sinα＝4/5
－1≦sin(x＋α)≦1
なので最大値5，最小値－5

No.412 - 2008/04/20(Sun) 18:04:35

☆ Re: 三角関数の合成 / 奈々理

ありがとうございました。

これからも利用させていただくことがあると思いますがよろしくお願いします！

No.419 - 2008/04/20(Sun) 21:20:19

★ 数列 / GURURU

全ての項が正の数である数列｛an｝が、
a1=1, (a1)^2+(a2)^2+(a3)^2+……+(an)^2=n^2
である。
（１）a2,a3を求めよ。
（２）一般項anを求めよ。
（３）lim(n→∞) (1/√n)??(k=1～n)1/{ak+a(k+1)}を求めよ。

（３）の表記の仕方がややこしくなってしまいましたが、わかりましたでしょうか。
よろしくお願いします。

No.407 - 2008/04/20(Sun) 15:32:03

☆ Re: 数列 / ヨッシー

(1)
ｎ＝２として、
　a1²＋a2²＝2²
　１＋a2²＝４
より、a2＝√3
ｎ＝３として、
　a1²＋a2²＋a3²＝3²
　１＋３＋a3²＝９
より、a3＝√5

(2)
bn＝an² とおくと、
　Sn＝b1＋b2＋・・・bn＝n²
であり、b1＝a1²＝１　および、2以上の整数ｎについて、
　bn＝Sn－S(n-1)＝n²－(n-1)²＝2n-1
よって、
　an＝√(2n-1)

(3)
　1/{ak+a(k+1)}＝1/{√(2n-1)＋√(2n+1)}
　　＝{√(2n+1)－√(2n-1)}/2
より、
　??(k=1～n)1/{ak+a(k+1)}＝(1/2){(√3－1)＋(√5－√3)＋・・・＋(√(2n+1)－√(2n-1))}
　＝(1/2){√(2n+1)－1}
よって、
　(与式)＝lim(n→∞)(1/2√n){√(2n+1)－1}
　　＝√2/2

No.425 - 2008/04/21(Mon) 08:52:08

☆ Re: 数列 / GURURU

ありがとうございます。参考にさせていただきます。

No.462 - 2008/04/26(Sat) 00:46:23

★ 初めまして！！！ / コジ

今年理工系の大学１年生です。
理工系ですが私は数学が苦手です。
いざ授業が始まると数学?V（微分積分）の応用からのスタートで今とても焦っています。
自分でも努力しますが、協力お願いします。
（１）arcsinx＋arccosx＝π／２
（２）arctan（１／２）＋arctan（１／３）＝π／４
（３）cos（arcsinx）＝√（１－x＾２）
予習の段階なのでできれば詳しい解答解説をお願いします。

No.405 - 2008/04/20(Sun) 00:21:48

☆ Re: 初めまして！！！ / ヨッシー

(1)公式 sinθ＝cos(π/2－θ)＝ｘとおくと、
　θ＝arcsinｘ
　π/2－θ＝arccosｘ
よって、arcsinx＋arccosx＝π／２
(2)公式 tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)/(１－tanαtanβ)
において、tanα＝1/2 tanβ＝1/3 とおくと、
　α＝arctan(1/2)、β＝arctan(1/3) であり、
tan(α＋β)＝１
　α＋β＝π/4

こういう図でも理解できます。

(3)arcsinx＝θ とおくと、sinθ＝ｘ　ただし、-π/2≦θ≦π/2
　cosθ＝√(1-sin²θ)　より、
　cos（arcsinx）＝√（１－x＾２）

No.406 - 2008/04/20(Sun) 07:37:10

☆ (No Subject) / コジ

早い解答ありがとうございます♫♩
さっそく答え合わせしてみます。

No.415 - 2008/04/20(Sun) 19:39:41

★ (No Subject) / Φ

Σ[k=2…n]1/k(k^2-1) の値を求めよ、という問題です。
よろしくお願いします。

No.398 - 2008/04/17(Thu) 20:11:58

☆ Re: / X

与式を
Σ[k=2…n]1/{k(k^2-1)}
と見て回答します。

1/{k(k^2-1)}=1/{k(k-1)(k+1)}
∴1/{k(k^2-1)}=A/k+B/(k-1)+C/(k+1)
(A,B,Cは定数)
と変形できると仮定してA,B,Cの値を求めると
A=-1
B=C=1/2
∴Σ[k=2…n]1/{k(k^2-1)}=Σ[k=2…n]{-1/k+(1/2)/(k-1)+(1/2)/(k+1)}
=Σ[k=2…n][(1/2){1/(k-1)-1/k}-(1/2){1/k-1/(k+1)}]
=…

No.400 - 2008/04/17(Thu) 21:10:25

☆ Re: (No Subject) / hari

別解です。

目的はa[n+1] - a[n]やa[n+2] - a[n]のような形にすることなので

1/(k-1)k(k+1) = (1/2){1/(k-1)k - 1/k(k+1)}

と分解すればＯＫです。
（1/(k-1)k(k+1) = □/(k-1)k - □/k(k+1)
とまず分解し、右辺から左辺にもどせるように、□に1/2を代入します。）

あとは2からnまで足せば初項と末項のみ残ります。

No.402 - 2008/04/18(Fri) 03:40:20

★ 高１・因数分解 / 匿名

x^9+3x^6+3x^3+1を因数分解しなさい。

という問題なのですが、
これはどう解けばいいのでしょうか？

No.397 - 2008/04/17(Thu) 19:53:51

☆ Re: 高１・因数分解 / X

x^3=X
と置いてみましょう。

No.399 - 2008/04/17(Thu) 20:59:24

☆ Re: 高１・因数分解 / 匿名

Xと置いてみると
X^3+3X^2+3X+1
=(X+1)^3
=(x^3+1)^3
={(x+1)(x^2-x+1)}^3
=(x+1)^3(x^2-x+1)^3

になったのですが･･･
途中式はあっているでしょうか？

No.401 - 2008/04/17(Thu) 22:40:15

☆ Re: 高１・因数分解 / ヨッシー

途中の式も合っていますし、最終の答えも、それで良いです。

No.403 - 2008/04/18(Fri) 07:00:45

☆ Re: 高１・因数分解 / 匿名

あっていてよかったです！
どうもありがとうございました★

No.404 - 2008/04/18(Fri) 19:37:01

★ 場合の数 / コブクロ

一個のさいころをn回振って、出た目を順に記す。この中から任意の２数を取り出すとき、和が4にならない目の出方は何通りあるか。

どのように考えればいいのかわかりません。教えてください。

No.390 - 2008/04/17(Thu) 01:22:30

☆ Re: 場合の数 / X

サイコロの２つの目で和が4になる組み合わせは
{2,2}{1,3}
よって題意を満たすためにはn個の数字の中に
(i)2を2個以上含まない
(ii)1,3を同時に含まない
という条件が必要になります。
従って
(I)2が全く含まれない場合
3も含まれない場合は4^n[通り]
1も含まれない場合は4^n[通り]
1,3がいずれも含まれない場合は3^n[通り]
∴場合の数は4^n+4^n-3^n=2・4^n-3^n[通り]
(II)2が1個のみ含まれる場合
3が含まれない場合は
{1,4,5,6}
の4つの数字でできるn-1個の重複順列に2を1個割り込ませて順列を作ると考えて
{4^(n-1)}n[通り]
同様に1が含まれない場合も
{4^(n-1)}n[通り]
1,3がいずれも含まれない場合は
{3^(n-1)}n[通り]
∴場合の数は2{4^(n-1)}n-{3^(n-1)}n[通り]

(I)(II)の和を取って求める場合の数は
2・4^n-3^n+2{4^(n-1)}n-{3^(n-1)}n
=2{4^(n-1)}(n+4)-{3^(n-1)}(n+3) [通り]
となります。

No.393 - 2008/04/17(Thu) 09:37:56

★ 二次関数2 / 桜

たびたびすみません。
よろしくお願いいたします。

(1)二次関数y=3x^2-(3a-6)x+bがx=1で最小値-2をとるとき、定数a,bの値を求めよ。

(2)二次関数f(x)=ax^2+bx+cが、f(-1)=f(3)=0を満たし、その最大値が4であるとき、定数a,b,cの値を求めよ。

よろしくお願いいたします。

No.386 - 2008/04/16(Wed) 23:31:01

☆ Re: 二次関数2 / X

(1)
問題の二次関数は
y=3{x-(a-2)/2}^2+b-(3/4)(a-2)^2
となりますので
x=(a-2)/2のとき、最小値b-(3/4)(a-2)^2
を取ります。よって
(a-2)/2=1 (A)
b-(3/4)(a-2)^2=-2 (B)
(A)(B)を連立して解きます。

(2)
f(x)のx^2の係数がaでf(-1)=f(3)=0であることから
f(x)=a(x+1)(x-3) (A)
となります。
これより
f(x)=a(x^2-2x-3)
=a(x-1)^2-4a
ここでf(x)は最大値が4ですので
a<0 (B)
-4a=4 (C)
(B)(C)よりaを求め、(A)に代入して展開し、
f(x)=ax^2+bx+c
と係数を比較します。

No.389 - 2008/04/16(Wed) 23:45:00

☆ Re: 二次関数2 / 桜

ありがとうございました
とてもわかりやすかったです(^^)

No.411 - 2008/04/20(Sun) 17:06:20