お久しぶりです。宜しくお願い致します。
（問題）ｎを自然数とする。
座標平面上の２ｎ＋２個の点からなる集合
Ｌ＝{（x,y）|x,y は整数、０≦x≦n , ０≦y≦１}
のうち３点を頂点とする三角形を全て考える。
これらの三角形の面積の総和を求めよ。
答えは（１／６）*ｎ*（ｎ＋１）^2*（ｎ＋２）
なのですが、解法が分かりません。
どこかの１点を固定して考えたのですが、
回答と答えが合致しません。
どのように考えれば良いのでしょうか。
宜しくお願い致します。
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No.2761 - 2008/09/18(Thu) 17:46:04
| ☆ Re: 数列 / ヨッシー  | | | ｘ軸（ｙ＝０）上と、ｙ＝１上にｎ＋１この点が並んだ形です。
ｘ軸上から２点とｙ＝１上から１点選びます。
高さは必ず１であり、底辺はｘ軸上で選ぶ２点の間隔になります。
点(0,0) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
1,2,3・・・n のｎ通り出来ます。
点(0,1) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
1,2,3・・・n-1 の n-1通り出来ます。
以下、
点(0,n-1) と、それより上のもう1点を選ぶと、底辺は、
1 の 1通り出来ます。
これらの和(底辺の和)をもとめると、
(1+2+3+…+n)＋(1+2+3+…+n-1)＋・・・・＋(1+2)＋(1)
＝Σk=1〜nk(k+1)/2＝Σk=1〜n(k2+k)/2
＝n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4＝n(n+1)(n+2)/6
１つの底辺について、ｙ＝１ 上の点はｎ＋１個あるので、
同じ底辺から、三角形がｎ＋１個出来ます(面積は同じ)
よって、
n(n+1)(n+2)/6×(n+1)×１÷２
これが、ｘ軸上に２点を取ったときの三角形の面積の和です。
ｙ＝１ 上に２点、ｘ軸上に１点を取ったときも、同じだけの三角形ができるので、
三角形の面積の和は
n(n+1)(n+2)/6×(n+1)×１÷２×２＝n(n+1)2(n+2)/6
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No.2762 - 2008/09/18(Thu) 18:10:40 |
| ☆ 素晴らしい！＾＾ / 白梅 | | | ヨッシ−様、非常に素早く、
大変分かりやすい解説をして下さって
ありがとうございます！＾＾
予備校で何回も個別に質問して
先生に説明してもらいましたが、
ヨッシー様の説明はそれをはるかに上回る
大変分かりやすい解説です。
１度目を通しただけですぐに理解することが
出来ました。ヨッシー様は本当に説明が上手ですね。
ヨッシー様は素晴らしい人です＾＾
ありがとうございました。
補足ですが１カ所ヨッシー様の説明の中で
条件にあわない表現があったのですが、
解答として試験の時に書く時にはその点を
修正して書きますので、その点お伝えしておきます。
ありがとうございました＾＾
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No.2764 - 2008/09/18(Thu) 19:09:59 |
| ☆ Re: 数列 / ヨッシー | | | あぁ、点(0,0) はともかく、
点(0,1)、点(0,n-1) が、ｘ、ｙ逆ですね。
最初しばらく、ｙ軸と直線ｘ＝１ と思っていたので。
それと、それより上というのも、それより右の誤りですね。
ｘ軸が右に向かって大きくなる、よく見かける座標軸での話ですけど。
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No.2765 - 2008/09/18(Thu) 19:36:33 |
| ☆ ありがとうございます。 / 白梅 | | | ヨッシー様、わざわざレスを付けて下さって
ありがとうございます。
お忙しい中わざわざ回答して頂けるだけで
私はとても嬉しいです。
なので諸処の箇所については特に
気にせずにこれからも機会があれば
どうぞ宜しくお願い致します。
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No.2768 - 2008/09/18(Thu) 21:42:25 |
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