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二次関数 / 桜
こんばんは。よろしくお願いいたします。

(1)二次関数y=2x^2+4xのグラフをx軸方向にa,y軸方向にbだけ平行移動するとx軸と2点(3,0)(7,0)で交わるという。このときa,bの値を求めよ。

(2)二次関数y=-2x^2+2ax-aの最大値Mをaの関数としてあらわせ。またこのaの関数Mは、aのどんな値に対して最小になるか。 

2問が分かりませんでした。(2)は最小になるaの値の求め方が分かりません。

よろしくお願いいたします。

No.385 - 2008/04/16(Wed) 23:23:43

Re: 二次関数 / X
(1)
y=2x^2+4xのグラフをx軸方向にa,y軸方向にbだけ平行移動したときのグラフの方程式は
y-b=2(x-a)^2+4(x-a)
これが点(3,0),(7,0)を通るので
-b=2(3-a)^2+4(3-a) (A)
-b=2(7-a)^2+4(7-a) (B)
(A)(B)を連立して解きます。
(まず(A)-(B)を計算しましょう。)

No.387 - 2008/04/16(Wed) 23:34:13

Re: 二次関数 / X
(2)
前半)
y=-2x^2+2ax-a
を平方完成しましょう。
後半)
前半の結果、Mはaの二次関数になりますので、aについて平方完成しましょう。

No.388 - 2008/04/16(Wed) 23:36:40

Re: 二次関数 / 桜
ありがとうございました☆
おかげさまで解決いたしました!!

No.410 - 2008/04/20(Sun) 17:04:59
いろいろ (入試問題かな?) / Answer
(1)2次関数 y=x^2-a のグラフ上でx座標が正の整数である点を考える。
この中にy座標が 495 のものと、699 のものがあるとき、 a のとる値をすべて求めよ。

(2)xy平面上に定点A(-1,0),B(1,0)と動点Pがある。
Pは領域 y>0 にあり、条件 ∠PBA−∠PAB=π/3
を満たしながら動くものとする。点Pのx座標が最小となるときの点Pの座標を求めよ。

(3)6個の数1,2,3,4,5,6から異なる4つの数を選んで並べ、4桁の自然数Nを作る。
その千、百、十、一の各位の数を順にa、b、c、dとすれば、N=1000a+100b+10c+dであることに
注意して、次の問いに答えよ。
 1、Nが3の倍数であるための必要十分条件は、各位の数の和が3の倍数であることを示せ。
 2、が3の倍数であるとき、そのようなNの総和を求めよ。

(4)xの2次方程式 x^2+(4k-3)x+3k=0は、0aはBの小数部分に等しい。このとき、実数kを求めよ。

(5)0を原点とするxy平面上に正方形OABCがある。頂点Aは第4象限(x>0かつy<0で表される領域)
にあり、辺AB上に点(10,0)が、辺BC上に点(9,7)がそれぞれある。このとき、点A,B,Cの座標を
求めよ。

(6)n^4が3n+7の倍数となるような自然数nをすべて求めよ。

※x^2はエックスの2乗の意

一問でもいいので、解答宜しくお願いします。

No.381 - 2008/04/16(Wed) 21:42:56

Re: いろいろ (入試問題かな?) / ヨッシー
(1)
 x12-a=495 ・・・(i)
 x22-a=699 ・・・(ii)
であるとします。ただし、x1, x2 は正の整数。
(ii)から(i)を引いて、
 x22−x12=204
 (x2−x1)(x2+x1)=22×3×17
より、204 を2つの偶数の積に分解すると、
 2・102、6・34
であるので、
 x2−x1=2、x2+x1=102 より、x1=50, x2=52 このとき a=2005
 x2−x1=6、x2+x1=34 より、x1=14, x2=20 このとき a=-299

No.394 - 2008/04/17(Thu) 10:38:43

Re: いろいろ (入試問題かな?) / ヨッシー
(3)1.
N=1000a+100b+10c+d=(999+1)a+(99+1)b+(9+1)c+d
 =3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)
と書けるので、
Nが3の倍数であることと、a+b+c+d が3の倍数であることは同値である。

2.
ある3の倍数が見つかったら、その各位の数を並べ替えた
24個の数も、3の倍数です。
たとえば、1236 が3の倍数であるので、1263,1326,1362 なども3の倍数です。
これら24個の数を足すと、
千の位には、1,2,3,6 が6回ずつ現れます。
百の位、十の位、一の位も同様で、
1,2,3,6 からなる24個の数の合計は
1000×{(1+2+3+6)×6}+100×{(1+2+3+6)×6}+10×{(1+2+3+6)×6}+{(1+2+3+6)×6}
=6666×(1+2+3+6)
で表されます。

和が3の倍数となる4つの数の選び方は
和が12:(1,2,3,6)(1,2,4,5)
和が15:(1,3,5,6)(2,3,4,6)
和が18:(3,4,5,6)
であるので、求める総和は
 6666×(12+12+15+15+18)=479952

(4)問題として成立していません。
問題文を見直してください。

No.395 - 2008/04/17(Thu) 12:26:28

Re: いろいろ (入試問題かな?) / ヨッシー
(5)
点Cが第1象限にあることはBCが(9,7)を通ることより
わかります。
点D(10,0)、点E(9,7)、点F(0,10) とします。
∠OAD=90°なので、点Aは、ODを直径とする円上にあり、
それを90°回転したのが点Cなので、点Cは、OFを直径とする円上にあります。つまり、
 x2+y(y−10)=0 ・・・(i)
また、∠OCE=90°なので、点Cは、OEを直径とする円上にあります。つまり、
 x(x−9)+y(y−7)=0 ・・・(ii)
(i)(ii) の解のうち、原点以外の点が点Cとなります。
これを解いて、x=3, y=9
以上より、点A(9,-3)、点B(12,6)、点C(3,9) となります。

No.396 - 2008/04/17(Thu) 13:40:21
代数 / たもつ
2,3,5,7,…,pは素数を小さい方から並べたものとする。
(1)q=2^2×3×5…(p-1)を4で割ったときの余りは3であることを示せ。またこのことを使って、qはpより大きい4m+3の形の素数を約数として持つことを示せ。
(2)(1)を使って、4n+3の形の素数は無限にあることを示せ。

という問題です。
けんとうもつかないのでよろしくお願いします。

No.369 - 2008/04/15(Tue) 16:43:48

Re: 代数 / らすかる
q=2^2×3×5…(p-1) の省略部分はどうなっているのですか?
No.370 - 2008/04/15(Tue) 18:20:06

Re: 代数 / rtz
q=2*3*5*…*p+1なら分かるのですが、
ちょっと解せませんね。
問題文の確認をお願いします。

No.371 - 2008/04/15(Tue) 18:49:43

Re: 代数 / たもつ
分かりにくくて申し訳ありません。
問題では最初に書いてあるように書いてありました。
たぶん…の部分は7*11*…と小さい方からpより小さいものまで掛けていくのだと思います

No.372 - 2008/04/15(Tue) 18:59:46

Re: 代数 / ヨッシー
「最初に書いてあるように」ということは、
q=2^2×3×5…(p-1)
ですよね?
2^2 が付いている時点で、4で割り切れるんですが。

それに、p=13 だと、(p-1)自体4で割り切れますね。

No.374 - 2008/04/15(Tue) 19:16:57

Re: 代数 / たもつ
すいませんでした。自分の見間違いでした。
q=2^2*3*5*7…p-1という問題でpまでかけて最後に1引くというものでした。すいません。
(1)は自力で分かったのですが、(2)の証明の仕方が分かりません。よろしくお願いします。

No.375 - 2008/04/15(Tue) 23:58:43

Re: 代数 / 風あざみ
たぶん、この問題の「2^2×3×5…(p-1)は」、「2^2×3×5…×p-1」の誤りなんでしょう。
出題ミスだと思います。

No.376 - 2008/04/16(Wed) 00:00:41

2番 / 風あざみ
4n+3の形の素数が有限個と仮定します。
pを4n+3の形の素数のうち最大のものとします…※
(4n+3の形の素数が有限個なら、このようなpは必ず存在します)。

(1)より2^2×3×5…×p-1はpより大きな4n+3の形の素数p'を
素因数としてもちます。
明らかにこれは※に反します。

したがって、「4n+3の形の素数が有限個」という仮定は誤りで、4n+3の形の素数が無数にあることがわかります。

No.377 - 2008/04/16(Wed) 00:06:58

Re: 代数 / たもつ
>風あざみさん

すいません自分のミスでした。
丁寧な解答ありがとうございました。

No.378 - 2008/04/16(Wed) 01:17:50
お願します。 / 帝丹
三角形ABCにおいて
cosA+cosB+cosC
のとり得る値の範囲を求めよ
という問題なのですが
どなたかヒント、アドバイス宜しくお願いします。

No.365 - 2008/04/15(Tue) 09:07:36

Re: お願します。 / 豆
A+B+C=πから文字がひとつ消せます。
あとは、どちらかを定数、最後の文字を変数と考えて、
その文字で三角関数の合成をしてみる。
でいかがでしょうか?

No.368 - 2008/04/15(Tue) 15:14:39
二次関数の問題 / DEBORAH
連続投稿となりますが、よろしくお願いします。高3です。

kを定数とし、二次関数y=x^2-2kx+2k+3のグラフをCとする。Cが次の条件を満たすようにkの値の範囲を求めよ。

(2) x軸の-2<x<4の部分と、異なる二点で交わる。
(3) x軸の-2<x<4の部分と、一点のみで交わる。ただし、Cがx軸と接する場合は考えない。

答えは、

(2) -7/6<k<-1、3<k<19/6
(3) k≦-7/6、19/6≦K

まず、何からはじめればよいのかもわかりません。
よろしくお願いします。

No.364 - 2008/04/15(Tue) 05:28:14

Re: 二次関数の問題 / ヨッシー
まず何からと言うと、条件に合うような状態のグラフを描くことです。
 f(x)=x^2-2kx+2k+3
と置いたとき、
1.判別式はどうあるべきか?
2.軸はどの位置にあるべきか?
3.頂点はどの位置にあるべきか?
4.境界上でのf(x) の値はどうあるべきか?
を、吟味し、kの範囲を決めていきます。
※境界上というのは、-2<x<4 なら、x=-2 と x=4 の所です。

No.367 - 2008/04/15(Tue) 10:51:09

Re: 二次関数の問題 / DEBORAH
(2)は、理解でき、答えも導き出せましたが、(3)が、まだ解けません。一点のみで交わるというのは、二つの異なる実数解のうちの一つが、その範囲内でx軸と交わると言う意味ですか??
No.373 - 2008/04/15(Tue) 19:14:46

Re: 二次関数の問題 / ヨッシー
そうですね。

図のような2通りが考えられます。
 4.境界上でのf(x) の値はどうあるべきか?
だけで解けます。

No.379 - 2008/04/16(Wed) 02:06:14

Re: 二次関数の問題 / DEBORAH
やっと、理解できました。ありがとうございました。
No.392 - 2008/04/17(Thu) 06:03:16
関数の最大最小 / DEBORAH
高校三年です。今回もよろしくお願いします。

0≦x≦2で定義された関数f(x)= x^2-2ax+4について。
f(x)の最大値をaを用いてあらわせ。
また、f(x)の最大値が16のときaの値を求めよ。

ちなみに答えは、
a<1のとき、-4a+8
1≦aのとき、4
aの値は、a=-2

です。

No.363 - 2008/04/15(Tue) 05:20:31

Re: 関数の最大最小 / ヨッシー
こちらなどが参考になると思います。

この問題も、
 f(x)=(x-a)2−a2+4
より、頂点が(a, 4−a2) と書けるので、
頂点が、0≦x≦2 に対して、どういう位置にあるかを場合分けすることになります。

No.366 - 2008/04/15(Tue) 10:45:41

Re: 関数の最大最小 / DEBORAH
理解できました。ありがとうございました。
No.391 - 2008/04/17(Thu) 06:01:33
微分の問題 / 新高3
3次方程式x^3-3x^2-9x+a=0が異なる2つの正の解を持つような定数aの値の範囲を求めよ。
この問題が分からないので誰かよろしくお願いします。

No.359 - 2008/04/14(Mon) 17:37:54

Re: 微分の問題 / ヨッシー
x^3-3x^2-9x+a=0 を、
 y=-x^3+3x^2+9x と y=a
の、連立したものと考えます。
 f(x)=-x^3+3x^2+9x
とおくと、
 f'(x)=-3x^2+6x+9=-3(x+1)(x-3)
より、f(x) は、
 x=-1 で極小値 f(-1)=-5、
 x=3 で極大値 f(3)=27
を取ります。また、原点(0,0) を通ります。
それを踏まえて、y=f(x) のグラフを描くと、

図のように、y=a のグラフが、y=f(x) のグラフと交わる点の
x座標が、x^3-3x^2-9x+a=0 の解です。
x>0 の部分で、交点が2個出来るaの範囲は0<a<27 になります。

No.360 - 2008/04/14(Mon) 18:03:57

Re: 微分の問題 / 新高3
なるほど!グラフまで描いて説明していただきありがとうございます!!
No.362 - 2008/04/15(Tue) 02:07:02
宜しくお願いします / 帝丹
放物線 y=x^2 上に2点P,Qがある。 線分PQの中点のy座標をhとする。
(1) 線分PQの長さL と 傾きm でhを表せ。

(2) Lを固定したとき、hがとりうる値の最小値を求めよ。


(1)については
h={{L^2/(1+m^2)}+m^2}/4
と答えが出ました。

(2)について
(1)より
h={{L^2/(1+m^2)}+m^2}/4
={{L^2/(1+m^2)}+(m^2+1)-1}/4

相加相乗平均より

h≧(2L-1)/4
となり、
等号が成り立つとき
m^2+1=L/(m^2+1)

(m^2+1)^2=L

m^2+1=±L

m^2=±L-1

ここから
m^2=L-1・・・・・・・・(1)

m^2=-L-1・・・・・・・(2)


m^2≧0から
(1)より
L-1≧0 ⇒ L≧1・・・・(1)´

(2)より
-L-1≧0 ⇒ L≦-1・・・・・(2)´

またLは長さなのでL≧0により(1)´のときである。

よって、L≧1のとき最小値は(2L-1)/4となりました。


0≦L≦1のときの考え方がわかりません。
宜しくお願いします。


※数学問題集「考える葦」数学質問掲示板にも投稿しています。

No.357 - 2008/04/14(Mon) 10:40:48

Re: 宜しくお願いします / 帝丹
すみません、解決しました。
No.358 - 2008/04/14(Mon) 11:37:19
文章題 / なでしこ
中学一年生です。よろしくお願いします。
A、B、Cがそれぞれあめ玉を何個か持っています。AはBより16個多く持っていました。3人はそれぞれが持っているあめ玉の半分を、AはBに、BはCに、CはAに渡したところ、Bの持っているあめ玉の個数は32個、Cの持っているあめ玉の個数は、22個になりました。Cが初めに持っていたあめ玉の個数は何個ですか。解き方を教えてください。

No.352 - 2008/04/13(Sun) 21:37:48

Re: 文章題 / ヨッシー
飴の移動を逆にたどります。
CがAに自分の半分を渡したら、Cが22個になった。
 →Cは渡す前に44個持っていて、Aに22個上げた。
BがCに自分の半分を渡したら、Bが32個になった。
 →Bは渡す前に64個持っていて、Cに32個上げた。
これだけで、Cの最初持っていた数はわかりますね。

No.353 - 2008/04/13(Sun) 21:46:45

Re: 文章題 / なでしこ
そうですね!とてもよくわかりました。ありがとうございます。また、よろしくお願いします。
No.354 - 2008/04/13(Sun) 21:57:38

Re: 文章題 / ヨッシー
うーむ。
どうも、「AはBに、BはCに、CはAに」順々に渡したわけではないようですね。
そうでないと、A、Bの個数が整数で出ないです。

とすると、

図のような移動があったと考えられ、
Bの最初の数は 32−8=24(個)
その半分がCに行ったので、Cの最初の数の半分は
 22−12=10
Cの最初の数は 10×2=20(個) となります。

No.355 - 2008/04/14(Mon) 08:47:18

Re: 文章題 / なでしこ
確かめをしてみておかしかったので、やり直してみました。
どうもありがとうございます。

No.361 - 2008/04/14(Mon) 21:45:42
相加相乗平均 / Kay
一般に、a≧0,b≧0のとき、
a+b≧2√ab・・・※
(等号成立条件:a=b)
と参考書に書いてあるのですが、
a=b=0のときも成り立つので、※の条件としては、
a≧0,b≧0ではなく、a>0,B>0の方が、
より正確だと思うのです。

どなたか、適切なアドバイスをお願いします。

No.349 - 2008/04/13(Sun) 09:40:15

Re: 相加相乗平均 / ヨッシー
相加相乗平均の前提は、a>0,b>0 であったはずです。
式の上では、a≧0,b≧0 でも成り立つのでしょうが、
相乗平均(3数以上の場合を考えた場合)の性格上、0が
1つあったら、他の数に関係なく平均が0、というのは、平均としての
役割を果たさないと思います。

また、相加≧相乗の証明(3数以上)の際に、log を取ったりするのですが、
その際に、0を認めては証明に使えないです。

No.350 - 2008/04/13(Sun) 09:59:17
Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / yuuka
宜しくお願い致します。

Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))
という級数の収束・発散がどうしてもわかりません。

このような場合はどのようにして判定すればいいのでしょうか?

No.342 - 2008/04/12(Sat) 09:07:51

Re: Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / 我疑う故に存在する我
f (n) = n^2008/(log n)^(log n) と置き、 n を十分大なる実数として、 n = e^x と変換すると
f (e^x) = e^(2008*x)/x^x となり、 x が十分大の所で、単調に減少して 0 に収束する。
n → ∞ と e^x → ∞ は同等だから、元の級数はライプニッツの定理により収束。
(ついでに云うと絶対収束。)

No.345 - 2008/04/12(Sat) 17:05:34

Re: Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / yuuka
有難うございます。


> f (n) = n^2008/(log n)^(log n) と置き、 n を十分大なる実数として、 n =
> e^x と変換すると
> f (e^x) = e^(2008*x)/x^x となり、 x が十分大の所で、単調に減少し
> て 0 に収束する。
> n → ∞ と e^x → ∞ は同等だから、元の級数はライプニッツの定理
> により収束。
> (ついでに云うと絶対収束。)


ライプニッツの定理とは
「交項級数Σ[n=1..∞](-1)^na_nが|a_n|が単調減少且つlim[n→∞]|a_n|=0ならばΣ[n=1..∞](-1)^na_nは収束」
なるものですね。おかげ様で納得致しました。

No.348 - 2008/04/13(Sun) 03:10:23

Re: Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / 我疑う故に存在する我
「絶対収束」は取り消しておきます。

注意書き
http://yosshy.sansu.org/shitsumon.htm
に、大学生の方は、自分で解いてください。
と有ります。

No.351 - 2008/04/13(Sun) 11:01:56

Re: Σ[n=2..∞](-1)^n(n^2008/(ln(n))^ln(n))の収束・発散 / ヨッシー
まぁ、質問していただくのは構いませんが、しばしば答えかねる場合があります。
No.356 - 2008/04/14(Mon) 08:50:03
(No Subject) / ラディン.ms
2点A(-√3,0),B(√3,0)があり,
さらに動点P(p1,p2)とHを次のように定める。
?@)P≠AかつP≠Bのとき ∠APB=60°であり
  HはBから∠APBの二等分線に下ろした垂線の足である
?A)P=Aのとき H(√3/2,-3/2)
?B)P=Bのとき H=B

(1)p1=0,p2>0のとき Hの座標を求めよ。
(2)p2>0のとき PHとy軸の交点Rの座標を求めよ。
(3)p2≧0のとき Hは中心[ア],半径[イ]の円上を動く。空欄ア,イを埋めよ。
(4)p1≧0,p2≧0のとき Hが描く線の長さを求めよ。
(5)p2≧0のとき Hが描く線の長さを求めよ。

よろしくお願いします。

No.339 - 2008/04/11(Fri) 19:33:28

Re: / DANDY U
∠APBの二等分線をATとすると
(1) p1=0 のとき ∠APT=∠BPT=30°であり、ATはy軸の(0,3)より下の部分になります。
よって、BからのATへの垂線の足Hは原点にきます。すなわち Hの座標は(0,0)

(2) p2>0のとき、点(0,3)をCとすると△ACBの外接円の弧ACB上をPは動きます。
PTとこの円の交点をDとすると、∠APD=∠BPD=30°よりDは弧AD=弧BD となり、Dはy軸上の点となります。(DとRとが一致する)
よって ∠BRO=(1/2)∠ARB=60°となるので、OR=1
したがって、Rの座標は(0、-1)

(3) PTは常に定点R(0,-1)を通るので、∠BHP=90°になるので、HはBRを直径とする円周上を動きます。
[ア]=(√3/2,-1/2)、[イ]=1

(4) HはBRを直径とする円の弧BO上を動くので・・・

(5) (√3/2,-3/2)をEとすると
HはBRを直径とする円の弧BOE上を動くので・・・

No.341 - 2008/04/11(Fri) 23:46:51

Re: / ラディン.ms
解答ありがとうございます。

図を描いて考えてみたのですが,(2)の2行目からよくわかりませんでした。

No.343 - 2008/04/12(Sat) 16:57:04

Re: / DANDY U
∠APBの2等分線と外接円の交点をDとすると、円周角が等しければそれに対するこの長さが等しいので
弧AD=弧BD です。
この円はy軸に関して対称だから、Dはy軸上の点、すなわちRと一致します。(以降DをRと書きます)
∠ARB=180°−∠APB=120°
∴∠BRO=60°
また BO=√3 だから OR=1
したがって、Rの座標は(0,-1)となります。

No.346 - 2008/04/12(Sat) 17:32:23

Re: / ラディン.ms
ありがとうございます。
No.347 - 2008/04/12(Sat) 18:19:33
旧掲示板 / ヨッシー
旧掲示板ですが、
最終記事までのログが取れましたので、この掲示板からの
リンクは外しました。
旧掲示板自体は残りますが、書き込みは出来ません。

荒らしさえなければ、続けたのですが残念です。

No.336 - 2008/04/11(Fri) 13:03:40
2次関数の問題です / ケイ
曲線 y=2lx^2-4x+3l+2 と、点(0,1) を通る直線が4点で交わる時の直線の傾きmの値を求めなさい。
という問題で、
y=2lx^2-4x+3l+2
=(x-1)(x-3)
(x-1)(x-3)>0より、x<1,x>3の時 y=2(x-2)^2
(x-1)(x-3)<0より、1<x<3の時  y=-2(x-2)^2+4  となる
点(0,1)を通る直線を y=mx+1 とおく
傾きの最小値は点(0,1)(1,2)を通る 2=x+1 だから m=1
傾きの最大値は 1<x<3 y=-2x^2+8x-4と接するから傾きは
 -2x^2+8x-4=mx+1 が1<x<3で重解を持つ時の値だから
 2x^2+(m-8)x+5=0 (m-8)^2-4・2・5=0
m^2-16m+24=0 m=8+2√10,8-2√10
という所までは解けるのですが m=8+2√10,8-2√10のどちらが1<x<3 で接する時の値なのかが分かりません。
よろしくお願いいたします。

No.334 - 2008/04/11(Fri) 10:42:18

Re: 2次関数の問題です / ヨッシー

グラフを描きましょう。

-2x^2+8x-4=mx+1 が、重解を持つときが2ヶ所あると言うことなので、
図のように、2つの傾きの接線が引けます。
1つは、1<x<3 で接していて、1つは、ずっと右下の方で
接しています。
どちらの方が傾きが大きいかを考えると、m=8+2√10,8-2√10のどちらであるか
は、わかるでしょう。

No.335 - 2008/04/11(Fri) 11:28:09
2次関数なですが… / すにふ
不等式 x2乗−(a+1)x+a<0 を満たす整数がちょうど2個だけあるような実数aの値の範囲を求めなさい。
という問題が分かりません。
(x−a)(x−1)<0 で、aが−1では駄目だって事は分かるのですが…。
よろしくお願いいたします。

No.330 - 2008/04/10(Thu) 02:52:22

Re: 2次関数なですが… / hari
解の差の絶対値|a - 1|が2より大きく3以下であればよいですね。

解の差の絶対値というのは y = x^2 - (a + 1)x + aが切り取るx軸の長さです。
今回は端点を含まないので、この切り取られた長さが2より大きく3以下ならば必ずそこに整数が二つ含まれることになります。

No.331 - 2008/04/10(Thu) 04:54:20

Re: 2次関数なですが… / すにふ
hariさん、どうもありがとうございました。
問題の意味が理解できました。

No.333 - 2008/04/11(Fri) 10:17:01
ベクトル、一次変換 / 康夫
?@ベクトルについて
去年の学校の補習で、2つのベクトルに垂直なベクトルの公式みたいなものを教えてもらったのですが、ノートをなくし、確認できなくなりました。その公式を教えてください。


?A一次変換に関する問題
直線y=mxに関して各点のその対称点に移す一次変換およびその行列はmにより決まるから、f(m)およびA(m)と表す。
(1)行列A(m)を求めよ。
(2)A(m)の逆行列を作れ。

一応解くことはできたのですが、(2)の解説でf(m)の逆写像f(m)^-1は明らかにf(m)^-1であると書いていました。
どういてこのようなことが言えるのですか。教えてください。

No.328 - 2008/04/09(Wed) 23:33:07

Re: ベクトル、一次変換 / ヨッシー
(1)私のページの「ベクトルの外積」をご覧ください。

(2)
「f(m)の逆写像f(m)^-1は明らかにf(m)である」でしょうね。
ある点Aが y=mx に関して、対称に移動した点をBとします。
点Bを、y=mx に関して対称に移動したものが点Aですから、
 A→B も B→A もf(m) であり、当然、B→A は
A→Bの逆写像です。

No.329 - 2008/04/09(Wed) 23:57:27

Re: ベクトル、一次変換 / 康夫
逆写像とかいう意味があまりわかりません。・・・
No.337 - 2008/04/11(Fri) 13:42:53

Re: ベクトル、一次変換 / ヨッシー
ある写像の逆の動きをするのが逆写像です。
たとえば、
 x軸方向に3、y軸方向に−2、移動する写像
の逆写像は
 x軸方向に−3、y軸方向に2、移動する写像
です。元の写像で点A(2,4)は、点B(5,2) に移ります。
逆に、逆写像では、点Bが点Aに移ります。

この例では、元の写像と、逆写像は別の動きをしますが、
対称移動では、逆写像も、同じ動きをする写像となります。

No.338 - 2008/04/11(Fri) 13:55:29
順列組合せ / eois(高3)
1,1,1,2,2,3,3の7個の数字を一列に並べる。

このとき、どの数字も同じ数字は隣り合わない並べ方は全部で何通りあるか。


考え方がわかりません。どういう考え方で解いていけばよいのでしょうか。
よろしくお願いします。

No.323 - 2008/04/09(Wed) 21:00:43

Re: 順列組合せ / らすかる
1が隣り合わない並べ方は、2,2,3,3を並べて(4C2通り)、
間または端計5箇所中3箇所に1を入れれば良いので(5C3通り)、4C2×5C3通り
1が隣り合わない並べ方のうち、2が隣り合う並べ方は
2を一つと考えて同じように計算すれば良いので、3C1×4C3通り
1が隣り合わない並べ方のうち、3が隣り合う並べ方は同じく3C1×4C3通り
1が隣り合わない並べ方のうち、2も3も隣り合う並べ方は
2と3を両方とも一つと考えて同じように計算すれば良いので、2C1×3C3通り
よって求める並べ方は
4C2×5C3-3C1×4C3-3C1×4C3+2C1×3C3=38通り

No.324 - 2008/04/09(Wed) 22:40:03
図形 / ピー
図のようにAB=AC底辺と高さを1とする△ABCと
、この三角形に合同な三角形を並べて作られた平行四辺形ABSTに対角線BTをひく。この平行四辺形ABSTについて

(1)斜線のついた8個の三角形の周の長さの和を求めなさい
(2)斜線のないすべての部分の面積の和を求めなさい

答え
(1)【(9√5+√85)/2】
(2) 5/2

考え方がわかりませんでした
よろしくおねがいします

No.315 - 2008/04/08(Tue) 22:12:33

Re: 図形 / にょろ
その画像に新たに点を入れてみました。
(赤いやつです)
ペイントでやったので場所がずれてるとかいわないで下さい…。

まず
(1)斜線のついた8個の三角形の周の長さの和を求めなさい
一つ一つやっていったら面倒くさいです。

ですが、少し考えると求める長さLはこうなります。

L=AB+AC+CD+DG+GE+EH+HF+FS+ST+BT
(求める部分をなぞれば分かると思います)
更に、BT以外は全部合同の三角形かつAB=ACだと言っているのだから

L=9AB+BT

です。
更にTU=1(高さ)
BC=1なので

AC^2=1^2+(1/2)^2

です。
よってAC=√5/2

次、BTは
BT^2=TU^2+BU^2

=(9/2)^2+1^2

よってBT=√85/2

これより
L=9AB+BT
=(9√5+√85)/2

(2)斜線のないすべての部分の面積の和を求めなさい

これはまず問題を読み替えます

(2)'平行四辺形の中で「斜線のついた三角形」以外の部分の面積を求めなさい

要するに平行四辺形から斜線のついた三角形の面積を引けと言ってるんです。

ところで平行四辺形なのだから
△ABT≡△STBです。

つまり、どちらかの三角形だけ考えて後で2倍しましょう。
(斜線部分も同じ事ですし)

まず、△BCJ∽△BSTです。
そして相似比は1:4です。
つまり、面積比は1:16です。
更に△BST=(1/2)*1*4=2です。

と言うわけで、△BCJ=1/8
です。

TS=1とすると
次、相似なのだからJC=1/4です。
(実際の長さと違います)

更に、AB=1です。

でここにもう一つ相似な三角形
△ABI∽△CJIが出てきます。

と言うわけでBI:JI=4:1です。
同様に斜線の引いてある三角形は全て相似です。
相似比は青字で書いてあります。

ここで、高さを共有する三角形の面積の比は底辺の比なのですから

△BCI:△ICJ=4:1

よって△ICJ=(1/8)*(1/5)=1/40

さて、
△IJC∽△KLG∽△MNH∽△OTS

で、相似比は図の通りです。

よって斜線の面積sは以下の通りに表せます。
s=△IJC+△KLG+△MNH+△OTS
=(1+2^2+3^2+4^2)/40=30/40=3/4

(綺麗な数字でちょっとびっくり)
と言うわけで、
白い部分の面積Sは、
S=2(△STB-s)
=2(2-3/4)
=2(5/4)
=5/2
(二倍したのは上の説明よりです)

以上です。

【補足】

KJ:KL=3:2の理由

JC=1/4ですから
DJ=3/4

EL:GL=1:1だから
(△BGL≡△TEL)

EL=2/4

と言うわけで、
△KJDと△KLGの相似比は、
3:2になります。



と書いてみましたし答えもあったので多分あってると思いますが、間違ってたらゴメンナサイ
あと、実際のJCの長さはTS/4つまり√5/8です。
見やすくするためTS=tと置くなどを省き1としました。

No.317 - 2008/04/09(Wed) 01:01:56

Re: 図形 / にょろ
一個書き忘れたので追加

この問題には不備があります。

三角形の底辺がBCだ何て何処にも書いていません。
要するにAB=AC=1と言う解釈でも間違っては居ないと思います。
(でも計算は面倒くさくなりますよ)

No.320 - 2008/04/09(Wed) 13:13:58

Re: 図形 / ヨッシー
特に、面倒くさくはならないと思いましたが、
どうなんでしょう?
直感ですが。

No.321 - 2008/04/09(Wed) 15:28:23

Re: 図形 / ピー
どうもありがとうございます。
添付が見えずくて左の部分がよく見えませんでした。
もう少し考えてみます

No.326 - 2008/04/09(Wed) 23:11:45

Re: 図形 / にょろ
ヨッシーさん

実際に素でやり始めましたが問題解くのに要した時間は10分なかったと思います。

No.327 - 2008/04/09(Wed) 23:15:35
(No Subject) / ピー
ヨッシーさんこんにちわ
おかげさまで?Aまで理解できました
(2)について教えてください
△AEQと△TFQは、1:2になるのかがわかりませんでした。


1:2ではなくたとえば1:3でも可能ですか?
1:2は計算を楽にする為に表す方法なのでしょうか?
質問ばかりですいません

△AEQと△TFQが相似だとして、
対応する辺は EQとQF AEとFT AQとTQになりました

No.308 - 2008/04/08(Tue) 09:51:13

(No Subject) / ヨッシー

こんな感じですよね?
EQとQF AEとFT AQとTQ
の、6つの辺のうちで、長さが分かっているところを、
図に書き込んでみましょう。


たとえば、このようであれば、相似比は1:3で、
FT=4×3=12 になりますね。
※これは、本問の数値とは関係ありません。

No.309 - 2008/04/08(Tue) 10:49:39

Re: / ピー
図の添付ありがとうございます
1:3はどこか駄目なのかが分かりませんでした。

1:3にするとAEの長さが6なのに対して4になるか駄目なのでしょうか?

No.314 - 2008/04/08(Tue) 22:02:24

(No Subject) / ヨッシー
※これは、本問の数値とは関係ありません。
と書いてあるように、下の方の図の数値は一例であり、
1:3がダメな理由でもありません。

まずは、EQとQF AEとFT AQとTQ
の、6つの辺のうちで、長さが分かっているところは、
どこですか?

No.316 - 2008/04/09(Wed) 00:26:14

Re: / ピー
6つの辺のうちで、長さが分かっているところは
EQ=2 , AE=6 AQ=√40になりました。

No.325 - 2008/04/09(Wed) 22:47:24

(No Subject) / ヨッシー
その3つは、△AEQの方ですね。
△TFQ の方で、どこか長さが分かりませんか?
そうすると、その辺と対応する△AEQとの間で、
辺比が出来ます。

No.332 - 2008/04/10(Thu) 07:43:59
定積分の問題 / 999
はじめまして。
さっそくですが質問があります。
この定積分の問題のが解き方分かりません。
∫^∞_0 10^(x/10) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)) dx
よろしくお願いします。

No.306 - 2008/04/07(Mon) 23:26:22
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