(1)２次関数 y=x^2-a のグラフ上でx座標が正の整数である点を考える。
この中にy座標が 495 のものと、699 のものがあるとき、 a のとる値をすべて求めよ。
(2)xy平面上に定点Ａ(-1,0),B(1,0)と動点Ｐがある。
Ｐは領域 y>0 にあり、条件 ∠ＰＢＡ−∠ＰＡＢ＝π/３
を満たしながら動くものとする。点Ｐのx座標が最小となるときの点Ｐの座標を求めよ。
(3)６個の数1,2,3,4,5,6から異なる4つの数を選んで並べ、4桁の自然数Nを作る。
その千、百、十、一の各位の数を順にa、b、c、dとすれば、N＝1000a+100b+10c+dであることに
注意して、次の問いに答えよ。
１、Nが3の倍数であるための必要十分条件は、各位の数の和が3の倍数であることを示せ。
２、が3の倍数であるとき、そのようなNの総和を求めよ。
(4)xの2次方程式 x^2+(4k-3)x+3k=0は、0aはBの小数部分に等しい。このとき、実数kを求めよ。
(5)０を原点とするxy平面上に正方形OABCがある。頂点Aは第4象限(x>0かつy<0で表される領域)
にあり、辺AB上に点(10,0)が、辺BC上に点(9,7)がそれぞれある。このとき、点A,B,Cの座標を
求めよ。
(6)n^4が3n+7の倍数となるような自然数nをすべて求めよ。
※x^2はエックスの２乗の意
一問でもいいので、解答宜しくお願いします。
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No.381 - 2008/04/16(Wed) 21:42:56
| ☆ Re: いろいろ （入試問題かな？） / ヨッシー  | | | (1)
x12-a＝495 ・・・(i)
x22-a＝699 ・・・(ii)
であるとします。ただし、x1, x2 は正の整数。
(ii)から(i)を引いて、
x22−x12＝204
(x2−x1)(x2＋x1)＝22×3×17
より、204 を２つの偶数の積に分解すると、
2・102、6・34
であるので、
x2−x1＝2、x2＋x1＝102 より、x1＝50, x2＝52 このとき a＝2005
x2−x1＝6、x2＋x1＝34 より、x1＝14, x2＝20 このとき a＝-299
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No.394 - 2008/04/17(Thu) 10:38:43 |
| ☆ Re: いろいろ （入試問題かな？） / ヨッシー | | | (3)１．
N＝1000a+100b+10c+d＝(999+1)a+(99+1)b+(9+1)c+d
＝3(333a+33b+3c)＋(a+b+c+d)
と書けるので、
Ｎが３の倍数であることと、a+b+c+d が３の倍数であることは同値である。
２．
ある３の倍数が見つかったら、その各位の数を並べ替えた
24個の数も、３の倍数です。
たとえば、1236 が３の倍数であるので、1263,1326,1362 なども３の倍数です。
これら２４個の数を足すと、
千の位には、1,2,3,6 が６回ずつ現れます。
百の位、十の位、一の位も同様で、
1,2,3,6 からなる24個の数の合計は
1000×{(1+2+3+6)×6}＋100×{(1+2+3+6)×6}＋10×{(1+2+3+6)×6}＋{(1+2+3+6)×6}
＝6666×(1+2+3+6)
で表されます。
和が３の倍数となる４つの数の選び方は
和が１２：(1,2,3,6)(1,2,4,5)
和が１５：(1,3,5,6)(2,3,4,6)
和が１８：(3,4,5,6)
であるので、求める総和は
6666×(12+12+15+15+18)＝479952
(4)問題として成立していません。
問題文を見直してください。
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No.395 - 2008/04/17(Thu) 12:26:28 |
| ☆ Re: いろいろ （入試問題かな？） / ヨッシー | | | (5)
点Ｃが第１象限にあることはＢＣが(9,7)を通ることより
わかります。
点Ｄ(10,0)、点Ｅ(9,7)、点Ｆ(0,10) とします。
∠ＯＡＤ＝90°なので、点Ａは、ＯＤを直径とする円上にあり、
それを90°回転したのが点Ｃなので、点Ｃは、ＯＦを直径とする円上にあります。つまり、
ｘ2＋ｙ(ｙ−10)＝０ ・・・(i)
また、∠ＯＣＥ＝90°なので、点Ｃは、ＯＥを直径とする円上にあります。つまり、
ｘ(ｘ−９)＋ｙ(ｙ−７)＝０ ・・・(ii)
(i)(ii) の解のうち、原点以外の点が点Ｃとなります。
これを解いて、x=3, y=9
以上より、点Ａ(9,-3)、点Ｂ(12,6)、点Ｃ(3,9) となります。
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No.396 - 2008/04/17(Thu) 13:40:21 |
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